Funções Compostas e Inversas

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Pré-Cálculo 2024-1 EP 07 1 de 18 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2024-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP07 –Função Composta. Função Inversa 
_____________________________________________________________________________________ 
Caro aluno. 
Vamos estudar as Funções Compostas! É um tema muito importante. Leiam com bastante atenção as 
observações. Vocês lerão, por exemplo, que para encontrar o domínio da função composta não basta 
encontrar o domínio da expressão da função composta. Fiquem atentos a essas observações. 
Você ainda verá a definição de função inversa e como identificar se uma função admite inversa. 
Aprenderá a encontrar a função inversa e o gráfico da função inversa. 
Esse assunto é a base para estudar as funções trigonométricas inversas e a função logarítmica que serão 
estudadas nas próximas semanas. 
 
FUNÇÕES COMPOSTAS 
Já vimos que podemos combinar duas funções 𝑓 e 𝑔 para formar novas funções. Por exemplo: 
𝑓 + 𝑔 , 𝑓 − 𝑔 , 𝑓 × 𝑔 ,
 𝑓 
𝑔
 . 
Vamos falar de uma outra de forma de combinar duas funções 𝑓 e 𝑔: composição de funções. 
Em geral, dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, para construir a nova função, que chamamos de 𝑓 composta com 
𝑔 e denotamos por 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑓 bola 𝑔), começamos com um número 𝑥 no domínio de 𝑔 e encontramos 
sua imagem 𝑔(𝑥). Se esse número 𝑔(𝑥) estiver no 𝐷𝑜𝑚(𝑓), então podemos calcular o valor de (𝑓 ∘
𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). E é assim que construímos essa nova função, a composição (ou composta) de 𝑓 e 𝑔, 
denotada por 𝑓 ∘ 𝑔. 
 
 
Preste atenção: A notação 𝑓 ∘ 𝑔 significa que a primeira função a ser aplicada é a 𝒈 e depois é 
a função 𝒇. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, temos a definição: 
Dadas 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ ℝ e 𝑔: 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ⟶ ℝ , a composição (ou composta) de 𝑓 e 𝑔 
é a função: 
𝑓 ∘ 𝑔: 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ⟶ ℝ definida por: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), tal que 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓). 
 
O domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto dos 𝑥 no domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓 . 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ∘ 𝑔) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔): 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)} = 
= {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)} ∩ {𝑥: 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)} 
Note que, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
 
Você também pode procurar o domínio da função composta, por exemplo 𝑓 ∘ 𝑔 , da seguinte forma: 
▪ Primeiro: analisar a expressão da função 𝑓 ∘ 𝑔 para encontrar o conjunto 𝑪 
 dos números reais que satisfazem essa expressão, isto é, 
 encontrar o domínio da expressão da função composta. 
▪ Segundo: é preciso comparar esse conjunto 𝑪 com 𝑫𝒐𝒎(𝒈), pois 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
 Quando 𝑪 não é igual ao 𝐷𝑜𝑚(𝑔) e 
 nem está contido no 𝐷𝑜𝑚(𝑔), 
 então 𝑫𝒐𝒎(𝒇 ∘ 𝒈) = 𝑪 ∩ 𝑫𝒐𝒎(𝒈). 
 
PRESTE BEM ATENÇÃO Para encontrar o domínio da função composta não basta encontrar o 
domínio da expressão da função composta. Os exemplos 6 e 7, a seguir, 
ilustrarão bem essa situação. 
EXEMPLO 1: Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
Encontre as expressões (ou leis de formação) das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e 
seus respectivos domínios. 
Encontrando a expressão (ou lei de formação) de cada composta: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)3 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥3) = 𝑥3 − 2 
Note que 𝑓 ∘ 𝑔 é a função que primeiro subtrai 2 e então eleva ao cubo e 𝑔 ∘ 𝑓 é a função que primeiro 
eleva ao cubo e então subtrai 2 . 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 são funções polinomiais, então: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑔) = ℝ 
As expressões das funções 𝑓 e 𝑔 que definem as funções compostas (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 2)3 e 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥3 − 2 também são polinômios e portanto, não temos restrições a fazer: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ e 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
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EXEMPLO 2: Considere a função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1, com domínio restrito a 𝑥 ≥ 0 e a função 𝑓(𝑥) =
 √𝑥 . 
Encontre as expressões (ou leis de formação) das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e 
seus respectivos domínios. 
Resolução: 
Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑥 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞) e sendo 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1, 𝑥 ≥ 0, então 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,∞). 
Determinando a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 : (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 − 1) = √𝑥2 − 1 . 
Para determinar o domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 , primeiro, vamos determinar o domínio da expressão da função 
composta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1 .. 
É preciso que 𝑥2 − 1 ≥ 0 , para que √𝑥2 − 1 seja calculada. 
Como o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 1 é uma parábola de concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do 
termo 𝑥2 é 1 > 0 e de raízes 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1, então 𝑥2 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1. 
Portanto o domínio da expressão da composta 𝑓 ∘ 𝑔 é (−∞ ,−1] ∪ [1 , +∞) . 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0 , +∞) , então 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = [(−∞ ,−1] ∪ [1 , +∞)] ∩ [0 , +∞) = [1 , +∞). 
Observe que nesse caso, o domínio da composta é diferente do domínio da função que começou a 
composição, ou seja, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = [1 , +∞) ≠ [0 , +∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
Determinando a expressão de 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥 ) = (√𝑥 )
2
− 1 = 𝑥 − 1 . 
Para determinar o domínio de 𝑔 ∘ 𝑓 , primeiro, observamos que o domínio da expressão da função 
composta (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 − 1 é ℝ. 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞) , então, 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ ∩ [0 , +∞) . 
Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = [0 , +∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) . 
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EXEMPLO 3: Sejam 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥−1
 𝑒 𝑔 (𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
. 
Encontre as expressões das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e seus respectivos 
domínios. 
Sendo 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥−1
 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {1} e sendo 𝑔(𝑥) = 
𝑥−1
𝑥+1
 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {−1}. 
 
Determinando a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 : 
(𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( 
𝑥 − 1
𝑥 + 1
) = 
1
 
𝑥 − 1
𝑥 + 1 − 1 
= 
1
 
𝑥 − 1 − (𝑥 + 1)
𝑥 + 1 
= 
𝑥 + 1
−2
= −
1
2
 (𝑥 + 1) 
Para determinar o domínio de 𝑓 ∘ 𝑔, primeiro, observamos que o domínio da expressão da função 
composta (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = −
1
2
 (𝑥 + 1) é ℝ . 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {−1} , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ ∩ ℝ − {−1} = ℝ − {−1}. 
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Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ℝ − {−1} = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) . 
Determinando a expressão de 𝑔 ∘ 𝑓 : 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 ( 
1
𝑥 − 1
) = 
1
𝑥 − 1 − 1
 
1
𝑥 − 1 + 1 
= 
1 − (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
 
1 + (𝑥 − 1)
𝑥 − 1 
= 
−𝑥 + 2
𝑥
 
Primeiro, observamos que o domínio da expressão da função composta (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) =
−𝑥+2
𝑥
 é ℝ− {0}. 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {1} , então 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0} ∩ ℝ − {1} = ℝ − {0 , 1} . 
Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0 , 1} ≠ ℝ − {1} = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) . 
 
Preste atenção: Dos exemplos anteriores concluímos que em geral, 
 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 
Portanto, a ordem na qual as funções são compostas, em geral, faz 
diferença. A operação de composição de funções não é comutativa. 
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EXEMPLO 4:Para cada uma das funções abaixo, escreva ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), com 𝑓 e 𝑔 diferentes da 
identidade.a) ℎ(𝑥) = (𝑥3 + 5)7 b) ℎ(𝑥) = √1 − 𝑥2 c) ℎ(𝑥) = 
2
𝑥−3
 d) ℎ(𝑥) = 2|𝑥| − 5 
 
Resolução: 
 
a) Se ℎ(𝑥) = (𝑥3 + 5)7 então 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 5 e 𝑓(𝑥) = 𝑥7. De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥3 + 5) = (𝑥3 + 5)7 . 
b) Se ℎ(𝑥) = √1 − 𝑥2 então 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥2 e 𝑓(𝑥) = √𝑥 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 − 𝑥2) = √1 − 𝑥2 . 
c) Se ℎ(𝑥) =
2
𝑥−3
 então 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 e 𝑓(𝑥) =
2
𝑥 
 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = 
2
 𝑥−3 
 . 
d) Se ℎ(𝑥) = 2|𝑥| − 5 então 𝑔(𝑥) = |𝑥| e 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥| ) = 2|𝑥| − 5 . 
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EXEMPLO 5:Considere as funções: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 𝑔(𝑥) = {
1
 𝑥 
 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
√𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
a) Encontre as expressões das funções ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) e 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥). 
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b) Esboce os gráficos de 𝑓 , 𝑔 , 𝑓 ∘ 𝑔 , 𝑔 ∘ 𝑓 . 
Resolução: 
a) Vamos encontrar a expressão de ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) . 
Vamos considerar a partição do domínio da função ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) , como a partição do domínio da 
função 𝑔 , a função que inicia a composição: 
▪ Se 𝑥 < 0 ∶ então 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( 
1
𝑥
 ) = −
1
𝑥
 , se 𝑥 < 0 então 
1
𝑥
< 0 também. 
▪ Se 𝑥 > 0 ∶ então 𝑔(𝑥) = √𝑥 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓( √𝑥 ) = (√𝑥 )
2
(𝑝𝑜𝑖𝑠, √𝑥 > 0 ) = 𝑥 , 
▪ Se 𝑥 = 0 então 𝑔(0) = √0 = 0 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(√0 ) = 𝑓(0) = 02 = 0 . Logo, 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = {−
1
𝑥
 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Vamos considerar a partição do domínio da função 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) , como a partição do domínio da 
função 𝑓 , a função que inicia a composição: 
▪ Se 𝑥 < 0 ∶ então 𝑓(𝑥) = −𝑥 e 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−𝑥 ) = √−𝑥 , se 𝑥 < 0 então − 𝑥 > 0 e temos que 
usar a lei de formação da função 𝑔 para valores positivos da variável de 𝑔 . 
▪ Se 𝑥 > 0 ∶ então 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e: 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2) = √𝑥2 = |𝑥| = 𝑥 , pois, como 𝑥2 > 0 , temos 
que usar a lei de formação da função 𝑔 para valores positivos da variável de 𝑔 . Sendo 
inicialmente 𝑥 > 0 , |𝑥| = 𝑥 . 
▪ Se 𝑥 = 0 então 𝑓(0) = 02 = 0 e 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(02) = √0 = 0 . Logo, 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = {√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
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b) Vamos esboçar os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 6: 
Use os gráficos dados de 𝑓 e 𝑔 para determinar o valor de cada uma das expressões abaixo ou para 
explicar por que elas não estão definidas. 
a) (𝑔 ∘ 𝑓)(2) b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) 
c) 𝑔(𝑓(0)) d) (𝑔 ∘ 𝑓)(6) 
e) 𝑔(𝑔(−2)) f) 𝑓(𝑓(2)) 
Resolução: 
As informações para resolver os itens acima serão 
encontradas nos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 ao 
lado. Dado um valor para a abscissa 𝒙 é só 
procurar a ordenada 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥) 
correspondente, conforme seja o caso e se existir, 
é claro! 
a) (𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 𝑔(𝑓(2)) = 𝑔(−2) = 1 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(3) = 0 
c) 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(0) = 3 
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d) (𝑔 ∘ 𝑓)(6) = 𝑔(𝑓(6)) = 𝑔(6). Como 𝑥 = 6 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então a composição (𝑔 ∘ 𝑓)(6) não 
pode ser calculada. 
e) 𝑔(𝑔(−2)) = 𝑔(1) = 4 
f) 𝑓(𝑓(2)) = 𝑓(−2) . Como 𝑥 = −2 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , então a composição (𝑓 ∘ 𝑓)(2) não pode ser 
calculada. 
 
Funções Inversas 
 
Para falar de Função Inversa precisamos do conceito de função um a um. 
Definição: Uma função 𝑓 ∶ 𝐷 ⟶ ℝ é dita injetiva, ou um a um, se nunca assume o mesmo valor 
duas vezes, isto é: 
 se 𝑥1 ∈ 𝐷 , 𝑥2 ∈ 𝐷 𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 então 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ) 
ou, também podemos dizer da seguinte forma: 
 Uma função 𝑓 ∶ 𝐷 ⟶ ℝ é dita injetiva, ou um a um, 
 se 𝑥1 ∈ 𝐷 , 𝑥2 ∈ 𝐷 , e 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) então 𝑥1 = 𝑥2 . 
Observação: Gostaríamos de chamar a atenção que os termos: “um-a-um”, “injetora”, “injetiva”, 
“biunívoca” têm todos o mesmo significado. 
Se conhecemos o gráfico da função, então para verificar se a função é um a um podemos usar o Teste da 
Reta Horizontal, que diz: 
 
Teste da Reta Horizontal: Uma função é um a um se e somente se toda reta horizontal intersecta seu 
gráfico no máximo em um ponto. 
 
 
 
EXEMPLO 1: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, definida para todos os reais, é um-a-um? 
 
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Não! Esta função não é injetiva. Basta ver, por exemplo, que 
𝑓(−2) = (−2)2 − 1 = 3 = 22 − 1 = 𝑓(2). 
Portanto, −2 e 2 têm a mesma imagem. 
Também podemos chegar a essa mesma conclusão vendo 
que existem retas horizontais que intersectam o gráfico de 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 mais de uma vez. Portanto, pelo Teste da Reta 
Horizontal, 𝑓 não é uma função um-a-um. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXEMPLO 2: A função 𝑔(𝑥) = 𝑥3, definida para todos os reais, é um-a-um? 
Sim! Esta função é injetiva. 
Sejam 𝑥1 e 𝑥2 números reais. 
Suponhamos que ( 𝑥1 )
3 = ( 𝑥2 )
3. 
Sabemos que se dois números reais são iguais então eles 
têm a mesma raiz cúbica. 
Logo, √( 𝑥1 )3
3
= √( 𝑥2 )3
3
 ⟹ 𝑥1 = 𝑥2 . 
Também, do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑥3 , vemos que toda 
reta horizontal intersecta esse gráfico em apenas um ponto. 
Portanto, pelo Teste da Reta Horizontal, 𝑔 é uma função um-a-um. 
As funções um-a-um são importantes, pois são exatamente essas funções que possuem inversa. 
 
Definição: Seja 𝑓 uma função um a um com domínio 𝐴 e imagem 𝐵 . Esta função é inversível. Sua 
função inversa 𝑓−1 tem domínio 𝐵 e imagem 𝐴 , e é definida por: 
 𝑓−1(𝑏) = 𝑎 ⟺ 𝑓(𝑎) = 𝑏 , para todo 𝑏 ∈ 𝐵 . 
Essa definição diz que: 
𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 e 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴 
 se 𝑓 "leva" 𝑎 em 𝑏 então 𝑓−1 "traz" 𝑏 "de volta" em 𝑎 
𝑓(𝑎) = 𝑏 ⟺ 𝑓−1(𝑏) = 𝑎 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓−1) e 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = 𝐼𝑚(𝑓) 
 
Pré-Cálculo 2024-1 EP 07 9 de 18 
Do quadro acima temos que, 𝑓(𝑎) = 𝑏 ⟺ 𝑓−1(𝑏) = 𝑎. 
Assim, o ponto (𝑎, 𝑏) está no gráfico da função 𝑓 , se, e somente se, o ponto (𝑏, 𝑎) está no gráfico da 
função 𝑓−1 . 
Lembremos que os pontos (𝑎, 𝑏) e (𝑏, 𝑎) são simétricos com relação à reta 𝑦 = 𝑥 . Dado um deles, 
faz-se a sua reflexão com relação à reta 𝑦 = 𝑥 , para obter o outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
O gráfico de 𝑓−1 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝑓 em torno da reta 𝑦 = 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação Importante: Na definição de função inversa supomos que o conjunto 
 𝐵 = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓. 
Mas, em alguns livros isso não e´ suposto, nesse caso fica subtendido que 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, isso 
significa que 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓 ⊂ 𝐵 (o conjuntoimagem pode ter menos elementos que o conjunto 
contradomínio ou ambos podem ter os mesmos elementos). Quando os dois têm os mesmos elementos, 
isto é, quando 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, diz-se que a função 𝑓 é sobrejetora (ou 
sobrejetiva). Por esse motivo, nos livros que é suposto apenas que 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, para que a 
função admita inversa é preciso admitir que, além de ser injetora, que ela também seja sobrejetora. 
 
Uma outra definição para FUNÇÃO INVERTÍVEL, equivalente a que foi apresentada aqui neste EP, é a 
definição adotada no livro de Pré-Cálculo, Vol.2, Módulo 4, Aula 27, página 149. É a seguinte: 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2024-1 EP 07 10 de 18 
“Definição 27.1 1 do livro” 
Uma função 𝑓 é chamada invertível, quando existe uma função 𝑔 , tal que 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 e (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑦) = 𝑦 
para todos 𝑥 e 𝑦 onde as composições estão definidas. A função 𝑔 quando existe, é chamada 
inversa de 𝑓 e é designada por 𝑓−1. 
 
É bastante interessante termos conhecimento dessas duas definições, pois poderemos, nos nossos 
exercícios, fazer uso da definição que for mais conveniente. 
Segundo a definição que apresentamos aqui neste EP, temos que: 
para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) : 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦 
Logo, 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑦) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑓(𝑥) = 𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) 
 
𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) 
Ou seja, 
 
A primeira lei diz que se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e em seguida 𝑓−1 , obteremos de volta 𝑥. Assim, 
𝑓−1 desfaz o que 𝑓 faz. 
E 𝑓 desfaz o que 𝑓−1 faz. 
 
 EXEMPLO 3: Suponha que 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 seja a função definida 
segundo o diagrama: 
a) 𝑓 é um-a-um? 
b) Encontre 𝑓−1(5), 𝑓−1(7), 𝑓−1(−10). 
O diagrama mostra que valores distintos do domínio têm imagens 
distintas, logo 𝑓 é um-a-um e, portanto, é inversível. 
Do diagrama, concluímos que: 
𝑓−1(5) = 1, 𝑓−1(7) = 3, 𝑓−1(−10) = 8. Uma ilustração: 
 
Preste muitíssima atenção: 
 
−1 que aparece em 𝑓−1 NÃO é um expoente, é uma notação. 
𝑓−1(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 
1
𝑓(𝑥)
 ! 
1
𝑓(𝑥)
= (𝑓(𝑥))
−1
 é o número real 𝑓(𝑥) elevado a potência −1. 
Conclusão: 𝑓−1(𝑥) ≠ (𝑓(𝑥))
−1
 
 
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Se a noção de função inversa ficou bem clara, vemos que somos capazes de responder as seguintes 
questões: 
EXEMPLO 4: Sabendo que 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥 + 3 é inversível, encontre 𝑦, tal que 𝑓−1(𝑦) = 1. 
Mesmo sem conhecer a expressão da função inversa 𝑓−1, podemos responder a questão acima, pois, 
 𝑓−1(𝑦) = 1 ⟺ 𝑓(1) = 𝑦 
Assim, 𝑦 = 𝑓(1) = 2 ∙ 13 + 5 ∙ 1 + 3 = 10. 
Observação: por enquanto não sabemos como verificar que essa função é inversível, pois ainda não 
sabemos como esboçar o gráfico dessa função. Em Cálculo I você vai aprender como esboçar o gráfico e 
vai verificar que o gráfico dessa função passa pelo teste da reta horizontal. 
Outra questão que podemos responder: 
EXEMPLO 5: Sabendo que 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥 + 3, encontre o valor de 𝑓−1(3). 
Sabemos que, 𝑓−1(3) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 3 
Basta resolver a equação 3 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥 + 3. 
Mas, 
2𝑥3 + 5𝑥 + 3 = 3 ⟺ 2𝑥3 + 5𝑥 = 0 𝑥(2𝑥2 + 5) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 , pois 2𝑥2 + 5 > 0. 
Portanto, já que 𝑓(0) = 3 então 𝑓−1(3) = 0. 
Como achar a Função Inversa de uma função 𝑓 um a um? 
1- Escreva 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
2- Resolva essa equação para 𝑥 em termos de 𝑦 (se possível). 
3- Para expressar 𝑓−1 como uma função de 𝑥 , troque 𝑥 por 𝑦. 
 A equação encontrada é 𝑦 = 𝑓−1(𝑥). 
 
EXEMPLO 6: Considerando, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 tem inversa? 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 não tem inversa, pois não é um a um. 
O gráfico ao lado mostra que essa função não satisfaz o 
Teste da Reta Horizontal. Vemos, por exemplo, que. 
𝑓(−2) = 4 = 𝑓(2). 
Mas, as funções 𝑓1: [0,∞) ⟶ [0,∞) 
 𝑥 ↦ 𝑥2 
 e 𝑓2: (−∞, 0] ⟶ [0,∞) 
 𝑥 ↦ 𝑥2 
 
 
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cujos gráficos são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
são funções um a um e portanto, admitem inversas, 
𝑓1
−1: [0,∞) ⟶ [0,∞) 𝑓2
−1: [0,∞) ⟶ (−∞, 0] 
Vamos encontrar as expressões dessas inversas. 
Escrevemos 𝑦 = 𝑥2 e resolvemos essa equação para 𝑥: 
𝑦 = 𝑥2 ⟹ √𝑦 = √𝑥2 ⟹ √𝑦 = |𝑥|. Então, 
𝑥 = √𝑦, se 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ou −𝑥 = √𝑦, se 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0. 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos: 
𝑦 = √𝑥 , se 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 ou 𝑦 = −√𝑥 , se 𝑦 ≤ 0 , 𝑥 ≥ 0. 
𝑦 = √𝑥, se 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ou 𝑦 = −√𝑥, se 𝑦 ≤ 0, 𝑥 ≥ 0. 
 
 
Como 𝐼𝑚(𝑓1
−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = [0,∞), 
então 𝑦 = 𝑓1
−1(𝑥) ≥ 0 e assim a função 
inversa de 𝑓1 será 𝑓1
−1(𝑥) = √𝑥 , que é um 
número sempre positivo ou nulo. 
 
 
 
 
Temos que 𝐼𝑚(𝑓2
−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = (−∞ , 0] então 𝑦 = 𝑓2
−1(𝑥) ≤ 0 e assim a função inversa de 
 𝑓2 será 𝑓2
−1 (𝑥) = −√𝑥 , que é um número sempre negativo ou nulo. 
 
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Note que os gráficos de 𝑓1 e 𝑓1
−1 são simétricos com relação à reta 𝑦 = 𝑥. O mesmo acontece com os 
gráficos das funções 𝑓2 e 𝑓2
−1. 
 
Vamos apresentar dois resultados importantes que relacionam os conceitos de função crescente ou 
função decrescente com função injetora, função invertível. 
Vamos lembrar que se o contradomínio de uma função 𝒇 coincide com a imagem dessa função 𝒇, isto é, 
se 
𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ , então dizemos que a função 𝑓 dada é sobrejetora. 
Resultados: 
Seja 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ 
• (I) A função 𝑓 é crescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é injetora no intervalo 
 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é invertível no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ . 
• (II) A função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é injetora no intervalo 𝐼 ⊂
ℝ ⟹ a função 𝑓 é invertível no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ . 
Observamos que é bastante útil os resultados acima. Se tiver curiosidade, veja a prova desses resultados, 
dadas a seguir. 
Para provar vamos lembrar as seguintes definições: 
❖ A função 𝑓 é crescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
❖ A função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 
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❖ A função 𝑓 é injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 
Também precisamos lembrar a seguinte propriedade que vamos simbolizar por propriedade (*): 
Dada uma função 𝑓 sobrejetora, vale a propriedade: 
a função 𝑓 é invertível no intervalo I ⊂ ℝ ⟺ a função 𝑓 é injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. 
Agora vamos provar as Propriedades (I) e (II) acima, começando por (I). 
Estamos supondo que 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ e que a função 𝑓 é crescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. 
Para provar que a função 𝑓 será injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, precisaremos verificar que é verdadeiro 
que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Mas, 𝑥1 ≠ 𝑥2 significa que apenas um dos dois casos é verdadeiro: 
 (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 ou (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2. 
Caso (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 
𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Logo, nesse caso está provado que a função é injetora em 𝑰 ⊂ ℝ. 
Caso (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2 ⟹ 𝑥2 < 𝑥1 
𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1)⟹ 𝑓(𝑥2) ≠ 𝑓(𝑥1). 
Logo está provado que em qualquer um dos dois casos, a função 𝒇 é injetora em 𝑰 ⊂ ℝ. 
Agora, 𝑓 injetora em 𝐼 ⊂ ℝ 
 (∗) 
⇒ função 𝑓 invertível em I ⊂ ℝ. (cqd) 
A prova da propriedade (II) é semelhante, substitua as interrogações, como exercício: 
Suponha que 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ e que a função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. 
Para provar que a função 𝑓 será injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ , precisaremos verificar que é 
verdadeiro que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ , 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ ? ? ? ? ? ? ? 
Mas, 𝑥1 ≠ 𝑥2 significa que apenas um dos dois casos é verdadeiro: 
(𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 ou (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2. 
Caso (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 
𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ ? ? ? ? ? ? ? ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Logo nesse caso está provado que a função é injetora em 𝐼 ⊂ ℝ. 
Caso (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2 ⟹ 𝑥2 < 𝑥1 
𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ ? ? ? ? ? ? ⟹ 𝑓(𝑥2) ≠ 𝑓(𝑥1). 
Logo está provado que em qualquer um dos dois casos, a função 𝑓 é injetora em 𝐼 ⊂ ℝ. 
Agora, 𝑓 injetora em 𝐼 ⊂ ℝ 
 (∗) 
⇒ função 𝑓 invertível em I ⊂ ℝ. (cqd) 
 
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E agora, aos exercícios: 
 
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Exercício 1: Complete a tabela a seguir e dê os domínios das respectivas (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 
 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
a) 𝑥 − 7 √𝑥 ? 
b) 
𝑥
 𝑥 − 1 
 
𝑥
 𝑥 − 1 
 ? 
c) 
1
 𝑥 
 ? 𝑥 
d) ? 2𝑥 + 1 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 
e) 𝑥2 − 4𝑥 ? |𝑥 − 2| 
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Exercício 2: Para cada uma das funções abaixo, escreva 
𝑗(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), com f e g diferentes da identidade. 
a) 𝑗(𝑥) = (1 + 𝑥4)
2
3 b) 𝑗(𝑥) =
1
√𝑥−𝑥3
5 
c) 𝑗(𝑥) = |𝑥 − 4| − 1 
 
 d) 𝑗(𝑥) = 𝑥2 + |𝑥| − 6 
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Exercício 3: 
I) Sejam 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
 𝑥+1 
 e 𝑔(𝑥) =
1
 𝑥−1 
 
a) Encontre (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) e (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 
b) O domínio natural da função ℎ(𝑥) = 
3−𝑥
𝑥
 é o mesmo da função (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ? Explique. 
 
II) Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 5(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) . Se 𝑔(1) = 2 , obtenha os valores de: 
a) 𝑔(2) b) 𝑔(3) c) 𝑔(0) d) 𝑔(−1). 
e) Conhecendo os valores de 𝑔(3) , 𝑔(2) , 𝑔(1) , 𝑔(0) , 𝑔(−1) , você é capaz de intuir uma fórmula 
para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ ? 
Nesse momento do curso, você ainda não pode provar uma lei para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ , mas é importante 
tentar fazer uma conjectura, uma proposta, já é um primeiro passo. 
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Exercício 4: Considere as funções: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 
−(𝑥 − 1)2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 𝑔(𝑥) = {−√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
a) Encontre as expressões das funções ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) e 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) . 
b) Esboce os gráficos de 𝑓 , 𝑔 , 𝑓 ∘ 𝑔 , 𝑔 ∘ 𝑓 . 
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Exercício 5: 
Use os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e determine 
o valor de cada uma das expressões apresentadas nos itens 
abaixo. Justifique sempre que não for possível determinar 
algum desses valores. 
a) (𝑓 ∘ 𝑔 )(2) b) (𝑓 ∘ 𝑔 )(0) 
c) 𝑔(𝑓(3)) d) (𝑔 ∘ 𝑓 )(5) 
e) 𝑔(𝑔(−2)) f) 𝑓(𝑓(5)) 
 
 
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Exercício 6: As figuras a seguir representam gráficos de funções. Identifique entre elas aquelas que 
representam gráficos de funções invertíveis e, nestes casos, esboce sobre a própria figura o gráfico da 
função inversa 
 Gráfico de 𝒇 Gráfico de 𝒈 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Gráfico de 𝒉 Gráfico de 𝒋 
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Exercício 7: As funções a seguir são invertíveis. Em cada caso, determine a função inversa, dando o 
domínio, a imagem e a lei de formação. Em cada caso, esboce os gráficos da função, da sua inversa, da 
reta xy = usando o mesmo sistema de coordenadas. 
(a) 
𝑔: ℝ−{1} ⟶ ℝ−{1}
 𝑥 ⟼ 
𝑥+1
𝑥−1
 b) 
𝑟: [−4,+∞) ⟶ [−3,∞)
 𝑥 ⟼ √𝑥+4−3
 c) ℎ: ℝ ⟶ ℝ
 𝑥 ⟼ 𝑥3−1
 
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Exercício 8: Seja 
𝑓: (−∞,0] ⟶ [1,∞)
 𝑥 ⟼ 𝑥2+1 
 
a) Determine a inversa 1−f 𝑓−1 e verifique que (𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑥) = (𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥). 
b) Esboce os gráficos de 𝑓, 𝑓−1, 𝑦 = 𝑥 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
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Exercício 9: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 , para −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
a) Explique por que a função 𝑓, cujo gráfico está na 
figura ao lado, não tem inversa em seu domínio. 
b) Subdivida o domínio em três intervalos adjacentes 
sobre cada um dos quais a função 𝑓 tem uma inversa. 
 
 
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Exercício 10: Dê o domínio das funções a seguir e esboce os seus respectivos gráficos. Essas funções 
definem parte de uma curva já estudada. Elas são invertíveis? 
a) 𝑓(𝑥) = −√16 − 𝑥2 b) 𝑔(𝑥) = −√4 − 𝑥 − 1 
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Exercício 11: Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥3
𝑥2+4
 uma função invertível. 
a) Encontre 𝑥 se 𝑓−1(𝑥) = 3 b) Ache o valor de 𝑓−1(1) . 
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Exercício 12: 
Esboce o gráfico da função: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
−|𝑥 + 3| + 2 𝑠𝑒, 𝑥 < −2
𝑥2 − 3 𝑠𝑒, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
−|𝑥 − 3| + 2 𝑠𝑒, 𝑥 > 2
 
a) A função 𝑓 é invertível? Justifique sua resposta! 
b) Se a sua resposta para o item a) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível inverter a 
função 𝑓. Justifique sua escolha. 
 
 
Bom trabalho!