Aula 03 - Finanças BACEN 2024

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Aula 03
BACEN (Analista - Área 2 - Economia e
Finanças) Finanças - 2024 (Pós-Edital)
Autor:
Paulo Portinho
03 de Fevereiro de 2024
 1 
VERSÃO 1.0 - 01/02/2024 
Sumário 
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................... 2 
RENDA FIXA.............................................................................................................................................. 3 
1 - APREÇAMENTO DE INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA .................................................................... 3 
Tesouro prefixado (LTN)..................................................................................................................... 3 
Tesouro prefixado com juros semestrais (NTN-F) .............................................................................. 5 
Tesouro SELIC Pós-fixado LFT ............................................................................................................ 7 
Tesouro IPCA+ com juros semestrais NTN-B...................................................................................... 8 
Debêntures e títulos privados de dívida ............................................................................................ 11 
2 - HIPÓTESES DE EFICIÊNCIA DE MERCADO ..................................................................................... 12 
2.1 – Eficiência de Mercado .............................................................................................................. 12 
3 - RISCO E RETORNO ......................................................................................................................... 15 
3.1 – Tipos de retorno ....................................................................................................................... 15 
3.2 – Retornos esperados e seus riscos ............................................................................................. 24 
3.3 – Covariância e Correlação ......................................................................................................... 28 
3.4 – Conjuntos eficientes de ativos .................................................................................................. 31 
3.4 – Risco Sistemático e Não Sistemático ........................................................................................ 35 
4 - SECURITIES E CAPITAL MARKET LINE (SML / CML) ....................................................................... 38 
4.1 – O princípio do Risco Sistemático .............................................................................................. 38 
Lista de Questões ....................................................................................................................................50 
Questões comentadas com gabarito .......................................................................................................65 
ANEXO A - Generalização dos cálculos de covariância ......................................................................... 88 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Sobre essa aula 04 de Finanças para a BACEN pós-edital, abordaremos: 
 Teoria de Carteiras. 
 3.1 Risco e retorno. 
 3.2 Seleção de investimentos por média-variância. 
 3.3 Diversificação do risco. 
 3.4 Fronteira eficiente. 
 3.5 Funções de utilidade e aversão ao risco. (será tratado em aula extra) 
 3.6 Ativo livre de risco. 
 3.7 Custos de transações (será tratado na aula sobre duration e convexidade). 
 2 Eficiência de Mercado. 
 2.1 Tipos de eficiência.. 
Guia para o estudo desse material: 
 O aluno já deve ter visto cálculos básicos de precificação de instrumentos de renda fixa, e nesta 
aula vamos utilizar exemplos REAIS, tomando por base os títulos públicos, pois eles representam 
praticamente todos os modelos de fluxo de caixa (pós-fixado, prefixado, com cupom fixo e com 
cupom ajustado por indicador). 
 Discutiremos as hipóteses de eficiência de mercado. 
 Retomaremos o debate sobre Risco e Retorno, onde serão aprofundados os conceitos. 
 Retomaremos o estudo do CAPM para incluir os debates sobre a CML, SML os índices de Treynor e 
Sharpe. 
Tudo o que será discutido nessa aula se refere à moderna teoria de portfólio de Markowitz, e é conhecido 
como modelo de seleção de carteiras por média-variância, pois utiliza a média dos retornos como medida 
de desempenho e a variância como medida de risco. 
Mãos à obra! 
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RENDA FIXA 
 
1 - APREÇAMENTO DE INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA 
Em outras aulas, tratamos os instrumentos de renda fixa de forma genérica, apenas indicando como 
resolver casos teóricos, que não traziam a complexidade do mercado. 
Nesta aula, vamos trabalhar dados reais e estruturas reais de retorno para calcular o preço dos títulos. 
Faremos com títulos públicos, pois eles representam, praticamente, todas as estruturas de títulos de renda 
fixa que temos no mercado brasileiro (pós-fixado, prefixado e híbrido). 
Nessa aula, vamos precisar usar o treinamento que o aluno fez na aula de nivelamento sobre taxas 
equivalentes e desconto de fluxo de caixa futuro a valor presente. 
Tesouro prefixado (LTN) 
É o típico zero-coupon bond, ou seja, paga um valor fixo prometido no futuro (R$ 1.000 no caso da LTN, 
chamado de valor nominal VN). Seu valor para compra hoje, seria o Valor Nominal (VN), descontado à taxa 
de juros exigida. 
OBS! As datas dos títulos são antigas, mas não há mudança alguma nas fórmulas de cálculo. E as 
nomenclaturas estão atualizadas. 
Considere o seguinte: 
 A LTN com vencimento em 01/01/2019 valia R$ 711,38 em 11/04/2016. 
É importante notar que, no mercado brasileiro, e para esse tipo de título, costumamos usar o ano com dias 
úteis (252). 
Um site que ajuda bastante é o: http://www.dias-uteis.com/, porém é improvável que seja cobrado na prova 
um cálculo perfeito de dias úteis para períodos longos. 
Utilizando o site (e sem fazer ajustes específicos), vemos que seriam 689 dias úteis até o vencimento, onde 
receberíamos R$ 1.000. Qual seria a taxa de juros desse título? 
Por 689 dias receberíamos: 
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(1 + 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 
1.000
711,38
= 1,405718 
A rentabilidade esperada de quem mantiver o título pelos 689 dias úteis é de 40,57%. 
O retorno equivalente em anos seria: 
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑜) = (1,405718)
252
689 = 1,132644 
O resultado anual seria de 13,26%. 
OBS. perceba que para essa aula não estamos mais "revisando" matemática financeira, estamos indo direto 
aos cálculos. Já consideramos que o aluno treinou bastante nas aulas sobre precificação de fluxos de caixa. 
Essa taxa é a YTM (yield to maturity), aquela que o investidor receberá se mantiver o título até o vencimento 
(maturidade) em anos. 
E se o investidor quiser vender antes? Qual o retorno? 
Imagine que o investidor comprou esse título pois estava prevendo (apostando) uma queda na taxa de juros 
significativa nos próximos meses. Essa queda faria os preços subirem e o investidor ganhar com a 
especulação. 
Em 11/04/2016 o título foi comprado pelo investidor por R$ 711,38, referente a uma YTM de 13,26%. 
Agora imagine que em 11/05/2016, por hipótese, o YTM do título (sempre desconsiderando custos de 
transação nos exemplos) esteja em 12,54%, forte queda em relação aos 13,26% de um mês antes. 
Qual deveria ser o novo preço do título? 
Seriam 668 dias úteis até o vencimento (terá um mês a menos até o vencimento). 
𝑉𝑃 = 
1.000
(1 + 0,1254)
668
252
= 𝑅$ 731,13 
O investidor teria recebido R$ 19,75 (R$ 731,13 – R$ 711,38) em 21dias úteis (689 – 668 dias úteis). 
Qual o ganho percentual anual do investidor? 
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 +
19,75
711,38
)
252
21
= 1,3890 
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Perceba que uma mudança de 0,72% na taxa anual, em prazo tão curto, fez o retorno anual do título sair dos 
esperados 13,26%, para 38,90%. É claro que o retorno é para esse horizonte de tempo curto (21 dias úteis). 
E se o investidor ERRASSE sua previsão e a taxa subisse, por hipótese, para 13,88%? 
𝑉𝑃 = 
1.000
(1 + 0,1388)
668
252
= 𝑅$ 708,55 
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 −
2,83
711,38
)
252
21
= 0,9533 
O retorno seria de -4,67% ao ano. 
Veja que trabalhar com renda fixa não é nada simples e, mesmo que se tenha a garantia dos juros e do 
principal, qualquer mudança nos prazos de resgate ou nas curvas de taxas de juros pode levar a grandes 
lucros ou grandes prejuízos. 
Tesouro prefixado com juros semestrais (NTN-F) 
É um título que paga os mesmos R$ 1.000 no vencimento, porém tem cupons semestrais, à taxa de 10% ao 
ano, até o vencimento. Normalmente paga no dia 01/01 e no dia 01/07 de cada ano. 
Aqui cabe um parêntese importante. Esse tipo de título nos EUA, com definição de taxa de juros anual e 
pagamento em períodos menores (semestre, trimestre, mês, etc.) tem seu cupom calculado a base de juros 
simples. No caso dos 10% ao ano, pagos semestralmente, seria tão somente 5% ao ano. 
Mas a regra da NTN-F não é de juros simples (se fosse daria um fluxo maior), é por juros compostos, ou 
seja, a taxa ao semestre seria: 
𝑖 = (1 + 10%)
1
2⁄ − 1 = 4,8809% 
Esse título é melhor entendido a partir de uma planilha dos seus retornos. Sempre é recomendado que o 
aluno refaça todos os cálculos que estamos mostrando aqui. 
Vamos trabalhar com uma NTN-F com vencimento em 01/01/2027. 
A fórmula de seu valor, já vista em aulas anteriores, é a seguinte (valor presente de obrigações com cupons 
constantes): 
 
𝑉𝑃 = 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)1
+ 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)2
+ … + 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)𝑡
+ 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑒
(1 + 𝑖)𝑡
 
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Os juros (YTM) desse título no dia 11/04/2016 eram de 13,63%. 
Qual o valor do título? 
Não tem jeito, temos que calcular o fluxo de caixa e trazê-lo a valor presente. 
Data Fluxo Dias úteis VP (13,63%)
11/4/2016 VP = ? 828,84 
1/7/2016 48,81 54 47,49 
1/1/2017 48,81 183 44,48 
1/7/2017 48,81 309 41,73 
1/1/2018 48,81 435 39,15 
1/7/2018 48,81 562 36,71 
1/1/2019 48,81 689 34,42 
1/7/2019 48,81 815 32,29 
1/1/2020 48,81 942 30,27 
1/7/2020 48,81 1069 28,39 
1/1/2021 48,81 1198 26,59 
1/7/2021 48,81 1322 24,97 
1/1/2022 48,81 1451 23,39 
1/7/2022 48,81 1577 21,94 
1/1/2023 48,81 1705 20,56 
1/7/2023 48,81 1830 19,30 
1/1/2024 48,81 1958 18,09 
1/7/2024 48,81 2085 16,96 
1/1/2025 48,81 2211 15,91 
1/7/2025 48,81 2337 14,92 
1/1/2026 48,81 2466 13,98 
1/7/2026 48,81 2591 13,12 
1/1/2027 1.048,81 2719 264,21 
Obs. Os dias úteis são estimados por fórmulas do excel, talvez haja diferenças pequenas com os feriados 
reais previstos até 2027, mas isso não interfere no que estamos estudando. 
O valor presente dos fluxos futuros seria de R$ 828,48. Perceba que, mesmo o título sendo bem mais longo 
que a LTN do exemplo anterior, vencendo apenas em 2027, ele custa mais caro, pois paga cupons regulares 
a cada semestre. 
Imaginemos agora que os juros tivessem caído os mesmos 0,72% da LTN 2019. Iríamos para 12,91%. O valor 
do título (substituindo a taxa na planilha de excel) seria de R$ 862,60. 
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Perceba que o ganho é maior do que os R$ 19,75 da LTN, mas não podemos comparar os títulos, pois o fluxo 
é bem maior do que os R$ 1.000,00 da LTN. Isso é visto com mais atenção em aulas de duration e 
convexidade para comparar esses títulos. 
Para calcular os ganhos de curto prazo, são os mesmos cálculos da LTN, pois o que importa, de fato, é por 
quanto compramos e por quanto vendemos, e o prazo em que auferimos esse lucro ou prejuízo. 
Tesouro SELIC Pós-fixado LFT 
É um título que deve apresentar menos oscilação, pois o valor futuro NÃO está fixado. Você paga pelo 
título hoje e deve levar a variação da taxa SELIC até o vencimento, ou até a venda do título. 
É, portanto, difícil antecipar o valor futuro e a rentabilidade do título, pois dependerá da política de juros do 
COPOM/BACEN. 
Para termos base de preço, o Tesouro Nacional estabeleceu que uma unidade do Tesouro Selic (LFT), 
equivalia a R$ 1.000,00 em 1° de julho de 2000, (chamada de data‐base), e deverá ser atualizada pela 
variação da taxa SELIC diária até o dia em que a precificação do título é feita. 
Ao valor encontrado na tabela, definido como Valor Nominal Atualizado (VNA), existe a possibilidade de 
haver ágio ou deságio de acordo com condições de mercado. 
Sobre o ágio e deságio na LFT / Tesouro SELIC 
O Tesouro Selic possui dois componentes que afetam a sua rentabilidade. O primeiro é a taxa de juros Selic, 
que diariamente incrementa o valor do título. Já o segundo é uma taxa fixa, chamada no mercado de ágio ou 
deságio, que é acrescentada à taxa de juros Selic. Por exemplo, se a taxa fixa é +0,02, a rentabilidade do 
investidor será a Taxa Selic + 0,02 ao ano, se o investidor carregar o título até o vencimento. 
As alterações nessa taxa fixa causam variações nos preços do Tesouro Selic, influenciando sua rentabilidade 
total em caso de resgate antecipado. Ou seja, o Tesouro Selic está sujeito à marcação a mercado, a 
atualização do valor pelo seu preço de mercado dada às forças de oferta e demanda pelo título. 
Vale relembrar que, na marcação a mercado, o preço e a taxa do título possuem relação inversa, ou seja, 
quando a taxa fixa aumenta o preço de mercado do título cai. 
Assim, quando essa taxa é positiva, o Tesouro Selic está sendo negociado com deságio em relação ao preço 
quando a taxa fixa é zero. Em outras palavras, o preço de mercado do título para venda antecipada está 
inferior ao valor do título quando consideramos que este é remunerado apenas pela taxa Selic. 
Já se a taxa é negativa, tem-se um título que está sendo negociado com ágio, portanto, a taxa negativa 
valoriza os papéis. 
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Esse ágio e deságio existe, pois as taxas dos títulos são definidas com base nas taxas transacionadas no 
mercado secundário de títulos públicos, onde as instituições financeiras compram e vendem títulos todos os 
dias. Em alguns momentos a volatilidade deste mercado, altera a taxa fixa do Tesouro Selic e dos demais 
títulos do Programa Tesouro Direto. 
Para exemplificar, peguemos a SELIC diária para o dia 11/04/2016, que era de 0,052531% 
(https://www.bcb.gov.br/htms/SELIC/SELICdiarios.asp?frame=1), o VNA desse mesmo dia, em R$ 7.673,84, e 
um ágio de -0,2%. 
O cálculo do VNA do dia seguinte será a aplicação da SELIC prevista de 1 dia, ajustado pelo ágio ou deságio. 
Quala taxa? 
(1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙) = (1 + 0,00052531)
1
1 = 1,00052531 
O Valor Nominal Projetado seria: 
𝑉𝑁𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑎𝑑𝑜 = 7.673,84 × 1,00052531 = 7.677,8711 
Para o cálculo do ágio é necessário calcular um multiplicador para aplicar ao VN Projetado. Como se segue: 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑎çã𝑜) = 
100
(1 + 𝑇𝐴𝑋𝐴)
𝐷𝑖𝑎𝑠 ú𝑡𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑡é 𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑒)
252
 
O título analisado vence em 01/03/2021, de forma que faltariam 1.237 dias úteis para seu vencimento (a 
partir do dia seguinte, 12/04/2016). Perceba que esse ágio/deságio afeta o valor presente do título, mas 
desconta até o momento do vencimento. 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑎çã𝑜) = 
100
(1 − 0,002)
1.237
252
= 100,9876% 
O valor (Preço) efetivamente negociado deverá ser: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 7.677,8711 × 100,9876% = 7.753,70 
Tesouro IPCA+ com juros semestrais NTN-B 
É um título de cálculo bem complicado. Tem juros prefixados, tem taxa interna de retorno, tem fator de 
correção (cotação) etc. 
A estrutura de pagamento se dá como no diagrama abaixo, encontrado no site do Tesouro Nacional. 
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Perceba que há pagamento de cupom (6% ao ano), porém não é sobre R$ 1.000, mas sobre um valor 
atualizado pelo IPCA. 
Para cálculo do VNA (Valor Nominal Atualizado) utiliza o valor de R$ 1.000 na data-base 15/07/2000. Seu 
ajuste, porém, não é diário como o da SELIC (o que facilita bastante o cálculo), mas é mensal, atualizado 
pela variação mensal do IPCA 15, divulgada entre os dias 10 e 15 de cada mês. 
Dessa forma, como nem sempre se compra o título exatamente no dia da correção, haverá um VNA 
projetado, para incorporar a correção pela inflação dos dias que se passaram deste a última correção. 
Imagine um título que seria comprado no dia 25/02/2016 (passado). 
O cálculo do VNA, segundo modelo divulgado pelo TN, seria: 
𝑉𝑁𝐴 = 1.000 ×
𝑁ú𝑚. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼𝑃𝐶𝐴 15 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑣. 2016
𝑁ú𝑚. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼𝑃𝐶𝐴 15 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑙. 2000
 
Estes valores nós retiramos dos sites de mercado (ANBIMA) ou do IBGE (se algo for pedido na prova, 
provavelmente os dados serão fornecidos). 
Temos: 
 Núm.Índice IPCA 15 de fev.2016 = 1.614,62 
 Núm.Índice IPCA 15 de jul.2000 = 4.591,18 
𝑉𝑁𝐴 = 1.000 ×
4.591,18
1.614,62
= 2.843,50 
Há, porém, 10 dias corridos entre o IPCA calculado para o dia 15 de fevereiro e a compra do título. 
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O cálculo do VNA ajustado leva em consideração a projeção disponível (prévias) do IPCA de março de 2016. 
Consideremos, por hipótese, que seja de 0,88%. 
Temos: 
𝑉𝑁𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗. = 𝑉𝑁𝐴 × (1 + 𝐼𝑃𝐶𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗.)
# 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑜𝑐𝑖𝑎çã𝑜 𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙
# 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 
Entre o dia 25/02/2016 e o dia 15/02/2016 temos 10 dias corridos e 29 dias corridos entre 15/03/2016 e 
15/02/2016. 
Teríamos: 
𝑉𝑁𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗. = 2.843,50 × (1 + 0,88%)
10
29 = 𝑅$ 2.852,11 
Não havia, quando fizemos esse exercício, precificação disponível nos sites para títulos curtos de IPCA com 
cupom, mas, para facilitar os cálculos, vamos considerar que esse título para o qual calculamos o VNA vença 
em 15/05/2019. 
É claro que esse não será o valor do título, pois há considerações sobre as taxas efetivas de juros pagas por 
esse título no mercado. 
Do site da receita temos a fórmula para cálculo da “cotação” ou do fator de correção pela taxa de juros do 
título: 
 
Onde a taxa anual do cupom é 6% e a TIR é a taxa efetiva prometida ao título (acima da inflação), caso 
levado ao vencimento. 
Imagine que essa taxa estivesse em 7,5% (essa é aquela taxa a mais do que o IPCA, por exemplo, IPCA + 
7,5%, não é o YTM do título). 
Vejamos o cálculo: 
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Data (1+cupom)0,5 -1 Dias úteis VP (7,5%)
25/02/16 VP = ? 0,97460 
15/05/16 0,029563 53 0,02912 
15/11/16 0,029563 182 0,02806 
15/05/17 0,029563 308 0,02706 
15/11/17 0,029563 435 0,02609 
15/05/18 0,029563 561 0,02517 
15/11/18 0,029563 689 0,02426 
15/05/19 1,029563 815 0,81484 
Esses 2,9563% nada mais são do que a taxa equivalente semestral de 6% ao ano (em juros compostos). 
O fator de correção estaria em 0,97460, levando o preço do título a: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 2.852,11 × 0,97460 = 2.779,66 
Caso a taxa de juros estivesse em 4,5% (expectativa de queda dos juros no futuro), teríamos: 
Data (1+cupom)0,5 -1 Dias úteis VP (4,5%)
25/02/16 VP = ? 1,05931 
15/05/16 0,029563 53 0,02929 
15/11/16 0,029563 182 0,02864 
15/05/17 0,029563 308 0,02801 
15/11/17 0,029563 435 0,02740 
15/05/18 0,029563 561 0,02680 
15/11/18 0,029563 689 0,02621 
15/05/19 1,029563 815 0,89295 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 2.852,11 × 1,05931 = 3.021,27 
Perceba que, sempre trabalhamos com a mesma estrutura de pagamento de cupons. Isso é como se 
estivéssemos calculando o VP para um título de R$ 1,00. 
Debêntures e títulos privados de dívida 
O formato mais comum de debêntures distribuídas no exterior é do tipo renda fixa típica, com promessa de 
pagamento de juros contratuais fixos e devolução do principal após a maturidade. 
Aqui no Brasil é mais comum, dadas as variações de curva de juros, variações nos índices de inflação que as 
empresas captem com títulos de dívida atrelados ao CDI, Selic ou IPCA. 
A fórmula de cálculo, quando não é idêntica, é muito semelhante ao que encontramos para títulos públicos, 
de forma que não será necessário apresentá-las. 
 
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2 - HIPÓTESES DE EFICIÊNCIA DE MERCADO 
2.1 – Eficiência de Mercado 
A hipótese dos mercados eficientes 
A hipótese dos mercados eficientes (HME) nos diz que os mercados de capitais organizados são eficientes 
pelo menos no que diz respeito a questões práticas e objetivas. 
Quem defende a eficiência dos mercados costuma argumentar que, ainda que haja imperfeições, o mercado 
muito rapidamente se ajusta para corrigir eventuais distorções de preços. 
Se um mercado é eficiente, há uma implicação muito importante para seus participantes: 
 Todos os investimentos têm valor presente líquido igual a zero. Em outras palavras, não há 
espaço para arbitragem (ganhos excessivos sem risco), os investimentos estariam avaliados a 
seus preços justos. 
Na prática imagine o seguinte. Todos os participantes têm o mesmo software de cálculo do preço justo dos 
títulos. Imagine que um título só seja sensível às taxas de juros do governo (taxa SELIC, por exemplo). Ao 
término da reunião do COPOM, o governo resolve baixar as taxas em 1%, bem mais do que a expectativa 
do mercado. 
O que farão os investidores? Colocarão esse novo parâmetro em seus softwares de precificação e verão que 
o título, que ontem fechou valendo R$ 1.400,00, deveria valer, com as novas taxas de juros, R$ 1.500,00. 
Esse é o resultado “racional” para o título e é o resultado que todos os players do mercado, após a decisão 
do COPOM, teriam. 
O título abriria a quanto, no dia seguinte? 
Se alguém quisesse comprar por R$ 1.400,00, conseguiria? 
Se alguém quisesse vender a R$ 1.550 conseguiria? 
Não é assimque funciona REALMENTE o mercado. Há milhares de cálculos diferentes, interesses 
diferentes, premissas diferentes, assumidos por investidores diferentes que farão o preço se ajustar dentro 
do que é considerado mais razoável. 
Mas num mercado EFICIENTE, em tese não haveria espaço para valores diferentes que R$ 1.500,00, pois 
todos os players iriam agir no sentido de pagar, ou receber, apenas o que é justo por aquele título. 
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O que faria, na prática, um mercado ser EFICIENTE é a concorrência livre e acirrada entre os investidores. 
O acesso a ferramentas cada vez mais rápidas, inclusive com robôs (softwares) comprando e vendendo, 
dando muita liquidez aos papéis, fará com que as ações, na média, não fujam demais ou por muito tempo 
de seus valores justos (teóricos ou intrínsecos). 
É importante colocar que estamos falando de uma HIPÓTESE. Ainda que não seja possível provar que o 
mercado seja 100% eficiente, nesse sentido de não permitir arbitragem, é possível utilizar a hipótese de 
eficiência para derivar muitas teorias relevantes para o mundo das finanças. 
As formas de eficiência do mercado 
É comum dividir a eficiência do mercado em três formas. Dependendo do grau de eficiência, dizemos que 
os mercados são eficientes na forma fraca, forma semi-forte ou forma forte. 
Essas variações referem-se, eminentemente, à forma como a informação se reflete nos preços dos ativos. 
Na forma forte, as cotações dos ativos devem refletir TODA a informação, pública ou privada, de forma que 
ninguém deverá conseguir obter retornos excessivos (condições para arbitragem). 
Como toda a informação está disponível, pressupõe-se que não há informação privilegiada de posse de 
participantes do mercado (inside information). 
Na forma semiforte, as cotações se ajustariam muita rapidamente à nova informação PÚBLICA disponível, 
de forma que, com base NESSAS informações, não há espaço para ganhos excessivos. 
A forma semiforte significaria que nem a análise fundamentalista (dados da empresa) nem a análise técnica 
(gráficos de preços) conseguirão produzir retornos excessivos. 
Para “bater o mercado”, seria necessário atuar com informações não públicas (o que é ilegal no nosso 
mercado, atuar com informação privilegiada). 
Na forma fraca entende-se que, pelo menos, os preços atuais das ações refletirão as informações dos preços 
passados. 
A análise técnica (que busca padrões gráficos nos preços) não deverá ser capaz de produzir retornos 
excessivos, embora algumas formas de análise fundamentalista ainda possam oferecer retornos excessivos 
(melhor leitura das informações de balanço, melhor capacidade de projeção, por exemplo) 
Apesar de serem formulações teóricas, o que se verifica no mercado? 
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Primeiro, parece bastante óbvio que os preços se ajustam rapidamente a novas informações. Ainda que 
TODOS não saibam ao mesmo tempo, muitos, com acesso a excelentes ferramentas, terão acesso, o que 
será suficiente para “fechar” o gap que permitiria a arbitragem (possibilidade de ganhos excessivos). 
As práticas de compra e venda com robôs (high frequency trading), parecem tentar ganhar “no tempo”. Mas, 
como há robôs competindo com robôs, o mercado continuará se ajustando rápido. Talvez ainda mais 
rápido. 
Segundo, os preços futuros de mercado, principalmente no curto prazo, são extremamente difíceis de 
prever com base em informações públicas disponíveis. 
Terceiro, continua sendo extremamente difícil identificar ativos avaliados erroneamente, ou seja, não é fácil 
“bater o mercado”. 
O histórico mostra que, para um elevado número de fundos ativos (gestores ativos), pouquíssimos batem o 
mercado regularmente. E, os que batem, muitas vezes têm influência relevante no mercado que bateram. 
 
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3 - RISCO E RETORNO 
OBS! Para os alunos que já estudaram o Capital Asset Pricing Model (CAPM), o início desse capítulo traz 
uma repetição daquele conteúdo. Preferimos manter esse conteúdo na íntegra aqui também, por questões 
didáticas e para o aluno não ter que deixar 2 PDFs abertos para entender a teoria. 
3.1 – Tipos de retorno 
Retorno absoluto e percentual 
Imaginemos uma cota de fundo de investimento imobiliário comprado no início do mês por R$ 1.500. No 
dia 15 ele informa que pagará no final do mês (dia 30) o equivalente a R$ 16,50 referentes aos aluguéis do 
mês. 
No dia 30, você recebe os R$ 16,50 e vende a cota do fundo a R$ 1.573,50. 
Fundos de investimento imobiliário focados em aluguéis de lajes corporativas (escritórios) são como 
imóveis, porém com negociação em bolsa e possibilidade de vender pequenas parcelas do 
empreendimento, representadas pelas cotas. Por isso é normal que inicie o mês valendo R$ 1.500 e termine 
valendo 1.550 ou R$ 1.430. 
 Qual o retorno total desse investimento? 
 Em R$ (retorno absoluto) seria: 
 R$ 16,50 + R$ 1.573,50 – R$ 1.500 = R$ 90,00. 
 Em percentual temos: 
 R$ 90,00 ÷ R$ 1.500 = 0,06 = 6%. 
Nesse caso, como o período foi exatamente 1 mês, o retorno seria de 6% ao mês. 
Ainda que você não vendesse a cota do fundo, seu retorno seria de 6%, pois poderia vender. E seu 
patrimônio, naquele dia, seria de R$ 1.590,00, independente de vender ou não. 
Mas há uma diferença conceitual (e tributária) nos retornos provenientes dos dividendos (ou aluguéis) e do 
ganho de capital nas cotas. 
Enquanto o fundo distribui rendimentos provenientes de aluguéis, isentos de Imposto de Renda para 
pessoas físicas pela atual legislação (janeiro de 2024), ações distribuem dividendos (ou juros sobre capital 
próprio). 
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Dividendos, até a presente legislação (janeiro de 2024), não são tributados. Juros sobre o capital próprio 
(JSCP), que é outra forma de distribuir o lucro, são tributados em 15% para pessoas físicas, mas o investidor 
só “vê” o resultado líquido. 
Já o ganho de capital (exceto por algumas regras específicas para ações) costuma ser tributado em 20% do 
ganho de capital, para FII, e 15% para ações (janeiro 2024). 
 Qual seria o retorno com dividendos/aluguéis: 
 R$ 16,50 ÷ R$ 1.500 = 0,011 = 1,1%. 
No caso dos aluguéis teríamos um rendimento de 1,1%. Se fossem dividendos ou JSCP líquidos, teríamos 
1,1% de DIVIDEND YIELD. 
Já o ganho de capital seria: 
 R$ 73,50 ÷ R$ 1.500 = 0,049 = 4,9%. 
Sendo mais preciso, se for necessário pagar o imposto sobre ganho de capital (vai depender de uma série 
de variáveis, prejuízos a compensar etc.) teríamos: 
 Imposto = R$ 73,50 x 0,20 = R$ 14,70 
 Ganho de capital = R$ 58,80 ÷ R$ 1.500 = 0,04165 = 3,92%. 
Em resumo, em investimento em ações, títulos de dívida e até em projetos de investimento, temos o ganho 
com dividendos e o ganho de capital. 
Retornos históricos 
O retorno das ações brasileiras é medido pelo Índice Bovespa (B3). Esse índice é interessante, pois traz uma 
percepção da evolução do valor de uma carteira de ações ao longo dos anos. 
O pressuposto é de que os dividendos recebidos são reinvestidos nas mesmas ações. O Ibovespa é o que 
chamamos e um Índice de Retorno Total. 
Não é necessário analisar o modo de cálculo do índice Bovespa (IBOV) para os objetivos deste curso, mas é 
um material facilmente acessível pelo site da B3. 
Em finanças, infelizmente, o histórico de dados do mercado brasileiro é, praticamente, negligenciado. 
Todos os modelos, no Brasil e em outras partes do mundo, partem de parâmetros de mercados mais 
maduros, como o dos EUA por exemplo. 
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Como há milhares de empresas e títulos listados nas bolsas americanas, com dados precisos de mais de 100 
anos, as estatísticas são menos viesadas e são consideradas como indicadores melhores para os 
desempenhos da bolsa de valores e do mercado de dívida privada. Mesmo para ações brasileiras. 
Aqui no Brasil, por conta do histórico de hiperinflação, das elevadíssimas taxas de juros e da falta de 
investimento na iniciativa privada, os históricos de bolsa ficam prejudicados. 
Não é raro reportagens mostrando que a bolsa perdeu da renda fixa (títulos do governo) em rentabilidade 
nos últimos 10, 15, 20 anos. 
Isso é algo sem sentido em finanças, pois se a bolsa tem risco bem maior do que os títulos públicos de dívida, 
evidentemente esses títulos deveriam dar retornos menores. 
Ficará claro, mais adiante, o uso desses históricos para calcularmos as taxas de desconto dos fluxos de caixa 
dos projetos de investimento. 
Históricos de inflação, títulos públicos e privados e ações. 
Precisaremos utilizar dados históricos do mercado americano para ilustrar adequadamente a teoria. Basear-
nos-emos na 9ª edição do livro de Finanças Corporativas do Ross, Westerfield and Jaffe. 
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Os dados no gráfico indicam que, quem investiu US$ 1 em 1925 teria US$ 20,19 se tivesse investindo em 
títulos públicos de curto prazo, US$ 78,78 se tivesse investido em títulos públicos de longo prazo. E, 
respectivamente, US$ 3.246 e US$ 15.091 se tivesse investido em ações de empresas grandes e ações de 
empresas de baixa capitalização (pequenas ou small caps). 
Se plotássemos um gráfico desses no Brasil, a partir de 1968, quando iniciou o índice Bovespa teríamos 
umas 5 mudanças de moeda, corte de zeros e, possivelmente, os retornos da renda fixa seriam maiores do 
que os retornos nas ações. 
E isso transcende a lógica financeira. 
No gráfico norte americano, fica evidente o comportamento racional dos agentes financeiros. 
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Enquanto a inflação levou o que custava US$ 1,00 em 1925 a custar US$ 11,72 em 2007, quem investiu no 
título de menor risco (públicos de curto prazo) teve retorno um pouco maior (US$ 20,19), protegendo o 
poder de compra e tendo um pequeno ganho adicional. 
As ações de empresas pequenas são mais arriscadas do que as gigantes, por isso deram um retorno maior. 
Aqui a lógica de risco maior, retorno exigido maior, cabe perfeitamente. Por isso os dados do mercado 
americano são usados MESMO quando estamos fazendo laudos de avaliação para empresas brasileiras, 
sem negociação em bolsas no exterior, ou mesmo no Brasil. 
Algo que fica bastante claro no gráfico são as altas e baixas na bolsa. Perceba os resultados em torno do 
Crash de 1929 e do choque do petróleo na década de 1970. Também a queda forte no início dos anos 2000, 
por estouro da bolha da internet. 
Dá para perceber também que a oscilação é maior para ativos de maior risco, menor para ativos de menor 
risco. 
Retornos médios 
Se pegarmos todos os retornos anuais de cada um dos grupos de ativos, a média seria, tão somente, a 
divisão do resultado da soma de todos os retornos anuais, pelo número de anos (82 anos no exemplo). 
O aluno mais atento deve estar se perguntando se não deveríamos fazer uma média geométrica dos 
retornos (pois são juros compostos). Mas isso não é pertinente ao caso em questão. 
Estamos trabalhando as estatísticas de um conjunto de observações. O que nos interessa é a média 
aritmética básica, pois não estamos tratando dos returnos acumulados, apenas das médias dos retornos 
anuais. Não queremos aqui saber qual o ganho percentual de quem investiu em 1925 e guardou até hoje, 
mas sim queremos saber os retornos de CADA ANO para tirar a média e fazer um histograma. Queremos 
uma distribuição de frequências desses retornos. 
O gráfico abaixo (histograma) é interessante, pois mostra os resultados dentro dos intervalos de alta e baixa. 
Perceba que em 1931 tivemos retorno negativo inferior a -40%, assim como em 1937 chegamos a resultados 
negativos de menos de -30%. 
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Já 1933 e 1954 foram anos com alta superior a 50%. O intervalo com mais retornos observados foi entre 20% 
e 30%, com 15 observações. 
Percebe-se grande oscilação entre esses retornos, indicando o risco elevado de se investir em ações. 
Mas algo salta aos olhos, a figura formada aproxima-se de uma curva normal (gaussiana), o que indica ser 
semelhante a uma distribuição probabilística normal. E se considerarmos que essa distribuição de 
frequências se aproxima de uma curva normal, sabemos como fazer estatísticas bem interessantes, a partir 
da média (retorno) e do desvio-padrão (risco). 
A média global dos retornos dos ativos estudados é a seguinte: 
Investimento Ret. Médio
Ações de grandes empresas 12,30%
Ações de pequenas empresas 17,10%
Títulos privados de divida Longo Prazo 6,20%
Títulos públicos de divida Longo Prazo 5,80%
Títulos de dívida de curto prazo (risk free) 3,80% 
O ativo livre de risco, que tem o fluxo de caixa menos arriscado (volátil), é o Treasure Bill, título público norte 
americano de curto ou médio prazos (vai depender do método utilizado). 
Prêmio de risco 
A lógica em finanças, creio que ninguém pode discordar, é a seguinte: só aceito investir em um ativo de 
maior risco se tiver oportunidade de ter melhor retorno. 
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E isso se verifica na prática, no mercado Norte Americano e na maioria dos mercados maduros. 
Como dito, a maioria dos analistas que avaliam empresas brasileiras utiliza os dados americanos e ajusta 
pelo risco Brasil e pela diferença de inflação esperada entre os países. 
A convenção em finanças é tratar os títulos do tesouro americano como o ativo alternativo SEM RISCO (risk 
free asset). Mesmo que os EUA tenham perdido a nota AAA em tempo não tão distante, os T-Bills ainda são 
considerados o benchmark (parâmetro) para o “risk free asset”. 
Dessa forma, quando comparamos os outros ativos, com retornos maiores, com os T-Bills, temos os 
seguintes “prêmios de risco”: 
Investimento Ret. Médio Prêmio de Risco
Ações de grandes empresas 12,30% 8,50%
Ações de pequenas empresas 17,10% 13,30%
Títulos privados de divida Longo Prazo 6,20% 2,40%
Títulos públicos de divida Longo Prazo 5,80% 2,00%
Títulos de dívida de curto prazo (risk free) 3,80% 0,00% 
Para investir em ações de grandes empresas, o prêmio pelo risco incorrido foi, em média, de 8,5% ao longo 
dos 82 anos. 
Para investir em ações de pequenas empresas o prêmio de risco foi de 13,3% ao longo dos anos. 
É importante notar que não estamos falando de algo “milagroso”, 
que acontece por acaso. 
É evidente que o investidor racional toma riscos consciente do que está fazendo. Dessa forma ele, ao 
comprar suas ações, analisa seus fundamentos e compra apenas se considera barato e vende se considera 
que está caro. 
Na verdade, essa média é o resultado das ações racionais de milhões de players ao redor do mundo. É 
razoável entender porque os retornos fazem tanto sentido, em relação aos riscos. Não é algo “milagroso”, 
é fruto de bilhões de interações entre os agentes financeiros racionais. Ainda que haja muita irracionalidade 
e chute, na média teremos resultados adequados. 
A dispersão dos retornos e o risco dos ativos 
Risco é algo mal interpretado em finanças. Normalmente associamos a “perder dinheiro”,mas, na verdade, 
trata-se da chance de fugir da média. 
Ninguém investiria em um ativo que tivesse 10% de chance de dar o retorno da poupança, 40% de chance 
de dar o retorno entre 0% e o da poupança e 50% de dar retorno menor que 0%. 
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Por que investir em algo que pode cair, se o título sem risco (nesse caso a poupança) já daria o retorno máximo 
desse ativo? Não existe esse ativo, pois o mercado racionalmente não o compraria. 
Agora, se tivéssemos 20% de chance de ganhar 40% a mais do que na poupança, 40% de performar como 
a poupança e 20% de chance retorno nulo, esse ativo existiria e haveria compradores (o preço dependerá 
da demanda sobre o título). 
O cálculo do “risco” é, essencialmente, o cálculo dos desvios 
padrões das observações de retorno. 
Vamos fazer um exemplo curto para nos habituarmos com as contas. Imagine um investimento que 
apresentou os seguintes retornos para os 4 últimos anos: 
Ret %
Ano 1 22,00%
Ano 2 15,00%
Ano 3 -4,00%
Ano 4 9,00% 
A média desses retornos é: 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑅𝑖
𝑛
1
=
(0,22 + 0,15 + (−0,04) + 0,09)
4
= 0,105 = 10,5% 
A fórmula da variância para essa amostra de resultados é: 
𝑉𝑎𝑟(𝑅) =
1
𝑛 − 1
∑(𝑅𝑖 − �̅�)2
𝑛
1
 
Perceba que dividimos por (n-1) e não por n, pois estamos trabalhando com estatísticas da amostra. Não é 
relevante para esse curso discutir as diferenças estatísticas entre amostra e universo. 
Explicando essa fórmula, calculamos os desvios em relação à média (Ri - Rmédio). Por exemplo, 22% menos a 
média 10,5%, daria 11,5%. O problema de pegar esse desvio e somar todos para saber o desvio médio é que 
há desvios negativos, como por exemplo -4% - a média 10,5%, daria -14,5%. Somando ambos, daria -3,5% 
e não daria uma estimativa correta do desvio. Por isso elevamos ao quadrado, de forma que todos os 
resultados serão POSITIVOS e teremos uma média dos desvios ao quadrado. 
Retomando os dados planilhados: 
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Ret % Desvio Desvio2
Ano 1 22,00% 11,50% 0,013225
Ano 2 15,00% 4,50% 0,002025
Ano 3 -4,00% -14,50% 0,021025
Ano 4 9,00% -1,50% 0,000225
Totais 42,00% 0,0365
Média 10,50% 0,009125 
Teremos: 
𝑉𝑎𝑟(𝑅) = 𝜎2 =
1
4 − 1
∑(𝑅𝑖 − 10,5%)2 =
𝑛
1
 
1
3
× 0,0365 = 0,01217 
Esse é o desvio ao quadrado, mas para sabermos o desvio na mesma medida do retorno (percentual), 
calculamos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância: 
𝜎 = √0,01217 = 0,1103 = 11,03% 
Observe a figura abaixo: 
 
Lembra quando falamos que assumir que a distribuição é aproximadamente normal nos traz muito 
conhecimento sobre os dados? Veja. 
Olhando apenas os números, em princípio, parece que o cálculo diria muito pouco sobre essa base de dados, 
mas o significado do desvio padrão, em distribuições aproximadamente normais (gaussianas), é bem claro 
e nos permite muitas inferências sobre as estatísticas derivadas da média e do desvio padrão. 
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A lógica é a seguinte, em torno da média, 68% das observações cairão entre o intervalo de -1 a +1 desvio-
padrão, 95% das observações cairão entre o intervalo de -2 a +2 desvios-padrão e 99% das observações 
cairão entre o intervalo de -3 a +3 desvios-padrão. 
É claro que temos pouquíssimas observações no exemplo e isso não vai se verificar, mas funciona em bases 
de dados mais robustas, como a que estamos trabalhando, a respeito dos retornos no mercado Norte-
Americano. 
Ainda do livro do Ross, extraímos a seguinte figura: 
 
Fica evidente que os riscos (desvios) são mais elevados para as ações e menos para os títulos de renda fixa 
(públicos ou privados), basta ver a dispersão dos retornos. 
3.2 – Retornos esperados e seus riscos 
Vamos tratar dos retornos esperados para vários cenários possíveis e para uma carteira diversificada de 
ativos. Mas antes de tratarmos da carteira diversificada, calculemos o retorno esperado e o desvio-padrão 
para cada ativo em separado. 
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Retornos Bom Médio Ruim
R. Fixa -4,00% 6,00% 18,00%
Ações 31,00% 12,00% -25,00%
Probab. 25,00% 50,00% 25,00%
Desempenho da Economia
 
Em uma situação de boom econômico, os títulos de renda fixa (é comum isso) cairiam 4% de valor e as ações 
subiriam 31% (tudo expectativa, projeções). 
Já se a economia entrar em recessão, as ações cairiam 25% e os títulos de renda fixa subiriam 18% em seu 
valor. 
Qual o retorno esperado para os ativos? 
Retornos Prob R. Fixa Ações
Bom 25,00% -4,00% 31,00%
Médio 50,00% 6,00% 12,00%
Ruim 25,00% 18,00% -25,00%
Retorno esperado 6,50% 7,50% 
�̅�𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑥𝑎 = 25% × −4% + 50% × 6% + 25% × 18% = 6,5% 
�̅�𝐴çõ𝑒𝑠 = 25% × 31% + 50% × 12% + 25% × −25% = 7,5% 
Apesar de a amplitude de retornos ser bem maior para as ações (risco maior) seu retorno médio esperado 
compensaria o risco. 
E qual seria o desvio-padrão para cada ativo? 
Lembrando que há 3 possibilidades de retorno para cada um deles. 
Retornos Prob R. Fixa R-Ri (R-Ri)
2
w*(R-Ri)
2
Bom 25,00% -4,00% (0,1050) 0,0110 0,0028 
Médio 50,00% 6,00% (0,0050) 0,0000 0,0000 
Ruim 25,00% 18,00% 0,1150 0,0132 0,0033 
Retorno esperado 6,50% 0,0050 VAR 0,0061 
σ 7,79% 
A regra de cálculo é igual à que fizemos na aula anterior, só que devemos, antes de calcular a Variância, 
ponderar pelos pesos de cada probabilidade dos cenários propostos. 
Na última coluna, temos os pesos (25%, 50% e 25%) multiplicados pelo quadrado dos desvios. 
É interessante notar que, na fórmula anterior de variância (aula 03), tínhamos uma divisão por (n-1), pois se 
tratava de uma amostra. 
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Nesse caso, estamos dividindo por n. Não viram o motivo? Está oculto mesmo. Não é tão óbvio 
É que os pesos (25%, 50%, 25%) significam: 25 observações em 100, 50 observações em 100 e 25 
observações em 100. 
Como o “universo” está plenamente representado, pois estas são as únicas possibilidades teóricas de 
retorno, dividimos por n e não por n-1. 
O desvio padrão para a renda fixa é de 7,79%. 
Retornos Prob Ações R-Ri (R-Ri)
2
w*(R-Ri)
2
Bom 25,00% 31,00% 0,2350 0,0552 0,0138 
Médio 50,00% 12,00% 0,0450 0,0020 0,0010 
Ruim 25,00% -25,00% (0,3250) 0,1056 0,0264 
Retorno esperado 7,50% (0,0450) VAR 0,0412 
σ 20,30% 
Fazendo o mesmo cálculo para as ações, vemos que o resultado é bem maior, 20,3%, o que mostra ser muito 
mais arriscado investir em ações. 
Compensa o retorno de 1% a mais, pelo risco maior? 
Vejamos depois. 
Considerações sobre o portfólio diversificado 
Imagine a seguinte combinação de ativos: 
Retornos Bom Médio Ruim Peso
R. Fixa -4,00% 6,00% 18,00% 50,00%
Ações 31,00% 12,00% -25,00% 50,00%
Probab. 25,00% 50,00% 25,00%
Desempenho da Economia
 
Isso significa que os títulos de renda fixa e as ações correspondem, cada um, a 50% da carteira investida. 
Já sabemos os retornos e os riscos para cada ativo individualmente, como seriam esses retornos e esses 
riscos, para o caso da carteira diversificada? 
Comecemos calculando o retorno médio dessa carteira. 
Retornos Prob R. Fixa Ações Portfolio
Bom 25,00% -4,00% 31,00% 13,50%
Médio 50,00% 6,00% 12,00% 9,00%
Ruim 25,00% 18,00% -25,00% -3,50%
Retorno esperado 6,50% 7,50% 7,00% 
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Se o cenário BOM se confirmar, o retorno esperadoda carteira será de 0,5x-4% + 0,5x31% = 13,5%. Ele 
perderá 4% na renda fixa, que corresponde a 50% do portfólio e ganhará 31% na renda variável (ações), que 
corresponde a 50% do portfólio. 
O retorno esperado do portfólio será de 7,00%, que é a ponderação dos valores de retorno esperados do 
portfólio pelas probabilidades dos cenários. 
E qual o desvio-padrão do portfólio? 
Retornos Prob Portfolio R-Ri (R-Ri)2 w*(R-Ri)2
Bom 25,00% 13,50% 0,0650 0,0042 0,0011 
Médio 50,00% 9,00% 0,0200 0,0004 0,0002 
Ruim 25,00% -3,50% (0,1050) 0,0110 0,0028 
Retorno esperado 7,00% (0,0200) VAR 0,0040 
σ 6,33% 
Percebemos que o portfólio tem um risco menor do que qualquer um dos investimentos em separado (ações 
e renda fixa) e um retorno maior do que o da renda fixa. 
Certamente seria irracional colocar todo o dinheiro na renda fixa, pois teríamos um risco maior (desvio 
padrão de 7,79% contra 6,33% do portfólio) com menos retorno esperado (R=6,5%, contra 7% do portfólio) 
do que o obtido com o portfólio. 
Vejamos os resultados para várias combinações de portfólios: 
RF-RV Retorno σ
100%-0% 6,50% 7,79%
90%-10% 6,60% 5,02%
80%-20% 6,70% 2,32%
72,5%-27,5% 6,77% 0,90%
70%-30% 6,80% 1,12%
60%-40% 6,90% 3,58%
50%-50% 7,00% 6,33%
40%-60% 7,10% 9,12%
30%-70% 7,20% 11,91%
20%-80% 7,30% 14,71%
10%-90% 7,40% 17,50%
0%-100% 7,50% 20,30% 
Perceba que, ao adicionarmos renda variável (ações) na carteira, o retorno sobe, mas o risco diminui, pois 
estamos diversificando os riscos. 
Através de métodos numéricos calculamos que a carteira de menor risco seria composta por 72,5% 
investidos em renda fixa e 27,5% em renda variável. Atingiríamos 6,77% de retorno esperado, com risco 
(desvio padrão) de apenas 1,04%. 
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Só para relembrar as regrinhas do desvio padrão, com os dados obtidos teríamos o seguinte 
comportamento esperado para o portfólio: 
Entre 7,81% e 5,73% de retorno teríamos 68% das observações, no portfólio ótimo (um desvio padrão para 
mais ou para menos, em relação à média). 
Entre 8,85% e 4,69% de retorno teríamos 95% das observações, no portfólio ótimo. 
É claramente um investimento de menor risco do que a renda fixa sozinha, ou as ações sozinhas. 
3.3 – Covariância e Correlação 
É possível calcular diretamente o desvio-padrão do portfólio, a partir dos retornos esperados e dos desvios 
padrões de cada ativo. 
Para tanto, precisamos calcular a covariância entre os ativos e sua correlação. 
A covariância é uma medida do grau de inter-relação entre duas variáveis. Em tese, se as variáveis forem 
completamente aleatórias, ou seja, não guardarem qualquer relação entre si, a covariância deveria ser zero 
(ou muito próximo disso). 
O cálculo é bem simples. 
Relembremos as fórmulas para o desvio padrão e da variância (da população): 
𝑉𝑎𝑟(𝑅) = 𝜎2 =
1
𝑛
∑(𝑅𝑖 − �̅�)2
𝑛
1
 
A fórmula GERAL da covariância seria: 
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)
𝑛
1
(𝑦𝑖 − �̅�)𝑝(𝑥, 𝑦) 
Seria o somatório das diferenças entre a observação xi e sua média, multiplicada pelas diferenças das 
observações yi e sua média, multiplicando, ao final, pela probabilidade de ocorrência do evento (xi,Yi). 
No nosso caso teríamos: 
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A B C D E
Retornos Prob RF (R-Ri) Aç (R-Ri) BxC AxD
Bom 25,00% (0,1050) 0,2350 (0,0247) (0,0062) 
Médio 50,00% (0,0050) 0,0450 (0,0002) (0,0001) 
Ruim 25,00% 0,1150 (0,3250) (0,0374) (0,0093) 
Retorno esperado 6,50% 0,0750 COV (0,0156) 
Isso significa algo interessante. Que quando a observação X está acima de sua média, a observação Y está 
abaixo de sua média, por isso a covariância negativa. 
Outra fórmula pode ser aplicada, quando não há probabilidades distintas para as observações individuais: 
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =
1
𝑛
[∑(𝑥𝑖)
𝑛
1
(𝑦𝑖) −
1
𝑛
∑(𝑥𝑖)
𝑛
1
∑(𝑦𝑖)
𝑛
1
] 
Uma notação comum para a covariância é a seguinte: 
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝜎𝑥𝑦 
A correlação é calculada pela fórmula a seguir: 
𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦) = 𝜌𝑥𝑦 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥𝜎𝑦
=
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦
 
No caso em estudo teríamos: 
𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦) = 𝜌𝑥𝑦 =
−0,015625
7,79% × 20,3%
= −0,987 
A interpretação da correlação é simples. 
O intervalo vai sempre de -1 a 1. 
Correlação 1 seria a indicação de que as variáveis se movem praticamente juntas, sempre que uma sobe, 
outra sobe também (em magnitudes proporcionais). 
Correlação -1 seria a indicação do contrário, de que se movem no sentido contrário sempre. 
Correlação 0 (zero) significa que as variáveis não têm evidências de relação entre elas (aleatórias). 
Correlações acima de 0,7 e abaixo de -0,7 podem ser consideradas fortes. Vimos que a correlação negativa 
FORTE entre os retornos das ações e da renda fixa nos permitiu uma excelente diversificação, baixando 
substancialmente o risco do portfólio. 
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Desvio Padrão do Portfólio 
Nós já calculamos diretamente esse desvio padrão, mas ele poderia ter sido calculado pelo uso da fórmula 
a seguir: 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝜎𝑥𝑦 
Do nosso exemplo teríamos: 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 0,52 × 7,79%2 + 0,52 × 20,30%2 + 2 × 0,5 × 0,5 × (−0,0156) 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 0,0040 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 = √0,0040 = 6,33% 
Qual seria a média ponderada dos desvios padrões de cada ativo? 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 = 𝑤𝑥𝜎𝑥 + 𝑤𝑦𝜎𝑦 = 0,5 × 7,79% + 0,5 × 20,3% = 14,05% 
A diferença é significativa e é derivada da diversificação. 
Se a correlação fosse 1, não haveria possibilidade de diversificação. O que significa isso? 
Significa que o desvio-padrão do portfólio seria idêntico ao desvio padrão médio ponderado dos ativos. 
Vamos ver? 
Primeiro vamos reescrever a fórmula da variância do portfólio para utilizar a correlação em vez da 
covariância: 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦)𝜎𝑥𝜎𝑦 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝜎𝑥𝜎𝑦 
Supondo correlação igual a 1, perceba que o termo à direita da equação é um produto notável. 
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦 
Portanto temos, de forma simplificada, o que segue: 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = (𝑤𝑥𝜎𝑥 + 𝑤𝑦𝜎𝑦)2 
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𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 = 𝑤𝑥𝜎𝑥 + 𝑤𝑦𝜎𝑦 
 
3.4 – Conjuntos eficientes de ativos 
Nós já calculamos os retornos e os desvios (riscos) para nosso portfólio de 2 ativos (renda fixa e ações, ou 
renda variável). 
RF-RV Retorno σ
100%-0% 6,50% 7,79%
90%-10% 6,60% 5,02%
80%-20% 6,70% 2,32%
72,5%-27,5% 6,77% 0,90%
70%-30% 6,80% 1,12%
60%-40% 6,90% 3,58%
50%-50% 7,00% 6,33%
40%-60% 7,10% 9,12%
30%-70% 7,20% 11,91%
20%-80% 7,30% 14,71%
10%-90% 7,40% 17,50%
0%-100% 7,50% 20,30% 
Vejamos como ficaria graficamente. 
 
 
Retorno
7,5%
7,4% 100% RV
7,3%
7,2%
7,1%
7,0%
6,9%
6,8%
6,7%
6,6%
6,5%
6,4% 100% RF
6,3%
6,2%
6,1%
6,0%
Desvio Padrão
12%2% 4% 6% 8% 10% 14% 16% 18% 20% 22%
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Nós já sabemos que a correlação entre os ativos é fortemente negativa, por isso quase temos duas linhas 
retas indo até o ponto de risco (desvio padrão) mínimo do portfólio (ponto de mínima variância). 
Mas essa curva pode mudar, de acordo com as correlaçõesdos diferentes ativos do portfólio. 
Ilustramos isso na figura a seguir: 
 
Num mundo onde só existem esses dois ativos, não seria possível encontrar portfólios fora das curvas. 
Não haveria, por exemplo, uma combinação de ativos que nos desse 7,5% de retorno e risco (desvio padrão) 
4%, nem haveria portfólios terríveis que dessem retorno de 5% e risco de 20%. 
Mas há partes dessa curva de retornos e desvios em que nenhum investidor racional ficaria. 
Veja a figura a seguir: 
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Perceba que há 2 combinações de pesos dos ativos no portfólio que nos trariam um risco de 4%. 
Uma mais próxima dos 100% da renda fixa, rendendo cerca de 6,65% e outra acima rendendo um pouco 
menos que 7%. 
Um investidor racional não deveria escolher a combinação que dá retorno menor para o mesmo risco. 
Isso deriva da hipótese dos mercados eficientes. 
Dessa forma, a fronteira eficiente para esses dois ativos seria representada a seguir: 
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O conjunto eficiente para vários ativos 
Com vários ativos é possível encontrar combinações que fujam daquela fronteira eficiente. De forma geral 
teríamos: 
 
As várias combinações de ativos ficariam DENTRO do espaço formado por todos os portfólios combinados 
e a fronteira eficiente. 
Não seria possível montar carteiras fora dessa área fechada do gráfico. O portfólio D seria "bom demais" e 
o portfólio E seria "ruim demais", mas ambos não são possíveis de construir. Apenas o que está dentro da 
área fechada do gráfico. 
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Mais uma vez, a fronteira eficiente vai do ponto de mínima variância (MV) até o ativo puro de maior risco 
e maior retorno possível. 
OBS! Para uma discussão mais matemática da construção de um portfólio com vários ativos (em vez de 
apenas 2), há um ANEXO sobre a generalização dos cálculos de covariância e correlação para portfólios com 
N ativos. Para os alunos que querem se aprofundar na teoria, porém a probabilidade de cair algo com essa 
sofisticação matemática, considerando o histórico de questões, é pequeno. 
3.4 – Risco Sistemático e Não Sistemático 
Agora vamos ver essa questão dos riscos diversificáveis (ou não), por outro prisma. 
Estamos tratando de retornos esperados, mas, é claro, há incertezas. 
Quando tratamos de riscos inesperados é algo que, em teoria, não poderia ser previsto com as ferramentas 
de análise disponíveis. 
Há várias formas de modelar os riscos inesperados, mas a mais utilizada é a que divide os riscos pela 
especialidade, ou seja, se impacta o mercado como um todo, ou apenas o ativo. 
O evento inesperado que atinge vários ativos é conhecido como risco sistemático. Não significa que o 
evento atingirá a todos os ativos de um mercado, nem que atingirá todos da mesma forma, mas que atingirá 
muitos, ainda que alguns sofram mais efeitos e outros menos. Como costumam ter efeitos em vários ativos, 
indiscriminadamente, costumam ser chamados de riscos de mercado. 
Exemplos de riscos que atingem grande número de ativos (das mais variadas formas) são os números de 
inflação, de crescimento do PIB, ações governamentais gerais, mudanças na tributação etc. São esses 
eventos que formariam a “covariância” do portfólio. 
O evento inesperado que atinge somente um ativo ou um grupo pequeno de ativos é chamado de risco não 
sistemático. Exemplos são bem abundantes. O desastre do vazamento de óleo da British Petroleum no 
golfo do México (Deep Horizon) causou perdas multibilionárias para a empresa. Uma mudança na regulação 
de telecomunicações no Brasil, como, por exemplo, desobrigar as Companhias a manter orelhões em 
funcionamento, impactaria um grupo seleto de empresas. 
Uma forma de modelar o retorno da empresa, com base no retorno esperado (pela teoria, observação, 
técnicas de valuation etc.) e nos riscos sistemáticos e não sistemáticos seria: 
𝑅 = 𝐸(𝑅) + 𝑚 + 𝜖 
Onde m é o risco sistemático (de mercado) e ε é o risco não sistemático, que atinge apenas a empresa (ou 
algumas empresas). 
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Efeitos da diversificação 
Já vimos que o portfólio com 2 ativos gerou uma diversificação que permitiu investir com menos risco e com 
mais retorno do que o investimento em um só ativo. 
A adição de novos ativos ao portfólio tende a reduzir ainda mais o risco, porém há um limite como vimos na 
parte anterior. O risco que não pode ser diversificado é o risco de mercado ou o risco sistemático 
(covariância da carteira de mercado). 
Mais uma vez recorremos aos dados norte-americanos para ilustrar este efeito: 
 
Perceba que a adição de ativos sempre reduz o risco do portfólio, mas essa redução fica cada vez menos 
relevante para um número grande de ativos, a partir de 20 ativos já parece não fazer muito sentido adicionar 
papéis. 
Essa impossibilidade de atingir uma diversificação que zere o risco é devida ao risco sistemático (de 
mercado). 
Em gráfico (baseado na mesma tabela do livro do Ross), temos: 
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4 - SECURITIES E CAPITAL MARKET LINE (SML / CML) 
Os estudos apresentados nessa aula são, em essência, a teoria moderna de portfólio de Markowitz. 
Nesse ponto vamos tentar responder a seguinte pergunta: o que determina o prêmio de risco de um ativo? 
Por que alguns ativos têm prêmio de risco (retorno acima da média do mercado) tão superior a outros? 
Nós já vimos os retornos históricos dos mercados, já vimos a relação entre risco e retorno e também os 
princípios básicos de diversificação. 
Nessa parte, vamos apresentar o modelo mais tradicional para cálculo de custo de capital próprio, e algumas 
derivações e considerações sobre alavancagem (financeira). 
4.1 – O princípio do Risco Sistemático 
Sabemos que o investidor sempre exige um retorno maior, para tomar riscos maiores. Mas sabemos 
também que o risco não sistemático pode ser eliminado pela diversificação. 
Perguntamos: Se o risco não sistemático pode, na teoria, ser eliminado sem custos a partir da diversificação, 
por que deveria ser recompensado? 
Lembremos que estamos aqui sob os preceitos de mercados eficientes, investidores médios instruídos e 
ausência de oportunidades de arbitragem. 
O risco não sistemático, uma vez que pode ser eliminado, ou reduzido significativamente sem custos 
adicionais através da diversificação, NÃO deveria ser recompensado. 
É isso que diz o princípio do risco sistemático: O retorno esperado de um ativo depende apenas do risco 
sistemático desse ativo. 
O leitor deve estar achando estranho, pois riscos sistemáticos são aqueles que têm efeito em vários ativos, 
ou no mercado inteiro. Como poderia ser responsável pelo retorno esperado de um único ativo? 
O risco sistemático do ativo indica “como” aquele evento externo inesperado impacta, em particular, aquele 
ativo. 
Ou seja, uma queda inesperada nos juros impactará o mercado inteiro, porém algumas empresas podem 
ter altas expressivas e outras quedas sem precedentes. O evento é o mesmo, mas cada empresa o sente de 
forma diferente. 
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O risco não sistemático é aquele que impacta exclusivamente aquele ativo em particular.Se apenas o risco sistemático importa, somente ele terá relevância para determinarmos o retorno esperado 
do ativo, e seu prêmio de risco. 
Medindo o risco sistemático – o Coeficiente β 
O beta de um ativo é uma medida de quanto de “risco sistemático” um ativo carrega em relação a um ativo 
“médio”, ou carteira de ativos do mercado. 
Tem significado bem parecido com o da correlação, porém não está limitado ao intervalo (-1,1). 
Se um ativo tem coeficiente beta igual a 1, em relação ao índice Bovespa (que é uma carteira representativa 
do mercado brasileiro), por exemplo, ele se move na mesa direção do mercado e tem risco sistemático 
“equivalente” ao do mercado. Esse ativo NÃO vai exigir prêmio de risco maior que o de mercado para ser 
comprado. 
Se tiver (isso é raro) coeficiente beta igual a -1, em relação ao índice Bovespa, ele se moverá perfeitamente 
em direção contrária ao índice, e em montante equivalente. 
Se tiver um beta positivo, abaixo de 1, significa que carrega MENOS risco sistemático do que o índice 
Bovespa. Se for acima de um, significa que carrega MAIS risco sistemático do que o mercado, de forma que 
precisará de um prêmio de risco mais elevado para ser negociado. 
O cálculo do beta é dado pelas fórmulas seguintes: 
𝛽𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐴𝑡𝑖𝑣𝑜; 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
 
Ou: 
𝛽𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝜎𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝜎𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
× 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜(𝐴𝑡𝑖𝑣𝑜; 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎) 
O beta de uma carteira de ativos 
O cálculo do beta de uma carteira de ativos é feito da mesma forma que o retorno esperado para essa 
carteira. Ponderando os betas pelo peso de cada ativo na carteira. 
Ativo Peso Betas w.Beta
A 20,00% 1,36 0,2720 
B 55,00% 0,80 0,4400 
C 25,00% 0,44 0,1100 
Médias 0,8220 
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A carteira acima demonstra esse cálculo. 
𝛽𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 = 𝑤𝐴. 𝛽𝐴 + 𝑤𝐵 . 𝛽𝐵 + 𝑤𝐶 . 𝛽𝐶 = 20%. 1,36 + 55%. 0,8 + 25%. 0,44 = 0,8220 
A linha do mercado de títulos (Securities Market Line – SML) 
Securities, em português, significa "valores mobiliários", porém a SML é comumente traduzida como linha 
do mercado de títulos. 
Iniciaremos agora o estudo que derivará no modelo CAPM. 
Para tanto, pensemos no seguinte, temos um Ativo A com expectativa de Retorno de 15% e um 
multiplicador de risco sistemático BETA igual a 1,4 (acima do beta de mercado que é 1): 
Ativo A: E(RA) = 15%; βA = 1,4 
Montaremos uma carteira com o ativo A e um ativo livre de risco. O ativo livre de risco, por definição, não 
apresenta qualquer risco sistemático, de forma que seu beta é sempre ZERO. 
Imaginemos uma carteira com 50% A e 50% Rf (risk free asset): 
𝐸(𝑅𝑐) = 0,5 × 15% + 0,5 ∗ 6% = 10,5% 
𝛽𝑐 = 0,5 × 1,40 + 0,5 ∗ 0,0 = 0,7 
Os cálculos do Beta e do Retorno de uma carteira são semelhantes, apenas média ponderada dos retornos 
e dos riscos. Ponderada pelo peso percentual de cada ativo na carteira. 
A expectativa de retorno dessa carteira é de 10,5% e um beta de 0,7 (bem menos arriscado do que o ativo 
puro). 
Alavancagem na carteira 
Supondo que seja possível tomar dinheiro emprestado pagando a mesma taxa de um título de risco zero 
(isso é uma aproximação teórica, mas muito difícil na prática, para quem não é instituição financeira), seria 
possível tomar dinheiro emprestado (exposição negativa ao retorno do ativo sem risco) e investir mais do 
que 100% do dinheiro disponível no ativo de risco. 
Em outras palavras, se temos 1.000 para investir, e decidimos 
pegar 500 emprestados, teremos condições de investir 1.500, ou 
seja, faremos um investimento alavancado. 
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Seguindo esse modelo, em vez de aplicarmos 100% do nosso dinheiro da forma proposta anteriormente, 
pegaremos os 100% e investiremos no ativo A e tomaremos mais 50% de empréstimo (à taxa livre de risco) 
e colocaremos também esse valor captado no ativo A. 
Teríamos, portanto, 150% investidos em A e (-50%) tomados de empréstimo com juros iguais ao do ativo 
livre de risco. Isso significa que, em vez de recebermos 6% de juros, pagaremos 6% de juros. 
Ficariam assim nossas expectativas e riscos: 
𝐸(𝑅𝑐) = 1,5 × 15% − 0,5 ∗ 6% = 19,5% 
𝛽𝑐 = 1,5 × 1,40 − 0,5 ∗ 0,0 = 2,1 
Isso significa que teríamos expectativa de 19,5% de retorno, 22,5% dos 150% investidos no ativo A, gerando 
15% de retorno e -50% tomando emprestado no ativo livre de risco e pagando 3% de juros (6% sobre 50% 
do valor da carteira líquida) 
Dá para derivarmos uma tabela para as diferentes composições de carteira (ou portfólio). 
Carteira Ret % Beta
0%A/100%Rf 6,00% 0,00
25%A/75%Rf 8,25% 0,35
50%A/50%Rf 10,50% 0,70
75%A/25%Rf 12,75% 1,05
100%A/0%Rf 15,00% 1,40
150%A/-50%Rf 19,50% 2,10
200%A/-100%Rf 24,00% 2,80 
 
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0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Retorno %
Ret %
1,05
6,75%
 
A inclinação dessa reta, que representa a relação entre o beta e o retorno da carteira, indica qual o 
percentual de risco “por unidade de beta” seria exigido daquele ativo A. 
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 =
𝐸(𝑅𝐴) − 𝑅𝑓
𝛽𝐴
=
12,75% − 6%
1,05
= 6,43% 
Isso significa que, para cada unidade de risco sistemático (beta), o portfólio exigiria um retorno de 6,43% a 
mais. 
Essa é a SML - Securities Market Line. Guarde essa informação: a 
SML tem no eixo vertical os retornos e no eixo horizontal os 
BETAS. E a inclinação é conhecida como Índice de Treynor. 
O índice de Treynor 
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑒𝑦𝑛𝑜𝑟 =
𝑅𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 − 𝑅𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑖𝑠𝑘 𝑓𝑟𝑒𝑒
𝐵𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
 
O Índice de Treynor mede o desempenho ajustado ao risco de uma carteira de investimentos analisando o 
excesso de retorno de uma carteira por unidade de risco (por isso o Beta no denominador). 
Para o Índice de Treynor, a medida de risco de mercado utilizada é beta, que é uma medida do risco global 
de mercado ou risco sistemático. Beta mede a tendência de mudança do retorno de uma carteira em 
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resposta a mudanças no retorno do mercado geral. Quanto maior o Índice Treynor, maior será o excesso de 
retorno gerado pela carteira por cada unidade de risco geral de mercado. 
Ele é usado para compararmos portfólios na vida real, o que tem maior índice de Treynor, tem o maior 
retorno por unidade de risco (isso acontece, pois o mercado REAL não é perfeito como na teoria). 
Voltando ao nosso exercício. Existe um outro ativo (B) para investir. 
Ativo B: E(RB) = 12%; βB = 1,2 
Com base no perfil esperado para o ativo B, e fazendo os mesmos cálculos que fizemos para o portfólio com 
o ativo A, um portfólio contendo o Ativo B e o ativo livre de risco teria os seguintes resultados: 
Carteira Ret % Beta
0%B/100%Rf 6,00% 0,00
25%B/75%Rf 7,50% 0,30
50%B/50%Rf 9,00% 0,60
75%B/25%Rf 10,50% 0,90
100%B/0%Rf 12,00% 1,20
150%B/-50%Rf 15,00% 1,80
200%B/-100%Rf 18,00% 2,40 
Combinando o gráfico do portfólio com A com o Gráfico do portfólio com B, temos: 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Retorno %
Portfólio com o Ativo B
Beta= 1,8, Retorno = 15%
150% Rb (-50% Rf)
Portfólio com o Ativo A
Beta= 1,8, Retorno = 17,59%
128,75% Ra (-28,75% Rf)
 
Em princípio o ativo A dá mais retorno do que B, porém tem mais risco, representado por seu beta mais 
elevado. 
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Porém dá para inferirque o ativo A será SEMPRE melhor do que ativo B, pois para qualquer valor de risco 
de portfólio colocado, SEMPRE será possível fazer um portfólio combinando A e o ativo livro de risco que 
trará retorno maior do que o portfólio de B com o ativo de risco, para o mesmo risco. 
Na figura vemos que, para o beta do portfólio em 1,8, se utilizarmos o ativo B em nossa carteira teríamos 
retorno esperado de 15%, com um portfólio de 150% no Ativo B e -50% no Ativo livre de risco. 
Mas se montarmos um portfólio (ou carteira) com o ativo A em 128,75% e o ativo livre de risco em -28,75%, 
esse portfólio terá o mesmo beta (1,8), porém retorno esperado de 17,59%. 
Isso não é consistente com os princípios de eficiência do mercado e ausência de oportunidades de 
arbitragem. 
Isso NÃO aconteceria, pois, em um mercado eficiente, nenhum investidor racional utilizaria B para 
compor seus portfólios. Todos correriam para A, que faria o preço de A aumentar e seu retorno diminuir, 
até se extinguirem as possibilidades de arbitragem. 
O que a teoria nos indica é que os preços dos ativos se ajustariam 
para que aquele “prêmio de risco” por unidade de beta fosse o 
mesmo. 
Não significa, em hipótese alguma, que os ativos todos têm o mesmo risco. Significa que aquele retorno 
adicional por unidade de risco sistemático (o beta), que é calculado pela inclinação da curva do portfólio, 
é o mesmo para todo o mercado. 
Para que os retornos ajustados ao risco sejam iguais, a inclinação da reta A e da reta B teria que ser a mesma: 
𝐸(𝑅𝐴) − 𝑅𝑓
𝛽𝐴
=
𝐸(𝑅𝐵) − 𝑅𝑓
𝛽𝐵
 
O resultado faz todo o sentido, pois se um ativo de 2 vezes mais risco sistemático do que outro, seu prêmio 
de risco deve ser o dobro. Indicando uma relação perfeitamente linear entre eles. 
Importante entender que não estamos falando do dobro do retorno total, mas do dobro do retorno 
associado ao risco sistemático. 
Em tese, todos os ativos (ou portfólios de ativos) deverão estar nesta mesma linha, ainda que cada um tenha 
seu próprio beta. 
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Imaginemos agora um portfólio com todos os ativos do mercado (isso não é possível na prática, mas é 
aproximado para os índices de bolsa). Chamemos de RM, o retorno médio do mercado, e βM=1, pois como 
temos todos os ativos do mercado nessa carteira, ele deverá ter risco sistemático do próprio mercado. 
A inclinação da SML é: 
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑆𝑀𝐿 =
𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓
𝛽𝑀
=
𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓
1
= 𝑃𝑟ê𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 
CAPM – Capital Asset Pricing Model 
Já temos tudo o que necessitamos para chegarmos à fórmula do CAPM (Capital Asset Pricing Model). 
Para um ativo qualquer com Retorno esperado E(Ri) e βi, temos o seguinte: 
𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓
𝛽𝑖
= 𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓 
Logo, 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 
Esse resultado é o famoso modelo de apreçamento de ativos de capital (CAPM). 
O retorno de um ativo de capital depende de três coisas: 
 A taxa livre de risco, que é apenas a remuneração por esperar seu dinheiro voltar, sem 
correr qualquer risco. 
 O prêmio de risco, por se arriscar. 
 A quantidade de risco sistemático tomado, indicado pelo beta. 
 
A carteira eficiente – Optimal Portfolio 
Em partes anteriores, nós vimos a fronteira eficiente, formada pelas combinações ótimas de vários ativos 
do mercado. Vimos também a combinação entra ativos de risco e ativos sem risco, que geraram a CML, 
linha do mercado de capitais. Vamos juntar esses dois resultados. 
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Observe a figura acima. À esquerda temos o ativo de risco zero (desvio padrão zero, retorno Rf). E à direita 
temos o conjunto de combinações possíveis de ativos. A parte interna da figura representa todas as 
possibilidades de risco e retorno pela combinação de ativos de risco. 
A fronteira eficiente, como já demonstrado, é aquela que MAXIMIZA o retorno de uma carteira de mercado, 
para determinado risco. 
É evidente, por exemplo, que de todas as combinações possíveis, a carteira A é a que tem o MAIOR retorno, 
para aquele dado risco. Todas as outras possibilidades, para o mesmo risco, estarão abaixo desse ponto. 
Um investidor, em teoria, jamais operará fora daquela linha que tangencia a fronteira eficiente. Ele poderá 
montar qualquer combinação entre a carteira eficiente e o ativo livre de risco para adequar ao seu perfil de 
risco e retorno. 
Se quiser menos risco, pode montar uma carteira diversificada no ponto B, por exemplo, indicando 50% no 
ativo livre de risco e 50% na carteira eficiente. Se quiser mais risco, poderá optar por uma carteira com -50% 
no ativo livre de risco e 150% na carteira eficiente (ponto C). 
Por que ele escolheria, por exemplo, o ponto D? 
Qual é a lógica de montar uma operação em que ele terá quase tanto risco quanto a carteira C e um retorno 
muito menor. 
Essa linha que liga Rf à carteira A (tangente da fronteira eficiente) é aquele que pode ser vista como o 
conjunto eficiente de TODOS os ativos, incluindo ativos de risco e sem risco. 
Independentemente do nível de aceitação de risco do investidor, ele SEMPRE escolherá a carteira A para 
compor o portfólio, no que se refere a ativos de risco. Isso por que, por óbvio, ele poderá balancear a carteira 
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com o ativo livre de risco, se quiser menos risco, e poderá operar vendido no ativo sem risco (e alavancado 
no ativo de risco) se quiser mais risco. Porém, em nenhuma outra opção ele terá retornos mais elevados do 
que nessa linha. 
Os economistas especializados em finanças chamam isso de princípio da separação. Segundo eles, a 
decisão dos investidores e dá em dois passos: 
 1- Após estimar os retornos esperados e as variâncias de cada ativo de risco em separado e de 
calcular as covariâncias entre pares de ativos, o investidor calcula a fronteira eficiente de todos 
os ativos de risco. Depois ele consegue determinar o ponto A, que seria a carteira eficiente, 
tomando por base o retorno do ativo SEM risco. Conforme fizemos na figura anterior. Nesse 
ponto não há qualquer relevância saber a aversão ou apetite por risco do investidor. 
 2- Depois é que o investidor vai definir a combinação entre a carteira eficiente de ativos de risco 
e o ativo SEM risco, de acordo com sua tolerância ao risco. 
O portfólio de equilíbrio do mercado 
O que fizemos anteriormente diz respeito a um indivíduo apenas. É claro que as percepções e expectativas 
de outros investidores podem ser diferentes. Apesar de a premissa do mercado eficiente indicar que as 
percepções deveriam variar pouco. 
Apesar de não ser possível assumir que todos os investidores tenham as mesmas expectativas sobre o 
retorno, a variância e a covariância dos ativos, é razoável assumir que os investidores têm as mesmas 
crenças (ou expectativas) a respeito dos retornos, variâncias e covariâncias. O que não significa que tenham 
a mesma tolerância ao risco. 
Essa hipótese é conhecida como hipótese das expectativas homogêneas. 
O interessante dessa hipótese é que, independente da aversão ao risco, todos os investidores modelarão 
suas carteiras conforme descrito no gráfico anterior. Todos entenderão a carteira A como o melhor portfólio 
de ativos de risco que se pode construir com aquelas premissas. 
E se todos os investidores entenderem esse portfólio como o adequado para se ter no mercado, esse seria 
o portfólio de mercado. Mais precisamente, seria um portfólio de todos os ativos do mercado, ponderados 
por seu valor de mercado. 
Normalmente esse “portfólio de mercado”, que é usado para calcularmos os prêmios de risco e os betas, é 
sintetizado por índicescomo o Standard & Poor’s 500 ou outro índice representativo e com número 
suficientemente grande de ativos (em relação ao mercado). 
Normalmente quando falamos de Rm, risco de mercado na análise dos betas e do CAPM, estamos tratando 
de algum portfólio diversificado, representativo do mercado. 
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A linha do mercado de capitais (Capital Market Line – CML) 
A linha do mercado de capitais (CML) representa carteiras que combinam risco e retorno de forma 
otimizada. É um conceito teórico que representa todas as carteiras que combinam de forma otimizada a 
taxa de retorno livre de risco e a carteira de mercado de ativos de risco. No CAPM, todos os investidores 
escolherão uma posição na linha do mercado de capitais, em equilíbrio, contraindo empréstimos ou 
emprestando à taxa livre de risco, uma vez que isso maximiza o retorno para um determinado nível de risco. 
 
A principal diferença para a SML é que temos no eixo X, horizontal, os riscos totais (desvio padrão) e não os 
riscos sistemáticos relativos. 
As interpretações são semelhantes, porém a inclinação da curva é dada pelo índice de Sharpe, e não pelo 
índice de Treynor. 
𝑅𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 𝐸(𝑅𝑝) = 𝑅𝑓 +
𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓
𝜎𝑀
× 𝜎𝑝 
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝐶𝑀𝐿 =
𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓
𝜎𝑀
= í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 
Principais diferenças entra a SML e CML 
 CML tem no eixo horizontal o desvio padrão (medida de risco total) e a SML tem o beta (medida de 
risco sistemático. 
 A inclinação da CML é o índice de Sharpe medido para a carteira de mercado, a inclinação da SML é 
o prêmio de risco do mercado (pois o Beta é 1 nesse ponto). 
 Na fugira acima da CML, no ponto de risco ZERO, a linha cruza com o eixo Y e temos o retorno livro 
de risco. Andando pela linha até o ponto M, temos todas as combinações NÃO ALAVANCADAS de 
porrfólio. Se estamos no ponto M, significa que estamos 100% investidos na carteira de mercado. Se 
formos adiante para a direita, já estamos nos portfólios alavancados, estamos tomando emprestado 
à taxa livre de risco. 
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 Na SML, estar à esquerda do ponto M significa ter portfólios menos arriscados que o mercado, estar 
à direita, significa que estamos em portfólios mais arriscados que o mercado. Se estamos em M, 
estamos exatamente na carteira de mercado, e assumindo risco de mercado. 
 Na CML, O que está acima dela, representa os portfólios INEXISTENTES. Abaixo dela temos os 
portfólios INEFICIENTES. 
 Já na SML os ativos que estão acima dela estão depreciados (undervalued), pois eles têm retorno 
mais alto para o nível de risco. Isso significa que seus preços estão abaixo do valor justo. Já os ativos 
que estão abaixo da SML, estão acima do valor justo, pois estão com retorno menor do que o 
esperado para aquele nível de risco. 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
 
As questões aqui colocadas não estão associadas diretamente à banca dos concursos, foram escolhidas para 
cobrirem os principais modelos e as principais formas de trabalhar os temas. 
Seguem os enunciados sem resolução. No capítulo seguinte os resultados com os comentários. 
Questão 1. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando o modelo CAPM em que a taxa livre de risco é de 6% ano e que a expectativa de retorno do 
ativo de risco é de 15% ao ano, julgue o item a seguir, supondo que o investidor espera um retorno de 10% 
ao ano. 
O investidor alocará ao menos 50% do seu capital no ativo de risco. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 2. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando o modelo CAPM em que a taxa livre de risco é de 6% ano e que a expectativa de retorno do 
ativo de risco é de 15% ao ano, julgue o item a seguir, supondo que o investidor espera um retorno de 10% 
ao ano. 
Se o desvio padrão do ativo de risco é de 0,20, o desvio padrão do portfólio do investidor será menor do que 
0,09. 
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 Certo 
 Errado 
 
Questão 3. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Em relação à precificação de títulos e ativos, julgue o item seguinte. 
A fronteira eficiente é o lugar geométrico em que as carteiras dominantes estão situadas e, portanto, 
alcança-se a maximização do retorno dado o risco. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 4. 
Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista em 
Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
A fronteira eficiente de Markowitz pode ser descrita como a composição de carteira que apresenta o menor 
nível de risco, considerando-se determinado nível de retorno. Na tabela abaixo, a carteira composta por 
20% do ativo A e 80% do ativo B tem variância superior a 0,50 e inferior a 0,51. 
 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 5. 
Ano: 2014 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: ANATEL Prova: CESPE - 2014 - ANATEL - Especialista em 
Regulação - Economia 
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O diagrama acima ilustra um conjunto de oportunidades de investimento do mercado (área sombreada), 
formado por carteiras com diferentes padrões de risco e retorno. O ponto R representa o retorno do ativo 
livre de risco da economia. 
Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem. 
O segmento de reta RT representa a fronteira eficiente de investimentos e indica as carteiras com o maior 
retorno esperado para um dado nível de risco. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 6. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: FUNPRESP-EXE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
FUNPRESP-EXE - Analista de Previdência Complementar - Área de Atuação: Investimentos 
Em cada item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada com 
relação ao modelo CAPM. 
Na construção da carteira de mercado, assume-se a hipótese de expectativas homogêneas entre os 
investidores quanto ao retorno esperado e ao risco dos ativos. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. 
 
Questão 7. 
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Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Acerca dos principais métodos de avaliação de investimentos, julgue o item subsequente. 
No modelo CAPM, os investidores são neutros ao risco. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 8. 
Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista em 
Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
Considere que determinada carteira ampla e diversificada utilize a medida de risco denominada CAPM 
(capital-asset- pricing-model), que a covariância entre o retorno de um ativo i e o retorno da carteira de 
mercado seja igual a - 0,2, a variância do mercado seja 1,50, o retorno esperado do mercado seja 0,15 e a 
taxa livre de risco corresponda a 0,08. Nessa situação, de acordo com o CAPM, o retorno esperado desse 
ativo será superior a 0,07e inferior a 0,08. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 9. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: FUNPRESP-EXE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
FUNPRESP-EXE - Analista de Previdência Complementar - Área de Atuação: Investimentos 
Considerando que, no sentido mais básico, risco pode ser definido como a possibilidade de perda, julgue o 
próximo item. 
O efeito de uma pandemia na economia e no valor das ações das empresas é um exemplo de risco específico 
que pode ser diversificável. 
 Certo 
 Errado 
 
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Questão 10. 
Ano: 2023 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SEFIN de Fortaleza - CE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2023 
- SEFIN de Fortaleza - CE - Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências 
Econômicas/Finanças 
No que se refere à relação entre risco e retorno em finanças e à maneira como essa dinâmica afeta o 
apreçamento de ativos, julgue o item a seguir. 
O risco total de uma carteira de investimentos aumenta conforme se amplia a diversificação dessa carteira 
por meio da inclusão de mais títulos. 
 Certo 
 Errado 
 
Questão 11. 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2002 
Segundo o CAPM, uma ação cujo beta é igual a 1,2 tem o mesmo risco de mercado e o mesmo retorno 
esperado que uma carteira formada pelas seguintes proporções: 
a) 20% aplicados no ativo livre de risco e 120% aplicados na carteira de mercado. 
b) 50% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 150% aplicados na carteira de mercado. 
c) 20% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 120% aplicados na carteira de mercado. 
d) 20% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 120% aplicados na própria ação. 
e) 100% aplicados na carteira de mercado. 
 
Questão 12. 
ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Controle e Fiscalização - Atuária/2006 
De acordo com o CAPM (capital asset pricing model), o retorno esperado de um ativo financeiro tem relação 
direta com 
a) a estimativa de retorno esperado, feita por um investidor bem informado. 
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b) o nível de risco não-diversificável desse ativo. 
c) o nível de risco da carteira de mercado. 
d) o grau de tolerância a risco do investidor médio. 
e) a liquidez do ativo financeiro em questão. 
 
Questão 13. 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Segundo o capital asset pricing model (CAPM), um ativo com beta negativo: 
a) terá necessariamente risco sistemático maior que o da carteira teórica de mercado. 
b) terá necessariamente risco total menor que o da carteira teórica de mercado. 
c) deverá oferecer retorno esperado inferior ao do ativo livre de risco. 
d) deverá oferecer retorno esperado negativo. 
e) deverá oferecer retorno esperado igual ao do ativo livre de risco. 
 
Questão 14 
FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2006 
Considere: 
I. O risco diversificável representa a parte do risco de um ativo associada a causas aleatórias que podem ser 
eliminadas por meio da diversificação. 
II. O coeficiente Beta (β) é uma medida relativa de risco diversificável. 
III. O CAPM pode ser dividido em duas partes: (1) A taxa livre de risco; (2) o prêmio de risco. 
IV. O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que é útil na comparação do risco de 
ativos com diferentes retornos esperados. 
É correto o que consta em 
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a) I e II, somente. 
b) I, II, III e IV. 
c) I, III e IV, somente. 
d) II e III, somente. 
e) III e IV, somente. 
 
Questão 15 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
Usando o Capital Asset Pricing Model (CAPM) e considerando- se dois ativos de risco, com retornos 
esperados iguais e desvios padrões iguais, seus preços serão 
a) diferentes, se os investidores forem neutros em relação ao risco. 
b) diferentes, pois os ativos podem ter covariâncias diferentes com a carteira de mercado. 
c) iguais, pois é o mesmo retorno e o mesmo risco. 
d) iguais, se os investidores apresentarem aversão relativa constante em relação a risco. 
e) crescentes, caso aumente a aversão a risco entre os investidores. 
 
Questão 16 
FCC - Auditor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo/2008/ 
O método recomendado para estimar o custo de capital das ações ordinárias de uma empresa com cotação 
na bolsa de valores é o modelo de precificação de ativo (CAPM − Capital Asset Pricing Model). Com relação 
a esse modelo, considere: 
I. Ele estabelece uma relação linear entre o prêmio exigido para investir em um ativo de risco e o prêmio que 
oferece a carteira de mercado. 
II. Há duas formas de medir o risco sistemático do ativo: de forma absoluta, pelo beta do ativo obtido como 
resultado da divisão entre a covariância do ativo e da carteira pela variância do ativo, e, de maneira relativa, 
pela covariância dos retornos do ativo e os retornos da carteira. 
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 57 
III. O modelo CAPM recomenda a diversificação da carteira de ações, pois o aumento do número de ativos 
na carteira tende a compensar as variações provenientes das próprias empresas ou, de outra maneira, tende 
a eliminar o risco diversificável ou risco não-sistemático. 
IV. A determinação da estimativa do custo de capital da ação ordinária aplicando o CAPM se baseia em 
retornos históricos da taxa livre de risco, do ativo de risco e da carteira de mercado, todas durante o mesmo 
prazo e periodicidade. 
V. O risco total do ativo é a soma do risco sistemático (risco diversificável) e do risco não-sistemático (não-
diversificável), e em uma carteira bem diversificada há somente o risco não-sistemático. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
a) I e V. 
b) I, II e V. 
c) I, III e IV. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
Questão 17 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2013/ 
Caso se eleve o nível geral dos coeficientes de correlação entre retornos das ações negociadas no mercado, 
as carteiras de investidores diversificados, que queiram atingir uma determinada meta de risco e só possam 
assumir posições compradas em ações: 
a) deverão ser menos diversificadas do que antes. 
b) terão retorno esperado mais baixo, de acordo com o CAPM. 
c) deverão conter maior número de ações diferentes. 
d) incluirão somente ações com liquidez elevada. 
e) terão retorno esperado mais alto, de acordo com o CAPM. 
 
Questão 18 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Paulo Portinho
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Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
De acordo com o modelo CAPM, a carteira de mercado de ativos pertence à fronteira eficiente, e o prêmio 
de risco dos ativos individuais será inversamente proporcional ao prêmio de risco da carteira de mercado. 
Certo 
Errado 
 
Questão 19 
FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2006 
Abaixo são fornecidos os ativos que compõem a carteira de dois fundos de investimento, com suas devidas 
proporções, e os coeficientes beta de cada um dos ativos. 
 
Os coeficientes Beta (ββ) da carteira A e da carteira B são, respectivamente, 
a) 0,81 e 1,1 
b) 0,86 e 1,3 
c) 0,91 e 1,2 
d) 1,2 e 0,91 
e) 1,3 e 0,86 
 
Questão 20 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Uma carteira eficiente, em termos de risco e retorno esperado, é aquela que: 
a) apresenta o maior retorno esperado para qualquer nível de risco total.Paulo Portinho
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 59 
b) é composta somente por ativos corretamente avaliados pelo mercado. 
c) tem risco sistemático igual ao da carteira teórica de mercado. 
d) possui o nível mais baixo de risco de mercado para um dado nível de retorno esperado. 
e) oferece retorno esperado acima do retorno da carteira teórica de mercado. 
 
Questão 21 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Uma carteira de ações é formada pelos seguintes ativos: 
 
Também se sabe que o coeficiente de correlação entre os retornos das duas ações é igual a 0,40. Como a 
carteira é formada por uma posição comprada na ação A e uma posição vendida na ação B, nas proporções 
de -30% e 130%, respectivamente, então o par de valores inteiros mais próximos do retorno esperado e do 
risco total da carteira é formado, nessa ordem, por: 
a) 25% e 18% 
b) 23% e 18% 
c) 28% e 16% 
d) 25% e 12% 
e) 20% e 15% 
 
Questão 22 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
O gráfico abaixo, entre o retorno esperado e o desvio padrão do retorno de carteiras disponíveis, para um 
certo investidor que prefere retorno maior e risco menor, mostra cinco pontos numerados e marcados com 
x, correspondendo a cinco carteiras. 
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Considerando o gráfico, a fronteira eficiente poderia passar pelos pontos 
a) 1, 2, 3 e 5 
b) 1, 2 e 3 
c) 1, 3 e 5 
d) 2, 4 e 5 
e) 2 e 3 
 
Questão 23 
ESAF - Auditor Fiscal da Previdência Social/Auditoria nas Entidades Fechadas de Previdência 
Complementar/2002 
Uma carteira é formada por dois investimentos, A e B, com pesos iguais a 75% e 25%, respectivamente. 
Sabe-se que os retornos esperados de A e B são estimados em 15% e 18%, e os respectivos desvios-padrão 
dos retornos são estimados em 25% e 30%, também respectivamente. 
Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre os retornos de A e B é igual a 0,50, então o risco da 
carteira, medido pelo desvio-padrão de seu retorno, está estimado em: 
a) 26,25% 
b) 15,77% 
c) 27,50% 
d) 23,42% 
e) 52,94% 
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Questão 24 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Um analista acredita que a tabela apresentada a seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de 
probabilidades da taxa de retorno de uma certa ação. 
 
 
 
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-padrão da taxa de retorno da 
ação são, respectivamente: 
a) 5,5% e 10,86% 
b) 5,5% e 8,66% 
c) 4,0% e 25% 
d) 4,0% e 10,86% 
e) 4,0% e 8,66% 
 
Questão 25 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Uma carteira de ações é formada por dois papéis: A e B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de 
retorno das duas ações: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-padrão do 
retorno de A = 6%; desvio-padrão do retorno de B = 7%; correlação entre os retornos de A e de B = 0,20. 
Sabendo-se que o peso da ação A na carteira é igual a 40%, então o desvio-padrão estimado para o retorno 
da carteira é igual a: 
a) 6,36% 
b) 12,60% 
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c) 5,24% 
d) 6,60% 
e) 12,00% 
 
Questão 26 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Contábil-Financeira/2000 
Com relação a práticas bancárias, julgue o item seguinte. 
Em finanças, a sensibilidade das ações às variações do valor da carteira de mercado é conhecida por alpha, 
que mede a contribuição marginal de uma ação em relação ao risco de uma carteira de mercado. 
Certo 
Errado 
 
Questão 27 
IADES - Analista Técnico (FUNPRESP)/Investimentos/2014/ 
A moderna teoria da carteira surgiu a partir da publicação, em 1952, do artigo Portfolio Selection de Harry 
Markowitz. 
 
Com base na figura apresentada e no conceito de fronteira eficiente, assinale a alternativa correta. 
a) A fronteira eficiente reúne todas as carteiras ótimas em termos de risco versus retorno. 
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b) De acordo com a teoria de Markowitz, as carteiras eficientes situam-se acima da fronteira eficiente. 
c) Para um determinado nível de risco, o maior retorno possível estaria abaixo da fronteira eficiente. 
d) Se o investidor deseja obter retornos além da fronteira eficiente, deverá estar disposto a aceitar um risco 
mais elevado. 
e) Na fronteira eficiente, o risco é o mesmo para qualquer nível de retorno. 
 
Questão 28 
ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Controle e Fiscalização/2010 
A determinação da fronteira eficiente para o mercado de ações requer o conhecimento de valores 
numéricos para os seguintes elementos, entre outros: 
a) volatilidade da taxa de juros livre de risco e coeficiente beta da carteira de mercado. 
b) número de títulos que podem fazer parte da carteira e seus retornos esperados. 
c) betas das várias ações e volatilidade da carteira de mercado. 
d) beta do ativo livre de risco e grau de aversão a risco do investidor que está determinando a fronteira. 
e) coeficientes de assimetria e curtose da distribuição de probabilidades dos retornos das ações. 
 
Questão 29 
ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Controle e Fiscalização - Atuária/2006 
Para que seja construída a fronteira eficiente de ativos de um determinado mercado, são necessários os 
seguintes dados: 
a) graus de aversão a risco dos investidores. 
b) quantidades disponíveis dos ativos negociados. 
c) composição da carteira do índice de mercado. 
d) alíquotas de imposto de renda à qual estão sujeitos os rendimentos dos ativos. 
e) retornos esperados e covariâncias entre retornos dos ativos. 
Gabarito E 
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Mesma análise anterior. Só entendo que as variâncias também seriam relevantes para a análise. Mas talvez ele 
queira dizer que, se temos os retornos, podemos calcular as variâncias. 
 
Questão 30 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2008 
Um dos principais resultados do CAPM (capital asset pricing model) é o de que, em equilíbrio, a carteira de 
mercado é eficiente. Isso significa que a carteira de mercado 
a) está sempre situada na fronteira eficiente. 
b) contém ativos numa combinação com o menor risco possível, entre todas as carteiras de mínimo risco. 
c) contém ativos numa combinação com o maior retorno esperado possível, entre todas as carteiras de 
mínimo risco. 
d) não é completamente diversificada. 
e) tem beta igual a zero. 
 
 
Paulo Portinho
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QUESTÕES COMENTADAS COM GABARITO 
 
As respostas estão associadas ao número das questões do capítulo anterior, com comentários logo a seguir. 
 
Questão 1. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando o modelo CAPM em que a taxa livre de risco é de 6% ano e que a expectativa de retorno do 
ativo de risco é de 15% ao ano, julgue o item a seguir, supondo que o investidor espera um retorno de 10% 
ao ano. 
O investidor alocará ao menos 50% do seu capital no ativo de risco. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado. 
É uma questão de retorno esperado de carteira. Estão supondo que o investidor vai montar uma carteira 
adequada à sua expectativa de retorno (10%), a partir de 2 ativoscom retornos de 6% e 15%. Precisamos achar 
o peso deles na carteira. 
𝑅𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 = 𝑤𝐴. 𝑅𝐴 + 𝑤𝐵 . 𝑅𝐵 = 𝑤𝐴. 6% + 𝑤𝐵 . 15% = 10% 
𝑤𝐴 = 100% − 𝑤𝐵 
𝑅𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 = (100% − 𝑤𝐵). 6% + 𝑤𝐵. 15% = 10% = 6% − 6%. 𝑤𝐵 + 𝑤𝐵 . 15% 
𝑅𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 = 10% = 6% + 9%. 𝑤𝐵 
𝑤𝐵 =
4%
9%
= 44,5% 
 
Paulo Portinho
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Questão 2. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando o modelo CAPM em que a taxa livre de risco é de 6% ano e que a expectativa de retorno do 
ativo de risco é de 15% ao ano, julgue o item a seguir, supondo que o investidor espera um retorno de 10% 
ao ano. 
Se o desvio padrão do ativo de risco é de 0,20, o desvio padrão do portfólio do investidor será menor do que 
0,09. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. Parte da questão anterior, onde já calculamos os pesos. Para calcular o risco do portfólio, 
usamos também a média ponderada dos desvios padrão, pelo peso de cada ativo na carteira. 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 = 𝑤𝑥𝜎𝑥 + 𝑤𝑦𝜎𝑦 =
5
9
. 𝑍𝐸𝑅𝑂 +
4
9
. 0,2 = 0,088 
 
Questão 3. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Em relação à precificação de títulos e ativos, julgue o item seguinte. 
A fronteira eficiente é o lugar geométrico em que as carteiras dominantes estão situadas e, portanto, 
alcança-se a maximização do retorno dado o risco. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. Esse é exatamente o princípio da fronteira eficiente. Toda carteira que ali está tem o máximo 
de retorno previsto, dado o grau de risco. Ver no gráfico abaixo. 
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Questão 4. 
Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista em 
Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
A fronteira eficiente de Markowitz pode ser descrita como a composição de carteira que apresenta o menor 
nível de risco, considerando-se determinado nível de retorno. Na tabela abaixo, a carteira composta por 
20% do ativo A e 80% do ativo B tem variância superior a 0,50 e inferior a 0,51. 
 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. Essa é uma questão que não é possível fazer sem as fórmulas específicas para o cálculo da 
variância das carteiras. Mais importante, ainda há 2 opções, uma fica bastante facilitada, a outra, fica 
complicada. Mostramos as das a seguir. 
Na primeira, usamos a correlação, mas para isso vamos precisar tirar a raiz quadrada das variâncias, pois a 
fórmula usa o desvio-padrão e não a variância. 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦)𝜎𝑥𝜎𝑦 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 0,22. 1,8 + 0,82. 0,8 + 2 . 0,2 . 0,8. (−0,21). √1,8. √0,8 = 0,50334 = 50,33% 
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Na segunda fórmula, usamos a covariância, e fica bem mais fácil, pois não precisamos fazer a raiz quadrada, 
que dá números quebrados. 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝜎𝑥𝑦 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 0,22. 1,8 + 0,82. 0,8 + 2. 0,2. 0,8. (−0,25) 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 0,072 + 0,512 − 0,08 = 0,504 = 50,4% 
Obs. A diferença encontrada se dá pela aproximação feita nos valores de correlação e covariância pela própria 
banca. 
 
Questão 5. 
Ano: 2014 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: ANATEL Prova: CESPE - 2014 - ANATEL - Especialista em 
Regulação - Economia 
 
O diagrama acima ilustra um conjunto de oportunidades de investimento do mercado (área sombreada), 
formado por carteiras com diferentes padrões de risco e retorno. O ponto R representa o retorno do ativo 
livre de risco da economia. 
Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem. 
O segmento de reta RT representa a fronteira eficiente de investimentos e indica as carteiras com o maior 
retorno esperado para um dado nível de risco. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado 
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A fronteira eficiente vai do ponto M até o ponto F. A reta que se inicia no ponto R e tangencia a fronteira eficiente 
no ponto T é chamada de Linha do Mercado de Capitais (CML). O segmento de reta RT indica portfólios possíveis 
entre o ativo de menor risco e a carteira otimizada de mercado (que teria maior retorno e maior sharpe ratio 
possível, SEM ALAVANCAGEM). 
O slope da CML é o índice de Sharpe. 
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒 = 
𝑅𝑝 − 𝑅𝑓
𝜎𝑝
 𝑛𝑎 𝐶𝑀𝐿 𝑓𝑖𝑐𝑎 =
𝑅𝑚 − 𝑅𝑓
𝜎𝑚
 
O slope da SML é o índice de Traynor. 
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑦𝑛𝑜𝑟 = 
𝑅𝑝 − 𝑅𝑓
𝛽𝑝
 𝑛𝑎 𝑆𝑀𝐿 𝑓𝑖𝑐𝑎 =
𝑅𝑚 − 𝑅𝑓
1
 
 
Questão 6. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: FUNPRESP-EXE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
FUNPRESP-EXE - Analista de Previdência Complementar - Área de Atuação: Investimentos 
Em cada item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada com 
relação ao modelo CAPM. 
Na construção da carteira de mercado, assume-se a hipótese de expectativas homogêneas entre os 
investidores quanto ao retorno esperado e ao risco dos ativos. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. 
Premissas do CAPM: 
 Os investidores são racionais e procuram maximizar sua utilidade econômica. Cada indivíduo se 
preocupa apenas com o retorno esperado e o risco de um determinado ativo 
 Os investidores existem em grande número e se comportam de forma competitiva. Um único investidor 
não pode provocar variações nos preços 
 Investidores são avessos ao risco. O horizonte de tempo considerado nas expectativas de todos os 
investidores é o mesmo 
 Todos os investidores possuem o mesmo nível de acesso de informação a todos os ativos 
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 Não existem custos de transação; 
 Todos os investidores possuem as mesmas crenças sobre as oportunidades de investimento, ou seja, 
possuem expectativas homogêneas; 
 Os investidores podem emprestar e tomar emprestado montantes ilimitados de recursos à taxa livre de 
risco; 
 Os investidores podem vender a descoberto qualquer ativo, bem como reter qualquer fração de uma 
determinada ação. 
 
Questão 7. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras - 
Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Acerca dos principais métodos de avaliação de investimentos, julgue o item subsequente. 
No modelo CAPM, os investidores são neutros ao risco. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito. Errado. Ver premissas anteriores. 
 
Questão 8. 
Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista em 
Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
Considere que determinada carteira ampla e diversificada utilize a medida de risco denominada CAPM 
(capital-asset- pricing-model), que a covariância entre o retorno de um ativo i e o retorno da carteira de 
mercado seja igual a - 0,2, a variância do mercado seja 1,50, o retorno esperado do mercado seja 0,15 e a 
taxa livre de risco corresponda a 0,08. Nessa situação, de acordo com o CAPM, o retorno esperado desse 
ativo será superior a 0,07 e inferior a 0,08. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo. 
Essa é mais uma questão que o aluno só faria com o conhecimento das fórmulas do Beta. 
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𝛽𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐴𝑡𝑖𝑣𝑜; 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
= −
0,2
1,5
= −0,1333 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 = 8% + (15% − 8%). (−
0,2
1,5
) = 7,06% 
 
Questão 9. 
Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: FUNPRESP-EXE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
FUNPRESP-EXE - Analista de Previdência Complementar - Área de Atuação: Investimentos 
Considerando que, no sentido mais básico, risco pode ser definido como a possibilidade de perda, julgue o 
próximo item. 
O efeito de uma pandemia na economia e no valor das ações das empresas é um exemplo de risco específico 
que pode ser diversificável. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado. 
Esse é o risco sistemático que atinge o mercado como um todo e não pode ser diversificado. 
 
Questão 10. 
Ano: 2023 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SEFIN de Fortaleza - CE Prova: CESPE / CEBRASPE - 2023 
- SEFIN de Fortaleza - CE - Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências 
Econômicas/Finanças 
No que se refere à relação entre risco e retorno em finanças e à maneira como essa dinâmica afeta o 
apreçamento de ativos, julgue o item a seguir. 
O risco total de uma carteira de investimentos aumenta conforme se amplia a diversificação dessa carteira 
por meio da inclusão de mais títulos. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado. 
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 72 
O risco diminui pela diversificação do risco não sistemático. 
 
Questão 11. 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2002 
Segundo o CAPM, uma ação cujo beta é igual a 1,2 tem o mesmo risco de mercado e o mesmo retorno 
esperado que uma carteira formada pelas seguintes proporções: 
a) 20% aplicados no ativo livre de risco e 120% aplicados na carteira de mercado. 
b) 50% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 150% aplicados na carteira de mercado. 
c) 20% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 120% aplicados na carteira de mercado. 
d) 20% captados à taxa de juros do ativo livre de risco e 120% aplicados na própria ação. 
e) 100% aplicados na carteira de mercado. 
Gabarito C. Precisamos construir as fórmulas para ambas as situações e verificar que são iguais. 
O CAPM para o que está no enunciado é: 
𝐸(𝑅𝑎çã𝑜) = 1,2 × (𝑅𝑚 − 𝑅𝑓) + 𝑅𝑓 = 1,2𝑅𝑚 − 0,2𝑅𝑓 
1,2 x Rm é o equivalente a investir 120% na carteira de mercado. E -0,2 x Rf significa que temos retorno negativo, 
que é o mesmo que "pagar juros". Significa que estamos tomando emprestado e pagando os juros da taxa livre 
de risco. Essa situação de uma carteira com 120% investidos na carteira de mercado e tomando 20% 
emprestados à taxa livre de risco é descrita pela fórmula abaixo. 
𝐸(𝑅𝑐) = 1,2 × 𝑅𝑚 − 0,2 × 𝑅𝑓 
São iguais. 
𝛽𝑐 = 1,2 × 1,0 − 0,2 ∗ 0,0 = 1,2 
 
Questão 12. 
ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Controle e Fiscalização - Atuária/2006 
Paulo Portinho
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 73 
De acordo com o CAPM (capital asset pricing model), o retorno esperado de um ativo financeiro tem relação 
direta com 
a) a estimativa de retorno esperado, feita por um investidor bem informado. 
b) o nível de risco não-diversificável desse ativo. 
c) o nível de risco da carteira de mercado. 
d) o grau de tolerância a risco do investidor médio. 
e) a liquidez do ativo financeiro em questão. 
Gabarito B. 
a) Faz sentido para um determinado indivíduo, mas não tem nada a ver com o CAPM e com a teoria. 
b) Correto. Aplicação direta da teoria. Lembrando do Princípio do Risco Sistemático: O retorno esperado de um 
ativo depende apenas do risco sistemático desse ativo. Risco sistemático é o risco NÃO diversificável. 
c) O nível de risco da carteira de mercado atinge a todos os ativos. O que diferencia os ativos é o BETA e não o 
risco da carteira de mercado. 
d) não tem relação com o modelo CAPM. Essas respostas são pegadinhas, pois parecem fazer sentido, mas não 
têm relação com a pergunta. 
e) Não tem relação com o Método CAPM. 
 
Questão 13. 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Segundo o capital asset pricing model (CAPM), um ativo com beta negativo: 
a) terá necessariamente risco sistemático maior que o da carteira teórica de mercado. 
b) terá necessariamente risco total menor que o da carteira teórica de mercado. 
c) deverá oferecer retorno esperado inferior ao do ativo livre de risco. 
d) deverá oferecer retorno esperado negativo. 
Paulo Portinho
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 74 
e) deverá oferecer retorno esperado igual ao do ativo livre de risco. 
Gabarito C. 
O modelo CAPM é esse: 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 
Não necessariamente terá risco total menor ou maior do que o da carteira de mercado, pois o negativo pode ser 
baixo (-0,1) indicando pouca oscilação, ou alto (-2) indicando muita oscilação. É importante ficar claro que risco 
não é só perda, mas é volatilidade. 
O gabarito “C” também não é tão preciso, pois deveríamos garantir que o retorno da carteira de mercado é maior 
do que o da Rf (no Brasil talvez não seja). Porém a teoria NÃO permite que um ativo livre de risco tenha retorno 
MAIOR do que o ativo de risco, pois ninguém investiria. Por isso o C, apesar de impreciso para casos práticos e 
reais, de acordo com a teoria do CAPM estaria correto. 
A d está errada, pois depende do beta e do prêmio de mercado. 
A e também está errada, pois só seria assim se não houvesse prêmio de risco. 
 
Questão 14 
FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2006 
Considere: 
I. O risco diversificável representa a parte do risco de um ativo associada a causas aleatórias que podem ser 
eliminadas por meio da diversificação. 
II. O coeficiente Beta (β) é uma medida relativa de risco diversificável. 
III. O CAPM pode ser dividido em duas partes: (1) A taxa livre de risco; (2) o prêmio de risco. 
IV. O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que é útil na comparação do risco de 
ativos com diferentes retornos esperados. 
É correto o que consta em 
a) I e II, somente. 
b) I, II, III e IV. 
c) I, III e IV, somente. 
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d) II e III, somente. 
e) III e IV, somente. 
Gabarito C 
A I está correta, é aplicação direta da teoria discutida. 
A II está incorreta, pois o Beta não é uma medida relativa de risco diversificável, é uma medida de risco NÃO 
diversificável. 
A III é estranha, mas com certeza não está errada, pois há 2 partes na equação do CAPM, a parte relativa ao 
retorno do ativo livre de risco e à parte relativa ao prêmio de risco de mercado. 
A IV trata do coeficiente de variação de Pearson que é uma medida de dispersão relativa, empregada para 
estimar a precisão de experimentos. O CV representa o desvio-padrão expresso como porcentagem da média. 
Sua principal qualidade é a capacidade de comparação de distribuições diferentes. 
Esse coeficiente não é muito usado em finanças, é mais utilizado em estatística pura. Mas a IV faz uma 
afirmação correta. 
 
Questão 15 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
Usando o Capital Asset Pricing Model (CAPM) e considerando- se dois ativos de risco, com retornos 
esperados iguais e desvios padrões iguais, seus preços serão 
a) diferentes, se os investidores forem neutros em relação ao risco. 
b) diferentes, pois os ativos podem ter covariâncias diferentes com a carteira de mercado. 
c) iguais, pois é o mesmo retorno e o mesmo risco. 
d) iguais, se os investidores apresentarem aversãorelativa constante em relação a risco. 
e) crescentes, caso aumente a aversão a risco entre os investidores. 
Gabarito B 
O modelo CAPM não deixa muito espaço para dúvidas. Se a covariância é diferente, os betas serão diferentes, 
dado que a variância da carteira de mercado (denominador), portanto o retorno esperado será diferente (nesse 
caso): 
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 76 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 
𝛽𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐴𝑡𝑖𝑣𝑜; 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎)
 
 
Questão 16 
FCC - Auditor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo/2008/ 
O método recomendado para estimar o custo de capital das ações ordinárias de uma empresa com cotação 
na bolsa de valores é o modelo de precificação de ativo (CAPM − Capital Asset Pricing Model). Com relação 
a esse modelo, considere: 
I. Ele estabelece uma relação linear entre o prêmio exigido para investir em um ativo de risco e o prêmio que 
oferece a carteira de mercado. 
II. Há duas formas de medir o risco sistemático do ativo: de forma absoluta, pelo beta do ativo obtido como 
resultado da divisão entre a covariância do ativo e da carteira pela variância do ativo, e, de maneira relativa, 
pela covariância dos retornos do ativo e os retornos da carteira. 
III. O modelo CAPM recomenda a diversificação da carteira de ações, pois o aumento do número de ativos 
na carteira tende a compensar as variações provenientes das próprias empresas ou, de outra maneira, tende 
a eliminar o risco diversificável ou risco não-sistemático. 
IV. A determinação da estimativa do custo de capital da ação ordinária aplicando o CAPM se baseia em 
retornos históricos da taxa livre de risco, do ativo de risco e da carteira de mercado, todas durante o mesmo 
prazo e periodicidade. 
V. O risco total do ativo é a soma do risco sistemático (risco diversificável) e do risco não-sistemático (não-
diversificável), e em uma carteira bem diversificada há somente o risco não-sistemático. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
a) I e V. 
b) I, II e V. 
c) I, III e IV. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
Gabarito C 
O I, III e IV são aplicações diretas da teoria. Basta rever os conceitos discutidos nesta aula. 
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 77 
O II está errado, pois o beta não é calculado com divisão pela variância do ativo, mas pela variância da 
CARTEIRA DE MERCADO. 
O V está errado, pois risco sistemático é NÃO diversificável e vice-versa. Está ao contrário no enunciado. 
 
Questão 17 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2013/ 
Caso se eleve o nível geral dos coeficientes de correlação entre retornos das ações negociadas no mercado, 
as carteiras de investidores diversificados, que queiram atingir uma determinada meta de risco e só possam 
assumir posições compradas em ações: 
a) deverão ser menos diversificadas do que antes. 
b) terão retorno esperado mais baixo, de acordo com o CAPM. 
c) deverão conter maior número de ações diferentes. 
d) incluirão somente ações com liquidez elevada. 
e) terão retorno esperado mais alto, de acordo com o CAPM. 
Gabarito C 
Essa questão deu muita margem a controvérsia, e está formulada de forma pobre mesmo. Pouco precisa. 
Mas vamos relembrar a carteira diversificada de Markowitz 
Ativos 1 2 3 ... N 
1 𝑤1
2𝜎1
2 𝑤1𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅2) 𝑤1𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅3) 𝑤1𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅𝑁) 
2 𝑤2𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅1) 𝑤2
2𝜎2
2 𝑤2𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅3) 𝑤2𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅𝑁) 
3 𝑤3𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅1) 𝑤3𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅2) 𝑤3
2𝜎3
2 𝑤3𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅𝑁) 
... 
N 𝑤𝑁𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅1) 𝑤𝑁𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅2) 𝑤𝑁𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅3) 𝑤𝑁
2𝜎𝑁
2 
E a fórmula da correlação é: 
𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦) = 𝜌𝑥𝑦 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥𝜎𝑦
=
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦
 
Nada podemos inferir sobre os desvios dos ativos, apenas sobre a correlação entre eles. Dessa forma, vamos 
considerar que não mudam, o que significa que todos os N2-N termos da carteira diversificada devem subir (pois 
a correlação sobe, e os desvios permanecem). 
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 78 
Não são ativos iguais, mas nós temos uma expressão sobre o RISCO da carteira, baseada nos termos da matriz 
acima (para ativos iguais): 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 =
1
𝑁
𝑉𝑎𝑟 + (1 −
1
𝑁
) 𝐶𝑜𝑣 
O que percebemos, independentemente de serem iguais ou não, é que o risco da carteira DIMINUI com a entrada 
de mais ativos. E também sabemos que o risco deve SUBIR com o aumento generalizado das correlações (e 
covariâncias). 
O item C parece fazer sentido, pois sabemos que a maior quantidade de ativos tende a reduzir o risco não 
sistemático (diversificável). 
 
Questão 18 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
De acordo com o modelo CAPM, a carteira de mercado de ativos pertence à fronteira eficiente, e o prêmio 
de risco dos ativos individuais será inversamente proporcional ao prêmio de risco da carteira de mercado. 
Certo 
Errado 
Gabarito Errado. 
Aplicação direta da teoria: 
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 
𝐸(𝑅𝑖) − 𝑅𝑓 = (𝐸(𝑅𝑀) − 𝑅𝑓) × 𝛽𝑖 
Isso significa que o prêmio de risco dos ativos individuais (Ri-Rf) será PROPORCIONAL ao prêmio de risco do 
mercado (Rm – Rf). 
Ainda que o BETA seja negativo, grandezas INVERSAMENTE proporcionais são aquelas em que o dobro de uma 
variável, reduzirá à metade a outra grandeza. O beta negativo dobraria a outra grandeza, porém do lado 
negativo. 
 
Questão 19 
FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2006 
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 79 
Abaixo são fornecidos os ativos que compõem a carteira de dois fundos de investimento, com suas devidas 
proporções, e os coeficientes beta de cada um dos ativos. 
 
Os coeficientes Beta (ββ) da carteira A e da carteira B são, respectivamente, 
a) 0,81 e 1,1 
b) 0,86 e 1,3 
c) 0,91 e 1,2 
d) 1,2 e 0,91 
e) 1,3 e 0,86 
Gabarito D 
Basta calcular a média ponderada dos betas das carteiras, pela participação percentual de cada ativo na 
carteira. É uma questão trabalhosa, mas apenas uma média ponderada. 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 = 𝑤𝑥𝜎𝑥 + 𝑤𝑦𝜎𝑦 … 
 
Questão 20 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Uma carteira eficiente, em termos de risco e retorno esperado, é aquela que: 
a) apresenta o maior retorno esperado para qualquer nível de risco total. 
b) é composta somente por ativos corretamente avaliados pelo mercado. 
c) tem risco sistemático igual ao da carteira teórica de mercado. 
d) possui o nível mais baixo de risco de mercado para um dado nível de retorno esperado. 
e) oferece retorno esperado acima do retorno da carteira teórica de mercado. 
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Gabarito A 
O gráfico da CML tem Retorno esperado e Risco total, e na fronteira eficiente temos os retornos máximos 
esperados para cada nível de risco. 
A C está errada, pois a fronteira tem vários riscos e retornos, e vários Betas (SML) é uma curva e não um ponto 
específico que tem apenas um risco. 
A D está errada, pois dependendo da posição na fronteira, a carteira pode ter mais ou menos risco e mais ou 
menos retorno do que a carteira de mercado. Mesmo motivo da E estar errada. 
 
Questão 21 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Uma carteira de ações é formada pelos seguintes ativos: 
 
Também se sabe que o coeficiente de correlação entreos retornos das duas ações é igual a 0,40. Como a 
carteira é formada por uma posição comprada na ação A e uma posição vendida na ação B, nas proporções 
de -30% e 130%, respectivamente, então o par de valores inteiros mais próximos do retorno esperado e do 
risco total da carteira é formado, nessa ordem, por: 
a) 25% e 18% 
b) 23% e 18% 
c) 28% e 16% 
d) 25% e 12% 
e) 20% e 15% 
Gabarito B 
Aqui há confusão entre comprado e vendido. Deveria ser o contrário, pois se estamos comprados em A, 
receberemos juros de A, se estamos vendidos em B, pagaremos juros de B. Mas, vamos seguir as instruções da 
questão. 
Retorno esperado = -0,3*18%+130%*22%=23,2% 
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑤𝑥
2𝜎𝑥
2 + 𝑤𝑦
2𝜎𝑦
2 + 2𝑤𝑥𝑤𝑦𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦)𝜎𝑥𝜎𝑦 
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𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜) = 𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = (−0,3)2 0,162 + 1,32 0,152 + 2 (−0,3)(1,3)(0,4)(0,16)(0,15) 
Tirando a raiz quadrada da variância, teríamos 17,48%. 
Mas daria para responder só com o retorno calculado. Talvez fosse esse o objetivo da banca, verificar se o aluno 
tem essa percepção, de que não precisa fazer a parte complicada. 
 
Questão 22 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
O gráfico abaixo, entre o retorno esperado e o desvio padrão do retorno de carteiras disponíveis, para um 
certo investidor que prefere retorno maior e risco menor, mostra cinco pontos numerados e marcados com 
x, correspondendo a cinco carteiras. 
 
 
Considerando o gráfico, a fronteira eficiente poderia passar pelos pontos 
a) 1, 2, 3 e 5 
b) 1, 2 e 3 
c) 1, 3 e 5 
d) 2, 4 e 5 
e) 2 e 3 
Gabarito E. 
A fronteira eficiente NÃO pode passar pelo ponto 1, pois tem risco maior e retorno menor do que o ponto 2. 
Não pode passar pelo ponto 5, pois tem risco maior do que o ponto 3 e tem retorno menor. 
O mesmo se pode dizer para o ativo 4. 
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Os pontos 2 e 3 PODEM fazer parte da fronteira eficiente, pois 3 tem retorno menor que 2, porém tem risco 
também menor. 
 
Questão 23 
ESAF - Auditor Fiscal da Previdência Social/Auditoria nas Entidades Fechadas de Previdência 
Complementar/2002 
Uma carteira é formada por dois investimentos, A e B, com pesos iguais a 75% e 25%, respectivamente. 
Sabe-se que os retornos esperados de A e B são estimados em 15% e 18%, e os respectivos desvios-padrão 
dos retornos são estimados em 25% e 30%, também respectivamente. 
Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre os retornos de A e B é igual a 0,50, então o risco da 
carteira, medido pelo desvio-padrão de seu retorno, está estimado em: 
a) 26,25% 
b) 15,77% 
c) 27,50% 
d) 23,42% 
e) 52,94% 
Gabarito D. 
Aplicação direta da fórmula. Ver questão 21. 
 
Questão 24 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Um analista acredita que a tabela apresentada a seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de 
probabilidades da taxa de retorno de uma certa ação. 
 
 
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De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-padrão da taxa de retorno da 
ação são, respectivamente: 
a) 5,5% e 10,86% 
b) 5,5% e 8,66% 
c) 4,0% e 25% 
d) 4,0% e 10,86% 
e) 4,0% e 8,66% 
Gabarito E. Veja cálculos feitos na planilha. Infelizmente, nesse caso, não seria possível achar apenas o retorno 
esperado de 4%, pois há 3 opções considerando esse retorno. 
Retornos Prob Ação R-Ri (R-Ri)2 w*(R-Ri)2
Bom 15,00% -10,00% (0,1400) 0,0196 0,0029 
Médio 25,00% -2,00% (0,0600) 0,0036 0,0009 
30,00% 5,00% 0,0100 0,0001 0,0000 
Ruim 30,00% 15,00% 0,1100 0,0121 0,0036 
Retorno esperado 4,00% (0,0800) VAR 0,0075 
σ 8,66% 
 
Questão 25 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Uma carteira de ações é formada por dois papéis: A e B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de 
retorno das duas ações: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-padrão do 
retorno de A = 6%; desvio-padrão do retorno de B = 7%; correlação entre os retornos de A e de B = 0,20. 
Sabendo-se que o peso da ação A na carteira é igual a 40%, então o desvio-padrão estimado para o retorno 
da carteira é igual a: 
a) 6,36% 
b) 12,60% 
c) 5,24% 
d) 6,60% 
e) 12,00% 
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Gabarito C. 
Aplicação direta da fórmula. Ver questão 21. 
 
Questão 26 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Contábil-Financeira/2000 
Com relação a práticas bancárias, julgue o item seguinte. 
Em finanças, a sensibilidade das ações às variações do valor da carteira de mercado é conhecida por alpha, 
que mede a contribuição marginal de uma ação em relação ao risco de uma carteira de mercado. 
Certo 
Errado 
Gabarito errado. 
Seria beta e não alpha. 
 
Questão 27 
IADES - Analista Técnico (FUNPRESP)/Investimentos/2014/ 
A moderna teoria da carteira surgiu a partir da publicação, em 1952, do artigo Portfolio Selection de Harry 
Markowitz. 
 
Com base na figura apresentada e no conceito de fronteira eficiente, assinale a alternativa correta. 
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a) A fronteira eficiente reúne todas as carteiras ótimas em termos de risco versus retorno. 
b) De acordo com a teoria de Markowitz, as carteiras eficientes situam-se acima da fronteira eficiente. 
c) Para um determinado nível de risco, o maior retorno possível estaria abaixo da fronteira eficiente. 
d) Se o investidor deseja obter retornos além da fronteira eficiente, deverá estar disposto a aceitar um risco 
mais elevado. 
e) Na fronteira eficiente, o risco é o mesmo para qualquer nível de retorno. 
A alternativa A é a única que faz sentido. Para qualquer nível de retorno, as carteiras que estão na fronteira 
eficiente serão as de MAIOR retorno. 
A B não faz sentido, pois acima da carteira eficiente não existem carteiras possíveis. 
A C não faz sentido, abaixo da fronteira os retornos são menores. 
A D não faz sentido pelo mesmo motivo de B. E ele pode assumir mais riscos, porém se alavancando e operando 
na CML. 
A E é puro nonsense, se o risco fosse o mesmo para cada nível de retorno, teríamos um gráfico vertical. 
 
Questão 28 
ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Controle e Fiscalização/2010 
A determinação da fronteira eficiente para o mercado de ações requer o conhecimento de valores 
numéricos para os seguintes elementos, entre outros: 
a) volatilidade da taxa de juros livre de risco e coeficiente beta da carteira de mercado. 
b) número de títulos que podem fazer parte da carteira e seus retornos esperados. 
c) betas das várias ações e volatilidade da carteira de mercado. 
d) beta do ativo livre de risco e grau de aversão a risco do investidor que está determinando a fronteira. 
e) coeficientes de assimetria e curtose da distribuição de probabilidades dos retornos das ações. 
Gabarito B. 
Lembre-se como montamos a fronteira eficiente. Pegamos o retorno de dois ativos, suas variâncias e 
covariâncias. Apenas isso. 
Dessa forma não usamos betas. Não usamos curtoses ou coeficientes de assimetria. Não usamos volatilidade. 
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Usamos número de títulos (2) e retornos esperados. Resposta B. 
Perceba que o enunciado fala “entre outros”, por isso não há menção à variância ou à covariância. 
 
Questão 29 
ESAF - Analista Técnicoda SUSEP/Controle e Fiscalização - Atuária/2006 
Para que seja construída a fronteira eficiente de ativos de um determinado mercado, são necessários os 
seguintes dados: 
a) graus de aversão a risco dos investidores. 
b) quantidades disponíveis dos ativos negociados. 
c) composição da carteira do índice de mercado. 
d) alíquotas de imposto de renda à qual estão sujeitos os rendimentos dos ativos. 
e) retornos esperados e covariâncias entre retornos dos ativos. 
Gabarito E 
Mesma análise anterior. Só entendo que as variâncias também seriam relevantes para a análise. Mas talvez ele 
queira dizer que, se temos os retornos, podemos calcular as variâncias. 
 
Questão 30 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2008 
Um dos principais resultados do CAPM (capital asset pricing model) é o de que, em equilíbrio, a carteira de 
mercado é eficiente. Isso significa que a carteira de mercado 
a) está sempre situada na fronteira eficiente. 
b) contém ativos numa combinação com o menor risco possível, entre todas as carteiras de mínimo risco. 
c) contém ativos numa combinação com o maior retorno esperado possível, entre todas as carteiras de 
mínimo risco. 
d) não é completamente diversificada. 
e) tem beta igual a zero. 
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Gabarito A 
a) certa. 
b) errada, pois não é a de menor risco possível. 
c) não existem carteiras de mínimo risco. Existe uma carteira de mínimo risco apenas, que é a que está na ponta 
do gráfico e é chamada de carteira de menor variância. Não são várias. 
d) é completamente diversificada 
e) tem beta igual a 1. 
 
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ANEXO A - Generalização dos cálculos de covariância 
Vamos generalizar aquela fórmula de cálculo do desvio padrão do portfólio para mais ativos. Será 
necessário representarmos em uma matriz, para conseguirmos visualizar melhor os termos. 
Ativos 1 2 3 ... N 
1 𝑤1
2𝜎1
2 𝑤1𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅2) 𝑤1𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅3) 𝑤1𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅𝑁) 
2 𝑤2𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅1) 𝑤2
2𝜎2
2 𝑤2𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅3) 𝑤2𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅𝑁) 
3 𝑤3𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅1) 𝑤3𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅2) 𝑤3
2𝜎3
2 𝑤3𝑤𝑁𝐶𝑜𝑣(𝑅3, 𝑅𝑁) 
... 
N 𝑤𝑁𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅1) 𝑤𝑁𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅2) 𝑤𝑁𝑤3𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑁, 𝑅3) 𝑤𝑁
2𝜎𝑁
2 
Perceba que, para o caso de haver apenas 2 ativos, a fórmula é a mesma que enunciamos anteriormente. 
Atentando para o fato de que: 
𝑤2𝑤1𝐶𝑜𝑣(𝑅2, 𝑅1) = 𝑤1𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅2) 
Há algo bastante interessante nessa matriz. 
Quantos termos temos? 
Simples: NxN= N2. 
Quantos termos temos, que dependem exclusivamente do desvio-padrão dos ativos individuais? 
Simples, são os que estão na diagonal: quantidade N. 
Quantos termos temos, que dependem da covariância entre os ativos do portfólio? 
Também simples: quantidade N2-N 
Para um portfólio com 10 ativos, teríamos 10 termos dependentes do desvio padrão dos ativos individuais 
e 90 (102-10) que dependem das covariâncias entre os ativos. 
Isso nos dá uma indicação de que a variância do portfólio depende mais das covariâncias entre os ativos 
do que da variância dos ativos individuais. 
Peguemos um caso simples: 
Temos N ativos com a mesma variância e a mesma covariância entre eles. Todos têm o mesmo peso no 
portfólio (1/N). 
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É fácil demonstrar que os termos na diagonal serão: 
𝑤1
2𝜎1
2 =
1
𝑁2
𝑉𝑎𝑟 
E os termos fora da diagonal serão: 
𝑤1𝑤2𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅2) =
1
𝑁2
𝐶𝑜𝑣 
A variância do portfólio seria: 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 = 𝑁 ×
1
𝑁2
𝑉𝑎𝑟 + 𝑁(𝑁 − 1) ×
1
𝑁2
𝐶𝑜𝑣 
Simplificando, teríamos: 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 =
1
𝑁
𝑉𝑎𝑟 + (1 −
1
𝑁
) 𝐶𝑜𝑣 
Se aumentarmos o número de ativos no portfólio, tendendo ao infinito por exemplo, o resultado seria o 
seguinte: 
𝜎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜
2 =
1
∞
𝑉𝑎𝑟 + (1 −
1
∞
) 𝐶𝑜𝑣 = 𝐶𝑜𝑣 
Esse resultado nos diz algo interessante sobre a diversificação. 
Conseguimos reduzir os riscos individuais dos ativos, mas não conseguimos reduzir os riscos derivados da 
covariância entre eles. 
Esse resultado será muito útil adiante. 
Em tese o que ele quer dizer é que conseguimos diversificar os riscos específicos de cada ativo, mas não 
conseguimos diversificar o risco de mercado (a covariância do portfólio de mercado). 
 
Paulo Portinho
Aula 03
BACEN (Analista - Área 2 - Economia e Finanças) Finanças - 2024 (Pós-Edital)
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