Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno

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COLÉGIO SALESIANO DO SALVADOR 
 
 
Aluno (a):________________________________________________________________ Nº: ________ 
Série: 3ª Ens. Médio Turma:_____ Trimestre: 1º Data:_____/_____/_____ 
Componente Curricular: Matemática Professor(a): Ronaldo Pereira 
 
 
 
 
 
Trigonometria no triângulo retângulo 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. Na figura, BÂC é reto. Costumamos dizer 
que o triângulo ABC é retângulo em A. 
 
Em todo triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos, o lado oposto 
ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os ângulos agudos são denominados complementares. 
Aplicações – Teorema de Pitágoras 
 
 
Trigonometria 
Triângulo retângulo 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Trigonometria num triângulo qualquer 
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Atividades de Sala – 1 
1. (Unicamp 2023) Considere um triângulo ABC. 
Supondo que ABC é um triângulo retângulo com perímetro igual a 16 cm e hipotenusa de comprimento 
7 cm, calcule sua área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (Uerj 2019) Barris de carvalho costumam ser usados para dar sabor a muitos tipos de vinho. Considere 
um desses barris, representado na ilustração abaixo. 
 
 
 
Um dos métodos usados para calcular o volume aproximado V desses barris, em litros, consiste em 
medir com uma vareta a distância interna x, em metros, do furo A, na metade da altura do barril, ao 
ponto C da base, situado no lado oposto. Em seguida, aplica-se fórmula 3V 605 x  litros. 
 
Admita um barril com as seguintes medidas: y 0,7 m; z 0,5 m; h 1,6 m.   
 
Calcule o volume aproximado, em litros, de vinho que pode ser armazenado nesse barril. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. (Unifesp 2018) Em um tapete retangular decorado com círculos idênticos, o círculo de centro C 
tangencia as laterais do tapete em P e Q. O ponto R pertence à circunferência desse círculo e está à 
distância de 18 cm e de 25 cm das laterais do tapete, como mostra a figura. 
 
 
 
a) Calcule a distância de R até o canto superior do tapete, indicado por S. Deixe a resposta indicada 
com raiz quadrada. 
b) Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração do tapete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO 
I. Seno: Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto 
oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
II. Cosseno: Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida 
do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
III. Tangente: Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida 
do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. 
 Num triângulo ABC, retângulo em A, vamos indicar por �̂� e �̂� as medidas dos ângulos internos, 
respectivamente, de vértices B e C. 
 
Utilizando o quadrado e o triângulo equilátero, é possível construir uma tabela com os valores do seno, 
do cosseno e da tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°. 
 
RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE 
 
 �̂� �̂� 
Seno (sen) 
Cosseno (cos) 
Tangente (tg) 
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Atividades de Sala – 2 
 
1. (Uerj 2024) As imagens a seguir mostram a ilustração de um moinho de vento e seu esquema plano. 
Considere que a parte inferior do moinho é representada por um tronco de cone circular reto de bases 
paralelas e que suas quatro pás se movem no sentido anti-horário. 
 
 
 
Admita as seguintes informações: 
 
- o tronco possui altura de 7 m; 
- cada pá mede 4 m de comprimento, sendo uma delas OP; 
- a trajetória do movimento de rotação da extremidade P é a circunferência de centro O e raio de 4 m; 
- o ângulo AOP θ é medido no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal x; 
- a altura h ( )θ do ponto P é relativa ao plano horizontal que contém a base maior do tronco. 
 
Calcule a altura h do ponto P quando θ é igual a 120°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. (Ufjf-pism 1 2023) Um show é realizado em um terreno plano onde estão localizados um palco e uma 
torre de 5 metros de altura. Durante a realização do show um drone é acionado no ponto mais alto da 
torre aproximando-se do palco. Ele segue uma trajetória retilínea ascendente e que forma ângulo de 30° 
com o solo. Após percorrer 30 3 metros, o drone atinge o ponto mais alto deste trajeto, exatamente 
acima do ponto médio entre a base da torre e o palco. A figura abaixo esquematiza a posição do drone 
após o início do movimento. 
 
 
 
a) Qual é a distância entre a base da torre e o palco? 
b) A que altura do solo o drone se encontra após percorrer 30 3 metro? (Utilize 3 1,7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. (Unifesp 2016) Por razões técnicas, um armário de altura 2,5 metros e largura 1,5 metro está sendo 
deslocado por um corredor, de altura h metros, na posição mostrada pela figura. 
 
 
 
a) Calcule h para o caso em que 30 .α   
b) Calcule h para o caso em que x 1,2 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lei dos senos e lei dos cossenos 
LEI DOS SENOS 
Considere um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência 𝜆 de raio R. Traçando o diâmetro 
BD, temos que o triângulo BCD é retângulo em C, pois o ângulo 𝐵�̂�𝐷 “enxerga” um arco de 180º. 
O ângulo �̂� é congruente ao ângulo �̂�, pois ambos são inscritos na circunferência e “enxergam” o mesmo 
arco 𝐵𝐶.̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Lei dos Senos pode, então, ser enunciada da seguinte maneira: 
Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles, e a constante de 
proporcionalidade é o dobro do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo, ou seja: 
 
 
 
 
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LEI DOS COSSENOS 
Considere um triângulo ABC qualquer e sua altura AD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Lei dos Cossenos pode, então, ser enunciada da seguinte maneira: 
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, 
diminuída do dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado, ou seja: 
 
 
 
 
 
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Atividades de Sala – 3 
1. (Ita 2023) Um triângulo tem perímetro 20 e seus ângulos internos , eα β γ satisfazem a igualdade 
sen( ) sen( ) sen( ) 2.α β γ   Sabendo que um dos lados desse triângulo mede 8, determine a medida dos 
outros dois lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a 5 cm 
e um dos ângulos internosigual a ,θ em que cos 3 5.θ  
 
 
 
a) Calcule a área desse triângulo. 
b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. (Ufpr 2017) Considere o triângulo a seguir. 
 
 
 
a) Quanto mede o ângulo ?α 
b) Quanto mede x? 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades complementares – Questões de vestibulares 
 
1. (Uerj 2019) A figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos 
M, N e P. 
 
 
 
O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de: 
a) 3,6 
b) 3,8 
c) 4,2 
d) 4,4 
 
 
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2. (G1 - cotil 2019) O mapa abaixo mostra o posicionamento de três cidades – nomeadas de A, B e C – 
e as rodovias que as ligam e se cruzam perpendicularmente na cidade A. Em uma rodovia, a 60 km de 
distância de A, encontra-se a cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se a cidade C. Um posto policial 
deve ser construído na rodovia que liga a cidade B até a C, conforme o desenho. 
 
 
 
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B? 
a) 20 km 
b) 36 km 
c) 40 km 
d) 47 km 
 
3. (Espm 2019) Uma praça tem a forma de um quadrado de 200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo 
canto P, duas amigas percorrem o perímetro da praça caminhando em sentidos opostos, com 
velocidades constantes. O primeiro encontro delas se dá em um ponto A e o segundo, em um ponto B. 
Se a medida do segmento PA é 250 m, então, o segmento PB mede: 
a) 50 m 
b) 100 m 
c) 150 m 
d) 200 m 
e) 250 m 
 
4. (G1 - ifsc 2019) Um portão de elevação com 4,52 metros de altura é articulado em seu centro C, 
possui sua extremidade superior A fixa e a extremidade B só pode se mover verticalmente, conforme a 
figura. O portão, que inicialmente está fechado, é levantado de maneira que a extremidade B sobe 4 cm. 
Isso produz um deslocamento da articulação C. Qual a abertura horizontal x, em centímetros, 
percorrida pela articulação C? 
 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 24 cm 
b) 30 cm 
c) 17 cm 
d) 10 cm 
e) 4 cm 
 
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5. (G1 - cftmg 2019) No retângulo ABCD, o lado AB mede 4b e o lado BC mede 3b. 
 
 
 
Sabendo-se que a medida do segmento AE é 
1
3
 da medida de AD, então, o perímetro do triângulo ACE 
é 
a) 16b. 
b) 46b. 
c) b(5 4 5). 
d) b(6 2 5). 
 
6. (Efomm 2019) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi 
construído um segmento de reta com maior comprimento possível, contido internamente na região interna 
ao círculo maior e externa ao menor. 
 
O valor do segmento é 
a) 8,5 cm 
b) 11,75 cm 
c) 19,25 cm 
d) 24 cm 
e) 27 cm 
 
7. (G1 - cmrj 2019) A figura abaixo apresenta 100 quadrados de lado medindo 1 cm. Uma formiga saiu 
do ponto A, passou pelo ponto B e foi até o ponto C. Se ela tivesse seguido o caminho em linha reta de 
A até C, teria percorrido 
 
 
a) 13 cm 
b) 2 13 cm 
c) 8 cm 
d) 10 cm 
e) 52 cm 
 
 
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8. (Espcex (Aman) 2019) Em um triângulo ABC, BC 12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 
6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo? 
a) 235 cm . 
b) 22 35 cm . 
c) 26 35 cm . 
d) 235
cm .
2
 
e) 23 35 cm . 
 
9. (G1 - cp2 2019) Paulo comprou um terreno na forma de um quadrilátero e pretende cercá-lo com 5 
voltas de arame. Para isso, efetuou a medição de três lados e dois ângulos do terreno, mas se esqueceu 
de medir um de seus lados, conforme mostra a figura a seguir: 
 
Considere: 13 3,6 
 
 
 
A quantidade de arame, em metros, que Paulo deverá comprar é 
a) 64. 
b) 188. 
c) 283. 
d) 318. 
 
10. (Uel 2019) Convenciona-se que o tamanho dos televisores, de tela plana e retangular, é medido pelo 
comprimento da diagonal da tela, expresso em polegadas. Define-se a proporção dessa tela como sendo 
o quociente do lado menor pelo lado maior, também em polegadas. Essas informações estão dispostas 
na figura a seguir. 
 
 
 
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham televisores como dado na figura e de proporção 3 4. 
Sabendo que o tamanho do televisor de Hermengarda é 5 polegadas maior que o de Eurico, assinale a 
alternativa que apresenta, corretamente, quantas polegadas o lado maior da tela do televisor de 
Hermengarda excede o lado correspondente do televisor de Eurico. 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
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11. (Pucgo 2019) Aristarco de Samos (c. 287 a.C.) aplicou a Matemática à Astronomia. Tornou-se 
conhecido como o Copérnico da Antiguidade por ter formulado a hipótese heliocêntrica do Sistema Solar. 
Usando instrumentos toscos, Aristarco observou que o ângulo α entre a Lua, quando está exatamente 
meio cheia, a Terra e o Sol é de 29/30 de um ângulo reto. Com base nessa medição, ele calculou a 
distância da Terra ao Sol. Com essas informações, marque a alternativa correta que apresenta uma boa 
estimativa para a distância da Terra ao Sol: 
 
Dado: (cos 87 0,052)  
a) Entre 18 e 20 vezes a distância da Terra à Lua. 
b) Entre 22 e 24 vezes a distância da Terra à Lua. 
c) Entre 26 e 28 vezes a distância da Terra à Lua. 
d) Entre 30 e 32 vezes a distância da Terra à Lua. 
 
12. (Albert Einstein - Medicina 2019) Uma empresa desenvolveu um suporte para fixação de televisores 
(TVs) em paredes. O suporte pode ser utilizado em TVs de 32 até 55 polegadas e permite que o aparelho 
fique na vertical ou inclinado, conforme a ilustração, em que β refere-se ao ângulo máximo de inclinação. 
 
 
 
 
 
Considere os seguintes valores aproximados para seno, cosseno e tangente: 
 
β sen β cos β tg β β sen β cos β tg β 
10 0,174 0,985 0,176 16 0,276 0,961 0,287 
11 0,191 0,982 0,194 17 0,292 0,956 0,306 
12 0,208 0,978 0,213 18 0,309 0,951 0,325 
13 0,225 0,974 0,230 19 0,326 0,946 0,344 
14 0,242 0,970 0,250 20 0,342 0,940 0,364 
15 0,259 0,966 0,268 21 0,358 0,934 0,384 
 
A diferença entre o ângulo máximo de inclinação da TV de 32 polegadas e da TV de 55 polegadas é um 
valor entre 
a) 1 e 3 . 
b) 9 e 11 . 
c) 7 e 9 . 
d) 3 e 5 . 
e) 5 e 7 . 
 
 
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13. (Famerp 2019) Duas equipes de escavação vão perfurar um túnel AB em uma montanha, sendo que 
uma delas partirá de A e a outra de B, a fim de se encontrarem. Para cavar nas direções corretas os 
engenheiros precisam determinar as medidas dos ângulos α e ,β indicados na figura, que essa direção 
forma com as retas perpendiculares AC e BC, respectivamente. 
 
 
 
Dados: 
x 63,4 68,2 71,6 74 76 
tgx 2 2,5 3 3,5 4 
 
De acordo com o projeto e com os dados fornecidos, α e β são, respectivamente, iguais a 
a) 18,4 e 71,6 . 
b) 21,8 e 68,2 . 
c) 14 e 76 . 
d) 26,6 e 63,4 . 
e) 16 e 74 . 
 
14. (Espm 2019) Na figura abaixo, o círculo de centro O tem raio r e os triângulos ABO e ODC são 
retângulos. 
 
 
 
Se a medida dos ângulos agudos COD e OAB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale:a) r(sen x cos x) 
b) 2r 
c) r sen x 
d) r cos x 
e) 2r (cos x sen x)  
 
 
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15. (G1 - cotuca 2019) Os quatro triângulos equiláteros congruentes, na figura a seguir, estão enfileirados 
de modo que os pontos A, B, C, D e E são colineares. Sabendo que o lado do triângulo equilátero mede 
1cm, o valor da tangente do ângulo IÂE é: 
 
a) 
3
.
13
 
b) 
3
.
7
 
c) 
3
.
2
 
d) 
1
.
2
 
e) 
39
.
26
 
 
16. (G1 - cotil 2019) O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque 
cultural ao topo de uma montanha de 200 m de altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a 
plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e que o pico da montanha 
possa ser observado sob um ângulo de 30°, determine a distância percorrida pelo teleférico do ponto de 
embarque ao topo da montanha. 
 
 
a) 350 m 
b) 370 m 
c) 390 m 
d) 410 m 
 
17. (G1 - ifce 2019) Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40° e 
medem 7 cm cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que 
a) 
w
sen20 .
7
  
b) 
w
sen40 .
7
  
c) 
w
sen20 .
14
  
d) 
2w
sen40 .
7
  
e) 
2w
sen20 .
7
  
 
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18. (G1 - cmrj 2019) Os alunos do 9º ano do CMRJ foram a uma visita ao Palácio Duque de Caxias para, 
além de conhecer o palácio, executar um trabalho sobre “grandes medições”, solicitado pelo seu professor 
de Matemática. 
Os alunos tinham que estimar a altura do prédio da 
Central do Brasil localizado ao lado do Palácio 
Duque de Caxias. Para realizar a tarefa, os alunos 
teriam que fazer a medição de ângulos a partir de 
três pontos distintos, determinados pelo professor, 
com o auxílio de um teodolito e utilizar 3 1,73 em 
seus cálculos. 
 
Observe os resultados obtidos com as três medições 
descritas a seguir: 
 
- a primeira medição foi feita a uma distância de 410 
m do prédio, e o topo do prédio foi observado 
segundo um ângulo de 15°; 
- a segunda medição foi feita depois de se aproximar do prédio, e o ângulo observado foi o dobro do 
ângulo da primeira medição; 
- a terceira medição foi feita depois de se aproximar 84 m do prédio, a partir do ponto da segunda medição, 
e o ângulo observado foi o triplo do ângulo da primeira medição. 
 
 
 
A partir desses dados, calcule o valor aproximado da altura do prédio da Central do Brasil. 
a) 34 m 
b) 48 m 
c) 79 m 
d) 115 m 
e) 121 m 
 
19. (G1 - cftmg 2018) O Hindu Bhaskara, ao demonstrar o Teorema da Pitágoras, utilizou uma figura em 
que ABCD e EFGH são quadrados, conforme mostrado abaixo. 
 
 
 
Se este quadrado ABCD tem lado de medida 3 cm e o ângulo ˆACH mede 60 , então, a área de EFGH, 
em 2cm , é 
a) 
3 3
.
2
 
b) 
3
3 .
2
 
c) 3 3. 
d) 
3
3 1 .
2
 
  
 
 
 
19 
 
 
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20. (Famema 2018) A figura mostra um quadrado ABCD, com 6 cm de lado, e um triângulo retângulo 
ABF de hipotenusa AF, com o ponto F no prolongamento do lado BC e o ponto E sendo a intersecção 
dos segmentos DC e AF. 
 
 
 
Sabendo que o ângulo ˆFAB mede 60 , a medida do segmento CE é 
a) ( 3 3) cm. 
b) (2 3 3) cm. 
c) 2(3 3) cm. 
d) 2 3 cm. 
e) 2(3 3) cm. 
 
 
21. (Integrado - Medicina 2018) Camas Hospitalares são móveis de grande importância para o 
tratamento de enfermos em hospitais, postos de saúde e residências. Elas são produzidas para facilitar 
os atendimentos e auxiliar na melhora do estado de saúde do paciente. 
A cama hospitalar manual tem características comuns que são a regulagem de elevação de dorso e a 
flexão dos joelhos que é feita por manivelas instaladas na parte da peseira da cama, podendo, assim, 
auxiliar o paciente a ficar na melhor posição possível. 
 
Disponível em: <http://orthoborges.com.br/camas-hospitalares/> Acesso em: 11/10/2017. 
 
 
A imagem a seguir mostra uma cama hospitalar manual após a realização de dois movimentos: o 
movimento de elevação da cabeceira e o movimento de flexão dos joelhos. Se AB = EF = 0,6 m, AC = 
CE e a medida dos ângulos ABC 19 ,ACB 53    e DFE 90  e DEF 41 ,  o comprimento do estrado da 
cama, quando está paralelo ao chão, é 
 
 
 
 
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Ângulo seno cosseno tangente 
19° 0,32 0,94 0,34 
41° 0,65 0,75 0,87 
53° 0,80 0,60 1,33 
 
a) 1,60 m. 
b) 1,75 m. 
c) 1,88 m. 
d) 1,92 m. 
e) 2,00 m. 
 
22. (Ufu 2018) O compasso é um instrumento usado no desenho artístico e no desenho técnico. Um 
exemplo de compasso especial é o compasso articulável, que possui cabeça de fricção para ajuste 
preciso e suave do raio, um braço articulável e outro com barra prolongadora do braço, onde fica a ponta 
seca, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
O esquema abaixo mostra um compasso articulável ajustado de modo que o braço articulável AO é 
perpendicular a AB e OP. 
 
 
 
Para essa configuração, a medida, em cm, do raio da circunferência traçado com o compasso é 
a) 5 3. 
b) 8 3. 
c) 9 3. 
d) 13 3. 
 
 
 
 
21 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
23. (Ufjf-pism 2 2019) Um terreno plano, em forma de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados 
medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 30 e 60 . Além disso, a 
diagonal AC desse terreno forma 45 com o lado CD. 
 
 
 
A medida do menor lado desse terreno, em metros, é 
a) 
45 2
2
 
b) 
45 6
2
 
c) 15 3 
d) 30 3 
e) 90 3 
 
24. (Famerp 2020) A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, 
em uma parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo ˆMER mede 120 , ME 2 m e a área do retângulo 
FAME é igual a 212 m . 
 
 
 
Na situação descrita, a medida de RA é 
a) 3 3 m 
b) 4 3 m 
c) 5 2 m 
d) 3 2 m 
e) 4 2 m 
 
 
22 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
25. (G1 - col. naval 2020) Observe a figura a seguir: 
 
 
 
Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para isso toma 
como referência os pontos A e B das ilhas como mostra a figura. Na praia ele marca dois pontos C e D 
distantes 70 m um do outro. Usando um medidor de ângulos (teodolito), os ângulos 
ACB 38 , BCD 37 , ADC 60      e ADB 53 .  É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é: 
 
Dados sen37 3 5, sen75 19 20,cos53 3 5      e 2 7 5 
a) maior do que 70 m e menor do que 75 m. 
b) maior do que 75 m e menor do que 80 m. 
c) maior do que 80 m e menor do que 85 m. 
d) maior do que 85 m e menor do que 90 m. 
e) maior do que 90 m e menor do que 95 m. 
 
26. (Ufrgs 2020) Na figura abaixo, tem-se um retângulo ABCD, de lados AB 3 e AD 5, e um triângulo 
equilátero BEC, construído sobre o lado BC. 
 
 
 
A medida DE é 
a) 34 15 2. 
b) 34 15 3. 
c) 7. 
d) 19. 
e) 34 15 3. 
 
27. (Uece 2020) A medida, em graus, do maior dos ângulos internos de um triângulo, cujas medidas dos 
lados são, respectivamente, 3 m, 5 m e 7 m, é 
a) 120. 
b) 80. 
c) 130. 
d) 100. 
 
 
 
23 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razõestrigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
28. (Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB 3 cm, BC 7 cm  e CA 8 cm. 
A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o 
comprimento do segmento NK, em cm, é 
a) 2. 
b) 2 2. 
c) 3. 
d) 2 3. 
e) 
7
.
2
 
 
29. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de 
comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre 
os pontos D e E será igual a 
 
 
a) 3 cm. 
b) 2 cm. 
c) 5 cm. 
d) 6 cm. 
 
30. (Ufms 2021) A figura a seguir é parte de um mosaico romano (século II d.C.) preservado em uma 
das mansões encontradas na cidade de Itálica, Espanha. Os bustos representados nos centros dos 
hexágonos regulares representam as divindades planetárias que dão nome aos dias da semana: no 
centro, Vênus (sexta-feira), rodeado pela Lua (segunda-feira), Marte (terça-feira), Mercúrio (quarta-feira), 
Júpiter (quinta-feira), Saturno (sábado) e o Sol (domingo). 
 
 
 
A figura seguinte é uma representação simplificada do mosaico: 
 
 
24 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
 
 
Considerando que R seja a medida do raio da circunferência que envolve os hexágonos regulares na 
figura anterior, é correto afirmar que cada um deles tem perímetro igual a: 
a) R 6. 
b) 6R 5 5. 
c) 3R 2. 
d) 4R 3. 
e) 6R 7 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
Seção Enem 
 
31. (Enem 2023) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida 
da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como 
apresentados na figura. 
 
 
 
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área 1 2 3C área (C ) área (C ).  
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em 
uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem 
usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à 
pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. 
Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros 
das pizzas, conforme indicado na figura. 
 
 
 
A partir da medida do ângulo ,α o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das 
áreas das outras duas pizzas. 
 
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, 
pois 
a) 0 90α    
b) 90α   
c) 90 180α    
d) 180α   
e) 180 360α    
 
26 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
32. (Enem 2023) O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região 
plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar 
sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto 
P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura. 
 
 
 
Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão e instalação: 
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação: 
 
- opção I: h = 11m e 30α   
- opção II: h = 12 m e 45α   
- opção III: h = 18 m e 60α   
 
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. 
 
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados? 
a) 
22 3
3
 
b) 11 2 
c) 12 2 
d) 12 3 
e) 22 
 
33. (Enem 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, 
comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra 
da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas 
paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura. 
 
 
 
27 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no 
solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das 
vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30 com a posição a pino, gere a 
metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia. 
 
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas 
de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de 
a) 9. 
b) 15. 
c) 26. 
d) 52. 
e) 60. 
 
34. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel 
transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30 com a borda inferior. O 
raio da base do cilindro mede 
6
cm,
π
 e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como 
na figura. 
 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36 3 
b) 24 3 
c) 4 3 
d) 36 
e) 72 
 
35. (Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. 
Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das 
hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o 
desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse 
de 120 . A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto 
B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura. 
 
 
 
 
28 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a 
indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a 
ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. 
 
Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm) 
I 0 R 5  
II 5 R 10  
III 10 R 15  
IV 15 R 21  
V 21 R 40  
 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
36. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas 
numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada 
uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom 
exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15 e duas casas decimais nas operações, 
descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 2100 m . 
b) entre 2100 m e 2300 m . 
c) entre 2300 m e 2500 m . 
d) entre 2500 m e 2700 m . 
e) maior que 2700 m . 
 
 
 
29 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
37. (Enem 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. 
Mantendoo barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo 
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º  e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco 
havia percorrido a distância AB 2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a 
menor distância do barco até o ponto fixo P será 
a) 1000 m . 
b) 1000 3 m . 
c) 
3
2000 m
3
. 
d) 2000 m . 
e) 2000 3 m . 
 
 
38. (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), 
na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente 
Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, 
desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da 
camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. 
 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010. 
 
 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do 
balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada 
com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. 
 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
a) 1,8 km 
b) 1,9 km 
c) 3,1 km 
d) 3,7 km 
e) 5,5 km 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
Trigonometria_Trigonometria no triângulo retângulo_Razões trigonométricas_Trigonometria no triângulo qualquer_Aluno 
 
39. (Enem 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou 
como herança um terreno retangular de 3 km 2 km que contém 
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo 
de raio 1km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. 
Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos 
acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um 
ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra 
a figura. 
 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João 
corresponde, aproximadamente, a 
Considere: 
3
0,58.
3
 
a) 50%. 
b) 43%. 
c) 37%. 
d) 33%. 
e) 19%. 
 
40. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, 
por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma 
inclinação de um ângulo ,α e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura 
medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma 
tabela como a apresentada. 
 
Ângulo α (Grau) Seno 
0,0 0,0 
1,0 0,017 
1,5 0,026 
1,8 0,031 
2,0 0,034 
3,0 0,052 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α quando dado em grau, é tal que 
a) 0 1,0α  
b) 1,0 1,5α  
c) 1,5 1,8α  
d) 1,8 2,0α  
e) 2,0 3,0α  
 
Gabarito – Atividades Complementares – Questões de vestibulares 
 
Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Resposta A B B B D D B C D C A C A B B C C D D E 
 
Questão 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Resposta C D D B C E A A C E 
 
Gabarito – Atividades Complementares – Seção Enem 
 
Questão 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
Resposta C C C B D E B C E C