Matematica aplica ao geoprocessamento

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Geoprocessamento
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
matemática 
aplicada ao
Indaial – 2023
1a Edição
Impresso por:
Elaboração:
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
Copyright © UNIASSELVI 2023
 Revisão, Diagramação e Produção:
Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI.
Núcleo de Educação a Distância. CARVALHO, Cibelle Machadi.
Matemática Aplicada ao Geoprocessamento. Cibelle Machadi Carvalho. 
Indaial - SC: Arqué, 2022.
263p.
ISBN 978-65-5466-215-4
ISBN Digital 978-65-5466-213-0
“Graduação - EaD”.
1. Coordenadas 2. Espaço 3. Conjunto 
CDD 510
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Caro aluno, seja bem-vindo à Disciplina de Matemática aplicada ao geoprocessa-
mento. Sabemos que a sociedade vive uma realidade com diversas tecnologias. Dentro 
desse contexto que revoluciona o dia a dia das pessoas, o geoprocessamento não é 
diferente, já que também necessita de elementos matemáticos para as construções 
dessas informações.
As técnicas matemáticas são primordiais para o tratamento de informação 
geográfica, em que a linguagem matemática é a base para o desenvolvimento dos recursos 
de modelagem em geoprocessamento. Vale destacar que os modelos espaciais ou modelos 
de sistemas são descrições matemáticas de processos complexos que interagem entre si, 
ou seja, enfatizando as interações entre todos os componentes do sistema.
Um exemplo disso são os Sistemas de Posicionamento Global (GPS) que 
utilizamos no nosso dia a dia. Esse sistema via satélite facilita a navegação, localização 
e o reconhecimento de qualquer lugar do planeta Terra. Esse método é utilizado 
cientificamente para a coleta de dados com precisão de horário em microssegundos de 
quando a amostra foi obtida. Um outro exemplo para a modelagem hidrológica é que 
necessitamos de dados diários de precipitação, vazão, localização da bacia hidrográfica, 
a fim de desenvolvermos os balanços hídricos. Esse processo facilita o conhecimento da 
quantidade de água que cada bacia hidrográfica tem para fins de licenciamento e outorga 
(licença do uso da água) de indústrias e agronegócio, visto que a legislação retrata a água 
como bem público e há a necessidade de gestão hídrica para todos da população.
No geoprocessamento, para compreender os dados históricos dos fenômenos, 
é utilizada a série temporal, que nada mais é do que o tempo em uma linha de análise, 
ou seja, é encadeada por observações de uma variável no tempo. Com esse processo, 
podemos entender o clima da região, a quantidade de chuva anual em determinada região, 
a média da temperatura em cidades e a previsibilidade de chuvas em regiões de seca. 
Além disso, podemos desenvolver gestão de riscos em áreas de inundação, 
reconhecendo o padrão das inundações por meio das séries temporais. Vale lembrar 
que o uso do geoprocessamento e do sensoriamento remoto no mundo atual torna-se 
imprescindível, considerando que o tempo é marcado pela informação. 
 
Esse processo só é viável devido à Matemática, que é a base das técnicas 
de coleta e referências geográficas. A sociedade atual está cada dia mais ligada aos 
sistemas de informações e às técnicas computacionais. O tempo é marcado pela informação 
e a atualização dos dados para o bom funcionamento. Quer um exemplo disso além 
do GPS? Celulares, carros, aplicativos, Google Maps e Google Earth. 
 
APRESENTAÇÃO
Além disso, tarefas que eram executadas de forma remota e com cálculos feitos à 
mão hoje são feitas pela programação. Podemos estudar a cartografia, desenvolver análises 
ambientais, realizar planejamento urbano, utilizar transportes e comunicação devido ao 
geoprocessamento, que interage com sistemas complexos e executa com rapidez. 
Outra questão que merece breve menção são os modelos empíricos nas 
modelagens, que são probabilidades de ocorrência em dada perspectiva de projeção. 
Em outras palavras, utilizamos modelos matemáticos para descrever uma probabilidade 
de desmatamento, por exemplo.
Dessa forma, nesta disciplina, veremos a Matemática aplicada ao geoprocessa-
mento e entenderemos por que compreendê-la é tão importante para a formação em 
tecnologia em geoprocessamento.
Na primeira unidade, compreenderemos a importância da geometria plana, 
espacial e analítica, bem como suas aplicações para o geoprocessamento. Além disso, 
entenderemos a aplicação dos cálculos vetoriais, retas, planos e curvas para os sistemas 
geoespaciais, com discussões de superfície quadrática e as trigonometrias.
Na sequência, na Unidade 2, estudaremos os sistemas de coordenadas, ou seja, 
levantamento planimétricos, cálculos de área, pontos topográficos, transformações das 
coordenadas geográficas e suas funções.
Para finalizar a disciplina, na Unidade 3, discutiremos a aplicação da Matemática 
na interseção nas ferramentas de geoprocessamento, cálculos de vértices, desvio-
padrão e, por fim, exemplos da Matemática no dia a dia do analista de geoprocessamento! 
Espero que esta disciplina sirva para muitas reflexões e práticas no mundo da 
geoespacialidade!
Bons estudos!
Prof.ª Cibelle Machadi Carvalho
Dra. em Engenharia – UFSM. Pós-doutorado em Modelagem Hidrológica – INPE
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SUMÁRIO
UNIDADE 1 — A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ....... 1
TÓPICO 1 — GEOMETRIA ......................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3
2 GEOMETRIA PLANA ............................................................................................. 5
3 GEOMETRIA ESPACIAL ..................................................................................... 13
4 GEOMETRIA ANALÍTICA .................................................................................... 21
4.1 SISTEMA ANGULARES .......................................................................................................31
RESUMO DO TÓPICO 1 ......................................................................................... 40
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................42
TÓPICO 2 — CÁLCULO VETORIAL ........................................................................45
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................45
2 ÁLGEBRA VETORIAL ..........................................................................................45
3 RETAS, PLANO E CURVAS .................................................................................54
3.1 CURVAS ESPACIAIS ...........................................................................................................57
3.2 SUPERFÍCIE QUADRÁTICA ..............................................................................................58
RESUMO DO TÓPICO 2 .......................................................................................... 61
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................62
TÓPICO 3 — TRIGONOMETRIA ..............................................................................65
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................65
2 CONHECENDO A TRIGONOMETRIA ...................................................................65
3 APLICAÇÃO DA TRIGONOMETRIA .................................................................... 72
LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................................. 75
RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................... 81
AUTOATIVIDADE ...................................................................................................82
REFERÊNCIAS .......................................................................................................85
UNIDADE 2 — SISTEMAS DE COORDENADAS .....................................................87
TÓPICO 1 — LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO ....................................................89
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................89
2 A IMPORTÂNCIA DO LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO ...................................90
3 CÁLCULO DE ÁREAS ..........................................................................................94
4 POLIGONAL ..................................................................................................... 101
4.1 POLIGONAL ENQUADRADA ........................................................................................... 104
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................ 110
AUTOATIVIDADE .................................................................................................. 111
TÓPICO 2 — COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
CARTESIANAS ................................................................................ 113
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 113
2 COORDENADAS CARTESIANAS.......................................................................115
3 SISTEMA MÉTRICO .......................................................................................... 123
3.1 MEDIDAS ........................................................................................................................... 126
3.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE ............................................................................................. 128
3.3 MEDIDAS DE CAPACIDADE ..........................................................................................129
3.4 MEDIDAS DE VOLUME ................................................................................................... 130
3.5 MEDIDAS DE TEMPO ....................................................................................................... 131
4 TRANSPORTE DE COORDENADAS ................................................................. 132
5 CÁLCULO DE COORDENADA PLANIMÉTRICA ............................................... 139
RESUMO DO TÓPICO 2 ........................................................................................144
AUTOATIVIDADE .................................................................................................145
TÓPICO 3 — COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
POLARES .........................................................................................149
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................149
2 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES ........................................................149
LEITURA COMPLEMENTAR ................................................................................ 156
RESUMO DO TÓPICO 3 .........................................................................................161
AUTOATIVIDADE ................................................................................................. 162
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 165
UNIDADE 3 — APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ....... 167
TÓPICO 1 — INTERSEÇÃO ................................................................................... 169
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 169
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................... 170
2.1 NÚMEROS NATURAIS ........................................................................................................171
2.2 NÚMEROS INTEIROS .......................................................................................................171
2.3 NÚMEROS RACIONAIS ....................................................................................................172
2.4 NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................................................173
2.5 NÚMEROS REAIS ..............................................................................................................174
2.6 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................174
3 INTERSECÇÃO DE RETAS ................................................................................ 176
4 VÉRTICES VIRTUAIS ........................................................................................181
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................185
AUTOATIVIDADE .................................................................................................186
TÓPICO 2 — DESVIO PADRÃO .............................................................................189
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................189
2 O QUE É O DESVIO PADRÃO E PARA QUE SERVE?.........................................190
2.1 MEDIDAS DE DISPERSÃO .............................................................................................. 190
2.1.1 Variância .....................................................................................................................192
2.1.2 Desvio padrão ...........................................................................................................197
2.1.3 Coeficiente de variação e amplitude total ........................................................ 201
3 APLICAÇÃO DO DESVIO PADRÃO NA PRÁTICA NO GEOPROCESSAMENTO ...... 205
RESUMO DO TÓPICO 2 ........................................................................................ 212
AUTOATIVIDADE ................................................................................................. 213
TÓPICO 3 — APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MATEMÁTICA NAS FERRAMENTAS 
DE GEOPROCESSAMENTO ............................................................. 215
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 215
2 MATEMÁTICA E O GEOPROCESSAMENTO ..................................................... 216
3 TIPOS DE DADOS GEOESPACIAIS E A MATEMÁTICA..................................... 219
4 IMAGEM DIGITAL .............................................................................................. 219
5 COMPREENDENDO A MATEMÁTICA ENVOLVIDA NO 
GEOPROCESSAMENTO ................................................................................... 221
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................... 223
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................... 229
AUTOATIVIDADE ................................................................................................ 230
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 233
1
UNIDADE 1 — 
A IMPORTÂNCIA DA 
MATEMÁTICA NO 
GEOPROCESSAMENTO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender a importância da geometria plana, espacial e analítica e suas aplicações 
para o geoprocessamento;
• entender a aplicação do cálculo vetorial, retas, planos e curvas para o sistema de 
geoprocessamento;
• discutir o que é uma superfície quadrática e sua aplicação nas ferramentas de 
geoprocessamento;
• analisar a trigonometria e sua aplicação no dia a dia.
 A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – GEOMETRIA 
TÓPICO 2 – CÁLCULO VETORIAL 
TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
2
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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3
GEOMETRIA
TÓPICO 1 — UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO 
A geometria é o pilar que sustenta o desenvolvimento de atividades na área do 
geoprocessamento diariamente, devido à importância de compreender o universo da 
tecnologia da informação (que contém geometria computacional) e sua tridimensionalidade 
para a construção de problemas diversos (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Entretanto, para entendermos a geometria espacial aplicada a um Sistema de 
Informações Geográficas (SIG), por exemplo, precisamos compreender a geometria 
espacial, plana e analítica primeiro. Vale lembrar que sistemas como CAD (Computer 
Aided Design), ou seja, softwares que permitem que desenhos técnicos e modelos 3D 
digitais se tornem realistas, mas entender a geometria é fundamental devido à base 
para suas representações visuais.
A geometria é uma área da matemática que tem por objetivo estudar as formas 
geométricas e entender desde o comprimento, volume, área de uma determinada figura, 
mapa ou desenho. Em outras palavras, geometria é a união dos termos “geo” (terra) e 
“metron” (medir), ou seja, medir a Terra (COUCEIRO, 2016). 
A geometria nada mais é do que estudar as linhas presentes na natureza, bem 
como tamanhos, posições e propriedades dentro de um espaço qualquer. Quando 
analisamos os mapas, precisamos entender o que estamos estudando, e esse processo 
se deve aos pontos, retas, semirretas e formas geométricas.
Quando estudamos geometria, precisamos entender, primeiramente, as concep-
ções geométricas e o conceito de espaço, ou seja, pontos presentes no meio ambiente. 
Dessa forma, quando entendemos a descoberta das figuras, compreendemos que esse 
processo é um conjunto de pontos em um determinado espaço.
Vamos fazer um exercício? Olhe ao seu redor e perceba que tudo tem formas 
geométricas, cubos, quadrados, retas, pontos, círculos e polígonos. Esse processo é 
extremamente importante, visto que, no dia a dia no analista do geoprocessamento, é 
fundamental espacializar os mapas, mostrando as localizações, áreas de abrangência 
de um empreendimento, rios, áreas de preservação permanente, estradas, dentre 
outros. Contudo, deve-se entender não somente a forma, mas também a localização 
e a posição geográfica para que outros profissionais possam entender de forma clara a 
geoespacilidade.
4
Diante disso, estudar o comprimento, área e volume de um dado espaço, ou 
seja, tem por objetivo medir a Terra e/ou objeto. Vale a pena destacar que a geometria 
é dividida em categorias, que pode ser plana, analítica e espacial. A geometria é uma 
ciência que estuda as medidas das formas e figuras, podendo ser plana e/ou espacial, 
além disso, pode ser compreendida como as figuras estão posicionadas por meio do 
espaço e suas propriedades.
Outro aspecto que merece breve menção é que a geometria se refere às 
formas encontradas na natureza e às propriedades que essas formas podem possuir. 
Em outras palavras, são objetos primitivos, como ponto, reta, plano, espaço etc. Assim, 
os objetos não possuem uma definição, mas possibilitam entender a sua identificação 
(BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; NUNES, 2019).
Utilizando esses objetos primitivos, definiu-se as primeiras formas geométricas 
de um plano, que são os ângulos, os polígonos e os segmentos de reta. Assim, podemos 
estimar as distâncias entre dois pontos, construindo inicialmente a geometria espacial, 
por exemplo.
A geometria é responsável pelas figuras geométricas, resultantes das relações 
dos objetos e figuras. Além disso, a geometria é construída por meio de objetos básicos 
a fim de construir objetos mais elaborados. Esse processo decorre das relações desses 
objetos ainda mais complexos e assim sucessivamente. 
Entendemos que a geometria foi organizada pelos gregos a partir de formas 
dedutivas. Esse processo decorreu da necessidade do homem de compreender e 
descrever o seu meio ambiente físico e mental, em que as imagens, representadas por 
desenhos, foram paulatinamente contextualizadas até que se adquirissem significados 
matemáticos com as relações geométricas.
Durante séculos, a geometria foi estudada de forma dedutiva, no entanto, a partir 
de movimentos da matemática moderna, houve avanços, tendo como consequência a 
compreensão da geometria, visando ampliar o entendimento dos aspectos espaciais do 
mundo físico e desenvolver raciocínios espaciais.
Pavanello (2004) afirma que a geometria é um campo que tem por intuito 
desenvolver a capacidade de abstrair, projetar e transcender o que é imediatamente 
sensível, ou seja, o que éum dos objetivos de ensino da Matemática, obtendo, dessa 
forma, condições para os níveis sucessivos de abstração serem alcançados. Por fim, 
discutiremos neste tópico a importância da geometria plana, espacial e analítica e suas 
aplicações para o geoprocessamento e nos sistemas angulares.
Dessa forma, neste tópico, abordaremos o que é geometria plana, espacial, 
analítica e os sistemas angulares. Além disso, estudaremos cálculo vetorial, retas, 
planos, curvas, superfície quadrática e, para finalizar, discutiremos o que é trigonometria 
e suas aplicações.
5
2 GEOMETRIA PLANA
A geometria plana teve início da Grécia antiga, conhecida como geometria 
euclidiana plana. Essa denominação ocorreu devido ao estudioso matemático da área 
chamado de Euclides, de Alexandria, mais conhecido como pai da geometria (LEITE; 
CASTANHEIRA, 2014; COUCEIRO, 2016).
Para compreender a geometria plana, também conhecida como conceitos primiti-
vos, podemos entender que esses conceitos são denominados de ponto, reta, segmento 
de reta, semirreta, ângulo e plano.
A geometria plana é uma área da geometria que estuda os objetos que 
pertencem a um plano. Assim, os elementos primitivos são o foco desse conceito. Mas 
por que iniciarmos os estudos pela geometria plana? Ao analisarmos um mapa ou até 
o Google Maps, entendemos que o ponto, a reta ou a semirreta fazem parte desses 
softwares de localização.
O primeiro conceito da geometria plana é o ponto. Apesar de o ponto não possuir 
uma dimensão matemática, sua representação é conceituada por uma letra maiúscula, 
como na Figura 1 a seguir. Leite e Castanheira (2014) salientam que o ponto é definido 
por uma forma abstrata e não pode ser demonstrada, ou seja, não apresenta dimensões 
significativas, por isso que, matematicamente, utilizamos a letra maiúscula.
Figura 1 – Ponto não possui dimensão
Fonte: a autora 
A reta (Figura 2), ao contrário de um ponto, possui uma dimensão bem definida, 
ou seja, um comprimento. Matematicamente, a reta é definida por linhas infinitas, além 
de ter sua representação por uma letra minúscula. 
 
Vale destacar que a reta deve ser desenhada por setas para os dois lados. Esse 
processo indica que a reta não tem um fim. Dessa forma, a única dimensão significativa 
da reta é o comprimento. Além disso, por não existir uma definição principal, a reta é 
infinita e contém infinitos pontos distribuídos pela extensão da reta.
6
Figura 2 – Reta com dimensões definidas por infinitos pontos
Fonte: a autora 
A reta traz três conceitos importantes. O primeiro é o segmento de reta, 
definido como uma reta, mas delimitada por dois pontos, ou seja, a reta tem início e fim 
(LEITE; CASTANHEIRA, 2014; COUCEIRO, 2016). No geoprocessamento, utilizamos esse 
conceito quando um mapa aparece com retângulos pontilhados que podem representar 
um recorte de área, e essas representações têm diferentes espaços, comprimento e 
tamanho. 
Na Figura 3, a seguir, demonstramos que o segmento de reta tem definido o início 
e o fim por um ponto.
Figura 3 – Segmento de reta é delimitado por dois pontos
Fonte: a autora 
A semirreta é uma reta com começo, porém não tem fim. Em outras palavras, a 
semirreta é infinita em uma das direções (Figura 4).
Figura 4 – Semirreta
Fonte: a autora 
7
Na geometria, também existe o conceito de ângulo, que é utilizado para medir 
o espaço entre duas retas, segmentos de reta e semirretas. O ângulo é importante, pois 
podemos denominar a altura de um determinado prédio ou montanha no mapa. Além disso, 
na área ambiental, dependendo do ângulo do morro, compreendemos sua altura e, assim, 
diagnosticamos como área de preservação de acordo com as normativas brasileiras. 
Figura 5 – Ângulo
Fonte: a autora 
Há também o conceito de plano (Figura 6), que apresenta duas dimensões. O 
plano é representado por letras gregas (α, β, γ etc.). Além disso, o plano é um conjunto 
infinito de retas, e apenas três pontos são suficientes para determiná-lo.
Figura 6 – Plano
Fonte: a autora 
Diante disso, podemos compreender que sabemos muita coisa de geometria. 
Vejamos os seguintes exemplos: duas retas distintas não podem se cruzar em mais 
de um ponto; dois pontos distintos determinam uma reta; a menor distância entre dois 
pontos é uma reta e/ou segmento de reta; por um ponto não pertencente a uma reta 
passa uma única reta paralela a essa reta (BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; NUNES, 2019).
8
Nas afirmações supracitadas, utiliza-se conceitos de reta, ponto que acabamos 
entendendo por intuição. Os matemáticos da Grécia antiga já pensavam nessas questões 
muitos antes de Cristo (a.C.), e essas reflexões constituíram-se em modelos baseados em 
Euclides (COUCEIRO, 2016), que foram distinguidos na seguinte sequência:
• axiomas; 
•	 definições; 
• teoremas.
No entanto, na era moderna foi acrescentado mais uma sequência, denominado 
de elementos primitivos, que ficou assim definida:
• elementos primitivos; 
• axiomas; 
•	 definições; 
• teoremas.
Para podermos entender com melhor precisão, discutiremos as ideias de 
maneira intuitiva. Os elementos primitivos são coisas que não definimos. Declara-se 
que sua existência deve obedecer a certas leis, a qual chamamos de axiomas (noções 
indemonstráveis da geometria). Dessa forma, dentro de uma lógica matemática, resulta-se 
no que denominamos de teoremas. Na geometria plana, os elementos primitivos são os 
pontos, retas e planos. Vale destacar que o plano e a reta são conjuntos de pontos, e as 
retas, subconjuntos do plano.
Dessa forma, o plano é o conjunto universo, visto que nenhum elemento fora do 
plano é admitido, já que estamos falamos de geometria plana (BOURCHTEIN; BOURCHTEIN; 
NUNES, 2019). A Figura 7, por si só, é um subconjunto de pontos do plano. Por exemplo, 
as retas são as figuras dos planos (ângulos, polígonos e circunferências).
Agora, veremos as principais figuras e fórmulas para se calcular a geometria 
plana. O triângulo, um polígono de três lados, é uma figura que ocupa espaço limitado 
por três segmentos de reta com três lados e três ângulos que somam 180o. Por possuir 
três pontos, denomina-se de vértice. Para se calcular a área do triângulo, é necessário 
multiplicar a medida da base com a altura (h) e dividir por dois, como no exemplo a seguir.
9
Figura 7 – Triângulo
Fonte: a autora 
Em que:
h= altura;
b= base;
A= área.
A classificação dos triângulos quanto aos lados pode ser: equilátero, ou seja, 
possuir três lados e ângulos iguais; isósceles, que possui dois lados iguais (o terceiro 
lado é chamado de base); e o escaleno, que não possui nenhum lado e ângulo igual.
Mas como utilizamos isso no dia a dia do geoprocessamento? Por exemplo, com as 
representações geométricas, em diversas ocasiões há diferentes escalas em um mesmo 
banco de dados geográficos, ou seja, pode-se ter representações diferentes com a mesma 
realidade e escala geográfica. Quer um exemplo na prática? Diferentes mapas podem ter 
escalas diferentes, ou seja, mesmo geo-objeto com duas representações.
Dando continuidade, há também a circunferência, que é um conjunto de todos 
os pontos que estão em exata distância de um ponto dado do mesmo plano. A área do 
círculo ou circunferência de raio é o r e é dado pelo produto do raio ao quadrado com o 
número irracional π, em que geralmente utiliza-se o valor π = 3,14.
Figura 8 – Circunferência
Fonte: a autora 
10
Em que:
A= área;
π = 3,14;
r = raio.
No geoprocessamento, em diversas situações precisamos compreender as áreas 
do empreendimento e utilizamos os cálculos de circunferência para entender a área ao 
redor da localização. Vale lembrar que a circunferência tem elementos que merecem 
breve menção, como a corda, que é qualquer segmento interno à circunferência com 
extremidades de dois pontos pertencentes a ela. Na Figura 9, a seguir, percebe-se que 
AB e MN são cordas da circunferência.
Pode-se notar que o diâmetro é a corda da circunferência que contém o centrodo círculo, sendo a maior corda. Na Figura 9, nota-se que AB representa um diâmetro 
da circunferência. Já o raio é qualquer segmento que se possa ligar ao centro da 
circunferência a um ponto qualquer. Na Figura 10, vemos que o ponto PQ gera um raio, 
metade do diâmetro (D= 2.R). Por fim, o arco é uma parte da circunferência definida 
como um ângulo central, determinado por dois pontos (Figura 11).
Figura 9 – Corda e diâmetro 
Fonte: a autora 
Figura 10 – Raio
Fonte: a autora 
11
Figura 11 – Arco
Fonte: a autora 
O quadrado (Figura 12) nada mais é que todos os lados iguais. Dessa forma, para 
se calcular a área, é necessário multiplicar a medida da base pela medida da altura. 
Figura 12 – Quadrado
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
b = base;
h = altura.
O retângulo é dado pela multiplicação da base pela altura. 
12
Figura 13 – Retângulo
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
b = base;
h = altura.
O losango é uma área da diagonal maior (D), com a diagonal menor (d), dividido 
por dois. Vale lembrar que, no losango, a disposição dos lados é igual, com diagonais 
perpendiculares. No entanto, os lados não paralelos não são perpendiculares entre si.
Figura 14 – Losango
Fonte: a autora 
Em que:
A= área;
D= diagonal maior;
d= diagonal menor.
Para finalizar as figuras geométricas planas, temos o trapézio. A área do trapézio 
é a altura com a soma da base maior (B) vezes a base menor (b), dividida por dois, de 
acordo com a Figura 15, a seguir.
13
Figura 15 – Trapézio
Fonte: a autora 
Em que: 
s = área do trapézio;
B = base maior;
b = base menor; 
h = altura.
3 GEOMETRIA ESPACIAL 
No Egito, a geometria era estudada para medir terrenos e os construtores 
da época recorriam a ela para a construção de edificações. Em 600 a.C., filósofos e 
matemáticos passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos no que antes era 
puramente experimental, introduzindo conceitos e raciocínios dedutivos.
Euclides desenvolveu treze volumes, chamados de elementos. O autor os 
ordenou de forma e ordem lógica e trabalhou a fundo nas propriedades das figuras 
geométricas, áreas e volumes (DANTE, 2000). Para Euclides a geometria era puramente 
dedutiva, com hipóteses básicas denominadas de axiomas ou postulados. Vale destacar 
que Euclides era um dos mais jovens discentes de Platão, estudando em Atenas, onde 
a grande maioria dos estudiosos da época estava.
Dessa forma, os elementos tornaram-se um clássico, considerados até hoje 
como um texto básico para a geometria. Essa obra logo superou e aperfeiçoou todos 
os teoremas da época, montando demonstrações sólidas. Assim, a geometria é uma 
manifestação que surgiu da necessidade prática do uso, espaço e utilização das formas 
e para que houvesse riqueza e variedade em diferentes atividades. Diante disso, o 
conhecimento prático para sistematizar conceitos formais foi criando modelos, figuras 
e formas geométricas, além da busca incessante para entender as formas espaciais.
14
Atualmente, diversos profissionais usam os conceitos geométricos, entre eles 
o analista de geoprocessamento, os engenheiros, os arquitetos, os pesquisadores, as 
costureiras e o mestre de obras, demonstrando a inquestionabilidade do ponto de vista 
prático.
Até quando somos crianças necessitamos pensar e elaborar a geometria para 
solucionar problemas, como criar brinquedos, pintar ou montar um equipamento. Apesar 
dos grandes avanços tecnológicos, a geometria é um componente essencial para a 
construção do conhecimento científico e tecnológico, nos quais a sociedade deve se 
aprofundar.
Verona e Lopes (2016) salientam que a geometria espacial é uma ciência que 
objetiva analisar, organizar e sistematizar o conhecimento espacial. Assim, a geometria 
faz que possamos adquirir hábitos de raciocinar. Em outras palavras, o conhecimento da 
Matemática é necessário para poder conquistar o conhecimento tecnológico, incluindo 
suas complexas técnicas. 
As ideias e os princípios básicos do conhecimento da geometria espacial são 
imprescindíveis, visto que a Matemática e a compreensão dos seus conceitos fazem 
com que os seres humanos raciocinem claramente e comuniquem a ideia, para que, 
assim, possam aplicá-la e abordá-la com segurança.
A geometria espacial aplica-se à vida diária e dá suporte a distintas áreas, como 
construções dos conhecimentos científicos e tecnológicos e interfere na estrutura do 
pensamento (VERONA; LOPES, 2016). Mas como compreender a geometria espacial? 
Primeiramente, é fundamental entender que a geometria é baseada na construção e 
interpretação das propriedades dos objetos geométricos e a solução está em observar 
e compreender as relações e criar uma demonstração formal da validade do resultado.
A geometria espacial numa perspectiva contextualizada enfatiza a relação do 
espaço e a geometria percebida. O desenvolvimento da noção de espaço é a percepção 
espacial e a habilidade de orientar-se no espaço, coordenar diferentes ângulos na 
observação. Diante disso, essas habilidades contribuem para que os seres humanos 
tenham maior grau de conhecimento em atividades como bioquímica, cirurgia, escultura, 
arquitetura, decoração etc.
Neste subtópico, estudaremos as figuras reais, diferentes da geometria plana, que 
apenas é trabalhada duas dimensões. Para entendermos melhor a geometria espacial, 
precisamos entender que o geoprocessamento é um conjunto de ferramentas que exibe 
dados espaciais do mundo real para um conjunto particular de propósitos (BURROUGH; 
MCDONNELL, 1998). 
15
Logicamente, o sistema de informação geográfica evoluiu e os mapas que até 
então era denominados de mapas elementares, com avanços da tecnologia também 
houve avanços do geoprocessamento. Assim, os computadores começaram a medir 
as dimensões e limitavam as organizações, com refinamento de técnicas e análises 
quantitativas espaciais de forma rápida. 
Dessa forma, a geometria espacial considera as três dimensões das figuras. As 
medidas de comprimento e área são analisadas juntamente com as laterais das figuras, 
além da área total, área de base e volume (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). A geometria 
espacial é a análise dos sólidos em um determinado espaço, sendo a geometria para figuras 
e objetos tridimensionais. Contudo, com base nos elementos primitivos e construções 
geométricas, foi construída a geometria espacial, que tem por objetivo considerar o 
cálculo da área total e volume dos objetos.
Vale destacar que, com esses conceitos bases, pode-se desenvolver estudos 
qualitativos no geoprocessamento, como distribuição espacial de problemas como 
doenças em forma de um padrão em determinado espaço ou concentração espacial de 
roubo, poluição, contágios ou variações de características socioeconômicas, ou até a 
estimação de depósito de mineral em uma determinada área.
As três dimensões da geometria espacial são: a largura, a altura e o comprimento 
e pode também utilizar, largura, profundidade e comprimento. Os objetos conhecidos 
na geometria espacial são denominados de sólidos geométricos ou figuras geométricas 
espaciais. As mais conhecidas são prisma, cubo, paralelepípedo, pirâmide, cone, cilindro 
e esfera.
Com isso, a geometria espacial possibilita determinar, por meio de cálculos 
matemáticos, os volumes dos objetos (espaço ocupado). Os sólidos geométricos são 
classificados como poliedros, que são sólidos fechados que possuem faces poligonais. 
 
No geoprocessamento, em diversas situações são realizadas sobreposições de 
dados. Dessa forma, as faces poligonais são importantes, visto que os dados podem 
estar agrupados em um único elemento ou agrupados por polígonos. Um corpo de água 
ou área urbana podem estar em polígonos diferentes e serem sobrepostos para estudos de 
análise ambiental, ou seja, sobreposições de mapas. Por isso, é importante estudar o 
tamanho das figuras geométricas.
Assim, os poliedros são compostos de vértices, arestas e faces. Exemplos típicos 
são os prismas, pirâmides e os sólidos de Platão (cubo, dodecaedro e tetraedro),de acordo 
com a figura 16.
16
Figura 16 – Os elementos de um poliedro são as arestas, as faces e os vértices
Fonte: a autora 
Vale destacar que a aresta é o segmento da reta que liga duas vértices de um 
poliedro. A vértice é o encontro de uma ou mais arestas, denominado de pontos (A, B, C, 
D, E, F, G, H) e a face de um poliedro são os polígonos que compõem o sólido. A Figura 
17 demonstra o que é poliedro, vértice e aresta.
Figura 17 – Poliedro, vértice e face
Fonte: a autora 
O matemático Euler entendeu que, com a relação entre os números de vértices, 
faces e arestas, é possível descobrir a quantidade de arestas de um sólido, com o 
número de faces e vértices, com base na seguinte equação: 
V — A + f = d
Sendo:
v = vértices;
A = arestas;
f = faces;
d = quantidade de arestas do sólido.
Além disso, na geometria espacial, as principais fórmulas são utilizadas para 
cálculos da área total (At) e volume (V) de cada sólido, como veremos a seguir, na Figura 18.
17
Em que o cubo de aresta a, é igual: Paralelepípedo de dimensões a, b, c. 
Sendo:
V = volume do sólido;
At = área total;
a = aresta.
Figura 18 – Cubo
Fonte: a autora 
Vale destacar que o volume e a área total do prisma (Figura 19) e da pirâmide 
(Figura 20) dependem do polígono que está na base de cada sólido. Dessa forma, 
utilizamos Ab: área da base, e Ai: área lateral.
Figura 19 – Prismas de base triangular e hexagonal
Fonte: a autora 
18
Fórmula:
V = Ab . h
At = 2Ab + Ai
Sendo:
V = volume;
Ab = área da base;
Ai = área da lateral;
h = altura.
A base do prisma pode ser diferente em diversas situações. Dessa forma, o 
volume depende da área da base. Para as pirâmides (Figura 20), assim como os prismas, 
depende-se da base para conhecer o volume. 
Figura 20 – Pirâmides de base quadrada e pentagonal
Fonte: a autora 
Fórmula:
At = Ab + Al
Em que:
At = área total;
Ab = área da base;
Ai = área da lateral.
O cálculo do volume do cilindro é a altura e o raio da circunferência, de acordo 
com a Figura a seguir.
19
Figura 21 – Cilindro
Fonte: a autora 
Fórmula:
V = πr2 . h
At = 2πr (r+h)
Sendo: 
V = volume;
π = 3,14;
r = raio;
h = altura.
O cálculo do volume do cone considera o raio e a altura, de acordo com a fórmula 
da figura a seguir.
Figura 22 – Cone
Fonte: a autora 
20
Fórmula:
At = πr (g + r)
Sendo:
At = área total;
π = 3,14;
r = raio;
h = altura;
g = hipotenusa do triângulo.
A esfera teoricamente é definida como uma sequência de pontos alinhados 
no mesmo sentido, como uma distância de um centro em comum. Por ser um sólido 
geométrico formado por superfície de curvas, os pontos acabam ficando equidistantes. 
A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:
Figura 23 – Esfera
Fonte: a autora 
Fórmula:
At = 4 πr2
Sendo:
At = área total;
π = 3,14;
r = raio.
21
Por fim, podemos compreender que a geometria espacial é realizada por meio 
de três dimensões, que denominamos de espaço. Os sólidos geométricos têm por intuito 
conhecer a largura, o comprimento e a altura. O que, na geometria plana, conhecíamos 
como círculo, agora passa para a tridimensionalidade e denominamos de esfera. Vale 
lembrar que, na geometria espacial, não falamos em perímetros, mas de uma área total 
do sólido e sua capacidade (volume). 
4 GEOMETRIA ANALÍTICA
A geometria analítica tem como objetivo representar elementos geométricos. 
Quando estudamos pontos, retas, quadrados e circunferências, podemos utilizar expres-
sões, que denominamos de “expressões algébricas”. 
A lógica é simples: a união dos pontos segue determinado padrão, porém 
esses pontos estão em um sistema de coordenadas proposto por René Descartes. No 
geoprocessamento, não é muito diferente, visto que necessitamos das coordenadas para 
determinar uma localização. Rene Descartes, além de ser o criador do plano cartesiano, 
foi o filósofo moderno conhecido pela famosa frase “penso, logo existo”. Além disso, 
estava preocupado em calcular a localização de um ponto em um determinado espaço.
Dessa forma, a geometria analítica apresenta um plano cartesiano, que nada 
mais é que um plano com coordenadas do eixo X e Y, o qual tem por objetivo descrever 
objetos geométricos utilizando o sistema de coordenadas. Ao conhecermos os pontos e 
eixos reais, podemos localizar o ponto e calcular a distância de um ponto a outro. Esse 
processo é o princípio para entender o sistema de coordenadas georreferenciadas.
Mas por que estudar geometria analítica? Para entender o objetivo e a figura ge-
ométrica que estão em um espaço e, assim, representados geometricamente por meio de 
uma fórmula algébrica, ou seja, estudar o ponto e a reta analítica.
René, para facilitar a localização dos pontos, deixou o gráfico mais preciso 
e dividiu o gráfico com eixos X e Y por malhas e em quatro diferentes quadrantes. 
Atualmente, no geoprocessamento, utilizamos demasiadamente as malhas. O IBGE 
libera as malhas dos municípios, estados e do país, que são mapas com divisões políticas 
administrativas com a representação vetorial dos limites, em que se utiliza a coleta de 
censos demográficos. Vale lembrar que essas malhas são utilizadas em diversas áreas 
para diversos fins, como drenagem, bacia hidrográfica, lagoa, flora, biomas etc.
É extremamente importante discutir malhas, pois é um dos principais assuntos 
do geoprocessamento, visto que é fundamental construir pontos e localizações a fim de 
que a topografia local seja preservada para os mapas reais.
22
Na prática, podemos entender que o plano cartesiano pode ser a Terra, e o Meridia-
no de Greenwich, a linha do Equador, o X. Assim, podemos calcular as coordenadas em 
uma distância de um local conhecido. Quando estudamos Geografia, em que marcamos 
pontos no mapa, medimos a distância e consideramos padrões reais, entendemos que 
estamos estudando geometria analítica.
O cartógrafo holandês Gerard Mercator desenvolveu, em 1569, uma projeção 
cartográfica cilíndrica, que se tornou o mapa preferido dos navegantes, devido ao fato 
de as direções serem desenhadas em linhas retas sobre o mapa, ou seja, a projeção da 
Terra em um plano. Dessa forma, na projeção de Mercator, paralelos e meridianos são 
representados por linhas retas que se cruzam, formando um ângulo de 900, processo 
que demonstra a geometria na prática.
De forma prática, com a base quadriculada e a utilização de coordenadas, 
podemos entender a localização de um barco, por exemplo, e a distância que ele irá 
percorrer. Além disso, podemos entender a menor distância, formando a hipotenusa, 
triângulo retângulo, ou seja, desenvolver estratégias a partir de um plano cartesiano e 
o domínio da álgebra.
Você quer outro exemplo? O Global Positioning System (GPS) utiliza as bases 
da geometria analítica. Vamos tentar entender como esse dispositivo funciona? 
Primeiramente, a Terra é uma esfera achatada nos dois polos. Dessa forma, ao se colocar a 
esfera achatada (ambos os lados) e colocar em um plano tridimensional, temos como 
origem o plano ponto (0,0) e isso será o centro da Terra. Os eixos X e Y formam os planos 
que conhecemos como linha do Equador.
Além disso, a geometria analítica é um dos princípios da computação gráfica e, 
devido aos conceitos básicos, é possível criar, editar imagens e desenvolver figuras e 
objetos tridimensionais por meio de programas de modelagem 3D.
Por exemplo, em impressoras 3D, é fundamental compreender a geometria 
analítica, pois o objeto tem três dimensões. Outro exemplo é a construção civil, em que a 
noção de vetores, pontos e coordenadas é fundamental, já que precisa encontrar largura, 
altura e comprimento das estruturas. Isso evita desastres e riscos nas construções e 
canteiros de obras.
Logicamente, as disciplinas se sobrepõem, pois os conceitos de vetor e força 
estudamos também na Física, mostrando a multidisciplinariedade da geometria 
analítica. Diante disso, a aplicação da geometria analítica possibilita descobrir a força 
resultante sobre determinada estrutura. A geometria analítica deve servista como uma 
disciplina moderna, capaz de explicar as situações relacionadas ao espaço. As noções 
intuitivas de vetores, por exemplo, começam a ser exploradas para entender resultados 
de forma numérica à direção e ao sentido a partir das características do espaço vetorial!
23
A geometria analítica representa os pontos de uma reta utilizando números 
reais, em que cada ponto de uma reta representa um único número real (WINTERLE, 
2014). Esse número real é obtido pela distância entre o ponto e a origem da reta, sendo 
que o ponto é relacionado com o número zero. O sistema cartesiano ortogonal (Figura 24) 
é a base para a referência de localização de coordenadas, processo fundamental no 
geoprocessamento. Além disso, é constituído por um plano e dois eixos perpendiculares 
entre si. Em outras palavras, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular 
equações para planos, retas, curvas e círculos no plano.
Figura 24 – Sistema cartesiano ortogonal
Fonte: a autora 
A Figura 24 merece algumas considerações. Primeiramente, o eixo x é chamado 
“eixo das abscissas”, enquanto o eixo y é o “eixo das ordenadas”. A origem 0 (0,0) é uma 
intersecção desses eixos, em que o x é o das abscissas e o y é o das ordenadas. Dessa 
forma, convenciona-se a orientação anti-horário dos quatro quadrantes.
Como na geometria analítica, os pontos foram expandidos na representação do 
plano, ou seja, cada ponto é representado por um único par de números reais conhecidos 
como par ordenado. A Figura 24, a seguir, ilustra como o par ordenado representa o 
ponto A (2,1). Na Figura 24, o X é a abscissa do ponto A, e constitui a distância entre sua 
projeção ortogonal no eixo x até a origem. A ordenada y, do ponto A, constitui a distância 
entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.
24
Como já sabemos, no plano cartesiano, a sua formação é por dois eixos perpen-
diculares entre si, que devem formar um ângulo de 900. Em cada eixo, é representado 
por uma reta numérica com todos os números reais. Dessa forma, em cada um desses 
eixos, representados por uma reta numérica, todos são números reais. Já o eixo vertical 
é conhecido como eixo de ordenadas ou eixo y, enquanto o eixo horizontal é conhecido 
como eixo de abcissas ou eixo x.
Figura 25 – Representação de um ponto no plano por um par de números reais
Fonte: a autora 
Assim, ao representar um objeto no plano cartesiano, conseguimos extrair 
informações algébricas do objeto. O primeiro passo para isso é entender o que é o ponto, 
que é representado por um par ordenado de acordo com a sua localização em relação a 
cada eixo. Esse par é representado de acordo com a Figura 26.
Figura 26 – Plano cartesiano representado por um par ordenado
Fonte: a autora 
25
A partir da posição dos elementos geométricos e do comportamento, foram 
desenvolvidos meios para entender os elementos. Essas representações geraram fórmulas 
para a geometria analítica. A primeira que estudaremos é a distância entre os dois pontos 
(Figura 27). 
Figura 27 – Distância entre os dois pontos
Ao visualizarmos a Figura 27, vemos a linha reta em azul, com os dados dos 
pontos A1 e A2) do plano. Para podermos calcular a distância entre esses dois pontos, 
empregamos a seguinte fórmula:
Sendo:
dA1A2 = distância entre os pontos A1 e A2 – comprimento do segmento que liga 
os dois pontos;
X = abscissas – par ordenado;
Y = ordenadas – par ordenado.
Vamos a um exemplo?
Dado A1 (3, 4) e A2 (6, 8): qual a distância entre A1 e A2 desses dois pontos? 
Observe a Figura 28 a seguir:
26
Figura 28 – Plano cartesiano e a distância entre os pontos
Fonte: a autora 
X1:3;
X2:6;
Y1: 4;
Y2:8.
 
Além disso, podemos calcular o ponto médio com base no segmento que une 
os dois pontos e a distância. Essa fórmula é uma média aritmética entre as abcissas e 
as ordenadas dos dois. Diante disso, para calcular o ponto M(xm,ym), o ponto médio do 
segmento A1(x1,y1) e A2(x2,y2), utilizamos a seguinte fórmula:
Em que:
xm = ponto médio das abscissas;
ym = ponto médio das ordenadas;
X = abscissas – par ordenado;
Y = ordenadas – par ordenado.
27
Vamos a um exemplo? Encontre o ponto médio entre os pontos A1 (2,4) e A2 (6,8).
Figura 29 – Plano cartesiano e o ponto médio 
Fonte: a autora 
Sendo:
X1=2;
X2=6;
Y1=4;
Y2=8.
M: (4,6)
O ponto médio é o ponto M (4,6).
Além disso, pode-se calcular também a condição de alinhamento de três pontos 
(Figura 30), que serve para verificar se os pontos estão alinhados, por exemplo: A1 (x1,y1), 
A2(x2,y2) e A3(x3,y3). Dessa forma, calculamos a determinante da matriz:
28
Figura 30 – Condição de alinhamento de três pontos
Fonte: a autora 
Dessa forma, se o determinante for igual a 0, os três pontos estão alinhados. Se 
for obtido um número diferente de zero, podemos dizer que não estão alinhados ou são 
vértices de um triângulo. Vamos ao exemplo! Verifique se os pontos A (-3,5), B (1,1), C 
(3-1) estão alinhados.
D= (-3 +15 -1) – (5 + 3 + 3)
D = 11 – 11
D = 0
Os pontos A, B e C estão alinhados.
Se o determinante for igual a 0, os três pontos estão alinhados. Se for obtido um 
número diferente de zero, podemos dizer que não estão alinhados ou são vértices de 
um triângulo. Para a equação da reta, existem duas possibilidades, que são a equação 
geral da reta e a equação reduzida da reta. 
Na equação geral da reta: ax + by + c = 0, em que a, b e c são coeficientes que 
determinam características como a inclinação. Essa fórmula é utilizada para representar 
de forma algébrica a reta. Em outras palavras, a equação geral da reta é uma maneira 
algébrica de compreender o comportamento de uma reta em um plano cartesiano, em 
que a e b são constantes e não podem ser nulos (Figura 31).
29
Figura 31 – Representação da reta do plano cartesiano
Fonte: a autora 
Equação geral da reta: 
ax+by+c=0
Sendo:
a e b = coeficiente angular # 0;
x = valor da abcissa;
y = valor da ordenada;
c = valor constante.
A equação reduzida da reta: y = mx + n representa de forma algébrica a reta, sendo 
que m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear). Além disso, o coeficiente linear da 
reta (n) é definido como um ponto que intercepta o eixo Y. A equação reduzida da reta é: 
y+mx+n
Em que:
y = expressão algébrica da reta;
mx = coeficiente angular da reta – define a inclinação da reta;
n = coeficiente linear da reta.
Vamos a um exemplo? Veja a Figura 32;
Y = X + 2
30
Figura 32 – Equação reduzida
Fonte: a autora 
A) Y= x + 2
m=1
n=2
 A equação da circunferência é determinada pelas equações gerais e reduzidas 
da circunferência, mas vale lembrar que tem o centro definido pelo ponto O (xc,yc). As 
fórmulas são:
Equação	geral	da	circunferência:
x² + y² – 2xcx – 2ycy + xc² + yc² – r² = 0
Equação	reduzida	da	circunferência: 
(x – xc)² + (y – yc)² = r²
Sendo:
Xc e Yc = coordenada em que inicia o círculo;
r² = raio do círculo.
Vamos a um exemplo? Descubra qual ponto central e o raio do círculo.
 
Dados: 
x2 + y2 — 10x + 2y — 17=0
(x — 5)2 + (y + 1)2 = 17+25+1
(x — 5)2 + (y + 1)2 = 43
Resposta: C= (5, -1) RAIO= 
31
Figura 33 – Representação de circunferência no plano cartesiano
Fonte: a autora 
Você quer assistir à aula do professor Pedro Fagundes, que retrata a 
função da área em geometria espacial? Vale muito a pena! Disponível 
em: http://twixar.me/zrQm.
DICA
4.1 SISTEMA ANGULARES
O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados à 
geometria. Dessa forma, a investigação e a descoberta dos ângulos foi um tema para os 
avanços nas áreas de navegação e astronomia. O astrolábio náutico é um exemplo para 
medir ângulos, desenvolvido nos séculos V e VI, que tinha o objetivo de medir a elevação 
das estrelas e do Sol, com o intuito de localizar as embarcações (COUTINHO, 2015). Com 
o passar do tempo, o astrolábio deu origem ao sextante. Apesar de mais simplificado, 
tinha a mesma função (COUTINHO, 2015).
Desse modo, a definição de ângulo é a região de duas semirretas que partem da 
mesma origem. Em outras palavras,é a medida da abertura de duas semirretas em uma 
circunferência, por exemplo. A Figura 34 a seguir mostra o ponto "O" como o vértice do 
ângulo e as semirretas OA e OB são os lados do ângulo. 
32
Figura 34 – Duas semirretas que partem da mesma origem
Fonte: a autora 
Como já sabemos, o ângulo é uma região delimitada por duas semirretas. No 
entanto, para medi-lo, há duas unidades possíveis: grau e radiano. Dessa forma, 1 radiano 
é o ângulo que faz com que o arco formado na circunferência tenha a mesma medida que 
o raio da circunferência. Para a medição de um ângulo, na geometria plana, podemos 
utilizar o compasso e o transferidor de acordo com a Figura 35, a seguir:
Figura 35 – Ângulos 45O, 90O E 120O
Fonte: a autora 
Para podermos medir, utilizamos um transferidor posicionado uma semirreta que 
aponta para 0º. Assim, pode-se observar o grau que a outra semirreta está apontando. 
Portanto, 1 radiano é o ângulo que faz com que o arco na circunferência tenha a mesma 
medida que o raio dessa circunferência. No entanto, diversas vezes, há necessidade de 
conversão de graus para radianos. Dessa forma, utilizamos regra de três, em que 180° 
corresponde a π.
33
Primeiramente, vale destacar que um grau (°) e radiano (rad) são unidades de 
medida de um ângulo e essas unidades são relacionadas a um círculo. Dessa forma, 
sabemos que 1° corresponde a 1/360 de um círculo, então um círculo corresponde a um 
ângulo de 360°. 
Quando falamos em radianos, sabemos que a medida de um ângulo θ em 
radiano é dado pela seguinte fórmula:
O comprimento do perímetro de um círculo de raio é C= . Assim, podemos 
escrever que: 
Assim, o círculo em radianos corresponde a: 
Concluímos que: 360º = 
Dessa forma, podemos compreender que para obter um ângulo em graus para 
radianos, podemos aplicar a seguinte relação:
Ao contrário, ou seja, obter um ângulo em radianos a partir de um ângulo em 
graus a relação é:
Desse modo, entendemos que a unidade do ângulo de um arco ou círculo ou é 
grau ou radinho. Mas também podemos entender que um grau (1°) possui 60 minutos 
(60’) e um minuto (1’) possui sessenta segundos (60’’). Quando falamos em minutos 
utilizamos essa expressão (’) e quando utilizamos segundos usamos essa expressão (’’). 
A circunferência possui 360 arcos de abertura de 1° (em caso de radiano, falamos 
que um arco mede 1 rad (radiano) se o seu comprimento for igual ao comprimento de 
um raio da circunferência que se encontra no arco medido). Α tabela 1, a seguir mostra 
algumas relações entre as unidades em graus e radianos.
34
Tabela 1 – Relações entre unidades em graus e radianos 
2π (rad) 360°
π (rad 180°
π____
2 rad
90°
π____
3 rad
60°
π____
4 rad
45°
π____
6 rad
30°
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007)
Vamos a alguns exemplos?
Inicialmente, vamos converter graus para radianos.
Conversão de 20º
20º-------- x
180º-------- )
= 
Agora vamos converter radianos para graus: 
Esse processo basta substituir o .
Ou seja: = 
Vamos a outro exemplo?
Qual é o valor de um ângulo de 60º em radianos?
35
Além disso, podemos classificar o ângulo de acordo com sua medida, podendo 
ser ângulo agudo, reto, obtuso, raso, côncavo ou inteiro (Figura 36). O ângulo considerado 
agudo dever ter um número maior que 0 e menor que 90º. O ângulo reto possui 90º, 
estritamente (semirretas se cruzam de forma perpendicular. O ângulo obtuso é quando a 
medida é maior 90º, porém menor que 180º.
O ângulo raso possui 180º, ou seja, metade de um ângulo. O ângulo côncavo é uma 
medida maior que 180º e menor que 360º. Por fim, o ângulo inteiro é uma representação 
da volta de uma circunferência, ou seja, 360º.
Figura 36 – Classificação dos ângulos a partir das medidas
Fonte: a autora 
Outro aspecto que merece breve menção é a existência dos ângulos consecutivos, 
adjacentes e a congruência (Figura 37). Os ângulos consecutivos são dois ângulos que 
compartilham o mesmo lado. Os ângulos adjacentes ocorrem se dois ângulos consecutivos 
são adjacentes e se não compartilham pontos internos, em outras palavras, não sejam 
sobrepostos um ao outro. A congruência significa que, para que os ângulos possam ser 
considerados iguais (congruentes), devem satisfazer os seguintes postulados: reflexiva 
(todo o ângulo é congruente a si próprio) – AÔB ≅ AÔB; simétrica AÔB ≅ CÔD, então 
CÔD ≅ AÔB e transitiva: se aôb ≅ côd e côd ≅ eôf, então aôb ≅ eôf.
36
Figura 37 – Ângulos consecutivos, adjacentes e a congruência
Fonte: a autora 
Os ângulos são denominados de congruentes quando possuem a mesma 
medida, mas destaca-se que não necessitam ser iguais, mas ter a mesma medida. Os 
ângulos AÔB e CÔD são congruentes (Figura 38).
Figura 38 – Ângulos congruentes
Fonte: a autora 
Além disso, os ângulos podem ser opostos pela vértices. Esse processo ocorre 
quando há duas retas concorrentes entre si. Dessa forma, pode-se traçar diversos ângulos 
entre elas. Assim, ao se comparar os dois ângulos, de lados opostos de um mesmo vértice, 
eles também são considerados congruentes devido a mesma medida (Figura 39).
Figura 39 – Ângulos opostos pelo vértice são congruentes
Fonte: a autora 
37
Além disso, podemos ter a bissetriz do ângulo, que é definido pela semirreta que 
divide o ângulo congruente, ou seja, com a mesma medida, sendo que AOC e BOC são 
congruentes (Figura 40).
Figura 40 – Bissetriz do ângulo
Fonte: a autora 
Quando a soma entre os ângulos é igual a 90° ou 180° ou 360°, eles são conhecidos, 
respectivamente, como ângulos complementares, suplementares e replementares (Figura 
41, 42 e 43). Os ângulos complementares são dois ângulos quando o resultado da soma 
é 90º, formando um ângulo reto. Os ângulos suplementares são dois ângulos cuja soma é 
180°. Assim, formam um ângulo raso. Por fim, o ângulo replementar é quando a soma 
dos dois ângulos é igual a 360°.
Figura 41 – Ângulos complementares
Fonte: a autora 
38
Figura 42 – Ângulos suplementares (exemplo 1)
Fonte: a autora
Figura 43 – Ângulos suplementares (exemplo 2)
Fonte: a autora 
Por fim, há também as retas paralelas cortadas por uma transversal, que podem 
delimitar oito ângulos, como na Figura 44, a seguir. Vale destacar que podemos estabelecer 
relações entre esses ângulos formados por uma reta, os quais serão suplementares e 
congruentes.
Figura 44 – Retas paralelas cortadas por uma transversal
Fonte: a autora 
39
Por fim, a partir da Figura 44, podemos concluir que os ângulos agudos e obtusos 
são sempre congruentes, e a soma de um agudo com um obtuso é igual a 180°, ou seja, 
eles são suplementares.
Caro aluno, caso tenha interesse em pesquisas de aplicação na área, 
sugiro a leitura da pesquisa de Valeriano, M. de M. e Carvalho Júnior, 
denominada de Geoprocessamento de modelos digitais de elevação 
para mapeamento da curvatura horizontal em microbacias. Acesse em: 
http://twixar.me/SrQm.
DICA
40
Neste tópico, você aprendeu:
• O ponto não possui dimensões. A reta possui uma dimensão bem definida o compri-
mento. O segmento de reta é delimitado por dois pontos. A semirreta é uma reta com 
começo, sem fim.
• O ângulo é utilizado para medir o espaço entre duas retas, segmentos de reta e 
semirretas.
• O plano apresenta duas dimensões e é um conjunto infinito de retas.
• A classificação dos triângulos pode ser equilátera, possuir três lados e ângulos iguais; 
já o isósceles possui dois lados iguais (o terceiro lado é chamado de base), enquanto 
o escaleno não possui nenhum lado e ângulo igual.
• O quadrado é quando todos os lados são iguais, para calcular a área, é necessário 
multiplicar a medida da base pela medida da altura; já o retângulo é dado pela 
multiplicação da base pela altura. 
• O losango é uma área da diagonal maior (D) com a diagonal menor (d), dividido por dois.
• A área do trapézio é a altura com a soma da base maior vezes a base menor, dividida 
por dois.
• Diâmetro é a corda da circunferência do centro do círculo ao arco.
• Raio é qualquer segmento que possa se ligar ao centro da circunferênciaa um ponto 
qualquer.
• Os objetos conhecidos na geometria espacial são denominados de sólidos geométricos 
ou figuras geométricas espaciais.
• A aresta é o segmento da reta que liga duas vértices de um poliedro.
• O volume e a área total da pirâmide e do prisma (Figura 19) dependem do polígono 
que está na base de cada sólido.
• O volume do cilindro é a altura e o raio da circunferência.
• Os sólidos geométricos têm por intuito conhecer a largura, comprimento e altura.
RESUMO DO TÓPICO 1
41
• A geometria analítica representa os pontos de uma reta utilizando números reais.
• Eixo x é chamado eixo das abscissas, enquanto o eixo y é o eixo das ordenadas.
• Ângulo é definido como a região de duas semirretas que partem da mesma origem. A 
principal medida de um ângulo é o grau (o).
• Um grau possui sessenta minutos (1° = 60').
• A classificação do ângulo de acordo com sua medida é: agudo, reto, obtuso, raso, 
côncavo ou inteiro.
• A=a é soma entre os ângulos é igual a 90° ou 180° ou 360°. Eles são conhecidos, 
respectivamente, como ângulos complementares, suplementares e replementares.
42
1 João vive exatamente do lado esquerdo da BR, no km 2, e decidiu ir ao mercado às 
13h. No entanto, o mercado se localiza no km 4 da rodovia e João chegou exatamente 
às 15h. No ponto médio está localizado seu amigo, no qual ele parou para tomar água. 
Pergunta-se: qual ponto médio da reta que o João percorreu? 
Dados: os pontos são A1 (1,2) e A2 (3,4) do plano cartesiano. Com base nesse contexto, 
assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) M (2,2).
b) ( ) M (3,1).
c) ( ) M (4,2). 
d) ( ) M (5,2).
2 Maria foi passear em Gramado com seus amigos. No entanto, ficou em um hotel 
diferente devido à diferença de preços da alta temporada. Maria está preocupada com a 
distância a ser percorrida tarde da noite. Assim, pergunta-se: qual a distância entre 
o hotel em que Maria está hospedada e o hotel dos amigos? O hotel da Maria fica no 
ponto A1 (1,2) e seus amigos estão no hotel A2 (3,4). Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) √8.
b) ( ) √10.
c) ( ) √1.
d) ( ) √12.
3 Helena precisou fazer coletas da qualidade da água em uma bacia hidrográfica. 
Metodologicamente, utilizamos dois pontos à margem do rio e uma coleta no ponto 
médio da reta entre os dois pontos. Dessa forma, considere os pontos A1 (3,-4) e A2 
(5,-9) de um plano cartesiano. Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) M (4,- 6,5).
b) ( ) M (4,- 6,).
c) ( ) M (8,- 6,5).
d) ( ) M (3,- 5).
4 O licenciamento ambiental de uma empresa teve como um dos pré-requisitos mapear 
a distância do processo produtivo da área de tratamento de efluente da empresa. 
Esse processo ocorre devido à empresa ser da área alimentícia e necessita de 
seguridade na qualidade dos produtos gerados. Diante da problemática em questão, 
as distâncias entre os pontos são A1 (1,2) e A2 (3,4) em um plano cartesiano. Analise 
as afirmativas a seguir.
AUTOATIVIDADE
43
I- √29.
II- 5,38.
III- √12
IV- √2
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas I, II estão corretas.
b) ( ) Apenas II e IV estão corretas.
c) ( ) Apenas as afirmativas I, III, IV e V estão corretas.
d) ( ) Apenas I e IV estão corretas. 
5 A equação reduzida da circunferência é estudada para poder compreender a 
representação algébrica do comportamento da circunferência no plano. Dessa forma, a 
partir destes dados x2 + y2 — 4x = 0, classifique V para a equação verdadeira e F para 
equação falsa.
( ) (x — 2)2 + (y + 0)2 = 4.
( ) (x — 4)2 + (y + 1)2 = 8.
( ) (x — 2)2 + (y + 0)2 = 6.
( ) (x — 5)2 + (y + 1)2 = 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – V.
b) ( ) F – V – F – V.
c) ( ) V – F – F – F.
d) ( ) F – F – V – V.
44
45
CÁLCULO VETORIAL
UNIDADE 1 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO 
Cálculo vetorial são operações matemáticas feitas com grandezas físicas, deno-
minadas também de grandezas vetoriais, que dependem da intensidade, direção e sentido. 
Vale destacar que essas propriedades são relacionadas à geometria. Dessa forma, o 
principal objetivo das operações matemáticas é encontrar o um único valor, que quando 
é incorporado ao sistema, terá por consequência o mesmo efeito de todos os outros.
Além disso, todas as propriedades são importantes e relacionadas geometri-
camente. Por exemplo: como há necessidade de associar os conceitos de direção e 
sentido aos valores da grandeza física e sem conhecer o que é cálculo vetorial, não é pos-
sível entender como se comportam essas grandezas. Assim, os dados vetoriais podem 
ser rodovias, solos, coberturas do solo e geologia, conhecidas também como primitivas 
gráficas.
Quando estudamos cálculo vetorial, damos sentido aos problemas que vivemos 
no geoprocessamento. Um polígono é uma sequência de segmentos de uma reta que 
tem por objetivo formar um objeto. Dessa forma, é o cálculo da área ocupada pelo 
mesmo espaço. 
A Matemática é uma ferramenta que possibilita encontrarmos as grandezas 
físicas vetoriais, a qual denominamos de vetor, sendo caracterizada como um segmento 
de reta orientado. Sabemos que vetor é um conjunto infinito de segmentos orientados 
em uma direção, os quais chamamos de equipolentes, que têm o mesmo comprimento, 
direção e sentido. Desse modo, entendemos que vetor é um conjunto infinito de 
segmentos que a compõem.
Neste tópico, compreenderemos e estudaremos o que é álgebra vetorial e enten-
deremos a aplicação do cálculo vetorial, retas, planos e curvas para o sistema de geopro-
cessamento. Por fim, discutiremos o que é uma superfície quadrática e sua aplicação 
nas ferramentas de geoprocessamento.
2 ÁLGEBRA VETORIAL
O conceito de vetor surgiu do engenheiro Simon Stevin, o arquimedes holandês, 
que discutiu o problema de composição de forças emitindo uma regra empírica para se 
achar a soma de duas forças aplicadas em um mesmo ponto. Dessa forma, os vetores 
apareceram como linhas dirigidas e, assim, foi sistematizada a teoria vetorial no século XIX. 
 
46
Desse modo, as grandezas ficam determinadas apenas por um número real e 
são acompanhadas por uma unidade correspondente. Por exemplo: 10 kg de pão, 10 
m2 de área, 20 cm de comprimento. Essas grandezas são denominadas de escalares. 
No entanto, existem grandezas que, além de necessitar de um número real, precisam 
de sentido, por exemplo, velocidade, vento, aceleração, peso e essas denominadas de 
vetoriais. 
 
Na álgebra, utilizamos os vetores, uma quantidade física caracterizada por 
intensidade, direção e sentido. São elementos de um espaço, definidos de forma abstrata. 
Assim, os vetores são um conjunto de elementos definidos em duas operações: a soma 
de vetores e o produto de vetores por escalares (produto vetorial), obedecendo às 
propriedades (MENON, 2009). Graficamente, o vetor é representado por A (uma letra 
com uma seta em cima) e representado por um segmento de reta orientado, como 
ilustrado na figura a seguir.
Figura 45 – Vetor é representado por A
Fonte: a autora 
O vetor é constituído por uma tripla informação: direção, sentido e um número 
que não pode ser negativo. Em outras palavras, o vetor é constituído de segmentos 
orientados na mesma direção, sentido e comprimento (Figura 46).
Figura 46 – Representante de um vetor
Fonte: a autora 
47
Na Figura 46 há um conjunto segmentos orientados por um único vetor, em que 
cada segmento orientado é uma imagem geométrica ou representante de um vetor. Por 
exemplo:
Figura 47 – Direção do vetor
Fonte: a autora
Sendo: 
ou
No exemplo supracitado, percebe-se que C é a origem e B a extremidade do 
vetor. O vetor, quando está em direção e sentido diferentes, tende a zero. Assim, o 
vetor nulo tem coordenadas (0,0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de 
coordenadas. O vetor nulo é . 
Além disso, temos o vetor unitário, versor e vetor oposto, sendo que o vetor 
unitário é igual a 1. Já o versor de um vetor que não é nulo é o vetor unitário, que deve 
ter a mesma direção e sentido . Vamos ao exemplo de vetorunitário:
Figura 48 – Vetor unitário
Fonte: Venturi (2015, p. 67)
48
Exemplo de versor: 
Figura 49 – Vetores
Fonte: Venturi (2015, p. 67)
O vetor oposto é dado por um vetor e o seu aposto é . Dessa forma, o 
vetor oposto é um vetor e representado por um - . Veja por exemplo, a Figura 51: 
Figura 50 – Vetor oposto
Fonte: Venturi (2015, p. 68)
Quando denominamos de paralelismo de vetores, significa dizer que são dois 
vetores na mesma direção e colinearmente, por exemplo, a Figura 51:
Figura 51 – Paralelismo de vetores
Fonte: Venturi (2015, p. 68)
49
Além disso, podemos ter vetores equiversos e contraversos. Esses vetores estão 
relacionados aos sentidos, sendo que os dois vetores paralelos têm sentidos controversos 
ou equiversos. Por exemplo (Figura 52):
Figura 52 – Vetores equiversos e contraversos
Fonte: Venturi (2015, p. 69)
Em que:
 e são equiversos e contraversos.
Podemos multiplicar um vetor por uma escala, em que K seja um escalar, e 
um vetor. Dessa forma, o produto do vertor pelo número real K é representado por K . 
Então, temos:
k>0 = significa dizer que e k são equidiversos. Por exemplo (Figuras 54 e 55):
Figura 53 – Vetores equidiversos
Fonte: Venturi (2015, p. 70)
K<0 = significa dizer que os vetores e k são controversos. Por exemplo:
Figura 54 – Vetores controversos
Fonte: Venturi (2015, p. 71)
50
Além disso, temos também coplanaridade de vetores, em que os vetores 
e são coplanares se obtiverem imagens geométricas paralelas (mesmo plano). Vale 
destacar que dois vetores são coplanares, no entanto, três poderão ser ou não. Por 
exemplo:
Figura 55 – (A) São coplanares e (B) não são coplanares
(a) (b)
Fonte: Venturi (2015, p. 69)
Além disso, podemos somar os vetores, em que dado dois vetores, para se obter 
a soma, colocamos um ponto qualquer no plano. Por exemplo: temos dois vetores , 
e, para se obter a soma, é necessário + e os pontos são B=A+ e C=B+ . De acordo 
com a figura a seguir, temos: + = (C-A):
Figura 56 – Exemplo de vetores de soma
Fonte: Venturi (2015, p. 70)
A Figura 56 retrata que, considerando a diferença de pontos, temos: + = 
(B-A) + (C-B) = (C-A), em que é o vetor resultante, obtido por meio da soma de 
com . Desse modo, vale destacar que, geometricamente, a soma de n vetores é feita 
considerando as imagens geométricas, em que a extremidade de cada vetor é o início 
do vetor seguinte e o vetor soma é o que fecha a poligonal. Vamos a um exemplo?
Vale lembrar que o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal. Já 
a origem do primeiro vetor é a extremidade do último vetor. Dado: vetores e , obter 
graficamente a soma:
51
Figura 57– Vetor soma
Fonte: adaptado de Winterle (2014) e Venturi (2015, p. 57)
Já a subtração dos vetores é definida como: - por: . Dessa 
forma, podemos detonar a diferença de dois pontos (Figura 58).
52
Figura 58 – Exemplos de diferença de vetores
Fonte: a autora
Além disso, podemos obter a diferença entre os dois vetores, . Esse 
processo acontece fazendo com que eles tenham a mesma origem, sendo que a 
diferença entre vetores não é cumulativa. Vejamos como obter dados dos vetores e 
graficamente (Figura 59):
53
Figura 59 – Vetores
Fonte: a autora
No entanto, quando falamos de paralelogramo sobre dois vetores, e , as 
diagonais são os vetores soma e diferença (Figura 60):
Figura 60 – Paralelogramo de dois vetores
Fonte: a autora
54
Sugerimos a leitura do artigo Caracterização empírica da fragilidade 
ambiental utilizando geoprocessamento, em que os autores utilizaram o 
mapeamento da fragilidade ambiental para a execução de inúmeros 
produtos intermediários que auxiliam na análise do produto, como 
técnicas de geoprocessamento, Modelagem Numérica do Terre-
no (MNT), Sensoriamento Remoto (SR) e álgebra linear. Acesse em: 
http://twixar.me/qrQm .
DICA
3 RETAS, PLANO E CURVAS
A equação vetorial de uma reta é obtida pelo ponto , pertencente à reta, com 
vetor diretor dela, ou seja, aquele que dará direção para a reta. A equação vetorial de 
uma reta se dá por meio da expressão:
Sendo: 
 = ponto pertencente à reta;
= variável, em que cada valor dado para ele fornece uma posição, ;
 = vetor da reta.
Vale lembrar que estamos discutindo o cálculo vetorial, ou seja, os termos , 
sendo que também é vetor. Dessa forma, os vetores fornecem a posição do ponto em 
relação à origem do sistema de coordenadas. Vamos a um exemplo?
Determine a equação da reta que passa pelos pontos (4, -1,2) e (1, 1,5). Vale 
lembrar: os dois pontos pertencem à reta, em que um deles será usado diretamente na 
equação. Ambos os pontos são usados para definir o vetor diretor da reta e, assim, basta 
colocar os resultados na equação e resolvido o problema estará.
Já para determinar a equação de um plano, é fundamental entender que um 
ponto pertencente é um vetor normal. Dessa forma, o ponto em um plano é definido 
por meio de um vetor formado pelos pontos no plano, que poderá ser ortogonal ao vetor 
normal do plano. Assim, a fórmula matemática se descreve:
55
 
No entanto, podem ocorrer espaços tridimensionais, sendo que a equação se 
expande para:
Em que:
 = , é um vetor do plano;
 = é um ponto que pertence ao plano;
 = é um ponto genérico do ponto.
Vamos a um exemplo? Determine o ponto (2,1) e o paralelo é ax+4y-3z=1. 
Observação: ponto do plano é fornecido e o paralelo é outro plano. Dessa forma, o vetor 
normal do plano é fornecido para obter a fórmula do novo plano.
(2,1,0)
 = (1,4,-3)
Além da reta e plano, há também as superfícies. As superfícies tridimensionais 
são formadas por equações de segundo grau, que podem ser parametrizadas assim:
x=x
y=y
z=z
O x e y são a função dependente, ou seja, a forma das funções quadráticas, que 
podem ser parábola, hipérbole ou elipse. Vamos a um exemplo? Observe a figura a seguir.
56
Figura 61 – Parametrização da parabolóide
Fonte: a autora
Na Figura 61, podemos concluir duas ideias: a primeira é que existe uma 
parábola em Z e E; a segunda é que existe uma circunferência no plano x0y. Dessa 
forma, estudaremos as parametrizações com coordenadas retangulares. Primeiramente, 
isolamos o z. Usaremos x e y como parâmetros e a função z (x, y). Assim:
x2 + y2 — z = 0
z = x2 + y2
Concluímos que, apesar de os limites não terem sido especificados, podemos 
encontrá-los por meio do: x2 = y2 = r2, em que r é o raio do círculo no plano x0y. Assim, 
facilmente o x e y variarão de —r + r.
57
3.1 CURVAS ESPACIAIS
Após estudarmos o espaço euclidiano, agora entenderemos a noção da trajetória 
de um objeto em movimento em um determinado espaço. Mas como podemos explicar a 
noção cotidiana de uma trajetória diária que possuímos? Pode ser uma sequência de 
fotos em movimentos tiradas em um intervalo de tempo, com posições ligadas a retas. 
Essa trajetória tem três dimensões. 
Assim, quando falamos de curvas, precisamos de uma estrutura matemática 
geral para qualquer trajetória. No entanto, o problema é representar a curva no espaço 
de forma eficiente, tendo sistema de coordenadas para representar analiticamente uma 
curva em termos de coordenadas, ou seja, tornar objetos geométricos em números. 
Uma curva espacial é definida por y como o lugar geométrico dos pontos:
 Na fórmula, utilizamos as coordenadas de um vetor , mas para 
descrever as coordenadas de um ponto na curva y. Assim, identificamos a posição de 
um objeto em sua trajetória descrita pela curva espacial γ. Além disso, o t é definido 
como o tempo, medido pelos nossos relógios. No entanto, para a geometria, o t não tem 
o significado específico, mas é utilizado como o comprimento da trajetória. 
 
A curva descrita como na definição supracitada está em forma paramétrica, em 
que t é o parâmetro que pertence a algum intervalo da reta real. Assim, denominaremos: 
as coordenadas x(t),y(t)z(t), ou x𝒊(t) de fórmulas horárias (ou seja, t será o tempo). 
Vamos ao exemplo? A reta é a forma paramétrica que exige que as suas 
equações sejam polinômiosde segundo grau no parâmetro escolhido:
 
A parábola é uma forma paramétrica que exige que a equação seja polinômio de 
segundo grau no parâmetro escolhido:
O círculo tem como sua forma paramétrica o raio R, considerado por equações 
horárias: 
58
3.2 SUPERFÍCIE QUADRÁTICA
Denominamos de superfície quadrática um gráfico de segundo grau no qual as 
variáveis X, Y e Z se dão da seguinte forma:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0,
Em que, mediante a rotação ou a translação de eixos, ou por meio de dois 
movimentos simultâneos, são transformadas em duas ou mais equações. Além disso, 
pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente do zero (representa uma 
superfície quadrática). Vale destacar que a superfície quadrática pode ser cortada com 
planos coordenados ou planos paralelos. Assim, chamamos de curva de interseção, que 
será cônica. Além disso, a interseção de superfície com um plano é denominada de traço 
da superfície no plano. Assim, uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de 
superfície quadrática. Desse modo, um elipsoide centrado na origem é uma superfície 
quadrática com a equação:
A figura a seguir é um esboço de um gráfico da elipsoide de equação:
Figura 62 – Elipsoide
Fonte: http://twixar.me/Tfxm . Acesso em: 17 out. 2022.
Devido ao fato de nas superfícies quadráticas se calcular os espaços tridimensio-
nais, utiliza-se malhas de curvas, que são curvas obtidas cortando-se a superfície por 
planos adequadamente escolhidos. Quando uma superfície de malha for cortada por 
um plano, é denominado de traço da superfície de plano. Geralmente, as superfícies 
são formadas a partir de traços em planos paralelos aos planos coordenados. Por isso, 
consideramos a superfície:
59
z = x2 + y2
Existem quatro tipos comuns de superfície quadrática: elipsoide, hiperboloi-
des, cones elípticos e paraboloides. É importante destacar que entender as superfícies 
quadráticas é compreender as superfícies tridimensionais em sistemas de georreferen-
ciamento. Apesar de os cálculos de malhas serem realizados a nível computacional, é 
importante entender as técnicas para fazer os gráficos.
Esboço de um elipsoide:
a>0, b>0, c>0
Por exemplo, na Figura 63, encontramos os planos xy de uma elipse.
Figura 63 – Elipse
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007)
60
Por fim, podemos entender que, na equação Ax2 + By2 + Cz2 + Exz + Fyz + Gx 
+ Hy + Iz + K = 0, A,B,C,D,E,F,G,H,I e K são números reais, que podem representar um 
conjunto vazio, uma reta, um par de planos paralelos, um ponto, um plano e/ou par de 
planos concorrentes e denominamos de quadráticas degeneradas.
61
Neste tópico, você aprendeu:
• Um polígono é uma sequência de segmentos de uma reta que tem por objetivo formar 
um objeto.
• O vetor é uma quantidade física caracterizada por intensidade, direção e sentido.
• Os vetores são um conjunto de elementos definidos em duas operações: a soma 
de vetores e o produto de vetores por escalares (produto vetorial), obedecendo às 
propriedades.
• O vetor é representado por (uma letra com uma seta em cima) e representado por 
um segmento de reta orientado.
• O vetor nulo tem coordenadas (0,0) e sua representação gráfica é a origem do sistema 
de coordenadas, e o vetor unitário é igual a 1.
• O versor de um vetor não é nulo o vetor unitário deve ter a mesma direção e sentido .
• Quando denominamos de paralelismo de vetores, significa dizer que são dois 
vetores na mesma direção, a subtração dos vetores é definida como: - por:
.
• O paralelogramo sobre dois vetores, e , as diagonais são os vetores soma e 
diferença.
• Quando falamos de paralelogramo sobre dois vetores, e , as diagonais são os 
vetores soma e diferença, e a curva espacial é definida por .
• Utilizamos as coordenadas de um vetor , mas para descrever as coordenadas de um 
ponto na curva ;
• Na equação Ax2 + By2 + Cz2 + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0, A, B, C, D, E, F, G, H, I 
e K são números reais.
RESUMO DO TÓPICO 2
62
1 Por diversas vezes, vemos os vetores aparecerem como umas linhas dirigidas e 
sistematizadas. No entanto, na álgebra, utilizamos vetores como uma quantidade física 
e com sentido às situações problemas. Dessa forma, considerando a constituição do 
vetor, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) O vetor é constituído pela direção, sentido e um número que não pode ser negativo. 
b) ( ) O vetor é constituído pelas forças positivas e negativas
c) ( ) O vetor é constituído pela direção e característica molecular do produto em questão.
d) ( ) O vetor é constituído pela direção, sentido e um número negativo.
2 O sentido de um vetor para área de meteorologia é um cálculo demasiadamente impor-
tante. Um exemplo são os ventos, que em determinadas situações podem ocasionar 
perdas irreversíveis. No Brasil, ocorrem tornados que, dependendo da velocidade, a 
Defesa Civil e a sociedade necessitam ser acionadas. Dessa forma, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a equação vetorial da reta que passa por A(1,-1,4) e tem 
direção do dado v⃗ (2,3,2).
a) ( ) (x,y,z) = (1, —1,4) + t(2,3,2).
b) ( ) (x,y,z) = (1, —1,6) + t(2,3,2).
c) ( ) (x,y,z) = (1, —1,4) + t(1,2,3).
d) ( ) (x,y,z) = (1, —1,4) + t(—2,3,2).
3 Podemos dizer que ocorre paralelismo de vetores, no dia a dia, quando há rachas de 
carros, popularmente conhecidos como pega (corrida ilícita praticada por motoristas) 
em áreas urbanas. Em outras palavras, podemos dizer que quando há dois vetores 
(paralelismo de vetores) não nulos na mesma direção e sentido, eles são:
a) ( ) Equiversos.
b) ( ) Contraversos.
c) ( ) Reta.
d) ( ) Vetor.
4 Sabemos que, para compreender a equação vetorial da reta, significa dizer que a 
equação vetorial da reta r passa por um ponto e tem uma direção devido ao vetor. 
Dessa forma, podemos entender que essa equação resulta retratar o ponto e a 
direção. Um exemplo disso é o vento, em que temos a localização e o sentido. Diante 
de tal explicação, determine a equação vetorial da reta r, definida pelos pontos A e B, 
em que A (2,-3,4) B(1,1,2). Onde AB⃗ = (1, —1,2) — (2, —3,4) e AB⃗ = (—1,2, —2).
AUTOATIVIDADE
63
a) ( ) (x,y,z) = (2, — 3,4) + t(—1,2, —2).
b) ( ) (x,y,z) = (1,3,4) + t(—1,2, —3).
c) ( ) (x,y,z) = (3, —3,4) + t(1,2,2) .
d) ( ) (x,y,z) = (—2, — 3,4) + t(+1,2, +2).
5 Em algumas cidades, há o perigo de ocorrer tornados, devido às mudanças climáticas 
e à monocultura, que ocasionou diversos impactos ambientais. Mas para uma gestão 
de riscos, necessitamos entender a localização e a direção exata dos ventos. Dessa 
forma, determine o ponto (7,1,3) e o paralelo é ax+8y-6z=1.
(7,1,3)
 = (1,4,-3)
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) x= -8y + 6z -3.
b) ( ) x= -9y + 5z -7.
c) ( ) x= 8y + 5z -5.
d) ( ) x= 8y -7z 3.
64
65
TÓPICO 3 — 
TRIGONOMETRIA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO 
A trigonometria é uma área da geometria plana que tem como intuito compre-
ender a existência entre os ângulos de um triângulo e o comprimento entre os lados. 
Dessa forma, as razões trigonométricas principais são: seno, cosseno e tangente (COU-
TINHO, 2015). 
Em diversos estudos da geometria plana, o triângulo sempre chamou a atenção 
dos matemáticos, devido ao fato de o ângulo poder gerar a rotação de um raio (semirreta) 
em torno de sua extremidade. É possível encontrar razões trigonométricas por meio de 
representações no ciclo trigonométrico, em que o valor da função do ângulo torna possível, 
também, desenvolver razões trigonométricas como função (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Dessa forma, para executar diversas funções no geoprocessamento, como a 
geodésia, que tem por objetivo estudar as formas e dimensões da Terra e se propõe a 
representar uma grande parte ou própria superfície terrestre, como os mapas ou cartas 
geográficas, é necessário entender a trigonometria primeiro. Além disso, na geodésia, 
por exemplo, considera-se a Terra como uma elipsoide ou esfera, determinando as 
posições dos pontos representados por intermédioda trigonometria esférica.
Normalmente, o ser humano tem necessidade de representar a superfície ter-
restre, determinando posições dos pontos (por exemplo, ponto de localização da sua 
casa no Google Maps), processo que perpassa pela geometria e trigonometria plana. 
Devido a pesquisas, dados e conhecimento da superfície terrestre para diversos fins, há 
necessidade de representar, graficamente e/ou em proporções reduzidas, a superfície 
terrestre como o meio ambiental (montanhas, vales, rios etc.) e artificial, como casas, 
pontes, povoados, dentre outros. Por fim, estudaremos neste tópico a trigonometria e a 
aplicação para o geoprocessamento e entenderemos os ângulos, as medidas, a função, a 
identidade e os usos. 
2 CONHECENDO A TRIGONOMETRIA
A trigonometria vem do grego trígono (triângulo) e metrein (medidas) e foi 
amplamente utilizada pelos astrônomos e aperfeiçoada para técnicas de navegação. 
Trigonometria significa medida das partes de um ângulo e era baseada em estudos da 
relação entre o arco arbitrário e sua corda. 
66
Utilizamos a trigonometria para encontrar valores desconhecidos de um triângulo 
retângulo e, além disso, ela é aplicada para problemas diários. As razões trigonométricas 
do triângulo retângulo são conhecidas como cosseno, seno e tangente, em que cada 
uma é aplicada para diferentes situações, relacionadas aos lados do triângulo retângulo 
(COUTINHO, 2015).
Os ângulos em um plano podem ser gerados pela rotação de um raio (semirreta) 
em torna de sua extremidade. Denominamos de lado inicial do ângulo a posição inicial 
do ângulo, enquanto a posição final chamamos de lado final. Além disso, há duas medidas 
para descrever o ângulo, graus e radianos. Vamos lembrar, por meio da Figura 65 e do 
Quadro 1, que mostram a relação entre as medidas em graus e em radianos para ângulos 
positivos importantes.
Figura 65 – Ângulos importantes
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 582)
Quadro 1 – Tabela de graus e radianos
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 582)
A partir dos lados do triângulo, encontramos as razões seno, cosseno e tangente. 
Assim, no triângulo retângulo, os ângulos notáveis são 30º, 45º e 60º, pois possuem 
valores constantes, sendo representados por seno, cosseno e tangente (relações do ângulo 
que medem 900). Podemos ver essas funções por meio dos catetos opostos, adjacentes 
e hipotenusa, de acordo com a figura a seguir.
67
Figura 66 – Triângulo retângulo
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 582)
Note, na Figura 66, quando o lado está em frente ao ângulo, é conhecido como 
cateto oposto, ou seja, ser oposto não depende do ângulo que estamos. O cateto com 
a hipotenusa (lado mais longo do triângulo) formam o ângulo conhecido como cateto 
adjacente. Dessa forma, conhecendo cada um dos lados dos triângulos, as razões 
trigonométricas são:
sem α = cateto oposto/ hipotenusa;
Cos α = cateto adjacente/hipotenusa;
tag α = cateto oposto /cateto adjacente;
Seno α =cateto oposto/ hipotenusa;
cosseno α = cateto adjacente/hipotenusa;
Tangente α = cateto oposto/cateto adjacente;
cotangente α = cateto adjacente/cateto oposto = cosseno/seno;
Cossecante α = hipotenusa/cateto oposto = 1/seno;
secante α = hipotenusa/cateto adjacente = 1/cosseno.
Quadro 2 – Tabela trigonométrica
Vamos lembrar?
Cateto oposto É o que fica ao lado do ângulo de referência.
Cateto adjacente Está do lado do adjacente do ângulo do ângulo de referência.
Hipotenusa Lado mais longo do triângulo (oposto ao ângulo reto).
Seno Razão do cateto oposto sobre a hipotenusa = BC/AB.
Cosseno É a razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa = AC/ AB.
Tangente (tan ou tg) É a razão dada pelo cateto oposto sobre o cateto adjacente = BC/AC.
Cotangente
É o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto 
oposto que é o mesmo que o cosseno sobre o seno.
Cossecante É o inverso do seno, ou seja, hipotenusa sobre o cateto oposto.
Secante É a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007)
68
Desse modo, para resolver os problemas que envolvem a trigonometria, é neces-
sário identificar os dois lados envolvidos em relação ao ângulo. Assim, dessas razões 
trigonométricas surgem o que denominamos de ângulos notáveis (ângulos comuns), 
ou seja, valores de seno, cosseno e tangente conhecidos, por exemplo, ângulos de 300, 
450, 600. 
Quadro 3 – Tabela de ângulos notáveis
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 545)
Os lados de um triângulo retângulo sempre serão proporcionais aos valores da 
tabela (quando trabalhamos com os ângulos notáveis). Além do seno, cosseno e tangente, 
temos também cotangente, secante e cossecante de um ângulo agudo positivo, 
denominados como razão entre os lados de um triângulo retângulo. Veja a figura a seguir e, 
posteriormente, olhe a tabela com as definições que formam a seguinte forma: 
Figura 67 – Triângulo Retângulo
Fonte: a autora
69
Assim, os triângulos similares têm lados proporcionais e os valores das funções 
trigonométricas dependem apenas do tamanho θ, e não do triângulo retângulo particular 
usado para calcular as razões. Vale destacar que independe se o ângulo estiver em 
graus ou radiano. Assim, o círculo trigonométrico e a disposição do plano cartesiano 
é um processo que facilita para visualizar as funções. De acordo com a figura a seguir, 
podemos visualizar graficamente os estudos das funções e a disposição do seno, cosseno, 
tangente, cotangente, cossecante e secante (Figura 66). 
Figura 68 – Círculo trigonométrico
Fonte: Anton; Bivens e Davis (2007, p. 582)
Como vimos, o círculo é construído no plano cartesiano. Tem um raio e, no eixo 
vertical, encontramos o seno do ângulo, enquanto no eixo horizontal, podemos achar o 
valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo tangente. Dessa forma, a partir 
desse ciclo, encontramos as funções trigonométricas, em que as principais são: função 
seno e a função cosseno. Elas auxiliam em diversos estudos de variação de ângulo, 
como na engenharia mecânica, civil e geoprocessamento, pois pode-se fazer entender o 
comportamento da função. 
 
A função seno possui a lei da formação igual a r = (x) = sen • (x) R → R. O gráfico 
da função seno é denominado de gráfico senoidal, o qual chamamos de cíclico porque 
os valores estão sempre entre -1 e 1 devido a se repetirem, por isso o formato de ondas 
(Figura 69).
70
Figura 69 – Gráfico senoidal
Fonte: adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007)
A definição da função seno e a função da lei de formação é: 𝑓(x) = (x). Dessa 
forma, o valor do seno nunca ultrapassa a 1. Esse processo decorre devido ao círculo 
trigonométrico ter raio 1. Nota-se que, depois de 2π, o gráfico volta ao comportamento 
anterior. A função cosseno gera um gráfico cíclico também, e a lei de formação é: 𝑓(x) =
cos cos (x). A diferença entre seno e cosseno está apenas nos valores de x (Figura 70).
Figura 70 – Função cosseno
Fonte: adaptado Anton, Bivens e Davis (2007, p. 582)
O teorema de Pitágoras é definido pela relação do triângulo ABC, de acordo com 
a seguinte relação: (AB)2 = (AC)2 + (BC)2. Assim, o quadrado da medida da hipotenusa é 
igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (Figura 71).
71
Figura 71 – Trigonometria básica
Fonte: adaptado Anton, Bivens e Davis (2007, p. 582)
Por fim, temos a lei dos senos, cossenos e tangentes, que serão descritos no 
quadro a seguir.
Quadro 4 – Lei dos senos, cossenos e tangentes
Fonte: adaptado de Anton, Bivens e Davis (2007)
72
As identidades trigonométricas são equações que envolvem funções trigono-
métricas, as quais são verdadeiras para todos os ângulos para os quais ambos os lados da 
equação estão definidos. Uma das identidades mais importantes da trigonometria pode 
ser deduzida aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo:
x2 + y2 = r2
Por fim, a trigonometria pode ter várias aplicações e definições na Física e na 
Matemática, com situações cotidianas que utilizem vetores que formam triângulo. Assim,ao dominar a trigonometria, pode-se compreender conceitos de alturas inacessíveis, 
por exemplo.
3 APLICAÇÃO DA TRIGONOMETRIA
O geoprocessamento é um ramo que tem por objetivo estudar técnicas e métodos 
matemáticos e computacionais para coletar, armazenar, tratar e processar dados. Desse 
modo, o geoprocessamento é uma área que trabalha em torno da cartografia, produção 
de mapas, imagens de satélite, fotografia aéreas, dentre outros. 
Contudo, antes de entendermos o geoprocessamento, necessitamos compreender 
a trigonometria, que é a base para construirmos modelos para analisar e interpretar os 
dados georreferenciados. Sabemos que a civilização se preocupou em documentar, por 
meio de mapa e cartas, a localização da flora, fauna, rotas comerciais, meio ambiente 
e até limites de aldeias e comunidades. Esse processo ocorre por meio de cálculos 
realizados para compreendermos as distâncias estabelecidas no papel para a vida real, o 
qual hoje denominamos de escala.
Com o avanço da tecnologia da informação, a Matemática aplicada ao geopro-
cessamento tornou-se uma ferramenta que possibilitou desenvolver e integrar dados de 
diversas áreas. Esses dados facilitam o planejamento urbano, transporte e dados em 
tempo real, sem precisar ir a campo medi-lo. 
O grande problema da realidade brasileira é a escassez de dados. Além disso, há 
diversos erros na prática, como descuido de anotações, falta de calibração do material 
ou da estação, descuido ou falta de aparelhos coletores de dados (CRUZ, 2005). Dessa 
forma, o geoprocessamento cresceu em uma escala devido à falta de dados confiáveis 
para o monitoramento de projetos, planos, ações e metas.
A precisão dos dados se deve a uma Matemática e Estatística precisa no geo-
processamento, o qual é a ferramenta base para sua manipulação. Além disso, o geo-
processamento começou a fazer parte do dia a dia da sociedade, como a utilização de 
ferramentas de navegação de transporte, Google Earth, GPS, além de análises estatísticas de 
73
alta precisão. Exemplos são as notícias de progressão ou regressão do desmatamento, 
avanço do mar, uso e ocupação do solo, loteamento irregular, regulamentação de áreas 
de preservação, avanços da monocultura no Brasil, porcentagem da área desmatada, 
altura da montanha ou elevação e ângulo da área.
O geoprocessamento passou a estar na casa das pessoas como ferramenta 
atrelada à entrega de dados georreferenciados. Um exemplo é o Google Earth, em que 
se confere a área em alta resolução, distância e altura, ou seja, um diagnóstico sem sair 
da frente do computador, tablet ou celular.
Mas o que a trigonometria, ou seja, os estudos dos triângulos têm a ver com 
o geoprocessamento? Vamos começar do início, em que estudar a trigonometria nos 
permite entender o progresso da análise e da álgebra, campos da Matemática, obviamente 
contidos de forma embrionária. Dessa forma, antigamente, a trigonometria desenvolveu 
necessidades que foram praticadas na astronomia, agrimensura e navegação.
No Egito, surgiram os primeiros cálculos com menções sobre ângulos, porém 
eram expressos como seqt, o que era equivalente à cotangente de um ângulo. Na 
construção das pirâmides, era essencial compreender a inclinação constante das faces. 
Além disso, houve a necessidade de associar as sombras projetadas relacionando 
os números de horas do dia (relógios do sol). Dessa forma, décadas e séculos depois 
estavam anunciando a ideia de tangente e cotangente. 
Na China, também foi descoberta uma trigonometria primitiva, em que era 
comum medir distâncias, comprimentos e profundidades. Dessa forma, foi evidenciado 
tanto o conceito de ângulo quanto a forma de medir. Já na Grécia, era utilizado como relógio 
do sol, uma ferramenta essencial para a observação dos fenômenos astronômicos, 
sendo que a duração dos limites das sombras permitia medir a duração do ano e o 
movimento diário.
Mas o marco da história da trigonometria foi de Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). 
Não se sabe como tornou-se comum dividir a circunferência em 360 partes. Além disso, 
ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes, obtendo o arco de 1 minuto. Dessa forma, a 
sua trigonometria baseou-se na função de que cada arco da circunferência de raio era 
associado à respectiva corda (COSTA, 2003). 
A trigonometria toma forma com Euler (1707-1783), que adotou a medida do 
raio de um círculo como uma unidade e definiu funções aplicadas a um número, e não 
mais a um ângulo (COSTA, 2003). Assim, a trigonometria inicialmente era para auxiliar na 
agrimensura e astronomia e tornou-se fundamental para a análise matemática, que 
tem por intuito expressar relações de números complexos. 
74
Dessa forma, para reconhecer e diagnosticar diversos problemas levantados em 
uma área, a aplicação da trigonometria é primordial em situações que se comportam 
como ondas e altura. Ou seja, podemos utilizar a trigonometria para saber a altura de 
avião ou até a distância percorrida de um ponto ao outro. Nos sistemas de informação 
espacial, por diversas vezes, temos problemas para compreender a distância entre as 
margens dos rios, devido à aplicabilidade das leis ambientais, como a metragem mínima 
de matas ciliares nas bacias hidrográficas. Utilizamos demasiadamente os mapas e, 
com a trigonometria, calculamos as distâncias, por meio dos paralelos e meridianos 
com x e y, cosseno e seno.
Por exemplo, nas leis ambientais, há largura mínima da mata ciliar, de acordo 
com a largura do rio, ou seja, é normativa. Assim, as fiscalizações trabalham por meio 
do geoprocessamento medindo a largura do rio e a largura da mata ciliar, sendo que a 
vegetação que fica na borda do rio é considerada área de preservação permanente.
Entendemos que o geoprocessamento é uma ferramenta que, por meio de 
imagens de satélite ou cartografia, permite desenvolver uma representação gráfica da 
realidade, fazendo com que haja integração com diversas áreas do conhecimento. Vale 
lembrar que o geoprocessamento não consiste apenas em representar graficamente 
uma área, mas também coleta de dados, armazenamento, tratamento e análise de 
dados e uso integrado de informações.
Desse modo, a trigonometria é utilizada para demarcação de áreas, quantidade 
de material para diferentes estruturas e medidas precisas. Outro aspecto que merece 
breve menção é o som. Sabemos da necessidade de se representar matematicamente 
as ondas constituintes e, para isso, utiliza-se a trigonometria, com as funções seno e 
cosseno. Logicamente, os sons não são totalmente padronizados, mas são úteis para 
encontrar e desenvolver o padrão do som.
Na Geografia, utilizamos demasiadamente a trigonometria para medir a distância 
entre pontos distintos e/ou destacar apenas um ponto em questão. Por exemplo: mapas 
temáticos para fins de localização de estudos para possível licenciamento ambiental, 
em que a área é descrita e pontuada no mapa para que os órgãos de fiscalização a 
entendam de forma precisa. Caso isso não ocorra, a licença será negada.
Outra aplicação da trigonometria é para piloto de avião. Por exemplo, no aeroporto 
de Porto Alegre, ele deverá entender qual o ângulo de decolagem e em qual ângulo poderá 
virar para o pouso em São Paulo. No geoprocessamento, utilizamos a superfície da Terra 
como base, e há formas complexas e irregulares. Assim, a trigonometria ajuda a entender a 
distância, comprimento e altura de lugares sem a necessidade de precisar ir a campo, 
inclusive podemos fazer cálculos em lugares remotos com o uso do geoprocessamento.
São diversas situações em que se usa a trigonometria, mas devemos entender 
como a trigonometria pode ser aplicada para os problemas que ocorrem diariamente, ou 
seja, em todos os problemas que têm como obstáculos comprimentos, altura e ângulos é 
possível aplicar a trigonometria.
75
LEITURA
COMPLEMENTAR
AS CONTRIBUIÇÕES DA MATEMÁTICA E DO GEOPROCESSAMENTO NO CÁLCULO 
DE ÁREAS E DE CONCENTRAÇÃO DOS CASOS DE COVID-19
Luciana Costa Ribeiro
Nelson Fernando Inforzato
1 INTRODUÇÃO
 A Matemáticaé uma das ciências que se destacaram durante a pandemia de 
coronavírus. Atualmente, todo o movimento político é baseado em dados matemáticos 
estatísticos e probabilísticos, e toda população tem acesso à informação por meio de 
dados gráficos amplamente divulgados nas mídias. Foram confirmados no mundo mais 
de 30 milhões de casos de covid-19 e já ocorreram mais de 990 mil mortes até esta data, 
de acordo com dados apresentados pela Organização Pan-Americana de Saúde (OPAS). 
Diante dos primeiros estudos e sintomas comuns do covid-19 na população, mídias 
tradicionais e digitais propagaram medidas de autoproteção e distanciamento. Contudo, 
o que se sabia sobre o vírus não era suficiente para combater a propagação. É nesse 
contexto, que buscamos apresentar contribuições da matemática e das geotecnologias 
como ferramentas ativas no combate ao Covid-19. 
2 O GEOPROCESSAMENTO, O MAPEAMANENTO DE ÁREAS E SISTEMAS SIG 
De modo geral, o conceito de área está ligado ao espaço ocupado por uma super-
fície plana. Calcular a área, em síntese, é medir essa superfície, utilizando para tal uma 
unidade de medida equivalente as suas proporções. Mapear uma área é um processo 
mais abrangente, além de se conhecer a extensão territorial, busca-se obter dados e infor-
mações que possam instrumentalizar estudos científicos e auxiliar no planejamento de 
ações públicas. Denomina-se SIG ou GIS (Geographic Information System) um sistema 
de informação geográfica composto de hardwares, softwares, informações geoespaciais, 
procedimentos computacionais e recursos humanos. 
A feição dos dados em SIG comumente utilizam o modelo raster ou matricial e 
o modelo vetorial (CAVALCANTE, 2005). Enquanto o modelo raster faz a representação 
gráfica do espaço por meio de pixel ou células (geralmente quadradas), o modelo vetorial 
faz a representação do espaço geográfico por meio de sistemas de coordenadas. Quando 
uma informação possui sua localização expressa por um sistema de coordenadas, 
dizemos que ela está georreferenciada. O ponto, a linha e o polígono são formas básicas 
para representar graficamente o espaço. 
76
O geoprocessamento se configura como “um conjunto de técnicas computacionais 
que opera sobre bases de dados (que são registros de ocorrências) georreferenciados, 
para os transformar em informação (que é um acréscimo de conhecimento) relevante 
[...]” (SILVA, 2001, p. 12-13), e atualmente atrelado a ciências como Topografia, Geodésia 
e Cartografia torna possível o mapeamento de áreas. De forma mais simplista Câmara 
et al. (2001) definem geoprocessamento como a disciplina do conhecimento que utiliza 
técnicas matemáticas e computacionais para o tratamento da informação geográfica. 
2.1 O CÁLCULO DE ÁREAS E AS GEOTECNOLOGIAS
Existem diferentes geotecnologias que efetuam o cálculo de áreas, tornando 
acessível a informação a toda população, até mesmo aquelas não habituadas com a 
matemática. Isso ocorre porque as geotecnologias processam e disponibilizam informações 
geográficas que já foram georreferenciadas. A topografia está intimamente ligada ao 
cálculo de áreas e se vale de diferentes métodos para isso, tais como: método gráfico, 
computacional, mecânico (planímetro) e analítico. A escolha do método leva em conta 
fatores como: precisão desejada, medições diretas, informações obtidas na planta topográ-
fica, entre outros.
	2.1.1	Método	gráfico
O método gráfico consiste em dividir a área de interesse em figuras geométricas, 
como triângulos, quadrados, retângulos, entre outras. A área total corresponde ao 
somatório das áreas subdivididas. O cálculo de áreas utilizando o método gráfico pode 
ser feito utilizando escalas. Na prática, o interessante é reproduzir um modelo com dados 
reais, ou seja, os lados da figura poligonal correspondendo a valores reais em metros ou 
quilômetros, como a seguir:
77
2.1.2 Método computacional
Esse método utiliza algum programa gráfico tipo CAD – Computer Aided Design, 
no qual são desenhados os pontos que definem a área de interesse e o próprio programa 
calcula esta área por métodos analíticos, o que faz com que o método computacional 
seja muito prático. Os softwares CAD são voltados à desenhos técnicos, comumente 
utilizados na Engenharia e Arquitetura. Esses softwares reúnem diversas ferramentas 
destinadas aos mais variados fins, entre eles, a criação e edição de projetos em 2D e 3D. 
Segundo Ferreira (2007), o modelo bidimensional envolve a elaboração de 
plantas, cortes e elevações. Busca-se manter as formas e detalhes da construção do projeto. 
Estes por sua vez, são representados por figuras planas no software. Já para modelos 
tridimensionais, existem diferentes técnicas de modelagem. Após a representação 
gráfica do objeto, os parâmetros da modelagem utilizada na projeção permitem que 
softwares auxiliem no dimensionamento do projeto, como medidas, peso, quantidade de 
materiais, simulações, localizações, distância e a integração de diversos dados.
2.1.3 Método mecânico 
Para realizar o cálculo de áreas mecanicamente, é necessário um equipamento 
denominado de planímetro. Basicamente o que os planímetros fazem é calcular a área 
de interesse por meio do contorno na poligonal que delimita essa área. O cálculo de 
áreas utilizando planímetro é dado por:
em que 𝑘 é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço 
graduado, 𝐿𝑓 corresponde à leitura final e 𝐿𝑖 corresponde à leitura inicial. A constante 𝑘 
pode ser obtida planimetrando-se uma área (𝑆) conhecida, 𝑛 vezes. 
O princípio de funcionamento dos planímetros é baseado no Teorema de Green 
e pode ser descrito pelas fórmulas:
Em que C é a curva que descreve a fronteira.
2.1.4 Método analítico 
Neste método, a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a 
partir das coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados. 
O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode ser realizado a partir do cálculo da área 
de trapézios formados pelos vértices da poligonal (VEIGA et al., 2012, p. 178).
78
Para encontrar a área da poligonal (Figura 2), basta efetuar a subtração entre as 
áreas 1 e 2, delimitadas nas figuras a seguir.
• Técnicas empregadas no cálculo de áreas
Triangulação – O método de triangulação depende que sejam conhecidas as 
medidas dos ângulos dos triângulos e a medida de um dos lados de algum dos triângulos. 
Atualmente, existem softwares como o Gmsh que realizam facilmente a triangulação de 
áreas. Para medições de ângulos geralmente utiliza-se o teodolito, que é um instrumento 
óptico de campo que mede com precisão ângulos verticais e horizontais. Considere um 
triângulo 𝐴𝐵𝐶 com 𝐴𝐵 = 20,41 𝑚 e as medidas aproximadas dos senos dos ângulos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 , 
respectivamente, 0,8586; 0,9062 e 0,8275. Temos que:
79
Logo, podemos obter a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 pela fórmula:
Fórmula de Heron
Teorema de Pick 
O teorema de Pick é interessante porque permite calcular a área de qualquer 
figura plana, desde que o polígono esteja sobre uma grade pontos equidistantes e seus 
vértices estejam sobre esses pontos.
80
O teorema de Pick nos diz que a área do polígono pode ser obtida somando-se 
os pontos do interior do polígono com a metade dos pontos sobre a fronteira (borda) 
menos um. Aplicando o teorema na Figura (5), temos:
em que 𝐵 corresponde à quantidade de pontos da fronteira, e I a quantidades 
de pontos interiores
DISCUSSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS 
O Google Earth, Google Maps, QGis e AutoCad são exemplos de diferentes 
geotecnologias nas quais é possível medir áreas e calcular densidades demográficas 
entre outras funcionalidades, tornando possível delimitar áreas mais populosas. Calcular 
a densidade demográfica corresponde a encontrar a quantidade de habitantes por 
quilômetro quadrado, isso pode ser feito facilmente dividindo o número de habitantes 
pela área em quilômetros quadrados. Quanto maior é a densidade demográfica de uma 
região, maiores são as chances de propagação de epidemias. 
Deacordo com as informações atuais, os países com mais casos da doença 
são Estados Unidos, Brasil e a Índia. Temos uma outra visão dos picos de contaminação 
pelo vírus, quando estudamos o número de casos por áreas (km2) e a densidade 
demográfica. Embora o Brasil tenha um número de casos de COVID-19 superior à Itália, 
a propagação da doença no Brasil tende a ser de uma forma mais lenta do que na Itália 
quando comparado suas densidades demográficas e casos por km2.
O fato de que a Índia possui uma grande concentração populacional o que poderá 
acarretar uma propagação célere do vírus. Segundo Ojima (2020), “[...] o uso da densidade 
demográfica como indicador relevante para se pensar o potencial de contágio deve levar 
em consideração o recorte territorial daquilo que pretendemos analisar, ou seja, o quanto 
as pessoas vivem próximas umas às outras”. Assim, no processamento de informações 
que utilizam a densidade demográfica como parâmetro é preciso validar os cenários de 
comparação. Modelos matemáticos com foco em compartimentos utilizam dados de 
densidade demográfica para calcular a dispersão do vírus por região, e estimam períodos 
em que ocorrerão picos de contaminação. Portanto, a matemática configura-se como 
ciência de apoio à tomada de decisões, por meio das geotecnologias e da modelagem, 
buscando para que estas sejam assertivas e que possam propiciar segurança aos 
cidadãos, transparência da realidade atual e projeções do que ainda está por vir.
Fonte: Adaptado de: http://twixar.me/rfxm. Acesso em: 14 ago. 2022.
81
Neste tópico, você aprendeu:
• A trigonometria é uma área da geometria plana que tem por intuito compreender a 
existência entre os ângulos de um triângulo e o comprimento entre os lados.
• Os ângulos em um plano podem ser gerados pela rotação de um raio (semirreta) em 
torno de sua extremidade.
• Com base nos lados do triângulo, encontramos as razões seno, cosseno e tangente.
• O círculo é construído no plano cartesiano e possui um raio. No eixo vertical, 
encontramos o seno do ângulo, enquanto no eixo horizontal, o valor do cosseno.
• O teorema de Pitágoras é definido pela relação do triângulo ABC de acordo com a 
seguinte relação: (AB)2 = (AC) 2 + (BC)2. 
• A Lei dos senos relaciona o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado 
oposto a este ângulo.
• A Lei dos cossenos retrata que a medida de um lado de um triângulo, somando as 
medidas o dos lados oposto a ele e subtraindo o dobro do produto entre os opostos e 
os cossenos do ângulo também são lados contrários.
• A Lei das tangentes se refere à equivalência dos comprimentos de um triângulo não 
isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados.
• A definição da função seno e a função da Lei de formação é: 𝑓(x) = (x).
• A função cosseno gera um gráfico cíclico também, e a lei de formação é: 𝑓(x) =coc cos (x).
RESUMO DO TÓPICO 3
82
1 Analise a figura seguir.
AUTOATIVIDADE
Sobre os cálculos de seno, cosseno e tangente do ângulo β, da figura supracitada, 
analise as sentenças a seguir.
I- Seno β = 0,6; cosseno β = 0,8; tangente β = 0,75.
II- Seno β = 0,5; cosseno β = 0,8; tangente β = 0,9.
III- Seno β = 0,6; cosseno β = 0,10; tangente β = 0,75.
IV- Seno β = 0,1; cosseno β = 0,2; tangente β = 0,7.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença I está correta.
b) ( ) As sentenças II, III e IV estão corretas.
c) ( ) As sentenças III e IV estão corretas.
d) ( ) As sentenças I, II, III e IV estão corretas.
2 A trigonometria é um ramo da Matemática que estuda as relações entre os compri-
mentos de um triângulo retângulo. Dessa forma, existem razões trigonométricas que 
são possíveis divisões entre as medidas de um triângulo. Assim, classifique V para 
verdadeiro e F para falso:
( ) A cotangente α é: cosseno/seno.
( ) A cotangente α é o cateto adjacente/hipotenusa.
( ) O seno é 1/seno.
( ) O seno/cosseno é 1/cosseno.
83
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – F – F.
b) ( ) F – F – F – F.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) V – F – F – V.
 
3 O ângulo notável estuda os comprimentos. Dessa forma, os dados de seno, cosseno 
e tangente em ângulos de 30°, 45° e 60° são tabelados e extremamente utilizados 
pelos matemáticos. De acordo com o que estudamos, assinale a alternativa correta 
de qual valor do ângulo notável do seno 60°, cosseno 45°, e tangente 30°?
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
5 Um soldado tinha como missão atravessar um rio com uma largura de 8 metros. 
Vale lembrar, que as larguras das margens são paralelas, e a correnteza da bacia 
hidrográfica segue em 30° com a margem de partida. Diante desta problemática 
calcule a distância percorrida.
Dados: 
a) ( ) X = 16.
b) ( ) X = 12.
c) ( ) X = 12.
d) ( ) X =10.
84
6 João é analista de geoprocessamento em um dos seus mapas, obteve um problema 
devido ao não reconhecimento da altura do morro com ocupação humana indevida. 
Entender a altura é primordial para um monitoramento e gestão de risco da prefeitura 
de Alecrim. Dessa forma, determine a altura do morro. 
Dados: 
a) ( ) h = 20 √3.
b) ( ) h = 20 √2.
c) ( ) h = 10 √3.
d) ( ) h = 20.
85
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo-Volume I-8. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BOURCHTEIN, A.; BOURCHTEIN, L.; NUNES, G. S. Geometria analítica no plano: 
abordagem simplificada a tópicos universitários. 2019. Disponível em: http://twixar.me/
n3xm. Acesso em: 7 ago. 2022.
BURROUGH, P. A.; McDONNELL, R. A. Principles	 of	 Geographical	 Information	
Systems	-	Spatial	Information	Systems	and	Geoestatistics. 2. ed. Oxford: Oxford 
University Press, 1998. 
COSTA, N. M. L. A história da trigonometria.  Revista da SBEM, [s. l.], n. 10, p. 60-68, 2003.
COUCEIRO, K. C. U. S. Geometria euclidiana. 2016. Disponível em: https://plataforma.
bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/42159. Acesso em: 7 ago. 2022.
COUTINHO, L. Trigonometria	 esférica: a matemática de um espaço curvo. 2015. 
Disponível em: http://twixar.me/T3xm. Acesso em: 7 ago. 2022.
CRUZ, R. C. Prescrição	de	vazão	ecológica: aspectos conceituais e técnicos para 
bacias com carência de dados. 2005. 176 f. Tese (Doutorado em Ecologia) – Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2005.
DANTE, L. R. Didática	da	resolução	de	problemas	de	matemática. 2. ed. São Paulo: 
Ática, 2000.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Disponível em: 
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/30470. Acesso em: 7 ago. 2022.
MENON, M. J. Sobre as origens das definições dos produtos escalar e vetorial. Revista 
Brasileira de Ensino de Física, [s. l.], v. 31, p. 2305.1-2305.11, 2009.
PAVANELLO, R. M. Por que ensinar/aprender geometria. 2004.Disponível em: http://
twixar.me/m3xm. Acesso em: 7 ago. 2022.
VENTURI, J. Álgebra vetorial e Geometria Analítica. 10. ed. 2015. Curitiba: Infante. 
Disponível em: http://twixar.me/G3xm.pdf. Acesso em: 5 set. 2022.
VERONA, V. A.; LOPES, M. R. M.	Aplicação	da	Geometria	Espacial	em	Ambientes	
Diversos. Disponível em: http://twixar.me/d3xm. Acesso em: 5 set. 2022.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2014. Disponível em: https://plataforma.
bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/5672. Acesso em: 7 ago. 2022.
REFERÊNCIAS
86
87
 SISTEMAS DE 
COORDENADAS
UNIDADE 2 —
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender a importância do levantamento planimétrico e a aplicação dos cálculos 
de área;
•	 entender	a	poligonal	enquadra	como	resultado	da	união	dos	pontos	topográficos	de	
coordenadas conhecidas;
•	 entender	o	que	são	coordenadas	geográficas	e	transformar	as	coordenadas	polares	em	
cartesianas;
•	 analisar	e	aplicar	as	transformações	entre	sistemas	de	coordenadas;
•	 compreender	o	cálculo	de	azimute	como	função	das	coordenadas	cartesianas.
 A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar	o	conteúdo	apresentado.
TÓPICO 1– LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
TÓPICO 2 – COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS CARTESIANAS
TÓPICO 3 – COMPREENDENDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS POLARES
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
88
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 2!
Acesse o 
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89
TÓPICO 1 — 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO 
Caro acadêmico! Seja bem-vindo à Unidade 2! Sabemos que os seres humanos 
sempre tiveram o ímpeto de conhecer e explorar o lugar em que vivem, e isso ocorre 
por	 diversas	 questões,	 como	 segurança,	 possíveis	 guerras,	 construção,	 entre	 outras.	
Inicialmente,	representar	e	compreender	o	espaço	era	apenas	descrever	como	era	o	meio.
Historicamente,	os	seres	humanos	já	faziam	mapas	antes	até	de	desenvolver	a	
escrita;	e,	com	o	passar	do	tempo,	surgiram	equipamentos	de	medições	para	representar	
melhor	o	espaço.	A	topografia	foi	uma	das	ferramentas	utilizadas	para	conseguir	realizar	
as	medições	e	levantar	dados.
Assim,	a	topografia	objetiva	efetuar	o	levantamento;	e,	dentro	dessa	grande	área,	
temos	o	 levantamento	planimétrico,	 que	nada	mais	 é	 do	que	 executar	medições	de	
distâncias e desníveis que nos permitem reconhecer uma porção da terra em uma 
escala	adequada	(GOUVEIA,	2018).		 	 	
Onde entra a Matemática nesse processo? Precisamos compreender que, no 
geoprocessamento,	sempre	falamos	de	ferramentas,	e	a	topografia	e	o	 levantamento	
planimétrico	são	ferramentas	de	medições.	Desse	modo,	a	Matemática	é	a	base	para	
construir	essas	ferramentas!	Por	exemplo,	os	softwares	são	apenas	ferramentas	que	
necessitam de Lógica e Matemática para a sua construção, visto que a programação em 
si	é	apenas	uma	linguagem	lógica,	ou	seja,	sem	a	Matemática,	diversas	ferramentas	não	
poderiam ser construídas! 
Assim,	as	operações	no	geoprocessamento	que	objetivam	coletar	dados	 (x	e	
y)	 de	 uma	 superfície	 denominam-se	 levantamento	 topográfico.	 Para	 a	NBR	 13133,	 o	
levantamento	topográfico	é	definido	como:
Conjunto	 de	 métodos	 e	 processos	 que,	 através	 de	 medições	 de	
ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais 
e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, 
primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, 
determinando	 suas	 coordenadas	 topográficas.	 A	 estes	 pontos	 se	
relacionam os pontos de detalhes visando à sua exata representação 
planimétrica numa escala predeterminada e à sua representação 
altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância 
também	predeterminada	e/ou	pontos	cotados	(BRASIL,	2021,	p.	3).
Veiga	(2012)	salienta	que	a	topografia	estuda	os	processos	de	medições	e	ângulos,	
sendo	seu	objetivo	determinar	os	pontos.	Esse	processo	pode	ser	dividido	em	planimetria	
e	altimetria.	Dessa	forma,	o	levantamento	topográfico	possui	duas	divisões:	a	planimetria	
e	a	altimetria.
90
O levantamento planimétrico procura determinar a posição planimétrica dos pontos 
(X	e	Y)	e	o	levantamento	altimétrico	determina	a	cota,	altitude	de	um	ponto	Z.	
Você	quer	entender	mais	a	ciência	que	determina	o	contorno,	as	dimensões	e	
a	altura	dos	pontos	em	relação	a	uma	referência	de	nível?	Este	tópico	abordará	o	que	é	o	
levantamento planimétrico, os cálculos de área e as poligonais, que são primordiais para 
fazer	um	levantamento!
2 A IMPORTÂNCIA DO LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
Quando	necessitamos	conhecer	uma	superfície	de	algum	terreno,	utilizamos	o	
levantamento	topográfico.	Esse	método	ajuda	a	compreender	e	a	obter	as	coordenadas	
x,	y	de	um	ou	diversos	pontos	de	uma	área.	Dessa	forma,	um	dos	principais	objetivos	
do	levantamento	topográfico	é	levantar	o	perímetro	da	superfície.	Vale	lembrar	que,	no	
levantamento	planimétrico,	a	altitude	não	é	considerada.
Mas para compreendermos melhor, imagine um terreno onde você deseja 
construir	sua	casa.	Uma	das	primeiras	condicionantes	é	conhecer	o	terreno,	incluindo	o	
tipo	de	solo,	quais	são	as	suas	propriedades	e	as	formas	da	superfície,	pois	isso	estabelece	
os elementos do tipo de empreendimento e casa que podem ser construídos naquele 
lugar.	Outro	exemplo,	é	um	estudo	de	hidrelétrica,	sendo	que	precisamos	compreender	
as	condicionantes	da	bacia	hidrográfica,	ou	 linhas	de	transmissão,	em	que	conhecer	o	
terreno	é	uma	das	principais	variáveis.	
Em	um	projeto,	precisamos	entender	as	adaptações	que	a	superfície	do	terreno	
pode	necessitar	para	as	construções.	Porém,	caso	necessite	de	modificações	e	impactos	
e	alta	estrutura,	conhecimento	aprofundado	das	dimensões	e	características,	por	exemplo,	
existência	de	vegetação,	rios	e	erosões.	Dessa	forma,	quando	há	um	estudo	da	topografia	
no	terreno	ou	área	a	ser	estudada,	levanta-se	todas	essas	informações	para	conhecer	e	
obter	a	licença	ambiental	da	área.		 	 	 	 	 	 	
 
Mas imagine se não houvesse esse estudo ou a noção dos limites dos terrenos e de 
suas	relações	e	características?	Com	certeza,	haveria	discordância	de	dimensões	entre	
setores,	como	empresários,	prefeituras	e	 licenciadores.	Esse	processo	era	 recorrente	
quando	não	havia	padronização	e	referências	para	projetos	topográficos.
Dessa	forma,	alguns	países	determinaram	seu	sistema	de	projeção,	que	representa	
da	melhor	maneira	sua	superfície	territorial.	Esse	processo	é	vinculado	a	uma	estrutura	
geodésica	de	 referência.	Assim,	os	 limites	das	propriedades	e	as	parcelas	territoriais	
com	uma	referência	permanente	tornaram-se	mais	seguros	e	confiáveis.	 	
 
No	Brasil,	utilizamos	o	Sistema	Geodésico	Brasileiro	(SGB),	de	acordo	com	a	NBR	
13.133/2021,	que	é	um	conjunto	de	geodésicos	descritores	da	superfície	física	da	Terra,	
delimitados	pela	fronteira	do	país,	no	qual	prevalecem	critérios	de	exatidão	sobre	as	
simplificações	para	a	figura	da	Terra	(BRASIL,	2021).
91
Em	outras	palavras,	o	SGB	utiliza	um	datum, que é um modelo matemático da 
representação	da	Terra	ao	nível	do	mar.	O	datum é um conjunto de pontos e valores 
de	coordenadas	que	definem	as	condições	 iniciais	para	estabelecer	o	 sistema.	Assim,	
o	 Instituto	 Brasileiro	 de	 Pesquisas	 Geográficas	 (IBGE)	 estabeleceu	 que	 o	 referencial	
altimétrico	do	SGB	é	tomado	no	porto	de	Imbituba,	litoral	do	estado	de	Santa	Catariana	
(GOUVEIA,	2018).	
Quer saber por que a amplitude da maré tende a diminuir de norte a sul 
do Brasil? Acesse: http://twixar.me/J3xm.
DICA
Porto de Imbituba guarda o marco zero de altitude do Brasil. Lei mais 
em: http://twixar.me/93xm.
NOTA
Mas	vale	lembrar	que	o	SGB	tem	uma	média	de	70	mil	estações	em	todo	o	território	
nacional, com redes planimétricas, altimétricas e gravimétricas que têm por objetivo 
coletar	dados.	A	 rede	planimétrica	é	um	conjunto	de	estações	que	objetivam	materializar	
componentes	 planimétricos	 e	 planialtimétricos	 do	Sistema	Geodésico	Brasileiro	 (SGB).	
Já	a	rede	altimétrica,	também	conhecida	como	referencial	de	nível,	mede	o	nivelamento	
geométrico	de	alta	precisão.	Por	fim,	a	 rede	gravimétrica	contém	 informações	sobre	a	
aceleração	da	gravidade	e	as	características	das	estações	(VOLPATO	et al.,	2008).	
Dessa	forma,	quando	estudamos	o	levantamento	topográfico,	podemos	descrever	
que	há	três	tipos:	o	primeiro	é	o	levantamento	topográfico	planimétrico,	também	deno-
minado	de	planimetria,	que	é	o	objetivo	de	estudo	do	nosso	tópico.	Nesta	disciplina,	
abordaremos apenas o planimétrico devido à sua importância na matemática em com-
preender	a	superfície	de	um	terreno	e	juntamente	com	as	coordenadas	x,	y	e	z	de	uma	
determinada	área,	em	que	este	objetiva	caracterizar	a	medição	das	projeções	horizontais	
que	definem	uma	área.	
 
O	levantamento	topográfico	altimétrico	consiste	em	definir	alturas	de	determinado	
terreno, também chamado de altimetria, e objetiva compreender o grau de declividade do 
terreno.	O	terceiro	é	o	levantamento	topográfico	planialtimétrico,	que	tem	por	objetivo	
unir	esses	dois	primeiros	conceitos	e	medir	projeções	horizontais	de	diferentes	alturasdo	
relevo,	gerando	um	mapeamento	completo.	Estes	dois	serão	discutidos	na	disciplina	de	
topografia,	pois	é	fundamental	compreender	outras	variáveis	ambientais	e	de	topografia.		
 
92
Perante	tal,	o	levantamento	topográfico	normalmente	é	determinado:
Por pontos de apoio ao levantamento (pontos planimétricos, 
altimétricos ou planialtimétricos), e a partir destes, são levantados os 
demais	pontos	que	permitem	representar	a	área	levantada.	A	primeira	
etapa	pode	ser	chamada	de	estabelecimento	do	apoio	topográfico	e	
a	segunda	de	levantamento	de	detalhes.	(VEIGA	et al.,	2012).
Diante disso, os mesmos autores salientam que os pontos distribuídos amarram 
o	terreno	ao	 levantamento	topográfico	e,	dessa	forma,	são	materializados	por	estacas,	
piquetes, marcos de concreto, tinta, entre outros, e isso depende da importância e da 
permanência (VEIGA et al.,	2012).		 	 	 	
Algumas	formas	de	materialização	de	pontos	de	apoio	são	chamadas	de	mono-
grafia	de	ponto,	a	qual	representa	diversas	informações,	como	coordenadas,	croquis	de	
localização,	data	de	levantamento	ou	até	foto	do	ponto.	A	figura	a	seguir	mostra	como	é	a	
monografia	de	ponto	topográfico.
Figura 1 – Monografia de pontos
Fonte: Veiga et al. (2012)
93
No	 Brasil,	 o	 conjunto	 de	 normas	 e	 diretrizes	 técnicas	 que	 tem	 por	 objetivo	
padronizar	a	elaboração	e	a	construção	do	levantamento	topográfico	é	a	NBR	13.133/2021,	
denominada	 execução	 de	 levantamento	 topográfico.	 O	 levantamento	 de	 detalhes	 é	
definido	como:
[...]	 conjunto	 de	 operações	 topográficas	 clássicas	 (poligonais,	 irradia-
ções,	 interseções	 ou	 por	 ordenadas	 sobre	 uma	 linha	 base),	 destinado	
à	 determinação	 das	 posições	 planimétricas	 e/ou	 altimétricas	 dos	
pontos, que vão permitir a representação do terreno a ser levanta-
do	topograficamente	a	partir	do	apoio	topográfico.	Estas	operações	
podem conduzir, simultaneamente, à obtenção da planimetria e da 
altimetria,	 ou	então,	 separadamente,	 se	as	condições	especiais	do	
terreno	ou	exigências	do	levantamento	obrigarem	à	separação	(BRASIL,	
2021,	p.	3).
Mas	focando	o	levantamento	planimétrico,	este	é	utilizado	para	compreender	os	
limites	de	um	terreno.	Em	outras	palavras,	a	planimetria	é	um	 instrumento	para	medir	
distâncias	e	determinado	plano	horizontal.
Vale lembrar que a planimetria é um conjunto de pontos no terreno, sendo 
denominada	 levantamento	 topográfico.	 Essa	 operação	 implica	 a	medição	 de	 grandezas	
como	ângulos	e	distâncias.	Entendemos	que	o	objetivo	é	sempre	descrever	um	trecho	
da	superfície	terrestre,	e	o	levantamento	planimétrico	é	quando	os	pontos	levantados	
geram	um	único	plano	horizontal	(COELHO	JUNIOR	et al.,	2014).		
O	levantamento	topográfico,	no	geral,	consiste	em	um	conjunto	de	operações	a	
fim	de	reproduzir	geometricamente	determinada	área.	Essas	operações	podem	ocorrer	
em	saídas	de	campo	ou	no	próprio	escritório.
 
Há diversos métodos para se desenvolver o levantamento, porém dependem da 
finalidade	a	que	se	destinam,	da	extensão	da	área,	do	tipo	de	área	e	dos	instrumentos	
disponíveis	para	desenvolver	o	levantamento.	Além	desses	fatores,	deve-se	considerar	a	
experiência	do	operador.
Assim,	a	NBR	13.133/2021	tem	por	objetivo:	
Fixar	condições	exigíveis	para	a	execução	de	levantamento	topográfico	
destinado a obter: a) conhecimento geral do terreno: relevo, limites, 
confrontantes,	 área,	 localização,	 amarração	 e	 posicionamento;	 b)	
informações	 sobre	o	 terreno	destinadas	a	estudos	preliminares	de	
projetos;	 c)	 informações	 sobre	 o	 terreno	 destinadas	 a	 anteprojetos	
ou	 projetos	 básicos;	 d)	 informações	 sobre	 o	 terreno	 destinadas	 a	
projetos	executivos	(BRASIL,	2021,	p.	1).	
Além	 disso,	 a	 NBR	 13.133/1994	 traz	 as	 seguintes	 fases	 para	 o	 levantamento	
planimétrico:	 planejamento,	 seleção	 de	 métodos	 e	 aparelhagem,	 apoio	 topográfico,	
levantamento	detalhado	e	cálculo	e	ajustes.	 	 	 	 	 	
 
94
A	principal	fase	que	merece	breve	menção	é	o	levantamento	planimétrico,	que	
é	o	reconhecimento	da	área.	Ele	objetiva	percorrer	e	entender	a	área	 levantada,	com	
vértices da poligonal básica, escolhendo pontos e determinando a inclinação magnética 
e	a	orientação	da	planta.	
Vale	 lembrar	que	quando	 falamos	em	 levantamento	da	poligonal,	 partimos	do	
ponto	de	partida	que	foi	escolhido	para	darmos	 início	ao	 levantamento	e	percorremos	
todo	o	perímetro	até	o	seu	fechamento.	Durante	esse	processo,	são	 levantados	todos	os	
elementos	que	caracterizam	as	divisórias	do	terreno,	área	ou	propriedade.	Além	disso,	
devem ser levantados pontos característicos que irão servir de base para a amarração e o 
controle	com	exatidão	das	poligonais	internas.	 	 	 	 	 	
 
Por	fim,	deve-se	compreender	que	o	levantamento	de	detalhes	auxilia	nos	croquis,	
para	que	eles	sejam	claros	e	evitem	confusão	no	ato	de	execução	do	desenho	e	no	próprio	
protocolo	do	projeto.
3 CÁLCULO DE ÁREAS
Os cálculos de áreas na planimetria devem ser desenvolvidos com roteiro 
convencional,	ou	seja,	possuir	coordenadas	do	sistema	topográfico	coletadas	a	campo.	
Diversas vezes, os cálculos de áreas são desenvolvidos na própria saída de campo, com 
calculadoras	 programáveis	 e/ou	 cadernetas	 de	 campo	 ou	 planilhas	 apropriadas.	 No	
entanto, quando são utilizadas calculadoras com saídas impressas e computadores, 
as saídas devem registrar os dados de entrada e os resultados com outros elementos 
característicos	da	área	(BRASIL,	1994).	
Mas para podemos desenvolver um cálculo da área, todos os elementos devem 
ser observados, como ângulo, distância, altura, leitura das miras e outros elementos 
que	possibilitem	os	cálculos	de	forma	clara,	ordenada,	completa,	precisa	e	 impessoal	
(BRASIL,	1994).	Outro	aspecto	que	merece	breve	menção	é	que	os	elementos	devem	
conter	 os	 croquis.	 Esses	 devem	 ser	 detalhados,	 representando	 os	 pontos	visados	 e	
apresentando	medições	complementares	com	distâncias	para	a	verificação	ou	até	para	
complementar	o	levantamento.	
A	estimativa	da	área	de	um	terreno	pode	ser	determinada	por	meio	de	medições	
realizadas	diretamente	no	terreno	ou	de	medições	gráficas	sobre	uma	planta	topográfica.	
As	medições	do	levantamento	planimétrico	visam	calcular	os	comprimentos	da	superfície	
de	uma	área	real	e	com	escala.	Assim,	os	cálculos	de	comprimento	linear	unidimensional	
são	de	interesse	do	analista	de	geoprocessamento,	visto	que	esse	estudo	faz	parte	da	
topografia	geodésia	e	trabalho	de	campo.	No	entanto,	devido	a	diversos	 limites	para	
possíveis	medições,	as	medições	ocorrem	por	cartas,	mapas	e	plantas,	aproveitando	as	
escalas	dessas	representações	(COELHO	JUNIOR	et al.	2014).	 	
95
Vale destacar que é primordial entender a natureza da área e como ela aparece 
desenhada	em	escalas	diferentes,	visto	que	há	centenas	de	unidades	de	medição	de	
área,	como	hectares,	alqueires	goianos,	alqueires	paulistas,	tarefas,	acres,	quadrados	de	
medidas	lineares	(cm²,	m²,	km²,	pé²	etc.)	e	muitas	outras	usadas	na	Ásia,	na	África	etc.	
 
Cada	unidade	tem	suas	particularidades	em	aplicações	de	diferentes	casos,	e	
todas	são	compreendidas	pelos	técnicos	de	diversas	 regiões.	O	grande	problema	é	que	
suas	conversões	são	lentas	e	difíceis	e	quando	se	considera	a	escala	do	mapa,	torna-se	
mais	difícil.	Porém,	atualmente,	utiliza-se	mais	o	hectare	como	unidade	espacial	básica	
do	sistema	métrico,	ou	seja,	um	hectare	equivale	a	10.000	metros	quadrados.
Mas pergunta-se: quantos metros mede cada lado de um hectare? Digamos que 
nossa	forma	seja	geometricamente	quadrada,	a	resposta	é	simples,	é	a	raiz	quadrada	
de	10.000	m² = 10.000	m² = 1.000	metros.	Mas	se	formos	relacionar	 isso	a	um	campo	
de	futebol,	 quanto	mede?	Um	hectare	equivale	a	aproximadamente	dois	campos	de	
futebol	oficiais.	No	Brasil,	maioria	das	pequenas	propriedades	rurais	mede	20	hectares,	
mas	há	também	mais	de	400.000	estabelecimentos	agrícolas	que	medem	menos	de	um	
hectare.	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
 
Por	exemplo,	se	um	hectare	de	forma	quadrada	medir	100metros	de	um	lado,	
serão	necessários	10	segmentos	alinhados	para	se	ter	uma	faixa	de	comprimento	de	um	
quilômetro	como	largura.	No	entanto,	se	a	largura	for	de	1.000	metros,	é	necessário	um	
quilômetro	quadrado,	que	contém	100	hectares.	Ou	seja,	uma	área	de	edificação	com	
100	hectares	tem	1	km2	de	superfície;	com	382	hectares,	tem	3,82	km2;	e	com	10.000	
hectares,	tem	100 km2.	Esses	são	os	valores	reais	da	superfície	discutida.	Na	figura	a	
seguir,	demonstra-se	uma	área	de	100	hectares	representada	em	diferentes	escalas.
Figura 2 – Área de 100 hectares representada em diferentes escalas
Fonte: a autora (2022)
96
Existem	três	métodos	para	podermos	calcular	as	áreas	da	superfície.	O	primeiro	é	
o	método	gráfico,	que	objetiva	decompor	a	figura	geométrica.	O	segundo	é	o	método	
analítico,	que	é	a	partir	de	coordenadas	digitais.	Já	o	terceiro	é	o	método	mecânico,	
denominado também de planimétrico, em que a medida é realizada no mapa, também 
conhecida	como	área	gráfica.	Dessa	forma,	corresponde	à	área	real	(A).	
O	 método	 gráfico	 tem	 como	 objetivo	 trabalhar	 as	 áreas	 geométricas,	 como	
retângulos,	quadrados	e	triângulos,	sobre	os	mapas.	Esse	processo	é	fundamental	para	
transformar	 os	valores	 e	 os	 lados	 das	figuras	 em	valores	 reais	 para,	 posteriormente,	
calcular	 a	 área.	 Mas	 vamos	 pensar	 de	 forma	 diferente?	 Se	 a	 escala	 que	 estamos	
utilizando	 muda	 de	 fator,	 a	 mesma	 área	 do	 papel	 muda.	 Por	 exemplo,	 a	 área	 que	
estamos desenvolvendo o trabalho mede 12 cm por 8 cm em um mapa de qualquer 
escala,	e	mede	6	cm	por	4	cm	em	outro	mapa	construído	com	metade	da	escala.	Em	
outras	palavras,	podemos	dizer	que	96	cm2 no primeiro mapa serão apenas 24 cm2 no 
segundo,	que	possui	 a	escala	 reduzida	pela	metade.	 Logo,	diminuindo	a	escala	pela	
metade,	essa	segunda	carta	ocupa	uma	quarte	parte	e	assim	por	diante.		 	
 
Dessa	 forma,	 quando,	 no	mapa,	 houver	 figuras	 geométricas	 planas,	 podemos	
utilizar	fórmulas	específicas	para	os	cálculos	de	área,	por	exemplo,	do	quadrado,	triângulo,	
retângulo,	círculo,	trapézio,	losango,	entre	outros	(Figura	3).	
Figura 3 – Figuras geométricas planas e as fórmulas da área
Fonte: a autora (2022)
Veja	os	exemplos	a	seguir.
97
Mas	vale	 lembrar	que	há	formas	geométricas	que	podem	ser	 subdivididas	em	
triângulos;	e	assim	podemos	utilizar	somente	as	fórmulas	do	triângulo	e	fazer	as	somas	
parciais.	
Figura 4 – Formas geométricas subdivididas em triângulos
Fonte: a autora (2022)
98
Os	 polígonos	 são	 figuras	 geométricas	 planas	 formadas	 por	 segmentos	 da	 reta.	
Então,	a	área	é	uma	representação	da	medida	da	superfície	da	figura.	As	unidades	das	
medidas	são	em	metro	quadrado	e	centímetro	quadrado.
 
Para calcular as áreas dos polígonos, são necessários alguns dados, como apótema, 
perímetro	e	semiperímetro.	Vamos	a	um	exemplo?	
Figura 5 – Hexágono
Fonte: a autora (2022)
Sendo: 
Apótema	=	a.
Lado	=	L.
Perímetro	=	6.	L	(hexágono).
Semiperímetro	p	=	perímetro:	2.
Área	=	p.	a.
O	perímetro	é	a	soma	de	todos	os	lados	de	um	polígono,	ou	seja,	da	figura.	Já	o	
semiperímetro é a metade do perímetro, e o apótema é um segmento de reta que une o 
centro	da	figura	ao	meio	de	um	dos	lados.
Mas como calcular a área de um hexágono?
 Você notou que o hexágono possui 6 triângulos equiláteros? Lembremos 
que	a	fórmula	do	triângulo	equilátero	é:	
Assim,	multiplicamos	pelo	número	de	lados	 =	
99
Mas	quando	o	triângulo	não	for	equilátero	(dois	lados	iguais)?	Entendemos	que	
o	triângulo	é	a	base	x	altura.	Logo,	utilizamos	a	fórmula	de	Herón	para	área	de	triângulos	
, 
sendo:
P:	semiperímetro.
a,	b,	c:	lados.
Já	o	triângulo	retângulo	possui	um	ângulo	reto.	Logo,	a	área	é	calculada	pelo	
cateto	oposto	x	cateto	adjacente/2.	Para	o	triângulo	isósceles,	é	necessário	usar	a	fórmula	
geral	do	triângulo.	No	entanto,	caso	não	haja	dados	da	altura,	é	fundamental	utilizar	
o	teorema	de	Pitágoras.	Vale	 lembrar	que,	no	triângulo	 isósceles,	o	 lado	com	a	medida	
diferente	dividirá	o	 lado	em	dois	segmentos	da	mesma	medida,	possibilitando,	assim,	o	
teorema	de	Pitágoras.	Veja:
	=	
Portanto,	quando	aplicamos	a	fórmula	básica	da	área	de	triângulo,	temos:
Fórmula triângulo: 
Em que:
A=	área
B	=	base
H	=	altura
100
Vamos a exemplos:
		=>	 		=>		A	=	24cm²
Fórmula triângulo retângulo: 
		=>	 		=>		A	=	28cm²
101
Quer saber mais? Relembre a trigonometria para aplicar nas áreas 
de cálculo de triângulo. Este vídeo traz, de forma didática e dinâmica, 
como calcular as áreas do triângulo! Lembre-se de que muitas vezes 
podemos dividir as formas geométricas em triângulos para encontrar 
sua área! Vale a pena conferir! Disponível em: http://twixar.me/c3xm.
DICA
4 POLIGONAL 
A	 poligonação	 é	 um	 método	 utilizado	 na	 topografia	 para	 compreender	 as	
coordenadas	 dos	 pontos.	 Um	 poligonal	 nada	 mais	 é	 que	 linhas	 consecutivas	 que	
são conhecidas, os comprimentos e a direção (processo esse levantado em saídas 
de	 campo).	Mas	 antes	de	discutirmos	os	 tipos	de	poligonais,	vamos	entender	 o	 que	
são	levantamento	de	detalhes.	A	NBR	13.133	afirma	que	é	um	conjunto	de	operações	
topográficas,	 interseções	 e/ou	 ordenadas	 sobre	 uma	 linha	 base,	 destinado,	 assim,	 a	
posições	da	planimetria	ou	altimetria	dos	pontos	que	vão	admitir	representar	um	terreno	e	
ser	levantado	topograficamente	(BRASIL,	1994).	
Moraes (1997) desenvolveu sua pesquisa de doutorado sobre erros e 
soluções ao fazer levantamento de poligonais, em que utilizou métodos 
de ajustamento e variações de coordenadas combinadas com poligonais 
topográficas! Vale a pena ler! Disponível em: http://twixar.me/s3xm.
DICA
102
Dessa	forma,	quando	vamos	fazer	um	levantamento	topográfico,	diferentes	mé-
todos	podem	existir,	como	poligonação	(conteúdo	do	nosso	tópico),	irradiação,	intersecção	
e	ordenadas	sobre	uma	linha	base.	Então,	a	poligonação	é	o	método	empregado	para	
determinar	as	coordenadas	dos	pontos,	principalmente	para	a	definição	dos	pontos	de	
apoio	planimétrico.	Assim,	a	poligonal	nada	mais	é	que	uma	série	de	linhas	consecutivas	
em	que	conhecemos	o	comprimento	e	a	direção.	Esse	processo	ocorre	devido	ao	método	
de	caminhamento,	ou	seja,	percorrendo	seu	contorno	e/ou	itinerário	definido	por	uma	
série	de	pontos	e	medindo	os	ângulos	e	os	lados.	A	partir	desses	dados	e	de	uma	coor-
denada	de	partida,	pode-se	calcular	as	coordenadas	de	todos	os	pontos	que	formam	a	
poligonal (SAMPAIO,	2005).
Jordan,	já	em	1981,	salientava	que	as	poligonais	tinham	três	tipos:	podiam	ser	
fechadas,	 abertas	 ou	 enquadradas.	 Uma	 poligonal	 aberta	 tem	 como	 princípio	 que	 as	
coordenadas são conhecidas e partem de um ponto em qual coordenada se deseja 
determinar.	Vale	lembrar	que	não	é	possível	encontrar	ou	determinar	erro	ou	fechar	a	
poligonal,	portanto,	deve-se	tomar	cuidado	para	evitar	erros.	
Figura 6 – Poligonal aberta
Fonte: a autora (2022)
Uma	poligonal	fechada	parte	do	pressuposto	de	que	existe	coordenadas	conhe-
cidas	e	retorna	ao	mesmo	ponto.	Além	disso,	tem	como	vantagem	permitir	a	verificação	
dos	erros	angulares	e	lineares.	
103
Figura 7 – Poligonal fechada
Fonte: a autora (2022)
Vamos a um exemplo de uma poligonal fechada?
Com	base	nas	informações	angulares	da	poligonal	apresentada	a	seguir,	calcule	
azimute	dos	alinhamentos	BC	e	CD,	indicando	os	azimutes	dos	alinhamentos	BC	e	CD,	
indicando	 corretamente	 os	 ângulos	 no	 desenho.	 Os	 ângulos	 calculados	 deverão	 ser	
exibidos	em:	graus,	minutos	e	segundos.
Uma	aplicação	comum	da	poligonal	fechada	é	a	partir	de	um	ponto	(X,	Y)	com	
coordenadas UTM conhecidas e um azimute (orientação da ré), também conhecido, 
utilizando	 teodolito	 ou	 estação	 total.	 Dessa	 forma,	 podemos	 obter	 os	 dados	 com	
medidas dos ângulos e distâncias dos pontos de interesse, permitindo assim o cálculo 
dos azimutes e da correção angular, para em seguida conseguir realizar os cálculos das 
projeções	e	correções	das	coordenadas	(X,	Y)	obtendo	as	coordenadas	UTM	dos	pontos	
visados.
104Veja este vídeo que faz parte do projeto "Desenvolvimento de 
abordagem baseada em projetos para o ensino de topografia para 
engenharia ambiental”, da Universidade Federal do Ceará (UFC). O 
vídeo mostra de forma clara e didática como desenvolver o cálculo de 
área de uma poligonal fechada, processo extremamente importante 
para quem precisa fazer um levantamento topográfico e utilizar o 
geoprocessamento! Disponível em: http://twixar.me/Q3xm.
DICA
4.1 POLIGONAL ENQUADRADA
Uma	poligonal	enquadrada	(Figura	9)	tem	por	objetivo	partir	de	dois	pontos	com	
coordenadas	 conhecidas	 e	 terminar	 em	 dois	 pontos	 com	 coordenadas	 conhecidas.	
Desse	modo,	possibilita	compreender	a	verificação	dos	erros	de	fechamento	angular	
e	 linear.	Uma	vantagem	de	utilizar	 esse	método	é	 a	verificação	de	erros	que	podem	
ocorrer	em	alguma	coleta	ou	erro	acidental.
Figura 9 – Poligonal enquadrada
Fonte: a autora (2022)
Mas	quando	utilizar	poligonal	fechada,	aberta	ou	enquadrada?	Esses	métodos	
de	cálculo	de	área	possibilitam	entender	e	verificar	os	erros	lineares	e	angulares,	ou	seja,	
métodos de cálculo de área juntamente com as poligonais enquadradas são utilizados 
para	obter	dados	das	estações	e	receptores	GNSS.	Além	disso,	as	poligonais	fechadas	e	
enquadradas	são	indicadas	para	o	monitoramento	de	estruturas.	
Devido	 à	 sua	 importância,	 a	 NBR	 13.133/21994	 classifica	 as	 poligonais	 em:	
principal,	secundária	e	auxiliar.	A	poligonal	principal	determina	os	pontos	da	primeira	
ordem, enquanto a poligonal secundária é o apoio do vértice da poligonal principal 
e	 apoio	 dos	 pontos	 de	 apoio	 de	 segunda	 ordem.	 Por	 fim,	 a	 poligonal	 auxiliar	 são	 as	
poligonais	do	ponto	de	apoio	topográfico	planimétrico	e	seus	vértices	distribuídas	na	
área levantada, que podemos coletar direta ou indiretamente por irradiação, interseção 
ou	ordenadas.	
105
Antes	 de	 se	 iniciar	 propriamente	 os	 cálculos,	 a	 NBR	 13.133/1994	 informa	 as	
etapas do levantamento de dados: a) planejamento, seleção de métodos e aparelhagem; 
b)  apoio	 topográfico;	 c)	 levantamento	 de	 detalhes;	 d)	 cálculos	 e	 ajustes;	 e)	 original	
topográfico;	f) desenho	topográfico	final;	e	g)	relatório	técnico.
Dessas	etapas,	destaca-se	o	apoio	topográfico,	que	vai	colocar	os	piques	ou	marcos	
topográficos,	isto	é,	vai	amarrar	o	levantamento	do	terreno.	Antigamente,	denominava-se	
original	topográfico	a	folha	em	que	se	calculava.	Atualmente,	há	softwares de tratamento 
de	dados.	Além	disso,	não	se	pode	apenas	desenvolver	os	cálculos,	mas	construir	um	
relatório	técnico	seguindo	a	NBR	13.133	com	os	seguintes	tópicos:
 
• objeto;
•	 finalidade;
• período de execução;
• localização;
• origem (datum);
• descrição do levantamento ou do serviço executado;
•	 precisões	obtidas;
• quantidades realizadas;
• relação da aparelhagem utilizada;
•	 equipe	técnica	e	identificação	do	responsável	técnico;
• documentos produzidos;
• memórias de cálculo, destacando-se:
◦	 planilhas de cálculo das poligonais;
◦	 planilhas	das	linhas	de	nivelamento.
	 A	NBR	13.133/2021	se	refere	a	distância	máxima	entre	os	vértices,	informando	que	deve	
se	utilizar	uma	máxima	amarração	de	500	metros	em	áreas	urbanas	e	5.000	metros	em	
áreas	rurais.
Você, futuro profissional da área de geoprocessamento, precisa ter 
domínio dessa NBR, pois ela traz todos os procedimentos necessários 
para um levantamento topográfico e os cálculos corretos para os 
levantamentos das poligonais! É fundamental uma leitura atenciosa 
dela! Você vai precisar desse conhecimento como futuro analista de 
geoprocessamento. Acesse: http://twixar.me/vKxm.
DICA
106
Mas como calcular uma poligonal enquadrada? O cálculo das coordenadas 
dos	vértices	deve	seguir	o	cálculo	dos	azimutes	de	partida	e	chegada	em	função	das	
coordenadas dos pontos que se conhece e realizar o transporte do azimute, calculando 
os	demais	azimutes	em	função	do	azimute	de	partida	e	dos	ângulos	horizontais	medidos	
(VEIGA et al.,	2012).
Dessa	 forma,	 no	 cálculo	 do	 erro	 angular	 cometido,	 comparamos	 o	 azimute	
da	 última	direção	 obtido	 pelo	 transporte	 do	 azimute	 com	o	 azimute	 calculado.	 Esse	
processo	acontece	a	partir	das	coordenadas	dos	pontos.	Vejamos: 
𝑒𝑎 = 𝐴 𝑐 – 𝐴 𝑜
Sendo:
Ea:	erro	angular.
Ac:	azimute	calculado	a	partir	do	transporte	do	azimute.
Ao:	azimute	obtido	a	partir	das	coordenadas.
Posteriormente,	verificaremos	se	o	erro	angular	está	dentro	do	tolerável	da	poligonal,	
vejamos:
𝑡𝑎 	=	p.	
Em que:
p:	precisão	nominal	do	equipamento	utilizado	para	coletar	as	informações	no	campo.
n:	é	o	número	de	ângulos	medidos	na	poligonal.
	Assim,	a	correção	angular	é	calculada	dividindo	o	erro	angular	pelo	número	de	
ângulos	medidos.	Vejamos:	
𝑐 𝑎 	=	
Sendo:
ca:	correção	angular.
n:	é	o	número	de	ângulos	medidos	na	poligonal.
Vamos a um exemplo?
Mas um aspecto que merece breve menção é o cálculo de azimute, que é com-
preender	as	direções,	ou	seja,	o	azimute	determina	o	sentido	horário.	Assim,	conceitual-
mente	falando,	azimute	é	o	ângulo	formado	entre	o	Norte	e	o	ponto	levantado.	Vejamos	
a	figura	a	seguir!
107
Figura 10 – Azimutes
Fonte: a autora (2022)
Assim,	em	um	espaço	de	coordenadas	no	qual	se	 identifica	pelo	menos	dois	
pontos	A	e	B,	precisamos	encontrar	o	azimute	de	AB,	ou	azimute	de	A	para	B,	ou	o	
ângulo contado a partir dos eixos das ordenadas Norte, podendo variar de 0 a 3600.	
Vejamos	o	exemplo.
Figura 11 – Ângulo do azimute
FONTE: a autora (2022)
Como calcular o azimute? 
Inicialmente,	veja	a	figura.	Vamos	calcular	o	azimute	do	M2	→a M1, sendo as 
coordenadas cartesianas: M1	(X=7699,865;	Y	=4124,629;	Z	=	908,664),	M2 (X=7750,883;	
Y=4102,025;	Z	=	911,260)	e	M3(X=7717,378;	Y=4146,631;	Z	=	909,695).
108
Figura 12 – Coordenadas e o ângulo de azimute
Fonte: a autora (2022)
O azimute é o ângulo do sentido horário a partir do Norte até a direção P1 – P, 
sendo dado pela seguinte equação:
tan(Az)	=	
No	cálculo,	podemos	descobrir	a	quadrante	do	azimute.	Portanto,	podemos	isolar	
os	sinais,	ou	seja,	numerador	negativo	e	denominador	positivo.	Vejamos:
Figura 13 – Quadrante do azimute
Fonte: a autora (2022)
109
O azimute está no 4° quadrante
=	660 06’ 14’’
Para	finalizar	nosso	conteúdo	 sobre	 azimute,	vamos	a	outro	 exemplo.	Veja	 o	
gráfico:
Figura 14 – Azimute
Fonte: a autora (2022)
Cálculo do azimute:
	=	
 
Cálculo da distância: 
O professor da UFV traz, de forma clara e sucinta, a importância de 
compreender a representação gráfica do azimute e como ocorrem os 
alinhamentos de uma poligonal. Vale lembrar que isso é importante para 
quando você necessitar fazer um levantamento planimétrico ou de áreas! 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=aCxkFYLuEtY.
DICA
110
Neste tópico, você aprendeu:
•	 O	levantamento	topográfico	planimétrico	é	a	medição	das	projeções	horizontais	que	
definem	uma	área	e	é	utilizado	para	compreender	os	 limites	de	um	terreno,	sendo	
que,	no	Brasil,	utilizamos	a	NBR	13.133/2021	como	norma	regulamentadora.
•	 No	Brasil,	o	conjunto	de	normas	e	diretrizes	técnicas	que	tem	por	objetivo	padronizar	
a	 elaboração	 e	 a	 construção	 do	 levantamento	 topográfico	 é	 a	 NBR	 13.133/2021,	
chamada	de	execução	de	levantamento	topográfico.
•	 A	NBR	 13.133/2021	 traz	as	 fases	para	o	 levantamento	planimétrico:	 planejamento,	
seleção	 de	métodos	 e	 aparelhagem,	 apoio	 topográfico,	 levantamento	 detalhado	 e	
cálculo	e	ajustes.
• Cálculos de áreas na planimetria devem ser desenvolvidos com roteiro convencional, 
ou	seja,	possuir	coordenadas	do	sistema	topográfico	coletadas	a	campo,	já	a	estimativa	
da	 área	 de	 um	 terreno	 pode	 ser	 determinada	 por	 meio	 de	 medições	 realizadas	
diretamente	no	terreno	ou	de	medições	gráficas	sobre	uma	planta	topográfica.
•	 Existem	três	métodos	para	podermos	calcular	as	áreas	da	superfície.	O	primeiro	é	o	
método	gráfico,	que	objetiva	decompor	a	figura	geométrica.	O	segundo	é	o	método	
analítico,	 que	 é	 feito	 a	 partir	 de	 coordenadas	 digitais.	 O	 terceiroé	 o	 mecânico,	
chamado também de planimétrico, em que a medida é realizada no mapa, também 
conhecida	como	área	gráfica.	Dessa	forma,	corresponde	à	área	real	(A).
•	 Quando,	 no	 mapa,	 houver	 figuras	 geométricas	 planas,	 podemos	 utilizar	 fórmulas	
específicas	para	 cálculos	 de	 área,	 por	 exemplo,	 do	quadrado,	 triângulo,	 retângulo,	
círculo,	trapézio,	losango,	entre	outras.
•	 Há	formas	geométricas	que	podem	ser	subdivididas	em	triângulos.	Assim,	podemos	
utilizar	 somente	as	 fórmulas	do	triângulo	e	 fazer	as	 somas	parciais.	Mas	como	os	
polígonos	são	figuras	geométricas	planas	formadas	por	segmentos	da	reta,	é	possível	
utilizar	outras	formas	geométricas	para	a	soma,	mas	a	mais	utilizada	é	o	triângulo.
• O perímetro é a soma de todos os lados de um polígono, e a poligonação é um método 
utilizado	 na	 topografia	 para	 compreender	 as	 coordenadas	 dos	 pontos,	 enquanto	
a poligonal enquadrada tem por objetivo partir de dois pontos com coordenadas 
conhecidas.
RESUMO DO TÓPICO 1
111
1	 O	croqui	a	seguir	contém	as	medições	do	 levantamento	planimétrico	de	uma	poligonal	
destinada	à	implantação	do	eixo	de	uma	rodovia.	Os	pontos	A1	e	B1	são	pontos	de	
apoio	aos	quais	a	poligonal	está	enquadrada.	Além	disso,	por	se	tratar	de	um	estudo	
preliminar,	não	existe	controle	de	fechamento	no	vértice	D.	Determine	o	azimute	de	AB.
AUTOATIVIDADE
Fonte: a autora (2022)
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	 (			)	 2,5.
b)	 (			)	 3,5.
c)	 (			)	 500/250.
d)	 (			)	 8.
2 Um dos processos mais importantes em um projeto de planta é entender e calcular 
a	distância	entre	as	coordenadas.	Assim,	João	fez	um	levantamento	da	rodoviária,	
mas como há uma área de preservação em seu entorno, é necessário compreender 
quais aspectos positivos e negativos que o empreendimento poderia causar à área 
ambiental,	que	tem	flora	endêmica.	Dessa	forma,	observe	a	figura	a	seguir	e	calcule	a	
distância	de	AB.
Fonte: a autora (2022)
112
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	 (			)	 538,51.
b)	 (			)	 539,50.
c)	 (			)	 358.
d)	 (			)	 350.
3	 Você	 estava	 desenvolvendo	 a	 cartografia	 de	 um	 projeto	 de	 estudo	 de	 impacto	
ambiental,	o	qual,	ao	redor	da	área,	continha	uma	área	de	preservação	permanente.	Os	
técnicos	em	campo	dimensionaram	a	área	como	um	quadrado.	Assim,	foi	medida	uma	
área	de	10	cm	em	cada	lado,	ou	seja,	uma	área	pequena.	No	entanto,	necessitamos	
compreender a área para calcular a área em seu entorno, que deve ser preservada 
para	obedecer	às	normas.	
Assinale	a	alternativa	que	apresenta	CORRETAMENTE	a	área	da	nascente.
a)	 (			)	 100	cm².
b) ( ) 1000 cm2.
c) ( ) 1200 cm2.
d) ( ) 40 cm2.
4	 A	 palavra  azimute  é	 de	 origem	 árabe	 e	 significa	 “as	 direções”,	 sendo	 o	 azimute	
determinado	sempre	em	sentido	horário.	Azimutes	são	ângulos	a	partir	do	meridiano	
de	referência,	sendo	cálculos	importantes	para	o	geoprocessamento.	Dessa	forma,	
disserte	sobre	azimute.
5 Levantamento planimétrico é um conceito importante para o geoprocessamento, que 
visa	reconhecer	a	área	e	projetar	os	contornos	e	os	pontos	das	medidas.	No	entanto,	
é	uma	ferramenta	que	precisa	da	Matemática	para	ser	construída	e	utilizada	do	modo	
de	que	é	hoje.	Por	 isso,	o	Brasil	desenvolveu	a	NBR	13.133/2021,	que	é	a	principal	
norma	regulamentadora.	Descreva	o	seu	objetivo.	
113
COMPREENDENDO AS COORDENADAS 
GEOGRÁFICAS CARTESIANAS
UNIDADE 2 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO 
As	coordenadas	geográficas	são	linhas	imaginárias	que	têm	como	objetivo	localizar	
qualquer	ponto	da	superfície	da	Terra.	Dessa	forma,	podemos	encontrar	qualquer	região,	e	
esse	processo	ocorre	por	meio	da	utilização	de	medidas	como	graus,	minutos	e	segundos.	
As linhas imaginárias são denominadas paralelos e meridianos, e esse processo 
leva	em	conta	os	pontos	cardeais.	Os	paralelos	são	linhas	horizontais	que	cortam	o	globo	
no sentido Norte-Sul, ou seja, são círculos menores, dispostos em paralelo o círculo maior, 
na	Linha	do	Equador,	que	é	perpendicular	ao	eixo	de	rotação	do	planeta.	Os	meridianos	
são linhas imaginárias verticais que cortam do Leste-Oeste, assim, os meridianos são 
semicírculos, ou arcos, com as extremidades nos polos, estão dispostos no sentido Leste 
Oeste.	Assim,	o	sistema	de	coordenadas	geográficas	de	uma	região,	cidade,	país,	estado	
ou	planeta	é	medido	pelo	cruzamento	desses	paralelos	e	meridianos.
 
Dessa	forma,	um	dos	papéis	elementares	do	geoprocessamento	é	revelar	“onde”	
estão	os	 fenômenos;	 constitui-se	a	partir	 da	posição	que	um	dado	objeto	ocupa	no	
espaço	(LEAL,	2010).	Assim,	um	dos	critérios	utilizados	para	a	referência	à	localização	
dos	lugares	foi	o	das	coordenadas	geográficas,	ou	seja,	partíamos	do	princípio	de	que	a	
noção de espaço era cartesiana; e também a noção de localização deveria existir a partir 
dessa	concepção.	Ou	seja,	a	relação	convencional	partia	do	sentido	de	que	a	localização	
se alinhava aos critérios de representação do sistema cartesiano, que parte da lógica da 
instituição	da	métrica	das	coordenadas	x	e	y	do	plano.
O	papel	elementar	de	revelar	o	“onde”	dos	fenômenos,	a	partir	da	posição	de	um	
objetivo	estava	sendo	consagrada	com	as	coordenadas	geográficas.	Assim,	com	o	plano	
cartesiano,	as	combinações	de	x	e	y	criavam	uma	forma	de	endereço	específico	para	cada	
ponto	do	globo	terrestre,	permitindo	uma	identificação	precisa.	Assim,	a	“junção”	dessas	
linhas	é	o	fator	preponderante	para	a	existência	das	coordenadas	geográficas.
Por	 que	 as	 coordenadas	 geográficas	 existem	 e	 são	 importantes?	 Porque	 é	
um sistema de localização universal, em outras palavras, é um sistema que, por meio 
de grades e linhas imaginárias, determina a localização de qualquer objeto ou pessoa 
no	espaço	global	 (SENE;	MOREIRA,	2013).	As	 linhas	 imaginárias	são	denominadas	de	
paralelos e meridianos, e as utilizamos para medir os graus, que são as latitudes e as 
longitudes.	Assim,	os	paralelos	são	linhas	imaginárias	que	cortam	a	Terra	horizontalmente,	
sendo	sua	principal	linha	chamada	de	Equador.	Já	o	principal	meridiano	que	corta	os	
polos	de	Norte	a	Sul	é	a	linha	de	Greenwich.
 
114
Vale	lembrar	que	a	linha	de	Greenwich	foi	determinado	a	partir	de	uma	convecção,	
realizada	na	cidade	de	Washington	D.C.,	nos	Estados	Unidos,	em	1884.	Então,	 juntamente	
com	a	linha	do	Equador,	tornou-se	o	marco	inicial	das	latitudes	e	longitude	do	mundo.	
Assim, a linha do Equador possui latitude de 0º, aumentando à medida que se movimenta 
para o Norte e diminuindo a partir do movimento para o Sul, ou seja, as latitudes são a 
distância	da	linha	do	Equador	e	sua	medida	vai	de	-90º	até	90º.
O	meridiano	de	Greenwich	possui	linha	0º	de	longitude.	Ele	aumenta	à	medida	
que se movimenta para o Leste e diminui para o Oeste, sendo que suas medidas vão de 
180º	até	-	180º.	Vale	lembrar	que	é	pela	longitude	que	se	traça	os	fusos	horários.	
 
Destaca-se	que	as	 latitudes	negativas	se	 referem	a	 regiões	do	Hemisfério	Sul	
(também	 denominado	 de	 hemisfério	meridional),	 e	 as	 latitudes	 positivas	 se	 referem	
ao	Hemisfério	Norte,	conhecido	também	como	boreal.	Já	as	 longitudes	negativas	são	
referidas	pelo	Hemisfério	Oeste	ou	ocidental	e	as	positivas	ao	Hemisfério	Leste	ou	oriental.
Você	 se	 lembra	 daqueles	 mapas	 que	 conhecemos	 estudando	 Geografia	 no	
ensino	fundamental?	Aquele	que	mostra	o	globo	por	inteiro?	Ele	fornece	as	coordenadas	
geográficas	da	Terra	com	essas	combinações	de	 latitude	e	 longitude.	No	Brasil,	utilizamos	
o Datum Sirgas 2000, que é um sistema de coordenadas brasileiro que leva em conta 
detalhes	da	nossa	superfície	terrestre,	ou	seja,	é	o	nosso	sistema	de	referência.
Mas,	quando	falamos	em	sistema	de	referência,	entendemos	que	são	figuras	
geométricas	posicionadas	no	espaço	que	representam	alguma	parte	da	superfície,	que	
nos	permite	que	cada	ponto	da	superfície	da	Terra	tenha	uma	coordenada	X,	Y	e	Z.	Vale	
destacar	que	as	coordenadas	geográficas	que	envolvem	o	planeta,	enquanto	o	sistema	
de	referência	de	coordenadas	fornece	informação	para	adequar	a	grade	dosistema	de	
coordenadas	a	uma	determinada	área	da	superfície	do	planeta.		 
 
Por exemplo, usamos o SIRGAS	2000	no	Brasil	devido	à	existência	de	estações	
(coletores	de	dados)	que	corrigem	as	posições	para	 "encaixar"	com	precisão	a	grade	
de	coordenadas	geográficas	sobre	a	América	do	Sul,	diminuindo	os	erros	nessa	parte	do	
planeta.	Contudo,	para	um	posicionamento	na	Ásia,	por	exemplo,	o	sistema	de	referência	
de coordenadas não será o Sirgas	2000,	devido	ao	posicionamento	em	outro	continente.	
No Estados Unidos não se utiliza o Sirgas	2000,	pois	as	posições	obtidas	contêm	erros	
que	inviabilizam	a	utilização	desses	dados.	 	 	 	
Na matemática, o sistema de coordenadas cartesianas é um conjunto de três 
retas	(X,	Y	e	Z),	também	chamadas	de	eixos	coordenados,	mutuamente	perpendiculares.	O	
sistema de coordenadas geodésicas, ou elipsoide, tem as coordenadas denominadas 
de	 latitude	e	 longitude	geodésica.	A	superfície	a	partir	de	referência	de	altitude	mais	
utilizada	são	os	geoides	e	elipsoide.	Vale	lembrar	que	geoide	é	uma	superfície	que	se	
adéqua	melhor	ao	nível	médio	dos	mares,	e	a	elipsoide	é	a	superfície	matemática	sobre	a	
qual estão todos os cálculos geodésicos (DAL’FORNO et al.,	2010).		
 
115
Por	fim,	temos	o	sistema	de	coordenadas	planas,	 representadas	por	um	plano	
com componentes Norte e Leste, que geralmente são encontradas e utilizadas em 
mapas,	os	quais	 representam	as	feições	de	uma	superfície	curva	para	o	plano.	Assim,	
necessitam	de	modelos	matemáticos	para	podermos	adequá-los.	
Assim, neste tópico, compreenderemos e entenderemos as coordenadas geo-
gráficas	cartesianas,	sistema	métrico	e	o	transporte	de	coordenadas!	Bons	estudos!
2 COORDENADAS CARTESIANAS
As	 coordenadas	 cartesianas,	 também	 conhecidas	 como	 plano	 cartesiano,	 foram	
inventadas	pelo	matemático	e	filósofo	francês	René	Descartes,	em	meados	do	século	
XVII.	A	superfície	da	terra	é	projetada	por	um	plano	e	este	plano,	pode	ser	um	cilindro,	um	
cone	etc.	Vale	destacar	que	a	Matemática	e	a	Filosofia	andam	sempre	em	comum	acordo,	
ou seja, desde o início da civilização, principalmente, na Grécia antiga, os matemáticos 
e	os	filósofos	tiveram	estreita	relação	com	os	pensamentos	e	estudos	que	conhecemos	
hoje.
Nomes	de	famosos	estudiosos,	como	Pitágoras,	Galileo	Galilei	e	Tales	de	Mileto,	
são	exemplos	de	que	a	Matemática	e	a	Filosofia	andam	juntas,	ao	pensarem	em	como	
resolver	logicamente	e	matematicamente	os	problemas.	Dessa	forma,	Descartes	trouxe	o	
método	cartesiano,	denominado	“cânone”	do	pensamento	moderno.	 	 	
 
Além	disso,	o	filósofo	Descartes	também	é	conhecido	pela	frase	“penso,	 logo	
existo”,	o	que	sintetiza	essa	premissa	e	o	próprio	método	cartesiano.	Mas	para	chegar	à	
elaboração	dessa	tese,	teve	diversas	divergências	com	a	Filosofia,	que	foi	posta	como	
uma educação religiosa em meados de 1600, com diretrizes associadas ao aristotelismo 
e	 à	 doutrina	 cristã.	 No	 entanto,	 considerava	 a	 filosofia	 escolástica	 demasiadamente	
confusa;	assim,	acabou	criando	sua	própria	filosofia,	chamada	atualmente	de	filosofia	
moderna.
Descartes	divergia	da	filosofia	escolástica	devido	ao	fato	de	existir	a	crença	que	
as	“coisas”	precisavam	existir	apenas.	Dessa	forma,	levantou	a	hipótese	de	que	só	pode	
existir	o	que	pode	ser	provado,	ou	seja,	levantou	atos	de	dúvidas	no	processo	do	saber,	
buscando	a	própria	existência	do	próprio	“eu	penso,	logo	existo”.	 	 	
 
Em	1617,	Descartes,	com	a	obra	Lá Géométrie, lançou as bases da geometria 
analítica	 e	 sistematizou	 o	 plano	 cartesiano	 como	 ferramenta.	 A	 obra	 trouxe	 uma	
forma	 revolucionária	 de	 ligação	 entre	 a	 geometria	 e	 a	 álgebra,	 trazendo	 o	 sistema	
de	 coordenadas	 e	 as	 figuras	 geométricas	 como	 número	 matemáticos	 no	 plano	
cartesiano	e	obtendo	expressões,	variáveis	e	operações	aritméticas.	Vale	destacar	que	
essa descoberta não é totalmente original de Descartes, pois já se usava sistema de 
coordenadas	utilizando	mapas,	mas	ela	teve	uma	maior	divulgação	e	influência	social.	
 
116
Além disso, considerando que a geometria é uma abstração da natureza, a obra 
La Géometrie	foi	organizada	e	separada	de	acordo	com	as	formas	como	vemos	a	natureza,	
associando	a	matemática	a	soluções	práticas	em	relação	à	natureza.	Desse	modo,	os	
métodos algébricos passaram a solucionar problemas geométricos, esclarecendo as 
expressões	algébricas.	 	 	 	 	
 
O plano cartesiano é constituído por eixos, x e y, sendo perpendiculares entre 
si,	ou	seja,	os	eixos	se	cruzam,	formando	um	ângulo	de	90º,	e	esse	processo	forma	um	
plano.	Além	disso,	para	localizar	pontos	nos	quadrantes,	foi	desenvolvido	e	organizado	
no	sentido	anti-horário.	O	ponto	central	do	encontro	entre	duas	 retas	é	denominado	
zero	e	acima	de	zero.	No	caso,	o	eixo	x	traz	unidades	numéricas	positivas	e,	abaixo,	à	
esquerda	do	ponto	zero,	há	unidades	numéricas	negativas	(VEIGA,	2012).	 	
 
Mas como localizar um ponto no plano cartesiano? Quando um ponto se localiza 
fora	das	 retas	perpendiculares,	mas	soltos	no	quadrante,	a	 localização	é	medida	por	
meio da distância, calculada de acordo com a unidade numérica padrão do ponto e da 
localização	do	eixo	x	e	y,	que	se	materializa	por	um	segmento	da	reta.	
A	partir	das	identificações	numéricas,	é	possível	desenvolver	equações	algébricas	
por	meio	de	teoremas	e	projeções.	Inicialmente,	Descartes	tinha	o	objetivo	de	encontrar	
pontos, por isso, desenvolveu dois eixos perpendiculares com o objetivo de se 
cruzarem.	Um	desses	eixos	estava	na	horizontal	e	o	outro	verticalmente,	dando	origem	
ao	que	conhecemos	atualmente	como	coordenadas.	O	primeiro	eixo	foi	denominado	de	
abscissa	(x),	enquanto	o	segundo	eixo	foi	chamado	de	ordenada	(Y).	Esses	eixos	são	
enumerados	por	conjuntos	de	números,	representando,	assim,	um	plano	cartesiano.
Mas o que são coordenadas cartesianas? É um sistema de coordenadas que 
identifica	e	localiza	um	ponto	em	um	plano.	Em	outras	palavras,	é	um	sistema	de	localização	
de	pontos	no	 espaço	 (SENE;	MOREIRA,	 2013).	O	 par	 ordenado	 apresenta	 sempre	dois	
elementos, representado sempre por (x,y), em que x é sempre o primeiro elemento e o y o 
segundo	elemento,	formando,	assim,	um	par	ordenado.	Além	disso,	os	pontos	podem	ser	
positivos	e	negativos,	dependendo	do	eixo	x	ou	y,	de	acordo	com	a	figura	a	seguir.
117
Figura 15 – Sistema cartesiano ortogonal
FONTE: Veiga (2012, p. 70)
Sendo: 
⮚ 1º	quadrante:	os	números	sempre	serão	positivos:	x	>	0	e	y	>	0.
⮚ 2º	quadrante:	os	números	são	negativos	ou	positivos:	x	0.
⮚ 3º	quadrante:	os	números	são	sempre	negativos:	x.
⮚ 4º	quadrante:	os	números	podem	ser	positivos	ou	negativos:	x	>	0	e	y.
Vamos a alguns exemplos? Em quais quadrantes estão localizados os pontos?
Figura 16 – Localização das quadrantes
Fonte: a autora (2022)
118
Resposta:
A) 10	quadrante.
B)	10	quadrante.
C) 20 quadrante.
D) 20	quadrante.
E) 40	quadrante.
F) 30	quadrante.
G) 30	quadrante.
H) 40	quadrante.
Caro acadêmico! Note que o primeiro e o segundo quadrantes sempre serão a 
parte	de	cima	do	plano.	Veja	que	o	primeiro	quadrante	sempre	é	a	parte	da	direta,	enquan-
to	o	segundo	quadrante	sempre	será	a	parte	do	lado	esquerdo.	O	terceiro	e	o	quarto	
quadrantes	sempre	serão	a	parte	de	baixo	do	plano.	Além	disso,	o	terceiro	quadrante	
sempre se localizará na parte esquerda do plano, enquanto o quarto quadrante estará na 
parte	direta	do	plano.
O	plano	cartesiano	é	muito	utilizado	para	o	desenvolvimento	de	gráficos	de	funções,	
sendo que os valores relacionados ao eixo x constituem-se no domínio, enquanto os 
valores	de	y,	a	imagem	da	função.	Vale	lembrar	que	o	sistema	de	coordenadas	cartesiana	
é	uma	ferramenta	da	Matemática	para	a	observação	do	comportamento	das	funções	
em	alguns	pontos	considerados	críticos.
Mas como localizar e interpretar os pares ordenados? Diversas vezes, para 
compreender	e	localizar	um	ponto	em	um	plano	cartesiano,	utilizamos	dois	números	em	
uma	certa	ordem	e	chamamos	de	par	ordenado.
Vamos a um exemplo?
Figura 17 – Interpretarpares ordenados
Fonte: a autora (2022)
119
Desse modo, indicamos o (x, y) como par ordenado, sendo X o primeiro elemento 
e	Y	o	segundo	elemento.	No	entanto,	sendo	x	e	y	números	racionais,	(x,	y)	é	diferente	
de (y, x), visto que (4,6) ≠ (6, 4), ou seja, dois pares ordenados (x, y) e (r e m) são iguais 
se:	x=r	e	m=y.
O	par	ordenado	pode	ser	representado	graficamente	por	meio	de	um	ponto	em	
um	plano,	e	esse	ponto	é	denominado	imagem	do	par	ordenado,	em	que	os	números	do	
par	ordenado	são	chamados	de	coordenada	cartesiana.	Vamos	a	um	exemplo?	C	(5,	7),	
em	que	5	e	7	são	as	coordenadas	do	ponto	C.	A	abcissa	é	o	1º elemento e o 2º elemento é 
denominado	de	ordenada.	Assim:	
Figura 18 – Compreendendo como interpretar pares ordenados
Fonte: a autora (2022)
Representamos	um	par	ordenado	em	um	plano	cartesiano	de	acordo	com	a	figura	
a	seguir.
Figura 19 – Plano cartesiano
Fonte: a autora (2022)
120
•	 O	plano	é	formado	por	dois	eixos	principais,	x	e	y,	e	são	perpendiculares	entre	si.
•	 O	eixo	x	é	a	reta	das	abcissas.
•	 O	eixo	y	é	a	reta	das	ordenadas.
•	 O	ponto	conhecido	como	O	é	chamado	de	origem	e	corresponde	a	(0,0).
Como	já	sabemos,	o	primeiro	número	do	par	ordenado	está	localizado	no	eixo	
das	abcissas,	enquanto	o	segundo	número	do	par	ordenado	está	localizado	no	eixo	das	
ordenadas.	O	encontro	das	perpendiculares	é	denominado	ponto	procurado.
Vamos	a	um	exemplo?	Localize	o	par	ordenado	dos	pontos	A,	B,	C,	D,	E,	F,	G	e	H.
 Figura 20 – Plano cartesiano e pares ordenados
Fonte: a autora (2022)
Vamos procurar juntos a localização do ponto A?
Caro	acadêmico!	Perceba	que	o	primeiro	número	é	sempre	no	eixo	X,	o	segundo	
no	eixo	Y,	e	a	letra	maiúscula	é	o	ponto	de	localização	da	coordenada.	Percebe-se	que	
a	letra	A	está	localizada	em	cima	da	letra	3	do	eixo	X	e	do	lado	do	número	1	do	eixo	Y.	
Dessa	forma,	a	resposta	correta	do	ponto	A	é	(3,1).
121
Resposta:
•	 A:	(3,	1).
•	 B:	(5,	8).
•	 C:	(-5,	8).
•	 D:	(-3,	1).
•	 E:	(3,-3).
•	 F:	(-6,-3).
•	 G:	(-3,-5).
•	 H:	(7	-8).
Vale destacar que o par ordenado é a localização de um ponto em um plano 
cartesiano.	Dessa	forma,	sempre	vem	entre	parênteses,	formando	um	par.	Por	exemplo:	(1,	
2),	sendo	que	o	ponto	está	 localizado	no	ponto	1	do	eixo	x	e	no	ponto	2	do	eixo	y.	Para	
encontrarmos	o	produto	cartesiano,	veja	a	seguinte	figura:
Figura 21 – Produto cartesiano
Fonte: A autora (2022)
Assim,	tem-se	como	conjunto	A:	[1,	2,	3]	e	B	[5,	6,	7].	Com	o	auxílio	das	flechas	
ao	lado,	formaremos	o	conjunto	de	pares	ordenados,	cujo	primeiro	elemento	pertence	
ao	 conjunto	 A	 e	 o	 segundo	 elemento	 pertence	 ao	 conjunto	 B.	 Temos	 os	 seguintes	
conjuntos:	(1,5),	(1,7),	(2,6),	(2,7),	(3,	5)	e	(3,6).	Esses	conjuntos	são	chamados	de	produto	
cartesiano	de	A	por	B,	sendo	indicado	por: x ∈ A e y ∈B.
Logo:	 dado	 esses	 dois	 conjuntos	A	 e	 B,	 não	vazios,	 chamamos	 de	 produtos	
cartesianos	A	x	B	o	conjunto	de	todos	os	pares	ordenados	(x,	y),	sendo:	x ∈ A e y ∈B.	Em	
que: AxB = {(x_1 y)|x∈A 𝘦 y∈B} 
122
Compreendemos que as coordenadas cartesianas são a base para a 
localização de pontos no geoprocessamento! Dessa forma, há diversas 
formas de modelagens nos planos. Você quer se aprofundar no assunto? 
Assista a este vídeo de coordenadas cartesianas no R3. Você não vai se 
arrepender! Disponível em: http://twixar.me/Xnxm.
DICA
Lembre-se de que devemos compreender que a matemática é uma ciência de 
descrições	e	cálculos,	e	sua	base	é	utilizada	por	vários	ramos.	A	matemática	de	forma	
mais	teórica	é	importante	por	ser	a	sustentação	na	construção	de	softwares,	ferramentas	
e	teorias	do	geoprocessamento.	Além	disso,	o	conhecimento	direciona	para	a	prática	uma	
vez	que	aborda	diversos	assuntos	que	são	a	base	do	conhecimento	técnico.	Para	existir	
um	aprofundamento	das	informações	e	das	práticas	diárias	é	importante	conhecer os 
conceitos básicos para construção das ferramentas,	 ou	 seja,	 para	 o	 profissional	
construir	 uma	 ideia	 inovadora,	 ou	 ferramenta	 para	 solucionar	 problemas	 ou	 entender	
problemas atuais deve-se conhecer primeiro o conceito base para posteriormente aplicá-
lo.	Assim,	os	conceitos	fundamentais	da	matemática	e	o	domínio	da	base	teórica	são	
primordiais para compreender, utilizar e manipular os recursos e problemas da melhor 
forma	possível.	
Você quer ler uma pesquisa que utilizou o sistema de coordenadas car-
tesianas como base? Calijuri (2000), em sua dissertação de mestrado, 
utilizou processo de digitalização manual e necessitou atribuir o par de 
coordenadas cartesianas para a sua pesquisa. Vale lembrar que nem 
sempre temos dados disponíveis, precisando inserir os dados nos softwa-
res! Vamos conferir? Disponível em: http://twixar.me/jnxm.
DICA
O que as coordenadas cartesianas têm a ver com o geoprocessamento?
Análise	espacial	trata	os	dados	geográficos	que	têm	localização	geográfica	(co-
ordenadas)	e	a	localização	é	feita	por	meio	das	coordenadas	(latitude	e	longitude).	Na	
matemática,	denominados	de	pares	ordenados.	As	coordenadas	geográficas	se	definem	
como um ponto de intercessão de latitude e longitude que representa determinado 
lugar	na	superfície	terrestre,	já	as	coordenadas	cartesianas	são	um	conceito	utilizado	
em	Matemática	que	tem	como	finalidade	definir	um	ponto	de	intercessão	de	uma	linha	
horizontal	e	uma	linha	vertical	em	um	plano	qualquer.
 	
123
No plano cartesiano, a reta vertical responsável pelas coordenadas y é chamada 
de	ordenada,	e	a	reta	horizontal,	responsável	pelas	coordenadas	x,	é	chamada	de	abcissa. 
Um	par	ordenado	é	formado	por	dois	números	reais	que	representam	uma	coordenada.	Um	
par ordenado é	um	conjunto	de	números	reais	que	é	utilizado	para	determinar	uma	
localização	no	plano	cartesiano.	Esse	estudo	é	 importante	por	poder	definir,	por	exemplo,	
as coordenadas	geográficas,	o	que	permite	que	as	localizações	sobre	o	globo	terrestre	
sejam	dadas	com	tanta	precisão.
 Você percebeu como compreender a matemática básica é importante? Quando 
a	conhecemos,	podemos	aplicá-la	em	diversas	situações,	como	no	geoprocessamento,	
engenharia,	gestão,	biologia,	topografia	etc.
3 SISTEMA MÉTRICO
Sistema	métrico	são	maneiras	de	se	medir	grandezas.	O	sistema	métrico	surgiu	
nos	meados	de	1790.	Antes	disso,	cada	sociedade	utilizava	um	sistema	diferente,	o	que,	
naturalmente,	 causava	 diversas	 confusões,	 pois	 um	grupo	 utilizava	 jardas	 e	 o	 outro	
utilizava	palmos,	por	exemplo.	Esse	processo	 resultava	em	uma	comunicação	difusa	
entre	 os	 povos,	 devido	 ao	 fato	 de	 não	 obedecer	 a	 uma	 estrutura	 consistente	 e	 não	
adotar	uma	escala.	
No	Brasil,	palavras	como	arrátel	e	côvado	eram	muito	utilizadas	para	guardar	as	
proporções	das	palavras	quilo	 e	 centímetros	 atualmente,	 ou	 seja,	 eram	unidades	de	
peso	e	comprimento	do	sistema	de	pesos	e	medidas	do	Brasil,	que	vigorava	antes	do	
sistema	métrico.	
A sociedade, antes do século XVIII, tinha diversas unidades de pesos e medidas, 
o	que	dificultava	o	comércio	entre	as	nações.	Porém,	não	era	fácil	adotar	um	sistema	
métrico universal, mas a Academia de Ciências da França nomeou uma comissão de 
matemáticos, como Lagrange e Laplace, para construir um projeto que padronizasse os 
sistemas	de	medida.	
A	 comissão	 definiu	medidas	 de	 comprimento	 chamadas	 de	metro,	 as	 quais	
corresponderiam à décima milionésima parte da distância do Equador terrestre ao Polo 
Norte.	Esse	processo	de	medida	iria	ao	longo	de	um	meridiano.	No	entanto,	a	medida	da	
distância	do	Equador	ao	polo	não	era	prática	e,	assim,	os	cálculos	apresentavam	erros.
A	comissão	criou	o	metro	como	unidade	de	medida.	Essa	 identificação	se	deve	
a	uma	milionésima	parte	da	distância	do	Equador	ao	Polo	Norte.	As	pesquisas	dessa	
Comissão se encerraram nos meados de 1800, e o sistema métrico decimal se universalizou, 
sendo	o	metro	definido	como	a	décima	milionésima	parte	da	distância	do	Equador	ao	
Polo	Norte.	 	
124
Vamos	à	prática?	Entre	no	Google	Earth	e	faça	uma	medida	entre	as	coordenadas	
(0,0)	 e	 (90,0)	 e	 encontre	 a	 distância.Você	 encontrará	 exatamente	uma	distância	 de	
10.000.608 m.	Divida	pela	décima	milionésima:	 .
Com	o	passar	do	tempo,	em	1983,	cientistas	propuseram	novas	definições	para	o	
metro com base na velocidade da luz que se propagava no vácuo, ou seja, um metro 
corresponde	à	distância	percorrida	pela	luz,	no	vácuo,	em	um	segundo.	Assim,	o	metro	
pode	ser	definido	de	forma	mais	precisa	por	meio	do	trajeto	percorrido	pela	 luz	do	vácuo	
durante	um	intervalo	de	tempo	de	1/299	792	458	do	segundo.	Dessa	forma,	a	velocidade	
da luz no vácuo é exatamente:  m.
Na	França,	o	uso	obrigatório	se	deu	por	volta	de	1837.	Já	no	Brasil,	foi	introduzido	
pela	legislação	em	junho	de	1862.	Em	1875,	uma	comissão	internacional	de	cientistas,	
convidados	pelo	governo	francês,	discutiram	o	sistema	métrico	e,	assim,	construíram	
uma	barra	de	uma	liga	de	platina	com	irídio	com	duas	marcas,	cuja	distância	define	o	
comprimento	do	metro.	A	barra,	para	evitar	 influência	de	qualquer	temperatura,	está	
atualmente	mantida	a	zero	grau	centígrado,	em	um	museu	localizado	na	Suíça.	
Apesar	 de	 uma	 legislação	 específica	 no	 Brasil,	 a	 introdução	 do	 sistema	 de	
medidas	não	foi	natural,	mas	desencadeou	diversas	revoltas,	conhecidas	como	quebra-
quilos,	devido	a	ocorrer,	na	mesma	época,	um	aumento	significativo	de	impostos.	Por	
isso, províncias tentaram resistir à adoção do sistema métrico, sendo que havia diversos 
líderes,	como	padres	e	senhores	do	engenho.	Diante	de	diversas	represálias	do	governo,	
as províncias desenvolveram leis locais para que sistemas antigos coexistissem 
com	 o	 atual,	 porém,	 com	 a	 inflexibilidade	 do	 governo	 atual,	 essas	 leis	 s	 tornaram	
inconstitucionais.		 	 	
O	 sistema	 métrico	 é	 importante	 para	 as	 relações	 e	 o	 comércio	 exterior,	 no	
entanto,	 houve	uma	certa	 resistência	devido	às	 tradições.	Exemplo	clássico	é	o	dos	
Estados Unidos, no qual o sistema métrico decimal ainda compete com pesos e medidas 
do país, incluindo unidades como pé, que são as unidades de comprimento, e libra, que 
é	o	peso.
Você sabe que muitos países utilizam sistemas métricos próprios e 
um deles é os Estados Unidos. Diversos países, como o Brasil, 
aderiram ao sistema métrico universal para facilitar as relações 
e o comércio internacional! Saia mais em: http://twixar.me/tnxm.
DICA
125
O	sistema	de	medições	passou	a	ser	fundamental	para	diversas	tarefas,	como	
construções,	tamanho	de	uma	mesa	ou	terreno.	Em	outras	palavras,	podemos	definir	
o sistema métrico como as diversas possibilidades de medir grandezas, sendo que as 
principais	grandezas	são:	volume,	tempo,	distância,	capacidade	e	massa.	
Vamos a exemplo aplicado ao geoprocessamento?
O	geoprocessamento	é	uma	ferramenta	muito	utilizada	para	projetos	ambientais,	
principalmente	 para	 levantamentos	 temáticos	 (como	 geologia,	 geomorfologia,	 solos,	
cobertura	vegetal).	O	caso	da	Amazônia,	onde	o	mais	abrangente	conjunto	de	dados	
temáticos	existente	é	o	realizado	pelo	projeto	RADAM,	no	qual	os	dados	foram	levantados	
na	escala	1:	250.000	e	compilados	na	escala	1:1.000.000.	 	 	 	
 
Dessa	forma,	precisamos	compreender	o	sistema	métrico,	porque	muitas	vezes	a	
conversão	faz	parte	do	nosso	cotidiano.	Na	cartografia	temática,	por	exemplo,	convertemos	
muito	quilômetros	para	centímetros,	ou	seja,	de	um	espaço	real	para	um	mapa.
O mapa temático deve conter legendas, localidade, data e principalmente escala 
(Figura	23	a	seguir),	para	que	o	leitor	compreenda	o	conteúdo.	Esse	mapa	tem	por	objetivo	
demonstrar	 a	 localização	 da	 Bacia	 Hidrográfica	 do	 Rio	 Camaquã	 no	 estado	 do	 Rio	
Grande	do	Sul.	No	decorrer	do	mapa	ilustrativo,	observa-se	a	legenda,	a	escala, os dados 
técnicos	(banco	de	dados	que	foi	utilizado	para	a	realização	do	mapa)	e	a	data.	
Figura 23 – Mapa temático da localização da bacia hidrográfica do Rio Camaquã
Fonte: Carvalho (2015)
126
3.1 MEDIDAS 
A medida de comprimento, de acordo com o Sistema Internacional, é o metro 
(m).	 Recapitulando	 uma	 parte	 da	 história	 que	 já	 estudamos,	 o	 sistema	 métrico	 da	
medida	de	comprimento	 foi	desenvolvido	no	período	da	 revolução	francesa,	no	qual	
foi	utilizada	a	medida	do	equador	ao	polo	norte.	Assim,	a	medida	do	equador	e	do	polo	
Norte	foi	dividida	por	10.000.000	e	resultou	em	uma	distância	marcada	por	uma	barra,	
nomeando assim de metro (ROZENBERG,	2006).	A	seguir,	temos	a	tabela	dos	múltiplos	e	
submúltiplos	do	metro:
Quadro 1 – Medida do comprimento
Simbolo
Milímetro
mm
Centímetro
cm
Decimetro 
dm
Metros 
Decâmetro
dam
Hectômetro
hm
Quilómetro 
km
Relação 
com o 
metro
0,001 m 0,01 m 0,1 m 1 m 10 m 100 m 1000 m
Fonte: a autora (2022)
Vamos	transformar	as	unidades	de	comprimento?
Diversas vezes, necessitamos converter quantidades de metro para quilômetro, 
mas	como	vamos	calcular?	Primeiramente,	para	transformar	uma	unidade	em	um	sub-
múltiplo,	basta	multiplicar	por	10	n,	sendo	n	o	número	de	colunas	à	direita	do	número	
da	tabela	acima.	Para	a	conversão,	basta	dividir	por	10 n,	que	é	o	número	de	colunas	à	
esquerda	da	tabela.
Vamos	a	um	exemplo?	Quanto	seriam	8	metros	em	centímetros?	8 m	=	800 cm.
Ou	quanto	seriam	10km	para	centímetros?	1000000	cm.
A	Figura	24,	a	seguir,	mostra	essa	conversão	de	uma	forma	mais	didática.
Figura 24 – Transformação a partir do metro
FONTE: A autora (2022)
127
Veja um exemplo de	como	mudar	a	unidade.	
•	 1,40	metros	=	140	centímetros.
•	 150	metros	=	0,150	quilômetros.
•	 160	metros	=	1,60	hectômetros.
Outro exemplo de troca de unidade de metros 
para centímetros:
150	metros	=	15.000	centímetros
Divide	por	100	(de	acordo	com	a	figura	acima)
A conversão de centímetros para metros pode ser realizada fa-
cilmente, modificando 5 casas que converte cm para km, ou seja: 
1.000.000 cm = 10km - ao mover a vírgula está resolvida a conversão.
DICA
A	tabela	acima	representa	o	Sistema	Internacional	de	Medidas.	Porém,	ainda	há	
unidades de comprimentos tradicionais e que são utilizadas em diversos países, como 
veremos	a	seguir.
Quadro 2 – Comprimentos tradicionais
Fonte: a autora (2022)
Assim,	as	medidas	de	comprimento	são	eficazes,	uma	vez	que	foram	criadas	para	
ajustar	probabilidades	de	não	ocorrer	erros	nos	processos	de	mensuração.	
O Instituto de Física da USP anunciou mudanças internacionais no 
Sistema Internacional de unidades. A necessidade de medir algo é muito 
antiga e remete à origem das civilizações! Quer saber mais sobre as 
atuais mudanças? Leia: http://twixar.me/Bnxm.
DICA
128
3.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Outra	 medida	 é	 a	 de	 superfície,	 que	 compreende	 dimensões	 diferentes	 do	
comprimento.	Dessa	forma,	o	Sistema	Internacional	convencionou	que	a	medida	padrão	
de área é o metro quadrado – m2 (ROZENBERG,	2002).	Observe	o	quadro	a	seguir.
Quadro 3 – Medidas de superfície
Fonte: a autora (2022)
Vale	lembrar	que	para	medir	grandes	porções	de	terra	usamos	o	hectare	(ha).	
Essa	medida	de	superfície	corresponde	à	área	de	um	quadrado	com	100	metros	de	 lado.	
Matematicamente, é:
Quadro 4 – Medidas de superfície
1	hectare	(há)	=	 1 hm2 10 000m2
Fonte: a autora (2022)
Vamos	transformar	as	unidades	de	superfície?	Já	sabemos	que	o	metro	quadrado	
(m2)	é	medida	oficial	para	medir	superfície,	e	essa	medida	considera	um	quadrado	de	um	
metro	de	lado.	Assim,	para	transformar	as	medidas	de	superfície,	devemos	multiplicar	
ou dividir pela segunda potência de 10, ou seja, 102.
Vamos a um exemplo?
Desejamos	passar	8 m2	para	decímetros.	Então,	multiplicamos	por	102,	ficando	
assim: 8 m2×102=800ԁm2.
Agora,	vamos	transformar	8 km2 em metros quadrados: 8 km2×106=8.000.000m2.
Podemos	 transformar	 metros	 quadrados	 em	 quilómetros	 quadrados,	 por	
exemplo.	 Se	 você	 precisa	 transformar	 20.000	 m2	 em	 quilômetros,	 faça	 assim:	
20.000m2×10-6 Km2=0,02 km2.
129
3.3 MEDIDAS DE CAPACIDADE 
Outra	 medida	 bastante	 conhecida	 é	 a	 de	 capacidade.	 Mas,	 primeiramente,	
precisamos	entender	a	diferença	de	capacidade	e	volume,	que	são	medidas	diferentes.	O	
volume trata-se da unidadepara líquidos, e a capacidade mede o potencial de um sólido 
acumular	um	líquido.
Vamos	 a	 diferença	 compreender	 por	 meio	 de	 exemplos:	 João	 vai	 construir	
uma	piscina	em	casa	de	10 m2 de volume (quantidade de líquido), mas a capacidade de 
piscina	é	de	10.000	litros	de	armazenamento,	ou	seja,	é	o	potencial	da	piscina.
Segundo o sistema métrico decimal, para medir a capacidade de um sólido, é 
preciso	utilizar	 litro,	mas	no	Sistema	 Internacional,	utiliza-se	metro	cúbico	 (m3).	Para	
o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, um litro em capacidade equivale a um 
decímetro	cúbico	(volume).	Matematicamente	falando,	seria:	1 L	=	1,000027	dm3.	Dessa	
forma,	são	duas	medidas	de	capacidade,	ou	seja,	litro	e	metro	cúbico.	Assim,	é	possível	
relacionar	os	múltiplos	e	submúltiplos	dessas	medidas.	Vejamos:
1 m3	=	1000	litros.
1 dm3	=	1	litro.
1 cm3	=	1	ml.
Também	há	outras	medidas	de	capacidade	além	do	metro	cúbico	(m3)	e	do	litro,	
que	são	os	múltiplos	e	submúltiplos	do	litro.	Vejamos:
Quadro 5 – Medidas de capacidade
Fonte: a autora (2022)
Outra unidade de capacidade muito utilizada também é o mililitro (ml), aplicada 
para	medir	volumes	em	menor	porte,	como	líquidos	para	injeções,	remédios,	sucos	etc.	
Mas	como	vamos	transformar	as	unidades	de	capacidade?	Cada	unidade	da	medida	
de	capacidade	é	constante	de	10	em	10,	para	mais	ou	para	menos.	Assim,	utilizamos	
a	multiplicação	do	número	a	ser	convertido	pela	potência	equivalente.	Vejamos:	como	
transformar	10	litros	em	mililitros?	10x103 = 10.000 mL.
130
3.4 MEDIDAS DE VOLUME
O	sistema	métrico	decimal	definiu	a	medida	do	volume	como	sendo	metro	cúbico	
(m3).	Assim,	 quando	 estudamos	 o	metro	 cúbico,	 automaticamente	 fizemos	 referência	 ao	
volume	 ocupado	 por	 um	cubo	 de	 um	metro	 de	 aresta.	 O	volume	possui	múltiplos	 e	
submúltiplos,	vejamos:
Quadro 6 – Medidas de volume
Fonte: a autora (2022)
Mas	como	fazer	as	conversões?	Vale	lembrar	que	não	multiplicamos	essa	medida	
ou dividimos por 10, mas por 103 (dez	ao	cubo).	Vamos	a	um	exemplo? João precisa 
transformar	8,2 m3	em	decímetro	cúbico:	8,2×103 ⅆm3 = 8200dm3.
E	centímetros	para	metros	cúbicos?	Vamos	ver	um	exemplo	com	800.000	cm3.
 800000×10-6 m3=0,8m3
Vamos a um exemplo de geoprocessamento?
Você está mapeando uma licença ambiental de uma rodovia onde será realizada 
a	construção	e	pavimentação.	Na	maioria	dos	casos,	 os	órgãos	ambientais	obrigam,	
juntamente	 ao	 termo	 de	 referência,	 a	 fazer	 a	 medida	 de	 volume	 da	 quantidade	 da	
madeira	 que	 será	 extraída	do	 local.	 Para	 futuros	programas	de	 recuperação	de	 área	
degradada-	PRAD.	
Vale	 lembrar	 que	o	profissional	 de	geoprocessamento	não	 tem	habilitação	para	
implementar	o	PRAD,	mas	é	o	profissional	que	mapeia	pode	compreender	através	de	
mapeamento	o	volume	cúbico	de	madeira	nativa	extraída,	através	da	análise	espacial	do	
GIS,	por	exemplo.	Por	isso,	é	importante	entender	essa	medida,	visto	que	o	profissional	de	
geoprocessamento	geralmente	trabalha	com	equipes	multidisciplinares.	
131
3.5 MEDIDAS DE TEMPO
A	primeira	medida	que	discutiremos	é	o	tempo,	devido	ao	fato	de	fazer	parte	
do	nosso	dia	a	dia.	Entendemos	que	todas	nossas	tarefas	estão	organizadas	a	partir	do	
tempo	e,	atualmente,	utilizamos	o	relógio	(ROZENBERG,	2002).	
O relógio organiza o nosso tempo por períodos de duração, com base no tempo 
que	a	Terra	leva	para	fazer	uma	volta	completa	em	movimento	de	rotação,	ou	seja,	24h.	
Mas	esse	tempo	pode	ser	dividido	em	minutos,	que	são	1.440	minutos,	e	em	segundos,	
que	dará	86.400	segundos.	Assim,	as	unidades	de	medida	do	tempo	seguem	a	seguinte	
lógica:	dia,	hora,	minuto	e	segundo.	Mas	onde	ficam	a	semana,	o	mês	e	o	ano?	Essas	
medidas	de	tempo	são	consideradas	múltiplos	do	dia,	que	também	podem	ser	agrupadas	
em	décadas,	séculos	e	milênios.	
Para o Sistema Internacional de Unidades (SI), a medida do tempo é em segundo, 
que	corresponde	a	9.192.631.770	ciclos	de	 radiações	emitidas	entre	os	dois	níveis	de	
energia	do	átomo.	Mas,	tradicionalmente,	utilizamos:
Quadro 7 – Medida do tempo
Fonte: a autora (2022)
Albert Einstein, na sua teoria sobre relatividade, considerou o tempo como a 
quarta	 dimensão,	 utilizando	 espaço-tempo	 do	 universo,	 assim,	 as	 três	 dimensões	
espaciais	e	uma	dimensão	temporal.
A conversão de centímetros para metros pode ser realizada facilmente, 
basta modificar 5 casas da vírgula decimal, ou seja, 1.000.000 cm = 10km 
- ao mover a vírgula está resolvida a conversão.
NOTA
132
Você sabia que a gravidade influência no tempo? A diferença na 
passagem do tempo para objetos que se deslocam em velocidades 
diferentes é um dos aspectos mais discutidos e menos compreendidos 
da Teoria da Relatividade de Einstein. Quer saber mais? Acesse o link: 
http://twixar.me/7nxm.
DICA
4 TRANSPORTE DE COORDENADAS
Transporte de coordenadas é a manipulação do plano UTM, que é um sistema 
de coordenadas com base no plano cartesiano (eixo x e y), no qual se usa o metro como 
unidade	para	medir	distâncias.	Assim,	podemos	determinar	a	posição	de	um	objeto.
O transporte de coordenadas tem por objetivo obter as coordenadas próximas dos 
vértices	quando	as	coordenadas	são	conhecidas.	Assim,	o	transporte	de	coordenadas	é	um	
procedimento	em	que	as	coordenadas	são	transportadas	para	uma	área	de	interesse.
Dessa	forma,	o	transporte	de	coordenadas	visa	obter	as	coordenadas	de	um	
vértice,	polígono	ou	área	de	interesse	partindo	do	ponto	de	coordenadas	específicas.	Por	
exemplo,	temos	as	coordenadas	da	nossa	casa.	Utilizando	a	rede	de	marcos	geodésicos	do	
município,	podemos	fazer	o	levantamento	do	lote	utilizando	coordenadas	UTM.	
Para o cálculo de transporte de coordenadas, utilizamos as coordenadas planas 
ou	geodésicas.	 Porém,	 o	 uso	de	 coordenadas	geodésica	 só	 é	 recomendado	quando	
estamos	 trabalhando	 com	 extremidades	 dos	 fusos,	 visto	 que	 esse	 processo	 evita	 a	
transposição	deles.		
 
Quando o problema apresenta grandes distâncias, recomenda-se utilizar o 
transporte de geodésia em substituição ao transporte de coordenadas planas (sistema 
UTM), considerando que o primeiro se deve à distância do cálculo, ou seja, é a própria 
distância	elipsoidal.	Para	o	transporte	das	coordenadas	planas,	a	distância	elipsoidal	é	
transformada	em	distância	plana	e,	dessa	forma,	está	sujeita	a	um	pequeno	erro,	que	
pode	prejudicar	o	levantamento.	 	 	
 
O	transporte	de	coordenadas	pode	ser	dividido	em	direto	e	inverso.	O	direto	são	
pontos	conhecidos	como	ponto	A	e	a	distância	entre	eles.	A	partir	daí,	podemos	calcular	
as	coordenadas	do	ponto	B.	No	método	inverso,	conhecemos	as	coordenadas	do	ponto	
A	e	B,	e	calculamos	apenas	o	azimute,	ou	seja,	a	distância	dos	pontos.
Mas	você	 lembra	o	que	é	azimute?	É	o	ângulo	formado	entre	o	alinhamento	
(direção) e a linha Norte-Sul, contados a partir do Norte do sentido horário, e pode variar 
de	0º	a	360º.	
133
A gravidade influencia no tempo, dessa forma, os satélites possuem 
relógios atômicos para realizar a medida do tempo. A teoria de Einstein 
foi comprovada com os relógios instalados nos satélites. Quer saber 
mais? Disponível em: http://twixar.me/Nnxm.
DICA
Vamos	a	um	exemplo?	De	acordo	com	a	figura	a	seguir,	entendemos	que	o	
transporte	de	coordenadas	é	determinar	a	coordenada	do	ponto	B	a	partir	da	coordenada	
do	ponto	A.	Ao	conhecermos	a	distância	de	AB,	determinamos	o	rumo	da	direção	que	
define	(MERRIGAN	et al.,	2002)	
Figura 24 – Exemplo de transporte de coordenadas
Fonte: a autora (2022)
Azimute	é	o	ângulo	formado	entre	o	ponto	1	e	o	ponto	2	e	são	medidas	feitas	em	
quadrantes,	sendo	que	cada	uma	pode	ser	medida	de	forma	diferente.	Desse	modo,	
precisamos discutir alguns conceitos importantes sobre o rumo:
• ângulo entre o alinhamento (direção) e a linha Norte-Sul em relação ao quadrante 
onde a direção se encontra;
•	 varia	de	0°	a	90°;
• deve vir acompanhado do quadrante;
•	 pode	ser	calculado	como:	R	=	(X2-X1)	/	(Y2-Y1).
Dessa	forma,	de	acordo	com	o	quadrante	do	rumo,	fizemos	a	seguinte	trans-formação:
134
•	 1°quadrante:	Az	=	R.
•	 2°quadrante:	Az	=	180°	-	R.
•	 3°quadrante:	Az	=	R	+	180°.
•	 4°quadrante:	Az	=	360°	-	R.
O transporte de coordenadas é a determinação de coordenadas de um ponto a 
partir dos dados de azimute, distância e par de coordenadas de um outro ponto anterior, 
já	conhecido.	Outra	forma	de	se	explicar,	e	talvez	fique	mais	fácil	o	entendimento,	é	que	
se	estima	um	par	de	coordenadas	desconhecido	a	partir	de	um	único	ponto	 inicial	e	
devidamente	conhecido.
A aplicação mais usada para essa técnica é quando da existência de um memorial 
descritivo	de	uma	gleba/terreno	onde	está	expressa	apenas	a	coordenada	geográfica	
do primeiro ponto e os demais pontos da poligonal são representados apenas com os 
respectivos	azimutes	e	distâncias.
Sabe-se que com o uso de equipamentos mais precisos, evolução dos sistemas 
globais	 de	 posicionamento	 por	 satélites	 (GNSS),	 implementação	 de	 legislações	mais	
rigorosas,	adoção	de	softwares	específicos	para	elaboração	dos	memoriais	descritivos,	
observa-se cada vez menos esse tipo de realidade; embora haja ainda uma grande 
quantidade	de	documentos	vigentes	no	país.
No	dia	a	dia,	essa	técnica	é	muito	utilizada,	devido	ao	banco	de	dados	diferentes,	
e as poligonais de um determinado local, não é localizada no banco de dados utilizado 
pelo	órgão	ambiental.
Vamos a um exemplo?
Foi	solicitado	para	calcular	o	transporte	de	coordenadas	de	uma	superfície	que	
será	 realizada	 um	 Estudo	 de	 Impacto	 Ambiental,	 para	 mineração.	 No	 levantamento	
ocorreu	problemas	e	houve	perda	de	alguns	pontos.	A	coordenada	A	(X1,	Y1)	e	B	(X2,	
Y2),	onde:	X1:1500	e	Y1:1200,	encontre	X2	e	Y2:.	Calcule:
Dados:		DH12:1600	e	Ângulo	azimute:	=	65
135
Fonte: a autora (2022)
Encontre	Ponto	B	(X2,Y2):
 X2=x1	+	DH12A212=>	X2	=	1200	+	1600	(65)	=>	X2=	2650,09
 Y2	=	y1	+	DH12A212=>	Y2	=	1500	+	1600.cos(65)	=>	Y2	=	2176,18
Ponto B (X2,Y2) => Ponto B (2650,09, 2176,18)
Além disso, sugerimos a leitura prática indicada no Gio a seguir sobre o transporte 
de	coordenadas.
Transporte de coordenadas planas UTM é uma prática universal 
para o levantamento de localização, porém podem ocorrer erros 
na aferição de fechamento. Você quer compreender como fazer o 
transporte de coordenadas melhor e não ocasionar erros no dia a 
dia? Leia a obra dos autores Silva e colaboradores (2018), disponível 
em: http://twixar.me/Mnxm.
IMPORTANTE
Vamos a um exemplo? Entendemos que o transporte de coordenadas visa 
encontrar	uma	coordenada	que	não	se	sabe	e	tem-se	apenas	uma	localização.	Vejamos	
a	figura	a	seguir.
136
Figura 25 – Coordenadas de transporte
Fonte: a autora (2022)
Às	vezes,	pode	ocorrer	de	algum	ponto	não	estar	referenciado	no	Sistema	Geo-
gráfico	Brasileiro	(SGB),	mas	fazer	parte	da	poligonal,	com	pontos	próximos	conhecidos.	
Nesse	caso,	usamos	o	transporte	de	coordenadas	por	meio	de	poligonais	de	apoio.	Há	
casos	 em	que	 temos	problemas	com	nenhum	ponto	 referenciado,	 porém	há	pontos	
próximos.	Nesses	casos,	resolvemos	o	problema	determinando	as	coordenadas	de	um	
ponto	da	poligonal	e	denominamos	de	Pothénot,	como	na	figura	a	seguir	 (MENZORI,	
2001).
Figura 26 – Problema de Pothénot
Fonte: Veiga et al. (2012, p. 137)
Por	fim,	o	transporte	de	coordenadas	é	dividido	em	direto	e	inverso,	sendo	que	
no primeiro método conhecemos as coordenadas de um ponto e a distância, além do 
azimute	 (ângulo).	Assim,	 podemos	 calcular	 as	 coordenadas	 do	 outro	 ponto.	 Já	 no	 o	
método	inverso,	conhecemos	os	pontos	e	calculamos	o	azimute.	Mas,	de	forma	geral,	as	
fórmulas	referem-se	ao	denominado	“rumo”,	no	qual	efetuamos	a	conversão	de	acordo	
com	a	quadrante.
137
Azimute:
•	 ângulo	formado	entre	o	alinhamento	(direção)	e	a	linha	Norte-Sul,	contado	a	partir	do	
Norte	no	sentido	horário,	variando	de	0°	a	360°.
Rumo:
• ângulo entre o alinhamento (direção) e a linha Norte-Sul em relação ao quadrante 
onde a direção se encontra;
•	 varia	de	0°	a	90°
• deve vir acompanhado do quadrante;
•	 pode	ser	calculado	como:	R	=	arctan	[	(X2-X1)/(Y2-Y1)	].
E	como	fizemos	a	conversão	do	rumo	em	azimute?	De	acordo	com	o	quadrante	
do	rumo,	deve	ser	feita	a	transformação	a	seguir:
•	 1°quadrante:	Az	=	R.
•	 2°quadrante:	Az	=	180°	-	R.
•	 3°quadrante:	Az	=	R	+	180º.
•	 4°quadrante:	Az	=	360°	-	R.
Vale	lembrar	que	Arctan	=	arc tang	-1	=	-π/4	radianos.
Veja o site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), em 
que ela construiu os cálculos de forma direta para as coordenadas de 
transportes. Você perceberá que já existem softwares que calculam di-
reto o transporte de coordenadas, no entanto, você precisa compreen-
der o cálculo para, depois, utilizar de forma automática! Confira o que 
te espera no mundo do geoprocessamento e do sistema de informação! 
Disponível em: http://twixar.me/Qnxm.
DICA
Vamos a um exemplo de geoprocessamento passo a passo?
Agora	saberemos	os	pontos	e	vamos	calcular	o	azimute.	Encontre	o	ângulo	do	
azimute:
138
Fonte: A autora (2022)
a	=	x2	–	x1
b	=	y2	-	y1
x1	=	0
x2	=	1500
y1	=	1000
y2	=	2000
a	=	?
b	=	?
a	=	1500	-0	=>	a	=	1500
b	=	2000	–	1000	=>	b	=	1000
a	=	1500
b	=	1000
Hip	=	?
H	=	1802,7
	=> => 	=>	H	=	1802,7
a	=	1500
b	=	1000
Hip	=	H	=	1802,7
Co	=	1500
Hip	=	1802,7
=>
AZabº	=	
139
5 CÁLCULO DE COORDENADA PLANIMÉTRICA 
Você verá em detalhes como determinar a coordenada plana, ou seja, as coor-
denadas	x	e	y.	A	coordenada	z	será	apenas	discutida	quando	você	estudar	altimetria	na	
disciplina	de	Topografia	e	suas	especificidades.
Compreendemos	 que	 as	 projeções	 planas	 são	 determinadas	 em	 função	 da	
distância entre os vértices de um alinhamento e um azimute (ou rumo magnético ou 
geográfico)	do	mesmo	alinhamento.	Assim,	a	projeção	X	é	representada	pela	distância	
dos dois vértices do alinhamento sobre as abcissas e a projeção Y representa a distância 
no	eixo	das	ordenadas	(HILLEBRAND,	2012).
Figura 27 – Representação da projeção da distância D em X (∆X) e em Y (∆Y)
Fonte: Veiga et al. (2012, p. 124)
Sendo: 
d01:	distância	horizontal	entre	os	vértices	0	e	1.
A01:	azimute	da	direção	0-1.
∆X:	projeção	da	distância	d01	sobre	o	eixo	X.
∆Y:	projeção	da	distância	d01sobre	o	eixo	Y.
Mas como vamos calcular? Utilizando conceitos da trigonometria plana, pode-
mos	calcular	as	projeções	da	seguinte	maneira:
140
Figura 28 – Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções
Fonte: Veiga (2012, p. 124)
Assim, considerando a poligonal exposta acima, as coordenadas são obtidas 
pela	soma	da	álgebra	das	projeções,	em	que:
Vamos a um exemplo de como calcular uma poligonal?
No geoprocessamento poligonal ou áreas são elementos areais ou poligonais 
que	têm	por	objetivo	descrever	as	propriedades	topológicas	de	áreas	como:	a	forma,	
vizinhança,	hierarquia	etc.,	de	tal	maneira	que	os	atributos	associados	aos	elementos	
areais	possam	ser	manipulados	da	mesma	forma	em	que	um	mapa	temático	analógico.	
Na	 representação	 por	 polígonos,	 cada	 elemento	 tem	 área,	 perímetro	 e	 formato	
individualizado	(ROSA,	2013).
No	geoprocessamento	podemos	fazer	isso	no	software,	não	necessitando	calcular	
a	área	de	um	triangulo,	quadrado,	retângulo	na	calculadora.	O	exemplo	acima	mostra	
mais	uma	forma	de	calcular	a	área	através	da	trigonometria.	
Mas como calcular os azimutes a partir de coordenadas planimétricas de dois 
pontos? Quando conhecemos as coordenadas planimétricas de dois pontos, podemos 
calcular	o	azimute	da	direção.	Lembrando	que	o	azimute	é	medido	a	partir	do	Norte,	
sentido	horário,	variando	de	0º	a	360º	e	que	ele	consiste	no	ângulo	formado	entre	os	
polos	de	origem	e	a	direção.
Aproveitando	a	figura	a	seguir,	o	conceito	de	quadrante	(no	qual	já	estudamos),	
mas	para	que	isso	ocorra,	é	fundamental	que	∆X	e	∆Y	sejam	obtidos	fazendo-se	sempre	a	
coordenada	do	segundo	ponto	menos	a	coordenada	do	primeiro	(MULLER	et	al.,	2014).
141
Figura 29 – Compreendendo a direção (azimute)
FONTE: Adaptado de Veiga et al. (2012)
Vamos	a	um	exemplo?	Analise	a	figura	a	seguir,	que	representa	o	azimuteda	
direção	2-3.
Figura 30 – Direção do azimute
Fonte: a autora (2022)
Vamos calcular passo a passo esse exemplo acima?
 
Como o Y está negativo, sabemos que está no 2o quadrante!
142
Fonte: a autora
Para obter-se o azimute da direção 2-3 no 2º quadrante, extrai-se o arco-
tangente	 do	módulo	 do	 quociente	 (∆X/∆Y),	 obtendo-se	 um	 arco	 no	 1º	 quadrante:	A	
2-3	=	16º	38’	46’’	 (1º	quadrante).	A	seguir,	faz-se	a	 redução	ao	2º	quadrante:	A	2-3	 (2º	
quadrante)	=	180º	-	[arco	(1º	quadrante)]	A	2-3	(2º	quadrante)	=	180º	-	16º	38’	46’’	A	2-3	
(2º	quadrante)	=	163º	21’	14’’.
Vamos	a	outro	exemplo?	Analise	a	figura	a	seguir	e	calcule	a	direção	do	azimute.
Figura 31 – Direção azimute
Fonte: a autora (2022)
143
Vamos calcular passo a passo esse exemplo acima?
 
Como deu positivo está no 1º quadrante!
Fonte: a autora (2022)
Leia o artigo “Planilha eletrônica para cálculo analítico de coordenadas 
topográficas”, de Aristides Filho, que traz, de forma prática, o cálculo 
de coordenadas planimétricas para as poligonais obtendo pares de 
coordenadas. Vale a pena conferir! Você, como futuro profissional da 
área de geoprocessamento, deve manipular ferramentas fáceis para 
diversas quantidades de dados! Disponível em: http://twixar.me/Cnxm
DICA
144
Neste tópico, você aprendeu:
•	 Coordenadas	cartesianas	são	um	sistema	de	coordenadas	que	 identifica	e	 localiza	
um	ponto	 em	um	plano.	 É	muito	utilizado	para	 o	desenvolvimento	de	gráficos	de	
funções,	sendo	que	os	valores	relacionados	ao	eixo	x	constituem-se	no	domínio	e	
os	valores	de	y	são	a	imagem	da	função.	Para	o	geoprocessamento,	utilizamos	para	
cálculo	de	distâncias,	definição	de	limites	etc.
• O sistema de coordenadas cartesianas é um conjunto de três retas (X, Y e Z) também 
chamado	de	 eixos	 coordenados	 e	mutuamente	perpendiculares. No 1º quadrante, 
os	números	sempre	serão	positivos:	x	>	0	e	y	>	0.	No	2º	quadrante,	os	números	são	
negativos	ou	positivos:	x	0.	Já	no	3º	quadrante,	os	números	são	sempre	negativos:	x.	
Por	fim,	no	4º	quadrante,	os	números	podem	ser	positivos	ou	negativos:	x	>	0	e	y.
•	 As	coordenadas	geográficas	são	definidas	como	um	ponto	de	intercessão	de	latitude	
e	 longitude	 que	 representa	 um	 determinado	 lugar	 na	 superfície	 terrestre,	 já	 as	
coordenadas cartesianas são um conceito utilizado em Matemática, que tem como 
finalidade	definir	um	ponto	de	intercessão	de	uma	linha	horizontal	e	uma	linha	vertical	
em	um	plano	qualquer.
•	 Sistema	métrico	são	maneiras	de	medir	grandezas.	Assim,	para	o	Sistema	Internacional	
de	Unidades	(SI),	a	medida	do	tempo	é	em	segundo,	que	corresponde	a	9.192.631.770	
ciclos	de	radiações	emitidas	entre	os	dois	níveis	de	energia	do	átomo.
•	 Para	 o	Sistema	 Internacional	 de	Unidades	 (SI),	 a	medida	oficial	 é	 o	metro	 (m)	 e	 o	
sistema métrico decimal para medir a capacidade de um sólido é em litros, enquanto 
no	Sistema	Internacional	é	em	metros	cúbicos	(m3).
•	 O	sistema	métrico	decimal	definiu	a	medida	do	volume	como	sendo	metro	cúbico	
(m3).	Já	a	medida	de	massa	tem	como	objetivo	medir	uma	quantidade	de	matéria	que	
um	corpo	possui,	ou	seja,	é	constante	em	qualquer	lugar	do	planeta	Terra	ou	espaço.
• Transporte de coordenadas é a manipulação do plano UTM que usa o metro como 
unidade	para	medir	distâncias.	Assim,	o	transporte	de	coordenadas	tem	como	objetivo	
obter	as	coordenadas	próximas	dos	vértices	quando	as	coordenadas	são	conhecidas.
RESUMO DO TÓPICO 2
145
1 Compreender e entender os valores das abscissas e ordenadas é primordial para o 
sistema	de	coordenadas	geográficas	e	para	o	profissional	da	área	de	geoprocessa-
mento,	visto	que	são	pontos	primordiais	para	localizar	qualquer	ponto	na	superfície	
terrestre.
AUTOATIVIDADE
Fonte: a autora (2022)
Diante disso, observe o plano cartesiano a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
a)	 (			)	 O	ponto	C	é	dado	pelas	coordenadas	(6,	7),	sendo	que	o	número	6	é	a	abscissa	e	
o	número	7,	a	ordenada.
b)	 (			)	 O	ponto	C	é	dado	pelas	coordenadas	(6,	7),	sendo	que	o	número	7	é	a	abscissa	e	
o	número	6,	a	ordenada.
c)	 (			)	 O	ponto	C	é	dado	pelas	coordenadas	(6,	7),	sendo	que	o	número	13	é	a	abscissa	
e	o	número	7,	a	ordenada.
d)	 (			)	 O	ponto	C	é	dado	pelas	coordenadas	(6,	7),	sendo	que	o	número	6	é	a	abscissa	e	
o	número	13,	a	ordenada.
146
2 Localizar um ponto cartesiano é necessário para o levantamento de diversos trabalhos 
na área de geoprocessamento, que pode ser com os pontos altimétricos de uma área 
urbana	ou	até	de	um	empreendimento.	Partindo	disso,	localize	os	pontos	cartesianos	
na	figura	a	seguir.
Fonte: a autora (2022)
A	partir	da	figura	acima,	assinale	a	alternativa	CORRETA.	
a)	 (			)	 A:	(8,10);	B:	(10,	2);	C:	(6,7);	D:	(	-4,	5);	E:	(-9,8);	F:	(-6,3);	G:	(-8,	-9);	H:	(-4,	-6);	I:	(8,	
-8);	J:	(6,-3).
b)	 (			)	 A:	(10,8);	B:	(2,	10);	C:	(7,6);	D:	(5,	-4);	E:	(8,-9);	F:	(3,-6);	G:	(-9,	-8);	H:	(-6,	-4);	I:	(-8,	
8);	J:	(-3,6).
c)	 (			)	 A:	(8,10);	B:	(10,	2);	C:	(8,9);	D:	(	-4,	5);	E:	(5,4);	F:	(-6,3);	G:	(8,9);	H:	(-4,	-6);	I:	(8,	8);	
J:	(6,-3).
d)	 (			)	 A:	(-8,-10);	B:	(-10,	-2);	C:	(-6,-7);	D:	(4,	-5);	E:	(9,-8);	F:	(6,-3);	G:	(8,	9);	H:	(4,	6);	I:	
(8,	8);	J:	(6,3).
3 Compreender a localização de um quadrante é muito importante para, posteriormente, 
reconhecer	 o	 azimute	 (direção)	 e	 em	 qual	 coordenada	 está	 localizado	 de	 fato	 o	
ponto	que	se	quer	procurar.	Dessa	forma,	analise	a	figura	a	seguir	e	aponte	em	qual	
quadrante	está	localizado	o	ponto	A.
147
Fonte: a autora (2022)
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	 (			)	 1º	quadrante.
b)	 (			)	 2º	quadrante.
c)	 (			)	 3º	quadrante.
d)	 (			)	 4º	quadrante.
4	 “Nos	últimos	anos,	houve	ganho	significativo	na	Topografia	devido	à	tecnologia	na	
fabricação	de	 instrumentos	de	medidas,	observando-se	que	houve	uma	transição	
dos aparelhos mecânicos para os teodolitos eletrônicos e posteriormente para as 
estações	totais,	que	são	capazes	de	armazenar	dados	de	campo	e	transferi-los	para	
o	computador	mediante	o	uso	de	softwares	específicos”	(FILHO,	2014,	p.	1).
Fonte: FILHO, A. Planilha eletrônica para cálculo analítico de coordenadas topográficas. In: CONGRESSO 
BRASILEIRO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA, 42., 2014, Campo Grande. Anais [...]. Campo Grande, 2014.
 
A partir do texto acima e dos nossos estudos, discuta e disserte sobre os cálculos 
matemáticos	referentes	aos	cálculos	de	coordenadas	planimétricas.
5	 Quadrante	é	um	instrumento	matemático	importante	para	o	cálculo	planimétrico.	Além	
disso, é demasiadamente utilizado para compreender a localização da coordenada 
geográfica	e	muito	utilizado	para	compreender	o	ângulo	e	o	azimute	(direção).	Dessa	
forma,	disserte	sobre	quadrante	e	como	se	realiza	a	análise	do	quadrante.
148
149
TÓPICO 3 — 
COMPREENDENDO AS COORDENADAS 
GEOGRÁFICAS POLARES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO 
As coordenadas polares são um sistema bidimensional, em que cada ponto do 
plano	é	determinado	por	uma	distância	e	um	ângulo	em	relação	a	um	ponto	fixo.	Em	
outras palavras, as coordenadas polares são vinculadas ao sistema de coordenadas 
cartesianas.	 Esse	processo	 se	dá	em	 razão	das	 relações	 trigonométricas	 adequadas	
(SILVA,	2015).
Quando desenhamos um plano cartesiano e traçamos o eixo x e y perpendiculares 
um ao outro, o ponto O, que seria a origem, será o polo do sistema e a semirreta OP será 
o	polar.	Dessa	forma,	neste	tópico,	vamos	expressar	e	estudar	a	posição	de	um	ponto,	
mas	diferente	do	plano	cartesiano.		 	 	 	 	 	 	
 
Logicamente, os sistemas cartesianos são mais utilizados, mas compreender 
as coordenadas polares é entender que podemos discutir problemáticas com outros 
pontos	de	vista	a	partir	 de	um	plano	de	coordenadas.	Assim,	neste	tópico,	 também,	
estudaremos	as	coordenadas	polares	e	o	os	principais	objetivos	para	o	profissional	de	
geoprocessamento.	Bons	estudos!
2 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
O sistema de coordenadas, OPΘ no plano, tem como objetivo descrever o polo 
de	origem	e	de	uma	semirreta	OA.,	de	acordo	com	a	figura	33,	a	seguirFigura 33 – Coordenada polar
Fonte: a autora (2022)
150
As	 coordenadas	 polares	 são	 formadas	 por	 um	 sistema	 bidimensional	 (x,	 y).	
Assim, cada ponto de um plano é determinado por um ângulo e distância em relação 
ao	ponto	 de	 referência.	Vale	 destacar	 que	 as	 coordenadas	 cartesianas	 têm	vínculos	
com	 a	 coordenada	 polar	 devido	 aos	 cálculos	 de	 trigonometria.	 Além	 disso,	 as	 duas	
coordenadas	têm	o	objetivo	de	localizar	um	ponto.	O	eixo	x	e	y	são	perpendiculares	um	
ao outro, porém o ponto O será a origem e a semirreta será o OP, ou seja, o eixo polar nas 
coordenadas	geográficas.
Além	 disso,	 as	 denominações	 nas	 coordenadas	 polares	 são	 diferentes,	 por	
exemplo,	o	ponto	de	referência	conhecido	no	sistema	cartesiano	é	chamado	de	polo	
no sistema de coordenadas polares, e a semirreta do polo (direção) é conhecida como 
eixo	polar.	Assim,	a	distância	da	coordenada	é	denominada	de	radial	ou	raio,	e	o	ângulo	é	
conhecido	como	coordenada	angular,	ou	ângulo	polar	ou	azimute.	 	 	
 
Nos	sistemas	de	coordenadas	polares,	utilizam-se	como	base	os	ângulos	e	raios.	
Esses	conceitos	já	eram	utilizados	a.C.	O	astrônomo	Hiparco	(190-120	a.C.)	teve	como	
uma	das	 suas	 criações	 a	 tabela	 de	 cordas	 e	 tamanhos	para	 cada	 ângulo,	 utilizando	
coordenadas	polares	para	encontrar	e	estabelecer	posições	estelares.		 	 	
 
No entanto, atualmente, as coordenadas polares têm sido atribuídas a Gregório 
Fontana.	Mas	é	possível	utilizar	ângulos	e	distâncias	tendo	como	base	de	 referência	
o ângulo inicial e, assim, podemos determinar as coordenadas bidimensional, áreas, 
distâncias	e	ângulos	horizontais.	
Assim,	quando	falamos	em	sistema	de	coordenadas	cartesiano,	descrevemos	
sua	localização	escrevendo	P=	(a,b),	tendo	como	projeção	de	P	no	eixo	x	o	ponto	a,	e	
na	projeção	do	eixo	y	o	ponto	b.	Mas	também	podemos	descrever	a	localização	de	P	na	
origem	O	do	sistema	e	do	ângulo	formado	pelo	eixo	x	e	o	segmento	OP	(caso	o	P	seja	
diferente	de	O).			 	 	
Assim,	denotamos	que	P=	(r,	θ),	sendo	r	a	distância	de	P	a	O.	Além	disso,	o	θ é o 
ângulo	anti-horário,	parte	do	Ox	positivo	ao	segmento	OP	(caso	P≠O).	Porém,	se	o	P=O	
significa	dizer	que	o	P	=	(0,θ) para qualquer θ.	Assim,	esse	processo	é	denominado	de	
Sistema	de	coordenadas	Polares.	Devemos	compreender	que,	no	sistema	cartesiano,	
representamos o ponto por suas coordenadas cartesianas (x, y), já no sistema polar, 
representamos o ponto por suas coordenadas polares (r, θ).
151
Figura 34 – (a) Coordenadas cartesianas (X, Y) – (b) Coordenadas polares (R, Θ)
FONTE: a autora (2022)
Mas como vamos marcar um ponto no sistema de coordenadas polares? 
Primeiramente,	precisamos	entender	que	devemos	começar	pelo	eixo	polar	fazendo	a	
rotação de um ângulo θ,	como	na	figura	a	seguir.	
Figura 35 – Sistema de coordenadas polares
Fonte: a autora (2022) 
Dessa	forma,	para	marcamos	um	ponto	no	sistema	de	coordenadas,	 iniciamos	
pelo	eixo	polar,	com	rotação	do	ângulo,	e	se	r	>	0	ponto	está	a	r	unidades	do	polo	e	na	
mesma	direção	do	lado	final	do	θ	(ângulo).	Mas	se	o	r	<	0,	o	ponto	está	a	|r|	unidades	do	
polo	e	na	direção	oposta	do	lado	final	do	θ.
Você	quer	um	exemplo?	Olhe	as	figuras.	Analise	e	marque	os	seguintes	pontos	
no	plano	polar.
152
e
Observe	a	figura	para	perceber	a	resposta:
Figura 36 – Coordenada polar
Fonte: a autora (2022)
Você	quer	outro	exemplo?	Analise	e	marque	os	seguintes	pontos	no	plano	polar.
Figura 37 – Outro exemplo de pontos no plano solar
Fonte: a autora (2022)
153
Vamos	a	algumas	considerações	importantes.
Figura 38 – Coordenada polar e os ângulos 
Fonte: a autora (2022)
•	 A	primeira	coordenada	polar	p	de	um	ponto	é	sempre	>0,	visto	que	ele	representa	a	
distância	do	ponto	ao	polo.	No	entanto,	podem	ocorrer	valores	negativos	para	p,	assim	
será	marcada	a	distância	p	na	semirreta	oposta	=	(ρ, θ), com ρ	<	0,	que	corresponde	
ao	ponto	P	=	(−ρ, θ	+	π).
•	 A	segunda	consideração	é	que	se	a	coordenada	polar	for	zero,	então	o	ponto	é	o	polo	
e	assim	não	está	definido	o	polo.	
• A terceira consideração é que podem ser utilizadas medidas em radianos ou em 
graus.
Quer um exemplo?
Figura 39 – Coordenada polar x cartesiana
FONTE: A autora (2022)
154
Assim, para representarmos um ponto de coordenadas polares, precisamos 
somente	do	ponto	O	do	plano	e	uma	semirreta	de	origem.	Na	figura	a	seguir,	representamos	
o ponto P de coordenadas polares (r,θ),	tomando	o	segmento	OP	com	medida	r.
Figura 40 – Ângulo da coordenada polar
FONTE: A autora (2022)
O	ponto	fixo	O	é	chamado	polo	e	a	semirreta,	eixo	polar.	Dessa	maneira,	quando	
falamos	 em	 coordenadas	 polares,	 significa	 representar	 de	 forma	 diferente	 o	mesmo	
ponto.	Ou	seja:	ter	P	=	(r,θ)	e	P	=	(s,	α)	sem	que	r	=	s	e	θ	=	α, isto é, (r,θ)	=	(s,α) não implica 
em	r	=	s	e	θ	=	α.	
Vale lembrar que (θ) não representa um par ordenado, mas apenas pares 
ordenados	em	um	mesmo	ponto.	Assim,	o	ponto	P	por	(r,–θ), para r e θ positivos, se θ é 
tomado	no	sentido	horário.	Desse	modo,	podemos	dizer	que:	(r,–θ)	=	(r,2π–θ) e (r,–θ) é o 
simétrico de (r,θ)	em	relação	à	reta	suporte	do	eixo	polar.
Vamos a alguns exemplos:
Dados: (3,π/2)	=	(–3,3π/2).
Figura 41 – Utilizando a trigonometria na coordenada polar
FONTE: a autora (2022)
155
Dado um ângulo θ, θ pode ser representado por θ+2kπ,	 para	 todo	 k	 inteiro.	
Assim, (r,θ)	=	(r,θ+2π)	=	(r,θ+4π)	=	(r,θ – 2π)	=	(r,θ – 4π)	...
Coordenadas polares são outra interpretação para compreender as 
coordenadas. Assim, utilizamos as coordenadas planas, porém com 
outra interpretação para a localização do ponto. Em outras palavras, 
normalmente utilizamos a trigonometria na coordenada polar. Veja o 
vídeo do professor da Universidade de São Paulo sobre coordenadas 
polares, vale a pena conferir! Disponível em: http://twixar.me/Z1xm.
DICA
156
LEITURA
COMPLEMENTAR
COORDENADAS CARTESIANAS X COORDENADAS GEOLÓGICAS EM 
GEOESTATÍSTICA: APLICAÇÃO À VARIÁVEL VAGAROSIDADE OBTIDA POR 
PERFILAGEM ACÚSTICA
Vanessa Cerqueira Koppe 
João Felipe Coimbra Leite Costa 
Jair Carlos Koppe 
Introdução 
A geoestatística compreende o conjunto de métodos que têm por objetivo a 
estimativa	de	valores	de	um	atributo,	que	são	correlacionados	no	tempo	e/ou	espaço.	
Essas	 estimativas	 são	 feitas	 baseadas	 no	 modelo	 de	 continuidade	 temporal/espacial	
desse atributo, que, por sua vez, é construído baseado nos valores das amostras desse 
atributo.	
Geralmente, o posicionamento das amostras de campo e o modelamento dos 
depósitos minerais são baseados em coordenadas cartesianas, que procuram representar 
a	configuração	em	subsuperfície	das	camadas	que	compõem	o	depósito	em	estudo.	Porém,	
o	uso	desse	sistema	de	coordenadas	pode	dificultar	a	determinação	da	continuidade	dos	
valores	amostrais,	produzindo	estimativas	equivocadas	de	valores	do	atributo.
No	momento	da	formação	dos	depósitos	minerais,	os	minerais	são	cristalizados	
em	posições	coerentes	com	o	processo	geológico	atuante	e,	por	 isso,	esse	processo	
determina a continuidade de atributos relacionados com a constituição das rochas (por 
exemplo,	teor	de	um	mineral).	Eventos	geológicos	posteriores	à	formação	do	depósito,	
como	dobramentos,	podem	modificar	a	direção	de	continuidade	de	certos	atributos.	A	
fim	de	contornar	essa	questão,	novas	ideias	a	respeito	da	transformação	de	coordenadas	
cartesianas	têm	surgido	(MCARTHUR,	1987;	DEUTSCH,	2002).	
Coordenadas	 estratigráficas	 (ou	 geológicas)	 seriam	 coordenadas	 baseadas	
na	real	continuidade	do	atributo	em	estudo.	Normalmente,	no	caso	dos	depósitos	de	
carvão,	essa	continuidade	concorda	com	a	estratigrafia	do	depósito.	
 
A	transformação	de	coordenadas	cartesianas	para	coordenadas	estratigráficas	
tem como objetivo colocar a continuidade de um atributo em um mesmo sistema de 
coordenadas,	 para	 que	 as	 direções	 de	 anisotropia	 possam	 ser	 bem	 determinadas	 e	
melhores	estimativas	de	valores	do	atributo	sejam	realizadas.	Em	depósitos	de	origem	
157
sedimentar, como o carvão, sedimentos depositadosem uma mesma época geológica 
tendem	 a	 apresentar	 alta	 correlação	 espacial.	 Esses	 sedimentos,	 comumente,	 são	
acumulados	em	bacias	sedimentares	que	determinam	a	forma	que	as	camadas	adquirem.
A continuidade dos sedimentos pode ser melhor determinada na geoestatística 
se	sua	forma	for	“desdobrada	em	uma	mesma	direção”.	Essa	questão	de	transformação	
de coordenadas não é exclusiva a depósitos de carvão, estando presente em vários 
tipos	de	mineralizações	(MCARTHUR,	1987).		 	 	 	 	 	
 
Uma vez demonstrada a necessidade de medir-se a continuidade espacial de 
um atributo geológico usando um sistema de coordenadas adequado, esse estudo 
discute uma metodologia para minimizar o viés no cálculo do variograma e na estimativa 
se	utilizada	uma	base	cartográfica	inadequada	para	o	problema	físico	abordado.		
 
Esse estudo apresenta uma comparação entre resultados obtidos com o uso de 
coordenadas	cartesianas	e	coordenadas	estratigráficas	na	determinação	da	direção	de	
maior continuidade (3D) e na krigagem	ordinária	(3D)	(MATHERON,	1963)	de	um	atributo.	
Para	esse	exemplo,	um	caso	 real	foi	utilizado	e	o	atributo	estudado	foi	vagarosidade	
(inverso	da	velocidade)	de	propagação	da	onda	acústica	em	meio	rochoso.	Estimativas	
de	valores	tridimensionais	de	vagarosidade	de	onda	acústica	podem	ser	combinadas	
a	 dados	 obtidos	 pelo	 método	 geofísico	 de	 sísmica,	 para	 obtenção	 de	 valores	 de	
profundidade	de	uma	camada	de	interesse	(KOPPE	et al.,	2004).	
Metodologia 
Valores	(amostras)	de	vagarosidade	foram	coletados	pelo	método	geofísico	de	
perfilagem	acústica,	em	intervalos	de	5	cm	ao	longo	de	furos	verticais	perfilados	em	um	
depósito	de	carvão.	As	amostras	de	vagarosidade	de	onda	acústica	foram	coletadas	ao	
longo	de	diferentes	litologias.	O	depósito	estudado	apresentava	diversas	camadas	de	
carvão	intercaladas	com	camadas	de	rocha	estéril.	 	 	 	 	
 
As	definições	das	 capas	 e	 lapas	de	 cada	 camada	de	 carvão	 foram	descritas	
a	 partir	 dos	 testemunhos	 das	 sondagens.	 Essas	 informações	 foram	 utilizadas	 na	
construção dos modelos geológicos dessas camadas, os quais mostraram camadas 
quase	 horizontais,	 apresentando	 um	 leve	 dobramento	 sinforme.	 O	 leve	 dobramento	
das	camadas	de	carvão	do	depósito	poderia	interferir	nas	estimativas	de	vagarosidade,	
já que a maior continuidade dos estratos (e do atributo vagarosidade) seria em uma 
direção	próxima	a	direção	horizontal.		 	 	 	 	
A determinação dessa continuidade poderia ser prejudicada pela mistura de 
amostras	 em	mesmos	 níveis	 z	 (elevação),	 porém	 pertencentes	 a	 distintas	 litologias.	
Geralmente,	 amostras	 de	 diferentes	 domínios	 geológicos	 são	 separadas	 antes	 da	
realização	de	estimativas	de	alguma	variável	no	 interior	desses	domínios.	Contudo,	a	
hipótese da separação das amostras de vagarosidade por domínios geológicos é inviável 
nesse tipo de estudo, devido à grande quantidade de amostras de vagarosidade e ao 
158
número	de	camadas	geralmente	distinguidas	em	depósitos	de	carvão.	Em	vista	desses	
fatos,	o	desdobramento	(transformação	das	coordenadas	cartesianas	em	coordenadas	
estratigráficas)	 do	 depósito	 poderia	 ser	 uma	 forma	 de	 aprimorar	 os	 resultados	 das	
estimativas	de	vagarosidade.		 	 	 	 	 	 	 	
 
A	mudança	de	coordenadas	faria	com	que	fossem	utilizadas,	preferencialmente,	
amostras de um domínio geológico igual ao domínio do ponto onde estaria ocorrendo a 
estimativa.	A	capa	(hanging wall) da principal camada de carvão do depósito (camada 
CL)	foi	utilizada	como	referência	para	a	transformação	das	coordenadas	das	amostras	
de	cartesianas	para	coordenadas	estratigráficas.	A	 interpretação	geológica	considerou	
que	a	capa	dessa	camada	representaria	a	continuidade	do	atributo	vagarosidade.	
 
A	capa	da	camada	CL	foi	aplainada	e	as	demais	camadas	do	depósito	tiveram	
suas	coordenadas	modificadas,	mantendo	a	distância	relativa	à	capa	da	CL	inalterada.	
Essa	mudança	foi	realizada	considerando	a	cota	vertical	da	capa	da	camada,	demarcada	
em	cada	furo	de	sonda	(mesmos	furos	perfilados),	igual	a	zero.	A	equação	1	demonstra	
essa	 transformação	 de	 coordenadas.	 Z(i)estr=Z(i)	 -	 Z(i)cc	 i	 =	 1,	 ...	 n	 (1),	 em	que:	 z(i)
estr	=	nova	coordenada	vertical	da	i-ésima	amostra.	Z(i)	=	atual	coordenada	vertical	da	
i-ésima	amostra.	Z(i)cc	=	coordenada	vertical	da	capa	da	camada	CL,	situada	na	mesma	
linha	vertical	(ao	longo	de	idênticas	coordenadas	X	e	Y)	da	iésima	amostra.	n	=	número	
de	amostras.
Contudo, o depósito em estudo apresenta apenas um leve dobramento das 
camadas,	o	que	não	resulta	em	erros	significativos	na	determinação	da	continuidade	
horizontal.	Além	disso,	os	valores	de	vagarosidade	apresentam	uma	forte	continuidade	
horizontal.		 	 	 	
Assim,	 pequenas	modificações	 nas	 distâncias	 horizontais	 entre	 as	 amostras	 não	
causam	erros	 significativos	 nas	 estimativas	 do	variograma	experimental.	As	 estimativas	
em	coordenadas	estratigráficas	resultantes	da	krigagem deveriam ser reposicionadas 
em coordenadas cartesianas, para se obter um modelo de vagarosidade no sistema de 
coordenadas	usualmente	utilizado.	Essa	operação	foi	chamada	de	retrotransformação.	
Para	 a	 realização	 da	 retrotransformação,	 procede-se	 a	 modificação	 necessária	
na	 equação	 1.	 Para	 determinar	 o	 valor	 da	 cota	 da	 capa	 que	 deveria	 ser	 somado	 às	
coordenadas verticais de cada ponto do grid de vagarosidades, realizou-se a krigagem 
ordinária	da	variável	cota	da	capa	em	um	grid	2D.	Os	nós	desse	grid	estão	na	mesma	
posição	XY	dos	nós	do	grid	de	vagarosidade.	
Resultados e discussão 
A determinação da continuidade espacial do atributo vagarosidade, a ser utilizada 
na krigagem	ordinária	desse	atributo,	foi	obtida	a	partir	dos	variogramas	experimentais	
e	do	modelamento	desses	variogramas.	Variogramas	experimentais	foram	construídos	
para	amostras	em	coordenadas	cartesianas	e	estratigráficas.		 	 	 	
 
159
Os variogramas mostraram que a variabilidade média entre amostras aumentava 
rapidamente	 nos	 primeiros	 metros.	 Esse	 rápido	 aumento	 ocorreu	 devido	 à	 natureza	
da	 variável	 vagarosidade,	 que	 é	muito	 sensível	 a	 pequenas	 variações	 na	 composição	
das	 rochas.	 Isso	 quer	 dizer	 que,	 dentro	 de	 uma	 faixa	 de	 possíveis	 valores,	 a	 variável	
vagarosidade	pode	apresentar	valores	um	tanto	diferentes	a	pequenas	distâncias	 (alto	
efeito	pepita).		 	 	 	
Analisando-se os variogramas experimentais isotrópicos, observa-se que, em 
cada	ponto,	o	valor	de	variograma	dos	dados	em	coordenadas	estratigráficas	é	em	média	
81% do valor do variograma em coordenadas cartesianas e o modelo para o variograma 
estratigráfico	 apresenta	 um	maior	 alcance	 da	 primeira	 estrutura.	 Isso	 evidencia	 que	
mesmo o leve dobramento das camadas em coordenadas cartesianas, ao longo da 
extensão	do	depósito,	fez	com	que	amostras	de	domínios	geológicos	diferentes	fossem	
comparadas,	o	que	aumenta	a	variabilidade	entre	amostras.		
Apesar	de	a	transformação	das	coordenadas	originais	em	coordenadas	estrati-
gráficas	não	garantir	que	todos	os	pares	de	amostras	incluam	amostras	de	um	mesmo	
domínio geológico, a utilização dessas coordenadas garantiu uma melhor caracteriza-
ção	da	correlação	espacial	das	amostras	de	vagarosidade.	
 
A krigagem	 ordinária	 de	 bloco	 foi	 realizada	 para	 o	 atributo	vagarosidade	 em	
coordenadas	estratigráficas	e	em	coordenadas	cartesianas.	A	fim	de	verificar	a	validade	
das	estimativas	de	vagarosidade,	os	procedimentos	a	seguir	foram	realizados.	
•	 Análise	estatística	dos	dados	de	vagarosidade	pertencentes	à	camada	CL.
• Estatística básica das estimativas de vagarosidade, realizadas com dados em coor-
denadas	estratigráficas,	dentro	do	modelo	geológico	(em	coordenadas	estratigráfi-
cas)	da	camada	CL.	
• Estatística básica das estimativas de vagarosidade, realizadas com dados em coor-
denadas cartesianas, dentro do modelo geológico (em coordenadas cartesianas) da 
camada	CL.	
•	 Comparação	dos	resultados	das	análises	estatísticas.A	 utilização	 de	 amostras	 de	 domínios	 geológicos	 diferentes,	 na	 estimativa	 de	
um	mesmo	ponto,	causou	a	nítida	diferença	entre	os	histogramas	das	estimativas	em	
coordenadas cartesianas e das amostras desagrupadas, atestando a não validade do 
modelo	de	vagarosidade	com	esse	sistema	de	coordenadas.	Isso	se	deve	ao	fato	de	que	
os valores das amostras de vagarosidade pertencentes à camada de carvão são muito 
maiores que os valores das amostras pertencentes a outras camadas e a combinação 
desses	valores	provocou	uma	diminuição	na	média	das	estimativas	dentro	da	camada	CL.	
 
160
Nesse	estudo,	o	impacto	da	utilização	de	coordenadas	estratigráficas,	ao	invés	
de	cartesianas,	pode	ser	facilmente	observado	quando	as	estimativas	de	vagarosidade	
são	utilizadas	 para	 determinação	da	 espessura	 da	 camada	CL.	A	 espessura	 de	 uma	
camada pode ser determinada pela multiplicação da velocidade média pelo tempo da 
onda	que	se	propagou	a	partir	da	capa	até	a	lapa	da	camada.		 	 	 	
 
Suponha a média de cada histograma como vagarosidade média da onda que 
se	propagou	a	partir	da	capa	até	a	lapa	da	camada	CL.	A	espessura	da	camada	CL,	para	
o	caso	estratigráfico,	seria	aproximadamente	76%	da	espessura	determinada	para	o	caso	
cartesiano,	considerando	mesmo	tempo	de	propagação	da	onda	para	ambos	casos.	
A	diferença	entre	o	grid de vagarosidade média obtido por coordenadas estra-
tigráficas	e	o	grid de vagarosidade média obtido por coordenadas cartesianas causou 
uma	diferença	significativa	entre	as	espessuras	determinadas	por	esses	dois	sistemas	
de	coordenadas.	A	transformação	das	coordenadas	originais	em	estratigráficas	dimi-
nuiu	a	utilização	de	amostras	de	diferentes	domínios	geológicos	na	estimativa	de	um	
mesmo	ponto.		 	 	 	 	 	 	
Assim, as estimativas produzidas com a utilização do banco de dados em 
coordenadas	 estratigráficas	 foram	 escolhidas	 como	 mais	 próximas	 da	 realidade.	
Adicionalmente,	essa	retrotransformação	pode	introduzir	um	erro	de	posição	nos	valores	
de	vagarosidade	estimados,	sendo	essa	a	desvantagem	na	questão	da	transformação	
de	coordenadas.		 	 	 	
A incerteza em relação ao modelo adotado é, também, a incerteza a respeito da 
posição	da	estimativa.	
Conclusões 
O	uso	de	coordenadas	estratigráficas,	em	casos	como	o	exemplificado	nesse	
artigo, resulta em uma melhor determinação da continuidade espacial do atributo 
em estudo e melhores estimativas dessa variável, em comparação com o uso de 
coordenadas	cartesianas.		 	
A	 desvantagem	 do	 uso	 de	 coordenadas	 estratigráficas	 está	 no	 fato	 de	 que	
incertezas	 são	 agregadas	 nos	valores	 das	 posições	 das	 estimativas.	 Contudo,	 essas	
incertezas	são,	muitas	vezes,	menos	significativas	para	os	objetivos	do	estudo	do	que	
os	erros	associados	aos	valores	das	estimativas	obtidas	com	coordenadas	cartesianas.
Fonte: KOPPE, V. C.; COSTA, J. F. C. L.; KOPPE, J. C. Coordenadas cartesianas x coordenadas geológicas em 
geoestatística: aplicação à variável vagarosidade obtida por perfilagem acústica. Rem: Revista Escola 
de Minas, v. 59, p. 25-30, 2006. Disponível em: http://twixar.me/b1xm. Acesso em: 16 set. 2022.
161
Neste tópico, você aprendeu:
• As coordenadas polares são um sistema bidimensional, em que cada ponto do plano é 
determinado	por	uma	distância	e	um	ângulo	em	relação	a	um	ponto	fixo.	Os	sistemas	
de coordenadas é OPθ no plano e tem por objetivo descrever o polo de origem e de 
uma	semirreta	AO.
•	 Sistemas	de	coordenadas	polares	utilizam	como	base	os	ângulos	e	raios,	sendo	P=	
(r, θ),	em	que	r	é	a	distância	de	P	a	O.	A	primeira	coordenada	polar	p	de	um	ponto	é	
sempre	maior	que	zero.
•	 Quando	a	coordenada	polar	for	zero,	então	o	ponto	é	o	polo	e,	assim,	concluímos	que	
não	está	definido	o	polo.	Para	 representarmos	um	ponto	de	coordenadas	polares,	
precisamos	 somente	 do	 ponto	 O	 do	 plano	 e	 uma	 semirreta	 de	 origem.	 (θ) nas 
coordenadas polares não representa um par ordenado, mas apenas pares ordenados 
em	um	mesmo	ponto.
RESUMO DO TÓPICO 3
162
1	 João	 Henrique	 teve	 como	 o	 primeiro	 desafio	 na	 sua	 primeira	 aula	 da	 faculdade	
transformar	 coordenadas	 cartesianas	 em	 polares.	 Desta	 forma,	 a	 partir	 do	 que	
estudamos, encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja 
equação	em	coordenadas	cartesianas	é	dada	por 2xy=25.	
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
2	 Você	começou	a	estudar	as	coordenadas	cartesianas	e,	dessa	forma,	foram	discuti-
das em sala de aula as coordenadas polares para melhor aplicação e resolução das 
problemáticas	do	dia	a	dia	que	o	profissional	da	área	de	geoprocessamento	terá	que	
resolver.	Analise	as	afirmativas	a	seguir	e	assinale	a	alternativa	CORRETA:	
I-	 Sistemas	de	coordenadas	polares	não	utiliza	como	base	os	ângulos	e	raios.
II-	 Coordenadas	polares	é	um	sistema	tridimensional.
III-	 A	primeira	coordenada	polar	p	de	um	ponto	é	sempre	maior	do	que	zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	 (			)	 I,	II	estão	corretas.
b)	 (			)	 II,	III	estão	corretas.
c)	 (			)	 III	e	I	estão	corretas.
d)	 (			)	 Apenas	III	está	correta.
3 Conhecer a matemática é muito importante para compreender a equação, para 
posteriormente	utilizá-la	nas	ferramentas,	de	softwares,	excel,	autocad,	entre	outros.	
Assim, a matemática é o conhecimento e o conceito para aplicar e resolver diversos 
problemas	 do	 dia	 a	 dia.	 Dessa	 forma,	 analise	 a	 equação	 e	 veja	 se	 está	 correta	 a	
afirmação.	
( ) A equação r = — 4 cos cos θ	representa	uma	parábola	positiva.	
( ) A equação r = — 7 cos cos θ		representa	uma	parábola	negativa.
( ) A equação r = —9θ	representa	uma	parábola.	
AUTOATIVIDADE
163
Assinale	a	alternativa	que	apresenta	a	sequência	CORRETA.
a)	 (			)	 F	–	F	–	F.	
b)	 (			)	 V	–	V	–	F.
c)	 (			)	 V	–	F	–	V.
d)	 (			)	 F	–	F	–	V.
4 Nas coordenadas polares, há diversos conceitos que são importantes, há diversas 
diferenças	das	coordenadas	cartesianas,	e	uma	delas	é	a	questão	dos	pares	ordenados.	
No	plano	cartesiano,	podemos	afirmar	que	par	ordenado	é	um	conjunto	de	números	
reais que é utilizado para determinar uma localização no plano cartesiano, porém nas 
coordenadas	polares	não	podemos	afirmar	isso.	Disserte	sobre	essa	afirmação.	
5	 Para	coordenada	polar,	diferentemente	da	coordenada	cartesiana,	utilizamos	o	ângulo	
e	a	trigonometria	como	base	para	sua	interpretação.	Representamos	o	ponto	por	suas	
coordenadas retangulares ou cartesianas (x, y); e no sistema polar, representamos o 
ponto por suas coordenadas polares (r, θ).	Veja	a	figura	a	seguir	e	disserte	sobre	a	
coordenada	polar.
164
165
BRASIL.	 ABNT	 –	 ASSOCIAÇÃO	 BRASILEIRA	 DE	 NORMAS	 TÉCNICAS.	 NBR 13133: 
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Cartográfica	e	de	Agrimensura.	Curitiba:	Universidade	Federal	do	Paraná,	2012.
VEIGA,	L.	A.	K.;	Conjunto	de	métodos	e	processos	que,	através	de	medições	de	ângulos	
horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental 
adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de 
apoio	no	terreno,	determinando	suas	coordenadas	topográficas.,	P.	L.	Fundamentos de 
topografia.	Engenharia	Cartográfica	e	de	Agrimensura.	Curitiba:	Universidade	Federal	
do	Paraná,	2012.
VOLPATO,	M.	M.	L.	et al.	GPS de navegação:	dicas	ao	usuário.	Circular	técnica	n.	45.	
Belo	Horizonte:	Epamig,	2008.	
167
APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA 
NO GEOPROCESSAMENTO
UNIDADE 3 — 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender a aplicação da interseção nas ferramentas de geoprocessamento;
• entender os cálculos de vértices virtuais por intersecção;
• aplicar na prática o desvio padrão para o dia a dia de um analista em geoprocessamento;
• assimilar a matemática como ferramenta na aplicação do geoprocessamento.
 A cada tópico desta unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de 
reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – INTERSEÇÃO
TÓPICO 2 – DESVIO PADRÃO
TÓPICO 3 – APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MATEMÁTICA NAS FERRAMENTAS DE 
GEOPROCESSAMENTO
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
168
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A TRILHA DA 
UNIDADE 3!
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169
TÓPICO 1 — 
INTERSEÇÃO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO 
Matematicamente, interseção são operações de conjuntos que formam uma 
coleção, ou seja, união, interseção e diferenças. Vale lembrar que, na matemática, os 
conjuntos podem representar a reunião de diversos elementos e, por consequência, 
formam conjunto de números. 
Um dos processos que mais se destaca na matemática é a utilização de notações 
para expressar ideias e conceitos da ciência. Dessa forma, a capacidade de compreender e 
expressar utilizando símbolos é fundamental para o desenvolvimento de diversos métodos. 
Assim, a noção de conjunto é uma noção primitiva, no qual denominados 
elementos formam um conjunto. Vamos a um exemplo? Vogais de um alfabeto, em que 
cada vogal é um elemento, ou um conjunto de alunos, em que cada aluno é um elemento. 
Uma reta é um conjunto de pontos, em que cada ponto é um conjunto.
Quando falamos em geoprocessamento, não é diferente, pois utilizamos várias 
informações de dados para construir um mapeamento. Por exemplo, na construção de um 
mapa de localização, utilizamos um conjunto das camadas de dados com representações 
gráficas de elementos vetoriais (pontos, linhas ou polígonos), contendo a referência 
espacial, ou seja, coordenadas, que representam um elemento gráfico que contém uma 
referência espacial, ou seja, coordenadas geográficas. Um shape nada mais é que um 
conjunto com vários arquivos. Shapefile é um formato de armazenamento de dados 
composto por um conjunto de arquivos, é muito popular entre usuários de SIG, porém 
tem restrições quanto ao tamanho dos arquivos. Em busca de solucionar o problema em 
torno do tamanho dos arquivos foi desenvolvido o formato de armazenamento de dados 
Geopackage. Este formato permite que o volume de dados armazenados seja muito 
maior, o que é interessante para grandes projetos e ainda por ser um banco de dados 
as edições e conversões são realizadas de forma direta, sem arquivos intermediários, 
permitindo assim maior desempenho computacional.
No geoprocessamento, manipulamos diversos dados com diferentes arquivos de 
diferentes variáveis para construir um novo estudo. Por exemplo, mapeamento de áreas 
com proliferação de vírus do Covid-19. Essas variáveis podem vir de dados de postos 
de saúde em locais regionais, juntamente com dados de parâmetros de efluentes dos 
bairros, visto que o vírus também é liberado pela urina dos seres humanos. Todos esses 
elementos chamamos matematicamente de conjuntos.
170
Denotamos os conjuntos pela letra maiúscula e os elementos por letras minús-
culas. Por exemplo, o conjunto C obtém os elementos d, e, f e será representado matemati-
camente pela notação:
C={d,e,f}
Mas como devemos ler os elementos dos conjuntos? Se lê: C é o conjunto cujos 
elementos são “d,e, e f”. Percebe-se que os elementos são separados por vírgulas e 
delimitados por chaves. Mas também podemos utilizar letras significativas, em que as 
letras têm ligações com os elementos do conjunto. Vamos a um exemplo? Conjunto de 
meses do ano com 31 dias, T= {janeiro, fevereiro, abril}.
Quando desenvolvemos qualquer tipo de modelagem na área ambiental, por 
exemplo, utilizamos conjunto de dados, como precipitação, vazão, temperatura e podemos 
denominar os elementos, por meio dos dados, como precipitação diária, ou média 
mensal ou anual, e tudo isso dependerá da metodologia adotada e das variáveis que se 
necessita para a modelagem.
Na matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos objetos e esses 
elementos formam conjunto de números que denominamos de conjuntos numéricos. 
No geoprocessamento, um modelo de dados é um conjunto de ferramentas conceituais 
que descrevem a realidade geográfica que será representada no sistema, ou seja, um 
conjunto de dados que descrevem o relevo, planimetria, bacia hidrográfica, flora etc. 
Dessa forma, em um projeto de um SIG, o modelo descreve a realidade que será 
representada no computador, ou seja, nenhuma outra decisão limita tanto a abrangência 
do crescimento futuro do sistema quanto o conjunto de dados, que no geoprocessamento é 
denominado de escolha do modelo de dados (CÂMARA; MEDEIROS, 2005). Assim, neste 
tópico, estudaremos osconjuntos, interseção de retas e intersecção virtual.
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos numéricos reúnem grupos de elementos que são números (MIRAGLIA; 
ABUD, 1999). São formados por: Números Naturais (N), Números Inteiros (Z), Números 
Racionais (Q), Números Irracionais (I) e Números Reais (R). O conjunto de números naturais 
é representado pelo número N, em que se reúne números que usamos para contar e 
são infinitos: 
Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Os números reais contemplam quatro conjuntos de números: Naturais (N), 
Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I). Em que:
171
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
 
Conjunto são números que contemplam a mesma característica. Em outras 
palavras, conjunto é um conceito que representa a união de elementos com tributos 
semelhantes. Na matemática, não seria diferente, ou seja, são conjuntos que reúnem 
características parecidas.
2.1 NÚMEROS NATURAIS
Números naturais reúnem números que vão do 0 ao infinito representados 
pela letra N. Conjuntos, geralmente, possuem subconjuntos. No geoprocessamento 
não é diferente. Quando construímos um mapa de uma bacia hidrográfica, há diversos 
conjuntos e subconjuntos. Por exemplo, o conjunto de precipitação de uma estação 
pluviométrica é contido por subconjuntos com dados que podem ser diários, mensais, 
anuais e esses subconjuntos podem correlacionar ou até construir outros conjuntos e 
subconjuntos. 
Além disso, quando possuímos os dados de chuva (precipitação) de uma 
determina área e/ou região, podemos transformar em vazão, ou seja, quando temos 
dados da chuva transformamos em vazão, o famoso método chuva-vazão. Dessa 
forma, quando falamos em números naturais, seus subconjuntos podem ser, segundo 
(MIRAGLIA; ABUD, 1999): 
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: é o subconjunto que reúne números naturais 
não nulos, ou seja, esse subconjunto não conta com o número 0. 
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: é o subconjunto que reúne os números pares. 
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: ao contrário do subconjunto anterior, este 
reúne os números ímpares. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: este subconjunto dos números naturais reúne os números 
primos (CHENÇO, 2019). 
2.2 NÚMEROS INTEIROS 
Números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus 
opostos, ou seja, os números naturais positivos e negativos. Números inteiros são 
representados pela letra Z. Devido ao conjunto de números inteiros também fazer parte 
dos números naturais, podemos dizer que o conjunto número N faz parte do conjunto 
Z, ou seja Z (N ⊂ Z). 
Quanto aos seus subconjuntos, podem ser, de acordo com Dante (2011): 
172
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: contendo os números inteiros não 
nulos, ou seja, este conjunto não inclui o número 0. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}:  reúne os números inteiros não negativos. Este subconjunto 
acaba sendo igual ao conjunto de números naturais. Ou seja, Z+ = N. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: números inteiros positivos e sem o zero. 
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: reunindo números inteiros não positivos. 
Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: os números inteiros negativos e sem o zero (CHENÇO, 2019).
Lembre-se: números inteiros são aqueles que não possuem 
casa decimal, apenas podem ser positivos ou negativos.
NOTA
2.3 NÚMEROS RACIONAIS
Números racionais são representados pela letra Q e esse conjunto objetiva 
contemplar os elementos que podem ser escritos da forma de fração, além dos números 
inteiros. Vale lembrar que todo número inteiro também é um número racional, fazendo 
com que o conjunto numérico Z seja conjunto número de Q.
Além de contemplar os números escritos em fração, esse conjunto também 
inclui dízimos periódicos, ou seja, inclui números decimais que se repetem após a 
vírgula (embora possa possuir casas infinitas, podem ser escritos em forma de fração). 
Os conjuntos incluem:
⮚ Q*: subconjunto que reúne números racionais não nulos, formado por números 
racionais sem o zero.
⮚	Q+: reúne os números racionais não negativos, formado pelos números racionais 
positivos e o zero. 
⮚	Q*+: é o subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números 
racionais positivos, sem o zero. 
⮚	Q–: subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números 
racionais negativos e o zero. 
⮚	Q*–: reunindo os números racionais negativos, formado números racionais negativos, 
sem o zero (CHENÇO, 2019). 
Além disso, vale salientar que os números decimais estão dentro dos números 
racionais. Logo, se dividirmos as frações, teremos resultado em valor decimal. Vejamos:
173
ou
Os números naturais também podem ser incluídos no conjunto Q. Logo, podem 
ser expressos por fração, que tem por resultado o valor natural. Ocorre também com 
números inteiros. Vejamos:
2.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
Números irracionais são um conjunto que tem por objetivo reunir números 
decimais que não são exatos, ou seja, são obtidos por decimais não exatos pela divisão 
de números inteiros, mas há uma representação infinita e não periódica (DANTE, 2011). 
Vejamos:
π = 3,14159
O conjunto irracional é representado pela letra I. Esse conjunto não possui sub-
conjuntos.
Você quer um exemplo no geoprocessamento?
No geoprocessamento, podemos exemplificar no índice de 
vegetação, em que cada superfície apresenta um estilo de 
radiação eletromagnética, ou seja, uma assinatura espectral que 
a planta remete, sendo que esse processo depende do tipo de 
solo e folhas. Cada tipo de vegetação remete a um comprimento 
de onda do espectro visível. O comportamento espectral da 
vegetação pode ser obtido por meio do comportamento da energia 
eletromagnética em três regiões do espectro. As principais são a 
região visível (0,4 a 0,7µm), ou seja, percebe-se pelo pigmento das 
doenças nas plantas (isso se modifica para cada tipo de doença e 
vegetação). Em outras palavras, o pixel não possui subconjuntos, 
pois está correlatado ao tipo de doença. Geralmente, é o principal 
dado que se consegue extrair. Logicamente, podemos discutir 
quais variáveis ocorreram para chegar à determinada doença.
INTERESSANTE
174
2.5 NÚMEROS REAIS
Esse conjunto de números reais é representado pela letra R, formado por 
conjuntos racionais e irracionais. Assim, temos: 
R= Q U I
O conjunto de números naturais, racionais, inteiros e irracionais são subconjuntos 
dos números reais. É importante frisar que, dentro de um conjunto de números reais, 
os irracionais e racionais não são a mesma coisa. Assim, um número pode ser racional e 
real, mas não pode ser irracional e, ao contrário, também ocorre a mesma regra. Vejamos:
⮚ R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não nulos.
⮚ R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não negativos.
⮚ R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
⮚ R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não positivos.
⮚ R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
2.6 NÚMEROS COMPLEXOS
Números complexos são compostos, em parte por números reais e conjuntos de 
ordenadas (x.y). Os conjuntos complexos são denominados pelas seguintes operações:
⮚ Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d 
⮚ Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
⮚ Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Ao compreendermos os conjuntos numéricos, observaremos que certos ele-
mentos podem pertencer a outro conjunto. Por exemplo, conjuntos naturais obtidos por 
conjunto dos inteiros e estão contidos nos números racionais. A união dos conjuntos de 
números racionais, determina números reais. Dessa forma, sobre os conjuntos podemos 
afirmar:
⮚ N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R.
⮚ I C R → I está contido em R.
⮚ Q U I = R → Q união com I, corresponde a R.
⮚ Q ∩ I = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazio.
⮚ I = R– Q → I corresponde a R, subtraído de Q.
Ou podemos exemplificar em forma de figura:
175
Figura 1 – Conjuntos
Fonte: a autora (2022)
Nos conjuntos, as operações podem ser realizadas por união, intersecção e 
diferença. Vale destacar que as operações são conjuntos matemáticos importantes para 
a teoria de conjuntos. Quando um conjunto é estabelecido, agrupamos com a mesmas 
características. 
 
No geoprocessamento, utilizamos essa teoria demasiadamente quando utilizamos 
um conjunto de dados para mapear determinada situação, por exemplo: mapeamento 
de pontos em área de inundação de uma área urbana, ou áreas degradadas de uma 
cidade, ou loteamentos sem regularização, todos são conjuntos de pontos agrupados 
com uma determinada característica. 
 
Vejamos na figura a seguir:
Figura 2 – Conjunto – união, intersecção e diferença
Fonte: a autora (2022)
176
Percebemos, na figura acima, que a união de dois conjuntos é representada 
por A∪ B, que são conjuntos formados pela união de dois elementos conjunto A e 
conjunto B. A intersecção é representada por A∩B, que são elementos que pertencem 
a um conjunto A e pelo conjunto B, em simultâneo. E a diferença de dois conjuntos é 
representada por A-B, em que o conjunto formado por tais elementos pertence somente 
a um conjunto.
Vamos a um exemplo matemático:
Dado os conjuntos A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}, a 
intersecção entre eles, ou seja, A – B será qual conjunto? 
Resolução: para encontrar os termos que pertencem exclusivamente ao 
conjunto A, vamos tirar dele os elementos que pertencem também ao conjunto B, então, 
temos que:
A – B = {3, 9, 15, 18}
Podemos calcular também a diferença entre o conjunto B e o conjunto A, ou 
seja:
B – A = {2, 4, 8, 10, 16}
Agora, como isso é utilizado no geoprocessamento?
Quando mapeamos as áreas inundadas de uma cidade, pode ser que sejam 
as mesmas áreas que são diagnosticadas como loteamentos irregulares, ou seja, os 
pontos podem ser conjuntos de união. Mas também pode ser intersecção, em que 
apenas alguns pontos podem ser iguais, como áreas ribeirinhas. Podemos levantar essa 
hipótese, mas se os conjuntos de pontos não coincidirem, pode existir outra explicação 
lógica, como os loteamentos irregulares serem em áreas de morros, impossibilitando ser 
a mesma área de várzea do rio, ou seja, área de inundação. 
3 INTERSECÇÃO DE RETAS
O que são retas? É um conjunto de pontos infinitos, que não faz curva ou pode 
ser um espaço que possui dimensão, ou seja, na reta podemos construir figuras com 
uma ou mais dimensões. Mas o que é intersecção? Na teoria dos conjuntos, entendemos 
que são os dados que pertencem aos dois conjuntos iguais.
Intersecção de retas são as retas que se cruzam, e o seu ponto de encontro 
denominado de intersecção (GUIDORIZZI, 2010). Por exemplo, uma esquina é um ponto 
de intersecção de duas ruas (retas).
177
Figura 3 – Intersecções
Fonte: a autora (2022)
Duas retas podem nunca se encontrarem, ou podem se encontrar uma ou 
mais vezes. A primeira denominamos de paralelas; o segundo caso, chamamos de 
concorrentes, quando há um ponto de intersecção. Mas quando as retas possuem 
dois pontos ou mais, chamamos de coincidentes, pois apresentam todos os pontos em 
comum. Vejamos a figura:
Figura 4 – Retas concorrentes, paralelas e coincidentes
Fonte: a autora (2022)
Dessa forma, quando as retas possuem pontos de interseção, é possível 
encontramos as coordenadas desse ponto. Suponhamos que as retas a= ax + by + c = 0 e 
b= dx + ey + f = 0 e se encontram no ponto P(xo, yo). Veja que essa equação os valores 
são uma incógnita. Nessa situação, os valores serão iguais para as duas equações, 
porém há situações em que o sistema tem duas incógnitas e assim terá duas equações. 
Podemos descrever esse sistema da seguinte maneira:
Diante disso, para podermos resolver o sistema, devemos encontrar os valores 
x e y, que são as coordenadas do ponto. Vamos a um exemplo? Encontre o ponto de 
intersecção de duas retas, em que as equações são 3x + 2y -7 = 0 e x -2y-9 = 0.
178
Figura 5 – Ponto de intersecção
Fonte: a autora (2022)
Passo 1: monte as equações: 
 3x + 2y — 7 = 0
x — 2y — 9 = 0
Passo 2: somar as duas equações e isolar o x:
4x + 0 – 16 = 0 => 4x = 16 => => x = 4
Passo 3: substituir o valor do x pelo valor 4 e isolar o y: 
3x +2y -7=0 => 3*4 + +2y -7 = 0 => 12 + 2y – 7 = 0 => 
Resposta: (4, )
Vamos a mais exemplo de ponto de intersecção entre funções? Vale lembrar que 
quando calculamos os pontos de intersecção entre duas funções, significa que estamos 
procurando os valores de x e y que simultaneamente satisfaçam as duas funções. 
Vejamos: encontre o ponto de intersecção de duas retas, em que as equações 
são – 2x + y = – 1 e x + y = 2.
179
Figura 6 – Intersecção de duas retas – exemplo 2
Fonte: a autora (2022)
Passo 1: montar o sistema: {—2x + y = —1 
 x + y = 2
 
Passo 2: igualar 0: {—2x + y + 1 = 0 
 x + y — 2 = 0
 
Onde:
-2x+y+1= -1 +1
-2x+y +1=0
E
x+y-2= 0
 Passo 3: multiplicar o sistema por 2: [-2x + y + 1 2x + 2y - 4] 
(na matemática podemos multiplicar por qualquer número os lados para ficar 
proporcional, e escolhemos o número dois).
Passo 4: somar a linha superior pela inferior e isolar o y: Resposta: 0 + 3y — 3 = 0 → y =1
Onde:
-2x+y+1
2x+2y-4
________________
0+3y-3 = 0
3y=3
y=3/3 = 1
180
Passo 5: substituir y pelo valor encontrado: —2x + 1 + 1 => x = 1 
Resposta: a coordenada do ponto de interseção de duas retas é: (1,1).
Vale lembrar que, para encontrar as coordenadas de pontos de duas retas 
concorrentes, é fundamental encontrar as equações dessas duas retas. Assim, será 
mais fácil utilizar as equações em sua forma reduzida. Vejamos a figura a seguir:
Figura 7 – Exemplo de equações no ponto de intersecção
Fonte: a autora (2022)
Para descobrir as coordenadas, ou seja, o ponto de intersecção entre duas 
retas concorrentes, utilizaremos a estratégia a seguir. Tomamos as equações das 
duas retas e as escrevemos de forma reduzida:
Eq1: –x + y = 0
Eq2: y = x + 0
Calculando:
y = x
–x – y = –2
–y = –2 + x
y = 2 – x
Como as duas equações encontradas são iguais a y, então, as duas equações 
podem ser igualadas. Esse procedimento dará o valor da coordenada x do ponto.
181
x = 2 – x
x + x = 2
2x = 2
x = 2 
2
x = 1
O valor do x é 1.
4 VÉRTICES VIRTUAIS
Vértices virtuais ou vértices angulares são intersecções em que não se conhecem 
as coordenadas de um ponto. No geoprocessamento, muitas vezes, utilizamos o termo 
intersecção, que significa o ponto de encontro. As normas de imóveis rurais (normas 
técnicas para georreferenciado de imóveis rurais) denominam vértice todo o local em 
que a linha limítrofe do imóvel muda a direção e/ou existe intersecção dessa linha com 
imóveis contíguos. Eles são representados por:
Figura 8 – Tipos de vértices
Fonte: Aquino et al. (2013a, p. 22)
182
No geoprocessamento, os vértices são definidos em função das características 
do campo e a forma de posicionamento direto ou indireto, conforme consta no Manual 
técnico dos limites de confrontações (AQUINO et al., 2013b). O Incra, por exemplo, 
adverte que produtos de sensoriamento remoto podem ser utilizados no levantamento 
por método indireto, porém vale destacar que o método se aplica a limites inacessíveis.
Figura 9 – Vértice virtual
Fonte: a autora (2022)
Dessa forma, quando falamos em vértices virtuais, quer dizer desenvolvendo 
pontos de intersecção em softwares de geoprocessamento. Perante tal, a intersecção 
tem por objetivo estabelecer coordenadas em um determinado ponto por interseção 
linear. Nos diferentes softwares utilizados em geoprocessamento é possível realizar a 
localização de um ponto por interseção linear. Quando aplicamos a interseção linear no 
Georreferenciamento de imóveis rurais regras específicas devem ser observadas.
 Incra (2013) salienta que, no posicionamento por sensoriamentoremoto, as 
informações geométricas de elementos físicos, de forma indireta para precisão e con-
fiabilidade devidamente avaliadas, devem ser realizadas a partir de sensores em nível 
orbital ou aerotransportados. 
Desse modo, para o posicionamento por sensoriamento remoto, os serviços de 
georreferenciamento de imóveis rurais, por exemplo, são aplicados os seguintes métodos: 
a) aerofotogrametria; b) radar aerotransportado; c) laser scanner aerotransportado; e d) 
sensores orbitais (satélites).
Aquino et al. (2013) salientam que o profissional responsável por determinar 
valores das coordenadas obtidas por meio de sensoriamento deve ter especialização na 
área de conhecimento e devidamente habilitados pelo Conselho Regional de Engenharia 
e Agronomia (CREA). Vale destacar que no georreferenciamento de imóveis não se aplica o 
posicionamento por sensoriamento remoto com vértices tipo M e em limites por cerca, 
ou vértices referentes às mudanças de confrontação (AQUINO et al., 2013a).
183
Leia o Manual técnico de posicionamento georreferenciamento 
de imóveis rurais, elaborado pelo Incra em 2013. Disponível em: 
http://twixar.me/x1xm.
DICA
Lembre-se de que já estudamos cálculo de vértices, por meio da 
relação de Euler, em que a fórmula matemática que relaciona o 
número de vértices, arestas e faces:
V – A + F
NOTA
Dessa forma, podemos desenvolver os vértices virtuais por meio dos softwares, 
em que o ponto não é conhecido. No software Qgis, por exemplo, podemos delimitar a 
intersecção.
Figura 10 – Delimitando a intersecção
Fonte: a autora (2022)
Pontos que são impossíveis de coletar a campo, como áreas remotas, ou um 
ponto no meio de um rio, como no exemplo a seguir:
184
Figura 11 – Intersecção virtual
Fonte: a autora (2022)
Percebe-se que o ponto P1, P2, P3 e P4 são desconhecidos, porém, na figura a 
seguir, não conseguimos coletar o P5 (vértice virtual). Este exemplo é de um estudo de 
pontos que podem estar impactando a qualidade da água do rio. 
Figura 12 – Compreendendo a vértice virtual
Fonte: a autora (2022)
Quer saber passo a passo como desenvolver um vértice virtual no 
Qgis? Assista à aula do professor Dr. Alexandre Santos! Disponível em: 
http://twixar.me/61xm.
DICA
185
Neste tópico, você aprendeu:
• Conjunto numéricos reúnem grupos de elementos que são números. São formados 
por: Números Naturais (N), Números Inteiros (Z), Números Racionais (Q), Números 
Irracionais (I) e Números Reais (R).
• Números naturais reúnem números que vão do 0 ao infinito representados pela letra N. 
Conjuntos, geralmente, possuem subconjuntos.
• Números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus opostos, ou 
seja, os números naturais positivos e negativos. Números inteiros são representados 
pela letra Z. Devido ao conjunto de números inteiros também fazer parte dos números 
naturais, podemos dizer que o conjunto número N faz parte do conjunto Z, ou seja Z 
(N ⊂ Z). 
• Números racionais são representados pela letra Q e esse conjunto objetiva contemplar 
os elementos que podem ser escritos da forma de fração, além dos números inteiros. 
Vale lembrar que todo número inteiro também é um número racional, fazendo com 
que o conjunto numérico Z seja conjunto número de Q.
• Números irracionais são um conjunto que tem por objetivo reunir números decimais 
que não são exatos, ou seja, são obtidos por decimais não exatas pela divisão de 
números inteiros, mas há uma representação infinita e não periódica. 
• Números complexos são compostos, em parte por números reais e conjuntos de 
ordenadas (x.y).
• Intersecção de retas são as retas que se cruzam, e o seu ponto de encontro denomi-
namos de intersecção.
• Vértice tipo ponto é a vértice cujo posicionamento é realizado de forma direta e não 
é materializado por marco. As situações mais comuns que utilizarão vértices tipo “P” 
serão aquelas nas quais os limites são definidos por cercas e cursos d’água.
• Vértice tipo marco é a vértice cujo posicionamento é realizado de forma direta e é 
caracterizado (materializado) em campo por marco.
• Vértice virtual é a vértice situada em local em que não é possível a implantação 
estável de um marco e o limite não é coincidente com um elemento físico. Exemplo: 
vértices situados em brejos, banhados e pântanos.
RESUMO DO TÓPICO 1
186
1 A intersecção de pontos é um conceito demasiadamente utilizado no dia a dia do 
geoprocessamento. Logo, tem por objetivo compreender o ponto levantado para 
possíveis construções de poligonais. Esse conceito é utilizado diariamente para 
profissionais que desenvolvem levantamento de dados. Dessa forma, assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta o que é um ponto de intersecção:
a) ( ) Ponto de cruzamento entre retas.
b) ( ) É a linha formado pela poligonal.
c) ( ) É o cálculo entre duas retas em cruzamento.
d) ( ) É a coordenada x e y do cruzamento entre as retas.
2 Ao fazer um levantamento de dados em um loteamento rural, na poligonal, descreveu-
se o ponto de intersecção da reta como a localização da fazenda que necessita 
desenvolver o Cadastramento da Área Rural (CAR). A partir do que foi explanado e dos 
nossos estudos, assinale a alternativa CORRETA sobre a localização da coordenada 
do imóvel:
Equações = {R: 2x + y — 5 = — 5 
s: 3x + 2y — 1 = —2
a) ( ) (1, -2).
b) ( ) (2, -4).
c) ( ) (1, 2).
d) ( ) (-1, -2).
3 Um analista ambiental teve que calcular o ponto de intersecção de duas retas. Vale 
destacar que esse processo é comum devido ao posicionamento e levantamento das 
áreas que estão em estudo. A equação do ponto de intersecção de duas retas é dada 
por R e S, em que:
{R: 3x +2 y — 8 = 0
s: 4x + 5y — 13 = —0
a) ( ) (2, 1).
b) ( ) (1, -2).
c) ( ) (4, 5).
d) ( ) (2, -5).
AUTOATIVIDADE
187
4 Conjunto numérico é conceito que tem por objetivo compreender elementos que 
têm a mesma característica. No geoprocessamento não é diferente, pois utilizamos 
diversos bancos de dados. A partir do que foi explanado e dos nossos estudos, 
exemplifique conjuntos numéricos para o geoprocessamento e o que são conjuntos 
numéricos.
5 Conjuntos são uma forma de compreensão de dados. Esse processo é importante 
para o geoprocessamento devido ao fato de utilizarmos diversos conjuntos de dados 
diariamente para a aplicação de uma análise territorial, por exemplo. A partir do que 
foi explanado e dos nossos estudos, disserte sobre os números complexos e porque 
é importante sua aplicabilidade no geoprocessamento. 
188
189
DESVIO PADRÃO
UNIDADE 3 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO
Desvio padrão é um parâmetro estatístico que tem por objetivo indicar o grau de 
variação de um conjunto de elementos. Vale lembrar que é um processo demasiadamente 
utilizado por diversas profissionais, visto que é uma medida que expressa a dispersão de 
um conjunto de dados, ou seja, indica quando o conjunto de dados é uniforme ou não. 
 
Vale destacar que o desvio padrão é uma medida de um conjunto de dados no 
qual utilizamos uma média aritmética, que tem como intuito compreender quão próximos 
os dados estão. Na estatística, o desvio padrão amostral tem um valor absoluto que 
relaciona valores e comparamos com a média do conjunto amostral. No posicionamento 
por satélites, por exemplo, o cálculo do desvio padrão indica a precisão do levantamento.
 
Sempre discutimos as probabilidades de as situações ocorrerem, esse processo 
é muito comum quando estudamos variáveis ambientais, ou seja, para compreender se 
existem variáveis extremas, como se as chuvas estão intensas ou são variáveis comuns 
em um conjunto de dados de chuva diária. 
Mas por que estudar o desvio padrão? Esse termo foi utilizado pela primeira vez 
em 1894 por Karl Person, ao trocar o conceito de erro médio. Na prática, utilizamos muito 
o desvio padrão para compreender dados coletados, visto que a coleta pode acarretar 
algumas inconsistências no gerenciamento. Em outras palavras, isso pode ocorrer, 
principalmente, quando há alterações bruscas e/ou circunstânciasde um local estudado 
apresentar outro comportamento ou até erros de localização, regime e equipamento, sob 
quais os dados são coletados podem apresentar tendências diferentes do que estudado.
Como no geoprocessamento utilizamos uma quantidade significativa de dados 
que muitas vezes são coletados diariamente por anos, o desvio padrão mostra se, real-
mente, aqueles dados fazem parte daquele conjunto. 
Desse modo, utilizamos o desvio padrão para compreender os dados que 
utilizamos e quando eles se afastam da média ou padrão utilizado. Áreas como a Biologia, 
Finanças e até pesquisas de opinião utilizam o desvio padrão para compreender se aquele 
dado dispersa do “comum” ou média e, assim, podemos interpretar a proximidade dos 
dados. No geoprocessamento, utilizamos muito para compreender a análise espacial 
dos dados e se os valores observados e os testes gerados são aleatórios ou existem 
correlações. Neste tópico, você irá estudar o que é desvio padrão, para que serve e sua 
aplicação para o geoprocessamento!
190
2 O QUE É O DESVIO PADRÃO E PARA QUE SERVE?
Antes de discutirmos desvio padrão, iremos compreender primeiramente o que 
são medidas de dispersão, visto que o desvio padrão mensura a dispersão dos dados.
2.1 MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medidas de dispersão têm por objetivo medir quão próximo estão os valores 
de um determinado conjunto. Uma das principais medidas da dispersão é denominada 
de intervalo, o qual consiste em identificar os valores extremos dos conjuntos, tanto 
mínimo quanto máximo.
O intervalo é expresso por meio da diferença entre mínimos e máximos, no 
entanto, uma das principais desvantagens dessa medida é a não compreensão de como 
os dados estão agrupados entre os extremos. Vamos a um exemplo? Analise esses dois 
exemplos:
Exemplo 1:
Quadro 1 – Medidas de dispersão
TURMA VALORES INTERVALO
AB 4 5 5 6 6 7 7 8 4 [4,8]
BC 4 4 4, 2 4, 3 4, 5 5 8 4 [4,8]
Fonte: a autora (2022)
Exemplo 2:
Figura 13 – Medidas de dispersão
Fonte: a autora (2022)
191
Apesar desses dois exemplos apresentarem a mesma resposta, ou seja, o 
mesmo intervalo, notamos que não compreendemos como estão agrupados entre os 
extremos. No mesmo intervalo (4, [4,8]), na Figura 14, o grupo percebe-se que a turma A 
está mais dispersa que a turma B, que está próxima ao número mínimo.
A média aritmética de uma série ou conjunto de dados é demasiadamente utilizada 
para representação. No entanto, não conseguimos compreender a homogeneidade ou 
heterogeneidade entre os valores. Esse processo decorre porque uma média é apenas um 
valor que representa uma série de dados, que pode ter muito distância dos números que a 
compõem. Dessa forma, a média pode acarretar valores diferentes da maioria dos dados. 
Valores distantes podem interferir nos resultados de uma amostra, fazendo com 
que a média fique extremamente distante dos valores centrais da série. Vejamos a figura 
a seguir e perceba que medidas de dispersão nos mostram quanto os valores de uma 
série de dados estão espalhados ou não em torno de uma média. Observamos as séries 
de dados:
A: 6, 160, 14, 49, 121
B: 69, 70, 70, 70, 71
C: 78, 76, 72, 66, 58
= Média do grupo A, B e C = 60
Você percebeu que, por mais que os conjuntos sejam diferentes entre si, devido à 
média aritmética, os conjuntos são totalmente diferentes? Se formos interpretar esses três 
conjuntos, veremos que o conjunto B é mais homogêneo. Logo, os valores têm pouca 
distância da média aritmética. Nesse caso, interpretamos que esses valores dispersam 
pouco em torno da média. Já o conjunto A consideramos ser o mais heterogêneo, 
devido ao fato de o valor da média ser mais distante. 
Compreendemos, dessa forma, que o conjunto A apresenta uma variabilidade 
e/ou dispersão menor. Desse modo, as medidas de dispersão recorrem em torno de 
quatro principais medidas, as quais iremos estudar de forma separada. 
Figura 14 – Medidas de dispersão
Fonte: a autora (2022)
192
2.1.1 Variância
A variância é uma das medidas de dispersão que utilizamos na média aritmética 
dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média, ou seja, proporciona uma 
mensuração da dispersão dos dados em torno da média (MORETTIN, 2010). A variância, 
denotada por S2, é encontrada a partir dos desvios em torno da média aritmética, 
conforme pode ser observado na fórmula a seguir: 
Vejamos: 
Em que:
Xi representa cada elemento do conjunto de dados.
x é a média do conjunto.
n representa o número de elementos do conjunto.
A variância objetiva compreender o conjunto de dados analisando 
o quanto eles estão dispersos. Vamos tomar como referência 
uma média aritmética do conjunto. Podemos compreender que a 
variância é uma medida que representa dados que estão afastados 
em relação à média.
NOTA
Vamos a um exemplo? Dois alunos estavam concorrendo ao melhor da turma 
de 2022. José e Maria tiveram as melhores notas de acordo com o quadro a seguir.
Quadro 2 – Tabela de vaga para analista de geoprocessamento
Grandes áreas Candidata Maria Candidato José
Inglês 8,5 6,5
Conhecimento da ferramenta autoCAD, QCAD, 
ArcGIS,QGIS, SPRING
6 9
Programação 8 9
Português 7 8
Matemática 10 7
Média aritmética 7,9 7,9
Fonte: a autora (2022)
193
Nota-se que a média aritmética é igual: 7,9. Sabemos que a variância é 
representada pelo símbolo s². Como as notas foram iguais, precisamos compreender 
para desempatar com variância.
1º passo: calcule a diferença entre cada nota e a média aritmética.
Grandes áreas Candidata Maria Candidato José
Inglês 8,5 - 7,9 = 0,6 6,5 - 7,9 = -1,4
Conhecimento da ferramenta autoCAD, QCAD, 
ArcGIS,QGIS, SPRING
6 - 7,9 = -1,9 9 - 7,9 = 1,1
Programação 8 - 7,9 = 0,1 9 - 7,9 = 1,1 
Português 7 - 7,9 = 0,9 8 - 7,9 = 0,1
Matemática 10 - 7,9 = 2,1 7 - 7,9 = -0,9
Fonte: a autora (2022)
2º passo: Calcule o quadrado de cada valor encontrado.
Quadro 4 – Tabela de vaga para analista de geoprocessamento 
Grandes áreas Candidata Maria Candidato José
Inglês (0,6)2 = 0,36 (-1,4)2 = 1,96
Conhecimento da ferramenta autoCAD, QCAD, 
ArcGIS,QGIS, SPRING
(-1,9)2 = 3,61 (1,1)2 = 1,21
Programação (0,1)2 = 0.01 (1,1)2 = 1,21
Português (0,9)2 = 0,81 (0,1)2 = 1,01
Matemática (2,1)2 = 4,41 (-0,9)2 = 0,81
Fonte: a autora (2022)
3º passo: calcule a média aritmética dos valores encontrados.
Maria = 1,84
José = 1,04
Maria S2= 1,84
José S2=1,04
Pela análise e cálculo de variância, o emprego foi de José, pois está mais 
próximo da média (menos dispersas) que as de Maria, ou seja, seu desempenho nas 
provas foi mais regular e, portanto, José ficará com o emprego.
194
Vamos a outro exemplo de variância populacional. Em loteamento, as áreas 
dos terrenos têm diferentes dimensões e o dono necessita compreender a variância 
para a venda.
Quadro 5 – Variância de loteamento de terreno
Terreno Área do terreno
Terreno 1 90 m2
Terreno 2 40 m2
Terreno 3 45 m2
Terreno 4 60 m2
Terreno 5 80 m2
Passo 1) Encontre a média:
 => => 
Passo 2) Encontre a variância:
=>
 
 
 
 =>σ = 376
Um exemplo de geoprocessamento: encontre a variância das notas dessas 
fragilidades, que foram atribuídas aos mapas de cada cenário:
Fonte: a autora (2022)
Quadro 6 – Notas de fragilidade
Fragilidade Nota
Fragilidade física 9
Fragilidade antrópica 7
Fragilidade social 5
Fragilidade econômica 6
Fragilidade cultural 9
Fonte: a autora (2022)
195
Passo 1: encontre a média:
 => => 
Passo 2: encontre a variância:
 
 
6
Carvalho et al. (2020) desenvolveram uma pesquisa que tinha como 
objetivo avaliar e identificar a fragilidade da cobertura da terra em 
relação à mudança do uso do solo para as diferentes variáveis vincu-
ladas aos cenários: físico, antrópico e biótico. Posteriormente, foram 
utilizadas imagens do modelo digital de elevação Shuttle Radar Topo-
graphy Mission(SRTM) disponibilizadas pela Embrapa e executadas 
no software ArcGIS para a elaboração dos mapas. A leitura é inte-
ressante, pois percebe-se que o conjunto de dados e a sua variabi-
lidade necessitam compreender suas notas para a aplicabilidade do 
geoprocessamento! Disponível em: http://twixar.me/0Txm.
DICA
Quer um exemplo aplicado ao geoprocessamento? Ao fazermos uma análise 
dos dados espaciais, precisamos compreender sua distribuição. Dessa forma, gráficos 
de dispersão são facilmente construídos em softwares. O exemplo abaixo mostra o gráfico 
de dispersão referente aos dois eixos principais da análise de correspondência canônica 
apresentado e a distribuição das espécies por cada tipo de ambiente (SANTANA et al., 
2010). 
196
Figura 15 – Gráfico de dispersão
Fonte: adaptado de Santana et al. (2010)
Vale lembrar que gráficos de dispersão têm como objetivo analisar e compreender 
padrões espaciais, formular hipóteses e testá-las. Dessa forma, os dados espaciais e o 
mapeamento cumprem uma função importante, que equivale ao gráfico de dispersão. 
Logo, não basta saber a média central de uma distribuição. Por isso, medidas de 
variabilidade e/ou dispersão são importantes para estudos de distribuição geográfica.
Você quer saber mais desse estudo sobre distribuição de espécies 
vegetais? Ele utilizou diversas ferramentas de geotecnologia para realizar 
o levantamento das espécies vegetais em parcelas estabelecidas. Nesse 
estudo, os dados mostraram a distribuição nítida das espécies pelos 
macroambientes e que as espécies de áreas de transição Cerrado/
Caatinga se situaram mais distante dos eixos dos outros ambientes, 
sendo este comportamento característico de endemismo. Disponível 
em: http://twixar.me/WTxm.
DICA
197
2.1.2 Desvio padrão
O desvio padrão tem como objetivo compreender a raiz quadrada positiva da 
variância, apresentando a mesma unidade dos dados e da média, permitindo avaliar 
melhor a dispersão (COSTA NETO, 2002). Vale destacar que a variância e o desvio padrão 
são medidas que têm como objetivo compreender a totalidade dos valores da variável 
em estudo (MORETTIN, 2010), por isso, são medidas demasiadamente utilizadas. Desse 
modo, tanto a variância quanto o desvio padrão são índices de variabilidade muito 
estáveis e utilizados no cotidiano.
Em outras palavras, o desvio padrão compreende quanto os valores dos quais se 
extraiu a média são próximos ou distantes da própria média. Na estatística, o desvio padrão 
é conceituado como a demonstração da variabilidade de um conjunto de dados, medido 
por grau, determinada por uma variável que desvia da média, porém matematicamente é a 
raiz quadrada da variância. 
Um desvio padrão também é uma medida de dispersão e, assim como a variação, 
tem como objetivo compreender os valores determinados em um conjunto em relação 
à média aritmética. O desvio padrão informa a distância entre as médias em que os 
valores de um conjunto estão em relação à média desse conjunto. Em outras palavras, 
o desvio padrão indica quão próximo ou distante os dados estão da média.
Como já sabemos, o desvio padrão é a dispersão dos dados de um conjunto. 
Quando o valor do desvio é igual a zero, quer dizer que os valores do conjunto são iguais 
à média. Sigma ( ) é a representação do desvio padrão, ou seja, é a raiz quadrada da 
variância, dessa forma, só conseguimos calcular o desvio padrão se souber calcular a 
variância. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Vejamos:
ou
Em que:
S: desvio padrão.
Xi: números do conjunto de dados (utilizando i= 1, 2, 3…).
X: média aritmética.
n: quantidade de números no conjunto de dados.
 Nazareth (2003) salienta que o desvio padrão é a medida de dispersão mais 
utilizada, porque aponta de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à 
média aritmética. Desse modo, o desvio padrão é resultado da soma da diferença das 
variáveis pela média aritmética dividida pelo número de variáveis. Sobre o resultado, 
quanto menor for o valor encontrado, mais homogênea é a amostra, e quanto maior for 
o valor encontrado, mais heterogêneo é o conjunto estudado.
198
Outro aspecto que vale mencionar é que a fórmula do desvio padrão depende 
dos dados do conjunto, ou seja, caso os dados considerados sejam de uma população 
como um todo ou se apenas é uma amostra da população. Dessa forma, caso o conjunto 
de dados seja o que conceitualmente denominamos de população, precisamos dividir o 
número de dados n. Mas caso os dados forem de uma amostra, dividimos pelo número 
de dados da amostra menos um n-1. Vejamos:
Desvio-padrão populacional:
Desvio padrão amostral:
Vamos a alguns exemplos?
Maiores cadeias de montanhas do mundo:
1. Andes (7 mil km).
2. Grande Escarpa (5 mil km).
3. Montanhas Rochosas (4,8 mil km).
4. Montes Transantárticos (3,5 mil km).
5. Cordilheira Australiana (3,5 mil km).
6. Himalaia (2,6 mil km).
7. Montes Urais (2,5 mil km).
Encontre o desvio padrão tendo como variável as alturas das montanhas.
Passo 1) encontre a média:
 => => 
Passo 2) encontre a variância:
 =>
2,1765
199
Passo 3) encontre o desvio padrão:
 => => 
 σ2 = 1,47
Vamos a outro exemplo! 
Confira o ranking dos 5 CEOs mais bem pagos:
1) Jeff Green, CEO da The Trade Desk. Salário anual em 2021: US$ 834,96 milhões.
2) Zig Serafin, CEO da Qualtrics. Salário anual em 2021: US$ 540,51 milhões.
3) Peter M. Kern, CEO da Expedia. Salário anual em 2021: US$ 296,25 milhões.
4) Ariel Emanuel, CEO da Endeavor. Salário anual em 2021: US$ 294,95 milhões.
5) Sue Nabi, CEO da Coty. Salário anual em 2021: US$ 283,79 milhões.
Encontre o desvio padrão dos salários:
Passo 1) encontre a média:
 => => 
Passo 2) encontre a variância:
 =>
 
σ2 = 46381,83
Passo 3) encontre o desvio padrão:
 => => σ2 = 215,36
Estes cálculos são utilizados demasiadamente no dia a dia pelos softwares Microsoft 
Excel e Google Planilhas. Vamos aprender a calcular no Microsoft Excel?
No Excel há duas funções: DESVAD.P e DESVAD.A.
DESVAD.A.– calcular o desvio padrão de uma amostra (você só tem dados de uma parte).
DESVPAD.P – calcular o desvio padrão de dados gerais.
Primeiramente, apresente os dados necessários em uma coluna e os selecione. Insira a 
fórmula do desvio padrão a ser utilizada: =DESVAD.P (seleção da coluna) ou = DESVAD.A 
(seleção da coluna) e clicar em “enter”. Viu como é fácil?
DICA
200
Desvio padrão no Excel
Fonte: a autora (2022)
Vamos para um exemplo de geoprocessamento. O quadro a seguir é um cálculo 
de projeção de estimativa populacional demasiadamente realizado pelo IBGE, devido 
ao fato de o cálculo ser utilizado para um cenário do aumento populacional e, dessa 
forma, podermos compreender a geração de efluentes e resíduos de um município 
futuramente.
Quadro 7 – Projeção e estimativa populacional
201
Fonte: a autora (2022)
2.1.3 Coeficiente de variação e amplitude total
O desvio padrão e a variância são expressos pela mesma unidade de dados 
sobre os quais foram calculados. O coeficiente de variação mostra a dispersão dos 
dados em relação à média, assim como o desvio padrão e a variância. A única diferença 
é que sua representação é por porcentagem.
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média aritmética 
do conjunto. Ao multiplicarmos esse resultado por 100, encontramos o valor em 
porcentagem. Vamos a exemplos!
Como achar o coeficiente de variação:
 
A partir do histórico da cotação do dólar, encontre o coeficiente de variação:
202
Quadro 8 – Cotação do Dólar
Fonte: a autora (2022)
Passo 1) Encontre a média. Média = $5,28.
Passo 2) Encontre a variância.
203
Quadro 9 – Cotação do dólar e desvio padrão
Fonte: a autora (2022)
Resultado: S² = $ 0,063.
Passo 3) Encontre o desvio padrão. Resultado: S =$ 0,251656.
 
Passo 4) Encontre coeficiente de variação:
 
A amplitude total tem por objetivo calcular a diferença entre o maior e menor 
valor de um alinhando justificado de um conjunto de dados. Dessa forma, quanto maior 
é a amplitude total, maioré a dispersão dos dados de um conjunto. A amplitude total 
204
não é uma medida de dispersão ou de variabilidade dos dados de um conjunto, porque 
esse conceito só leva em consideração valores extremos do conjunto (maior e menor) e 
ignora os valores que estão em intermediário. Vamos a exemplos:
Quadro 10 – Valores de amplitude total
Fonte: a autora (2022)
Percebe-se que a amplitude total não considera a variabilidade dos dados e 
que apenas os dois valores extremos do conjunto são distantes dos outros dados. Mas, 
atualmente, no geoprocessamento, é importante compreender esse conceito devido 
a diversos evento extremos, como chuvas e temperaturas, em virtude das mudanças 
climáticas.
O Ministério do Meio Ambiente (MMA), em sua cartilha sobre mudanças climáticas, 
salientou que o aumento das concentrações de dióxido de carbono, metano e óxido nitroso 
acabam elevando demasiadamente a temperatura e colaborando com as mudanças 
climáticas. Esses aumentos globais de dióxido de carbono se devem, principalmente, ao 
uso de combustíveis fósseis e à mudança no uso da terra. Já os aumentos da concentração 
de metano e óxido nitroso são devidos à agricultura (IPCC, 2007). 
Dessa forma, o IPCC (2014) afirmou que os impactos de fenômenos extremos 
podem causar alteração de ecossistemas, a desorganização na produção de alimentos, 
a alteração no fornecimento de água, danos na infraestrutura de cidades e nos assenta-
mentos rurais, morbidez e mortalidade de animais, além de consequências para a saúde 
mental (efeitos da adaptação) e para o bem-estar do ser humano.
Rocha (2016) desenvolveu em seus estudos de conjunto de dados e ge-
oprocessamento, a análise de eventos extremos. Dessa forma, a autora, 
analisou as vulnerabilidades da pecuária familiar sobre a disponibilidade 
hídrica diante do aumento de temperatura ocasionada pelas mudanças 
climáticas. Vale a pena ler! Disponível em: http://twixar.me/vTxm.
DICA
205
3 APLICAÇÃO DO DESVIO PADRÃO NA PRÁTICA NO 
GEOPROCESSAMENTO
Este subtópico tem como objetivo mostrar estudos que utilizam geoprocessa-
mento e desvio padrão na prática. Compreendemos que o desvio padrão é uma medida 
de variação que utiliza todos os valores em relação à média. Triolla (1999) salienta que o 
desvio padrão é uma das medidas mais importantes de variação por levar em conta todos 
os valores dos conjuntos, tornando-se, assim, uma melhor compreensão da análise espacial.
 
Rosette e Menezes (2005) desenvolveram uma pesquisa de cartografia temática 
em mapeamento criminal, na qual foram construídos mapas para ferramentas de serviço 
da justiça e da prevenção e controle da criminalidade. Os cartogramas estatísticos foram 
elaborados com dados policiais, desagregados por áreas integradas. Mensalmente, 
o Núcleo de Pesquisas em Economia do Setor Público divulga diversos cartogramas 
estatísticos utilizando o desvio padrão como análise de padrão ou tendência espacial 
de criminalidade. Como se pode notar abaixo, no desvio padrão, os eventos podem ser 
agrupados em faixas ou intervalos.
Quadro 11 – Desvio padrão de dados de criminalidade
Fonte: Rosette e Menezes (2005, p. 12972)
Barcellos e colaboradores desenvolveram, em 2005, uma pesquisa sobre a 
identificação de locais com potencial de transmissão de dengue em Porto Alegre por 
meio de técnicas de geoprocessamento. Os dados pontuais de localização de casos de 
dengue e presença do vetor foram tratados estatisticamente por meio do programa Cri-
mestat para o cálculo da média espacial e o traçado de elipses de desvio padrão da dis-
tribuição espacial dos eventos. Esse procedimento permite a delimitação de uma área, 
chamada envoltória, que contém a maior parte dos eventos (BARCELLOS et al., 2005). 
Além disso, a partir do georreferenciamento de casos e domicílios com o vetor, 
foi possível verificar o padrão de distribuição espacial desses eventos no município de 
Porto Alegre. A maior parte dos casos de dengue está localizada na parte central da 
cidade, com pouca dispersão ao longo do eixo de desenvolvimento tradicional da cidade.
206
Hau, Nascimento e Tomazini, em seu estudo intitulado Geoprocessamento para 
identificar padrões do perfil de nascimentos na região do Vale do Paraíba, de 2009, 
utilizaram o desvio padrão para compreender a distribuição espacial da idade dos 
pacientes nas cidades. O lado esquerdo da Figura 18 retrata a distribuição espacial dos 
valores do índice de desenvolvimento humano nos municípios do Vale do Paraíba em 
2004, enquanto o lado direito traz a distribuição espacial das taxas de mães adolescentes, 
em porcentagem, nos municípios do Vale do Paraíba em 2004.
Figura 16 – Geoprocessamento, perfil e uso de desvio padrão
Fonte: Hau, Nascimento e Tomazini (2009, p. 174)
BA
Mattos et al. (2011) desenvolveram uma pesquisa e publicaram em um congres-
so no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, intitulada Utilização de técnicas de 
geoprocessamento para a modelagem da difusão espacial da bataticultura em Minas 
Gerais entre 1960 e 2008 e tiveram como objetivo utilizar o desvio padrão para compre-
ender o deslocamento do cultivo e sua consolidação em Minas Gerais de 1980 a 1991. 
Assim foi observada a consolidação da cultura com menor desvio padrão e médias de 
produção similares. 
A Figura 17, a seguir, mostra os mapas de superfície da produção de batata-
inglesa segundo as regiões do estado de Minas Gerais, no período de 1960 a 2008. A 
legenda indica a quantidade de batata-inglesa produzida por município, normalizada 
segundo faixas de desvio padrão em relação à média anual (0,5 a 1,5) (MATTOS et al., 
2011).
207
Figura 17 – Uso do desvio padrão para estudos de Mapas de superfície da produção de batata-inglesa
Fonte: Mattos et al. (2011, p. 4019)
208
Lopes et al. (2008) aplicaram o desvio padrão para compreender o mapa da 
qualidade das águas do rio Acaraú pelo emprego do IQA e geoprocessamento. Dessa 
forma, utilizaram o desvio para compreender e comparar a estação chuvosa e a seca na 
bacia do Acaraú, Ceará. Assim, foi utilizada para compreender se a qualidade da água 
apresenta diferenças significativas. Os autores construíram esse mapa a seguir para 
estudar e compreender a variabilidade a espacial e temporal.
Figura 18 – Desvio padrão e a variabilidade da qualidade da água com o uso de geoprocessamento
Fonte: Lopes et al. (2008, p. 401)
Paim (2012), em seu estudo denominado A aplicação da equação universal 
de perdas do solo para a bacia hidrográfica do Rio Piçarras utilizando técnicas de 
geoprocessamento, utilizou o desvio padrão para compreender a precipitação (chuva) 
na bacia hidrográfica e constatou que a série de precipitação tem uma média anual para a 
década de 2000 foi de 1.686,22 mm, com desvio padrão de 534,56 mm, ou seja, o desvio 
padrão é a variável de acordo com a média, mostrando que o baixo desvio padrão do 
comportamento da chuva ainda se mantém durante ações antrópicas.
Macedo e colaboradores (2020) desenvolveram um estudo sobre a conservação 
e a preservação da Caatinga a partir de um monitoramento com Índice de Vegetação 
por Diferença Normalizada (NDVI), que foi calculado utilizando-se imagens do satélite 
Landsat 4-5 sensor Thematic Mapper (TM) dos anos de 1986 e 2006; e satélite Landsat 
8 sensor Operational Terra Imager (OLI)/Thermal Infrared Sensor (TIRS) do ano de 2018. 
209
Os valores do NDVI foram estimados e seus parâmetros estatísticos (média, desvio 
padrão e variância) utilizados na detecção da variação de cobertura vegetal (MACEDO et 
al., 2020). Dessa forma, com esse estudo, foi possível construir esse mapa de variação 
de cobertura vegetal: 2018-2006.
Figura 19 – Mapa de variação de cobertura vegetal utilizando parâmetros estatísticos 
(média, desvio padrão e variância)
Fonte: Macedo et al. (2020, p. 483)
Souza et al. (2022) desenvolveram uma pesquisa sobre análise espacial dos 
indicadores relacionados às dimensões ao acesso, à abrangência e à resolutividade dos 
serviços ofertados pela atenção básica à saúde nos municípiosda Região Nordeste 
do Brasil e utilizaram como métodos técnicas de análise espacial, médias aritméticas 
e desvios padrão dos dez indicadores de desempenho pactuados no terceiro ciclo do 
Programa Nacional de Melhoria do Acesso e da Qualidade da Atenção Básica, cujas 
unidades de análise foram os 1.794 municípios da Região Nordeste do Brasil. 
Toniolo, Falcetta e Lourenço (2022) discutiram, no Congresso Nacional de Sa-
neamento e Meio Ambiente, sobre o mapeamento de regiões inundáveis por meio de 
geoprocessamento, utilizando o exemplo na SABESP Oeste e o desvio padrão para classificar 
o risco de inundação, ou seja, quanto mais acima da média, maior o risco. A figura a seguir 
mostra o produto do estudo.
210
Figura 20 – Mapa de suscetibilidade à inundação utilizando o desvio padrão para avaliação
Fonte: Toniolo et al. (2022, p. 13)
Salbego, Giotto e Madruga (2006) desenvolveram um estudo sobre o geopro-
cessamento aplicado ao diagnóstico e espacialização da infraestrutura viária rural. Dessa 
forma, ao desenvolverem a sobreposição dos planos de informação referentes à rede 
viária rural, foi possível realizar a análise temporal, constatando-se que o traçado estava 
bastante desatualizado, e avaliar a integração geométrica entre os dados. 
211
Os deslocamentos apresentados em relação ao posicionamento foram avaliados 
a partir de dez pontos coletados em entroncamentos, comum aos planos de informação, 
obtendo-se como desvio padrão, 10,5727 m e 32,3446 m, para as coordenadas E N, 
respectivamente, atendendo à Precisão de Exatidão Cartográfica (PEC) para mapas de 
classe C, na escala 1:50.000 (SALBEGO; GIOTTO; MADRUGA, 2006).
Por fim, este tópico juntou algumas pesquisas que se utilizam do desvio padrão 
e geoprocessamento no dia a dia. Pudemos ver alguns estudos da aplicação do desvio 
padrão no geoprocessamento e notou-se que a grande maioria das pesquisas tinha 
um banco de dados muito grande e havia a necessidade de se compreender a análise 
espacial dos problemas em questão. 
Todos esses estudos da aplicabilidade do desvio padrão para o geoprocessamento você 
pode ler na íntegra em:
DICA
Referências para leitura completa
212
Neste tópico, você aprendeu:
• A variância é uma das medidas de dispersão em que utilizamos média aritmética dos 
quadrados dos desvios de cada valor em relação à média, ou seja, proporciona uma 
mensuração da dispersão dos dados em torno da média.
• O desvio padrão tem por objetivo compreender a raiz quadrada positiva da variância, 
apresentando a mesma unidade dos dados e da média, permitindo avaliar melhor a 
dispersão.
• Um desvio padrão também é uma medida de dispersão e, assim como a variação, 
tem por objetivo compreender os valores determinados em um conjunto em relação 
à média aritmética.
• A fórmula do desvio padrão depende dos dados do conjunto, ou seja, caso os dados 
considerados sejam de uma população como um todo ou se apenas é uma amostra 
da população. Dessa forma, caso seja um conjunto de dados, que conceitualmente 
denominamos de população, precisamos dividir o número de dados n; mas caso os 
dados forem de uma amostra, dividimos pelo número de dados da amostra menos 
um n-1.
• O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média aritmética do 
conjunto.
• Amplitude total tem por objetivo calcular a diferença entre o maior e menor valor 
de um conjunto de dados. Dessa forma, quanto maior é a amplitude total, maior é a 
dispersão dos dados de um conjunto.
RESUMO DO TÓPICO 2
213
1 Um analista de geoprocessamento em um projeto de análise de dados espaciais 
necessitou calcular a variância e o desvio padrão. Como sabemos este cálculo serve 
para encontrar variância e o desvio padrão que objetiva conhecer a distribuição dos 
dados em torno da média. Desta forma, um dos desafios era reconhecer a existência 
de inundação no local em situação de vulnerabilidade social. A partir do que foi 
explanado, calcule a variância do desvio padrão e assinale a alternativa CORRETA: 
Dados:
AUTOATIVIDADE
7
5
6
6
6
4
8
6
9
3
a) ( ) Variância σ2 = 2,8 e desvio padrão σ = 1,67.
b) ( ) Variância σ2 = 2 e desvio padrão σ = 1.
c) ( ) Variância σ2 = 8 e desvio padrão σ = 1,7.
d) ( ) Variância σ2 = 3,8 e desvio padrão σ = 1,9.
2 Uma empresa começou a desenvolver diversos projetos de grande magnitude e 
começou a gerar rendimentos extras. Desta forma, optou por fazer investimentos no 
CDI. Durante suas aplicações houve retorno de 6% no primeiro ano, -7% no segundo 
ano, 10% no terceiro anos, 12% quarto ano e 8% no quinto ano. Sabemos que o desvio 
padrão é um parâmetro muito usado em estatística que indica o grau de variação de 
um conjunto de elementos e a variância é uma medida de dispersão que mostra o 
quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio). Assim, assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta a variância e o desvio padrão:
a) ( ) Variância σ2 = 0,62 e desvio padrão σ = 0,75.
b) ( ) Variância σ2 = 562 e desvio padrão σ = 75.
c) ( ) Variância σ2 = 0,2 e desvio padrão σ = 0,5.
d) ( ) Variância σ2 = 0,00562 e desvio padrão σ = 0,075.
214
3 João é consultor ambiental da área de geoprocessamento. Um dos projetos em 
andamento é um loteamento que foi construído um conjunto de edifícios. Os edifícios 
têm as seguintes alturas: 460 m, 800 m, 600 m e 400 m. Sabemos a necessidade 
de compreender a variância que é uma medida de dispersão e desvio padrão que 
é um parâmetro para compreender a variação de um conjunto de dados. Devido 
à declividade e condições ambientais e de vento, seu chefe pediu para calcular a 
variância e o desvio padrão. Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Variância σ2 = 35300 e desvio padrão σ = 188.
b) ( ) Variância σ2 = 353 e desvio padrão σ = 88.
c) ( ) Variância σ2 = 300 e desvio padrão σ = 188.
d) ( ) Variância σ2 = 35 e desvio padrão σ = 25.
4 Devido à implantação dos Planos de Saneamento e Planos de resíduos no Município 
de Portão do Estado do Rio Grande do Sul, a prefeitura foi obrigada a construir um 
Comitê de Coordenação Executivo para a implantação e aceite dos planos construídos 
por uma consultoria. Dessa forma, João e José são candidatos a presidente de bairro 
para, posteriormente, assumir um lugar no comitê da cidade. Observe a quantidade 
de votos nas cinco urnas. Analise o quadro e disserte qual é o candidato mais votado.
Candidato Urna 1 Urna 2 Urna 3 Urna 4 Urna 5
João 17 18 21 13 20
José 22 12 19 23 11
5 Desvio padrão é um conceito demasiadamente utilizado no geoprocessamento, prin-
cipalmente para estudos referentes à compreensão de análises espaciais. A diversi-
dade da aplicabilidade desse método é recorrente à sua simplicidade de aplicação, 
além de um modelo matemático simples e eficiente. De acordo com nossos estudos, 
disserte sobre o desvio padrão.
215
TÓPICO 3 — 
APLICAÇÕES PRÁTICAS DA 
MATEMÁTICA NAS FERRAMENTAS DE 
GEOPROCESSAMENTO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Quando falamos em geotecnologia, referimo-nos a um conjunto de técnicas 
de dados que são coletados e processados dentro de uma referência geográfica, o qual 
denominamos de geoprocessamento. Dessa forma, a sociedade está mais integrada 
aos sistemas de informações e técnicas de programação.
Desse modo, não imaginamos a atualidade sem o uso do geoprocessamento, 
haja vista que o tempo é marcado pela informação. Além disso, nossa base de dados é 
organizada, atualizada e visualizada em tempo real. Quer um exemplo? GPS, celulares e 
Google maps. 
Os softwares e ferramentas computacionais ligados ao geoprocessamento nos 
permitem compreender e analisar bases de dados complexas e isso nos ajuda a desenvolver 
um planejamento e resoluções complexas.
Usualmente, no geoprocessamento, existem ferramentas para o tratamento de 
informações geográfica, o SIG (Sistema de Informações Geográficas) integra diversos 
fonte e dados, além de criar banco de dados georreferenciados, no qual representa 
modelos matemáticos (CÂMARA, 1996). 
Desta forma, o geoprocessamentoé um processamento informatizado que tem 
por objetivo, gerar, visualizar e integrar os dados espaciais e georreferenciados. Além 
disso, recupera, combina, armazena informações computacionais. O geoprocessamento 
trabalha com informações de qualquer lugar da superfície terrestre e/ou componente 
geográfico, além de dados atmosféricos oceanográficos.
Além disso, transforma os dados em informação de forma eficiente e eficaz para 
uma tomada de decisão. Segundo Burrough e Mcdonnell (1998), o geoprocessamento 
é um conjunto de ferramentas que exibe dados espaciais do mundo real para um 
conjunto particular de propósitos. A evolução do geoprocessamento é contínua, desde 
o princípio até as inovações são acompanhadas pelo desenvolvimento tecnológico, 
que permitem ampliar a capacidade do geoprocessamento. São computadores mais 
potentes, sensores de maior resolução, novos satélites, veículos aéreos remotamente 
pilotados, redes de comunicação, entre outros aspectos resultantes dessa evolução 
computacional constante. Estudos nas diversas áreas do conhecimento podem utilizar o 
Geoprocessamento, as Ciências sociais, Administração, Infraestrutura, Gestão ambiental, 
Engenharias e Geomarketing são exemplos de áreas de atuação. 
216
Contudo, vale lembrar que para que tudo isso tenha sido construído existem 
conceitos primários para a construção de ferramentas, como a matemática. Neste tópico, 
você poderá compreender as problemáticas, ferramentas e formas que compõem 
as geotecnologias e qual a função da matemática. A partir desses conhecimentos, é 
possível construir uma análise crítica da utilização da matemática no geoprocessamento. 
Vamos estudar com atenção!
2 MATEMÁTICA E O GEOPROCESSAMENTO 
Primeiramente, vamos estudar e compreender o que é um SIG. Eastman et al. 
(1997) salientam que o SIG não é um elemento único de estrutura e armazenamento, 
mas é composto de diferentes variedades. A base do SIG é o banco de dados, ou seja, 
uma coleção de informações de dados que permite construir mapas. 
 
O SIG processa dados vetoriais dados vetoriais e matriciais de uma imagem 
que tem como consequência possibilitar a análise de dados espaciais, de imagens e 
dados de sensores e de fotografias aéreas, permitindo a construção de mapas, cartas e 
plantas, visto que o SIG permite a entrada de mais variados tipos de dados. Além disso, 
o SIG é baseado em dados que obtêm características espaciais e, assim, calcula as 
informações projetadas.
Figura 21 – Representação geral na utilização do SIG
Fonte: Hamada e Gonçalves (2007, p. 14)
217
Nesse sistema SIG, como a matemática é englobada? Câmara, Davis e Monteiro 
(2001) salientam que um aspecto central no uso da tecnologia de geoprocessamento 
advém da característica lógico-matemática de sistemas de informação. Para ser 
representada em ambiente computacional, temos de associar a cada tipo de informação 
geográfica uma escala de medida e de referência, que será utilizada pelo GIS para 
caracterizá-lo.
Os mesmos autores salientam que o universo conceitual (matemática) pode-se 
distinguir entre as grandes classes formais de dados geográficos (dados contínuos e 
objetos individualizáveis) e especializar essas classes nos tipos de dados geográficos 
utilizados comumente (dados temáticos e cadastrais, modelos numéricos de terreno, 
dados de sensoriamento remoto) (CÂMARA; DAVIS; MONTEIRO, 2001). 
 
No geoprocessamento, áreas linhas e pontos são fenômenos geográficos. O 
ponto pode representar uma localização, por exemplo, a localização de uma cidade 
pode ser definida por um ponto e, nesse ponto, há um par de coordenadas, descritas 
por posições (x, y), também conhecidas como latitude e longitude. 
Assim, perceba que as linhas são um conjunto de pontos conectados. Exemplo 
disso, são as estradas, redes de saneamento, divisores e cursos de água, fronteiras de 
território. As áreas são linhas fechadas por um conjunto de pontos interligados, nas 
quais, o primeiro e o último ponto coincidem (HAMADA; GONÇALVES, 2007).
 
As linhas, áreas e pontos são representações gráficas, mas o que é escala? É 
uma abstração que representa a relação do tamanho do objeto estudado originalmente 
e sua proporção no papel. Meneses e Almeida (2012) definem escala como a relação 
entre o tamanho do objeto representado no mapa e o tamanho real, medido sobre a 
superfície da Terra. Veja que a escala é uma necessidade para se tornar viável e possível 
representar algo. Dessa forma, necessitamos da matemática. 
 
A matemática tem como objetivos norteadores relacionar as observações do 
mundo real com representações por meio de gráficos, números e tabelas. Além disso, os 
mapas são obtidos com a projeção das dimensões do espaço sobre o plano do papel, o 
que pressupõe a planificação da esfera terrestre, a partir das relações matemáticas que 
dependem do tipo de projeção cartográfica usada. A variação das altitudes e formas de 
relevo são projetadas por meio de curvas de nível (MEDEIROS et al., 2009).
 
Outro aspecto que merece breve menção são questões relacionadas à forma 
do planeta Terra. Para sua melhor projeção, buscou-se sempre se aproximar da realidade e 
foram conceituadas diversas representações cartográficas. Rosa (2004) descreveu as 
mais importantes representações cartográficas e suas diferenças.
218
• Globo: representa a superfície esférica, em escala pequena, dos aspectos naturais e 
artificiais de uma figura planetária, com finalidade cultural e ilustrativa.
• Mapa: representa o plano (geralmente, em escala pequena) com os aspectos geo-
gráficos, naturais, culturais e artificiais. É delimitado por elementos físicos, político-
-administrativos, destinada a usos, temáticos, culturais e ilustrativos. 
• Carta: representa o plano (geralmente escala grande) dos aspectos artificiais 
e naturais, com a finalidade de possibilitar avaliação e precisão compatível com a 
escala. 
• Planta: representa uma área muito limitada (é um caso particular de carta).
• Fotografia aérea: produto obtido ao nível suborbital.
• Mosaico: conjunto de fotos de uma determinada área.
• Imagem de satélite: produtos obtidos ao nível orbital, utilizado em escalas variadas. 
• Atlas: coleção de mapas. 
Todas essas representações necessitam de modelos matemáticos. As escalas e 
convenções-padrão para o mapeamento básico, por exemplo, em que são representadas 
as altimetrias e planimétricas dos recursos naturais, a partir da percepção geral, 
necessitam de modelos matemáticos. Assim, a cartografia sistemática se preocupa com 
fatos, execução e recobrimento aerofotogramétricos para o mapeamento, justamente 
com cálculos corretos para a sua representação real (ARCHELA, 2000).
Além disso, as coordenadas geográficas são caracterizadas por uma rede de 
coordenadas fixas, em qualquer ponto da superfície terrestre, onde há intersecção 
de um meridiano com um paralelo, (inicialmente discutido e estudado na matemática 
básica) e, assim, localizamos um ponto da superfície da Terra. Desse modo, o ponto de 
partida para enumerar os meridianos é observar do Greenwich, na Inglaterra, ao seu 
Leste, valores maiores que 180º; e ao Oeste, valores menores de 180º. 
 
Na geodésia atual são consideradas quatro versões da Terra: a topografia 
(forma real física); geoide (forma física do campo gravítico real); elipsoide de referência 
(modelagem matemática mais aproximada); e, por fim, o datum (ajuste entre o geoide e 
o elipsoide). Sabemos que a superfície terrestre em sua forma física necessita de modelos 
matemáticas para a melhor aplicabilidade dos modelos cartográficos. 
Para que serve um sistema geodésico de referência, na prática? Como já sabemos, o 
sistema de referência é composto por uma figura representativa da superfície da Terra. Vale 
salientar que nos permite localizar um ponto em qualquer superfície terrestre. Dessa 
maneira, as coordenadas precisam de um sistema geodésico de referência para sua 
exatidão. 
Assim, a forma e o tamanho de um elipsoide, juntamentecom o posicionamento 
do geoide, definem o sistema geodésico de referência (datum geodésico). No Brasil, 
utiliza-se o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas, o SIRGAS 2000 (IBGE, 
2015).
219
Por fim, a matemática sempre esteve presente no dia a dia do geoprocessamento. 
Logo, para compreender a sua aplicabilidade, precisamos entender os conceitos bases. 
No geoprocessamento, utilizamos conceitos como pontos de intersecções, conjunto de 
dados, vértices, faces, cálculos de área, linhas, retas, dentre outros, que primeiramente 
foram discutidos na matemática como ciência, para, posteriormente, serem aplicados 
em distintas áreas.
Neste tópico, estudamos o conjunto de números que no geoprocessamento 
chamamos de conjunto de dados ou série de dados. Mas quais são as principais 
fontes de dados do Brasil? As fontes usadas para os estudos e pesquisas podem variar 
de acordo com os dados necessários e as principais são: Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), Serviço Geológico do 
Brasil (CPRM), Agência Nacional do Petróleo (ANP), DataDownloads, Ministério do Meio 
Ambiente (MMA), GeoNode, Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa), 
Sistema Nacional de Informações sobre Recursos Hídricos (SNIRH), Agência Nacional de 
Águas (ANA), World Wide Fund for Nature (WWF), dentre outras. 
3 TIPOS DE DADOS GEOESPACIAIS E A MATEMÁTICA
Os dados geográficos são classificados em dados gráficos, que são os 
polígonos, pontos, linhas e pixels que têm por objetivo representar elemento geográficos, 
a exemplo das vegetações, relevo, drenagem, solo etc. Suas fontes podem ser mapas 
analógicos, GPS etc. A segunda classificação são os dados tabulares, que são dados 
cujo objetivo é detalhar e descrever os elementos geográficos, como tabelas, banco de 
dados etc.
4 IMAGEM DIGITAL
A imagem é captada por sensores e, para que ocorra seu processamento, é 
fundamental que haja o header da imagem, ou seja, que apresente valores numéricos 
nas imagens, os quais denominamos de pixel.
Cada registro do arquivo corresponde a uma linha da superfície terrestre e são 
todos do mesmo tamanho. Isso se denomina pixels (Figura 22), ou seja, os valores de 
cada campo apresentam a intensidade das ondas eletromagnéticas provenientes da 
superfície terrestre (MENESES; ALMEIDA, 2012).
220
Figura 22 – Imagens geoespaciais que contêm valores numéricos dos pixels, que são as intensidades das 
ondas eletromagnéticas refletidas da superfície terrestre
Fonte: Adaptada de Meneses e Almeida (2012)
A imagem é uma matriz que denominamos de pixel, a qual contém valores 
devido a sua refletibilidade da imagem na respectiva posição. Além disso, o tamanho da 
imagem é devido à linha versus coluna versus número de bandas.
Podemos perceber que a matemática pode compreender a reflectância e isso 
abre leques para diversos estudos, como monitoramento de safras e pragas de acordo 
com sua reflectância, por exemplo.
221
5 COMPREENDENDO A MATEMÁTICA ENVOLVIDA NO 
GEOPROCESSAMENTO
As tecnologias de informação e comunicação criam conexões entre a 
matemática, enquanto a dinâmica dos modelos espaciais descreve a evolução dos 
padrões de um sistema ao longo do tempo (MIRANDA et al., 2019). Além disso, Lambin 
(1994) salienta que um modelo descreve quantitativamente um fenômeno e prevê sua 
evolução, integrando suas escalas temporal e espacial, ou seja, modelos de sistemas são 
descrições matemáticas de processos complexos que interagem entre si, enfatizando 
as interações entre todos os componentes de um sistema. 
Miranda et al. (2019) salientam que um atributo matemático inserido na modelagem 
em geoprocessamento é o modelo empírico, que se caracteriza por ter um número 
reduzido de variáveis envolvidas, em que se utiliza predições e previsões futuras da 
análise espacial. 
Câmara e Medeiros (1998), por sua vez, salientam que a representação matricial 
da matemática é um espaço representado como uma matriz P(m,n), composto de m 
colunas e n linhas, em que cada célula possui um número de linha, um número de 
coluna e um valor correspondente ao atributo estudado e cada célula é individualmente 
acessada pelas suas coordenadas. Essa representação (Figura 23) faz com que o espaço 
seja tratado como superfície plana e cada célula associada a uma porção do terreno.
Figura 23 – Representação matricial
Fonte: Câmara e Medeiros (1998, p. 19)
222
Na representação vetorial, estudamos os elementos, ponto, linha e reta que 
fazem parte da construção de um polígono. Desta forma, os pontos são elementos que 
abrangem todas as entidades geográficas que podem ser posicionadas por um único 
par de coordenadas. Além disso, vale destacar que linhas e arcos são conjuntos de 
pontos conectados e as áreas e polígonos são representados por estas linhas (CÂMARA; 
MEDEIROS, 1998).
Os mesmos autores salientam a grade regular e a triangular em que existe 
a representação matricial. Vale destacar que cada elemento está associado a um 
valor numérico e para estimar a grande toda é fundamental estimar por interpolação 
matemática (MAEDA, 2008). Além disso, a grade triangular representa conjunto de faces 
triangulares interligadas, ou seja, quanto mais equiláteras forem as faces, mais exatidão 
será descrita as superfícies, processo esse que seria impossível sem o conhecimento 
da trigonometria. 
Figura 24 – Superfície e grade curricular Figura 25 – Superfície da malha triangular
Fonte: Namikawa (1995, p. 23) Fonte: Namikawa (1995, p. 24 )
Por fim, esperamos que você tenha conseguido compreender o universo da 
matemática e sua importância para o geoprocessamento, além dos conceitos para poder 
aplicar no seu dia a dia.
223
LEITURA
COMPLEMENTAR
APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA JUNTO A FERRAMENTAS DE 
GEOPROCESSAMENTO PARA ELABORAÇÃO DE PLANO DE DRENAGEM URBANA – 
ESTUDO DE CASO: MUNICÍPIO DE SÃO CAETANO DO SUL – SP
Adriana Yukie Tomita Nakagama
Maria de Lourdes da Silva 
Jane Cristina Caparica Ferreira
Mitsuyoshi Takiishi 
Haroldo de Oliveira 
1 INTRODUÇÃO 
O município de São Caetano do Sul, integrante da Região Metropolitana de São 
Paulo, abrange uma área territorial total de 15,36 km² e abriga uma população de 
149.263 habitantes (IBGE, 2010). A cidade encontra-se no distrito de drenagem 
Billings-Tamanduateí (BTT) (Figura 1), na confluência do Ribeirão dos Meninos com 
o Rio Tamanduateí. Devido à influência do sistema de macrodrenagem exercida no 
município por sua condição de jusante de toda a região do ABC Paulista e seu alto 
grau de urbanização trazendo por consequência impermeabilização do solo, o município 
rotineiramente registra eventos críticos de chuvas ocorridos na região (DAEE, 2012).
224
O Plano de Drenagem Urbana é uma ferramenta de planejamento e gestão dos 
serviços municipais. Além disso, objetiva o detalhamento do eixo drenagem urbana 
para sua posterior incorporação ao Plano de Saneamento Básico, exigido por meio 
da Lei Federal nº 11.445, de 5 de janeiro de 2007. O Plano de Drenagem elaborado 
para o município de São Caetano do Sul contemplou as etapas: (1) levantamento e 
caracterização do sistema existente, verificação e complementação de cadastro; (2) 
diagnóstico e prognóstico do sistema de drenagem por meio estudos hidrológicos e 
hidráulico das bacias de drenagem; (3) estudo de concepção e elaboração de propostas 
contemplando estimativa de custos para o sistema de drenagem; (4) consolidação das 
propostas de medidas estruturais, não estruturais, estruturais não convencionais de 
controle, desenvolvimento de anteprojetos e análise benefício-custo. 
A modelagem matemática junto a ferramentas de geoprocessamento foi utili-
zada na fase da análise diagnóstica, prognóstica, estudo de concepção e consolidação 
das propostas para o sistema de microdrenagem. Simulou-se o sistema no modelo ma-
temático EPA-SWMM (Storm Management Model) desenvolvido pela Environment Pro-
tection Agency (EPA). Trata-se de um modelo dinâmico chuva-vazão, o qualavalia os 
parâmetros hidrológicos e hidráulicos de forma conjunta. O modelo simula o percurso 
das águas pluviais por meio de um sistema composto por tubulações, canais, disposi-
tivos de armazenamento e demais estruturas. Com base nessas informações, é possí-
vel identificar os pontos de insuficiência e que necessitam de medidas para seu bom 
funcionamento. O modelo EPA-SWMM é amplamente utilizado internacionalmente nas 
avaliações de sistemas de drenagem, sobretudo quando utilizadas bases georreferen-
ciadas. O programa GisWater realiza a conversão das informações alimentadas no modelo 
matemático para o programa de geoprocessamento Quantum Gis, as informações podem 
ser alimentadas por ambas as ferramentas.
2 MATERIAIS E MÉTODOS 
A simulação do sistema de drenagem do município de São Caetano do Sul 
contemplou toda área do município, são seis bacias de drenagens denominadas de A, B, 
C, D, E F, com um total de 19 sub-bacias. A modelagem por meio do EPA-SWMM adotou o 
método onda dinâmica, o qual simula inclusive situações de remanso, entrada em carga, 
fluxo reverso e alagamentos. Tal método utiliza a equação de Manning para relacionar 
vazão à profundidade do escoamento, à inclinação do conduto ou à linha de água, uma 
exceção são os casos dos escoamentos pressurizados em condutos circulares, onde 
foram utilizadas as equações de Hazen-Williams. Os parâmetros hidrológicos adotaram a 
método de Soil Conservation Service (SCS) para o cálculo da chuva excedente, ou seja, 
daquela que efetivamente contribui para o escoamento superficial, visando alinhamento 
aos estudos existentes realizados no Plano Diretor de Macrodrenagem do Alto Tietê - 
PDMAT 3 (DAEE, 2012).
225
Dados de entrada 
Os dados de entrada do modelo correspondem ao sistema de drenagem 
composto pelo escoamento superficial (vias, sarjetas, sarjetões e escadas hidráulicas), 
escoamento subterrâneo (bocas de lobo e leão, galerias de águas pluviais (GAP) e poços 
de visita (PV)), as quatro Estações Elevatórias de Águas Pluviais (EEAP) existentes no 
município, inclusive instrumentos especiais de drenagem. Tais informações foram 
subtraídas base cadastral existente do município e de verificações de campo. As 
estruturas hidráulicas são representadas no modelo por objetos físicos, dividindo-
se em tipos de nós ou arcos, de forma a possuir características que possibilitem sua 
representação numérica, as vias foram representadas por arcos e nós, os PVs como 
nós, as GAPs como arcos e as captações com arcos, que direcionam a vazão escoada na 
via para dentro das GAP, a vazão de captação foi variável, de acordo com o tipo de boca 
de lobo ou leão. Com relação à influência do sistema de macrodrenagem (Ribeirão dos 
Meninos e Rio Tamanduateí), foi considerado nível máximo de segurança da calha como 
limite de simulação. Para os dados hidrológicos foram utilizadas a equação da chuva 
IAG-USP (JUNIOR; MAGNI, 1999) e área de impermeabilização obtida pela metodologia 
de amostragem de polígonos conforme PDMAT-3 (DAEE, 2012). Todas as informações 
foram compatibilizadas para conversão em formato shapefile para entrada de dados no 
GisWater, que, por sua vez, converte os dados para o EPA-SWMM.
Calibração e validação do modelo matemático
A calibração e validação do modelo foi realizada por meio de verificações por 
amostragem do sistema com o método racional e planilhas em excel. Além disso, os 
resultados foram levados para discussão com a autarquia, de forma a validar os pontos 
críticos identificados na modelagem.
Simulações e cenários avaliados 
Os cenários simulados contemplaram a análise diagnóstica e prognóstica do 
sistema existente, foram simulados os Tempos de Retorno (TR) de 2, 5 e 10 anos, e para 
cada TR foi simulada as durações da chuva a cada 10 minutos durante 2 horas totalizando 
10 simulações por TR, desta forma foi identificado a duração crítica para cada sub-bacia.
O cenário diagnóstico considerou o sistema de drenagem existente e a imper-
meabilização para o ano de 2015, enquanto o cenário prognóstico considerou o mesmo 
sistema existente com impermeabilização futura para o ano de 2035. Após a análise diag-
nóstica e prognóstica, foi simulado o estudo de concepção por meio de cenários contem-
plando intervenções no sistema de drenagem, as propostas foram embasadas no cenário 
mais crítico prospectado (impermeabilização ano 2035 para TR-10 anos), as alternativas 
estudadas ainda foram verificadas para um TR-25 anos, de forma a avaliar a segurança 
sistema proposto. 
226
A primeira fase simulou um cenário somente com o aumento das captações até a 
capacidade máxima de escoamento das GAPs existentes, após esta fase foram simulados 
cenários propondo intervenções como ampliação ou substituição das GAPs existentes. 
Houve casos em que foram propostas diferentes alternativas de intervenção, sendo 
acordados junto à autarquia a melhor alternativa para detalhamento de anteprojetos 
e estimativas de custos. Durante as etapas de simulações foi integrado o uso do EPA-
SWMM com o QuantumGis, por meio do programa GisWater. 
Esta interação permite armazenamento das informações do sistema existente em 
banco de dados, alterações rápidas nos dados de entradas como mudança de diâmetros 
das tubulações, curva de captação nas bocas de lobo, quantificações de extensões de 
rede, áreas de contribuição, entre outros. Os resultados da modelagem matemática por 
meio do EPA-SWMM trazem dados tecnicamente consolidados, foram importadas tabelas 
com dados de vazão, altura das lâminas d’água, capacidade de escoamento nas GAPs, 
trechos de sobrecarga, vazões negativas indicando remanso no sistema. Tais informações 
foram processadas no QuantumGis para obtenção dos mapas temáticos
3 RESULTADOS 
Foram avaliados aproximadamente 270 km de vias categorizados por altura da 
lâmina d’água na sarjeta (10, 15, 20 e acima de 20 cm) e 100 km de GAPs avaliando a 
capacidade (%) de escoamento das galerias. Para TR10 anos num cenário atual, 31% 
(83,7 km) das vias apresentaram insuficiência, ou seja, lâminas d’água maiores que 15 
cm, considerando como referência à altura média das guias nas sarjetas. Para TR-10 
anos num cenário futuro, esse número passa para 32,3% (87,2 km). Essa diferença não 
apresenta grande variação devido ao município já apresentar um adensamento urbano 
e áreas impermeáveis a níveis acentuados. Os resultados obtidos foram apresentados em 
mapas temáticos para cada sub-bacia de drenagem, e para cada cenário simulado nos 
diferentes TRs, a Figura 2 exemplifica a apresentação do diagnóstico e prognóstico das 
vias para a Bacia de drenagem A para um TR-10 anos.
227
Na fase de estudo e concepção, também foram gerados mapas temáticos 
de forma a ilustrar as intervenções propostas. A Figura 3 apresenta as propostas de 
intervenção para a Bacia A.
As propostas estruturais para o município de São Caetano do Sul compreenderam 
as obras de: (i) ampliação de 1.575 captações simples (bocas de lobo e bocas de leão) e 
2 captações especiais (grelhas especiais); (ii) implantação de 22.242m de novas GAPs 
e substituição de 29.228m GAPs existentes; (iii) implantação de 4 Estações Elevatórias 
de Águas Pluviais (EEAPs) e (iv) implantação de 3 reservatórios de detenção. As ações 
estruturais propostas foram desenvolvidas ao nível de anteprojeto contemplando o 
memorial técnico hidrológico, hidráulico e orçamentos.
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
A cobertura do sistema de drenagem superficial, composto por guias, sarjetas e 
sarjetões abrange 100% das vias do município. Já a cobertura do sistema de drenagem 
subterrânea, composto pelas GAPs, PVs, bocas de lobo, bocas de leão e grelhas 
especiais, abrange 32% dessas vias. É importante salientar que a cobertura da drenagem 
subterrânea não necessita chegar a 100% de abrangência, visto que parte do sistema de 
drenagem pode ser perfeitamente atendido pela drenagem superficial. No entanto, por 
meio das análises realizadas o município de São Caetano do Sul ainda carece de maior 
infraestrutura no setorde drenagem urbana. Alguns dos fatores que podem ser citados 
como agravantes seria sua posição geográfica, a qual sofre influencias de toda a região 
do ABC Paulista integrante de seu distrito de drenagem. Ao considerar a influência do 
Ribeirão do Meninos e Rio Tamanduateí ao nível máximo de sua calha, as GAPs não 
têm capacidade de drenar suas águas por gravidade, desta forma, o município possui 
228
EEAPs operantes e são propostas como alternativa de intervenção, os reservatórios por 
gravidades também entram neste contexto, objetivando amortecer a vazão de pico. Para 
aplicação da modelagem utilizada, foi necessário levantamento de dados de entrada 
detalhados, como informações do sistema de microdrenagem (diâmetro, extensões, 
declividade, cotas de entrada e saída, tipologia das captações de águas pluviais, 
localização dos sarjetões), a dificuldade na obtenção de tais dados é considerada um 
ponto de fragilidade na aplicação desta metodologia em outras localidades.
5 CONCLUSÕES
O uso de modelagem matemática junto a ferramentas de geoprocessamento 
se mostrou vantajoso, considerando a facilidade na visualização e interpretação dos 
resultados obtidos. As alterações no sistema também podem ser realizadas de maneira mais 
rápida e eficiente devido a possibilidade do uso das ferramentas de geoprocessamento e 
armazenamento dos dados de entrada em um banco de dados integrado tanto ao modelo 
hidráulico hidrológico EPA-SWMM quanto ao programa de geoprocessamento Quantum-
Gis. A facilidade na interpretação dos dados contribui para minimização de erros, visto 
que o modelo matemático é uma ferramenta empírica a qual auxilia na aproximação da 
realidade. Os mapas temáticos apresentam os dados de forma clara facilitando na adoção 
desta ferramenta de estudo no auxílio a gestão e tomada de decisão no sistema de 
drenagem urbana por parte da autarquia.
Recomenda-se a atualização do banco de dados sempre que haja alterações no 
sistema, e o refinamento dos dados de entrada também pode ser aprimorado de forma a 
calibrar melhor a modelagem matemática.
Fonte: NAKAGAMA, A. Y. T. et al. IX-061 – Aplicação da modelagem matemática junto a 
ferramentas de geoprocessamento para elaboração de plano de drenagem urbana – estudo 
de caso: Município de São Caetano do Sul–SP. Disponível em: https://abesnacional.com.br/XP/XP-
EasyArtigos/Site/Uploads/Evento36/TrabalhosCompletosPDF/IX-061.pdf. Acesso em: 2 dez. 2022.
229
Neste tópico, você aprendeu:
• Informações projetadas e aspecto central no uso da tecnologia de geoprocessamento 
advêm da característica lógico-matemática de sistemas de informação.
• Um fenômeno geográfico é representado por áreas, linhas e pontos. Os pontos 
representam uma localização, na qual, aparecem como área ou linha. Na representação 
vetorial, estudamos os elementos, ponto, linha e reta que fazem parte da construção de 
um polígono. Dessa forma, os pontos são elementos que abrangem todas as entidades 
geográficas que podem ser posicionadas por um único par de coordenadas.
• A escala é uma necessidade. Para se tornar viável, necessitamos da matemática. 
A matemática expõe como um dos princípios norteadores do processo de ensino-
aprendizagem relacionar observações do mundo real com representações por meio 
de tabelas, figuras e gráficos.
• A intersecção de um meridiano com um paralelo (inicialmente discutido e estudado 
na matemática básica) pode-se localizar em um ponto da superfície da Terra.
• Os dados geográficos podem ser classificados em dois tipos. Os dados gráficos 
(polígonos, pontos, linhas, pixels) representam elementos geográficos, como limite 
político, vegetação, relevo, drenagem, dentre outros. Suas fontes podem ser de 
mapas analógicos e digitais, memoriais descritivos, GPS etc. Já os dados tabulares 
têm a função mais detalhada de descrever os elementos geográficos e suas fontes 
são de sistemas de bancos de dados, tabelas, arquivos etc.
• Cada registro do arquivo corresponde a uma linha da superfície terrestre e são todos 
do mesmo tamanho. Isso se denomina pixels, ou seja, os valores de cada campo são 
a intensidade das ondas eletromagnéticas, provenientes da superfície terrestre.
• Um atributo matemático inserido na modelagem em geoprocessamento é o modelo 
empírico, que se caracteriza por ter um número reduzido de variáveis envolvidas, em 
que se utiliza predições e previsões futuras da análise espacial.
RESUMO DO TÓPICO 3
230
1 Sistema de informações são ferramentas atualmente corriqueiras no nosso dia a dia. 
O geoprocessamento passou a ser uma ferramenta fundamental para a sociedade, 
inclusive para resolver problemas como a falta de dados para construção de projeto. A 
partir do que foi explanado sobre o uso da matemática e o SIG, assinale a alternativa 
CORRETA:
a) ( ) O SIG é aspecto central no uso da tecnologia de geoprocessamento e advém da 
característica lógico-matemática de sistemas de informação.
b) ( ) O SIG é aspecto central no uso da tecnologia de geoprocessamento e advém 
apenas da lógica.
c) ( ) O SIG é advindo do levantamento topográfico altimétrico por meio da definição 
da largura de um determinado terreno.
d) ( ) O SIG é aspecto central no uso da tecnologia de geoprocessamento e advém 
apenas do conhecimento empírico da internet.
2 “O conceito de escala é bastante simples, se for abordado apenas pelo aspecto 
cartográfico como uma transformação geométrica de semelhança, sem levar em 
consideração aspectos projetivos de distorção ou variação de escala ao longo de 
uma área. Problemas, dúvidas e interpretações inconsistentes podem advir, a partir 
do momento que se estende este conceito à outras áreas do conhecimento, por 
surgirem aspectos ambíguos e mesmo conflitantes, como pode ser observado em 
aplicações ambientais e geográficas” (MENEZES; COELHO NETO, 1999, s.p.). Sobre a 
escala, assinale a alternativa CORRETA:
Fonte: MENEZES, P. M. L. de; COELHO NETO, A. L. Escala: estudo de conceitos e aplicações. In: Congresso 
Brasileiro de Cartografia, 19., 1999, Recife. Anais [...]. Recife, 1999. Disponível em: http://www.geocart.igeo.
ufrj.br/pdf/trabalhos/Escala_Conceitos_Aplic.pdf. Acesso em: 27 out. 2022.
a) ( ) A escala é um processo advindo apenas da cartografia e modelos topográficos.
b) ( ) A escala não necessita da matemática.
c) ( ) A escala é uma necessidade e, para se tornar viável, necessitamos da matemática.
d) ( ) A escala é um conceito a escala é um conceito fundamental para o cálculo da 
área do polígono. 
AUTOATIVIDADE
231
3 “Em um modelo esférico, os meridianos são círculos máximos cujos planos contêm 
o eixo de rotação ou eixo dos polos. Já em um modelo elipsoidal, os meridianos são 
elipses definidas pelas interseções, com o elipsoide, dos planos que contêm o eixo de 
rotação” (SILVA; MONTEIRO; PAMBOUKIAN, 2014, p. 155). Sobre intersecções, assinale 
a alternativa CORRETA: 
Fonte: SILVA, J. C.; MONTEIRO, G. O.; PAMBOUKIAN, S. V. D. Introdução ao geoprocessamento. In: Congresso 
Alice Brasil, 2014, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: Mackenzie, 2014. p. 155-164. Disponível em: http://twi-
xar.me/9Txm. Acesso em: 16 out. 2022.
a) ( ) A intersecção no geoprocessamento é apenas um ponto de encontro entre duas 
faces 
b) ( ) A intersecção de um meridiano com um paralelo possibilita localizar três pontos 
da superfície da Terra.
c) ( ) A intersecção de um ponto é a coordenada geográfica plana do modelo matemá-
tico.
d) ( ) A intersecção de um meridiano com um paralelo possibilita localizar um ponto 
único da superfície da Terra.
4 “A tecnologia de geoprocessamento irá se converter numa das principais ferramentas 
de gerenciamento dos recursos naturais e urbanos do Brasil até o final da década. A 
partir da Constituição de 1988, que consagrou noções como a de crime ecológico, 
e da RIO ’92, os problemas ambientais saíram do âmbito restrito a grupos ecológicos e 
ONGs para adquirir status de questões nacionais. Pode-se perguntar: estamos diante 
de uma moda passageira ou estasquestões vieram para ficar?” (CÂMARA, 1995, p. 1). 
De acordo com o que estudamos disserte apresentando as diferenças entre dados 
gráficos e tabulares 
Fonte: CÂMARA, G. Modelos, linguagens e arquiteturas para bancos de dados geográficos. Tese (Doutorado 
em Computação Aplicada) – Inpe, São José dos Campos, 1995.
5 “Pixels são comparados com base em seu valor, e objetos são comparados com base 
em um de seus atributos. Uma abordagem dependente de tipos para o algoritmo de 
valor mínimo, iria escrever um algoritmo para cada estrutura de dados” (VINHAS et 
al., 2002, p.118). De acordo com o que estudamos, disserte a sobre a importância das 
informações sobre os pixels de uma imagem digital no geoprocessamento.
Fonte: VINHAS, L. et al. Programação genérica aplicada a algoritmos geográficos. In: Simpósio Brasileiro De 
Geoinformática, 4., 2002, Caxambu. Anais [...]. Caxambu, 2002. p. 117-122.
232
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