Matemática-01-Moderna-Plus-0283-0285

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6 Uma amostra de 4 kg de uma substância radioativa 
se desintegra à razão de 0,25% ao ano.
a) Qual é a equação que expressa a massa M dessa 
amostra, em quilograma, em função do tempo 
t, em ano?
b) Com o auxílio de uma calculadora científica, cal-
cular a massa dessa amostra daqui a trinta anos.
7 A figura a seguir apresenta o gráfico da função 
 f (x) 5 2
x
 __ 
5
 e um triângulo ABC cujos vértices B e C
 pertencem ao gráfico de f . Calcular a área desse 
triângulo.
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
a) Raciocinando como no caso do cálculo do mon-
tante a juro composto, temos que o valor M de 
uma grandeza qualquer a partir de seu valor 
inicial C, do tempo t e da taxa constante i de 
variação pode ser calculado pela fórmula:
 M 5 C(1 1 i)t,
 em que t e i se referem à mesma unidade de tempo.
 Assim, a amostra de 4 kg que se desintegra à ra-
zão de 0,25% ao ano terá daqui a t anos a massa 
M, em quilograma, dada por:
 M 5 4(1 2 0,0025)t, ou seja, M 5 4(0,9975)t
 Note que adotamos a taxa negativa, pois ela 
representa uma taxa de decrescimento.
b) Para calcular a massa da amostra, em quilogra-
ma, daqui a trinta anos, basta substituir por 30 
a variável t da função obtida no item a:
 M 5 4(0,9975)30
 Usando uma calculadora científica, obtemos: 
(0,9975)30 * 0,93 e, portanto:
 M * 4 3 0,93 ] M * 3,72
 Assim, daqui a trinta anos a amostra terá 3,72 kg, 
aproximadamente.
Resolução
 Temos:
•	 a	ordenada	do	ponto	B é f (2), que é obtida atri-
buindo-se o valor 2 à variável x da função f :
 f (2) 5 2
2
 __ 
5
 5 4 __ 
5
 5 0,8
•	 a	ordenada	do	ponto	C é f (3), que é obtida atri-
buindo-se o valor 3 à variável x da função f :
 f (3) 5 2
3
 __ 
5
 5 8 __ 
5
 5 1,6
 Assim, podemos calcular as medidas dos segmen-
tos AB e AC:
AB 5 3 2 2 5 1
AC 5 1,6 2 0,8 5 0,8
2 3
B
C
A
fy
x
1,6
2 3
0,8
SB
C
A
fy
x
28 Construa o gráfico e determine o domínio e o con-
junto imagem das funções:
a) f (x) 5 @ 5 __ 
4
 # 
x
 b) g(x) 5 @ 4 __ 
5
 # 
x
 
29 (Mackenzie-SP) O menor valor assumido pela fun-
 ção g(x) 5 @ 1 __ 
2
 # 2 2 x2
 é:
a) 8 b) 4 c) 1 __ 
2
 d) 1 __ 
4
 e) 1 __ 
8
 
a) Esboce o gráfico da função y 5 @ 3 __ 
2
 # 
x
 , conside-
 rando que o pregão teve exatamente 5 horas de 
duração.
b) Observando o gráfico que você construiu, classi-
fique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma 
das afirmações:
 I. f (4) . f (3)
 II. f (2) , f (1)
 III. Se x1 e x2 são elementos do domínio de f , com 
x2 . x1, então f (x2) . f (x1).
 IV. Se x1 e x2 são elementos do domínio de f , com 
x2 . x1, então f (x2) , f (x1).
 V. Se x1 e x2 são elementos do domínio de f , com 
f (x1) 5 f (x2), então x1 5 x2.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 25 a 27 e 44 a 51.
30 Um corretor de uma bolsa de valores previu que, 
durante certo dia, o preço de cada ação de uma em-
 presa poderia ser determinado pela função y 5 @ 3 __ 
2
 # 
x
 ,
 em que y é o preço, em real, e x é o tempo, em hora, 
decorrido a partir da abertura do pregão.
 Concluímos, então, que a área S do triângulo é 
dada por:
 S 5 AB 3 AC ________ 
2
 ] S 5 
1 3 0,8
 ______ 
2
 5 0,4
269
R
ep
ro
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.1
84
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C
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10
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98
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CAP 8.indb 269 03.08.10 12:45:59
Seção 8.5
 Objetivo
 Resolver problemas 
por meio de equações e 
inequações exponenciais.
Equação e inequação exponencial
 Equação exponencial
Acompanhe o problema a seguir. 
Por quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$ 10.000,00, 
à taxa de juro composto de 10% ao ano, para que o montante atinja 
R$ 14.641,00?
Indicando por t o tempo, em ano, aplicamos a fórmula M 5 C(1 1 i)t, 
obtendo:
14.641 5 10.000(1 1 0,1)t ] 14.641 5 10.000(1,1)t
} (1,1)t 5 1,4641
Note que essa resolução conduziu a uma equação cuja incógnita está 
no expoente de uma potência de base positiva e diferente de 1. Esse tipo 
de equação é chamado de equação exponencial.
Os métodos de resolução desse tipo de equação, que estudaremos a 
seguir, permitem determinar o valor de t nesse exemplo, que é 4. Assim, o 
capital deve permanecer aplicado por quatro anos.
Generalizando, definimos:
Equação exponencial é toda equação que apresenta a incógnita 
no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente 
de 1.
ax 5 ay [ x 5 y
Exemplos
a) 5x 5 25 b) 9x 2 3x 5 6 c) 2x 1 1 5 0,5
Resolução de uma equação exponencial
A resolução de uma equação exponencial baseia-se na propriedade P1 
das funções exponenciais, isto é, sendo a um número real qualquer, com 
a . 0 e a % 1, temos:
Além dessa propriedade, muitas vezes é necessário aplicar outros 
recursos para resolver equações exponenciais, conforme mostram os 
exercícios resolvidos a seguir.
Exemplo 
Vamos resolver em V a equação 3x 5 9.
O número 9 pode ser representado por 32. Assim, a equação proposta 
é equivalente a 3x 5 32.
Pela propriedade P1 das funções exponenciais, temos:
3x 5 32 ] x 5 2
Portanto, o conjunto solução da equação é: S 5 {2}.
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
EXERCÍCIOs pROpOstOs
270
R
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C
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CAP 8.indb 270 03.08.10 12:45:59
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
 ] 64 5 26
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
 ] 32 5 25
8 Resolver em V a equação 64x 5 32.
9 Resolver em V a equação 7x 5 5x.
Resolução
 Decompondo em fatores primos os números 64 e 
32, obtemos uma igualdade de potências de mesma 
base positiva e diferente de 1.
Resolução
 Dividindo por 5x ambos os membros da equação, 
temos:
 7
x
 __ 
5x
 5 5
x
 __ 
5x
 ] @ 7 __ 
5
 # 
x
 5 1
 O número 1 pode ser representado por @ 7 __ 
5
 # 0 .
 Assim: @ 7 __ 
5
 # 
x
 5 @ 7 __ 
5
 # 
0
 ] x 5 0
 Portanto, o conjunto solução da equação é: S 5 {0}.
10 Resolver em V a equação 3x 1 2 1 3x 2 1 5 84.
Resolução
 3x 1 2 1 3x 2 1 5 84 ] 3x 3 32 1 3x 4 31 5 84
 ou seja: 9 3 3x 1 3
x
 __ 
3
 5 84
 Fazendo a mudança de variável 3x 5 k, temos:
 9k 1 k __ 
3
 5 84 ] 27k 1 k 5 252
 } 28k 5 252
 } k 5 9
 Retornando à variável original x, substituímos k 
por 3x e obtemos: 3x 5 9 ] 3x 5 32
 } x 5 2
 Logo, S 5 {2}. Assim: 64x 5 32 ] (26)x 5 25
 } 26x 5 25
 Pela propriedade P1 das funções exponenciais, 
temos:
26x 5 25 ] 6x 5 5
} x 5 5 __ 
6
 
 Logo, o conjunto solução da equação é: S 5   5 __ 
6
  .
11 Resolver em V a equação 9x 2 3x 5 6.
Resolução
 Como 9x 5 (32)x 5 (3x)2, a equação proposta é equi-
valente a (3x)2 2 3x 2 6 5 0.
 Fazendo a mudança de variável 3x 5 k, temos:
 k2 2 k 2 6 5 0
 Resolvemos essa equação do 2o grau na incógnita k:
 S 5 (21)2 2 4 3 1 3 (26) 5 25
 k 5 
2(21) ! dlll 25 
 _____________ 
2 3 1
 5 1 ! 5 ______ 
2
 ] k 5 3 ou k 5 22
 Retornando à variável original x, temos:
 3x 5 3 ou 3x 5 22
•	 Para	3x 5 3, temos x 5 1.
•	 Para	3x 5 22, não existe x, pois toda potência de 
base positiva é um número positivo.
Logo, o conjunto solução da equação é S 5 {1}.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
31 Resolva, em V, as equações.
a) 64x 5 256 
b) 25x 1 2 5 125x 1 5 
c) @ 8 ____ 
125
 # 2x 2 1
 5 @ 25 ___ 
4
 # 2x
 
d) 52x 2 1 5 1
e) 7x 5 8x
f ) 3 dlll 25x 5 dll 5 
32 Nas proximidades da superfície terrestre, a pressão 
atmosférica P, em atmosfera (atm), é dada em fun-
ção da altitude h, em quilômetro, aproximadamente 
por P(h) 5 (0,9)h. 
 Se, no topo de uma montanha, a pressão é 0,729 atm, 
conclui-se que a altitude desse topo é:
a) 6 km d) 4 km 
b) 5,2 km e) 3 km 
c) 5 km
EXERCÍCIOS pROpOStOS
33 Determine o conjunto dos valores reais de x que 
satisfazem cada uma das equações.
a) 2x 1 1 1 2x 2 1 5 20 b) 3x 1 1 2 3x 1 25 254
34 Considerando o universo V, obtenha o conjunto 
solução das equações:
a) 25x 2 6 3 5x 1 5 5 0 c) 4x 2 3 3 2x 1 1 1 8 5 0
b) 49x 2 6 3 7x 2 7 5 0 d) 32x 1 1 1 2 3 3x 5 1
35 (FGV) Uma instituição financeira oferece um tipo 
de aplicação tal que, após t meses, o montante M, 
relativo ao capital C aplicado, é dado por M 5 C 3 20,04t, 
em que C . 0. 
 O menor tempo possível para quadruplicar uma 
certa quantia investida nesse tipo de aplicação é de:
a) 5 meses 
b) 2 anos e 6 meses 
c) 4 anos e 2 meses
d) 6 anos e 4 meses
e) 8 anos e 5 meses
271
S
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