Equações Diferenciais Aplicadas

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INSTITUTONACIONALDEMATEMÁTICAPURAE APLICADA
EquaçõesDiferenciais
Aplicadas
COLEÇÃOMATEMÁTICAUNIVERSITÁRIADjairo GuedesdeFigueiredo
Aloisio Freiria Neves
Figueiredo,DjairoGuedesde
Neves,Aloisio Freiria
EquaçõesDiferenciaisAplicadas.RiodeJaneiro,
InstitutodeMatemáticaPuraeAplicada,CNPq,1997.301pp. (ColeçãoMatemáticaUniversitária)
Bibliografia.
1,EquaçõesDiferenciais.2.AnáliseMatemática.1.Título. II. Série.
CDD-515-3
eBook processadocom ScanTailor:
htips://github.com/4lex4/scantailor-advanced
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA
Equações Diferenciais
Aplicadas
Djairo Guedesde Figueiredo
Aloisio Freiria Neves
impa
INSTITUTODE MATEMÁTICAPURAE APLICADA
Copyright(c),1997byDjairo GuedesdeFigueiredoeAloisioFreiria Neves
Direitosreservados,1997peloConselhoNacionaldeDesenvolvimento
Científico e Tecnológico, CNPq
Av. W-3 Norte, Brasília, DF
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
capa:RodolfoCapetoeNoniGeiger
ColeçãoMatemáticaUniversitária
ComissãoEditorial:
ElonLagesLima(editor)
Jonas Gomes
Paulo Sad
Títulos Publicados:
Análise Real, Volume 1 (TerceiraEdição)- Elon LagesLima
EDP: Um CursoIntrodutório - Valérialório
Curso de Álgebra, Volume 1 - AbramoHefez
Introdução àsCurvasAlgébricas Planas- Israel Vainsencher
- ÁlgebraLinear (SegundaEdição)- ElonLagesLima
6. EquaçõesDiferenciaisAplicadas- DjairoG. deFigueiredoeAloisioFreiria Neves
Diagramação,Composiçãoe Fotolito Digital:
GRAFTEX ComunicaçãoVisual
Rio de Janeiro, RJ
e-mail:home@graftex.com.br
web:http://www.graftex.com.br
Distribuição:
SBM, SociedadeBrasileiradeMatemática
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320,Rio de Janeiro, RJ
e-mail;sbm@impa.br
ISBN 85-7028-014-9
Conteúdo
Prólogo
Capítulo1:OTeoremaFundamentaldoCálculo 1
Capítulo 2: Equações Diferenciais de Primeira Ordem 6
2.1. EquaçõesDiferenciaisLineares de Primeira Ordem 6
2.2. EquaçõesSeparáveis 11
2.3. A Dinâmicade umaPopulaçãoe Noçõesde Estabilidade ....... 18
2.4. Exercícios 23
2.5. Aplicações 28
2.5.1. Resfriamentodeum corpo. 28
2.5.2 Diluição desoluções 30
2.5.3. Por queuma cordaenroladanum postesustentaum barco? .... 32
2.5.4 A tractriz 35
2.5.5 A catenária 39
2.5.6 O espelhoparabólico 43
2.5.7 As curvas deperseguição 44
Capítulo3: PropriedadesGeraisdasEquações 48
3.1. InterpretaçãoGeométricada equaçãoy' = f(x, y) 48
3.2. Existência,Unicidadee DependênciaContínua. 51
3.3. CamposVetoriaiseFormas Diferenciais. 65
3.4 EquaçõesExatas 74
3.4.1. Um métodopráticode integração 79
3.4.2. Existência dB Fatorintegrante 80
3.5. Família daCurvas Planas 84
3.5.1. Envoltória 87
8.5.2. Trajetórias ortogonais 90
Capítulo4: EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem 93
4.1. EquaçõesLineares deSegundaOrdem 93
4.2. Obtençãode Soluções 99
4.2.1. Método de variação dos parâmatros 99
4.2.2. Equações Lineares com coeficientes constantes homogêneas .... 101
4.2.3. Métodode reduçãoda ordemda equaçãodiferencial . ........ 105
4.2.4. Métododoscoeficientesa determinar ..................... 107
4.2.5. A equaçãodeEuler-Cauchy 110
4.2.6. Métododas sériesdepotências 112
4.2.7. Métodode Frobenius 113
4.3. Exercícios 114
4.4. A Dinâmica deuma partícula 119
4.4.1 Queda livrede corpos 120
4.4.2. Quedadecorposconsiderandoa resistênciado ar 122
4.4.3. Movimentode projéteis 126
4.4.4. Movimentoem planosinclinados 129
4.4.5. Velocidadede escape 130
4.4.6 Movimento deum foguete 133
4.4.7. Energia cinéticae potencial 136
4.5O OsciladorHarmônico 137
4.5.1 Osciladorharmônico simples 141
4.5.2. Osciladorharmônicoamortecido 144
4.5.3. Oscilador forçado 147
4.5.4. Comentários sobrea energiado osciladorharmônico 153
4.6. Campos CentraisdeForças 154
4.6.1. Movimentocentralcomforçaatrativa proporcional
à distânciaao centro 162
4.6.2. Movimentocentral comforçaatrativa inversamente
proporcionalaoquadradoda distância aocentro ........... 165
4.6.3. Lei da GravitaçãoUniversal 167
4.6.4. Leis deKepler 169
4.6.5. A Lei da GravitaçãoUniversale as Leis deKepler 170
4.6.6. A equaçãodasórbitasdosplanetasna TeoriaGeraldaRelatividade174
4.6.7. Satélitesartificiais da Terra 176
Capítulo5:TransformadadeLaplace 180
5.1. Definiçãoda Transformadade Laplace 182
5.2. Propriedadesda Transformadade Laplace 185
6.3. ProdutodeTransformadase Convolução 191
5.3.1. Obtençãode umasoluçãoparticular deumaequaçãonãohomogênea193
5.4. Exercícios 195
5.5. Aplicações 197
5.5.1. Funções descontínuas 197
5.5.2. Funçõesimpulso 199
5.5.3. Comportamentoda derivada 203
Capítulo 6: Sistemas Autônomos no Plano 206
6.1. ConsequênciasdoTeoremade Existência e Unicidade 207
6.2. Pontosde equilíbrio ou singularidades 209
6.2.1. O sistema linear 213
6.2.2. O sistema não linear 219
6.3. O Teoremade Poincaré-Bendixon 222
6.3.1. ConsequênciasdoTeoreamdePoincaré-Bendixon.......... 229
6.4. UsandoosoftwareMathematica 233
6.5. Exercícios 242
6.6. Aplicações 244
6.6.1. O pêndulo 244
6.6.2. O modelopredador-presa 257
Capítulo7:SistemasdeEquaçõesDiferenciais 265
7.1. SistemasLineares deEquaçõesDiferenciais 265
7.1.1. Definiçõese propriedades 267
7.1.2. Sistemascomcoeficientesconstantes 271
7.1.3. Exponencialde matrizes 276
7.2. EquaçãoAdjunta e a Alternativa deFredholm 285
7.3. Linearização,Estabilidade e FunçõesdeLiapunov 289
7.4.Exercícios 298
ReferênciasBibliográficas 302
Índice 303
Prólogo
Pergunta; Diz-se que todo livro tem uma mensagem. Qual foi a
motivaçãoparaescrevero texto“EquaçõesDiferenciaisAplicadas”?
Resposta: A granderelevânciada Matemáticajaz no fato de que,
além de sua vida própria comociência, comsuas teorias e seuspro-
blemas,ela tem a característicaímpar de poderpenetrar,comouma
armaimportantee,àsvezes,imprescindívelemmuitosoutrosramos
do conhecimentohumano. Não devemosesqueceressefato, quando
realizamosnossotrabalho, comoprofessorou comopesquisador.Ao
ensinar Matemáticapara alunosde outras áreasé essencialmotivar,
mostrando-lhesa importância do que estãoaprendendopara os pro-
blemasdesuasespecialidades.AosalunosdeMatemática,éeducativo
mostrar-lhesuma Matemáticarica deaplicações,contar-lhesqueas
raízesdetantasteoriasmatemáticasestãoemproblemasdanatureza,
Através dessasraízes,veio a forçaquepropulsionouo notávelcresci-
mentodegrandeparte daMatemáticano passado.Ninguémignora0
trabalhodeNewton,Leibniz eoutrosna criaçãoedesenvolvimentodo
Cálculo, pari passu com a Mecânica e outros ramos da Física. Mais
recentemente,identificam-se características análogas nos trabalhos
de Poincarée Hilbert. EquaçõesDiferenciaiséum dosramosda Ma-
temática que, a nosso ver, não deve ser estudado esquecendoessas
raízes.
Pergunta:Para quetipodealunoso livro sedestinae comoeleesta
organizado?
Resposta:O textoé acessívela alunosdegraduaçãoda áreadeciên-
cias exatas, que tenham feito um curso de um ano de Cálculo. Algu-
mas seçõespodemser omitidasnum primeiro curso. Por exemplo,0
teoremade Existênciae Unicidadede Picardé apresentadona ma-
neira moderna,poiscremosque,mesmopara alunos iniciantes,essa
atitude é instrutiva. Entretanto, a demonstraçãopoderiaeventual
menteser considerada muito abstrata para grande parte dos alunos,
e consequentementeomitida.
Num primeirocursoa ênfasedeveestarnastécnicasdeobtençãode
soluções.Portantoocursodevesercentradonoscapítulos2,4e5,onde
essastécnicassãodesenvolvidas.A forçadessastécnicasé sentidano
estudodas aplicações.Essas aplicaçõespodemser escolhidasentre
aquelasapresentadasnessesmesmoscapítulos.Sugerimosiniciar no
capítulo2,comentaroTeoremadeExistênciaeUnicidadedocapítulo
3, desenvolveros capítulos4 e 5, e finalizar comsistemasautonômos
noplano,estudando,por exemplo,as técnicasdeobtençãodesoluções
dos Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes, secções6.2.1 e
MA
O livro está organizadoda seguinteforma: as primeiras secções,de
cadacapítulo,sãodestinadasà parte teóricae à descriçãodosvários
métodosde obtençãode soluções;segue-sea secçãode exercícios;e
posteriormenteestão as aplicações. O texto apresentaos conceitos
matemáticosde maneiracuidadosae é bastanterico emaplicações.
Contém mais aplicaçõesdo que normalmentese estuda nos cursos
tradicionais,dandoaoleitor e aoprofessora possibilidadedeescolha
de acordocomos interessesdaturma.
Alguns conceitossãoapresentados,primeiramente,demaneiraintro-
dutória,eposteriormente,noscapítulossubsequentes,sãoreapresen-
tadoscommaisprofundidadeedeformamaiscompleta.Por exemplo,
o conceitode estabilidadeé introduzido na secção2.3,e complemen-
tadoposteriormentenoscapítulos6 e 7.
Numcursomaisespecializado,cujosalunosjá cumprirama sequência
dos cursos de Cálculo, pode e deve-se complementar o curso, com
enfasemais teórica,estudandoos capítulos3, 6 e 7, e as aplicações
correspondentes.
Pergunta:AssecçõesdolivrosobrealgunsramosdaFísicaestãomais
longasdo que normalmentese encontranum livro de Matemática.
Não seria melhor remetero leitor para livros deFísica?
Resposta: Essas secçõesforam precisamenteas que nos deram mais
trabalho para escrever, pois, não somos especialistas dessas áreas.
Mas cromosqueoesforçovaleu,dadoosobjetivosquetemosemmente.
O livro tambémse destina ao professordoscursosde equaçõesdife-
renciais. O tempoque ele dispõe para preparaçãodo curso não é
suficienteparaestudarvárioslivros deFísica e deoutroscamposdo
conhecimentohumano. Ele poderáfazer isso, num segundoestágio,
apóster tomadogosto!As nossassecçõesdevotadasàs aplicaçõesdão
aqueleprofessor,na linguagemcoma qualeleestáhabituado,osele-
mentosbásicosdessasoutras áreas. Isso permitirá que ele fale, sem
receio,à seusalunos sobreessasaplicações.
Pergunta; O texto é então completamentediferente dos outros de
EquaçõesDiferenciais?
Resposta: Não. Grande parte dos livros de Equações Diferenciais
tem aplicações,mas, em geral, apresentadasmuito concisamente,o
que impossibilitao aluno deapreciarrealmenteo papeldasequações
diferenciaisnos problemas.Mas é claro quehá bons livros dentrodo
espírito do nossotexto. Os livros de G.F. Simmons,M. Braun, entre
outros,influenciarambastantenossotrabalho.Cremosqueninguém
podeter a pretensãodeser original no assuntoapresentadoaqui. Al-
gunsproblemasvêmdopróprioNewton! A originalidadenessetipode
trabalho residetão somentena arrumaçãodos assuntos,na escolha
dos problemase no estilo próprio de comentaros resultados. Aliás,
procuramos enfatizar, em todo o texto, a atitude, extremamente im-
portante,de interpretaros resultadosobtidos.Julgamos queissoé
essencial.E importanteresolverequações.Mas é igualmenteimpor-
tante interpretar as soluçõesobtidas.
Pergunta: Então, nãosedevedar um cursodeEquaçõesDiferenciais
comum enfoqueexclusivamentematemático?
Resposta: Aqui, devemossepararos níveis e osobjetivosdoscursos,
Cremosque,num primeiro curso,a nível degraduação,uma grande
atençãodeve ser dispensadaàs aplicações,independentementeda
futura especializaçãodo aluno, Matemática, Física ou Engenharia.
EquaçõesDiferenciais foramcriadas para resolverproblemasde ou-
tras ciências,e ainda hoje muita pesquisase faz, inspirada em pro-
blemasprovenientesdessasciências. Comoesquecerisso? Também
nãoestamosdefendendoque,nesseprimeirocursode EquaçõesDife-
renciais,à Matemáticaseja deixadaem segundoplano, E essencial
ter asduascoisasemigualdadedecondições.Umajustifica evaloriza
a outra. Em cursosmais avançadosde EquaçõesDiferenciais,a Ma-
temática fica necessariamente mais sofisticada, e então as questões
puramentematemáticasrequeremtratamentoelaboradoechegama
dominar a cena.
Pergunta: Bom, mas seo alunovai ser pesquisadornessasEquações
Diferenciaissofisticadas,qual foi a utilidade daqueleprimeiro curso
meioaplicado?
Resposta:Via deregra,opesquisadoréum professor.E sendoprofes-
sor,eledeveestarpreparadopara ensinara alunosdeoutrasáreas.
Sentimosque,tem havidouma tendênciacrescentede retirar ospro-
blemasdeaplicaçãodoscursosdeEquaçõesDiferenciais (edeoutros
cursosdeMatemática). Isso não é bom. Os nossoscolegasdeoutras
áreas reclamame criticam essa orientação. E o que é mais grave,
começama desenvolverdentrodeseusprópriosdepartamentosa Ma-
temáticadequenecessitam.retirandoassimdosDepartamentosde
Matemáticauma de suasfunçõesprecípuas.
Pergunta: Então, quer dizer que aquelesalunos de Matemáticaque
nãosedestinamaomagistériopodemprescindirdessecurso?
Resposta: Não. Nossa opiniãoé que o pesquisadorem EquaçõesDi-
ferenciaisqueconheceasaplicaçõespode,ocasionalmente,usar essas
aplicaçõescomouma espéciede farol para orientá-lo. Quantasvezes
um resultadogeral e abstratonão é descobertoapósanálise de um
exemploprovenientedas aplicações?
Porgunta: Vocês, então, creem que todo matemático deve saber a-
plicações?Como vocêsposicionamo matemáticopuro dentro dessa
concepção?
Resposta: Matemáticaé uma ciência muito extensa. Obviamente,
há outras áreas, além das EquaçõesDiferenciais. E observe,que,
mesmodentro destas, há várias linhas diferentes. Algumas delas
muito distanciadas das aplicações. Tanto essas, como outros ramos
da Matemática,devemsedesenvolverpelosseusprópriosproblemas
e motivações.O desenvolvimentoda Matemática é marcadopelas ne-
cessidades e problemas vindos de outras ciências, mas não é determi-
nadosomentepor isso. E ébomqueassimoseja,poisas necessidades
mudamcomo tempo,e quanto mais rica for a Matemática, melhor
poderáelaajudarohomem,E assimhá tambémmuitocampoparaa
pesquisamatemáticaindependentedas aplicaçõesimediatas. Pode-
sepensarnoconhecimentomatemáticocomoumacontano banco,As
reservaspodemserusadasquandosefizeremnecessárias.E issojá
aconteceunopassadocomváriosramosdaMatemática,desenvolvidos
independentementede necessidadeimediata, e que posteriormente:
foramusadosdemodoessencialemoutras ciências.
Campinas, 15dejaneiro de 1997
Djairo GuedesdeFigueiredo
Aloisio deFreiria Neves
1
O Teorema
Fundamental do Cálculo
Este éocapítulodasrecordações.Recordaraquitemoobjetivodemos-
trar ao leitor que a essênciadosproblemasbásicosda teoria clássica
das EquaçõesDiferenciais Ordinárias já estáno Cálculo Diferencial
e Integral. Antes deexplicitar essesproblemas,antepõe-sea questão
de dizer o que os autoresentendempor teoria clássica;e quemfala
emclássicotemmodernoemmentee deveexplicar.
O estudo das equaçõesdiferenciais ordinárias começacom os
próprios criadoresdo Cálculo, Newton e Leibniz, no final do século
XVII, motivadospor problemas físicos. A preocupaçãodominante
desdeaquelaépocaaté meadosdo séculoXIX era a obtençãode so-
luçõesdas equaçõesem forma explícita. Inicialmente, procurava-se
expressaras soluçõesemtermosde funçõeselementares;comovere-
mosno próximocapítulo,um dosmétodosmais usadosera procurar
reduzir o problemade obtençãoda soluçãoao cálculode primitivas,
esseprocessosendochamadodequadratura. Obviamente,o desejo
deobterexplicitamenteassoluçõesdeuma equaçãodiferencialébas-
tantenaturale razoável.Entretanto,logoseverificouqueonúmerode
equaçõesquepodiamserresolvidasemtermosdefunçõeselementa-
resera muitopequeno,atémesmocoma introduçãodenovasfunções
como,por exemplo,as funçõeselípticas e outras funçõesrepresenta
das por integrais. Essa constataçãogeroua buscade novosmétodos
e surgiu assim, no século XIX, o uso das séries de funções. Aliás,
esse métodosurge dentro do estudodas equaçõesdiferenciais par
ciais, em cuja resoluçãoaparecemequaçõesdiferenciaisordinárias,
O rigor que a Análise ganhava no decorrerdo século XIX começou
O TeoremaFundamentaldoCálculo Cap.1
a pôr em dúvida certos métodosonde as operaçõescom séries eram
feitas um tanto descuidadamente.Os teoremasde existênciae uni-
cidadedesoluçãosurgemnessafase. A importânciadessesteoremas
resideemque,sabendo-sea priori da existênciadesolução,suabusca
através de processosinformais se torna justificável e promissor, uma
vezquea “solução”assimobtidapodeserverificadaa posteriori.Os
teoremasde existênciae unicidademarcam,por assim dizer,o início
da fasemoderna,querealmentese definecomPoincaré,no final do
século XIX. Agora, a atitude é bem diversa; há grande interesse nas
questõesqualitativas quesãobastante importantes por seu intrínseco
significadofísico. Toma-sea atitude de retirar das equaçõesdiferen-
ciaisinformaçõessobreocomportamentodesuassoluções,semaquela
preocupaçãodeescrevê-lasexplicitamente.
Deveficar claro para o leitor que a teoriaqualitativanão eli-
minou o interessee a importância de se ter informaçõesquantitati-
vas sobreas soluções.Esteúltimo tipo de informaçõesnãopodeser
obtido,comoenfatizamosacima,buscandoasexpressõesdassoluções
em formaexplícita, mas podeser conseguidopelouso demétodosde
aproximação.E issoé todoumramodegrandeinteresseatual,cons-
tituindo um dosramosdaAnálise Numérica. O quese procuraaí são
funçõesqueestão“próximas”dasoluçãodoproblema.Nas aplicações
à Física e às Engenharias isso é tão bom quanto a soluçãopropria-
mentedita, desdequeoproblemagozedeumacertaestabilidadecom
relaçãoa perturbaçõesdosdados,o que,via de regra, ocorrenessas
aplicações.
Vamosrecordarjuntos. O problemabásicodo Cálculo Integral é
à determinaçãodovalor da integral definida
b
∫ f(x) dx (1.1)
a
de uma função fila, b|- IR, Se bem nos lembramos,o conceitode
integral está ligado à ideia de área do seguintemodo: se f for uma
funçãocontinua não negativa,então a expressão(1.1) é a área da
regiãoE doplanocompreendidaentreoeixo-x,ográficodafunçãof e
as retas x = a e x=b, Veja a figura 1,1,
Cap. 1 O TeoremaFundamentaldo Cálculo
Pensemosumpouco.À determinaçãodessaárea,econseguente-
menteo valorda integraldefinidaem(1.1),podeser feitaatravésde
um processodeaproximaçãodamesmapor regiõespoligonaisobtidas
tomando-selinhas poligonais com vértices no gráfico de f. Esse é
essencialmenteo processojá usado na antiguidadepor Arquimedes
(287-212A.C.). Esse é tambémo processo,hoje utilizado, quandose
introduzcomrigor eelegânciaa chamadaintegraldeRiemann.
Comovemos,nas observaçõesacimanão apareceua ideia dede-
rivada. E nãoé desurpreenderquetal não tenhaocorrido.De fato,o
conceitodederivadadeumafunçãoé algobemdiverso:umafunção
fila, b] -»R éderivávelnumpontoc E (a,b) seo limite
limf(x)—f(c)a
x -> c x - c
existir, e nessecasotal limite é chamadoa derivada de f no pontoc,
eédesignadoporf'(c).
A beleza,a forçae a utilidadedo Cálculoestãono fatode que
essesdoisconceitos,o deintegral e o dederivada,aparentementetão
diversos,acham-seintimamenteligados. IssoéoconteúdodoTeorema
Fundamental do Cálculo, quepassaremosa expor.
Parte I. Seja f: (a,b) > R umafunçãocontínua.A funçãoFla, b|
R definidapela expressão
X
F(x)= ∫ f (1,2)
a
é derivável e F'(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b).
4º O TeoremaFundamentaldo Cálculo Cap.1
Observequea funçãoF definidapor(1.2)éumasoluçãodaequa-
çãodiferencial
dO =f(x). (1.3)dx
As soluçõesdessa equaçãodiferencial são chamadasas primitivas
de f. Alguns textosusamtambémas terminologiasanti-derivadae
integral indefinida e designamas primitivas pelosímbolo
frios dx.
ObserveaindaqueF(x) definidaem(1.2)éumaprimitiva especial:ela
temapropriedadequeF(a) = O.AssimF éumasoluçãodoproblema
de valor inicial dy=f(x)dx{y(a) = 0 (1.4)
Será que F é a única soluçãodo problemadevalor inicial acima? A
respostaé sim. De fato,se G fosseoutra solução,entãoF —G teria
derivada0, e consequentementeF —G = const. Mas comoF— G é
Oemx = a, segue-sequeF = G. Pedimosaoleitor paraapreciaro
ensinamentodadopelo Cálculo e relembradoacima: o problemade
valor inicial (1.4) tem uma e somenteuma solução. Isso constitui
um dos teoremasde existênciae unicidademais simples e dosmais
básicosemMatemática. Lembrequeestamossupondof contínuaem
14,b|equeporsoluçãode(1.4)entendemosumafunçãocontínuaem
la, b|ederivávelem(a,b).
Antes de prosseguir,façamosuma outra pergunta. Vimos quea
função| éumasoluçãodaequaçãodiferencial(1.3);vemos,ainda,que
qualquer função da forma F(x) +c, onde c é uma constante arbitrária,
é tambémsoluçãode (1,9), Será que a expressão
u(x) =F(x) +c (1.5)
onde c é uma constante arbitrária, engloba todas as soluçõesde (1.3)
isto é, (1.5)6 a soluçãogeral de (1.3)? A respostaé sim. De fato, seja
G(x) umaoutra soluçãode(1,9),então,z(x) = Fix) +G(a) = G(x), é
Cap.1 OTeoremaFundamentaldoCálculo
umasoluçãodoproblemadevalor inicial
dz— =0, z(a)=0.
dx
= 0Peloque se viu acima, segue-se que z(x) para todox e, con-
sequentemente,
G(x) = F(x) + G(a).
Resumindo,o Cálculonosdiz quea coleçãodasprimitivas def édada
por F(x) +c ondeF édefinidaem(1.2).
A Parte I do TeoremaFundamental do Cálculo liga osconceitos
deintegralederivada,eaParte II, a seguir,fazessaconexãoemoutra
direção.
Parte II. Dadas umafunçãocontínuaf:la,b) > R e umade suas
primitivas G, então
b
/ f(x) dx = G(b) —G(a). (1.6)
Observeque,comoconsequênciadisso,o cálculoda integral de-
finida de f sereduzà determinaçãodeumaprimitiva def. Observe
também que, em virtude da expressãogeral das primitivas ser da
forma (x) +c, (1.6)independeda particular primitiva usada.Assim,
o problemadocálculodeumaáreasereduzaoproblemadecalcular
a soluçãode uma equaçãodiferencial. Toda aquelaparte do Cálculo
chamadade Cálculo de Primitivas é nada mais nada menosque a
determinaçãodesoluçõesdaequaçãodiferencial(1.3)paradiferentes
funçõesf.
Equações Diferenciais
de PrimeiraOrdem
Este capítulo é dedicadoa Newton, Leibniz e à família Bernoulli!
Trata-se de uma homenagemjusta, pois os problemasmatemáticos
apresentadosaqui foram formuladose resolvidospor eles,no século
XVIII. Em termos atuais, a matemática desenvolvida é muito sim-
ples: cálculodeprimitivas. Tratamos apenasdois tipos deequações:
na secção2.1, as equaçõeslineares de primeira ordem, e na secção
2.2, as equaçõesseparáveis. Em todos os problemasapresentados,
procuraremosobtera soluçãodoproblemaemformaexplícita. Como:
já observamos,anteriormente, tal desiderato só é atingível, em vir-
tudedanaturezasimplesdasequações.Enfatizamosoaspecto,extre-
mamenteimportante,da interpretaçãodas soluçõesobtidase de seu
significadodentrodocontextodoproblemaemestudo.A propósito,re-
tiramosasseguintesobservaçõesdeR. Hookee D, Shaffer,em“Math
and Aftermath”, Walker & Co., Westinghouse Books, 1975: “Muito
se fala sobreproblemas,em cursos de Matemática. Muito poucose
diz sobrea origem dessesproblemase do que fazer com as respos-
tas”, Parece-nosimportante,contar essaparte omitida da história.
lsso é particularmenteimportantepara aquelesquedesejamser ma-
temáticos,poisexplicaporqueocomputadornãoosvai deixardesem-
pregados.E tambémimportantepara aquelesquevãopara as outras
ciênciasexatas,poisexplicaporqueo computadornão lhes retirará o
privilégio(ouo dever)deestudarbastantematemática.
241. Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
A forma geral das equações diferenciais ordinárias lineares de pri-
Seção2.1 EquaçõesDiferenciaisLinearesdePrimeiraOrdem 7
meiraordemé a seguinte
x=p(t)x+ q(t) (2,1)
onde p:(a,b) ->R e q:(a,b) ->R sãofunçõesreaiscontínuasdefini
dasemumintervaloaberto(a, b). Uma funçãox: (a,b) >R é uma
soluçãode(2.1)seelafordiferenciávelesatisfizeràequação.Usamos
a notaçãox = dx/dt paradesignara derivadadex comrelaçãohsua
variável independentet. No estudoda equação(2.1)aparecemdom
problemasbásicos:(1)obtera soluçãogeralda equação(2.1),istoé,
umaexpressãoqueenglobetodassuassoluções;(11)obtera soluçãodo
problemadevalor inicial
( x = p(t)x+q(t) (2,2)
x(to)= Xo
ondeto € (a,b) e xo são os dadosiniciais. Comoveremosabaixo0
problema(i) é solúvel: pode-sedeterminar a soluçãogeral de (2.1),
E veremostambém que o problema de valor inicial tem uma e so»
menteuma solução.Advertimos ao leitor queequaçõesnão lineares,
em geral,não possuemuma soluçãogeral,e para elas a existência
e unicidade de soluçãodo problema de valor inicial é uma questão
delicada;voltaremosa esseponto.
O tipo mais simplesda equação(2.1)é a equaçãodocrescimento
exponencial
x=kx, k= constante, (2.3)
queapareceemmuitas aplicações.A funçãox(t) =ek
de (2.3),bem comoqualquer de seus múltiplos ce*t, onde c é uma
constantearbitrária. Afirmamos que a soluçãogeral de (2.3)é ce"!
De fato, dada uma soluçãoqualquer x(t) de (2.3), diferenciandoa
expressãox(t)e "teusandoa equação(2.3),obtemos:
*é umasolução
E
dt
Yorkoquemostraquex(t)e
(te *=xett- x(t)e H=0
t=c,ousejax(t) = cet
Para resolvero problemadevalor inicial
X = EX
xito) = Xo
H EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
usamos o fato de (2.3) ter solução geral, e, consequentemente a even-
tual soluçãodesseproblemade valor inicial deveser da forma ce*t:
utilizando-se o valor inicial, determinamos a constante c:;
x(to)= cefto= xo
e assim a soluçãodoproblemaédada por
x(t) =xoe8tt-to)
Observequeas soluçõessãofunçõesdefinidaspara todot E R.
A equação(2.1)comq(t) = 0, chamadadeequaçãolinear ho-
mogênea,e o problemadevalor inicial correspondente
R=nitx
(2.4)
x(to) = xo
podemser estudadosde maneira análoga. A soluçãodo problemade
valor inicial homogêneo(2.4)édadapor:
“ pís)dsmi) = Kodra! os) (2.5)
Usaremos a notação
“ pís)dsTít,to) = e“to (2.6)
como objetivode simplificar nossasexpressões.Observequepara a
função|, asseguintespropriedadessãoverdadeiras:
Títo,to)=1;
T(t,to)=Títo,t)”"“e (2.7)
Tt, to)T(to,s)=T(t,s).
A resoluçãodo problemade valor inicial (2.2),no casogeral, é
feita atravésdo usode um fator integranteu(t). Para determiná-lo,
multipliquemosa equaçãopor u(t)
ult)tx —plt)x) = ult)g(t)
Seção2.1 EquaçõesDiferenciaisLinearesdePrimeiraOrdom 9
ebusquemosu(t) detal modoqueoprimeiro membrosejaa derivada
do produtode u por x, isto é,
(e—(th)=Se(105)=px+u%
Portanto,temosformalmenteque
px=—up(tx=>q=—p(t)
>S(tny)=p(t)dt
5 mu=-— | pís) ds
Determinamosassimum fator integranteu(t), tomandoumaparti-
cular primitiva dep:
+-[* pís)a tout)=e hoPDE af plas Tr +)
Logo
(T(to,tel) =T(tot)a(t).
Integrando essas expressõesde to a t, obtemos
tT(tost)x(t)—x(to)=/ Títoss)a(s)as.
to
Multiplicandoambososladospor T(t, to), eusandoas propriedades
(2.7),obtemosa seguinteexpressãopara a soluçãodo problemade
valor inicial (2.2):
t
ET) = Tt, to)ão+ | T(t,s)q(s) ds. (2,8)
to
Essa fórmula é chamadadefórmula de variaçãodas constantes.E,
semdúvida,umaformaeleganteemuitoútil deescrevera soluçãodo
problemalinear devalor inicial (2.2).
O quefizemosacimafoi, admitindoqueumasoluçãoexiste,pro
vamosque ela tem necessariamenteumacerta forma, Acontece,po
rém, que isso é muito bom, pois tudo que temosa fazer,para cata
IO EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
belecera existência,é simplesmenteverificarquea expressãoobtida
é, de fato,soluçãoda equaçãodiferencial. Observeque a condiçãode
p e q seremcontínuasem (a, b) garantea existênciae a diferencia-
bilidade das expressõesacima. Outra observaçãoimportante,é que
todasas soluçõesdas equaçõeslineares estãodefinidasno mesmoin-
tervalodedefiniçãodas funçõesp e q, oquenãoocorre,emgeral,com
as equaçõesnão lineares comoveremosna próximasecção.
Observeque em particular, quando o coeficiente(p(t) k) é
umaconstanteigual a k, temosque
T(t,to)=etttrto)
e portantoa soluçãodoproblemadevalor inicial
( x=kx+q(t)
x(to)=xo
é dadapela fórmula devariaçãodas constantesna seguinteforma:
|
x(t) = et tolxs +f et sa(s) ds.
+ to
É fácil provarquedadasduassoluçõesquaisquerx1(t) e x2(t),
de (2.1),entãox(t) = x1(t) = xo(t) é umasoluçãoda equaçãoho-
mogêneaassociadax = p(t)x. Consequentemente,todasassoluções
da equaçãolinear não homogênea(2.1)são obtidassomandouma
soluçãoparticular dessaequaçãocoma soluçãogeral da equaçãoho-
mogêneaassociada.Na fórmuladevariaçãodasconstantesacima,o
termointegral
t
[er “a(s) ds
Jto
é uma soluçãoparticular da equação(2.1). Assim podemosevitar o
cáleulodessaintegralsepudermosdeterminarumasoluçãoparticular
poralgumoutrométodo.Porexemplo,quandoq(t) = doéconstante,
é fácil ver que xp(t) do/k é uma soluçãoparticular de
X%= Kx + Go. (2.9)
Seção2.» EquaçõesSeparáveis |
Portanto,
0x(t) = cet — E
é a soluçãogeral de (2.9), onde c é uma constantearbitrária. Tal
constantepodeser determinadausandoo dadoinicial x(to) = xo.
O métododoscoeficientesa determinarnos permitedeterminar
soluçõesparticularesde x = kx + q(t), para algumasfunçõesq(t),
Quandoq(t) = costousent,podemosdeterminarumasoluçãopar-
ticular comocombinaçãolinear dessasfunçõessent e cost. Discuti-
remosessemétodo,commaisdetalhes,quandoestudarmosequações
linearesdesegundaordem.
2.2. EquaçõesSeparáveis
Equaçõesdiferenciaisdaforma
a]=) g(y)Z0, (2.10)
ondey' = d/dx denotaa derivadada funçãoy emrelaçãoà variável
independentex, sãochamadasdeseparáveis.Faz-sea hipóteseque
f e g sejamfunçõescontínuasemintervalosabertosf:(a,b) —»IR,
g: (cd) >R. A equação(2.10)podeser escritana forma
gly)y”=f(x). (2.11)
À nomenclaturaseparávelprovémdomododeescrever(2.11)usando
formasdiferenciais:g(u)dy = f(x)dx. VejaCapítulo3 ondeformali-
zamosessaforma doproblema.
Uma funçãouy:(x, B) — R declasseC! é umasoluçãode(2.10)
se (x,B) C (a,b), ull(la,B)) C (c,d), g(ulx)) £ Oesatisfaz(2.10)
paratodox E (w,B). A equação(2.10)nãoé linear. Para essas,
comodissemosno parágrafoanterior,as soluçõesnão estãonecessa
riamentedefinidaspara todox ondeo segundomembroestádefinido,
Se y(x) é uma soluçãoe G é uma primitivade g, 6º = q, obtemos
usandoa Regra da Cadeiae (2.11):
ddxSUB) ftx)
EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
e daí
G(u(x)) = F(x) +C (2.12)
ondeF é umaprimitiva def.
A constanteC podeserdeterminadausandoofatoquenumponto
xo€ (x,B),ulxo)=YoE (c,d)estádado;então,C —G(y(xo))-
Fixo). A expressão(2.12)podeserescritana forma
G(y(x))—G(yo)=F(x)—Flxo)
ou equivalentemente,
ulx) x
/ g(u) dy =| f(x) dx. (2,13)
y x0 0
O quesefeznoparágrafofoi,supondoconhecidaumasoluçãode(2.10),
mostrar que ela satisfaz a relação (2.12). O interessante, porém, é
usar essarelaçãoparaobtersoluções.Issoépossível,masénecessário
ter um certocuidado.De fato,o seguinteraciocínioseria considerado
precipitação:comoG' = ge g 0, segue-seque6 é monótona,e
daí a inversaG | existe;logoobteríamossoluçõesna formay(x) =
G!(F(x)4+C) paraconstantesC arbitrárias.Comotodaprecipitação
temumacertalógica,o raciocínioacimanãoestátão mal. O queestá
corretoé o seguinte:
Dada a relação
G(y) = F(x) +C
edado(xo,Yo) satisfazendoessarelação,comoG'(yo) = g(vo) 0,0
FooremadasFunçõesImplícitasnosasseguraqueexisteumintervalo
aberto(ox,3) contendoxoe umafunçãodeclasseCl, y: (x,B) > R
que satisfaza relação(2.12)e, portanto, se trata de uma soluçãoda
equação(2,1).
Na maior parte das aplicações,f e q são funçõescontínuasem
todo o E e q tem zeros isolados Yj,W2,.... Então, o raciocínio ante-
rior nos mostraque atravésde qualquer ponto(xo,Vo) do plano xy,
com Vo É Un, passa uma e somente uma solução vy(x). Isso é um
teoremadeexistênciae unicidade, Não nosfoi informadonada sobre
ocampodedefiniçãodessasolução;vamosvertodaumavariedadede
possibilidadesnosexemplos,exercíciose aplicaçõesquevirão a seguir.
Soção 2.2 Equações Separávels
Exemplo1:1”= a
Dai uy” — x, o que implica y? = x? + C. Fazendo variar C obtemos
soluçõesda equação,em geral mais de uma para cadavalor de (
Por exemplo,se C = O temosquatro soluções:yj(x) = x,x > O;
y2(x) xx >0 vuslx)=xx<0O vslx)=-x,x<o,
Observequeas soluçõesy(x) nãopodempassarpelareta y =Ono
plano(x,y). Para €C> 0,digamos€ = 1,temosduassoluções:
uilx)=+vx2+1, -oo<x<oo
“valx)=-vx2+1, —oo<x< 00.
Se C ——|temosquatro soluções:
vilx)=+vxº—1, x>1
val) =—-yxº—1, x>1
uslx)=+vx2—1, x<—]
yslx) =—/x2—1, x<-—1.
Nesteexemplo(a,b) = (—oco,oo)ehácasosemque(«, B)—(—oco,0),
(+00,—1),etc. Atravésdecadaponto(xo,Vo),Yo É Opassaumae
somenteuma soluçãoy(x); algumasseestendempara todox, outras
estãoapenasdefinidasem uma semi-reta. Assim, a soluçãodo pro-
blemadevalorinicialyy' = x, u(3) = 2, é obtidacalculandoC da
expressão |
v=x4+0C522=340C5 C=-5
e determinandoqual das 4 soluçõespara essevalor de C passapelo
ponto(3,2);logoa soluçãoé
ulx)=+vx2—5, x>v5.
O gráficoabaixoapresentaas soluçõesexplicitadasacima,o hachu
rado no eixodos x é para mostrarque nãohá soluçõespassandopor
na
|4 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
x?Exemplo2: y' = v-
DaíyZy' = x?2,queimplicay? = x)+4+C.Para C = Oháduassoluções:
Wilx) =x, parax > 0,euzlx) =x, parax < 0. Para€ > 0,digamos
( —|, temosduassoluções:
ui (my= Vx3 +1, x<—l:
valx)=Vx+1, x>-1.
E analogamentepara € < O.Olhe a figura evejao queacontececom
a derivadadacurvasuperiornopontox = —1.A soluçãodoproblema
de valor inicial yu! x, u(2) = —3é obtida de modo análogo ao
Exemplo1 ”
ul) = /x3=35, x< 35.
Seção 2 4 Equações Separáveis
Ay
2
Ge r /O CI
PQ ===<
1 ad
a,
| » Bo
1 2 x
Figura2.2
Exemplo3: y' = —2xu.
Nesteexemplo,g(y) = 1/y e assimdevemosretirar y = Odocampo
dedefiniçãodeg;entretanto,verifica-se,porinspeção,quey(x) = 0,
x € R, ésoluçãodaequação,a qualnãoapareceriapeloprocedimentoacima. Escrevendoa equaçãona forma
e integrando,obtemos
ênly|=—x2+€.
Assim para cadavalor de € € R obtemosduassoluções
—x?+CSd
da e y2(x) = ,yilx) =e
asquaisseachamdefinidasparatodox. Nográficonãoháquehachu
rar nada, pois por cada ponto do plano passa uma e somenteuma
solução.
6 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
ga E L *: RR.<<
TZ
Figura2.3
Exemplo4: y' = 2e“x.
Daí evy' = 2x, que implica e” = x? + C. Portanto para C = O
há duassoluções:vyi(x) = 2ênx, x > 0; vzlx) = 2ln|x|, x < 0.
Para C > 0 há apenasuma soluçãoy(x) = fn(xº +C),x E R.
Para C < Ohá duassoluções:yi(x) = In(x +C),x > |C|!2
vz(x)= &n(x?+ C), x < —|C|!/2.
Exemplo 5. ul ,
neção E é Equações Separáveis
Pondo na forma
Z2uy=—senx,
obtemos
y? = cosx+C.
Vose poisque C não é arbitrária: €C< —l]não produznenhuma
solução,€ =—l implicaquex = 2kr, k = 0,+1,... e nestecaso
Wtx)— O; não se tem solução,pois, para nós, soluçãodeveser uma
funçãodefinidanumintervaloaberto.Para C > 1háduassoluções:
yilx)=+vcosx+C e vzlx)=-—vcosx+C,
ambasdefinidaspara todox. Para C = 1há infinitas soluçõespois
devemosevitarospontosx = (2k+ 1)7ondey(x) = O;assimpara
cadak, temosduas soluções
vkelx)=vcosx+1 e vilx)=-—vcosx+1,
ambasdefinidasno intervalo (2k + l)x < x < (2k+ 3J)7. Para
|< C<1,também há infinitassoluçõesagoradefinidasemsubin-
tervalosdosintervalos da sentençaanterior. Por exemplo,a solução
doproblemadevalor inicial 2yy' ——senx, u(0) = /3/2 é
ulx)='cosx+ 1/2, —2n/3<x< 27/3.
Trace gráficos comofizemos nos exemplosanteriores e estude outros
problemasdevalor inicial.
Observação: As derivadasde
ulx) = vcosx+
nospontosx = (2k+-1jr sãoiguaisazero.Portantoajustaposiçãodas
funçõesuk(x) definidasnosváriosintervalos((2k + 1)r, (2k+ 3)n)
produzumafunçãodiferenciávelemtodaaretaquesatisfazàequação
uy” = —senx. Esse é exemplodeuma equaçãodiferencialsingular.
Observequepara a equação(2.11)poderíamosdefinir soluçãosem
suporqueg(y) 4 O.TambémnoExemplo1 vy(x)= x, paratodox,
é soluçãode yy” = x. Já no Exemplo 2, nãopodemosrigorosamente
dizer que
3v(x)=x +]
é soluçãode y“y' x* para todo x, pois y'(—1) não existe,
La EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
2.3. Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade
Utilizando as técnicasdesenvolvidasnasduas secçõesanteriorespo-
demosanalisar alguns modeloscriadospara descrevera variaçãode
umapopulaçãocomotempo.Aproveitaremosessaanálisepara intro-
duzir osconceitosdeestabilidadee instabilidade.
Os modelosquevamosanalisar sãobastantesimples.Eles têmo
objetivodemotivareexemplificarosconceitos,enãodeseremrepre-
sentativosdo casoreal, ondeos fenômenosbiológicose sociológicos,
queregemo crescimentodeuma populaçãosãonumerosose comple-
xos. Existe na literatura uma grandevariedadedemodelos,cadaum
visando levar em conta a influência de alguns dessesfenômenosna
evoluçãodapopulação.Osmodelosserãoobtidosfornecendoataxade
crescimentoda população.À taxadecrescimentode umapopulação
p(t), numinstantet, édefinidaporp(t)/p(t).
O modelomalthusiano
Um dosmodelosmais simplesé aqueleemquesesupõequea taxa de
crescimentoé constanteigual a À. Assim temosa seguinteequação
que rege o crescimento da população neste caso:
8 =Ap; (2.14)
Um modelodessanatureza parecerazoável para descrevera popu-
lação de micro-organismosque se reproduzempor mitose,e para a
aplicabilidadeemintervalosdelimitadosdetempo,poisa soluçãode
(2.14),
p(t)=plto)e"tm
apresentaum crescimentoexponencialse À » 0, impossível de ser
mantidopara sempre.A aplicaçãodessemodeloa populaçõeshuma-
nas, por TR. Malthus em 1798, gerou uma acirrada controvérsia no
começodo séculoXIX. Malthus afirmavaquea populaçãomundial
cresciaem razão geométrica(confira Exercício5 abaixo), enquanto
os meiosdesobrevivênciacresciamapenasemrazãoaritmética;con-
sequentemente,a populaçãotenderia a ser controladapor fome,mi-
séria, epidemias, vícios, etc.
Ão leitor interessado recomendamos o Número 3 do Volume 231
(Setembro1974)da revistaScientificAmerican,dedicadoà população
nação € 4 Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade 1!
Humana
O mudetode Verhulst—a logística
A constanteÀ naequação(2.14)é a chamadataxadecrescimentoda
população,seu valor é a diferençaentre a taxa de natalidade À, e a
taxa de mortalidade Am: À = An — Am. Uma análise crítica do mo-
delo anterior focaliza imediatamentea hipótesede À ser constante;
von hipotesenão parecerazoável pois ela não leva em contaque o
crescimentoda populaçãoaciona automaticamentecertosmecanis-
mosdecontrolevisandoreduzira taxadecrescimento.Essasituação
tomsidoobservadaentrevários tiposdepopulação;a superpopulação
altera o funcionamentofisiológicode certas espéciesmudandoseus
habitos sexuais e seu comportamentocoletivo. O modeloproposto
por Verhulst consisteem supor que a taxa de crescimentodecresce
linearmentecoma população:À = a—bp, ae b constantespositivas.
Observequeesseainda nãoé um modeloidealpoisnão levaemconta
queataxadeproduçãodenovosmembrosdaespéciedependedaidade
dos pais, isto é, que os novos membros não contribuem de imediato
paraoaumentodaespécie.Existem modeloslevandoessesfatoresem
consideração,osquaisconduzema equaçõesdiferenciaiscomretarda-
mentoe a equaçõesintegro-diferenciais.Observamosainda queuma
distribuiçãoespacialda populaçãopodeserconsideradae issoconduz
nequaçõesdiferenciaisparciais. VoltemosaomodelodeVerhulst,que
se traduz na equaçãodiferencialseparável
p= [a—ppp, (2.15)
conhecidanaliteraturacomoaequaçãodeVerhulst-Pearl.Essaequa-
çãofoi consideradapor Verhulst em 1834para estudaras populações
da França e da Bélgica, e mais recentemente,em 1920,por Pearl e
Reedno estudoda populaçãodosEstadosUnidos da América.
Inicialmenteobservamosque as funçõesconstantesp(t) Ó
e p(t) à > Poo são soluçõesda equação(2.15);a notaçãop..
fenrá justificada logo mais abaixo. Para integrar (2.15), usamos a
decomposição
] | b
pl(a-bp) ap ala-bp)
2O EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
para escrevera equação(2.15)na forma
p bpcais aaa seaque
&&* ala ,
que integradaproduz
] ]qtntpl —qinla —bpl|=t+C, C- constante.
Daí
Ip]=la—bpJe“t.es€
e,sep(to)=Po; a
ato sae ipol=la—bpole
Se po Z 0e Po / +, obteremos
p a—bp
Po
eUlt—to), (2.16)a—bpo
Agoraobservequeassoluçõesde(2.15),comvaloresiniciais po £
0 epo é a/b não podemcortar as retasp = 0 ep = a/b. Essa
conclusão,dequesoluçõesdeequaçãodaformap' —f(p) nãopodem
secruzar,éconseqiiênciadiretadoteoremadeexistênciaeunicidade,
queseráestudadonopróximocapítulo.Logo,parapo Z 0epo £ a/b,
podemosretirar osvaloresabsolutosde (2.16)e daí explicitar p:
apo= - | 2.17
bpo+(a—bpojmEmBM=to" smp(t)
Análisedasolução
Se 1 —s+00,entãop(t) > Ppso.Essevalor ps; = a/b é chamado
depopulaçãolimite e é o valor assintóticoda população,qualquer
quesejaa populaçãoinicial po >»O, Se po >Poo, à populaçãop(t)
decresceexponencialmentetendendopara px. Se0O<po <Po,a
populaçãocrescetendendotambémpara Pp. ; nestecaso,o gráficode
p(L) estáentreas retasp =0 e p= pso, tendoa formadeum Se a
curva é chamadade logística. Ela tem um pontode inflexãoquando
pl = 44, poisderivando(2.15)temos
pola-bpjp-bpp=(a-Zbp)p;
so quer dizer que até atingir o valor pss/2, a populaçãocrescecom
derivadapositivaea partir daío crescimentosedámaislentamente,
—-a/b
Figura2.5
Definição2.1.Uma equaçãodaforma
ondea funçãof dependesomentedex enãodavariávelindependente
t, é chamadadeequaçãoautônoma.
Os dois modeloscitados,equações(2.14)e (2.15),são exemplos
de equaçõesautônomas. À primeira propriedadeimportantedessas
equaçõeséque,sex(t) ésoluçãode(2.18),entãoy(t) = x(t+c), onde
Ccé uma constante,tambémé soluçãode (2.18). Consegientemente,
supondoquetemosexistênciaeunicidadedesoluçãopara oproblema
de=Ti)
(2.19)x(to)=xo
podemosafirmar quex(t) é soluçãode (2.19)se,e somentese,y(t)
x(t + to) é soluçãode
oo, (2.20)
x(0) = Xo
Portanto, para equações autônomas, podemos considerar somente
condiçõesiniciais ondeto = 0.
21
P? EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Definição2.2. Se X é um zerode f, istoé, f(x) = 0, entãox(t) = X é
soluçãode(2.18)e échamadadesoluçãodeequilíbrio ou estacionária
e o pontoX é chamadodepontodeequilíbrioou singularidade.
Por exemplox = 0e x = a/b sãopontosdeequilíbriode(2.15).
Definição2.3. Um pontodeequilíbrio X éestável,sedadoe > 0, existe
ô > 0,talquepara|xo—X|< 6,asoluçãodoproblemadevalorinicial
de=Tx)
x(0)=xo
étal que|x(t) —x| < €paratodot>0.
Um pontodeequilíbrio X éassintoticamenteestável,sefor estável
eseexistir > Otal que lim x(t) = x quando|xo—X|<n.
t—oo
Um pontodeequilíbrio quenão é estávelé chamadodeinstável.
Por exemplo,x = a/b éum pontodeequilíbrio assintoticamente
estávelde(2.15),ex = Oéumpontodeequilíbrioinstável.
Teorema2.1.Seja X umpontodeequilíbrio de(2.18)comf declasseC!.
Então,f(x) < OimplicaqueXéassintoticamenteestável,e f(x) >0
implica queX é instável.
Demonstração: À idéia é analisar a variaçãode x(t) —X:
d
dt
queé iguala, usando-seoTeoremadoValorMédio:
2(x(t)—5[f(x(t)) —f(50)]=2(x(t) x)?F'(E(t))
(x(t)—x)?=2(x(t)—x)x=2(x(t)—x)f(x(t))
onde&(t) é umvalor entrex(t) e x. Agorase f(x) < O,então,pela
continuidadedef' existemmn> 0e 6 > Otaisquef(x) < —n< 0
para|x =X|< 6.
Logo,separaalgumto, asoluçãox(t) de(2.18)étal que|x(to)-
Xx|< 6, segue-seque a(t) := (x(t) — x)? é decrescentepara t>to.
Além disso, temos
dEpAUS na(t) para t>to.
t
Seção2.4 Exercicios
Logoa(t)<ce Nºoqueimplicaquex(t) tendea X quandot +00,
Quando f(x) > 0, faz-se um raciocínio análogo. pi
24. Exercícios
ft. Obtenhaas soluçõesde
po+y |-1*
+” 1+x2'
d) vy—2xy =x, e) y—tgt =cost.
uy Hi g= O v=1+9(1+y),
2. Paraasequaçõesanterioresdeterminea soluçãodoproblemade
valorinicialcomy(0) = 1.Digaosdomíniosdedefiniçãodassoluções.
3. Inventen problemasdosdoistipos acimae resolva-os.E acon-
selhávelnão decidir,a priori, o valor den.
4. Analise os seguintesmodelosde crescimentode uma população,
determinandoospontosdeequilíbrioeestudandosuaestabilidade:
1. p'=Ap A (Gompertz,1825).
2. p'=APÉCP! (Smith,1963).
3. p'=AplI — (2) 9), (Goel,Maitra, Montroll, 1971).
5. p' =p(A-ap+be””?), (Ayala,Gilpin,Ehrenfeld,1973).
5. Suponha que a cada mês uma populaçãoaumenta na razão k,
isto é, no primeiro mês é po, no segundo kpo, no terceiro k?po, etc.
Mostrequea populaçãop(t) satisfazuma equaçãodiferencialdotipo
(2,14),e determineÀ comofunçãode k.
6. Analise osseguintesmodelosdeVolterra (referência:V.Volterra,
“Populationgrowth,equilibria,and extinction..”. Editadopor EM.
Scudoe J.R. Ziegler,Springer-Verlag,1978).
1)Sejap = p(t) a populaçãoe £o coeficientedemortalidade,cp co
númerode mortospor unidadede tempo. Supõe-seque o númerode
machosé «p e o númerodefêmeasé Pp, e que« e [3sãoconstantes
(O)númerodeencontrosentreosdois sexosnumaunidadede tempoé
“4 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Cap. 2
: qproporcionala «p-Bp = app”. Seo nascimentode m novosmembros
da populaçãocorrespondea n encontros,onúmerodenascimentospor
1 A 2m 4 4 ! A + e neunidadede tempoé kafpp“. Essas hipótesesconduzemà equação
diferencial Tnp'=-ep+kafp— =(—e+Ap)p.
Mostre,quenessemodelo,a populaçãopode“explodir”(tendera infi-
nito)numintervalodetempofinito. Para corrigir essaimpropriedade,
Volterra propõea seguintemodificação:
1) O númerodenascimentospor unidadedetempoé
kagp27'— PP =p -— up,m p— HP
consequentementea equaçãodiferencialserá
p'=(-e+Ap—up?p.
Suponhaque as constantes£, A e 4 são tais que a equaçãopodeser
escritacomo
/p'=-ulp —oJlp —BJp.
7. As equaçõesdotipo
v'=f(x,y),
ondef(x,y) satisfaz
f(A,At) = f(1,t) (2.21)
são chamadasde homogêneas.A nomenclaturahomogêneaé usada
commaisdeum sentido,já a utilizamosnestecapítulonoestudodas
equaçõeslineares.Aqui o termoestásendoutilizadocomo seguinte
sentido:umafunçãoé ditahomogêneadegraun, quandof(A, At) =-
AP 1,t).
Para as equaçõeshomogêneas,temosqueo lado direito f(x,y)
podeserescritocomofunçãoda razãoy/x
; y |à os y)=h(5). Àx
a) Demonatre isso, e mostre em seguida que a mudança da variável de-
pendente2— W/x transforma a equaçãohomogêneaem uma equação
de variáveis separáveis.
Seção2.4 Exercicios
b) Mostre que a equação
y' o YX
x2—y?
é homogêneae que possui,para cadapontodo plano (xo,Yo) com
do é |xo, umaúnicasoluçãoy(x) satisfazendou(xo) = Vo.
4 Mostre que utilizando mudançasde coordenadasconvenientes,
podemostransformar equaçõesdotipo
flax+ bit+ci)
g(azx + bat + ca)
vmequaçõeshomogêneasou devariáveis separáveis.
(Sugestão:Quandoayjbz+bj;az Ouseu=x+uaet=s+P,caso
contrário, basta u = ax + bit.)
Hesolva
co BRAa pe+=nm57' O)
9. SejaC!(a,b) oespaçovetorialdasfunçõesuy:(a,b) > R quesão
diferenciáveis.Mostrequeas soluçõesdey' +p(x)Jy = q(x), ondep
“ «|sãofunçõescontínuasem (a, b), formaumavariedadelinearem
C!a,b).
to. A funçãodefinidapor
à És
Erf(x) — =|, e dt
0
é chamadade função erro. Mostre que ela é crescentee calculeos
limitesde Erf(x) quandox — oo. (Sugestão:Se Ic = fo etdt,
então
(1)?=[foedx] [foe”dy]=Jocxio,cf1“Jdxdy,
usecoordenadaspolares.)
Mostre que
e vn Erf(x)ho!
ZO EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
éa soluçãodey' —2xy = 1,y(0) = 1,
11. (EquaçãodeBernoulli).A equaçãoabaixo
y'+Pl)y =Q(x)y”
ondeP(x) e Q(x) sãofunçõescontínuasdex emum intervalo(a,b)
en € Z, éconhecidacomoa equaçãodeBernoulli. Sen £0en =,
a equaçãonão é linear, mas podeser transformadaem uma equação
linear mediantea mudançada variável dependentez = y!”. De-
monstreisso,e resolvaosproblemasdevalorinicial
2 4y'+ly =(cosx)y” v'+x?y=5y
yt1)=1 yl—l)=—2
12. Mostre quea equação
(cosy)y'+2x seny= —2x
podesertransformadaemumaequaçãolinear. (Sugestão:Z = seny).
13. À equação
y'+Plx)y+Qlx)y”=f(x) (2.22)
é conhecidacomoa equaçãodeRicatti.
a)Mostrequesey1(x)eyz(x) sãosoluçõesdaequação(2.22),então,
a funçãoz(x) = yz(x) —uy(x) é soluçãodaequaçãodeBernoulli
zZ'+(P+2y2 Q)z —Qz? = Ú, (2.283)
b)Sabendoquey(x) = x éumasoluçãodaequaçãodeRicatti
y +xºy —-x2y?= 1
determineas demaissoluções.
c) Sabendoque y(x) = x? é uma soluçãoda equaçãode Ricatti
!y =" +2x—x
determine as demais soluções,
Seção2.4 Exercicios
t4. Mostre que se Vj e y2zsão soluções da equação (2.22), então sua
soluçãogeral é dadapor
v—yr=cly—yo)el Slvi-ual
(Sugestão:Usea partea)doexercícioacimaparaz = y —y/ eZ =
| — 4», obtendoequaçõessemelhantesa (2.23).Divida-aspor Ze Z
respectivamente.Subtraia as equaçõesobtidas,etc.).
18. Obtenhaa soluçãogeralde
]
cos X
U —utex—uyí cos x =--
sabendoquey; = 1/cosxe yz = —1/cosx sãosoluções.
16. Se Vi, Vz, Y3 € Us são soluções da equação de Ricatti (2.22),
mostrequesua razão anarmônicaé constante:
Yi U3 ,. U2—U3-: = € c = const. (2.24)
Yi —U4 Y2— Us
Nota: A transformaçãodeMoebius
bpo TO dedo
cy +d
levaa equaçãodeRicatti (2.22)emoutra equaçãodeRicatti emz. As
soluçõesZ;, i = 1,2,3,4, dessanova equaçãosatisfazem a relação
(2.24)com a mesma constante c.
17. A equação
v=xf(p)+go(p),p=y (2.25)
é conhecidacomoa equaçãode d'Alembert-Lagrange.Suponha que
f,g:R — R sãofunçõesderiváveis.
a)Sepo = f(po) para algumpo € R, mostrequey = pox + g(po)é
soluçãoda equação.
bh)Sep 4 f(p), paratodop, derivea equaçãocomrelaçãox eobtenha
a equaçãolinear
dx flip) (gt)— (2.26)
dp p-ftp) p-—f(p)
E!
20 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
A soluçãode(2.25)éexpressanaformaparamétrica(x(p), u(p)), onde
x(p) é a soluçãode (2.26)e y(p) é dadopor(2.25).
c) Use essemétodopara resolver as equações:
v=p(eP+1)-—1 v=xpº+1.
d) A equação(2.25)comf(p) = p é chamadaa equaçãodeClairaut.
Mostre que além das soluçõesy — cx + g(c), (2.25)tem a solução
x=—g'(p),u=g(p)—pg'(p).
2.5. Aplicações
2.5.1Resfriamento de um corpo
Consideremosum modelosimplificadopara o fenômenoda variação
de temperaturanum corpopor perda de calorpara o meioambiente,
fazendoas seguinteshipóteses: (i) a temperatura | é a mesmaem
todoo corpoe dependeapenasdo tempot, (ii) a temperaturaTy do
meioambienteé constantecomo tempoe é a mesmaemtodoo meio
ambiente, (111)o fluxodecaloratravésdas paredesdocorpo,dadopor
dT/dt éproporcionalà diferençaentreastemperaturasdocorpoedo
meioambiente:
diEr UR (2.27)
ondek é uma constantepositivaquedependedepropriedadesfísicas
do corpo.O sinal — em (2.27)se explicapelofatoque o calor flui da
fontequentepara fontefria, e assim se T > I,, entãoT decresce.Se
| ly, entãodT/dt crescee o corpoestáse aquecendo,ao invés de
se resfriar.Abrindo um parêntesis: estemodelofoi consideradopor
Newton,estudandoocasodeumabolademetalaquecida,eépor isso
que(1) acimaé chamadodelei do resfriamentodeNewton.Um mo-
delomaiscorretoseriaobtidousandoa lei deNewtonpara “elementos
próximos”dentrodocorpoe escreverumaequaçãodiferencialparcial
paraa temperaturaT(t,x) queagoradependeriatambémdopontox
nocorpo;a equaçãoobtida
01 ; 92T
ot Ox
Seção2,5 Aplicações 29
éconhecidacomoequaçãodocalorque,apósotrabalhodeFourier nos
1810's,recebeuum tratamentoextensivo. A equação(2.27)aparece
nestesegundomodelocomoumacondiçãodefronteira,cf. porexem-
plo,H.8. Carslaw,J.C. Jaeger “ConductionofHeat in Solids”,Oxford
Press (1959).
Conhecendo-sea temperatura T(0) = To obtemosa soluçãodo
problema,pelosmétodosdasecção2.1:
T(t)= (To—Taje + Ta. (2.28)
Façamosas seguintesconsideraçõesqualitativas: (1)olhandoa equa-
ção(2.27)vemosque T(t) decrescemonotonicamentecom t enquanto
| >»Is, crescemonotonicamenteenquanto T < Ta, e é constante
casoTo = Ta. (1) olhandoa expressão(2.28)da solução,issoé confir-
madoe se concluiainda mais queT(t) tendemonotonicamentepara
|4 quando t > +oo. À temperatura T, é chamada de temperaturade
equilíbrio.
Vamoscomplicarligeiramenteo nossomodelo. Suponhamosa-
gora que a temperatura Ty do meio ambientevaria com o tempoao
receber(ouceder)calordocorpo.As demaishipótesesdomodeloante-
riorsãomantidas.Para deduziraequaçãonecessitamosdemaisuma
lei da calorimetria, a conservaçãoda quantidadede calor. Sejam m
e Ma, respectivamente, as massas do corpoe do meio ambiente. De-
signemospor €e CaOscaloresespecíficosdocorpoedomeioambiente;
o calor específicodeum corpoé definidocomosendoa quantidadede
calor (em calorias) necessáriapara elevar de 1ºC a massa de lgdo
corpo. À lei da conservaçãoda quantidade de calor pode ser então
expressapor
me(To—1) = MaCalTa—Tao) (2.29)
ondeT(t) e Ta(t) designamastemperaturasdocorpoe domeioam»
biente,respectivamente,eTo = T(0), Tao = Ta(0). Usandoem(2,27)
a expressãodeTá retiradade(2.29)obtemos
Y
e +k(1 +A)T = k(Ta0+ ATo) (2.90)
ondeÀ (mc)/(macla). À equação(2.30)coma condiçãoinicial
H(0)= Topodeser resolvidaexplicitamente,pelosmétodosda secção
JO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
2.1,
T(t) = ho ” Tao, k(1 HAJt Tao | Alo |
I+A I+A
A expressão(2.31)nos informa que a temperaturado corpodecresce
monotonicamente(ou crescemonotonicamente), se lo > Iwo (ou se
To < Tao) para o valor
Tao + Alo o Malala,0 + meio
I+FAÃ maca me
(2.31)
que é uma temperatura,T, obtida atravésdeuma médiaponderada
de sentido óbvio; essa temperatura é chamadade temperatura de
equilíbrio. Mostre queTa(t) — T quandot > oo, o quejustifica o
nomedetemperaturadeequilíbrio.
Problema1. Um corpoa 100ºCépostonumasala,ondea temperatura
ambientesemantémconstantementea 25ºC.Após5 minutosa tem-
peratura do corpocaiu para 90ºC. Decorridoquanto tempoestará o
corpoa 90ºC?
Problema2.Um corpoa 100ºCépostonumasaladetemperaturadesco-
nhecida,masqueémantidaconstante.Sabendoqueapós10minutos
o corpoestáa 90ºCe após20minutosa 82ºC,calculea temperatura
na sala.
Problema3. Um corpoa 100ºCé postonum reservatóriocomáguaa
50ºC.Supõe-sequetodoocalorcedidopelocorpoé absorvidoeman-
tido pela água. Sabendo-seque após 10 minutos a temperatura do
corpoé80ºCe a da águaé60ºC,calcule(i) depoisdequantotempoa
temperaturadaáguaserá/5ºC, (ii) a temperaturadeequilíbrio.
Problema4, Qual devesera temperaturada águapara queum corpoa
100º€nelaimersovenhaa umatemperaturade30ºCemmeiahora?
Sabe-sequeo corpoé de ferro (calorespecífico0,113calg”! (ºC)!
e tem massade 500g,enquantoque a água (calor específico1) tem
massa4000g,Assumak= 0,05,
2.5.2 Diluiçãode soluções
Um reservatório,contendoV litros de água pura, começaa receber
uma soluçãode águasalgada(c kg desal por litro desolução)a uma
Seção2.5 Aplicações 11
razãoconstantede a litros/segundo. Um mecanismode agitaçãono
reservatóriomantém homogêneaa soluçãoque vai sendo formada,
Simultaneamenteaoprocessodeinjeçãodeáguasalgada,começa-sea
retirar doreservatórioasoluçãoformada,narazãodea litros/segundo,
Determinea quantidadede sal no reservatórionum instante futuro.
Seja x(t) a quantidadede sal em kg presenteno reservatório
num tempot. Portanto a concentraçãode sal na soluçãoé x/V kpg/t..
Pode-seportantoescrever
dx xHE = Cc— 1 (2.32)
que é uma equaçãodo tipo estudadona secção2.1. Comox(0) = 0,
podemosescreverexplicitamentea soluçãode (2.32)
x(t) =cV(I —et M, (2.33)
9quemostraquea concentraçãox(t)/V desalnoreservatóriotendea
c quandot > co. Comoem2.5.1há umamarchaparaum equilíbrio
entrea soluçãosalinainjetadaea soluçãonoreservatório.Issonãoé
surpresapois a matemáticaé a mesma.
Vamoscomplicarligeiramentenossoproblema. Suponha que a
soluçãosalina saindo do primeiro reservatório cai em um segundo
reservatório,contendoinicialmente V litros de água pura. Suponha
queosegundoreservatóriotenhatambémum mecanismodeagitação
paramanterhomogêneaa soluçãoformada,equetambémdelehaja
uma vazão de a litros/segundo. A quantidadede sal no segundore-
servatório,varia deacordocoma equação
dy y xdra
de onde se obtém,usando (2.33),
dy aom decGL 12 1 et,a Ty ge(1—e"
Usandoosmétodosda secção2.1obtemos
u(t)=cV- CV +t)evt,
o que mostra que a concentração salina no segundo reervatório
tambémcrescemonotonicamentepara c.
S2 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Problema. Estudeo primeiroproblemadediluiçãoacima,fazendoa
modificaçãoque a soluçãosalina sai do reservatóriona razão de b
litros/segundo. Supondo b > a, determineo momentoem que ha-
veránoreservatórioa maiorquantidadedesal. Supondoqueb < a,
determinea lei devariaçãodeconcentraçãodesal como tempo.
2.5.3 Por que umacorda simplesmenteenrolada num poste sustenta um
barco?
Consideremosuma cordaem contactocomuma superfíciecilíndrica
verticaldecoeficientedeatrito estáticoEt.Suponhamosqueocontacto
se dê em todo um setor AB de ângulo « (emgeral, x > 360º, mas
paraefeitodanossafigurasupomos« < 180º)equehá umaforçaTo
aplicadaa umadasextremidadesda corda,comoindicadona figura.
O problemaé saber qual a força T; que deveser exercidana outra
extremidadeparamanteroequilíbrio.
to
| =T(o—58),|F2]=T(0+58)+uJF3],|F3|=N(0)r40
Figure2.6
Inicialmente vamos estudar o equilíbrio de um trecho CD da
corda. Designemospor T(0) a tensãono pontoda cordacorrespon-
denteaoânguloOmedidoa partir deOAnosentidoantihorário,epor
N(0) a reaçãodasuperfíciesobrea corda.Nãovamosporempalavras
o quese lê direto da figura. À força H;,tangenteaocírculo é a uisÃo
noponto€ ++0 22.A forçaF; éasomadatensãoemD & 0+ 8
da forçadeatrito; miraAO pequenopodemossuporqueessa oca
Seção2.5 Aplicações
deatrito tenhaintensidadeuN(0)rÃAO,ondeN(0)rÃO éa reaçãototal
da superfícieao longodotrechoCD decomprimentoTÃO. O trecho
CD estandoem equilíbrio, temosF + F>+ F3 = 0. Projetandoessa
equaçãosobrea direçãoF3e sobrea direçãoortogonaltemos:
N(0)rA0 —T (o — ) sen=
es],(o + 2) sen —uN(9)rAOsen— = Ú (2.34)
É(o T ) cosE + uN(9)rÃO cosa.Z 2 2
AO AO—T(o — 2) cosTE O (2.35)
DividindoessasequaçõesporAO epassandoaolimite quandoAO — O
obtemos
TN(0)— T(0) = 0 (2.36)
dT— (0) + urN(0) = 0, (2.37)do
deondeobtemos aT
par T pesag” HI =D,
cujasoluçãoé T(0) —ce Hº, Usando dadoinicial T(0) —Toobtemos
T(9) = To gorê,
Logo | = Toe"%. Assim, quantomaior « menor será a força
necessáriaa aplicar na outra extremidade.Portanto,se a cordafi-
zer várias voltas no poste, a força T, pode ser tão pequenaque 0
próprio pesodo resto da cordajogada sobreo solo basta para man
ter o equilíbrio.
Exemplo1. Suponhaquea cordadá duasvoltascompletasemtornodo
poste,cujo coeficientede atrito é 0,4. Supondoque a forçaToé 1000
N (N=newton),calcule1, paraquehajaequilíbrio.
Resolução: Tj = 1000€2417= 6,56N,
JM EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Consideremosa seguir o casoem que a cordaestá enroladaem
umcilindrohorizontalderaio r. Comonoexemploanterior,conside-
ramosquehá um atrito entrea cordae ocilindro,e agoravamoslevar
emcontaopesoda corda;sejaw o pesoda cordapor unidadedecom-
primento.Nestecaso,comopodemosver dasexpressõesobtidasmais
adiante, uma massa m podeser mantida suspensagraçasao atrito
da cordae a um pequenopedaçode corda.
Figura2.7
O raciocíniopara obtençãodasequaçõesdeequilíbrioprocedecomo
acima: em(2.34)apareceo termoadicional
—wr(A0) senO
e em (2.35)
—wr(A0) cos0.
Portanto,asequaçõescorrespondentesa (2.36)e (2.37)são:
TN(0) =T(0) - wrsenO =0 (2.38)
yEu + urN(0) —-wrcos0 =, (2.39)
deondeseobtém
dT Hui = wurícosO—sen O). (2.40)do
Seção2.5 Aplicações 35
Pelo métododa secção2.1obtemosa soluçãogeral de (2.40)
(UT
| +p?T(0) Rucos0+(1— u?)senB]+ Ce Hº (2.41)
onde€Cpodeser determinadausando-seo dadoinicial T(0) = To:
Z2UWT
I+u?C = Ta (2.42) *
Problema1. DetermineT(71)sabendoqueapósopontoA háumpedaço
decordadecomprimentoº deondependeumamassam.
Resposta:NestecasoTo= wl + mg. Logo
2WWwT
1+qu
2uWwT ciaru gra,TER = +|wl+ mg -
Problema2 . No problemaanteriorsuponhaque u — 0,4,r = 0,5m,
(= lImma=lOkgew = 20N/m. Qual será o comprimentoº;
de corda que deve ficar pendentedo lado B para que o sistema se
mantenhaemequilíbrio comapenasmeiavolta da corda.
Resposta: tl, — 1,26m.
Problema3. Suponhaque um corpode massam = 50kgdeveser
mantidosuspensopor uma corda(500gpor metro)enroladaemuma
poliade20cmderaio. Determineocomprimentomínimodecordaque
deveser utilizada para queo equilíbrio sejamantidopor um pequeno
pedaçode corda suspensa. Suponha que o trechoda corda entre o
corpoe o seu primeiro contactocoma polia é 2m, e que o coeficiente
deatritoé yu= 0,4.
2.5.4 Atractriz
A tractriz é a curva no plano (x,y) que tem a propriedadeque o
segmentoda tangentedelimitadopelopontodetangênciae peloeixo
dos x é constante. Essa curva tem a seguinte descriçãomecânica:
Só Equações Diferenciais de Primeira Ordem Cap. 2
cial separável
! yÉRoo (2.43)
y = asenO
[e —U “ay =a [ SE 46 =a [ do
senO senO
e dai uma primitiva seria
Oatntgs +acos02
e voltandoà variável y, usando-se
O OtgO= 2tg 5/(] tg" 5).
Seção2.5 Aplicações S/
a primitiva procuradaseria:
sraRace
atne si + va? —y2.
y
Portanto,a soluçãode(2.43)seriadadaimplicitamentepor
a—/aq? —y?
U
ondea constantepodesercalculadalembrandoque,para x = Ô,tem-
seuy —a; daí c = O. Observequeseolharmosy comoa variávelin-
dependenteex comodependentea equaçãodatractriz x(y) na forma
explícitaé
+yq2—-y?=-x+c
E =
io di - ata EA.
y
A tractriz apareceem Geometria Diferencial: considerea su-
perfíciederevoluçãogeradapelarotaçãodessacurvaemtornodoeixo-
x;essasuperfícieé chamadaapseudoesfera,eéum casointeressante
de uma superfície que tem curvatura gaussiananegativa constante
emtodosos pontos,comexceçãodospontosno plano x = O. A pseu-
doesferaservepara dar um modelodeumageometrianãoeuclidiana;
se sobre a pseudoesferaconsideramosas geodésicascomoas retas
daquelageometria,teremosum modelode uma geometriaondenão
valeoquintopostuladodeEuclides.A únicadeficiênciadestemodelo
équeasretasnãosãoinfinitas emambasasdireções.Recomendamos
ao leitor interessadoo artigo de Manfredo P. do Carmo “Geometrias
não-euclidianas”,publicadono Noticiário da SociedadeBrasileira de
Matemática,Número Especialde 1979.Do mesmoautor,o livro “Eles
mentosde Geometria Diferencial”, publicadopelo IMPA, suprirá o
queo leitor necessitapara provar que a pseudoesferatem curvatura
paussiananegativaconstante.
À tractriz tambémtemumaaplicaçãomecânicanochamadopivol
deSchiele(cf.Reddick-Miller “AdvancedMathematicsfor Engineera”,
John Wiley (1960). O problemaé determinara forma de uma ponta
deeixoverticalquedevegirar sobrerolamentosdemodoquea reação
JO EquaçõesDiferenciaisde PrimeiraOrdem Cap. 2
vertical V dos rolamentosseja constanteem todosos pontosde su-
perfíciedecontacto.Além disso,deseja-sequeo desgasteda pontado
eixoa cadaaltura sejauniforme.
Cy
+ X
Figura2.9
Para deduzir a equaçãoda curvada secçãolongitudinal daponta
do eixo,observamoso seguinte:
(1) Designandopor N a reaçãodosrolamentossobreo eixoemcada
pontode superfície lateral, e por W o pesodo eixo, temosque o so-
matóriodasprojeçõesverticaisdeN deveseriguala W; comosequer
quea projeçãovertical deN sejaconstanteemtodosospontostemos:
V=W/A (2.44)
ondeÀ é a projeçãohorizontal na superfícielateral da pontadoeixo.
(11) A hipótesededesgasteuniformesignificaqueo desgasteé cons-
tante com y. A Mecânicanos diz que o desgasteé proporcionalao
trabalhoda forçade atrito uN numa rotaçãocompletado eixo. Logo
inyuN = const. (2.45)
Por outro lado,da semelhançadetriângulos, temos
N PQ
Voy
e daí usandoas informaçõescontidas em (2.44)e (2.45)concluimos
que PQ deveser constante. Logo, pelo que se viu acima, a curva da
a pontadoeixotem a forma deuma pseudoesfera.
Problema. Mostre que a equaçãoda tractriz tambémpodeser escrita
como a
x=—Vqa2 —y?— acosh! -
y
ondecosh”!é a funçãoinversa doco-senohiperbólico.
2.5.5 A catenária
O problemaque agora consideramosé o da determinaçãoda forma
tomadaporum caboflexívele inextensível,suspensoemdoispontos
A e B, e sujeito a seu próprio peso. Flexível significa que a tensão
nocaboé sempreno sentidoda tangente.Esse problemafoi proposto
pelaprimeira vez por Leonardoda Vinci, e resolvidoincorretamente
por Galileu, que “mostrou”ser uma parábola a curva ocupadapelo
cabo.De fato,o que Galileu resolveufoi o problemada pontepênsil;
a forma deum cabosempesosuportandouma cargauniformemente
distribuida horizontalmente. Em 1690, James Bernoulli chamou a
atençãosobreesseproblema,e um ano depoisela era resolvidopor
Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli, irmão de James. Foi Leibniz
quedeuonomedecatenáriaà curvaocupadapelocabo.Uma notado
folcloreda Matemática: a fasedosurgimentodoCálculoe iníciodoes-
tudodasequaçõesdiferenciaisfoimarcadoportremendaspolêmicase
constantesdesafiosentre Newton, Leibniz eosirmãos Bernoulli. Para
seter umaidéiadisso,vamostranscreverumtrechodeumacartaque,
anosdepois,Johann Bernoulli fezaumamigo,cheiodesatisfaçãopor
terresolvidooproblemadacatenáriaantesdeseuirmão.“Osesforços
demeu irmão não tiveram sucesso;eu fui mais feliz, pois tive a habil
dade(digoissosempresunção,porquedeveriaeuesconderaverdade?)
deresolveroproblemaereduzí-loà retificaçãodaparábola,E verdade
que isso me fez trabalhar durante toda uma noite. Isso representou
JH
40 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
muito naquelesdias e para minha poucaidadee experiência,masna
manhã seguinte, transbordando de alegria, corri até meu irmão, que
ainda estavalutando miseravelmentecomo nó górdio semchegara
lugar nenhum, semprepensandocomoGalileu que a catenária era
uma parábola. Pare! Pare! disse-lhe eu, não se torture mais ten-
tandoprovara identidadedeumacatenáriae deumaparábola,pois
issoéinteiramentefalso. A parábolaservena construçãodacatenária
mas as duas curvas sãotão diferentesque uma é algébricae a outra
transcendente”.
*U
Figura2.410
Consideremosum sistemade coordenadascartesianascomori-
gemnopontomais baixoda curvae eixo1 coincidentecoma vertical.
Vamosconsideraro equilíbriodotrechoOP docabo:H+ T+ V=0,
ondeH é a tensãodo caboem seu pontomais baixo,T é a tensãono
pontoP = (x,y) e Vé o pesodo trechoOP do cabo,V = ws, w é
o pesopor unidade decomprimentoe s é o comprimentodo arco OP.
Projetandoessaequaçãodeequilíbriosobreosdoiseixosobtemos
—H+ Tcos0 =0 (2.46)
—V+Tsen0O =0 (2.47)
e dai WtgO= —s. 2.48g H (2.48)
Observequew e H sãoconstantes:sejaw/H = c = constante.
ObservetambémquetgO =y”.Logo,derivando(2.48)obtemos
dsHH
u ' dx
Seção2.5 Aplicações 41
Poroutrolado,comods/dx = V 1+ (dy/dx)2, concluimosquey deve
satisfazerà equaçãodiferencial
uy"=c4/1+ (u')2. (2.49)
A integraçãode (2.49)é conseguidado seguintemodo: introdu-
sindo a variável p = uy”,obtemosa equaçãoseparávelde primeira
ordem
p'=cvlI+p2. (2.50)
1Uma primitiva de sp se conseguecom a mudança de variável
+Pp
p = cotgO
dO = —intg ”[ater]1+p? Ps senO 2
e voltandopara a variável p, temosuma dasprimitivas procuradas:
—In(vp2+1—»p).
Logo,as soluçõesde (2.50)sãoda forma
—In(v3/p?+1—-p)= cx+ const.
Comop(0) = vy'(0)= 0,essaconstantedeveserzero.Logo
(y)2+1—-y'=e*, (2.51)
Lembrando(eusando!)aspropriedadesdasfunçõeshiperbólicas,con-
cluimosque as soluçõesde (2.51)sãoda forma
]ulx) =c * cosh(cx)+ const.
Comoy(0) = 0,conclui-sequeessaconstanteé-c!. Logoasolução
procuradade(2.49)é
u(x) = c Hceosh(cx)—1). (2.52)
Conclusão: Um caboflexívele inextensível,suspensoemdoispontos
e sujeito a seu próprio peso,toma a forma do gráficode um co-seno
hiperbólico.Essa curva é a catenária.
42 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Atenção. À solução (2.52)envolveo valor de H que, apesar de ser
constante,nãoé um dosdadosdo problemainicial. Será interessante
escreveressasoluçãoem termosde outros parâmetrosgeométricos,
comopor exemplo:
a —afastamentohorizontal entre osdoispontosextremos
Ae B docabo
d —flexada catenária
t = comprimentodocabo.
Vamosconsideraro casoemqueÀ e B têma mesmaaltura, através
de algunsproblemas.
+y
A
Sail a
|
-a/2 | a/2
Figura2.11
Problema1. Suponhamosqueo cabotenhacomprimentoº e queestá
suspensoempostesÀ e B demesmaaltura e a umadistânciaa um
do outro, Qual é a flexa d da catenária?
Resolução, De (2.48) e (2.51) temos que senh(S2) = Ss. Desta
equação,obtém-sec. Usando esse valor de c, obtemosde (2.52),(9)1]d=ç"
Observação. Dasduasrelaçõesna resoluçãoacimaobtemos
Seção2.5 Aplicações 4)
Problema2. Suponhamosque o cabotenha comprimento( e queestá
suspensoempostesÀ e B demesmaaltura,demodoqueoângulodo
cabocoma horizontal nos pontosÀ e B seja45º. Calcule a flexa d e
a distância dospostes.
Problema3. Suponha que nas condiçõesde 2.5.5)acima, o caboestá
sujeitoa açãodoventoquesuporemosserrepresentadaporumaforça
horizontal (h Newtons por metro da projeçãovertical do cabo),no-
planodocabo.Deduzaa equaçãodacurvadocabo.
Problema4. Suponhaquenas condiçõesde2.5.5)acima,ocabosuporta
um estradode pesoW que supomosuniformementedistribuido ao
longoda projeçãohorizontal do cabo. Deduzaa equaçãoda curvado
cabonoscasosseguintes:(1)w = 0,(11)w £ 0. [Ocaso(1)corresponde
à pontepênsil].
2.5.6 Espelho parabólico
O problemaconsisteem determinar a forma de um refletor tal que
todososraios por elerefletidoseprovenientesdeuma fonteluminosa
pontualsaemparalelosa umadireçãofixadaR.
SabemosdaGeometriaElementar queumparabolóidederevolu-
ção(1.e.a superfíciegeradapelarevoluçãodeuma parábolaemtorno
deseu eixo)tem essapropriedade;bastacolocara fonte luminosano
focoda parábolageradora. O que nos propomosagorademonstraré
queoparabolóideé a únicasuperfíciecomessapropriedade.No nosso
raciocínio, a seguir, demonstramosnão somenteessa unicidade, como
tambémesseresultadodeexistênciadadopelageometria.
Figura2.12
44 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Suponhamosque a fonte luminosa esteja localizada na origem
e que a direção R seja o eixo-x. Designemospor y(x) a funçãoque
descrevea secçãolongitudinal do refletor. Na figura representamos
umraio luminosoemanandodeOeserefletindonopontoP dorefletor;
sendoN a reta normal à curva no pontoP, a lei da reflexãoda Ótica
Geométricanos diz queo ângulode incidência1é igual ao ângulode
reflexão r. Temos, então, as seguintes relações
dO -te(90-r) e E=te(180-21),dx x
de ondeseobtém
Vo 2W
EI=NPP
ou seja
uly)*+2xy'—y=0. (2.53)
A expressão(2.53)correspondea um par deequaçõesdiferenciais:
x da
V=-- + (3) +1 (2.54)y y
quetambémpodemser escritascomo
uy +x=+vyx2+y, (2.55)
Pararesolver(2.55)introduzimosavariáveldependentez = z(x), tal
quez? =x? +vy”,e assim(2.55)setorna
zz = +z.
Logo Z= dbx+c,e daí
y? = +2xc+ c?
quecorrespondema equaçõesde parábolascomeixocoincidentecom
o eixox. O sinal + correspondea uma parábola com concavidade
voltadaparaadireitaevértice(—5,0). Osinal —correspondeauma
parábolacomconcavidadevoltadapara a esquerdae vértice (5,0).
2.5.7 As curvasde perseguição
Consideremoso seguinte problemasurgido na perseguiçãode um rato
Seção2.5 Aplicações 45
por um gato.O rato seencontravapacificamentena origemcomendo
seuqueijo,quandoumgatofamintolocalizadonopontoG = (a,0) o
descobree parteemsua direção.Instantaneamente,o rato pressente
o seu inimigoe tomaa decisãode fugir ao longodo eixo-y no sentido
positivo,e o faz comvelocidadeconstantev. A estratégiado gato
é correr sempre na direção em que se encontra o rato, e o faz com
velocidadeconstantew. O problemaé determinar a curva descrita
pelogato;emparticular,determinarcondiçõesnosparâmetrosa, y e
w para que o gato encontre o rato.
Após um tempo t, o gato se encontra no ponto P = (x,y) e o rato
no pontoQ = (0,vt). Podemoscalcular o tempot que o gatogastou
para chegarem P: é o quocientedo comprimentodo arco PG por w,
isto é
1 a
= — (x)|2t / V( + ly'(x)|2dx. (2.56)
0. G=(a,0) X
Figura2.13
Por outro lado,da geometriada figura, temos
OQ =vy-uy'x (2.57)
e comoOQ = vt, obtemosde(2.56)e (2.57)a equação
2 t+lvo)Pax=y-vx
46 EquaçõesDiferenciaisdePrimeiraOrdem Cap.2
Derivandocomrelaçãoa x obtemos
e] + [y'(x)]2= xy” c=viw. (2.58)
Para integrar (2.58)introduzimosa variável p = y' e assimobtemos
a equaçãoseparável
xp =evl+p?. (2.59)
Como vimos em 2.5.5,
bi p*+41—p)
éumaprimitivade
1/V1 + p2.
Logo,a soluçãode(2.59)é
—tn(Vp?+1—-p)=cinx+ const
ondeconsideramosx > O. Logo, usando a condiçãoinicial p(a) =
y'(a) = 0,temos
Vp?2+1]-p=(a/x)º. (2.60)
== (9
a qualintegrada,usandoa condiçãoinicial y(a) —O,dá
vio) =5] ] (9 + ] (DS CL (2.61)
c4+Tla c—1 ix
Daí obtemos
o
1 /x? l/auíx) (atra) = (S-atna), Emi, (2.62)
Análiseda solução
Se col, isto é, v>w, o gatojamais alcançao rato. Sec < 1, isto
6, vo w, os segundosdo rato estão contadose são precisamente
aco/(0” — vº), supondoque as velocidadesv e w estão dadas em
unidades de comprimento por segundo; o encontro fatídico dar-se-á
Seção2.5 Aplicações 4/
nopontodeordenadaavw/(w? —v?) sobreoeixodosy. Proveesses
fatose analise a curva deperseguiçãonosvários casos.
Problema1
Um barcolocalizadona origemse propõea atravessarum rio repre-
sentadona figurapelafaixaO< y < b. Sabendoquea velocidadeda
aguaé ve que a do barcoé w e sabendoque o barcoapontasempre
parao ponto(0,b), pergunta-sequerelaçãodevehaverentrev e w
paraqueobarcoconsigaatravessaro rio. Determinetambéma curva
descritapelobarcoemcadacaso,isto é, atravesseou não.
AV
E”P=(%,1)
Figura2.14
Sugestão: Usandoa representaçãoparamétrica(x(t),u(t)) da curva
onde t designa o tempo, temos as seguintes equações obtidas ex-
pressandoas componentesda velocidadedo barco: XxX= v — wcos0,
y = wsen 0, ondeX = e . Use a relaçãob —-y=x tg Opara obter
E b—uy
cx? +(b—y)?y : É= 94H,
Problema2. Um contratorpedeirolocalizaum submarinoa umadis:
tânciade 10km. Nesseinstanteo submarinosubmergee parteem
umcursoretilíneo,masdedireçãodesconhecidadocontratorpedeiro
A velocidadedocontratorpedeiroé3 vezesa dosubmarino,Quecurso
devetomar o contratorpedeiropara algumtempodepoisestarexata
mentesobreo submarino?
3
PropriedadesGerais das Equações
Reconhecidaaimpossibilidadederesolveramaiorpartedasequações,
emformaexplícita,põe-seaquestãodesaberseoproblemasobestudo
temsolução.Chegamosassimàs questõesdeexistênciadesoluçãode
um problema,sem aquelapreocupaçãode exibir a solução. O resul-
tadocentralnessadireçãoéoteoremadePicard,Teorema3.1,secção
3.2, que fala sobrea existênciade soluçãopara o problemadevalor
inicial:
v=f(xy), ulxo)=vo.
A demonstraçãousa o princípio da contraçãoe exibe uma vestimenta
modernapara o métododas aproximaçõessucessivas,já conhecido
e usado com sucessopelos matemáticosdo século passado. Neste
capítulo,tambémdedicamosespecialatençãoaosaspectosgeométri-
cos ligados às equaçõesdiferenciais. Visando um estudo adequado
dasequaçõesexatas,bemcomofuturasaplicações,dedicamosasecção
4.3 ao estudode camposvetoriais e formasdiferenciais. Comoo lei-
tor verá,há vantagensinegáveisem usar formasdiferenciaispara
tratar as equaçõesexatas. Por essarazão,desenvolvemostambém
naquelasecçãooestudodasformasdiferenciais,oquetranquilizará o
leitor maisexigente,mostrando-lheque é fácil formalizar uma linha
de procedimentosupostamenteimprecisa.
3.1.— InterpretaçãoGeométricada Equaçãoy' =f(x,y)
A formaexplicitageral da equaçãodiferencialordinária de primeira
ordem é
yo= f(x,y) (3.1)
Seção3.1 InterpretaçãoGeométricadaEquaçãoy'=f(x,y) 49
onde OQ) -—sR é uma funçãoreal definidanum aberto€) do plano
(x,4).
Uma soluçãode (3.1)é uma funçãodiferenciávely = p(x) defi-
midaemumintervaloabertoIetal que
(x,p(x)) ceO, paratodo xe€el, (3.2)
p'(x) =f(x,b(x)), paratodo x€El. (3.3)
Um dosproblemasbásicosno estudoda equaçãodiferencial(3.1)
o à determinaçãodesuassoluções;essefoi otipo dequestãoqueestu-
damosemtodoo Capítulo 2 para diferentestiposdeequações.Entre-
tanto a obtençãode soluçõesde (8.1)na forma fechada,isto é, numa
formaexplícitaem termosde funçõeselementares,é um problema
impossívelde resoluçãopara o casogeral de equações(3.1). O leitor
deveterobservadoqueequaçõesdiferenciaisdeaspectomuitosimples
apresentaramdificuldadestécnicasapreciáveisemsuaresolução.Em
verdade,a maior parte dasequaçõesnãopodeser resolvidaexplicita-
mente.
Em muitosproblemasdeaplicaçãonãosefaznecessáriosabera
expressãoalgébricadas soluçõesda equaçãodiferencial. Basta saber
propriedadesdessassoluções,comopor exemplo,seucomportamento
quandox tendeparaalgumvalorpré-estabelecido.Comissoemvista,
à interessantee importanteestudar as propriedadesgeométricasda
família das soluçõesda equaçãodiferencial. Este é o outro problema
básicono estudodas equaçõesdiferenciais,quepertenceà chamada
teoriaqualitativa.
Um terceiroproblemade importânciano estudode (3.1)é a teo-
ria da existênciae unicidadedesoluçãodoproblemadevalor inicial.
O problemadevalor inicial consisteno seguinte:dadasa equaçãodi-
ferencial e um ponto (xo,Yo) E €), determinar um intervalo aberto |
contendoxo e uma funçãodiferenciávelp:I — R tais queas relações
(3.2)e (3.3) acima se verificam e, além disso,
b(xo)=vVo, (4.4)
queé a chamadacondiçãoinicial.
5O PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
|" o ty ,
UVo| |
Figura3.1
Para melhor compreenderessesproblemasno caso geral (3.1)
é importantever o significadogeométricoda equaçãodiferencial. A
funçãof atribueacadapontodeO umnúmero,f(x, W);aequaçãodife-
rencialdizqueasoluçãoquepassarporessepontodeveter inclinação
igual a essenúmero:
tgO=f(x,y)
ondeOéo ânguloda tangenteT à soluçãocomoeixox.
Essa interpretaçãopodesetornar ainda maisgeométricaseima-
ginarmososeguinte.Em cadapontodeO damosumvetorV' (x,y) =
(1,f(x,y)) quedeterminaa tangenteT. Assim,temosum campove-
torial definidoemO. As soluçõesde(3.1)sãoascurvascujosvetores
tangentes em cada ponto (x,y) são v(
madastambémdecurvas integrais.
*y
x,U). Essascurvassãocha-
Na visualizaçãodocampovetorial descritonoparágrafoanterior
é útil conheceras isóclinas.Uma curvay = W(x) é uma isóclinase
f(x, ip(x)) = cte. Assim o campovetorial v é constante ao longo das
isóclinas.
Exemplo. Considerea equação
y =1-xº—y”,
As isóclinassãooscírculoscentradosna origem.Vê-se assimqueem
todosospontosdex? +y? = 1o campovetorial v é paraleloaoeixo-x
e iguala (1,0). Já nospontosdocírculox? +y? = 2 ocampovetorial
teminclinaçãode—45ºe é igual a (1,—1).
3.2. Existência, Unicidade e Dependência Continua
Nestasecçãodemonstramosumteoremaquedácondiçõessuficientes
paraa existênciaeunicidadedesoluçãodoproblemadevalorinicial.
[Umresultado dessa natureza é importante para podermosafirmar
que,mediantecertascondições,a regiãoestácobertapor curvasinte-
prais.
Teorema3.1(ExistênciaeUnicidade.)Seja f:O —sRuma funçãocontínua
definida num aberto O do plano (x,y). Suponhamos que a derivada
parcial com relação à segunda variável, fy;:O — R, seja contínua
também.Então,para cada(xo,Uo)€ O, existemumintervaloaberto1
contendo xo e uma única função diferenciável p:I —> R com
(x,p(x)) € O, para todox E 1,queé soluçãodoproblemade va-
lor inicial (P.VI.)
y'=f(x,y) (3.5)
Ylxo)=vo. (3.6)
O primeiropassona demonstraçãodesteteoremaé a transfor-
maçãodoproblemadevalorinicial noproblemaderesoluçãodeuma
equaçãointegral, o quesefaz no lema a seguir.
Lema3.2.Seja f:O — R umafunçãocontínuanumabertoO doplano
(x,y). Então, uma função diferenciávelp:1 —+R é uma soluçãodo
problema de valor inicial (3.5)(3.6) se e somentese for uma solução
51
PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3
da equaçãointegral
vlw)=vo+ | fis,uls)jds, xcl. (3.7)
0
Demonstração: 1) Se p é soluçãodo problemade valor inicial, (3.5)-
(3.6), então,pelo TeoremaFundamental do Cálculo, p é soluçãoda
equaçãointegral (3.7). 2)Reciprocamente,se&: 1— R éumafunção
contínuaqueé soluçãoda equaçãointegral (3.7),então,peloTeorema
Fundamentaldo Cálculo, bpé diferenciávele é tambémsoluçãodo
problemadevalor inicial (3.5)-(3.6). B
Concentremo-nospois na resolução da equaçãointegral (3.7).
Dado (x9,Uo) € €), tomemosa e b positivostais queo retângulo
B=B(a,b,xo,yo)=(xy): |x-xo|saely—vol<b) (3.8)
estejacontidoemO. Comof é contínua e B é compacto(i.e.,fechado
e limitado),temosquef é limitadaemB; seja
e
Ji o intervalofechado I[xo—qa,xo+al.
Seja C o conjuntode todasas funçõescontínuas g: Ja — R tais que
g(xo) = vo e lglx) = yol<b; graficamente,queremosem C as funções
continuas cujosgráficospassempeloponto (xo,Vo) e que estejamcon-
tidos no retângulo B,
Seção3.2 Existência,UnicidadeeDependênciaContínua 5
xo-a E xpta x
Figura3.3
DefinimosemC a seguintemétrica(distância):
d(g1,92)=maxl|gi(x)—ga(x)|:xE Ja; (3.9)
é fácil verificar que (3.9) é, de fato, uma métrica, isto é, tem-se as
propriedades:
d(g1,92)z20,e d(g1,9g2)=0seesóse g/=92
d(g1,92)= d(g2,91)
d(g1,g2)<d(g1,93)+d(g3,g2).
Portanto,C éum espaçométrico.Pode-se,então,falar emsucessãode
Cauchy:(gn)édeCauchysedadoe > Oexistirnotal qued(gn,Om)<
e para n, mz2no9.Uma sucessão(gn) convergepara g E C se dado
e > 0 existirno tal qued(gn,9) < E,paran2no. Diz-sequeum
espaçométricoC écompletosetodasucessãodeCauchyéconvergente
paraalgumelementodeC.
O espaçométricoC definidono parágradoanterior é completo,o
queseprovasimplesmenteobservandoqueaconvergêncianamétrica
d éa convergênciauniformedefunçõeselembrandoqueolimiteuni
formede funçõescontínuasé uma funçãocontínua,veja Teorema4,
pag. 298, E.L. Lima, “Curso de Análise”, vol. 1, Projeto Euclides,
1976.
Voltemosàconsideraçãodaequaçãointegral(3.7),Consideremos
54 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
a funçãoO definidaemC equea caday € É associaa função
g(x)=vo +f fls,u(s))ds.
O
Observe que g(x) é uma função contínua para x € Ja, que g(xo) = Vo
e que
|9(x)—yol< <M|x—xol<Ma<b/ F(s,uls)|ds
e consequentementeg E C. LogoD:C > C.
À equaçãointegral(3.7)podeserescritana formafuncional
y=O(y).
Portanto,assoluçõesde(3.7)sãoospontosfixosdeD. A idéiaagora
é usar o Teoremado PontoFixo deBanach, conhecidotambémcomo
oPrincípio da Contração:
“SejaC umespaçométricocompleto.SuponhaqueD:C > C é uma
contração,istoé,existeumaconstanteO<k< 1,tal que
d(D(gi),D(gz))<kd(gr,92).
para todos91,92€ C. Então,existeumesomenteum g E C tal que
g=D(g).
Ao leitor interessadona demonstraçãodoTeoremadoPontoFixo
de Banachsugerimoso livro deC.S.Hônig,“Aplicaçõesda Topologia
à Análise”,Cap. II, ProjetoEuclides,1976.
A fim de aplicar esteteoremaao problemaque estamosestu-
dando, restaapenasverificar se O é uma contração.Para tal, escre-
vemos
[Digi)lx)—D(gz)(x)]= / tr(s,g1(s))—f(s,g2(s)lds|.(3.10)
Para estimaro integrandono segundomembrode (3.10),usamoso
seguinteresultado
Lema33, Seja EO —sE umafunçãocontínuadefinidaemum aberto
OQdoplano (x,y) etal quea derivadaparcial f,:O — R sejatambém
Seção3,2 Existência,UnicidadeeDependênciaContinua. 5º
contínua. Dado um subconjunto limitado O, C Oo C OQ,existeuma
constanteK > Otal que
f(x,y) —f(x,vz)|<K[yy—vz] (3.11)
para todos (x,U1), (x, U2) É Oo.
Demonstração: Seja ô<dist(00,090), onde dO representaa fronteira
deO, e designemospor Os = ((x,y) € O: dist((x,y),Oo) < 6/21
uma(6/2)-vizinhançadeOo. Dados(x,y1),(x,y2) € Do com|yy=
y2| < ôtemosqueosegmento|x,Ay +(1—A)ya],O<A<1,estácontido
emOs. Aplicamoso teoremadovalor médio
foe,u7)—fbe,uz)=fylx,Ely —2) ur>yz (3.12)
ondeé estáno segmentodescritoacima. Usando
M, =max(|fy(x,y)|: (x,y)EOs),
obtemosde(3.12)
Flo,ui) —fix,y2)|<Miya —val
que é válida para (x,y1), (x,y2) € Oo com lyy —vy2|< 6. Para os
pontoscom|yj —y2|>ô,aestimativaabaixoseverifica
2Mf(x,y) —fls uz)|<2M<ou —ua,
ondeM éo max|f(x,y)| para (x,y) € Oo.
Logo,paraobter(3.11)bastatomarK —max(M1,2M/6). »
Voltemosà estimativade (3.10).Usando o Lema 3.3,obtemos
/ 918)—g2(s)Jds|<Kaa(g1,92)
Xo
|D(gi)(x)—D(g2)(x)|<K
e daí
d(D(g1),D(g2))<Kad(gr,92).Concluimos que D é uma contraçãose Ka < 1. Logo basta tomar
a<1/K. Eo Teorema 3.1ficademonstradocom| = (xo-d, xo l Ul e
Comentáriossobreo valordeQ, raiodo intervalo|, Acabamos de mostra
a existênciade uma soluçãodo P.V.I. (3.5)(3,6) num intervalo|
56 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
(xo 4,xo +q). Sebemqueà dependeda funçãof eda distânciado
ponto (xo,Yo) à fronteira 90 de OQ,o seguinteresultadoé degrande
importância:
Lema3.4. SeKk € O écompacto,então um mesmoà pode ser escolhido
de modoa servirpara todasas condiçõesiniciais (xo,Uo) E K.
Demonstração: Considereumaó-vizinhançaKs deK tal que
KEK Ch CO
H+,
entãopodemosescolhera eb tais queoretânguloB estejacontidoem
À.sparatodosospontos(xo,Uo)€ K. Portantobastatomar
M =max(|f(x,y)|: (x,y)€Ks)
a<mi amin Nº K
ondeE é a constantedadapeloLema 3.3comOo = Ks.
e à satisfazendo
Comentários sobre a necessidade das hipóteses do Teorema 3.1 . A mera
hipótesedacontinuidadede f garantea existência,masnãoa uni-
cidadedesoluçãodo problemadevalor inicial (3.5)-(3.6);a demons-
traçãodaexistênciacomapenasacontinuidadedef usaaschamadas
poligonaisde Euler ou o teoremadepontofixodeSchauder.Para se
Seção3.2 Existência,UnicidadeeDependênciaContinua. 5/
ter unicidadeé necessárioassumir algumahipóteseadicional à con-
tinuidade de f; veja o Exemplo 1, a seguir. Um estudocompletodas
questõesapenasmencionadasacimapodeservistonolivrodeJ. Hale,
“Ordinary Differential Equations”,Wiley-Interscience,1969.
Exemplo1. Considereo problemade valor inicial
v'=|y|!2 vy(0)=0. (3.14)
Nesteexemplo,f(x,y) = |y|!/2que écontínuaemtodooplano(x,y).
A funçãoy(x) = Oésoluçãodesteproblemadevalorinicial (3.14).En-
tretanto,há outra solução,a qual o leitor podeobterusandoométodo
das equaçõesseparáveise considerandoos casosy > ey < O;essa
outra soluçãoé
xt, x>0
y(x)=
—3x2, £< bl
Umaperguntaparaprosseguir.O Teorema3.1estabelecea existêncialocal
desolução.A perguntanatural é sea soluçãoobtidanaqueleteorema
podeser estendidaa um intervalode definiçãomaior,e nestecaso
até onde. Antes de enunciar resultadossobreessaquestão,vejamos
alguns exemplos.
Exemplo2. Considereo problemadevalor inicial
v=y ulij=1. (3.15)
Nesteexemplo,f(x,y) = y2 e fylx,y) = 2y sãocontínuasemtodoo
plano(x,y). OTeorema3.1nosdizqueexisteumaesóumasoluçãodo
problemadevalor inicial (3.15)definidaemumintervalo (1-a, 1a).
Será quepodeser estendidapara todox? A respostaé não,poisq
soluçãode(3.15)é
]
Vo) =>
cujo domínio de definição é (00,2). Entretanto se a condiçãoinicial
em (3.15) for substituida por y(0) = O, a solução é y(x) = Odefinida
para todox.
5H PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Exemplos. y =e “,y(0) = 0. Asoluçãoy = En(x+1)está definida
parax > —1.
Exemplo4. y' = —A cos+, y (+) = O. A soluçãoy = sen
definida para x > 0.
1É está
Teorema3.5.Mesmashipótesesdo Teorema3.1. TodasoluçãodoPV.
(3.5)-(3.6)podeserestendidaa um intervalomaximal,oqual éaberto.
Para demonstrarmosesseteoremaprecisamosdoseguinteresul-
tado:
Lema3.6.Sejampi(x) e bz(x) soluçõesdo P.VI. (3.5)-(3.6)definidas,
respectivamente,emintervalosabertos1, e 1, contendoxo. Então by
e >coincidemem ly N Is.
Demonstração: Temos que 1:= | NI é um intervalo aberto. O
subconjuntoJ de I definidopor
J=(xel:pi(x) =pa(x))
é obviamente fechado em 1e também não vazio, pois xo € J. Além
disso,J éabertoemI, pelaaplicaçãodoTeorema3.1.LogoJ = 1,onde
usamoso fatodeum intervalo ser um conjuntoconexo. a
DemonstraçãodoTeorema3.5: Considereo conjuntodetodasas soluções
Db;do PV. (3.5)-(3.6)definidas em intervalos abertos 1;contendoxo.
A seguir,seja| = Ul; edefinaumafunção4: | —»IRdoseguintemodo:
dadox € I, comox E I; paraalgum1,defina
p(x)=pilx).
A função«pestábemdefinidaemvirtudedoLema3.6.Além disso,q)
é soluçãodoPV. (3.5)-(3.6),porqueb; o é,e | é aberto.Usaremosa
notação| — (w.,w4). Afirmamosque I é maximal,isto é,nãoexiste
um intervalocontendopropriamenteI ondeo P.V.I. (3.5)-(3.6)tenha
solução p. De fato, se houvesseum tal intervalo, este conteria uma
das extremidades,digamosw, . Então, peloTeorema3.1, a solução
de
yo= f(x,y)
Ulm) = plwa)
Seção3.2 Existência,UnicidadeeDependênciaContinua.59
existiria numintervalo (w, —q,w, +a). Observequeofatodep ser
soluçãodefinidaemw, implicaqueoponto(w, b(w.,)) pertenceao
aberto(0). Daí podermosaplicar o Teorema3.1. Concluimosque a
função4 definidanointervaloI = (Ww,;w++q) por
Da
plx) para xe(w.,w,)
b(x) para xe lwpsw,+a)
é soluçãoP.V.I. (3.5)-(3.6).Isso é, porémimpossívelpois 1foi a união
detodososintervalos abertoscontendoxo, ondeoP.V.I. (3.5)(3.6)tem
solução,e I contémI propriamente. B
RelaçãoentreafronteiraO() easolução(Pdefinidanoseuintervalomaximal.A
perguntaquemotivaesseitemé: Qual ocomportamentode(x,p(x)),
quando x se aproxima dos extremos do intervalo maximal
[ = (w.,w.). No Exemplo 2 acima, O = Rº,1I = (-00,2) e
p(x) — +oo, quandox — 27. No Exemplo4, O é o semiplano
x> 0,1 = (0,00) e a soluçãop(x) tendeparao segmento—I<y<1,
doeixoy. O quevamosmostraréque(x,p(x)) tendeparaafronteira
de O, no sentidoque a soluçãosai de qualquercompactocontidoem
OQ.
Teorema3.7. Se b(x) ésoluçãodoP.VI. (3.5)(3.6)comintervalomaxi-
mal I= (w.,ws4), então(x, p(x)) > 90 quandox > w. (omesmo
valepara x > w), istoé,dadoK C O compacto,existeT < w, tal
que(x,b(x)) É Kparax E (T,ws).
Demonstração: 1)Sew, = +00,dadoK compactoem€), tome
T= sup X
(x,y)JEk
e portanto (x, p(x)) É K sex >»7.
DO PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3
*y
Figura3.5
2) Sew, < +oo, dadoK C € temospeloLema 3.4que o raio q
podeserescolhidoomesmoparatodasascondiçõesiniciais emK. Se
(x1,p(x1)) E K, então &pestádefinidaem (xy—q,xy + q). Tome
T=w,-— q, temos que (x,p(x)) É K sex € (T,w,), porque se
xi E (T,w4) e (xy, Pp(x1))€ À, temosque (x) estaria definida em
(xi—-q,x,3+a). E como
X+4>7PT+AmW,,
teríamosumacontradiçãoaofatode | sermaximal.
Observação: Este teoremaé importantepara determinarmosse as
soluçõesdeumadeterminadaequaçãosãoglobalmentedefinidas,isto
é, w, = +oo. Quando(Qcontémo semiplanox>2xoe w+ < +oo,
temosqueo Teorema3.7implicaque|p(x)| — +ooquandox -
w,. Dizemosnessecasoque temosum “blowup”para x finito.
Consequentemente,se conseguirmosmostrarque |p(x)| fica limi-
tado,entãotemosobrigatoriamenteque p é globalmentedefinida.
A observaçãoimportantenessesentidoé: SeP'(x) é limitada,então
p(x)| nãopodetendera infinitoparax emintervalosfinitos. No
ixemplo 4 acima temos Wy'(x) o cos: é limitada para x>xo > 0,
portantotodasassoluçõescomylx9) = Yo possuemintervalosmaxi-
mais com w, oo,
O seguinteresultadoé de muita utilidade nas aplicações:
Teorema36. Suponhamosque Dsecjaafaixa (x,y): a< x< b]
Seção3.2 Existência,UnicidadeeDependênciaContinua 61
e que f:O —sR seja uma função contínua. Suponhamosquea deri-
vadaparcial fy:O — R sejacontínuae limitada. Então para cada
(xo,Vo) € O, existeumaúnicafunçãodiferenciável&: (a,b) > R que
ésoluçãodoproblemadevalorinicial (3.5)(3.6).
Demonstração: Bastamostrarquepara cadae > Odado,a soluçãodo
problemadevalorinicial (3.5)(3.6)estádefinidaem(a + e,b —€),
Sejam K, = maxi|f(x,yo) : a + exx<b — eje Kz = supllfy(x,y)| :
(x,y) € O!. Então,peloteoremadovalormédio,
f(x,u)|<f(x,vo)|+|f(x,y)—f(x,vo)|<K1+Kay —vo]
e daí, usando (3.7)obtemos
ju(x) —vo|<K3 +ko [ uls) —yo] ds. (3.16)
Xo
Isso implica (vejaLema 3.9a seguir)
ju(x) —vo|<KseK2X-Xolcconst (3.17)
o que mostraque wy(x)não tendea infinito. Logo, o intervalode
definiçãoda solução(3.5)-(3.6)é (a + e,b —e). Como E é arbitrário
obtemoso resultado. a
Lema3.9 (Lema de Gronwall). Sejam «&,p e dfunçõescontínuasdefi-
nidas emum intervalo (a,b), tais que B>0e
d+ / E (3.18)
Então
pe B(s Pe (3.19)
Emparticularse«(x)= K = const,temos
' dô(x)<Kela : (3.20)
Demonstração: Seja
62 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Então w'(x) = B(x)ó(x). E daí, usando(3.18),
w'(x)<PB(x)a(x)+Blx)w(x)
que podeser escrita como
[ww(x)e72] <p(x)o(x)ePD
ondeB'(x) = B(x). Daí sesegue
vofijeBic f B(s)o(s)ePISds,
Xo
efinalmente
ô(x)<a(x) a | B(s)a(sje BlSds,
Xo
o queimplica(3.19).A verificaçãode(3.20)é imediatautilizando
B(s)ed, Pludu + (e). ora ai
S
O resultado abaixo foi estabelecidodiretamentenoCapítulo 2.
Enunciamô-lo,emseparado,poiseleétambémválidonocasodesiste-
mas. E nessecasoa demonstraçãomais simpleséatravésdoTeorema
3.8.
Corolário3.10. Se f(x,y) = alx)y + B(x) ondea e B sãofunções
contínuasem (a, b), entãoassoluçõesde(3.5)estãodefinidasemtodo
o intervalo(a,b).
Além da questãodeexistênciae unicidadede soluçãodo P.V.I.
(4,5)45.6),paraqueateoriatenhasentidofisicamente,éprecisomos-
trar que as soluçõesdependemcontinuamenteda condiçãoinicial.
Vamosestabeleceressapropriedadedemodoprecisono próximoteo-
rema.
Teorema3.11.(DependênciaContínua). Mesmashipótesesdo Teorema
3.1, Se rep são soluçõesde (3.5)definidas em [xo,x1],entãoexiste
K >Otal que
0) = pal)sipi(xo) =palxo)jeS o)
Seção3.2 Existência,UnicidadeeDependênciaContínua
para todo x E [X0, X1).
Demonstração: Dadasas soluçõespy(x) e Pp2(x)de(3.5),definidasno
intervalo fechado |xo,x1|, podemostomar O, comono Lema 3.83,e de
modoque O, contenhaos gráficosde pj e Ppz. Seja K a constante
dadapeloLema 3.8.
ty
Xv
Como
pi (x)—p5(x)=f(x,pilx)) —f(x,ba(x))
segue-se,por integração,que:
XxX
Pilx) —pa(x)= qrlxo)=dalxo)+[ [f(s,Pils)) —f(s, Ppa(s))]ds.
Xo
Portanto,peloLema 3.3
|bi(x)—da(x)|<|bi(xo)—pa(xo)|+/ Klbi(s))—Pa(s)|ds,
Xo
de onde, usando a desigualdadede Gronwall (Lema 3.9), obtém-se:
Ibi (x)—da(x)|<|pi(xo)—dalxo)JeK 0)
Observação: ConsidereumasoluçãoPo(x) dePV. (3.5)-(3.6),definida
num intervalo compacto|xo,X1|,podemosconcluir peloteoremaacima
que, para uma sequênciade condiçõesiniciais y, convergindopara
Vo = Polxo), as soluçõescorrespondentes Pp(x), que satisfazem(14.5)
69
64 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
e Pnlxo) = Yyntambém estão definidas nesse intervalo |xo,x1]para
n grande, e pn — Po uniformemente em |xo,x1). Para isto, basta
considerarOo comouma ô-vizinhançadográficode po,
((x,Polx)):xE Ixo,x1])s=Oo,
e n suficientementegrandetal que
ô
[Un—Vol <eKIxixol'
Nessascircunstâncias,a soluçãoPpn(x)vai permaneceremOg,para
Xe Ixo, X1).
Sistemas. SejamO um abertodeR”, ] um intervalodeRef: Jx O >
R” umafunçãocontínuatal queasderivadasparciais f,, comrelação
às n últimas variáveis são contínuas. Explicitando as variáveis es-
crevemosf(t, uy)ondey = (Y1,... ,Un). À equação
dy1=f(t,y), 1 = + SA]U= fit,y) , = (3.21)
é um modo compacto de escrever o sistema
dy:
e = fi(t Ut... oUn) )* a vá us
Uma soluçãode (3.21)é umafunçãodiferenciávelp: 1> O definida
emumintervaloabertoI C J tal que
p(t) =f(t, P(t)), paratodo tel.
(O)problemade valor inicial consisteem, dados bo €EDeto E )J,
determinara solução Ppde (3.21)tal que p(to) = do. Um resul-
tadodeexistênciae unicidadeanálogoaoTeorema3.1 éválido neste
caso,à demonstraçãosendoformalmente a mesma. Os resultados de
extensãodas soluçõestêmformasanálogase demonstraçõesseme-
lhantes.Deixamosaoleitora tarefadepercorrerosresultadosante-
niores para o caso de uma equaçãoe verificar que as demonstrações
sãoválidasparaossistemas(3,21).
Utilizaremosos resultadosmencionadosacimanos Capítulos6
e 7 O leitor interessadonum exemplo,poderáver o Exemplo 1 da
Secção 6.2.
Seção3.3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 65
3.3. Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
Um campovetorialF é uma aplicaçãoF:O — Rº de um abertoO do
espaçoRº nelepróprio. Geometricamente,imaginamosquea cada
ponto (x,y,Z) deO estáligadoum vetor F(x,uy,z).
Exemplo1. Campo gravitacional geradopor uma massa m colocada
na origem. Neste casoO = Rº — (0,0,0), e pela Lei da Gravitação
Universal de Newton
F(x,U;2) = (- (3.28), ,
Gmx Gmy =)
73 73 o 1):
onder? =x? +y? + 2z2,eG é a constantedegravitaçãocujovalor é
6,67 x 107!!'N.m?/kg?. A expressão(3.23)nosdiz queumamassa
unitária colocadanoponto(x,y, Z)temsobreelaumaforçadeatração
dirigida para a origeme inversamenteproporcionalao quadradoda
distânciadessepontoà origem.
Exemplo2. Campocentraldeintensidadediretamenteproporcionalà
distância ao centrode atração. Suponhamosqueo centrode atração
sejaa origem.Então
F(x,y,Z) = (—kz,—ky,—kz), k= const.
Exemplo3. Ocampodeterminadopelaequaçãodiferencialy”= f(x,y)
Fix,uy)= (1;TFlx,0)).
Exemplo4. Seja V(x,14,Z) uma função escalar V:O — R definida
emum abertoO doespaço(x,y,Zz). Se V for diferenciável,entãoo
gradientedeV
grad V = (Ve Vy, Vez)
éum campovetorial. Usa-setambéma notaçãoVV para representar
o gradiente. Vx, Vy e V, designamas derivadasparciais de V com
relaçãoa x, y e z, respectivamente.
Definição. Um campoF:O — |" échamadocampogradienteseexistir
uma funçãodiferenciávelV:OQ)-— IRtal quegradV = É O campo
escalarV é chamadoumpotenetaldo campoF, e diz-se tambémque
6O PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Hderiva de um potencial. [Vê-seque um mesmoF podeter vários
potenciais,masdoispotenciaisdeum mesmocampodiferemporuma
constante].
CondiçãoNecessáriaparaumcampoFsergradiente.SuponhamosqueF seja
um campogradientee queF sejadeclasseC! (istoé, as componentes
P(x,y,Z), Q(x,y,Z) e R(x,y,2z)deF sãofunçõescontinuamentedife-
renciáveis).Temos,pois,queexisteV(x,y,z)talque V«.= P,V, = Q
e V, = R. ComoF é diferenciável,temos
Vxy = U)> Vyx= Qu: Vas = Pã
Va = kk; Vyz= Oz; Voy = Ry.
Daí, usandoofatoqueas22º derivadasdeV sãocontínuasobte-
mos
Py = 0x, Pr=Ry. Q= Ry (3.24)
quedevesersatisfeitaemtodosospontos(x,1, Z)deO. Então,(3.24)
éumacondiçãonecessáriaparaÉ = (P,(Q,R)serumcampogradiente.
Será ela suficiente? A respostaé não, em geral; isso se vê no Exem-
plo 5 adiante,usandoo resultadoa seguir, Chama-secampofechado
àquelequesatisfaçaà relação(3.24). Nesta nomenclatura,o quees-
tabelecemosacimafoi o fatoquetodocampogradienteé fechado,e o
que perguntamosfoi se todocampofechadoseria gradiente;e o que
veremosé que não.
Antes de prosseguir,a condição(3.24)expressao fato do rota-
cional de F ser zero. Lembreque o rotacionaldo campovetorial
| (P,Q,R) é um campovetorial definidoassim
SK
otEs| 2 2]=TR-Q+T(P-R)+K(Q—Pg),
PP O
onde E Y Kesão a basecanônicade Rº, isto é, T = [1.001
i (0, 10)e k (0,0,1), Obviamente, o determinante acima é
Seção3.3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 0/
apenasformal: é uma regra mnemônicapara lembrar a expressãodo
rotacional.
Proposição3.12. Seja EO — Rº um campogradientecontínuoem
O € Rº cujopotencialé V. Seja a(t) = (x(t),u(t),z(t)), t E [a,b]
um caminho diferenciávelem O. Então, a integral de linha de HFao
longodo caminho « dependeapenasdospontosinicial efinal de x:
| F=Ve(d)u(b),2(b))—Vila),va),(a) (3.25)
Demonstração: Por definição
b
[r=[ (Fit), v(t),z(t)),(x(t),u(t),z(t)) dt (3.26)
onde(, ) designaoprodutoescalardevetoresdoRº. Logo,usandoo
fato queF é um campogradiente,vemosqueo integrandode(3.26)é
Vet), vlt),z(t))x(t) +Volt), v(t),z(t))y(t)+
d (3:27)Eag VbXlt),Ult),z(t)O.
Consequentemente,(3.25)seobtémde(3.26)e (3.27),usandoo Teo-
remaFundamentaldoCálculo. a
+Velx(t),u(t),z(t))z'(t)
Corolário3.13.Se FO — Rº é umcampogradientecontínuoemO C
Rº então
[ P=0 (3.28)
para qualquercaminhofechado« emO.
Observação. Camposde vetoresaparecemem Mecânica,comopor
exemplo,os camposde força. Se F for um campode força, entãon
integral (3.26)é definidacomosendoo trabalhoda forçaF aolongodo
caminho«. Observequealí seestáintegrandoapenasacomponente
de F sobrea tangenteà curva: a componentede F, normala &, não
trabalha. Um campode força fechadoé chamadode conservativo.
Decorreda Proposição3.15a seguire da Proposição3.12que todo
campoconservativode forçasem um domíniosimplesmenteconexo
6H PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3
(vejadefiniçãoabaixo)éumcampogradienteequeotrabalhoaolongo
de um caminhodependeapenasde seus pontosinicial e final.
Exemplo5. SejaO —((x,y): pf <x py < p5),ondeO < py< pa.
O campovetorial FO — Rº definidopor
y =F(x,y)= ro) (3.29)
satisfazàcondição(3.24).Poroutrolado,considereocaminhofechado
a(t) = (rcost,r sent), t E [0,27]er fixadoentrep, e pz. Logo,para
o campovetorial (3.29),o produtoescalar (3.27)é
Tsent —Tcost2: (—rsent)+ 3
[r =-—-27.
AX
Portanto,segue-sedoCorolário3.13queF nãoégradiente.
Tcost =—]
e daí
À noçãointuitiva de conjuntosimplesmenteconexoé a de um
conjunto que não contém“buracos”. No exemplo5 acima O não é
simplesmenteconexo.
Definição. Um conjunto O C R? ésimplesmenteconexose qualquer
funçãocontínuay definidano circulounitário
yo); x +y=050,
podeser estendida continuamente ao disco, isto é, existe Y contínua
Yliouy);x +y<D)>40,
tal que Yix,y) = Yy(x,u) sex +y?=1.
Na classe dos abertos simplesmente conexos,a condição (3.24),
necessária para um campo F ser gradiente, é também suficiente. De-
monstraremosesseresultadoapenasparaocasodecamposvetoriais
planos.Antes,porém,estabeleçamoso seguinteresultado,o qualé a
recíprocadoCorolário 3.13,
Proposição3.14.Seja FO =IR“um campovetorialcontínuoemO C
WE,tal que (3.28)severifica. Então F égradiente.
Seção3,3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 69
Demonstração: Fixe um ponto (xo,U0,Z0) € O. Dado (x,y,z) € ()
existemcaminhos«(t) = (x(t),uy(t), z(t)), O<t<1,em O e tais que
x(0) = XO0;u(O) = Vo; z(0) = Z0, x(1) = X, u(l) = U, z(1) =2z À
expressão
Voswz)= | F (3.30)
AX
defineunivocamenteV pois, por hipótese,a integral de linha no se-
gundomembrode(3.30)independede«, dependendoapenasdospon-
tos inicial e final de «. Para mostrar que V é um potencialpara F,
tomeum caminho « que chegaem (x,y,Z) paralelamenteao eixo x,
istoé,o segmentoligando(x—h,y,Z) a (x,u,Z) pertencea «. Logo
de(3.30)obtemos:
Víx,y,z)— V(x—h,y,z) = / P dx.
x—h
Dividindo por h epassandoaolimite quandoh > 0, obtemosV, = P.
RaciocínioanálogoparaprovarV, = Q eV, =R. a
Proposição3.15.Seja O umabertosimplesmenteconexonoplano. Seja
FO > Rº um campovetorialdiferenciávelfechado.Então F égra-
diente.
Demonstração:Bastamostrarqueacondição(3.24)implica (3.28).Sem
perda de generalidadepodemossupor que x é um caminhofechado
simples (isto é, semintersecções):seja D o abertodelimitadopor «.
À hipótesede « ser simplesmenteconexoimplica que a fronteira de
D é «. O teoremadodivergentenosdiz que
[= [ av-a)
ondediv(—-QO,P)= —Q,+Py. Portanto,usandoa condição(3.24)
obtém-se(3.28). a
Métodopráticoparaobtençãodopotencial. Suponhaque F = (PQ) (0)
Rº seja um campodiferenciávelnum domíniosimplesmenteconexo
OQ,e satisfazendoà relação
Pyulx,y)= Quix,y), (x,y)€ O, (9,24)
/O PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Pela Proposição3.15,sabe-sequeexisteum potencialV(x,y) para F.
Comodeterminá-lo?
Em primeirolugar,observamosqueV deveser tal queVy = P;
logo
Víx,y) = [ Pre ulax+ g(y) (3,91)
ondeo primeiro termo no segundomembrode (3.31)é qualquer pri-
mitivadeP comrelaçãoa x, egéumafunçãoquedeterminaremosde
modoaatenderàoutrarelação:V, = Q. Paraisso,derivando(3.31),
obtemos
Voley)=[Ped g'(y)
e daí
g'(y)—ley) —| Poly) ds. (3.32)
Exemplo6. SejaF(x,y) = (e”,xe” + 2y) um campovetorialdefinido
emtodooR2. É imediatoverificarqueestecamposatisfazà condição
(3.24); e comoestá definido em um domínio simplesmenteconexo,
temos que ele possue um potencial, V(x,y). Logo, como V, = e”,
obtemos
Víx,y) = [y dx+g(y) =e?x +g(y)
e daí
Vulx,u)=ex + g'(y).
ComoV, = xe” + 2y, obtemosqueg'(y) = 2y. Portanto,podemos
tomar g(y) = y?. Concluímosqueum potencialpara F é
Víx,y) = e!x +y?.
ComomotivaçãoparaoestudodeFormasDiferenciais,observa-
mosqueas equaçõesseparáveis,
SAULO)
g(y)'
estudadasnoCapítulo2,easequaçõesda forma
Ni uly +M(x,y) =0
Seção3.3 CamposVetoriaise FormasDiferenciais 7]
queserãoestudadasainda nestecapítulo,sãoemgeral apresentadas
como
g(y)dy=f(x)dx (3.39)
M(x,uy)dx+ N(x,y)dy =0. (3.34)
Essas formasevidenciamcertaspeculiaridadesdessasequações
e tornammais automáticosalguns procedimentosde integração.Há,
pois, uma vantagem em estudá-las. Entretanto, põe-se imediata-
mentea questãode saber o que realmentesignificam as expressões
(3.33)e (3.34),uma vez que elas não são equaçõesdiferenciais no
sentidoqueatéaquitemsidoconsiderado.Formalmente,a coisafun-
ciona se olharmos dy/dx comoo quocientedas expressõesdy e dx.
Um espíritomatemáticoaceitaráo formalismo,e tirará vantagens
dosprocedimentosformais se entendero seusentidocorretoe sentir
quetodoselespodemserjustificados. E é issoquepretendemosfazer
nesta secção.
FormaslinearesemR?. Umaformalinear emRº?éumafunção(:R? -
R tal que
tlax + bB) = alla) + bl(B) (3.35)
onde a e b são números reais e « e B são vetores de R?. Um vetor
« = (x1,x2) deRº podeserescritocomo
xa=wetazez onde ey=(1,0), ee =(0,1). (3.36)
De (3.35)e (3.36)decorreentãoque uma forma linear º fica determi-
nada seconhecermos((e1) e f(e>),pois
tax) = osf(ey) + aot(es). (3.37)
]Definamosduas formaslinearesespeciaise! e e?pelas relações
| o | 1 ui
eau e(ea)= (3.98)e(e)=0 eMesj=1.
À expressãoq) e! +a>e2,ondea, e az sãonúmerosreais dados,define
umaformalinear: aquelatal que
(aje! + qe”) (e1) = 01, (are! + qe”)(e>) as.
PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3
4vemos,reciprocamente,quequalquer forma linear ( é dessaforma,
isto é,
= are! + ae”, onde ay=tt(ey)ea,= (e). (3.39)
O conjuntodas formaslinearesé, então,um espaçovetorial de di-
mensão2, chamadoo espaçodual de R? e designadopor (R?)*. Os
elementosde (R?)* sãochamadosdecovetores.Os covetorese! e e?
formamumabasede (R?)*.
FormasdiferenciaisemR? . Seja O um abertode R?. Uma forma dife-
rencial éumafunçãow: O > (R?)*. Usando (3.39)podemosescrever
ue = wi(x,y)e! + w>(x,y)e? (3.40).
onde as funçõesw;:O — R são as componentesda forma w. Uma
formaé declasseC”, r inteiro >0,se as componentesforemfunções
diferenciáveisaté a ordemr. |O que introduzimosaqui foi o conceito
de forma diferencial de grau 1, ou 1-forma. Pode-sedefinir formas
diferenciaisdegrau > 1,maspara nossospropósitosas 1-formassão
suficientes. Por uma questãode economiade linguagem,chamamos
essas1-formassimplesmentedeformas].Se« = (x1,«2) éumvetor
de Rº, então,decorrede (3.40)que
[o(x,ulla = wr(x, uy) + wa(x,y)az. (3.41)
Exemplosdeformas. (1)Forma constanteé aquelaemqueas componen-
tes são constantes.
(ii) dx:O > (R?)* é a formaconstantecujascomponentesw
e «ww;são 1e 0, respectivamente:dx = 1.e!+0.e? = e!. Assim, se
a (1,0%) éumvetordeRº, então(dx)(«) = «q.
(ii) dy:O > (R?)*éaformaconstante:dy = 0-e!+1.e?= e?,
Assim (dy)(a) = «2.
Decorredos exemplos(ii) e (iii) acima e de (3.40)que qualquer
formadiferencialw podeserexpressacomo
qv= wy dx +w2 dy. (3.42)
Por definição,somam-seformasdefinidasemum mesmoaberto
() somando-seas respectivascomponentes.E, também,multiplica-se
Seção3.3 CamposVetorlaise FormasDiferenciais 73
umaformaw:O > (R?)* porumafunçãof: O — R multiplicando-se
ascomponentesdew por f.
Definição. Dada uma funçãodiferenciávelf:O — R define-sesua
diferencial df: O — (R?)* comosendoa formadiferencialcujascom-
of, ofponentessão 5, € 3,- Assim
of of(df)(x,y)= =>(x,y)dx+— bey)dy (3.43)Ox Oy
ou mais compactamente
df = fe dx + ty dy. (3.44)
É imediatoverificar-sedadefiniçãoque
d(f+ 9g)= df+dg
d(fg) = fd df
o o Õ, des = const. (ed)
df = Oimplicaf = const,seO for conexo.
Definições. Uma forma diferencial w:0 > (R?)* é exata se exis-
tir O — R tal que w = df. Comparecoma definiçãodecampo
gradiente;uma forma é exata se e só se o campovetorial associado
(wi(x,uU),w2(x,y)) for um campogradiente.Uma formadiferencial
éfechadase dw1/dy = dw2/0x; portanto,umaformadiferencialé
fechadasee sóseo campovetorial associadoé fechado.
Decorredas definiçõese observaçõesanterioresque
1.SeO for simplesmenteconexo,umaformadiferencialw:O > (R?)*
éexataseesóseela for fechada.
Definição. Dadaumaformadiferencialw:O > (R?)* declasseCº e
umcaminhodiferenciável«: |a,b]> O, define-sea integraldew ao
longode x por
b
[w=[ wla(t)la'(t) dt
a “q
ondeo integrandoda segundaintegral temo sentidoexplicitadoem
(3.41)acima. [Portanto,a integraldew aolongode« éigual a integral
do campo vetorial (wy(x,U), w2(x,U)), associado a w, ao longo de «|
[4 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Portanto,decorredasProposições3,12e 3.14que
. . ) s ,!. Um forma diferencial w:O — (IR“)* é exata se, e só se, ds D=l
para todososcaminhosfechados« contidosemOQ,
Voltaàsequações(3.33)e(3.34).Em primeiro lugar, escrevendoa equação
(3.33) como
flx)dx—glyldy=0
vê-sequeo primeiromembroé uma diferencialexata. De fato,ela
podeser escritacomo
dF=0, onde Fly) = | Hoddx—[ o(ujay,
e,portanto,assoluçõesy(x) de(3.33)sãodadaspor
Flx,y(x))=
emconsequênciade(3.45)acima.
Quantoà equação(3.34):M(x, y)jdx + N(x,y)dy = 0
casooprimeiromembrosejaumadiferencialexata,entãoelasereduz
a
dF=0, onde Fr=Mefl,=N,
edaí F(x,u(x)) =.
Caso a diferencialem(3.34)não sejaexata,procura-seum fator
integranteu(x,uy),istoé,umafunçãotal que
uM dx + u N dy
seja umadiferencialexata.Vamosestudar as equaçõesdo tipo (3.34)
commaisdetalhesna próximasecção.
J.4. EquaçõesExatas
Nesta secçãoconsideramosequaçõesdiferenciaisda forma
Nx uy +M(x,y) =0, (3.46)
ondeM,N:t) -»IRsãofunçõesdefinidasemumabertoconexoO do
plano(x,14).SupondoqueM eN sãofunçõesdeclasseC! eN(x,y) £
Seção3.4 EquaçõesExatas 75
Oparatodo(x,y) € O, essaequaçãosereduzaotipoy' = f(x,y),
para a qual já temosuma teoria de existênciae unicidadedesolução
do problemade valor inicial. De fato, nós a utilizaremos no decorrer
destasecção.
Dizemosquea equação(3.46)éexataseocampovetorial(M, N)
deriva de um potencialV(x,y), isto é, V« = Me V, = N. Assim, a
equação(3.46)pode ser escrita como
Vulx,u)y' +Valx,y) = 0. (3.47)
Logo,sey(x) for umasoluçãode(3.46),obtemosde(3.47):
d+Vlsul)=o0,
ouseja,u(x) é soluçãodaequaçãoalgébrica
Vix,vylx))=, (3.48)
onde c é uma constante,a qual pode ser obtida se utilizarmos um
ponto(xo,Yo) porondea soluçãoy(x) passe;assimc — V(xo,UVo).
Issoquerdizerqueosgráficosdesoluçõesdaequação(3.46),traçados
noplano(x,y), estãocontidosnascurvasdeníveldafunçãoV(x,uy).
Observeque a equação(3.46)podeser exatasemque M e N
sejam de classe C!, Entretanto, se M e N forem de classe C! num
domíniosimplesmenteconexo,a condiçãopara (3.46)ser exataé que
My = Nx, comovimosna secção3.3.
UmafunçãoV(x,y) talque(3.48)severificaparaassoluçõesy(x)
da equação(3.46)é chamadauma integralprimeira para a equação
(3.46).
O queprovamosacimafoiquese(3.46)forexata,entãoelapossue
uma integral primeira. Consequentemente,um métodode obtenção
de soluções de equaçõesexatas é descobrir uma integral primeira
Voy).
Exemplo1. Considerea equação
(x?+4y)y' +(2xy + 1) =0. (3.49)
NestecasoN(x,y) = x?+4y e M(x,y) = 2xy + 1.LogoNy = My e
consequentemente(3.49)é exata. Basta poisdeterminaro potencial
76 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
de (M, N):
Vix,y) = [xy + Ddx+g(y) =xºy +x+g(y)
e daí
xX+4y=V,=x+9'(y)> g(y)=2y”.
LogoV(x,y) = x2y + x + 2y?. Portanto,as soluçõesy(x) de(3.49)
satisfazema
xuy+x+2y2=C,
ondeC éumaconstantearbitrária.
Exercício1. 1)Integre as equações
(x2+Ny'+2xy-x2=0 xy +y=0.
ii) Estudeosoitoproblemasdevalor inicial paraas equaçõesacima:
v(0)=,uy(D)D=1],yl-)=ley(-|)=-1.
Exercício2. Resolvaas equações
2(er s)u+u-o
y
(cosx sec?y)y' —(senxtgy + 1) =0
(x+2yº)y'+(y—2x))=0.
Observação. À equação
xy —y=0 (3.50)
nãoé exata, Entretanto,as soluçõesy(x) destaequaçãosatisfazem
à relaçãoy/x = c, o quepodeserverificadodiretamente.E também
imediatoqueV(x,y) = y/x é um potencialdocampo(—y/x2,1/x).
A equaçãocorrespondentea estecampoé
Fars u
U 5 =), (3.51)X x
Seção3.4 EquaçõesExatas 7/7
Vê-sequea equação(3.51)é resultadoda multiplicaçãode(3.50)pelo
fator 1/x2. Este é um exemplo em que uma equação não exata é
transformadaemuma equaçãoexatapelamultiplicaçãopor um certo
fator. Quãogeral é essasituação?A questãoé,então,a existênciade
umfator integranteparaa equação(3.46),istoé,umafunção(x,y)
tal que
uNy+uM=O0
seja uma equaçãoexata,isto é, existauma funçãoV(x,uy)tal que
Ve = EM e Y4 = uN. No casoem que M e N sejamde classe
C!, entãoumafunção(x,y) declasseC! seráumfatorintegrante
(lembreO ésimplesmenteconexo)se
(uM)y=(UN) (3.592)
ou seja 1(No Muy)=My—No (2.58)
Observeque (3.53)é uma equaçãodiferencial parcial, pois envolve
derivadasparciaisdeu(x,1y).Suasoluçãonemsempreéfácil. Entre-
tanto,tudoquenecessitamoséuma soluçãoparticular de (3.53)enão
sua soluçãogeral. Em muitas situações,esseproblemaé bemmais
simples,comoveremosnos quatro exemplosa seguir.
Exemplo2. Suponhaque (My —Nx)/N sejauma funçãog(x) de x
apenas. Então, podemosdeterminar um fator integrante u(x) queé
funçãodex somente;defato,decorrede(3.53)que4 é soluçãode
Idu My—Nk
u dx No
istoé, u = eS!X)ondeG(x) = [ g(x) dx.
Considereo exemplo
(xy =x)y'+y=o0.
Temos, então, M(x,uy) = uy,N(x,1) x2y —xe
My—Nx 1-(2xy-1) 2
N X*y —x
76 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
Logo
1d.
udx x
de ondeobtemos
u(x) = x?
Exemplo3. Se (My —Ny)/M for umafunçãof(y) dey apenas,então
(3.46)temum fator integrantequeéfunçãodey somente.Nestecaso,
u(y)=e-FIv)ondeF(y)=[ f(y)dy.
Exercício3. Ache os fatoresintegrantesdas equaçõesabaixoe realize
as integrações:
(3x2—y?)y'—2xy=0
(xº—xy)y'+ (xy—1)=0.
Exemplo4. Se
My —Nx
Ny —Mx
for uma funçãoh de z = xy, então(3.46)tem um fator integrante |
quedependedez : u(x,u) = fl(Z). E fácil verque
io] = eHtz) onde H(z) = fz) dz.
Exercício4. Encontre o fator integrantede
(3xy! +x)y' +y=o.
Exemplo5. Se M(x,uy) e N(x,y]) sãofunçõeshomogêneasdemesmo
grau, então 1/(Mx + Ny) é um fator integrante para (3.46). Lembre
queM éhomogêneadegraup se
M(Ax,Ay) =APM(x,y) há
paraqualaquerx e y reaiseÀ >»O. Derivando(*) comrelaçãoa À e
depoisfazendoÀ — 1obtemos
PM (x,y)= xMalx,y) +uMy(x,y).
Seção3.4 EquaçõesExatas 79
A seguirverifiquequeo campo(M/(Mx + Ny), N/(Mx + Ny)) é
fechado.O leitor podeindagar doprocessoqueconduziuà descoberta
dessefatorintegrante.VejaacontinuaçãodoExemplo5maisadiante.
3.4.1Ummétodopráticode integraçãode equações(3.46)
O conhecimentodediferenciaisdealgumasfunçõespodeserexplorado
para integrar equaçõesdotipo (3.46).Comecemospropondoaoleitor
queverifiqueas seguintesexpressõespara asdiferenciaisdealgumas '
funções
(1) d(xº) = axº—!dx
(1) d(xy) = xdy +vydx
... x) vdx-—-xd(iii) a(2) =1 *0u
“(iv) d(x2+vy?)=2xdx+2ydy
(w)d(tnã)=udxxdy
. %1 UAE—RAY(vi) d(arctg =) DO
Vejamosalguns exemplos.
Exemplo1.À equação
udx + (xy —x)dy = O
podeser escritacomo
xy dy —(xdy —ydx) = 0
quedividida por x? dá
xdy — ydxviy- 5 — =0.
(8) a(7)=0
e daí obtemosa integral primeira
Usando 1)e iii) temos
DO PropriedadesGeraisdas Equações Cap. 3
Exemplo2. À equação
vdx+(1+yê-x)dy =0
podeser escritacomo
vdx-xdyu+(I+yi)dy =0
quedivididapory? produz
ydx —xdy
y2
Usando-se 1)e iii) obtemos(5)val)ras
e portantoassoluçõessãodadaspor
+y ?dy+dy=o.
sa-—--+y=e.
UU uy
Exercícios. Integre,comonosexemplosacima,as equações
udx —(x+xy)dy = 0
(yu+ +x*y?)dx—xdy=O
xdx+udy = Vx2+uy?dx
(x—u)dx+ (x+u)dy =0.
34.2 Existênciado Fator Integrante
MostraremosqueseM eN foremdeclasseC! emO ese N(xo,Uo) +
O num ponto (xo,Vo) € O, entãoexiste um fator integrante numa
vizinhançade(xo,Vo).
De fato,em virtude da continuidadede N(x,y), existe uma vi-
zinhança (o de (xo,yo) onde N £ O. Logo a equação(3.46) pode ser
escrita como
(x,y) € Oo. (3.54)
Seção3.4 EquaçõesExatas 81
Pelo Teoremade Existência e Unicidade de soluçãodo problemade
valor inicial, a equação(3.54)comcondiçãoinicial
ulxo)= E, (2.55)
onde£,é tal que(xo,€) € Oo, temumasoluçãoúnica
U=q(x,E) (2.56)
ondeexplicitamosna soluçãoa sua dependênciada condiçãoinicial €.
Suponhamosinicialmente que a equação(3.46)tenha em uma
vizinhança de (xo,yo) uma integral primeira u(x,y), tal que
Uy(xo,Vo) £ O.Sejaco = u(xo,Vo). Assim,parac numavizinhança
deco, tem-sequeuma soluçãoP(x, E) de (3.54)comu(xo,E) = c é
tal queu(x, P(x, €)) = c. Logo
Uxlx,d(x,E))+uylx,dlx,E) (x,E)=0. (3.57)
E como
Mix,p(x,E) + Nx, dlx,E))b'(x,E) =O (3.58)
concluimosque
us M
uy N
numa vizinhança de (x9,4o). Daí se segueque
Uy
n M. .u N | (3.59)
Logo, u = uy/N é um fator integrante, pois (3.57) é obtida de (3.58)
multiplicando-apor pu.E (3,57)é umaequaçãoexatacomodefinimos
acima.
B2 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
geÉ
X0 Xv
Figura3.7
À seguir,provamosque a equação(3.46)semprepossue(local-
mente)uma integral primeira. De (3.56)sesegueque
€,= Plxo,€) (3.60)
a qualderivadacomrelaçãoa É nosdá
dep ”de 00»8)=1,
|Abemdaverdade,nestepontoestamosutilizandoofatoqueasolução
de um certo P.V.l. é diferenciável com relação ao dado inicial. A
demonstraçãodessefatofogeum poucoaocaráterelementardenosso
estudo.O leitor insatisfeitopodeconsultar,porexemplo,J. Sotomayor,
LiçõesdeEquaçõesDiferenciaisOrdinárias, ProjetoEuclides, 1979.)
Dai, concluímos,que usandoo Teoremadas FunçõesImplícitas, que
É,podeserexplicitadanaequação(3.56):
E=p(x,y) (3.61)
o queé válidonumavizinhançade (xo,Vo). De(3.56)e (3.61)
y =pix,b(x,y))) (3.62)
para todo[x,1) numavizinhançade (xo,Vo). Logoderivando(3.62)
com relaçãoa 1 obtemos
dpdp
õE dy (3.63)
Seção3.4 EquaçõesExatas 89
oqueimplicapy(xo, Vo) £ O.Logo(x,y) éumaintegralprimeirada
equação(3.46).Observequeográficodasoluçãob(x, E) estácontido
na curvadenível ip(x,y) = é.
Comentário. O que acabamosde mostrar foi a existêncialocal de um
fator integrante. Observeentretantoque a expressãodo fator inte-
grante, u = 1py/N, não é útil, em geral, para efetivamentese obter
o fator integrante, pois ela envolve,via (3.56)e (3.61), a resolução '
da equaçãodiferencial(3.46).Ora, a utilidadedofator integranteé
precisamentepara resolveressaequação.Portanto,emborasaibamos
queas equações(3.46)têmum fator integrante,o métododofator in-
tegranteédeaplicaçãorestrita, pois,emgeral,nãoconhecemosquem
eleé. O métododofator integranteé útil noscasosdosExemplos2, 3
e 4 da secção3.4acima. Já no casodo Exemplo5, da referida secção,
o métododereduçãoa uma equaçãoseparávelé bemmais natural.
Exemplo5 (Continuação).A equação(3.46),no casode M e N serem
funçõeshomogêneasdo mesmograu, podeser transformada numa
equaçãoseparávele, então,integrada explicitamente,veja Exercício
7 do Capítulo 2. Basta introduzir uma novavariável dependentez =-
y/x. Daí y' = xz' + z, quesubstituídoem(3.46)dá, apósusar a
homogeneidade:
N(1,z)(xz+27)+ M(1,z) =0
ou seja
N(1,2z) / ] oMile +INtLa?Tx O eia,
Supomosquexo M(xo, Yo) +YoNíxo,Uo) £ 0 e xo > 0. Integrando
(3.64)e voltandoà variável uy:
F(1) » ink =E (3.65)
ondeF(z) éumaprimitivadafunçãocoeficientedez”em(3.64).Logo,
a função no primeiro membrode (3.65)é uma integral primeira de
H4 PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
(3.46).Pelo quevimos antes,então,o fator integranteprocuradoé
H(x,y)=RE (=), N dy àx
1 N(T,y/x) ]
Nou) M(T,y/x)+(y/x)N(,y/x) x
de ondesesegue,emvista da homogeneidade,que
]
Mx + Ny(x,y) =
comoqueríamos provar.
3.5. FamíliasdeCurvasPlanas
As soluçõesy das equaçõesexatas
Níx,u)y' + M(x,y) = 0 (3.66)
foram obtidasna forma implícita
VIR = E, (3.67)
ondec é uma constantearbitrária. Para cadavalor de c temosuma
curvanoplano(x,y). Porexemplo,assoluçõesdeyy' + x = 0 são
dadasna forma Zsyi=e,
assimparacadavalordec > Otemosumcírculoderaio ,/c centrado
na origem. Observe,pois, que,para um mesmoc, podemoster mais
deumasoluçãoy(x) dadapor(3.67).A expressãodefineumafamília
de curvas a um parâmetro. Em geral, uma família de curvas a um
parâmetroé definidapor
TX, UA) =D (3.68)
onde EO) =xA > R é uma funçãodiferenciável,O é um abertodo
plano (x,y) e À é um intervalo da reta.
Poe-sea seguintequestão: dada uma família de curvas (3.68)
a um parâmetro,existe uma equaçãodiferencial para a qual essa
família representesuas soluções?
Iniciemoscomo estudodeexemplos.
Seção3.5 FamíliasdeCurvasPlanas 85
Exemplo1. Família de retas paralelas a uma reta dada:
fix,uy,A)=uyu-mx-A=0 (3.69)
onde mestá dado,AE A =R, (x,y) € O = Rº. Derivando (3.69)
comrelaçãoa x obtemos
y'=m
e é essaa equaçãocuja família de soluçõesé dadapor (3.69).
E )(2x +!Exemplo2. Família deparábolas o)
fixy,AN)=uy—-ZX]-A=Õ0; + (3.70)
ondex,y,A € R. Derivandocomrelaçãoa x obtemos
y'—4)x=0. (3.71)
EliminandoÀentre(3.70)e(3.71)obtemos
(2x2+1Wy'—4xy=0
queé a equaçãocujas soluçõessãodadaspor (3.70).
Exemplo3. Família decírculosderaio 1 centradosno eixo-x
x=A+cost, vy=sent, O<t<27r,
quepodeser escrita implicitamentecomo
fls,y,A)=(x-A)2+y?-1=0. (3.72)
Derivandocomrelaçãoa x, obtemos
2(x-N) +2yy' =0. (3.78)
Eliminando À entre (3.72)e (3.73),temos
v(1+y?)-1=0. (3.74)
“omonoscasosanteriores,ascurvas(3.72)sãosoluçõesde(3.74).En-
tretantonestecaso,há soluçõesquenãoestãoincorporadasem(3.72):
de fato y(x) = Te y(x) = —1são outras duas soluçõesde (3.74).A
terminologiaclássicaé a seguinte: as soluções(3.72)são chamadas
regularese y(x) = Te vy(x] | sãochamadassoluçõessingula-
res. Observeque essasduas últimas soluçõessão as envoltóriasda
DO PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
família de círculos; logo mais, definiremos envoltória e voltaremos a
esta discussão.
Exemplo4. Família arbitráriaderetasdaformay = Ax+ g(A),A > 0.
Nestecaso
fixuy,A)=y—Ax—g(A)=0 (3:75)
ondesupomosquegéumafunçãodeclasseC?. Derivandocomrelação
ax:
uy-A=0. (3.76)
Eliminandoentre(3.75)e (3.76)obtemos
y—xy'—g(y')=0. (3.77)
A equação(3.77)é conhecidacomoequaçãode Clairaut. Como nos
casosanteriores,as curvas(3.75)sãosoluçõesde(3.77).Entretanto
há uma outra: a curva dadaemcoordenadasparamétricaspor
x=-g9(A), v=-Ag'(A)+glA). (3.78)
Para verificaressa assertivabastaprovar que dy/dx = A. Como
veremosmais adiante, a curva (3.78) é a envoltória da família (3.75).
Exemplo5. Família de Círculos
fix y, A) =(x=21)º+y*-N2=0. (3.79)
Derivandocomrelaçãoa x obtemos
2(x—21)+2yy'=0. (3.80)
EliminandoÀentre(3.79)e(3.80)temos
3uy”(uy)?—2xyy!444" —2 = 0. (3.81)
Como antes,as curvas (3.79)são oiço de (3.81),bemcomoa en-
voltóriada família (3.79)dadapor y? = x.
Métodoutilizadonos exemplosacima
Dadaa famíliade curvas(3.68),derivamosf comrelaçãoa x, e for-
mamoso sistema
flx,y,A)=0
(3.82)
FAX y, A) =0
Seção3.5 FamíliasdeCurvasPlanas 87
de ondeeliminamosÀ. Usando o Teoremadas FunçõesImplícitas
vê-sequea condição
Talk,D,A) EO (3.83)
possibilitaa explicitaçãodeÀ em(3.68):À = p(x,y); substituindo-se
essa expressãode À em (3.82)obtemosa equaçãodiferencial procu-
rada,
Exercício1. Obtenha as equaçõesdiferenciaiscorrespondentesàs fa-
mílias de curvas:
(1) y=Ae”*
(11)y=Ax+sen(A+1)
2Gi) E +to=]
(1v) Família de todas as retas passando pelo ponto (a,b)
(v) Família detodasasretascujosegmentocompreendidoentre
osdois eixosé sempreigual a 1.
3.5.1Envoltóriade umafamíliade curvas
Seja dada uma família de curvas C, dada por (3.68);supomosque,
para cadaÀ, a curva correspondentetem tangente,o que quer dizer
queo vetor normal
[io UA), ERA] ED (3.84)
paratodos(x,y, A) tais quef(x,y,A) = 0. Define-seumaenvoltória
dafamília (3.68)comosendoumacurvaemcoordenadasparamétricas
(x(A),u(A))talque
f(x(A),u(A),A) = 0 (3.85)
X(A)felx(A),VÍA),A)+U(A)fylxlA),U(A),A)=O (3.86)
ondex = dx/dA. A condição(3.85)diz quepara cadaÀ, o ponto
(x(A),y(A)) pertenceà curvaC» da família (3.68).A condição(3.86)
dizquenaquelepontoaenvoltóriaeacurvaC, têmamesmaretatan-
gente.A seguintecondiçãoésuficienteparaa existênciadeenvoltória
da família (3.68)
Eetdy= fufaxÉO. (3.87)
BO PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
De fato, considere o sistema
T(x,y,A)= O
3.88Estou,AT= es)
A condição(3.87)nosgaranteatravésdoTeoremadas FunçõesImplí-
citasqueexisteuma solução(x(A),u(A)) dessesistema. Logoesses
x(A) eu(A) satisfazem(3.85),quederivadacomrelaçãoa À produz
WA)felx(A),UlA),A)+
HUM)fybelA),VÍA),A)+falxiA),VÍA),A)=0. (3.89)
Em virtudede(3.88)oúltimotermode(3.89)ézeroeportanto(3.89)
implica(3.86),o quemostraque (x(A),u(A)) é uma envoltóriada
família C No
Determinaçãode envoltóriasde algumasfamíliasdecurvas
1. A família do Exemplo 3:
fixyAM)=(x-A)2+yê-1=0
fale,y,A) =—2x— A)=).
EliminandoÀnessesistemaobtemosy? = 1,oquemostraquey(x) =
levyl(x)= —l sãoduasenvoltórias.
2. À família do Exemplo 4:
fo,uy,A)=y—Ax—g(A)=0
falx,y,A)=—-x—g'(A)=0.
Logo, à curva em coordenadasparamétricas,
x=-g9(A), v=-Ag'(A)+g(A),
é uma envoltória.
A família do Exemplo 5:
fixuyA)=(x=2A)2+y2-A2=0
falx,vd) m=d(x—2A)-21 =0.
Eliminando À no sistema acima obtemosy? = 1x2,
V=x/V3ey =-x/ V3 sãoenvoltórias.
Logo as retas
4. GeneralizaçãodoExemplo4. Sejamg:A > Rº ev: A > Rº funções
diferenciáveis,com|V(A)|= 1para todoÀ € A. Considerea família
deretasg(A)+tv(A):
x=gi(A)+tvilA), u=ogz(A)+tvalA), (3.90).
onde “Rm (91, 92) Ev = (vi, V2).
Se vi(A) £ 0, essafamília podeser escrita na forma (3.75). De
fato, eliminado t em (3.90), obtemos
lu—ga(A)lvi(A)=[x—gi(A)lva(A)
e daí
valA) va(A)== x + ga(A)-“wma? vi(A)
AgoraÀpodeserexplicitadoemvz(A)/vi(A) = cse viv5—vv £0,
oquedecorrede|v(A)|2= 1.Daí(3.91)seescrevenaforma(3.75).
gi(A). (3.91)
O problemapodeser tratado sem reduzir ao Exemplo 4 do se-
guinte modo: provaremos,inicialmente,que a família (3.90)tem uma
envoltóriaseesóseexistiremfunçõesdiferenciáveisP(A) exb(A)tais
que
9(1) + (NV (A) +(A)V(A) =0. (3.99)
Defato,se«(A) = (x(A),y(A)) for umaenvoltória,temos
a(A)=g(A)+t(AJVÍA)
e daí
(A) =g(A) +t(A)v(A)+t(A)V'(A)
e como«x(A) = a(A)v(A] paraalguma(A), (issoé a condiçãodeque
as retastangentesà envoltóriae à curva C» sãoas mesmas),obtemos
a expressão(3.92)com P(A) = t(A) ep(A) = t(A) — a(A). Por outro
lado,se (3.92)severifica,considerea curva a(A) = g(A) + P(AJv(A)
e provemosqueela é umaenvoltória. Basta calcular o” e usar (3.92)
para mostrar que (A) = (q(A) -ap(A)Jv(A).
DO PropriedadesGeraisdasEquações Cap.3
3.5.2. Trajetóriasortogonais
Duascurvasdadaspor y = p(x) ey — p(x) queseinterseccionamno
ponto(xo,Vo) sãoortogonaissesuas retastangentesnaqueleponto
sãoperpendiculares,isto é,
b'(xolp'(xo)=—1, (3.98)
onde supomosque 1)”e Pp”não se anulam. Se as curvas são dadas
emcoordenadasparamétricas,istoé, a(t) = (ay(t),«z(t)) e B(t) -
(Bi(t), Ba(t)) sãoas curvas,então(3.93)tomaa forma
oi (to)Bi(to)+as(to)B5(to)=0.
Duas famílias de curvas
f(x, y,A) =) e g(x,y, E) = À)
sãomutuamente ortogonaissecadaA-curva éortogonala toda u-curva
queela intersecciona.
Dada uma família de curvas
f(x, y,A)=0 (3.94)
um modode obter uma outra família a ela ortogonalé o seguinte.
Pelosmétodosanteriores,obtenhainicialmentea equaçãodiferencial
paraa qualessascurvassãosoluções:
FRUU)=0 (3.95)
A seguirdefinaa função
Gt Up) =F (ui) (3.96)
eobtenhaassoluçõesdaequaçãodiferencial:
G(x,y,uy”)=0. (3.97)
Essas soluçõesconstituemumafamília decurvas
gix,uy,H)=O (3.98)
Seção3.5.2 Trajetóriasortogonais 91
queéortogonalà família f. Defato,seuy= p(x) éuma u-curvaentão
]
(66079) o
o quequerdizer quesey = (x) é a A-curvaquepassapeloponto
(x, P(x)), então
ou seja (3.93)estásatisfeita.
Exemplo6. Considerea família decírculos
* py-y =, (3.99)
À equaçãodiferencialcujas soluçõessãodadaspor (3.99)é
uy +x=0.
Para obtera família ortogonala (3.99)considerea equação
]
—V= +x=0
y
cujas soluçõessão y = ux. Portanto, as retas através da origem
formamuma família ortogonalà família decírculos (3.99).
Exemplo7. Considerea família deparábolas
v—-2Ax]-A=0. (3.100)
À equaçãodiferencialcorrespondenteé
(2x2+ WDy'—4xy=0.
Para obtera família ortogonala (3.100)considerea equação
]—(2x*+Dy —4xy=0,
cujas soluçõessão
+2yº= x*— (nlx| =
Essa é a família ortogonal a (3,100),
PropriodadesGeraisdas Equações Cap. 3
Exercício2, Determine familias ortogonaisàs seguintes famílias de
curvas
(D) y=Ax" (1) x = xy" = À MD uy= in(Ax).
Exercício3. (a) Mostre quea expressão
2 2X y |
SFA" BIA
define: (i) umafamília deelipsescofocais(i.e.,todasas elipsestêmos
mesmosfocos)se À > —b?;(ii) uma família dehipérbolescofocaisse
a? <A<—b2 (O queocorreseÀ < —a2?)
a>b>o0
(b) Mostre que a equaçãodiferencial correspondentea essasfa-
mílias decurvasé:
x -y-a2+b?
XU
E ds uy E ] ga O.
(c) Observandoque a equaçãodiferencial é invariante pela mu-
dançadey' por —1/y', concluaquea família decurvaspara À > —a?
é auto-ortogonal(sentidoóbvio!).
(d) Mostre que a família (1)é ortogonalà família (ii).
Exercício4. Uma família decurvas(3.98)interseccionandouma outra
família (3.94)comum ângulofixo Oé chamadadefamília isogonal
com(3.94).Se (3.95)é a equaçãodiferencialcorrespondenteà família
(3.94)mostrequea equaçãodiferencialcorrespondentea (3.98)é
VU—tg O 1P (uu E y't 5) =(9,
4
Equações Diferenciais
de Segunda Ordem
As equaçõesordinárias, emparticular, as equaçõesdesegundaordem
nasceramjuntos com a Mecânica. Visando formular problemasre-
lovantes,desenvolveremosnas aplicaçõesum poucoda dinâmicade
umapartícula,doosciladorharmônicoedoscamposcentraisdeforças.
Assim,paranós,asoluçãodeumproblemanãoéapenasumafórmula
ou umafunção,mas antes,algoplenodesignificadoe de informações
sobreofenômenoqueestamosconsiderando.Por outrolado,parauma
análiseadequadadeproblemasaplicadosé imprescindívelter um co-
nhecimentomatemáticoadequadopara estudá-los. Desenvolvemos
essamatemáticanas duas primeiras secçõese dedicamosas demais
às aplicações.É animador sentir que problemasrelevantese difíceis
recebemum tratamentosimplese completocomas ferramentasma-
temáticasaqui introduzidas. SegundoA. Engel, a matemáticadeve
ser ensinada comouma ciência fundamental, que forneceos meios
indispensáveisderaciocinaretécnicaspara tratar comomundoreal:
“omundofísico e o mundocriadopelohomem”.
41. EquaçõesLinearesde SegundaOrdem
Sejamp,q,f:(a,b) — R funçõescontínuasdefinidasnum intervalo
aberto(a, b), o qual emmuitosproblemasé a semiretat > Oou toda
a reta—-o0< t < oo. Consideremosa equaçãolinearde2º ordem
x(t)+plt)xlt) +q(t)x(t) =f(t) (4,1)
ou mais compactamente, como escreveremos quase sempre;
KApx +qu f, (4,9)
94 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
Nesta secçãovamosestudaras questõesrelativas à soluçãogeral de
(4.1)e à soluçãodoproblemadevalor inicial para(4.1)comdados
X(to) = xo, X(to)= vo (4.3)
ondeto € (a,b) exoevosãovaloresdados.
Inicialmente, temoso seguinteresultado de existênciae unici-
dade
Teorema4.1. Se p, qe f sãofunçõescontínuasem (a,b), entãoopro-
blema de valor inicial (4.1)-(4.3)tem uma, e somenteuma, solução
definidaemtodoo intervalo(a,b).
Demonstração: A idéia é transformar a equaçãonum sistema pela
introduçãodasvariáveis
xt) =x(t) xalt)=x(t).
Logo,obtemoso sistema
o = X9
X2=—qx)—pxz+f
coma condiçãoinicial
x1(0)=xo
x2( Ô) = Vo.
A conclusãoseseguedosresultadosda secção3.2. |
Concentremos,agora,nossaatençãona equaçãohomogênea
x px+ qx = 0. (4.4)
Na literatura antiga a equação(4.4),associadaà equação(4.1),tinha
o nomepitorescode “equaçãosemsegundomembro”).
Pelo teoremaacimaosproblemasdevalor inicial para (4.4)comcada
umdosconjuntosdedadosiniciaisabaixotêmumaúnicasolução:
Xito)=1 x(to)=0 (4.5)
Xto)=0 xíto) = (4.6)
onde to € ta,b). Seja Pyla,b) >R a soluçãodo P.V.I. (4.4)-(4.5)
eseja pula, b) -»KRa solução do PV, (4,4)(4.6). E fácil ver que
Seção4,1 EquaçõesLinearesdeSegundaOrdem 9!
“qualquerfunçãodaforma
p(t) = cxpailt)+azpalt) (4.7)
ondea1 e a2 sãoconstantesarbitrárias, ésoluçãoda equaçãodiferen-
cial (4.4)”;1ssoé precisamentea linearidadeda equação(4.4)impli-
candoquequalquercombinaçãolinear desuassoluçõesétambémsua
solução,propriedadeessaconhecidacomooprincípio da superposição
noslivrosaplicados.
À recíprocada assertivaentre aspasacimaé tambémválida:
“Qualquer soluçãode (4.4)é da forma (4.7)para xy e «2 escolhidos
convenientemente”.
Prova.Sejap umasoluçãode(4.4),e tome«x;—p(to) e «z = bp(to).
Então é fácilver quea função )b— Pp—«pj — «azdbzé soluçãode(4.4)
eablto) = 0 emb(to)= 0. Logo,peloTeorema4.1acimaip(t) = 0,0
quedemonstrara asserçãoacima.
Conclusão. (4.7)é uma soluçãogeral de (4.4).
O usodoartigoumana conclusãoacimaindica quepodemexistir
soluçõesemoutraforma. Para estudaressaquestão,vamosintroduzir
a noçãode independêncialinear.
Definição4.1, (1)Duas funçõesby, bz: (a,b) > R são linearmente
dependentes(abreviadamentef.d.) seexisteumaconstantek tal que
po(t) kit), paratodot E (a,b). (1) Duas funções(bj e Pz)
são linearmenteindependentes(L.1i.)sea condição
cpilt) +azpa(t) =0, paratodo te(a,b), (4.8)
implicar que j — «>= O. [Obviamente,funçõesbj e bz são ii. se
elasnãoforemEd., Optamosporenunciara definição(ii) poiselase
estendenaturalmentepara o casodemais deduas funções).
Exemplos: 1)As funçõessenx ecosx sãoL.i.. 2)As funçõese e elx,
a bafo l.i 3) As funções af e xe” são Li.. 4) As funções dj
e f2, soluções, respectivamente,dos P.V.I. (4.4)-(4.5)e (4.4)-(4.6)são
l.i.
A noçãode dependência(ou independência)para funçõesdife-
renciáveispodeser ligadacomo determinanteWronskiano,
96 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
Definição. Dadas duas funçõesdiferenciáveispr, pa:(a,b) > R,o
determinante
pilt) dalt)
WiqWa,dal(t)= (4.9)
di(t) alt)
é chamadoo WronskianodasfunçõesPb;e Pa.
Proposição4.2. Sejam by, bz: (a,b) > R duasfunçõesdiferenciáveis,
cujo Wronskianoé diferentedezeroem umponto to € (a,b). Então,
Die bz são Li..
Demonstração: Suponhamos,porcontradição,quep, e p>sejamt.d..
Então, existem constantes x; «2 pelo menosuma delas diferente de
zero,tais que
osdbilt)+ azbalt) =0, Vte(a,b). (4.10)
Daí, derivando, obtemos
ocrpilt)+ozbalt)=0Vte(a,b). (4.11)
Em particular, para t = to temos o sistema
a dilto) +azpalto)=O
oypilto)+azbalto)=O
cujodeterminanteé precisamenteWI, bal(to),o qualé diferente
de zeropor hipótese. Consequentemente«j — «z = O,o que é uma
contradição. E
E a recíprocada Proposição4.2? É falsa comomostrao exemplo
a seguir
Exemplo5.As funçõesPy(t) = tée ba(t) = |t|º sãoL.i.;vê-seimedia-
tamentequeseuWronskianoé zero.
Entretanto,a recíproca(e,emverdade,algomaisforte)éválida
se nos restringirmosà classedas soluçõesda equação(4.4). Temoso
seguinte resultado,
Seção4.1 EquaçõesLinearesdeSegundaOrdem 4
Teorema4.3. Sejam Pp,e bz soluçõesde (4.4). Então, elas são Li. see
somenteseseuWronskiano édiferentedezeroemumponto to € (a,b).
Alémdisso,se oWronskianofor diferentedezeroemumpontoto, então
eleédiferentedezeroemtodososdemaispontosde(a,Db).
Demonstração:Da parte“seesóse”,emvirtudedaProposição4.2,resta
provarquese f1 e f2 sãosoluçõesl.i. de (4.4),entãoo Wronskiano
é diferentedezeroemum pontoto € (a, b). Vamosprovar um pouco
mais: que o Wronskiano é diferente de zero em todos os pontosde
(a,b). Fixeto € (a,b) eprovemosqueWl|b4,Pal(to) O.Supondo,
por contradição,queisso não ocorra,concluímosqueo sistema
apito) + azpo(to) = ()
orpi(to) | axobo(to) = (
temsolução(x1,«2) nãotrivial (i.e. pelomenosum dos w'sé £ 0).
Formemosa funçãoP(t) = a«ypy(t)+ azdbalt)a qual é soluçãode
(4.4),e,comoP(to) = dlto) = 0,oteoremadeexistênciaeunicidade
[Teorema4.1]implicaquep(t) = Opara todo tE (a, b). Issoacarreta
queP1 e bz sejamt.d., o queéumacontradição.
A última asserçãodo teoremaseprovaassim. Se o Wronskiano
é diferentedezero,num ponto,entãobj e bz sãoL.1.,e oquefizemos
acima foi mostrar que isso implica que o Wronskiano seja diferente
de zeroemtodosospontos. E
A última partedoTeorema4.3podetambémser provadausando
afórmuladeAbel-Liouville,dadanoTeorema4.4abaixo.
Teorema4.4.Sejambi, pa: (a,b) > R duassoluçõesde(4.4).Então
— Ji, Pís)as
Wit) = Wíto)e (4.12)
ondeto € (a, b), eestamosusandoa notaçãoW(t) = Widbs,dal(t).
Demonstração: Derivandoa expressão
Prlt) alt)
Pd pilt) o(t)
98 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
obtemos
Witt)= dalt)da(t) pa(t)Hg]
Pitt) alt) Pit) alt)
Usandoaspropriedadesdedeterminantese o fatoque fi1,e fi2,satis-
fazemà equação(4.4),obtemos
Wet)=—-p(UWIt), (4.13)
que é uma equaçãolinear de 1º ordem, estudadana secção2.1. A
soluçãode(4.13)édadapelaexpressão(4.12),ondeto podesertomado
comoqualquerpontoem(a,b). ]
[+
A fórmula (4.12)diz diretamenteque uma das alternativas ocorre:
(1) W(t)=0,(i) W(t) 0,paratodot E (a,b).
Vejamosagora o que é que o conceitode independêncialinear
podefazerpela questãodesoluçãogeral. Temososeguinteresultado.
Teorema4.5. Sejam by, ipa:(a,b) — R duas soluçõesti. de (4.4).
Então,qualquersolução de(4.4)éda forma
p= «py + apo (4.14)
com &1e X2 constantesescolhidas convenientemente.
Demonstração: Fixe to € (a,b) e considereo sistema
aeypilto)+anpalto)=blto)
arbi(to)+azba(to)=píto).
Comoo determinantedessesistemaé o Wronskiano de 1) e 12 em
to, 0qualédiferentede0, [pois1 e12 são.i.] concluímosque«7e
x estãounivocamentedeterminados.Agoraconsiderea função
o(t) =onp(t)+azpa(t),
a qual é soluçãode (4.4)e comoo(to) = d(to) e ó(to) = dlto), O
teoremade existênciae unicidade [Teorema4.1]nos diz que o = Qd.
a
ImportânciadoTeorema4.5.. Em virtude desseresultado,vemosquese
determinamosumparqualquer1),e12, desoluçõest.i. de(4.4)então
a soluçãogeral de (4,4)estáobtidae é dada por (4.14),
Seção4.2 Obtençãode Soluções
Consideremosagoraa equaçãonãohomogênea(4.1).A seguinte
observaçãoédeverificaçãoimediata: “Sex1(t) ex2(t) sãosoluçõesde
(4.1),entãoxi (t) —x2(t)ésoluçãode(4.4). Issonospermiteafirmar
que,seconhecermosuma soluçãoparticular, xp(t), de (4.1)entãouma
soluçãogeralde (4.1)é dadapor
x(t)=empi(t)+axpalt)+xplt)
onde «| e «>são constantesarbitrárias e1p1,12 é um par de soluções
ti. de (4.4).
| interessanteobservarqueseconhecermosumasoluçãogeralde
(4,4),entãohá um modoautomáticodedeterminaruma soluçãoparti-
cular de(4.1).Trata-sedométododevariaçãodosparâmetros,quenos
textosantigosera chamadoparadoxalmentede “métododevariação
dasconstantes”.Na próximasecçãoestudaremosessemétodo.
4.2. Obtençãode Soluções
4.2.1Métodode Variaçãodos Parâmetros
Suponhamosqueseconheçaumpar,bj ez, desoluções(.1.de(4.4).
O métodoconsisteembuscarfunções«y(t) e «z(t) tais quea função
x(t)=os(t)pi(t)+aolt)pa(t) (4.15)
sejasoluçãode (4.1).Derivando(4.15)obtemos
x= emp+apa +dpi +apo (4.16)
ondeomitimosa explícita dependênciaemt para simplificar a nota-
ção.Ora, estamoscomdoisgraus deliberdadena nossabusca;então,
nãohá mal emperderum,impondoa condição
mp + ázpo =0 (4.17)
cuja razoabilidadeo leitor descobriráapósalguma meditação.Logo
(4.16)setorna | |
x mpy + «gba (4.18)
quederivadanosdá
Ro ocnpydao +dmpy+doba. (4.19)
00 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap. 4
Como queremosque x(t) seja soluçãode (4,1), levamos(4.15),(4.18)
e (4.19)à equação(4,1)e usandoo fato que 1j e 1)>são soluçõesde
(4.4)obtemos
nbr + dnpo =f. (4.20)
Agora resolvemoso sistema (4.17),(4.20) para obter à, e &2
&y=—fiba/W e àz=tfibi/W (4.21)
ondeW designao Wronskiano de1bye 1b2.De (4.21)obteremos«x e
X2. iz
Ju S À l É
Exemplo. Considere a equação o 64h)
x—5x+ 6x= et. (4.292)
É fácilverqueby(t) = et ew>(t)= et sãosoluções(.i. de
Xx—5x+ 6x = 0. (4.23)
(Na próximasecçãoestudaremosmétodosdeobtençãode soluçõesde
equaçõesdiferenciais lineares homogêneas).O Wronskiano de 1; e
Jb2 é
w = e^2t e^3t Rh
[ 2e^2t3e^3t e^5t
Logo
a1 = -e^te^3t / e^5t= -e^-t &2 = e^t e^2t/ e^5t = e^-2t
e dai
a 1o(t)=e"* at)= —5€ a
Concluímospoisqueumasoluçãoparticularde(4.22)
= 1 ]xp(t) 16 e se 2to3t — e.
Portanto,umasoluçãogeral de (4.22)é
1
x(t) m ae?! | aq2e3t+ 3º (4.24)
Seção4.2 ObtençãodeSoluções 101
Observequese tivéssemosescolhidooutrasprimitivas de a1 e a2
digamos
o(t) =et+2 egtt] = Rs 3
entãoa soluçãogeral de (4.22)obtida seria
]x(t) = qe?! + age! + 5º toBe 4.SP
a qual é equivalentea (4.24).
Comentáriosalgébricos
Tudo que vamosdizer a seguir é mera roupagempara o que se de-
monstrounestasecção.Designemospor C'[a, b],ondej é inteiro >0,
o espaçovetorial(real)dasfunçõesp: (a,b) > R declasseC). A
equaçãodiferencial(4.1)defineum operadoremC2[a,b] comosese-
gue:
L:C?[a,b]> Cº[a,b]
dr Lp) =4" +py +qd
ondep,q:(a,b) — R sãofunçõescontínuas. O princípio da superpo-
siçãopodeser expressona assertivadequeL éum operadorlinear. O
núcleoN(L) deL é pordefinição
N(L) ={fiE C²[a,b]:Lfi =0}.
VimosacimaqueonúcleoN(L) éumsubespaçovetorialdedimensão
2. A imagemR(L) deL épordefinição
R(D)=(fe Cºla,b]:Ib E C?la,b]eLp =f).
Segue-sedo Teorema4.1 que R(L) = Cº[a,b], ou seja o operador
| é sobrejetivo. Como N(L) tem dimensão2, o operador L não tem
inverso.Vimosacimaquea imageminversaL”!(f) de umelemento
f e Cºa,b] é uma variedade linear da forma Xp + N(L) onde xy é
qualquerelementodeL”!(f).
4.2.2 Equações lineares homogêneasde 2º ordemcom coeficientescon-
stantes
02 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
Segue-sedo Teorema4.1 que as soluçõesde (4.25)sãofunções
definidasemtoda a reta.
O métodode resoluçãoconsisteembuscar soluçõesde (4.25)na
forma
x(t) =e! (4.26)
ondeÀ é um parâmetroa determinar.Se quisermosquex(t), dada
por (4.26),seja soluçãode (4.25),nada há de mais razoável do que
levá-laà equação(4.25):
Net +pret +qe t=0
ou seja
A +PpA+q=0, (4.27)
queé conhecidacomoa equaçãocaracterísticaouequaçãoauxiliar da
equação(4.25).
Portanto,seescolhermosÀ igual as soluçõesde(4.27),as funçõese?!
correspondentessãosoluçõesde(4.25).
Há trêscasosaconsiderar,dependendodosinal dodiscriminante:
2p*=,
Caso1: p² - 4q > 0. Neste caso,(4.27)tem duas raízes reais e
distintas:
l1 = -p/2(p/2)² - c e l2 = -p/2 sqrt(p/2)² - q
o consequentemente
Atx+(t)me e xa(t) = e! (4.28)
são soluçõesde (4.25). Um cálculo fácil mostra que o Wronskiano
dessas duas soluçõesé igual a (A>—AyJe!A1+A2)tq qual é diferente
de O, Portanto, as soluçõesx1 e x>dadasem (4.28)são L.i..
7CasoII: p² - 4q = 0. Nestecaso,(4.27)nosdá apenasumvalorde
A; p
es
Seção4.2 ObtençãodeSoluções 1
e assimobtemosapenasuma solução
xi(t)=ePt/2 (4.29)
através desse processo. Como determinar uma outra solução x»(t),
demodoqueopar x1,X2seja£.i.?
A ideiaéusarométododereduçãodaordemdaequaçãoqueconsiste
no seguinte:conhecidauma soluçãox1(t) de (4.25),busca-seoutra
soluçãona forma
HE) = UE it).
Substituindo essex na equação(4.25)obtemos
uk + px + qx] + ix; + úlpx, +2x1) — O
de ondesesegue,fazendoi = v, que
v+ (p+2E)v-o.
X1
É fácil ver que, para a solução x; dada em (4.29), o termo entre
parêntesisé zero. Logo
v=0 5 v=c>S u=e+c.
Portanto,qualquerfunçãoda forma (ct + c')xy(t), ondec e c”são
constantes,é soluçãode(4.25).Tomando-sec = 1,c”= 0,obtemos
umasegundasoluçãopara(4.25):
xa(t)=tePt/2 (4.30)
Um cálculosimples mostra que o Wronskiano das soluçõesx1 e x2,
dadasem(4.29)e (4.30)respectivamente,éiguala eP*, econsequen-
tementeessassoluçõessãoL.i..
Casolll: p?—4q <0. Nestecaso,(4.27)temduasraízes complexas
conjugadas:
]M=-utivel=-u-iv, ondeu=p/2, v- 5V49 - na,
(4.41)
Logo,pelaobservaçãoabaixo
xilt)=emMtet e xalt)m e Me iV
104 EquaçõesDiferenciaisde SegundaOrdem Cap. 4
sãosoluções(,i. de(4,25),poisseuWronskianoéiguala 2iv e2HtZL 0.
lim virtude da linearidadeda equação(4.25),temosque
]
5 Dalt) - x2(t)|]= € Ht cosvt (4.32)
]pal) =5
são também soluçõesda equação(4.25). Para escreveros últimos
termosdasexpressões(4.32)e (4.33)usamosa fórmula deEuler:
e'º = cos0+isend, DER.
O Wronskiano das duas soluçõespy e bz dadas em (4.32)e (4.33),
respectivamente,é igual a ve “Ht Z 0, o que implica seremb, e bz
A
palt)
lt) +xo(t)]= e Hsenvt (4.88)
Observação. O aparecimentode números complexosa essasalturas
dá o que pensar. Em primeiro lugar, pelo modode conduzir nossa
apresentaçãoatéestepontoficouimplícito queestávamostrabalhan-
do apenas comonúmeros reais, e, de fato, era isso que tínhamos em
mente. Entretanto, podemostratar de modoanálogoequaçõesdife-
renciaislinearescomcoeficientescomplexos,p, q:(a,b) > C, efalar
de soluçõescomplexasp:(a,b) — €C,onde C designa o corpodos
númeroscomplexos.Lembramosque, se br(t) e br(t) designamas
partesreal e imagináriade&, então,p é diferenciávelsee sóse Pr
e pyo são.AssimquandodizemosqueeMte'Ytésoluçãodaequação
(4.25)acima [p,q reais], o quequeremosdizer é quesuaspartes real
v imaginária são soluçõesde (4.25),e isso seria outro modo,essencial-
menteidênticoaoquesefez,deobter(4.32)e (4.33).
Exemplo1. Xx—4x =0.
Fazendox =eM obtemosA? —4 = 0,edaíA; =2e Az = —2. Logo
at) e etexo(t) = e?! sãosoluçõesdaequação.SeuWronskiano
é igual 4,e logoxyexzsãosoluçõesL.i.. n 9Za Ô
] » SJExemplo2. Xx+2x+x=0. aa AR
Fazendo x— €*!, obtemos q 13
Nº +2A+1=0, 4
Seção4,2 ObtençãodeSoluções 10!
quetemumaraiz duplaÀ = —1.Logoxy(t) = e texa(t) = te “são
duassoluçõesl.i., poisseuWronskianoé 0.
Exemplo3. Xx—2x + 59x=0.
Fazendox —e2t,obtemos
N2-2A+5=0,
cujassoluçõessãoAy= 1+2ie Az = 1—2i. Logo
xi(t) = e! cos2t
to
x2 = e! sen2t
sãosoluçõest.i. da equação,poisseuWronskianoé £ 0.
(Recomendamosaoleitor nãotentar decorarasfórmulas eexpressões
deduzidas nos casos 1, II, III acima e, a cada problema, aplicar o
métodoensinado,comofizemosnosexemplosacima. Eventualmente,
coma prática alguns dospassosdo métodoserãorealizadosmental-
mente). |
4.2.3 Métodode reduçãoda ordemda equaçãodiferencial
Dadaumasoluçãofi1: (a,b) > R da equaçãodiferencial
x+pl(t)x+ qlt)x =0 (4.34)
ondep,q:(a,b) > R sãofunçõescontínuas,ométododereduçãoda
ordemconsistemembuscaruma segundasoluçãona forma
palt) =u(t)pr(t) (4.35)
ondeu(t) é uma funçãoa determinar. Substituindo-sex por bz na
equação(4.34)obtemos,comv = 1, que
V + (» ad2) w= 0 (4,96)bi
que é uma equaçãodiferencial linear de 1º ordemdo tipo estudado
noCapítulo2, ondeestamossupondoquePi(t) 4 O;casonãooseja,
teremosquequebraraequaçãoemvárias. Resolvendo(4.36)obtem
vit) se 1nd constante,py
106 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
onde P(t) é uma primitiva de p(t), Como U= v, temos
É | = PIt)ut) | pio dt,
e assim uma segunda soluçãoseria
]
2Pi(t)
À importância do métodode reduçãoda ordem reside em que
muitasvezesobtemosumaprimeira soluçãopor um outrométodoeaí
sepõea questãodeconseguiroutra solução:issojá ocorreunoestudo
das equaçõescom coeficientesconstantesfeito em 4.2.2 acima. As
vezestambém,umaprimeirasoluçãosalta aosolhos(observadores!)
eométododereduçãoda ordemnosdá a outra. Vejamosum exemplo:
ba(t)=pat) / e Pig. (4.87)
Exemplo4. À equação |
1-PFipemeltiisTtn=d, Agte tl
éconhecidacomoaequaçãodeLegendre,ondeÀéumparâmetro;para
cadavalor fixadode À se tem uma equaçãodiferente. Consideremos
a equaçãoparaÀ = 1:
T-pa-Tilde=0 0 «[<ta1. (4.38)
Vê-sequea funçãopit) = t é soluçãode (4.38). Determinemos
outra soluçãona forma Ga(t) = ut. Substituindo-sex por bz em
(4.35)obtemos,comv = ú, que
2 2t
Comoa equação(4.39)nãofazsentidopara t = Ô,vamosconsiderá-la
separadamentepara—] <t<0e0<t< 1. Obtemosde(4.39)que
Ls en
te(1—+2)
C ] ]Ult) / PT 1 fatia
V(t) =
Dai:
Seção4.2 Obtençãode Soluções TO
ou seja
] ] |+t
u(t) = “4"72 Mo:
Logoumasegundasoluçãode(4.38)seria
t 1++
funçãoqueestábemdefinidaemtodoo intervaloaberto(—1,1).
4.2.4 Métododos coeficientesa determinar
Em 4.2.1estudamoso métododevariaçãodosparâmetros,quepode
ser utilizado para determinar uma soluçãoparticular das equações
linearesna sua forma geral (4.1).Agora, explicaremosum outropro-
cessoque se aplica somentepara equaçõeslineares comcoeficientes
constantes
x+ px+ qx = f(t) p,q = constantes. (4.40)
eaindaparacertostiposdefunçõesf(t). A vantagemdessemétodoé
não envolverintegraçõese, portanto,é de fácil utilização. O método
consisteem determinara soluçãoparticular xp(t) de (4.40),a par-
tir do tipo da função f(t), comcoeficientesb; a seremdeterminados,
conformeveremosabaixo. As justificativas estãoapresentadasnos
exercícios.
TOO=06+ qtde Gt”
xp(t)=bo+bit+---+bat”(5)
EE =="
Xp(t)= be (x)
f(t) = cosPt ou senPt
Xplt) bj cos [31 | b> sen pi (4)
108 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
f(t) = (ao+ at ++»:+ant")e**cosBt ou
f(t) = (ao+at +---+ ant")e“*senBt
Xp(t) = (bo + bit + --- + bnt")e “cos Bt+
(cotcit+---+cnt")e“!sen Bt (x)
(*) Se algumtermo dessaexpressãodexp for soluçãoda equaçãoho-
mogêneaassociadaa (4.40),propõe-setxp(t) para soluçãoparticu-
lar de (4.40).Casoalgumtermodetxp(t) sejasoluçãoda equação
pranto associadaa (4.40),então a soluçãoparticular buscadaé
txplt).
Observação: Ostiposdefunçõesf(t) aosquaisométodoseaplicapode
seraumentadocomoconsequênciadoseguintefato:“Sexp e Xpsão
soluçõesparticulares,respectivamente,dasequações
x+rpx+qx=filt) e Xx+px+ qx=fa(t)
entãoC1Xp+ czXpésoluçãoparticularde
x+px+ qx = cyfi(t) + cafa(t).
A aplicaçãodo métodoconsisteemlevar a expressãoem(x) na
equação(4.40),identificar os coeficientesdas respectivaspotências,
exponenciais,senos ou co-senos,obtendo-sesistemas algébricosde
onde se determinam os coeficientesb's e c's, daí o nome destemétodo.
Exemplo1. ConsidereX + x = cost. Comocoste sent sãosoluçõesda
equaçãohomogêneaassociada.O métodosugerea soluçãoparticular
da forma
Xp(t) = bitcost + batsent.
Substituindo xp(t) na equaçãoobtemos
—bysent +2b>cost = cost
logobj — 0,b>— 1/2 e a soluçãoparticular é
Xptt) ; tsent,
«e.
Seção4.2 ObtençãodeSoluções
Exemplo2. Vamos alterar o segundo membro da equação acima para
LcosL, sto é,
Xx+x = tcost. (4.41)
Nessecasoo métodosugerea soluçãoparticular na forma
Xp(t) = t(bo + bit) cost+ t(co + cit) sent.
As constantesbo, by, Co, Cy devem ser calculadas substituindo-se
Xplt) na equação. Podemos também usar a observação acima para
calcularumasoluçãoparticularde(4.41).Escrevemos
E go ta tatot=t— = et + ce!2 z z
eprocuramosasoluçãoparticularx, (t) comosomadesoluçõesparti-
cularesdasequações |
Ta Extx=-et e xtx=-e", (4.492)
2 Z
1As equações(4.42)sãoconjugadas,e portantosex, (t) é soluçãode
umadelasseuconjugadox)(t) ésoluçãodaoutra.
Vamosresolvera primeira equaçãode (4.42). A funçãoe't*é uma
soluçãoda equaçãohomogêneaassociada,portantoo métododoscoe-
ficientesa determinarsugere
Xp(t)=t(bo+brt)e!.
Substituindox, (t)naprimeiraequaçãode(4.42)obtemos
[2by+2boi+4byitjeit=se“,
e portanto temosque bo j ebjy = Fi. Isto é,
t EN
xya(t) (ss)
é uma soluçãoda primeira equaçãode (4.42).Segue-sequea solução
particular de (4,41)é
(2
Xp(t)= xg(t)+x)(4)= 2Re(x)(t)) qSost+7 sen
110 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
4.2.5 A equação de Euler-Cauchy
À equação
t2x+ atx + bx = f(t), a,b = constantes,
é conhecidacomoequaçãode Euler-Cauchy. Vamos mostrar como
obterduas soluçõest.i. da equaçãohomogêneaassociada
tx +atx+bx=0. (4.43)
Devemosconsiderarseparadamenteoscasost > 0et < O.Tratemos
apenasocasot > 0.
PrimeiroMétodo
A idéiadométodode resoluçãoé tentar soluçõesde (4.43)na forma
x(t) = t?, ondeÀ é umparâmetroa determinar.Substituindoessex
na equação(4.43)obtemos
PMMA am! ruÉ=Oo
de ondeobtemosa equaçãodo 2º grau para À:
M+(a-NA+b=0. (4.44)
Hápoistrêscasosaconsiderar,deacordocomosinaldodiscriminante.
Casol: (a—1)?—4b > 0. Há duassoluçõesreais e distintasde
(4,44)
ess df
a 2
a—l AY"er
e nantm
pilt)=t" e dalt)=t"
sãoduassoluçõesL.i. de (4,43),
Casoll: (a 1)º-4b =0, Nestecaso,obtemosapenasumvalor
de À,e,consequentemente,umasósoluçãode (4.43):
a= |A ; » Pilt) = plata
Seção4.2 ObtençãodeSoluções 11
Para obter uma segunda solução,neste caso,usamos o métodode
reduçãoda ordemda equação:procuremosessasegundasoluçãona
formap> —up. Comojá fizemosessetipoderaciocíniováriasvezes,
vamosescreverdiretoa expressãodebz(t), usando(4.37):
pa(t)= aa [ po lipade=cana,
Casolt: (a-1)2-4b < 0, Neste caso,(4.44)tem duas raízes
complexasconjugadas:
M=u+tv, A=u-tiy,
A ia po a — ,
Po 2
dit) =tH" e balt)=tM0""
são duas soluções!.i. de (4.43). Usando o fato que t” = e ea
fórmuladeEuler obtemosduasoutrassoluçõest.i., agoraenvolvendo
apenasnúmerosreais:
onde
e assim
ivênt
pilt)=t" cos(vint) e dalt) = tt sen(vênt).
SegundoMétodoIntroduzimos uma novavariável independentes por
e* = t (lembramosque estamosconsiderandoa equação(4.43)para
t > 0)e definimosy:I — R pelaexpressão
u(s)=x(eº)
edaí obtemos
v'(s)=x(e'Je"e y(s) =x(e*)e?*+x(e*)es.
Substituindo-seem(4.43)obtemos
y"+(a-ly +by=o0
queé umaequaçãolinear de2º ordemcomcoeficientesconstantes.O
procedimentoem4.2.2acimaproduzparesdesoluçõesf.i. emcadaum
[12 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
dostrêscasos.Voltandoàvariável t chegamosàs mesmasexpressões
obtidasno primeiro métodoacima.
4.2.6 Métododas séries de potências
Se os coeficientesp(t) e q(t), bemcomoo segundomembrof(t) da
equação
x+ p(t)x + q(t)x = f(t) (4.45)
sãofunçõesanalíticas (istoé, sãoiguais às suasrespectivassériesde
Taylor) emum intervalo (to—p,to + p), entãopode-seprovar queas
soluçõesde(4.45)sãotambémfunçõesanalíticasnomesmointervalo
(to—p,to+ p). [Cf.,por exemplo,o livro deCoddington-Levinson“An
Introduction to Ordinary Differential Equations”,Tata McGraw Hill
Publishing Co. (1955)].Neste caso,o métododas sériesde potências
funcionabempara a obtençãoda solução:(1)escrevem-seas sériesde
Taylor dep, q e f, centradasemto, por exemplo
]= o n as E TO)P(t) =2. Put tal”, Po io (to),
(11)usa-seumaexpressãoanálogapara x(t)
x(t)=>anlt—to)”,
n=0
ondeoscoeficientesxn devemserdeterminadosnoprocesso,(iii) essas
quatrosériesdepotênciassãolevadasà equação(4.45),eoscoeficien-
tes das correspondentespotênciasde t emcadalado da equaçãosão
igualados,obtendo-seassimum sistema(infinito) de equaçõeslinea-
resalgébricaspara oscoeficientesx, . Esse sistemaé entãoresolvido
recursivamente.Obtém-seassoluçõesxn, N>2emtermosdexoex1.
Nota.Nasaplicaçõesémuitocomumpoderescrever(4.45)na forma
pilt)x + palt)x+ pa(t)x = f(t) (4.46)
ondepi(t),i =1,2,3, sãopolinômios.Nestecaso,a sériedepotências
de x(t) deveser substituida diretamente em (4.46). Ao leitor: dados
o objetivodestetrabalho e a dimensãoque para ele decidimos,não
vamosdetalhar mais essemétodo;um tratamentomais longopode
ser visto nos livros comunsde equaçõesdiferenciais ordinárias.
Seção4.2 Obtençãode Soluções
4.2.7 Métodode Frobenius
Considereumaequaçãoda forma
(t-to)2x+(t—to)p(t)x+a(t)x=O (4.47)
ondep e q sãofunçõesanalíticasnumavizinhançadeto. O pontoto
échamadoumpontosingular regularparaa equação(4.47).
Exemplos
|) to=—l e to = 1sãopontossingularesregularespara a equação
de Lependre
(1-t)k—-2tx+AMA+I)x=0.
De fato, to = —1 é um ponto singular regular pois a equação
de Legendrepodeserpostana forma(4.47)comto = —1,p(t) =
(1 -t)eg(t)=A(A+ N(t+ 1)/(1 —t). Um raciocínioanálogo
para to = 1e para os demaispontosnosexemplosabaixo.
2) to = 0 é um ponto singular regular para a equaçãode Euler-
Cauchy.
9) to=1leto=—l sãopontossingularesregularesparaa equação
deChebyshev:
1—-t)kx—tx+Ax=0.
4) to = OépontosingularregularparaaequaçãodeBessel:
Ex par (== O.
5) to = Oé pontosingular regular para a equaçãodeLaguerre:
tx+ (1 —-t)jx+Ax=0.
Observação. (Oleitor deveimaginar que o fato das equaçõesacima
terem nome é indicaçãode que há algo especialsobre elas. E, de
fato há. Essas equaçõesaparecemem problemasdas equaçõesdife-
renciais parciais da Física Matemática, e apresentaminteressantes
propriedadesdo pontodevista matemático.Pesquise!
4 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
O métodode Frobenius para a resoluçãode (4.47)consisteem
tentar soluçõesna forma deuma sériedepotênciasgeneralizada
OO
Mit] = €*>. EE
n=Q
ondea é um númeroreal a determinar.Recomendamosaoleitor pro-
curar detalhesemlivros quedediquemmaiorespaçoa essasquestões.
O livro de G.F. Simmons“Differential Equations, With Applications
and Historical Notes”,McGraw Hill Book Company(1972),contém
doiscapítulosexcelentessobreo assunto.
4.3. Exercícios
1. Determineuma soluçãogeral para as seguintesequações
a) X— ax + 6x = O
b) Xx—4x+4=0
c) X+ 2%+9x= O
2. Sejaf(t) umpolinômiodegraun. Mostrequeseq 0,entãoexiste
uma soluçãoparticular de (4.40)na forma de um polinômio Q(t) de
graun. Sep Z0e q = 0,entãohá umasoluçãoparticularna forma
tQ(t). Sep = q = 0,entãot?Q(t) éumasoluçãoparticularde(4.40).
3. Obtenhasoluçõesparticulares das equações:
Xx+2Xx+Ikx=t+4, R+Xx=2H41.
4. Sejaf(t) = P(t)Je*!,ondeP(t) éumpolinômiodegraun. Mostre
que,caso«2 + «p + q £ 0,existeuma soluçãoparticular de(4.40)na
formaQ(t)e*t ondeQ(t) éumpolinômiodegraun. Caso«+p £0
eo +ap+ q = 0,háumasoluçãoparticularde(4.40)naforma
te Q(t). Caso 2x +p = «2 + «p + q = 0, entãohá uma solução
particularnaformat?e*Q(t).
5. Obtenhasoluçõesparticularesdasequações:
t+2x+x=tet, x+2X+x=2te.
Beção4.3 Exercícios 115
o Seja f(t) = cosBt ou f(t) = senBt. Mostre que, sep É Oou
q 4 5º, entãoa equação(4.40)tem uma soluçãona forma
xp(t)=AcosBt+BsenPt.
MostrequeA = (q— B2)/A e B=>pPB/Aonde
A=(q—p>+pp”,
nocasodef(t) = cosBt. ObtenhaÀ e B nocasodef(t) = senBt.
+.Sejaf(t) = cosBt ouf(t) = senBt. Mostreque,sep = 0e q = Pº,
então(4,40)temumasoluçãoparticularna forma
xp(t) = t(A cosBt + B senBt).
MostrequeÀ = —1/2fBeB = 0nocasodef(t) = senBt. ObtenhaA
e 1 nocasodef(t) = cosPt.
4. Obtenhasoluçõesparticularesde
Xx=2x+4x=3cos2t, X+4x=sen3t, X+9x = 5sent.
9. Obtenhasoluçõesparticularesde
vtx+2x=tsent, X+2x+x=etcost, kK—5x+6x= et sen2t.
10. Determinea soluçãogeral das equações
X+x=sect, Xx+2x+x= ein,
x+3x+2x=1/(1+e*), %x4+3x+2x=1/(1+sent).
1. Verifiquequepilt) = 1+t e qGpa(t)= e!sãosoluçõesº.i. da
equaçãohomogêneaassociadaà equação
R-T+H0ktx=te +t>0,
edeterminesuasoluçãogeral.
12. Mostrequea soluçãodoproblemadevalorinicial
Ed x= fit), x(0) =xo, EO) = vo
[16 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
é dadapor
t
«o)= [ sen(t—s)f(s)ds +xocost+vosent.
0
13. Obtenhauma fórmula para a soluçãogeralde
x —5x+ 6x= g(t).
14. Sep e q sãoconstantespositivase f: (0,00) — R é umafunção
contínua,mostreque,paraquaisquersoluçõesbi(t) e bz(t) de
Xx+px+ qx = f(t),
tem-se
lim [pi(t) —da(t)]=0.
t—>+oo
15.Mostrequeby(t) = t? sent é soluçãodoPV.
tax—4tk+(t+6)x=0
0) = 4/0) = O,
A funçãoba(t) = Oéoutrasolução.Comenteà luzdoTeorema4.1.
16. As funçõesLi. dilt) = t?e dalt) = t? parat € (—1,1)são
soluçõesde alguma equaçãodiferencial do tipo (4.1)? E a restrição
delas a (0,1)? Em casoafirmativo determinea equaçãodiferencial,
da qual elassãosoluções.17. Mostrequeas funçõespi(t) = te ba(t) = te!, definidasemtoda
a retasãosoluçõesde
tx—t(t+2)x+(t+2)x=0.
Calcule o Wrosnkianodessassoluções.Comenteo fatodeleseanular
para +— O,à luz doTeorema4.1.
18.Mostrequea mudançadevariávelv = x/x transformaa equação
x +plt)x +q(t)x=0 (*)
Seção4.3 Exercícios 117
numaequaçãodeRicatti
v+ xo(t) + oalt)v + ao(t)v? =], (mm)
|, reciprocamente,a mudançadevariávelx = v/(x2v) leva(**) em
(9)
19.Use o exercícioanterior para transformar a equaçãolinear
tk—-x—tx=0
sm umaequaçãodeRicatti. Encontreumasoluçãodessaequaçãode
Hicattie a seguirobtenhaumasoluçãogeraldaequaçãooriginal.
20, Determineduassoluçõesº.1.decadaumadasequações
x— f(t)x+ [f(t)— 1]x=0
x— tf(t)x + f(t)x = 0.
Podedeixar uma das soluçõesem termos de uma primitiva F(t) de
Ht), (A primeira soluçãosalta aosolhos!).
$1. Verifiqueque bi(t) = t”!/2 sent é soluçãoda equaçãodeBessel
de ordem 1/2:
1tHE+TE+ [-5)x=0 t>o0.
Determineuma segundasolução>, tal que py, p>sãoLii..
22.Sejampy,pa:(a,b) > R soluçõesL.i. de
x+p(t)x + q(t)x =0
comPi(t) £0, t E (a,b). Mostre(porderivaçãodireta)que
d (2) Wida,bz]
dtldi/ dr
Usea fórmuladeAbel paraobterumaexpressãopara>, ecompare
com(4.37).
23. Suponhaqueo Wronskiano deduas soluçõesda equaçãodiferen
cial
x +pltx +qlt)x = O
118 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
é iguala 1,equePy(t)= t* é umasolução.Determinea solução
geral de
x+p(t)x+a(t)x= t.
24.Verifiquequepy(t) = t ésoluçãodaequação
tx+2tx—2x=0 +t>0
e determineuma segundasoluçãodessaequação.
25. Considerea equação
tx— (t+ N)x+ Nx=0
ondeN éuminteiro>0.Mostrequepy(t) = e!éumasoluçãoeque
umasegundasoluçãopodeserexpressana forma
ba(t)=etftNetar,
Mostre que p> é um polinômiode grau N, o qual é precisamentea
reduzidadeordemN dasériedeTaylordee!.
26. (EquaçãodeLegendre).Determineduassoluçõest.i. de
(1-t)x-2x+AMA+I)x=0 —I<t<l.
Use sériesdepotênciascentradasem t = O. Mostre que quandoÀ é
inteiro >0, uma dessassoluçõesé um polinômio. O conjuntodesses
polinômiosdeLegendretêmuma sériedepropriedadesinteressantes
e importantes. Eles aparecem,por exemplo,no estudodo problema
da temperaturadeequilíbriodeumaesfera.
27. (EquaçãodeHermite). Determineduas soluçõest.i. da equação
X—ZtX+ 2Ax.=O.
MostrequeseÀ é inteiro20, umadassoluçõesé um polinômio.Es-
sespolinômiossãochamadospolinômios deHermite e aparecem,por
exemplo,noestudodaequaçãodeSchrüdingerdaMecânicaQuântica,
Seção4.4 ADinâmicadeumaPartícula 11!
44. A DinâmicadeumaPartícula
Na presentesecçãoprocuraremosestabelecerosprincípiosbásicosda
MecânicaNewtoniana. Do mesmomodoquea GeometriaEuclidiana
tomsuas noçõesprimeirase seusaxiomas,a Mecânicatambémos
deveter para sua formalizaçãoe funcionamentocomociênciadedu-
tiva, Essasnoçõesprimitivaseessesaxiomas(nocaso,leisfísicas)são
escolhidosvisandoseobterum modelomatemáticoadequadoerepre-
sentativo dos fenômenos reais. Assim, deve-se definir os conceitos
de partícula, massa, corposrígidos, eventos,sistemas referenciais,
tempo,repouso,movimento,força. Para não fugirmos demasiada-
menteaoobjetivodopresentetexto,admitiremosqueo leitor já estu-
douessascoisas,ou,emcasocontrário,queeleassumirá a atitudede
atribuir-lheso sentidoqueobomsensolhe indique, levandoemconta
queelasaparecemnodia a dia. Ao leitor interessadorecomendamosa
excelenteintroduçãodoCapítulo 1dolivro “PrincípiosdeMecânica”
de JL. Synge e B.A. Griffith, McGraw-Hill, 1965,especialmenteas
páginasde 3 a 17.
Vamos, inicialmente, introduzir as grandezas cinemáticas. Con-
sideremoso movimentodeuma partícula no espaçoRº. Designemos
por
Xtt)=(x(t),ult),z(t))
o vetorposição da partícula no instante t. O vetor velocidadeé a
derivada
X(t)=(x(t),u(t),2(t))
dovetorposição.Define-seovetoraceleraçãocomosendoa derivada
X(t)=(x(t),y(t),2(t))
do vetor velocidade.
Suponhamosque a partícula tenha massa m e que seu movi-
mentosejacausadoporum campodeforçasemRº, designadopor
HA)= (filx,y,z), f2(x,0,2Z),fa(x,U,2Z)).
A segundalei deNewtonestabelecea conexãoentrea aceleração
da partícula e a forçaque produzo movimento:
mX= F (4.48)
120 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
ondeF e X sãocalculadosno mesmoponto(x,y, Z). Essa lei podeser
apresentadaemumaformaumpoucomaisgeral:
d (mX)=F (4.49)dt no ,
ondesesupõequea massapossavariar comotempo.A expressãomX
é conhecidacomoa quantidadede movimento.A formulação(4.49)
seráparticularmenteútil no estudode foguetes,cuja massadecresce
peloconsumodoscombustíveis.
A primeira lei de Newton diz que, sem a ação de forças, uma
partícula não podemudar seu estadode repousoou de movimento.
Mais precisamente,se a partícula estiveremrepouso,ela assimper-
manecerá, e se ela estiver em movimento ela continuará em movi-
mentolinear comvelocidadeconstante.A primeira lei éconsequência
imediatada segunda,pois se F — O,entãointegrando(4.48)obtemos
X(t) = € = vetorconstante.Logo,seno instantet = 0,o corpoestá
emrepouso(X(0) = 0), entãoX(t) = Opara todot. Se no instante
t=0,X(0)=C0, então
X(t) = Ct+ X(0),
ou sejaa trajetória da partícula éretilínea, comvelocidadeconstante.
À terceiralei deNewton,conhecidatambémcomoa lei da açãoe
reação,diz que,quandoduaspartículas exercemforçasentresi, essas
forçassãoiguais em módulo,têm a direçãoda reta que une as duas
partículase sãodesentidosopostos.
A seguirdiscutimosalgunsexemplosdeaplicaçãoemMecânica.
44.1 Queda livre de corpos
Consideremoso problemadomovimentoverticaldeum corposoba
açãoda gravidade. O modelomatemático, que estudaremos,a seguir,
para essecomplexofenômenofaz as seguintesdrásticas simplifica-
ções:(i) considerao corpocomouma partícula de massam, (ii) des-
prezaà resistênciado ar, (iii) supõeque o movimentoé regidopela
segundalei de Newtone quea única forçaatuanteé a da gravidade.
A posiçãoda partícula será referida a um eixo-x comorigem no solo e
orientado para cima:
Figura4.1
numinstantet digamosqueaposiçãodapartículasejax(t). Pela2º
lei de Newtontemos
mx = -mg. (4.50)
Integrando(4.50)obtemos
x(t) =—gt+c, (4.51)
ondea constantec podeserdeterminadafazendo-set = O:c —x(0),
uu soja,Cé a velocidadeinicial (i.e.,no instante t = 0), que designa-
remosporvo. Assim (4.51)nosdá
X(t)=—gt+vo. (4.59)
Integrando mais uma vez, obtemos
]
AE) = =59€ a Sma SP
onde a constante cy pode ser determinada fazendo-se t = O; se de-
signarmos a posição inicial da partícula por xo, obteremos
]RL) = dp +vot + xo. (4.53)
Com o auxílio das expressões(4.52)e (4.53)poderemosresolveruma
seriedeproblemaspopularesnoscursosdeMecânica.Damosa seguir
uma amostragemdessesproblemase deixamosno leitor a tarefado
resolvê-los,Useq =981cm/s*,e nãoconsiderea resistênciadoar
(1)Quanto tempogasta um corpoabandonadoa umaaltura de 100m
para chegaraosolo? Qual é a velocidadede impactonosolo?
121
122 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
(11)De uma altura de 200m, arremessa-separa cima um corpocom
velocidadede 5 m/s. Qual é a altura máxima atingida pelo corpo?
(Quantotemposepassaatéatingir essaaltura? Quantotempoatéo
corpopassar pelo pontode ondefoi arremessado?E para chegarao
solo?
(11)Mostre que
e.29(x— xo) = vo—V”,
ondex = x(t), v = v(t) = x(t). Daí concluaa lei deTorricelli: um
corpo,caindo de uma altura h, atinge o solo comuma velocidadev
dadapela fórmula
v=2gh.
4.4.2. Queda de corpos considerando a resistência do ar
Considereo modeloanterior modificadopela introduçãoda hipótese
de quehá uma outra forçaagindosobreo corpo,devidaà resistência
do ar. Essa força, sempre oposta ao movimento, é suposta ser uma
funçãoapenasdavelocidadex(t). [VejaoscomentáriosnaObservação
abaixo]. Vamosconsiderardois problemas: (1)o casoem que a força
resistiva dependelinearmenteda velocidade;(ii) o casoem que essa
dependênciaé quadrática.
(1)Pela segundalei deNewtontemos
mk =—mg —kXx (4.54)
ondek é uma constantepositiva. Convença-sedo sinal — na força
resistiva: se o corpoestásubindoX > Ôe consequentementea força
é dirigida para baixo; raciocínio análogose o corpo estiver caindo.
Fazendov = x, escrevemos(4.54)como
EvV+t—v=-g (4.55)m
queé umaequaçãolinear dotipo estudadona secção2.1. Chamando-
sevoà velocidadeinicial, a soluçãode(4.55)émgv(t)=voe*t —= (1ent. (4.56)
Seção4.4 ADinâmicadeumaPartícula
A expressão(4.56)nosmostraquequantot + 00,v(t) > —“2io
valor absolutodessavelocidadeé chamadode velocidadelimite e é
designadaporvos= mg/k. Issoquerdizerque,dentrodestemodelo,
um corpo caindo verticalmente com velocidade inicial vo = O, terá
suavelocidadesempreinferior a Vooetenderápara essevalor quando
[5 00, À existênciadessavelocidadelimite tambémpodia ter sido
concluídada observaçãoda equação(4.54)semresolvê-la.
A expressão(4.56)e a da velocidadelimite mostramque corpos
mus pesadostendema cair mais rapidamentequecorposmais leves
com a mesmaforma; isso decorretambém do fato do coeficientek
dependerapenasdaformaedasdimensõesdocorpo.A equação(4.56)
podeserescritamaiscompactamentecomo
v(t)=(vo+voo)emt—vo (4.57)
v lembrandoquev = X, integramos(4.57)para obter
= ma et)x(t)=xo++(vo+Voo)(1 e ) voct. (4.58)
(11)Consideremosagorao casoem que a forçaresistiva depende
quadraticamenteda velocidade.Aqui há quesepararoscasosdomo-
vimentoascendentee do movimentodescendente.Para o primeiro
censo,a segundalei de Newton fornece
mk=—mg—kx” (4.59)
e nosegundocaso,
mk=—mg+kx? (4.60)
ondek é uma constantepositiva. Neste segundocasohá uma veloci-
dadelimite dadapor
mg
Voo = +4/ — (4,61)k
o que se lê da equação(4,60), Nas expressõesalgébricasabaixousa
mos a grandeza vs; também no caso do movimento ascendente apesar
de, neste caso, ela não ter significado físico. Para integrar (4.59) 6
IZ4 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
(4.60), fazemos x= v;
| K 3
V O V” (4.62)
m
| kvV=-g9A4 = (4.63)
m
quesãoequaçõesseparáveis;deixamosaoleitor a verificaçãodeque
k
TE = Ya (a er), suar. (4.64)m Vos
e
vV—v 2kt Vo—Voof DOsymera |eee] à —VoÉ Voo; 4.65"tv mo Ivo vo ed
sãorespectivamenteas soluçõesde (4.62)e (4.63).
Observequenomovimentodescendentevo<0econsequentementev <
O. Discuta ovalor absolutoem(4.65),considerandooscasos—vo< Voo
e—vo> Voo-.Finalmente,paraobterx(t) integra-se(4.64)nocasodo
movimentoascendente.No casodomovimentodescendente,devemos,
primeiramente,explicitar v em(4.65).
Para obter fórmulas semelhantes às de Torricelli, é conveniente
usar o fatoque
— dvmd v.
Esta expressãosubstituida em (4.62)e (4.63)produz equaçõesse-
paráveismais facilmenteintegráveisque(4.62)e(4.63)e,integradas,
fornecemv(x).
v
Observação. Em geral,no problemade deslocamentosde um corpo
no ar, a forçaresistiva, que designaremospor R, dependeda veloci-
dade de um modomuito mais complexo. Em verdade,não há uma
expressãosimples(linear ouquadrática,por exemplo)quedescrevaa
variaçãodessaforçapara todosos valoresdev. A lei devariaçãoda
forçaresistivacoma velocidadepodeser determinadapraticamente
numtúnelaerodinâmico:o corpoaí colocadoestáfixadoa um dispo-
sitivo quepermitemedir a forçaprovocadapeloar fluindo no túnel a
várias velocidades. Para baixas velocidades (alguns centímetros por
Seção4,4 ADinâmicadeumaPartícula
segundo)a força resistiva é devida à viscosidadedo ar, ou seja, ao
atrito do ar como corpo;neste caso,o movimento do ar é laminar, e a
experiênciamostraque a forçaR é proporcionalà velocidade.
Figura4.2
Para velocidadesmaiores(entre 1 e 20 m/s), forma-sena parte
traseira do corpo uma região “morta”, onde o ar permanecejunto
no corpo;em verdadeo ar que aí permanecefica em movimentode
rotação,tanto mais intenso quanto maior for a velocidadedo ar no
túnel. Nestecasoa diferençadepressõesentrea frentedo corpoe
suapartedetrás éproporcionalaoquadradodavelocidade,e assima
forçaR éproporcionalaoquadradodavelocidade.
Figura4.3
Para velocidadesainda maiores,começama ocorrer fenômenos
de intensa turbulência na região morta, e o modocomoR depende
da velocidadeé ainda mais complexo.A experiênciamostraquepara
movimentossubsônicos(istoé,comvelocidadesinferiores àvelocidade
do som, 340 m/s), a seguinte fórmula empírica é adequada
2R s— f(N), (4.00)
ondeS é a área da secçãodo corpotransversal ao movimento,p e a
densidade do ar, v a velocidade do ar (no caso do túnel aerodinâmico:
125
Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap. 4
no casode um corpose deslocandoem ar parado,seria a velocidade
docorpo)e N éo númerodeReynolds;N= “4º “onded éodiâmetro
transversal do corpoe 1]é o coeficientede viscosidade. A forma a
funçãof édeterminadaexperimentalmente,Até a velocidadedosom,
a forçaresistiva é praticamenteproporcionalao quadradoda veloci-
dade. Para velocidadessupersônicas,a força R tem uma representa-
çãosemelhanteà (4.66),mas f é uma funçãodonúmerodeMach, que
é definidocomosendoa relaçãoentrea velocidadedocorpoe a veloci-
dadedo som. À forma de f podeser vista emlivros deAerodinâmica.
No problemado paraquedistaas velocidadessãobaixas e pode-
mos considerar que a resistência do ar é proporcionalà velocidade.
Use o conhecimentoadquiridoem4.4.2e resolvaosseguintesproble-
mas.
Exercício1. Um paraquedistacaindolivrementedeumagrandealtura,
antesdeabrir oparaquedas,temsuavelocidadelimite igual a 58m/s.
Suponhaqueamassadoparaquedistaedoparaquedasé 100kg. Ache
a constantek daresistênciadoar. Acheasvelocidadese distâncias
percorridascomofunçãodotempo.Quais sãoa velocidadee o espaço
percorridoapós30 segundos?
Exercício2. Suponha que o paraquedista do exercícioacima abre o
paraquedasquando sua velocidadeé praticamente58 m/s, e que o
paraquedasé concebidopara quea velocidadedechegadano soloseja
5 m/s. Qual é o novovalor de k? Ache as velocidadese distâncias
percorridascomofunção do tempo após a abertura do paraquedas;
escrevaessesvaloresparat = 1,2,3,4 e5 segundos.Qual seráuma
altura razoávelpara abrir oparaquedaselhedar umachegadasegura
ao solo? Se ele abrir o paraquedasa 300 m, em quanto tempo ele
chegaráao solo?
4.4.3 Movimentode projéteis
O modeloquea seguir descreveremosé dosmais simplesque se con-
sideraembalística. Vamosconsideraromovimentodeumapartícula
de massam num plano (x,y) perpendicularaosolo. Suponhaqueno
instante t— Oela sai da origemcomuma velocidadelinear vo e num
ângulo« coma horizontal. O ângulo « é chamadoo ângulode tiro.
seção4.4 ADinâmicadeumaPartícula
Façamosahipótesesimplificadoradequenãoháresistênciadoar
“que à únicaforçaatuandonapartículaédagravidade.Designando
por ixit),y(t)) o vetor posição da partícula, temos, de acordo com a
segunda lei de Newton que
fig = my ——mg. (4.67)
ti vetorvelocidadeinicial é dadapor
X(0)= (x(0),w(0))= (vocos«,vosen«).
Lopointegrando(4.67)obtemos
x(t) = vocosa -—vlt)=-—gt+vosena. (4.68)
Integrando(4.68)e usandoo fato que a posiçãoinicial da partícula é
(0,0), obtemos
]x(t) = (vocosot Bt) e —59€ + (vosen&)t. (4.69)
[ns expressões(4.68)e (4.69)podemosretirar uma série de informa-
çõessobreo problema.Por exemplo:
1) À trajetória é uma parábola:
U = (tg x)x — a, (4,70)2vêcos?&
40)A alturaeadistânciahorizontalmáximasatingidaspelocorpoano
[28 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
respectivamente
2 2 Zva sen” X VÓ ÕPiá e Qua =—senzZa. (4.71)
20 g
(ni)A duraçãodotrajetodocorpoatécolidircomo soloé
T = 2vosen a
g
(1v)Variando-se « e mantendo vo constante, a distância horizontal
máximaquepodeser atingida é
2Dasx=—O
a
quecorrespondea um ângulo« = 45º. Issodecorretrivialmenteda
segundaexpressãoem(4.71).
Umproblema:Qual éaregiãodoplano (x,uy)constituídaporpontosque
podemser atingidospor projéteispartindo da origemcomvelocidade
Vo ?
Resolução:O ângulodetiro « varia entre0e7r. Para cada« temosuma
parábola(4.70).A envoltóriadessafamília decurvas é determinada
pelométodoexplicadoem3.4.2:
fíx,y, a) =Y— (tga)x + = —— =) (4.72)2vGcos?x
gx?falx,y, É) = —(sec?a)x + sec?atg à Ee 0. (4.73)
0
Eliminando « entre (4.72)e (4.73)obtemos
ÉVo 9 2U=> — 5 (4.74)29 2
queéchamadaparáboladesegurança.Acimadessaparábolanenhum
pontopodeser atingidocomprojéteisdevelocidadeinicial vo. Todos
nação4.4 ADinâmicadeumaPartloula 129
vopontosdaregiãoentreessaparábolaeoeixo-xpodemseratingidos.
De Into,escreva(4.70)como
2 2X XCow a-xtgarty+2,=0 (4.75)2V6 2v6
»observequedadosx, Yy,essacondiçãoé precisamenteo fatododis-
criminantede(4.75)ter duassoluçõestg x. Logocadapontodaregião
podoser atingidousando-sedois ângulosdetiro.Observação. Um modelomais real do movimentode projéteis deve
levarem contaa resistênciado ar. Se designarmospor R a força
resistiva,asequações(4.67)sãosubstituídaspor
mx = —RcosO
mi = —Rsen0—mg
ondeO é o ânguloda tangenteà trajetória (x(t),y(t)) como eixo-
+».A forçaR dependedavelocidadee as consideraçõesfeitasno caso
142 acimasãopertinentes. O problemasetorna mais complexo,cf.
Hynge-Griffith,op. cit. p. 133.
Parábola de
Segurança ,
444 Movimentosem planos inclinados
Consideremoso movimentodeumcorpodescendoum planoinclinado
sobaaçãodagravidadeesujeitoa umaforçaresistivadevidanoatrito
130 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
eU «A
,
mg
Figura4.6
Tem-setrês forçasatuandono corpo:a gravidade,a reaçãonor-
mal N do plano inclinado e a força de atrito R. Pela segundalei de
Newton:
mx = —-mgsen«x+ R
mú = —-mgcosa +N.
Comonão há movimentona direçãoy, basta considerara primeira
equação.Há dois casosinteressantesa considerar: R = —ux e R =
—ux?. Deixamosao leitor as integrações,em tudo análogasao caso
11)de4.4.2.
4.4.5 Velocidade de escape
A Lei da GravitaçãoUniversaldeNewtonestabelecequeduaspar-
tículas de massa m e m” colocadasa uma distância d uma da ou-
tra se atraem mutuamente,e as forças de atração têm intensidade
Gmm'/d”, ondeG é a constantedegravitaçãouniversal. As forças
atuam ao longoda reta que une as duas partículas, de acordocoma
lei da açãoe reação.
AU
PA
F
LR >
O X
Figura4.7
Seção4.4 A DinâmicadeumaPartícula
v =vetorunitárioda direçãoOA
! /F= mm y F'=—emmy,
“o estudoda forçagravitacionalda Terra sobrecorposfora dela, po-
demossuporquetodaa massaM da Terra estáconcentradaemseu
centro,e entãopodemostratar o problemacomoo da atraçãoentre
dumapartículas. O problemada força gravitacional da Terra sobre
vmcorpoemseuinterior émaiscomplexoe aí nãosepodemodelá-lo
tentandoa Terra comouma partícula.
+constante G tem o valor de 6,67 x 10º unidade CGS. Portanto,
“o forçasgravitacionaisentrepequenasmassassãoinsignificantes,o
quetalvezsejauma boacoisa!Assim, despreza-sea atraçãogravita-
tonalmútuadoscorposna superfícieda Terra, empresençada força
vravitacionalexercidapelaTerra sobreeles.
Vamosconsideraro problemado deslocamentovertical de uma
partículademassam e sujeitaapenasà forçagravitacionaldaTerra.
Esseseriaum modelosuper-simplificadoda ascençãodeumfoguete,
poisdesprezaa resistência do ar e a variação de massa do foguete,
fatoresquedesempenhamumpapelessencialnofenômeno.O modelo
&maisrealistapara um estágiomais adiantadodofenômeno,quando
4 foguetejá saiu da atmosferaejá liberou vários de seustanquesde
combustíveis.
“entro da Terra
v
* <——* >
0
SuperfíciedaTerra
Figura 4.8
191
192 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
Usandoa segundalei de Newton, podemosescrever
] GmM
m% = 3 (4.76)
X
ondeM éamassa da Terra. Por outro lado,quando x = R,a aceleração
do corpoé —g,e portanto
o GmMmg= —3 (4.77)
Umparêntesis: Quando x está próximo de R podemossupor GM/x?
constantee igual a g. E foi issoquefizemosnosproblemasdequedas
decorposestudadosanteriormente,poisaquelesfenômenossepassam
numa regiãomuito próximada superfícieda Terra. De fato,supondo
queaTerra éesférica(vejamais adianteoscomentáriossobrea forma
daTerra)comraio R = 6368km,vemosqueparax = R + 100km:
GM GM
64682*—63682
oquemostraquenuma altura de 100km avariaçãoda gravidadenão
ultrapassade3%.
DZ = So,
Voltemosàs equações(4.76)e (4.77)e escrevamos
E; (4.78)
Chamandov(t) = x(t) econsiderandoseparadamenteosmovimentos
deascençãoequeda,podemosconsiderarv comofunçãodex e,então:
dv dvdx vt
dt dxdt dx:
Logo (4.78)se escrevecomo
dv “grvV— =—>-dx x2
queé umaequaçãoseparávelfacilmenteintegrável:
v2 gR?— = >—+ €. (4.80)2 x +
Seção4.4 ADinâmicadeumaPartícula 133
Supondoquepara x = R temosv = vo (nocasode movimentoas-
cendente)ou v = —vo(no casode movimento descendente)obtemoso
valor da constantee daí
v(x) = + + 2gR (: - 1) (4.81)
X
ondeo sinal + correspondea movimentoascendente,e o sinal — o
movimentodescendente.
A expressão(4.81)nos diz uma sériede coisasinteressantespara o
casodomovimentoascendente:
(1)A velocidade decresce com a altura
(11)Se vá>29R,a velocidadenunca se anula, e portanto o corpocon-
tinua em ascençãopara sempre.A velocidadeinicial vo = 2g9R é
chamadaa velocidadede escape.Usando-seg = 9,8Im/s? e R =
6368km,obtemosvo = 11,170km/s = 40240km/h,queé a veloci-
dadedeescapesemconsiderara resistênciado ar.
À expressão(4.81)tambémnos fornecea velocidadede impacto
(semresistênciado ar) de um corpoabandonadoa uma grande dis-
tância,d, daTerra. Para isso,use(4.81)comx = d+Rev(x]) = 0e
obtenha
29R2= —4/29R-= (a d+R
Assimsed formuitograndecomparadocomoraio RdaTerra, aveloci-
dadedeimpactoépraticamenteigual (emvalor absoluto)àvelocidade
deescapecalculadaacima.
4.4.6 Movimento de um foguete
Um fogueteé lançadoverticalmenteda superfícieda Terra comvelo-
cidadeinicial v(0) = O.O movimentosedevea ejeçãoparabaixodos
gasesdeigniçãocomvelocidadeV. Vamosinicialmenteconsiderarum
modelodesseproblemacomashipótesesdequenãohá resistênciado
ar e de que a única força externaatuante no fogueteé a gravidade.
Referimoso movimentoa um eixo-xvertical dirigido para cima com
origem na superfície da Terra; seja m(t) a massado foguete,x(t)
194 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
e v(t) sua posiçãoe a velocidadeao instante t. Para equacionaro
problema,utilizamos a 2º lei de Newton, que diz que a variaçãoda
quantidadede movimentoé igual a forçaatuante. A quantidadede
movimentoé a somada quantidadede movimentodo foguetecoma
quantidadede movimentodosgasesde ignição,
Vamos considerar a massa m(t) escrita comoa soma
m(t) = m(t+ 6t) + Im(t) —m(t + 6t)),
ondem(t) —m(t + dt) é a massaconsumidana formadegasesno
intervalodetempoIt, t+ót| eamassarestantem(t-+ót), éamassado
foguetenesseintervalo. Essa massa,m(t + ót) dofoguete,émantida
constantedurante todoesseintervalo de tempo,portanto a variação
da quantidadedemovimentodofoguete,no intervalo, é
m(t + ót)vit+ dt) —-m(t+ ót)v(t). (4.82)
A massarelativaaocombustívelm(t) —m(t +dt), éconsumidainte-
gralmentena forma degasesno intervalo detempoôt, e a velocidade
relativa à Terra dessesgasesé v + Y, portantoa variaçãoda quanti-
dade de movimento dos gases,nesse intervalo, é
O(v(t+ ót) + Vit + 6t)) —(m(t) —m(t+ dt))(vít) + V(t)). (4.82”)
Segue-sequea quantidadedemovimentoé a soma(4.82)+ (4.82).
Dividindo essa soma por ôt e passandoao limite quando ôt > 0,
obtemos:
dv dm
nto E Poem,
dt dt
Colocandou = v + V, obtemospela2º lei deNewton,
m(t) (vit) +V(t)).
-mg =mvy+ um, (4.83)
que é a equaçãodo movimento(vertical, ascendente)de um foguete
sem resistência do ar. Se levarmos em conta a resistência do ar tere-
mos
—mg—kv = mv +um (4.84)
ou
- TT —kv? = my + um. (4.85)
beção4.4 A DinâmicadeumaParticula
As equações(4.83)e (4.84)podemser integradasexplicitamente.Já
(4.85)requermétodosda Análise Numérica para sua resoluçãoapro-
simada,
Problema1. Suponhaqueo combustíveldo fogueteé consumidoem
umarazãoconstantebkg/s,duranteum tempoT. Suponhamosquea
velocidadeu deexpulsãodosgasessejaconstante.Seja mo a massa
imetaldo foguete(inclueobviamenteo combustível)e consideremoso
vnsode nãoresistênciadoar. Quais sãoas expressõesdev(t) e x(t)?
Hesolução. A massa m é dada por m(t) = mo — bt, para O<t<T.,
“ubetituindo-se em (4.83) obtemos
—(mo—bt)g = (mo—bt)Jv—bu
deondeobtemosusandov(0) = O:
vt)=-gt—-uln [ - s ) » Oxt<T. (4.86)
Mo
integrando(4.86)eusandox(0) = 0,obtemos
[ —— — ——— |—-— t <t<T. (4.dt) =—59tu(t 2) em( = ) ut 0 (4.87)
De (4,86)e (4.87)pode-seretirar várias conclusões:(1)velocidadee
posiçãodo fogueteao final da ignição,(ii) possibilidadedo foguete
escapardo campogravitacionalda Terra (i.e.,v(T) devesermaior
quea velocidadedo escape).
Problema2. Mesmascondiçõesdoproblemaanteriore supondoagora
umaforçaresistiva linear.
Hesolução. À equação(4.84)setorna
“(mo = btJjg — kv = (mo — bt)v — bu
queé umaequaçãolinear deprimeiraordem(cf. secção2.1),a qual
podeser integrdaexplicitamente.
Exercício| Um foguetede massaM, contendouma massam decom
bustivelcai sobrea Terra a partir deuma grandealtura h. Suponha
136 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
queelequeimaocombustívelna razãode k unidadesdemassaporse-
gundoe queejetapara baixoosgasesde igniçãocomuma velocidade
u relativa aofoguete.Achea velocidadeeo espaçopercorridoaofinal
da ignição. Qual é a velocidadede impacto? Desprezea resistência
do ar.
4.4.7 EnergiaCinéticae Potencial
Na secção3.3definimoscamposde forçase introduzimos a noçãode
trabalhodeumcampoaolongodeumcaminho,bemcomoa noçãode
campoconservativo.Suponhamosagoraqueuma partícula demassa
“ m semovimentasoba açãodeum campodeforçaF:O — Rº definido
emum abertoO deRº. SejaX(t) o vetorposiçãoda partículanum
' instante t. Definimos a energiacinética da partícula no instante t
comosendo
Ea= mv, v=|X|, (4.88)
ondev designaa velocidadeescalardapartícula.
Derivando(4.88)comrelaçãoa t obtemos
Es nO =OMF) (4.89)
ondeutilizamos a 2 lei deNewton para escrevera última relação,e
(, ) designaoprodutoescalaremRº. Por extenso,teríamos
d|1Ec=ET mb 242) =mkx+múy+mzz=fix +ou+tai,
ondeX = (x,y,z)eF = (frTta,f3):
Integrando (4.89)comrelação a t do tempo inicial to até ty, obtemos:
ty
Eclt;) —Eclto)-|[ (FX) dt. (4.90)
to
À expressãono22ºmembrode(4.90)éotrabalhodocampoaolongoda
trajetória da partícula doinstante to aoinstante tj. A relação(4.90)
dizentãoquea variaçãodaenergiacinéticaemumcertointervalode
tempo é igual ao trabalho da força durante esse tempo. Esse fato é
conhecidocomoa equivalênciada energiacinéticaedo trabalho.
Seção 4.5 O Oscilador Harmônico
Suponhamosagoraqueo campodeforçasF sejaconservativo.Então,
segue-sede(4.90)que
Ec(ti)—Eclto)=V(X(ti))—V(X(to)) (4.91)
ondeV é um potencialde F. Agora definimosa energiapotencialdo
campoF como
U(X) =—V(X). (4.92)
Logode(4.91)e (4.92)obtemos:
Ec(ti)+U(X(t1))—Ec(to)+U(X(to))
odaíseseguequea energiatotaldefinidaporE(t) = Ec(t) +U(X(t))
oconstante.EsseéoPrincípio da ConservaçãodaEnergia,queentão
diz quea energiatotal da partícula é constantenum campoconserva-
LVvo,
4,5. O Oscilador Harmônico
() osciladorharmônicoé o modelomatemáticoparao movimentore-
tilineodeuma partícula sujeita a uma forçaatratorapara a origeme
commagnitudeigualaummúltiplok (constantepositiva)dadistância
à origem:
x x
e» e £€——a >
-kx 0 -kx X
Figura4.9
Designandopor m a massada partícula, a 2€ lei deNewton nos
da mx = —kxou seja
mk +kx =0, (4.93)
queé a equaçãodoosciladorharmônicosimples.
Se no osciladorhouvera presençadeumaforçaresistivapropor-
cionalà velocidade,a 2º lei deNewton nosdá mX = —kx—ux, onde
| é umaconstantepositiva,ou seja
mã +ux +kx = 0, (4.904)
queé a equaçãodoosciladorharmônicoamortecido,
138 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
Finalmente, suponhamosque há uma forçaexternaatuandona
partícula, força essa que independeda posiçãoe da velocidadeda
partícula, mas que podevariar com o tempo. Neste caso,a lei de
Newtonnosdá: mk = —kx—ux + F(t), ouseja
mx + ux + kx = F(t), (4.95)
queé a equaçãodoosciladorharmônicoamortecidoeforçado.
Antes dedescrevermosa matemáticadas equações(4.93),(4.94)
e (4.95)acima,cremosquesejaconvenientediscutir algunsexemplos
de fenômenosfísicos ondemovimentosharmônicosocorrem.
Exemplo1. (Vibraçõesdemolas.)Consideremosuma mola helicoidal
(idealmentesemmassa)fixadaemumadasextremidadesependendo
verticalmente,comoindica a figura A abaixo. Suponhamosque se
fixa um corpode massa m em sua extremidadelivre. A mola então
se distende passando a uma nova posição de equilíbrio, figura B.
Nestanovaposição,oequilíbriosedevea quea forçainternadamola
contrabalançao peso do corpo. A força interna é dada pela lei de
Hooke: “Seuma molafor distendidaou comprimidade um compri-
mentod, entãoa forçainternatemmagnitudekd e é dirigidaem
sentidoopostoà deformação;k > Oé a constantedamola”.Usandoa
lei de Hooke obtemos
mg = kd. (4.96)
4X
O
x ak(d-x)
| m -a mo
Figura 4.10
beção4.5 O Oscilador Harmônico
Suponhamosque agoradeslocamosa massaaté a posiçãox < O
sobreo eixo x, veja figura C. Nessa posição,as duas forças atuando
namolasão:opeso—mge a forçainternadamolak(d —x), queé
dadapelalei deHooke. Se x > O,as forçassão—-mge —k(x —d).
Em qualquer caso,usando-sea 2º lei de Newton para o movimento
da massa m, obtemos
mk =-—-mg+k(d —x),
aqual,juntamentecoma lei deHooke(4.96),dizquex(t) satisfazà
squação(4.93),mostrandoqueoosciladorharmônicosimplesdescreve
4 movimentoda massam ligada à mola.
Suponhamos,a seguir,queomovimentodamassam sedêemum
meioAuidoquelheopõeumaforçaresistivaproporcionalàvelocidade.
Então,a lei deNewton diz que
mk =-—-mg+k(d—x) —ux
andeqéumaconstantepositivacomsignificadofísico,cf. secção4.4.2.
ni ede(4.96),obtemosquex(t) satisfazà equação(4.94),mostrando
queagorasetemummovimentoharmônicoamortecido.Este termode
amortecimentoéaltamentedesejávelemalgunsaparelhosmecânicos.
or exemplo,nasbalançasdealtasensibilidadedeseja-seumarápida
vntabilizaçãodos pratos, e isso se conseguepela introdução de dis-
positivos,chamados amortecedores,cujo comportamentomatemático
obedeceà descriçãoacima.
Comentáriossobre a lei de Hooke
Hibliografia: I.S. Sokolnikoff, “Mathematical Theory of Elasticity”,
MeGraw Hill Book Company Inc. (1946). Em 1676,Robert Hooke
publicousua lei na formade um anagrama:“ceiiinosssttuv”.Dois
anosdepoisele deu a solução: “ut tensio sic vis”. No séculoXVIII,
possivelmente,todomundoentendeu.Comohojeemdia não seouve
Latim, nem aos domingos,faz-senecessáriouma terceira forma da
lei de Hooke: “a extensãoé proporcionalà força”.A lei de Hooke fax
parteda Teoria da Elasticidadee é de grandeinteresseno estudoda
resistênciadosmateriais. As experiênciasmostramqueela seaplica
para o casode pequenasdeformaçõesdo material, o que ocorredentro
do seu regime elástico. Considere uma barra fina de metal duúctil
139
140 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
decomprimento( e áreada secçãotransversaligual a A; submetida
a forçasde traçãovariáveis, H,obtém-secorrespondenteselongações
d. Designandopor o = F/A o esforço(“stress”)e por e = d/£ a
deformaçãopor unidade de comprimento(“strain”),as experiências
conduzemao gráficoabaixoondeo trechoOP é praticamentelinear
te
Y
Figura 4.11
comequaçãoo = Ee, ondeE é o módulode Young. No gráfico,o
pontoP échamadoo limite deproporcionalidadeeopontoY éolimite
elástico.O limite elásticoquerdizerquedeformaçõesatéessevalor
nãosãopermanentes,istoé,retiradaa forçadetração,a barravolta
aoseucomprimentoinicial. Além dessepontoabarra sedistendecom
poucoounenhumaumentodatração. O pontoU correspondeaoponto
deruptura dabarra, ovalorde o correspondenteéacargaderuptura.
Além da carga de ruptura, o material ou quebraou sofreum escoa-
mentofazendoum estrangulamentoda secçãotransversal emalgum
ponto. Para que o leitor tenha umaidéia da ordemde grandezade
esforçose deformações,damososseguintesdadospara o casodeuma
barradeaçocommódulodeYoungiguala 21x10!ºN/m?: (1)Oesforço
correspondenteao limite deproporcionalidadeé 175x 10ºN/m?. (ii)
O esforçocorrespondenteaolimite elásticoé 210 x 10ºN/m?. (iii) A
cargaderuptura é da ordemde350x 10ºN/m?. (iv)A deformação
causadaporum esforçode85 x 10ºN/m? é 0.0004em/m.
Exemplo2 . (PênduloSimples.)O pêndulosimplesconsistede uma
partícula de massam fixadana extremidadeinferior deum fio inex-
tensívelUidenlmentesemmassa)decomprimentoº, cuja extremidade
superiorestá fixada. Supõe-sequeo movimentosedêemum plano
vertical, Demignamospor Oo ângulodofio coma vertical.
Beção4.5 O OsciladorHarmônico
Usando a lei de Newton temos:
mx=-—IsenO e my =mg-— Tcos0,
deondeseobtém,eliminandoT : Xcos0—ij senO= —gsenO. Como
+ EsenDey = tcos0, obtemos
X t(sen0)0?+L(cos0)ô e y=-tf(cos0)62 —f(sen0)Ó;
voltandoà equaçãoacimaobtidada lei deNewtontemos
t0+gsenO =,
queonaequaçãodopêndulo. Observequesetrata deumaequaçãonão
Hnenr,a qual seráestudadaemdetalhemaisadiante.No momento
“amosconsiderarocasodaspequenasoscilaçõesdopêndulooquenos
permitefazerumaaproximaçãosenO» 0, ea equaçãodopêndulose
torna
tô+99=0,
a qualé dotipo (4.93).Temosassimum movimentoharmônicosim-
plon,
>Ô x
9
| A
m
mvu 9
Figura4.12
45.1 Oscilador HarmônicoSimples
Escrevemosa equação(4.99)na format+Hwlx=0 (4.97)
sudew” = k/m. A soluçãogeralda equação(4.97)é dada por
x(t) = Cycosvt +Cosen wl (4,9H)
141
142 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
ondecj e cpsãoconstantesarbitrárias que podemser determinadas
sabendo-sea posição inicial da partícula, x(0) = xo, e sua velocidade
inicial, x(0) = vo. Assim de (4.98)temoscy= xo. Derivando(4.98)
e fazendot = Oobtemosczw = vo. Logo(4.98)podeser escritocomo
Vox(t) = xocoswt + q Senwt. (4.99)
Agoradefinimosas constantesÀ e «ppelasexpressões
2
A =+ aa (CO), cosdp= —º e sen = O (4.100)
coma restriçãoO<p < 271.Usando(4.100)em(4.99)obtemos
x(t) = A cos(wt—p). (4.101)
Portanto, temosum movimentooscilatórioem torno da posiçãocen-
tral x = O. O afastamentomáximoda posiçãocentral, A, chama-se
amplitude. O períododa funçãoco-senoem(4.101),T = 271/w,é o
períododo movimento,o qual significa o temponecessáriopara uma
oscilaçãocompleta.Oinversodoperíodoéafregiiênciaf = w/27, que
significao númerode oscilaçõespor segundo.O ângulo & é chamado
o ângulodefase.
Designandoporv(t) a velocidadex(t), obtemosderivando(4.101)
vit) = —Aw sen(wt—q). (4.102)
Observequea velocidadeé zeroquandoa partícula estivernas posi-
çõesmaisdistantesdex = O.E, também,a velocidadeé máxima(em
valorabsoluto)quandoa partículapassapelaposiçãocentral.Pense
na molae no pêndulo.
Observequea amplitudeA podesersuperiora |xo|,seà partícula,
ao invésde sor simplesmenteabandonadana posiçãoinicial x = xo,
dermos uma velocidadeinicial.
) »,
Pal o
Se a ” 4,
Figura4.13
t mmentáriossobre o pêndulosimplese a aceleraçãoda gravidade
Poloqueacabamosdefazer,vemosqueoperíododasoscilaçõesdeum
pondulosimplesé
E =. t
g
Eotafórmulamostraqueoperíodoindependedaamplitude:essefato
tmobservadopor Galileu, e é denominadoo isocronismodas peque-
nasoscilações.A fórmula tambémnos dá um modode calculara
aceleraçãog da gravidade,bastandopara issomediro períodoT de
sscilaçãodopêndulo.Assimforamfeitasasprimeirasdeterminações
do 1, desdea épocade Newton. Com o passar do tempo o método
tmnperfeiçoado:(i) construçãode pênduloscujoatrito no pontode
suspensãoé praticamentedesprezível. (ii) Kater em 1817mostrou
quesepodiausarumpênduloreversívelformadodeumabarrasólida
quepossuedoispontosdearticulaçãoA, eAz coma propriedadeque
suspensonum (A) ou noutro (Az) opêndulotemmesmoperíododas
pequenasoscilações.Ele entãoprovouqueo períododessepêndulo
reversívelé igual ao períododeum pêndulosimplesde comprimento
igual à distância de Ay e A>. Esse métododáboaprecisãoeera omais
usadoatémeadosdesteséculo,quando,odesenvolvimentodetécnicas
aticase o empregode raios laser para mediçõesde tempopermitiu o
usodo fenômenoda queda livre de corposatravésda fórmula (4,51)
danocção4.4.1. (ii) Para contrabalançareventuaisvibraçõesdoeixo
desuspensãousa-sedoispêndulosreversíveisoscilandoemdireções
opostas. A determinaçãoda gravidadeem vários pontosda Terra
143
144 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
servepara,emprimeiraaproximaçãomostrara suanãoesfericidade,
através da fórmula
GMR=4|-
g
ondeG é a constantedegravitaçãouniversal, M é a massada Terra;
a fórmula acimasesegueda equação(4.77)da secção4.4.5.Medições
mostramque o valor de g no polo é 9,8322m/s” e no equadoré
9,7804m/s?; na prática utiliza-se o valor médio de 9,81m/s2.
Newton utilizando essaidéia mostrouqueoraio equatorialé 231/230
vezesoraio polar. Em 1720,JacquesCassinichegoua um resultado
opostoàquele de Newton. Para decidir a questão,a Academia de
Ciênciasda França enviouexpediçõesà Lapônia e aoPeru coordena-
das por Maupertius. As medidasrealizadasmostraramque,de fato,
a Terra é achatadanospolos.Voltaire elogiouo trabalho deMauper-
tius,chamando-ode“achatadordospolosedeCassini”. [Cf M. Line,
“MathematicalThought fromAncient to ModernTimes”,OxfordUni-
versityPress,New York (1972)].A questãoda formada Terra é um
problemacomplicado,emprimeiraaproximaçãopode-sesuporqueé
um elipsóide achatado. Entretanto, em maior precisão, sua forma é
deumcorpodiverso,chamadogeóide.
4.5.2 Oscllador Harmônico Amortecido
Escrevemosa equação(4,94)naforma
t+ Ivx+ wêx=0 (4.103)
onde 2v u/me q” k/m. (Comovimos na secção4.2.2, as
soluçõesde(4,109)apresentamcomportamentosdiversosdependendo
das raízesda equaçãocaracterísticaA? + 2yA + w? = 0, ou seja,do
sinal dodiscriminante
VW 4k uv -4SkmAve— 4 —(E a 4me m m
. Amortecimentoforte: |” »4km,ousejav > w. Nestecasoa
soluçãogeralde (4,103)€ Jef.nocção4.2.2]:
= +Vv2-qw2, (4.104)x(t) e eye! | Co€
Beção4,5 OOsclladorHarmônico 145
andeasconstantesc4eczpodemserdeterminadasemtermosdavelo-
vidadeinicial edaposiçãoinicial. Não escreveremosessasexpressões
poisnãocremosqueelasnosdigamnadainteressante.Comov > w,
temos que
lim x(t) = 0.
t— 00
4 velocidadeemuminstantet édadaporv(t) = x(t) edaí
vt) =e“Te(t—-v)et— cost+v)e 9,
mostrandoque ela se anula, no máximo, em um único valor de t, o
qualédadopelasoluçãode
gift las co(L = v)
cit —+)
iso implicaqueX(t) seanula,nomáximo,emumvalordet. Assim,
temosapossibilidadedostrêsgráficosabaixo.O movimentosechama
uperiódico.
A x
0 o ao
eE ni então
t
X
Xo
| —— >
t
Figura 4,14
146 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
ii. Amortecimentocrítico: |“ — 4km, ou seja v =w. Neste casoq
soluçãogeral de (4.103)é
x(t) = ee +cat). (4.105)
Nestecaso,C1= X0€C2= Votvxo. Aqui tambémtemosquex(t) — 0
quandot > oo. À expressão(4.105)nosdiz quex podeseanular para,
no máximo,um valor det. A velocidadenum instante t é dadapor
v(t) =e(cz —vc) —covt),
e comono casoanterior elapodeseanular em,no máximo,um ponto.
Logo,osgráficosparax(t) têmo mesmoaspectodocasoanterior.
iii.Amortecimentooscilatório: |? < 4km, ou sejav < w. Neste caso,à
soluçãogeral de (4.103)é
x(t) =eeycostt +cosentt], L=+Vw2-—v2. (4.106)
Definimosas constantesÀ e & comono casodo osciladorharmônico
simples
A=+ ci+c, cosP = a sen Pp-
Obtemos
x(t)=Ae" cos(tt—d). (4.107)
As constantesÀ e P podemser determinadasem termosda posição
xo é da velocidadeinicial vo. Temostambémque x(t) — Oquando
t —+00, Neste caso, entretanto, o movimento é oscilatório, mas a
amplitude(Ae “9 desuasoscilaçõesdecresceexponencialmente.Vê-
sequex(t) seanulanospontosty taisquelty—p— (2k—1)5. Calcule
a velocidadev(t) evejaqueelanãoseanulaprecisamenteempontos
te múltiplos (defasadosde 4 /() de 71,ao contrário do que aconteceno
movimentoharmônico simples.
454 Oscilador Forçado
“amostratar apenaso casoem que a força externaé periódicatipo
“seno. O procedimentoé análogono casodeum seno. À equação
4 1053)se torna
x+2x +w?x=Eocoswot (4.108)
sudoZv = u/m, w? = k/m, wo > 0 e Eo > 0 são constantesda-
das, Para escrevermosa soluçãogeral de (4.108)necessitamosde
wmasoluçãoparticulardessaequação.Vamosconsiderardoiscasos.
mol. (vV£Oew £ wo). Usandoo métododoscoeficientesa
determinar(cf. secção4.2.4,poder-se-iatambémusar o métodode
variaçãodosparâmetros),obtemosumasoluçãoparticularde(4.108)
na forma
Xp(t) = Ccoswot + S senwot,
C =(w*—-v)EA”!, (4.109)
E. 2vwoEoAT!,
ande
A = (q? wo)?+4v2wg. (4,110)
omo fizemosna passagemda expressão(4.99)para (4.101),a solução
147
148 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
particular (4.109)podeser escritacomo
Xp(t)=Aycos(wot—Pi) (4.111)
onde
Aj=+VC2+82=A""2E,,
cosby=C/A; e (4.112)
senby = S/Ajs.
Logo,a soluçãogeralde(4.108)é
Kit) = xaLE)+ 005ht) (4.113)
onde xp é a expressãodada em (4.111)e xn(t) é uma das expressões
dadasem(4.104),(4.105)ou(4.106),dependendodosvaloresdev e w,
Assim omovimentodapartícula no osciladorforçadoéa superposição
de um movimentoperiódicode período 271/woe de um movimento
aperiódicodadopor (4.104),(4.105)ou (4.106).Vê-se,de (4.113),que
quandot > +oo,x(t) —xp(t), istoé,a parteaperiódicaxn(t) tem
um efeitonegligenciável,e omovimentoé essencialmenteperiódicoe
descritopela expressão(4.111).A parte xn(t) é chamadatransiente.
Casoll. (v=0ew wo). Nestecasoa equação(4.108)setorna
x+w?x=EocosWot. (4.114)
Procedendo-secomono CasoI (aliás,oquelá sefezéválido nestecaso
poisw £ wo implicaA 0,e assimnãohá querepetiroscálculos),
obtemosumasoluçãoparticularde(4.114):
Xp(t) — Ay cos(Wot — 1)
onde
) =
À| ué — q] "Es, cos PD] = sgn(W— Wo), sen PD] e 5 À
Consequentemente,um poucode trigonometrianosdá
EoXplt) ———s CO8Wot.
(WU— WG
beção4.5 O OsciladorHarmônico 149
omo cosWwté soluçãoda equaçãohomogêneaassociadaa (4.114),
podemosescolhera seguintesoluçãoparticular de (4.114):
E:Lodt] =— Es (cosWot—coswt). (4.115)
Lopo,a soluçãogeralde(4.114)éobtidausando-se(4.101)e (4.115)
Eox(t])= Acos(wt—|) + 5 (cosWot—coswt). (4.116)w2—wo
Asnim,nestecaso,omovimentoéa superposiçãodedoismovimentos:
| Movimentolivre: A cos(wt—q), correspondendoaocasoemquenão
ha forçaexterna (Eo = 0), que é um movimentoharmônicosimples,
periódicocomfrequência w. A frequência w é chamadafregiiência
mutural. (ii) Movimentoforçado: Eo(coswot —coswt)/(w? —w5),
vorrespondendoao osciladorharmônico
x+wx=E wotEa (4.117)40] =D) =,
Análise do movimentoforçado
| Sew/wo forum númeroracionalentãoa funçãoy(t) = cosWot-
vom(Ut é periódica. De fato, sejap/q a fraçãoirredutível, que é igual
4 «w/o. O períodofundamentaldecoswot é 277/Wo,e daí 271q/Wo
tambémé um período. Do mesmomodo,271p/wé um períodode
vom«Ut.Logo,27q/Wo = 277p/Wé operíodofundamentaldey(t).
“15ew/wo nãofor racional,entãoy(t) nãoéperiódica,maséquase-
periódica,um conceitointroduzido por Harald Bohr. Uma boa re-
Il»rônciapara esseassuntoé o livro “AlmostPeriodicFunctions”do
próprioBohr,publicadopelaChelseaPub. Co. (1947).
| Usandoumaidentidadetrigonométrica,queoleitor facilmentedes-
cobriráqualé,temos:
2Eo (0 —wo)t (0 +wo)t
— ———+ sen sen — . (4,11M)w2 —q 2 2Xplt)=
de«wufor“praticamente”iguala wo temosquea frequênciadoprimeiro
senoem (4,118) é muito menor que o do segundoseno, Designamos
150 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
por
2Eo (uv— wo)t
e Ss n ua e
w2—wg . 2A(t) =
a amplitude (variável) do movimentodescritopor (4.117). Essa am-
plitude tem um longo períodoquando comparadocom o períododo
segundoseno.Daí ela serchamadodeamplitudedelentavariaçãoe
à função
(wo+ wo)t
2
se diz queé modulada por essaamplitude. O fenômenodescritopor
(4.117)comw — wo (i.e. w pertode wo) é chamadodebatimento.
A nomenclaturabatimentovem de Acústica: cadanota musical tem
uma frequênciaprópria; quandouma notabásicae a nota correspon-
dente do instrumento musical são tocadas simultaneamente, haverá
batimentocasosuas frequênciasdefiramligeiramente. Afinar o ins-
trumentosignificaajustá-lodemodoa evitarbatimentos.
sen
| Io?- oo;|
2E,
co?—5%| ,
p -
E
AN por
21
E b [0-0]
ha A ( a
ZE,; sem(0+00)tsen(0 - Oo)t
[007—qo |
Figura4.16
Casoll, (v=0, w = wo). Neste caso coswt e senwt sãosolu-
çõesda equaçãohomogêneaassociadaa
Xx+w?x = Eo coswt. (4.119)
Portanto,umasoluçãoparticulardeveserdeterminadana forma
Xplt) = 1(C coswt + Ssen mt),
seção4,5 OOsciladorHarmônico 151
Substituindo-se em (4.119) obtemos
EMid) = a t senwt. (4.120)
Lopo,de (4.101)e (4.120)seobtéma soluçãogeral de (4.119):
Êx(t) = A cos(wt—bp)+ O teoswt.2W
“ont, Omovimentoé a superposiçãode um movimentoharmônico
simplese de um movimentooscilatório de amplitude crescente
151/40] tendendoparainfinito. Essefenômenosechamaressonân-
cia
Comentáriossobrea ressonância
"Ora, Jericó estavacuidadosamentedefendidacombarricadascon-
tra os israelitas; ninguém saía, nem entrava. Então Javé disse a
Josué, “Agora eu ponho Jericó e seu rei em vossas mãos. Todos vós
combatentes,valentes guerreiros,marchareis em torno da cidadee
fareiso circuito uma vez, repetindo-odurante seis dias. E sete sa-
cerdoteslevarão sete trombetas diante da arca. Ao sétimo dia, con-
tornareisa cidadesetevezes,eossacerdotestocarãosuas trombetas.
Quandoa buzinadecarneirotocarequandoouvirdesosomdastrom-
botas,todo o povodeverádar um forte grito de guerra, e os muros
da cidade ruirão imediatamente;então o povopoderá invadir a ci-
dade,cadahomemseguindodiretamenteemfrente” (Traduçãolivre
152 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
doCapítulo6,Versículosde 1a 5 doLivro deJosué, “TheJerusalem
Bible”,Doubleday,New York (1971)).
2) O fenômenoda ressonânciadesempenhaum papel importanteno
projetodesistemasmecânicosnosquaishá forçasvibratórias,poisas
grandesamplitudesprevistas em (4.120)podemocasionaruma rup-
tura do sistema. À pontede Broughton,na Inglaterra, ruiu em 1831
quandouma colunade soldadosmarchandoem cadênciasobreela
provocouuma forçaperiódicadegrandeamplitudee frequênciaigual
a frequêncianatural da ponte; ressonânciaentãoocorreu. Hoje em
dia, quandopassamsobrepontes,ossoldadossabiamentequebrama
cadência.
Ressonânciatambémfoi responsávelpelo colapsoda ponteTacoma
nos Estados Unidos em 1940. Aqui a força externa apareceucomo
consequênciadamáaerodinâmicadaponte.
3) Frequência de Ressonância. Estudamosagorao osciladorforçado
(4.108)comforçasvariáveis EgocosWot. As amplitudes das soluções
xp(t)sãodadaspor
EA(wWo)=—=====
Vu? —w5)2+4v2w
E fácil determinarqueo máximodeA(wo) ocorrequandoWo= Wy
dadopor
quandoO < V<-5 - Wr é chamadaa fregiiênciaderessonânciae
para ela a amplitude
Eo
Zvvw?—y?
é máxima. Quantomenorv maior seráA(w,). No limite (v = 0)
teremosA (w,) = oo, que é a ressonância pura estudada acima. En-
tretantonos problemaspráticosv 0, podendoser pequenoe nesse
casoA(w,) é dado por (4.121). Observea importância da fórmula |
(4.121):se tivermos um modode diminuir v, a amplitude A(w,) será |
aumentada. |
RUdale (4.121)
Beção4.5 OOsciladorHarmônico 1!
454 Comentários sobre a energia do oscilador harmônico
Suponhamos,inicialmente,o casodo osciladorharmônicosimples.
Vamosescolherx = O comoo nível de potencial zero. Definimos a
energiapotencialEs(x) no pontox comosendoo trabalho necessário
paralevara massam da posiçãoOaté a posiçãox:
' ]Ep(x) = / ks dá = 5x. (4.122)
0
Hbservequeessetrabalhoérealizadocontraocampo—kxresponsável
pelo movimento do oscilador; no caso da mola, E, seria o trabalho
necessárioparadistendê-laoucomprimí-laatéa posiçãox. Define-se
aenergiacinéticapela expressão
Eclx)=me. (4.123)
Assima energiatotal será
E(x) = Es(x) + Eclx) = a + mê. (4.124)
Calculandoa derivadade E comrelaçãoa t obtemos
= = (kx + mãx)x (4.125)
queé igual a zero uma vez que x satisfazà equaçãodo oscilador
harmônicosimples. Consequentemente,a energia total é constante,
tendo-seassimconservaçãoda energia.
Suponhamosa seguirqueo movimentosejaamortecido.Então
de (4.125) obtemos
dt ——ux?
dt aa W ,
v que quer dizer que a energia do osciladorharmônico decresce.A
quedada energiado instante to a ty é dadapor
ti x(t1)
Elto) —E(ty) -| ux? a [ ux dx,
to x (to)
queé portantoigual aotrabalho da forçaresistiva. Assim, a energia
do osciladoré consumidapara vencera força resistiva. No casode
154 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
sistemasondea força resistiva correspondea uma força de atrito, a
energiado osciladoré transformadaaospoucosemenergiatérmica,
Finalmente, se tivermos um oscilador forçado, a expressão
(4.125) se torna
dE AEa uxº + F(t)x.
Agoraavariaçãodaenergiadependetambémdaforçaexterna,eelaé
igualaotrabalhodaforçaux—F(t). Portanto,seF(t) > ux,aenergia
doosciladoraumenta:a forçaexternaestátransferindoenergiapara
o oscilador.
4.6. Campos Centrais de Forças
Um campodeforçasFemRº écentralseemcadapontoX = (x,u,Z) «
Rº ondeele está definidoF apontapara um pontofixo, chamadoo
centrodo movimento.Escolhendoa origem(0,0,0) para centrodo
movimento,um campocentralpodeser escritocomo
F(X) = f(X)X (4.126)
ondef é uma funçãoescalardefinidanosmesmospontosX decampo
dedefiniçãodeF. Antecipandoas aplicações,é importantesuporque
F'nãoestádefinidona origem.
Os resultadosseguintesexibemas conexõesentre camposcentrais€
camposconservativos.Paraadefiniçãodecampoconservativo,confira
a secção3.8.
Proposição4.6. Seja F umcampoconservativo,e V umpotencialde -.
Então, F écentral seesóseV dependeapenasde
|X|=vx2+y2+22.
É nestecaso,existeumafunçãoreal de variável real, q, tal que
F(X)=g(|X|)X. (4.127)
Demonstração: (i) SuponhaqueF é central. Queremosprovarque V
é constante sobre as esferas |X| = To = constante. Seja a(t) um
Beção4.6 CamposCentraisdeForças 155
saminho com |a(t)| = ro. Então
CVladt) =(VV(a(t)),&(t))=(Fla(t)),&(t)).
Usando(4.126)obtemos
d o atoA à de?qeVolt) =flo(t))(out),ó(t))=5f(0(t))lot)queézeropois|«(t)| = ro. LogoV(X) = const.quando|X|= ro.
1) SupondoqueV dependeapenasder = |X|,temos
oV dVOr dVx
dx drox drr'
quejuntamentecomduas outras expressõesanálogaspara 0V/0y e
1V/dz nosdiz que
]FX) =VV(IX)=x“ tIXDX,
uusejaF écentral.
1) Finalmente,observamosque(4.127)severificacom
g()=V(1)/r.
Proposição4.7. Seja F um campocentral contínuo,cuja magnitudeF
dependeapenasde|X],istoé,
F(X)=g(|X|)X.
Então, F é conservativo.
Wemonstração: Basta exibir um potencialV para F. Seja G(r) uma
primitivadafunçãorg(r). Então
VOX)=G(X])
àumpotencialdeF, pois
oV dr xe XIX - XIg(IXD==g(|X|)x.
Espressõesanálogaspara9V/dy edV/0z implicamqueFéconserva
tivo. nu
156 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
À seguir mostramosque,no estudodo movimentodepartículas
em camposcentrais, nada se perde em nos restringirmos ao plano,
É comumusar-se a expressãoórbita para designar a trajetória da
partícula.
Proposição4.8. Suponha que uma partícula de massa m estejaem
movimentosoba açãodeumcampocentralF. Então,suaórbitaestá
contidanumplano.
Demonstração: À 2€lei deNewtonnosdiz que
mX=F=f(X)X.
Tomandoo produtovetorial dessaequaçãopor X obtemos
mXxX=0 (4.128)
poisX x X = 0. A expressão(4.128)podeser escritacomo
EX XxX)=0 > XxX=C= vetorconstante. (4.129)
Finalmente, tomando o produto escalar da segunda equaçãoem
(4.129)comX obtemos(X,C) = Opois(X, X x X) = 0. Logo
cix(t)+coult)+caz(t) = 0
ondeC = (c1,c2,c3)e X(t) = (x(t),u(t),z(t)). PortantoX(t), para
todot, estánum planopassandopelaorigemeperpendicularaovetor
C, caso€ £ O. Se € = Oteremosquetrabalhar um poucomais.
Fazendor = |X|temosTT= (X, X). Logo,parar £ Otemos
AX XIX (XXXX, XX
dt r r2 Tê
e usando a identidade vetorial
XDY-VDX=(XxY xZ
obtemos
dX (XxX)xX CxX
dtr 73 qo
Portanto X/r =vetor constante,ou seja X(t) está sobreuma reta,
Seção4.6 CamposCentraisde Forças
Em virtudeda Proposição4.8,passamosa consideraras forças
» o movimentono plano (x,y). Considere uma partícula de massa
m sedeslocandono planosoba açãodeum campoF. SejaX(t) =
s(t),uy(t)) o vetor posiçãoda partícula no instante t. Define-seo
momentoangular (ou momentoda quantidade de movimento)com
relaçãoà origempela expressão
Ah = m(xy —yX). | (4.130)
Proposição4.9 (Lei da Conservação do MomentoAngular no MovimentoCentral.).
“Suponhaqueumapartícula demassamestáemmovimentosoba ação
deumcampodeforçasF = (f1,f>2).Então,o momentoangular h é
constanteseesóseo campofor central.
Hemonstração: Derivando a expressãodo momentoangular h com
relaçãoa t, obtemos:
“
A
h =m(xiy—yX)
queimplica,atravésda 2º lei deNewton,a expressão
.
a)h = xfz —yfy
4 qual é zerose e só se F = (fy,f>) for paralelo ao vetor X = (x,y),
iWtoé,seocampoF for central. m
No estudo dos movimentos centrais, é bastante útil o uso das
mmordenadaspolares
=—Tcos0 e y =TsenôO. (4.131)
A orbita (x(t),u(t)) de um partícula é então determinadapor
'+/1),0(t)). Temosas seguintesrelações,ondev? = x2 + y?:
t+ tcos0-rÔsenO, y=TsenO+trôcosO, v2=+2+r20” (4.132)
%= ?cos0 —2rÔsenO—Tôsen O—rTÓ?ZcosO
(4.133)
y = f'sen O + 2t0 cosO + rÔ cosO — rÓ? senO.
(4.134)
158 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
As expressões(4.132)nos dãoa seguinteforma para o momento
angular:
h = 2mr?6. (4.135)
Logo,a Proposição4.9nos diz que
r26 = constante =h. (4.136)
A expressão(4.136)implica queÔtemum sinal definido,ou seja,O(t)
é umafunçãoestritamentemonotônicaaolongodaórbita. O(t)não
seria estritamentemonotônicase h = 0, e nessecasoa trajetória da
partícula seria ao longode uma reta passandopelo centrodo movi-
mento; esse casonão é interessante, eportanto suporemos sempre que
h * O. Assim,a áreaentrea curvae doisraiospartindodaorigem
paraospontosXo= (T(to),O(to))eX = (r(t), O(t))édadapor
Figura4.18
A derivadadeA(t) comrelaçãoat échamadavelocidadeareolar.
Segue-sede (4.137)e (4.136)
À(t)=7º6= const., (4.138)
o quedemonatrao seguinteresultado:
beção4.6 CamposCentraisdeForças 1!
Proposição4.10. (SegundaLeideKepler.)Se F é um campocentral de
forças,entãoosraiosvetoresligandoocentrodomovimentoàpartícula
vurremáreas iguais em temposiguais.
FórmuladeBinet. De acordocoma 2º lei de Newton, as equaçõesdo
movimentode uma partículade massam num campocentralF(X)
podemser escritascomo
mx = Pcos0O e my = PsenO, (4.139)
mnde
P=P(X)=HX)X|,
prota
FX) = f(X)X = f(X)(r cos0,Tsen0).
Hecorrede(4.133)e(4.134)que
icos0+HysenO=+t—rÔ? e XsenB—icos0 = —276—rÔ (4.140)
o daí obtemosas duas seguintesequações,equivalentesa (4.139):
t— r6? = - e 210+710=0, (4.141)
quesão,pois,as equaçõesdomovimentoemcoordenadaspolares.A
4º equaçãoem (4.141)é equivalentea (4.136),e portanto não será
necessárianas consideraçõesqueseseguem.Já observamos(eusa-
mos)acimao fato que(4.136)implica que O(t) sejaestritamentemo-
notônica;isso implica que podemosobter t comofunção de 0, con-
sequentemente7 comofunçãode O;usamosa notaçãor(0) para de-
signarr(t(0)). Portanto,podemoscalcularas seguintesderivadas,
usandoa regra da cadeia:
d /1 r + o F
Tirando o valor de f na última expressãoem (4.142)e levando-oem
(4,141) obtemos:
dº ) LD (4.143)do?À r ro mh?'
conhecidacomoa fórmula de Binet, que é a equaçãodiferencial de
todasas órbitas 1— r(0) de uma partícula de massam num campo
160 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
centralF = (P(r) cos0,P(r) sen0). Conhecendo-seosvaloresder, 0,
Tedemt=O0:
r(0)=10%£0,0(0)=01, H0)=v e 0(0)=vo/10o%0
Figura4.19
podemoscalcularosvaloresiniciais de 1/r comofunçãodeOe o mo-
mentoangular h:
] ] d /1 Vr
— ei ss =— , h = TAV 4.144
(01) tro de (+) lo=o, Veto am
os quais, juntamente com a equação(4.143)determinam univoca-
mente a equaçãoda órbita com essesdados iniciais. Tal assertiva
decorredo teoremade existênciae unicidade,uma vez que se supo-
nhaqueP(r, 0) sejaumafunçãodeclasseC! der e 0.
(ue informaçõespodemosretirar da equação(4.143),antes de
resolvê-la?Sem especificarainda a funçãoP = P(r,0), quepodemos
dizer sobrea geometriadas órbitas? Supondoque P dependaapenas
de 1, muito podemosdizer, e isso faremosa seguir. Para tal vamos
obterumaequaçãodiferencialdeprimeira ordem“quaseequivalente”
a (4.145), Inicialmente, observamosque a Proposição 4.7 implica que
F sejaconservativo;seja
V f Pinar
Seção4.6 CamposCentraisde Forças
umpotencialpara F. Logo,tem-sequea energiatotal aolongodeuma
órbitaé constante[cf.secção4.4.7]:
]E es mv? + V = constante,
deondesesegueaequaçãoabaixo,utilizando (4.132),(4.136)e(4.142):
2ão(5)| tio Eng. (4.145)do lr r2 mhz?
A quaseequivalênciadasequações(4.143)e (4.145)querdizero se-
guinte:(1)todasoluçãor(t) de (4.143)é soluçãode (4.145);(ii) se
tt) forumasoluçãonãoconstantede(4.145),entãoelaé soluçãode
14,143).A parte (1)é o próprioPrincípio da Conservaçãoda Ener-
in, e para provar (ii) derive(4.145)comrelaçãoa O. Observeque
4 expressãodessaderivadaimplica (4.143)se r(t) não for constante.
oncentremos nossa atençãona equação(4.145).
Holinimosápsidedeumaórbitacomosendoumpontodemáximoou
domínimodafunçãor(0). Logo+= Onumápside,edaíede(4.145)
sesegueque
1 HME-V)7= (4.146)
numápsidedeumaórbitar(0). Em geral,ousejaparaV arbitrário,
não se podeafirmar que (4.146)tenha uma solução; lembre que V
dependede r. Entretanto,caso(4.146)tenhasoluções,vamospro-
varquehá no máximoduas. Para ver isso,seja1; uma soluçãode
4.146),eseja07umpontotal queT(01)= 74. [Atenção:podehaver
variosO nessascondições). Da forma de (4.143)segue-seque essa
orbitaé simétricaemOcomrelaçãoà reta OA ligandoa origemao
apaidoAy = (04,71). Suponhaagoraquehaja outra solução12de
4146), e que Az = (02,72)seja o ápside seguintea Ay. Então, o
sruumentoanterior nos mostra que a órbita toda podeser obtida a
partiedoseuconhecimentoentre essesdoisápsides,bastandousar a
timetriaobservadaacima, Veja a figura (a), onde 3 = 0, -0,,ea
Huura (a) com | = 21n7/3e seis ápsides,
162 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
(a)
(b) (c)
Figura4.20
Observequeaórbitapodenãoserfechada,dependendode02—0;
não ser comensurávelcom7t.De qualquermodo,a órbita é tangente
aocírculointerno|X|= rj eaocírculoexterno|X| = r2, vejafigura
(a). No casodehaverduassoluçõespara(4.146)a órbitaélimitada.
No casodehaver uma única solução,a órbita é ilimitada, figuras (b)
e (c). Caso (4.146)não tenha solução,isso quer dizer que a órbita
espirala emtorno de O;observeque,casoh = 0, a órbita é uma reta
atravésdocentro,eportantonãohá ápsides.
Os resultadosobtidosatéaqui sãoválidosemgeral. Não seutili-
zounenhumaformaespecialdasfunçõesf egem(4.126)e(4.127),res-
pectivamente.Agoravamosconsiderarosdoiscasosespeciaisseguin-
tes: forçaatrativa central proporcionalà distância à origem;e força
atrativa central inversamenteproporcionalaoquadradoda distância
à origem,
4.6.1 Movimentocentralcom força atrativaproporcionalà distânciaao
centro
A hipóteseéque |F|= k|X|. [Essaé a versãobidimensionaldomovi-
Seção4.6 CamposCentraisdeForças 10)
mentoharmônicosimples).O campoF éentão
F(X) = —KkX. (4.147)
Aplicandoa 2º lei deNewtontemos
a mx + kx = OmX =-kX > my +ky =0
cujassoluçõessão
x(t) = As cos(wt—1),
u(t) = Azcos(wt —pa), (4.148)
Veja a equação(4.101)da secção4.5.1. Portanto,o movimentoé uma
composiçãoretangular de dois movimentosharmônicosde mesmo
períodoT = 217,7. E qualé a trajetóriadapartículanoplano
(x,y)? De (4.148)obtemosasexpressões
XA, = coswt cospj + sen wtsen P1,
(4.149)y=—= cosWtcos2 + senwt senPzA)
queconduzema:
Xsentp>—py)coswt = Ar senDz —aq semdr
sen(p>—py)sen wt = = cosDz +Em cosP1.
Elevando essasexpressõesnoquadradoe somandoobtemos
x? 2xy y? 2A? cs ADE cosp +AZ = sen” À
onde| = p> —py, queé a equaçãode umaelípse.
164 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
Figura4.21
Observação. Que aconteceriana composiçãoretangular de dois movi»
mentosharmônicosdeperíodosdiferentes?
xa WI x =0, U-+ W5U = | W1 É W2. (4.150)
A respostaé que a curva (x(t),u(t)) não seria mais uma elípse;€
mais ainda, poderiaser uma curva compontosduplose não necessa-
riamentefechada.No casoemqueosperíodosTj e [>fossemcomens
suráveis, 1.€.,11/T; = número racional, então a curva seria fechada,
mas poderia dar várias voltas em torno da origem. O que faz com
queela seja fechadaé que T,/T5 = p/q implica que ql = pl é
um períodocomumpara as soluçõesx(t) e uy(t)de (4.150). Essas
curvas são chamadasde curvas de Lissajous, e desempenhamum
papel importanteemAcústica. É interessantevê-las na tela de um
osciloscópio. No caso de 1j/T> ser um número irracional, a curva
(x(t), u(t)) nãoé fechada.
Exemplo, (Uj = «0, W2>= 2w. Considerecondiçõesiniciais quedê
Beção4.6 CamposCentraisdeForças 1
4»seguintessoluçõespara(4.150):
x(t) = senwt vult)=sen(2wt+ q).
Abnixo,traçamosas curvasdeLissajous para três valoresde q:
Figura4.22
462 Movimentocentralcom força atrativainversamenteproporcional ao
quadradoda distância ao centro
Hensecao,a hipóteseé que
P(r)= ni (4.151)r
uude| > Oé uma constante.Logo,a fórmula deBinet setorna:
d? /1 ] uEa (+) de = Ri (4.152)
“ qual é uma equaçãodo tipo do osciladorharmônico. Sua solução
seral é
] l—seidad- +Acos(0—09) (4.155)ro my
ade A e Oosãoconstantesde integração,quepodemserobtidasem
termosde To,Vr € Vo. Veja parte 4.6.7 desta secção.
166 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
Cônicasemcoordenadaspolares. À equação
tT TEERSE” t>0, ez0 (4.154)
representauma elípse(see < 1),uma parábola(see = 1)ou uma
hipérbole (se e > 1). A origem é um foco da cônica. eé a excen
tricidade. 2º é o comprimentoda cordafocal. A diretriz é a reta
perpendicularaoeixopolar quetem a propriedadequer/d = e. Veja
a figura abaixo.Deixamosaoleitor a verificaçãodasasserçõesacima,
Vo Eixo Polar
Figura4.23
ConstantedeintegraçãoÀ emtermosda er Aidéia éutilizar a equação
(4.145).Paratal,lembramosque—V(r)é umaprimitivadeP(r):
Vire - fe) | É=: [E = dr=—-. (4.155)
Usando (4.153) e (4.155) em (4.145) obtemos
ZE % Wu?
mh? - mZh?'
Logo,voltandoa (4.153)temos:
] 2Emh?
: A À ap / pe. e cos(O do) (4.156)
A? -
Heção4.6 CamposCentraisdeForças 16
A expressão(4.156)nos diz então que a órbita da partícula é uma
pônica:
Elípsese E < O, parábolaseE = O, hipérboleseE > 0.
E diz mais: o centro do movimento é um foco da cônica e
2
— =—24= corda focal. (4.157)
2Emhz/ 1+ a — e — excentricidade da órbita, (4.158)
“5 éacoordenadaangulardopontodaórbitamaispróximodocentro.
Fase pontoéchamadoperigeuseocorponocentroé a Terra eperiélio
nocasodoSol]. Vê-sequea órbitatemdoisápsidesdiametralmente
“postosno caso da órbita elíptica, e apenasum no caso de órbitas
parabólicase hiperbólicas. No casoda órbita elíptica os dois ápsides
“ão08pontosdaórbitamaispróximoemaisafastadodocentro.[Esse
pontomaisafastadoéchamadoapogeuno casoda Terra edeaféliono
vaso do Sol).
463 Lei da GravitaçãoUniversal
“a secção4.4.5,enunciamosa Lei da GravitaçãoUniversal. Talvez
wmdosprimeiros argumentosde Newton para defendersua Lei da
HravitaçãoUniversal tenhasurgidono estudodomovimentodaLua
vmtornoda Terra. Supondoquea órbitadaLua sejaum círculode
mo Rcomcentrona Terra, temosquesua aceleraçãocentrípetaé
4772Rv=
de | é seu períodode rotaçãoem torno da Terra. Usando R =
14,000km = 60x [raiodeTerra]e T = 27,3dias,obtém-sey =
x 10m/s? = (1/602)x [aceleraçãoda gravidadena superfície
daTerra].
Deacordocoma Lei da GravitaçãoUniversal, ocampodasforças
pravitacionaisgeradaspor um corpocelesteé um campocentraldo
Hpoestudadoem 4.6.2acima. Decorreportantoqueas órbitasdos
planetasemseumovimentoemtornodo Sol sãoelípses;cl. nmLois
168 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
deKepler,mais adiante. Observeentretantoquehá duashipóteses
tacitamenteadmitidas:
(1)Supõe-sequeo Sol estejafixo. A rigor,não só o planetaemestudo
se move,mas tambémo Sol. Assim, o problemamatemáticoé mais
complexoe setemo chamadoProblemadeDois Corpos.Vejaa parte
li) dasecção4.6.5.
(11)Desprezam-seas forçasgravitacionais dos outrosplanetas sobre
o planeta em estudo. Tendo em vista a magnitude da força gravi-
tacional do Sol não há prejuizo em esquecera existênciados outros
planetasquandoseestudaa maiorpartedosplanetas.É nessamaior
parteestãoVênus, Terra, Marte, Júpiter eSaturno. O planetaUrano
descobertopor Herschel em 1781pôs a teoria kepleriana em crise;
sua órbita não se comportavacomo as dos demais planetas. Em
1845,Le Verrier eAdams atribuiram as irregularidadesna órbita de
Urano à presençadeum oitavoplaneta. E forammais longe,calcula-
ram sua posição.Assim, sabendoondeprocurar essenovoplaneta,0
astrônomoGalle doObservatóriodeBerlim o localizouem 1846,com
um desviode menosde 1º comrelaçãoà posiçãoprevista. Esse pla-
netafoi denominadoNetuno. A história não ficou aí, Power em 1905
determinouqueas irregularidadesda órbita deUrano não eramcaus
sadasapenasporNetuno: deviahaveroutrocorpocelesteatuandopor
perto!Em 1930,Plutãofoidescoberto,usando-setécnicasfotográficas
sofisticadas.Comoo leitor vê, os problemasdosmovimentoscelestes
não são simples. A rigor deve-seestudar o movimentode um corpo
levandoem contaa açãogravitacionaldevários outroscorpos. Esse
é o chamadoProblema dos n corpos,quenão recebeuainda um tra-
tamentomatemáticocompleto,apesardehaver umavasta literatura
comresultadosprofundos. E o planeta Mercúrio? Sua proximidade
ao Sol e a grande excentricidadede sua órbita (0,2056;a excentri-
cidadeda órbita da Terra é 0,017e as dos demaisplanetas é dessa
mesmaordem)fazemde Mercúrio um casointeressante. A linha de
ápsidesgiraemtornodoSol,cercade10'40”porséculo.Os 10”dessa
rotaçãosedevema atraçãodeoutrosplanetas,masos40”nãorece
bem explicação dentro da teoria newtoniana da gravitação. Verrier e
outros tentaram uma explicaçãosemelhante Aquela que foi utilizada
na descobertade Netuno; no séculopassadochegou-semesmoa deno
Beção4.6 CamposCentraisdeForças 10
minardeVulcano um planeta interior queprovocariaessaalteração
naórbita de Mercúrio. Mas os astrônomosembaldeprocurarampor
vasecorpoceleste.Em 1915,Einstein mostrouque sua Teoria Geral
daRelatividadeexplicavaumarotaçãode43”nalinhadeápsidesde
Mercúrio. E assim a anomalia de órbita de Mercúrio passoua ser
umaimportantecomprovaçãoda Teoria Geral da Relatividade. Veja
4secção4.6.6. Entretanto, recentementeuma outra teoria, baseada
nofatoqueo Sol não é esférico,foi lançadavisandoexplicar a irregu-
inridadeda órbita de Mercúrio. Oleitor há de convir que estateoria
temtambémsua lógica,emvirtude da enormemassado Sol, da pro-
simidadede Mercúrio e do fato que na teoria desenvolvidaos corpos
luramconsideradoscomopontosmateriais.
Grande número dos cometasconhecidostêm órbitas elípticas
alongadas(i.e.,excentricidadepertode 1). O mais famosodelesé
vcometaHalley, cuja excentricidadeé 0,967e tem um períodode 76
anos.Ele foi descobertoem 1682pelo artrônomoinglês Halley. Sua
visitaem1910geroupânicoemmuitas partesdomundo. Já em1986
sumvisita foi tranquila.
464 Leis de Kepler
Aopublicar,em1543,seufamosotrabalho“DeRevolutionibusOrbium
Evelestium”lançandoa teoriaheliocêntrica,Copérnicoiniciavauma
novafasena História da Ciência. É difícil, hoje,fazer-seuma idéiado
quesignificounaquela épocadesafiar a teoria milenar de Ptolomeu,
entrandoem conflito frontal com a teologiacristã e com arraigados
princípiosdeordem,estéticaesimplicidadematemáticadoUniverso.
Asidéiaslançadaspor Copérnicogerminarame encontraramemGa-
lou eKeplerosseusgrandesseguidores.OstrabalhosdeGalileusão
4inícioda Mecânica,quenas mãosdeNewtonrecebeua admirável
inrmalizaçãoque conhecemos.Mas é em Kepler que a Astronomia
tomsua segundarevolução. Kepler foi assistentede TychoBrahe
noobservatóriode Praga, e quandoestefaleceu,aqueleassumiusua
posição.Kepler ficoudepossedelongastabelascontendoobservações
astronômicassobrea órbitadeMarte. Em 1609,elepublicousua“As-
ironomiaNova”,noqualestarreceua todosdefendendoa teoriadeque
asórbitasdosplanetasemtornodoSol nãosãocírculos.E alémdisso,
suasegundalei implicaqueavelocidadedosplanetasnãoéconstante,
170 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.
Novamente, a idéia de um universo harmonioso e estéticono conceit(
gregofoi desafiada. E isso desagradoua muitos. Em 1619,quand
Keplerpublicouseusegundotrabalhosobrea teoriaplanetária,ele
denominou“Harmonia do Universo” e procuroumostrar em sua te
ria a perfeiçãodaobradeDeus.As três leis queKepler enuncioue
seustrabalhos sãoas seguintes.
Primeiralei. Cadaplanetasemoveemumaórbitaelíptica,tendoo S
emum dosfocos.
Segundalei. O raiovetorligandoo Sol a um dadoplanetavarreáre
iguais emtemposiguais.
Terceiralei. A razãoentreoquadradodoperíododeumplanetaeocubo
dosemi-eixomaior desua órbita é a mesmapara todososplanetas.
Muito setemdiscutidosobreoprocessodeinvestigaçãocientífica
de Kepler. É difícil imaginar comona enormemassade dadosem
sua frente, alguns deles com erros justificáveis em uma épocade
instrumentospoucoprecisos,ele tenha visto claramenteuma elípse.
Observe que, na órbita de Marte, o semi-eixo menor é apenas 0,5%
mais curto que o semi-eixomaior,ou seja “quase”um círculo. Mas 0
fato é que Kepler não somenteviu que a órbita era uma elípsecoma
tambémenunciouas outras duas leis. Newton anosdepoisescreveu!
“KeplerknewyeOrbtobenotcircularbutoval,& guestit tobeEllip-
tical”. É possívelque ele tenha usadoum processode “retrodução”,
interagindo entre deduçãoe indução. De todos os modosseus tra
balhosexibemmaisde800páginasdecálculosondeelecomprovasua
teoria embasedasobservações.
As três leis de Kepler foram demonstradasrigorosamentepor
Newtonem1665utilizandosuamecânicae a Lei deGravitaçãoUni:
versal; faremosessademonstraçãoem1)abaixo. Na parte ii) abaixo,
mostraremosqueasleisdeKeplerimplicama Lei daGravitaçãoUni
versal.
4.6.5 A Lei da GravitaçãoUniversal e as Leis de Kepler
|.ALeidaGravitaçãoImplicaasLeisdeKepler.1)À primeira Lei de Kepler
Beção4.6 CamposCentraisdeForças 171
decorreimediatamentedoquefizemosem4.6.2,umavezqueomovi-
mentodosplanetassendoperiódico,asórbitastêmqueserelípses.2)
A segundalei é o conteúdoda Proposição4.10. Vê-se que a segunda
ii decorresimplesmentedeseter um movimentocentral. 3)Para de-
monstrara terceira lei, observamosque a velocidaeareolar definida
vm(4.137)e (4.138)é
a qA = 5 h (= constante).
| daí seseguequeo períododomovimentoé
Área daelípse ab 2rabT= =—"— = 4.159À 5h h sam
Afélio Periélio
a
DÊ ed, draBDDa déq—b'=c;e=at=+.
Figura4.24
Paraa elípse,podemosprovar facilmenteque£= b?/a. Usando esse
calorde£em(4.157)obtemos
h=bvu/am > T=2mu "2m!/2q3/2 (4.160)
»daí se segue:
T2
as =47 my !. (4.161)
Agora,no casodo campogravitacional do Sol, temos
4= GmM (4,169)
172 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Cap.
ondem é a massadoplaneta,M é a massadoSol e G é a constan
da gravitação.Logoseseguede (4.161)que
LE
a GM:
ii. As leisdeKeplerimplicama LeidaGravitaçãoUniversal.A segunda1
de Kepler implica que o momentoangular h seja constante.Logo,
Proposição4.9 nos diz queo campode forçasé central, cujocentro,
Sol, estánum dosfocosda elípse:
Y
(1+ecos6).
&s|
Ágora,usamosa fórmuladeBinet eaexpressãode i acimapara obter
a expressãoda força:
mhº[ d? /1 I mhá1=P!gs— (ás? (+) + ent (4.164)
Portanto (4.164)nos diz que o campoé atrativo e inversamentepro
porcional ao quadradoda distância. Observe que m é a massa do
planeta. Resta,pois,provar que
h2
L = constantepara todososplanetas. (4.165)
Paraisso,usando(4.159)[aqualéválidaemvistada2º lei deKepler!
et = b?/a escrevemos:
T? o 4mºb? o 4m2l
a ah? hn
quejuntamentecoma terceira lei deKepler nosdá (4.165).
ill.AsleisdeKeplerconsiderandoo movimentodoSol. SejamXs(t] e Xp!
as trajetóriasdo Sol e de um dadoplaneta, respectivamente,em um
sistema fixo de referências.
DesignemosporX ovetorXp—Xget = |X].Usandoa2º leide
Newton:
Gmsmp
73
“ubtraindoas equaçõesem(4.166)obtemos
msXs= E Ha (4.166)
mpX = — X (4.167)
» somando-as temos
msXs + mpXp = 0 => msXs + mpXp = Ct+ C' (4.168)
sndeCe C' sãovetoresconstantes.A segundaexpressãoem(4.168)
nosdiz queo movimentodocentrode massadosistemaSol-planeta
msXs+mpXpAc =
ms + mp
* linear uniforme. A equação(4.167)nos diz que as duas primeiras
pis deKeplerficaminalteradas,enquantoa terceiraficamodificada
mumosesegue:
E 4?
a G(ms+mp)'
“omparando(4.169)com(4.163)vemos,porém,que mesmoa terceira
wi+aproximadamenteverdadeiraemvirtudedems sermuitomaior
memp. Para o leitor ter uma idéia dasordensdegrandezas:
(4.169)
massa do Sol = 300.000 x massa da Terra
massadeJúpiter = 320x massadaTerra.
17
174 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
4.6.6 A equação das órbitas dos planetasna Teoria Geral da Relativi-
dade
À equaçãodo movimentodos planetas (equações(4.152))foi obtida
em4.6.2usandoa Lei da GravitaçãoUniversaleas leis daMecânica
newtoniana.Nateoriadarelatividadeaequaçãocorrespondente,cha»
madaequaçãodeSchwarschild é a seguinte:
d? /1 Do LL
ondeestamossupondom = 1,e
3ipano c=3x 108m/s = velocidadedaluz.
À equação(4.170)sendonãolinear,suaresoluçãoédifícil. Entretanto,
podemosobterumasoluçãoaproximadadoseguintemodo.Uma pri-
meira aproximaçãoseriaobtidafazendo« = O,eaí a soluçãoéaquela
obtidana parte 4.6.2
I-== [1+ecos(0—89)]. (4.171)
Uma segundaaproximaçãoserá obtida,levando-seessevalor de 1/1
ao2º membrode(4.170):
dg (1 1 uau
[eee — — 8 — ] . . |La (5) += + 1+ecos(8—Bo)? (4.172)
A solução da equação
d? /1 1º ouTR (5) oi E [1+ ecos(0— 90)J2
é exatamente:
] ué e? 1X— | + —| +eBsen(0—-09) —-e“ cos2(0—09) |. (4.173)r h4 2 6
Logoa soluçãode (4.172)é obtida somando-seos segundosmembros
de (4,171)e (4.173). Assim, a expressãono 2º membrode (4.173)
representa(aproximadamente)a perturbaçãointroduzidapela teo-
ria da relatividadena órbitaelíptica. Vamosanalisá-la. O primeiro
termo representasimplesmenteuma translaçãode 1/r e seu efeito
lação4.6 CamposCentraisdeForças 175
+pequeno.O terceiro termo é periódicoe pequeno,quando compa-
radocomo segundotermo,poiseste,apesarde oscilatóriotambém,
temamplitudecrescente:e? é bemmenorque e0. Portanto, despre-
sundoo 12e 3º termosno 2ê2membrode(4.173),obtemosa equação
aproximada)daórbita
1 «eu?ns a [1+ ecos(9—09)]+ a Osen(O—00)
odaí
] AXE ne (1+elcos(0—09)+ 20 sen(0—00)]h. (4.174)
Hnalmente,vamosà últimaaproximação:chamando
Au
= ,
lnzemoscoskO= 1e senkO= k0. Lembreque« é da ordemdec”*.
Edaía equação(4.174)seescrevecomo
Ai a + ecos(0—do—k0)),
4quemostraqueemcadainstantea coordenadaangulardoperiélio
+Oo+ kO. Logoa órbitadoplanetapodeserconsideradacomouma
slipsecuja linha de ápsidesgira, e sua variaçãopor períodoé AO =
Ink. Daí2a 6ru?Ali PEeah2 h2c?
s lembrandoque£= h?/u obtemos
(4.175)
67TUL 67AQ=——=q ct c2a(l-e2) c = velocidade da luz.
Exemplo. CalculemosAO no casodeMercúrio, onde
a=0,38/u.a. (1 unidade astronômica 1,49 x 10!“m]
e= 0,205
176 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
e lembramosqueu = GM, onde
G=6,673x10! Nm?kg?
M =1,99x 10ººkg.
Fazendooscálculosobtemos:AO = 0, 1036segundosporperíodo.Daí
levandoemcontaqueesseperíodo(períododerotaçãodeMercúrio e
tornodoSol)é88dias,obtemosquea linha deápsidesdaqueleplane
avança43 segundospor século.Confira secção4.6.8.
4.6.7 Satélitesartificiaisda Terra
Consideramosagora o problema da órbita de um satélite artifici
lançadodeum foguetea uma distânciaTodo centroda Terra e co
velocidadevofazendoumângulo3 comoraiovetorqueuneofoguete
comocentrodaTerra. |
0
0 asilhadás B
Terra To Satélite
Figura4.26
O modeloapresentadoabaixoé obviamenteuma simplificação
do fenômeno,pois nele satélitesjamais caem. [Sabe-seque a forma
nãoesféricada Terra torna imprecisaa admissãodequea Terra seja
um pontomaterial]. Vamos supor que o problemaé um movimento
central,cujocentroéa Terra e a forçacentralsobreo satéliteé dada
pela lei da gravitaçãode Newton. Assim a equaçãoda órbita é dada
por (4.156),ondefazemos| = GmM = mgR?!*) (Para provar essa
relação,basta usar a lei da gravitaçãouniversal para um corponú
superficieda Terra:emM mg.) sendom a massado satélitee M
a massa da Terra, e Ré o seu raio:
| gRº- n2 [1 +ecos(0 — 06)] (4.176)
ondea excentricidadee da órbita é dada por
2Eh?e=/ Foi! (4.177)
À partir dosdadosiniciais, To,Voe 3, podemoscalcular as constantes
he E:
flas= TovVa;, onde Vo — Vo sen E cf. (4.144) (4.178)
1 zEssa RE (4.179)
Z To
Usando-se(4.178),(4.179)e os conhecimentosadquiridos na parte
1.6.2podemostirar uma sériedeconclusõessobrea órbita dosatélite.
| Naturezada órbita :
rová<29gRº=> órbitaelíptica (4.180)
rovo=29Rº?=>órbitaparabólica (4.181)
rovo>29R?=>órbitahiperbólica. (4.182)
| claroque,no casoda órbitaelíptica,ela podesê-lopor poucotempo,
poisa Terra não é um pontoe o satélite podecolidir comela! Para
quetal não aconteçadevemoster que Tr> R, para todo r da órbita.
Hedimosao leitor para deduzir,ao concluir a leitura desta secção,a
relaçãoentre vo, To € P para que o satélite não colida coma Terra.
tonclue-sede (4.181)que, casoo satélite seja lançadode um ponto
próximoda superfície(tro= R), a velocidadedeescapeévo = 29R.
Il.Excentricidadedaórbita. De (4.177), (4.178) e (4.179) obtemos
Tov2 é ToVaV A2 O o Tr—| — 4.183. Es [+ À |
undevr = vocos3. Observequev5= vá+v?. Segue-sede(4.188)
queaórbitaserácircular(e= 0)se
rov5=gR?e v,=0. (4104)
Assimum satélite terá uma órbita circular seelefor lançadoperpernidi
pularmenteaoraiovetorqueligaofogueteaocentrodaTerra [[5 0)
177
178 EquaçõesDiferenciaisdeSegundaOrdem Cap.4
esea velocidadeinicial vosatisfizerà relação
tovo= gRº. (4.185)
jii.Ápsides. De (4.176)obtemos:
1 R2 ] a9 (1+ecosdo) > cosdo= 5 Es —| (4.186“rh gR2
Para obter senOo,derivamos (4.176)comrelação a Oeusamos(4.142):
ToVegVrsendo = — egRE (4.187
Decorrede (4.185),(4.186)e (4.187)que,caso3 = 0,
cos0o= 1 sendo=0, se Tovô> gR?, = Do=
(4.188)
cos0o=—l sendo= 0, se TovO< gR?, + En =
(4.189)
À expressão(4.188)implica que no casode órbitas parabólicase hi-
perbólicas,o ponto de lançamentoé o perigeu. E (4,188)e (4.189)
dizem que no casode órbitas elípticas o ponto de lançamentoé um
ápside,podendoser o perigeuou o apogeu.De fato, se estivermosnq
casodeórbitaelípticacom8 = 0eTovg> gRº,aequaçãodessaórbita
será E E
] R2dia' +(a - coso (4.190)TO ToVG gR
edaísevêqueomáximodeTrocorrequandoO= 7 eomínimoquando
O = 0. Se estivermosno casode órbita elíptica com 3 = 0 e Tová<
gRº,a equaçãodessaórbitaserá
1º gR? Tovô—— Ã ne (1- GR?Rê) coso (4.191)
edaísevêqueomáximoder ocorrequandoO= 0eomínimoquando
O= 74,Nestesegundocaso,a distânciamínimadosatéliteaocentro
da Terra é
Ima gR? (2 eo).
dn 1d
Tin Favo
Seção4.6 CamposCentraisdeForças 1/7
Logoo satélite ficará em órbita sem atingir a superfície da Terra
obviamenteessaéumasituaçãoaltamenteidealizada,poisestamos
desprezandoo atrito do satélitecoma atmosfera]se
] gR?2 TovÊ , 29Rº->55([2-—5 >———.RO róvs gR? > Vo Tolro+R)
iwPeríodos. Usando (4.159)e as expressõesdos semi-eixosa e b da
elipseemfunçãodet e e,obtemos
E 2mb?
“(1-e23/2n'
Como€= h?/gR* obtemosusandotambém(4.178)
j 34,5T=a-—ts (4.199)(1—e2)3/292R1'
Portanto,seum satéliteestiveremórbita circular,obtemosde(4.185)
0 (4.192)
To ME jr
R g
Exemplo. O períododeum satélitelançadoemórbitacirculara uma
alturade483km é 94minutos deacordocoma fórmula acima, usando
R =6.571km e ro= R+483. O primeirosatéliteartificial,emórbita
polaUnião Soviética em 1957,tinha uma órbita aproximadamente
circulara cercade 480km da superfícieda Terra e dava uma volta
completaemtornodaTerraa cada96minutos.
5
Transformada de Laplace
À transformadade Laplace(Pierre-SimonLaplace(1749-1827)tra-
balhouemMecânicaCelesteeTeoriadasProbabilidades)éummétodo
importanteparaa soluçãodeproblemasna teoriadasequaçõesdife-
renciais. O métodoconsisteem resolverequaçõesdiferenciaiscomo
se fossemequaçõesalgébricas. Considerepor exemploa equaçãodi-
ferencial
v”+4y'+5y=f(x)
escrita na forma
D2y+4Dy+5y=f(x)
comD = d/dx. Seria ótimosepudéssemosresolveressaequação,
comoseela fosseuma equaçãoalgébrica,e escrever
f(x)
Ulx)= D2+4D+5.
Infelizmente,issonãofazsentido! Entretanto,na simplicidadedesse
raciocínio,devehaver algo. Vamos,pois, tomar uma atitude persis-
tentee procurar extrair algodo raciocínioacima. Nossoesforçodeve
ser na direçãode algebrizar a equaçãodiferencial, de algum modo,
E aí queentra a idéia de transformadade Laplace. A transformada
podeser entendidacomouma “caixa”. No lado esquerdo(veja a fi-
gura),a setarepresentaa funçãoqueentrana caixa,e noladodireito,
a seta,no mesmonível, representaa funçãocorrespondenteque sai
da caixa, apósser operadaou transformada. A lei matemáticaque
regea operação(a transformada de Laplace) será definida na próxima
secção,
f(x) F(s)
af(x)+bg(x) aF(s)+bG(s)
f'(x) sF(s)-f(0)
f''(x) s²F(s)-sf(0)-f'(0)
Figura5.1
Usamosa notaçãoF(s) = L(f(x)) e G(s) = L(g(x)) paradeno-
tnrmosastransformadasdasfunçõesf(x) e g(x), respectivamente.
Este sistematemtrês propriedadesextremamenteimportantes,
quepassaremosa explicar.
i. O sistemaélinear, istoé,L(af(x)+bg(x)) = aZ(f(x))+bZ(g(x)).
ii. O sistema“destrói”derivadas,istoé,sef (x) entrana caixa,ela
saicomosF(s) - f(0).
iii. O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denomi-
nadaLC, que,seatravessadapelafunçãodesaída,F(s) fornecef(x)
devolta,assimLT HF(s)) = f(x).
Com relaçãoà aplicaçãoda transformadadeLaplace na solução
do equaçõesdiferenciais, nós temosdois universos. No universo-x,
temosa equaçãodiferencial,
v” +4y' +5y = f(x)
v no universo-s,depoisde passadapela caixa,temosuma equação
algébrica,dadapor
F(s)8244545"
Ho caso em que u(0) — u'(0) = U
Y(s)
A idéiaagoraé passarY(s) pelacaixa£”! paraobtera solução
dtx), Issoé tudo,no quediz respeitoa idéias. Nossotrabalhosora
estudar bem a transformadae mostrar que essas idéias podemser
formalizadas.
182 TransformadadeLaplace Cap.5
Dl. Definição da Transformada de Laplace
Dada uma funçãof(x) definidano intervalo [0,00) definimosa sua
TransformadadeLaplace,F(s),por:
EL) = f e “Tia de= Mtix)) (5.1)
supondoque a integral convirja pelo menospara algum valor de s,
Transformamos através do operador£ funçõesf(x), na variável x,
emfunçõesF(s), na variável s. Uma primeira vantagemdessatrans-
formaçãoé que em muitoscasosF(s) é mais simplesque f(x), por
exemplo
DO Xo
Ele" - | e*eXdx= lim / e tida
0 0X09—00
emts—k)xo 1 1 (5.2)
lim ses >k.
X0—00 —(s—k) o s—k'
Alémdisso,atransformadaF(s) émaisregularquef(x). Porexemplo,
considere,para C>0,
(x) Õ se x<c. (5.9)
Malk) =
Ê 1 se XC.
É fácil ver que
e Tes
Eltelt) | = =. (5.4)
Vamos iniciar nosso estudo analisando dois pontos essenciais,
que são: a existênciada Transformada de Laplace e a existênciada
inversadessatransformada.Para aexistênciadatransformadaépre-
cisoquea integralconvirja,logoa funçãof(x)nãopodecrescermuito
rapidamente,por exemploa funçãof(x) — e nãopossuitransfor-
madade Laplace. Limitar-nos-emosàs funçõesadmissíveis,isto é,
funções f(x), contínuas por partes em qualquer intervalo finito do
semi eixo positivo [0,00), e que não cresçammais rapidamenteque
a funçãoexponencial,quandox — co. Vamossuporentãoquef(x)
satisfaça:
fíx)l<Me** para 0gx< o, (5.5)
Seção5.1 DefiniçãodaTransformadadeLaplace
ondeM e k são constantespositivas. Uma função f(x) é contínua
porpartesnumintervalo[a,b],sepudermosdividiro intervalo[a,b]
numnúmerofinito desubintervalos,ondef(x) écontínuanointerior
docadasubintervalo,e f(x) possuilimiteslateraisquandox tende
paraas extremidadesdessessubintervalos.
de f(x) é uma função admissível,f(x) tem uma transformadade
IaplaceF(s),definidaparas > k, poisparaqualquerxo> 0,
(5.6)
Xo X0
/ e S*f(x)| de<M [ elk-s)xdx<
0 0 s—k
to é,parafunçõesadmissíveisa integral imprópria éabsolutamente
convergente,e temosa estimativa
M
< oFls) -
de f(x) é uma funçãoadmissível,satisfazendo(5.5),sua integral
(5.7)
g(x) - [ f(T) dt (5.8)
tambémé admissívele satisfaz (5.5)coma mesmaconstantek. Logo
4transformadade Laplace de g existetambémpara s > k.
Com relação à existênciada inversa £”!, note primeiramente
quesef(x) e g(x) foremcontínuasporpartesediferiremsomentenos
pontosdedescontinuidade,temosqueL(f(x)) = L(g(x)), apesarde
x) £ g(x). Temoso seguinteresultado:
teorema5.1. Se f(x) e g(x) foremfunçõesadmissíveistaisque
L(f)ts)=L(g)(s) para s>so,
entãof(x) = g(x), excetopossivelmentenospontosde descontinui-
dade.
Demonstração: Definindoh(x) = f(x) —g(x), temosque
L(h)(s) = 0 para ss.
Continuaremosademonstraçãosupondoqueh(x)sejacontínua.Uno
Hx) tenha descontinuidadesas integrais abaixo devemser desmem
184 TransformadadeLaplace Cap.5
bradas em somasde integrais tomadassobreintervalos ondeh(x) é
contínua.
Logo,paran = 0,1,2,..., segue-seque
OO OO
O= L(h)(so+n) = / E eh) dx = / e T*v'(x) dx,
0 0
ondev(x)= |,E eSoTh(7T)dr. Integrandoporpartesaintegralacima;
obtemos
OO
e TXv(x)o +DD) e“ yix| da =0,
0
Comov(0) = 0,temos,usando(5.7),que
OO
/ E abel Ux= 0, Tresd,) ss (5.9)
0
Nos pontosondeh(x) é contínuatemosquev(x) é derivávelé
v'(x) = e *ºXh(x). Logose provarmosquev(x) = O,seguir-ses
á que h(x) = O. Para mostrarmosque v(x) = 0, faremosa ses
guintemudançadevariávelem(5.9),x = —int e u(t) = v(—tnt),
obtendo-se
1
/ t“ult; dt =0, = 01,2, (5.10)
0
Ofatoque(5.10)implicaru(t) = 0,éumresultadoclássicodeanálise,
Observeque (5.10)implica que
/ p(tju(t) dt = 0 (5.10
0
paraqualquerpolinômiop(t). AgorautilizamosoTeoremadeAproxi-
maçãodeWeierstrassquedizquequalquerfunçãocontínuau(t) num
intervalofechado,digamos[0,1|,podeseraproximadauniformemente
porum polinôniop(t) tal que
lu(t) -p(t)j< e, paratodo te l0,1).
Logo,
1 1 1/ u(t)-p(t)Pdt / (u(t)2dt—2/ afatetodes
1 2+ [ (p(t))* dt<e.
Utilizando-se (5.11) obtemos
1
/ (ut de< E,
0
paratodo£ > O,o queimplica
1
/ (u(t))Zdt=0
0
econsequentementeu(t) = Oparatodot € [0,1]. a
Para ocálculo da inversa da transformada deLaplace, £” | existe
umafórmula,chamadaFórmula ComplexadeInversão,quefornecea
funçãoadmissívelf(x) atravésdeumaintegralcomplexadatransfor-
madaF(s). Entretanto, na prática o cálculodessaintegral é evitado,
poispara oscasosmais comunsexistemmétodosmais simples.
5.2. PropriedadesdaTransformadade Laplace
tm (5.2)calculamosa transformadadeLaplaceda funçãoexponen-
cial,L(e) = 1/(s —k), ses > k, portanto
fg [=4) =e* s>k.
Podemosusar esseprocedimentopara calculara transformada,esun
inversa, de várias funçõeselementares. Calcule comoexercícion
transformadade algumasfunções.Comece,por exemplo,com[[x|
c (const),f(x) = x, f(x) = x”, f(x) = sen(wx),f(x) = e**menws
Comrelaçãoa inversa,lembre-sequeconformevimosna seeçãomr
terior, a transformadaF(s) tem ordem O(1/s), quando s +0 em
vista da estimativa (5.7). Considere portantosomentefunções[5]
comesta propriedadepara o cálculode LM F(s))= f(x]
1
186 TransformadadeLaplace Cap.
Vamos demonstrar algumas propriedadesda transformada de
Laplace que nos ajudarãoa determinara transformadade outra
funçõese a resolverequaçõesdiferenciais.A primeirapropriedade,
quedecorreda definição(5.1),é que£ é um operadorlinear
L(af + bg) = alZ(f) + bZ(9g).
Podemosagora efetuar o seguintecálculo: Observeprimeiramen
que podemoscolocarno lugar de k em (5.2) um número complex
k + iw, ecoms > k efetuarasmesmasoperações,obtendo-se
](k-+Hiw)x ei
o | = a (5.12)— g-k+iw o
[s—JE ter
|Lembrandoque
elitiw)x— 6kXcoswx +ie'* senwx,
eusandoa linearidadede£, obtemosseparandoaspartesreal e ima-
ginária, as seguintesimportantesfórmulas:
s—kL(e** coswx) = é É
o (5.13)
kx oL(e** senwx) = EEE RA"
E aindapor combinaçãolinear dessasduasfórmulas,obtemosa fór-
mula da inversa
pa As +B
(s—k)2+w2
Ak + B
w senwx|. (5.14)| — ex A cosWxX+
Para resolvermosequaçõesdiferenciaisusandoa transformada
deLaplacedevemoscalcular transformadasdederivadas.Nestesen
tido,já sabemos,veja (5.8),quese f(x) é admissível,entãof(x]
tambémé admissívele satisfazeS*f(x) — O,quandox — 00,se
s > k. Portanto, uma simples integraçãopor partes demonstra0
seguinte teorema:
Seção5.2 PropriedadesdaTransformadadeLaplace 1
Teorema5.2.Sef(x) éderivávelem(0,00),comf'(x) admissível,então
C(t)(s) =sL(f)(s) —f(0*!), s>k (5.15)
ondef(0t) = lim f(x).
x—0+
Podemosaplicar a fórmula (5.15)para obter vários resultados
interessantes.Por exemplo:
1. Sef(x) forduasvezesdiferenciávelcomf” (x) admissível,temos
trocandof”porf” em(5.15)que
C(t'Ns) =s2L(f)(s) —sf(0t)—f'(0t) (5.16)
+assimsucessivamentepodemosobterpor indução(façacomoexercí
vio)umafórmulaparaocálculodatransformadadan-ésimaderivada
deumafunçãof(x), semprequef!")(x) foradmissível.
» Seg(x)édadapor(5.8),entãoaplicando(5.15)comg(x)obtemos
elf(x))=L(g'(x))=s£(g(x))—9(0)=s£/ fr)dr)
» ]bs(/ f(T) ar) E Elio).
1 Se f(x) = x" e** entãousandoa linearidadede £ e (5.15)
obtemosL(nx"-ekx + kxPe) = ne(x" ek) + kL(xTem)=
LC(x"KM)portantotemosaseguintefórmuladerecorrência
»portanto
Lx" 68%)= E Etr e, (5.17)
Aplicando(5.17)sucessivamente,e (5.2)temos
iss n!
Clxia = og E > k,
Colocaremosa seguirumatabela(quedeveserverificadacomo
exercício)coma transformadade algumasfunçõesselecionadase al-
pumasfórmulas gerais. À tabela está dividida em duas partes, a
primeira com transformadas de algumas funçõesusuais, é a segunda
188 TransformadadeLaplace
Função Transformada
f(x) Llf(x) = Jo elx
k E
x o
gr in
ex o s>k
e*Xsenwx Tur 8>k
e*Xcoswx mto 8
KXsenhwx TER s>Kk
e*Xcoshwx leão 45
*X[Acoswx+AKtBsenwx] nr 05
[A coshwx+AEBsenhwx] nas 82
de ncia N2l,8>k
TIM sL(f)(s)—f(0')
f(x) s2L(f)(s)—sf(0t)—f'(01)
emf(x) Fis —k)
f(kx) EF(E)
[St(m)dr iF(s)—1 Jof(t)dr
| A x"f(x) (—1)"A (F(s))
fi) [2 F(t)drselim, +A existe
Beção5.2 Propriedades da Transformadade Laplace 1!
Encerremosesta secçãocomexemplosde comousar a tabela e
vomaplicaçõesàs equaçõesdiferenciais.
Exemplo1.À tabela ou a expressão(5.14),comÀ = 0, B= 1,k = —2
e w = 3, fornece
1 1í ] ca asara) a (re) é Ê sen3x)
Usandoa fórmulada segundapartedatabela(comn = 1)
E (as(F(s)) =—xLo'(F(s))
podemoscalcular, por exemplo
(o 3s +6 = [+ 3d 1
(s2+45+13)2/ 2ds s2+4s+13
Voo— -xe * sen 3x.2
Exemplo2. Como
S k 1
(s—-k)2 (s-k) s-k
temos,pelalinearidadeda inversa,que
4 S Ted ] ' ]
, (557) =" (as) + dc!
portanto,atravésdatabelaobtemos
Eoi ) = xe + em”, (5.18)
Exemplo3. Considereoproblemadevalor inicial
v+ry=x, v(0)=1e v(0)=-—2.
AplicandoatransformadadeLaplace,obtemosumaequaçãoalgébrica
em Y(s) = L(y(x)),
, I
sºY(s)-s+2+Y(s) = 2
8
190 TransformadadeLaplace Cap.5
queforneceY(s):
] ]
Ya) = 241 [2 +5-2]
O trabalho se resumeentãoem inverter a transformadapara obter-
mosa soluçãoy(x). Nessecaso,podemosutilizar o métodode de-
composiçãoemfraçõesparciais,e escrevera expressãocomosomade
fraçõesmaissimples
] s—2 ] S 3
” s2(s8241)PE “2 sg41 s241Y(s)
einverterutilizandoasfórmulasdatabelay(x) = x +cosx—3senx,
Exemplo4. Considereo problema
v” +4y' +5y=e"cosx, v(0)=2, v(0)=1. (5.19)
Aplicando a transformadade Laplace,obtemos
2 s+3Y-—-2s—-1+4sY-8+5Y =S S +- &S 3 (s+32+7'e portanto
] s+3
E : 9 . .EIA E s + a EESC (5.20)
Aqui, tambémusandoo métododedecomposiçãoemfraçõesparciais,
mascomumpoucomaisdetrabalho,obtemosadecomposiçãode(5.20)
na seguinteforma
1 9s + 46 gd s+
“5(s+2)24+1 5(s+3)241Y
e daí
UM] =“e Pcs + 28senx)+ ecos x —2senxX).
À situaçãovista nos exemplosacima,nas quais precisamosin-
verter uma transformada, que está escrita comoproduto de duas ex-
pressõesé muito comum,e nem sempreé de fácil solução. Mesmo
Beção5.3 ProdutodeTransformadaseConvolução 19
quandoestamostrabalhando comfunçõesracionais, temosque “en-
frentar”umtrabalhoalgébricomaçante,afimdeobtermosaexpressão
numamaneiraconvenientepara a inversão.À perguntanatural é se
existeuma maneira alternativa para a obtençãoda inversa nesses
vasos.Essa questãoé o pontocentral da próximasecção.
5.3. Produtode Transformadase Convolução
Dadasduasfunçõesadmissíveisf(x) e g(x) queremosdeterminar
lx) tal que
L(h(x)) = L(f(x))Z(g(x)). (5.21)
Temosentãoformalmenteque
Elndx))= / e*Uf(u)du [o e““g(v) dv
- [[ e Stu+VIf(u)g(v)dudv
2Ê
onde
R$=((u,v)eR?:u>0ev>0).
Fazendoa mudançadevariáveisx=u+v e y=u,aregião R2 é
transformadana região
A=fixyeR?:x>y>o0)
queestáhachuradana figura 5.2.
AY
U=x
Figura5.2
Conseqgientementea integral dupla acimaé igual a
c(h(x))=//.e*fy)glx—y)dxdy
uma vezqueo determinantedojacobianoda mudançadevariáveis
é 1.
Escrevendoa integral duplasobreÀ comointegral iteradatemos
clh(x)=/ es / lulgta—uldy|de
Logo
h(x) = [ fly)g(x —uy)dy. (5.28)
Comonossasfunçõesestãodefinidassomenteparavalorespositivos
de x, podemosestendê-lasiguais a zeropara valoresnegativosdex,
e portanto (5.22)podeser escritacomo
(x)-[ Fu)g(x—y)dy.
Essa integral é conhecidacomooproduto de convoluçãodas funções
f(x) e g(x), queéescritodaseguintemaneira:
(f +g)(x)=[ f(u)gix—y)dy. (5.28
Portanto,mostramosacimaque
Cit+g) =LiTiE o). (5.24)
O produtodeconvoluçãodefinidopor (5.23)satisfazas seguintespro
priedades:
1. Comutativa: fxg=gxf,ie.,
[tiwste-v)dy=[ oly)ftey)as.
—00
2. Associativa: fr(gxh)=(f+g)+rh,e
3. Distributiva: felgth)=feg+tf+h.
Beção5.3 Produto de Transformadas e Convolução
Devemostambémchamara atenção,quena obtençãodafórmula
(5.24),opontomais delicadoépassarda integraldupla para integrais
iteradas,essapassagemé garantida pela convergênciaabsolutada
transformadadeLaplace.
Como exemplo,considerenovamente (5.20),temos que
2s +9 z ] s+3
(s+2)22+1 (s+2)2+1 (s+3)241Y=
usandoa tabelaobtemosque
Y(s)=L(e"?M2cosx+5senx))+L(e**senx)L(e
portantoa transformadainversa
u(x) =e“(2cosx+5senx) + (e ** senx)x (e
+nsoluçãodoproblema(5.19),onde
X
(e2* senx)* (€ ** cosx)= / eU senue “1XUcos(x —u)du
0
X
= e [ e“ senu cos(x—u)du.
O
Sequisermosescrevera respostay(x) emfunçõeselementares,
i»mosque calcular a integral, que podeser feito por integraçãopor
partes,ousevocêtiver acessoaum microcomputadorcomoprograma
Mathematica,basta digitar:
Integrate[(E"u)Sin[ulCos[x-u],(u,0,x)](Enter)
quevocêobteráimediatamenteo resultadoda integral, escritona
lyrma
2cos[x]—4sen/x]) E*(coslx|—3senlx])
10 >
1.3.1Obtenção de umasolução particular de umaequação não
homogênea.
Um problemabásicopara a obtençãoda soluçãogeral de equações
[94 TransformadadeLaplace Cap.5
lineares,éencontrarumasoluçãoparticular da equaçãonãohomogê-
nea.No casodeequaçõeslinearescomcoeficientesconstantes
como objetivodedeterminaruma soluçãoparticular,podemostomar
condiçõesiniciaisnulas
u(O)=v(0) =---.=y"-!Y0) =0. (5.26)
Segue-sedoTeoremade Existência e Unicidade, quepara cadah(x)
contínua,existeumaúnicasoluçãoy(x) doproblema(5.25)-(5.26)per-
tencentea C”. Usaremos,nesteponto,a notação€ para designaro
espaçodas funçõesreais contínuas definidas na reta, y:R > R. A
notaçãoC” designao subespaçodeC formadopelasfunçõesquepos-
suemderivadasatéa ordemn, comy!"):.R — R contínua. Isto é, o
operadorlinear L: C” — €, dadopor:
Ly) =yt + any D+...+ay +aoy (5.27)
possuiumainversaG:€ —+C" queassociaa cadafunçãocontínua
h(x) a soluçãoy(x) de(5.25)(5.26):
Gn) =uy.
Aplicando transformadade Laplace em (5.25)coma condição(5.26),
obtemosa equação
p(s)Z(y)=Z(h)
ondep(s)=s”" +an ,s" |... +ao, portanto
]Ly) = — L(h).io |
Se g(x)éumafunçãotal que
2. ECale) = e)? ou L (5) = 98 (5.28)
temosque,u(x) = g(x) +h(x),
ulx) | olx— ee) de (5.29)
O
Seção5.3 ProdutodeTransformadase Convolução 195
é a soluçãoparticular procurada. Mostramosassim que o operador
inversoG édadopelaseguinteformaintegral
G(h) = fts E)h(E)dé (5.30)
comK(x,E) = g(x—E). A funçãoK(x, E)queaparecenessaintegral
échamadaFunçãodeGreenparaoproblema(5.25)-(5.26).
No casodeequaçõesdeprimeiraordem,estudadasno Capítulo
2, a funçãode Green é dadapor: K(x,£) = eMtx-E)veja a forma
integral(2.9).Nessecaso,a funçãog(x) = e**éa soluçãodaequação
homogênea,y” = ky, comy(0) = 1.Aquitambém,usandoométodo
da transformada de Laplace, vemos facilmenteque g(x), dada por
(5.28),é a soluçãode
gt) nl. any!" Da é é + ay + CoU — Õ
com
u(0)=v'(0)=--.=yN-H0)=0,e um"X0)=1.
5.4 Exercícios
1, Para cadaumadasfunçõesF(s) abaixo,determinef(x) tal que
f(x)=L"!(F(s))
2LA
2. PAR o Ra )2
1
3. s(s—1)
2. Utilizando a transformadade Laplace,determinea soluçãodos
seguintesproblemasdevalorinicial:
1. 2%+ =3, 0) =0
2. Xt+x=e"t x(0)=1
3. Considere uma função racional p(s)/q(s), onde q(s) é um po-
linômiocomraízessimples
q(s)= (s—si)(s—s2)...(s—sn),
196 TransformadadeLaplace Cap.À
S1,82,... ,8n distintos.
a) Mostre que
S A A |POa fenoquit (5.31)
q(s) 8 —87 S— Sn
com
=P ;=1,2...,n.
q'(si)
(Sugestão:Multiplique os dois ladosde (5.31)por (s — si), e faça
= Si)
b) Mostre que
ff] Es) sá p(si) es 4 d. p(sn) esnx
q(s) q'(sr) q'(sn)
e calcule
3e sc 7)
4. Resolvaos seguintesproblemasdevalor inicial
1 uy"—5y' +6yu=e*, v(0)=1, v(0)=1.
a. yu+3y=xsenax, vu(0O)=—1.
3 v' +y=x+1, vlm)=r?, vím)=27.
4 v+2v+bfuli)di=x v(0)=1.
5. Mostrar que
OO
sen X qdx=-.
0 X z
(Sugestão:Mostre quea última fórmula da tabela detransformadas
podeseraplicadacoms = 0.)
6. À funçãodefinidapor
T(8) = [ e *x dx
Jo
é chamadade funçãogama. Demonstra-seque a integral converge
quandos > O.
Beção5.5 Aplicações 197
1)Mostrequeparak > —]
pe o tes esa
(s—-a)kri)/ T(k+1)'
Sugestão:y = x é a soluçãoda equaçãodeEuler deprimeira ordem
“uy—ky = 0, comy(1) = 1. Tomandoa transformadadeLaplace,
ibtemosa equaçãodeEuler sY' + (k+1)Y = 0,comY(1) = T(k+1),
etc.)
4)Mostreque
1
(s—1)v's
indeErf(x)=(2/Vx)Jpe“ dt.
E =e*Erf(vX])
! Use a transformada de Laplace para mostrar que a soluçãodo
problemalinear devalor inicial
x=kx+q(t), x(0)=xo
+dadapela fórmula devariaçãodas constantes
t
x(t) = e*txo+ | eslt-sSga(s)ds.
0
4.5. Aplicações
4.5.1Funções Descontínuas
Frequentementena análisedofluxo decorrenteemcircuitoselétricos
vuemvibraçõesdesistemasmecânicos,encontramossituaçõesmode-
Iindaspor equaçõeslinearescomcoeficientesconstantesecomotermo
Inrçantef(x) descontínuo
v”+ay”+by=f(x).
E comum,porexemplo,funçõesdotipo
] se A<Xx< 27
fix) = (5.32)
Ô caso contrário,
198 TransformadadeLaplace Cap.+
mostrando que a influência do termo forçante ocorresomentenum
intervalo.
Quandotrabalhamoscomfunçõesapresentandodescontinuida
des do tipo salto, é conveniente,afim de facilitar os cálculos de trans
formadas,utilizarmosa funçãouc(x) definidaem(5.3).Comelapo
demos,por exemplo,escrevera funçãof(x), definidaem(5.32),come
f(x)=unlx)—uzalx)
eportantoa suatransformadadeLaplace sesegueimediatamentede
(5.4)
e Ts gT2rs
S S
Para funçõesdescontínuasmais gerais, em geral obtidaspoi
translaçõesdas funçõesusuais, observamosque a translaçãopars
a direita deumafunçãof(x), deuma quantidadec, podeser obtids
fazendo
g(x)=ueclx)f(x—c).
Portanto, através de uma mudança devariável, podemoscalcular sus
transformadadeLaplace
L(uclx)f(x— c)) = eL(f(x)) = e“F(s).
Logo
Ee“ Fis))=naltia=e), (5.98)
Para equaçõesdiferenciaiscomtermoforçantedescontínuos,comopot
exemplo
v"+4y=f(x), v(0)=0, v(0)=0
comf(x) dadaem(5.32),definimoscomosoluçãouma funçãoy(x|,
quesatisfaza equaçãonostrêsintervalosdistintos:(0,7), (71,27)+
(211,00),quesatisfaza condiçãoinicialdada,e queu(x) eu'(x) sho
contínuas nos pontos de saltox = 7 ex = 27 (note que não pode
mospediry” contínua).Podemos,emcadapontodedescontinuidade.
ajustar asduasconstantesarbitrárias da soluçãogeralpara obtermos
a continuidadedey(x) e y'(x). Mostraremosabaixoqueo processo
decálculodessasoluçãoé muitomais fácil usandotransformadade
Laplace.
lação5.5 Aplicações
AplicandoatransformadadeLaplaceaoproblemadevalor inicial
sima, obtemos
]TÁ! = qe te).
“mo |
pah us Ék (53) = 5 senAM
mos que
UR) = ; sen2x x f(x)
stoé
“! “|U(x)= / —sen(2x—2E)T(E)dê,= f(x) / —sen(2x—2€)dé.o 2 o 2
“alculandoessaintegral,obtemosa soluçãodoproblema
]u(x) = qtb —cos2x).
+52 Funções impulso
“ma situação diferente surge quando queremos determinar a res-
mutade um sistema que recebeum golpesecono instante t = to.
Plemos aproximaressasituação,por exemplo,por sistemasdotipo
y + ay+ by =f(t)
mudef(t) égrandeduranteumpequenointervalodetempoquecontém
», digamosIto,to + €],e nula fora desseintervalo.
A integral de f(t),
tot-e Oo
Ito) - | f(t) dt - [ f(t) dt,
tO —00
'n medidadaintensidadedotermoforçante.Num sistemamecânico
9) éoimpulsototal daforçaf, ouvoltagemtotal impostaaocircuito
mmcasodecircuito elétrico.
Agoraoconceitodeimpulsoinstantâneopodeserentendidocomo
mucleem que toda a força é aplicada num determinadoinstante.
Intesedepoisdaqueleinstantea forçaézero.Issosugereaintrodução
199
200 TransformadadeLaplace Cap.5
deuma“funçãofictícia”,designadaporó(t), paraexpressaressefato
no casodeum impulsounitário no instante t = 0, “definida”por:
S(t)=0,t£0; S0)=+00 (5.34)
e
/ s(t)dt=1. (5.35)
As aspas são mais quejustificadas, uma vez que um ente definido
por (5.34)podeaté ser aceitocomouma verdadeira função definida
na reta estendidaR U (+oo),mas emnenhumateoria de integração
sensatapoderíamoster (5.35)satisfeito. Entretanto, tal função foi
introduzidacomsucessopelosfísicos.A propriedaderetirada de(5.35)
e frequentementeusadaé a deque
(5+f)(s)=(fx 0)(s)=f(s),
ou seja,
/. ó(s— tJf(t) dt =f(s) (5.36)
meta
parafunçõesf contínuas.Em particular,
/. ó(t)fit)dt = f(0). (5.37)
e
Dirac (Paul Dirac, Prêmio Nobelem 1933,por trabalhosemMe-
cânicaQuântica) deuum sentidoprecisoa (5.36),introduzindo o que
hojechamamosdenúcleosdeDirac (ouregularizadores).Seja q:R >
R umafunçãodiferenciáveldesuportecompacto(istoé,q énula fora
deum intervalo fechadolimitado),comq(x) = q(—x), p(x)>0 e
/. Dix) dx = 1.
00
Seção5.5 Aplicações
A
Fi se
— pu e sepá EM
Figura5.3—GráficosdasfunçõesPn(X)
À expressão“fictícia”(5.36)é entendidacomoa expressãoverda-
deira
Jim / Pnls —t)f(t) dt =f(s) (5.38)
ondef éumafunçãocontínuae qn(x) :=nyp(nx).
A seqiiênciapn(x) temapropriedadeque
lim pn(x) =0, quando x£0
lim pn(x)=-+oo, quando x=0.
Assim,o ó podeservistoformalmentecomoumlimite da segiiência
(pn). Pode-seprovarrigorosamentequedefato(aa Qui) dk = 1,
para todonn,e que (5.38)é verdadeiro. Cf., por exemplo,D.G. de Fi-
gueiredo,AnálisedeFouriereEquaçõesDiferenciaisParciais,Projeto
Euclides,pág. 74.
Completantoa informaçãosobreoassunto,lembramosqueapós
a Teoria das Distribuições, devida a Laurent Schwartz, o 6 de Dirac
foi entendidocomouma distribuição, e completorigor foi colocado
nasquestõesondeo ó erausado.Consequentemente,o queera feito
sem rigor, mas dava bons resultadosnas aplicações,foi finalmente
postonoscânonesda Matemática!Ref. L. Schwartz,Meth. deMath.
Physiques,Hermann, Paris.
201
202 TransformadadeLaplace Cap.E
Definimosimpulsounitário numinstanteto > Opor
dtolt) = d(t— to) = d(to—t).
A transformadadeLaplacede6+,(t)édefinidacomo
OO
L(dto)(s) — / drolt)e St dt — / ó(to si tie AL
—00
Essa expressão,comodissemos,éentendidacomo
L(ô+,)(s)= lim / Pnlto—t)e "dt = e*to,
—sN=>00| o
Podemosagoraanalisar o comportamentodeum sistemasujeito
a umimpulsoinstantâneo.O problemacomcondiçõesiniciais nulas
Xx+2x+2x=26(t—7n), x(0)=0, x(0)=0,
representaum sistemasemexcitaçãoatéo instante t = 7, nesseins
tante o sistemarecebeum impulso de intensidade2. Queremosan&
lisar a influênciadesseimpulsona soluçãodoproblema.Observeque
nãopodemosesperarqueexistasoluçãoclássicaparaesseproblema,
isto é, uma soluçãox(t) possuindoderivadassegundascontínuas
Assim, comoestendemoso conceitode função para introduzirmos
funçãodeltadeDirac,precisaríamosestendertambémo conceitode
solução,para incluirmos problemasdessetipo. A generalizaçãodo
conceitodesolução,emgeral,é feitaemcursosmaisavançados.Fh
remosaqui apenasuma análise informal.
TomandoatransformadadeLaplacenoproblemadevalor inicia!
acima, obtemos
]X(s) = E Ma(8) (s+1)2+41E
Em seguida,usandoa fórmula deinversão(5.33)e a tabeladetrans
formadas,determinamosa soluçãox(t)
Ô, t <A
x(t) = Zu (t)e HT sen(t —71)EE:P 2e t-Dsen(t— 7), t>n1
O sistemaestáemrepousoatét = 7, nesseinstanteosistemarecebeu
umimpulsodeintensidade2. A influênciadesseimpulsoé mostrada
na Figura 5.4,ondeplotamoso gráficode x(t),
Seção5.5 Aplicações 203
Essegráfico,parat variandonointervalo[0,47],foi geradopelo
programa“Mathematica”digitando:
“Plot[Ifl[t< Pi,0,2Expl-(t-Pi)]Sin[(t-Pi)]],(t,0,4Pi))”.
5.5.3 Comportamentoda Derivada
Suponhaquequeiramosestudarocomportamentodaderivadax(t),
dasoluçãodeumproblemadevalor inicial
x''+ax'+bx = f(t)
(5.39)
x(0)=xo, x'(0)=yo
4
0.6 |
0.5| |
04|
0.3 |
0.2 À
01| | À: | N
| N
24 6 12
Figura5-4
Obviamentepodemosresolvera equaçãoe depoisderivar a solu-
çãox(t). O quequeremosmostraraqui, é queusandoa transformada
deLaplacepodemosobterx(t) semnecessidadedecomputarx(t).
Paratal transformamoso problema(5.39)num sistemade equações
diferenciais.Fazendox'= y obtemosde (5.39)
x' 0)=y {x(0)= X0 (5.40)y' = ay— bx+f(t)
ColocandoX — Lix)e Y = £(y) e aplicandoa transformadade
Laplacenessasduas equações,obtemoso seguintesistema linear nas
204 TransformadadeLaplace
incógnitasX e Y:
sX— Y = Xo
bX+(a+s)Y= Fís) +vo
ondeF = £(f). Portanto pela regrade Cramer obtemos
sF(s) + syo — bxoY=
s2+as+b
quepodeserinvertidaparadeterminarvy(t)= x(t).
Considere,por exemplo,oproblemaestudadona sub-seccçãoà
terior
x+2x+2x=26(t— 7)
x(0) = 0, x(0) = 0.
Esse sistema está em repouso até o instante t = 7, nesse instante
sistemasofreum impulso de intensidade2. Espera-se,portanto,q
a derivada, que representaa velocidade,seja igual a 2 no instal!
L=7.
Para esseexemplotemoso seguintesistemalinear
sX—Y =0
2X+ (2.+8)Y = 3e
e portanto
v- 2s eos
(s+1)2+1
Como .
L(e(2cost —2sent)) = EFTEET
temospelafórmuladeinversão(5.33)que
«(t) = umtZe TPcos(t = 7) — sen(t= 71),
Aplicações 205
2|
1.5|
1
0.5
|
1 4 5 6
Figura5-5:Gráficodex'(t).
6 SistemasAutônomos no Plano
Este capítulopertenceà teoria qualitativa das equaçõesdiferenciais
Aqui, não se insiste na obtenção de expressões exatas para as so-
luções dos problemas. A ênfaseé, antes em se obter propriedades
das soluções,retirando-as através de uma análise das equações,A
parte técnicaestádividida emduas secções.A secção6.1desenvolve
a matemáticaessencialpara o estudodeproblemasno plano defase
comresultadosde caráterlocal. A secção6.2,estudao teoremade
Poincaré-Bendixon,eentranadifícil linha deobtençãodeinformações
globais sobreo espaçode configuraçõesde sistemasnão lineares.O
textoexpõeosconceitos,as idéiasenvolvidas,e as consequênciasde
resultados, sem incluir uma demonstração do teorema de Poincam
Bendixon.
Propomo-nosestudarnestecapítulosistemasna forma
x' = f(x,y) (6.1)
y'=g(x,y)
quesãodenominadossistemasautônomos,pois f e g nãodependem
explicitamentedavariável(tempo)t. As soluções(x(t), u(t)) sãocur-
vasparametrizadasnoplanodefases(x,y) denominadasórbitas.|
sentidogeométricodo sistema(6.1)é o seguinte: (f(x,y), g(x, u),
um campovetorialnoplano [suporemosquef, g:R⁴ —>R sãofunções
declasseC¹ definidasemtodooplano]easórbitassãoascurvas inte-
grais dessecampo,isto é, as curvasqueemcadapontosãotangente
ao campo.
Seção6.1 ConsequênciasdoTeoremadeExistênciaeUnicidade 207
41, Consequências do Teoremade Existência e Unicidade
comovimos na secção3.2 devemosolhar os gráficos das soluções
x'(t) ->(x(t),y(t))em R³ = {(x,y,t)}:ahipótesedef egseremdeclasse
C¹garanteque,paraqualquer(xo,Yo,to) existeumaesomenteuma
solução(x(t),u(t))dosistema(6.1),tal que(x(to),ulto)) = (xo,yo),
vejaFigura 6.1(a). O sistema (6.1) sendoautônomo,segue-seime-
diatamenteque,caso(x(t),y(t)) sejauma soluçãode (6.1)e t1;seja
umnúmerofixado,então(x!(t),y1(t)) = (x(t —ty), ult —t1)) será
tambémsoluçãode(6.1).Defato,temos:
att)=xt —ti) =flxlt—to),ult—tr)) =flxilt),volt)
“umaexpressãosemelhanteparay1(t). Issomostraque,setransla-
darmosumasoluçãode(6.1)paralelamenteaoeixot, obtemosainda
umasoluçãode(6.1),vejaFigura 6.1(b)
Mt t
(x(t),U,(t)na
tneREd CIORIO)
cms Vo Yo
dd EA OÚ
Xo a ep Xo e P
» X éx
(a) (b)
Ay
yo * P Plano de Fases
| ef +
Xo x
(c)
Figura 6.1
208 SistemasAutônomosnoPlano Cap:
Issomostraqueumareparametrizaçãode(x(t),u(t)) conduzàmes-
maórbita(curva)noplanodefases(x,u) vejaFigura 6.1(c).Podemos
portanto considerarcondiçõesiniciais (xo,Vo,to) comto = O. A se-
guir, provamosque órbitas não se interseccionamnoplano defases
Suponhaqueexistemduasórbitas(x1(t),ui(t)) e (xz(t),yz(t)) tais
que(x1(t),uilt)) = (x2(t),uz(t)):;peloqueacabamosdemostrar
vemosque
A(xt),vlt) =(alt+t— D,uilt+t— 0)
é soluçãode (6.1),e como
me mm(x(0),v(t))=(x1(t),un(t))=(x2(t),vzlt))
concluímosdo teoremade Existênciae Unicidade (secção3.2)que
(x(t),uy(t)) es (xz(t), va(t)), o que mostra que (xz(t), yz(t)) é uma
reparametrizaçãode (x1(t),ui(t)). Observequeos resultadosda
secção3.2implicamnaseguintealternativa:(1)asórbitas(x(t), y(t))
estãodefinidaspara todosos valoresreais de t, ou (ii) (x(t), y(l!
não está definidopara t maior ou igual a um certow. , e nestecaso
(x(t),uy(t)) se torna ilimitado quandot > w,. [Observequemw
funçõesf(x,y), g(x,y) estãodefinidasparatodo(x,y) E R?]. Segue
se,pois, quecasoa curva (x(t),y(t)) seja limitada entãoela estáde
finida para todot. Observe,finalmente,que uma órbita não podese
auto-Interseccionartransversalmente,isto é, ela não podeter pontos
duplosdo tipo:
(xo, yo)
Figura6.2
Para ver isso,suponhamosquehajam dois valoresde t, to e ti
taisque(x(to), u(to)) = (x(ty),u(t;)) = (xo,Vo);então,astangentes
àcurvaemtoet1sãodadaspelocampo(f(x,y), g(x,u)) calculadono
mesmoponto (xo,Yo). Vê-se também,neste caso,que a órbita é uma
Seção6.2 Pontosde Equilíbrioou Singularidades 209
curvafechada,pois as funçõesx(t) e y(t) sãoperiódicasde período
!| to; de fato, basta usar um argumento semelhante ao que utiliza-
mospara provar que as órbitasnão se interseccionam.Neste último
“uso,usamostambéma terminologiaórbitaperiódica. Resumindo:o
woremadeExistência e Unicidade nos diz queo plano de fases(x,U)
»stácobertopor órbitas quenão se interseccionam.
Nosso objetivoagora é estudar essa decomposiçãodo plano de
Wes,quedenominaremosespaçodeconfigurações(“phaseportrait”).
im geral, essa é uma tarefa difícil. Entretanto, desenvolveremos
Wenicaspara fazer um estudolocal das órbitas nas vizinhanças de
“masingularidade[veja6.2 abaixo],e teremoso teoremade Poin-
mré-Bendixonque nos dará informaçõesglobaissobreo espaçode
wnfigurações.
12. PontosdeEquilíbrioouSingularidades
!'mpapelmuitoimportantenoestudodageometriadoplanodefase
*desempenhadopelassoluçõesconstantes(x(t),u(t)) — (xo,Uo)de
6.1),as quais sãoprecisamenteos zerosdo sistema
f(x,y) =0
g(x,y)=0.
'ssassoluçõessãochamadaspontosdeequilíbrio,nomenclaturains-
prada no seu significado físico, ou singularidades (também pontos
singulares),nomenclaturaprovenientedeseusentidogeométrico.Os
pontosnão singularessãochamadosregulares.
(6.2)
Exemplo1. Considerea equaçãonãolinear de2º ordem
E— dx. —À,
EnzendoX = y, obtemoso sistema
locay =8xy
queé do tipo (6.1)comf(x,y) = y e g(x,y) = 8xuy.Nessecasof
+q sãode classeC!, temosexistênciae unicidadede soluçãoe um
porema análogo no Teorema 3.7 podeser aplicado, isto é, as soluções
lessesistema tendempara o bordode O = ((x,y,t) € Rº). Nosso
objetivoéestudaroplanodefase.As soluçõesdeequilíbriosãoobtida
fazendo
fo,uy)=y=0 e g(xy)=8xy=0
portantox(t) = ctee y(t) = Osãoassoluçõesdeequilíbrio(todosm
pontosdoeixo-x).Para obtermosasoutrassoluções,vamossuporque
x =x(t) possaserinvertida,obtendot = t(x). Portanto,segue-sedi
sistema,que
dyO uid
dx
elogoy(x) = 4x2+ c. O planodefaseédotipo
ty
N N x /
N Ma / /e a
x
%
--
|A Soluçõesdeequilíbrio
a urEm z >
/ X
N N x /
, E |/
A /
N f
X ANa
a
Figura6.3
As órbitasque“moram”nasparábolascujosvérticesestãoabnt»
do eixo-x não tocam esse eixo. Portanto, são limitadas, isto é, exist
umaconstantek tal que
lot, ultI<k, Vte(w., ws).
Usandoa observaçãoquesegueaoTeorema3.7,concluímosqueess
órbitassãoglobalmentedefinidas,istoé, (wW.,w,) =R.
Observação: Quando as soluçõesde um sistema autônomosãoph
balmentedefinidas,podemosdefinira função
q:R* x Rs Rº
lação6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades211
por
q(P,t)=(x(t),y(t))
ande(x(t),y(t)) é a soluçãode(6.1)tal que (x(0),u(0)) = P. Asso-
dadoa q introduzimosa família de funçõesa um parâmetro
p:uRPSR?, tER,
andepe(P) — q(P,t). Temos,pelosteoremasdeexistênciae unici-
dudee dependênciacontinuaemrelaçãoàs condiçõesiniciais, que
|) pu R? — Rº2é contínua
HH) Po = id
DO QPus=Progps.
Umafamília a um parâmetrosatisfazendoas 3 propriedadesacimaé
hamadadefluxoousistemadinâmico.
À seguirvamosestenderos conceitosdeestabilidade,introduzi-
dosnasecção2.3parasistemasautonômosnoplano.
ofinição 6.1. Um pontodeequilíbrio(ousingularidade)(xo,Vo) é
wtávelse, dado E > O, existe ô > O, tal que para qualquer órbita
“s(t),uy(t))com
dist((x(0),v(0)),(xo,Vo))<5,
tenhamos
dist((x(t),u(t)),(xo,Uo))<e,paratodotz0.
lisfinição6.2. Um pontode equilíbrio (ousingularidade)(xo,Uo)é
msintoticamenteestávelseelefor estáveleseexistir um > Otal que
todaórbita (x(t), u(t)) com
dist((x(0),u(0)),(xo,Uo))<n
pntão
lim (x(t),u(t))= (xo;Vo). (*)t—>-oo
Essadefiniçãosimplesmentediz que órbitas “começandoperto”de
9, Vo)permanecemperto,edefatoconvergempara opontodeequi-
brio.
212 SistemasAutônomosnoPlano Cap
o | ' / / N
8 - 'e ' [ A ea | ,
» x a | A /
Cc A
|, | ;
N | /
E /
va F
/ ET %
Figura6.4
As figuras B e C apresentampontosde equilíbrio assintoticamente
estáveis;já o exemploA mostraum pontodeequilíbrio somenteestá
vel.
Na definiçãodesingularidadeassintoticameneestável,grifamos
apalavraestávelparaenfatizarquea condição(*),umacaracterística
dessetipo de singularidade,não é suficientepara caracterizá-la. Ha
exemplosmostrandoessaeventualidade,cf. L. Cesari “Asymptoti
BehaviorandStabilityProblemsin OrdinaryDifferentialEquations”,
Springer-Verlag(1959).Uma singularidadequenãoéestável,chama
seinstável.
Vamosagorasuporquea origem(0,0) éumasingularidadeiso
lada de (6.1), e fazer um estudo da geometriadas órbitas em sua
vizinhança.O casodeumasingularidade(xo,Uo)£ (0,0)podeser
reduzidoaocasodesingularidadena origemmediantea mudançade
variáveis(x,y) > (x —xo,y —yo). Pela fórmulade Taylor, f e q
podemser escritascomo
f(x,y) = fx(0,0)x+fy(0,0)y+F(x,y)
g(x,y)=9x(0,0)x+gy(0,0)y+G(x,y)
ondeFe G sãoo(|x| +|y
(6.4)
);a notação“o”significaoseguinte:h(s)
Hoção6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades 213
v(s) se h(s)/|s| — Oquandos — O. As expressõesem(6.3)nos
sugeremqueo comportamentodasórbitas nas vizinhanças da singu-
Inridade(0,0)deveserdeterminadopelapartelineardocampo(f, 9).
omo veremosmais adiante isso é “quase”verdade.Portanto, come-
vemoscomoestudodeum sistemalinear comcoeficientesconstantes:
Dra
(6.4)y = cx+ dy
6.2.1 O sistema linear (6.4).
Suponhamosque a origemseja uma singularidadeisolada do sis-
tema(6.4),ou,equivalentemente,ad —bc O.Para facilitarnossas
explicações,vamosintroduzirovetorX e a matrizÀ:
a a
o assim (6.4) se escreve como
X = AX. (6.5)
O sistema(6.5) lembra a equaçãodiferencialx — ax, estudada
noCapítulo 2, cuja soluçãogeral foi
x(t) =ce**.
Ocorre,então,a idéia detentar soluçõesde (6.4)ou (6.5)na forma
tt =” Mt+ »OUequivalentemente,X(t) = Ce”. (6.6)
u(t) = cze
Substituindo-seem (6.4) [seo leitor preferir, ele poderá prosseguir
usandovetores e matrizes], obtemosque c4, C2e À devem satisfazer
nosistema
| (a—Ajcy +bcz =0
ccrtH(d—Ajc =0
Comoestamosinteressadosemsoluçõesnãotriviais (C1,C2)[i.e.,cy £
Oou cz É Oou ambos 0],segue-sequeo determinantedosistema
deve ser O:
a-—A b
C d= A(6.7)
O &AM-(a+d)A+(ad—- bc) =0. (6.8)
214 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Às raízes dessaequaçãodo 2º grau são os valorespróprios (ou
auto-valores)damatriz A. O polinômio(nocasoum trinômio)em(6.8)
é chamadoopolinômio característico.Assim, obtidosos auto-valores
deA, voltamos aosistema(6.7),deondeobteremoscyecz epoderemos
entãoescreveras soluçõesde (6.4)na forma (6.6). Entretanto, como
nossointeresecentraléobterumadescriçãopictóricadasórbitasnas
vizinhançasdopontosingular(0,0),vamosreduziroestudode(6.4)
àquelede um sistemaequivalente,mais simples. A Álgebra Linear
nosensinaque,atravésdeuma mudançadevariáveis no plano (x,1|
amatriz À podeserlevadaa um dostiposabaixo,dependendodosinal
dodiscriminante
A=(a-d)*+4bc.
Isto éum casoparticular daForma deJordan, vejaopróximocapítulo,
A O= O N (6.9)
ondeÀ Z u sãoosdoisautovaloresdeÀ supostosreais.
A OE = O 4 , (6.9)
ondeÀ é o único autovalor (necessariamentereal) de A.
A 1 Os=[31]. nã
À comoem (6.9.
ja —b ás=[58]. es
onde« + 12sãoosautovaloresdeA.
O quesequerdizercomÀ ser levadaemB medianteumamu-
dançadevariáveiséoseguinte:existeumamatriznãosingular(Q(a
matrizda mudançadevariáveis)tal queB = QAQ”!. Concluímos,
pois,queacurvaY(t) = QX(t) étal que
Y=QX=QAX=QAQ !Y = BY,
econsequentemente,bastaestudarosistema(6.4)comamatriz deum
dosquatrotiposacima. Issoporque,apósobterasórbitasnessescasos,
Ração6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades
pode-sevoltar às variáveis originais X = Q”!Y e o que aconteceno
planodefaseséapenasumadistorsãodasórbitas;distorsãosignifica
rotaçãoemtornoda origem,reflexãoemtorno deuma reta passando
pelaorigem,expansãoou compressãoao longodedois eixos.
Unso (6.9). O sistema (6.4) se torna
x =Ax x(t) =cre!
y = uy Ut) = GR,
Basta estudar as órbitasno 1º quadrante(nosdemaisquadran-
tes,as órbitas são obtidas por simetria); portanto para c1,Ccz> O,
sbtemos:
Pass q =>p= g>Ã
Dai, sem sepreocupar coma orientação,no momento,vemosque
4curvasoluçãotemo aspectoindicadonasfigurasabaixo
a b
O<gA<T WA>]
/A <0 H/A=
Figura6.5
Observeque os casosextremoscy = Oou cz = Odão os semi-
bixoscomoórbitas. Observeque,nos casosa e b, as órbitas,entram
na origemao longode umadireçãofixa: quandoO < u/ÀA< | as
215
216 SistemasAutônomosnoPlano Cap.+
inclinaçõesdastangentesà órbita,Wy/x,tendea +oo,equando|/À
1essasinclinações,W/X,tendema 0.
Consegue-sea orientaçãodas curvas pela análise das soluções
na formaparamétrica. Assim: (i) se A,u < Oas curvasem a e!
tendempara a origemquandot > +oo, e aí dizemosquea origem(
umatrator,(ii) seÀ,u > Oas curvasema e b seafastamdaorigem
quandot — +oo. Uma análise semelhantese faz quandoÀ e u tóm
sinais diferentes. Pondo todas essas observações,juntas, obtemosnm
configuraçõesA, Be C abaixo. Usa-se tambéma expresãonó pars
designarum pontonodal.
Caso (6.9). O sistema (6.4) se torna
x =Ax ER x(t) =cye?t ss
= CXV=Ny u(t)=cre! ”
eassimascurvassoluçõessãosemi-retascomona figura d acima,
o espaçodeconfiguraçõesé comona figura D, abaixo.
A q 4 v +» » B
| e
A | +
y a A
FO. ” ç e
Y w
á
4 4 A [a
A<u<O u<A<O0
Ponto Nodal (estável) Ponto Nodal (estável)
C »
A<O<u
Ponto de Sela
Figura 6.6
Beção6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades
Unso (6.97). O sistema (6.4) se torna
x=Ax+Uy = x(t) = (cj +cat)eMt
V=Ay u(t)=cze!t,
Logo,os semi-eixosx > 0 ex < Osão curvassoluções,correspon-
dentesa cz = Oe comorientaçãodependendodo sinal de À. Basta
vonsideraro casocz > O,o outrose seguindopor simetria. Supo-
nhamosqueÀ < O. Vemosquepara t grandeepositivo,x(t) > 0,e
«(t) > Oquandot — +oo;alémdisso,a curvacortao eixoy quando
| =—c1/c2,e x(t) — —ooquandot — —oco.Nestecaso,todasas
orbitasentram na origem ao longode uma direçãodeterminada;de
Into,y/X = Acz/(Acy+Acat+ca)— O.Assim,obtemosaconfiguração
emE abaixo
D E
Y
4 A
Y V
- s =“ > mai To a
Y e Fá
A=u<O
Pontos nodais (estaveis)
Figura6.7
Cnso(6.9). O sistema(6.4)setorna
xXx= «x — By
| y = Bx+ au.
Neste caso, é preferível usar coordenadas polares
x= Tal, UU=fsenD.
Daí
xe fcon0 — rsenO 6, y =TsenO +rcos0 Ô
218 SistemasAutônomosnoPlano Cap|
deondese segue
t=xcos0 +ysenoO, 6=" !(ycos0—x sen6).
As últimasequaçõesnosdão
t=ar 0=B
edaí
nt] ==Toc O(t) = Bt+ 0,
quesão as equaçõesparamétricasemcoordenadaspolaresda órbils
que,parat = 0,passapeloponto(To,00).Portanto,aórbitaé: (1)um
círculo,se « = 0, (11)umaespirallogarítmicase « 0, e a origem'
um atrator se « < O. Além disso,a espiralé dextrógirase B < 0:
sinistrógirase P > 0.
a<0,B>0 a«>0,B<o0
G3 G4
1 | a
=) | ) | N- o dyCentro EA q
a<0,B<o0 «>0,B>0
Pontos Espirais
Figura6.8
Atenção.Umretornoàsvariáveis(x,u) dosistema(6.4)implicaape
nas em uma distorsãodas figuras acima. Nas figuras A, B, C, ms
órbitas entram na singularidade aolongodeduas direçõesortogonais
nas figurascorrespondentesaosistemaoriginal haveráduasdireções
lação6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades 219
nãonecessariamenteortogonaisaolongodasquaisasórbitasentrarão
wasingularidade.Na figuraE continuaráa haveruma direção,não
necessariamenteum eixocoordenado,aolongodaqualasórbitasen-
irmmna origem. Na figura F os círculosserãotransformadosem
slipses. Podemos,pois, resumir no quadro abaixo as várias possi-
Wlidadesdependendododiscriminante
A=(a-d)? +4bc
“dosvaloresrelativos de a, b,ce d:
à ad —bc a+d Tipo deSingularidade
>0 <0 sela
>0 >=0 <0 nóestável
>0 >0 dd ed nóinstável
<0 == centro
<0 <0 pontoespiralestável
<O0 >0 pontoespiralinstável
= <0 nóestável
= >0 nóinstável
142 O sistemanão linear(6.1).
las hipótesesfeitas acima,as funçõesf e g podemser escritasna
vema(6.3),comFeGcontínuaseo(|x|+|y|).Chamandoa =fx(0,0),
vo (4(0,0),c = 9x(0,0)e d = gy(0,0),o sistema(6.1)seescreve
uno
x = ax+by +F(x,u) (6.9)
y=cx+ dy + G(x,uy)
Pulemos,portanto,olhar o sistema(6.9)comoumaperturbaçãonão
“neardosistemalinear (6.4).A origem(0,0) éumasingularidadede
4), sesupusermosad —bc £ 0, tratar-se-ádeuma singularidade
ulada e, nestecaso,dizemos que a origem é um ponto singular mim
Wes,caso ad — be — O,então, a natureza da singularidade depende
220 SistemasAutônomosnoPlano Cap4
fortementeda partenão linear. Nas nossasconsideraçõessuporemm
sempreque a origemé um pontosingular simples. Comodissema
acima,édeseesperarquea parte linear dosistema(6.9),isto é,oui
tema (6.4),descrevaa geometriadas órbitas na vizinhança da origem
entretantoisso é aproximadamenteverdade. De fato, todosos fat
oupropriedadesdosistema(6.4)quedependemdedesigualdadesen
tre a, b, c e d permancerãoinalteradas, cf. quadro acima. Aquelw
que são caracterizadaspor igualdadespodemmudar. Mais precina
mente,temososresultadosabaixo,cujasdemonstraçõesoleitorpod;
encontrarno livro de E. Coddingtone N. Levinson, “Theoryof Ordi
nary Differential Equations”,McGraw-Hill Book Company,New York
(1955).Veja tambéma secção7.3dopróximocapítulo.
(1)Se a origemfor um atrator para o sistemalinear (6.4),ent
tambémo serápara o sistemanão linear (6.9).
(11)Se a origemfor um pontoespiral para o sistemalinear (64
entãotambémo serápara o sistemanão linear (6.9).
(11i)Se a origemfor um pontodeselapara o sistemalinear (64:
entãotambémo serápara o sistemanão linar (6.9).
(1v)Se a origemfor um pontonodaldostiposÀ, B para osistem»
linear (6.4),entãotambéma origemé ainda um pontonodal para+
sistemanão linear (6.9).
(v)Se a origemfor um centropara osistemalinear (6.4),então,»
origempodeser um centroou um pontoespiral para o sistema(6,
(vi) Se a origemfor um ponto nodal do tipo D, então a origem
podeser um nó ou um pontoespiral para o sistema(6.9).
Vamosilustrar (v)e (vi) comexemplos.
Exemplo 1. Considereo sistema:
U XV=— (GIOin(x2 +y2)1/2 y U+ nba rua )X X -
o qual podeserescrito,emcoordenadaspolares,como
]
O r F,nro
lação6.2 PontosdeEquilíbrioouSingularidades 221
Logor(t) = cet, ondec > Oéumaconstantearbitrária,edaí
]d=-——— > 9(t)=k-In(t- Enc)Enc—t
sudek = O(to)+En(to—&n.c). Issomostraqueaorigeméumponto
»piral para (6.10),cuja parte linear tem a origemcomoum ponto
modal,
Esemplo2. Considereo sistema
Xx=-y-—xyx2+y?, Úu=x—-uyvx?+y”, (6.11)
“qualpodeserescrito,emcoordenadaspolares,como
6=1, t=—".
logo O(t) = t+ 00 er(t)maramétricasdasoluçãodosistemaque,no instantet = O,passapelo
vento(ro,do).Essacurvaéumaespiral,eassimaorigeméumponto
»piral para o sistema(6.11). Observeque a origem,para o sistema
inearcorespondentea (6.11),éumcentro.
ee
(t a 1) são as equaçõespolares
Esemplo3. Considereo sistema
XxX= —Y+ x(x? o a uy?) sen ZFyZji?
(6.12)
Ú — x+y(x? +12) sen TRERyITTT:
“qualpodeserescrito,emcoordenadaspolares,como
TDl, r=rÍsen-. r
v>-ne,então,queos círculosr = 1/mn,n= 1,2,..., sãoórbitas fecha-
das,Temostambém
t > 0, quandor >1
1 ]t <O, quando— <r< o e odieii 2m 2m—l
] ]t >O, quando ETC alto 1,2, caiim +| 2m'
222 SistemasAutônomosnoPlano Cop
As órbitas nas regiõesanulares, 1/(n + 1) <r < 1/n, nãosb
fechadas,esimespirais,poisO(t) er(t) sãoestritamentemonotônies
Alémdisso,elasdevemseaproximardecírculos1/n quandot +»tu
umajustificativa dessaasserçãoseráfeita na secção6.3. Nestecns
a origemé um centropara ambosossistemas,o linear e o não lines
n Par n Impar
6.3. O Teorema de Poincaré-Bendixon
Na secão6.2,estudamoso espaçodeconfigurações,ou seja a geon
tria das órbitasdo sistema(6.1)nas vizinhançasdeuma singular
dade. Os resultadoslá obtidosforam tipicamentelocais, apesard
servirem,em vários dos problemaspara se ter uma descriçãolol»
dasórbitasnoplanodefases.Entretanto,emmuitosproblemasds
aplicações,o meroconhecimentodassingularidadesnãochegapur
descrevero espaçodasconfigurações,e consequentementenãoésul
ciente para responder perguntas importantes sobre o comportamen!
globaldasórbitas.Em algumasaplicaçõesàmecânicaeàeletricidad:
um papel importante é desempenhadopelas soluçõesperiódicasd
(6.1),que correspondemno plano de fasesa órbitas fechadas.Nom»
objetivocentralnestasecçãoé estabelecercritériosque nos perm'
tam assegurarquetais órbitas existem.Dado o objetivointrodutor
do presentetrabalho, vamos apenasarranhar a superfície de um
teoria rica e profundacriada por Henri Poincaré,e que ainda hoje
objetodemuitapesquisa.Seconseguirmosdar aoleitor uma idéiadu
problemasprimeirosdessateoriaedesua relevâncianasaplicações
Beção6.3 O Teoremade Poincaré-Bendixon 2253
acreditamoster atingidonossoobjetivo.
Esemplo1. (Um sistemamecânico,cf. J.J. Stoker,Nonlinear Vibra-
tonsin MechanicalandElectricalSystems,IntersciencePublishers.)
Fonsidereum sistema mecânicoconstituídopor um blocode massa
mligadoa uma mola e repousandosobreum correiaásperaquegira
sumvelocidadevo.
Figura6.10
Suponhamosque inicialmente (mola não distendida ou compri-
mida)o blocose acha na posiçãoE = O. A forçade atrito arrasta o
blocopara a direita até uma posiçãomáxima e aí o blocoregressa,
rumeçandoum movimentooscilatório.O movimentodoblocosedeve
4umdesequilíbrioentreaforçadeatritoeaforça—kédamola;nosso
abjetivoé estudar essefenômenoà luz da mecânicanewtoniana. A
lurçadeatritoéumafunçãodavelocidadedoblocorelativaà correia:
p(E—vo).Afunção—p(v)emalgunscasostemumaformaalgébrica
bemdefinida;entretantomuito sepodedizer sobreo problemaseco-
nhecermosapenasa sua forma gráfica,juntamente comcertaspro-
priecdades.Issomostraa forçadosmétodosquevamosdescrever.No
momento,vamossuporqueográficodeb(v) sejao seguinte:
*0
+
Figura 6.11
224 SistemasAutônomosnoPlano Cap.
À interpretaçãodográficoé a seguinte:quandoo blocoestápa»
rado relativamente à correia, a força de atrito aumenta (i.e. a res
sistênciado blocoa se moverpela açãode uma forçaexterna)até
atingir um valor máximo,e a partir daí decresce,voltandodepoisa
crescerquandov aumenta.Pela 2€ lei deNewton, temos
mé = —d(É—vo)—kE. (6.13)
Mudamosdavariávelé para a variávelx:
]
x=€E+ 7 Pl-vo), (6.14)
o quequer dizer quepassamosa contarosdeslocamentosa partir da
posiçãoondeo blocoestáemequilíbriosoba açãoda forçadeatrito
e da forçada mola: —p(—vo)—k£ = O. Fazendoa substituiçãoem
(6.13)obtemos
mx+ &b(x—vo)—P(—vo)+ kx =0,
Fazendoa substituição
F(x)=lx —vo)—Pl—vo),
obtemos:
mx+F(x)+kx=0, (6.15)
ondea funçãoF temográficoseguinte,casovonãosejamuitogrande.
AF(X)
|
|
|
|
RS ii
h X
Figura6.12
As soluçõesoscilatóriasde problemasdessetipo são chamadas
auto-excitadas.A nomenclaturaauto-excitadaseexplicapelofato de
quea soluçãoperiódicaé criada pelopróprio sistema,sema açãode
forçasexternas.Observequea existênciadesoluçõesperiódicaspara
Beção6.3 O Teoremade Poincaré-Bendixon 225
equação(6.15)é um fenômenotipicamentenão linear; nos sistemas
mecânicoslineares, a presençade força de atrito implica necessaria-
menteem amortecimento.E mais, nestecaso,só aparecemsoluções
periódicassehouverforçasexternasperiódicas,e aí as oscilaçõesnão
seriamauto-excitadas.Um modelomecânicodo tipo descritoacima
[viusadopor Rayleigh para explicar as oscilaçõesdas cordasdo vio-
linoquandoarrastadaspeloarco;entretanto,esseéumproblemabem
maiscomplexo,poisdeveenvolverderivadasparciais,umavezquese
tratadeumproblemadecordavibrante.
Exemplo2. (Triodo). Para não entrar nos detalhesda deduçãoda
equaçãoquedevesersatisfeitapelacorrentenumtrechodocircuito[o
leitorinteressadopodevê-lanolivro deStoker],vamosconsiderarum
modelorepresentadopor um sistemaRLC, ondea quedadevoltagem,
Vcp,noresistorsatisfaza umarelaçãodotipo:
]Vco=k(38-1), k>0
Figura6.13
Como a variação do potencial (voltagem)no indutor, Va p,é dada
por
dlMeses
onde I é a corrente por unidade de tempo, e no capacitor,VBc, por
QVec="6
ondeQ é a cargae Le C sãoconstantes(respect.indutânciae ca-
pacitância), temos, pela 2º lei de Kirchhoff (a soma algébricadas
226 SistemasAutônomosnoPlano Cap.à
diferençasdepotencialemuma malha é zero),que
I
e daí,porderivaçãocomrelaçãoa t, obtemos
. x. 0Li+RT-Di+cI=o. (6.16)
À equação(6.16)é conhecidacomoa eguaçãode van der Pol, quefwi
quemaderivoupelaprimeiravezeparaelaobteveaexistênciadeuma
soluçãoperiódica.Comono Exemplo 1 observequeuma linearização
de (6.16),substituindo-apor
Li+kI+ GI=0 (6.17)
nãoéumaaproximaçãoadmissíveldofenômenoreal,umavezqueeste
apresentaoscilaçõesauto-excitadas,e as soluçõesde (6.17)crescem
exponencialmente.Portanto,nãohá queresistir: aequação(6.16)com
todasuanãolinearidadedeveseratacada.Um argumentoheurístico
paraexplicarporque(6.16)temsoluçãoperiódicaéoseguinte:quando
[ > 1,o coeficientede Í setorna positivoe aí a correnteé amortecida,
e quando1< 1,a correnteé amplificada.
ResumodosExemplos1e2. Otipodeequaçãoobtidanessesexemplos
é o seguinte
u+tf(uji+ku =o0.
Nósnospropomosa estudarequaçõesdeumtipomaisgeral
u+f(lwuju+g(u)=0, (6.18)
queé conhecidacomoa equaçãodeLiénard. Esta equaçãoé equiva-
lentenoseguintesistemano plano de fases,x = u, y = U:
* =) y=—f(x)y —g(x). (6.19)
Nossoproblemaé estudara questãoda existênciadeórbitas fe
chadas(Le, moluçõesperiódicas)de (6.19),ou, mais geralmente,do
Beção6.3 OTeoremadePoincaré-Bendixon227
sistema(6.1).A respostaa essaquestãoédadapeloteoremadePoin-
caré-Bendixon,enunciadoabaixo.Antes, vamosintroduzir os concei-
tosdeconjuntoslimites. Suponhaquea solução
p(t,P) = (x(t),v(t))
de(6.1),comcondiçãoinicial P = (x(0),u(0)), estejadefinidapara
todot ER. O conjunto
v=y(P)=t(x(t),ult)):te R)
é chamadodeórbita do sistema(6.1)atravésdo pontoP E R?. Defi-
nimosa semi-órbitapositivacomo
vi =y"(P)=((dt),v(t)):t>0),
vc,analogamentea semi-órbitanegativa.
Definição6.3.O conjunto
w(P) =w(y) =
((x,y)ER?:Itn > +oota.(x,y)= lim(x(tn),y(tn)))
nNn—00
échamadode conjuntow-limite da órbita quepassapor P. Analoga-
mentedefine-seo conjunto«-limite comosendo
o(P)=a(y)=
((x,y)ER?:3ty> —oota. (x,y)= lim(x(tn),U(tn))).
Nn—00
Exemplo 3. Nos sistemas lineares da secção 6.2.1, um ponto de e-
quilíbrioassintoticamenteestávelé o conjuntow-limite dequalquer
órbita.
Exemplo 4. No sistemado Exemplo 3 da secção6.2.2,temosqueos
círculos7 = | comn par sãoconjuntosw-limite, e para n ímpar sãon
limite.
ixemplo 5. O conjunto w-limite não é necessariamenteconexo. Na
figura6.14temosquew(P) = y(Py) Uv(Pa).
228 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
p;º “P,
Figura6.14
Exemplo 6. Considereum sistemacom3 pontosde equilíbrio, sendo
2 pontosespirais instáveise 1pontodesela,comona figura 6.15.
P
da
Y
/ x 4 “ AN
| (+) s (C)es v —-
Figura6.15
Nestecasotemosqueoconjuntoemformadeoito,formadopelas
duasórbitaseo pontode sela, é o conjunto«ww-limitede todoponto
P queestá fora de o0. O laço direito de co é o w-limite de todo
pontoP queestá dentrodesselaço,excetoo pontoespiral lá contido,
Analogamenteo laçoesquerdo.
As letrasgregas« e w, respectivamenteprimeira e última letra
do alfabetogrego,sugeremo sentido—ocoe +oo dosconjuntoslimi-
tes. As principais propriedadesdessesconjuntosestãoresumidasno
teoremaseguinte,cujademonstraçãopodeser encontradano livro de
Hirsch-Smaloou Hale citadosno final destasecção.
Teorema6,1. Se a semi-órbitapositivay'!(P) é limitada,entãoo
conjunto w-limite de P satisfaz:
Seção6.3 O Teoremade Poincaré--Bendixon
D» w(P)£ZO
HW)(P) écompacto
di) (P) éconexo
iv) w(P) é invariante,istoé,seP E w(P) entãoa soluçãoq(t,P) E
w(P) para todot.
(P)v) w(P) atrai a soluçãop(t, P), istoé,
lim dist. (p(t,P), v(P)) = 0.
t—-tHoo
Podemosenunciar umaversãoanálogapara o conjunto«-limite.
Uma consequênciaimportantedoTeorema6.1é que se
lim (x(t),y(t))=P,
t—-too0
entãoP épontodeequilíbrio. Defato,w(P) = (P) éinvariante,oque
implicaq(t,P) = P Vt. PortantoP é pontodeequilíbrio.
Teorema6.2(Poincaré-Bendixon). Suponha quea semi-órbitay* (P)
élimitada equew(P) nãocontémuma singularidade (pontodeequi-
líbrio).Entãow(P) éumaórbitafechada.
Valeumresultadoanálogopara a(P).
Definição6.4. Um ciclo limite é uma órbita fechada(periódica)y
contidaemw(P) (ouem«(P)) ondeP É y.
Exemplo7. No sistemadoExemplo3 dasecção6.2.2oscírculosr = l
comn par sãociclosw-limites,ecomn ímparsãociclos«-limites.
6.3.1. Conseqiências do teoremade Poincaré-Bendixon.
SejaO umaregião(i.e.,abertoconexo)deR?, suponhaquequalquer
solução que encontra df) permanece em O, isto é, se
(x(to),u(to)) E 0 paraalgumto, então(x(t),u(t)) E O, Vt > to.
Se O nãocontiversingularidades,entãoelacontémnecessariamente
umaórbita fechada.
A determinaçãode uma regiãoO coma propriedadedescrita
acimanão é tarefa fácil. Vejamosum exemplofácil, construidopara
ilustrar a idéia.
229
230 SistemasAutónomosnoPlano Cap.é
Exemplo 8. Considerea equação
u+(2ue+ul-2u+u=0 (6.20)
queé equivalenteaosistema
Xx=y vu=-2xX+y-2y-x. (6.921)
De (6.21) obtemos
d
ag0 +U?)=xx+uy=(22 +y?—D)y.
AgoraconsidereO = f(x,y) ER? :1<x)+y?< 3),cujafronteira
20 é constituídadedois círculos. No círculox? + y? = 1temos
d
aq0 +ul)=—(xº—Dyê>0. (6.22)
enocírculox? +y? = 3,temos
da 0 ty?) = =[x"+ 1y*<0, (6.24)
Finalmente,(6.22)e(6.23)implicamqueascondiçõesdaconsequência
do teoremade Poincaré-Bendixonestãosatisfeitas. Logo existeuma
órbita fechada em O.
Enunciamos a seguir um resultadoque garante a existênciade
soluçãoperiódicapara a equaçãodeLiénard (6.18).
Teorema6.3(Levinson-Smith).Suponhaquef épar,gímpar,eg(u) »
Oparau > 0. Sejam
Suponhaque1) G(u) — o0quandou > oco,(ii) a funçãoF tem
umzeroemu=uo, F(u) <Opara0O<u< uso,F(u) émonotônica
crescentepara u > uoe F(u) — c0quandou — oco.Entãoa equação
(6.18)temuma única soluçãoperiódica,quenoplano defasesé uma
órbitafechadacontendoa origem.Alémdissoessaórbitaéoconjunto
w-limitedequalqueroutraórbita y + (0).
Seção6.3 O Teoremade Poincaré-Bendixon
[AdemonstraçãodesseteoremaedoTeoremadePoincaré-Bendi-
xon estãonos livros mencionadosnas referênciasao final desta se-
cção].Vamosutilizá-lo emalguns exemplos.
Exemplo6. Para a equaçãodevan derPol
u+ru(u-NDu+u=o0
temos
3
Ft) =u(G—u) > uo =V3.
Critério negativode Bendixon. Seja O umaregiãosimplesmente
conexadoplanoR?. Suponhaquediv(f, g) = fy+ Jy ésemprepositivo
ou semprenegativoem O. Então, o sistema(6.1) não temsolução
periódicacontidaemO. A demonstraçãoéfácileutiliza oteoremade
Green:
ffte. + ty) dxdy = / fdy —gdx (6.24)
R C
ondeR designaa regiãolimitada por umacurvafechadasimplesC.
Suponhaque exista uma soluçãoperiódicap(t) = (x(t),y(t)) de
períodoT; designandopor C a curva correspondentea q temos,pela
definiçãodaintegraldelinha:
z
/ fdy —gdx = / (fy —gx)dt = 0. (6.25)
Cc 0
A hipótesede div(f,g) ter um sinal definidoem O implica numa
contradiçãoentre (6.25)e
fis +gy)dxdy£0.
Para ilustrar o grau de sofisticaçãodas técnicas invocadasno
estudoglobaldo sistema(6.1)vamosenunciarum resultadosobre
existênciade singularidades,o qual serádemonstradousandoo fa-
mosoteoremado pontofixo de Brouwer. “SejaK um subconjuntode
R" homeomorfoà bola unitária fechadade IR"; então toda função
contínua FE:K —sK tem (pelomenos)um pontofixo xy € K, i.e,,
fixo) = xo”.Essoteoremaéumresultadoprofundo,quepossuevárias
demonstrações,nenhuma trivial!
232 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Teorema 6.4. Seja K um subconjuntode R? homeomorfoao disco
unitário fechado.SuponhaqueK tema seguintepropriedade:seuma
órbitaYyencontrarK numinstantetoentãoelapermaneceemK para
t>to. Então K contémpelomenosumpontodeequilíbriodosistema
(6.1).
Demonstração:À demonstraçãoutiliza a transformaçãodePoincaré:
fixadoT > 0,paracadaP € K defina
P(P)=q(T,P)
temosque écontínua(vejaTeorema3.11),d(K) C K, pelahipótese
doteorema,epeloteoremadeBrouwersegue-sequeexisteX E K tal
queP(X) = X. O queacabamosdefazervalepara qualquerT > 0,
Logo,tomandoumasucessão1, > Ocom[, — 0,temosumasucessão
Xn tal que
Ma=10]Rasa! (6.26)
eportantoumasucessãodesoluçõesperiódicasdeperíodos1.
Comoa sucessão(X,) está contidano conjuntoK, o qual é limi-
tadoefechado(poiséhomeomortfoaodiscounitáriofechado),segue-se
queela contémumasubsucessãoconvergente.Mudandoa notação,
podemossuporqueXn — Xo.
Agora, dadost en, existeum inteiro kn(t) tal que
knlt)I<t< kntt)+Um e q(kndt Xn)=Xn (6.27)
ondea última igualdadeseseguedofatodequea órbita q(t,Xn]) é
periódicadeperíodo1.
Estamosagorapreparadospara provar que p(t,Xo) = Xo, para
“00 < t < oo, ou seja Xo é um ponto singular de (6.1). De fato,
temos
IP(t,Xo)—Xol<[g(t,Xo)—lt, Xn)]+|g(t,Xn)—Xn]+|Xn—Xol,
deondesesegue,usando(6.27)
Ip(t,Xo) — Xo|<|g(t,Xo)— p(t, Xn)|+
+lt = kn(t)Ta,Xn)—Xn)+|[Xn—Xo|
e passandoao limite quandonº +00,segue-seo resultado.
Seção6.4 Usandoo SoftwareMathematica
Corolário. Se (6.1)tiver uma órbita fechadaY, entãoexisteuma sin-
gularidade na regiãolimitada por Y.
ste corolário,juntamente como teoremadePoincaré-Bendixon,im-
plicaqueseumaregiãolimitadaO deRº contiveruma semi-órbita,
então€Q)contémnecessariamenteum pontosingularde(6.1).
Ao leitor interessadoem obter mais informações,sugerimosas
seguintesreferências:
N. Minorsky, “Nonlinear Oscillations”, D. Van Nostrand Co., Inc.
(1962).
J. Hale, “Ordinary Differential Equations”,Wiley-Interscience(1969).
M. Hirsch andS.Smale,“DifferentialEquations,DynamicalSystems,
and Linear Algebra”, Academic Press, (1974).
J. Sotomayor,“LiçõesdeEquaçõesDiferenciaisOrdinárias”,Projeto
Euclides, 1979.
6.4. Usando o Software Mathematica
O objetivodestasecçãonãoéofereceraoleitorumtutorial deutiliza-
çãodo softwareMathematica,mas mostrar,atravésde algunsexem-
plos, a facilidade de uso do programa e chamar a sua atençãopara
a utilidade de se ter em mãosum “colaborador”, capazde trabalhar
numericamente,simbolicamenteegraficamenteeainda comprecisão
e rapidez.
Vamos dar exemplosde utilização dos comandosDSolve e ND-
Solveutilizadospararesolverequaçõesdiferenciais.A seguiranalisa-
remosa respostadadapeloprograma,etambémvamosrepresentá-la
graficamenteatravésdoscomandosPlot eParametricPlot.
O ComandoDSolve resolveequaçõessimbolicamenteeNDSolve
resolvenumericamente. Por exemplo,para resolver x = ax, com
x(0) = b, colocamos
DSolvelw'[t|==a”x[t], x[t],t]
e obtemosa respostana forma
([xlt] ES CHIN,
234 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Esse comandoDSolvepossui3 argumentosseparadosporvírgulas. O
primeiro é a equação,ou asequações,já quepodemosincluir nesseam
gumentoum sistemadeequaçõesdiferenciais,inclusiveas condições
iniciais,vejaosexemplosa seguir.O segundoargumentoé a função
incógnitaouasfunçõesincógnitanocasodesistemas,efinalmente,d
terceiroargumentoévariável independente.
Exemplos:
1.DSolvel(x'[t]==ax[t],x[0]==b!,x[t],t]
((x[t]—>6ES)
2. DSolvelx”[t] +x[t] ==0, x[t], t]
Hx[t]—>C[2]Coslt]—C[1Sinlt]))
3. DSolvel(x”[t]+Sin[t] ==0,x[0]==0,x'[0]==1),x[t],t]
((x[t]—>Sin[t])
4. DSolvel
(elt] ==yít),
y'[t]==- Sin[t],
x[0] ==0,
y[0]==1),[x[t],y[t]),t])
((x[t]—>Sinlt],v[t]—>Coslt]))O programa trabalha com listas que são elementos entre cha-
ves. No Exemplo 4 acima o primeiro argumento é uma lista com 4
elementos. As respostas também são dadas em forma de listas. O co-
mando usado para se obter um determinado elemento de uma lista
é o colchete duplo. Por exemplo o comando
(10,15,20,25)[[2]]
produz o segundo elemento da lista, no caso o 15. Um outro comando
que usaremos na análise dos nossos exemplos é o %. Coloca-se s =
% para designar por s o resultado imediatamente anterior. Vamos
Beção6.4 Usando o Software Mathematica
DSolvel
Dett]==yTtJ,
vt] ==-Sinlt],
[0] == 0,
y[0]==1),[x[t],y[t]),t]
[xt] —>Sinlt], ut] —>Coslt]H
am%
(xlt]—>Sinlt],ylt]—>Cost]
sl[1]]
(xlt]—>Sinlt], ult] —>Coslt])
s[[17][[1]]
xt] —>Sinkt
u=s[[1]][[1]][[2]]
Sin[t]
v =s[[1]][[2]][[2]]
Coslt]
Plot[u,(t, 0,2Pi|]
23!
236 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Plotlv, (t, 0,2Pi!]
0.5
0.5
Figura6.17
ParametricPlotl(u,v),(t,0,2Pi!]
Figura6.18
Vamos agora analisar uma equação não-linear. Considere, por
exemplo, a equação de van der Pol
x+ulx— Dx+x=0
com |t = 0.5. Vimos pelo Teorema 6.3 e Exemplo 6 que essa equação
possui uma solução periódica e que sua órbita é o conjunto Ww-limite
de qualquer outra órbita. Vamos utilizar o Mathematica para de-
terminarmos aproximadamente essa órbita fechada e seu período.
Usaremos o comando NDSolve para resolvê-la numericamente, esse
comando possui os mesmos argumentos que o DSolve com algumas
restrições, Temos que especificar no primeiro argumento condições
iniciais que determinam a solução de maneira única e no terceiro ar
gumento devemosespecificar o intervalo da variável independente.
Seção 6.4 Usando o Software Mathematica
X=U
y=-x—0.5(xº —Dy
x(0)=xo
v(O)=0
NDSolvel!
w[t]==ylt],
y'[t]==-x[t]-0.5((x[tD2-Dylt],
x[0]==3,
y10]==0
)
(x,Y) (t, 0, 10]]
(|x—>InterpolatingFunction/0.,10.,<>],
y —>InterpolatingFunction[0.,10.,<>!)
h=%
[x —>InterpolatingFunction|0.,10.,<> 1],
y —>InterpolatingFunction]0.,10.,<>)
ul =h[[1]][[1]][1[2]]
InterpolatingFunction|[0,,10.), <>]
vl =h[[1]][[2]][12]]
InterpolatingFunction|[0,,10,),<>]
ParametricPlot[lu tt],vit), /4,0,10]]
23
238 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Figura6.19
NDSolvel(
x'[t]==ylt],
yº'[t]==-x[t]-0.5((x[tD”2 -Dyrt],
x[0]==1,
y[0]==
bo
(x,y),(t,0,10H
((x—>InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>],
y —>InterpolatingFunction|(0.,10.),<>]
k=%
[x —>InterpolatingFunction|/(0.,10.),<>],
y —>InterpolatingFunctionl(0.,10.:,<>]
k[[1])[1] [027]
InterpolatingFunction/(0.,10.),<>!
uZ=%
InterpolatingFunction[(0.,10.)<>]
k[ 22]
InterpolatingFunction/(0.,10.),<>]
v2=%
Seção6.4 Usandoo SoftwareMathematica 23
InterpolatingFunction/(0.,10.:,<>]
ParametricPlotu2[t], v2[t]!,(t,0,10H
Figura6.20
Podemos representar graficamente asduas soluções simultâne-
amente no plano de fase
ParametricPlot[[(ul[t],v1[t]),(u2[t],v2[t])),
(t,0,10)]
Vemos que a solução periódica possui condição inicial xopróximo]
de 2. Vamosresolver para Xy = 2.
NDSolvel(
wIt]==yltJ,
vt] ==«x[t]-0.5(Gx[t]"2 «Dyftl,
x[0]==2,
240 SistemasAutônomosnoPlano Capé
y[0]==
b
(x,y), ft, 0,10]]
[x —>InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>],
y —>InterpolatingFunction|(0.,10.),<>])
1=%
([x —>InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>],
y —>InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>]H
u3=1[1]][[1]][127]
InterpolatingFunctionl(0.,10.),<>]
v3=I[[1]][[2]][12]]
InterpolatingFunction|(0.,10.),<>]
ParametricPlotal(u3[t],v3[t]),(t,0,10]]
Vamos analisar numericamente essegráfico nas vizinhanças do
ponto(2,0), Plotamoso gráficodevs(t)
Plot[v3[t], (4,0, 10]]
Beção6.4 Usandoo SoftwareMathematica 241
Figura6.23
O gráficode vs3(t)corta o eixo t para t próximo de 6. Vamos
ampliar essaregião considerandoo gráfico somentepara 6.2<t<6.4
Plot[v83[t],(t,6.2,6.4]]
0.4
0.3
0.2|
0.1|
6.95 6.3 6.35 SG4
Figura6.24
A seguirvamoscalculara raiz dev3(t) commaiorprecisão,eo
pontoemquea solução(us(t), v3(t)) volta a cruzar o eixo-u. Para
isso construímos uma lista com valores entre 6.35 e 6.4 e calculamos
os valores de us(t) e vs/t) nos valores da lista.
Table[6.35+0.01n, (n, 0,5]]
16.35,6.36,6.37,6.38,6.397,64)
g=9%
16.35,6.36,6.37,6.38,6.39,64)]
vg]
242 SistemasAutônomosnoPlano Cap.€
(0.0596495,0.0388912,0.0184385,—0.00171059,
—0.0215587,—0.0411083)
u3lg]
(2.00153, 2.00202, 2.00231, 2.00239, 2.00227, 2.00196)
temos portanto que v3(t) corta o eixo para t entre 6.37 e 6.38 e a
solução(us3(t),v3(t)) cortao eixo-upróximoa 2.00239.
Ao leitor interessado em obter informações gerais sobre o sof
tware Mathematica, sugerimos o livro: T.W. Gray e J. Glynn, “The
Beginner's Guide to Mathematica”, Version 2, Addison-Wesley Publ
Co. (1992).
6.5. Exercícios
1. Localizeeclassifiqueospontosdeequilíbriodosseguintessistemas
Esboceo plano defaseemtorno dospontosdeequilíbrio.
(Xx=x—5 (X=-(4 THOM (a)4ET(U=X—U U=2x—4%y
=-4x42 k=%-adE todPOROD
U=35x—2Zy U=x+Hy—Zxy
[ =x — X= ge”(od* E of, airU=Xx+Y y=1—x
2. Acheuma integral primeira para o sistema(a)acima,isto é,deter
mineumafunçãoV(x,uy)tal queassoluçõesdosistema(a)“moram
nascurvasdeníveisdeV, V(x(t),u(t)) = c, Vt. (Sugestão:Procure
V da forma: V(x,y) = ax? + bxy + cy?).
3. Transforme a equaçãodo osciladorharmônico
mx + ux+ kx =0
num sistemano planode fases (x,y), e estudeos tipos de singular
dadesque ocorrem,conectando-ascomas noçõesde amortecimento
forte, crítico e oscilatório,
Seção6.5 Exercícios 243
4. O sistema
= AMU
dg sã v?
é conhecidocomosela do macaco. Mostre que V(x,y) = XX—3xy?
é umaintegralprimeirapara o sistemae esboceo planodefaseem
tornoda origem.
5. Compareosplanosdefasedossistemas
e ) 2U=-—x U=—x".
' otm ambos temos Ras.
6. Se f,g:Rº? > Rº, declasseC!, sãotais que
(f(x), g(x) =0 VxeR?
ex = f(x) temumaórbitafechada,mostrequeg temum zero.
t. Mostre queas equaçõesabaixotêm soluçãoperiódica
(o) di-(l- ui =Ô
(b) u+(u?-2Mutu+senu=0
8. Mostrequeo sistemaabaixotemumasoluçãoperiódica:
x=uytxixX+y—-9) y=-x+ylx+y?—9).
(Nestecaso,pode-seresolverexplicitamenteo sistemae determinar
essasolução;use coordenadaspolares).
4. Mostre queo sistema
R=>y+xtt/rg=x+ytt/r(B=02+92)
temsoluçõesperiódicas,correspondendoaoszerosde f(r). Determino
essassoluçõesnoscasosabaixoe discuta a estabilidadedoscielos:(4)
tr) = (r= Nro Nr=-3 GD flv) = (r=4) [1º = 8r 415)
244 SistemasAutônomosnoPlano Cap.&
10. Determine regiõesonde os sistemas abaixo não têm soluções
periódicas
o Vo 2x —xy"+y”
U= +y+y” =x) +y—yx
6.6. Aplicações
6.6.1 O Pêndulo
À equaçãoque representao problemadas oscilaçõesde um pêndulo
simpleslivresemamortecimento,deduzidanasecção4.5,éaseguinte
m£ô+mg sen6=0, (6.20)
ondem é a massafixadana extremidadeinferior do fio de compri
mentoº, e Oé a coordenadaangularcontadaa partir daverticalno
sentidoanti-horário, comoindica a figura a seguir:
R caio
x>
9mgsen 0 T
a
mgcos6
mgvy
Figura6.25
À equação(6.28)nãoé linear. Se,porum lado,essefatodificultu
a resoluçãoda equação,por outro, foi um notávelestímulopara ode
senvolvimentodetécnicasnãolineares,comoveremosnestecapítulo
Uma linearizaçãoda equação(6.28)podeser conseguida,submti
tuindo-sesenOpor O,o quenecesssariamenterestringe sua aplicahi
lidadeaocasodepequenasoscilaçõesO.A equação(6.28)setorna
0+50=0, (6.920)
Beção6.6 Aplicações 245
queé,entãoum modelomatemáticopara representaro fenômenodas
pequenasoscilaçõesdopêndulo.A equação(6.29)édotipodooscilador
harmônicosimplesestudadona secção4.5. Sua soluçãoé:
9(t) = À cos(wt—db), (6.30)
equediz queasoscilaçõessãoperiódicasdeamplitudeA efregiiência
circularw = ,/9/t. [Afregiiênciacircular éumaexpressãobastante
usadaerepresentaonúmerodeoscilaçõesem271unidadesdetempo;
lembreque a fregiência, comovimos na secção4.5, é o número de
vscilaçõespor unidade de tempo,a qual seria pois w/271]. Assim o
períododasoscilaçõesé
lT= mé ; (6.31)
mostrandoqueo períodoé o mesmo,qualquerquesejaa amplitude.
Esse fato é conhecidocomoa lei do isocronismodas pequenasos-
vilações,supostamentedescobertapor Galileu observandoas oscila-
(0esdos lustres da catedraldePisa... A fórmula (6.31)nos diz queo
pênduloquebateo segundo,isto é, aquelecujoperíodoé 2 segundos,
temcomprimentoaproximadamenteiguala 1metro.
À linearizaçãoimpostaà equação(6.28)é muito forte. Seria de-
sejáveltratar o problemaemsua forma nãolinear original, possibili-
tandoo estudodegrandesoscilaçõese atémesmoo casodepêndulos
realizandorotaçõescompletasemtornodopontodesuspensão0. E
issoé o quefaremosa seguir.começandoemi) abaixocomo estudo
dasoscilaçõesdopêndulonoplanodefaseseprosseguindoem11)com
9estudodoperíododo pêndulopara grandesoscilações.
|) O estudo das oscilações do pêndulo no plano de fases. Mostrare-
mos,inicialmente, que o estudoda equação(6.28)do movimentodo
pêndulo,queagoraescrevemoscomo:
d+ w? senO =0 (6.32)
podeser reduzidoà consideraçãode uma equaçãodiferencial de 1º
ordem: equação(6.34)abaixo. De fato, multiplicando-sea equação
246 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
(6.32)por Oobtemos:
O | Ea d2 o À Mendo Bo q:00+ w“(sen0)0 =0 > 3 qu68) W a “08O 0, (6.98)
deondese segue
Ja-02(t)—w?cos0(t)=c. (6.94)2
ondea constantec podeser obtida a partir de valores de O e O em
umdadoinstanteto. Temos,assim,quetodasolução0(t) de(6.34)
é tambémsoluçãode(6.34),comc escolhidoadequadamente.A re
cíprocaé quaseverdadeira: se O(t) for soluçãode (6.34),então,poi
derivação,obtemosa equaçãoem (6.33),a qual implica que O(t) e
soluçãode(6.32)ouO= O.Nesteúltimocaso,segue-seque0(t)
0, = constante,a qual só será soluçãode (6.32)casoO, = ky7r,k
0,+1,.... Observe, entretanto, que para qualquer constante
94, 0(t) — 04é soluçãode (6.34)comc = —w? cos01. Conclusão
as soluçõesnão constantesde (6.32)e (6.34)são as mesmas,e, como
já sabemosqueasúnicassoluçõesconstantesde(6.32)são0(t) = km,
k = 0,+1,..., o nossoestudode(6.32)sereduzaoestudode(6.94)
As soluçõesconstantescorrespondemao pênduloparado. Quando|
é par,o pênduloestáparadoemsua posiçãomais baixa,essaposição
é estável.Quandok é ímpar,o pênduloestáparadoemsuaposição
mais alta e essaposiçãoé instável.
Um parêntesis: A equação(6.34) tem um significado físico. Eco
lhendoopotencialmgy, ondey éa ordenadadamassam, temosque
a energiado movimentoé
]Es 5mu 92—mgt cos0,
e assima equação(6.34)expressaa lei da conservaçãoda energia,
No planodefases(0,v), a equação(6.32)setransformanosis
tema
=
) (6.46)V w* sendb,
Seção6.6 Aplicações 247
e portanto,a equação(6.34)setorna
La —w? cos0=c. (6.36)2
À primeiraequaçãoem(6.35)seráimportanteparadar o sentidoem
quea curvaépercorridaquandot varia.
Observemos, inicialmente, que a constante c não pode ser ar-
bitrária. De fato,segue-sede(6.36)quec > —w?,poisdeoutromodo:
svi<w? cosO —w? — w?(cos O—1)<0
vqueimplicav = 0eO= ky7,quesãoassoluçõesconstantesde(6.32)
já conhecidas.
Se —-w?< c< w”, então,segue-sede (6.36)que
c—w? cosb<c > cos0>— e a —7W
mostrandoque,para cadacurvasoluçãode(6.36),Ovaria num inter-
valo
Zkr —Do<0<2kr + do O<0o= arecos(—=3) LM,
Observandoque,nospontosextremosO= 2km+ 09, a equação(6.36)
implicav = 0,concluímosque,nestecaso,ascurvassoluçõesde(6.36)
shofechadas,tendoo aspectode elípses. Fisicamente,isso corres-
pondeàoscilaçãodopênduloemtornodaposiçãodeequilíbrioestável;
4fenômenopoderiacomeçarcomodeslocamentodopênduloparauma
posiçãoO,0O<O< 7, e aí serabandonado.
Se w? < c, então,segue-sede (6.36)quev nunca se anula, pois
wº cos +c>-—-w? + w? = 0. Logo (6.36)representaduas curvas
limitadas
v(9)=+/2(w?cos9+c)
definidaspara -o0o< 0 < oo. Fisicamente,issocorresponderiaa um
movimentode rotação da massa em torno do ponto de suspensão,à
fenômenopoderiaser originadopor uma grandevelocidadeinicial
248 SistemasAutônomosnoPlano Cap.é
Finalmente, se c = w”?,então (6.36)nos dá
v2 — 4w? cos?:
que defineduas curvasdo tipo senóide,chamadasseparatrizese in
dicadasna figura 6.26comum traço mais forte. Observeque essas
curvaspassamatravésdas soluçõesconstantesO= (2k + 1)7, o que
é uma indicaçãode que a curva inteira não é soluçãode (6.32). (Po
quê?).De fato,mostraremosa seguirque
(0) = 240cos 5 —n<0<a
defineumasoluçãode(6.32)paratodot. [Umargumentosemelhante
é válidopara outrosintervalos(2k — l)jx < 6 < (2k+ 1)7, e para
v(9) = —2w cos5]. Para ver isso, basta observar que, sendoO
2w cos(0/2),otemponecessárioparaa massam ir daposiçãoO=U
à posiçãoO= 7 é
Tr do 1 T/2
/ ot = | secOdO = +oo.
o 2Wcos 5 QU Jo
11)O períododopêndulonasgrandesoscilações.Suponhamosquenº
instantet = Oo pênduloédeslocadodeumângulo065,—-x<09< 0
eaí é abandonado,começandoassimomovimento.Logo9(0) = Og
9(0) = O,e consequentementea constantec = —w? cos0o. Assim.
(6.34)se escrevecomo
02 ==2w“(cos O —cos0) (6.97)
Beção6.6 Aplicações 249
de onde podemosconcluir o seguinte: a) cos0>zcos0o,ou seja
Do<0<—00, Db)quando0 = —0,, entãoO= 0, c) omovimentodo
pênduloéperiódicocomamplitude|909|.A equação(6.37)éseparável
“ podeser escrita como
do
V2(cos8 —cosDo)
aqualéválidaenquantoÔfor > 0, isto é,para00< O< —B,. Logo,
integrando(6.37) obtemos
0
/ ia = pt. (6.38)
o «/2(cos8 —cosDo)
À expressãono 1º membrode (6.38)é uma integral elíptica. Vamos
levá-la a uma forma mais conhecida. Inicialmente usamos a identi-
dade
8 9cos8 —cosdo —2 sen? Y —sen?5)
ea seguir,introduzindo a variável definidapor
0 0sen(b sen= = 805) —T<6<5 o
obtemosa partir de (6.38):
b
/ o = UA, k = |sendo (6.39)
0 V | —-k2sen?| 2
À função
bp dd
Elk,d)=/ (6.40)0 V 1—-k2sen?&
échamadaa integral elípticade 1º ordem(formadeLegendre).Para
calcularo períododopêndulo,usamos(6.39)comt = 1/4e b = 7/2:
T/2T=5) pisa. (6.41)
wWlo vVI-k2sen?b
À integralem(6.39)nãopodeserescritaemtermosdefunçõeselemen-
tares[cf.parteHijabaixo],maspodemoscalculá-laaproximadamente,
250 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
usando o desenvolvimento binomial:
] ] JadpoirgE sen?p + —k sen?p+2VI —kêsen?o 1 ds (6.49)
Fa 6kº senºp+..
Logo,para obterT integramosa sériedepotênciasem(6.42):
air on/1V. [Ps pitaT=2l2+2(3) A+T(za)Kires) E oa
e daí
El AV TIE Pra
= sen O),
(6.44)
queé a expressãocorretapara o períododo pêndulo,mostrandosun
dependênciada amplitude. Vemos, pois, que mesmopara peque
nas oscilações,o isocronismoé apenasaproximado: compare(6.31)
e (6.43).Assim, a expressão
f ] 2 00
T= mé ' + 4 sen 2] (6.44)
é uma melhor aproximaçãoque (6.31);o erro percentualentre toma!
(6.31)ou (6.44)é
I=tg 1 2 00 t=> — To = 274| -TA 3 sen? 7º onde o je.
que,para Oo= 2º, dá 0,000076147.Esse erroédesprezívelnas medi
dascorrentes,massetornaimportantenasmedidasdeprecisão,como
na determinaçãode g. Um tal erro acumuladono decorrerde 1din
= 86400segundosdá 6,58segundos,que é um atrazo inadimissivel
para um bom(D...
Wi) Integrais e funções elípticas. O leitor que viu a função (6.40)
pelaprimeira vezdeveter se perguntadopor quea chamamelíptica
Seção6.6 Aplicações 251
Para satisfazeressacuriosidadevamoscontarum pequenotrechode
HistóriadeMatemática.Integraisdotipo(6.40)apareceramdurante
o séculoXVIII em problemasde determinaçãodo comprimentode .
algumascurvas. Em particular, no problemaderetificaçãoda elípse,
lretificarumacurvasignificaessencialmenteacharseucomprimento],
daí o nomequeessasintegrais receberam.Vejamosqual é a integral
queobtemosno casoda retificaçãoda elípse:
x=a sen6 y=-b cos0, 0O<0<27, a>b.
CANANa
Figura6.27
O vetor tangenteà elípseemcadapontoé
t(0) — (acos0,bsen0)
cujomóduloé
rE6)| = Va? cos20+b2sen20= Va? —(a2—b2)sen20,
edaí,lembrandoque(a?—b?)/a? = e?,ondeeéa excentricidadeda
elípse,obtemos
t(0)| = av —e2sen26.
Logo,o comprimentodearcoda elípseentre O—De Oé
O 9
/ It(0)|dO= a[ V1 —e2sen26do,
O O
edaí, o comprimentoda elípseé
252 SistemasAutônomosnoPlano Cap+
A integral 4
E(k,b) = [ V1 —k2sen?pdá (6.40
O
é chamadaintegralelíptica de 2º ordem(formadeLegendre).
Integrais dotipo (6.40)e (6.45)forammuito estudadasdurante+
séculoXVIII, particularmentepor Legendre. Entretanto, os resulta
dosmaisprofundosforamconseguidosporAbel eJacobi, nocomeçod'
séculoXIX. Antes de explicar o que essesdois grandesmatemálivm
fizeram, vamos escrever (6.40) e (6.45)na chamada forma de Jacoli
usandoa mudançadevariável sen Pp= x; assim (6.40)setorna
(6,40- | dx
db V(1—x2)(1—k2x2)
queéconhecidacomointegralelípticade1ºordemnaformadeJaco
e (6.45)setorna
1—kHeê
1(k,x) - | a dx (6.40A1-sg
conhecidacomointegral elíptica de2º ordemna forma de Jacobi.&
constanteO < k < 1 é 0 móduloda integral elíptica. Quandow
limitesdeintegraçãosão& = 7/2 ex = 1,dizemosqueas integra
sãocompletas.
Abel fez a seguinteobservação:nocasoextremok = 0,ambasnº
integraiselípticasem(6.45)e (6.46)setornam
* dx .— = arcsenx,
0 1—x2
eoestudodafunçãoinversaarco-senoébastantefacilitadopelacom
sideraçãoda funçãoseno.Assim, ele sepropôsa estudaras inversa»
de Fj e E,. Introduz-se a função
pp= amu
queédefinidapor
p A"
do 1 -k?sen* |
À seguirsedefinemasfunçõeselípticas:
snu =sen(amu),
cnu = cos(amu),
dnu=V1-k2sniu.
I'ma série de propriedadesdas funçõeselípticas decorre imediata-
menteda definição. E o mais fascinante é que as funçõeselípticas
tomo seu“7”. Observeque
= dx
2 o VI —x?
sque27 é o períododo senoe do cosseno.Agora, seja
dx
na / 01-51—kK%2?)
intão, pode-seprovar quesnu ecnu sãofunçõesperiódicasdeperío-
do4K. Abelnão ficouaí. A teoriadasfunçõescomplexasnaquelaépoca
tomavaforma nas mãos de Cauchy. Assim, informado da teoria de
Unuchy,eleestendeusnu ecnu paravalorescomplexosdeu eprovou
queelas eram funçõesmeromorfasduplamenteperiódicas. Vários
dosresultadosdeAbel foramobtidosindependentementepor Jacobi.
Na segundametadedo séculoXIX, Weierstrass e Hermite fizeram
rontribuiçõesmarcantesà teoriadas funçõeselípticas.A teoriadas
funçõeselípticas ocupahoje um lugar de destaqueem Matemática,
»constitueum belo exemplode uma teoria quesurgiu de problemas
práticos. Em virtude de suas aplicações,as funçõeselípticas estão
inbeladasparaváriosvaloresdek edex. Cf.,porexemplo,E. Jahnke,
|. Emde,F. Lósch, “Tablesof Higher Functions”,McGraw Hill Book
Vompany,New York (1960).
As funçõeselípticas aparecemem outros problemasaplicados,
romopor exemplo,emfenômenosdecapilaridade,emproblemasde
freiosmecânicos,no problemada forma da cordade saltar e no pro-
blemadaelástica(acurvaassumidaporumestruturaretilínea sujeita
4 forçascompressivas).Ao leitor interessado,recomendamoso livro
deH.W.ReddickeF.H.Miller,“AdvancedMathematicsforEngineers”,
John Wiley & Sons, New York (1960).
259
254 SistemasAutônomosnoPlano Cap+
iv) Pêndulo livre com amortecimento. À equaçãodiferencial para«
movimento do pêndulo simples com amortecimento e sem a açãod
forçasexternasé:
à+uô+w?send=0, (6.41
ondesupomosaforçaresistivaproporcionalàvelocidade.Pode-setra
tar demodoanálogoocasodeforçaresistivaproporcionalaoquadrnd:
da velocidade.A equação(6.47)é equivalenteaosistemano planod:
fases:
o (6.40v=-—uv— wº sen0.
As singularidadesde (6.48)são (kr,,0), k = 0,+1,+2,.... Vamu
determinara naturezadessassingularidades.Primeiramente,con!
deremosa origem;o sistemalinear correspondentea (6.48)é
E=Y%
vV=-w"0 —pv.
Osvaloresprópriossãodadospor
A =0 6 M+y4wê=0—w? e e u ,
cujodiscriminanteé
A = yu—4w.
Assim teremos:
(1) Seu > 2w, osvaloresprópriossãoreais, distintose negativos
o queimplica quea origemé um pontonodal estávelpara o sistem
linear (6.49)e, consequentemente,para o sistema não linear (6 4h
também.
(ii) Set = 2w,os valoresprópriossãoreaisnegativoseiguais. Lp
a origemé um pontonodalpara o sistemalinear (6.49).E nestecnmu
podemosapenasafirmar que a origemé um ponto nodal ou espia!
para o sistemanãolinear (6.48).
(ii) Seg < 2w, os valores próprios são complexoscom parte rea!
negativa. Logo,a origemé um pontoespiral para ambosos sistem»
(6.49)e (6.45),
Beção6.6 Aplicações 25!
Paraestudaras outras singularidades,desenvolvemossenOemsérie
deTaylor na vizinhança de
kr: senO= (—1)*(0—kr) + f(0)
ondef(0) —o(0 —kr). Logo(6.48)seescrevecomo
Ô=v
v=—w*(—)*(O —kr) —uv+T(0)
odaíosvaloresprópriossãodadospor
—A ] o 2 e o“E -A-s =0 6 NM++(-1)'wé=0,
cujodiscriminante é
A=u-4(—)* w?.
Logo,sek for ímpar,odiscriminanteé > O,oqueimplicaqueosdois
nuto-valoressão reais e com sinais diferentes,e teremosentãoque
(kr,0) épontodesela. Sek for par,o pontosingular(k7z,0)temo
mesmotipoque(0,0).
Vamosdescrevero espaçode configuraçõesno casode u < 2w. Su-
ponhaqueomovimentoseinicia emO= Ocomumacertavelocidade
vi > 0. (a) Se essa velocidadev; não for muito grande, o pêndulo
sobeaté uma certaamplitude01, ondea velocidadeé zero. Aí ele
regressa,vindoatéumaamplitude02 (|92]< 01),ondeavelocidade
ézero.E assimtemosum movimentooscilatórioamortecido.(b)Se o
pêndulopartir de A comvelocidadeinicial vz grande,o pêndulosobe
eaopassarpela posiçãomais alta (B) ainda temvelocidadepositiva.
Assim,o pêndulovematéa posiçãoO = 271,ondechegacomveloci-
dadepositiva. Caso esta última velocidadeseja grande, repete-seo
fenômeno;casoseja pequenateremosa situaçãodescritaem(a). (c)
O quedelimita“velocidadegrande”de“velocidadepequena”éa velo-
cidadecrítica vc, assimdefinida: casoaopênduloseja impressaessa
velocidadena posiçãomais baixa, ele seaproximará assintoticamente
(1,e.,quando | +009)da posiçãomais alta semnunca a atingir.
256 SistemasAutônomosnoPlano Cap.é
+Uy
dn E" da
—+2 b »
q Y 1 sx
a A z 1 Ts 19 a—2K =, O 9 T Xa a -
w = a
Pêndulo com Amortecimento
Figura6.28
v) Sistemas hamiltonianos com um grau de liberdade. Ao estudar
movimentodo pêndulolivre semamortecimento,equação(6.28)ou1
sistema(6.35),a expressão(6.36)
1
—vº — q? cos OZ
desempenhouum papelmuito importante.Essa expressão(6.36),que
designamospor H(0,v), chama-sehamiltonianado sistema(6.4)
Observeque (6.35)podese escrevercomo
0=H, v=-He, (6.50)
queé um sistemahamiltoniano comum grau de liberdade.Sistemas
hamiltonianoscommaisgraus de liberdadeaparecemna formulação
lagrangianada MecânicaClássica.
Vamos generalizar, ligeiramente, a situação acima. Dado um
sistemaautonômo
de= fi) U = q(%, 1), (6.51)
umafunçãoH:R? > R declasseC! éumaintegralprimeira de(6.51)
seas órbitasde (6.51)sãocurvasdenível de H : H(x,y) = c. Um
ponto (x,1/] é crítico para H se
HE+H$=0,
Beção6.6 Aplicações
Pelo teorema das funções implícitas, as curvas, definidas por
Hix,y) = c nos pontos não críticos, são regulares e, consequen-
temente,soluçõesdosistema(6.51).Observequeumacurvadenível
deH podeconterváriasórbitas,secontiverpontoscríticos.
Um sistema (6.51) é exato se
fx+gy=0. (6.52)
Proposição. Todosistemaexatotemuma integralprimeira H coma
propriedade
|Nestecaso,a integral H chama-sea hamiltoniana do sistema].
Demonstração:A expressão(6.52)diz queo campovetorial (—g,f)
é fechado. Logo pela Proposição 3.15 da secção3.3, esse campoé
gradiente;sejaH(x,y) seupotencial.Então,temos(6.53).
6.6.2 O Modelo Predador-Presa de Volterra para a Dinâmica de
DuasPopulações
Sejamx(t) a populaçãodepresasey(t) a populaçãodepredadores.
Suponha que os meios de subsistênciapara as presas são ilimita-
dose queseucrescimentonãoteria nenhumfator inibidor,nãofosse
a presençadospredadores.Logo, casonãohouvessepredadores,a
populaçãodepresascresceriadeacordocoma lei decrescimentoexpo-
nencialx = ax, ondea > Oé uma constante.Entretanto, a presença
dospredadoresafetaessecrescimento:supõe-sequea taxadecres-
cimentoda populaçãox diminue linearmentequandoa populaçãoy
numenta. Assim, temos
x = (a-—by)x, (6.54)
onde b > Oé uma constante.
Por outro lado, supomosque os predadoresse alimentam exclusiva-
mentedas presas,e que sem elas, a espéciedesapareceria. Então,
sempresas,a população1 decresceriade acordocoma lei exponen-
cial 1 = —cy,onde c > O é uma constante. Entretanto, a presença
de presasmodificaessasituação:supõe-sequea taxa decrescimento
da populaçãoy aumente linearmente quandoa populaçãox aumenta,
258 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Assim temos
y =(-c+ dx)y, (6.55)
onde d > Oé uma constante.
Podemosjustificar a introdução dos termos —bxy e +dxy nas
equaçõesde crescimentodas populaçõesx e Y do seguintemodo. O
númerode encontrosentre indivíduos das duas espéciesnum inter-
valo unitário de tempoé proporcionala xy: digamosquesejaigual
a «xy. Esses encontrosresultam negativospara as presas;digamos
que a populaçãox diminue de 2; membrospara cada n encontros.
Logo,a populaçãox diminuede
Bi" axy = bxy
membrospor unidade de tempo. De modoanálogo,essesencontros
resultam benéficospara os predadores;digamosque a população1
aumentade [22membrospara cadan encontros.Logo,a população1
aumentade
B2"da =dE XXU xy
membrospor unidadede tempo. O coeficienteb mede a suscepli
bilidade da espéciex às açõespredatórias,e o coeficiented medea
habilidadepredatóriada espécieuy.
Vamosestudar as soluções(órbitas)de (6.54)-(6.55)no plano
(x,y). Inicialmente vemos que há duas singularidades: (0,0) «
(c/d,a/b). Essespontossãoaspopulaçõesdeequilíbrio. E o campo
vetorialdadopelossegundosmembrosdasequaçõestemo aspectodn
figura abaixo
yt gi
<
< A |
a/b TJPI4S
| Y cs
w —»
>
- ”c/d X
Figura 6.29
Seção6.6 Aplicações 259
Para determinaranaturezadessassingularidades,utilizemosas
aproximaçõeslineares.No casode (0,0), o sistemalinear correspon-
denteé
= (IX YU= —cy
oquemostraquea origeméumpontodesela.Para a outrasingula-
ridade,fazemosa mudançadevariáveis
U=X c V=UYU-
e obtemos o sistema
u=p(u+O) v=a(v+8)u
cujaparte linear é
be adLU=-—v V=—uU. (6.56d b
Segue-sepois,que (c/d,a/b) é um centropara o sistemalinear,e
consequentementeseria um centro ou um ponto espiral para o sis-
temanão linear. Mostraremosmais abaixoquesetrata realmentede
um centro. As equações(6.56)podemser integradase conduzemàs
expressões
ad?u?+b2cv*= kº
quesãoelípsescomcentroem(c/d, a/b). Portanto,emumaprimeira
aproximação,as órbitas de (6.54)-(6.55)têm a forma de elípsesna
vizinhançadopontosingular (c/d,a/b).
Para obter as órbitas do sistema (6.54)-(6.55),vamos escrevê-lo
naforma deuma equaçãoseparávelno plano (x,y):
E ta ET
y x
a qual podeser integrada imediatamente
altny —by = —cênx+ dx + tn K
ou seja
yte PU = Kx Cedx (6.57)
260 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
ondea constanteK podeserobtidaemfunçãodedadosiniciais Xo,Vo:
K =yox£e"Ure, (6.58)
Nem vy,nem x podemser explicitadosemtermosde funçõeselemen-
taresna equação(6.57).Para seterumaidéiadacurvarepresentada
por(6.57),vamosusarummétodográficodevidoaVolterra.Seguimos
a apresentaçãodeG.F.Simmons.Introduzimosduasnovasvariáveis
z=y"e "ls p=kx elx (6.59)
e traçamosseusgráficosnos quadrantes(y,Z) e (x,w) da figura
abaixo.
z 1ºAs. a
E ac
id aÊ jaa
/ »/ N
N - a
As RE ETTA ja U
" Ea
a a
à / N
LB; B; >Baq+0 0
Figura6.30
Fazemos as seguintes observações:
(1) A funçãoztemummáximono pontoy = a/be aí Zmaz= (a/be)"
(1) A função w tem um mínimo no ponto x = c/d e aí Win
K(de/c)º.
(Wi) Afirmamos que Win “Zmax- De fato, usando (6.58)obtemos
dxoE o dn =-b
WUminSKXo Ç o Uoe EMC as
(iv) Se a órbita é diferenteda soluçãode equilíbrio, uma das des
gualdades acima é estrita.
Seção6.6 Aplicações 261
À seguinteconstruçãográfica mostra que a órbita é uma curva
fechada:
(1) ChamemosdeWa curvaw(x), Zacurvaz(y)eLareta bissetriz
doquadrante(Z,w), istoé,ográficoda funçãoZ= w.
(1i) PelopontoA; da curvaW traçamosumaparalelaaosemi-eixo
x até encontrar a reta L, em As. Daí uma paralela ao semi-eixoy
atéencontrara curvaZ emdoispontosAs e Ag. Às retasparalelas
aosemi-eixox passandopor As e Aq interseccionama reta passando
por Ay e paralela ao semi-eixoy emdois pontosO; e Q». Esses dois
pontossãoospontosextremosda órbitana direçãouy.
(ui) Pelo pontoB; da curvaZ traçamosumaparalela aosemi-eixoU
atéencontrara reta L, emB>. Daí umaparalelaaosemi-eixox até
encontrar a curva W em dois pontos Bs e Bá. As retas paralelas ao
semi-eixoy passandopor B3e Bginterseccionama reta passandopor
B1e paralela ao semi-eixox em dois pontos P;,e P>. Esses pontossão
osextremosda órbita na direçãox.
(iv) Para obter outros pontos da órbita, começamoscom qualquer
pontoCj na reta L entre Az e Bs, e procedendocomoem (ii) ou (iii)
obtemosquatro pontosda órbita.
Conclusão. As populaçõesdepredadorese presasoscilamperiodica-
mente. Observe que a curva não é necessariamentesimétrica com
relaçãoao eixo x = c/d ou ao eixoy = a/b. Assim o espaçode
configuraçõestem o aspectoindicadona figura abaixo
y *v
Figura6.31
262 SistemasAutônomosnoPlano Cap.6
Períodos dos ciclos. Vamosobter essesperíodospara situaçõesde
pequenasflutuaçõesem torno da singularidade(c/d,a/b). Como
vimos acima,os ciclossãoaproximadamenteelípses. Vamos,porém,
escrevê-lasemcoordenadasparamétricas.As equações(6.56)nosdão:
úit+tacu=0 e vV+Hacv=0,
quesãoequaçõesdotipo doosciladorharmônicoestudadasna secção
4.5. Logo,a soluçãoda primeira equaçãopodeser expressacomo
u(t) = Lcos(vVact+«) (6.60)
onde L e x são constantes. Daí:
vit) = Lsen(Vact+ «). (6.61)
Logo, o período independeda amplitude L (desdeque ela não sejn
“orande”)e é igual a
27
ac
que é a lei do isocronismodas pequenasflutuações. Comose vê à
períododependeapenasdastaxasdecrescimentodaspopulações.In
troduzimos,agora,a noçãode meia-vidade uma espécie,cujocresci
mentoé regidopela lei exponencial.Suponhaqueas populaçõesx(t)
e y(t) sãodadaspor
+ (6.62)
x(t)=xoe'! e vy(t)=vyoe“+.
lntão, as meias-vidas ty e tz são definidas como as soluções das
equações
2xo=x0e"" e yo/2=uyoe**
ou seja
tn 2 tn2
(4 - 6 t=—;
q C
Portanto,o período | dociclopodeser dadapela expressão
inv tt»| vt * = 9 06vtto.
nd
Seção6.6 Aplicações 265
Populações Médias. As equações(6.54)e (6.55)podemser escritas
nas formasabaixo
d dagTX) a— by ar! ny) c + dx
Integrandoessasequaçõesentredoisvaloresdet, t' et”, obtemos
H 17
pn ) = a(t” —t”)— ) u(t) dt,
tx(t”) ;
7 q”
ni ——e(t”—t) + a x(t) dt.
t'
Set” —t/ = T obtemos:
] / a 1! c- | yltdt=> |, x(t)dt=E. (6.63)
s O b T 0 d
As expressõesnos primeiros membrosde (6.63)são as populações
médiasdecadaespécie.Interpretemos(6.63).
Inicialmente,temosa lei deconservaçãodaspopulaçõesmédias:essas
populaçõesmédiaspermanecemconstantesseoscoeficientesdecres-
cimentoa das presas,de declínio c dos predadores,de defesab das
presase deagressãod dospredadorespermanecemconstantes.A se-
guir, analisemoso problemadeperturbaçõesdaspopulaçõesmédias.
As expressões(6.63)nosdizemque,mantidosconstantesoscoeficien-
tes b e d, uma destruiçãouniformede membrosdas duas espécies
beneficiaas presas. De fato, destruir predadoressignifica aumentar
c e destruir presassignificadiminuir a.
OsresultadosqueacabamosdedescreversãodevidosaVolterrae
foramdesenvolvidospara explicarum fenômenoobservadopor D'An-
cona,relativo à percentagemdepeixesdevárias espéciescapturados
noAdriático, durantee apósa primeira guerramundial. O fatoobser-
vadoera quea percentagemdepeixespredadoreshavia aumentado
duranteaguerra. A explicaçãofoidadaporVolterra,comoargumento
dequea diminuiçãoda pescano períododa guerratinha necessaria-
menteque beneficiaros predadores,no sentido de que a população
médiadestescresceriamais rapidamentequea populaçãomédiadas
presas.
264 SistemasAutônomosno Plano
Um problemasemelhanteocorreno uso de inseticidas,que ma-
tam indiscriminadamenteinsetospredadorese insetospresas;e se
são estesque causamdanos às plantações,o uso do inseticida pode
ser negativo.
7
Sistemas
de EquaçõesDiferenciais
SejamO um abertodeR”, J um intervalodeR e
f]x0O>5R”
umafunçãocontínua.Designemospor f;(t,x),j = 1,...,n, ascoor-
denadasdef(t,x), istoé,
Tt, x) = (Tilt,x)so.e ofnltyxd),
ondex = (x1,...,Xn) € R”. Consideremoso sistema de equações
diferenciais ã
X5 'g=-* >TBita, Jo ltj dt a! ) 5
o qual podeser escritodemodocompactocomo
esPE ml, | (7.1)
Conformevimos no final da secção3.2, temosexistênciae uni-
cidadelocais de soluçãopara (7.1), se supusermosque as derivadas
parciaisdef;(t,x),j = 1,...,n, emrelaçãoàsn últimasvariáveis,
X1,... ,Xn, São contínuas.
Os sistemaslineares que estudaremosa seguir são casosparti-
cularesimportantesde(7.1).
7.1. SistemasLinearesde EquaçõesDiferenciais
A formageral de um sistemade equaçõesdiferenciaislinearesé a
seguinte:
x(t) = A(t)x(t) +b(t) (7.2)
266 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
onde
x1(t) alt) Anít)
x(t) — , A(t) a ,
Xnlt) Anilt) Annlt)
bi(t)
bit) =
bn(t)
A(t) eb(t) estãodefinidosparat nointervalo1= (a, b) ex(t) denota
a derivadaemrelaçãoat dovetorcolunax(t).
Uma funçãox: 1— R” é umasoluçãodosistema(7.2)seelafor
derivável,e satisfizer o sistema. |
Comojá vimosemexemplosanterioresasequaçõeslineares
vt) +anoalt)yDe)+=.+ (ty) +ao(t)ult)=f(t)
podemserconsideradascomocasosparticularesdesistemas.Fazendo
x1(t)=v(t),e
Xi =%a
fa = 43
Xn = —Qn-1Xn—+ —quxz—doxy+ f(t)
obtemosum sistemadeequaçõesdiferenciaislinearesda forma(7.2),
onde
Ô ] Ô Õ 0
O Ô Õ 0
)( Ô 0 ] f(t)
“o O OS? ca —OaA-
A solução desse sistema fornece a solução x(t), cuja primeira
componentex,[t] é a soluçãoda equaçãolinear.
Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais 267
Osproblemasbásicosnoestudodesistemaslinearessãoanálogos
aosjá estudadosnas equaçõeslinearesdeprimeira e segundaordem,
ou seja,obtera soluçãogeral para (7.2)e obtera soluçãodoproblema
devalor inicial
x(t) = Al(t)x(t) +b(t); x(to) = xo€ R”. (7.3)
Vamossupordurantetodoestecapítulo,queas funçõesa;;(t),
1,) = 1,2,...,n1, quecompõemamatrizA(t),easbi(t), 1=1,...;,n,
sãofunçõescontínuasdet numintervalo I. Comessasuposição,temos
existênciaeunicidadedesoluçãopara(7.3),eaindamais,assoluções
estãodefinidasno mesmointervalo I (vejaCapítulo 3).
Quando b(t) = 0, dizemosqueo sistema(7.2)é homogêneo
Hit) = Alt). (7.4)
QuandoA(t) = A, nãodependedet, dizemosqueosistema(7.2)
tem os coeficientesconstantes
x(t) = Ax(t) + b(t). (7.5)
Na próxima subsecçãoestudaremosas propriedadesdos siste-
mas lineares na sua forma geral (7.2). Nas sub-secções7.1.2e 7.1.3
estudaremosos sistemascomcoeficientesconstantes(7.5). Para es-
tesúltimos,podemosdesenvolvertécnicasparaaobtençãodesoluções
explícitas.
7.1.1 Definiçõese propriedades
Estudaremos primeiramente algumas propriedadesimportantes do
sistemahomogêneo(7.4),e em seguida,deduziremosa Fórmula de
Variaçãodas Constantes,queforneceassoluçõesdoproblemadevalor
inicial (7.3).
Teorema7.1.O conjuntodas soluçõesde(7.4)éumsubespaçovetorial
doespaçoC(I, R”), dasfunçõescontínuasdefinidasemI, dedimensão
A.
Demonstração:Já sabemosquetodasas soluçõesde(7.4)estãodefi-
nidasem |, e quea combinaçãolinear desoluçõesésolução,portanto,
o conjunto das soluçõesde (7.4) formam um subespaçovetorial de
268 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
C(I,R”). Resta-nosdemonstrarquesua dimensãoén. Para isto,va-
mos exibir uma base. Seja (e1,... ,en| a base canônica de R”. Para
to € I fixado,considerea soluçãox'(t) de(7.4)tal quex!(to)= ei.
Vamosmostrarque(x'J”, éumabaseparaoconjuntodesoluçõesde
(7.4). De fato,
D (x) c C(I,R?") é um conjuntolinearmenteindependente,o que
decorredofatode(x"(to))serumabasedeR”.
2) (x!) gerao conjuntode soluções,porquesex(t) é umasolução
qualquerde (7.4),temosquex(to) € IR”,eportantopodeserescrito
comocombinaçãolinear da base (e1,... en) do R”, isto é, existem
escalares &x1,... ,&n, tais que
x(to) = «1e1 + --- Qnen.
Portantoassoluçõesx(t) eax! (t) +---+anx"(t), de(7.4)coincidem
no pontot = to. Logo,pela unicidadedesoluçãodevemoster
x(t) = oux!(t) + --- + onx"(t),
comoqueríamos provar. In
Observeque as equaçõeslineares estudadasno Capítulo 2, são
casosparticularesde(7.3)comn = 1.As soluçõesdessasequaçõesfo-
ramobtidasatravésdafórmuladevariaçãodasconstantes,veja(2.8).
Vamosprocedera seguir de maneira análoga. A idéia é generalizar
T(t, to) e mostrar que podemosutilizar aqui as mesmasexpressões
obtidaspara o casouni-dimensional.
Considerea equaçãodiferencialmatricial
X(t) = A(t)X(t) (7.6)
onde X(t) é uma matrizn x n, X(t) designa a matriz cujas entradas
sãoasderivadasdasfunçõesquecompõeX(t). Noladodireitode(7.6)
temosa multiplicaçãodamatrizA(t) pelamatrizX(t).
Observandoa equação(7.6),vemosqueX(t) é uma soluçãoda
mesmase, é somentese, suas colunas são soluçõesdo sistema ho-
mogêneo(74)
Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais ZÉ
Teorema7.2(Abel-Liouville).Se X(t) satisfaz(7.6)e to € 1,então
“tr AlsjddetX(t) —detX(toje”to ' .
ondetr A(s) designaotraçodeA(s), istoé,a somadoselementosda
diagonaldeA(s). Emparticular,detX(t) ouénulopara todot € 1,
ou ésemprediferentedezeropara qualquer t E 1.
A demonstraçãodesseteoremasegueos seguintespassos,cujos
detalhesdeixamosaoleitor.Chamedex !(t),... ,x"(t) ascolunasda
matrizX(t), e
z(t) = detX(t) = det(x!(t),... ,x"(t)).
Então temosque
ae- e” Ps
Ss
*a - on”dáz(t)=det(x!(t),...,x"(t))+---+det(x
Mostreagora,usandoofatoquex!(t) = A(t)x!(t) e aspropriedades
dosdeterminantes,que
de=[tr ALEE
O resultadosesegueresolvendoessaequaçãolinear.
Definição7.1. Se X(t) satisfaz(7.6)e det(X(t) £ 0, entãodizemos
queX(t) éumaMatriz Fundamental.Seaindamais,X(to) = I, onde
I é a matriz identidade,dizemosqueX(t) é a Matriz Principal, queé
designadaporT(t, to).
Exemplo 1. Considerea equação
%X=—w?x
temosquesenw(t—to) ecosw(t—to) sãosoluções.O sistemalinear
correspondenteé
U = —tu?2x
cosw(t —to) à senw(t —to)
e sua Matriz Principal
I(t, ta]
(UU sen m(t e to) cos wl(t do to)
270 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Encerraremosessasecçãocomasseguintesimportantesproprie-
dades:
Propriedade1) i)Se X(t) é uma matriz fundamentale C é uma
matriz constantecomdet €C+ 0,entãoX(t)C tambéméfundamental.
ii) Reciprocamente,seX(t) e Y(t) sãomatrizesfundamentais,então
existeumamatriz constanteC tal queY(t) = X(tJC.
Demonstração:1)SeY(t) = X(t)C, temosquedetY(t) 0 e
Y=XC=A(t)XC = A(t)Y
portantoY(t) ématriz fundamental.
11)MostraremosprimeiramentecomocalcularE (xX(t) 1, temosque
xtyx(t) !=1
para todo t. Portanto, derivando os dois lados, obtemos
dxXx!+xXx (X"")=
quenosfornece
d (X(O) =—Xxx,TX)
Considereagoraa matriz Z(t) = X!Y. Derivando,temos
Z=-X xx Ivy4xy.
ComoX = AX e Y = AY, temossubstituindoque
Z=-XAY+X !AY=0
portantoZ =X"!Y é umamatriz constante. m
Propriedade 2) Se X(t) é uma matriz fundamental,entãoa Matriz
Principal é dadapor
Tt, to)=X(UX(to)”.
Demonstração:Segueda Propriedade1)e da unicidadedesoluçãode
(7.6), pois mimbassão soluçõese coincidem para Lt= to. ”
Seção7.1 SistemasLinearesdeEquaçõesDiferenciais 271
Propriedade3) Tí(t,to) = T(t,s)T(s,to), emparticular T(to,s) =
T(s,to)”!. Comparecom(2.7).
Demonstração:Tambémseseguedoteoremadeunicidadedesolução,
poissetratam desoluçõesquecoincidempara t = s. E
Com a definiçãoda Matriz Principal T(t, to), generalizamoso
casounidimensionalvistonoCapítulo 2. Podemosprocederdamesma
maneirapara obtermosas soluçõesdo sistemahomogêneo(7.4)e do
sistemanãohomogêneo(7.3). ObservequeTí(to,t) é o fator inte-
grante do sistema(7.3),deixamosao leitor completaros detalhesda
Propriedade4).
Propriedade 4) Dx(t) = Tít,to)xo é a soluçãode (7.4), com
úita) = Ro.
ii) À Fórmula deVariaçãodas Constantes,
t
x(t) = T(t, to)xo+ | T(t,s)b(s) ds (7.7)
to
fornecea soluçãodoproblemanãohomogêneo(7.3).
7.1.2 Sistemas com coeficientes constantes
“onsidereo sistemalinear homogêneocomcoeficientesconstantes
&= A, (7.8)
ondeÀ éuma matriz n xn comentradas reais constantes,eo sistema
nãohomogêneo
%= Ax+ b(t). (7.9)
O sistema com coeficientesconstantes(7.8), mais simples que
podemosconsiderar, é o unidimensional, isto é,n = 1:
X(t) = ax(t),
coma € IRconstante.Vimos que,nessecaso,a soluçãogeral é dada
por x(t) = eº!xo. No casode sistemascomcoeficientesconstantes,
paraobtermosa soluçãogeral,podemospensaremgeneralizar0con
ceitodeexponencial,demodoa incluir exponenciaisdematrizes,
e veriicar se a soluçãogeral de (7.8) podeser escrita como
dt) = e2'xo, xoe RP",
272 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Na próximasecção,vamosmostrar que issoé possível. Teremospor
tanto condiçõesde escreverexplicitamentea solução geral, e tirar
importantesconclusõesqualitativas sobresistemascomcoeficientes
constantes, de ordem n. Antes disso, vamos sentir as dificuldades
analisando alguns sistemasparticulares. A maioria dos exemplos
que vamosconsiderar são de ordem 2, porémessa técnicapodeser
utilizada demaneira análogapara sistemasdequalquer ordem.
Exemplo 1. Considere o sistema
| Xi =x + 2x,
X2= 8x1+ x2
ou na forma matricial
Es ti Êx = Ax, onde a(s |
Temos,emvirtudedoTeorema7.1,queparadeterminarasolução
geraldessesistema2x2,bastadeterminarduassoluçõeslinearmente
independentes.
Motivadospelocasounidimensional,procuremosumasoluçãona
formax(t) = he?t,ondeÀ éum escalare h éumvetor.Substituindo
x(t) nosistema,obtemos
Ahe?t=Ahe!t.
Portanto temos
Ah =Ah
isto é, À deve ser auto-valor de À e h auto-vetor associadoa À.
Calculando os auto-valores e os auto-vetores da matriz À, em
contramos, os auto-valores —3 e 5, e respectivamente, os auto-vetores
(1,-2)e (1,2), portanto
] ]a (Det (De
sãoasduassoluçõesLI procuradas,e
xt) = cyuy +Couo
Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais
é a soluçãogeral do sistema. Dada uma condiçãoinicial qualquer,
podemosdeterminar as constantes cy e cz, de modo que a solução
x(t) satisfaçaessacondiçãoinicial.
O casoqueacabamosderesolver,no qual a matriz A possuiauto-
valoresreais distintos, é o mais simples. Nessecaso,os auto-vetores
são linearmente independentes(justifique comoexercício)de modo
que as correspondentessoluçõessão tambémreais e LI. Os demais
casos,quandoos auto-valoressãocomplexosou commultiplicidades,
devemser analisados commais cuidado. Essa análise, comoveremos
abaixo,é análoga àquela feita para as equaçõeslineares comcoefi-
cientes constantes.
Quandoo auto-valorÀ écomplexo,o auto-vetorh associadotam-
bémé complexo. Nesse casox(t) = he?t é uma soluçãocomplexa.
Substituindona equação,vemosqueaspartesreal eimaginária dessa
soluçãocomplexasão soluçõesreais do sistema. E além disso, são
LI (mostrecomoexercício).Portanto, para cadaauto-valorcomplexo
conseguimosduas soluçõesreais LI.
ixemplo2. Considereo sistemaondea matriz À é
5 2
u(t)=(É, ) -
é uma soluçãocomplexa.Suas partes real e imaginária
cos t— sen L sen t+cos tun=( Je! uz=( Je
Temos que
— cos t — sen L
são duas soluçõesLI. Observeque, nessecaso,não precisamostra-
balhar como outro auto-valor,o conjugadodeÀ (porque?).
Finalmente,vejamoso casoem quehá multiplicidade. Suponha
que temosum auto-valorÀ (real ou complexo)commultiplicidade
algébrica ma >|, comoraiz do polinômio característico. Utilizando
seesseauto-valor,temosquedeterminarma soluçõesLI. O casomuito
fácil,équandotemosmaauto-vetores(LN)associadosa À,vejaExem-
274 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
plo 4 abaixo,pois para cada auto-vetortemosuma soluçãoe o pro
blemaestáresolvido.
O número de auto-vetoresLI associadosa um auto-valor À, isto é,
adimensãodoauto-espaçoassociadoaÀ,échamadodemultiplicidade
geométricade À, e designadapor mg. O problemamais trabalhosoé
quandoma > mg. Comopor exemplo:
Exemplo 3.
x = AX
A=(11)
A = 2éauto-valorcomma = 2eéfácilverquemg = 1.Utilizando-se
desseauto-valore doauto-vetorassociada,obtemosumasolução
u = (1) vt
e precisamos encontrar uma outra LI com u;, e para isso teremos que
utilizar uma outra técnica.
onde
Podemos,por exemplo,utilizar a transformada de Laplace. A
transformadadeLaplace,é uma ótima ferramentapara resolversin
temas lineares comcoeficientesconstantes,pois ela transforma sin
temasde equaçõesdiferenciais,em sistemasalgébricosde equações
lineares.
Seuz(t) = (x1(t),x2(t)) é soluçãodosistemae sedenotarmos
a transformada de x; por X;, obtemos aplicando a transformada, v
seguintesistemalinear
sX1 — X7 (0) — 3X1 lonaX2
sX2 —x2(0) = Xy + X2
ou seja
(3—s)Xy—X2= =mM(0)
Xt (1=s)Xp> x2(0).
Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais 275
Como queremosdeterminar uma soluçãoUz tal que uj e uz sejam
LI, e comou1(0) = (1,1), devemostomarumacondiçãoinicial para
u2 tal que (x1(0),x2(0))e (1,1) sejamLI. Por exemplox1(0) = 0 e
x2(0)= —1.Resolvendoo sistema,obtemos
] 3—srama X E6-7» “isl=o2m
Portanto, usando a tabela de transformadas, Capítulo 5, e a fórmula
deinversão(5.18),calculamos
malt)=te?t xt)=(t— Net.
X1(s)=
Assim
L 2tus = e=(11)
e uj são Li.
É usualnoscursosdeCálculoprocuraressasegundasoluçãona
forma b
at + 2tualt) = E (7.10)alt) + + )
As constantesa, b, c, d sãodeterminadassubstituindo-seno sistema.
Exemplo4. Considereo sistemacuja matriz À é
5 -2 4
A=]l-d 3 2
4 2/5
Osauto-valoressãoAy= Ocomma = 1,eAz =9 comma = 2. Neste
caso,a multiplicidade geométricadeA>étambém2. Então podemos
escrevera soluçãogeral,utilizando-seoauto-vetorcorrespondenteao
auto-valorAy, eosdoisauto-vetores(LI) corespondentesaoauto-valor
A>.Efetuando-seoscálculos,obtemosa soluçãogeral
2 0 ]
xit) ==Ci 1 + co |2 et tc É1 er
a ] ]
Para sintomas não homogêneos(7.9),podemosutilizar a fórmula
de variação das constantes, O caso de coeficientes constantes é mais
2706 Sistemasde EquaçõesDiferenciais Cap. 7
simples. Nesse caso,o sistema(7.8)é autônomo.Precisamosdeter-
minar a Matriz Principal somente para to =O, pois
Tt, to) ca Tt ne to, 0).
DenotandoT(t) = T(t,0), temosa fórmuladevariaçãodascon-
stantes,no casode coeficientesconstantes
x(t) = (to +/ T(t— s)b(s) ds (7.11)
Considereo exemplo:
x(t)= se T) x(t)+ (o). (7.12)
Resolvendoo sistema homogêneoassociado,com condiçõesinicias
(1,0) e (0,1), encontramosa Matriz Principal
Exemplo 5.
sets 7 et >Sets 1 et
T(t) = 3t —t 153t, 1,-tSe + 5le 2€ + 5€
Podemosagoraescrevera soluçãode (7.12)utilizando-sede (7.11).
7.1.3. Exponencial de matrizes
Consideremoso KR"comseuproduto interno e norma usuais, isto é,
se;
E [Me e = Elis ves Pal É RE
então
O, 0) = Ea += + Ran e xl] = (x,x).
Não vamosdistinguir seovetorestáescritoemlinha ou emcoluna,e
usamosindistintamenteasduasformas
XE (usa 5) X =
Xn
da maneira que for mais convenienteem cada caso,
Seção 7.1 Sistemas Lineares de Equações Diferenciais
Designemospor (IN), o espaçode todososoperadoreslineares
A:RP —sRP. PFixadauma basedo R”, L(IR”) podeser identificado
: é j é 2comoconjuntodasmatrizesreaisn x nn,ouaindaR”.
DefinimosnormadeumelementoÀ deL(IR”), pelaexpressão:
À[|A||= supAxl = sup ||Ax|). (7.13)x£0Ibell Ihel=1
Para mostrar que essa expressãorealmente define uma norma no
conjuntodosoperadores,L(IR”), precisamosmostrar,emprimeiro lu-
gar,que||A||éfinito. Istodecorredofatoquea aplicaçãoR” > R?,
x — Ax,écontínuaeque(x;||x||= 1 éumconjuntocompactoemR?.
Isto tambémpodeser demonstradodiretamentecomosegue.Seja
A=
a
ondea!... a" sãoas linhas da matriz A, portantoelementosdeR”.
Comoo produtoda matriz A por x é feito multiplicandoas linhas da
matrizÀ pelovetorx, temosque
(a!,x)
AX=
(a”,x)
Usando a desigualdadede Schwarz
|6x,v)|<lhel|y
temos que
Axl =||((a1,x)5...,(an,x)|
=((a,x)?+-:-+(an,x)))?
<(Iay]2++=:+|lanlPP)?IX!
portanto
1Axl
xl bol(IarlZ ++ lanl)? vx£0
278 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
logo
2IAlI<(Ian]2+++++|lanllÊ)?.
Asdemonstraçõesdasdemaispropriedadesnecessáriasparaque||À ||
sejauma norma
1. Aloe |All=0& A=0.
2. KkAI=IkIAI, keR
3. IA+ Bll<!||A||+|B]|(desigualdadetriangular)
sãodeixadasparaoleitor.O espaçoL(IR”) munidodanormadefinida
em(7.13)éum espaçonormadocompleto.
Além dessaspropriedades,temos,dadefiniçãode ||A|| (7.13),que
IAxI<|AIdl, Vx,
e daí que
IABII<I/A|| ||BII. (7.14)
Consideremosagorao problemadevalor inicial matricial
X(t) =AX(t)
| X(0) =1
Na secçãoanterior chamamosa soluçãodesseproblema de Matriz
Principal, e denotamospor T(t). ComoAX(t) é derivável,podemos
provarporinduçãoqueasoluçãoT(t) de(7.15),édeclasseCW. Temos
por (7.15),que
(7.15)
T(0)=I e T(0)=AT(0)=A.
Derivandoaequação(7.15)eusandoessaigualdade,encontramosque
T(0)=AT(0)=A?
o namimsucessivamente,podemosmostrar que a derivada n-ésima
| tn (O) AM,
PorenquantonãosabemosseT(t) podeserdesenvolvidaemsérie
de potências.Entretanto,gostaríamosque
A 2 AN
My) =I+At+= tê +cena RTt”des (7,16)
Seção7.1 SistemasLinearesdeEquaçõesDiferenciais 279
Para tal, basta provar que a série em (7.16)convergeuniforme-
mente. Dada uma matriz À, considere a série
x —. (7.17)
i=0 lt
Observequea desigualdade(7.14)implica que
AI<] AI]
e portanto, usando a desigualdadetriangular, obtemospara p > 0,
que
AM AM+P IAN
m! (m+)!
MAS APS?
“ml (m+p)!
Comoa sériede e!!2Ilé convergenteemR, temosque a série (7.17)é
deCauchyemL(R”) eportantoconvergente,poisL(IR”) écompleto.
Definição 7.2.Dada uma matriz A, a exponencialdeÀ é definidapor
A — Atexp(A)=e =2 Tº
i=0
Temosentãoquea igualdade(7.16)é verdadeirae queT(t) -
e2t Além disso,a convergênciada série em(7.16)é uniformepara t
em qualquer intervalo. Logo,pode-sederivar (7.16)termo a termoe
obter
T(t)—E (A?)“AFA 4dt 2! o
AZ
=A IHAt+ qt +...
=A ei,
Segue-seda Propriedade4) que
Wit] ==e“txo
é a soluçãodo problemadevalor inicial
Xt) = Axfté)
x(0) = Xo E R”
(7.18)
2B0O SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
completandoassim a analogia com o caso unidimensional. O pro-
blemade efetivamentecomputara soluçãode (7.18)ainda não está
concluído,pois,dadaumamatrizA, para calcularmose? atravésde
(7.17)precisamosusar todasas potênciasde A. Em casosparticula-
res,comopor exemplo,quandoÀ é uma matriz diagonal,nãoé difícil
verificar quea exponencialdeÀ tambémé uma matriz diagonal,for-
madapela exponencialdoselementosda diagonaldeA:
da TD ua DB
O A»... O
A
TOO co Mufgi
et 0... 0
O eMt ... OQGR |
O OD cu Em) us
Quandoa matriz A é nilpotente,isto é, quandoexister > 0 e
inteiro tal queA” = 0, temosquea série(7.17)se torna umasoma
finita, e portanto podemosperfeitamente(se estivermosdispostos)
calculartodosostermosdessasoma,obtendoassimasuaexponencial,
A pergunta natural é se qualquer matriz pode ser escrita em
funçãodematrizes para as quais conseguimoscalcular sua exponen-
cial. Isto é possívelusandoa formacanônicadeJordan. Vamosver
issoatravésdas seguintespropriedades.
Propriedade 1. Se M éuma matriz inversível então
eMTAM — MT eAM.
ato decorredo fato que
(MT'AM)!=MAIM.
Propriedade 2. etA+BIt— eAteBtyt é A comuta com B.
(A+B)t AtDemonstração: (->) See eBt temos derivando ambos
OM lados aque
— €
(A +Bjo MB AçÃteBtp eMBeB!
Seção7.1 SistemasLinearesde EquaçõesDiferenciais 28
derivandonovamentee fazendot = O,obtemos
(A+B)?=A2+2AB+4B?
queimplicaqueAB = BA.
(<=) Se A comutacomB é fácil ver queX(t) = eAteBtsatisfaza
equaçãodiferencialX(t) = (A + BJX(t) (verifique)coma condição
inicial X(0) = I. EntãopelaunicidadedesoluçãodevemosterX(t) =
e!A+BJteapropriedadeestájustificada. D
Propriedade 3 (Forma Canônica de Jordan). Existe uma matriz M,
demudançadebase,tal queM”! AM estána formadeJordan, isto
Le,
M”!AM=DiaglAs,...,Af] (7.19)
ondecadablocoA;, édaforma
As=MI+R, jJ=1,...9t (7.20)
onde,A;éumauto-valordeÀ eR;éumamatrizdotipodaFigura7.1.
00 0...00hoo llo0010 04e |
o 0 0 2. 10/a.
Figura 7.1:BlocoNilpotente deJordan
Para a demonstraçãoda Forma CanônicadeJordan sugerimoso
livro de P.R. Halmos, “Finite-Dimensional Vector Spaces”,Van Nos-
trand Reinhold Company,1958.
Observações:
1. Na Forma de Jordan (7.19),o mesmoauto-valorpodese repetir
emváriosblocos(7.20),istoé,A;podeserigualaAmcomj Zm.
2. O númeroÉde blocose a ordemde cadaum delesdependemda
matriz À
282 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
3. É muitofácil calcularaspotênciasdamatrizR;; calculando(R;2
(façacomoexercício),vemosquea “diagonal”de 1'sescorregapara a
“diagonal”imediatamenteabaixo;quandocalculamos(R;)* a “diago-
nal? de 1'svai mais para baixoe assim por diante. Com uma matriz
de ordemk;, temos que (RB; possui zero em todas as posições,
excetona posiçãok;1, quetem1,(a diagonalde1'sestásaindofora
damatriz),finalmente(R;)“i = 0,k; éoíndicedenilpotênciadeR;.
DaPropriedade1,acimatemosque
MT! et M o eiM TAM)
,
e então |
et —MelM AM Mo] (7.21)
logopara calcularet, bastacalcularelM AM é substituir
em (7.21).
Como (M"! AM)t = DiaglAst,..., Art] é formada por blocos,
quandocalculamosas potênciaspara a obtençãoda exponencial,ummm ; -bloco não interfere no outro, isto é, para obter elM AMJ podemos
calcular separadamentea exponencialde cadablocoAst, e montarn
matrizexponencialde (M”! AM)t comessesblocosna diagonal.
Temos que
Ast (A;I+R;)tEP =E
comoA;I comutacomk;, temospelaPropriedade2,que
ENT RjDt— (A DtoRt — At oRit
k;—1RZ R?Ajt Ee ) k;—1=elIi+Rt+A->DUA4A+-——— tt”2 (k;—1)!
]po
t?
eNit 21 t 1
(7.28)
eg =] cky—2 |
LÊ 1)! (k;—2)! mA Da
* | ” * * r f fPortantoaexponencialefM AMIté formadaporblocosdotipo(7,22)
Seção7.1 SistemasLinearesdeEquaçõesDiferenciais 2
na diagonal.Essamatrizé a matrizdee2tna basedeJordan. A
relação(7.21)fornecea expressãodee“t, na baseoriginal. E ainda:
1. De (7.22),temosqueosauto-valoresda exponenciale"! sãotodos
dotipoe*it,comA;auto-valordeA (mudançadebasenãoalteraauto-
valor).
2. De(7.21),oselementosdee2tsãocombinaçõeslinearesdefunções
do tipo tte"it, ondei está limitado pelo maior índice de nilpotência,
e A; é auto-valor de A. Essa conclusãojustifica a expressão(7.10)
utilizada para a determinaçãode soluçãono casode auto-valorcom
é qo- dmultiplicidade. po | qualf
Teorema7.3. Se x é tal queRe(A) < q, istoé, x é um númeroreal
maior que a parte real de todosos auto-valores,À, da matriz À, então
existeumaconstanteM tal quea soluçãox(t) de
x=Ax, x(0) =X
satisfaz
bet)]|<Mexo]l. (7.23)
tim particular, quando todosos auto-valoresda matriz A, têmparte
realnegativa,podemosescolher« < 0,eportanto||x(t)||tendeazero
exponencialmente,quando t — oo. Dizemos,nestecaso,quea solução
nula de x = Ax éexponencialmenteassintoticamenteestável.
Demonstração: Como os elementosde et são somasfinitas de ex-
pressõesdotipot'ie2tex(t) = e2txo, bastaanalisarmosumdesses
tormos
t'etxo]|x]t]"ettAMIxo]|=[t]"elfo)0dteto]
ComoRe(A)—« < 0,temosque|t|*elRtM-c)t O,quandot —00
Portantoessaexpressãoé limitadaparat € [0,00),logoexisteuma
constanteM tal que(7.23)éverdadeira. a
Vamos finalizar essa secçãoanalisando a transformadade Ln
place da matriz exponencial, L(e”*). No casoescalar, temosque
Clem O (s- a)"
284 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Analogamente,vamosmostrarque
Lle*)=(sSI-A)] s>a>Re(A), (7.24)
A
De fato
(s1=A)| eNterstar=[ (sI- AjeMe*tdt
0 0
-[ seMe-stat—| O (Ate-star0 o dt
Integrandopor partes,obtemos
OO
=1.
SO
(81—A) / eterstat = —(eMes")
0 t=0
quejustifica (7.24).
Comoaplicação,podemosmostrar,porexemplo,quea soluçãodo
problemanãohomogêneo“ (2.OVA
x= Ax+b(t), x(0) = xo
édadapelafórmuladevariaçãodasconstantes
t
x(t) =e“'xo+[ tbm) dr.
0
De fato,aplicandoa transformadana equaçãonãohomogênea,obte-
mos
s£(x) —xo= AL(x) + £(b)
portanto
(sI— A)L(x) = xo+ £(b)
o
C(x)=(sI-A)! xo+(sI—AJT!£(b)
—L(e"'xo) + Lle”t +b(t)].
A fórmula de variação das constantes é então obtida invertendo essa
expressão,
Seção 7.2 Equação Adjunta e a Alternativade Fredholm
7.2. EquaçãoAdjuntae a Alternativade Fredholm
SejaA(t) umamatriz,n x n, contínua.O sistemalinear
y=-A(t)v(t)
ondeA(t)* denotaa matriztranspostadamatriz A(t), échamadode
EquaçãoAdjunta de
Z= Al (7.25)
Podemostambémescrevera EquaçãoAdjunta na forma
y =—yvA(t), (7.26)
comy designandoum vetorlinha. Se X(t) é a Matriz Principal de
(7.25),entãoY(t) = X(t) |! é a Matriz Principal de (7.26).Pois, deri-
vandoy = yoX(t) !, obtemos
U = —yoX'XX = —yoXT!A =-VA.
Temosportantoqueassoluçõesde(7.26)sãodotipo
vlt)=voY(t)=Y(t)ty.
À questãoquevamosanalisar a seguiré a existênciadesoluções
periódicaspara sistemas
x=Altx+f(t), (7.27)
ondeA(t) e f(t) sãofunçõesT-periódicas.Para o casohomogêneo,
f = 0, temos
Lema7.1.SeA(t) éT-periódica,entãoossistemashomogêneos(7.25)
e (7.26) têm o mesmonúmero de soluçõesT-periódicas linearmente
independentes.
Demonstração:(7.25)temsoluçãoT-periódicanãotrivial seX([ |xy
xo, para algumxo & O,isto é, se a condiçãoinicial xy pertencea
Ker|X(T) — 1],e portanto
dim Ker[X(T) — 1]
é o númerodesoluções|-periódicas LI.
286 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Analogamente,(7.26)tem solução |-periódica não trivial, se e
somente se
voX(T)!- 1]=0, vozo
e, portanto,o númerodesoluçõesLI é
dimKer[(X(T)!—1)!=dimKer|X(T)!—1).
Mas, como
XT)-I=—[X(t) !—-IX(T) e dt X(T)£O0
conclui-sequeessasdimensõescoincidem.
Teorema7.4(AlternativadeFredholm). O sistema(7.27)temsolução
T-periódica, see somentese,a condição de ortogonalidade
x
/ ult)f(t)dt =0
0
estásatisfeitapara toda soluçãoT-periódica de (7.26). O integrando
u(t)f(t) éoprodutousualda matrizlinha y(t) pela matrizcoluna
f(t).
Demonstração: Uma solução x(t) é T-periódica se e somentese
x(T) = x(0) = xo, logopela fórmula de variaçãodas constantes
temos que
»
x(T) =X(Txo +X(7) / X(s) !f(s) ds =xo
quepodesercolocadana forma
T
X(TIT—xo=/ X(s)-'f(s)ds. (7.28)
Õ
Temos,portanto,que (7.27)temsoluçãoT-periódica,se e somentese
(7.28)temsoluçãoxo.
Chamando a matriz B = [X(T)”! — 1],e usando o fato que a
imagemde um operadorlinear do R”, é igual aoortogonaldo núcleo
do operadoradjunto, istoé,
R(B)= Ker(B!)
Seção 7.2 Equação Adjunta e a Alternativade Fredholm
temosque(7.28)temsolução,se e somentese
E
/ X(s) Hs) ds E Ker(B)+,
0
isto é, A
(30 / X(s) M(s)as) = 0 Vvyo€ Ker(B!)
0
queé equivalentea
T T
/ voX(s) '(s) AE= / uls)f(s)ds =0
0 0
paratodafunçãoy(s) talque
y(s)=voX(s)”!comvaX(T)T!—-T]=0.
Mas entãoasfunçõesy(s) sãoassoluçõesT-periódicasde(7.26)e o
teoremaestáprovado. E
Exemplo. Considerea equação
ut+u= ff (t) (7.29)
e o sistemacorrespondente
o e
X2 = —%4+ fi(t)
queé do tipo (7.27)com
0 1 Oau=a=(30. u=(689).
É fácil ver que nesse exemploa equaçãoadjunta é idêntica à
equaçãooriginal
YU=Ay,
e a matriz principal correspondenteé
cos 1 sen |
sen t cos
X(t)=Y(t)! (
208 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
e portantoas soluções,y(t) = Y(t)'yô, da equaçãoadjunta,tem
período2k7, k = 1,2,.... Portanto:
1) Se f(t) for periódicade períodoT £ 2k7r,a única soluçãoT-
periódicadaequaçãoadjuntaéa soluçãonula, portantoa condiçãode
ortogonalidadeésatisfeitae(7.29)temumaúnicasolução| -periódica.
2) Se f(t) for T-periódicadeperíodoT = 2kz para algumk, temos
quetodasassoluçõesda equaçãoadjunta sãoT-periódicas,eportanto
(7.29)temsoluçãoT-periódicasee somentese
ondey(s) é soluçãoda adjunta.Comoy(s) é combinaçãolinearde
senos e cosenos,devemoster
q
/ sensf(s) ds
O
Por exemplo,quandoT = 27, fy(t) sópodeter freqiênciasmaiores
que1/27. SeudesenvolvimentoemsériedeFourier
x
0 e / cossf(s) ds =0.
0
OO
—=5 + > [Ancosnt +bnsen nt)
n=|
devetera,=0eb/ =0.
tuando as frequênciascoincidemnão temossoluçãoperiódicae
assoluçõessãoilimitadas.Por exemplo,para
fi(t) = cost,
temos
tsen tu(t) =cy sen t+ c>cost+ 3
Seção7.3 Linearização,Estabilidadee Funçõesde Liapunov
Figura7.1
7.3. Linearização,Estabilidadee Funçõesde Liapunov
Nesta secçãovamosestudarsistemasautônomosgerais
x=f(x), fiRºS5R”. (7.30)
ondef édeclasseC!. Suponhaque(7.30)tenhaumpontodeequilíbrio
xo. Vamossupor,por simplicidade,quexo = 0, isto é, f(0) = 0,e
portanto,x(t) = Oé solução.
Definição 7.3.SejaV:O C R” — R umafunçãodeclasseC!, definida
numconjuntoO quecontémumabolafechadaBpr(0),comcentrona
origem. Dizemosque V é uma Função deLiapunov para a equação
(7.30),quando
ViO] =D, V(x) >0, sexo,
Vix)<0,Vx (7.31)
ondeV:O > R édefinidapor
Ví(x)= ((gradV)(x), f(x)).
Alémdisso,dizemosqueV éumafunçãodeLiapunovestrita,quando
temosem(PA a desigualdadeestrita, para x / O,
290 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Observeque,sex(t) é soluçãode(7.30),entãotemospor(7.31)
que
d
=((gradV)(x(t)),f(x(t)))
=V(x(t))<o0,
isto é, V é decrescenteao longodas soluçõesde (7.30). ComoV é
limitada inferiormente,temosqueexisteolimite V(x(t)) quandot >
OO.
As funçõesde Liapunovnãosãofáceisdeseremdeterminadas.
Em geral, elasestãorelacionadascoma norma doR” ou coma ener-
gia do sistema. Neste último caso, as condiçõesV = 0o0uV <0
significam,respectivamente,conservaçãoou dissipaçãodeenergia.
Exemplo1. Temospor (4.124)quea energiadoosciladorharmônico
simples
mã + kx = O
é dadapor
À cad 2Elx] = 5 (Um + kxº).
Verifica-sefacilmentequea E(x(t)) = 0. Issoquerdizerqueo sis-
temaé conservativoe que
Viu) =(my), x=y
é uma funçãodeLiapunov para o osciladorharmônico.
Exemplo 2. Considere o sistema linear
x = —E—y
| y=3x—2u.
A função
V(x,y)=5b2ty?)
é uma funçãode Liapunov para essesistema, pois
).V= xx +uy (x—y)2= yé<o0. (7,99)
Seção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov
Mostre,comoexercício,quedim Vixit) ult)) =0.
—+00
À seguir,vamosutilizar as funçõesdeLiapunov para oestudodo
comportamentoassintóticodas soluçõesdo sistema(7.30).Os princi-
pais resultadosestãocontidosnos próximostrês teoremas.
Teorema7.5. Se existeumafunção deLiapunov para (7.30),entãoa
soluçãonula, x(t) = 0,éestável.Sea funçãodeLiapunovfor estrita,
entãoa soluçãonula éassintoticamenteestável.
Demonstração:
Estabilidade. Considere e:> 0e
E= min Vix) =D. (7.83)
IIxll=e
t > 0 porqueV é estritamentepositivano conjuntocompacto(x :
||x||= e).ComoV écontínuaeV(0) = 0,existe6 —ó(e)> Otal que
lIx|l<ô > V(x)< 5
temos,emparticular, que é < €. Nessas condições,podemosmostrar
queas soluções,comcondiçõesiniciais na boladeraio ô, sãoestáveis,
Isto é,
Ixoll<6 =>Ilx(t,xo)ll<e, Vt>0. (7.34)
De fato, como
de(Vix(t,xo))<O
temosquea funçãot — V(x(t,xo)) énãocrescente.Portanto
Víx(t, xo))<V(x(0,x0)) = Vixo)<5 » Vt>0. (7.835)
Segue-sedaíquea soluçãox(t, xo)quecomeçardentrodaboladeraio
ô, devepermanecerdentroda bola de raio £ para tz0. De fato, caso
contrário,existiriat* > Otal que||x(t*,xo)||= e. Entãopor(7.33)
teriamosque Ví(x(t*,xo))>L, quecontradiz(7.35).
Estabilidade Assintótica. Por (7.34),temos,tomando6 = ó(R), que
wo] B(R) Ix(t, xo)|| < Ruy ta0
292 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
istoé,a soluçãopermanecedentrododomíniodafunçãodeLiapunov
V. Provemosqueessasoluçãotendea zero,quandot — oco,nocaso
em queV é de Liapunov estrita. Dado e > O,vamosmostrarque
existeto —to(£) > 0,tal que
lIx(t,to)|l< e, se t>to.
Tomeó(€)definidoem(7.34).Se existir to = to(e) > Otal que
|Ix(to,xo)||<d(e),
temospor (7.34)que
Ix(t,x(to,xo))||= |lx(t+to,xo)||< e Vt>0
eoteoremaestariademonstrado.Usamosnaúltima igualdadeo fato
dequea equaçãoé autônoma,e portanto
x(t+to,xo)=x(t,x(to,x0)).
Suponhamos,por contradição,que não existisseum tal to, isto
é,
||x(t,xo)||zô(e)
paratodot>0. Então,a soluçãopermanecedurantetodoo tempona
coroacircular
s(e)<Ibelt,xo)|IXR,Vt>O.
ComoV é estritamentenegativa,e a coroaé um conjuntocompacto,
temos que
Víx(t,xo))<—c, com c>0, Vt>0.
Então, integrandoosdois ladosde Oa t, obtemos
Vit, xo))<Víxo) — €t, Vt>0,
queé umacontradição,poisV teria queassumirvaloresnegativos
-
O comportamentoassintóticodeumasoluçãoédeterminadopelo
conhecimentode seu conjuntow-limite, veja Definição6.1. Porém,
Seção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov 7!
esseconjuntolimite, nemsempreé fácil deser determinado.O próxi-
moteoremaforneceinformaçõesimportantesnessadireção.A infor-
maçãoé obtida utilizando uma função V, que decresceao longodas
soluções,masnão é necessariamenteuma funçãode Liapunov.
Teorema 7.6(Princípio de Invariância de La Salle). Se V:R” ss Ré
declasseC! tal queV(x)<0, Vx. Então
wlxo)CE=(xeR”:V(x)=0), VxoeR”.
Demonstração:Basta consideraro casoemque w(xo) £ Pp.Nesse
caso,temosqueV(t) = V(x(t,xo)) é decrescente,poisV<O. V(t)
é limitadainferiormente.De fato,sey E w(xo),existemty,— 00
tais quex(tn, xo) — uy.Portanto,pelacontinuidadedeV, temosque
V(tn) — V(y). Pela monotonicidadedeV, temosqueV(t) > c =
V(y), quando t — oo. Mostramos assim que V é constanteigual
a c em w(xo). Agora, comoo conjunto w-limite é invariante, isto
é, sey E w(xo), entãox(t,y) E w(xo) paratodot, segue-seque
Víx(t,y)) = c. LogoV(y) = 0, istoé,y € E, queprovaoteorema.
Exemplo 3. Considere o sistema do Exemplo 2. Para essesistema
temospor (7.32)que
E=((x,y)ER?;V(x,y)=0)=((0,0)),
portantooconjuntow-limitedequalquersoluçãoéoconjunto((0,0)-.
Vamosconsideraragoraoprocessodelinearizaçãodosistemaem
tornodeum pontodeequilíbrio. Linearizar osistema(7.30),emtorno
do pontox = Ô,significa consideraro sistemalinear x = Ax, ondea
matriz À é a derivada(matrizJacobiana)def no pontox — 0, À =
f'(0). Utilizaremosesseconceitoparaanalisaro seguinteresultado
sobreestabilidadedeequaçõesautônomas(7.30).
Teorema7.7.Se À = f'(0) possui todososauto-valoresÀ comparte
real negativa,Re(A)< —axcom« > 0,entãoa soluçãonula de(7.30)
éassintoticamenteestável.Ademais,essasoluçãoéexponencialmente
assintoticamenteestável,isto é,para cada ô > 0, existemconstantes
K empositivastaisque
Ixoll<m =>Iix(t)jjgKe!-*xol), t>0.
294 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.1
Demonstração:
EstabilidadeAssintótica. Temosquef satisfaz
f(x) = Ax+r(x), com lim PER: = Ú, (7.50)x—0||x|]
Usaremosagoraos resultadosdo exercício8) abaixo. A funçãoV de
finida em(7.44)e (7.42)é definidapositiva,e
Víx) = (Cx,x) + (Cx,x) = (Cf(x),x) + (Cx,f(x))
Usando (7.36)e as propriedadesdoprodutointerno, obtemos
V(x)=((CA+AtC)x,x)+(Cr(x),x)+(Cx,r(x))
Portanto usando (7.43)e a desigualdadede Schwarz temos,para
x + 0,que
Irlo)||
xl
Tomando1 suficientementepequenotal que
rod]dl Sale]
V(x)<—||x|JÉ+2ICl) Ix||É
Iell<n>
temos |V(x)<—5belÉ <0, se x%o0,
portantopeloTeorema7.5,x = Oé assintoticamenteestável.
Estimativa Exponencial. Temos
x(t) = f(x) = Ax(t) +tr(x(t))
edai pelafórmuladevariaçãodasconstantes,
t
x(t)=e“'xo+ eNt-sby(x(s))ds.0Comojá temosestabilidade,||x(s)||permanecepequenoparatods
s>0,ecomoTo| — Oquandox > 0, existey > Otal que
IlrtxtsDDI<yIbxts).
Beção 7.3 Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov
Portanto,como||e“!|<Me”“!, temos
Lte(o)lI<]le*| ||xoll+/ jets)| Ir(x(s))||ds
Õ t<Me-“Iheoll+/ Mye-“(t-5](s)l|ds0
Multiplicando,ambososlados,pore*!, obtemos
teIx(t)|IXMIIxoll+/ Mye“s|bx(s)||ds.
O
Usandoa desigualdadedeGronwall, obtemos
epe(t)|<MIo]|eM!
o portanto
belt)||<Me!"HM Mxol].
(Comopodemostomary suficientementepequeno,a estimativaexpo-
nencialdoTeorema7.7estájustificada. Hi
Utilizaremos a seguir os teoremasprecedentespara fazer uma
análisedetalhada,da soluçãoda equaçãodeLiénard.
fxemplo: Considerea equaçãodeLiénard
x+fix)x+g(x), g(0) =0. (7a)
Colocando x = y, podemosolhar essa equaçãocomoum sistema no
IR
X =U
(7.38)nono a
temosque (0,0) é solução(ou ponto) de equilíbrio. Vamos estudar
a estabilidadedesseponto. Multiplicando formalmente(7.37)por X
obtemos
,
x +gl) = —f(x)(x)?
O [1.3 o “2ar(5092+669)=—toaa
296 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
ondeG(x) éprimitiva deg(x),
DefinindoV:R? > R por
V(x,y) = =y?+ G(x) (7.39)
temosqueV seráumafunçãodeLiapunov,se
1. xg(x) > 0sex £ 0,emparticular,G(x) > 0sex £0,e
2. f(x)>0, Vx.
De fato,sobessashipótesesV>0 e
Viu) =—f(x)y?<0.
Comessasduashipótesestemos,peloTeorema7.5,quea solução
nula de (7.37)é estável. Observeque V(x,y) podeser zero semque
(x,y) = 0, logo não podemosafirmar nada sobre estabilidadeas-
sintótica, usando o Teorema 7.5.
Vamosutilizar o Teorema7.7 para analisar a estabilidadeas-
sintótica.A matrizJacobianadosistema(7.38),noponto(x,y) =
(0,0)é
Colocando
flO)=be g(0)=c
temosque os auto-valoresde A satisfazemA? + bA + c = O. Para
essesauto-valoresteremparte real negativa,temosqueb e c devem
satisfazerumadasduascondições:
3. b* -dec0eb>o0
4. b*-de>0eb> RE>Oo.
E portanto,em qualquer um dessesdois casos,o sistema (7.38)e n
equaçãoCLT sãoassintoticamenteestáveis,
Seção7.3 Linearização,Estabilidadee Funçõesde Liapunov
Finalmente,façamosumaanáliseglobaldassoluçõesdaequação
deLiénard (7.37).
1) As condições1 e 2garantemque todasas soluçõesde (7.37)estão
definidaspara todot>0.
De fatose (7.37)possuisseumasoluçãox(t) tal que |x(t)| — oo,
quandot — to, então|x(t)| = [u(t)|seriailimitadonointervalo
[0,to). Agora,nesseintervaloV(t) :=V(x(t)) élimitada(énãocres-
cente),e usandoa condição1e (7.39)temos
Oxu(t)<2V(t), VtelO,to)
queé uma contradição.
nu) Se,alémdas condições1e 2, tivermosque
XxXG(x)-[ pidde-s0que g=rdoo,
0
então,todasas soluçõesde(7.37)sãolimitadaspara t>0.
NestecasotemosqueV(x,y) — ooquando|(x,U)| — oo.Logo,dado
(xo,Vo),existe7tal que
Víx,y) > Víxo, Vo), se [(x,U)| > 7.
Agorase(x(t),u(t)) éa soluçãode(7.38),comcondiçãoinicial (xo,Vo),
comoV<Ô,temosque
Vixit),ult))<Víxo,vo),Vt>0,
portantodevemoster |(x(t),y(t))|<r, oquejustifica a afirmação.
ui) Se, além das condições1 e 2, tivermosque f(x) > 0, Vx, então,
todasas soluçõesde(7.37)tendema zero,quandot > 00.
De fato,comoV = —y?f(x), temospeloTeorema7.5que
W(xo, Vo) Ç (lx, y) e = 0).
Agora o conjunto «ww-limiteé invariante eo campo devetores nos pontos
(x0,0), xo É V é dado por (0, =g(xo)),veja a Figura 7.2,
298 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
[4
avvo
Figura7.2
portanto w(xo, Vo) e ((0, 0)).
7.4. Exercícios
1. Determine a solução geral de x — A;x, onde a matriz A;j,i = 1|,/
ss 1 -56a=(5 2) A=[1300 01
2. 1)Calcule e*it onde A; é dada no exercício anterior. (Utilize n
soluçãogeraljá determinada.)
ii) Esboceas soluçõesde x = Ayx no plano (coma basecanônica
usual).
11)Mostrequeéfalsaa desigualdade
[letxlI<]hel|t>0,xeR2
3. Usandoa fórmula devariaçãodas constantesescrevaa expressão
que forneceas soluçõesda seguinteequação:
x+x=h(t).
A4. Mostrequee”! comutacoma matrizÀ,
Seção7,4 Exercícios 29!
Alt+s) AtnAÃs5. Mostre que e = “E
Sugestão:x(t) = eAtt+S)xoésoluçãodeX = Ax comcondiçãoinicial
x(0)= e“Sxo. Useaunicidade.
—AtRep = €6. Mostreque(e
7. Considereos seguintessistemaslineares n dimensionais
%==AP) (7.40)
* =Altjx+ht) (7.41)
ondeA(t) e h(t) sãocontínuaseperiódicasdeperíodop.
Mostre que:
a. Se1 for auto-valor da matriz principal T(p) do sistema (7.40)
calculadano períodop, então(7.40)temsoluçãop-periódicanão
nula,
b. Se 1 não for auto-valorde T(p), então(7.41)tem soluçãop-
periódica.
Sugestão:Denotepor x(t, xo) a soluçãode(7.41)comcondiçãoinicial
x(0,xo) —xo. Use a fórmuladevariaçãodasconstantesparamostrar
queexistexotal quex(P,Xo) = Xo.
8. Seja À uma matriz quepossui todosos auto-valoresÀ, comparte
realnegativa,Re(A)< 0,
a. Mostre quea integral
/ Ega çAS ds
O
éconvergente,onde(e2s*)t!denotaa matriztranspostade (e1s).
b. Se
Co | (eS)t eASds (7.42)
0
mostre que
CA+A*C=—I (7,43)
300 SistemasdeEquaçõesDiferenciais Cap.7
Sugestão:Integreosdoisladosde
d
ds
para s variando deOa o0.
c. SejaC a matrizdadaem(7.42),definaV:R” — R por
VIR) =4(0x,%) (7.44)
Es — (+ ç2s A di Ale" sy gs
Mostre que
c.1) MostrequeV édefinidapositiva,istoé,
V(0)=0 e V(x)>0, se x%o0.
(Lembre-sedaigualdade(A'x,x) = (x,Ax))
c.2) Sex(t) énãonulaesatisfazx = Ax, mostreque
Víx)= - (Cx(t),x(t))<0, Vt.
9. Considereas equaçõesdo modelopresa-predador(6.54)e (6.55).
Determineuma funçãode Liapunov para essesistema,em torno do
ponto de equilíbrio (c/d,a/b). (Sugestão: Procure V da forma
Víx,y)= Fix) +G(y).)
10. Esboceo planode faseda equação
Xx+(x+y—-Dx+x=0
chamandoa atençãopara ospontosdeequilíbrio,soluçõesperiódicas,
orientaçãodas soluções,conjuntos« e w-limites,estabilidadee ins
tabilidade,etc. Todas as conclusõesquevocêpuder,não esqueçade
justificá-las.
11.SejaX xf(x), ondef:R” — R édeclasseCl e f(0) > 0.
a. VerifiqueseV(x) = |x|*éumafunçãodeLiapunov.
b. Analise a estabilidadedo pontodeequilíbrio x = 0.
12. Considere o sistema
X= f(x (7,45)
Seção7.4 Exercícios 301
onde f: IR" —s|", é um campogradiente, isto é, existe uma função
V:R" — R declasseC2 tal que
f(x) = —grad V(x).
Mostre que:
a V=-lgrad V(x)|?
b. Sex éum pontodemínimoisoladodeV, entãoX é um pontode
equilíbrio assintoticamenteestávelde (7.45).
c. Sex é um pontow-limite (x € w(xo)), entãox é um pontode
equilíbrio.
13. Considerea equaçãodeLiénard
X
x+fix)x+g(x)=0, e G(x) -[ g(s)ds.
0
Suponhaque
fix)z—c, G(x)z-k, VYxeR,
onde c e k são constantespositivas. Mostre que as soluçõesdessa
equaçãoestãodefinidasparatodot>0.
Bibliografia
Arnold, V.1.- Ordinary Differential Equations, MIR, 1974,
Birkhhoff, G. & Rota, G.C. - Ordinary Differential Equations, Blaisdell
Publishing, 1062.
Braun, M. - Differential Equations and Their Applications, Springer-
Verlag, 1975.
Coddington,E.A. - An Introduction to Ordinary Differential Equations,
Prentice Hall, 1968.
Hirsch, M. & Smale, S. - Differential Equations, Dynamical Systems,
and Linear Algebra, Academic Press, 1974.
Hurewicz, N. - Lectureson Ordinary Differential Equations,
Cambridge,1975.
Pontryagin, L.S. - Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley,
1963.
Simmons,G. - Ordinary Differential Equations with Applications and
Historical Notes, McGraw-Hill, 1972.
Amann, H. - Ordinary Differential Equations, Walter de Gruyter, 1990.
Coddington,E. & Levinson,N. - Theory of Ordinary Differential Equa-
tions, McGraw-Hill, 1955.
Hale, J. - Ordinary Differential Equations, J. Wesley,1964.
Hartman, P. - Ordinary Differential Equations, J. Wesley,1964.
Lefachetz,S. - Differential Equations: GeometricTheory,Interscience,
1959,
Sotomayor,J. - Lições de EquaçõesDiferenciais Ordinárias, Coleção
Projeto Euclides, CNPq, 1979,
A
AlternativadeFredholmparaexistência
desoluçãoperiódica286
C
Calorespecífico29
Campo:
Centralde forças65, 154
conservativo67
divergentede69
fechado66
gradiente65
gravitacional65
potencial65
métodopráticoparadeterminação69
rotacionalde66
trabalhode67
vetorial
Ciclolimite229
Condiçãoinicial7,49
Conjunto:
invariante229
simplesmenteconexo68
Q-limite227
tU-limite227
Convolução192
Contração54
Curvas:
catenária39
cônicasemcoordenadaspolares166
deLissajous164
ÍndiceAlfabético
deperseguição44
envoltóriadeumafamília87
famíliaaumparâmetro84
famíliasortogonais90integrais50
isóclinas51
ortogonais90
tractriz35
pseudoesfera37
pivotdeSchiele37
D
DadosinicaisVer Condiçãoinicial
DesigualdadedeGronwall61
DeterminanteWronskiano96
funçõeslinearmenteindependentes97
identidadedeAbel-Liouville97
Diferencialdeumafunção73
Diluiçãodesoluções30
E
Energia:
cinética136
potencial137
Equaçãocaracterística102
Equaçãodiferencial:
adjunta285
autônoma21,206
comtermoforçantedescontínuo197
deBernoulli26
deBessel113
304 ÍndiceAlfabético
deChebyshev113
deClairaut28
ded'Alembert-Lagrange27
deEuler-Cauchy110
deHermite118
deLaguerre113
deLegendre106,113,118
deLiénard226,295
deprimeiraordem49
deRicatti26,117
devanderPol226,236
devariáveisseparáveis11
doosciladorharmônico137
dopêndulo141,244
o pêndulosimplese a aceleraçãodagravidade
143
períodonasgrandesoscilações248
comamortecimento254
exata75
métodopráticodeintegração79
homogênea24
interpretaçãogeométrica50
lineardeprimeiraordem6
lineardesegundaordem93
equaçãocaracterística102
soluçãogeral95,98
métododevariaçãodosparâmetros99
métododoscoeficientesadeterminar107
comcoeficientesconstantes101
linearhomogênea8,94
matricial268
singular17,113
solução49
Espelhoparabólico43
f
Fatorintegrante8,77,80
existênciaRO
funçãode P 77
lunçãode1)78
Forma: |
canônicadeJordan281
diferencial72
constante72
exata73
fechada73
linear
Fórmula:
deAbel-Liouville97,269
deBinet 159
devariaçãodasconstantes9, 10,271,276
Funções:
deLiapunov289
deltadeDirac200
elípticas253
erro25
gama169
linearmenteindependentes95
I
Impulsoinstantâneo199
Integral:
aolongodeumcaminho67,73
independênciadecaminho67
elíptica249
primeira75,256
Intervalomaximal58
comportamentodasoluçãonosextremos59
L
Lei:
daconservaçãodomomentoangular157
deconservaçãodaquantidadedecalor29
dagravitaçãouniversaldeNewton130,167
asconstantesCr eg 130,132
deHooke138
comentáriossobre139
limitedeproporcionalidade140
ÍndiceAlfabético
pontoderuptura140
deKepler159,169
deKirchhoff225
1ºdeNewton120
22deNewton119
3ºdeNewton120
doisocronismodaspequenasoscilações143,245
amplitude142
amortecida139,144
amortecidaeforçada147
batimento150
períodofundamental149
ângulodefase142
demolas138
do resfriamentode Newton 28 do pêndulo245
M energia153
Matriz: fregiência142
exponencial279 período142
fundamental269 P
principal269 Planodefase207
Método: Ponto:
dassériesdepotências112
deFrobenius113
dereduçãodaordem105
devariaçãodosparâmetros99
doscoeficientesadeterminar107
gráficodeVolterra260
Movimento:
deprojéteis125
ângulodetiro126
deequilíbrio(ousingularidade)22,209
atrator216
assintoticamenteestável22,211
centro218
desela216
espiral218
estável22,211
nodal216
singularregular113
emplanosinclinados129
O
Órbita206,227
afélio167
apogeu167
ápside161
deumsatélite176
dosplanetas168
fechada209
periélio167
deequilíbrio258
médias263
modelomalthusiano18
modelodeVerhulst19
modelopredador-presadeVolterra257
métodográficodeVolterra260
limite20
outrosmodelos23
períododosciclos262
taxadecrescimento18
perigeu167
periódica209
daconservaçãodeenergia137
305
306 ÍndiceAlfabético
dacontração54 propriodades267
dasuperposição95 Solução
deinvariânciadeLaSalle293 amplitudede 142
Problemadevalorinicial4,7,49 deequilíbrio(ouestacionária)22,209
ProdutodeConvolução192 assintolicamenteestável22,211
Q estável22,211
exponencialmenteassintoticamenteestável283Quantidadedemovimento120
deumaequaçãodiferencial11,49,64Quedadecorpos:
ta dependênciacontínuaem relaçãoaosdadosini-comresistênciadoar122
ciais62comentáriosobre124se geral4,95,98
velocidadelimite123
globalmentedefinida60livre 120
intervalomaximal58
R unicidade58
Ressonância151 T
frequênciade152
Tabela:
Ss declassificaçãodesingularidades219
SequênciadeCauchy53 detransformadasdeLaplace188
Sistemas: Taxadecrescimentodeumapopulação18
deequaçõesdiferenciais206,265 Temperatura:
autônomo206 calorespecífico29
lincarizaçãonumpontodeequilíbrio193 deequilíbrio29
solução64,206,266 leidoresfriamentodeNewton28
dinâmico211 resfriamentodeumcorpo28,29
hamiltoniano256 Teorema:
Sistemasdedeequaçõesdiferenciaislineares213, deAbel-Liouville97,269
267,271 deexistênciaeunicidade(dePicard)51
comcoeficientesconstantes213,267,271 necessidadedashipóteses56
autovaloresreaisdistintos272 dedependênciacontínua62
autovalorescomplexos273 deLaSalle293
autovaloresrepetidos274 deLevinson-Smith230
exponencialdematrizes279 dePoincaré-Bendixon229
estimativaexponencialdassoluções283 regiãocomórbitaperiódica229
fórmuladevariaçãodasconstantes271,276 regiãosemórbitaperiódica23]
homogêneo267 regiãocompontodeequilíbrio232
identidadedeAbel-Liouville269 dopontofixodeBanach(princípiodacontração)
matrizfundamental269 54
matrizprincipal269 FundamentaldoCálculo3,5
ÍndiceAlfabético
TransformaçãodePoincaré232
TransformadadeLaplace:
dafunçãoÓ deDirac202
damatrizexponencial284
definição182
dederivadas187
funçõesadmissíveis182
funçõesdescontínuas197
funçõesimpulso199
inversa183
produtode 191
propreidades181,185
Tabela188
V
Velocidade:
areolar158
deescape133,177
deimpacto133
dosom125
Vetor:
aceleração119
posição119
velocidade119
Vibraçãover Oscilação
307
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Às aplicaçõescontemplamduas
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da teoria,e a interpretaçãodeta-
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çõesDiferenciais,e técnicasutili-
zadasnadescriçãodo espaçodas
configuraçõese no comporta-
mentoassintóticodassoluções.
	Conteúdo
	Capítulo 1: O Teorema Fundamental do Cálculo
	Capítulo 2: Equações Diferenciais de Primeira Ordem
	2.1. Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem
	2.2. Equações Separáveis
	2.3. A Dinâmica de uma População e Noções de Estabilidade
	2.4. Exercícios
	2.5. Aplicações
	2.5.1. Resfriamento de um corpo
	2.5.2. Diluição de soluções
	2.5.3. Por que uma corda enrolada num poste sustenta um barco?
	2.5.4. A tractriz
	2.5.5. A catenária
	2.5.6. O espelho parabólico
	2.5.7. As curvas de perseguição
	Capítulo 3: Propriedades Gerais das Equações
	3.1. Interpretação Geométrica da equação y'=f(x,y)
	3.2. Existência, Unicidade e Dependência Contínua
	3.3. Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
	3.4. Equações Exatas
	3.4.1. Um método prático de integração
	3.4.2. Existência de Fator integrante
	3.5. Família da Curvas Planas
	3.5.1. Envoltória
	3.5.2. Trajetórias ortogonais
	Capítulo 4: Equações Diferenciais de Segunda Ordem
	4.1. Equações Lineares de Segunda Ordem
	4.2. Obtenção de Soluções
	4.2.1. Método de variação dos parâmatros
	4.2.2. Equações Lineares com coeficientes constantes homogêneas
	4.2.3. Métodode redução da ordem da equação diferencial
	4.2.4. Método dos coeficientes a determinar
	4.2.5. A equação de Euler-Cauchy
	4.2.6. Método das séries de potências
	4.2.7. Método de Frobenius
	4.3. Exercícios
	4.4. A Dinâmica de uma partícula
	4.4.1. Queda livre de corpos
	4.4.2. Queda de corpos considerando a resistência do ar
	4.4.3. Movimento de projéteis
	4.4.4. Movimento em planos inclinados
	4.4.5. Velocidade de escape
	4.4.6. Movimento de um foguete
	4.4.7. Energia cinética e potencial
	4.5. Oscilador harmônico
	4.5.1 Oscilador harmônico simples
	4.5.2. Oscilador harmônico amortecido
	4.5.3. Oscilador forçado
	4.5.4. Comentários sobre a energia do oscilador harmônico
	4.6. Campos Centrais de Forças
	4.6.1. Movimento centralcom força atrativa proporcional à distância ao centro
	4.6.2. Movimento central com força atrativa inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro
	4.6.3. Lei da Gravitação Universal
	4.6.4. Leis de Kepler
	4.6.5. A Lei da Gravitação Universal e as Leis de Kepler
	4.6.6. A equação das órbitas dos planetas na Teoria Geral da Relatividade
	4.6.7. Satélites artificiais da Terra
	Capítulo 5: Transformada de Laplace
	5.1. Definição da Transformada de Laplace
	5.2. Propriedades da Transformada de Laplace
	5.3. Produto de Transformadas e Convolução
	5.3.1. Obtenção de uma solução particular de uma equação não homogênea
	5.4. Exercícios
	5.5. Aplicações
	5.5.1. Funções descontínuas
	5.5.2. Funções impulso
	5.5.3. Comportamento da derivada
	Capítulo 6: Sistemas Autônomos no Plano
	6.1. Consequências do Teorema de Existência e Unicidade
	6.2. Pontos de equilíbrio ou singularidades
	6.2.1. O sistema linear
	6.2.2. O sistema não linear
	6.3. O Teorema de Poincaré-Bendixon
	6.3.1. Consequências do Teoream de Poincaré-Bendixon
	6.4. Usando o software Mathematica
	6.5. Exercícios
	6.6. Aplicações
	6.6.1. O pêndulo
	6.6.2. O modelo predador-presa
	Capítulo 7: Sistemas de Equações Diferenciais
	7.1. Sistemas Lineares de Equações Diferenciais
	7.1.1. Definições e propriedades 267
	7.1.2. Sistemas com coeficientes constantes
	7.1.3. Exponencial de matrizes
	7.2. Equação Adjunta e a Alternativa de Fredholm
	7.3. Linearização, Estabilidade e Funções de Liapunov
	7.4. Exercícios
	Referências Bibliográficas
	Índice Alfabético