Juros Simples e Compostos - Toda Matéria

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Juros Simples e Compostos
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores
envolvidos nas transações �nanceiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar
uma determinada quantia durante um período de tempo.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o
dinheiro �cará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este
valor.
Diferença entre juros simples e compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial.
Nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é
corrigido sobre um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros
compostos fará com que o valor �nal a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido
com juros simples.
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Diferença entre juros simples e compostos com o passar do tempo.
A maioria das operações �nanceiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os
juros simples se restringem as operações de curto período.
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática �nanceira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o
valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao �nal de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o
montante:
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A fórmula que encontramos é uma função a�m, desta forma, o valor do montante cresce
linearmente em função do tempo.
Veja t ambém: Juros Simples
Exemplo
Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no
sistema de juros simples?
Solução
Primeiro, vamos identi�car cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que �zemos a identi�cação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula
dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para
encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
Veja t ambém: Exercícios de Juros Simples
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
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M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do
montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor �nal aumente
consideravelmente para períodos maiores.
Veja t ambém: Juros Compostos
Exemplo
Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um
ano, no sistema de juros compostos.
Solução
Identi�cando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais
utilizadas na potência.
Portanto, ao �nal de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.
Veja t ambém: Exercícios de Juros Compostos
Exercícios Resolvidos
Questão 1
Cálculo do mont ant e
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Qual o montante de uma aplicação de R$500,00, a uma taxa de 3% ao mês, em um período
de 1 ano e 6 meses, nos sistemas de juros simples e compostos?
Juros simples
Juros compost os
Dados:
C = 500
i = 0,03
t = 18 meses (1ano + 6meses)
O montante será o capital inicial mais os juros.
M = C + J
Sendo o juro:
J = C.i.t
J = 500.0,03.18 = 270
Assim, o montante será:
M = C+J
M = 500+270
M = 770
Resposta: O montante dessa aplicação será de R$770,00.
Respost aRespost a
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Questão 2
Cálculo do capit al
Um certo capital foi aplicado por um período de 6 meses. A taxa foi de 5% ao mês. Após
esse período, o montante era de R$5000,00. Determine o capital.
Juros simples
Juros compost os
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Resposta: O montante do investimento no regime de juros compostos é de R$851,21.
Respost aRespost a
Colocando C em evidência na fórmula de juros simples:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Isolando C na equação:
Respost aRespost a
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Questão 3
Cálculo da t axa de juros
Qual seria a taxa mensal de juros de um investimento de R$1000,00 em um período de oito
meses que obteve um montante de R$1600,00.
Juros simples
Isolando C na fórmula dos juros compostos e substituindo os valores:
Resposta: O capital deve ser de R$4201,68.
Respost aRespost a
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Juros compost os
Questão 4
Aplicando a fórmula e colocando C em evidência:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Substituindo os valores e fazendo os cálculos numéricos:
Em porcentagem
I = 7,5%
Respost aRespost a
Vamos usar a fórmula para juros compostos e dividir o montante pelo capital.
Em porcentagem i = 6,051%
Respost aRespost a
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Cálculo do período da aplicação (t empo)
Um capital de R$8000,00 foi investido a juro mensal de 9%, obtendo um montante de
R$10360,00.
Quanto tempo esse capital �cou investido?
Juros simples
Juros compost os
Questão 5
UECE - 2018
Uma loja vende um aparelho de T V, com a seguintes condições de pagamento: entrada no
valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor
à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Equivalência de capitais
Em Matemática �nanceira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em
uma transação serão deslocadas no tempo.
Diante deste fato, fazer uma análise �nanceira implica comparar valores presentes com os
valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em
diferentes momentos.
Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o
valor futuro para t períodos de tempo, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente.
Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i) pelo valor presente, ou seja:n
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Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos
fazer uma divisão,isto é:
Veja t ambém: Porcentagem
Exemplo:
Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo
de R$ 6 000,00 a uma �nanceira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3
000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.
Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?
Solução
Se a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na
primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido.
Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo
assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma
mesma data.
Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o
esquema abaixo:
Usando a fórmula para dois e três meses:
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Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25.
Exercício resolvido
Questão 6
Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas
�xas iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento,
pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela,
resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
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Veja t ambém: Exercícios de Porcentagem
Veja t ambém: Matemática Financeira
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com
formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos
educacionais.
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