Equações e Retas

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53 Obtenha os valores reais de a para que as retas de 
equações (2a 2 5)x 1 3y 1 1 5 0 e (a 1 3)x 2 y 5 0 
sejam concorrentes.
54 Determine a equação reduzida da reta r que passa 
pelo ponto P e é paralela à reta s, nos seguintes 
casos:
a) P(23, 1) e (s) y 5 8x 1 3
b) P @ 2 
1 __ 
3
 , 22 # e (s) 4x 2 3y 1 5 5 0
c) P @ 2 
2 __ 
5
 , 2 
1 __ 
2
 # e (s) y 5 3x ___ 
4
 
55 (UFJF-MG) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não in-
 tercepta a reta de equação y 5 x __ 
2
 2 5. Considerando-se
 os seguintes pontos, o único que pertence à reta r é:
a) (7, 6) c) (7, 7)
b) @ 7, 13 ___ 
2
 # d) @ 7, 15 ___ 
2
 # 
56 Considere a reta r de equação 4x 1 3y 2 1 5 0.
a) Obtenha a equação do feixe plano de retas pa-
ralelas a r.
b) Obtenha uma equação da reta s, pertencente 
ao feixe do item a, que passa pelo ponto P(1, 3). 
(Sugestão: Veja o exercício resolvido 34.)
57 Para que valor real de n as retas de equações 
 3x 1 y 2 1 5 0 e (2n 2 4)x 1 y 1 2 5 0 são perpen-
diculares?
58 Obtenha uma equação da reta s que passa pelo 
ponto P e é perpendicular à reta r nos seguintes 
casos:
a) P(21, 2) e (r) 2x 1 y 1 7 5 0
b) P(2, 6) e (r) 2x 1 5y 2 1 5 0
c) P(21, 0) e (r) 3x 2 4y 5 0
d) P @ 1 __ 
3
 , 2 
1 __ 
2
 # e (r) x 2 y 1 3 5 0
59 (UEL-PR) No gráfico abaixo, cada divisão dos eixos 
corresponde a uma unidade. A equação da reta que 
passa por P e é perpendicular à reta r dada é:
a) y 5 2 4 __ 
3
 x 1 38 ___ 
3
 d) y 5 3 __ 
4
 x 1 9 __ 
4
 
b) y 5 3 __ 
4
 x 1 1 __ 
2
 e) y 5 9 __ 
4
 x 1 38 ___ 
3
 
c) y 5 2 4 __ 
3
 x 1 39 ___ 
3
 
50 Considere os pontos A(2, 3) e B(1, 5).
a) Represente no plano cartesiano a reta r que passa 
por A e B.
b) Obtenha a equação reduzida da reta r.
c) Determine o coeficiente angular e o coeficiente 
linear da reta r.
51 (UFMG) Sejam A e B dois pontos da reta de equação 
y 5 2x 1 2, que distam duas unidades da origem. 
Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é:
a) 5 __ 
8
 c) 2 5 __ 
8
 
b) 2 8 __ 
5
 d) 8 __ 
5
 
52 As retas r e s têm equações (2k 1 3)x 2 3y 2 1 5 0 e 
 y 5 3x ___ 
2
 1 1 __ 
3
 , respectivamente.
a) Determine o número real k para que r seja para-
lela a s.
b) Para o valor encontrado no item a, as retas r 
e s são paralelas distintas ou paralelas coinci-
dentes?
1 unidade
y P
r
x
60 Represente, por meio de uma equação, a reta r que 
passa pelo ponto P e é perpendicular à reta AB nos 
seguintes casos:
a) P(27, 0), A(0, 5) e B(4, 8)
b) P @ 1 __ 
3
 , 2 
1 __ 
2
 # , A @ 2 __ 
3
 , 0 # e B @ 0, 3 __ 
2
 # 
c) P(0, 0), A(5, 3) e B(7, 3)
61 (FGV) Dados A(25, 4), B(21, 1) e C(23,7), sabe-se 
que o triângulo AeBeCe é simétrico ao triângulo ABC 
em relação ao eixo x, com A, B e C sendo vértices 
simétricos a Ae, Be e Ce, respectivamente.
 Assim, a equação da reta suporte da altura do triân-
gulo AeBeCe relativa ao lado AeBe é:
a) 4x 2 3y 1 44 5 0 d) 3x 1 4y 1 33 5 0
b) 4x 2 3y 2 33 5 0 e) 3x 1 4y 2 44 5 0
c) 4x 1 3y 1 33 5 0
62 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P e 
é perpendicular à reta r nos seguintes casos:
3
60°
y
r
P
x
3√3
b) 
2
150°
6
y
r
k
P
x
a)
98
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CAP 02.indb 98 04.10.10 13:53:36
67 Obtenha uma equação geral da reta r cujas equações 
paramétricas são:
 em que o parâmetro é t.
 Determine o ponto comum às retas r e s.
 r x 5 t 1 5
y 5 3t 2 1
 e s x 5 2k
y 5 1 2 2k
a) Para que valor do parâmetro t obtêm-se as coor-
denadas do ponto de intersecção da reta r com 
o eixo das abscissas?
b) Para que valor do parâmetro t obtêm-se as coor-
denadas do ponto de intersecção da reta r com 
o eixo das ordenadas?
c) Para que valor do parâmetro t obtém-se o ponto 
de abscissa 5 da reta r?
68 As equações paramétricas de uma reta r são:
69 Abaixo são apresentadas as equações paramétri-
cas de duas retas, r e s, em que t e k são os parâ-
metros reais.
70 Um sistema cartesiano ortogonal é associado à 
planta de uma cidade plana de modo que o eixo Ox 
é orientado de oeste para leste, o eixo Oy é orientado 
de sul para norte e a unidade adotada em cada eixo 
é o quilômetro. Um automóvel que parte do ponto 
A do terceiro quadrante, distante 3 km do eixo Ox e 
5 km do eixo Oy, percorre o seguinte trajeto: 15 km 
para o leste, 3 km para o norte, 3 km para o oeste 
e, finalmente, 2 km para o norte, estacionando em 
um ponto B. O ponto A, em relação a esse sistema 
de coordenadas, e a distância entre os pontos A e 
B são:
a) A(25, 23) e AB 5 15 km
b) A(25, 23) e AB 5 13 km
c) A(25, 23) e AB 5 10 km
d) A(23, 25) e AB 5 13 km
e) A(23, 25) e AB 5 10 km
63 A inclinação a da reta s, representada abaixo, é tal 
 que tg a 5 3 __ 
5
 . Obtenha a equação reduzida da reta r 
 que passa por P e é perpendicular a s.
64 Determine a projeção ortogonal do ponto P sobre a 
reta r nos seguintes casos:
a) P(21, 4) e (r) x 1 2y 2 1 5 0
b) P(21, 23) e (r) x 5 1
65 Determine o simétrico do ponto P em relação à reta 
r nos seguintes casos:
a) P(1, 2) e (r) x 1 2y 2 15 5 0
b) P(24, 0) e (r) 4x 2 6y 1 29 5 0
c) P(2, 5) e (r) x 2 9 5 0
d) P(1, 26) e (r) y 2 2 5 0
66 (FGV) Seja PQRS um quadrado de diagonal PR, com 
P e R sendo pontos pertencentes à reta de equação 
x 2 y 2 1 5 0. Se Q(4, 6), então a distância de S à 
origem (0, 0) do sistema cartesiano de coordenadas 
retangulares é:
a) 3 dll 5 d) dlll 58 
b) dlll 51 e) 3 dll 7 
c) 3 dll 6 
�2
5
y
s
α
k
P
x
N
O L
S
x 5 3t 1 5
y 5 2t 1 4
x 5 2t 1 1
y 5 1 2 3t
 Exercícios contextualizados
72 (Unicamp-SP) As transmissões de uma determinada 
emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas 
situa das nos pontos A(0, 0), B(100, 0), C(60, 40) e 
D(0, 40), sendo o quilômetro a unidade de compri-
mento. Desprezando a altura das antenas e supondo 
que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, 
a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD 
que não é alcançada pelas transmissões da referida 
emissora é:
a) 100 3 (16 2 2s) km2 d) (85 2 12s) km2
b) 400 3 (8 2 s) km2 e) (408 2 25s) km2
c) 100 3 (15 2 2s) km2
73 A temperatura de uma região variou linearmente 
de 12 wC a 23 wC, das 5 h às 11 h de determinado dia, 
conforme mostra o gráfico a seguir.
71 Para a confecção do mapa de um bairro plano, a 
Secretaria de Urbanização de uma cidade fixou um 
sistema cartesiano de eixos ortogonais ao plano 
desse bairro. Para isso:
•	 determinou	três	pontos,	O, A e B, e obteve as me-
didas: OA 5 3 km, AB 5 7 km e m(AOB) 5 60w;
•	 adotou	o	ponto	O como a origem do sistema e 
a reta OA, orientada de O para A, como eixo das 
abscissas;
•	 fixou	o	eixo	das	ordenadas	de	modo	que	o	ponto	
B ficasse no primeiro quadrante.
a) Quais são as coordenadas dos pontos O, A e B, 
em relação a esse sistema de eixos?
b) Uma rua reta desse bairro tem extremos nos 
pontos B e C(4, 3). Qual é o comprimento dessa 
rua, em quilômetro?
5
�3
11
12
Temperatura (°C)
Horário
(hora)
a) Qual era a temperatura às 7 h desse dia?
b) Em que horário desse dia, entre 5 h e 11 h, a 
temperatura atingiu 4 wC?
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75 Para estudar o movimento de um projétil que se 
desloca em linha reta, um cientista associou um 
sistema cartesiano ao plano vertical que contém 
essa reta, adotando o quilômetro como unidade 
para dividir os eixos coordenados.
 O projétil passou pelo ponto A(3, 2) e 50 segundos 
depois atingiu o ponto B(18, 10), percorrendo esse 
trecho com velocidade constante.
a) Qual era a velocidade do projétil, em quilômetro 
por segundo, no trecho AB?
b) Determine as coordenadas do ponto P no qual 
estava o projétil 25 segundos após a passagem 
pelo ponto A.
76 Uma indústria produz tuboscilíndricos para instala-
ções hidráulicas. Esses tubos podem ser fabricados 
com qualquer diâmetro x, em centímetro, tal que
4 < x < 20. A função que expressa o preço de ven-
da y, em real, do metro de tubo de diâmetro x, em 
centímetro, tem como gráfico o segmento de reta 
representado no plano cartesiano abaixo.
77 Para um estudo oceanográfico foram feitas duas me-
dições da temperatura das águas de certa região do 
oceano Atlântico: uma na superfície, onde se obteve 
a temperatura de 27 wC, e outra a 100 m de profundi-
dade, onde se obteve a temperatura de 21 wC. Admi-
tindo que a temperatura varie linearmente com a 
profundidade, de 0 a 100 m, calcule a temperatura 
da água a 40 m de profundidade.
78 Efeito estufa é o nome dado à retenção de calor na 
Terra causada pela concentração de diversos tipos 
de gases na atmosfera.
 Estudos têm mostrado que, se as emissões dos ga-
ses que provocam o efeito estufa não diminuírem, 
a quantidade desses gases presentes na atmosfera 
pode triplicar em 100 anos. Entre os cientistas há o 
consenso de que o resultado mais direto das mu-
danças climáticas seja o aumento da temperatura 
do planeta em até 5,8 wC ao final desses 100 anos 
(Fonte: Cetesb).
 Calcule o preço de venda do metro de tubo com 
diâmetro de 8 cm.
204
30
6
y
x
Esquema 
representando 
o efeito estufa. 
As fi guras não 
estão na mesma 
proporção.
79 (UFRN) A figura mostra um terreno às margens de 
duas estradas, X e Y, que são perpendiculares.
 Admitindo as expectativas mais pessimistas, res-
ponda:
a) Se, nos próximos 100 anos, a temperatura do pla-
neta aumentar linearmente em função do tempo, 
qual será o percentual de aumento em relação à 
quantidade atual desses gases daqui a 54 anos?
b) Se, nos próximos 100 anos, a quantidade desses 
gases na atmosfera aumentar linearmente em 
função do tempo, daqui a quanto tempo haverá 
um acréscimo de 1,7 wC à temperatura atual.
c) Admitindo a hipótese do item b, calcule a taxa 
anual de variação da temperatura do planeta na 
primeira década do período considerado.
P
Y
X
Q
74 Quando um tanque con-
tinha 10 L de água, foi 
aberta uma torneira 
com vazão constante. 
Vinte e quatro segundos 
depois, o tanque havia 
atingido sua capacidade 
total, que é de 40 L, con-
forme descreve o gráfico 
ao lado.
a) Quantos litros de água continha o tanque depois 
de 8 segundos de aberta a torneira?
b) Quanto tempo depois de aberta a torneira a água 
atingiu 75% da capacidade total do tanque?
24
40
10
0
Volume (L)
Tempo (s)
100
R
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