Movimentos Circulares - MCU e MCUV

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ITA 2023 
FÍSICA 
Prof. Toni Burgatto 
www.estrategiamilitares.com.br 
AULA 02 
Movimentos circulares 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Sumário 
Introdução 3 
1. Movimento circular 4 
1.1. Grandezas angulares 4 
1.2. Movimento circular uniforme (MCU) 7 
1.3. Movimento circular uniformemente variado (MCUV) 15 
1.4. Transmissão de movimento circular 16 
2. Lista de questões nível 1 22 
3. Gabarito sem comentários nível 1 25 
4. Lista de questões nível 1 comentada 26 
5. Lista de questões nível 2 34 
6. Gabarito sem comentários nível 2 40 
7. Lista de questões nível 2 comentada 41 
8. Lista de questões nível 3 55 
9. Gabarito sem comentários nível 3 57 
10. Lista de questões nível 3 comentada 58 
11. Referências Bibliográficas 63 
12. Considerações Finais 63 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Introdução 
Nesta aula iniciaremos do Movimento Circular Uniforme (MCU) e Movimento Circular 
Uniformemente Variado (MUV). Fique atento às propriedades de transmissão de movimentos. 
Movimento circular não é tão explorado pelas provas com questões de cinemática propriamente 
ditas. Por isso, é importante dominar os conceitos de MCU e de MCUV, pois serão utilizados em outras 
matérias, como por exemplo em magnetismo. 
Como ainda estudamos apenas cinemática, não teremos muitas questões nesta aula, mas 
futuramente aparecerão mais questões de MCU e de MCUV, como por exemplo na aula de dinâmica de 
movimento curvilíneo. 
Fique à vontade para tirar dúvidas comigo no fórum ou se preferir: 
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1. Movimento circular 
Até aqui descrevemos movimentos por intermédio de grandezas lineares (movimentos retilíneos), 
onde as grandezas eram definidas em relação a medidas de comprimentos. 
A partir de agora, vamos introduzir o conceito de grandezas circulares (espaço angular, velocidade 
angular e aceleração angular), tomando como medidas ângulos na circunferência. 
1.1. Grandezas angulares 
Considere uma partícula realizando um movimento circular da figura. 
 
Figura 1: Representação de grandezas angulares. 
Na figura acima, A é a posição inicial da partícula e B é a posição final da partícula. Considere a 
origem O e adota-se o sentido anti-horário como positivo, dizemos que: 
𝑠0: 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑠: 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
Devido a trajetória ser circular, podemos escrever a posição inicial e final do ponto material 
utilizando ângulos: 
𝜑0: 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝜑: 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
Vale lembrar a relação da geometria plana para ângulos em radianos: 
 
 
 
 
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Figura 2: Definição de radianos. 
Então, estabelecemos uma relação entre ângulo central e comprimento do arco de circunferência: 
Ângulo Arco 
1 rad - 𝑹 
𝜶 - 𝒔 
Logo: 
1 ⋅ 𝑠 = 𝛼 ⋅ 𝑅 
∴ 𝑠 = 𝛼 ⋅ 𝑅 
Atenção: ângulo 𝜶 em radianos. Além disso, como a definição de radianos envolve a divisão entre 
duas grandezas de distâncias, radianos se torna essencialmente adimensional. 
Assim, podemos escrever a variação angular da partícula, como: 
Δ𝜑 = 𝜑 − 𝜑0 
Dessa forma, define-se velocidade angular média como a razão entre a variação do espaço angular 
e a variação do tempo correspondente: 
𝜔𝑚 =
Δ𝜑
Δ𝑡
 
Analogamente a velocidade linear, define-se velocidade angular instantânea como o limite da 
velocidade angular média para Δ𝑡 tendendo a zero: 
𝜔 = lim
Δ𝑡→0
𝜔𝑚 ou 𝜔 = lim
Δ𝑡→0
Δφ
Δ𝑡
 
Portanto, a velocidade angular instantânea é a derivada do espaço angular em relação ao tempo: 
𝜔 =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 
Como os espaços angulares são expressos em radianos e o tempo em segundos, a unidade de 
velocidade angular é expressa em radianos por segundo (𝑟𝑎𝑑/𝑠). 
 
 
 
 
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Semelhante a definição de aceleração média, define-se aceleração angular média como a razão 
entre a variação da velocidade angular e o intervalo de tempo correspondente: 
𝛾𝑚 =
Δ𝜔
Δ𝑡
 
Como a velocidade angular é expressa em 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e o tempo em segundos, a unidade de aceleração 
angular é 𝑟𝑎𝑑/𝑠². 
A aceleração angular instantânea é definida pelo limite da aceleração angular média quanto Δ𝑡 
tende a zero: 
𝛾 = lim
Δ𝑡→0
𝛾𝑚 𝑜𝑢 𝛾 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝜔
Δ𝑡
 
Portanto, a aceleração angular instantânea é a derivada da velocidade angular em relação ao 
tempo: 
𝛾 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 
Pela geometria plana, podemos escrever algumas relações entre as grandezas lineares e as 
grandezas angulares: 
Da geometria plana, sabemos que as relações de ângulos com comprimentos de arcos na 
circunferência são: 
𝜑0 =
𝑠0
𝑅
 𝜑 =
𝑠
𝑅
 Δ𝜑 =
Δ𝑠
𝑅
 
Relação ente velocidade linear média e velocidade angular média: 
𝜔𝑚 =
Δ𝜑
Δ𝑡
=
Δ𝑠
R
Δ𝑡
=
1
𝑅
⋅
Δ𝑠
Δ𝑡
=
1
𝑅
⋅ 𝑣𝑚 
∴ 𝜔𝑚 =
𝑣𝑚
𝑅
 
Para velocidades instantâneas, também vale a relação: 
𝜔 =
𝑣
𝑅
 𝑜𝑢 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 
Relação entre aceleração linear média e aceleração angular média: 
𝛾𝑚 =
Δ𝜔
Δ𝑡
=
Δ𝑣
𝑅
Δ𝑡
=
1
𝑅
.
Δ𝑣
Δ𝑡
=
1
𝑅
. 𝑎𝑚 
 
 
 
 
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∴ 𝛾𝑚 =
𝑎𝑚
𝑅
 
Para acelerações instantâneas, também vale a relação: 
𝛾 =
𝑎
𝑅
 𝑜𝑢 𝑎 = 𝛾 ⋅ 𝑅 
 
01) 
A hélice de um ventilado está girando com velocidade angular de 10 rad/s, quando uma pessoa desliga o 
ventilador e a hélice para em 10 s. Determine: 
a) a aceleração angular média do ventilador entre o instante em que foi desligado até a hélice parar 
totalmente; 
b) a aceleração linear média dos pontos que distam 0,20 m do eixo de rotação, nesse mesmo intervalo de 
tempo. 
 
Comentários: 
a) Pelas condições do problema, temos que a velocidade angular inicial é 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e a velocidade angular 
final é zero. 
Logo: 
𝛾𝑚 =
Δ𝜔
Δ𝑡
=
0 − 10
10 − 0
 
∴ 𝛾𝑚 = −1,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2 
b) A aceleração linear média pode ser calculada pela relação: 
𝑎𝑚 = 𝛾𝑚 ⋅ 𝑅 
𝑎𝑚 = (−1,0) ⋅ 0,2 
∴ 𝑎𝑚 = −0,20 𝑚/𝑠
2 
1.2. Movimento circular uniforme (MCU) 
Chamamos de MCU o movimento realizado por um ponto material percorrendo uma 
circunferência de raio 𝑅 em movimento uniforme, isto é, o ponto material varre ângulos iguais em 
intervalos de tempos iguais. Assim, no MCU dizemos que a velocidade angular é constante. 
Dessa forma, dizemos que o MCU é periódico, pois, a cada volta completada pelo móvel, as 
características do movimento se repetem em intervalos de tempo iguais. 
 
 
 
 
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1.2.1. Período e frequência no MCU 
Define-se período, representado pela letra 𝑇 como sendo o intervalo de tempo mínimo para o 
movimento repetir-se, com as mesmas características. 
Por exemplo: no MCU, período é o intervalo de tempo que o ponto material leva para percorrer 
uma volta completa. Ou seja, se ele leva 0,5 s para realizar uma volta no MCU, seu período é dado por: 
𝑇 = 0,5 𝑠. 
De forma correlacionada, define-se frequência como sendo o número de vezes que o movimento 
se repete na unidade de tempo. Ou seja: 
𝑓 =
𝑛
Δ𝑡
 
Em que 𝑛 número de repetições e Δ𝑡 intervalo de tempo considerado. 
Para o MCU, 𝑓 é o número de voltas (ou ciclos) que o ponto material realiza na unidade de tempo. 
Por exemplo: se uma partícula completa 5 voltas em 10 segundos, então, sua frequência será: 
𝑓 =
5
10
= 0,5 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠/𝑠 
A unidade de ciclos/s recebe o nome de hertz, denotada por 𝐻𝑧. Esta é a unidade de frequência 
no SI. 
Logo, dizemos que nossa frequência do exemplo é de 0,5 𝐻𝑧. 
Em alguns lugares aparece o termo “cada volta”é chamada de rotação. Por isso encontramos em 
alguns lugares o termo 𝑟𝑝𝑠 (rotações por segundo), outro nome para unidade hertz. 
Diante da definição de período e de frequência, podemos encontrar uma relação entre as duas 
grandezas, por uma regra de três simples e direta: 
nº de voltas Intervalo de tempo 
1 - T 
f - 1 
1.1 = 𝑓. 𝑡 
 
𝑓 =
1
𝑇
 𝑜𝑢 𝑇 =
1
𝑓
 
 
 
 
 
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Essa relação é extremamente importante no estudo de movimentos periódicos. No exemplo 
anterior, para uma frequência de 0,5 𝐻𝑧, o período é de: 
𝑇 =
1
0,5
= 2 𝑠 
Apesar da unidade de frequência ser hertz (𝐻𝑧), é comum aparecer a unidade rotações por minuto 
(𝑟𝑝𝑚). A relação entre as unidades é dada por: 
1𝑟𝑝𝑚 = 1
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
= 1
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
60 𝑠
=
1
60
𝐻𝑧 
𝐻𝑧
𝑟𝑝𝑚
×60
→ 
÷60
→ 
𝑟𝑝𝑚
𝐻𝑧
 
Com isso, podemos relacionar período e frequência com as velocidades do ponto material no 
MCU. 
Para uma volta completa, o espaço angular do móvel foi de 2𝜋 e o intervalo de tempo corresponde 
ao período 𝑇. Logo: 
Δ𝜑 = 2𝜋 𝑒 Δ𝑡 = 𝑇 
Portanto, podemos escrever a velocidade angular em função do período ou em função da 
frequência: 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 𝑜𝑢 𝜔 = 2𝜋𝑓 
Como 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅, podemos escrever a velocidade linear como: 
𝑣 =
2𝜋𝑅
𝑇
 𝑜𝑢 𝑣 = 2𝜋𝑓𝑅 
1.2.2. Função horária do espaço angular no MCU 
Considere um móvel realizando um MCU, no sentido anti-horário, como visto abaixo: 
 
 
 
 
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Figura 3: Representação de uma partícula realizando um MCU entre A e B. 
Como por definição do movimento circular uniforme (MCU) a velocidade angular é constante, 
então o módulo da velocidade linear é constante (apenas o módulo), pois 𝑣𝑚 = 𝜔𝑚 ⋅ 𝑅. Como a 
velocidade angular no MCU é constante, então costumamos a dizer que a velocidade angular é igual a 
velocidade angular média: 
𝜔 = 𝜔𝑚 
∴ 𝜔 =
Δ𝜑
Δ𝑡
 
Se no instante 𝑡0 (início do movimento) o ponto material está no espaço angular 𝜑0 e, em um 
instante qualquer 𝑡, o ponto material tem espaço angular 𝜑, então: 
Δ𝜑 = 𝜑 − 𝜑0 e Δ𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 
Portanto: 
𝜔 =
𝜑 − 𝜑0
𝑡 − 𝑡0
 
∴ 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔(𝑡 − 𝑡0) 
Para simplificar a expressão, vamos começar a contabilizar o início do movimento na origem dos 
tempos, isto é, 𝑡0 = 0, temos que: 
𝜑 = 𝜑0 + 𝜔 ⋅ 𝑡 
Como esperado, a função horária do espaço angular no MCU é uma expressão do primeiro grau 
em 𝑡, onde: 
 𝜑0 é o espaço angular inicial quando 𝑡 = 0. 
 𝜔 é a velocidade escalar angular instantânea (𝜔 ≠ 0). 
 𝜑0 e 𝜔 são valores constantes. 
 
 
 
 
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De imediato, como 𝜔𝑚 = 𝜔, dizemos que a velocidade angular não varia, ou seja, dizemos que 
neste movimento não existe aceleração angular (𝛾 = 0). 
Outra forma de obter a função horária do espaço angular é dividir a função horária do espaço 
linear pelo raio da circunferência onde o móvel descreve o MCU: 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣 ⋅ 𝑡
÷𝑅
→ 
𝑠
𝑅
=
𝑠0
𝑅
+
𝑣
𝑅
⋅ 𝑡 
⇒ 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔 ⋅ 𝑡 
 OBSERVAÇÃO: quando olhamos para a equação 𝜔 = 𝑣/𝑅, somos levados a pensar que a 
velocidade angular 𝜔 depende do raio 𝑅. Cuidado! Essa pegadinha costuma pegar muita gente boa. Como 
vimos, no MCU a velocidade angular é constante, então utilizamos: 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 𝑜𝑢 𝜔 = 2𝜋𝑓 
 Ou seja, conhecendo o tempo para cada volta (𝑇) ou a frequência (𝑓), nós já sabemos a velocidade 
angular. Um bom exemplo de verificar isso é pegar o movimento de dois móveis com raios diferentes, 
mas percorrendo trajetórias circulares concêntricas. 
 
Figura 4: Dois móveis em MCU com trajetórias concêntricas, raios diferentes e velocidades angulares diferentes. 
 Se o móvel A tem período 𝑇𝐴, então a velocidade de angular de A é calculada por: 
𝜔𝐴 =
2𝜋
𝑇𝐴
 
 Se o móvel B tem período 𝑇𝐵, então a velocidade de angular de B é calculada por: 
𝜔𝐵 =
2𝜋
𝑇𝐵
 
 As velocidades angulares de A e de B não depende dos raios 𝑅𝐴 e 𝑅𝐵. Se 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵, por exemplo, 
então 𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 e observe que nitidamente os raios são diferentes. 
 
 
 
 
 
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02) 
Um corpo em movimento circular tem frequência de 500 rpm. Se a trajetória tem 20 cm de raio, calcule: 
a) a frequência em hertz. 
b) o período em segundos. 
c) a velocidade angular. 
d) a velocidade linear. 
 
Comentários: 
a) Basta transformar a unidade da frequência: 
𝑓 =
500
60
=
25
3
= 8,33 𝐻𝑧 
b) O período é o inverso da frequência: 
𝑇 =
1
𝑓
=
3
25
= 0,12 𝑠 
c) Podemos calcular a velocidade angular a partir da frequência: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ⋅
25
3
=
50𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
d) Para chegarmos à velocidade linear, basta lembrarmos da relação entre as velocidades: 
𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑟 =
50𝜋
3
⋅ 20 =
1000𝜋
3
𝑐𝑚/𝑠 
03) 
Dois carros percorrem uma circunferência de raio R no mesmo sentido e com módulos de velocidades 
constantes 𝑣1 e 𝑣2, com 𝑣2 > 𝑣1. No instante inicial, 𝑡0 = 0, os dois carros estão no mesmo ponto. 
Determine o instante em que ocorre o próximo encontro. 
 
Comentários: 
Vamos adotar como origem dos espaços o ponto onde 𝑡0 = 0. Dessa forma, temos que 𝑠01 = 𝑠02. 
No ponto de encontro, o mais rápido terá andado uma volta de vantagem sobre o mais lento: 
𝑠2 = 𝑠1 + 2𝜋 ⋅ 𝑅 
𝑣2. 𝑡𝐸 = 𝑣1. 𝑡𝐸 + 2𝜋 ⋅ 𝑅 
∴ 𝑡𝐸 =
2𝜋𝑅
𝑣2 − 𝑣1
 
 
 
 
 
 
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04) 
Em um brinquedo de autorama, dois carrinhos percorrem pistas circulares que possuem mesmo centro 
em comum. Sabe-se que os carrinhos se cruzam a cada 15 segundos quando se movem no mesmo sentido 
e a cada 5 segundos quando se movem em sentidos opostos. 
Determine: 
a) a velocidade angular de cada carrinho. 
b) o período de movimento de cada carrinho. 
c) a velocidade linear de cada carrinho, sabendo que o carrinho mais rápido possui trajetória de raio igual 
a 30/𝜋 𝑐𝑚 e o raio da trajetória do outro é metade. 
 
Comentários: 
a) Quando os carrinhos se movem em mesmo sentido, então a diferença entre espaços angulares do mais 
rápido e do mais lento sempre é igual a 2𝜋 a cada 15 segundos, quando eles se encontram. Portanto: 
Δ𝜙𝐴 − Δ𝜙𝐵 = 2𝜋 
𝜔𝐴 ⋅ 15 − 𝜔𝐵 ⋅ 15 = 2𝜋 
𝜔𝐴 − 𝜔𝐵 =
2𝜋
15
 (𝑒𝑞. 1) 
 Por outro lado, quando eles sem movem em sentidos opostos, a cada 5 segundos a soma dos 
espaços angulares de A e de B tem que ser igual a 2𝜋. Assim: 
Δ𝜙𝐴 + Δ𝜙𝐵 = 2𝜋 
𝜔𝐴 ⋅ 5 + 𝜔𝐵 ⋅ 5 = 2𝜋 
𝜔𝐴 + 𝜔𝐵 =
2𝜋
5
 (𝑒𝑞. 2) 
 Somando 1 e 2, temos: 
𝜔𝐴 − 𝜔𝐵 + 𝜔𝐴 + 𝜔𝐵 =
2𝜋
15
+
2𝜋
5
 
2𝜔𝐴 =
2𝜋
15
+
3
3
⋅
2𝜋
5
 
𝜔𝐴 =
4𝜋
15
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Substituindo 𝜔𝐴 em 2, temos: 
4𝜋
15
+ 𝜔𝐵 =
2𝜋
5
 
𝜔𝐵 =
2𝜋
15
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
b) Pela definição de velocidade angular podemos encontrar cada período de movimento: 
𝜔𝐴 =
2𝜋
𝑇𝐴
 
 
 
 
 
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4𝜋
15
=
2𝜋
𝑇𝐴
 
𝑇𝐴 = 7,5 𝑠 
𝜔𝐵 =
2𝜋
𝑇𝐵
 
2𝜋
15
=
2𝜋
𝑇𝐵
 
𝑇𝐵 = 15 𝑠 
c) As velocidades lineares são dadas por: 
𝑣𝐴 = 𝜔𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 ⇒ 𝑣𝐴 =
4𝜋
15
⋅
0,3
𝜋
 
𝑣𝐴 = 0,08 𝑚/𝑠 
𝑣𝐵 = 𝜔𝐵 ⋅𝐵=
2𝜋
15
⋅
0,15
𝜋
 
𝑣𝐵 = 0,02 𝑚/𝑠 
05) 
Dois discos fixados a um mesmo eixo, que gira com frequência igual a 𝑓. A distância entre os discos é d. 
Um projétil é disparado, em uma linha paralela ao eixo, com uma velocidade 𝑣𝑝, perfurando os dois discos 
de tal forma que o ângulo formado pelo eixo comum com o furo do primeiro disco e o plano formado pelo 
eixo comum com o furo do segundo disco é 𝜑, tal que 𝜑 < 2𝜋. Calcule a velocidade do projétil. 
 
Comentários: 
Inicialmente, vamos calcular o tempo que o projétil gasta para percorrer a distância entre os dois 
discos: 
Δ𝑡 =
𝑑
𝑣𝑝
 
Nesse intervalo de tempo, o eixo teve uma variaçãoangular de 𝜑, logo: 
𝜔 =
Δ𝜑
Δ𝑡
 
⇒ 2𝜋𝑓 =
𝜑
Δ𝑡
 
⇒ 2𝜋𝑓 =
𝜑
𝑑
𝑣𝑝
 
∴ 𝑣𝑝 =
2𝜋𝑓𝑑
𝜑
 
 
 
 
 
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1.3. Movimento circular uniformemente variado (MCUV) 
O movimento circular uniformemente variado tem como característica a aceleração angular 
instantânea coincidir com a aceleração angular média: 
𝛾 = 𝛾𝑚 
Para um móvel realizando um movimento circular, conforme a figura x, podemos escrever as 
equações do móvel da seguinte forma: 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ⋅ 𝑡 +
𝑎 ⋅ 𝑡2
2
 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ⋅ 𝑡 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ Δ𝑠 
 
Figura 5: Representação de uma partícula realizando um MCUV entre os pontos A e B. 
Como visto anteriormente, podemos pegar cada expressão e dividir pelo raio da circunferência 
descrita pelo móvel: 
𝑠
𝑅
=
𝑠0
𝑅
+
𝑣0
𝑅
⋅ 𝑡 +
1
2
⋅
𝑎
𝑅
⋅ 𝑡2 ⇒ 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔0 ⋅ 𝑡 +
𝛾 ⋅ 𝑡2
2
 
𝑣
𝑅
=
𝑣0
𝑅
+
𝑎
𝑅
⋅ 𝑡 ⇒ 𝜔 = 𝜔0 + 𝛾 ⋅ 𝑡 
𝑣2
𝑅2
=
𝑣0
2
𝑅2
+ 2 ⋅
𝑎
𝑅
⋅
Δ𝑠
𝑅
⇒ 𝜔2 = 𝜔0
2 + 2 ⋅ 𝛾 ⋅ Δ𝜑 
𝛾 =
𝑎
𝑅
 ou 𝑎 = 𝛾 ⋅ 𝑅 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Como podemos notar, o MCUV é movimento não periódico, pois a aceleração linear não-nula. Por 
isso, cada volta é realizada em um intervalo de tempo diferente da outra, não sendo possível definir 
período ou frequência para esse movimento. 
Para análise de gráficos, a teoria abordada no MRU pode ser aplicada ao MCU, enquanto a teoria 
abordada no MRUV pode ser aplicada ao MCUV, pois, devido as características dos movimentos circulares, 
basta apenas dividir a grandeza linear pelo raio da circunferência para chegar à grandeza angular. 
Portanto, basta substituir 𝑠 por 𝜑, 𝑣 por 𝜔 e 𝑎 por 𝛾. 
 
06) 
Um móvel descrevendo um MCUV tem velocidade angular igual a 10 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 em 𝑡 = 0 e velocidade 
angular igual a 24 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, em um intervalo de tempo igual a 7 segundos. Calcule: 
a) a aceleração angular; 
b) a função horária da velocidade angular; 
c) quantas voltas o móvel executa nesse Δ𝑡. 
 
Comentários: 
a) Utilizando a definição de aceleração angular média, pois no MCUV, 𝛾 = 𝛾𝑚, temos que: 
𝛾 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
24𝜋 − 10𝜋
7 − 0
= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 
b) A função horária da velocidade angular é dada por: 
𝜔 = 𝜔0 + 𝛾. 𝑡 
𝜔 = 10𝜋 + 2𝜋. 𝑡 
c) Vamos calcular o espaço descrito pelo móvel, utilizando a equação de Torricelli: 
𝜔2 = 𝜔0
2 + 2 ⋅ 𝛾 ⋅ Δ𝜑 
Δ𝜑 =
(𝜔 − 𝜔0)(𝜔 + 𝜔0)
2. 𝛾
 
⇒ Δ𝜑 = 119𝜋 
A cada 2𝜋 ele realiza uma volta, então, em 119𝜋 = 118𝜋 + 𝜋 = 59 ⋅ 2𝜋 + 𝜋. Logo o móvel dá 59 
voltas mais meia volta. 
1.4. Transmissão de movimento circular 
 A grande dica para transmissão de movimentos não é decorar o resultado pronto, mas 
saber qual a propriedade de cada tipo de transmissão de movimento. 
 
 
 
 
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1.4.1. Correia comum a duas rodas ou por contato direto. 
É comum utilizar a transmissão de movimentos para fins de amplificar ou reduzir uma grandeza 
física. O exemplo mais comum nas nossas vidas está em uma bicicleta, onde o ciclista estabelece uma 
velocidade na correia dos pedais, que é transmitida por uma corrente para a correia da roda de trás. 
Podemos representar essa transmissão pela figura abaixo: 
 
Figura 6: Transmissão de movimento entre duas coroas ligadas por uma corrente. 
Se não existe escorregamento entre a corrente e as coroas, podemos dizer que a velocidade linear 
das duas coroas é igual a velocidade da corrente, ou seja, a velocidade linear é a mesma em qualquer 
ponto da corrente. Portanto: 
𝑣𝑃1 = 𝑣𝑃2 
Dessa forma, podemos encontrar uma relação para as velocidades angulares e as frequências para 
este conjunto: 
𝑣𝑃1 = 𝑣𝑃2 
⇒ 𝜔𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 = 𝜔𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 
Como 𝜔 = 2𝜋𝑓, então: 
2𝜋𝑓𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 = 2𝜋𝑓𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 
⇒ 𝑓𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 = 𝑓𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 
Assim, podemos concluir que se 𝑅𝐴 > 𝑅𝐵, então 𝜔𝐴 < 𝜔𝐵 e 𝑓𝐴 < 𝑓𝐵. 
De forma análoga, podemos chegar as mesmas conclusões para o caso das coroas (ou 
engrenagem) em contato direto: 
 
 
 
 
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Figura 7: Representação de duas coroas em contato direto. 
Caso não haja escorregamento e como as duas coroas se encontram em um ponto em comum, a 
velocidade linear das duas coroas deve ser a mesma: 
𝑣𝑃 = 𝑣𝑃1 = 𝑣𝑃2 
Então: 
𝜔𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 = 𝜔𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 𝑒 𝑓𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 = 𝑓𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 
Novamente, podemos concluir que se 𝑅𝐴 > 𝑅𝐵, então: 𝜔𝐴 < 𝜔𝐵 e 𝑓𝐴 < 𝑓𝐵. 
Caso o móvel esteja realizando um MCUV: 
𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 
∴ 𝛾𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 = 𝛾𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 
1.4.2. Engrenagens com mesmo eixo de rotação 
Considerando a transmissão entre duas engrenagens ligadas por um mesmo eixo, como na figura 
a seguir: 
 
Figura 8: Representação de duas engrenagens com o mesmo eixo de rotação. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Nesse caso, podemos ver que está amarrada a variação angular de cada coroa, isto é, se pegarmos 
um ponto na coroa B, sua projeção na coroa A terá a mesma variação angular. Dessa forma, podemos 
deduzir que: 
Δ𝜑𝐵 = Δ𝜑𝐴 
Assim, as velocidades angulares e as frequências serão as mesmas: 
Δ𝜑𝐴 = Δ𝜑𝐵 
⇒ 𝜔𝐴 ⋅ Δ𝑡 = 𝜔𝐵 ⋅ Δ𝑡 
∴ 𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
Como 𝜔 = 2𝜋𝑓, temos que: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
⇒ 2𝜋𝑓𝐴 = 2𝜋𝑓𝐵 
∴ 𝑓𝐴 = 𝑓𝐵 
Para velocidades lineares, encontramos que: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
∴
𝑣𝐴
𝑅𝐴
=
𝑣𝐵
𝑅𝐵
 
Concluímos que se 𝑅𝐴 > 𝑅𝐵, então: 𝑣𝐴 > 𝑣𝐵. Caso o móvel esteja realizando um MCUV: 
𝛾𝐴 = 𝛾𝐵 
∴
𝑎𝐴
𝑅𝐴
=
𝑎𝐵
𝑅𝐵
 
Até aqui, deduzimos todas as equações para o caso de transmissão no MCU. Entretanto, toda 
análise feita é válida para qualquer tipo de movimento circular. 
 
07. (Simulado AFA) 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
Um sistema mecânico é constituído de uma engrenagem 𝐸1 que está em eixo comum como outra 
engrenagem 𝐸2, que possui metade do raio de 𝐸1. A engrenagem 𝐸2 está em contato direto com 𝐸3, 
permitindo a mudança na direção dos eixos de rotação das engrenagens. No mesmo eixo de 𝐸3, mas na 
outra extremidade, existe um carretel cuja função é erguer o corpo 𝑀. Se a velocidade do ponto 𝐴 de 𝐸1 
é igual a 𝑣, a velocidade com que se move o bloco é igual a. 
a) 𝑣/4 b) 𝑣/3 c) 𝑣/2 d) 𝑣 
 
Comentários: 
 A partir da velocidade do ponto A podemos determinar a velocidade angular do eixo 1: 
𝜔1 =
𝑣
𝑅1
 
 
 No ponto P de contato direto das engrenagens 𝐸2 e 𝐸3 sabemos que a velocidade linear deve ser 
igual, isto é: 
𝜔1 ⋅ 𝑅2 = 𝜔2 ⋅ 𝑅3 = 𝑣𝑃 
𝜔2 =
𝑅2
𝑅3
⋅ 𝜔1 =
𝑅2
𝑅3
⋅
𝑣
𝑅1
 
 Logo, a velocidade com que a corda está se movendo no carretel é dada pela velocidade angular 
do segundo eixo (𝜔2) e o raio do carretel (𝑟𝐶): 
𝑣′ = 𝜔2 ⋅ 𝑟𝐶 
𝑣′ =
𝑅2
𝑅3
⋅
𝑣
𝑅1
⋅ 𝑟𝐶 
𝑣′ =
𝑅2
𝑅3
⋅
𝑟𝑐
𝑅1
⋅ 𝑣 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 Como temos duas razões entre os raios, então não precisamos passar para metros, pois a razão de 
transformação seria cancelada nas duas partes. Portanto: 
𝑣′ =
10
8
⋅
4
20
⋅ 𝑣 
𝑣′ = 𝑣/4 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
2. Lista de questões nível 1 
 (EsPCEx – 2019) 
Duas polias, A e B, ligadas por uma correia inextensível têm raios 𝑅𝐴 = 60 𝑐𝑚 e 𝑅𝐵 = 20 𝑐𝑚, 
conforme o desenho abaixo. Admitindo que não haja escorregamento da correia e sabendo que a 
frequência da polia A é 𝑓𝐴 = 30 𝑟𝑝𝑚, então a frequência da polia B é 
 
a) 10 rpm b) 20 rpm c) 80 rpm d) 90 rpm e) 120 rpm 
 (EsPCEx – 2009) 
Uma máquina industrial é movida por um motor elétrico que utiliza um conjunto de duas polias, 
acopladas por uma correia, conforme figura abaixo. A polia de raio 𝑅1 = 15 𝑐𝑚 está acoplada ao 
eixo do motor e executa 3000 rotaçõespor minuto. Não ocorre escorregamento no contato da 
correia com as polias. O número de rotações por minuto, que a polia de raio 𝑅2 = 60 𝑐𝑚 executa, 
é de 
a) 250 
b) 500 
c) 750 
d) 1000 
e) 1200 
 (EsPCEx – 2003) 
A figura abaixo representa uma associação das engrenagens I, II e III, de raios iguais a 4 cm, 48 cm e 
12 cm, respectivamente, que giram em torno de eixos fixos. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
Se a engrenagem III girar com velocidade angular de 5𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, a frequência de rotação da 
engrenagem I valerá 
a) 2,5 Hz b) 5,0 Hz c) 7,5 Hz d) 10,0 Hz e) 12,5 Hz 
 (EsPCEx – 2000) 
A figura abaixo representa uma polia que gira em torno de seu eixo no ponto O com movimento de 
rotação uniforme. O módulo da velocidade linear do ponto A é 𝑉1 = 50 𝑐𝑚/𝑠, e a do ponto B é 𝑉2 =
10 𝑐𝑚/𝑠. Sabendo que a distância AB é 40 cm, o valor da velocidade angular da polia em rad/s é 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
e) 50 
 (EEAR – 2018) 
Um ponto material descreve um movimento circular uniforme com o módulo da velocidade angular 
igual a 10 rad/s. Após 100 s, o número de voltas completas percorridas por esse ponto material é 
Adote 𝜋 = 3. 
a) 150 b) 166 c) 300 d) 333 
 (EEAR – 2018) 
Considere as seguintes afirmações sobre o movimento circular uniforme (MCU): 
I – possui velocidade angular constante. 
II – possui velocidade tangencial constante em módulo, mas com direção e sentido variáveis. 
III – a velocidade angular é inversamente proporcional à frequência do movimento. 
IV – possui aceleração radial, com sentido orientado para o centro da trajetória. 
Das afirmações anteriores, são corretas: 
a) I e II b) II e III c) I, II e IV d) todas 
 (EEAR – 2016) 
Uma hélice de avião gira a 2800 rpm. Qual a frequência (f) de rotação da hélice, em unidades do 
Sistema Internacional (SI)? Adote 𝜋 ≅ 3. 
a) 16,7 b) 26,7 c) 36,7 d) 46,7 
 (EEAR – 2016) 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Duas polias estão acopladas por uma correia que não desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor 
é de 20 cm e sua frequência de rotação 𝑓1 é de 3600 rpm, qual é a frequência de rotação 𝑓2 da polia 
maior, em rpm, cujo raio vale 50 cm? 
a) 9000 b) 7200 c) 1440 d) 720 
 (EEAR – 2015) 
Calcule a velocidade tangencial, em km/h, do movimento de translação do planeta Terra em torno 
do Sol. Para esse cálculo considere: 
1. que a luz do Sol leva 8 minutos para chegar até a Terra. 
2. a velocidade da luz no vácuo igual a 3 ∙ 108 𝑚/𝑠. 
3. as dimensões da Terra e do Sol devem ser desprezadas. 
4. o raio do movimento circular da Terra em torno do Sol como a distância que a luz percorre em 8 
minutos. 
5. o movimento da Terra em torno do Sol como sendo um Movimento Circular Uniforme (MCU). 
6. o valor de 𝜋 = 3. 
7. um ano = 360 dias. 
a) 10.000 b) 24.000 c) 36.000 d) 100.000 
 (EEAR – 2014) 
Numa pista circular de 100 m de diâmetro um corredor A, mantendo o módulo da velocidade 
tangencial constante de valor igual 6 m/s, corre durante 5 min, completando várias voltas. Para que 
um corredor B, correndo nesta mesma pista, saindo do mesmo ponto e durante o mesmo tempo, 
consiga completar duas voltas a mais que o corredor A é necessário que este mantenha uma 
velocidade tangencial de módulo constante e igual a _________ m/s. 
Adote: 𝜋 = 3,0. 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 
 (EEAR – 2011) 
Devido ao mau tempo sobre o aeroporto, uma aeronave começa a executar um movimento circular 
uniforme sobre a pista, mantendo uma altitude constante de 1000 m. Sabendo que a aeronave 
possui velocidade linear de 500 km/h e que executará o movimento sob um raio de 5 km, qual será 
o tempo gasto, em h, para que essa aeronave complete uma volta. 
a) 𝜋/50. b) 𝜋/100. c) 10𝜋. d) 50𝜋. 
 (EEAR – 2007) 
No movimento circular uniforme a velocidade angular (𝜔) não depende 
a) do raio da circunferência. 
b) da sua frequência. 
c) do seu período. 
d) do tempo gasto para completar uma volta. 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
3. Gabarito sem comentários nível 1 
1. D 
2. C 
3. C 
4. A 
5. B 
6. C 
7. D 
8. C 
9. D 
10. A 
11. A 
12. A 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
4. Lista de questões nível 1 comentada 
 (EsPCEx – 2019) 
Duas polias, A e B, ligadas por uma correia inextensível têm raios 𝑅𝐴 = 60 𝑐𝑚 e 𝑅𝐵 = 20 𝑐𝑚, 
conforme o desenho abaixo. Admitindo que não haja escorregamento da correia e sabendo que a 
frequência da polia A é 𝑓𝐴 = 30 𝑟𝑝𝑚, então a frequência da polia B é 
 
a) 10 rpm b) 20 rpm c) 80 rpm d) 90 rpm e) 120 rpm 
Comentários: 
 Como as polias estão ligadas por uma correia comum, a velocidade linear será a mesma 
nas duas polias: 
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 
𝜔𝐴𝑅𝐴 = 𝜔𝐵𝑅𝐵 
2𝜋𝑓𝐴𝑅𝐴 = 2𝜋𝑓𝐵𝑅𝐵 
𝑓𝐵 =
𝑅𝐴
𝑅𝐵
𝑓𝐵 
𝑓𝐵 =
60
20
∙ 30 
𝑓𝐵 = 90 𝑟𝑝𝑚 
Gabarito: D 
 (EsPCEx – 2009) 
Uma máquina industrial é movida por um motor elétrico que utiliza um conjunto de duas polias, 
acopladas por uma correia, conforme figura abaixo. A polia de raio 𝑅1 = 15 𝑐𝑚 está acoplada ao 
eixo do motor e executa 3000 rotações por minuto. Não ocorre escorregamento no contato da 
correia com as polias. O número de rotações por minuto, que a polia de raio 𝑅2 = 60 𝑐𝑚 executa, 
é de 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
a) 250 
b) 500 
c) 750 
d) 1000 
e) 1200 
Comentários: 
 Como as polias estão ligadas por uma correia comum, a velocidade linear será a mesma 
nas duas polias: 
𝑣1 = 𝑣2 
𝜔1𝑅1 = 𝜔2𝑅2 
2𝜋𝑓1𝑅1 = 2𝜋𝑓2𝑅2 
𝑓2 =
𝑅1
𝑅2
𝑓1 
𝑓2 =
15
60
∙ 3000 
𝑓𝐵 = 750 𝑟𝑝𝑚 
Gabarito: C 
 (EsPCEx – 2003) 
A figura abaixo representa uma associação das engrenagens I, II e III, de raios iguais a 4 cm, 48 cm e 
12 cm, respectivamente, que giram em torno de eixos fixos. 
 
Se a engrenagem III girar com velocidade angular de 5𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, a frequência de rotação da 
engrenagem I valerá 
a) 2,5 Hz b) 5,0 Hz c) 7,5 Hz d) 10,0 Hz e) 12,5 Hz 
Comentários: 
 Como as engrenagens estão em contato direto, então as velocidades lineares são iguais: 
𝑣𝐼 = 𝑣𝐼𝐼 e 𝑣𝐼𝐼 = 𝑣𝐼𝐼𝐼 
 Portanto: 
𝑣𝐼 = 𝑣𝐼𝐼𝐼 
𝜔𝐼𝑅𝐼 = 𝜔𝐼𝐼𝐼𝑅𝐼𝐼𝐼 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔𝐼 =
𝑅𝐼𝐼𝐼
𝑅𝐼
∙ 𝜔𝐼𝐼𝐼 
 Substituindo valores: 
𝜔𝐼 =
12
4
∙ 5𝜋 
𝜔𝐼 = 15𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Mas: 
𝜔𝐼 = 2𝜋𝑓𝐼 
15𝜋 = 2𝜋𝑓𝐼 
𝑓𝐼 = 7,5 𝐻𝑧 
Gabarito: C 
 (EsPCEx – 2000) 
A figura abaixo representa uma polia que gira em torno de seu eixo no ponto O com movimento de 
rotação uniforme. O módulo da velocidade linear do ponto A é 𝑉1 = 50 𝑐𝑚/𝑠, e a do ponto B é 𝑉2 =
10 𝑐𝑚/𝑠. Sabendo que a distância AB é 40 cm, o valor da velocidade angular da polia em rad/s é 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
e) 50 
Comentários: 
 Se a polia move com velocidade angular constante, então: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
𝑉𝐴
𝑅𝐴
=
𝑉𝐵
𝑅𝐵
 
 Pela geometria, temos: 
𝑉𝐴
𝑅𝐵 + 𝐴𝐵
=
𝑉𝐵
𝑅𝐵
 
𝑅𝐵 + 𝐴𝐵
𝑅𝐵
=
𝑉𝐴
𝑉𝐵
 
𝑅𝐵 + 40
𝑅𝐵
=
50
10
= 5 
𝑅𝐵 + 40 = 5𝑅𝐵 
𝑅𝐵 = 10 𝑐𝑚 
 Logo: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔 =
𝑉𝐵
𝑅𝐵
=
10
10
= 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Gabarito: A 
 (EEAR – 2018) 
Um ponto material descreve um movimento circular uniforme com o módulo da velocidade angular 
igual a 10 rad/s. Após 100 s, o número de voltas completas percorridas por esse ponto material é 
Adote 𝜋 = 3. 
a) 150 b) 166 c) 300 d) 333 
Comentários: 
 Se a velocidade angular é de 10 rad/s, podemos determinar o período do movimento por: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 
𝑇 =
2 ∙ 3
10
=
6
10
 𝑠 
 Então, o número de voltas após 100 s é de: 
𝑛 =
100
6
10
=
1000
6
 
𝑛 = 166,7 
 Como o número de voltas só pode ser um inteiro,isto é, voltas completas, então o corpo 
deu 166 voltas e andou 0,7 do tempo da próxima volta. 
Gabarito: B 
 (EEAR – 2018) 
Considere as seguintes afirmações sobre o movimento circular uniforme (MCU): 
I – possui velocidade angular constante. 
II – possui velocidade tangencial constante em módulo, mas com direção e sentido variáveis. 
III – a velocidade angular é inversamente proporcional à frequência do movimento. 
IV – possui aceleração radial, com sentido orientado para o centro da trajetória. 
Das afirmações anteriores, são corretas: 
a) I e II b) II e III c) I, II e IV d) todas 
Comentários: 
I – Correto. No MCU, a velocidade angular é constante. 
II – Correto. No MCU, a velocidade tangencial é constante em módulo, pois não temos aceleração 
tangencial neste tipo de movimento. Por outro lado, temos o vetor velocidade variando de 
direção e sentido o tempo todo, pois neste movimento ainda temos a aceleração centrípeta. 
III – Incorreto. A velocidade angular é diretamente proporcional a frequência angular, de acordo 
com a expressão: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
IV- Correto. De fato, neste movimento, temos a aceleração radial (também chamada de normal 
ou centrípeta) que aponta para o centro da trajetória. 
Gabarito: C 
 (EEAR – 2016) 
Uma hélice de avião gira a 2800 rpm. Qual a frequência (f) de rotação da hélice, em unidades do 
Sistema Internacional (SI)? Adote 𝜋 ≅ 3. 
a) 16,7 b) 26,7 c) 36,7 d) 46,7 
Comentários: 
 Se a frequência de rotação é de 2800 rpm, isto é 2800 rotações por minuto. Então. 
2800 𝑟𝑝𝑚 ≡
2800
60
 𝐻𝑧 = 46,7 𝐻𝑧 
Gabarito: D 
 (EEAR – 2016) 
Duas polias estão acopladas por uma correia que não desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor 
é de 20 cm e sua frequência de rotação 𝑓1 é de 3600 rpm, qual é a frequência de rotação 𝑓2 da polia 
maior, em rpm, cujo raio vale 50 cm? 
a) 9000 b) 7200 c) 1440 d) 720 
Comentários: 
 Neste tipo de acoplamento, sabemos que as velocidades lineares são iguais, portanto: 
𝑣1 = 𝑣2 
𝜔1𝑅1 = 𝜔2𝑅2 
2𝜋𝑓1𝑅1 = 2𝜋𝑓2𝑅2 
𝑓2 =
𝑅1
𝑅2
∙ 𝑓1 
𝑓2 =
20
50
∙ 3600 
𝑓2 = 1440 𝑟𝑝𝑚 
Gabarito: C 
 (EEAR – 2015) 
Calcule a velocidade tangencial, em km/h, do movimento de translação do planeta Terra em torno 
do Sol. Para esse cálculo considere: 
1. que a luz do Sol leva 8 minutos para chegar até a Terra. 
2. a velocidade da luz no vácuo igual a 3 ∙ 108 𝑚/𝑠. 
3. as dimensões da Terra e do Sol devem ser desprezadas. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
4. o raio do movimento circular da Terra em torno do Sol como a distância que a luz percorre em 8 
minutos. 
5. o movimento da Terra em torno do Sol como sendo um Movimento Circular Uniforme (MCU). 
6. o valor de 𝜋 = 3. 
7. um ano = 360 dias. 
a) 10.000 b) 24.000 c) 36.000 d) 100.000 
Comentários: 
 Diante das considerações feitas em questão, a velocidade tangencial da terra é dada por: 
𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 
 O raio do movimento circular realizado pela Terra em torno do Sol (considerado em 
questão) é calculado através do tempo que a luz leva para chegar a Terra: 
𝑅 = 𝑐 ∙ ∆𝑡 
𝑅 = 3 ∙ 108 ∙ 8 ∙ 60 
𝑅 = 144 ∙ 109 𝑚 
𝑅 = 144 ∙ 106 𝑘𝑚 
 A velocidade angular pode ser determinada a partir do período que a Terra leva para dar 
uma volta em torno do Sol: 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
𝜔 =
2 ∙ 3
360 ∙ 24
 
 Portanto: 
𝑣 =
2 ∙ 3
360 ∙ 24
∙ 144 ∙ 106 
𝑣 = 100.000 𝑘𝑚/ℎ 
Gabarito: D 
 (EEAR – 2014) 
Numa pista circular de 100 m de diâmetro um corredor A, mantendo o módulo da velocidade 
tangencial constante de valor igual 6 m/s, corre durante 5 min, completando várias voltas. Para que 
um corredor B, correndo nesta mesma pista, saindo do mesmo ponto e durante o mesmo tempo, 
consiga completar duas voltas a mais que o corredor A é necessário que este mantenha uma 
velocidade tangencial de módulo constante e igual a _________ m/s. 
Adote: 𝜋 = 3,0. 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 
Comentários: 
 A variação angular de B deve ser a mesma que a de A mais 2 voltas, isto é: 
∆𝜑𝐵 = ∆𝜑𝐴 + 2 ∙ 2𝜋 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔𝐵 ∙ ∆𝑡 = 𝜔𝐴 ∙ ∆𝑡 + 2 ∙ 2𝜋 
𝑣𝐵
𝑅
∙ ∆𝑡 =
𝑣𝐴
𝑅𝐴
∙ ∆𝑡 + 2 ∙ 2𝜋 
 Substituindo valores, temos: 
𝑣𝐵
50
∙ (5 ∙ 60) =
6
50
∙ (5 ∙ 60) + 2 ∙ 2 ∙ 3 
6𝑣𝐵 = 36 + 12 
𝑣𝐵 = 8 𝑚/𝑠 
Gabarito: A 
 (EEAR – 2011) 
Devido ao mau tempo sobre o aeroporto, uma aeronave começa a executar um movimento circular 
uniforme sobre a pista, mantendo uma altitude constante de 1000 m. Sabendo que a aeronave 
possui velocidade linear de 500 km/h e que executará o movimento sob um raio de 5 km, qual será 
o tempo gasto, em h, para que essa aeronave complete uma volta. 
a) 𝜋/50. b) 𝜋/100. c) 10𝜋. d) 50𝜋. 
Comentários: 
 Se a velocidade linear é de 500 km/h e o raio do movimento circular executado pela 
aeronave é de 5 km, então a velocidade angular é dada por: 
𝜔 =
𝑣
𝑅
=
500
5
= 100 𝑟𝑎𝑑/ℎ 
 Logo, o período é dado por: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 
𝑇 =
2𝜋
100
 
𝑇 =
𝜋
50
 ℎ 
Gabarito: A 
 (EEAR – 2007) 
No movimento circular uniforme a velocidade angular (𝜔) não depende 
a) do raio da circunferência. 
b) da sua frequência. 
c) do seu período. 
d) do tempo gasto para completar uma volta. 
Comentários: 
 A velocidade angular no MCU pode ser calculada como: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓 
 Não depende do raio da circunferência. Lembrando que período é o tempo gasto para dar 
uma volta completa. 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
5. Lista de questões nível 2 
 (AFA - 2021) 
Na Figura 1, a seguir, tem-se uma vista de cima de um movimento circular uniforme descrito por 
duas partículas, A e B, que percorrem trajetórias semicirculares, de raios RA e RB, respectivamente, 
sobre uma mesa, mantendo-se sempre alinhadas com centro C. 
 
Ao chegarem à borda da mesa, conforme ilustra a Figura 2, as partículas são lançadas 
horizontalmente e descrevem trajetórias parabólicas, livres de quaisquer forças de resistência, até 
chegarem ao piso, que é plano e horizontal. Ao longo dessa queda, as partículas A e B percorrem 
distâncias horizontais, XA e XB, respectivamente. 
 
Considerando RB = 4RA, a razão XB/XA será igual a 
A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 4 
 (EN - 2021) 
Um sistema de polias está conectado por uma correia como na figura abaixo. A polia A, com raio de 
18,0 cm, é concêntrica e solidária à polia B, dentada, com raio de 10,0 cm. A polia matriz M tem um 
raio de 25,0 cm. Sabendo-se que a polia C, também dentada e em contato com a polia B, tem uma 
aceleração tangencial na borda de módulo constante igual a 2,00 m/s² e que a correia não desliza 
nas polias, calcule a velocidade angular aproximada da polia matriz M, em rpm, após 10,0 segundos, 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
considerando que o sistema partiu do repouso e que os raios das polias dentadas B e C foram 
medidos até a altura média dos dentes, e assinale a opção correta. 
Dado: 𝜋 = 3,14. 
 
(A) 9,15 ⋅ 102 
(B) 1,22 ⋅ 103 
(C) 1,38 ⋅ 103 
(D) 1,46 ⋅ 103 
(E) 1,51 ⋅ 103 
 (EFOMM – 2017) 
Considere uma polia girando em torno de seu eixo central, conforme figura abaixo. A velocidade dos 
pontos 𝐴 e 𝐵 são, respectivamente, 60 𝑐𝑚/𝑠 e 0,3 𝑚/𝑠. A distância 𝐴𝐵 vale 10 𝑐𝑚. O diâmetro e a 
velocidade angular da polia, respectivamente, valem: 
 
a) 10 𝑐𝑚 e 1,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 b) 20 𝑐𝑚 e 1,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 c) 40 𝑐𝑚 e 3,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
d) 50 𝑐𝑚 e 0,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e) 60 𝑐𝑚 e 2,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 (EFOMM – 2012) 
Devido à resistência do ar, após algum tempo descendo sem pedalar um longo plano inclinado de 
30°, o ciclista da figura atingiu uma velocidade escalar máxima constante 𝑣, com as rodas de raio 
igual a25,0 𝑐𝑚 girando, sem deslizar, com frequência angular de 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Nessa velocidade, 
considerando uma altura inicial ℎ igual a 75,0 𝑚, a roda dianteira tocara o plano horizontal num 
intervalo de tempo, em segundos, igual a 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
a) 375 b) 240 c) 150 d) 60,0 e) 33,3 
 (EFOMM – 2008) 
 
Na figura acima, temos um sistema de transmissão de movimento de um dos motores auxiliares de 
um navio, formado por três discos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Os raios dos discos 𝐵 e 𝐶 são iguais e correspondem à 
metade do raio do disco 𝐴. Sabe-se que o disco 𝐴 move-se solidariamente com o disco 𝐵 através de 
uma correia, e que os discos 𝐴 e 𝐶 estão ligados ao mesmo eixo central. Analise as afirmativas 
abaixo. 
I. A velocidade angular do disco 𝐶 é metade do disco 𝐵. 
II. A velocidade escalar de um ponto do perímetro do disco 𝐴 é o dobro da velocidade escalar de um 
ponto do perímetro do disco 𝐶. 
II. Os discos 𝐵 e 𝐶 têm a mesma velocidade escalar em pontos de seus perímetros. 
III. O período do disco 𝐶 é o dobro do período do disco 𝐵. 
IV. As frequências dos discos 𝐴 e 𝐵 são iguais. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) As afirmativas II e I são verdadeiras. 
c) As afirmativas III e IV são verdadeiras. 
d) As afirmativas I, II, IV são verdadeiras. 
e) As afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 (EN – 2014) 
Observe o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
0 gráfico da figura acima mostra a variação do raio da Terra (𝑅) com a latitude (𝜙). Observe que 
foram acrescentadas informações para algumas latitudes, sobre a menor distância entre o eixo da 
Terra e um ponto 𝑃 na superfície da Terra ao nível do mar, ou seja, 𝑅 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙. Considerando que a 
Terra gira com uma velocidade angular 𝜔𝑇 = 𝜋/12 (𝑟𝑎𝑑/ℎ), qual é, aproximadamente, a latitude 
de 𝑃 quando a velocidade de 𝑃 em relação ao centro da Terra se aproxima numericamente da 
velocidade do som? 
Dados: 𝑣𝑠𝑜𝑚 = 340 𝑚/𝑠 e 𝜋 = 3. 
a) 0° b) 20° c) 40° d) 60° e) 80° 
 (EN – 2015) 
Analise a figura abaixo. 
 
Na figura acima temos um dispositivo 𝐴 que libera partículas a partir do repouso com um período 
𝑇 = 3 𝑠. Logo abaixo do dispositivo, a uma distância 𝐻, um disco contém um orifício que permite a 
passagem de todas as partículas liberadas pelo dispositivo. Sabe-se que entre a passagem de duas 
partículas, o disco executa 3 voltas completas em torno de seu eixo. Se elevarmos o disco a uma 
altura 𝐻/4 do dispositivo, qual das opções abaixo exibe o conjunto de três velocidades angulares 
𝑤′, em rad/s, possíveis para o disco, de forma tal, que todas as partículas continuem passando pelo 
seu orifício? Dado: considere 𝜋 = 3. 
a) 2/3, 5/3, e 8/3 b) 2, 3 e 5 c) 4/3, 8/3, e 12/3 
d) 4, 7 e 9 e) 6, 8 e 12 
 (AFA – 2009) 
Dispõe-se de quatro polias ideais de raios 𝑅𝐴 = 𝑅, 𝑅𝐵 = 3𝑅, 𝑅𝐶 = 𝑅/2 e 𝑅𝐷 = 𝑅/10 que podem 
ser combinadas e acopladas a um motor cuja frequência de funcionamento tem valor 𝑓. As polias 
podem ser ligadas por correias ideais ou unidas por eixos rígidos e, nos acoplamentos, não ocorre 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
escorregamento. Considere que a combinação dessas polias com o motor deve acionar uma serra 
circular (𝑆) para que ela tenha uma frequência de rotação igual a 5/3 da frequência do motor. Sendo 
assim, marque a alternativa que representa essa combinação de polias. 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 (AFA – 2013) 
A figura 1 abaixo apresenta um sistema formado por dois pares de polias coaxiais, 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, 
acoplados por meio de uma correia ideal e inextensível e que não desliza sobre as polias 𝐶 e 𝐵, tendo 
respectivamente raios 𝑅𝐴 = 1 𝑚, 𝑅𝐵 = 2 𝑚, 𝑅𝐶 = 10 𝑚 e 𝑅𝐷 = 0,5 𝑚. 
 
A polia 𝐴 tem a forma de um cilindro no qual está enrolado um fio ideal e inextensível de 
comprimento 𝐿 = 10𝜋 𝑚 em uma única camada, como mostra a figura 2. 
 
Num dado momento, a partir do repouso, o fio é puxado pela ponta 𝑃, por uma força �⃗� constante 
que imprime uma aceleração linear a, também constante, na periferia da polia 𝐴, até que o fio se 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
solte por completo desta polia. A partir desse momento, a polia 𝐶 gira até parar após 𝑛 voltas, sob 
a ção de uma aceleração angular constante de tal forma que o gráfico da velocidade angular da polia 
𝐷 em função do tempo é apresentado na figura 3. 
 
Nessas condições, o número total de voltas dadas pela polia 𝐴 até parar e o módulo da aceleração 
𝑎, em 𝑚/𝑠2, são, respectivamente, 
a) 5𝑛, 𝜋 b) 5𝑛, 5𝜋 c) 2(𝑛 – 1), 3𝜋 d) 5(𝑛 + 1), 5𝜋 
 (ITA-1989) 
Num plano horizontal, sem atrito, uma partícula 𝑚1 move-se com movimento circular uniforme de 
velocidade angular 𝜔. Ao passar pelo ponto P, outra partícula, 𝑚2, é lançada do ponto O com 
velocidade �⃗�. Qual é o módulo de 𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗ para que 𝑚1 e 𝑚2 colidam em Q? 
a) 2𝜋. 𝑟. 𝜔 
b) 
2𝜔
𝜋𝑟
 
c) 
2𝑟𝜔
𝜋
 
d) 
𝑟𝜔
𝜋
 
e)𝜋. 𝑟. 𝜔 
 (ITA-1972) 
No movimento circular e uniforme de uma partícula, considerando-se como vetores as grandezas 
físicas envolvidas, podemos afirmar que: 
a) Força, aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
b) Aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
c) Velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
d) Velocidade angular é constante. 
e) Nenhuma das grandezas é constante. 
 (ITA-1991) 
Considere dois carros que estejam participando de uma corrida. O carro A consegue realizar cada 
volta em 80 s enquanto o carro B é 5,0% mais lento. O carro A é forçado a uma parada nos boxes ao 
completar a volta de número 6. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro A perde 135 
s. Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer? 
a) 28. b) 27. c) 33. d) 34. e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
6. Gabarito sem comentários nível 2 
1. D 
2. C 
3. C 
4. D 
5. A 
6. C 
7. E 
8. A 
9. D 
10. C 
11. D 
12. C 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
7. Lista de questões nível 2 comentada 
 (AFA - 2021) 
Na Figura 1, a seguir, tem-se uma vista de cima de um movimento circular uniforme descrito por 
duas partículas, A e B, que percorrem trajetórias semicirculares, de raios RA e RB, respectivamente, 
sobre uma mesa, mantendo-se sempre alinhadas com centro C. 
 
Ao chegarem à borda da mesa, conforme ilustra a Figura 2, as partículas são lançadas 
horizontalmente e descrevem trajetórias parabólicas, livres de quaisquer forças de resistência, até 
chegarem ao piso, que é plano e horizontal. Ao longo dessa queda, as partículas A e B percorrem 
distâncias horizontais, XA e XB, respectivamente. 
 
Considerando RB = 4RA, a razão XB/XA será igual a 
A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 4 
Comentários: 
A velocidade angular é constante pois as partículas sempre têm o mesmo ângulo uma em relação 
à outra: 
𝑣𝐴 = 𝜔𝑅𝐴 
𝑣𝐵 = 𝜔𝑅𝐵 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
O tempo de queda das partículas será o mesmo, pois ambas estão na mesma altura: 
𝑥𝐴 = 𝑣𝐴𝑡 
𝑥𝐵 = 𝑣𝐵𝑡 
Logo: 
𝑥𝐵
𝑥𝐴
=
𝑣𝐵
 𝑣𝐴
=
𝑅𝐵
𝑅𝐴
= 4 
Gabarito: D 
 (EN - 2021) 
Um sistema de polias está conectado por uma correia como na figura abaixo. A polia A, com raio de 
18,0 cm, é concêntrica e solidária à polia B, dentada, com raio de 10,0 cm. A polia matriz M tem um 
raio de 25,0 cm. Sabendo-se que a polia C, também dentada e em contato com a polia B, tem uma 
aceleração tangencial na borda de módulo constanteigual a 2,00 m/s² e que a correia não desliza 
nas polias, calcule a velocidade angular aproximada da polia matriz M, em rpm, após 10,0 segundos, 
considerando que o sistema partiu do repouso e que os raios das polias dentadas B e C foram 
medidos até a altura média dos dentes, e assinale a opção correta. 
Dado: 𝜋 = 3,14. 
 
(A) 9,15 ⋅ 102 
(B) 1,22 ⋅ 103 
(C) 1,38 ⋅ 103 
(D) 1,46 ⋅ 103 
(E) 1,51 ⋅ 103 
Comentários: 
 Inicialmente, devemos notar que as polias A e B estão acopladas com eixo em comum. Portanto, 
elas possuem a mesma velocidade angular. 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
𝑣𝐴
𝑅𝐴
=
𝑣𝐵
𝑅𝐵
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 Por outro lado, B e C estão acoplados com contato direto, então elas possuem a mesma velocidade 
linear. No instante considerado, temos: 
𝑣𝑐 = 0 + 𝑎 ⋅ 𝑡 
𝑣𝐶 = 2 ⋅ 10 = 20 𝑚/𝑠 
∴ 𝑣𝐵 = 20 𝑚/𝑠 
 Dessa, podemos encontrar a velocidade linear de A: 
𝑣𝐴 = (
𝑅𝐴
𝑅𝐵
) ⋅ 𝑣𝐵 = (
18
10
) ⋅ 20 
𝑣𝐴 = 36 𝑚/𝑠 
 Como A e M são ligas por uma correia dentada, elas possuem a mesma velocidade linear. Assim, 
a velocidade angular de M é de: 
𝜔𝑀 =
𝑣𝑀
𝑅𝑀
=
36
0,25
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Para passar para rpm basta dividir por 2𝜋/60. Logo: 
𝜔𝑀 =
36
0,25
2𝜋
60
 
𝜔𝑀 = 1,3 ⋅ 10
3 𝑟𝑝𝑚 
Gabarito: C 
 (EFOMM – 2017) 
Considere uma polia girando em torno de seu eixo central, conforme figura abaixo. A velocidade dos 
pontos 𝐴 e 𝐵 são, respectivamente, 60 𝑐𝑚/𝑠 e 0,3 𝑚/𝑠. A distância 𝐴𝐵 vale 10 𝑐𝑚. O diâmetro e a 
velocidade angular da polia, respectivamente, valem: 
 
a) 10 𝑐𝑚 e 1,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 b) 20 𝑐𝑚 e 1,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 c) 40 𝑐𝑚 e 3,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
d) 50 𝑐𝑚 e 0,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e) 60 𝑐𝑚 e 2,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Comentários: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 Se a polia está girando em torno do eixo, portanto a velocidade angular do ponto 𝐴 e do ponto 𝐵 
são iguais. Transformando as unidades para o SI, temos: 
𝜔 =
𝑉𝐴
𝑅𝐴
=
𝑉𝐵
𝑅𝐵
 
0,6
𝑅𝐴
=
0,3
𝑅𝐵
 
0,6
𝑅𝐴
=
0,3
𝑅𝐴 − 0,1
 
2𝑅𝐴 − 0,2 = 𝑅𝐴 
𝑅𝐴 = 0,2 𝑚 
𝐷 = 0,4 𝑚 = 40 𝑐𝑚 
 Logo: 
𝜔 =
0,6
0,2
= 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Gabarito: C 
 (EFOMM – 2012) 
Devido à resistência do ar, após algum tempo descendo sem pedalar um longo plano inclinado de 
30°, o ciclista da figura atingiu uma velocidade escalar máxima constante 𝑣, com as rodas de raio 
igual a 25,0 𝑐𝑚 girando, sem deslizar, com frequência angular de 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Nessa velocidade, 
considerando uma altura inicial ℎ igual a 75,0 𝑚, a roda dianteira tocara o plano horizontal num 
intervalo de tempo, em segundos, igual a 
 
a) 375 b) 240 c) 150 d) 60,0 e) 33,3 
Comentários: 
 Como a roda gira sem deslizar, podemos dizer que a velocidade tangencial da roda é dada por: 
𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 
 Da geometria do problema, a distância percorrida no plano inclinado é dada por: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Δ𝑠 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
 
 Em que 𝜃 é a inclinação do plano com a horizontal. Portanto, o tempo gasto é de: 
Δ𝑡 =
Δ𝑠
𝑣
=
ℎ
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝜔 ⋅ 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎
 
Δ𝑡 =
ℎ
𝜔 ⋅ 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
 
 Substituindo valores: 
Δ𝑡 =
75
10 ⋅ 0,25 ⋅
1
2
∴ Δ𝑡 = 60,0 𝑠 
Gabarito: D 
 (EFOMM – 2008) 
 
Na figura acima, temos um sistema de transmissão de movimento de um dos motores auxiliares de 
um navio, formado por três discos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Os raios dos discos 𝐵 e 𝐶 são iguais e correspondem à 
metade do raio do disco 𝐴. Sabe-se que o disco 𝐴 move-se solidariamente com o disco 𝐵 através de 
uma correia, e que os discos 𝐴 e 𝐶 estão ligados ao mesmo eixo central. Analise as afirmativas 
abaixo. 
I. A velocidade angular do disco 𝐶 é metade do disco 𝐵. 
II. A velocidade escalar de um ponto do perímetro do disco 𝐴 é o dobro da velocidade escalar de um 
ponto do perímetro do disco 𝐶. 
II. Os discos 𝐵 e 𝐶 têm a mesma velocidade escalar em pontos de seus perímetros. 
III. O período do disco 𝐶 é o dobro do período do disco 𝐵. 
IV. As frequências dos discos 𝐴 e 𝐵 são iguais. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) As afirmativas II e I são verdadeiras. 
c) As afirmativas III e IV são verdadeiras. 
d) As afirmativas I, II, IV são verdadeiras. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
e) As afirmativas I e IV são verdadeiras. 
Comentários: 
 Diante do sistema em questão, temos que: 
𝑅𝐵 = 𝑅𝐶 =
𝑅𝐴
2
 
 Além disso, de acordo com sistema de transmissão criado, temos: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐶 
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 
𝜔𝐴𝑅𝐴 = 𝜔𝐵𝑅𝐵 
𝜔𝐴𝑅𝐴 = 𝜔𝐵
𝑅𝐴
2
 
𝜔𝐴 =
𝜔𝐵
2
 
 Portanto, o item I está errado. Como 𝜔𝐴 = 𝜔𝐶, então: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐶 ⇒
𝑣𝐴
𝑅𝐴
=
𝑣𝐶
𝑅𝐶
⇒
𝑣𝐴
2𝑅𝐶
=
𝑣𝐶
𝑅𝐶
⇒ 𝑣𝐴 = 2𝑣𝐶 
 Mas: 
𝜔𝐶 = 2𝜔𝐵 
𝑣𝐶
𝑅𝐶
=
2𝑣𝐵
𝑅𝐵
⇒ 𝑣𝐶 = 2𝑣𝐵 
 Logo, o item II está incorreto. Como 𝜔𝐴 = 𝜔𝐶 = 2𝜔𝐵, então: 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐶 = 2𝜔𝐵 
2𝜋
𝑇𝐴
=
2𝜋
𝑇𝐶
= 2
2𝜋
𝑇𝐵
 
𝑇𝐵 = 2𝑇𝐶 = 2𝑇𝐴 
 Assim, o período de B é o dobro de C. Por fim, como 𝜔𝐴 = 2𝜔𝐵, então: 
𝜔𝐴 = 2𝜔𝐵 
2𝜋𝑓𝐴 = 2 ⋅ 2𝜋𝑓𝐵 
𝑓𝐴 = 2𝑓𝐵 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 O item IV também está incorreto. 
Gabarito: A 
 (EN – 2014) 
Observe o gráfico a seguir. 
 
0 gráfico da figura acima mostra a variação do raio da Terra (𝑅) com a latitude (𝜙). Observe que 
foram acrescentadas informações para algumas latitudes, sobre a menor distância entre o eixo da 
Terra e um ponto 𝑃 na superfície da Terra ao nível do mar, ou seja, 𝑅 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙. Considerando que a 
Terra gira com uma velocidade angular 𝜔𝑇 = 𝜋/12 (𝑟𝑎𝑑/ℎ), qual é, aproximadamente, a latitude 
de 𝑃 quando a velocidade de 𝑃 em relação ao centro da Terra se aproxima numericamente da 
velocidade do som? 
Dados: 𝑣𝑠𝑜𝑚 = 340 𝑚/𝑠 e 𝜋 = 3. 
a) 0° b) 20° c) 40° d) 60° e) 80° 
Comentários: 
 Segundo o enunciado, temos: 
 
 Logo: 
𝑉𝑃 = 𝜔𝑇 ⋅ 𝑅 ⋅ cos 𝜙 
 Colocando a velocidade em km/h, temos: 
340 ⋅ 3,6 =
𝜋
12
⋅ 𝑅 ⋅ cos𝜙 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝑅 ⋅ cos𝜙 =
340 ⋅ 3,6 ⋅ 12
3
= 4896 𝑘𝑚 
 De acordo com o gráfico, a latitude é de 40°. 
Gabarito: C 
 (EN – 2015) 
Analise a figura abaixo. 
 
Na figura acima temos um dispositivo 𝐴 que libera partículas a partir do repouso com um período 
𝑇 = 3 𝑠. Logo abaixo do dispositivo, a uma distância 𝐻, um disco contém um orifício que permite a 
passagem de todas as partículas liberadas pelo dispositivo. Sabe-se que entre a passagem de duas 
partículas, o disco executa 3 voltas completas em torno de seu eixo. Se elevarmos o disco a uma 
altura 𝐻/4 do dispositivo, qual das opções abaixo exibe o conjunto de três velocidades angulares 
𝑤′, em rad/s, possíveis para o disco, de forma tal, que todas as partículas continuem passando pelo 
seu orifício? Dado: considere 𝜋 = 3. 
a) 2/3, 5/3, e 8/3 b) 2, 3 e 5 c) 4/3, 8/3, e 12/3 
d) 4, 7 e 9 e) 6, 8 e 12 
Comentários: 
 Como a cada 3 segundos uma bolinha é liberada, independente da altura de queda, a passagem 
entre duas bolinhas consecutivas deve ser de 3 segundos. Portanto, o disco deve executar no mínimo, 
uma volta a cada 3 segundos, ou valores inteiros desse valor. Assim, as frequências possíveis são dadas 
por: 
𝑓 = (
1
3
,
2
3
,
3
3
,
4
3
,… ) 𝐻𝑧 
 Sabendo que 𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓, considerando 𝜋 = 3, temos as possíveis velocidades angulares do disco: 
𝜔 = 2 ⋅ 3 ⋅ (
1
3
,
2
3
,
3
3
,
4
3
,… ) 
𝜔 = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,… )𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 Dentro das alternativas, apenas a letra E possui algum destes valores. 
Gabarito: E 
 (AFA – 2009) 
Dispõe-se de quatro polias ideais de raios 𝑅𝐴 = 𝑅, 𝑅𝐵 = 3𝑅, 𝑅𝐶 = 𝑅/2 e 𝑅𝐷 = 𝑅/10 que podem 
ser combinadas e acopladas a um motor cujafrequência de funcionamento tem valor 𝑓. As polias 
podem ser ligadas por correias ideais ou unidas por eixos rígidos e, nos acoplamentos, não ocorre 
escorregamento. Considere que a combinação dessas polias com o motor deve acionar uma serra 
circular (𝑆) para que ela tenha uma frequência de rotação igual a 5/3 da frequência do motor. Sendo 
assim, marque a alternativa que representa essa combinação de polias. 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
Comentários: 
 Para polias com o mesmo eixo de rotação, temos: 
𝑓1 = 𝑓2 
 Para polias com correia em comum, temos: 
𝑣3 = 𝑣4 
𝜔3 ⋅ 𝑅3 = 𝜔4 ⋅ 𝑅4 
2𝜋 ⋅ 𝑓3 ⋅ 𝑅3 = 2𝜋 ⋅ 𝑓4 ⋅ 𝑅4 
𝑓3 ⋅ 𝑅3 = 𝑓4 ⋅ 𝑅4 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 Ou seja, quando maior o raio, menor a frequência. Segundo o enunciado, queremos a combinação 
que leva a seguinte relação: 
𝑓𝑠𝑒𝑟𝑟𝑎 =
5
3
⋅ 𝑓𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 
3 ⋅ 𝑓𝑠𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5 ⋅ 𝑓𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 
 De acordo com a relação dos raios mostrada, vemos que 𝐴 e 𝐵 tem raios na razão: 
𝑅𝐴 = 𝑅 e 𝑅𝐵 = 3𝑅 
𝑅𝐵 = 3𝑅𝐴 
 Portanto, A e B devem estar ligados por uma correia, pois assim: 
𝑓𝐴 = 𝑓𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 3𝑓𝐵 
 Por outro lado, se relacionarmos C e D, vemos que: 
𝑅𝐶 =
𝑅
2
 𝑒 𝑅𝐷 =
𝑅
10
 
 Se ligarmos 𝐶 e 𝐷 por uma corrente, temos: 
𝑓𝐶 ⋅ 𝑅𝐶 = 𝑓𝐷 ⋅ 𝑅𝐷 
𝑓𝐶 ⋅
𝑅
2
= 𝑓𝐷 ⋅
𝑅
10
 
𝑓𝐷 = 5𝑓𝐶 
 Repare que assim, produzimos o termo 5 ⋅ 𝑓 desejado na combinação. Então, é desejado que 𝐷 
esteja em eixo comum com a serra, para que 𝑓𝐷 = 𝑓𝑠𝑒𝑟𝑟𝑎. Por outro, lado, devemos ter 𝐵 e 𝐶 em eixo 
comum, pois: 
𝑓𝐵 = 𝑓𝐶 
𝑓𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
3
=
𝑓𝑠𝑒𝑟𝑟𝑎
5
 
𝑓𝑠𝑒𝑟𝑟𝑎 =
5
3
𝑓𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 
Logo, a combinação em 𝐴 fornece a relação desejada. 
Gabarito: A 
 (AFA – 2013) 
A figura 1 abaixo apresenta um sistema formado por dois pares de polias coaxiais, 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, 
acoplados por meio de uma correia ideal e inextensível e que não desliza sobre as polias 𝐶 e 𝐵, tendo 
respectivamente raios 𝑅𝐴 = 1 𝑚, 𝑅𝐵 = 2 𝑚, 𝑅𝐶 = 10 𝑚 e 𝑅𝐷 = 0,5 𝑚. 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
A polia 𝐴 tem a forma de um cilindro no qual está enrolado um fio ideal e inextensível de 
comprimento 𝐿 = 10𝜋 𝑚 em uma única camada, como mostra a figura 2. 
 
Num dado momento, a partir do repouso, o fio é puxado pela ponta 𝑃, por uma força �⃗� constante 
que imprime uma aceleração linear a, também constante, na periferia da polia 𝐴, até que o fio se 
solte por completo desta polia. A partir desse momento, a polia 𝐶 gira até parar após 𝑛 voltas, sob 
a ção de uma aceleração angular constante de tal forma que o gráfico da velocidade angular da polia 
𝐷 em função do tempo é apresentado na figura 3. 
 
Nessas condições, o número total de voltas dadas pela polia 𝐴 até parar e o módulo da aceleração 
𝑎, em 𝑚/𝑠2, são, respectivamente, 
a) 5𝑛, 𝜋 b) 5𝑛, 5𝜋 c) 2(𝑛 – 1), 3𝜋 d) 5(𝑛 + 1), 5𝜋 
Comentários: 
 De acordo com o sistema físico proposto, sabemos que 𝐶 e 𝐷 possuem eixo em comum, ou seja, 
eles possuem a mesma velocidade angular, 𝜔𝐶 = 𝜔𝐷 e, após o fio se soltar, 𝜔𝐷 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠. 
 As polias 𝐶 e 𝐷 estão ligadas por uma correia, então elas possuem a mesma velocidade linear. 
Portanto: 
𝑣𝐶 = 𝑣𝐵 ⇒ 𝜔𝐶 ⋅ 𝑅𝐶 = 𝜔𝐵 ⋅ 𝑅𝐵 
2𝜋 ⋅ 10 = 𝜔𝐵 ⋅ 2 
𝜔𝐵 = 10𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Agora, perceba que A e B estão conectadas axialmente, conferindo a elas a mesma velocidade 
angular. Então: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔𝐵 = 𝜔𝐴 = 10𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 Assim, a velocidade linear em A, após o fio se soltar, é dada por: 
𝑣𝐴 = 𝜔𝐴 ⋅ 𝑅𝐴 
𝑣𝐴 = 10𝜋 ⋅ 1 
𝑣𝐴 = 10𝜋 𝑚/𝑠 
 Aplicando a equação de Torricelli, vem: 
𝑣𝐴
2 = 02 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ L 
(10𝜋)2 = 2 ⋅ 𝑎 ⋅ (10𝜋) 
𝑎 = 5𝜋 𝑚/𝑠2 
 Note que a velocidade angular de A e de B é 5 vezes maior que a de C e de D, então a polia A dará 
5𝑛 voltas se a polia 𝐶 girar 𝑛 voltas até parar. Entretanto, inicialmente, A andou o comprimento dado pelo 
comprimento do fio 𝐿 = 10𝜋 𝑚, que corresponde a 5 ⋅ 2𝜋, isto é, 5 voltas completas. Portanto, A andou 
5𝑛 + 5 voltas. 
Gabarito: D 
 (ITA-1989) 
Num plano horizontal, sem atrito, uma partícula 𝑚1 move-se com movimento circular uniforme de 
velocidade angular 𝜔. Ao passar pelo ponto P, outra partícula, 𝑚2, é lançada do ponto O com 
velocidade �⃗�. Qual é o módulo de 𝑣0⃗⃗⃗⃗⃗ para que 𝑚1 e 𝑚2 colidam em Q? 
a) 2𝜋. 𝑟. 𝜔 
b) 
2𝜔
𝜋𝑟
 
c) 
2𝑟𝜔
𝜋
 
d) 
𝑟𝜔
𝜋
 
e)𝜋. 𝑟. 𝜔 
Comentários: 
O tempo gasto pela partícula 1 para sair de P e chegar em Q, realizando um MCU é o mesmo tempo 
para a partícula que sai de O para Q. 
Δ𝑡1 =
Δ𝜑1
𝜔1
=
𝜋
2
𝜔
 
Δ𝑡2 =
Δ𝑠2
𝑣2
=
𝑅
𝑣0
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Como Δ𝑡1 = Δ𝑡2, temos que: 
𝜋
2𝜔
=
𝑅
𝑣0
⇒ 𝑣0 =
2𝜔𝑅
𝜋
 
Gabarito: C 
 (ITA-1972) 
No movimento circular e uniforme de uma partícula, considerando-se como vetores as grandezas 
físicas envolvidas, podemos afirmar que: 
a) Força, aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
b) Aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
c) Velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
d) Velocidade angular é constante. 
e) Nenhuma das grandezas é constante. 
Comentários: 
Vamos lembrar que no movimento circular uniforme, MCU, a velocidade angular é constante, 
entretanto, ainda não falamos sobre as causas que tornam o movimento circular possível. 
Quando dizemos que a aceleração linear é nula, estamos pensando na aceleração que altera a 
velocidade linear, que está diretamente ligada a velocidade angular pela relação 𝑣 = 𝜔. 𝑅. Entretanto, 
ainda existe uma aceleração no movimento circular que garante o formato da trajetória, a famosa 
aceleração centrípeta. 
Vamos discutir sua importância no movimento na próxima aula. Portanto, o único fato que temos 
certeza de considerar no MCU é a velocidade angular ser constante. 
Gabarito: D 
 (ITA-1991) 
Considere dois carros que estejam participando de uma corrida. O carro A consegue realizar cada 
volta em 80 s enquanto o carro B é 5,0% mais lento. O carro A é forçado a uma parada nos boxes ao 
completar a volta de número 6. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro A perde 135 
s. Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer? 
a) 28. b) 27. c) 33. d) 34. e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
Comentários: 
Definindo 𝑣𝐴 e 𝑣𝐵 as velocidades escalares médias em cada volta dos carros A e B, temos do 
enunciado que: 
𝑣𝐵 = 0,95 𝑣𝐴 
2𝜋𝑅
𝑡𝐵
=
0,95.2𝜋𝑅
𝑡𝐴
⇒ 𝑡𝐵 ≅ 84,2 𝑠 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Este resultado mostra que a diferença entre os períodos é de 4,2 segundos. 
Quando A para ao completar a 6ª volta, o carro A tem uma vantagem sobre B é de: 
6𝑥4,2 = 25,2 𝑠 
Dessa forma, podemos dizer que a desvantagem de A, quando parar nos boxes é de 135 s. Logo, a 
desvantagem de A em relação a B é de: 
135 − 25,2 = 109,8 𝑠 
O número de voltas necessárias para que A alcance B é de: 
109,8
4,2
≅ 26,1 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 
Dessa forma, são necessárias mais 27 voltas desde a parada para A vencer. Como já foram 6 voltas, 
a corrida deve ter no mínimo 33 voltas. 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
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8. Lista de questões nível 3 
 (ITA-1988) 
Um disco gira, em torno de seu eixo, sujeito a um torque constante (aceleração linear constante). 
Determinando-se a velocidade angular média entre os instantes 𝑡 = 2,0 𝑠 e 𝑡 = 6,0 𝑠, obteve-se 
10 𝑟𝑎𝑑/𝑠, e, entre os instantes 𝑡 = 10 𝑠 e 𝑡 = 18 𝑠, obteve-se 5,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠. A velocidade angular 
inicial 𝜔0 (em 𝑟𝑎𝑑/𝑠), e a aceleração angular (em 𝑟𝑎𝑑/𝑠2) valem, respectivamente:a) 12 e -0,5. b) 15 e -0,5. c) 20 e 0,5. d) 20 e -2,5. e) 35 e 2,5. 
 (ITA-2001) 
Uma partícula move-se ao longo de uma circunferência circunscrita em um quadrado de lado L, com 
velocidade angular constante. Na circunferência inscrita nesse quadrado, outra partícula move-se 
com a mesma velocidade angular. A razão entre os módulos das respectivas velocidades tangenciais 
dessas partículas é: 
a) √2 b) 2√2 c) 
√2
2
 d) 
√3
2
 e) 
√3
3
 
 (ITA-2001) 
No sistema convencional de tração de bicicletas, o ciclista impele os pedais, cujo eixo movimenta a 
roda dentada (coroa) a ele solidária. Esta, por sua vez, aciona a corrente responsável pela 
transmissão do movimento à outra roda dentada (catraca), acoplada ao eixo traseiro da bicicleta. 
Considere agora um sistema duplo de tração, com 2 coroas, de raios R1 e R2 (R1< R2) e duas catracas 
de raios R3 e R4 (R3 < R4), respectivamente. Obviamente, a corrente só toca uma coroa e uma 
catraca de cada vez, conforme o comando da alavanca de câmbio. A combinação que permite a 
máxima velocidade da bicicleta, para uma velocidade angular dos pedais fixa, é: 
a) Coroa R1 e catraca R3. 
b) Coroa R1 e catraca R4. 
c) Coroa R2 e catraca R3. 
d) Coroa R2 e catraca R4. 
e) Indeterminada já que não se conhece o diâmetro da roda traseira da bicicleta. 
 (ITA-2001) 
Em um farol de sinalização, o feixe de luz acoplado a um mecanismo rotativo realiza uma volta 
completa a cada T segundos. O farol se encontra a uma distância R do centro de uma praia de 
comprimento 2L, conforme a figura. O tempo necessário para o feixe de luz "varrer" a praia, em cada 
volta, é: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 b) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2𝐿
𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 c) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
𝑇
𝜋
 
d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
2𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 e) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
2𝑇
𝜋
 
 (ITA - 2013) 
Um dispositivo é usado para determinar a distribuição de velocidades de um gás. Em 𝑡 = 0, com 
os orifícios 𝑂′ e 𝑂 alinhados no eixo 𝑧, moléculas ejetadas de 𝑂′, após passar por um colimador, 
penetram no orifício 𝑂 do tambor de raio interno 𝑅, que gira com velocidade angular constante 𝜔. 
Considere, por simplificação, que neste instante inicial (𝑡 = 0) as moléculas em movimento 
encontram-se agrupadas em torno do centro do orifício 𝑂. Enquanto o tambor gira, conforme 
mostra a figura, tais moléculas movem-se horizontalmente no interior deste ao longo da direção do 
eixo 𝑧, cada qual com sua própria velocidade, sendo paulatinamente depositadas na superfície 
interna do tambor no final de seus percursos. Nestas condições, obtenha em função do ângulo 𝜃 a 
expressão para 𝑣 − 𝑣𝑚𝑖𝑛, em que 𝑣 é a velocidade da molécula depositada correspondente ao giro 
𝜃 do tambor e 𝑣𝑚𝑖𝑛 é a menor velocidade possível para que as moléculas sejam depositadas durante 
a primeira volta deste. 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
9. Gabarito sem comentários nível 3 
1. A 
2. A 
3. C 
4. C 
5. 𝑅𝜔 (
2
𝜃+2𝑘𝜋
−
1
𝜋
) 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
 
10. Lista de questões nível 3 comentada 
 (ITA-1988) 
Um disco gira, em torno de seu eixo, sujeito a um torque constante (aceleração linear constante). 
Determinando-se a velocidade angular média entre os instantes 𝑡 = 2,0 𝑠 e 𝑡 = 6,0 𝑠, obteve-se 
10 𝑟𝑎𝑑/𝑠, e, entre os instantes 𝑡 = 10 𝑠 e 𝑡 = 18 𝑠, obteve-se 5,0 𝑟𝑎𝑑/𝑠. A velocidade angular 
inicial 𝜔0 (em 𝑟𝑎𝑑/𝑠), e a aceleração angular (em 𝑟𝑎𝑑/𝑠2) valem, respectivamente: 
a) 12 e -0,5. b) 15 e -0,5. c) 20 e 0,5. d) 20 e -2,5. e) 35 e 2,5. 
Comentários: 
Se a aceleração linear constante podemos dizer que a aceleração angular também é constante, 
pois, 𝑎 = 𝛾. 𝑅. 
Novamente, vamos usar nossa equação coringa do MUV aplicada ao MCUV: 
Δ𝜑
Δ𝑡
=
𝜔1 + 𝜔2
2
 
Entre os instantes 2 e 6 segundos: 
𝜔1 + 𝜔2
2
= 10 
⇒ 𝜔1 + 𝜔2 = 20 
Para os instantes 10 e 18 segundos: 
𝜔3 + 𝜔4
2
= 5 
⇒ 𝜔3 +𝜔4 = 10 
Dado que estamos no MCUV, a função horária da velocidade angular é dada por: 
𝜔 = 𝜔0 + 𝛾. 𝑡 
Então podemos escrever que: 
𝜔1 = 𝜔0 + 𝛾. 2 
𝜔2 = 𝜔0 + 𝛾. 6 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝜔3 = 𝜔0 + 𝛾. 10 
𝜔4 = 𝜔0 + 𝛾. 18 
Portanto: 
(𝜔0 + 2𝛾) + (𝜔0 + 6𝛾) = 20 
(𝜔0 + 10𝛾) + (𝜔0 + 18𝛾) = 10 
Subtraindo as equações, temos que: 
20𝛾 = −10 ⇒ 𝛾 = −0,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 
Logo: 
2𝜔0 + 8(−0,5) = 20 ⇒ 𝜔0 = 12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Gabarito: A 
 (ITA-2001) 
Uma partícula move-se ao longo de uma circunferência circunscrita em um quadrado de lado L, com 
velocidade angular constante. Na circunferência inscrita nesse quadrado, outra partícula move-se 
com a mesma velocidade angular. A razão entre os módulos das respectivas velocidades tangenciais 
dessas partículas é: 
a) √2 b) 2√2 c) 
√2
2
 d) 
√3
2
 e) 
√3
3
 
Comentários: 
Inicialmente, vamos relembrar a relação da geometria: 
 
Diante da construção geométrica, temos que 𝛼 = 45°, então: 
cos(45°) =
𝑅1
𝑅2
 
𝑅2 = 𝑅1√2 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
Ambas têm a mesma velocidade angular: 
𝑣1 = 𝜔. 𝑅1 
𝑣2 = 𝜔. 𝑅2 
Dividindo a segunda pela primeira, temos que: 
𝑣2
𝑣1
=
𝜔.𝑅2
𝜔. 𝑅1
= √2 
Gabarito: A 
 (ITA-2001) 
No sistema convencional de tração de bicicletas, o ciclista impele os pedais, cujo eixo movimenta a 
roda dentada (coroa) a ele solidária. Esta, por sua vez, aciona a corrente responsável pela 
transmissão do movimento à outra roda dentada (catraca), acoplada ao eixo traseiro da bicicleta. 
Considere agora um sistema duplo de tração, com 2 coroas, de raios R1 e R2 (R1< R2) e duas catracas 
de raios R3 e R4 (R3 < R4), respectivamente. Obviamente, a corrente só toca uma coroa e uma 
catraca de cada vez, conforme o comando da alavanca de câmbio. A combinação que permite a 
máxima velocidade da bicicleta, para uma velocidade angular dos pedais fixa, é: 
a) Coroa R1 e catraca R3. 
b) Coroa R1 e catraca R4. 
c) Coroa R2 e catraca R3. 
d) Coroa R2 e catraca R4. 
e) Indeterminada já que não se conhece o diâmetro da roda traseira da bicicleta. 
Comentários: 
Em uma bicicleta, temos que: 
𝑣𝑏𝑖𝑐 = 𝜔𝑟𝑜𝑑𝑎. 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 (1) 
Como a velocidade angular da roda é a mesma da catraca, podemos reescrever a equação anterior: 
𝑣𝑏𝑖𝑐 = 𝜔𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎. 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 (2) 
Por outro lado, podemos relacionar a velocidade angular da catraca com a velocidade da corrente: 
𝜔𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎 =
𝑣𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎
 
De (2) em (1), temos que: 
𝑣𝑏𝑖𝑐 =
𝑣𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎
. 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 (3) 
Analisando a coroa, escrevemos que: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝑣𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜔𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎. 𝑅𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 (4) 
Substituindo (4) em (3), vem que: 
𝑣𝑏𝑖𝑐 =
𝜔𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎. 𝑅𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎
𝑅𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎
. 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 
Dessa forma, como 𝜔𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 e 𝑅𝑟𝑜𝑑𝑎 são constantes, a velocidade da bicicleta será máxima quando 
o raio da roda for máximo e o raio da catraca é mínimo. 
Assim, 𝑅𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝑅2 e 𝑅𝑐𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑎 = 𝑅3. 
Gabarito: C 
 (ITA-2001) 
Em um farol de sinalização, o feixe de luz acoplado a um mecanismo rotativo realiza uma volta 
completa a cada T segundos. O farol se encontra a uma distância R do centro de uma praia de 
comprimento 2L, conforme a figura. O tempo necessário para o feixe de luz "varrer" a praia, em cada 
volta, é: 
 
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 b) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2𝐿
𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 c) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
𝑇
𝜋
 
d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
2𝑅
) .
𝑇
2𝜋
 e) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
2𝑇
𝜋
 
Comentários: 
Se 𝜃 é o ângulo varrido pelo farol, então, temos que: 
 
Pela trigonometria, temos: 
 
 
 
 
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Prof. Toni BurgattoAULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝑡𝑔 (
𝜃
2
) =
𝐿
𝑅
⇒ 𝜃 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) 
Assim, a velocidade angular do feixe luminoso é dada por: 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
𝜃
Δ𝑡
 
∴ Δ𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐿
𝑅
) .
𝑇
𝜋
 
Gabarito: C 
 (ITA - 2013) 
Um dispositivo é usado para determinar a distribuição de velocidades de um gás. Em 𝑡 = 0, com 
os orifícios 𝑂′ e 𝑂 alinhados no eixo 𝑧, moléculas ejetadas de 𝑂′, após passar por um colimador, 
penetram no orifício 𝑂 do tambor de raio interno 𝑅, que gira com velocidade angular constante 𝜔. 
Considere, por simplificação, que neste instante inicial (𝑡 = 0) as moléculas em movimento 
encontram-se agrupadas em torno do centro do orifício 𝑂. Enquanto o tambor gira, conforme 
mostra a figura, tais moléculas movem-se horizontalmente no interior deste ao longo da direção do 
eixo 𝑧, cada qual com sua própria velocidade, sendo paulatinamente depositadas na superfície 
interna do tambor no final de seus percursos. Nestas condições, obtenha em função do ângulo 𝜃 a 
expressão para 𝑣 − 𝑣𝑚𝑖𝑛, em que 𝑣 é a velocidade da molécula depositada correspondente ao giro 
𝜃 do tambor e 𝑣𝑚𝑖𝑛 é a menor velocidade possível para que as moléculas sejam depositadas durante 
a primeira volta deste. 
 
Comentários: 
Para 𝑣𝑚𝑖𝑛, o tambor dará uma volta completa, então: 
𝑣𝑚𝑖𝑛 =
2𝑅
Δ𝑡𝑚𝑖𝑛
=
2𝑅
2𝜋
𝜔
=
𝑅𝜔
𝜋
 
Para 𝑣, o tambor dará uma volta correspondente a um ângulo 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Logo: 
𝑣 =
2𝑅𝜔
𝜃 + 2𝑘𝜋
 
Portanto: 
 
 
 
 
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AULA 02 – Movimentos circulares 
 
𝑣 − 𝑣𝑚𝑖𝑛 = 𝑅𝜔 (
2
𝜃 + 2𝑘𝜋
−
1
𝜋
) 
Gabarito: 𝑹𝝎(
𝟐
𝜽+𝟐𝒌𝝅
−
𝟏
𝝅
) 
 
11. Referências Bibliográficas 
[1] Calçada, Caio Sérgio. Física Clássica. 1. ed. Saraiva Didáticos, 2012. 576p. 
[2] Bukhovtsev, B.B. Krivtchenkov, V.D. Miakishev, G.Ya. Saraeva, I. M. Problemas Selecionados de Física 
Elementar. 1 ed. MIR, 1977.518p. 
[3] Brito, Renato. Fundamentos de Mecânica. 2 ed. VestSeller, 2010. 496p. 
[4] Departamento de Física do ITA. Algarismos significativos. Disponível em: 
<http://www.fis.ita.br/labfis45/erros/errostextos/erros1.htm> 
[5] IM-UFRJ. Aula 8 Produto Escalar. Disponível em <http://www.im.ufrj.br/nuno/aula8.pdf> 
[6] Camargo, Ivan de. Boulos, Paulo. Geometria analítica: Um tratamento vetorial. 3. Ed. Person Education, 
2004, 560p. 
12. Considerações Finais 
Fique atento aos conceitos apresentados nessa aula pois muitos voltarão a aparecer quando 
estudarmos MCU e MCUV. 
Não fique preso aos resultados de transmissões de movimentos, mas saiba as propriedades de 
cada tipo de acoplamento. 
Conte comigo nessa jornada. Quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões entre em contato pelo 
fórum de dúvidas do Estratégia ou se preferir: 
 
 @proftoniburgatto