Desafios em Probabilidade e Estatística

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Desafios:
· Unidade 1.1 até 4.2 & Conteúdo Complementar
Disciplina: Probabilidade e Estatística
- Unidade 1.1
Três alunos lançam duas moedas iguais e pontuam sob as seguintes condições:
- O jogador A ganha um ponto se o resultado for duas caras;
- O jogador B ganha um ponto se o resultado for duas coroas;
- O jogador C ganha um ponto se o resultado for uma cara e uma coroa.
Repete-se o lançamento por 21 vezes. O ganhador será o
jogador com mais pontos.
Em relação ao jogo apresentado e à proposta de reflexão, responda as seguintes perguntas:
a) Qual seria a resposta adequada para um aluno que considera o jogo injusto?
b) Em caso de algum aluno considerar que o jogo é justo, por que você acha que ele chegou a essa conclusão?
Padrão de resposta esperado
a) O jogo é injusto porque o jogador C tem vantagem sobre os demais. Veja as possibilidades:
1. Existe apenas uma maneira para ocorrerem duas caras (que faz o jogador A pontuar).
2. Também existe apenas um modo de ocorrerem duas coroas (que o jogador B pontua).
3. Existem duas maneiras de aparecerem uma cara e uma coroa: ou a primeira moeda resulta em cara e a segunda em coroa, ou o contrário. Sendo assim, há quatro resultados possíveis no lançamento das moedas e o jogador C pontua em dois deles, tendo ½ de chance para pontuar, ao passo que os demais jogadores têm ¼ de chance.
b) Os alunos que consideram o jogo justo podem estar usando a seguinte lógica: “existem três resultados: duas caras, duas coroas, e uma cara e uma coroa, o que torna o jogo justo, já que cada aluno tem igual chance para pontuar”. O que ocorre é que eles não se deram conta de que o resultado misturado pode acontecer de duas maneiras diferentes, conforme explicado na letra "a".
- Unidade 1.2
Nesse contexto, você deve buscar a resposta para os seguintes problemas:
a) Qual é a média de pontos marcados pela sua equipe nos jogos realizados? Existe moda nesse conjunto de dados? Se sim, qual é?
b) Qual é a mediana de pontos marcados pela sua equipe nos jogos realizados?
Observação: você deverá apresentar o desenvolvimento dos cálculos para chegar aos resultados de sua análise.
Padrão de resposta esperado
a) Para calcular a média de pontos, somam-se todos os pontos marcados e divide-se pelo total de jogos. Você encontra, então, a média de 2,20 pontos por partida.
Média: (0+0+0+0+0+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+4+4+5+5+6)/20 = 2,20
Moda: 0 acontece 5 vezes, 2 acontece 4 vezes, 1 e 3 acontecem 3 vezes, 4 e 5 acontecem 2 vezes, e 6 acontece uma única vez. Logo, como moda é o que mais acontece, a moda é zero.
b) Inicialmente, deve-se calcular a mediana, colocando os pontos em ordem crescente e identificando aquele (ou aqueles) que estava(m) no meio dos resultados. Quando o total de números é ímpar, a mediana será um único número central. Por exemplo, no conjunto 1, 2, 3, 5, 8, a mediana é o número 3, pois ele está no meio (há dois números à direita e também dois números à esquerda). Já no caso do time, como o número de jogos é par (20 jogos), foi necessário fazer a média dos dois números centrais, ou seja:
0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6
Mediana = (2+2)/2
Mediana = 2
Após fazer isso, encontra-se a mediana igual a 2. Agora, com esses dados, é possível comparar os resultados do time com aqueles do time que está mais bem colocado e saber quais deverão ser as metas para os próximos jogos.
As medidas de tendência central representam o ponto central de equilíbrio de um conjunto de observações ordenadas de acordo com suas grandezas, orientando quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência. Entre as medidas de tendência central, destacam-se a média, a mediana e a moda. A medida a ser escolhida para representar os dados de forma coerente vai depender das características do conjunto de dados.
Padrão de resposta esperado
a) A diferença entre testes relativos à média de testes relativos às proporções é que, nos primeiros, se busca testar especificamente a média, enquanto nos testes de proporções, busca-se identificar qual o percentual (ou proporção) de elementos de uma população atende a uma determinada premissa, ou seja, quais possuem uma determinada característica.
b) Sobre os testes relativos à média, a(s) principal(is) diferença(s), ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras é (são) que, nas grandes amostras, considera-se a distribuição normal (e utiliza-se sua respectiva tabela) e, nas pequenas amostras, se utiliza outra distribuição que não a normal. A distribuição mais utilizada é a Student, pela facilidade de se encontrar sua tabela, mas isso não é obrigatório e o estudo de alguns eventos utiliza outras distribuições.
- Unidade 2.1
Imagine que você foi contratado por uma empresa para a realização de uma pesquisa de mercado e precisará trabalhar com amostragem, utilizando testes de hipóteses. No entanto, para ser efetivamente designado para esse trabalho, você precisa explicar para o gestor as diferenças entre cada teste, a fim de justificar as escolhas durante o processo de análise e inferência que você realizará durante a pesquisa.
Assim:
a) Explique, com suas palavras, a diferença entre testes relativos à média e testes relativos às proporções.
b) Sobre os testes relativos à média, explique qual(is) a(s) principal(is) diferença(s) ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras.
Padrão de resposta esperado
a) A diferença entre testes relativos à média de testes relativos às proporções é que, nos primeiros, se busca testar especificamente a média, enquanto nos testes de proporções, busca-se identificar qual o percentual (ou proporção) de elementos de uma população atende a uma determinada premissa, ou seja, quais possuem uma determinada característica.
b) Sobre os testes relativos à média, a(s) principal(is) diferença(s), ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras é (são) que, nas grandes amostras, considera-se a distribuição normal (e utiliza-se sua respectiva tabela) e, nas pequenas amostras, se utiliza outra distribuição que não a normal. A distribuição mais utilizada é a Student, pela facilidade de se encontrar sua tabela, mas isso não é obrigatório e o estudo de alguns eventos utiliza outras distribuições.
- Unidade 2.2
Muitos alunos estão na escola, mas não no ano e na idade adequados. Isso ocorre tanto pela reprovação quanto pela alta taxa de abandono escolar, principalmente após o ensino fundamental. De acordo com os dados coletados, nos anos iniciais, observam-se menores taxas de distorção nos estados de Minas Gerais, Mato Grosso e São Paulo, onde, respectivamente, 69,1%, 61,7% e 56,6% dos municípios apresentaram taxas menores do que 5%.
Diante da análise que o seu colega fez com relação aos dados observados, responda:
1. Qual é a variável utilizada na obtenção e na sistematização dos dados?
2. Qual é a importância da variável para uma pesquisa como o Censo Escolar?
Padrão de resposta esperado
1. A variável utilizada foi a de mensuração ordinal.
2. A variável de mensuração ordinal é importante para uma pesquisa como o Censo Escolar porque, por meio da leitura de dados, pode-se mensurar uma quantidade maior ou menor de acesso à educação pela variável idade, ou seja, pode-se efetuar um juízo de valor, identificando se a situação do acesso escolar está melhor, pior ou igual à situação encontrada em Censos anteriores.
- Unidade 3.1
Você faz parte da equipe de controle de qualidade de uma indústria. Preocupado com a qualidade das peças produzidas pela empresa, O seu gestor pediu que você fizesse o delineamento inicial das informações que vocês têm para futura análise estatística.
A sua tarefa é verificar o que se sabe sobre as peças produzidas pela indústria no período de um mês específico. Para tanto, considere que uma das características da qualidade dessa peça é o seu peso, que, segundo o projeto, deve ser de 320g, levando em conta que foram produzidas 3.000 peças no decorrer do mês em análise.
Nesse contexto, responda as seguintes perguntas para informar ao seu gestor:
a) Qual será a populaçãode estudo? Ela é finita ou infinita?
b) Se, por alguma razão, o estudo não puder contar com a pesagem de todas as peças, qual é a alternativa que você propõe ao gestor?
Padrão de resposta esperado
a) Serão consideradas como população (finita) do estudo todas as 3.000 peças. Isso facilitará o dimensionamento pelo gestor da equipe para realizar o trabalho de inspeção da qualidade das peças.
b) Nesse caso, recomenda-se utilizar uma amostra dessa produção. Por exemplo, poderia ser uma amostra composta de 120 peças retiradas da produção total do mês.
Assim, se percebe que o planejamento operacional de pesquisas consiste em prever as ações que deverão ser efetuadas, como a definição da população a ser estudada e a seleção da respectiva amostra. Sempre é indicado partir de um universo de elementos aos quais os resultados do estudo deverão ser aplicados — ou seja, a população — para, então, definir-se a amostra.
- Unidade 3.2
Avalie o tamanho de uma amostra para uma população de 1.000 peças quando se usa para analisar 1% dela. Explique como você faria a escolha destes elementos se fosse por amostragem aleatória simples e por amostragem aleatória sistemática. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não basta apontar o resultado correto, o cálculo deve ser apresentado com o raciocínio completo.
Padrão de resposta esperado
Primeiro, vamos definir o tamanho da amostra: se são 1.000 peças e queremos 1% de amostras, basta calcular 1% de 1.000 que resulta em 10.
Para a amostragem aleatória simples, iremos numerar as 1.000 peças e sortear cada uma das 10 desejadas para compor nossa amostra. Já para a amostragem aleatória sistemática, também iremos numerar as 1.000 peças, mas sortearemos apenas o primeiro elemento da amostra. Os outros 9 serão obtidos adicionando-se 100 (obtido de 1.000/10) ao número do primeiro elemento.
- Unidade 4.1
imagine que você é responsável pelo setor de embalagens de uma fábrica e está avaliando a quantidade de produtos defeituosos embalados.
Você analisou 5 caixas na data A e 5 caixas na data B, sendo:
“A” uma data qualquer no calendário e “B”
uma véspera de feriado.
Obtendo os conjuntos de dados:
* Conjunto A: 2,3,3,5e7
* Conjunto B:2,3,3,45e72
Para esses dois conjuntos de dados, calcule a amplitude, a média, a variância e o desvio-padrão e comente os resultados encontrados.
Padrão de Resposta Esperado
Amplitude:
Conjunto A: 7-2 = 5
Conjunto B: 72-2 = 70
Conclusão: O conjunto B é mais amplo que o conjunto A, mesmo tendo a mesma quantidade de elementos (5). Pode-se dizer que o conjunto B é mais disperso ou espalhado.
Média:
Conjunto A: (2 + 3 + 3 + 5 + 7)/5 (pois, são 5 elementos) = 20/5 = 4.
Conjunto B: (2 + 3 + 3 + 45 + 72)/5 (também são 5 elementos) = 125/5 = 25.
Conclusão: Em média 4 produtos por caixa foram embalados com defeito na data A, que não era véspera de feriado e em média 25 produtos por caixa foram embalados com defeito na data B, véspera de feriado.
Variância e Desvio padrão:
Utilize os quadros a seguir para auxiliar.
O cálculo da variância e do desvio-padrão, além de confirmar que o conjunto B é mais disperso que o conjunto A, o que já tinha sido indicado quando calculamos a amplitude, informa as medidas dessa dispersão. Podemos observar que no conjunto B a média de peças embaladas com defeito é alta e também há uma grande dispersão.
- Unidade 4.2
Você trabalha em uma grande empresa e é responsável por acompanhar as entregas dos produtos aos clientes.
Para tanto, você precisa fazer um controle rigoroso que lhe permitirá prestar informações estatísticas relevantes ao seu gestor direto.
Nesse contexto, considere que a sua empresa tem três possíveis transportadoras para fazer as suas entregas a certo destino:
D Transportadora A: faz o atendimento de seus pedidos de forma imediata em 85% das vezes.
D Transportadora B: faz o atendimento de seus pedidos de forma imediata
em 70% das vezes.
PD Transportadora C: faz o atendimento de seus pedidos de forma imediata
em 90% das vezes.
Portanto, você deverá analisar o caso em que são realizados pedidos para as três transportadoras, respondendo as seguintes perguntas:
a) Qual é a probabilidade de que as três transportadoras atendam imediatamente? Além de apresentar a forma de cálculo que você adotou, explique por que é importante saber dessa informação a respeito da entrega dos produtos aos clientes.
b) Qual é a probabilidade de que somente uma das transportadoras atenda imediatamente? Além da apresentação do raciocínio para o cálculo dessa probabilidade, acrescente a sua conclusão.
 Padrão de resposta esperado
a) Nesse caso, são feitas exigências a respeito de três eventos que devem ocorrer simultaneamente. Esse problema tem sua solução com o uso da propriedade da interseção de três eventos independentes, ou seja, se espera conhecer a probabilidade de que as transportadoras A, B e C atendam imediatamente. Portanto:
P (A atender imediatamente e B atender imediatamente e C atender imediatamente)
Então,
P (A at. imed. ∩ B at. imed. ∩ C at. imed.)
P(A at. imed.) × P(B at. imed.) × P(C at. imed.) = 0,85 × 0,70 × 0,90 = 0,5355
Isso significa que a probabilidade de que as transportadoras A, B e C atendam imediatamente os seus clientes é de 53,55%. Conhecer a informação a respeito da entrega dos produtos aos clientes é importante para refletir sobre estratégias que melhorem as entregas, uma vez que a chance de que as transportadoras atendam imediatamente os clientes é pouco superior a 50%.
b) Nesse caso, consideram-se todas as possibilidades, pois não se sabe qual transportadora irá atender imediatamente. Sendo assim, é necessário calcular:
P (A atender imediatamente e B não e C não) OU P (A não e B atender imediatamente e C não) OU P (A não e B não e C atender imediatamente)
Em outras palavras, esse problema tem sua solução usando conjuntamente a propriedade da interseção de três eventos independentes e da união de diferentes combinações de entregas.
P(A at. imed. ∩ B não at. imed. ∩ C não at. imed.) + P(A não at. imed. ∩ B at. imed. ∩ C não at. imed.) + P(A não at. imed. ∩ B não at. imed. ∩ C at. imed.) = (0,85 × 0,30 × 0,10) + (0,15 × 0,70 × 0,1) + (0,15 × 0,30 × 0,9) = 0,0765
Isso significa que a probabilidade de que somente uma transportadora atenda imediatamente é de 7,65%.
Com isso, percebe-se que a transportadora A atende imediatamente, ao passo que a B e a C não o fazem; independentemente da ordem, isso gera uma probabilidade de 7,65% — outra informação relevante para repensar as entregas realizadas pelas transportadoras.
- Conteúdo Complementar 1
Você trabalha em uma empresa de telefonia e ficou encarregado de
fazer uma pesquisa sobre a satisfação do cliente no atendimento de
visita técnica. Foram selecionados 30 clientes de forma aleatória para
responder a pesquisa, que continha duas questões:
1) Em uma escala de O a 10, qual é o seu grau de satisfação com o atendimento prestado pelo técnico?
O resultado obtido foi:
5,7,8,8,87,5,9,10,9,10,10,8,7,7,5,4,8,8,7,8,6,8,10,7,10,10,8,10,9
2) Em uma escala de O a 10, o quanto você recomendaria nossa empresa para um conhecido seu?
O resultado obtido foi:
5,8,9,8,9,7,5,10,10,10,10,10,8,8,8,5,0,8,8,8,9,5,9,10,9,10,10,8,10,10
Com base nos dados obtidos, responda as seguintes questões:
a) Organize, para cada questão, uma tabela de frequência para as notas, sendo que a primeira coluna será para as notas de 0 a 10; a segunda, para a frequência fi(quantidade de vezes que a nota aparece); e a terceira, para frequência relativa (porcentagem em que essa nota aparece — nesse caso, como temos 30 dados, ela é calculada como fr = fi /30 ∙100).
b) Para cada questão, qual foi a nota que mais apareceu?´
Padrão de Resposta Esperado
a) As tabelas ficarão da seguinte forma:
O valor 99,99% foi arredondado para 100%. Isso se justifica porque, para melhor organização dos dados, utilizam-se duas casas decimais para representar a porcentagem. Entretanto, havia uma dízima periódica. Então, a soma total dá 99,9999...%, que é igual a 100%.
Aqui, por se tratar de uma escalade 0 a 10, opta-se por colocar na tabela todos os valores, mesmo que algumas notas não tenham aparecido no resultado da pesquisa. Na prática, de acordo com o objetivo do estudo, é possível optar por colocar na tabela apenas os resultados que realmente apareceram.
b) No caso da questão 1, a nota que mais apareceu foi 8, com frequência 9, ou seja, 30% do total de entrevistados. No caso da questão 2, a que mais apareceu foi 10, com frequência 10, ou seja, 33,33% dos entrevistados.
- Conteúdo Complementar 2
Você é o gerente de uma Unidade Básica de Saúde (UBS) e deseja realizar uma pesquisa sobre a satisfação dos usuários em relação ao atendimento da UBS. A UBS em questão está localizada em um bairro com 18 mil habitantes, mas apenas 75% deles a utilizam pelo menos uma vez por ano.
Com base nesse cenário, responda as questões:
a) Considerando o conceito estatístico de população e que a pesquisa será realizada apenas com a população do bairro que utiliza a UBS pelo menos uma vez por ano, qual é o tamanho da população a ser considerado nessa pesquisa?
b) Suponha que, na pesquisa encomendada, foi selecionada uma amostra representativa de tamanho 30% da população considerada no item a. Qual é o tamanho da amostra?
c) Considere que, na pesquisa realizada, 3.240 indivíduos da amostra responderam que gostariam de esperar por uma consulta na sala de espera da UBS por no máximo 15 minutos. Generalizando esse resultado para a população considerada no item a, esse número corresponde a quantas pessoas?
Padrão de Resposta Esperado
Todos os questionamentos envolvem cálculo simples de porcentagem. Acompanhe:
- Conteúdo Complementar 3
Muitos experimentos envolvem a ideia de distribuição de probabilidade, ou seja, a população ou a amostra estudada seguem um comportamento padrão que pode ser aproximado por uma função.
No caso das distribuições contínuas, temos a função densidade de probabilidade, que é diferente para cada modelo de distribuição estudado. Dessa forma, é muito importante que na prática conheçamos as condições que tornam um modelo de distribuição de probabilidade apropriado para a situação que estamos investigando. Vamos ao desafio.
Você foi escolhido para ministrar uma aula de estatística e o assunto será as distribuições contínuas de probabilidade. Na aula, você deverá citar, pelo menos, quatro distribuições contínuas diferentes, indicando seus respectivos usos. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não serão aceitas cópias dos conceitos constantes nos livros indicados. É importante explicá-la de forma clara. 
Padrão de resposta esperado
Sua resposta deve conter algumas das seguintes distribuições:
- Distribuição Normal - se ajustam bem a esta distribuição as medidas naturais (antropomórficas, por exemplo) e as várias medidas industriais.
- Distribuição Uniforme contínua - muito utilizada quando se conhece pouco a respeito do fenômeno modelado.
- Distribuição Triangular - muito utilizada quando se conhece um pouco mais sobre o fenômeno modelado em relação às suposições da Distribuição Uniforme.
- Distribuição Beta - muito utilizada para modelar incertezas a respeito de probabilidades, frações ou prevalências.
- Distribuição Exponencial - utilizada em processos de contagem ao longo do tempo em que os eventos de interesse são independentes entre si e ocorrem a uma taxa constante ao longo do tempo.
- Distribuição de Erlang - emerge nos fenômenos relacionados a redes de telecomunicações.
- Distribuição de Weibull - utilizada para encontrar importantes aplicações em estudos de confiabilidade, em Engenharia de Produção, em gestão de estoques, seguridade e meteorologia.
- Distribuição Gama - utilizada na Biologia e modelagem do comportamento do consumidor.
- Distribuição F - emerge nos problemas de Estatística Inferencial envolvendo a análise de variância.
- Distribuição t de Student - emerge em problemas de Estatística Inferencial baseada em amostras pequenas.
- Distribuição Lognormal - modelagem de fenômenos econômicos relevantes, como para modelar o retorno financeiro de títulos negociados em bolsa.
- Distribuição de Laplace - encontra aplicações em processamento de imagens e de voz, em Biologia e na análise da dinâmica industrial.
- Distribuição Logística - encontra aplicações em processos relacionados a crescimento, seja demográfico, de vendas, de difusão tecnológica.
- Distribuição de Maxwell - modela a velocidade de partículas e moléculas em gases em equilíbrio térmico.
- Distribuição de Pareto - modela adequadamente muitos fenômenos sociais, físicos e econômicos.
- Conteúdo Complementar 4
Imagine que você é um engenheiro eletricista e trabalha em uma companhia de energia elétrica que está realizando uma pesquisa de satisfação com uma amostra de 31 residências de um bairro em uma pequena cidade. 
A sua tarefa é conduzir essa pesquisa, em que uma das perguntas foi o número de moradores na residência. Após o levantamento de dados, você observou o seguinte reporte pelas famílias em relação ao número de moradores na residência:
1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 6 6 6 6
Nesse contexto, você deverá analisar os dados coletados no bairro para reportá-los ao gerente da sua equipe de forma estruturada, organizada e clara. As questões norteadoras a seguir te ajudarão a elaborar um panorama sobre os resultados encontrados na sua pesquisa:
1) Esses dados podem ser representados em forma de tabela? Se sim, construa e apresente a tabela ao gerente. Se não, explique de que outra forma você tornaria os dados mais visíveis para o gestor.
2) Qual é a maior representatividade da amostra em relação ao número de pessoas morando na residência? Qual é o percentual?
Padrão de Resposta Esperado
1) Esses dados podem, sim, ser representados dessa forma. Os dados são melhor representados em forma de tabela do que em dados brutos, como é visto no enunciado. Por meio da tabela, é possível informar quantas famílias reportaram ter 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 moradores na residência. Também se consegue observar o quanto isso representa, do todo, em termos percentuais. Observe a tabela construída.
2) A frequência relativa simples informa em termos percentuais a proporção daquele dado, expresso na frequência absoluta simples. Analisando os dados na tabela de distribuição de frequências, observa-se que a maior representatividade da amostra implica em quatro moradores na residência. Em outras palavras, 29,03% das famílias reportaram ter quatro moradores na residência.
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