Matemática em Contexto Geometria plana e espacial (38)

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Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano a, podemos determinar P8, que é a projeção ortogonal de P sobre a. 
A distância do ponto P ao plano a é a distância entre os pontos P e P8, ou seja, é o comprimento do 
segmento de reta 8PP .
P
P8
a
 
Distância entre duas retas distintas e paralelas
Dadas as retas r e s distintas e paralelas, a distância entre r e s é a distância de qualquer ponto de uma 
delas à outra reta.
A
B
r
s
Observação: Não se pode definir a distância entre duas retas concorrentes.
Distância de uma reta a um plano (quando a reta é paralela ao plano)
Dados a reta r e o plano a tais que r / a, a distância da reta r ao plano a é a distância de qualquer 
ponto de r ao plano a.
rA
A8
a
Observação: Não se pode falar em distância de uma reta a um plano quando ela é oblíqua a ele.
Distância entre dois planos distintos e paralelos
Dados dois planos distintos a e b, tais que a / b, a distância entre esses dois planos é a distância de 
qualquer ponto de um deles ao outro plano.
A8
A
a
b
Observação: Não se pode falar em distância entre dois planos concorrentes.
B
a
n
c
o
 d
e
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m
a
g
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A
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s
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A
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u
iv
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a
 e
d
it
o
ra
Qual é a medida de 
distância entre P e a 
quando P pertence 
a a?
Reflita
Se uma reta está 
contida em um plano, 
qual é a medida de 
distância da reta ao 
plano?
Reflita
Quando a medida de 
distância entre dois 
planos é zero?
Reflita
Zero.
Zero.
Quando os planos são 
coincidentes.
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	 1.	Observe a pirâmide de base 
quadrada representada ao lado 
e verifique se as retas indicadas 
em cada item são paralelas, 
concorrentes ou reversas. 
	a) 
s ruu
AC e 
s ruu
AD
	b) 
s ruu
AB e 
s ruu
ED
	c) 
s ruu
BC e 
s ruu
ED
	d) 
s ruu
BE e 
s ruu
AE
	e) 
s ruu
BC e 
s ruu
AE
	 f) 
s ruu
AE e 
s ruu
AC
	 2.	Observe o sólido geométrico representado abaixo. 
Depois, responda às questões.
A B
J
C
D
E
F
H
G
I
	a) Qual é a posição relativa dos planos determinados 
pelas faces EFHC e DEFG? 
	b) A reta 
sru
AI é intersecção de quais planos determina-
dos pelas faces desse sólido geométrico?
	c) Qual é o plano determinado por uma das faces do só-
lido que é paralelo ao determinado pela face ADGI?
	d) Qual é a reta de intersecção dos planos secantes 
determinados por BCHJ e ECHF? 
	e) Há algum plano determinado por uma das faces do 
sólido que é paralelo ao plano determinado pela 
face ABJI? Em caso afirmativo, qual é esse plano?
	 3.	Considerando o paralelepípe-
do ao lado e os planos deter-
minados pelas faces, faça o que 
se pede.
	a) Cite todos os planos perpen-
diculares ao plano (ABFE).
Concorrentes.
Reversas.
Paralelas.
Concorrentes.
Reversas.
Concorrentes.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Planos secantes.
Plano (ABJI) e plano (ADGI).
plano (BCHJ)
s ruu
CH
Sim, plano (DCHG).
3. c) Sim. Exemplo de justificativa: Pois a reta AE
s ruu
 (ou a reta CG
s ruu
) 
é perpendicular ao plano (EFGH).
Plano (ABCD), plano (EFGH), plano (ADHE), 
plano (BCGF).
Atividades Não escreva no livro.
	b) Quais são os dois planos que contêm a reta 
s ruu
DH e 
são perpendiculares ao plano (EFGH)?
	c) O plano (ACGE) é perpendicular ao plano (EFGH)? 
Justifique.
	d) A reta 
s ruu
CG é perpendicular ao plano (EFGH). Qual é 
a posição dos planos (CDHG) e (BCGF) em relação 
ao plano (EFGH)?
	 4.	Considere um paralelepípedo com as medidas de 
comprimento das arestas indicadas na figura abaixo. 
A
B C
H E
G
F
D
4
3
2
Determine as medidas de distância:
	a) entre os pontos A e B;
	b) entre os pontos H e F;
	c) entre os pontos C e E; 
	d) entre os pontos D e H;
	e) do ponto médio de AB à reta 
s ruu
CD;
	 f) do ponto médio de BC à reta 
s ruu
HE ;
	g) do ponto F ao plano (ABG);
	h) entre as retas 
s ruu
HE e 
s ruu
AD;
	 i) entre as retas 
s ruu
CE e 
s ruu
BH;
	 j) da reta 
s ruu
BD ao plano (EFH);
	k) entre os planos (ADE ) e (BGF );
	 l) entre as retas 
s ruu
GH e 
s ruu
BD;
	m) entre os pontos B e E.
 
Plano (ADHE) e plano (CDHG).
Os dois planos são perpendiculares 
ao plano (EFGH).
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
3
5
13
2 5
4
13
4
2
4
2
3
2
29
B C
A
E D
B
a
n
c
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m
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g
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m
a
g
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n
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u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
É possível a distância 
entre duas retas reversas 
ser zero? Justifique.
Reflita
Distância entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano a que contém s e é 
paralelo a r. A distância entre r e s é a distância entre esse ponto e o plano.
A
A8
B8 C8
B C r
s
a
A
E F
GH
B
D C
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
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a
 e
d
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ra
A resposta encontra-se nas 
Orientações específicas deste 
Manual.
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