Resistência dos Materiais

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SISTEMAS ESTRUTURAIS II
PROF. ME. RENAN GUSTAVO JUNQUEIRA
REITORIA: 
Dr. Roberto Cezar de Oliveira
PRÓ-REITORIA:
Profa. Ma. Gisele Colombari Gomes
DIRETORIA DE ENSINO:
Profa. Dra. Gisele Caroline Novakowski
EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAIS:
Diagramação
Revisão textual
Produção audiovisual
Gestão
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UNIDADE
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................5
1. CONCEITO DE TENSÃO .........................................................................................................................................6
1.1 TENSÃO NORMAL .................................................................................................................................................6
1.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO .............................................................................................................................7
2. CONCEITO DE DEFORMAÇÃO ..............................................................................................................................8
2.1 DEFORMAÇÃO POR CARREGAMENTO AXIAL ...................................................................................................8
2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO...............................................................................................................9
3. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ............................................................................................... 10
3.1 TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL ..................................................................................... 10
3.2 DUCTILIDADE ..................................................................................................................................................... 11
3.3 FRAGILIDADE ...................................................................................................................................................... 11
CONCEITOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROF. ME. RENAN GUSTAVO JUNQUEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS II
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3.4 LEI DE HOOKE .................................................................................................................................................... 12
4. TORÇÃO ................................................................................................................................................................. 13
5. FLEXÃO .................................................................................................................................................................. 16
6. CISALHAMENTO .................................................................................................................................................. 18
7. FLAMBAGEM .........................................................................................................................................................20
7.1 CARGA CRÍTICA DE FLAMBAGEM ......................................................................................................................20
7.2 ÍNDICE DE ESBELTEZ .........................................................................................................................................22
EXERCÍCIOS ..............................................................................................................................................................23
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................29
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
O conhecimento de alguns conceitos da resistência dos materiais tem fundamental 
importância no entendimento das diferenças de projeto que ocorrem nos diversos tipos de 
materiais utilizados na construção civil. Para cada tipo de material, existe uma norma que rege os 
princípios de dimensionamento, bem como as veri� cações que devem ser cumpridas para que a 
estrutura seja funcional e segura.
Para cada tipo de esforço, existe um modelo de cálculo de resistência, que possui suas 
limitações e simpli� cações, sempre de modo a permitir um cálculo relativamente simples, com 
uma margem de segurança adequada.
Quando tratamos de esforços internos, não necessariamente tratam-se das cargas que 
atuam em uma estrutura, mas do que ela absorve internamente. No cálculo estrutural, são de 
interesse os esforços de � exão, axiais, cisalhantes (corte) e esforços de torção. Para cada tipo de 
esforço citado, surgem conceitos intrínsecos de cada natureza, fazendo-se objeto de estudo desta 
unidade.
Os esforços internos devem ser extraídos por meio da construção dos diagramas para 
cada tipo de esforço, processo já aprendido na disciplina de Sistemas Estruturais I. Sabendo-se 
que, em uma mesma barra, podem existir diversos esforços e com diferentes valores para cada 
posição, o intuito do cálculo de esforços em estruturas é determinar quais os valores de interesse 
em uma região especí� ca.
Em geral, as estruturas podem ser representadas por barras, tendo, cada uma, um 
diagrama de momento � etor, torçor, cortante e normal. Cada diagrama, representando efeitos 
isolados, apresenta diversos valores, diferentes em cada posição da barra. O intuito do cálculo 
estrutural, em geral, é determinar o máximo esforço da barra de modo que ela seja dimensionada 
para tal.
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1. CONCEITO DE TENSÃO
1.1 Tensão Normal
Um conceito bastante importante no estudo de sistemas estruturais é a tensão. Vale 
salientar aqui que força e tensão são dois conceitos diferentes. A Figura 1 mostra um sistema 
de barras em que uma força de 30 kN é aplicada no ponto B, fazendo com que cada barra esteja 
submetida a um esforço axial diferente, que é função da geometria do problema e da força aplicada.
Figura 1 – Sistema de barras submetidas a forças axiais. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
Para saber se as barras suportam cada qual o seu valor de esforço, isto é, se a barra BC 
suporta a força FBC e a barra AB, a força FAB, não basta que se saiba apenas a força. A resistência 
da peça, nesse caso, depende também da área da seção transversal e do material com o qual ela é 
constituída. A Figura 2 apresenta a barra BC seccionada, em que a força FBC pode ser entendida 
como sendo a força resultante de uma série de forças elementares, distribuídas ao longo da área 
da seção.
Figura 2 - Distribuição de tensão na seção transversal da barra BC. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
A força distribuída por unidade de área ou intensidade das forças distribuídas numa certa 
seção transversal, segundo Beer e Johnston Junior (2007), é chamada de tensão atuante. Dessa 
forma, a tensão σ em uma barra de área A, submetida a uma força axial P, pode ser descrita como:
Equação 1
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A relação σ=P/A é válida apenas em regiões distantes de aplicações de forças 
pontuais, surgindo aqui o princípio de Saint-Venant, em que se introduz o conceito 
de concentração de tensão.
Figura 3 - Princípio de Saint-Venant. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
O dimensionamento em peças submetidas apenas ao esforço axial é feito 
considerando apenas as regiões em que é válida a relação σ=P/A. Em estruturas 
metálicas, por exemplo, peças tracionadas são dimensionadas nessa ideia, no 
entanto, em regiões de ligação, existem descontinuidades (furos) no material, 
que também apresenta concentrações de tensão, gerando a necessidade de 
outros critérios de dimensionamento.
1.2 Tensão de Cisalhamento
De acordo com Hibbeler (2010, p. 20), a tensão de cisalhamento é de� nida como “[...] 
a tensão que ageno plano da área secionada”. A Figura 4 ilustra um bloco apoiado em outros 
dois blocos, que está submetido a uma força F. Se F for su� cientemente grande, a tendência é 
que o bloco seja “cortado”, ou cisalhado, nas posições em que encontra apoio (AB e CD). Nesses 
pontos de apoio, surgem esforços internos cisalhantes, representados pela letra V, que, no caso 
do exemplo, escreve-se .
Figura 4 – Bloco submetido à t ensão de cisalhamento média. Fonte: Hibbeler (2010).
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A tensão cisalhante média (τmed) atuante na face cisalhada pode ser escrita, de acordo com 
Hibbeler (2010), como:
Equação 2
em que A é a área da seção em que está atuando o esforço cortante V.
Apesar de existir a formulação de tensão média, veremos à frente que a tensão de 
cisalhamento não é constante ao longo da seção: ela depende do cálculo do momento estático de 
1ª ordem da seção.
Observe a seguinte situação em que duas chapas estejam ligadas por meio de 
um conector de diâmetro d (um parafuso, por exemplo), conforme mostrado na 
Figura 5.
Figura 5 – Chapas tracionadas ligadas por meio de conector. Fonte: Hibbeler (2010).
Perceba que, para o dimensionamento do conector, apesar de a força F agir como 
esforço axial nas chapas, ela tende a cisalhar o conector com uma tensão média 
, em que A, nesse caso, é a seção transversal do parafuso, ou seja, .
2. CONCEITO DE DEFORMAÇÃO
2.1 Defo rmação por Carregamento Axial
Sabe-se que qualquer material, quando submetido a qualquer solicitação, apresenta um 
alongamento, encurtamento ou uma distorção, dependendo da direção e do sentido do esforço 
atuante. Tomando como exemplo uma barra de comprimento L, submetida a um carregamento 
axial P, ela alonga um certo valor δ, conforme é mostrado na Figura 6.
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Figura 6 – Deformação axial. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
De acordo com Beer e Johnston Junior (2007), a deformação especí� ca ε é adimensional, 
sendo de� nida como:
Equação 3
No entanto, não são apenas cargas axiais que geram deformações. Diferenças de 
temperatura também geram um estiramento ou um encurtamento, a depender se a variação é 
positiva ou negativa, respectivamente.
A variação térmica é um efeito bastante importante em determinadas situações. Uma 
dessas situações são estruturas muito grandes, como vigas muito compridas ou paredes com 
áreas muito amplas. Dependendo da situação, caso os efeitos de dilatação térmica (deformação 
pela temperatura) não sejam considerados, a estrutura pode apresentar diversas patologias. Um 
exemplo dessas patologias são � ssuras em estruturas de concreto.
2.2 Deformação por Cisalhamento
A deformação por cisalhamento, de acordo com Hibbeler (2010, p. 48), é “[...] a mudança 
que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram perpendiculares um 
ao outro”. A Figura 7(a) apresenta um elemento submetido a tensões de cisalhamento. Observe 
que a tensão cisalhante é constituída por dois binários, um em cada face do elemento. Os vetores 
que estão na direção de y tendem a rotacionar o elemento no sentido anti-horário, enquanto que 
os que estão na direção x contrapõem esse giro, tendendo a rotacionar o mesmo elemento no 
sentido horário. Tal peculiaridade é necessária para que se garanta a estaticidade do elemento 
submetido ao cisalhamento, restringindo os movimentos de translação ( ) e de rotação 
( ).
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(a) (b)
 Figura 7 - Deformação por cisalhamento. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
Dessa forma o elemento tende a se distorcer no formato de um losango, como mostra a 
Figura 7(b), apresentando as distorções do elemento com a letra γ, dada em radianos.
3. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
3.1 Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Como visto anteriormente, qualquer material, quando submetido a uma solicitação, está 
sujeito a um deslocamento associado. No entanto, ao analisarmos simplesmente a força aplicada 
e o deslocamento, percebemos que apresentarão valores diferentes ao se alterarem as dimensões 
da peça.
Em um ensaio de tração de uma barra de aço, por exemplo, a barra possui um comprimento 
inicial L e, ao ser submetida a uma carga P, passa a ter um novo comprimento L+δ. Observe que, 
se utilizarmos uma barra com área maior, para a mesma carga P aplicada, perceberemos que o 
deslocamento δ associado a essa carga será menor.
Para que seja possível avaliar um ensaio de modo a se caracterizar o material, não 
dependendo das dimensões do corpo de prova, surge a ideia de se trabalhar com o diagrama tensão-
deformação. Assim, na análise, substitui-se a força P pela tensão e o alongamento δ pela 
deformação . Dessa forma, eliminam-se as propriedades geométricas da seção (área A) 
e o comprimento L da peça, possibilitando a caracterização intrínseca de qualquer material.
A Figura 8 mostra um exemplo de diagrama tensão-deformação relacionado ao aço. 
Perceba que existe certo trecho do diagrama, denominado escoamento, em que a curva se 
horizontaliza. Trata-se de um fenômeno em que o material não absorve qualquer carregamento 
e se deforma, apresentando uma estricção na seção da peça pouco antes de romper. O trecho 
linear inicial (onde a tensão não atinge σe) consiste em uma fase em que o material apresenta 
comportamento elástico linear, que obedece à Lei de Hooke, explicada à frente.
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(a) (b)
 Figura 8 – (a) Exemplo de digrama tensão-deformação; (b) barra de aço com escoamento da seção e, posteriormen-
te, ruptura. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
3.2 Ductilidade
De acordo com Hibbeler (2010, p. 60), material dúctil é “[...] qualquer material que possa 
ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura”. Um exemplo é o aço utilizado 
na construção civil, pois ele apresenta o escoamento antes que atinja a ruptura, conforme já 
dito anteriormente. A ductilidade é uma propriedade bastante interessante, pois consiste em 
um “aviso” antes que a estrutura se rompa, dando margem para que indivíduos evacuem uma 
edi� cação em uma eventual ruína, por exemplo.
3.3 Fragilidade
Ainda para Hibbeler (2010, p. 61), materiais frágeis são “[...] materiais que exibem 
pouco ou nenhum escoamento antes da falha”. Um exemplo bastante corrente na construção é o 
concreto. A Figura 9 mostra um diagrama com valores típicos do concreto. O primeiro quadrante 
representa o comportamento na tração (tensões e deformações positivas), enquanto no quarto 
quadrante tem-se o comportamento na compressão (tensões e deformações negativas).
Figura 9 – Diagrama tensão-deformação típico do concreto. Fonte: Hibbeler (2010).
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Perceba como a tensão de compressão atinge a tensão máxima com uma deformação 
bastante inferior quando comparada ao comportamento do aço na Figura 8.
3.4 Lei de Hooke
Perceba, pelas Figuras 8 e 9, que, no início do diagrama, fase inicial de carregamento, o 
comportamento do grá� co é linear. A tensão é proporcional à deformação, ou seja, se uma barra 
sofre uma deformação “x” para a tensão “y”, quando a peça estiver submetida a uma tensão “2y”, 
a deformação será “2x”. Assim surge o conceito de módulo de elasticidade (E), que nada mais é 
do que o coe� ciente de proporcionalidade entre a tensão e a deformação. A Lei de Hooke assume 
a seguinte forma matemática:
 Equação 4
Devido ao fato de a deformação ε ser adimensional, a unidade do módulo de elasticidade 
assume a mesma unidade da tensão σ, isto é, Pascal e seus múltiplos no Sistema Internacional, ou 
ksi e psi no Sistema Inglês de unidades.
A Equação 4 representa a Lei de Hooke para cargas e deformações axiais. Para o 
cisalhamento, oque ocorre é algo parecido com essa equação, entretanto, substituindo-se os 
parâmetros σ, E e ε, que são grandezas longitudinais, pelos correspondentes parâmetros referentes 
ao cisalhamento, respectivamente τ, G e γ. A Lei de Hooke para o cisalhamento assume a seguinte 
forma:
Como você pôde ver na Figura 9, o concreto possui resistência à tração muito baixa 
quando comparada à compressão. Em contrapartida, o aço possui resistência 
muito maior que o concreto. O aço CA-50, por exemplo, possui 500 MPa de 
resistência característica. Assim, como forma de utilizar o concreto na construção 
civil, ele é associado ao aço de modo a ser disposto nas regiões tracionadas em 
vigas, por exemplo.
Um bom complemento com respeito aos conceitos de tensão e 
deformação pode ser visto no vídeo Ensaios de Materiais – Ensaio 
de tração – cálculo da tensão, disponível em <https://www.youtube.
com/watch?v=VTNwWTK98sw>. 
No vídeo, é apresentada, de forma bastante didática e ilustrativa, a importância 
do cálculo de tensão e deformação dos materiais. Além disso, apresentam-se os 
conceitos de deformação elástica e deformação plástica.
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Equação 5
Sendo:
τ: tensão de cisalhamento
G: módulo de elasticidade transversal
γ: deformação por cisalhamento ou distorção.
4. TORÇÃO
Aqui, serão estudadas peças submetidas ao efeito de torção, abordando os conceitos de 
tensão e deformação relativos a esse tipo de esforço. Observe a barra de seção circular mostrada 
na Figura 10.
Figura 10 - Peça submetida à torção. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
Imagine que essa barra seja composta por várias � bras rotuladas nas extremidades (Figura 
11). O efeito ocasionado pela torção é, na realidade, um cisalhamento em que, ao se avaliar um 
eleme nto in� nitesimal desta peça, observa-se o conjugado de vetores de cisalhamento de modo a 
manter o equilíbrio do elemento.
Figura 11 – Efeito nas � bras da barra, ocasionado pela torção. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
Vale salientar que toda essa discussão com relação à torção é feita com base em eixos de 
seção circular, pois uma propriedade bastante interessante dessa seção é que a barra mantém as 
seções planas após aplicação da torção, diferentemente de uma barra com seção quadrada, por 
exemplo. Veja a Figura 12.
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(a) (b)
 Figura 12 - Comportamento das seções adjacentes: (a) seção circular e (b) seção quadrada. Fonte: Beer e Johnston 
Junior (2007).
Para analisar a distorção gerada pela torção, considere a Figura 13, que representa a 
distorção γ ocasionada pela rotação ϕ, do ponto A para a posição A’. O raio ρ indica a posição, 
na seção, onde se analisa a distorção, isto é, a distorção será máxima quando ρ for máximo (na 
superfície externa da barra).
Figura 13 - Distorção devido à torção. Fonte: Beer e Johnston Junior (2007).
Assim, é possível descrever a distorção por meio da seguinte relação:
Equação 6
Considerando que a barra tenha raio “c”, a distorção máxima é obtida, fazendo :
Equação 7
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Após aplicação da Lei de Hooke para o cisalhamento ( ), podemos chegar à seguinte 
expressão da tensão de cisalhamento por torção, segundo Beer (2007):
 
 Equação 8
em que:
τ: tensão de cisalhamento pela torção.
T: esforço interno de torção da peça.
J: momento de inércia polar.
Perceba que a relação é linear com o raio. Ou seja, quanto menor o raio, menor a tensão, e 
vice-versa. É importante salientar isso, pois, em uma seção vazada, por exemplo, a tensão mínima 
apresentará um valor τmin, aplicando ρ = c1 na Equação 8. Da mesma forma, a tensão máxima será 
obtida na borda externa, onde ρ = c2. Observe a Figura 14.
 (a) (b)
Figura 14 - Diagrama de tensão cisalhante devido à torção em seção circular (a) maciça e (b) vazada. Fonte: Beer e 
Johnston Junior (2007).
O momento de inércia polar J é de� nido genericamente pela integral:
 Equação 9
O momento de inércia polar para uma seção circular, com raio “c”, é . No caso 
de uma seção vazada com raio interno c1 e raio externo c2, o momento de inércia polar pode ser 
dado por:
Equação 10
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5. FLEXÃO
Agora, abordaremos como calcular as tensões devido à � exão. Vale salientar que, 
diferentemente da tensão cisalhante por torção vista no item 4, a � exão gera tensões normais na 
seção da peça, podendo ser tanto de tração como de compressão na mesma seção. O estudo da 
� exão, assim como o cisalhamento (que será visto posteriormente), é de extrema importância para 
projetos e veri� cações em vigas uma vez que são os esforços predominantes para tal elemento.
A Figura 15 apresenta uma viga � etida em sua con� guração deformada. Perceba que, 
para o momento aplicado da � gura, as regiões mais inferiores da viga são tracionadas ao passo 
que as mais superiores são comprimidas.
Figura 15 - Viga � etida em sua con� guração deformada. Fonte: Beer e Johnston Junior 
(2007).
Uma premissa bastante importante e que é adotada para a determinação das tensões 
normais ao longo da seção é que as seções permanecem planas após a aplicação de carregamento. 
A Figura 16 mostra os efeitos (a) de deformação e (b) de tensão devido ao momento aplicado. 
Perceba que, devido ao fato de termos considerado que as seções permanecem planas após o 
carregamento, o diagrama de deformações é linear. Além disso, note que, como o momento, por 
natureza, gera tração e compressão na mesma seção, algumas regiões serão tracionadas, e outras, 
comprimidas, tendo uma variação linear. Consequentemente, existe certo p onto da seção em que 
a tensão é zero, dando-se a essa posição o nome de linha neutra (eixo x da Figura 16).
Para complementar os conhecimentos sobre esse assunto, refaça os exemplos 
5.1 e 5.2 de Hibbeler (2010) – referência completa ao fi nal desta apostila.
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(a) (b)
 Figura 16 - (a) Deformações em seção de viga; (b) tensões em seção de viga. Fonte: Hibbeler (2010).
A expressão que relaciona a tensão normal σ com o momento � etor aplicado é dada 
conforme a Equação 11.
 Equação 11
Na equação, σ é a tensão normal devido ao momento � etor M na posição y da seção, e 
I é o momento de inércia em torno da linha neutra. Vale salientar que o momento de inércia é 
sempre um valor positivo.
Genericamente, o momento de inércia é de� nido como:
Equação 12
Para seções retangulares de base “b” e altura “h”, o momento de inércia em torno da linha 
neutra é . Já para seções circulares, .
Para complementar os conhecimentos sobre esse assunto, refaça o exemplo 6.14 
de Hibbeler (2010).
O sinal negativo da Equação 11 se explica pela convenção de sinais das grandezas 
envolvidas. Considerando que o momento M seja positivo quando traciona as 
fi bras inferiores e comprime as superiores e que o valor de y seja positivo quando 
estiver em uma posição acima da linha neutra, a multiplicação desses valores 
irá gerar um valor de tensão positivo. No entanto, para essa convenção de sinais 
positivos, a tensão correspondente à posição de y positivo é de compressão. 
Dessa forma, explica-se a necessidade da correção da Equação 11 com o sinal 
negativo associado.
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6. CISALHAMENTO
Assim como realizado até aqui com os esforços de � exão e cargas axiais, este tópico trata 
do cálculo de tensão por cisalhamento em uma viga com seção transversal prismática de material 
homogêneo, que se comporta de maneira linear.
De acordo com Hibbeler (2010, p. 262), o cisalhamento “[...] é resultado de uma distribuição 
de tensão de cisalhamento transversal que age na seção transversalda viga”. Uma propriedade do 
cisalhamento, como mostrado anteriormente na Figura 7, é a complementaridade das tensões 
(lembre-se de que, no cisalhamento, surgem aqueles binários que restringem translação e giro, 
fazendo com que o elemento seja distorcido na forma de um losango). Essa propriedade faz com 
que as tensões que atuam no plano transversal também atuem no plano horizontal.
Tal comportamento pode ser explicado � sicamente por meio da Figura 17, em que são 
apresentadas duas vigas formadas por tábuas, com a diferença de que, na primeira, as tábuas 
estão soltas e, na segunda, unidas.
(a) (b)
 Figura 17 - (a) Tábuas soltas; (b) Tábuas unidas. Fonte: Hibbeler (2010).
Se, na Figura 17(a), as tábuas forem lisas e estiverem soltas, a ação da força P fará com 
que as tábuas deslizem umas sobre as outras. Já, na Figura 17(b), a ação da força P produzirá a 
mesma tendência de deslizamento entre as tábuas, no entanto, como elas estão unidas, a viga 
agirá como uma única unidade, fazendo com que surjam tensões que tenderão a distorcer a seção 
transversal, como mostrado em 7(b).
A Figura 18(a) mostra uma viga submetida a um dado carregamento. Em 18(b), evidencia-
se o elemento de viga de largura dx, com uma seção longitudinal traçada a uma altura y’ da 
linha neutra. A porção de área da seção acima dessa posição y’ é chamada de A’, cujo centro de 
gravidade dista da linha neutra.
(a) (b)
 Figura 18 – Elemento de viga evidenciado. Fonte: Hibbeler (2010).
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É possível deduzir uma expressão para se determinar o valor da tensão de cisalhamento 
na seção para a posição y’. De acordo com Hibbeler (2010), essa tensão é dada por:
 Equação 13
em que:
V: esforço cortante na seção.
I: momento de inércia da seção, calculado em torno do eixo neutro.
t: largura da seção transversal na posição onde se deseja calcular a tensão.
Q: momento estático de 1ª ordem, dado por:
 Equação 14
Para uma seção retangular de largura b e altura h, o momento estático para uma altura 
arbitrária y em relação ao eixo neutro é:
Equação 15
Substituindo-se esse valor na Equação 13, teremos o seguinte:
 Equação 16
Perceba que a distribuição de tensão de cisalhamento é parabólica, variando de zero, nas 
bordas superior e inferior ( ), até seu valor máximo na posição da linha neutra ( ). 
Portanto, a tensão cisalhante máxima é obtida substituindo-se o valor de y por zero na Equação 
16, obtendo-se:
Equação 17
A Figura 19 mostra, de forma grá� ca, a distribuição de tensões cisalhantes em uma seção 
retangular.
Para complementar os conhecimentos sobre esse assunto, refaça o exemplo 7.2 
de Hibbeler (2010).
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Figura 19 – Distribuição de tensão cisalhante em uma seção retangular. Fonte: Hibbeler (20 10).
7. FLAMBAGEM
7.1 Carga Crítica de Flambagem
O fenômeno de � ambagem nada mais é do que a ruptura por instabilidade de uma 
barra quando submetida a um esforço de compressão. Admitindo que a coluna mostrada na 
Figura 20 seja ideal, com a força aplicada perfeitamente centrada, conforme a força P aumenta, a 
coluna vai sofrendo encurtamento axial (sem qualquer movimentação lateral). Para esse tipo de 
coluna (ideal), quando a força P atingir um valor limite chamado Pcr (carga crítica), a � ambagem 
ocorrerá instantaneamente de modo que, mesmo que o material não tenha atingido sua tensão 
limite, caracteriza-se sua ruína.
(a) (b)
 Figura 20 – Flambagem de coluna: (a) coluna indeformada; (b) coluna � ambada. Fonte: Beer e Johnston Junior 
(2007).
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De acordo com Beer e Johnston Junior (2007), essa carga crítica é conhecida como 
Fórmula de Euler, em homenagem ao matemático Leonhard Euler (1707-1783), e assume a 
seguinte forma:
Equação 18
em que:
E: o módulo de elasticidade do material.
I: momento de inércia da seção.
Lf: comprimento de � ambagem da barra.
Vale salientar que o momento de inércia é sempre calculado em torno de certo eixo. Por 
exemplo, se a barra tiver uma seção retangular, devemos avaliar os dois eixos, isto é, em torno de 
um deles, o momento de inércia será máximo e, em torno do outro, mínimo. A carga crítica em 
uma barra sempre será calculada em torno de mais de um eixo, obtendo-se, ao longo do cálculo, 
uma carga crítica em torno de x e outra em torno de y: Pcr,x e Pcr,y. Ao � nal, a carga crítica de um 
elemento será o menor valor dentre todos os demais calculados.
A Figura 21 ilustra uma coluna que possui o mesmo comprimento de � ambagem em 
ambas as direções, no entanto, como é um per� l retangular, o momento de inércia em torno 
do eixo a-a é menor em relação ao do eixo b-b. Nesse caso, a coluna apresenta � ambagem com 
curvatura em torno do eixo a-a.
Figura 21 – Coluna � ambada. Fonte: Hibbeler (2010).
Outro parâmetro a ser discutido é o comprimento de � ambagem Lf. Dependendo dos 
tipos de vinculações nas extremidades da barra, o comprimento de � ambagem será diferente. No 
caso da fórmula de Euler, ela foi inicialmente deduzida para uma barra com as duas extremidades 
articuladas, em que o comprimento de � ambagem é igual ao comprimento da barra. No entanto, 
o que muda no cálculo da carga crítica se a coluna tiver, por exemplo, as duas extremidades 
engastadas ou apenas uma engastada ou qualquer outra con� guração?
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Nesse caso, o comprimento de � ambagem, também conhecido como comprimento de 
� ambagem efetivo, de acordo com Beer e Johnston Junior (2007), é dado pelo comprimento da 
barra multiplicado por um coe� ciente K, qu e depende das vinculações nas extremidades com 
valores, de acordo com a Figura 22.
Equação 19
F igura 22 – Coe� ciente de � ambagem por � exão de elementos isolados. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
7.2 Índice de Esbeltez
Um conceito bastante importante para o cálculo de � ambagem nas estruturas em geral é 
o índice de esbeltez. É um parâmetro que surge ao se determinar a tensão crítica em uma coluna:
 Equação 20-a
Equação 20-b
em que:
r: raio de giração, dado por:
A relação L/r é de� nida como índice de esbeltez e ela avalia o quão suscetível à � ambagem 
uma peça está, ou seja, o quão esbelta é a peça.
Existe uma confusão de que uma peça esbelta é uma peça com seção “fi na”, por 
exemplo, uma régua. No entanto, se ela tiver um comprimento pequeno sufi ciente, 
ela pode sequer apresentar fl ambagem. Portanto, a esbeltez é medida não 
apenas pelas dimensões da seção, mas pela relação entre o comprimento e essa 
propriedade de seção, chamada aqui de raio de giração.
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Para complementar os conhecimentos sobre esse assunto, refaça os exemplos 
13.2 e 13.3 de Hibbeler (2010).
EXERCÍCIOS
1) Pretende-se prender um sistema de ampli� cadores eletrônicos em uma laje de concreto 
por meio de duas cordoalhas [T1 e T2], as quais são confeccionadas pela junção de vários 
cabos, conforme as imagens a seguir.
a) Considerando que a tensão normal [ ] máxima resistente de cada cabo é dada por Considerando que a tensão normal [
 e que o sistema todo tem massa de 2 toneladas, calcule a quantidade 
mínima de cabos em cada uma das cordoalhas [T1] e [T2] para suspender os ampli� cadores.
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, como o problema fornece uma tensão normal máxima resistente, deve-se 
calcular a tensão solicitante para compará-la e projetar a estrutura de modo que:
Tensão resistente > Tensão solicitante
Desse modo, calcula-se a tensão solicitante em cada cordoalha da seguinte maneira:
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Porém, essa tensão será dividida em 2 cordoalhas de forma que a tensão em cada uma 
delas seja igual à metadeda tensão total, resultando em:
Assim, utilizando a relação estipulada anteriormente, sabe-se que:
Tensão resistente > Tensão solicitante
Além disso, sabe-se que a resistência da cordoalha é igual à soma das resistências de cada 
cabo que a compõe, e a área da cordoalha é a soma das áreas de cada cabo, de forma que:
Sabe-se também que , assim:
E, transformando , tem-se:
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b)Levando em conta que a tensão cisalhante máxima resistente do material da chapa 
[V1] é 
Levando em conta que a tensão cisalhante máxima resistente do material da chapa 
, determine a espessura mínima [h] dessa chapa que sustenta 
todo o sistema de ampli� cadores, utilizando a seguinte aproximação:
RESOLUÇÃO:
Do mesmo modo, devemos ter a relação:
Tensão resistente > Tensão solicitante
Assim, calcula-se a tensão solicitante, porém, agora de cisalhamento em cada cordoalha 
da seguinte maneira:
Assim, utilizando a relação estipulada anteriormente, sabe-se que:
Tensão resistente > Tensão solicitante
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c) Observa-se, no esquema a seguir, o comprimento das cordoalhas. Sabe-se que o 
módulo de elasticidade [E] desses cabos é 
 Observa-se, no esquema a seguir, o comprimento das cordoalhas. Sabe-se que o 
 e a relação entre o módulo de 
elasticidade [E], tensão [ ] e a deformação especí� ca [ ] é dada por 
 e a relação entre o módulo de 
. Tem-se, 
ainda, que a deformação especí� ca [
] e a deformação especí� ca [
] é dada por , em que [ ] = alongamento 
da cordoalha e [L] = comprimento da cordoalha. 
Desse modo, calcule o alongamento de cada cordoalha após carregá-las com os 
ampli� cadores.
RESOLUÇÃO:
Para calcular o alongamento de cada cordoalha, podemos utilizar as seguintes equações:
 e 
Desse modo:
 
Sabendo que o comprimento L da cordoalha é de 8 m e que a carga suportada por elas é 
de 2 toneladas, pode-se calcular a tensão em cada cordoalha da seguinte forma:
Sendo assim:
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d) Considerando que o peso dos ampli� cadores seja distribuído da seguinte forma:
Calcule o valor da tensão normal máxima [σ] na chapa [V1] devido ao momento � etor, 
considerando as dimensões da chapa de acordo com o esquema apresentado anteriormente na 
letra “b”.
RESOLUÇÃO:
Para calcular o valor da tensão normal máxima, podemos utilizar as equações fornecidas:
Desse modo:
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2) Correlacione os seguintes grá� cos de tensão x deformação conforme o seu 
comportamento e exemplo de material.
( ) Material elasto-plástico com patamar de escoamento
( ) Material elasto-plástico sem patamar de escoamento
( ) Material frágil
( ) Material não linear
RESOLUÇÃO:
( D ) Material elasto-plástico com patamar de escoamento, pois apresenta uma parcela 
elástica (grá� co linear) e, após um patamar de escoamento (tensão constante com 
aumento da deformação), o material entra em regime plástico.
( C ) Material elasto-plástico sem patamar de escoamento, pois apresenta uma parcela 
elástica (grá� co linear) e, posteriormente, entra em regime plástico sem transição clara.
( B ) Material frágil. Deforma-se linearmente até que sofre ruptura de maneira abrupta.
( A ) Material não linear. Não apresenta regime linear em nenhum momento.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Muitos dos conceitos vistos aqui são de fundamental importância no entendimento das 
estruturas de concreto armado, aço e madeira. É importante que você estude esses conteúdos 
também nos livros colocados como referência no plano de ensino uma vez que esta apostila 
é apenas um resumo. Mesmo que resumida, no entanto, esta apostila apresenta todas as 
considerações necessárias para o entendimento dos conteúdos posteriores.
O entendimento do cálculo de tensões normais por esforços axiais e momentos � etores e 
de tensões de cisalhamento por esforços cortantes e momentos torçores consiste na base de todo 
o processo de dimensionamento e análise das estruturas.
O que foi estudado nesta unidade, em grande parte, foi o cálculo de tensões para os 
diversos tipos de esforços em estruturas. As equações apresentadas permitem o cálculo das 
tensões em qualquer ponto dos elementos. Entretanto, para um projeto de estruturas, é necessário 
obter os valores máximos de tensões e/ou deformações de modo a se comparar com os valores de 
resistência dos materiais analisados.
Com relação à � ambagem, é grande sua importância na consideração de elementos 
comprimidos, por exemplo, pilares em edi� cações. Nas próximas unidades, serão abordadas as 
nuances de cada material com relação também à � ambagem.
Cabe ressaltar aqui a importância desse conteúdo inicial já que, se ele for mal entendido, a 
de� ciência nesse conhecimento será estendida para as demais unidades. O problema disso não são 
apenas as próximas unidades do curso, mas a vida pro� ssional do arquiteto, pois o conhecimento 
de estruturas, de modo geral, quando bem dominado, facilita e economiza toda a parte estrutural 
num orçamento de execução de obras.
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UNIDADE
02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................32
1. VANTAGENS E DESVANTAGENS ..........................................................................................................................33
1.1 VANTAGENS .........................................................................................................................................................33
1.1.1 MAIOR RESISTÊNCIA ........................................................................................................................................33
1.1.2 MENOR PESO PRÓPRIO ..................................................................................................................................33
1.1.3 EXECUÇÃO MAIS SIMPLES EM CANTEIRO DE OBRA, COM ECONOMIA DE PRAZO ................................33
1.1.4 MAIOR PRECISÃO ............................................................................................................................................34
1.2 REUTILIZÁVEIS ...................................................................................................................................................34
1.2.1 FACILIDADE EM REFORÇÁ-LO ........................................................................................................................34
1.3 DESVANTAGENS .................................................................................................................................................34
1.3.1 CUSTO INICIAL MAIS ELEVADO .....................................................................................................................34
1.3.2 MATÉRIA-PRIMA MUITO DISTANTE .............................................................................................................34
ESTRUTURAS DE AÇO
PROF. ME. RENAN GUSTAVO JUNQUEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS II
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1.3.3 MÃO-DE-OBRA POUCO QUALIFICADA ..........................................................................................................34
1.3.4 CORROSÃO .......................................................................................................................................................35
1.3.5 BAIXA RESISTÊNCIA A ALTAS TEMPERATURAS .........................................................................................35
1.3.6 ESTRUTURA MUITO ESBELTA .......................................................................................................................351.3.7 ALTO CUSTO INICIAL .......................................................................................................................................35
2. COMPOSIÇÃO DO MATERIAL .............................................................................................................................35
3. PRODUÇÃO DO MATERIAL ..................................................................................................................................36
4. PERFIS ESTRUTURAIS ........................................................................................................................................ 37
4.1 PERFIS LAMINADOS ..........................................................................................................................................38
4.2 PERFIL DE CHAPA DOBRADA ...........................................................................................................................38
4.3 CANTONEIRA ......................................................................................................................................................39
4.4 PERFIL “U” ..........................................................................................................................................................40
4.5 PERFIL “I” ........................................................................................................................................................... 41
4.6 PERFIS SOLDADOS E PERFIS COMPOSTOS .................................................................................................. 41
5. ELEMENTOS DE LIGAÇÃO ...................................................................................................................................42
5.1 PRINCIPAIS ELEMENTOS DE LIGAÇÃO ............................................................................................................42
5.1.1 REBITES .............................................................................................................................................................42
5.1.2 PARAFUSOS .....................................................................................................................................................43
5.1.3 SOLDA ...............................................................................................................................................................43
6. SISTEMAS ESTRUTURAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................44
6.1 ARCOS ..................................................................................................................................................................44
6.1.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ..............................................................................................................................45
6.2 TRELIÇAS PLANAS ............................................................................................................................................45
6.2.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................47
6.3 TRELIÇAS ESPACIAIS ........................................................................................................................................47
6.3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................48
6.4 VIGAS DE ALMA CHEIA .....................................................................................................................................48
6.4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................50
6.5 STEEL FRAME ....................................................................................................................................................50
7. EDIFÍCIOS EM ESTRUTURAS METÁLICAS – GALPÕES .................................................................................... 51
EXERCÍCIOS ..............................................................................................................................................................54
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................59
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INTRODUÇÃO
Estruturas metálicas são de grande interesse na construção civil quando se trata de obras 
grandes, que requerem grandes vãos e maior agilidade na construção. Sistemas construtivos 
em aço muitas vezes tornam um empreendimento mais em conta pela agilidade, ganhando um 
orçamento na economia de prazo e tempo com mão-de-obra.
Diferentemente das estruturas de concreto armado e da madeira, as estruturas em aço são 
projetadas por meio da adoção de per� s metálicos, sejam eles dobrados, laminados ou soldados. 
Esses per� s podem apresentar os mais diversos formatos, sendo os mais comuns, para elementos 
de vigas e pilares, os per� s laminados do tipo “I”, que, muitas vezes, facilitam o encaixe entre 
as peças. Além desses, tratando-se agora de per� s dobrados, para estruturas de coberturas, é 
bastante comum o uso de treliças, com banzos em per� s “U”, com diagonais e montantes também 
em per� s “U” de encaixe ou ainda com per� s de cantoneira dupla (2L), formando “U”.
Dentre esses sistemas estruturais em aço, as coberturas em aço são muito importantes 
visto que galpões industriais, por exemplo, normalmente são executados nesse material. Essas 
coberturas podem ser feitas com uma associação de treliças bidimensionais ligadas por um 
sistema de terças e contraventamento ou ainda por meio de treliças espaciais. Ao longo desta 
unidade, serão apresentadas também algumas obras em aço pelo mundo a � m de ilustrar os 
sistemas estruturais abordados.
Tratando-se do projeto de estruturas metálicas, existem diversas considerações a serem 
conhecidas pelo projetista. Uma delas é a concepção estrutural, item bastante importante não só 
para o engenheiro que vai calcular, mas também para o arquiteto que, tendo esses conhecimentos, 
desenvolverá sua arquitetura com uma noção mais clara das necessidades estruturais desse 
quesito.
Como base para a elaboração desta unidade, adotou-se o livro de Rebello (2007), Parte 
I - Estruturas de Aço. Outras fontes eventualmente consultadas e colocadas como complemento 
serão oportunamente citadas.
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1. VANTAGENS E DESVANTAGENS
1.1 Vantagens
1.1.1 Maior resistência
A maior vantagem do aço é com relação à sua alta resistência aos esforços, 
consequentemente, permitindo o uso de peças com menores dimensões. Vigas metálicas, por 
exemplo, possuem cerca de 60% da altura de vigas de concreto armado. Para ele, o aço possui em 
torno de 150 MPa de resistência à tração e compressão enquanto o concreto apresenta cerca de 
10 MPa na compressão e 1,0 MPa na tração, dependendo da classe do concreto (entrando aqui a 
questão de dosagem).
1.1.2 Menor peso próprio
Outra consequência da alta resistência desse material é que, utilizando-se peças com 
menores dimensões, o peso próprio da estrutura é reduzido, resultando em fundações menores, 
em comparação ao concreto.
1.1.3 Execução mais simples em canteiro de obra, com economia de prazo
Os detalhes de projeto para a execução de uma estrutura metálica são menos confusos, 
pois contêm exatamente como deve ser feito qualquer encaixe no local, diferentemente do 
concreto, que, muitas vezes, gera muita confusão na obra, pois os detalhes de ligação entre uma 
viga e um pilar nunca são visíveis.
O canteiro de obra se torna mais limpo e organizado, pois, em se tratando de estrutura 
metálica, que é um sistema pré-fabricado,ocorre apenas sua montagem. Tal fato leva ao dado de 
que o tempo de execução de uma estrutura em aço é aproximadamente 60% do tempo necessário 
para a execução de uma estrutura equivalente em concreto.
Atualmente, os tipos de aço mais utilizados, conforme nomenclatura da NBR 
8800 (2008), são o MR 250, pelas normas da ABNT, e o A36, regido pelas normas 
da ASTM. Ambos possuem resistência ao escoamento, que é o critério principal 
utilizado para dimensionamento à tração, compressão, fl exão e cisalhamento do 
aço.
Vale relembrar o termo escoamento. A resistência ao escoamento é a tensão em 
que o material inicia o processo de escoamento, fenômeno característico do aço 
e já discutido na Unidade 1 quando tratamos do diagrama tensão-deformação.
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Um grande motivo para a agilidade na estrutura metálica é que ela não precisa de tempo 
de cura, por exemplo, em comparação ao concreto. Dessa forma, as fundações podem ser 
executadas ao mesmo tempo em que a estrutura principal é fabricada.
1.1.4 Maior precisão
Enquanto estruturas de concreto admitem erros da ordem de 1 cm, as estruturas em aço, 
por serem projetadas com suas dimensões em milímetros, já não admitem tal ordem de erro. 
Assim, existe menor margem para erro, obrigando o executor a fazê-la da forma mais enxuta 
possível.
1.2 Reutilizáveis
No caso de estruturas metálicas que tiverem ligações parafusadas, essa vantagem permite 
que elas possam ser facilmente desmontadas e serem reutilizadas em outros locais. O que não é 
possível com o concreto, que, quando demolido, torna-se resíduo. Mesmo que a estrutura não 
possa ser reutilizada em outro local, no caso de estruturas com ligações soldadas, por exemplo, o 
aço sucateado pode ser reciclado, sendo reaproveitado na fabricação de um novo aço.
1.2.1 Facilidade em reforçá-lo
Por meio da soldagem, é possível soldar chapas a per� s ou, ainda, soldar per� s com outros 
per� s, formando per� s compostos, sempre de modo a aumentar a resistência, seja pelo aumento 
de área seja pelo aumento do momento de inércia.
1.3 Desvantagens
1.3.1 Custo inicial mais elevado
Devido ao fato de as estruturas metálicas não serem tão amplamente utilizadas nas 
edi� cações em geral, sua produção tende a ser baixa. Nesse quesito, uma produção baixa gera um 
custo muito alto, tornando-o um material mais caro e, por sua vez, ocasionando um baixo uso, 
realimentando esse ciclo vicioso.
1.3.2 Matéria-prima muito distante
O ferro e o carvão estão localizados a grandes distâncias das metalúrgicas. O carvão é 
encontrado em grandes quantidades em Santa Catarina, enquanto o ferro é encontrado mais em 
Minas Gerais e ao Norte do País, condições que aumentam os custos.
1.3.3 Mão-de-obra pouco qualificada
Comparado com a execução de estruturas em concreto armado, a mão-de-obra 
quali� cada para estruturas metálicas é escassa no Brasil, o que não se re� ete para o concreto 
armado já que não exige mão-de-obra especializada. Em contrapartida, tal situação pode ser 
vista como desvantagem nas estruturas de concreto já que são empregados muitos funcionários 
sem qualidade de mão-de-obra e com baixa remuneração. 
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A necessidade de uma mão-de-obra mais quali� cada implica ao empregador gastos extras, o que 
é mal visto, desestimulando o uso desse material.
1.3.4 Corrosão
O aço é um material que, naturalmente, sofre corrosão pelo simples fato de estar exposto 
ao tempo. Tal ocorrência gera a necessidade de impedir a corrosão com pinturas especiais ou 
adicionar elementos extras, como cobre, cromo ou níquel na liga do aço, ainda em processo 
de fabricação. Esses processos geram aumentos nos custos, o que, obviamente, é visto como 
desvantagem por parte dos construtores, pois o material torna-se mais caro.
1.3.5 Baixa resistência a altas temperaturas
A altas temperaturas, como em situações de incêndio, o aço reduz drasticamente sua 
resistência – diferentemente da madeira, por exemplo, como veremos na Unidade 4, a qual possui 
bom comportamento quando a estrutura é submetida à situação de incêndio. Nesse sentido, as 
estruturas metálicas tornam-se colapsíveis.
1.3.6 Estrutura muito esbelta
Como o aço permite o uso de peças com menores dimensões, isso acarreta elementos 
mais esbeltos, o que é um problema pelo fato de que o conjunto estrutural passa a ser menos 
estável. Dessa forma, o colapso de uma estrutura metálica não se dá, normalmente, pela ruína das 
peças, mas pela perda de equilíbrio estático do conjunto.
Para contornar esse problema, surge a necessidade de se aumentar a seção ou uso de peças 
de travamento a � m de deixar a estrutura mais estável. Essas soluções propiciam um inevitável 
aumento nos quantitativos, encarecendo a estrutura.
Apesar desses aumentos, um projeto bem estudado pode levar a uma solução bastante 
otimizada de modo a se aproveitarem o máximo possível as estruturas de travamento e aumentar 
as seções em regiões realmente necessárias.
1.3.7 Alto custo inicial
Uma consequência do benefício de agilidade no processo da estrutura metálica está em 
seu orçamento. As estruturas metálicas necessitam um desembolso maior logo de início quando 
comparadas a obras com outros materiais: cerca de 25% a 30% do custo total, em um prazo 
bastante curto. É importante avisar o cliente quanto a isso.
2. COMPOSIÇÃO DO MATERIAL
O aço é composto principalmente por ferro e carbono, podendo conter adições de outros 
elementos, dependendo da necessidade. Elementos como manganês, silício, fósforo, enxofre, 
alumínio, nióbio, cobre, níquel e outros, quando incorporados à liga, alteram suas propriedades 
físicas, como resistência mecânica, resistência à corrosão, ductilidade e outras. Por exemplo: a 
adição de cromo gera aços inoxidáveis; a adição de níquel gera aços resistentes à corrosão; e assim 
por diante.
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Alguns elementos acabam permanecendo na composição da liga como forma de 
impurezas que não são retiradas, pois é economicamente inviável. No entanto, elas não afetam o 
desempenho do material.
O carbono, como dito no início, é um dos principais compostos do aço. O teor de carbono 
in� uencia nas principais propriedades do material. Quanto maior a porcentagem de carbono, 
mais resistente é o aço, só que menos dúctil ele se torna, deixando-o quebradiço. O contrário 
também é verdadeiro: quanto menos carbono, menos resistente e mais dúctil o material se torna.
A ductilidade é uma propriedade bastante interessante do aço, pois, quanto mais dúctil, 
maiores são as deformações antes de sua ruptura. Dessa forma, um material mais dúctil, quando 
da ocasião de uma ruptura estrutural, funciona como aviso para que haja tempo de evacuação 
das pessoas do local. Essa propriedade também permite a produção de per� s dobrados, sem que 
ocorram trincas nas dobras.
O dimensionamento de estruturas metálicas não considera como resistência a tensão de 
ruptura, mas a tensão de escoamento. Isso porque, a partir da tensão de escoamento, o material 
começa a apresentar deformações residuais indesejadas para a estrutura. 
Figura 1 – Diagrama tensão-deformação do aço. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
A Figura 1 mostra o diagrama tensão-deformação dos aços A36 e A242, com as tensões 
de escoamento iguais a 250 MPa e 350 MPa, respectivamente.
3. PRODUÇÃO DO MATERIAL
As principais matérias-primas para a produção do aço são o minério de ferro e o carvão 
coque. O carvão coque é obtido, inicialmente, por meio da queima do carvão mineral na coqueria, 
onde ele é transformado em blocos denominados coque. O minério de ferro é utilizado, pois não 
se encontra o ferro puro na natureza. Para que o minério seja transformado em ferro, ele deve 
ser aquecido.
Assim, quantidades pré-de� nidas de minério, coque e calcário são colocadas na parte 
superiorde um forno denominado alto-forno. Esses materiais são fundidos, produzindo ferro e 
impurezas. O calcário é importante nessa fase, pois sua função é retirar o excesso de impurezas.
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Na parte inferior do forno, é introduzido ar superaquecido sob pressão, que queima o 
coque, formando um gás que remove os óxidos do minério de ferro.
O calor liquefaz o calcário, que se combina com as impurezas, formando escória e 
fundindo o ferro do minério. A escória, por ser menos densa que o ferro fundido, � utua sobre ele. 
Nesse estágio, o ferro fundido é denominado ferro-gusa ou simplesmente gusa. Aqui, é possível 
dividir os dois materiais. A escória é utilizada para a produção de cimento, e o ferro-gusa é 
despejado, ainda líquido, sobre um recipiente denominado carro torpedo.
Como o ferro-gusa não tem aplicação estrutural, ele se encontra com alto teor de carbono, 
que foi inicialmente absorvido do coque (3,5% a 4%). É necessário que esse teor seja reduzido 
para que ele, efetivamente, seja transformado em aço. Dessa forma, o ferro-gusa é misturado a 
sucatas e calcário e é levado a um forno em forma de barril.
A eliminação do excesso de carbono ocorre com a sua queima quando se introduz oxigênio 
de alta pureza a uma velocidade supersônica, com duração de 20 minutos, aproximadamente.
Após isso, veri� ca-se, em laboratório, a composição do aço e, então, ele é colocado em 
recipientes especiais para a adição de outros elementos, já citados no início deste tópico, para 
obtenção de alguma propriedade física em especí� co.
Por � m, o aço é despejado em moldes, que resultam em blocos de aço chamados lingotes. 
A partir dos lingotes, o aço passa pelo processo de laminação, quando é transformado em per� s 
ou chapas.
4. PERFIS ESTRUTURAIS
De acordo com Pfeil e Pfeil (2009), as usinas produzem aço sob a forma de chapas, barras, 
per� s laminados, � os tre� lados, cordoalhas e cabos. Os três primeiros são feitos em laminadores 
que “moldam” o aço, dando seu formato desejado ao � nal. Já os � os tre� lados são obtidos 
puxando-se, sucessivamente, barras de aço por � eiras, com diâmetros cada vez menores. Esse 
processo de tre� lação é feito a frio e com lubri� cantes para evitar superaquecimento. Por último, 
cabos e cordoalhas são formados por associação de � os.
O processo de laminação dos lingotes, bem como o processo de lingoteamento 
do aço, pode ser estudado no item 1.3, do capítulo 1, de Pfeil e Pfeil (2009) – 
referência completa ao fi nal desta apostila.
Para a visualização de todo o processo de produção explicado 
neste tópico, assista ao vídeo Processo Produção do Aço - 
Votorantim Siderurgia, disponível em <https://www.youtube.com/
watch?v=F2azAmgMZC0>.
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4.1 Perfis Laminados
Para Pfeil e Pfeil (2009), per� s laminados são obtidos a partir de laminadores com rolos 
giratórios. A peça aquecida ao rubro (até � car vermelha) é comprimida entre os rolos, saindo 
do outro lado com espessura reduzida. Esse processo é realizado sucessivamente, até que a barra 
atinja as dimensões especi� cadas. A Figura 2 mostra um esquema desse procedimento.
(a) (b)
(c)
 Figura 2 – Processo de laminação de um per� l I. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
A norma brasileira que rege as recomendações de projeto de per� s laminados a quente é 
a NBR 8800:2008.
4.2 Perfil de Chapa Dobrada
Segundo Pfeil e Pfeil (2009), as chapas podem ser divididas em grossas e � nas, sendo as 
� nas subdivididas em a quente e a frio, conforme Tabela 1.
Chapas Fabricação Espessuras Utilização em construção
Grossas A quente > 5,0 mm Estruturas metálicas em geral.
Finas A quente 1,2 – 5,0 mm Per� s de chapas dobradas.
A frio 0,3 – 2,65 mm Acessórios de construção, como calhas, rufos etc.
 Tabela 1 – Chapas grossas e chapas � nas. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
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Dessa forma, as chapas a serem utilizadas para a produção de per� s de chapas dobradas 
se encontram em espessuras de 1,2 mm a 5,0 mm. Rebello (2007) coloca essas espessuras como 
sendo de 1,5 mm a 5,0 mm. A ambiguidade entre os valores de 1,2 mm e 1,5 mm, entre uma 
fonte e outra, pode ser explicada pela diferença de nomenclatura, ocorrendo, muitas vezes, um 
arredondamento nessas medidas, dependendo do catálogo consultado.
Essas chapas podem ser dobradas a frio, sendo, então, produzidos os per� s de chapa 
dobrada, comumente chamados per� s dobrados. Podem apresentar as mais variadas formas, 
dentre elas: o per� l “U”, “U” enrijecido”, “cartola”, “S”, “Z”, como pode ser visualizado na Figura 3.
Figura 3 – Exemplos de per� s dobrados. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
A norma que rege o dimensionamento desse tipo de per� l é a NBR 14762.
4.3 Cantoneira
Cantoneiras são per� s no f ormato de L, que podem ter as duas abas iguais ou desiguais. 
Podem ser tanto laminadas como dobradas e são especi� cadas em projeto pela letra L. Por 
exemplo: a cantoneira L 4” x 4” x ½” consiste de uma cantoneira com as duas abas iguais, de 
comprimento de 4 polegadas, com espessura de ½ polegada. Convertendo para milímetros, tem-
se a mesma especi� cação na forma L 100 x 100 x 12,5 mm.
Muitas vezes, uma ligação pode ser feita com o auxílio de cantoneiras. Veja o exemplo 
da Figura 4, em que se ilustra a união entre uma viga e um pilar por meio de duas cantoneiras 
ligadas com parafusos.
Figura 4 – Exemplos de ligação entre viga e pilar. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
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Além disso, a cantoneira também pode servir como barra de treliça, sendo recomendável 
o uso de cantoneira dupla com formato de “T”, conforme mostrado na Figura 5.
Figura 5 – Barras de cantoneira dupla em treliça. Fonte: Pereira (2015).
As cantoneiras também podem ser associadas para formarem pilares bastante rígidos, ao 
se posicionar quatro barras, uma em cada canto, e fazer a ligação adequada entre elas.
4.4 Perfil “U”
Também pode ser obtido por laminação ou por dobra de chapa. Sua especi� cação em 
projeto é feita com a letra “U”. A nomenclatura dos elementos da seção pode ser visualizada na 
Figura 6.
Figura 6 – Per� l “U” simples e “U” enrijecido. Fonte: Rebello (2007).
No caso de per� l “U” laminado, a nomenclatura é dada pela altura da alma em polegada, 
seguida do seu peso linear. Tratando-se de per� l dobrado, a nomenclatura é dada pelas dimensões 
dos elementos da seção na seguinte o rdem: altura, largura e espessura.
Para visualizar maiores detalhes de coberturas de treliças em galpões, veja o 
manual:
DREHMER, G. A.; MESACASA JUNIOR, E.; PRAVIA, Z. M. C. Galpões para usos 
gerais. 4. ed. Rio de Janeiro: CBCA, 2010.
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Exemplos:
• U 8” x 17,11, para per� l laminado (altura = 8”, peso = 17,11 kgf/m).
• U 100 x 50 x 3, para per� l de chapa dobrada (altura = 100 mm, largura = 50 mm, espessura 
= 3 mm). Se for enrijecido, acrescenta-se o comprimento do lábio.
Vale salientar que per� s enrijecidos são apenas de chapa dobrada.
Esse tipo de per� l é comumente utilizado como terças, em coberturas treliçadas em aço. 
Quanto maior o vão entre as tesouras, maiores serão os per� s utilizados nas terças. O per� l “U” 
enrijecido, nesse quesito, permite vãos maiores simplesmente pela presença dos dois lábios extras 
na seção. 
4.5 Perfil “I”
É obtido por laminação ou pela soldagem de três chapas (nesse caso, é denominado per� l 
soldado). A especi� cação do per� l “I” laminado é feito pela letra “I”, acompanhada da dimensão 
de sua altura, em polegada ou milímetro, seguida de seu peso linear. Veja a Figura 7.
Figura 7 – Per� l “I”. Fonte: Rebello (2007).
4.6 Perfis Soldados e Perfis Compostos
São formados pela associação de chapas ou per�s laminados simples, sendo a ligação, em 
geral, soldada (PFEIL; PFEIL, 2009). Existe a padronização de três tipos de per� s soldados: CS 
(colunas soldadas), VS (vigas soldadas) e CVS (colunas e vigas soldadas). A Figura 8 apresenta 
alguns exemplos desses per� s.
Figura 8 – (a) Per� l soldado; (b) per� s compostos. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
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5. ELEMENTOS DE LIGAÇÃO
Uma estrutura em aço é composta por barras, as quais devem ser ligadas adequadamente 
por elementos que resistam e transmitam os esforços entre barras. Esses elementos de ligação 
se fazem necessários sempre que houver mudança na direção dos elementos estruturais, por 
exemplo, na ligação entre pilar e viga, onde o pilar está na vertical, e a viga, na horizontal.
Essas ligações podem ser feitas diretamente entre um per� l e outro ou por meio de 
uma chapa de ligação, cuja espessura deve ser dimensionada para que resista adequadamente à 
transferência de esforços.
As ligações podem ser de dois tipos: rígidas ou � exíveis. As ligações rígidas são ligações 
que restringem o giro entre os elementos ligados, como nós de pórtico, junção de vigas etc. Já as 
ligações � exíveis permitem a rotação, como nós de treliça, apoios articulados etc. Na prática, nem 
sempre as ligações serão totalmente rígidas ou totalmente � exíveis, porém, não devem prejudicar 
o comportamento global da estrutura.
5.1 Principais Elementos de Ligação
5.1.1 Rebites
É um pino cilíndrico, de material dúctil, tendo uma cabeça em uma das extremidades 
que se apoia no elemento a ser ligado. A peça é colocada sobre o furo com folga e, por meio de 
uma ferramenta pneumática, ele é prensado a quente contra um anteparo, que, com a percussão 
e devido à alta temperatura, se deforma, gerando uma segunda cabeça. Ao resfriar, o rebite tende 
a se contrair, solidarizando a ligação. Veja a Figura 9.
Figura 9 – Instalação de rebite. Fonte: Rebello (2007).
Apesar de existir, é um elemento que caiu em desuso, pois foram desenvolvidos parafusos 
de alta resistência, e o processo de soldagem se tornou mais viável, fácil de instalar, econômico e 
seguro.
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5.1.2 Par afusos
São barras cilíndricas, rosqueadas em uma extremidade e com uma cabeça na outra, de 
forma a permitir o seu aperto por meio de porcas e arruelas. Os parafusos podem ser comuns, 
fabricados com aço-carbono, menos resistentes, conhecidos pela nominação ASTM A307, e de 
alta resistência, como o A325 e o A490.
Parafusos de alta resistência podem fazer a ligação de peças por meio de atrito entre as 
peças ligadas ou por resistência ao cisalhamento do corpo do parafuso.
5.1.3 Solda
Solda é um meio de se unir materiais por meio da fusão das partes adjacentes. De acordo 
com Pfeil e Pfeil (2009), as soldas empregadas na indústria da construção são de energia elétrica e, 
portanto, aquecem o metal-base por meio da formação de um arco voltaico. O material fundido 
deve ser isolado da atmosfera de modo a evitar qualquer alteração nas propriedades físicas do 
aço. Dessa forma, surgem diversos meios de proteção, sendo o mais comum a solda por eletrodo 
manual revestido.
Figura 10 – Solda com eletrodo manual revestido. Fonte: Pfeil e Pfeil (2009).
Nesse processo, o eletrodo é revestido com um material que, quando fundido, libera 
gases que fazem a proteção da poça de fusão contra a atmosfera, gerando escória, que deve ser 
removida após o procedimento.
Além desse tipo de solda, existe também o arco submerso em material granular 
fusível, arco elétrico com proteção gasosa (conhecido como MIG/MAG) e arco 
elétrico com fl uxo de núcleo.
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6. SISTEMAS ESTRUTURAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO
6.1 Arcos
Arcos são estruturas que trabalham predominantemente comprimidas. Em épocas 
remotas, os arcos eram construídos com blocos de pedra, que, ao serem empilhados de forma 
adequada (em forma de arco), permitiam a solidarização de todos os blocos e propiciavam 
grandes vãos sob as estruturas.
Apesar de a ideia do arco ser perfeitamente comprimida ser o que a originou, nem sempre 
uma estrutura em arco apresentará apenas compressão. Isso depende de como o carregamento 
incide na estrutura. A Figura 11 mostra um arco submetido a uma força pontual que gera � exão 
no arco, e não apenas compressão. Para que ocorra apenas compressão, a geometria do arco deve 
ser alterada para as duas retas que mostram a trajetória ideal que daria somente compressão.
Figura 11 – Comportamento de arco submetido a uma carga pontual. Fonte: Rebello (2007).
A solução mais utilizada, também por ser a mais econômica, é o uso de arcos treliçados 
associados com cantoneiras e per� s “U”, como mostrado na Figura 12.
Figura 12 – Comportamento de arco submetido a uma carga pontual. Fonte: Rebello (2007).
Comece a reparar as estruturas de galpões em estruturas metálicas. Você perceberá que, 
realmente, as coberturas em arco treliçado são sempre utilizadas.
Para entender melhor sobre esses outros processos de solda, leia o item 4.1, do 
capítulo 4, de Pfeil e Pfeil (2009).
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6.1.1 Pré-dimensionamento
Existem fórmulas empíricas relacionadas ao vão a ser vencido pelo arco que fornece qual 
a � echa adequada do arco e as demais medidas com as variáveis, ilustradas na Figura 13.
• Flecha ideal (f): 
• Largura do arco (b): 
• Espessura do arco (h): 2% do vão (L).
Figura 13 – Pré-dimensionamento de arco. Fonte: Rebello (2007).
6.2 Treliças Planas
Treliças planas são estruturas reticuladas com barras, que possuem apenas esforços axiais 
de tração ou compressão. Assim, não apresentando momento � etor, as seções das barras são 
dimensionadas de f orma mais otimizada. Para entender esse conceito, observe a Figura 14, que 
representa o comportamento de uma viga com apoio nas extremidades, submetida à � exão.
Figura 14 – Viga deformada devido à � exão. Fonte: Rebello (2007).
Caso a viga fosse substituída por duas outras barras inclinadas com vértice para cima, 
ambas estariam comprimidas. Essa compressão, ao atingir a cabeça dos pilares, produz um esforço 
que tende a empurrá-los para fora. Para evitar esse comportamento, introduz-se o elemento de 
tirante, que será responsável por segurar a cabeça desses pilares. Veja a Figura 15.
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Por defi nição, o termo tirante é dado aos elementos que são puramente 
tracionados, independentemente do esforço atuante na estrutura.
Figura 15 - Comportamento básico de uma treliça. Fonte: Rebello (2007).
Perceba, com isso, que uma treliça sempre apresentará barras comprimidas e 
tracionadas para que satisfaça o equilíbrio interno.
A Figura 16 mostra um esquema convencional bastante utilizado na adoção do sistema 
de treliças planas. Ela ilustra os termos tradicionais de uma treliça, como banzo superior, banzo 
inferior, diagonal e montante.
Figura 16 – Treliça convencional com as nomenclaturas dos elementos das barras. Fonte: Rebello (2007).
As letras “C” e “T” indicam as barras que estão comprimidas e tracionadas, respectivamente, 
para essa disposição. Entretanto, não é regra utilizar tal disposição, podendo-se inverter a direção 
das diagonais conforme Figura 17. Nessa imagem, perceba que algumas barras, que anteriormente 
eram comprimidas, passam a ser tracionadas, e vice-versa.
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Figura 17 – Treliça com diagonais invertidas, gerando esforços invertidos. Fonte: Rebello (2007).
Essa é apenas uma adoção de geometria. Ao se conceber um projeto em estrutura metálica, 
o projetista é livre para de� nir a disposição das barras conforme sua necessidadeou questão 
estética. O cálculo estrutural é que determinará quais per� s serão utilizados corretamente para 
cada situação. O que o projetista deve saber, como mais importante nesta etapa, é que a disposição 
de barras deve sempre formar triângulos. Assim, garante-se que, se as cargas forem aplicadas 
sempre nos nós da treliça , os esforços nas barras serão normais de tração ou compressão.
6.2.1 Pré-dimensionamento
As treliças mais econômicas possuem relação entre altura da treliça e vão, compreendida 
entre 1/7 e 1/10. O ângulo de inclinação mais adequado para as diagonais � ca entre 30° e 60°, 
sendo 45° o ideal. O espaçamento mais econômico entre treliças é de 5,0 metros, podendo, 
eventualmente, ser aumentado para 6,0. Caso for utilizada treliça com duas águas, o pré-
dimensionamento da altura corresponde à altura máxima da treliça.
6.3 Treliças Espaciais
Ao se projetar uma treliça espacial, devemos nos preocupar com o aspecto construtivo. 
A solução mais simples é utilizar um módulo a partir de prismas regulares, podendo ser sistemas 
com prismas triangulares, tetraedros ou pirâmides de base quadrada. A Figura 18 apresenta o 
modelo mais simples de uma treliça espacial, que é o sistema de pirâmides com base quadrada.
Figura 18 – Treliça espacial mais simples. Fonte: Rebello (2007).
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O sistema de ligação pode ser feito pelo conhecido sistema Mero, conforme Figura 19 , ou 
amassando-se as pontas no sistema Mdeck (Figura 20).
Figura 19 – Treliça espacial mais simples. Fonte: Souza e Malite (2005).
Figura 20 – Treliça espacial mais simples. Fonte: Souza e Mallite (2005).
6.3.1 Pré-dimensionamento
Pode-se usar a seguinte formulação empírica para o cálculo da altura da treliça espacial:
em que:
L: Espaçamento maior entre pilares.
l: Espaçamento menor entre pilares.
6.4 Vigas de Alma Cheia
Dá se o nome de alma para a parte vertical da seção de uma viga. A expressão alma 
cheia, portanto, corresponde a almas que não apresentam vazios. A viga de alma cheia é um 
elemento que propicia um grande aproveitamento de espaço. No entanto, é um dos elementos 
mais solicitados, pois precisa transmitir os esforços, na maioria das vezes, do sentido horizontal 
(posição onde se encontra) para o sentido vertical (caminho das cargas de viga para pilar). Dessa 
forma, os esforços predominantes nesse tipo de elemento são: a � exão e o cortante.
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Figura 21 – Caminho das forças em uma viga de alma cheia. Fonte: Rebello (2007).
Figura 22 – Diagramas de momento � etor para vigas. Fonte: Rebello (2007).
Em termos de apoios, a viga pode se apresentar como biapoiada sem balanço, biapoiada 
com balanço, contínua sem balanço e contínua com balanço. O balanço, muitas vezes, pode ser 
um aliado da estrutura, pois, se for bem dosado, pode reduzir os esforços ao l ongo da viga pelo 
fato de “balancear” o momento do vão. Em outras palavras, a carga atuante no trecho em balanço 
tende a “levantar” o trecho entre pilares, ocasionando essa tendência de alívio ao longo do vão 
entre os pilares.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 23 – (a) Viga biapoiada; (b) Viga biapoiada com balanço; (c) Viga contínua sem balanço; (d) Viga contínua 
com balanço. Fonte: Rebello (2007).
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6.4.1 Pré-dimensionamento
Para vigas biapoiadas sem balanço, existem as seguintes relações:
• 
 para cargas pequenas.
• 
 para cargas médias.
• 
 para cargas grandes.
Para vigas biapoiadas com balanço:
• 
 para cargas pequenas.
• 
 para cargas médias.
• 
 para cargas grandes.
Para vigas contínuas sem balanço:
• 
 para cargas pequenas.
• 
 para cargas médias.
• 
 para cargas grandes.
Para vigas contínuas com balanço, faz-se o pré-dimensionamento conforme os dois itens 
anteriores e admite-se o maior h.
6.5 Steel Frame
É um sistema estrutural que consiste basicamente na composição de uma malha de per� s 
metálicos, espaçados de 40 cm a 60 cm, com espessura entre 0,9 mm e 1,5 mm. São utilizados 
per� s galvanizados para maior resistência à oxidação.
A malha estrutural é revestida internamente, com painéis do tipo dry wall, e externamente, 
com painéis resistentes ao tempo, como placas cimentícias e OSB.
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Figura 24 – Construção em steel frame. Fonte: Bullfor (2018).
7. EDIFÍCIOS EM ESTRUTURAS METÁLICAS – GALPÕES
No capítulo 9 de Rebello (2007), existem diversos tipos de considerações sobre edifícios, 
tais como “galpões”, “ponte rolante”, “edifícios residenciais e comerciais”, “critério para uso de 
lajes”, “critério para uso de vigamento” (aqui você tem o princípio básico para mezaninos), 
dentre outros tipos de estruturas. Neste item, existem diversos itens relacionados a edifícios em 
estruturas metálicas. Para esta apostila, selecionou-se o galpão para ser explicado visto que é o 
tipo de edifício em aço mais executado no Brasil.
O galpão é o principal tipo de construção em estrutura metálica realizada no Brasil. 
Isso porque é onde o aço se torna mais viável do que o concreto devido à exigência de grandes 
vãos livres. Os componentes principais são a estrutura principal, cobertura (terças e telhas), 
fechamento e contraventamentos.
A estrutura principal é composta por um pórtico, que pode apresentar diferentes formas 
de acordo com o vão a ser vencido. Esses pórticos podem ser concebidos por meio de um pórtico 
simples, arco, pórticos múltiplos (associação de vários pórticos simples) ou em shed.
Em coberturas com telhas, essas devem se apoiar em vigas chamadas terças (Figura 
25), que desempenham a função de transmitir a carga do telhado à estrutura principal (pórtico, 
treliça, tesoura etc.).
Figura 25 – Detalhe de terça. Fonte: Márquez (2015).
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As telhas também funcionam como fechamento lateral em galpões. Fechamentos laterais 
em galpões podem ser feitos com:
• Alvenaria de tijolos ou blocos cerâmicos.
• Telhas metálicas.
• Painéis pré-moldados de concreto armado.
• Painéis pré-moldados de argamassa armada.
No caso das alvenarias, elas são normalmente utilizadas como complemento das vedações 
com telhas, conforme visto na Figura 26.
Figura 26 – Galpão em estrutura metálica, com fechamento lateral com telha e pré-moldado. Fonte: Cobervale 
(2020).
Outro elemento fundamental no projeto arquitetônico e que, se esquecido, pode acarretar 
diversas surpresas para o projetista é o contraventamento. Como já visto, a estrutura metálica 
tende a ser mais esbelta. A consequência disso é que ela se torna muito instável e, portanto, 
necessita de contraventamentos para reduzir esse efeito. A ausência de contraventamento em 
galpões acarreta a necessidade do uso de per� s maiores para enrijecimento da estrutura. No 
entanto, esse aumento de per� s não compensa economicamente.
A forma mais adequada e econômica de se pensar nos contraventamentos é buscar formas 
com que eles funcionem sempre à tração, já que é o mais favorável dos esforços.
A princípio, a maneira mais fácil de fazer isso é dispor barras em “X”, pois, assim, com o 
esforço atuando de um lado ou de outro, as barras que o compõem sempre estarão tracionadas. 
No entanto, não é regra que esses elementos sejam sempre dispostos dessa forma: eles também 
podem servir como escoras (elementos comprimidos) de modo a enrijecer a estrutura da mesma 
forma. A mão francesa, mostrada na Figura 25, faz parte do sistema de contraventamento, mas 
seu esforço predominante é de compressão, servindo como um apoio intermediário da terça 
e, ao mesmo tempo, como travamento do banzo inferior. A Figura 27 mostra um esquema 
da disposição dos contraventamentos típicos em “X”, no plano de� nido pelas terças e banzossuperiores das treliças.
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Figura 27 – Contraventamento em cobertura. Fonte: Rebello (2007).
Para melhor e� ciência, é comum dispor os contraventamentos em intervalos adequados 
(menores que 25 m) como mostrado na Figura 28.
Figura 28 – Contraventamento alternado. Fonte: Santos, Santana e Barboza (2018).
Os contraventamentos podem ser dispostos na horizontal e na vertical. A disposição 
na vertical permite que os esforços sejam transmitidos dos pilares às fundações de forma mais 
adequada. O problema é que o contraventamento vertical pode prejudicar a circulação. Nesse 
caso, pode-se enrijecer o pórtico; no entanto, essa solução sempre será economicamente menos 
viável.
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EXERCÍCIOS
1) Considerando a tabela de bitolas de vigas W a seguir:
Fonte: Gerdau (2023).
Determine:
a) O per� l mais leve com momento de inércia maior do que 2.000 cm4.
RESOLUÇÃO:
W 200 x 22,5
b) O per� l com menor altura e com massa linear maior do que 50 kg/m.
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RESOLUÇÃO:
HP 200 x 53,0
c) Todos os per� s que sejam exatamente quadrados.
RESOLUÇÃO:
W 150 x 22,5 (H); w 200 x 46,1 (H)
d) O per� l mais leve com espessura da alma maior do que 6,0 mm.
RESOLUÇÃO:
W 200 x 22,5
e) O per� l com maior espessura da mesa e com área menor do que 60 cm2.
RESOLUÇÃO:
W 200 x 41,7 (H)
2) Você, arquiteto(a), foi contratado(a) para elaborar o projeto arquitetônico de um 
hangar de estrutura metálica, com a � nalidade de abrigar o avião representado a seguir. 
Considere, ainda, que as medidas do portão do hangar sigam as proporções representadas 
a seguir e que a largura e a altura efetiva dele devem ser, pelo menos, 20% maiores que as medidas 
da aeronave.
Realize o pré-dimensionamento de um arco ideal, identi� cando a � echa ideal (f), a 
largura (L) e a espessura (h) do arco que atenda a esses requisitos com o menor custo possível.
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RESOLUÇÃO:
Para um arco ideal, sabe-se que é válido:
• Flecha ideal (f): L/10 ≤ f ≤ L/5
• Largura do arco (b): h/10 ≤ b ≤ h/5
• Espessura do arco (h): 2% do vão (L)
Desse modo, para atender às solicitações de projeto, tem-se:
Para se manter o projeto com o menor custo possível, deve-se adotar o menor L possível, 
de modo que:
Porém, desse modo, nota-se que a � echa não atenderia à altura da aeronave conforme 
as solicitações de projeto. Ou seja, a limitação de dimensões do hangar é dada pela � echa, deste 
modo:
E a espessura do arco calcula-se da seguinte maneira:
3) Ao projetar uma passarela de pedestres, o arquiteto de� niu que a altura do guarda-
corpo deverá ser de exatamente 90 cm. 
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Considerando que a estrutura dessa passarela será uma treliça plana metálica cuja 
� nalidade também será a de guarda-corpo, realize o pré-dimensionamento dela, encontrando os 
vãos (L) mais econômicos para essa passarela.
RESOLUÇÃO:
Sabe-se que os vãos mais econômicos para treliças planas desse tipo se enquadram em:
Como, por de� nição de projeto, tem-se que a altura h = 90 cm, pode-se chegar nos vãos 
possíveis para a treliça:
4) Você, arquiteto(a), foi contratado(a) para projetar um palco quadrado “� utuante”, o 
qual será elaborado da seguinte maneira:
Fonte: Adaptado de Rocha (2021).
Considerando que a altura máxima possível para a treliça espacial metálica que constitui 
a estrutura do palco é de 80 cm, realize um pré-dimensionamento dessa treliça para estimar a 
maior área de palco possível nessa con� guração.
RESOLUÇÃO:
Sabe-se que a fórmula empírica para cálculo da altura da treliça espacial é:
Como as de� nições de projeto nos dão a altura necessária e, além disso, especi� cam que 
o palco é quadrado 
Como as de� nições de projeto nos dão a altura necessária e, além disso, especi� cam que 
, tem-se:
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Logo, a maior área de palco possível nessa con� guração é:
5) Considere o seguinte projeto de mezanino apoiado por pilares e viga metálicos.
PLANTA BAIXA
CORTE A-A
Sabendo que as cargas solicitantes desse mezanino são médias, pré-dimensione a viga de 
apoio do mezanino e, então, de� na a altura efetiva H dos pilares de apoio dessa estrutura.
RESOLUÇÃO:
Conforme o esquema apresentado, sabe-se que:
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Para encontrar o H da viga, utiliza-se o pré-dimensionamento de vigas de alma cheia, o 
qual diz que, para vigas contínuas sem balanço, é válido:
h = 4,5% do maior vão para cargas médiash = 4,5% do maior vão para cargas médias
Desse modo, tem-se:
CO NSIDERAÇÕES FINAIS
Como já dito, as estruturas metálicas são uma solução bastante utilizada quando se 
necessita agilidade na obra ou grandes vãos. Entretanto, deve ser levado em consideração o seu 
custo, pois é maior quando comparado ao uso de outros materiais, como concreto e madeira. Por 
outro lado, economizando em prazo, isso pode ocasionar ganhos no orçamento, o que pode fazer 
com que compense a escolha por esse material.
Um projeto arquitetônico em que se propôs o uso de estrutura metálica não necessariamente 
deve apresentar a especi� cação dos per� s efetivamente veri� cados de acordo com o cálculo dos 
esforços. No entanto, apresentar um projeto arquitetônico com uma concepção mais próxima 
do que o calculista pode propor como solução é ideal. As regras de pré-dimensionamento, 
saber os elementos necessários nas estruturas (a exemplo dos contraventamentos) e todas as 
demais informações apresentadas nesta unidade são de fundamental importância na vida do(a) 
arquiteto(a).
Quando se trata de estruturas metálicas, nem sempre o(a) arquiteto(a) lidará com galpões 
ou grandes e arrojadas estruturas. Em vez disso, é bastante comum que a estrutura metálica seja 
proposta como um elemento extra para suprir certas necessidades de uma estrutura em concreto, 
por exemplo. 
Dito isso, cabe ao(à) futuro(a) arquiteto(a) não só ler e estudar esta apostila, mas também 
se aprofundar nas referências bibliográ� cas colocadas aqui. Muito do que foi colocado aqui é 
resumido e deve ser complementado com as leituras e vídeos indicados ao longo do texto.
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UNIDADE
03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................62
1. CONCEITOS ...........................................................................................................................................................63
1.1 O CONCRETO........................................................................................................................................................63
1.1.1 DEFINIÇÃO .........................................................................................................................................................63
1.1.2 TRAÇO ................................................................................................................................................................63
1.1.3 RESISTÊNCIA ....................................................................................................................................................63
1.1.4 EFEITO TÉRMICO..............................................................................................................................................64
1.2 AÇO.......................................................................................................................................................................65
1.2.1 DIMENSIONAMENTO.......................................................................................................................................65
2. SISTEMAS ESTRUTURAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................66
2.1 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................................................................66
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
PROF. ME. RENAN GUSTAVO JUNQUEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS II
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2.1.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................. 69
2.2 LAJES NERVURADAS ......................................................................................................................................... 70
2.2.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ..............................................................................................................................71
2.3 LAJES PRÉ-MOLDADAS ..................................................................................................................................... 72
2.3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................. 74
2.4 LAJE EM GRELHA ............................................................................................................................................... 75
2.4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................. 76
2.5 VIGAS DE ALMA CHEIA ..................................................................................................................................... 76
2.5.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................. 78
2.6 PILARES .............................................................................................................................................................. 78
2.6.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................. 79
3. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL ................................................................................................................................ 81
3.1 LOCAÇÃO DE VIGAS ............................................................................................................................................ 81
3.2 LOCAÇÃO DE PILARES ....................................................................................................................................... 84
4. EDIFÍCIOS ALTOS ................................................................................................................................................. 85
5. EXECUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE PLANTAS DE FORMA ............................................................................... 87
6. EXECUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE PLANTAS DE ARMAÇÃO .......................................................................... 88
7. OUTROS SISTEMAS ESTRUTURAIS ...................................................................................................................90
7.1 AS CASCAS ...........................................................................................................................................................90
7.2 ABÓBADA ............................................................................................................................................................. 91
7.3 CÚPULA ............................................................................................................................................................... 91
7.4 CONOIDE .............................................................................................................................................................. 92
7.5 PARABOLOIDE .................................................................................................................................................... 92
EXERCÍCIOS .............................................................................................................................................................. 93
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................................................................... 102
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INTRODUÇÃO
Chegamos às estruturas de concreto armado, material que possui inúmeros modelos de 
cálculo, explicações para seu comportamento e teorias. No entanto, nada ainda de� nitivo com 
relação ao seu real comportamento foi convencionado. O que se tem são modelos aceitos que 
descrevem seu comportamento aproximado e que satisfazem as necessidades estruturais, com 
grande margem de segurança.
A principal norma que rege o dimensionamento de estruturas de concreto armado é a 
NBR 6118:2014. A norma engloba muitos desses modelos de cálculo e apresenta restrições e 
recomendações a serem seguidas no projeto. Não são os modelos mais exatos, mas são bastante 
simples e oferecem resultados bastante próximos da realidade, estando sempre a favor da 
segurança.
O concreto é um material anisotrópico, com propriedades quase imprevisíveis em 
termos de � ssuração. No entanto, observa-se, em ensaios experimentais, que a sua resistência à 
tração é bem menor do que a resistência à compressão (aproximadamente, 10% da resistência à 
compressão).
Por outro lado, o aço é um material isotrópico, com alta resistência tanto na tração quanto 
na compressão. O aço mais utilizado na construção civil é o CA-50, aço bastante dúctil e que é 
colocado como armadura longitudinal.
A combinação desses dois materiais, com uma forte ligação que se cria entre eles, 
denominada aderência, gera o que conhecemos como concreto armado. O objetivo desse 
terceiro material é que o concreto seja amplamente utilizado nas estruturas, como vigas, pilares, 
lajes, blocos etc. Entretanto, em regiões onde a estrutura apresentar esforços de tração (mais 
precisamente, tensões de tração), especi� ca-se certa quantidade de aço, que é previamente 
calculada em função dos esforços da estrutura.
Esta Unidade 3 também é baseada em Rebello (2007).
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1. CONCEITOS
O concreto armado não é apenas a associação de concreto e aço, mas é um terceiro 
material, resultante da forte ligação entre ambos, à qual se dá o nome de aderência. A aderência 
ocorre graças ao atrito no interior da massa de concreto e ao efeito colante do cimento.
1.1 O Concreto
1.1.1 Definição
O concreto é uma mistura controlada de agregados (gerador de volume) e um material 
colante (aglomerante). Os agregados, em geral, são compostos de pedras (agregado graúdo) e 
areia (agregado miúdo) enquanto o material colante pode ser obtido pela mistura de cimento e 
água.
1.1.2 Traço
Sem a presença do aço, o concreto é denominado concreto simples e possui item 
especí� co na NBR 6118:2014, com suas possíveis aplicações. Dessa forma, o concreto simples é 
composto por cimento, pedra (brita), areia e água, em proporções denominadas traços. É o traço 
o responsável pelas propriedades do concreto, isto é, determinadas proporções da mistura entre 
esses materiais levam a um concreto mais, ou menos, resistente.
Esses são os materiais básicos do concreto. No entanto, é possível utilizar aditivos de 
modo a se obter alguma propriedade em especí� co ou, ainda, aumentar a resistência. A sílica 
ativa, por exemplo, ao ser incorporada na mistura, pode aumentar em até oito vezes a resistência 
do concreto, criando-se o chamado Concreto de Alto Desempenho, conhecido também pela 
siglaCAD.
Mantendo-se a proporção de agregados constante em certo traço, o fator água/cimento 
é responsável pela trabalhabilidade e resistência do concreto. Quanto maior a quantidade de 
água, maior a trabalhabilidade e menor a resistência, e vice-versa. A proporção ideal desse 
fator água/cimento é de 0,5% a 0,65% de volume de água em relação ao de cimento.
1.1.3 Resistência
A resistência do concreto é obtida por meio do ensaio de compressão axial em corpo de 
prova cilíndrico. Não só a resistência é obtida, mas também um diagrama de tensão-deformação, 
podendo-se extrair disso o módulo de elasticidade. Esse valor de resistência à compressão é 
fundamental para o projeto de estruturas de concreto armado e deve ser obtido para a idade de 
28 dias após a mistura, tempo durante o qual a resistência tende a se manter constante. Esse valor 
extraído dos resultados experimentais é um resultado médio e, após um tratamento estatístico, 
calcula-se um valor característico denominado fck . Ele é um dos parâmetros necessários para o 
cálculo da quantidade de aço.
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1.1.4 Efeito térmico
Outra consideração bastante importante com relação ao concreto é a dilatação térmica. 
Como visto na Unidade 1, uma variação na temperatura gera deformações na estrutura, isso 
se ela estiver livre para se deformar. No entanto, imagine que uma viga que esteja engastada 
em ambas as extremidades esteja submetida a uma variação de temperatura. Ela vai tentar se 
deformar, mas, como as extremidades estão engastadas, isso impede a deformação da peça. Em 
vez de se deformar, a peça sofre uma tensão interna, e essa tensão é responsável por gerar as 
� ssurações mencionadas.
O efeito da dilatação térmica pode ser desprezado se forem previstas juntas de dilatação 
adequadas. Essas juntas são, na verdade, uma dessolidarização da estrutura, transformando-a em 
duas partes independentes, como mostrado na Figura 1.
Figura 1 – Exemplo de junta de dilatação. Fonte: Rebello (2007).
O concreto, logo após a ocorrência da mistura, começa a endurecer e a ganhar 
resistência. Essa resistência aumenta gradativamente até os 28 dias, idade a partir 
da qual o aumento de resistência é irrisório, apesar de continuar aumentando. 
Enquanto isso ocorre, existe uma tendência de a massa do concreto expulsar ar, 
deixando vazios que, se forem permitidos, podem levar ao aparecimento de fi ssuras. 
Nesse caso, existe um procedimento para se evitar a saída de ar, denominado 
cura. Normalmente, o mais comum é molhar a superfície do concreto, mantendo-a 
molhada durante determinado período. De acordo com Peinado (2013), para obter 
uma estrutura de qualidade, o lançamento de concreto deve ser seguido de uma 
série de procedimentos que caracterizam a cura. Para ele, dependendo do tipo de 
cimento e da relação água/cimento utilizada, o tempo mínimo varia de 2 a 10 dias. 
Leia o texto de Peinado (2013), intitulado Conheça as alternativas 
para fazer a cura de elementos de concreto, disponível em <https://
www.rodrigorcarvalho.com.br/conheca-alternativas-para-fazer-
cura-de-elementos-de-concreto/>. Nele, é apresentada uma tabela 
com os tempos de cura necessários para cada tipo de cimento e 
relação água/cimento.
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1.2 Aço
O aço utilizado no concreto armado tem a mesma origem do aço utilizado nas estruturas 
metálicas, conforme visto na Unidade 2. No entanto, as propriedades são outras. Para o concreto 
armado, são utilizados os aços do tipo CA-50, CA-60 e CA-25, cada qual para sua aplicação em 
especí� co. A sigla CA indica concreto armado, e o número corresponde à tensão de escoamento, 
em kN/cm2. Existem outras armaduras também possíveis de se utilizar, chamadas armaduras 
ativas, que são dimensionadas para o concreto protendido. Os princípios de dimensionamento 
são diferentes do concreto armado e não serão abordados aqui.
1.2.1 Dimensionamento
Como já mencionado, o aço é dimensionado principalmente para absorver a tração a que 
as peças de concreto são submetidas. Entretanto, existem outros motivos que também levam ao 
aumento de armaduras, sendo eles: redução da � ssuração e alívio das tensões de compressão do 
concreto, como ocorre em pilares ou em vigas que estiverem muito solicitadas à compressão.
Na questão do dimensionamento, o cálculo da armadura e a determinação das dimensões 
não servem apenas para evitar a ruína da estrutura. Existe também a necessidade de se restringir 
deformações excessivas e � ssurações de aberturas muito grandes. Aqui, surge o conceito de estado 
limite, que podem ser dois: Estado Limite Último (ELU) e Estado Limite de Serviço (ELS). Este 
último também pode ser denominado de Estado Limite de Utilização.
O Estado Limite Último consiste em uma situação que representa a ruptura de uma 
estrutura isolada ou global, isto é, que ocorre uma vez na vida útil da estrutura, se ocorrer. Exemplo 
de ELU é a ruptura de uma viga por deformação excessiva do aço, compressão do concreto ou 
instabilidade global de uma estrutura. As cargas utilizadas nessa situação são majoradas por 
coe� cientes previstos na NBR 6118 e também, de modo geral, na NBR 8681.
Uma propriedade bastante interessante do aço é o escoamento. Quando a viga 
rompe pela deformação excessiva do aço, antes de romper, a peça vai apresentar 
fi ssurações cada vez mais visíveis, o que funciona como um aviso para que as 
pessoas evacuem o local.
Por outro lado, pode ocorrer de o concreto comprimido atingir sua ruptura antes 
que o aço inicie o escoamento. Essa é uma situação em que a peça rompe 
primeiramente na face superior (região comprimida) e, consequentemente, torna-
se instável, indo abaixo, sem qualquer aviso.
Tanto a primeira como a segunda situação podem ser previstas no 
dimensionamento. Assim, como existe essa possibilidade, a NBR 6118 não 
permite o dimensionamento em que o concreto comprimido rompa antes do início 
de escoamento do aço.
Estado Limite de Serviço consiste em situações que podem ocorrer diariamente 
na estrutura. Exemplos desses estados limites são: surgimento de fi ssuras, vigas 
com fl echas, além de valores aceitáveis, vibrações excessivas, dentre outros. 
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2. SISTEMAS ESTRUTURAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO
2.1 Lajes Maciças
A laje maciça é uma placa de concreto que suporta carregamentos verticais e pode se 
apoiar em vigas, nas suas extremidades, ou em pilares, sendo, nesse segundo caso, denominada laje 
cogumelo. Esse elemento, muitas vezes, pode ser inclinado, caso bastante comum em coberturas.
O seu comportamento é bastante complexo. Portanto, para se calcular seus esforços e 
deslocamentos, utilizam-se modelos mais simpli� cados, que permitem seu entendimento com 
uma margem de erro a favor da segurança.
Imagine que uma laje seja discretizada em faixas de 1,0 m de largura, perpendiculares 
entre si. Tomando uma das faixas para se avaliar o seu comportamento, podemos assemelhar tais 
faixas a vigas de largura igual a 1,0 m, como mostrado na Figura 2.
Figura 2 – Laje bidirecional. Fonte: Rebello (2007).
Naturalmente, o que ocorre em uma placa submetida a um carregamento transversal é 
que o esforço busque sempre o caminho mais curto. É a lei do menor esforço. Se calcularmos os 
momentos para as faixas x e y, chegaríamos à conclusão de que o momento para o menor vão é 
maior quando comparado à faixa de maior vão.
Quanto mais “comprida” a laje for, mais os cálculos vão levar aos resultados da Figura 3, 
isto é, o momento no maior vão tende a zero, e o momento do menor vão tende a obedecer ao 
comportamento de uma viga biapoiada.
As cargas utilizadas nessa situação, diferentemente do ELU, são as mais próximas 
possíveis das cargas do dia a dia e também com coefi cientes previstos nas 
mesmas normas já mencionadas. Embora sejam cargas menores,não deixam de 
ser verifi cações a serem cumpridas quando estruturas de concreto armado são 
projetadas.
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No caso da Figura 2, como a geometria da laje se aproxima mais de um quadrado, ela 
possui momentos consideráveis em ambas as direções, e, portanto, a laje deve ser armada nas 
duas direções, recebendo o nome de laje bidirecional ou laje armada em cruz.
Já no segundo caso, a laje é considerada unidirecional, sendo que, para isso, o maior vão 
deve ser, pelo menos, 2 vezes o menor. Com isso, a laje necessita de armaduras apenas na direção 
do menor vão.
Figura 3 – Laje unidirecional. Fonte: Rebello (2007).
No caso de lajes em balanço, elas necessitam que sejam engastadas. Esse engastamento 
faz com que surjam momentos negativos, que devem ser combatidos com armaduras negativas 
(superiores) perpendiculares à viga onde a laje se engasta.
As armações de uma laje bidirecional seguem o esquema da Figura 4.
Figura 4 – Armação de laje bidirecional. Fonte: Rebello (2007).
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Já a armação de laje unidirecional é mostrada na Figura 5. Perceba que, mesmo não 
necessitando de armadura no maior vão, como já dito, existem armaduras de distribuição que 
são necessárias para distribuir adequadamente os esforços.
Figura 5 – Armação de laje unidirecional. Fonte: Rebello (2007).
A Figura 6 mostra a armação de uma laje em balanço. Perceba que a armadura principal, 
nesse caso, é negativa (superior). Isso porque o momento a ser combatido é o momento negativo 
sobre a viga de apoio da laje engastada.
F igura 6 – Armação de laje em balanço. Fonte: Rebello (2007).
Entre duas lajes adjacentes, também aparecem armaduras negativas (Figura 7), pois, em 
razão da continuidade entre os painéis de lajes, surgem momentos negativos.
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Figura 7 – Armação de lajes adjacentes. Fonte: Rebello (2007).
2.1.1 Pré-dimensionamento
Para lajes armadas em cruz, tem-se :
A Figura 8 mostra um exemplo de aplicação dessa regra.
Figura 8 – Exemplo do pré-dimensionamento de laje em cruz. Fonte: Rebello (2007).
Para lajes armadas em apenas uma direção, tem-se a seguinte relação:
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Como exemplo, tem-se a Figura 9.
Figura 9 – Exemp lo do pré-dimensionamento de laje armada em uma direção. Fonte: Rebello (2007).
Para a laje em balanço, pode-se adotar a relação:
Exemplo conforme a Figura 10.
Figura 10 – Exemplo do pré-dimensionamento de laje em balanço. Fonte: Rebello (2007).
2.2 Lajes Nervuradas
A laje nervurada surge como uma soluç ão para vãos maiores de lajes ou, ainda, como 
forma de se otimizar o material da laje. Isso ocorre, pois o concreto tracionado na parte inferior 
da laje maciça é desperdiçado em termos de resistência uma vez que o concreto, como já foi visto, 
possui resistência muito baixa à tração. Assim, no lugar de uma seção maciça da laje, utilizam-
se elementos lineares espaçados de modo a funcionarem como vigas ou, tratando-se de lajes 
nervuradas bidimensionais, como grelhas. A Figura 11 ilustra essa ideia.
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Figura 11 – Ideia da laje nervurada. Fonte: Rebello (2007).
Perceba que o resultado é uma placa mais � na na parte superior, que é sustentada por 
pequenas vigas, chamadas nervuras.
De maneira geral, as nervuras são dimensionadas para vencer o menor vão entre vigas. 
No entanto, existem exceções, dependendo da distribuição dos pilares e/ou de exigências 
arquitetônicas, podendo ser mais interessante dispor no maior vão.
A armadura das nervuras é feita da mesma forma como se faz em vigas, com armaduras 
longitudinais e estribos (caso houver necessidade). Já a capa é armada como se fosse uma laje 
maciça, normalmente com o uso de telas soldadas, que são encontradas no mercado com bitolas 
e espaçamentos especí� cos.
2.2.1 Pré-dimensionamento
O pré-dimensionamento de uma laje nervurada é feito adotando-se algumas medidas e 
calculando-se outras, conforme as dimensões mostradas na Figura 12 e as relaçõe s a seguir:
Figura 12 - Pré-dimensionamento de nervura. Fonte: Rebello (2007).
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Como critério de cálculo, a laje nervurada é dimensionada como se as nervuras fossem 
vigas de seção T, cuja mesa da seção (parte superior do T) é uma região da capa.
Na � gura, bdisponível é a largura dessa mesa da seção T, que colabora com a resistência da 
nervura; b0 é a largura da nervura; e d, a espessura da capa. Para uma boa execução da nervura, 
pode-se adotar b0 mínimo de 10 cm.
O espaçamento entre nervuras é padronizado e com valores próximos a 50 cm ou 100 
cm. Para cada um desses, existe uma regra de pré-dimensionamento em função do vão onde a 
nervura está disposta.
• Espaçamento em torno de 100 cm: 
• Espaçamento em torno de 50 cm: 
A Figura 13 mostra um exemplo numérico desse cálculo.
Figura 13 - Pré-dimensionamento de laje nervurada em função do vão. Fonte: Rebello (2007).
2.3 Lajes Pré-Moldadas
Apesar do nome, não são totalmente pré-moldadas. Na realidade, esse tipo de laje consiste 
de elementos pré-moldados, que são as vigotas. A capa de concreto e o escoramento ainda são 
necessários após o posicionamento das vigotas pré-moldadas.
Os componentes dessa laje são:
• Vigota de concreto armado, contendo a armadura necessária para conter os esforços da 
laje (Figura 14).
• Blocos cerâmicos, de concreto ou isopor, com função exclusiva de forma (Figura 14).
• Concreto lançado no local (capa), com função de colaborar para a resistência à compressão 
da laje.
Existem algumas considerações com relação aos espaçamentos para o projeto 
de lajes nervuradas. Para isso, recomenda-se a leitura do item 13.2.4.2 da NBR 
6118:2014.
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Tudo o que foi visto para as l ajes nervuradas também se aplica às lajes pré-moldadas. 
Assim, a resistência da laje é função do espaçamento entre nervuras e altura das nervuras. Dessa 
forma, existe uma variedade de dimensões dos blocos de enchimento, tanto de largura como de 
altura, enquanto as vigotas possuem quase sempre as mesmas dimensões, variando apenas sua 
armadura.
Figura 14 - Vigotas pré-moldadas e blocos de enchimento. Fonte: Lajes Carioca (2020).
Sua execução é realizada conforme os seguintes passos:
• Posiciona-se o cimbramento (escoramento). Os pontaletes (escoras) são dispostos a cada 
1,50 m, em geral.
• Lançamento das vigotas de concreto, usando como gabarito os blocos de enchimento.
• Posicionamento dos blocos entre as vigotas.
• Lançamento do concreto fresco.
• Após 15 dias, retira-se o escoramento, e a laje estará pronta.
Atualmente, o uso de vigotas protendidas tomou o lugar das vigotas pré-moldadas. 
Embora sejam mais caras, elas apresentam diversas vantagens, como maior resistência, aplicação 
para maiores vãos e menor quantidade de cimbramento.
Um problema da laje pré-moldada é a aderência entre o concreto novo e o concreto das 
vigotas pré-moldadas, que não é adequadamente satisfeita devido ao próprio sistema construtivo 
e à superfície lisa das vigotas.
Como alternativa, surgem as vigotas treliçadas, também chamadas de laje treliça. A 
diferença entre essa e a pré-moldada é que as vigotas treliçadas possibilitam a aderência entre a 
armadura da vigota e da capa uma vez que ela é montada tendo apenas a base como elemento de 
concreto pré-moldado, conforme mostrado na Figura 15.
Com a vigota treliçada, o concreto novo é lançado tanto para preenchimento do volume 
das vigotas quanto da capa, fazendo com que ambos os elementos sejam concretados de uma só 
vez, propiciandoa perfeita aderência entre eles. Esse fato ocasiona ganhos de carga e vãos.
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Figura 15 – Diferenças entre as vigotas. Fonte: Faz Fácil (2020).
2.3.1 Pré-dimensionamento
O pré-dimensionamento das lajes pré-moldadas é feito com base em tabelas em função 
do vão e do carregamento, que são fornecidas pelo fabricante. A Tabela 1 é um exemplo.
Laje
Sobrecarga (kgf/m²)
150 200 350
H 10 3,70 3,60 -
H 12 4,10 4,00 3,70
H 16 5,10 5,00 4,70
H 20 6,00 5,90 5,60
H 25 7,10 7,00 6,70
 Tabela 1 – Tabela de lajes, fornecida por fabricante. Fonte: Adaptado de Rebello (2007).
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A altura H de uma laje em grelha é a altura do bloco mais a capa. Alguns exemplos:
• H 25: 5 cm de capa e 20 cm de bloco.
• H 20: 4 cm de capa e 16 cm de bloco.
• H 16: 4 cm de capa e 12 cm de bloco.
• H 12: 4 cm de capa e 8 cm de bloco.
• H 10: 2 cm de capa e 8 cm de bloco.
2.4 Laje em Grelha
A laje nervurada, vista anteriormente apenas em uma direção, também pode ter nervuras 
nas duas direções, com a chamada laje em grelha. Em princípio, quando quaisquer duas vigas se 
cruzam, caracterizam o embrião de grelha.
Quando a laje tende à dimensão de um quadrado, mais os esforços se distribuem nas 
duas direções e, consequentemente, a laje em grelha torna-se mais viável em detrimento da laje 
unidirecional. Em termos econômicos, a laje em grelha é mais viável para vãos acima de 7,0 m x 
7,0 m.
A execução de uma laje em grelha é feita utilizando-se cubetas como formas (Figura 16). 
Figura 16 – Cubetas antes da concretagem de laje em grelha. Fonte: Kehl e Vasconcellos (2012).
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Figura 17 – Laje em grelha acabada. Fonte: Kehl e Vasconcellos (2012).
2.4.1 Pré-dimensionamento
A altura das nervuras das grelhas é dada por:
em que:
L: Maior vão
l: Menor vão
Além disso, a largura das nervuras deve � car entre 1/3 e 1/4 da altura das nervuras. O 
espaçamento deve � car entre 1,5 h e 2 h.
2.5 Vigas de Alma Cheia
As de� nições e comportamentos da viga de alma cheia foram discutidos na Unidade 2 e, 
aqui, aplicam-se as mesmas de� nições e comportamentos.
O momento � etor é um tipo de esforço que gera tensões de compressão e tração em uma 
mesma seção. Como já explicado, o concreto é um material que não possui resistência à tração 
adequada, o que gera a necessidade do uso de aço para que absorva essas tensões.
Para visualizar o processo de execução de uma laje nervurada 
em grelha, o vídeo Atex - Instrução de Montagem de Formas para 
Laje Nervurada mostra uma simulação gráfi ca desse processo. 
Disponível por meio do link <https://www.youtube.com/
watch?v=AHacw1yVdnU>.
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Dessa forma, a solução construtiva mais prática e mais e� ciente, usada até o momento, 
é dispor o aço em barras longitudinais e transversais (estribos). As barras longitudinais são 
dispostas nas regiões de tração. Como convenção de sinais, o momento � etor é de� nido como 
positivo quando o esforço comprime a parte de cima e traciona a parte de baixo, e o contrário 
quando negativo. Dessa forma, em regiões de momento positivo, em geral, nos vãos, a armadura 
é disposta na face inferior da viga. Em contrapartida, em regiões de momento negativo, em geral, 
sobre apoios, a armadura é colocada na face superior. A Figura 18 ilustra essas disposições.
Figura 18 - Disposição convencional de armaduras longitudinais. Fonte: Rebello (2007).
Como se observa na imagem, não há necessidade de dispor as armaduras longitudinais 
em toda a extensão da viga. No entanto, por motivos construtivos, é conveniente utilizar, ao 
menos, uma armadura construtiva, conhecida como porta estribos. Ela pode ser emendada à 
armadura principal por um processo que a NBR 6118:2014 chama de traspasse.
Além do momento � etor, as vigas também apresentam o cisalhamento como esforço 
importante. Como vimos na Unidade 1, cisalhamento é a tendência de duas seções deslizarem ou 
cisalharem (lembra-se desse termo?) e ocorre com maior intensidade em regiões próximas aos 
apoios. No caso do concreto, ao ser submetido a um esforço de cisalhamento, caso a viga seja mal 
dimensionada, apresentará � ssuras inclinadas nas regiões próximas aos apoios, como mostra a 
Figura 19.
Figura 19 - Fissuração devido ao cisalhamento. Fonte: Rebello (2007).
Para saber o que é o traspasse e suas considerações normativas, confi ra o item 
9.5.2 da NBR 6118:2014.
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Para se evitar esse tipo de colapso, utilizam-se os estribos dispostos na vertical, como 
mostra a Figura 20.
 
Figura 20 - Disposição dos estribos. Fonte: Rebello (2007)
2.5.1 Pré-dimensionamento
Para viga biapoiada:
• 
, cargas pequenas.
• 
, cargas médias.
• 
, cargas grandes.
Para viga biapoiada com balanço:
• 
, cargas pequenas.
• 
, cargas médias.
• 
, cargas grandes.
Para viga contínua:
• 
, cargas pequenas.
• 
, cargas médias.
• 
, cargas grandes.
2.6 Pilares
Pilares são, em geral, elementos verticais submetidos predominantemente à compressão. 
Em alguns casos, como um pórtico, por exemplo, ele pode apresentar também esforços de � exão.
Em tese, o pilar não necessitaria de armadura já que está comprimido, e o concreto 
resiste bem à compressão. No entanto, a armadura longitudinal alivia as tensões de compressão, 
permitindo que as seções d e concreto sejam menores.
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Os estribos, por sua vez, têm a função de impedir a � ambagem das armaduras longitudinais, 
que são comprimidas. Assim, quanto mais � nas as barras longitudinais, menos espaçadas devem 
ser as barras transversais.
Neste tópico, recomendamos que você retome os conceitos de � ambagem vistos na 
Unidade 1, pois é o fenômeno mais problemático em pilares.
Para evitar a � ambagem, o projetista deve tomar cuidado nos travamentos de pilares, 
os quais podem ser feitos por meio de vigas por lajes. Nesse último caso, o travamento de 
pilar utilizando laje não é recomendado. Se não houver travamento em uma das direções, o 
comprimento de � ambagem nessa direção � ca duplicado (Figura 21). Nesse caso, deve-se atentar 
à dimensão do pilar nessa direção destravada.
Figura 21 – Travamento de pilares e comprimento de � ambagem. Fonte: Rebello (2007).
2.6.1 Pré-dimensionamento
O pré-dimensionamento da área do pilar pode ser feito com base em fórmulas empíricas 
em função da carga aplicada em cada um, conforme as seguintes relações:
• Para pilares com menos de 4,0 m de altura livre (destravados):
• Para pilares com mais de 4,0 m de altura livre (destravados):
Sendo:
Aseção: a área da seção do pilar.
P: carga atuante no pilar em kgf.
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Para se determinar a carga atuante no pilar, usa-se o processo de área de in� uência, em 
que se considera a área de carga (área de in� uência) que incide hipoteticamente sobre o pilar. Essa 
área de in� uência é determinada pelos comprimentos correspondentes à metade da distância 
entre dois pilares contíguos em ambas as direções. Veja o exemplo desse cálculo na Figura 22. 
Nela, demonstra-se o cálculo da área A4, correspondente à área de in� uência do pilar P4.
Figura 22 - Exemplo de cálculo da área de in� uência. Fonte: Rebello (2007).
A determinação da carga P é resultado da multiplicação dessa área de in� uência por uma 
carga distribuída na área do edifício. Essa carga engloba tanto o peso próprio como sobrecargas 
e alvenarias, podendo serem tomados como estimativa os seguintes valores:
• Para piso: 800 kgf/m2
• Para cobertura: 600kgf/m2
Para um edifício, calcula-se a área da seção para o tramo de pilar do térreo, que é o 
trecho mais sobrecarregado, devendo suportar a carga de todos os pavimentos superiores. Nesse 
caso, a carga deve ser multiplicada pela quantidade de pavimentos, somando-se ao resultado 
proveniente da carga de cobertura.
Com a área da seção do pilar, é possível adotar uma dimensão e calcular a outra. Para 
isso, o projetista deve ter ciência de dimensões mínimas. No caso de pilares, a largura mínima, 
de acordo com a NBR 6118:2014, é de 19 cm. No entanto, ela permite que esse valor seja menor 
desde que seja acrescido, no dimensionamento, um coe� ciente extra de segurança, que é tabelado. 
Essa redução pode ser feita até o valor de 14 cm.
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3. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
A concepção estrutural consiste no lançamento prévio da estrutura, em que o projetista 
loca os pilares, vigas e lajes de modo a se adaptar à arquitetura, sem prejudicá-la. É desejável que 
o arquiteto, no momento em que estiver projetando, também se preocupe com a estrutura. Dessa 
forma, com uma boa concepção estrutural, ambas as disciplinas estariam integradas, sem que 
uma tenha que se adaptar à outra de maneira forçada. Neste tópico, serão apresentadas algumas 
soluções para o lançamento estrutural. O que se deve ter em mente é que não existe apenas uma 
solução para a estrutura, sendo ideal que várias soluções sejam testadas.
Quando iniciar o lançamento de um sobrado, por exemplo, o ideal é que comece pelo 
nível intermediário. Assim, tem-se um melhor controle das necessidades, tanto do pavimento 
inferior como do superior. Além disso, inicia-se com a locação de vigas, pois, a partir delas, são 
lançadas as lajes.
3.1 Locação de Vigas
É ideal que as vigas sejam locadas de modo a permitir panos de lajes de tamanhos 
próximos. Não é conveniente ter panos de laje pequenos junto de panos muito grandes, pois 
a laje maior demandaria uma altura de laje maior. Por facilidade construtiva, convém utilizar a 
mesma altura de laje para todas e las, ou seja, mesmo que a laje menor necessite de uma menor 
altura, ela teria a mesma altura da laje maior, fugindo de uma situação mais econômica.
Outro inconveniente de se colocar uma laje grande ao lado de uma pequena é o 
comportamento inadequado da estrutura. Observe a Figura 23.
Essa largura mínima de 14 cm surgiu como nova exigência da norma de 2014 
enquanto que a edição anterior (de 2003) prescrevia tal largura como sendo de 
12 cm. Existem algumas ressalvas, em que a norma de desempenho NBR 15575 
permite o uso de 12 cm para dimensão mínima de pilar. No entanto, como se trata 
de um confl ito entre normas, o adequado é sempre utilizar o valor que satisfaça 
ambas as normas (no caso, 14 cm, com coefi ciente de segurança extra).
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Figura 23 - Solução ruim de lançamento de vigas. Fonte: Rebello (2007).
Nesse caso, a eliminação da viga V5, deixando a laje L2 em balanço, seria uma solução 
mais interessante. Além disso, do ponto de vista construtivo, a ausência da viga facilita o trabalho 
de montagem de formas.
Sempre que possível, a alvenaria deve ser colocada sobre vigas de apoio. Paredes apoiadas 
apenas em lajes correm grande risco de sofrerem com � ssuras, como visto na Figura 24.
Figura 24 – Trinca em alvenaria sem viga de apoio. Fonte: Rebello (2007).
Da mesma forma, não se recomenda que uma alvenaria seja feita sem uma viga no topo, 
pois isso pode ocasionar esforços não previstos no cálculo estrutural, como mostra a Figura 25.
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Figura 25 – Comportamento inadequado de laje apoiada sobre alvenaria. Fonte: Rebello (2007).
Tanto para a situação de alvenaria com viga de apoio como com viga no topo, caso não 
seja possível utilizar vigas nessas situações e a parede precisar ser apoiada sobre a própria laje, 
recomenda-se que a parede seja executada somente depois que a laje já tiver sofrido as maiores 
deformações.
O uso de viga invertida também pode ser uma solução quando uma viga não pode 
aparecer na arquitetura. Inverter a viga é fazer com que a face inferior � que no nível da face da 
laje, como mostra a Figura 26.
Figura 26 – Viga invertida. Fonte: Meia Colher (2020).
Um detalhamento tridimensional da ligação entre uma laje treliçada com uma 
viga invertida pode ser visto no vídeo Viga Invertida, disponível em <https://www.
youtube.com/watch?v=Xx0MzZE2ajw>.
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3.2 Locação de Pilares
A quantidade de pilares a serem locados deve ser dosada adequadamente. Muitos pilares 
acarretam uma estrutura muito cara e de execução trabalhosa. Tratando-se de poucos pilares, 
isso pode gerar um problema psicológico, pois existem estudos que comprovam que pessoas se 
aglomeram próximas aos pilares de uma edi� cação.
O espaçamento econômico entre pilares, em uma estrutura de médio porte, inclusive 
para edifícios altos, gira em torno de 4 a 6 m. Eles devem ser dispostos de modo que as vigas 
tenham vãos com mesma ordem de grandeza.
A Figura 27 mostra uma situação bastante corriqueira, com uma solução ruim e outra 
boa, com a retirada de alguns pilares de extremidade. Na imagem, podemos ver que os pilares P3 
e P6 são tracionados devido ao grande vão da viga V1 entre os pilares P1 e P2 e da viga V2 entre 
os pilares P4 e P5. Na primeira situação (com os pilares), esses pilares extremos funcionam mais 
como tirantes do que como pilares propriamente ditos. Nesse tipo de situação, a melhor solução 
é removê-los.
É sempre adequado que os pilares sejam locados desde a fundação até o topo, evitando, 
assim, vigas de transição (vigas que suportam pilares nascendo).
Sempre que possível, é desejável locar os pilares alinhados por facilitar a locação 
posteriormente.
É desejável, mas não obrigatório, posicionar os pilares nos encontros de vigas de modo a 
evitar apoios entre vigas. Não é errado que vigas se apoiem umas nas outras. No entanto, se isso 
ocorre, a viga que serve de apoio está sujeita a uma carga pontual, e isso pode acarretar vigas 
maiores.
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Figura 27 - Solução com retirada de pilar. Fonte: Rebello (2007).
4. EDIFÍCIOS ALTOS
O comportamento de um edifício alto não é diferente de um edifício térreo, inclusive com 
os mesmos critérios de pré-dimensionamento. A diferença ocorre quando o edifício é solicitado 
ao vento, devendo sê-lo considerado a partir de 6 pavimentos (REBELLO, 2007). Abaixo disso, o 
vento pode ser desprezado.
O vento que incide no edifício é absorvido pelas lajes, as quais, por sua vez, transmitem o 
esforço aos pórticos que formam o edifício, às paredes ou a ambos, em conjunto.
O pórtico é a estrutura principal do edifício, sendo formado por pilares e vigas. Como se 
sabe, um pórtico possui em seus nós ligações rígidas que permitem que o pórtico absorva forças 
horizontais, fazendo com que as barras (vigas) apresentem esforços axiais (tração ou compressão). 
A Figura 28 mostra a ligação rígida de um pórtico em concreto armado.
Figura 28 - Ligação rígida em nó de pórtico. Fonte: Rebello (2007).
Para que os pilares e as vigas formem pórticos rígidos, eles devem ter dimensões próximas, 
e a maior dimensão do pilar deve estar contida no mesmo plano do pórtico.
Os pórticos devem ser dispostos de maneira simétrica no edifício a � m de evitar que uma 
região seja mais rígida que a outra. O problema nessa diferença de rigidez é que o edifício pode 
ser torcido com o efeito de vento, como mostrado na Figura 29.
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Figura 29 - Edifício torcido. Fonte: Rebello (2007).
Podem ser usadas paredesde concreto caso os pórticos não sejam su� cientes. As paredes 
da caixa de elevador e da escada são sempre usadas, pois suas formas apresentam rigidez. Vale 
salientar que, independentemente da solução, a simetria é sempre fundamental. Alguns exemplos 
da disposição dessas paredes podem ser vistos na Figura 30.
Figura 30 - Disposição de paredes de concreto em edifício. Fonte: Rebello (2007).
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5. EXECUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE PLANTAS DE FORMA
A planta de forma é necessária para que o carpinteiro consiga montar as formas onde 
o concreto fresco será lançado. Para isso, o desenho deve ter a posição dos elementos, nomes 
ou números, dimensões e elevações (quando houver). As cotas entre as faces dos elementos são 
fundamentais. Para melhor visualização, sugere-se utilizar a escala 1:50.
A locação de pilares não é feita na forma, mas separadamente, na planta de locação.
Os cortes são bastante interessantes na medida em que fornecem uma visualização 
imediata de elevações diferentes (se houver). O corte pode ser colocado ao lado da planta de 
forma ou, se houver espaço na folha, rebatido sobre a planta. A Figura 31 mostra um exemplo 
disso.
Figura 31 - Corte esquemático. Fonte: Rebello (2007).
Para se nomearem os elementos, é comum utilizar as letras L, V e P, respectivamente, para 
lajes, vigas e pilares. Para a numeração, é recomendável utilizar uma sequência de números que 
informe também o pavimento em que se encontram. Por exemplo: no pavimento térreo, numerar 
as vigas de 1 a 99; no pavimento 01, as vigas terão números de 101 a 199; as do pavimento 02, de 
201 a 299; e assim por diante.
A Figura 32 ilustra um exemplo de planta na forma de um projeto elaborado utilizando o 
so� ware de cálculo estrutural Eberick. Vale salientar que o que está sendo apresentado aqui são 
sugestões. Nada impede o projetista de utilizar outros recursos que achar interessante.
Junto com a planta de forma, deve conter uma legenda de pilares para diferenciar os que 
nascem, os que passam e os que morrem, além de informações sobre o concreto, como o fck e as 
sobrecargas de cálculo.
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Figura 32 – Planta de forma. Fonte: Teixeira (2015).
6. EXECUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE PLANTAS DE ARMAÇÃO
A planta de armação deve fornecer informações sobre a posição, bitola (diâmetro), 
comprimentos de dobra e corte d as barras.
A Figura 33 mostra um exemplo de planta de armação. Nela, é possível visualizar as 
posições das armaduras dentro da viga e também rebatidas fora do desenho da viga. Acima do 
desenho da viga, é rebatida a armadura superior, e o mesmo ocorre para a inferior, abaixo do 
desenho. Para o entendimento dos estribos, eles são desenhados na seção em corte, ao lado da 
elevação da viga.
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Figura 33 – Planta de armação com detalhamento de viga. Fonte: Teixeira (2015).
As informações presentes nas armaduras são do tipo “1 N3 ϕ 12,5 C=210”. Na ordem da 
esquerda para a direita, as informações são a quantidade de barras (no exemplo, é 1), o número 
delas (para o exemplo, N3), a bitola da barra (12,5 mm de diâmetro) e o c omprimento total de 
corte (210 cm). É conveniente sempre utilizar as dimensões em centímetros no projeto estrutural.
Note que a armadura inferior possui uma barra na segunda camada (veja o corte da seção 
ao lado). Dessa forma, é conveniente indicar qual linha de armaduras está em qual camada.
A especi� cação dos estribos aparece logo abaixo das cotas da viga. Perceba que é possível 
que se tenham diferent es espaçamentos em algumas regiões. Isso porque, no meio do vão da viga, 
o cisalhamento é mínimo, não necessitando de tantos estribos quanto em regiões próximas aos 
apoios, onde o cisalhamento é máximo.
Nesse exemplo, então, a armadura superior é composta por 4 barras de 10 mm, a inferior 
possui 4 barras de 12,5 mm na primeira camada e uma barra de 12,5 mm na camada superior. Os 
estribos são compostos por barras de 5,0 mm de diâmetro, colocadas a cada 15 cm em um espaço 
de 80 cm a partir dos apoios para dentro e a cada 20 cm no centro, entre essas duas extensões de 
80 cm.
As armaduras são numeradas de acordo com seus comprimentos de dobra e bitola, 
incluindo a letra “N” antes do número. Essa numeração é importante para que ela possa ser 
identi� cada em tabela de quantitativos que o projeto deve ter, como mostrado na Tabela 1.
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Tabela 2 – Relação de aço. Fonte: O autor.
Além disso, também é importante uma tabela resumo por tipo de aço.
Tabela 3 – Resumo de aço. Fonte: O autor.
7. Outros sistemas estruturais
7.1 As Cascas
Outros sistemas estruturais são as abóbadas, cúpulas, conoides e paraboloides. Todos eles 
são construídos no conceito de casca, em que a utilização do concreto é bastante comum.
Com relação aos critérios de concepção estrutural, recomenda-se a leitura do 
capítulo 5 de Rebello (2000) – referência completa ao fi nal desta apostila.
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7.2 Abóbada
De acordo com Rebello (2000), as abóbadas surgem da associação contínua de vários 
arcos dispostos lado a lado, in� nitamente próximos. O resultado é uma lâmina denominada 
abóbada, como mostra a Figura 34.
Figura 34 - Abóbada. Fonte: Albuquerque (2017).
Como observado na imagem, a abóboda é apoiada em pilares, no entanto, também 
é possível que tenha apoio contínuo ao longo de toda a sua extensão. Nesse último caso, seu 
comportamento se assemelha ao arco. Já se os apoios forem apenas dos pilares, no sentido 
transversal ela se comporta como arco (mesma coisa de antes); no entanto, no sentido longitudinal, 
ela apresenta o comportamento de viga.
7.3 Cúpula
As cúpulas são bastante viáveis na construção em concreto armado. O formato da cúpula 
pode ser entendido como a associação de diversas linhas denominadas meridianos e paralelos. 
Predominantemente, os meridianos e os paralelos são comprimidos para ângulos de abertura 
menores que 104°. Para os elementos que se localizam em uma abertura maior que 104°, os 
paralelos passam a ser tracionados. Veja a Figura 35.
Figura 35 - Cúpula. Fonte: Rebello (2007)
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A Figura 36 mostra uma obra de Oscar Niemeyer chamada Nave Branca, localizada em 
Brasília, com uma cúpula de 80 metros de diâmetro (SAYEGH, 2007).
Figura 36 - Cúpula em concreto. Fonte: Pinterest (2020).
7.4 Conoide
“O conóide é uma superfície gerada por retas que deslizam sobre dois arcos extremos de 
� echas diferentes ou por um arco e uma reta” (REBELLO, 2007, p. 225). Veja a Figura 37.
Figura 37 – Conoide. Fonte: Rebello (2007).
7.5 Paraboloide
“Parabolóides são superfícies geradas por parábolas e têm dupla curvatura. Nos 
parabolóides elípticos as curvaturas têm centros no mesmo lado. Nos parabolóides hiperbólicos, 
as curvaturas têm centros em lados opostos.” (REBELLO, 2007, p. 225).
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Figura 38 – Paraboloides. Fonte: Vielma (2020).
EXERCÍCIOS
1) Determine se as seguintes lajes são unidirecionais ou bidirecionais / armadas em cruz 
e justi� que sua escolha.
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RESOLUÇÃO:
Na primeira laje, nota-se que o vão maior L é e o menor . Portanto, 
nota-se que as dimensões atendem a relação 
Na primeira laje, nota-se que o vão maior L é 
, caracterizando uma laje unidirecional.
Já na segunda laje, nota-se que 
nota-se que as dimensões atendem a relação , caracterizando uma laje 
 e 
, caracterizando uma laje 
, não atendendo a relação. Portanto, ela é caracterizada como bidirecional ou armada em cruz.
2) Considere a seguinte viga ABC:
Nota-se um início de detalhamento de armaduras no nó A dessa viga. Considerando os 
esforços de � exão decorrentes de seu peso próprio, estime em quais locais dessa viga deve-se 
adicionar armadura e justi� que a escolha.
RESOLUÇÃO:
No concreto armado, deve-se priorizar a adição de armaduras nas porções do concreto 
que se encontram tracionadas. Portanto:
3) Considere o seguinte croqui de planta baixa:
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a) De� na um posicionamento otimizado dos pilares dessa construção.
RESOLUÇÃO:
Não há apenas uma resposta para essa questão. Entretanto, uma boa distribuição poderia 
ser feita desta forma:
b) De� na uma posição otimizada para as vigas dessa construção.
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RESOLUÇÃO:
c) Com base na seguinte tabela de lajes pré-moldadas:
E, também, considerando que todas as lajes dessa obra são laje forro (sobrecarga mínima 
de 150 kgf/m2), de� na quais lajes seriam adequadas e uma posição otimizada para elas, com suas 
respectivas direções de montagem.
RESOLUÇÃO:
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4) Considere o seguinte detalhamento de vigas, retirado de um projeto estrutural e sua 
respectiva planta de formas: 
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Fonte: O autor.
a) Qual a área de armadura adotada em cada uma das vigas?
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, deve-se calcular a área de armadura correspondente a cada barra, 
podendo ser calculada da seguinte forma:
Desse modo, pode-se multiplicar a área pelo número de barras em cada viga, assim:
V201:
V202:
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V203:
V204:
V205:
V206:
V207:
b) Segundo a planta de formas, qual dessas vigas tem maior sobrecarga?
RESOLUÇÃO:
Conforme observado na planta de formas, nota-se que a área de in� uência da viga V206 
é muito maior do que as restantes, indicando que, provavelmente, a maior sobrecarga recai sobre 
ela. 
c) Segundo o detalhamento das vigas, qual delas enfrenta o maior momento � etor?
RESOLUÇÃO:
Segundo o detalhamento das vigas, nota-se que a viga com maior momento � etor 
solicitante terá mais armadura. Desse modo, pode-se a� rmar que a viga V206 é a mais solicitada 
em questão de momento � etor.
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d) Por que a laje L203 está com a direção de� nida em sua lateral de maior vão (369,8 cm) 
e não no menor vão (351,0 cm)?
RESOLUÇÃO:
A laje L203 foi de� nida em sua lateral de maior vão por dois motivos.
Primeiramente, por motivos construtivos, pois nota-se, a seguir, a facilidade em apoiar as 
vigotas da primeira maneira em vez da segunda:
E, por � m, a distribuição das cargas no primeiro método concentra todos os esforços 
na viga V206, fazendo com que basicamente apenas uma viga � que mais solicitada do que 
todas as outras do projeto. Desse modo, apenas ela precisará de uma armadura mais complexa, 
simpli� cando a armação de todas as outras vigas do projeto.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O concreto é o material mais utilizado na construção hoje em dia devido à sua versatilidade. 
Como visto, ele pode assumir as mais d iversas formas a � m de suprir as necessidades, tanto de 
uso quanto estéticas.
Ao projetista de arquitetura, é de extrema importância conhecer os conceitos envolvidos 
nos cálculos de dimensionamento para que tenha uma sensibilidade, conseguindo prever alguns 
lançamentos necessários que o projetista estrutural provavelmente fará em seguida.
Essa previsão é importante, pois se re� ete em um método de projeto mais e� ciente que 
o projetista de estruturas aprecia, evitando retrabalhos. Isso porque nem sempre a arquitetura 
é possível em termos estruturais. Quando ocorre tal situação, isso gera retrabalho tanto para o 
projetista de estrutura como para o de arquitetura.
Se esses con� itos não são resolvidos ainda em papel, isso acarreta problemas na obra, 
correndo-se o risco de que a construção não tenha o aspecto segundo o qual foi projetada.
A comunicação entre os projetistas é fundamental. Não apenas entre arquitetura e 
estrutura, mas todos os demais, como elétrico, hidráulico, telecomunicações e quais mais houver.
Vale salientar que os tópicos mais importantes desta unidade são relacionados à concepção 
estrutural e pré-dimensionamento. Esse conhecimento ao arquiteto corrobora com a noção de 
espaço necessário a ser deixado em sua arquitetura para que haja uma solução estrutural que seja 
possível.
Sendo assim, o estudo dos sistemas estruturais não deve � car limitado apenas a esta 
apostila. Faça pesquisas, leia outros livros, assista a vídeos, vá a obras, preste atenção às obras 
pelas quais passar e comece a visualizar aquilo que estuda.
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UNIDADE
04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................105
1. CARACTERÍSTICAS BIOLÓGICAS DA ÁRVORE..................................................................................................106
2. CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA MADEIRA....................................................................................................... 107
3. DEFEITOS DA MADEIRA ..................................................................................................................................... 107
4. CLASSIFICAÇÃO DAS MADEIRAS ......................................................................................................................109
4.1 MADEIRA DURA .................................................................................................................................................109
4.2 MADEIRA MACIA ..............................................................................................................................................109
5. PROCESSAMENTO DA MADEIRA ...................................................................................................................... 110
6. BITOLAS COMERCIAIS E SEUS USOS .............................................................................................................. 110
6.1 VIGA ..................................................................................................................................................................... 110
6.2 TÁBUA .................................................................................................................................................................111
ESTRUTURAS DE MADEIRA
PROF. ME. RENAN GUSTAVO JUNQUEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
SISTEMAS ESTRUTURAIS II
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6.3 SARRAFO ........................................................................................................................................................... 111
6.4 CAIBRO ............................................................................................................................................................... 112
6.5 PONTALETE ....................................................................................................................................................... 112
6.6 RIPA.................................................................................................................................................................... 112
6.7 PRANCHA ...........................................................................................................................................................112
7. MADEIRAS TRANSFORMADAS .......................................................................................................................... 112
8. SISTEMAS ESTRUTURAIS E PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................... 114
8.1 ARCO ................................................................................................................................................................... 114
8.1.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................. 115
8.2 TRELIÇA ............................................................................................................................................................. 116
8.3 VIGAS DE ALMA CHEIA .................................................................................................................................... 117
8.3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ........................................................................................................................... 118
8.4 PILARES ............................................................................................................................................................. 118
8.4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................ 119
8.5 PÓRTICO ............................................................................................................................................................ 119
8.5.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................ 119
9. DETALHES DE LIGAÇÕES ...................................................................................................................................120
11. OUTROS SISTEMAS ESTRUTURAIS .................................................................................................................123
11.1 GRELHA ..............................................................................................................................................................123
11.2 TRELIÇA ESPACIAL ..........................................................................................................................................123
11.3 CÚPULA GEODÉSICA .......................................................................................................................................123
11.4 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO ........................................................................................................................124
EXERCÍCIOS .............................................................................................................................................................125
CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................................................................128
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INTRODUÇÃO
De acordo com Pfeil e Pfeil (2003), a madeira é, provavelmente, o material mais antigo já 
utilizado devido à sua disponibilidade na natureza e relativa facilidade de uso e manuseio.
Em comparação a outros materiais utilizados atualmente, a madeira oferece uma boa 
relação entre resistência e peso. Como parâmetros, a relação resistência/peso especí� co varia de 
60 a 90 para tração e de 50 a 60 para compressão. Por outro lado, o aço apresenta esse coe� ciente 
igual a 32, e o concreto, 16. Ou seja, a madeira possui a maior resistência por peso. Dentre as 
vantagens da madeira, também podemos destacar a facilidade de fabricação de diversos produtos 
industrializados e o seu bom isolamento térmico.
Como desvantagens, Pfeil e Pfeil (2003) citam o problema com a degradação devido a 
agentes biológicos, como insetos, moluscos (caso de estrutura submersa) e defeitos, como nós 
e fendas que interferem nas propriedades mecânicas. No entanto, muitas das desvantagens são 
superadas ao se utilizarem produtos industrializados de madeira e convenientemente tratados.
Para Rebello (2007), pode-se achar que o uso da madeira é um risco para o meio 
ambiente. No entanto, o problema não é o uso em si, mas como é praticado. Uma solução é 
a gestão adequada, com uma exploração consciente e uma constante renovação de qualquer 
� oresta. Dentre os materiais estudados até aqui, a madeira é a que necessita da menor quantidade 
de energia para se construir um edifício.
Como você pode perceber, no estudo de cada material existem vantagens e desvantagens. 
O importante a se conhecer aqui são essas questões de modo a possibilitar um julgamento 
adequado do uso de determinado material para as construções.
Esta unidade é baseada em Pfeil e Pfeil (2003) e, principalmente, na Parte III de Rebello 
(2007).
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1. CARACTERÍSTICAS BIOLÓGICAS DA ÁRVORE
Para Pfeil e Pfeil (2003), as árvores possuem crescimento do tipo exogênico, isto é, pela 
adição de camadas internas à casca. Além disso, a estrutura interna de um tronco de árvore 
possui as seguintes camadas: casca, alburno ou branco, cerne ou durâmen e medula, conforme 
ilustrado na Figura 1.
Figura 1 - Seção transversal de um tronco. Fonte: Adaptado de Pfeil e Pfeil (2003).
A casca é uma proteção da árvore, formada por uma camada externa morta e uma � na 
camada interna de tecido vivo e macio, que transporta o alimento preparado nas folhas para as 
partes em crescimento da árvore.
O alburno é uma camada formada por células vivas, cuja função é a de conduzir seiva 
das raízes para as folhas. Com o passar do tempo, as células do alburno vão se tornando inativas 
e passam a constituir o cerne, de coloração mais escura, com a única função de dar sustentação 
ao tronco.
Por � m, a medula é um tecido macio, em torno do qual se veri� ca o primeiro crescimento 
da madeira nos ramos novos.
Segundo Rebello (2007), as propriedades físicas da madeira estão relacionadas ao local 
onde se reproduzem e crescem. Em regiões tropicais e quentes, as madeiras são, em geral, duras, 
escuras e pesadas. Nas regiões temperadas, mais claras e não tão duras e pesadas. Em regiões 
frias, são mais esbranquiçadas, � brosas e mais leves, mas nem por isso são menos resistentes.
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2. CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA MADEIRA
De acordo com Rebello (2007), elencam-se quatro propriedades que caracterizam a 
madeira: anisotropia, umidade, retração e dilatação térmica.
É anisotrópica por não apresentar as mesmas propriedades em qualquer direção. No caso 
da madeira, ela apresenta propriedades diferentes, especi� camente em três direções: longitudinal, 
radial e tangencial. O oposto de anisotropia é a isotropia, propriedade característica do aço, por 
exemplo.
Outra característica importante é a umidade na madeira. O grau de umidade é medido 
pelo peso de água contida na madeira e o peso da mesma amostra seca. Comercialmente seca, a 
madeira apresenta valores de umidade entre 18 e 23%. A norma brasileira considera que 15% de 
umidade é aceitável para nossas condições médias de uso (de acordo com a umidade do ambiente 
onde se localiza a obra). É importante que a madeira esteja com a umidade baixa para que possa 
ser utilizada adequadamente. Para isso, é necessário que a tora, ao ser cortada, passe por um 
processo adequado de secagem.
Existem três tipos de água na madeira. A água livre que preenche os poros, a água de 
impregnação que adere às células e a água de constituição, que faz parte da própria química 
da madeira. Secar a madeira consiste em eliminar a água livre e a de impregnação. A água de 
constituição nunca é eliminada.
Por ser um material anisotrópico, a madeira possui coe�cientes de dilatação térmica 
diferentes para cada direção. Isto é, na direção perpendicular, o coe� ciente de dilatação é, 
aproximadamente, 20 vezes o coe� ciente de dilatação para a direção longitudinal. Isso quer dizer 
que a madeira tende a aumentar a seção mais facilmente do que aumentar seu comprimento, ou 
reduzir.
A retração é a alteração nas dimensões, ocasionada pela perda ou ganho de umidade. 
Assim como na dilatação térmica, a retração é mais proeminente na direção transversal às � bras 
e desprezível na direção longitudinal.
3. DEFEITOS DA MADEIRA
Os defeitos na madeira podem ocasionar problemas estéticos e também redução 
na resistência das peças. Dentre eles, podemos destacar nós, fendas, gretas, abaulamento, 
arqueadura e deterioração por fungos.
Os nós (Figura 2) são regiões da árvore em que há galhos, e eles podem ser de fácil remoção 
ou � rmes. O problema do nó é que ele gera uma mudança na direção das � bras, oferecendo um 
enfraquecimento aos esforços de tração.
Figura 2 - Nó. Fonte: Rebello (2007).
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Fendas são aberturas nas extremidades das peças, que ocorrem devido a uma secagem 
inadequada, isto é, a superfície seca mais rapidamente em comparação com o interior. A Figura 
3 mostra um exemplo desse defeito.
Figura 3 – Fendas. Fonte: Rebello (2007).
Gretas são separações dos anéis de crescimento (Figura 4) devido a uma secagem 
inadequada ou a intempéries. Também podem ser provocadas, segundo Pfeil e Pfeil (2003), por 
tensões internas devido ao crescimento lateral da árvore ou por ações externas, como a força do 
vento.
Figura 4 – Gretas. Fonte: Pfeil e Pfeil (2003).
Existem, ainda, defeitos que ocorrem devido à deformação da madeira por secagem 
inadequada. O abaulamento e a arqueadura são dois defeitos e podem ser vistos na Figura 5.
(a) (b)
 Figura 5 – Abaulamento e arqueadura, respectivamente. Fonte: Rebello (2007).
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Para Rebello (2007, p. 238), abaulamento é a “[...] curvatura na direção transversal da peça 
provocada por secagem inadequada”, e arqueadura é a “[...] curvatura na direção longitudinal da 
peça provocada também por secagem inadequada”.
Fungos ou insetos podem alterar a cor e a integridade da madeira. Pode-se identi� car 
a presença de tais agentes por estas características: mudanças de cor, como enegrecimento ou 
descoloração; desintegração ou formação de furos na madeira são indícios de ataques provocados 
por fungos ou insetos (REBELLO, 2007).
4. CLASSIFICAÇÃO DAS MADEIRAS
Trata-se de dois grupos mais amplamente enquadrados: madeira dura e madeira macia. 
O que diferencia cada um não é sua resistência, como muitos erroneamente acham, mas sua 
estrutura celular. Algumas madeiras duras são menos resistentes que outras macias, como o 
pinho. Por outro lado, madeiras mais pesadas são mais resistentes. Comercialmente, as madeiras 
são classi� cadas em três categorias, sendo:
1ª Categoria: isentas de nós, com pouquíssima tolerância a outros defeitos, utilizadas em 
situações especiais.
2ª Categoria: apresentam pequenas incidências de nós, os quais devem ser � rmes. Podem 
apresentar alguns defeitos e são mais utilizadas para uso estrutural.
3ª Categoria: apresentam nós em ambas as faces e maior frequência de outros defeitos. 
Não são recomendadas para uso estrutural.
4.1 Madeira Dura
É proveniente de árvores frondosas, de folhas achatadas e largas. Tem como característica 
o crescimento lento, como a peroba, o ipê, a aroeira e o carvalho. As de melhor qualidade são 
denominadas madeiras de lei. São também denominadas, de acordo com Pfeil e Pfeil (2003), de 
dicotiledôneas, da classe Angiosperma.
4.2 Madeira Macia
É proveniente de árvores coníferas, cujas folhas se apresentam no formato de agulha. 
Tem como característica o crescimento rápido, como os pinheiros. São também denominadas, de 
acordo com Pfeil e Pfeil (2003), de coníferas, da classe Gimnosperma.
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5. PROCESSAMENTO DA MADEIRA
O processo ao qual a madeira é submetida antes de chegar à sua utilização em objetos e 
edi� cações, é descrito a seguir:
• Corte da árvore.
• Retirada da casca (facilita o manuseio e transporte).
• Tronco é transformado em toras de 5 a 6 metros.
• Desdobramento em pranchas.
Desdobramento é um termo utilizado para o processo de serra das toras e pode ocorrer 
de duas formas: radial ou em paralelo, conforme Figura 6.
Figura 6 – Tipos de desdobra. Fonte: Rebello (2007).
O desdobramento paralelo é mais fácil e, portanto, mais barato de ser executado. 
Entretanto, o radial apresenta peças com seções mais homogêneas e, consequentemente, com 
maiores qualidades.
• Secagem: deve ser feita o mais cedo possível, após a desdobra, para evitar defeitos devidos 
à secagem.
• Desdobramento em barras de seções padronizadas, denominadas bitolas comerciais.
6. BITOLAS COMERCIAIS E SEUS USOS
6.1 Viga
As dimensões comerciais convencionais mais tradicionais são 6 x 12 cm e 6 x 16 cm. Mas 
também podem ser encontradas 6 x 20 cm e 6 x 30 cm.
Pode ser usada como vigas de piso em outros sistemas estruturais que necessitem de barras 
na sua composição, como terças em coberturas. Também pode ser usada para a composição de 
pilares.
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6.2 Tábua
Suas dimensões comerciais são 2,5 x 20 cm e 2,5 x 30 cm, podendo ser encontrada também 
com espessuras de 1,5 cm, mas com utilização apenas para mobiliário.
As tábuas podem ser associadas para formarem vigas com seções personalizadas, 
resistentes e muito econômicas.
6.3 Sarrafo
As dimensões comerciais são 2,5 x 5 cm, 2,5 x 10 cm e 2,5 x 15 cm e pode ser usado na 
composição de vigas, barras de tesouras, como nervuras para apoio em forros e ainda em formas 
de concreto. Neste último caso, ele funciona como enrijecedor e recebe o nome de gravata.
Uma solução interessante é o uso do sarrafo para compor vigas altas. Esse procedimento 
é realizado em indústria e resulta nas vigas laminadas, podendo-se construir arcos e pórticos de 
alma cheia.
a Painel
c Travessão
d Guia
e Face da viga
f Fundo da viga
g Travessas de apoio
i Gravatas
k Pé-direito
l Pontaletes
o Talas
A gravata é apenas um dos elementos utilizados como componentes de formas. A 
Figura 7 mostra os elementos de um cimbramento, com a localização de cada um 
por meio das letras compostas na legenda ao lado. Denomina-se cimbramento ao 
conjunto de peças de madeira ou metálicas que suportam as formas e o concreto 
fresco. 
Figura 7 – Elementos que compõem o cimbramento em estruturas de concreto. Fonte: Barros e 
Melhado (1998).
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6.4 Caibro
O caibro possui seção de 5 x 6 cm e é utilizado para o apoio de ripas em coberturas 
com telhas cerâmicas, na composição de vigas, pilares e em tesouras. A Figura 8 mostra alguns 
elementos de uma tesoura.
Figura 8 – Elementos de tesoura. Fonte: Rebello (2007).
6.5 Pontalete
Têm dimensões comerciais de 7,5 x 7,5 cm e 10 x 10 cm. Usado na composição de vigas 
e pilares, da mesma for ma que os caibros, e para cimbramento de formas de concreto armado.
6.6 Ripa
Tem dimensão comercial de 2,5 x 5 cm e é utilizada como suporte das telhas cerâmicas.
6.7 Prancha
É uma lâmina com espessura superior a 4 cm e largura superior a 40 cm. É usada como 
vigas de pisos para grandes vãos, como elementos de pisos de grandes cargas e também na 
confecção de móveis.
7. MADEIRAS TRANSFORMADAS
Madeiras transformadas são madeiras que sofreram processos industrializados de modo 
a suprirem algumas necessidades. O OSB, a MDF, a madeira compensada, aglomerada e a 
laminada são madeiras transformadas.
A madeira compensada é obtida pela colagem delâminas de madeira de 1,5 mm 
de espessura, com � bras colocadas de maneira alternada, formando placas com dimensões 
padronizadas. Segundo Pfeil e Pfeil (2003), o corte das lâminas é realizado com facas especiais 
para corte, em geral, com rotação do tronco em torno de seu eixo contra a faca. Veja a Figura 9.
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(a) (b)
 Figura 9 – (a) Lâminas da madeira compensada; (b) corte rotatório de lâminas de madeira. Fonte: Pfeil e Pfeil 
(2003).
As espessuras dessas placas variam de 4,5 a 25 mm, com larguras de 110 x 220 cm e de 
160 x 220 cm. Seu uso se aplica a elementos de vedação, pisos, composição de vigas e formas para 
concreto armado.
A madeira aglomerada é obtida a partir do uso de fragmentos de madeira misturados com 
cimento Portland, resinas e gesso. Funciona bem como isolante térmico e acústico, no entanto, 
não apresenta boa resistência mecânica e não é recomendada para uso estrutural.
Pfeil e Pfeil (2003) chamam de madeira recomposta na forma de placas ao produto 
formado a partir de resíduos da madeira serrada e compensada, convertidos em � ocos e 
partículas e colados sob pressão. O Oriented Strand Board (doravante, OSB) é um tipo de madeira 
transformada. Os painéis OSB são fabricados com � nas lascas de madeira, coladas sob pressão 
e alta temperatura. As camadas super� ciais são alinhadas com a direção longitudinal do painel 
enquanto que as camadas internas são dispostas aleatoriamente ou na direção transversal.
MDF é a sigla para Medium Density Fiber, cuja tradução signi� ca “� bra de madeira de 
média densidade”. As chapas de MDF são obtidas a partir de � bras de madeira, aglomeradas 
por resina à base de ureia-formaldeído e, posteriormente, prensadas e podem ter até 6 mm de 
espessura.
A madeira laminada colada, de acordo com Pfeil e Pfeil (2003), é um produto estrutural, 
formado por associação de lâminas de madeira selecionada, coladas com adesivo sob pressão. 
É bastante versátil por permitir emendas nas extremidades e adequada para estruturas curvas, 
como mostra a Figura 10.
,
Figura 10 – Arco em madeira laminada colada. Fonte: Szücs (2010).
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8. Sistemas estruturais e pré-dimensionamento
8.1 Arco
O comportamento do arco pode ser entendido da mesma forma como já explicado no 
item 6.1 da Unidade 2. Recordamos que os carregamentos do arco geram empuxos na base do 
arco, que devem ser absorvidos pelos pilares ou por tirante. No caso da madeira, a execução do 
arco é uma di� culdade. No entanto, é possível solucionar isso com o uso de treliça ou, ainda, se 
houver a necessidade da aparência de alma cheia, pode-se utilizar a madeira laminada. Veja a 
Figura 11.
Figura 11 - Soluções em arco de madeira. Fonte: Rebello (2007).
Para a execução do arco em madeira, um meio mais fácil é montá-lo em duas partes, 
sendo utilizado o arco triarticulado, mostrado na Figura 12.
Figura 12 – Arco triarticulado. Fonte: Rebello (2007).
Outra questão que não pode ser esquecida é o contraventamento. Ele é composto de 
terças e de barras de madeira ou barras metálicas redondas. Para que trabalhe sempre à tração, 
deve ser disposto em “X”, como já dito na Unidade 2. A Figura 13 mostra o contr aventamento em 
“X” na vista em planta e as barras que travam a face inferior do arco, ligando-a na terça.
Apesar de os arcos serem discutidos neste tópico, o contraventamento sempre é necessário 
em estruturas planas associadas, como sistema de arcos, pórticos, treliças etc. Com isso, reduzem-
se movimentações laterais da estrutura, tornando-a mais estável.
Também já mencionado anteriormente, o contraventamento também pode funcionar 
como escora. As estruturas planas, quando submetidas ao esforço de vento transversal ao plano 
delas, tendem a ter o banzo inferior � etido. Assim, o uso de barras que ligam o banzo inferior 
à terça na parte superior também é bastante comum. Nesse caso, as barras funcionam como 
escoras, elementos esses que são comprimidos.
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Essas escoras não servem apenas para impedir a � exão do banzo inferior de treliças, arcos 
ou outros elementos planos, mas também para servir de suporte intermediário das terças. Como 
essas barras são ligadas às terças, é conveniente aproveitar esse elemento para reduzir o vão da 
terça, permitindo o uso de uma viga menor. Assim, as escoras tanto travam os banzos inferiores 
de treliças como servem de apoios intermediários para as terças.
Figura 13 – Sistema de contraventamento em cobertura feita com arcos. Fonte: Rebello (2007).
8.1.1 Pré-dimensionamento
Podem-se usar as seguintes equações empíricas:
• 
• 
• 
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Em que b é a largura do arco, f é a � echa do arco, e h, a espessura, conforme mostra a 
Figura 14.
Figura 14 - Pré-dimensionamento de arcos de madeira. Fonte: Rebello (2007).
8.2 Treliça
Seu comportamento pode ser revisto conforme o item 6.2 da Unidade 2. No entanto, 
devemos nos atentar novamente às seguintes questões: as barras devem ser dispostas de modo a 
formarem triângulos; os nós são teoricamente articulados para evitar � exão nas barras; as cargas 
devem ser aplicadas em nós.
A treliça de madeira não apresenta nós perfeitamente articulados. Eles são realizados por 
meio de encaixes e de parafusos � xados diretamente nas barras de madeira. Quando a estrutura 
é mais pesada, são executadas com chapas metálicas.
As barras utilizadas nas treliças normalmente são executadas com vigas 6 x 12 e 6 x 16. 
No entanto, é possível utilizar duas ou até três barras para vãos maiores.
Uma treliça que tenha duas águas é denominada tesoura. A Figura 15 mostra uma tesoura 
de madeira, com a con� guração das diagonais favoráveis para que elas apresentem esforços de 
compressão. O importante de se ter compressão nas diagonais é que, dessa forma, permite-se a 
ligação por simples encaixe, diferentemente da estrutura metálica, em que se é livre para utilizar 
qualquer uma das disposições.
Figura 15 – Tesoura de madeira, que favorece a ligação por encaixe. Fonte: Rebello (2007).
A Figura 16 mostra uma tesoura atirantada, cujos banzos são associados com duas peças 
de madeira paralelas.
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Figura 16 – Tesoura atirantada de madeira. Fonte: Dias (2008).
Pré-dimensionamento
O pré-dimensionamento de treliças é dado empiricamente pela equação a seguir:
Sendo que a altura ideal é .
Apesar de essa regra se relacionar diretamente a treliças de banzos paralelos (Figura 17), 
também pode ser aplicada a treliças de duas águas (tesouras) para se calcular a altura máxima, 
respeitando-se a inclinação mínima da telha a ser utilizada.
Figura 17 - Pré-dimensionamento de treliça de madeira. Fonte: Rebello (2007).
8.3 Vigas de Alma Cheia
Também já discutido, seu comportamento pode ser revisto no item 6.4 da Unidade 2. 
Nas estruturas de madeira, as vigas são projetadas como isostáticas, ou seja, biapoiadas, ou em 
balanço, pois di� cilmente se utilizam peças maiores do que 6 metros de comprimento.
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Sempre que possível, utilizar as bitolas comerciais de vigas 6 x 12 e 6 x 16 para evitar 
gastos extras na obra. Se não for possível, podem-se produzir vigas a partir da associação de 
várias barras com bitolas comerciais, como mostra a Figura 18.
Figura 18 – Viga composta. Fonte: Rebello (2007).
8.3.1 Pré-dimensionamento
Para uma seção retangular de altura h e largura b, admite-se:
• 
• 
8.4 Pilares
A execução de pilares em madeira pode ser realizada com seção maciça, usando bitolas 
especiais, como 15 x 15 ou 20 x 20, entre outras. Ainda é possível, em algumassituações, usar o 
tronco descascado em sua forma bruta.
Da mesma forma que em vigas de alma cheia, os pilares também podem ser formados 
pela associação de mais de uma peça de viga ou caibros, como mostra a Figura 19.
Figura 19 – Pilar composto por vigas e/ou caibros. Fonte: Rebello (2007).
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8.4.1 Pré-dimensionamento
O pré-dimensionamento de pilares de madeira segue o mesmo procedimento já descrito 
no item 2.6.1 da Unidade 3, com a ideia de áreas de in� uência.
8.5 Pórtico
O pórtico resulta de uma ligação rígida entre barras, normalmente vigas e pilares. Os nós 
rígidos são trabalhosos de executar em termos de garantia de rigidez adequada às ligações, o que 
pode ser feito com parafusos, chapas metálicas e colas especiais. Apesar da di� culdade, o nó pode 
ser executado na forma de treliça ou, ainda, com o uso de madeira laminada, como é mostrado 
na Figura 20.
Figura 20 - Soluções de nós de pórtico, com treliça e madeira laminada. Fonte: Rebello (2007).
8.5.1 Pré-dimensionamento
Considere a Figura 21. A altura hv é tomada igual a 4% do vão l, e a largura hp deve ser 
menor que hv.
Figura 21 - Pré-dimensionamento de pórtico. Fonte: Rebello (2007).
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9. DETALHES DE LIGAÇÕES
O tipo de ligação mais comum em estruturas de madeira é o encaixe. Apesar de ser 
preferencialmente utilizado nas barras comprimidas, também é raramente admitido em barras 
tracionadas. Sua execução deve ser perfeita, pois é imprescindível que, nesses tipos de ligações, 
não haja folga.
Além do encaixe, também podem ser utilizados pregos ou parafusos e chapas de madeira 
ou de aço.
Outro tipo de ligação que também pode ser usada quando há preferencialmente esforços 
relativamente baixos é o gang-nail (Figura 22), também conhecido como chapa de dentes 
estampados. O uso dessa solução facilita a execução, mas encarece a ligação e necessita frequente 
manutenção.
Figura 22 - Ligações com gang-nail. Fonte: Gang-Nail Trusses (2020).
Atualmente, é utilizada uma nomenclatura comercial para pregos com unidades 
que caíram em desuso. Por exemplo: no prego 18 x 27, o primeiro número (18) 
é o diâmetro em fi leiras francesas, e o segundo (27), o comprimento em linhas 
portuguesas. Uma fi leira francesa equivale a 0,155 mm, e uma linha portuguesa, 
a 1,87 mm.
Recomenda-se a leitura do capítulo 10 da parte III de Rebello (2007). Nele, existem 
vários detalhes ilustrados de ligações de peças de madeira.
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Um tipo de ligação bastante comum é a emenda de vigas. É interessante, pois oferece uma 
solução para o aumento do comprimento de barras, como ilustra a Figura 23.
Figura 23 - Ligações de viga. Fonte: Rebello (2007).
Coberturas de madeira
Sempre é adequado u tilizar paredes e lajes para apoio da cobertura. Assim, evita-se a 
necessidade de outra estrutura, como terças e tesouras. Como mostra a Figura 24, as ripas podem 
ser � xadas diretamente sobre a laje de duas formas.
Figura 24 - Solução de cobertura apoiada sobre laje. Fonte: Rebello (2007).
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Em telhados com vãos de até 6 m, a solução com viga de alma cheia é mais econômica do 
que a solução com terças e treliças. A partir de 6 m, as vigas começam a necessitar de dimensões 
maiores que as comerciais, o que encarece a construção. A Figura 25 mostra a solução com vigas 
de alma cheia, em que, ao serem espaçadas de 1,6 m, as ripas devem ser substituídas por caibros 
de modo a vencerem os vãos de 1,6 m.
Figura 25 - Solução de cobertura, com vigas de alma cheia. Fonte: Rebello (2007).
Nes sa solução, não se usam treliças, mas vigas de alma cheia, que se apoiam em cintas de 
concreto, alvenaria ou pilaretes. Vigas 6 x 12 vencem vãos até 3,0 m. As 6 x 16 podem ser usadas 
para vãos até 4,0 m, e as vigas 6 x 30, até 6,0 m. Acima de 6,0 m, torna-se mais viável o uso de 
treliças como solução da cobertura.
A Figura 26 apresenta os elementos de tesoura, terça, ripas e caibros presentes na cobertura 
com solução em treliças.
Figura 26 - Elementos da cobertura de madeira com treliça. Fonte: Freitas (2020).
As telhas são posicionadas sobre as ripas. Portanto, o espaçamento entre uma ripa e outra 
depende do tamanho da telha utilizada; em geral, é em torno de 30 cm. Como as ripas são peças 
de madeira com seção muito pequena, elas não suportariam o vão entre uma tesoura e outra, 
que normalmente gira em torno de 3,0 a 6,0 metros. Dessa forma, elas se apoiam nos caibros 
que são postos com espaçamentos em torno de 60 cm, reduzindo os vãos aos quais as ripas estão 
submetidas. As terças servem de suporte para os caibros e vencem os vãos entre as tesouras, 
 funcionando estruturalmente como vigas.
Ainda existe o telhado de quatro águas; no entanto, é sempre menos econômico que o de 
duas por exigir detalhes mais complexos nas ligações.
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11. OUTROS SISTEMAS ESTRUTURAIS
11.1 Grelha
Apesar de possível, o uso de grelhas deve ser restrito a vãos pequenos, funcionando, 
prioritariamente, como elemento de decoração. Isso porque os encontros entre as nervuras 
devem ser ligações rígidas, o que é bastante difícil de executar.
11.2 Treliça Espacial
O uso de treliça espacial � ca restrito à solução de nós de ligações com chapas metálicas, 
como mostra a Figura 27.
Figura 27 - Nós com chapas metálicas. Fonte: Rebello (2007).
11.3 Cúpula Geodésica
A confecção de cúpulas geodésicas em madeira é de fácil execução e é mostrada na Figura 
28.
Figura 28 - Cúpula geodésica. Fonte: Rebello (2007).
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O nó de ligação das barras é feito por chapas simples ou duplas conforme mostra a 
Figura 29.
Figura 29 - Nó de ligação de cúpula geodésica. Fonte: Rebello (2007).
11.4 Paraboloide Hiperbólico
Como a geração do paraboloide hiperbólico de madeira pode ser feita com peças retas, 
não há problema em sua construção.
O artigo Seguindo os passos de Félix Candela: ofi cina de 
experimentação em madeira em Valparaíso apresenta um trabalho 
acadêmico em que foram projetados e construídos paraboloides 
hiperbólicos. O texto está disponível em <https://www.archdaily.
com.br/br/784513/> seguindo-os-passos-de-felix-candela-ofi cina-
de-experimentacao-em-madeira-em-valparaiso.
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EXERCÍCIOS
1) Você, arquiteto(a), foi contratado(a) para elaborar o projeto de um portal de madeira 
em formato de arco, conforme a � gura a seguir:
Considere, ainda, que a medida da altura do portal deve possibilitar a passagem de 
veículos com 2,20 m de altura, com uma folga de, pelo menos, 5%. 
Realize o pré-dimensionamento de um arco ideal, identi� cando a � echa ideal (f), a 
largura (L) e a espessura (h) do arco que atenda a esses requisitos com o menor custo possível.
RESOLUÇÃO:
Para um arco ideal de madeira, sabe-se que é válido:
• Flecha ideal (f): L/10 ≤ f ≤ L/5
• Espessura do arco (h): 2% do vão (L)
• Largura do arco (b): h/4 ≤ b ≤ h/3
Desse modo, para atender às solicitações de projeto, tem-se:
Para se manter o projeto com o menor custo possível, deve-se adotar o menor L possível, 
de modo que:
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Desse modo, pode-se calcular:
2) Conforme visto anteriormente, ao projetar uma passarela de pedestres, o arquiteto 
de� niu que a altura do guarda-corpo deverá ser de exatamente 90 cm. 
Considerando que a estrutura dessa passarela será uma treliça plana cuja � nalidade 
também será a de guarda-corpo, realize o pré-dimensionamento dela,porém, agora utilizando 
madeira como material construtivo, encontrando o vão (L) ideal que atenda aos requisitos 
solicitados no projeto.
RESOLUÇÃO:
Sabe-se que o vão ideal para treliças planas de madeira desse tipo se enquadra em:
Como, por de� nição de projeto, tem-se que a altura h = 90 cm, pode-se chegar aos vãos 
possíveis para a treliça:
3) Considere o mesmo projeto de mezanino apoiado por pilares e viga, mostrado 
anteriormente.
PLANTA BAIXA
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CORTE A-A
Utilizando madeira no lugar dos materiais metálicos utilizados anteriormente, pré-
dimensione a viga de apoio do mezanino e, então, de� na a altura efetiva H dos pilares de apoio 
dessa estrutura.
RESOLUÇÃO:
Conforme o esquema apresentado, sabe-se que:
Para encontrar o H da viga, utiliza-se o pré-dimensionamento de vigas de madeira de 
alma cheia:
h = 5% do vão
Desse modo, tem-se:
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
As estruturas de madeira têm diversas aplicações na construção civil. Embora no Brasil 
não haja uma tendência no uso desse material, é imprescindível que o arquiteto tenha esse 
conhecimento uma vez que uma grande vantagem de se usar a madeira é seu aspecto visual.
Caso se trabalhe com a madeira, sugerimos o aprofundamento no estudo das madeiras 
laminadas visto que é um tipo de madeira bastante utilizada quando se trata de estruturas maiores, 
complexas ou curvas.
Não apenas o conhecimento do comportamento estrutura l é importante para quem 
trabalha com a madeira. Saber os procedimentos executivos também é de grande importância. O 
projetista deve lembrar que a madeira, diferentemente dos outros materiais, é orgânica e, assim, 
sofre com agentes biológicos.
Com relação às regras de pré-dimensionamento, elas são fundamentais ao arquiteto, pois , 
no caso de telhados, por exemplo, pode considerar, em seu projeto, dimensões que suprem a 
necessidade para suas condições de vãos, apoios e cargas. E isso é importante, pois, depois de 
realizados os cálculos estruturais, inevitavelmente, devem ser feitas mudanças na arquitetura. Uma 
estrutura já pré-dimensionada corretamente poupará todos os projetistas envolvidos de fazerem 
grandes alterações em seus projetos. Isso resulta em retrabalho e, muitas vezes, impossibilita a 
arquitetura inicialmente pensada.
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
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