Fatoração: MDC e MMC

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FATORAÇÃO: MDC E MMC DE MONÔMIOS E POLINÔMIOS 
 INTRODUÇÃO 
 Fração algébrica, próximo assunto que veremos na sequência, é aquela formada pelo 
quociente de dois polinômios, indicado na forma de fração, e cujo denominador seja uma 
expressão algébrica (possui letras, ou números e letras). Muito importante lembrar que o 
denominador de uma fração numérica é SEMPRE diferente de ZERO! Nas frações algébricas, da 
mesma forma, o polinômio denominador não pode assumir o valor zero. 
Veja quatro exemplos de frações algébricas com as restrições para os denominadores: 
 a. 𝐱 − 𝟑 /𝟕 + 𝐲 , neste caso, 7 + y ≠ 0 → y ≠ – 7 
b. 𝟓𝐚 ² + 𝟔𝐚 –𝟐𝟎/ 𝐚 −𝟏𝟏 , neste caso, a – 11 ≠ 0 → a ≠ 11 
 c. 𝐦 − 𝟐 /𝐦² − 𝟒 , neste caso, m² – 4 ≠ 0 → m² ≠ 4 
d. 𝟐𝐱 /𝟑𝐚³ , neste caso, 3a³ ≠ 0 
Quando formos estudar adição (e subtração) de frações algébricas, deveremos antes igualar os 
denominadores calculando o MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – MMC entre eles, pois sabemos 
que somente poderemos somar (e subtrair) frações quando os denominadores forem iguais, 
exatamente da mesma forma que ocorre quando lidamos somente com frações numéricas. 
O MMC entre dois números naturais é o produto de todos os fatores, cada um com seu maior 
expoente. Para determinarmos o MMC entre monômios e entre polinômios, de forma 
semelhante, fatoramos cada polinômio individualmente e, logo em seguida, multiplicamos 
todos os fatores encontrados, sem repetir os comuns, e cada um deles com o maior expoente. 
O conhecimento dos casos de fatoração, vistos nas aulas anteriores, é de extrema importância 
para a resolução de exercícios envolvendo MMC. Observe como calcular o MMC entre 
monômios e entre polinômios. 
MDC ENTRE MONÔMIOS E ENTRE POLINÔMIOS 
. A regra também é simples, e praticamente o “inverso” do MMC: tira o MDC entre os 
coeficientes numéricos dos monômios, repete somente os fatores comuns e coloca os 
menores expoentes de cada fator. 
Veja bem, como é um divisor comum, deve ser um número “menor”! 
Então, pega-se o MDC entre os coeficientes numéricos e somente os fatores comuns com os 
menores expoentes!!! Concorda que esse número será menor, um divisor? A regra vale para 
qualquer quantidade de monômios e de polinômios. 
 
 
Os dados a seguir referem-se aos testes 1, 2, 3 e 4. 
Sejam: 
A = x2 - 2x + 1 
B = x2 - 1 
C = (x – 1) (2x + 3) 
1. O MDC de A, B e C vale: 
 
a) (x – 1)2 (x + 1) 
b) 1 
c) x – 1 
d) (x – 1)2 
 
 
2. O MMC de B e C: 
 
a) é x - 1 
b) é de grau 4 
c) assume o valor zero, para x = 1 
d) não pode ser calculado 
3. O MDC de A e C: 
 
a) é um trinômio 
b) é um monômio de grau zero 
c) é o binômio x – 1 
d) é 1 
4. O MMC de A, B e C: 
a) é de grau 3 
b) para x = 3, assume o valor 148 
c) é ( x – 1) ( x + 1) ( 2x + 3) 
d) é (x – 1)² ( x + 1) (2x + 3) 
5.O MDC entre os polinômios A e B é (x + 1). Sendo A = x2 - 
1, o polinômio B será: 
 
a)a) x + 3 
b) x + 1 
c) x - 1 
d) 2x + 3 
 
6. O MDC entre (x² - 1), (x + 2) e (x + 3) é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 6 
d) x – 1 
 
7. Calcule: 
a) MMC entre x² – 1 e x² – 2x + 1 
b) MMC entre 4x² – 2x e 12x² – 12x + 3