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Estatísticas de ordem
Para uma lista de dados
x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn ;
(usualmente) denota-se
y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
a sua versão ordenada (crescente).
Exemplo simples:
(xi)i=1,...,n =
( 6,5 ; 5,5 ; 5,8 ; 7,1 ; 6,3 ; 6,8 ; 6,1 )
(yi)i=1,...,n =
( 5,5 ; 5,8 ; 6,1 ; 6,3 ; 6,5 ; 6,8 ; 7,1 )
Para uma lista de dados
x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn ;
(usualmente) denota-se
y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
a sua versão ordenada (crescente).
Isto é, (xi)i=1,...n e (yi)i=1,...n
representam mesmos dados
(mesmas ocorrências de uma mesma variável),
mas na segunda lista têm-se
y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ . . . ≤ yn
Para uma lista de dados
x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn ;
(usualmente) denota-se
y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
a sua versão ordenada (crescente).
Os valores (yi)i=1,...n são chamados
�estatísticas de ordem�
da lista original (xi)i=1,...n
Exemplo
Dados:
x1 ; x2 ; . . . ; xn↓
73 ; 61 ; 66 ; 71 ; 79 ; 73 ; 82 ; 66 ; 65 ; 66
Estatísticas de ordem:
y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;↓
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
Exemplo
Dados:
(xi)i=1,...,n =
( 6,3 ; −2,7 ; 9,1 ; 5,4 ; −8,0 ; 6,2 ; 8,9 ; 3,5 ; −4,1 )
Estatísticas de ordem:
(yi)i=1,...,n =
( −8,0 ; −4,1 ; −2,7 ; 3,5 ; 5,4 ; 6,2 ; 6,3 ; 8,9 ; 9,1 )
Quantis em
listas de dados amostrais
123 ; 110 ; 95 ; 153 ; 106 ; 118 ; 125 ; 94 ;
140 ; 96 ; 112 ; 128 ; 98 ; 114 ; 102 ; 99 ;
137 ; 100 ; 116 ; 120 ; 130 ; 124 ; 146 ; 108 ;
127 ; 103 ; 150 ; 132 ; 93 ; 143 ; 97 ; 122 ;
Q
1�4 Q
2�4
Q
3�4
25% dos
pontos
25% dos
pontos
25% dos
pontos
25% dos
pontos
Qp
( 0 < p < 1 )
sub-índice p representando uma
fração/proporção
Notação:
Q(p) ou Qp
�quantil de ordem p � dos dados...
uma estimativa do
�quantil de ordem p � da distribuição
que gerou os dados
Cálculo de Quantis:
A seguir: Roteiro para calcular um
quantil ...
Roteiro: A partir de dados amostrais x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn ; ...
▶ obter a versão ordenada y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
▶ calcular a �posição virtual� w =
(
np + 1
2
)
;
▶ se a �posição� estiver fora de [ 1 ; n [
usar extremos y1 (se abaixo) ou yn (se acima);
▶ se �posição� estiver dentro de [ 1 ; n [
separar parte inteira i e parte fracionária h ;
e calcular a interpolação yi + h × (yi+1 − yi)
Exemplo
Considere a seguinte lista de dados amostrais
73 ; 61 ; 66 ; 71 ; 79 ; 73 ; 82 ; 66 ; 65 ; 66
Calcular os seguintes quantis
Q5/8
Q21/25
Q3/4
Q1/50
Q97/100
Calculando Q5/8 ...
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
�posição� 10× 5/8 + 1
2
= 6,75
parte inteira i = 6 ; parte fracionária h = 0,75 ;
y6 + 0,75 (y7 − y6) = 71+ 0,75× (73− 71)
Q5/8 = 72,5
Calculando Q21/25 ...
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
�posição� 10× 21/25 + 1
2
= 8,9
parte inteira i = 8 ; parte fracionária h = 0,9 ;
y8 + 0,9 (y9 − y8) = 73+ 0,9× (79− 73)
Q21/25 = 78,4
Calculando Q3/4 ...
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
�posição� 10× 3/4 + 1
2
= 8,0
parte inteira i = 8 ; parte fracionária h = 0,0 ;
y8 + 0,0 (y9 − y8) = 73+ 0,0× (79− 73)
Q3/4 = 73
Calculando Q1/50 ...
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
�posição� 10× 1/50 + 1
2
= 0,7
�posição� abaixo do intervalo [ 1 ; 10 [ ;
tomar y1 como resultado
Q1/50 = 61
Calculando Q97/100 ...
1o passo:
61 ; 65 ; 66 ; 66 ; 66 ; 71 ; 73 ; 73 ; 79 ; 82
2o passo:
�posição� 10× 97/100 + 1
2
= 10,2
�posição� acima do intervalo [ 1 ; 10 [ ;
tomar y10 como resultado
Q97/100 = 82
7,9 ; 9,4 ; 7,0 ; 7,9 ; 9,4 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,7 ; 7,8 ; 7,5 ; 8,4 ; 9,9 ; 8,9 ; 9,5 ; 7,6 ;
Calcular Q 17
25
H quantil de ordem 0,68 da amostra L
7,0 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,5 ; 7,6 ; 7,7 ; 7,8 ; 7,9 ; 7,9 ; 8,4 ; 8,9 ; 9,4 ; 9,4 ; 9,5 ; 9,9 ;
posição 16´ 0,68 + 0,5 = 11,38
parte inteira 11 ; parte fracionária 0,38 ;
y11 + 0,38 H y12 - y11 L = 8,59
7,9 ; 9,4 ; 7,0 ; 7,9 ; 9,4 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,7 ; 7,8 ; 7,5 ; 8,4 ; 9,9 ; 8,9 ; 9,5 ; 7,6 ;
Calcular Q 23
40
H quantil de ordem 0,575 da amostra L
7,0 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,3 ; 7,5 ; 7,6 ; 7,7 ; 7,8 ; 7,9 ; 7,9 ; 8,4 ; 8,9 ; 9,4 ; 9,4 ; 9,5 ; 9,9 ;
posição 16´ 0,575 + 0,5 = 9,7
parte inteira 9 ; parte fracionária 0,7 ;
y9 + 0,7 H y10 - y9 L = 7,9
7,2 ; 7,8 ; 6,3 ; 5,8 ; 9,3 ; 1,6 ; 9,3 ; 6,2 ; 6,7 ; 7,2 ;
9,4 ; 1,0 ; 4,2 ; 6,5 ; 7,8 ; 9,0 ; 5,9 ; 2,0 ; 2,2 ; 3,2 ;
Calcular Q 26
32
H quantil de ordem 0,8125 da amostra L
1,0 ; 1,6 ; 2,0 ; 2,2 ; 3,2 ; 4,2 ; 5,8 ; 5,9 ; 6,2 ; 6,3 ;
6,5 ; 6,7 ; 7,2 ; 7,2 ; 7,8 ; 7,8 ; 9,0 ; 9,3 ; 9,3 ; 9,4 ;
posição 20´ 0,8125 + 0,5 = 16,75
parte inteira 16 ; parte fracionária 0,75 ;
y16 + 0,75 H y17 - y16 L = 8,7
7,2 ; 7,8 ; 6,3 ; 5,8 ; 9,3 ; 1,6 ; 9,3 ; 6,2 ; 6,7 ; 7,2 ;
9,4 ; 1,0 ; 4,2 ; 6,5 ; 7,8 ; 9,0 ; 5,9 ; 2,0 ; 2,2 ; 3,2 ;
Calcular Q 4
10
H quantil de ordem 0,4 da amostra L
1,0 ; 1,6 ; 2,0 ; 2,2 ; 3,2 ; 4,2 ; 5,8 ; 5,9 ; 6,2 ; 6,3 ;
6,5 ; 6,7 ; 7,2 ; 7,2 ; 7,8 ; 7,8 ; 9,0 ; 9,3 ; 9,3 ; 9,4 ;
posição 20´ 0,4 + 0,5 = 8,5
parte inteira 8 ; parte fracionária 0,5 ;
y8 + 0,5 H y9 - y8 L = 6,05