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SÉRIE DE PAGAMENTOS SÉRIE DE PAGAMENTOS PV FV 1 0 PV FV 0 1 OU Hoje iniciaremos discutindo os seguintes termos: • Classificação das series de pagamentos; • Séries Uniformes de Pagamentos; • Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas; Nossa aula de hoje: Classificação das series de pagamentos A B C Quanto ao valor dos pagamentos Quanto a constância ou periodicidade . Quanto ao tempo . d Quanto ao vencimento do primeiro pagamento e Quanto ao momento dos pagamentos Quanto ao tempo Temporária: quando tem um número limitado de pagamentos; Infinita: quando tem um número infinito de pagamentos. b) Quanto à constância ou periodicidade Periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalo de tempo iguais; Não periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis. Quanto ao valor de pagamentos: Constante: quando todos os pagamentos são iguais; Variáveis: quando os valores dos pagamentos variam. Quanto ao vencimento do primeiro pagamento. Imediata: quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série; Diferida: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja, ocorrerá em período subsequentes. Quanto ao momento dos pagamentos Antecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0” da série de pagamentos (ato do negócio); Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre após o negócio (um período após o negócio). Série Uniforme de pagamentos Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se ampliam em número de valores, há necessidade de buscar soluções que simplifiquem o processo de cálculo. A situação mais comumente encontrada refere-se a um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de mesmo valor, em períodos sucessivos de tempo, denominado série uniforme de pagamentos. Série Uniforme de pagamentos Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos 0 1 2 3 4 n-1 n (tempo) PMT PMT PMT PMT PMT PMT PV Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos 0 1 2 3 4 n-1 n (tempo) PMT = Prestações PV= valor dívida Renda temporária, periódica e constante Cada termo (T) dessa renda será representado, no diagrama de fluxo de caixa, por PMT - PagamenTos; as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos: FV: valor futuro (ou montante); PV: valor presente (ou valor atual, ou capital inicial, ou principal); i: taxa efetiva periódica de juro composto; e, n: número de períodos de capitalização de juros. Atenção!!! Na renda temporária, periódica e constante, n também corresponde ao número de pagamentos. Série uniforme de pagamentos postecipadas Atenção!!! A taxa (i) deve ser unitária, ou seja, a taxa centesimal (%) dividida por 100. n e i devem estar sempre expressos na mesma unidade de tempo. As séries uniformes de pagamentos postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; Esse sistema é também denominado sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0+n). Os pagamentos ou recebimentos podem ser chamados prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento. Dada a prestação (PMT), achar o Valor Presente (PV)... Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor de um pagmento ou a prestação (PMT), será possível alcular o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, por meio da seguinte fórmula: Exemplo prático Calcular o valor de um financiamento a ser quitado mediante seis pagamentos mensais de R$1.500,00, com vencimento da primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação. n = 6 meses I = 3,5% a.m. PMT: R$1.500,00 L Usando nosso conhecimento na HP12C, podemos resolver: f FIN ou f REG 1.500 CHS PMT N 3,5 I PV 7.992,93 Dado Valor Presente (PV), achar a prestação PMT Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula: Exemplo: Um produto é comercializado a vista por R$500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar o valor em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando a taxa juros cobrada de 5% ao mês? Dado Valor Futuro (FV), achar a prestação (PMT) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula: Exemplo Determinar o valor dos depósitos mensais que, aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 07 meses, produz um montante de $5.000,00, pelo regime de juros compostos. Dado Valor Presente (PV), calcular o prazo (n) Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de VP, PMT e i.; Exemplo prático Um produto é comercializado por R$1.750,00. outra saída seria financiar esse produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$175,81; considerando, que o comprador escolha a segunda alternativa, determiner o número de prestações desse financiamento. Dado Valor Futuro (FV), calcular o prazo (n) Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de FV, PMT e i.; Exemplo prático Um poupador deposita R$150,00 por mês em sua caderneta de poupança. Após um determiando tempo, ele observou que o saldo do conta era de R$30.032,62. considerando uma taxa de media de poupança de 0,8% ao mês, determine a quantidade de depóstios efetuados por esse poupador. Cálculo da taxa (i) - Por isso utilizamos o método de tentativa e erro para acharmos a taxa estimada (, a partir da seguinte fórmula: Para acharmos uma taxa de juros em uma série uniforme de pagamentos postecipada ou antecipada não poderá ser encontrada por meio de uma fórmula resolutiva básica, já pela HP-12C ou Excel, não se tem maiores problemas. Exemplo prático Um automóvel é comercializado por R$17.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser financiado em 36 parcelas mensais de R$1.075,73, determiner a taxa de juros da operação. 0,0476667 ou 4,77% a.m. - - = Calculando a Taxa Estimada = = = = Tomando – se como base a Taxa Estimada de 4,77%, pelo processo de tentative e erro, deve-se encontrar uma taxa estimada que faça o fator de valor atual do 2° membro ser igual ao do 1° termo da equação, ou seja, 16,546852 = Calculando a Taxa Estimada = 5% = = =16,546852 = Na HP-12C: F FIN ou REG 17.800 CHS PV 1.075,73 PMT n i Dada prestação (PMT), calcular o Valor futuro (FV) Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento das prestações (PMT) d uma série uniforme de pagamentos, será possível calcular o valor futuro (FV): Exemplo prático Uma pessoa realiza depósito mensais no valor de R$100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de 30 anos, qual será o valor acumulado desse perídodo? SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS ANTECIPADAS Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos. No entanto, segundo Sobrinho (1986), as equações para encontrar os valores do PV, PMT e FV, possuem um pequena diferença em relação as séries postecipadas. Elas apresentam (1+i), ou seja, parte é paga na data zero. Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Presente (PV) Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor de um pagmentoou a prestação (PMT), será possível alcular o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, por meio da seguinte fórmula: Exemplo prático Uma mercadoria é comercializada em 04 pagamentos iguais de R$185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e que um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço a vista dessa mercadoria. Atenção!!! Par efetuarmos os cálculos na HP12C de uma série de pagamentos antecipada será necessário introduzir no visor da calculadora a função “ BEGIN ”, que é obtida pela sequencia de teclas: g BEG. RESOLUÇÃO HP12C: f FIN ou f REG G BEG 185,00 CHS PMT 5 i N PV Dado Valor Presente (PV), achar a prestação PMT Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) de uma série de pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT), por meio da seguinte fórmula: Exemplo: Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal desse financiamento. R$ 683,62 Dado Valor Presente (PV), calcular o prazo (n) Utiliza-se a seguinte fórmula de cálculo de n pagamentos, periódicos, iguais e postecipados, por meio do logaritmo natural (ln) ou neperiano, informados os valores de VP, PMT e i.; Exemplo prático Um produto custa, à vista, R$1.500,000, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, devendo ser a primeira prestação paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, determine qual é a quantidade de prstações desse financiamento. Dada prestação (PMT), calcular o Valor futuro (FV) Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento das prestações (PMT) d uma série uniforme de pagamentos, será possível calcular o valor futuro (FV): Exemplo prático Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$37.500,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança, com depósitos mensais de R$500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em media, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o nosso amigo poupador vai conseguir acumular valor de que precisa? * (1+0,008) Dado Valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT) Sendo informados os valores de uma taxa (i), um prazo (n) e o valor futuro (FV), será possível calcular o valor do pagamento das prestações (PMT) de uma série uniforme de pagamento antecipada pela seguinte fórmula: Exemplo prático Considere o nosso poupador do exemplo anterior (depositando R$500,00 na data de hoje, resgatará, ao final de 05 anos, mais de R$37.500,00). Levando em conta, a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, qual deverá ser o valor dos depósitos para que o nosso poupador consiga acumular EXATAMENTE o valor de R$37.500,00? Cálculo da taxa (i) Para acharmos uma taxa de juros em uma série uniforme de pagamentos antecipada devemos proceder da mesma forma que que para o cálculo da série postecipada, ou seja, tentativa e erro. Porém partimos de uma fórmula inicial para o cálculo: = * (1+i) Exemplo prático Uma pessoa deposita mensalmente em conta poupança a importância de R$250,00. Após 5 meses, verificou-se que o saldo da conta era de R$1.288,00. Qual é a taxa media dessa caderneta de poupança? = * (1+i) = * (1+i) = * (1+i) VAMOS INICIAR O PROCESSO DE TENTATIVA E ERRO COM UMA TAXA DE 0,5%: = * (1+0,005) = = * (1+i) = * (1,005) = * (1,005) A TAXA DE 0,5% NÃO SATISFAZ A IGUALDADE. VAMOS TESTAR CONSIDERANDO UMA TAXA DE 1%: = * (1+0,01) = = * (1,01) = * (1,01) image9.png image10.png image11.png image12.png image1.png image2.png image3.png image4.png image5.png image6.png image7.png image8.png image13.png image14.jpeg image15.png image16.jpeg image17.jpeg image18.png image19.png image20.png image21.png image22.png image30.png image31.png image32.png image33.png image23.png image24.png image25.png image26.png image27.png image28.png image29.png image34.png image35.png image36.png image37.png image38.jpeg image39.png image40.png image41.png image42.png image43.png image44.png image45.png image46.png image47.png image48.png image49.png image50.png image51.png image52.png image53.png image54.png image55.png image550.png image56.png image57.png image58.png image59.png image60.png image61.png image62.png image63.png image64.png image65.png image66.png image67.png image590.png image600.png image672.png image620.png image671.png image68.png image69.png image70.png image670.png image71.png image690.png image72.png image710.png image720.png image73.png image74.png image75.png image76.png image77.png image78.png image79.png image80.png image81.png image82.png image83.png image84.png image85.png image86.png image94.png image95.png image87.png image88.png image89.png image90.png image91.png image92.png image93.png
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