Exercícios Geométricos

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2x � 10° x
95°
40°
x
65°
2x � 25°
x
110°
x � 30°
x � 10°
60°x � 10°
2x � 20°
x
3x
60°
20°
C
x
30°
85°
EXERCÍCIOs COmplEmEntaREs
 Exercícios técnicos
1 Determine a medida x, em grau, em cada uma das 
figuras:
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
2 Um triângulo ABC, retângulo em A, possui um ân-
gulo interno de 30w. Calcule a medida de um ângulo 
agudo formado pela altura e pela bissetriz interna, 
ambas relativas ao vértice A.
3 Calcule a soma Si dos ângulos internos de cada um 
dos seguintes polígonos convexos:
a) quadrilátero c) eneágono
b) heptágono d) tridecágono
6 Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e 
AE & BF & CD. Prove que o triângulo DEF é equi-
látero. 
7 (UFMG) Observe a fi gura ao 
lado.
 Nessa figura, os segmentos 
AB e BC são perpendiculares, 
respectivamente, às retas r e s. 
Além disso, AP 5 PB, BQ 5 QC e 
a medida do ângulo POQ é J.
 Considerando-se essas infor-
mações, é correto afirmar que 
a medida do ângulo AOC in-
terno do quadrilátero AOCB é:
5 No quadrilátero abaixo, AD & BC e ADE & BCF.
4 Determine a medida do ângulo ABC na figura:
a) Prove que os triângulos ADE e BCF são congruen-
tes.
b) Calcule a medida do segmento AE.
150°
x
A
D
B
C E
F
30°
E
3x � 5 x � 9
A
D C
F
B
E
A
C B
D
F
�
A
B
O
Q s
C
P
r
8 No triângulo isósceles de base BC da figura a seguir, 
determine a medida do ângulo interno A.
10 Em um triângulo ABC, retângulo em A, a mediana 
relativa à hipotenusa e a bissetriz interna relativa ao 
vértice C formam um ângulo agudo de 60w. Calcule 
a medida do ângulo ACB.
11 No triângulo ABC,abaixo, E é ponto médio do lado 
AC, EG/CB e BG/AC.
9 (Fuvest-SP) Na figura, AB 5 BD 5 CD.
 Sabendo que CB 5 10 cm e AB 5 8 cm, calcule as 
medidas dos segmentos EF e AF. 
x � 5°
B
A
C
2x � 10°
y
x
D
A CB
BC
GE
A
F
a) 2J b) 5J ___ 
2
 c) 3J d) 3J ___ 
2
 
 Então:
a) y 5 3x c) x 1 y 5 180w e) 3x 5 2y
b) y 5 2x d) x 5 y
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22 Calcule a área de um paralelogramo ABCD, em que 
AB 5 8 cm, BC 5 12 cm e m(ABC) 5 135w.
a) Calcule o comprimento da circunferência que 
circunscreve o triângulo ABC. 
b) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
BC
O
A
18
12 15
S
A
�
�
D
r
B C
12 Em um losango ABCD, o ângulo BAD mede 50w. Cal-
cule a medida do ângulo formado pela diagonal BD 
e o lado AD.
13 No trapézio isósceles ABCD abaixo, a base maior DC 
mede 40 cm e AD & AB. Calcule a distância entre o 
vértice B e o ponto médio da base maior.
BA
60°
D C
14 Na figura abaixo, as retas p, q, r e s são paralelas e 
AD 5 24 cm. Determine as medidas dos segmentos 
AB, BC e CD. 
A
B F3
9
6
C G
D H
E p
q
r
s
t u
16 O segmento de reta cujos extremos são os pontos 
médios de dois lados de um triângulo é chamado 
de base média do triân gulo. No triângulo ABC, 
abaixo, o segmento PM é uma base média do triân- 
gulo ABC.
15 Na figura abaixo, AS é bissetriz interna e a reta r é 
paralela a essa bissetriz.
17 Na figura, ABCD é um quadrado de lado 5 cm.
D
A B
C
E
 Calcule a medida da altura do triângulo equilátero 
DBE.
B
C
P
M
A
18 A circunferência representada a seguir tangencia 
os três lados do triângulo retângulo ABC. Calcule a 
medida do raio dessa circunferência.
CA
B
6 cm
8 cm
20 Calcule o comprimento da circunferência:
a) inscrita em um quadrado de lado 6 cm.
b) circunscrita a um quadrado de lado 5 cm.
c) circunscrita a um hexágono regular de lado 
10 cm.
21 (UFG-GO) A figura abaixo mostra uma circunferência 
de raio r 5 3 cm, inscrita em um triângulo retângulo, 
cuja hipotenusa mede 18 cm.
19 Na figura, o segmento AB mede 12 cm e é tangen-
te, em A e B, às circunferências de centros O e Oe 
e raios 7 cm e 2 cm. Calcule a distância entre os 
centros O e Oe.
O O�
B
A
a) Prove que o triângulo AMP é semelhante ao triân-
gulo ABC.
b) Qual é a posição relativa entre as retas PM e 
CB?
c) Que relação existe entre a medida da base média 
PM e a medida do lado CB?
a) Prove que o triângulo ADC é isósceles.
b) Aplicando o teo rema de Tales, determine as 
medidas dos segmentos BS e CS.
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23 (Vunesp) Na figura abaixo, a área do triângulo EMC 
é igual à área do quadrado ABCD, e M é o ponto 
médio de BC. De acordo com a figura, o valor de x, 
em centímetro, é:
4 cm DE C
B
M
x
xA
a) 12 ___ 
5
 b) 8 __ 
5
 c) 7 __ 
3
 d) 4 __ 
3
 e) 2 __ 
3
 
24 Um hexágono regular e um quadrado têm o mesmo 
perímetro. Sabendo que a diagonal do quadrado 
mede 3 dll 2 m, calcule a área do hexágono.
25 Em uma coroa circular de área de 16s cm2, o raio 
externo mede o triplo do raio interno. Calcule a 
medida do raio externo.
26 No triângulo equilátero ABC de lado 6 cm, abaixo, P 
e Q são pontos médios dos lados AB e AC, respecti-
vamente, e o arco de circunferência + PQ tem centro 
A. Calcule a área da região colorida na figura.
27 No hexágono regular ABCDEF de lado 4 cm, abaixo, 
os arcos de circunferência + AE e + BD têm centros nos 
vértices F e C, respectivamente. Calcule a área da 
região colorida na figura.
28 Seja M o ponto comum às diagonais de um retân-
gulo ABCD com 45 dm2 de área. Calcule a área do 
retângulo cujos vértices são os simétricos de M em 
relação aos pontos A, B, C e D.
29 Dois octógonos regulares têm áreas iguais a 
72 @ 1 1 dll 2 # cm2 e 8 @ 1 1 dll 2 # cm2, e o perímetro do 
maior é 48 cm. Calcule a medida do lado do menor 
desses octógonos.
30 No triângulo ABC, abaixo, tem-se DE/CB, AD 5 2 e 
AC 5 8. Calcule a razão entre as áreas do triângulo 
ADE e do trapézio BCDE, nessa ordem.
A
P Q
B C
A B
C
DE
F
 Exercícios contextualizados
31 Uma escala termométrica é uma sequência de 
valores numéricos na qual para cada valor é as-
sociada uma temperatura. A escala Celsius adota, 
sob pressão normal, ao nível do mar, o valor 0 (zero) 
para a temperatura de congelamento da água e o 
valor 100 para a temperatura na qual a água entra 
em ebulição. Na escala Fahrenheit, são atribuídos 
os valores 32 e 212 a essas temperaturas, respecti-
vamente.
 No esquema a seguir, as três retas representadas 
pelos tracejados são paralelas e concorrem com 
as duas transversais, que simbolizam as escalas 
Celsius (wC) e Fahrenheit (wF). 
 Aplicando o teorema de Tales, determine a tem-
peratura em grau Fahrenheit (wF) correspondente 
a 75 wC.
M
100 °C
75 °C
0 °C
212 °F
32 °F
x
N
P
M�
N�
P�
A
D E
C B
32 Para a realização de uma experiência, uma rampa 
reta e plana de 2 m de comprimento, de plástico 
transparente, foi colocada sobre um terreno plano 
e horizontal. Quando os raios de sol eram perpen-
diculares ao terreno, fez-se rolar uma bola desde o 
ponto mais alto da rampa até o solo, observando-se 
que a sombra da bola sobre o terreno percorreu 
uma distância de 1,6 m. Que distância percorreu 
essa sombra, quando a bola se deslocou 50 cm 
sobre a rampa?
33 Um estudante posicionou-se a 50 m de distância de 
um prédio e colocou, a 16 cm de seus olhos, uma 
haste vertical de 20 cm de comprimento tal que 
a haste e o prédio ficassem sob o mesmo ângulo 
visual, conforme a figura.
 A partir dessa situação, o jovem calculou a altura 
do prédio. Qual é essa altura, em metro?
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