Estática de Fluidos e Aplicações

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 4 
Departamento de Eng. Química - UFSCar 
Prof. Gustavo Maia 
 
 
UNIDADE 2 
 
 
ESTÁTICA DE FLUIDOS 
 
 
Um fluido é definido como uma substância que escoará ou deformará continuamente 
sempre que uma tensão de cisalhamento for aplicada sobre ela. Segue, então, que a tensão de 
cisalhamento sobre um fluido em repouso deve ser zero. Podemos concluir que, para um fluido 
estático (ou em movimento de corpo rígido), somente a tensão normal estará presente – em 
outras palavras: a pressão. 
Trataremos agora dos tópicos relativos à estática dos fluidos e de suas aplicações para as 
engenharias. Os princípios da hidrostática podem ser utilizados para o cálculo de forças sobre 
objetos submersos, dedução das propriedades da atmosfera e dos oceanos, aplicações em prensas 
industriais ou freios de automóveis. Como aplicação específica para o curso de Fenômenos de 
Transporte 4, a maior contribuição dos conceitos de estática de fluidos está relacionada ao 
desenvolvimento de instrumentos para medir pressão. Não iremos, portanto, nos ater aos 
conceitos mais profundos e abrangentes da estática de fluidos, de forma que prezaremos o estudo 
dos conceitos pertinentes à construção dos manômetros. 
 
1. PRESSÕES ATMOSFÉRICA, ABSOLUTA E MANOMÉTRICA 
 
Pressão atmosférica: pressão exercida pela atmosfera sobre qualquer superfície, em virtude de 
seu peso. Equivale ao peso de uma coluna de ar de corte transversal unitário, que se estende 
desde um nível dado até o limite superior da atmosfera. É também conhecida como pressão 
barométrica. A pressão atmosférica varia de lugar para lugar e essa variação é causada pela 
altitude e principalmente pela temperatura. Ao nível do mar e a temperatura de 0ºC (273,15 K), a 
pressão atmosférica é definida como 1atm. É comum o uso de unidades de pressão não 
pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e milímetros de mercúrio (mmHg). Para exemplificar, 
temos: 
 
1 atm = 760 mmHg =101325 Pa =14,7 lbf/in
2
 (psi) 
 
Contudo, para efeitos de cálculos de engenharia, sugere-se a utilização de unidades de 
pressão que reflitam a natureza física de sua definição, ou seja, unidades de força por unidade de 
área. 
 
Pressão absoluta: valor da pressão determinado em relação ao vácuo absoluto. É possível 
encontrar um paralelo entre a pressão absoluta e a escala absoluta de temperatura (Kelvin, no 
sistema internacional). Em ambos os casos os valores obtidos para cada propriedade representam 
valores absolutos em relação ao zero absoluto de cada grandeza. 
Pressão manométrica: Em muitos casos, como na calibração de um pneu, estamos interessados 
apenas na diferença entre a pressão interna de um reservatório (o pneu) e a pressão externa (o ar, 
que está na pressão atmosférica local). A essa diferença chamamos pressão manométrica, e os 
aparelhos que a medem chamamos de manômetros. 
Podemos relacionar os tipos de pressão conforme a ilustração abaixo 
 
Figura 1. Relação entre as medidas de pressão absoluta, manométrica e atmosférica local. 
 
Matematicamente, essa relação pode ser escrita como: 
 
atmabsman PPP −= 
 
Assim, a pressão manométrica é uma escala de pressão que adota como zero a pressão 
atmosférica local, o que justifica a afirmação que nesta escala existe: pressões negativas 
(depressões ou vácuos técnicos), nulas e positivas. Geralmente, quanto nós lemos a pressão em 
um manômetro, nele já está descontada a pressão na atmosfera padrão, assim, ele mede a pressão 
atmosférica padrão como 0 psi. 
 
2. LEI DE STEVIN 
 
Simon Stevin foi um físico e matemático belga que concentrou suas pesquisas nos 
campos da estática e da hidrostática, no final do século XVI, e desenvolveu estudos também no 
campo da geometria vetorial. Entre outras coisas, ele demonstrou, experimentalmente, que a 
pressão exercida por uma coluna de fluido depende exclusivamente da posição em que essa 
pressão é avaliada. 
A Lei de Stevin, como é conhecida, pode ser dividida nos seguintes argumentos: 
• Pontos em um líquido homogêneo em equilíbrio, que estejam no mesmo nível, 
têm a mesma pressão; 
• A pressão absoluta num ponto de um líquido homogêneo e incompressível, de 
densidade ρ e a uma profundidade h, é igual à pressão atmosférica (exercida sobre 
a superfície desse líquido) mais a pressão da coluna de fluido sobre o ponto 
(ρ.g.h) , e não depende da forma do recipiente; 
 
 A Figura 2 ilustra uma representação da Lei de Stevin envolvendo dois pontos, em 
diferentes níveis, no interior de um fluido de densidade ρ: 
Figura 2. Ilustração da Lei de Stevin
 
Aplicando a formalização matemática às pressões dos pontos M e N temos:
 
PPP N −=∆
 
Uma básica e imediata aplicação da conclusão definida por St
comunicantes, ilustrado da Figura 3
contido em recipientes que estabelecem uma comunicação entre si, mantém sempre a mesma 
altura, independentemente da forma ou do volume de l
 
Figura 3. Vasos comunicantes.
 
3. PRINCÍPIO DE PASCAL 
 
A lei que a seguir se deduz é válida 
com densidade constante durante o aumento ou diminuição de pressão. O princípio de Pas
pode ser representado pela Figura 
repouso é transmitida igualmente a todos os pontos do fluido.
 
Figura 2. Ilustração da Lei de Stevin aplicada a dois pontos no interior de um fluido
Aplicando a formalização matemática às pressões dos pontos M e N temos:
MatmM hgPP ⋅⋅+= ρ 
 
NatmN hgPP ⋅⋅+= ρ 
 
( ) ( ) ghgPhgPP MatmNatmM ⋅⋅=⋅⋅+−⋅⋅+= ρρρ
Uma básica e imediata aplicação da conclusão definida por St
Figura 3. A superfície livre de um fluido estático, isto é, em repouso, 
contido em recipientes que estabelecem uma comunicação entre si, mantém sempre a mesma 
altura, independentemente da forma ou do volume de líquido neles contido.
Figura 3. Vasos comunicantes. 
A lei que a seguir se deduz é válida apenas para líquidos incompressíveis, ideais, ou seja, 
com densidade constante durante o aumento ou diminuição de pressão. O princípio de Pas
igura 4, e diz que a pressão aplicada à superfície de um fluido em 
repouso é transmitida igualmente a todos os pontos do fluido. 
aplicada a dois pontos no interior de um fluido. 
Aplicando a formalização matemática às pressões dos pontos M e N temos: 
h∆⋅ 
Uma básica e imediata aplicação da conclusão definida por Stevin são os vasos 
estático, isto é, em repouso, 
contido em recipientes que estabelecem uma comunicação entre si, mantém sempre a mesma 
íquido neles contido. 
 
para líquidos incompressíveis, ideais, ou seja, 
com densidade constante durante o aumento ou diminuição de pressão. O princípio de Pascal 
, e diz que a pressão aplicada à superfície de um fluido em 
 
Figura 4. Esquema do Princípio de Pascal semelhante a uma prensa hidráulica. 
 
Uma aplicação simples deste princípio é a prensa hidráulica. A prensa é um dispositivo 
com dois vasos comunicantes, que possui dois êmbolos de diferentes áreas sobre a superfície do 
líquido. 
Do ponto de vista do formalismo matemático, o Princípio de Pascal pode ser escrito 
como: 
2
2
1
1
A
F
A
F
P == 
Assim, garantida a igualdade de pressão em todo o fluido, pequenos esforços realizados 
sobre uma superfície pequena permitem a realização de grandes esforços sobre uma área maior, 
uma vez que a relação entre Força e Área se mantém constante. 
Evidente que o volume de líquido deslocado é o mesmo em ambos os lados da prensa, o 
que implica em um deslocamento considerável do êmbolo de menor seção de área para que seja 
produzido um correspondente deslocamento que seja significativo no êmbolo de maior área. 
 
4. MEDIDORES DE PRESSÃO 
 
Utilizando as leis de Stevin e Pascal, simultaneamente, é possível criar instrumentos que 
permitam a determinação da pressão de um sistema com o auxílio de fluidos de densidade 
conhecida. 
Muitos dos aparatos empregados para a medida de pressões utilizam a pressão 
atmosférica como nível de referência e medem a diferença entre a pressão absoluta e a pressão 
atmosférica. Tais aparatos recebem o nome de manômetros e funcionam segundo os mesmos 
princípiosem que se fundamentam os barômetros de mercúrio e os aneroides. Os manômetros 
são capazes de medir valores de pressão acima ou abaixo da pressão atmosférica. 
Especificamente os manômetros que servem para medir pressões inferiores à atmosférica se 
chamam manômetros de vácuo ou vacuômetros. 
 
4.1. O Barômetro 
 
O barômetro é um tipo especial de manômetro que mede exclusivamente a pressão 
atmosférica local. Ele foi desenvolvido originalmente por Evangelista Torricelli e consistia em 
um tubo fechado de 100 cm de altura totalmente preenchido com mercúrio. 
Para a determinação da pressão atmosférica local o tubo era posicionado na posição 
vertical com a extremidade aberta sobre um recipiente contendo mercúrio, de forma que não 
entrasse ar no sistema. A coluna de fluido se estabilizava formando-se vácuo na superfície 
fechada do tubo conforme a ilustração da Figura 5. 
 
Figura 5. Ilustração do barômetro de Torricelli. 
 
4.2. O Piezômetro 
 
 Instrumento muito simples, consistindo de um tubo vertical de vidro ou qualquer outro 
material transparente. Basta medirmos a altura da coluna de fluido no interior desse tudo e sua 
massa específica para que possamos aplicar a lei de Stevin e obtermos a pressão P. Uma 
ilustração do piezômetro pode ser vista na Figura 6. 
 
Figura 6. Ilustração de um piezômetro de vidro acoplado a um sistema dinâmico. 
 
4.3. O Manômetro em U 
 
 O manômetro mais sensível consiste em um tubo de vidro dobrado em U que contém um 
líquido apropriado (mercúrio, água, óleo) chamado de fluido manométrico. Um dos ramos do 
tubo está aberto à atmosfera local enquanto o outro está conectado com um sistema que contém o 
fluido cuja pressão se deseja medir conforme a Figura 7. 
 O fluido do recipiente penetra em parte do tubo em U, fazendo contato com a coluna 
líquida. Os fluidos alcançam uma configuração de equilíbrio da qual resulta fácil deduzir a 
pressão manométrica no depósito com o auxílio das leis de Stevin e Pascal. 
 
 
Figura 7. Esquema de um manômetro em U. 
 
Observe que poderíamos chegar ao mesmo resultado utilizando a equação manométrica. 
Para isso basta escolhermos um dos extremos que chamaremos de extremo inicial e vamos nos 
dirigir ao outro extremo que chamaremos de extremo final. Ao partirmos do extremo inicial e 
nos dirigirmos ao final, sempre que descermos num fluido escreveremos (+ρ.g.h.) e sempre que 
subirmos escreveremos (−ρ.g.h), sendo h medido sempre verticalmente. 
É possível, também, o emprego de manômetros que conectem dois ambientes, de forma 
que ele mede a diferença de pressão entre eles, não se relacionando, dessa forma, com a pressão 
atmosférica local. Um exemplo dessa utilização é mostrado na Figura 8. 
 
 
Figura 8. Esquema de um manômetro em U ligando dois ambientes com diferentes pressões. 
 
Note que o valor da pressão fornecida pelo manômetro depende unicamente de qual é o 
ambiente tomado como base. Tanto é possível avaliar PA – PB tanto PB – PA, de forma que a 
única diferença é o sinal da pressão manométrica. Nessas circunstâncias, a menos que uma das 
pressões nos ambientes A e B sejam conhecidas, é impossível a determinação dos valores 
absolutos de pressão em cada ambiente. 
 
4.4. O Manômetro com Múltiplos Fluidos 
 
Eventualmente, por questões operacionais, os manômetros podem ser construídos 
utilizando-se mais de um fluido manométrico. Isso ocorre, frequentemente, em função da 
natureza dos fluidos mais empregados com essa finalidade. Seria bastante complexa a construção 
de um manômetro que operasse entre dois níveis de pressão relativamente distantes entre si 
empregando unicamente mercúrio como fluido manométrico, dada a dificuldade operacional em 
se utilizar grandes volumes desse fluido. 
A metodologia para o cálculo da pressão é o mesmo já abordado para o manômetro em U 
com um único fluido manométrico. A Figura 9 ilustra um exemplo de aplicação de um 
manômetro com vários fluidos manométricos. 
 
 
Figura 9. Esquema de um manômetro com três fluidos manométricos. 
 
Vale lembrar que para tal aplicação, os fluidos manométricos devem, obrigatoriamente, 
ser imiscíveis entre si. 
 
4.5. O Manômetro de Bourdon 
 
Esse instrumento talvez de todos os instrumentos medidores de pressão é o mais 
conhecido. É constituído basicamente por um tubo metálico flexível enrolado similarmente a um 
caracol. A pressão atuante internamente ao tubo tende a endireitá-lo enquanto que a pressão 
externa tende a curvá-lo. Após uma cuidadosa aferição, podemos calibrá-lo para que indique a 
diferença entre as pressões atuantes internamente e externamente ao tubo flexível (Figura 10). 
 
 
Figura 10. Ilustração de um manômetro de Bourdon. 
4.6. Exemplos 
 
1) No manômetro diferencial mostrado na figura, o fluido A é água, B é óleo e o fluido 
manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, determine 
qual é a diferença de pressão entre os pontos A e B. Observe que o peso específico γ corresponde 
à multiplicação da massa específica (ρ) pela aceleração da gravidade local (geralmente 
considera-se 10 m/s2). 
Dados: γágua-1 = 10000N/m³, γmercúrio-2 = 136000N/m³, γóleo-3 = 8000N/m³. 
 
Solução: 
• Etapa 1: Avaliar quais as informações fornecidas. 
Pesos específicos e as alturas das colunas de fluido no manômetro em U. 
 
• Etapa 2: Avaliar aquilo que se deseja obter como resposta. 
A diferença de pressão (PA-PB). 
 
• Etapa 3: Fazer uma ilustração do problema. 
O objetivo dessa etapa é deixar explícito na ilustração fornecida observações pertinentes à 
solução, ou mesmo criar uma ilustração caso ela não tenha sido fornecida. No esquema abaixo 
foram indicados pontos de pressão de interesse. Em problemas de manometria é de grande 
utilidade indicar as pressões dos meniscos entre os fluidos e eventuais pontos de mesma pressão. 
No caso, foram indicadas as pressões nos meniscos P1 e P3 e a pressão P2 que, pela Lei de Stevin, 
possui o mesmo valor de P3. 
 
• Etapa 4: Considerações 
Os três fluidos podem ser considerados incompressíveis; 
Os fluidos são imiscíveis; 
Não há qualquer informação sobre a pressão atmosférica local; 
Extremidades fechadas; 
água
óleo 
mercúrio 
água
óleo 
mercúrio 
P1
P2 P3
PA
PB
• Etapa 5: Análise 
Pela lei de Stevin é possível afirmar que: 
 
P1 = PA + ρ1.g.h1 = PA + γ1.h1 
P2 = P1 + γ2.h2 
P3 = PB + γ3.h3 
Além disso: 
P2 = P3 (lei de Stevin) 
Portanto: 
P1 + γ2.h2 = PB + γ3.h3 → (PA + γ1.h1) + γ2.h2 = PB + γ3.h3 
(PA - PB) = γ3.h3 - γ2.h2 - γ1.h1 
 
A mesma expressão poderia ser obtida utilizando-se a regra de somar colunas de fluido 
descendentes e subtrair as ascendentes. Partindo do ponto A, temos: 
 
PA + γ1.h1 + γ2.h2 - γ3.h3 = PB → (PA - PB) = γ3.h3 - γ2.h2 - γ1.h1 
 
Note que a altura h4 não foi utilizada para os cálculos. Explique porque ela não foi necessária! 
 
• Etapa 6: Cálculos 
Substituindo os valores numéricos na equação desenvolvida na etapa 5, temos: 
 
(PA - PB) = (8000 N/m3).(0,8 m) – (136000 N/m3).(1,0 m) – (10000 N/m3).(0,25 m) 
(PA - PB) = 6400 N/m2 – 136000 N/m2 – 2500 N/m2 
 
(PA - PB) = – 132100 N/m2 ou – 132100 Pa 
 
O sinal negativo indica que a pressão no ambiente B é maior do que a pressão no ambiente A. 
Note que as unidades de altura estão em metros, a fim de se obter uniformidade dimensional com 
o SI. 
 
2) Um tanque foi construído de uma série de cilindros tendo diâmetro de 0,30, 0,25 e 0,15 m, 
como mostrado na figura abaixo. O tanque contém óleo (1) com peso específico de 8,95 kN/m3, 
água (2) com peso específico de 9,80 kN/m3, glicerina (3) com peso específico de 12,4 kN/m3 e 
um manômetro de mercúrio (4) com peso específico de 133 kN/m3. Determine o valor da altura 
h. 
 
Pa
Patm
Pb
Solução: 
• Etapa 1: Avaliar quais as informações fornecidas. 
Pesos específicos, níveis dos fluidos e as respectivas áreas das seções circulares dos cilindros. 
 
• Etapa 2: Avaliar aquilo que se deseja obter como resposta. 
A altura manométrica h 
 
#Pergunta: As áreas das seções circulares dos cilindrosserão necessárias para os cálculos da 
altura manométrica? Utilize a lei de Stevin para justificar sua resposta! 
 
• Etapa 3: Fazer uma ilustração do problema. 
Nesse problema o esquema ilustrado já foi fornecido e não carece de maiores adequações. 
 
• Etapa 4: Considerações 
Os fluidos podem ser considerados incompressíveis; 
Os fluidos são imiscíveis; 
Não há qualquer informação sobre a pressão atmosférica local; 
As extremidades estão abertas; 
 
• Etapa 5: Análise 
Pela lei de Stevin é possível afirmar que: 
 
Pa = Pb 
 
As colunas de fluido sobre Pa e Pb são, respectivamente, dadas por: 
 
Pa = γ1.h1 + γ2.h2 + γ3.h3 + Patm 
Pb = γ4.h + Patm 
 
• Etapa 6: Cálculos 
Considerando 
h1 = 0,1 m; h2 = 0,1 m; h3 = 0,2 m. 
 
Temos: 
 
Pa = Pb → γ1.h1 + γ2.h2 + γ3.h3 + Patm = γ4.h + Patm 
 
4
332211 h.h.h.
γ
γ+γ+γ
=h 
 
( ) ( ) ( )
( )
cm27,3m0327,0
mkN133
m2,0mkN4,12m1,0mkN80,9m1,0mkN95,8
3
333
 h ==
⋅+⋅+⋅
= 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
I. Pressão de vácuo: pequenos animais tal como o hamster podem viver em pressões 
reduzidas até cerca de 20 kPa (ou 0,197 atm), embora não confortavelmente. Um 
manômetro de mercúrio preso ao tanque mostrado na figura abaixo lê 64,5 cm Hg e um 
barômetro lê 100 kPa. Os hamsters irão sobreviver? 
 
 
II. Um manômetro em um tanque de CO2, usado para encher garrafas de refrigerante com 
gás, lê 51 psi (psig). Ao mesmo tempo um barômetro (externo) lê 28 in Hg. Qual é a 
pressão absoluta no tanque em psia? 
 
 
III. Qual é a pressão indicada pelo manômetro C da figura abaixo, se as pressões indicadas 
são PA = 45 psi e PB = 10 psi? A pressão barométrica é 15 psi. 
 
 
IV. Na figura que segue o compartimento A contém um gás de densidade desprezível. Qual a 
pressão relativa em A? Dados: h1 = 12 cm, ρ1= 2 g/cm3; h2 = 15 cm, ρ2 = 3 g/cm3; 
h3 = 10 cm, ρ3 = 4 g/cm3. 
 
V. A figura que segue indica um arranjo de manômetros de Bourdon e de tubo em “U” 
utilizado para medir a pressão relativa em dois compartimentos contíguos. A pressão 
externa é a atmosférica. Calcule a leitura do manômetro A. Dado 1 kgf/cm2 = 98 kPa. 
 
 
VI. No sistema que segue, o líquido dos manômetros é mercúrio. Calcule as alturas HA e HB, 
sabendo-se que Patm = 76 cmHg. Estão corretos os níveis desenhados HA e HB? OBS: 
medidas em cm. Dica: não é necessário converter as unidades para se resolver esse 
exercício. 
 
 
VII. Quando se deseja precisão em medidas de pequenas variações de pressão, utiliza-se um 
manômetro de tubo inclinado, conforme mostrado na figura abaixo. Sabendo-se que o 
fluido manométrico estava, inicialmente, no nível descrito pela linha 0-0’, calcule a 
diferença de pressão (P1 - P2) que provocou o deslocamento L no tubo. Dados: θ=30º; 
a = 1 cm2; A = 50 cm2; ρ = 0,8 g/cm3; L = 40 cm; g = 10,0 m/s2. 
 
 
VIII. De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se: 
a. Determinar a diferença de pressão entre A e B em kPa 
b. Se a pressão em B = 75 kPa , qual será a pressão em A? 
Dados: ρágua = 1000 kg/m3; ρazeite = 800 kg/m3. 
 
 
IX. Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 300 kPa e 150 kPa 
respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial? Dados: 
ρágua = 1000 kg/m3; ρHg = 13600 kg/m3; x + y = 2,0 m. 
 
 
X. Na tubulação de água apresentada na figura abaixo, instala-se um manômetro diferencial. 
Determinar a diferença de pressão (em kPa) entre os pontos B e C. Considere a densidade 
da água e do mercúrio fornecidas em exercícios anteriores.