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Bizu Matemática

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Aula 08
PM-MG (Soldado) Bizu Estratégico -
2023 (Pós-Edital)
Autor:
Arthur Fontes da Silva Jr,
Elizabeth Menezes de Pinho Alves,
Leonardo Mathias, Vinícius Peron
Fineto
14 de Dezembro de 2023
 
 
 
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33 
BIZU ESTRATÉGICO DE MATEMÁTICA 
PM MG 
Olá, prezado aluno. Tudo certo? 
Neste material, traremos uma seleção de bizus da disciplina de Matemática para o 
concurso da PM MG. 
O objetivo é proporcionar uma revisão rápida e de alta qualidade aos alunos por meio 
de tópicos que possuem as maiores chances de incidência em prova. 
Todos os bizus destinam-se a alunos que já estejam na fase bem final de revisão (que já 
estudaram bastante o conteúdo teórico da disciplina e, nos últimos dias, precisam revisar por 
algum material bem curto e objetivo). 
 
 Leonardo Mathias 
 @profleomathias 
 
 
Arthur Fontes da Silva Jr, Elizabeth Menezes de Pinho Alves, Leonardo Mathias, Vinícius Peron Fineto
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ANÁLISE ESTATÍSTICA 
 
Pessoal, segue abaixo uma análise estatística dos assuntos mais exigidos pela Banca DRH-CRS 
PM-MG, no âmbito da disciplina de Matemática: 
 
 
Com essa análise, podemos verificar quais são os temas mais exigidos pela banca e, por meio 
disso, focaremos nos principais pontos da disciplina em nossa revisão! 
 
Segue índice da aula e baterias de questões, elaboradas em nosso Sistema de Questões, para 
que você possa praticar após a leitura desse bizu. 
 
Inserimos questões de bancas similares, para você treinar mais, visto que não há questões 
suficientes da banca DRH-CRS PM-MG. 
 
 
 
Matemática 
Assunto % de cobrança 
Geometria Plana 19,24% 
Frações, Razão, Proporção e Regra de Três 17,99% 
Porcentagem 11,99% 
Geometria Espacial 9,46% 
Conjuntos Numéricos 7,57% 
Operações Básicas; Potenciação e Radiciação e Problemas 6,94% 
Teoria dos Conjuntos 6,62% 
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Matemática – PM MG 
Assunto Bizus Caderno de Questões 
Frações, Razão, Proporção e Regra de Três 1 a 4 http://questo.es/ria04a 
Geometria Plana 5 a 9 http://questo.es/o6747r 
Geometria Espacial 10 a 17 http://questo.es/jen7rb 
Porcentagem 18 a 22 http://questo.es/36g35y 
Operações Básicas; Potenciação e Radiciação e 
Problemas 
23 a 26 http://questo.es/rxzhc0 
Teoria dos Conjuntos 27 a 32 http://questo.es/f6c3qu 
Conjuntos Numéricos 33 a 35 http://questo.es/egod2b 
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Apresentação 
Olá, futuro(a) aprovado(a)! Antes de darmos início aos nossos trabalhos, farei uma breve 
apresentação: 
Meu nome é Leonardo Mathias, tenho 34 anos e sou natural do Rio 
de Janeiro. Atualmente, vivo em São Paulo em virtude do exercício 
do cargo de Auditor de Controle Externo no Tribunal de Contas 
do Estado de São Paulo (TCE-SP), tendo sido aprovado no último 
certame, realizado no ano de 2017. 
Sou Bacharel em Administração e Ciências Navais pela Escola 
Naval (2011), Pós-Graduado em Gestão Pública pela Universidade 
Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Pós-Graduado em Intendência 
pelo Centro de Instrução e Adestramento Almirante Newton 
Braga, e trabalhei durante vários anos como Oficial do Corpo de 
Intendentes da Marinha do Brasil, tendo alcançado o posto de Capitão. 
Meu contato com os concursos públicos começou cedo: aos 13 anos, em 2003, fui aprovado 
nos principais certames militares de nível médio existentes no Brasil (Colégio Naval e EPCAr). 
Após quase 13 anos de vida na caserna, decidi buscar novos horizontes de vida e voltei a 
estudar para concursos públicos, tendo tido a felicidade de ser aprovado em alguns concursos, 
inclusive da Área Fiscal, mas optei por tornar-me Auditor de Controle Externo do TCE-SP. 
Como pode perceber, há pouco tempo, eu estava justamente aí onde você, concurseiro, está. 
Logo, utilizarei as experiências e conhecimentos adquiridos ao longo da minha trajetória para 
auxiliá-lo(a) na disciplina de Matemática. Fiz uma análise bem cautelosa dos pontos mais 
queridos pela banca examinadora, e todos eles estão aqui! Cada questão no concurso vale 
ouro, então não podemos dar bobeira! Mãos à obra! 
 
 
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1. Operações com frações 
• Adição / Subtração - para somarmos/subtrairmos duas frações, deveremos deixá-
las, necessariamente, com os mesmos denominadores. E para isso precisaremos 
muitas vezes encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C). 
 
• Adição / Subtração - para somarmos/subtrairmos duas frações, deveremos deixá-
las, necessariamente, com os mesmos denominadores. E para isso precisaremos 
muitas vezes encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C). 
 
 
 
• Multiplicação - na multiplicação de duas ou mais frações, temos a regrinha básica 
de multiplicarmos numerador com numerador e denominador com denominador, 
meus caros. 
 
 
 
• Divisão- na divisão de duas frações, também temos a velha e conhecida regrinha 
básica, repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração 
 
 
 
• Potenciação/Radiciação - o grande cuidado aqui que devemos ter é no lance do 
expoente da fração (-)n e do índice do radical n- . 
 
Fração, Razão e Proporção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 3 16 + 9 25
3 + 8 “ 24
“
24
3 10 3 10 3 ' 2
5 2 5 - 2 “ ITl = 3
3
3 1 5 1 3 _ 3
5
'T“ T"
2 ~ 26
IS
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2. Múltiplos e divisores 
 
• O MMC de dois, três ou mais números inteiros é o menor número que é múltiplo 
simultaneamente dos dois, três ou mais números, com exceção do número 0 
(zero), obviamente. Por exemplo, o menor múltiplo comum entre 3 e 5 é 15, pois 
15 é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
• O MDC entre dois ou mais números naturais é o maior número que os divide sem 
deixar resto. 
 
3. Média aritmética simples 
• A média aritmética preserva a soma da lista de números 
• Para calcular a média aritmética, basta somar todos os elementos e dividir pela 
quantidade de elementos. 
Média= (x1+x2+x3+…+xn)/n 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 32 9— — .0 mesmo raciocmio vale para a radicia^o.
25 _ V25 _ 5
16 = Vlf = 4
3
525
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4. Regra de Três Simples e Composta 
✓ Regra de Três – Consiste em transformar uma proporção em uma equação 
matemática com uma incógnita. Para fazer isto, basta fazer uma multiplicação cruzada 
dos termos da proporção. 
 
➔ Exemplo de Regra de Três Simples: Para esvaziar um reservatório de água, três saídas 
d’agua, com a mesma vazão e abertas ao mesmo tempo, realizam o trabalho em 2 horas 
e 20 minutos. Utilizando-se apenas duas dessas saídas d’água nas mesmas condições, 
calcule a razão entre o tempo para esvaziar esse reservatório com duas saídas e o tempo 
para esvaziar esse reservatóriocom três saídas. 
 
▪ Três saídas esvaziam o reservatório em 2 horas e 20 minutos (140 minutos). 
Sendo assim, duas saídas esvaziarão esse mesmo reservatório em "x" 
minutos. A regra de três fica assim: 
 
 
 
Quanto maior o número de saídas, menor será o tempo para esvaziar o 
reservatório. Sendo assim, são grandezas inversamente proporcionais e 
fazemos a multiplicação direta. 
 
2𝑥 = 3 ⋅ 140 → 2𝑥 = 420 → 𝑥 = 210 
 
Ou seja, com duas saídas, o reservatório será esvaziado em 210 minutos. 
 
O enunciado pede a razão (R) entre o tempo necessário para esvaziar com 
duas saídas e o com três. 
 
 
 
 
Regra de Três Simples e Composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Siiidas + 140 minutes
2 safdas * * x minutes
210 3^2R = — R = R = 2
R = 1, 5140^3
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➔ Exemplo de Regra de Três Composta: Para o preparo de bandeirinhas decorativas para 
uma festa escolar, 12 pessoas conseguem preparar 420 bandeirinhas trabalhando 
durante 3 horas. Supondo que todas as pessoas preparam bandeirinhas gastando 
sempre o mesmo tempo, calcule o número de pessoas necessárias para preparar 3360 
bandeirinhas em 6 horas. 
 
▪ Precisamos relacionar as quantidades de três grandezas: o número de 
pessoas, de bandeirinhas e as horas trabalhadas. Sendo assim, vamos 
organizar as informações em uma tabela. 
 
 
 
Uma vez que temos a tabela esquematizada, precisamos definir quem é 
direta ou inversamente proporcional ao número de pessoas (pois é quem 
estamos procurando). 
 
Quanto maior o número de pessoas, mais bandeirinhas poderão ser 
preparadas em um mesmo intervalo de tempo. Logo, temos que pessoas 
e bandeirinhas são diretamente proporcionais. 
 
 
 
Quanto maior o número de pessoas, menor será o tempo necessário para 
preparar uma mesma quantidade de bandeirinha. Assim, temos que essas 
duas grandezas são inversamente proporcionais. 
 
Bandeirinhas Tempo (horas)Pessoas
12 420 3
3360 6x
Bandeirinhas Tempo ( horas)Pessoas
12 3|1 3 3 6 0 Wx 6
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Com a tabela ok, equacionamos o problema. 
 
 
 
 
 
 
5. Principais Ângulos 
 
 
 
6. Circunferência 
Geometria Plana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bandeirinhas Tempo (horas)Pessoas
12 | 420 | 3 +~ r ~ r
12 420 6
x 3360 3
12 1
7= 8 2
12 1
x = 484x
Principals Angulos
Em Radianos Em RadianosEm Graus Em Graus
2n
0* 0 rad 120° — rad
3
Sirn— rad30° 150° — rad6 G
n
45° — rad
4
180° K rad
3nTl
60° — rad 270° — rad3 2
Tl— rad90° 360° 2n rad2
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«
2nF
C = 2nR
A - KRZ
R.
R:i
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7. Triângulos 
 
- Classificações: 
• Escaleno: todo triângulo que possui os três lados distintos! 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐. Como consequência, 
os ângulos opostos a cada um desses lados também serão diferentes. 
• Isósceles: triângulo que possui dois lados iguais. Os ângulos opostos a esses lados também 
serão idênticos. 
• Equilátero: triângulo com todos os lados iguais. Assim, todos os ângulos internos desse tipo 
de triângulo também são congruentes, medindo exatamente 60°. 
 
 
 
 
Actnu —— JTR% - irRfA-coroa = A - A* Acoroaexterna inferno
a
c c
> 90°
bb b
OBTUSANGULORETANGULO ACUTANGULO
A soma dos angulos internos de um triangulo e sempre 180°!
A soma dos angulos externos de um triangulo vale 360°,
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- Congruência e Semelhança de Triângulos 
 
 
Se você identificar que dois triângulos são semelhantes, então poderá estabelecer uma relação 
entre os lados desse triângulo. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
ABC e DEF são triângulos semelhantes. Com isso, sabemos que seus lados proporcionais. Por 
sabemos esse fato, podemos escrever a seguinte relação: 
 
 
- Área de um Triângulo 
Triangulos Congruentes: ANGULOS E LADOS IGUAIS
Triangulos Semelhantes:ANGULOS IGUAIS E LADOS PROPGRCIONAIS.
dB C E Fa
a b c
d
~
e
~
f-= k
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==1feb8f==
 
 
 
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- Quando temos a base e a altura do triangulo.
b
"h" representa a medida da altura. enquanto "b" representa a medida da base. Quando tivermos essas
informa^oes, podemos calcular a area de um triangulo por meio da seguinte formula:
b‘ h
A = 2
- Quando o triangulo e retangulo
a
c
b
b c
A =
2
Quando o triangulo e equilatero
i
LL
k
L L
2 2
A = 4
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8. Quadriláteros 
 
 
 
- Quanto femos apenas os ladlos do triangulo.
a
A - VP(P — a)(P “ b )( p ~ c)
a+ b + c
p = ——
Retangulo
b
t*
AREA = a - baa
JZ
b
Quadrado
a
AREA = a 2aa
a
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9. Polígonos 
 
➔ A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo será sempre 360°. 
 
➔ A soma dos ângulos internos de um polígono de "n" lados é dada por: 
 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° 
 
➔ Fórmula para calcular o nº de diagonais de um polígono: 
 
Paralelogramo
b
AREA = b ha a h
b
Losango
D dd
AREA =
2
D
Trapezio
b
+
I
(B+ b)- hI
h AREA =
2
t
B
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o "d" representa a quantidade de diagonais e "n" é o número de lados do polígono. 
 
-> No último concurso da Receita Federal, a FGV elaborou uma questão informando que um 
triângulo equilátero feito de cartolina tem vértices A, B e C. 
 
Cortou-se o triângulo em linha reta com uma tesoura, indo de A até o ponto D situado no lado 
oposto BC e tal que a distância de D a B é o triplo da distância de D a C. 
 
Se a área do triângulo ABC vale 24cm², então calcule a área do triângulo restante ABD. 
 
▪ Para resolver esta questão, devemos relembrar o que estudamos neste 
Bizu sobre triângulos equiláteros. Vejamos: 
 
Um triângulo equilátero é aquele que possui todos os lados iguais, então, 
se o lado do triângulo é igual a l, podemos dizer que sua altura é: 
 
 
 
Vamos formar a imagem do enunciado, temos: 
 
 
 
Então, a área que procuramos é dada pela expressão: 
 
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O enunciado nos informa que a distância de B a D é o triplo da distância 
de C a D, isto é: 
 
 
 
Assim, vamos chamar DC de x, logo, o lado do nosso triângulo deve 
medir: 
 
 
 
E isto nos permite calcular a altura do triângulo equilátero, fazemos: 
 
 
 
Agora, devemos nos lembrar que a área do triângulo é metade do 
produto da base pela altura, então, nossas áreas são: 
 
 
 
Então, devemos calcular: 
 
 
 
^abc - A = Aadc abd
BD = 3DC
x + 3 * x = Ax
h =
2
x * 2
2
^abd 2
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Assim, veja que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Poliedros 
 
 
 
 
11. Relação de Euler 
➔ A relação de Euler envolve a quantidade de vértices, faces e arestas em um poliedro 
convexo. 
 
Geometria Espacial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4JCV3
3x * 2 3X2V 3A- abii 2
= 3 * 6
= 18
Poliedro e um solido geometrico limitado por uma quantidade finita de poligonos. Alem
disso,e importante ressaltar que cada um desses poligonos divide um lado com um outro,
vizinho a ele.
ARESTA
* FACE
* .
* VERTICE
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12. Poliedros Regulares 
 
 
 
13. Prisma 
 
V + F = A + 2
- V e o numero de vertices;
- F e o numero de faces;
Poliedros Regulares
Planifica^ao Informa^oesPoliedro
0 tetraedro regular e uma
piramide em que todas as
suas 4 faces sao triangulos
equilateros.
V = 4
A = 6
Tetraedro Regular
0 hexaedro regular e o "nome
cientifico" do famoso cubo.
Note que todas suas 6 faces
sao quadradas.
V = 8
A = 12
Hexaedro Regular
0 octaedro regular tambem e
chamado de bipiramide
quadrada. As suas 8 faces sao
triangulos equilateros.
V = 6
A = 12Octaedro Regular
0 dodecaedro regular e
formado por 12 faces! Cada
uma das faces e um
pentagono regular.
V = 20
A = 30
Dodecaedro Regular
0 icosaedro regular e
formado por 20 faces! Cada
uma das faces e um triangulo
equilatero.
V = 12
A = 30
Icosaedro Regular
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14. Pirâmide 
 
 
 
 
Area Superficial e VolumeNome Prisma
= 2 • (ac + be + ab)^total
c
Paralelepipedo
V = abc
a
= 6a2Atotal
Cubo
a K = a3
i r
Atotal ~ Alateral + 2 * AbasePrisma
Qualquer V = AbH
PIRAMIBE PIRAMIBE PIRAMIBE
TRIANGULAR QUADRANGULAR PENTAGONAL
A total - A + Alateral base
AbHV = 3
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15. Cilindro 
 
 
 
 
 
16. Cone 
 
 
^tronco Vpir&mide ^pirikmidemaior menor
^ ( B +m+ b)V =
R: raio da base
h: altura do cilindroft
e: eixo do cilindro
g: geratriz
e
Atotal = 2nR( h + R )
V — nR2h
R: raio da base
h: altura do cilindroh
e: eixo do cilindro
g: geratriz
CONE RETO CONE 0BL1QU0
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17. Esfera 
 
 
 
 
 
A lateral = nRg
= nR1Abase
Atotal ' Q/ "l- )̂
JlRzh
V - 3
t̂ronco = t7 -Vcone maior v*cone me?ior
7T h—L ( Ri + Rr + r2 )
J
V =
/
\
\
k
k
L
i
I
I
l
II
>ls = 4TT R2
$JTR 2
V = 3
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18. Percentual de um valor 
 
o Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). 
▪ 
p
100
= p% 
o Para calcular 𝒙% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número 𝒙
𝟏𝟎𝟎
. 
o Exemplo: 
▪ Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000. 
• 
20
100
∙
30
100
∙
40
100
∙ 1000 =
6000
250
= 24 
 
19. Transformação de fração ordinária em taxa percentual 
 
o Para transformar uma fração ordinária ou um número qualquer em taxa percentual, 
basta multiplicá-la por 100%. 
o Exemplo: 
▪ Transformar a fração 3/8 em taxa percentual. 
 
• 
3
8
=
3
8
∙ 100% =
300
8
% = 37,5% 
 
▪ Transformar 0,4 em taxa percentual. 
 
• 0,4 = 0,4 ∙ 100% = 40% 
 
20. Participação percentual de uma parte do todo 
 
o Imagine um grupo de 300 pessoas, 120 são homens. Como calculamos a 
participação percentual dos homens? 
 
▪ Basta dividir a “parte” pelo “todo” 
Porcentagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• 
120
300
∙ 100% = 40% 
 
21. Variação percentual 
 
o A razão entre a diferença de valores (valor final menos o valor inicial) e o preço inicial, 
expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual. 
 
▪ 𝑖 =
𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
▪ 𝑆𝑒 𝑖 > 0, 𝑡𝑎𝑥𝑎 é 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
▪ 𝑆𝑒 𝑖 < 0, 𝑡𝑎𝑥𝑎 é 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜) 
 
o Exemplo: 
 
▪ Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televisão no valor de R$ 1.200,00. 
Esperou o seu salário entrar no início do mês, para que ficasse mais 
“folgado”. Quando então foi à loja efetuar o pagamento, soube que o preço 
da televisão tinha subido para R$ 1.500,00. Qual foi o percentual de aumento 
no preço da televisão? 
 
• 𝑖 =
𝑉𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
1500−1200
1200
= 25% 
 
 
22. Variações percentuais sucessivas 
 
o Para diminuir p% de um valor original, devemos multiplicar por 100% - p%. 
o Para aumentar p% de um valor original, devemos multiplicar por 100% + p%. 
 
o Exemplo: 
▪ Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu 
um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a 
mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? 
Qual a variação percentual acumulada? 
 
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• Após o aumento a mercadoria vale: 140% de R$ 300,00= 
140
100
. 300 =
420 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
• Após o desconto a mercadoria vale: 75% de R$ 4200,00= 
75
100
. 420 =
315 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
 
23. Propriedades Básicas 
 
 
 
24. Relação Fundamental da Divisão 
 
𝐷 = 𝑄 × 𝑑 + 𝑅 
ou 
DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO 
 
25. Potenciação e Radiciação 
Operações Básicas e Solução de Problemas Básicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade do Elemento Neutro
Propriedade da Comutatividade
Propriedade da Assodatiiridade
a + 0 = a I 0 + a = a
a + b = b + a
Co + b ) + c = a + ( b + c )
dj £) E hi £1 + i) E M
a, b e 1 ct + b E SPropriedade do Fechamento a, & E Q -> (2 + £> E Q
n, f t e i -> f l + i) E R
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26. Soluções de Problemas Básicos 
 
➔ Aqui não tem jeito, temos que praticar com a resolução de exercícios e ficar atentos 
às propriedades das operações estudadas. 
Informa^oes Relevantes
* Propriedades da Potenciagao Propriedades da Radidagao
a° = 1
an = a a * a a - .. . a - a
PS) t^/a V b = V a7b
n ja
V 6
n vezes
P6) nV bm+nPI) am an = a
am PI) (VS)m
= "V̂m-nP2) = aan
“fraP3) (am)n = amil
P8)
PA) (a b)n = an bn
Esquemas e Diagramas
#
Indiceri— Expoente
+Vdb = an +
i •B +ase
—* RadicandoPotencia
R Quern esta por cientro,
esta por ama
n m
Quem esta por fora,
esta por baixo.
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➔ No último concurso da PC-AM, uma questão informou que, em um grupo de 64 policiais 
civis e militares, 24 são civis. Além disso, metade dos policiais militares é casada e há 
um total de 36 policiais solteiros. A banca examinadora então questionou o número de 
policiais civis casados do grupo. 
 
o Bom, temos 64 policiais. Se 24 deles são civis, então temos 40 militares (64 − 24 
= 40). 
o Se metade dos policiais militares é casado, então temos 20 militares casados no 
grupo (40/2). 
o Como o total de solteiros desse grupo é 36, podemos concluir que, no total, 
temos 28 casados (64 − 36 = 28). 
o Ora, já descobrimos que 20 militares são casados. Sendo assim, a diferença de 8 
é justamente a quantidade de policiais civis que são casados (28 − 20 = 8). 
 
 
27. Igualdade de conjuntos 
 
o Dois conjuntos são iguais se e somente se eles possuem os mesmos elementos 
(na definição de igualdade entre conjuntos não é relevante a noção de ordem entre 
os elementos). 
 
▪ {𝑎,𝑒,𝑖,𝑜,𝑢}={𝑒,𝑖,𝑜,𝑎,𝑢} 
 
o Considere o conjunto {𝑎,𝑏}. Este conjunto possui apenas dois elementos, a 
saber: a, b 
 
 
o Considere agora o conjunto {{𝒂,𝒃},{𝒂,𝒄}}. O conjunto {{𝒂,𝒃},{𝒂,𝒄}} possui dois 
elementos, a saber: {a,b} e {a,c}. 
 
▪ Observe que os elementos do conjunto {{𝒂,𝒃},{𝒂,𝒄}} são dois conjuntos. 
 
Teoria dos Conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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o Podemos afirmar que: 
 
 
 
o Mas não podemos afirmar que 𝑎∈{{𝒂,𝒃},{𝒂,𝒄}}, pois os elementos de 
{{𝒂,𝒃},{𝒂,𝒄}} são conjuntos e não letras. 
 
28. Conjunto das Partes 
 
o O conjunto das Partes “P(A)” é o conjunto formado por todos os subconjuntos 
de um conjunto. 
 
o Para sabermos quantos elementos tem esse conjunto usar 𝟐𝒏, em que n é o 
número de elementos do conjunto. 
 
o Exemplo: 
▪ Quantos subconjuntos tem o conjunto A = {2, 4, 6, 8}? 
▪ Temos 4 elementos. 
 
● Portanto: 24 = 16 
 
29. Operações com conjuntos 
 
o A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são 
comuns a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a 
B, ou seja, A e B. (A∩ B). 
 
 
 
▪ 𝑨∩𝑨=𝑨 
{a, fc} e c}]
\a,c } e {fa, b ), { a, c})
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▪ 𝑨∩𝑩=𝑩∩A 
▪ 𝑨∩(𝑩∩𝑪)=(𝑨∩𝑩)∩C 
▪ Se 𝑨⊂𝑩, então 𝑨∩B=𝑨 
▪ 𝑨∩∅=∅ 
▪ (𝑨∩𝑩)⊂𝑨 e (𝑨∩𝑩)⊂𝑩 
 
o A União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado reunião dos elementos 
desses conjuntos, ou seja, A ou B. (A U B). 
 
 
 
▪ 𝑨∩𝑨=𝑨 
▪ 𝑨∪𝑩=𝑩∪𝑨 
▪ 𝑨∪(𝑩∪𝑪)=(𝑨∪𝑩)∪𝑪 
▪ Se 𝑨⊂𝑩, então 𝑨∪𝑩=𝑩 
▪ 𝑨∪∅=𝑨 
 
o A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que 
pertencem a A e não pertencem a B, ou seja os elementos que estão somente em A. 
(A – B). 
 
 
 
 
▪ Se 𝑨∩𝑩=∅, então 𝑨−𝑩=𝑨 e 𝑩−𝑨=𝑩. 
▪ 𝑨−𝑨=∅ 
▪ 𝑨−∅=𝑨 
▪ Se 𝑨⊂𝑩, então 𝑨−𝑩=∅. 
 
o Exemplo: 
▪ Sendo A = {0,1,2,3}, B = {2, 4, 6} e C = {1,2,3,4}, determine (A – B) U (B∩ C). 
● A – B = {0, 1, 3} 
● B∩ C = {2, 4} 
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● (A – B) U (B∩ C) = {2, 4} U {0, 1, 3} = {0, 1, 2, 3, 4} 
 
 
30. Propriedades da união e interseção 
 
o 𝑨∪(𝑨∩𝑩)=𝑨 
o 𝑨∩(𝑨∪𝑩)=𝑨 
o 𝑨∩(𝑩∪𝑪)=(𝑨∩𝑩)∪(𝑨∩𝑪) 
o 𝑨∪(𝑩∩𝑪)=(𝑨∪𝑩)∩(𝑨∪𝑪) 
 
31. Complementação 
 
o Consideremos dois conjuntos A e B, tais que 𝑨⊂𝑩. Chama-se complementar de 
A em relação a B o conjunto B – A, ou seja, o conjunto formado pelos elementos de B 
que não pertencem ao conjunto A. 
 
o Suponha que U seja o conjunto universo, em uma situação problema envolvendo 
os conjuntos A e B. Desta maneira, 𝐴⊂𝑈 e 𝐵⊂𝑈. O complementar do conjunto A em 
relação ao universo U é indicado por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32. Uso dos Diagramas de Venn para a solução de problemas envolvendo conjuntos 
 
o Esses digramas possuem um papel fundamental na organização de dados. 
A = A C = A' = { x e u j x £ A }
A l l B = A n B
A n B - A u e
A - B = A n B
A = A
A u A = U
A fi A = 0
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o As questões normalmente pedem alguma dessas informações. Então para 
resolver esse tipo de problema basta montar o diagrama. Lembrando sempre na hora 
de iniciar a resolução procurar qual valor é a intersecção e iniciar por ele. 
 
o Exemplo 
 
▪ Em uma sala de aula com 50 alunos, 20 gostam de português, 23 gostam de 
matemática e 5 gostam das duas matérias. Pergunta-se: 
A) quantos gostam somente de matemática? 
B) quantos gostam de matemática ou português? 
C) Quantos não gostam de nenhuma das matérias? 
 
• Montando o diagrama, sendo a intersecção 5 
 
• Assim, os que gostam só de matemática são 15, os que gostam de matemática 
ou português são 38 e os que não gostam de nenhuma matéria são 12. 
 
o Quando tivermos três informações podemos usar o mesmo processo, só que 
usando 3 diagramas. 
 
 
33. Conjunto dos Naturais (N), Inteiros (Z) e Racionais (Q) 
 
Conjuntos Numéricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total
Ncm A e nem B
A ou B
0 conjunto dos numeros naturais e representado pelo simbolo Basicamente,esse conjunto compreendera
aqueles numeros que surgem naturalmente" da necessidade de contar. Observe.
N = {0,1, 2,3, 4,5,6, ... }
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34. Conjunto dos Irracionais (I), Reais (R) e Complexos (C) 
 
 
Para obterrmos o tonjunto dos numeros inteiros, basta pegar os naturals e
adicionar os numeros negatives!
Z = -5,—4,-3 ,-2 ,-1, 0,1,2 , 2 , 4, 5 ,6, ... }
Chegamos aos conjuntos dos numeros racionais! O Q sera formado pelo conjunto dos numeros inteiros
mals os ’numeros quebrados"! Basicamente, dizemos que um numero e racional se ele pode ser
representado na forma de frasao! Perceba, portanto, que o conjunto dos inteiros e um subconjunto dos
racionais! TL C Q.
Normalmente, representamos o conjunto dos irracionais como IRL — Q ou simplesmente I. Lembre-se da
opera^ao Diferenga"que ja conhecemos! Sendo assim; IR — Q significa o conjunto formado pelos numeros
reais que nao sao numeros racionais! Mas o que seriam os numeros irracionais? Os numeros irracionais sao
todos os numeros que nao podem ser representados pela fra^ao de dois inteiros! Por exemplo,V2 e n sao
exemplos de numeros irracionais. Abaixo,vamos conhecer alguns numeros irracionais famosos!
- Pi O)
n * 3,141592 ...
- Razao de Ouro (ou Propor$ao Aurea)
Vs +l 1,613033 ...
Chegamos ao conjunto dos numeros reais! Esse conjunto engloba tanto o conjunto dos numeros racionais
quanto os numeros irracionais! Um numero real e o conjunto de todos os numeros que lidamos no nosso
dia a dia ... Nao importa se ele tern uma representa^ao decimal finita tal como os numeros 1, 5 e 10, 354
ou uma representagao decimal infinita como 1, 6666 ....e 3, 1415 .... Alem de representar o conjunto dos
numeros reais em um diagrama, tambem usamos uma reta! E a chamada reta real!
=1 0 -9 =8 =7 -6 =5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
H 1 t t f f I 1 1 * 4 +
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35. Problemas envolvendo Conjuntos Numéricos 
 
 
 
 
 
Vamos ficando por aqui. Esperamos que tenha gostado do nosso Bizu! Bons estudos! 
 
“Se não puder voar, corra. Se não puder correr, ande. Se não puder andar, rasteje, mas 
continue em frente de qualquer jeito”. (Martin Luther King) 
 
 Leonardo Mathias 
 @profleomathias 
- Urn numero compllexo e um numero "z" que possui a forma:
a,b US, e i = V —1z = a +
- Todo numero real e um numero complexo,mas nem todo complexo e um numero real.
- 0 eonjumto dos reais esta contido no conjunto dos complexes.
K c C
* A soma de numeros naturais e sempre um numero natural;
* A soma de numeros inteiros e sempre um numero inteiro;
* A soma de numeros racionais e sempre um numero rational;
* A soma de numeros reais e sempre um numero real.
• A subtra^ao de numeros iinteiros e um outro numero inteiro.
• A subtragao de numeros racionais e um outro numero racional.
• A subtragao de numeros reais e um outro numero real.
* A multiplicagao de dois numeros naturais e sempre um numero natural.
* A multiplicagao de dois numeros inteiros e sempre um numero inteiro.
* A multiplicagao de dois numeros racionais e sempre um numero racional.
* A multiplicagao de dois numeros reais e sempre um numero real.
* A divisao de dois numeros racionais sera sempre um racional.
* A divisao de dois numeros reais sera sempre um numero real.
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