Divisão Proporcional de Recursos

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Divisão em partes diretamente e 
inversamente proporcionais
PROF. MSC. WAGNER SANTIAGO DE SOUZA
Números Diretamente Proporcionais
Definição:
Os números a, c e e são diretamente proporcionais aos números b, d e f
(diferentes de zero), respectivamente, quando as razões
𝑎
𝑏
,
𝑐
𝑑
,
𝑒
𝑓
são todas iguais a
uma constante k, chamada constante de proporcionalidade. Assim, podemos
escrever:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
= k.
Números Inversamente Proporcionais
Os números a, c e e são inversamente proporcionais aos números b, d e f
(diferentes de zero), respectivamente, quando os produtos a × b = c × d = e × f
são todos iguais a uma constante k, chamada constante de proporcionalidade.
Assim, podemos escrever: a × b = c × d = e × f = k
Definição:
Divisão em partes diretamente proporcionais
 Ilustração: Em certo ano, o dono de uma loja dividiu uma
bonificação salarial de R$ 12.000,00 entre seus três vendedores, de
maneira proporcional à quantidade de anos de trabalho nessa loja,
como indicado no quadro a seguir.
Quantos reais de bonificação cada vendedor recebeu?
Vendedor Mel Raul Zeca
Quantidade de anos de trabalho 1 2 3
Divisão em partes diretamente proporcionais
 Solução da Ilustração: Para saber quantos reais cada vendedor
recebeu, precisamos dividir os R$ 12.000,00 em partes diretamente
proporcionais à quantidade de anos de trabalho de cada vendedor, ou
seja, aos números 1, 2 e 3.
Assim, chamando de x, y e z as quantias, em reais, recebidas por
Mel, Raul e Zeca, respectivamente, temos:
𝑥
1
=
𝑦
2
=
𝑧
3
= 𝑘
Assim:
𝑥
1
= 𝑘 → 𝑥 = 𝑘
𝑦
2
= 𝑘 → 𝑦 = 2𝑘
𝑧
3
= 𝑘 → 𝑧 = 3𝑘.
Divisão em partes diretamente proporcionais
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12000
Substituindo os valores de x, y e z, temos:
𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 = 12000
6𝑘 = 12000
𝑘 =
12000
6
𝑘 = 2000.
Logo, como 𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 2𝑘 e 𝑧 = 3𝑘, temos:
𝑥 = 2000, 𝑦 = 2 ∙ 2000 = 4000 e 𝑧 = 3 ∙ 2000 = 6000.
Portanto, Mel recebeu R$ 2.000,00, Raul recebeu R$ 4.000,00 e
Zeca recebeu R$ 6.000,00.
Divisão em partes diretamente proporcionais
 Exemplo: Um supermercado solicita mercadorias à fábrica de
acordo com a quantidade de produtos do estoque que foi vendida. O
entregador da fábrica transporta apenas 350 pacotes por vez, e as
entregas são feitas de forma diretamente proporcional à quantidade
de produtos que acabou no estoque. Sabendo que em um dia
esgotaram-se 20 pacotes de um produto A, 35 pacotes de um
produto B e 15 pacotes de um produto C, quantos produtos de cada
o entregador deverá levar ao supermercado?
Divisão em partes inversamente proporcionais
 Ilustração: No ano seguinte, o dono dessa loja decidiu dividir a
bonificação salarial de R$ 18.000,00 entre seus três vendedores, de
maneira inversamente proporcional à quantidade de faltas de cada
um deles naquele ano. As faltas estão indicadas no quadro a seguir.
Quantos reais de bonificação cada vendedor recebeu?
Vendedor Mel Raul Zeca
Quantidade de faltas 3 4 6
Divisão em partes inversamente proporcionais
 Solução da ilustração: Sejam x, y e z as quantias, em reais,
recebidas por Mel, Raul e Zeca, respectivamente. Como a divisão
aconteceu de maneira inversamente proporcional ao número de
faltas, temos:
𝑥 ∙ 3 = 𝑦 ∙ 4 = 𝑧 ∙ 6 = 𝑘
Desse modo:
𝑥 ∙ 3 = 𝑘 → 𝑥 =
𝑘
3
𝑦 ∙ 4 = 𝑘 → 𝑦 =
𝑘
4
𝑧 ∙ 6 = 𝑘 → 𝑘 =
𝑧
6
Assim
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18000
Divisão em partes inversamente proporcionais
Substituindo os valores de x, y e z, temos:
𝑘
3
+
𝑘
4
+
𝑘
6
= 18000
4𝑘
12
+
3𝑘
12
+
2𝑘
12
= 18000
9𝑘
12
= 18000
9𝑘 = 216000
𝑘 =
216000
9
𝑘 = 24000.
Logo, como 𝑥 =
𝑘
3
, 𝑦 =
𝑘
4
e 𝑧 =
𝑘
6
, temos:
𝑥 =
24000
3
= 8000, 𝑦 =
24000
4
= 6000 e 𝑧 =
24000
6
= 4000.
Portanto, Mel recebeu R$ 8.000,00, Raul recebeu R$ 6.000,00 e 
Zeca recebeu R$ 4.000,00.
Divisão em partes inversamente proporcionais
 Exemplo: (ENEM, 2019. Adaptada): Para contratar três máquinas
que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura
elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:
• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma Única máquina
para concorrer ao edital;
• O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três
máquinas é de R$ 31 000,00;
• O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à
idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente
edital.
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com
2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá cada empresa?