Licoes-de-Matematica-Basica--Sebastiao-Firmo-139

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Respostas
A expressão:
• é positiva em: (−24 , 3) ;
• se anula em: −24 ;
• é negativa em: (−∞ ,−24)∪(3 ,∞) .
(e) Doḿınio: R− {±1}.
A expressão:
• é positiva em: (−∞ ,−1) ∪ (1 , 2) ;
• se anula em: 2 ;
• é negativa em: (−1 , 1) ∪ (2 ,∞) .
2. (a) Doḿınio: R− {±1}.
A expressão:
• é positiva em:
(−∞ ,−1) ∪ (−1 , 1) ∪
(
1+
√
5
2 ,∞
)
;
• se anula em: 1+
√
5
2 ;
• é negativa em:
(
1 , 1+
√
5
2
)
.
(b) Doḿınio: R− {±2}.
A expressão:
• é positiva em: (−
√
6 ,−2)∪(2 ,
√
6 ) ;
• se anula em: ±
√
6 ;
• é negativa em:
(−∞ ,−
√
6 ) ∪ (−2 , 2) ∪ (
√
6 ,∞) .
(c) Doḿınio: R− {−1}.
A expressão:
• é positiva em: (−∞ ,−1) ∪ (−1 , 0) ;
• se anula em: 0 ;
• é negativa em: (0 ,∞) .
(d) Doḿınio: R− {1 ,−3}.
A expressão:
• é positiva em:(
3−
√
5
2 , 1
)
∪
(
3+
√
5
2 ,∞
)
;
• se anula em: 3±
√
5
2 ;
• é negativa em:
(−∞ ,−3) ∪
(
− 3 , 3−
√
5
2
)
∪
(
1 , 3+
√
5
2
)
.
3. Doḿınio: R− {2}.
A expressão:
• é positiva em: (−∞ ,−2) ∪ (2 , 3) ;
• se anula em: −2 e 3 ;
• é negativa em: (−2 , 2) ∪ (3 ,∞) .
4. (a) Doḿınio:
(
−∞ ,− 3√
2
]
∪
[
3√
2
,∞
)
.
A expressão:
• é positiva em:
(
−∞ ,− 3√
2
]
∪(3 ,∞).
• se anula em: 3 ;
• é negativa em:
[
3√
2
, 3
)
.
(b) Doḿınio:
(
−∞ ,− 3√
2
]
∪
[
3√
2
,∞).
A expressão:
• é positiva em: nenhum ponto ;
• não se anula ;
• é negativa em todo seu doḿınio.
(c) Doḿınio: (−∞ , 0 ] ∪ [ 3 ,∞).
A expressão:
• é positiva em: (−∞ , 0 ] ;
• não se anula ;
• é negativa em: [ 3 ,∞) .
(d) Doḿınio: [−1 , 3/2 ].
A expressão:
• não é positiva em nehum ponto ;
• se anula em: −7/9 ;
• é negativa em:
[
−1 ,−7
9
)
∪
(
− 7
9 ,
3
2
]
.
(e) Doḿınio: [−10 ,∞).
A expressão:
• é positiva em: (−9 ,∞) ;
• se anula em: −9 ;
• é negativa em: (−10 ,−9).
406
Respostas
5. Sejam a , b ∈ R∗. Vamos separar a res-
posta em dois casos.
Caso I: a , b > 0.
Doḿınio: (0 ,∞).
A expressão:
• é positiva em: (9ab/4 ,∞) ;
• se anula em 9ab/4 ;
• é negativa em: (0 , 9ab/4) .
Caso II: a , b < 0.
Doḿınio: (−∞ , 0).
A expressão:
• é positiva em: (−∞ ,−9ab/4) ;
• se anula em −9ab/4 ;
• é negativa em: (−9ab/4 , 0) .
Note que a expressão não fica bem defi-
nida quando a e b têm sinais contrários.
6. Doḿınio: (−∞ ,−2 ] ∪ [ 1 ,∞).
A expressão:
• é positiva em: (−∞ ,−2] ∪ (2 ,∞) ;
• se anula em: 2 ;
• é negativa em: [ 1 , 2 ) .
7. Doḿınio:(
−∞ ,−1+
√
17
4
]
∪
[−1+√17
4 ,∞
)
.
A expressão:
• é positiva em:(
−∞ ,−1+
√
17
4
]
∪ ( 1 ,∞) ;
• se anula em x = 1 ;
• é negativa em:
[−1+√17
4 , 1
)
.
8. O erro ocorre quando usamos a re-
gra para estudo de sinais, enunciada na
página 218.
Essa regra só pode ser usada quando a
expressão varia continuamente em seu
doḿınio de definição. E a expressão
[x]− 1
2 não tem essa propriedade. Você
estudará a continuidade dessa expressão
em Cálculo I.
9. (a) Doḿınio:
[
1−
√
3 , 1
)
∪
[
1+
√
3 ,∞
)
.
(b) Se anula em: 1±
√
3 .
10. (a) A expressão:
• é positiva em:
(−∞ ,−2) ∪
(
− 1
2 , 0
)
∪ (0 , 1) ∪
(
3
2 , 2
)
;
• é negativa em:(
− 2 ,−1
2
)
∪
(
1 , 32
)
∪ ( 2 ,∞).
(b) se anula em −1/2 e 3/2.
11. (a) (−∞ ,−2) ∪ (0 , 2).
(b) (−2 , 0 ] ∪ (2 , 4) ∪ (4 ,∞).
(c) (−2 , 0) ∪ (0 , 2).
(d) (−∞ ,−2) ∪ (−2 , 0 ].
(e) (−∞ ,−2) ∪ (0 , 2)
(f) (−1 , 1) ∪ (3 , 5) ∪ (5 ,∞).
12. O quadro de sinais de uma expressão
F (x) (mesmo variando continuamente)
não nos fornece informações suficientes
para resolver a equação F (x) = 2. Os
dois gráficos a seguir mostram expressões
cujo quadro de sinais coincide com o da
expressão F (x). No primeiro deles a
equação F (x) = 2 não tem soluções
(F (x) nunca assume o valor 2), mas no
segundo, a equação F (x) = 2 tem uma
infinidade de soluções, a saber, o todos
os pontos do intervalo (−∞ ,−2).
−2 2 4
1
−1
407
Respostas
−2 2 4
2
−2
Esses dois gráficos também servem para
mostrar que não podemos concluir quan-
tas soluções tem a equação F (x) = 2
tendo apenas o quadro de sinais como
informação. De fato, esses dois gráficos
nos mostram que nem mesmo podemos
concluir se a equação F (x) = 2 tem ou
não soluções.
Os dois gráficos apresentados são
gráficos de expressões que variam conti-
nuamente em seus doḿınios de definição.
13. Podemos concluir que:
• −1 < F (x) < 0 em (−2 , 0) ;
• −1 < F (x) < 0 em (−4 ,∞) .
14. (ai) R− {−2 ,−1 , 2 , 4} ;
(aii) R− {−2 ,−1 , 2 , 4} ;
(aiii) R− {−2 ,−1 , 2 , 4 , 0 , 3}.
(bi) A expressão:
• é positiva em:
(−∞ ,−2) ∪ (−1 , 0) ∪ (3 , 4) ∪ (4 ,∞) ;
• se anula em: 0 e 3 ;
• é negativa em:
(−2 ,−1) ∪ (0 , 2) ∪ (2 , 3) .
(bii) A expressão:
• é positiva em:
(−2 ,−1) ∪ (3 , 4) ;
• não se anula ;
• é negativa em:
(−∞ ,−2) ∪ (−1 , 0) ∪ (0 , 2) ∪ (2 , 3) .
(c) Soluções:
(ci) (−2 ,−1) ∪ [ 0 , 2) ∪ (2 , 3 ] ;
(cii) (−2 ,−1) ∪ (3 , 4) ∪ (4 ,∞).
(d) Novamente, tendo como informação
apenas o quadro de sinais da expressão
F (x) não podemos montar o quadro de
sinais de F (x)−2 . Os dois gráficos a se-
guir são de expressões que têm o mesmo
quadro de sinais que F (x). No entanto,
o quadro de sinais dos seus transladados
por −2 são bastante distintos.
Gráfico de F (x)
−2 2 4
2
−2
Gráfico de F (x)− 2
−2 2 4
−2
−4
Note que a expressão F (x) − 2 exibida
no gráfico acima, é nula em (−∞ ,−2)
e negativa em (−2 , 2) .
A seguir apresentamos uma outra ex-
pressão com o mesmo quadro de sinais
que F (x) e tal que o quadro de sinais
de F (x)−2 é diferente daquele que exi-
bimos no primeiro exemplo.
Gráfico de F (x)
−2 2 4
3
−3
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