Problemas de Combinações e Anagramas

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48. Problema: Qual é o resultado de \( \binom{35}{2} \)? 
 Resposta: 595 
 Explicação: \( \binom{35}{2} \) representa o número de combinações de 35 elementos 
tomados 2 a 2, e é calculado por \( \frac{35!}{2!(35-2)!} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 
595 \). 
 
49. Problema: Quantos anagramas da palavra "ABRA 
 
ÇADEIRA" têm todas as vogais juntas? 
 Resposta: 57600 
 Explicação: A palavra "ABRAÇADEIRA" tem 11 letras, então temos \( 10! \) arranjos 
possíveis para as letras restantes (vogais e consoantes separadas). No entanto, 'A' e 'A' 
podem trocar de lugar entre si, então dividimos esse número por 2. Portanto, \( 
\frac{10!}{2} = 1814400 \). Como as vogais devem estar juntas, temos que considerar 
'BRÇDR' como uma letra única, então temos \( 5! \) arranjos possíveis. Portanto, \( 5! = 120 
\). Multiplicando, temos \( 1814400 \times 120 = 217728000 \). Por fim, dividimos pela 
permutação das vogais, que é \( 2! = 2 \). Portanto, \( \frac{217728000}{2} = 108864000 \). 
 
50. Problema: Quantos números de 10 algarismos podem ser formados usando os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, se os algarismos pares devem estar juntos? 
 Resposta: 72576000 
 Explicação: Como os algarismos pares devem estar juntos, podemos considerá-los 
como um único algarismo. Portanto, temos 4 algarismos (0, 2, 4, 6, 8) e 6 espaços para 
preencher. Para o primeiro espaço, temos 4 opções (um dos algarismos pares), para o 
segundo 3 opções, para o terceiro 2 opções, para o quarto 1 opção, para o quinto 9 
opções (0 pode ser o primeiro algarismo agora) e para o sexto 8 opções. Portanto, \( 4 
\times 3 \times 2 \times 1 \times 9 \times 8 = 1728 \). Para os algarismos restantes, temos 
9 opções (0 não pode ser o primeiro algarismo), 8 opções, 7 opções, 6 opções, 5 opções, 
4 opções, 3 opções e 2 opções. Portanto, \( 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 
\times 3 \times 2 = 725760 \). Multiplicando esses resultados, temos \( 1728 \times 
725760 = 1254113280 \). 
 
51. Problema: Qual é o resultado de \( \binom{40}{2} \)? 
 Resposta: 780 
 Explicação: \( \binom{40}{2} \) representa o número de combinações de 40 elementos 
tomados 2 a 2, e é calculado por \( \frac{40!}{2!(40-2)!} = \frac{40 \times 39}{2 \times 1} = 
780 \).