Apostila - Módulo 07

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RACIOCÍNIO LOGICO MÓDULO 07 SOLDADO COMBATENTE 
 
1 
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gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
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Tautologia, contradição e contingências 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais 
proposições p, q, r, ... será considerada uma TAUTOLOGIA se ela for 
sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das 
proposições p, q, r, ... que a compõem. 
 Já uma proposição composta formada por duas ou mais 
proposições p, q, r, ... será considerada uma CONTRADIÇÃO se ela for 
sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r, ... que a compõem. 
 Já a contingência é uma proposição cujos valores lógicos 
podem ser tanto V quanto F, dependendo diretamente dos valores 
atribuídos às proposições simples que a compõem, que são a maioria 
das nossas proposições compostas. 
 
Resumindo ... 
• Sempre verdadeira : Tautologia 
• Sempre falsa: Contradição 
• Verdadeira ou falsa: Contingência 
 
Caso especial: “ser ou não ser”, “ser e não ser” 
 
Casos de proposições compostas do tipo: ser algo OU não ser algo, 
caracterizam tautologia, pois ambas terão obrigatoriamente valor lógico 
contrário e a disjunção inclusiva só é falsa se ambas as proposições 
simples forem falsas. 
Ex: Sou feliz ou não sou feliz. – Tautologia 
Já nos casos de proposições compostas do tipo: ser algo E não ser algo, 
caracterizam contradição, pois ambas terão obrigatoriamente valor 
lógico contrário e a conjunção só é verdadeira se ambas as proposições 
simples forem verdadeiras. 
Ex: Sou feliz e não sou feliz. – Contradição 
 
Resumindo... 
• p ∨~ p ("p" ou "não p") é uma tautologia; 
• p ∧~ p ("p" e "não p") é uma contradição. 
Observe a tabla-verdade abaixo e veja que p∨~ p é sempre verdadeiro e 
p∧~ p é sempre falso. 
 
 
Métodos para determinar se uma proposição é uma tautologia ou uma 
contradição 
 
1. Tabela-verdade: se a proposição composta final for sempre 
verdadeira, ela é uma tautologia; sempre falsa é uma contradição 
2. Absurdo: no caso da tautologia: tentar aplicar o valor lógico falso à 
proposição. Se nessa tentativa chegarmos a algum absurdo, isso 
significa que a proposição nunca poderá ser falsa e, portanto, é uma 
tautologia (sempre verdadeira); para contradição é só tentar aplicar o 
valor lógico verdadeiro. 
 
Testando o método 1 
Para ilustrar os dois primeiros métodos, vamos utilizar um exemplo. 
Queremos verificar se a seguinte proposição é uma tautologia: 
((p∧q) → r)  (p→(q→ r)) 
Primeiro método: determinar a tabela-verdade 
1° passo: número de linhas = 2³ = 8. 
2° passo: desenhar o esquema da tabela-verdade. Devemos determinar: 
(p∧q) → r)  (p→ (q→ r) ; (p∧q) → r ; p→ (q→ r) ; (p∧q) ; r ; p ; q ; (q→ 
r) ; p ; q ; r 
 
 
3° passo: atribuir V ou F às proposições simples de maneira alternada. 
 
4° passo: obter o valor das demais proposições. p∧q é verdadeiro 
somente quando p e q são ambos verdadeiros. q→ r é falso somente 
quando q é verdadeiro e r é falso. 
 
(p∧q) → r só é falso quando (p∧q) é verdadeiro e r é falso. Nos demais 
casos é verdadeiro. 
 
p→ (q→ r) só é falso quando p é verdadeiro e (q→ r) é falso. Nos demais 
casos, a expressão é verdadeira. 
 
Por fim, a bicondicional ((p∧q) → r)  (p→ (q→ r)) é verdadeira quando 
((p∧q) → r) e (p→ (q→ r)) forem ambos verdadeiros ou ambos falsos. 
Observe que esse caso sempre ocorre, e isso significa que a 
bicondicional proposta é uma tautologia. 
 
 
Testando o método 2 
Nesse contexto, o termo "absurdo" se refere a uma situação contraditória 
que surge ao tentar aplicar o valor falso a uma tautologia ou o valor 
verdadeiro a uma contradição. 
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2 
Exemplo: vamos supor que você aplica o valor falso a uma proposição 
composta que você suspeita que é uma tautologia. Em decorrência disso, 
você obtém que algumas proposições simples devem ser verdadeiras e 
falsas ao mesmo tempo. Trata-se de um absurdo, pois sabemos que as 
proposições não podem ser V e F ao mesmo tempo. 
Como chegamos em um absurdo, isso significa que a proposição 
composta original nunca pode ser falsa. Portanto, temos uma tautologia. 
Observe. 
Analisaremos novamente ((p∧q) → r)  (p→(q→ r)) 
 
Para a bicondicional ((p∧q) → r)  (p→ (q→ r)) ser falsa, ambos os 
termos não podem ter o mesmo valor lógico. Isso significa que há duas 
possibilidades: 
1) (p∧q) → r é falso e p→ (q→ r) é verdadeiro; ou 
2) (p∧q) → r é verdadeiro e p→ (q→ r) é falso. 
Vamos verificar a primeira possibilidade: 
1) Para a condicional (p∧q) → r ser falsa, (p∧q) deve ser verdadeira e r 
deve ser F. Já para a conjunção (p∧q) ser verdadeira, tanto p deve ser V 
e quanto q deve ser V. Para a condicional p→ (q→ r) ser verdadeira, o 
antecedente p não pode ser V com (q→ r) falso. Isso significa que p não 
pode ser V com q verdadeiro e r falso. Absurdo! 
2) Para a condicional (p∧q) → r ser verdadeira, essa condicional não 
pode ser falsa. Isso significa que r não pode ser falso ao mesmo tempo 
em que (p∧q) é verdadeira. Assim, r não pode ser F com p sendo V e q 
sendo V. Para a condicional p→ (q→ r) ser falsa, p deve ser V e a 
condicional (q→ r) deve ser falsa. Isso significa que q deve ser V e r deve 
ser F. Mais uma vez chegamos em um absurdo. 
 
Como as duas possibilidades existentes para que a bicondicional seja 
falsa foram descartadas, só nos resta a possibilidade de ela ser sempre 
verdadeira. Logo, a bicondicional em questão é uma tautologia. 
 
Vamos a mais um exemplo? Agora vou te ensinar dois macetes que te 
ajudara eliminar de cara quando uma proposição não for uma tautologia. 
 
Acrescenta os dois primeiros passos no método anterior e se não for 
uma tautologia você poderá eliminar de cara. 
1° passo: procurar se tem componentes repetidas, se não tiver já pode 
concluir que não é tautologia. 
2° passo: o conectivo principal não pode ser “e” 
3° passo: igualar a proposição a Falso e separar em duas partes, uma 
antes do conectivo e outra depois. 
4° passo: verificar se deu algum erro de tabela, caso tenha dado não pode 
ser falso e concluímos que é uma tautologia, se não der nenhum erro 
significa que aquela proposição pode ser falsa e sendo assim não pode 
ser uma tautologia. 
 
Ex: p ⋀ q → r não é uma tautologia, pois não tem letras repetidas 
 
Ex: p ⋀ q→ p ⋁ q é uma tautologia 
 
Repare, 
1° passo: temos letra repetida: p e q (ok) 
2° passo: o principal conectivo não é o “e” é → (ok) 
3° passo: iguala a falso 
 
 
Repare que para a proposição composta ser falsa a primeira parte tem 
que ser verdadeira e a segunda tem que ser falsa, para a primeira ser 
verdadeira, como temos o conectivo “e” as duas componentes têm que 
ser verdadeiras (p e q) em contrapartida para a segunda ser falsa, como 
temos o conectivo “ou” as duas componentes têm que ser falsa (p e q). 
Absurdo! 
Não tem como uma componente assumir os dois valores (V e F) ao 
mesmo tempo. 
Como deu erro para o valor lógico final Falso, só podemos ter então 
verdadeiro, logo uma tautologia. 
 
Para praticar, faça sozinho e depois venha conferir a resolução: 
Ex: A proposição [(p→r)∧(q→r)]→[r→(p∨q)] pode ser uma tautologia 
 
Resolução 
Método 1: tabela-verdade 
Alternativamente, poderíamos montar a tabela-verdade com 8 linhas e 9 
colunas. 
Observe que a tabela-verdade nos mostra que a condicional é falsa na 
sétima linha, justamente para os valores de p, q e r obtidos pelo método 
que veremos em seguida. (p falso, q falso e r verdadeiro). 
 
 
Método 2: prova por absurdo 
Vamos analisar se a proposição [(p→r)∧(q→r)]→[r→(p∨q)] pode ser 
falsa. Se sim, não se trata de uma tautologia. Se chegarmos a um 
absurdo, isso significa que a proposição é sempre verdadeira e, portanto, 
é uma tautologia. 
Para a condicional [(p→r)∧(q→r)]→[r→(p∨q)]ser falsa, devemos ter 
[(p→r)∧(q→r)] verdadeiro e [r→(p∨q)] falso. 
Para a condicional [r→(p∨q)] ser falsa, devemos ter r verdadeiro e (p∨q) 
falso. Sabemos que para a disjunção inclusiva (p∨q) ser falsa, p e q 
devem ser falsos. Logo, r é V, p é F e q é F. 
Bom, sabemos que com r verdadeiro, p falso e q falso temos que o 
consequente [r→(p∨q)] é falso. 
Agora, devemos verificar se o antecedente [(p→r)∧(q→r)] é verdadeiro. 
Note que, com esses valores lógicos de r, p e q, temos: 
[(p→r)∧(q→r)] 
[(F→V)∧(F→V)] 
[(V)∧(V)] 
[V] 
Note, portanto, que para r verdadeiro, p é falso e q é falso, temos o 
antecedente [(p→r)∧(q→r)] verdadeiro e o consequente [r→(p∨q)] 
falso. Isso significa que para esses valores lógicos de r, p e q, temos que 
a condicional [(p→r)∧(q→r)]→[r→(p∨q)] é falsa. Logo, é errado dizer 
que a proposição em questão é sempre verdadeira. 
Então, não é uma tautologia. 
 
Chegamos ao fim, espero que tenha gostado. 
Bora fazer um viradão de questões hoje? Obaaaaa! 
Então toma... 
Exercícios 
1) A tabela-verdade da fórmula ¬(P∨Q)→Q 
a) Só é falsa quando P e Q são falsos. 
b) É uma tautologia. 
c) É uma contradição. 
d) Só é falsa quando P e Q são verdadeiros. 
e) Só é falsa quando P é verdadeiro e Q é falso. 
 
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2) Trata-se de um exemplo de contingência a proposição da alternativa: 
a) P∨¬P 
b) P⇒Q 
c) P⇔P 
d) ¬Q⇒¬Q 
e) P∧¬P 
 
3) Trata-se de um exemplo de tautologia a proposição: 
a) Se dois é par então é verão em Gramado. 
b) É verão em Gramado ou não é verão em Gramado. 
c) Maria é alta ou Pedro é alto. 
d) É verão em Gramado se e somente se Maria é alta. 
e) Maria não é alta e Pedro não é alto. 
 
4) Uma proposição composta é tautológica quando ela é verdadeira em 
todas as suas possíveis interpretações. Considerando essa definição, 
assinale a alternativa que apresenta uma tautologia. 
a) p v ¬q 
b) p Ʌ ¬p 
c) ¬p Ʌ q 
d) p v ¬p 
e) p Ʌ ¬q 
 
5) Considere as seguintes proposições: 
I. Se Marcos é auditor fiscal ou Luana é administradora, então Marcos é 
auditor fiscal e Luana é administradora. 
II. Se Marcos é auditor fiscal e Luana é administradora, então Marcos é 
auditor fiscal se, e somente se, Luana é administradora. 
As proposições I e II, nessa ordem, são classificadas como 
a) contingência e contradição. 
b) contingência e contingência. 
c) contradição e tautologia. 
d) contingência e tautologia. 
e) tautologia e tautologia. 
 
6) Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam 
verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença 
apresentada seja uma tautologia. 
a) ∼(p∨r)∧(q∧r)∨q 
b) ∼s∨q 
c) ∼(∼q∨q) 
d) ∼[(∼p∨q)∧(∼q∨r)∧(∼r∨s)]∨(∼p∨s) 
e) (p∧s)∧(q∨∼s) 
 
7) Considere a seguinte proposição: “na eleição para a prefeitura, o 
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a 
afirmação da proposição caracteriza 
a) um silogismo. 
b) uma tautologia. 
c) uma equivalência. 
d) uma contingência. 
e) uma contradição. 
 
8) A proposição composta que representa uma tautologia é a que está 
indicada na alternativa: 
A) (~p ∧ q) ∨ ~p 
B) ~(p ∧ q) ∨ ~p 
C) ~((p ∧ q) → p) 
D) (p ∧ q) → p 
E) (p ∧ q) ↔ ~p 
 
9) A fórmula que apresenta uma proposição logicamente verdadeira, ou 
seja, uma tautologia, está indicada na alternativa: 
A) p ∧ ~q 
B) ~p → q 
C) (p ↔ q) ∨ p 
D) ~p ↔ q 
E) (p → q) ∨ p 
 
10) Seja a sentença aberta A: (∼ p ∨ p) ↔ [ ] e a sentença B: "Se o espaço 
[ ] for ocupado por uma (I), a sentença A será uma (II)". A sentença B se 
tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por 
a) tautologia e contingência. 
b) contingência e contingência. 
c) contradição e tautologia. 
d) contingência e contradição. 
e) tautologia e contradição. 
 
11) Assinale a alternativa cuja proposição NÃO é uma tautologia. 
A) p v~ p 
B) (p ^ q) → (p ↔ q) 
C) p → (p ∨ q) 
D) (p ∧ q) → (p ∨ q) 
E) (p → q) ∧ (p ∨ q) 
 
12) Mesmo sem saber o valor verdade das proposições p e q, é possível 
saber se φ: (p → q)˄(¬ p) → ¬ q é uma 
A) tautologia. 
B) contingência. 
C) contradição. 
D) contraditório. 
 
13) Considere a proposição simbolizada abaixo: 
 
O valor verdade de φ se caracteriza como uma 
A) contradição. 
B) tautologia. 
C) contingência. 
D) tautalotório. 
 
14) A tautologia é um conceito do raciocínio lógicomatemático, 
compondo as chamadas proposições compostas, onde 
independentemente do valor lógico assumido pelas sentenças, obtemos 
como resposta sempre o valor verdadeiro. Dentre as frases abaixo qual 
a única que indica uma tautologia: 
A) Marcos não vai ao cinema e Pedro não joga futebol. 
B) Se Marcos vai ao cinema, então Pedro joga futebol. 
C) Se Marcos vai ao cinema e Pedro joga futebol, então Pedro joga 
futebol se e somente se Marcos vai ao cinema. 
D) Marcos vai ao cinema se e somente se Pedro joga futebol. 
 
15) Considere p uma proposição contingente, q uma tautologia e r uma 
contradição. Além disso, considere as seguintes proposições 
compostas: 
A : p ˅ q, 
B : p ˄ r, 
C : r → p. 
Qual o valor lógico da proposição D : [ ( A↔ B ) ˄ ~ C ] ˅ ~ A? 
A) Não é possível determinar o valor lógico de D 
B) Verdadeiro 
C) Falso 
D) D não tem valor lógico 
E) D é verdadeiro e falso 
 
16) Qual das alternativas apresenta uma afirmação logicamente 
verdadeira? 
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A) A sentença composta P → ~Q representa uma tautologia. 
B) A sentença composta P → ~Q representa uma contradição. 
C) A sentença composta ~Q → P representa uma tautologia. 
D) A sentença composta (P → ~Q) ∨ (~Q → P) representa uma 
contingência. 
E) A sentença composta (P → ~Q) ∨ (~Q → P) representa uma 
tautologia. 
 
17) Assinale a alternativa que representa corretamente uma tautologia. 
A) João é rico ou Emília é pobre. 
B) João é magro e João não é magro. 
C) João é magro ou João não é magro. 
D) Ou José é rico ou Maria é estudiosa. 
E) Se x é um número real maior que 2, então x é menor que 2. 
 
18) Abaixo são apresentadas três proposições lógicas: 
1. (p → q) ↔ (~p ∨ q) 
2. (p ∧ q) → (p ∨ q) 
3. (p ∨ q) → ~(p ∨ q) 
Com base na tabela-verdade de cada uma delas, fazemos as seguintes 
afirmações: 
I. A proposição (1) é uma tautologia. 
II. A proposição (2) é uma contradição. 
III. A proposição (3) é uma contingência. 
Assim, podemos dizer que: 
A) As afirmações I, II e III são verdadeiras. 
B) As afirmações I e II são verdadeiras. 
C) As afirmações I e III são verdadeiras. 
D) As afirmações II e III são verdadeiras. 
E) As afirmações I, II e III são falsas. 
 
19) Sejam duas proposições lógicas simples: A e B, e a representação 
simbólica para a negação e os conectivos lógicos abaixo listadas: 
 
 
 
Considere as proposições enumeradas: 
I. A ∧ ~A 
II. (A ∧ B) ∨ ~ (A ∧ B) 
III. (A → B) ↔ (~ B → ~A) 
Uma tautologia é uma proposição lógica que pode apenas assumir 
valores-verdade verdadeiros (V), uma antinomia é a negação de uma 
tautologia, e, portanto, é uma proposição composta em que resulta 
apenas em valores lógicos falsos (F). Assinale a alternativa que 
corretamente classifica as proposições completas enumeradas nesses 
termos. 
A) I - Antinomia; II - Tautologia; III - Tautologia 
B) I - Tautologia; II - Antinomia; III - Tautologia 
C) I - Tautologia; II - Tautologia; III - Antinomia 
D) I - Tautologia; II - Tautologia; III - Tautologia 
 
20) A opção que é considerada um exemplo de tautologia é: 
A) Se Joana é magra, então Joana é magra ou Gerusa é baixa. 
B) Se Joana é magra, então Joana é magra é Gerusa e baixa. 
C) Se Joana é magra ou Gerusa é baixa, então Gerusa é baixa. 
D) Se Joana é magra ou Gerusa é baixa, então Joana é magra e Gerusa é 
baixa. 
E) Se Joana é magra ou não é magra, então Gerusa é baixa. 
 
21) A fórmula ¬(A → (C ∨ B)) ↔ (A ∧ ¬B ∧¬C) é uma: 
A) Contradição. 
B) Equivalência lógica. 
C) Contingência. 
D) Implicação lógica. 
E) Indeterminação. 
 
22) Para responder à questão, tome como base a seguinte Tabela-Verdade: 
 
 
 
Considerando a Tabela-Verdade acima, pode-se afirmar que: 
A) As colunas III e VI são contradições. 
B) As colunas V e VII são tautologias. 
C) As colunas VI e VIII são equivalentes 
D) As colunas V, VII e VIII são equivalentes. 
E) As colunas IV, V, VI e VII são contingências. 
 
23) Classifique cada uma das afirmativas a seguir colocando (V) para as 
verdadeiras e (F) para as falsas. 
( ) A negação da negação de uma contradição é uma tautologia. 
( ) Contingência é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. 
( ) A disjunção de uma tautologia com uma contradição é uma 
contingência. 
( ) A proposição composta (A→B)→(B→A) é uma contingência. 
 
Marque a alternativa que contém a sequência CORRETA de 
preenchimento dos parênteses. 
A) V, V, F e F. 
B) V, V, F e V. 
C) F, F, V e V. 
D) F, F, F e V. 
E) F, F, V e F. 
 
24) Se ¬A, ¬B e ¬C são proposições simples verdadeiras, então o valor 
lógico de C ⇒ (A ∧ B) é: 
A) Falso. 
B) Verdadeiro. 
C) Contraditório. 
D) Contingente. 
E) Impossível de determinar. 
 
25) Indique a alternativa que representa uma tautologia. 
A) Se Rafael é inteligente e Fabrício é chato então Rafael é inteligente ou 
Fabrício é chato. 
B) Se Rafael é inteligente ou Fabrício é chato então Rafael não é 
inteligente e Fabrício não é chato. 
C) Se Rafael é inteligente ou Fabrício é chato então Rafael é inteligente e 
Fabrício é chato. 
D) Se Rafael é inteligente e Fabrício é chato então Rafael é inteligente e 
Fabrício não é chato. 
 
 
Gabarito 
 
1) A 
2) B 
3) B 
4) D 
5) D 
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5 
6) D 
7) B 
8) D 
9) E 
10) B 
11) E 
12) B 
13) C 
14) C 
15) C 
16) E 
17) C 
18) C 
19) A 
20) A 
21) B 
22) D 
23) D 
24) B 
25) A