Funções e Gráficos Matemáticos

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II - FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS
MATEMÁTICA BÁSICA
MBAutor: Rodrigo Nogueira de Codes
Zeros
Sabe-se que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que assume um valor extremo (máximo 
ou mínimo).
Um número ym ϵ Im(f) é o valor mínimo da função y = f(x) quando ym≤ y para qualquer ponto y dessa 
função onde ym ϵ Im(f). O valor de xm ϵ D(f) e ym= f(xm). O ponto (xm, ym) é o mínimo da função.
Um número yM ϵ Im(f) é o valor máximo da função y = f(x) quando yM ≥ y para qualquer ponto y dessa 
função onde yM ϵ Im(f). O valor de xM ϵ D(f) e yM= f(xm). O ponto (xM, yM) é o máximo da função.
Quando a > 0, a função terá concavidade para cima, ou seja, ter-se-á um ponto mínimo no gráfico e o 
mesmo é o vértice da função (indicado como Yv na Figura 2.17a), onde e 
Por outro lado, se na função quadrática, a < 0, a concavidade da mesma será para baixo e nesse caso, 
ter-se-á um ponto máximo para a função que é o seu vértice (indicado como Yv na Figura 2.17b), onde 
Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, logo 
são as soluções da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0.
Usando a forma canônica,
Observa-se que se ∆ > 0 , a equação terá duas raízes reais e distintas que são:
o que significa dizer que no gráfico, a parábola irá cortar em dois pontos o eixo x.
Caso ∆ = 0, as duas raízes da equação do 2º grau serão iguais:
Logo, a parábola, nesse caso, irá cortar em um ponto o eixo x, no seu vértice (ponto de máximo ou ponto 
de mínimo) que será visto em detalhes mais adiante.
E no terceiro caso, em que ∆ < 0, onde nesse caso ∉ , a equação não possui raízes reais. A parábola 
não irá cortar o eixo x em nenhum ponto.
Máximo e mínimo: vértice da parábola
+–
+–
∆
∆
∆
∆
∆
∆
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II - FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS
MATEMÁTICA BÁSICAMB Autor: Rodrigo Nogueira de Codes
Para a demonstração desses valores, considera-se primeiramente a função quadrática na sua forma canônica 
Considerando a < 0, e observando que , para qualquer valor de x, pois a expressão está ao 
quadrado. Além disso é um valor constante para uma dada função “y” e assumirá um valor máximo 
quando a diferença for a menor possível (negativa) e a é negativo. Ao se multipli-
carem esses valores, teremos um valor máximo e positivo. Como o primeiro termo é sempre positivo, a 
menor diferença desse termo será, então, quando , ou seja, quando . Para :
 
Quando a > 0, a determinação do ponto mínimo é demonstrada de forma análoga.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. Determine os valores máximo ou mínimo das seguintes funções reais: 
a)f(x) = 5x2 – 5x - 9 b) f(x) = -2x2 + 2x + 
Resposta: 
a) Para o primeiro item, tem-se que: a = 5; b = -5 e c = -9.
∆ = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.5.(-9)⇒ ∆ = 205
Como a = 5 > 0, a função admite um valor mínimo, onde:
2)Para o segundo item, tem-se que: a = -2; b = 2 e 
∆ = b2 – 4ac = (2)2 – 4 ⋅ (-2) ⋅ 
Como a = -2 < 0, a função admite um valor máximo, onde:
∆
∆ ∆
∆