Prismas e Paralelepípedos

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5
Assim, em um prisma reto, as faces laterais são retangulares.
O prisma recebe nomes especiais de acordo com a região poligonal das bases. 
Veja alguns exemplos.
	a) Prisma reto de base triangular ou prisma reto triangular
Caso particular: o paralelepípedo
No paralelepípedo, 
qualquer uma das 
faces pode ser tomada 
como base?
Reflita
Prisma reto
O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e é 
oblíquo quando elas não são perpendiculares às bases.
Retângulo é um 
caso particular de 
paralelogramo.
Fique atento
Prisma reto. Prisma oblíquo.
A
D E
F
B
C
Prisma reto de base 
triangular.
Planificação da superfície 
de um prisma reto de 
base triangular.
Bases: regiões triangulares ABC e DEF.
Faces laterais: regiões limitadas pelos quadriláteros ABED, ACFD e BCFE.
Arestas laterais: AD, CF e BE.
	b) Prisma reto de base pentagonal ou prisma reto pentagonal
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são regiões planas limitadas por para-
lelogramos.
A D
E
B
J
F
G H
I
C
Prisma reto de base 
pentagonal.
Planificação da 
superfície de um 
prisma reto de base 
pentagonal.
Paralelepípedo.
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Bases: regiões limitadas pelos pentágonos ABCDE e FGHIJ.
Faces laterais: regiões limitadas pelos quadriláteros BCHG, CDIH, DEJI, AEJF e 
ABGF (retangulares).
Arestas laterais: AF , BG, CH, DI e EJ .
84
O boxe Reflita traz 
questionamentos 
e reflexões sobre o 
conteúdo apresentado.
 
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	79.	Um tanque cônico tem 4 m de medida de comprimen-
to da profundidade e o topo circular tem comprimento 
do diâmetro medindo 6 m. Qual é a medida de volume 
máximo, em litros, que esse tanque pode conter de 
líquido?
	80.	Uma empresa fabrica boias de sinalização cônicas com 
comprimento da altura medindo 0,5 m e comprimento 
do diâmetro da base medindo 0,3 m. Qual é a medida 
de volume dessa boia?
	81.	Carina observou o projeto de um silo:
Visão superior. Visão lateral.
26 cm
20 cm
10 cm
Com essas informações, Carina calculou a medida de 
volume do silo. Qual foi a medida de volume obtida 
por ela?
	82.	Determine a medida de volume de um cone cujo com-
primento da altura mede 6 cm e cujo comprimento da 
geratriz mede 7 cm. (Use p 5 3,14.)
	83.	Um artista projetou um objeto de decoração maciço 
de mármore com as seguintes medidas:
1 cm
3 cm
2 cm
4 cm
2 cm
2 cm
Vista superior.
direção do 
corte lateral
Vista lateral.
8 cm
 
Qual é a medida de volume de mármore que será usa-
do nesse objeto? 
	84.	A cisterna é um reservatório utilizado em muitas regiões 
do Brasil para armazenar água da chuva. Esses reserva-
tórios costumam ter a o formato cilíndrico com a tampa 
Atividades Não escreva no livro.
em formato cônico e são construídos de alvenaria. É ne-
cessário, portanto, impermeabilizar as paredes interna e 
externa e a superfície externa da tampa. 
Cisterna utilizada para armazenar água da chuva, em 
Euclides da Cunha (BA). Foto de 2019.
Em uma dessas cisternas, o comprimento do diâmetro 
interno da base mede 4,8 m, o comprimento do diâme-
tro externo da base mede 5,0 m e o comprimento da 
altura mede 1,6 m. Já a tampa com formato cônico tem 
5,0 m de medida de comprimento do diâmetro da base 
e o comprimento da altura mede 0,2 m. Considerando 
que será aplicada uma demão de um impermeabilizante 
vendido em latas cuja massa mede 5 kg, com rendimen-
to de 130 gramas por metro quadrado, serão necessá-
rias quantas latas para impermeabilizar essa cisterna?
	85.	Elabore, no caderno, mais duas perguntas para a ati-
vidade anterior e troque o caderno com um colega, 
de modo que um responda às perguntas que o outro 
elaborou. Depois, confira as respostas do colega.
	86.	O tornado é uma massa de ar rodopiante que se des-
loca a uma medida de velocidade entre 30 km/h e 
60 km/h, mas que gira a uma medida de velocidade 
entre 65 km/h e 500 km/h. O formato de um tornado 
muitas vezes se assemelha ao de um cone. 
Tornado em Minneola, Kansas (EUA). Foto de 2016.
 
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As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
118
Na seção Atividades, você encontra 
atividades e problemas envolvendo 
contextos cotidianos, da Matemática 
e de outras áreas do conhecimento, 
para aplicar e aprofundar os 
conteúdos estudados. Nela também 
há atividades que visam à elaboração 
de perguntas e problemas.O boxe Fique atento retoma 
definições ou nomenclaturas, 
chama a atenção para algo 
que está sendo estudado no 
momento e apresenta dicas 
que podem auxiliá-lo no 
estudo.
Ao longo do capítulo, 
apresentamos no boxe Glossário a 
definição de algumas palavras ou 
expressões da língua portuguesa. 
Suponha que um meteorologista queira calcular a me-
dida aproximada de “massa de ar”, em metros cúbi-
cos, que está sendo deslocada em um tornado com 
comprimento do diâmetro da base medindo 80 m e o 
comprimento da altura medindo 150 m. Considerando 
que esse tornado tem o formato de um cone, qual va-
lor será encontrado?
Grande volume de ar com característica “homogênea” em 
relação a temperatura e vapor de água.
Massa de ar
 87. A decantação é um método de separação de misturas 
heterogêneas e pode ser de dois tipos: entre substân-
cias nos estados líquido e sólido ou entre substâncias 
nos estados líquido e líquido, contanto que exista di-
ferença de densidade entre as substâncias da mistura. 
O equipamento utilizado para fazer essa separação de 
substâncias em laboratório é o funil de bromo ou funil de 
separação. Consiste em um cone com uma torneira no 
bico, por onde sairá a substância mais densa. O método 
consiste em agitar a mistura dentro do funil e colocar em 
repouso por um intervalo de tempo até que a substância 
mais densa tenha se acomodado na parte inferior. Nesse 
momento, abre-se a torneira e permite-se a passagem 
da substância mais densa, fechando a torneira assim que 
acabar a substância mais densa e começar a descer a 
substância menos densa. A substância que ficou deve 
ser retirada pela parte de cima do cone, e não pela tor-
neira, para evitar contaminação. 
líquido menos denso
bico do funil
torneira
líquido mais denso
Se dois líquidos têm a mesma medida de volume de-
pois da decantação, qual é a medida de distância do 
bico do funil (vértice do cone) à substância menos den-
sa? Considere que a parte ocupada pelos líquidos tem 
formato cônico, cujo comprimento do raio da base 
mede 5 cm e cujo comprimento da altura mede 20 cm.
 88. A medida de volume do porta-malas de um veículo é 
regulada pela norma internacional ISO 3832. Para calculá-
-la, o departamento de engenharia de uma montadora 
coloca o máximo de blocos retangulares de madeira ou 
isopor de tamanho 20 cm 3 10 cm 3 5 cm no porta-
-malas. Cada um deles equivale a 1 dm3 ou 1 litro. Enche-
-se o espaço de carga até ser possível fechar o porta-malas 
sem problemas. Contando-se os blocos retangulares 
colocados, é obtida, assim, a medida de volume oficial do 
porta-malas, em litros.
Porta-malas de um veículo.
Uma mala grande com medidas das dimensões iguais 
a 70 cm, 30 cm e 50 cm corresponde a quantos blocos 
retangulares de 1 dm3?
 a) 100
 b) 105
 c) 110
 d) 115
 e) 120
 89. Nas prateleiras de supermercados é comum encontrar-
mos o mesmo produto sendo ofertado em embalagens 
semelhantes com tamanhos diferentes. Geralmente, 
quando compramosa maior embalagem, recebemos 
um desconto em relação à compra de embalagens me-
nores na mesma proporção. Em determinado estabele-
cimento, 200 g de cacau em pó custam R$ 4,19 e 400 g 
do mesmo produto e da mesma marca custam R$ 6,99.
 
Embalagens de tamanhos diferentes.
Apesar de a medida de volume da embalagem maior 
ser o dobro da menor, a medida de comprimento da 
altura não corresponde à mesma proporção. Sabendo 
que a embalagem de 400 g de cacau em pó tem 16 cm 
de medida de comprimento da altura, qual alternativa 
corresponde à medida de comprimento da altura apro-
ximada, em centímetros, da embalagem de 200 g? 
(Use: 2 1,263
‰ .)
 a) 10,8
 b) 11,6
 c) 12,1
 d) 12,7
 e) 13,2
 
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raAs imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
119
	 2.	Em um prisma hexagonal regular, o comprimento da aresta da base mede 3 cm e o comprimento da aresta lateral 
mede 6 cm. Calcule a medida de área total desse prisma.
Resolução
Na figura, temos:
r : medida de comprimento da aresta 
lateral, que é 6 cm.
s : medida de comprimento da aresta da 
base, que é 3 cm.
Assim:
Medida de área lateral: AL
 5 6 (r ? s) 5 
5 6 (6 ? 3) 5 108
Portanto, A
L
 5 108 cm2.
Uma região limitada por um hexágono re-
gular pode ser decomposta em 6 regiões 
limitadas por triângulos equiláteros.
Medida de área da base: A
b
 5 6 ? 
s 3
4
2
 5 6 ? 
3 3
4
2
 5 
27 3
2
Portanto, A
b
 5 
27 3
2
 cm2.
Medida de área total do prisma: 
A
T
 5 A
L
 1 2A
b
 5 108 1 2 ? 
27 3
2
 ~ A
T
 5 (108 1 27 3) cm2 
Como 3 â 1,7, temos A
T
 â 153,9 cm2.
	 3.	Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da 
figura ao lado. Desprezando as abas, calcule quantos metros quadrados 
de papelão serão necessários para fabricar todas as caixas.
Resolução
A caixa tem formato de um paralelepípedo retângulo:
Todo paralelepípedo retângulo é formado por 6 faces:
•	 duas retangulares de medidas de comprimento a e b;
•	 duas retangulares de medidas de comprimento a e c;
•	 duas retangulares de medidas de comprimento b e c.
Assim, temos que a medida de área total é 
A
T
 5 2ab 1 2ac 1 2bc 5 2(ab 1 ac 1 bc).
Nesse caso,
A
T
 5 2(40 ? 20 1 40 ? 14 1 20 ? 14) 5 
5 2(800 1 560 1 280) 5 3 280
A
T
 5 3 280 cm2
Como são 10 000 caixas, temos:
A 5 3 280 ? 10 000 5 32 800 000
32 800 000 cm2 5 3 280 m2
Portanto, serão necessários pelo menos 3 280 m2 de papelão.
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base
base
Prisma hexagonal 
regular.
Planificação da superfície de 
um prisma hexagonal regular.
Paralelepípedo 
retângulo.
Planificação da superfície de 
um paralelepípedo retângulo.
b
c
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b c
Se 1 m 5 100 cm, então 1 m2 5 10 000 cm2.
Fique atento
Atividades resolvidas
14 cm
40 cm
20 cm
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86
Nas Atividades resolvidas, 
você acompanha a 
resolução detalhada de 
atividades e problemas 
que visa exemplificar 
estratégias de resolução.
Não escreva no livro.
No mapa apresentado na imagem abaixo, os pontos pretos correspondem aos avisos de desmatamento 
na Amazônia Legal a partir de 2015.
Para conhecer mais os 17 Objetivos de Desenvolvimento Sustentável anunciados em 2015 pela ONU e os compromissos 
assumidos pelo Brasil com o Acordo de Paris, sugerimos os sites indicados a seguir (acesso em: 28 abr. 2020).
CONHEÇA os novos 17 Objetivos de Desenvolvimento Sustentável da ONU. Disponível em: https://nacoesunidas.org/
conheca-os-novos-17-objetivos-de-desenvolvimento-sustentavel-da-onu/.
Acordo de Paris. Disponível em: https://www.mma.gov.br/clima/convencao-das-nacoes-unidas/acordo-de-paris.
Sobre o assunto
Para consultar outros dados do monitoramento ambiental realizado pelo Prodes e pelo Deter, sugerimos o site indicado a 
seguir (acesso em: 28 abr. 2020).
TerraBrasilis. Disponível em: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br/sobre/.
Sobre o assunto
Em 2019, a taxa estima-
da de desmatamento para 
a Amazônia Legal era de 
9 762 km2. Essa estimativa foi 
realizada pelo Prodes a par-
tir de 99 “cenas” (imagens 
de satélite de alta resolução, 
com 180 km 3 180 km de ex-
tensão) que correspondem 
às áreas com maior concen-
tração de desmatamento in-
dicadas pelo Deter e por ou-
tros critérios de seleção. 
	 1.	De acordo com as informações apresentadas, quais são as principais razões que justificam a preocupação 
com a conservação da diversidade biológica em regiões tropicais? 
	 2.	Essa preocupação tem fundamento? Justifique. 
	 3.	Por que, na fórmula utilizada pelo Prodes, (NrPixel ? (302)) é dividido por 1 000 000?
	 4.	Alguns governos e organizações, a fim de promover a recuperação de florestas, buscam engajar a socie-
dade por meio propostas e desafios com metas a serem atingidas. Esse tipo de esforço favorece alguns 
dos 17 Objetivos de Desenvolvimento Sustentável anunciados em 2015 pela Organização das Nações 
Unidas (ONU).
 Em 2016, como desdobramento do Acordo de Paris – ratificado em 2015 durante a Conferência da ONU 
sobre mudança climática –, o Brasil assumiu oficialmente compromissos para reduzir emissões de gases 
que intensificam o efeito estufa. Um conceito que vem se mostrando presente nas discussões sobre como 
reduzir esses gases é o crédito de carbono. 
 Pesquise na internet o que é crédito de carbono e depois escreva no caderno um texto explicando o que 
é e qual a importância dele.
INPE. Avisos de desmatamento – Amazônia Legal. TerraBrasilis, 2019. Disponível em: 
http://terrabrasilis.dpi.inpe.br/app/map/alerts?hl=pt-br. Acesso em: 28 maio 2020.
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43
No boxe Sobre o assunto, 
você encontra informações 
e curiosidades relacionadas 
aos conteúdos estudados, 
bem como sugestão de 
textos, vídeos, simuladores, 
museus, entre outros, para 
complementar e aprofundar 
seus estudos ou mesmo 
realizar pesquisas.
P3_001a007_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5P3_001a007_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5 07/09/2020 12:1007/09/2020 12:10
6
Ladrilhamento com o GeoGebra
Vamos utilizar algumas funções e ferramentas do GeoGebra que permitem construir diferentes tipos de 
malha a partir de um polígono, além de nos ajudar a investigar quais polígonos regulares podem ladrilhar 
perfeitamente o plano. Antes de iniciarmos, abra o GeoGebra on-line (disponível em: https://www.geogebra.
org/geometry. Acesso em: 30 abr. 2020), clique na aba “Ferramentas” e, em seguida, em “Mais” e, 
novamente, em “Mais”, para exibirmos todas as ferramentas do software. As imagens que utilizamos a seguir 
são da versão on-line (disponível em: https://www.geogebra.org/geometry. Acesso em: 30 abr. 2020). 
Malha quadriculada
1o passo: Próximo ao canto inferior 
esquerdo da janela de visualização do 
GeoGebra, desenhe um pequeno qua-
drado, que será a base da malha. Para 
isso, utilize a ferramenta “Polígono Re-
gular”, determine dois pontos (A e B), 
digite o número de lados do polígono, 
no caso, 4, e clique em “Ok”.
Assim, obteremos um quadrado cujos vértices são os pontos A, B, C e D.
Por padrão, a 
versão on-line do 
GeoGebra não 
exibe o nome de 
alguns elementos 
(por exemplo, dos 
vetores). Para 
exibi-los, clique 
com o botão direito 
do mouse sobre 
o objeto que não 
está nomeado, em 
seguida, vá em 
“Configurações” e, 
finalmente, marque, 
na aba “Básico”, 
“Exibir Rótulo”.
Fique atento
O valor que 
digitamos após 
o nome de um 
controle deslizante 
será o valor 
inicial; nesse caso, 
deixamos tanto a 
coluna quanto a 
linha iguais a 1. Se 
você quiser que o 
valor inicial seja 2, 
por exemplo, basta 
digitar:“linha 5 2”.
Fique atento
Tela do GeoGebra no 3o passo.
Detalhe da tela do GeoGebra no 1o passo.
2o passo: Para construir a malha qua-
driculada, precisamos replicar, lado a lado, 
o quadrado obtido no passo anterior. Por 
isso, vamos criar dois vetores, AB
u ruu
 e AD
u ruu
. O 
vetor AB
u ruu
 é o parâmetro necessário para 
replicar esse quadrado na mesma linha 
para a direita, e o vetor AD
u ruu
, para cima.
Para isso, selecione a ferramenta 
“Vetor” e, para definir AB
u ruu
, clique nos 
pontos A e B, nessa ordem. Em segui-
da, para definir AD
u ruu
, clique nos pon-
tos A e D, nessa ordem. Nesse caso, o 
GeoGebra nomeou os vetores de u e v, 
respectivamente.
3o passo: Vamos criar dois controles 
deslizantes – um para determinar a quan-
tidade de colunas de quadrados de nossa 
malha e outro para determinar a quantida-
de de linhas. Clique na ferramenta “Con-
trole Deslizante” e, em seguida, em um 
ponto perto do topo da Janela de Visua-
lização. O nome do primeiro controle será 
“coluna”, valor mínimo 0, valor máximo 20 
e incremento 1. O segundo controle cha-
maremos de “linha”, valor mínimo 0, valor 
máximo 10 e incremento também 1.
Tela do GeoGebra no 2o passo.
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4646
Tecnologias digitais
Na seção Tecnologias digitais, 
propomos a utilização de diversas 
tecnologias, como calculadora, 
simuladores e softwares livres, para 
fazer explorações, investigações 
e simulações, calcular medidas 
estatísticas, construir e manipular 
representações gráficas, figuras 
geométricas, planilhas, entre outros.
Além da sala de aula
Cisterna
O município de Araripe, no sertão de Per-
nambuco, tem uma das piores médias de chu-
vas do Brasil. Segundo o banco de dados do 
Climate-Data.org, o acumulado de chuvas anual 
médio do município no período apurado foi de 
708 mm, com mais de 85% desse volume con-
centrado nos primeiros 4 meses do ano.
O climograma a seguir mostra os dados mé-
dios do volume de chuva e das temperaturas 
para Araripe.
Observando os dados do climograma, prin-
cipalmente em relação ao volume de chuvas, 
percebemos que uma grande estiagem ocorre 
a partir do mês de maio e que há um volume 
um pouco maior de chuva entre janeiro e abril.
Construção de uma cisterna de placas no nordeste brasileiro. Foto de 2018.
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Climograma: Araripe-PE (1982-2012)
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Fe
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ar
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10
15
20
25
Temperatura
(°C)
0
30
60
90
120
150
Precipitação
(mm)
30
35
180
210
Mês
Ab
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Ag
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D
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Fonte de consulta: Cimate-Data.org. Disponível em: 
https://pt.climate-data.org/america-do-sul/brasil/
ceara/araripe-42458/. Acesso em: 1o jun. 2020.
	 1.	Sabendo que o volume de 
chuvas é indicado em mm, 
pesquise e responda: O que 
significa 1 mm de precipita-
ção?
Para aproveitar o período de 
chuvas do ano, algumas comu-
nidades constroem cisternas de 
placas. As cisternas são estru-
turas em formato de cilindro, 
com uma tampa cônica ou com 
formato parecido com a super-
fície lateral de uma pirâmide, 
capazes de armazenar a água 
das chuvas. Essa água geralmente é recolhida dos telhados das casas e conduzida a esse reservatório. A 
imagem mostra parte da construção de uma cisterna de placas que comporta (na parte cilíndrica) cerca de 
70 mil litros.
	 2.	Os telhados de uma comunidade localizada no município de Araripe somam uma região cuja medida 
de área é igual a 150 m2. Admitindo que uma cisterna consegue reter 80% do volume de chuva que 
cai sobre esses telhados, quantos litros podem ser acumulados na cisterna entre os meses de janeiro e 
abril? Você acha que esse volume de água é suficiente para abastecer 20 pessoas por quanto tempo?
	 3.	Sabendo que, para a construção da cisterna da imagem anterior, é necessário escavar um buraco com 
formato cilíndrico cujo comprimento do diâmetro da base mede 10 m e cujo comprimento da altura mede 
1,2 m, determine a medida de volume de terra retirada nessa escavação, bem como a medida de massa 
dessa terra. Para isso, considere que o solo seja composto de argila seca.
120
Conhecimentos e saberes 
matemáticos desenvolvidos 
e utilizados por diferentes 
comunidades são 
apresentados na seção 
Além da sala de aula. 
Nela você também será 
convidado a investigar 
questões e propor ações 
que podem auxiliar a 
comunidade em que vive. 
Além disso, utilizará as 
ideias do pensamento 
computacional para analisar 
e compreender problemas, 
bem como modelar e 
automatizar resoluções.
Na seção Vestibulares e Enem, 
propomos questões do Enem e de 
vestibulares de todas as regiões do 
Brasil relacionadas aos conteúdos 
estudados no capítulo.
Vestibulares e Enem
	 1.	(Enem) Uma empresa de construção comprou um terre-
no de formato retangular por R$ 700.000,00. O terreno 
tem 90 m de comprimento e 240 m de largura. O en-
genheiro da empresa elaborou três projetos diferentes 
para serem avaliados pela direção da construtora, da 
seguinte maneira:
Projeto 1: dividir o terreno em lotes iguais de 45 m 3 10 m, 
sem ruas entre os lotes, e vender cada lote por 
R$ 23.000,00;
Projeto 2: dividir o terreno em lotes iguais de 20 m 3 30 m, 
deixando entre lotes ruas de 10 m de largura e 240 m de 
comprimento, e vender cada lote por R$ 35.000,00;
Projeto 3: dividir o terreno em lotes iguais de 35 m 3 20 m, 
deixando entre lotes ruas de 20 m de largura e 240 m de 
comprimento, e vender cada lote por R$ 45.000,00.
A direção da empresa decidiu dividir o terreno e utili-
zar o projeto que permitirá o maior lucro, sendo que 
este será igual ao valor obtido pela venda dos lotes, 
menos o valor da compra do terreno.
Nesse caso, o lucro da construtora, em real, será de
	a) 380.000,00.
	b) 404.000,00.
	c) 1.104.000,00.
	d) 1.120.000,00.
	e) 1.460.000,00.
	 2.	(Enem) Um fabricante recomenda que, para cada m2 do 
ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh 
desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse 
número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada 
pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrôni-
co emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-
-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e 
suas respectivas capacidades térmicas:
Tipo I: 10 500 BTUh
Tipo II: 11 000 BTUh
Tipo III: 11 500 BTUh
Tipo IV: 12 000 BTUh
Tipo V: 12 500 BTUh
O supervisor de um laboratório precisa comprar um 
aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas 
pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O labo-
ratório tem forma de trapézio retângulo, com as medi-
das apresentadas na figura.
Para economizar ener-
gia, o supervisor deverá 
escolher o aparelho de 
menor capacidade tér-
mica que atenda às ne-
cessidades do laborató-
rio e às recomendações 
do fabricante.
A escolha do supervisor 
recairá sobre o aparelho 
do tipo 
	a) I. 	b) II. 	c) III. 	d) IV. 	e) V.
	 3.	(Enem) Uma família possui um terreno retangular com 
18 metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi 
necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, 
na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles 
será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi 
demarcada uma área de passeio entre os dois novos 
terrenos para o livre acesso das pessoas.
Os terrenos e a área de passeio são representados na 
figura.
A D
B C
4 m
3,8 m
3 m
A área de passeio calculada pela família, em metro 
quadrado, é de 
	a) 108. 	b) 216. 	c) 270. 	d) 288. 	e) 324.
	 4.	(Enem) O esquema I mostra a configuração de uma 
quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados 
de garrafões, correspondem a áreas restritivas.
Visando atender as orientações do Comitê Central da 
Federação Internacionalde Basquete (Fiba) em 2010, 
que unificou as marcações das diversas ligas, foi pre-
vista uma modificação nos garrafões das quadras, que 
passariam a ser retângulos, como mostra o esquema II.
Esquema 1: área restritiva antes de 2010.
360 cm360 cm
580 cm580 cm
600 cm600 cm
Esquema 2: área restritiva a partir de 2010.
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580 cm580 cm
490 cm490 cm
58
Conheça seu livro
Leitura e compreens‹o
Não escreva no livro.
A Geometria e o conhecimento científico
A Geometria, ao longo de toda a história, foi essencial para o conhecimento humano sobre o mundo. 
A civilização grega contribuiu de modo significativo para o desenvolvimento da Geometria. Passaram a 
privilegiar o conhecimento dedutivo, e não o empírico, como ocorria até então. E questões que sempre 
intrigaram a humanidade, como o comprimento do raio da Terra, a distância da Terra à Lua ou da Terra 
ao Sol, já estimadas em outras épocas por outros sábios, passaram, a partir de então, a ser respondidas e 
problematizadas com o auxílio dos conhecimentos geométricos.
Com o fim da hegemonia grega, apenas após quase 15 séculos, com a queda de Constantinopla e o início do 
Renascimento, muitos dos textos gregos voltaram a circular na Europa, trazidos pelos que fugiam da invasão turca. 
E, com isso, as contribuições da Geometria aos outros campos do conhecimento científico foram impulsionadas.
Citamos a seguir alguns bons exemplos de contribuições da Geometria à ciência ao longo do tempo.
O grego Aristarco de Samos (310 a.C.-230 a.C.) foi brilhante em perceber como comparar as distâncias da 
Terra à Lua e da Terra ao Sol usando triângulos retângulos, semelhanças de triângulos e proporções.
Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-196 a.C.) não era grego, mas estudou em 
Atenas e viveu em Alexandria, importante centro cultural da época. Ficou conhecido 
por sua versatilidade e por uma engenhosa ideia para calcular o comprimento do 
raio da Terra, considerando a proporcionalidade entre medida angular e medida 
de comprimento de arcos, nos ângulos correspondentes em paralelas cortadas por 
transversais e na razão entre comprimento da circunferência e diâmetro.
O polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) retomou as hipóteses 
heliocêntricas de Aristarco de Samos (que na época não vingaram) e elaborou 
uma teoria em que os planetas teriam órbitas circulares em torno do Sol, 
calculando os períodos de revolução dos planetas e as distâncias até o Sol, 
com base na proporcionalidade do comprimento de arcos e semelhança de 
triângulos (já na forma de Trigonometria).
O alemão Johannes Kepler (1571-1630) aperfeiçoou as ideias de Copérnico 
ao afirmar que as órbitas planetárias são, na realidade, elípticas e apresentou as 
três leis que conhecemos como “leis de Kepler”, repletas de proporcionalidades, 
áreas e elipses.
A Geometria que estudamos hoje é essencialmente a mesma que serviu 
de alicerce para que os estudiosos do passado conseguissem cada vez mais 
adquirir conhecimento e entender melhor a natureza que nos cerca. Se hoje 
sabemos muito sobre ela e seus fenômenos, isso é resultado do esforço e 
da dedicação de muitos sábios, alguns dos quais considerados os maiores 
astrônomos, geômetras ou matemáticos de suas épocas.
	 1.	Você já tinha ouvido falar das personalidades gregas citadas no texto?
	 2.	Pesquise outras personalidades gregas que contribuíram para as ciências e organize com a turma uma 
apresentação sobre as personalidades pesquisadas e as contribuições deles.
Monumento em homenagem 
a Nicolau Copérnico, 
localizado na cidade de Torun 
(Polônia). Foto de 2019.
Retrato de Johannes Kepler 
(1571-1630).
A Museusbr é uma plataforma que reúne informações sobre os museus brasileiros. Nela você pode procurar museus de 
todo o país observando as indicações no mapa ou digitando o nome do município. Procure por algum museu próximo à sua 
região que tenha acervos ou coleções sobre as personalidades aqui citadas. Acesse a plataforma em: http://museus.cultura.
gov.br/. Acesso em: 30 jun. 2020. 
Sobre o assunto
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As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
133
Na seção Leitura e compreensão, 
você é convidado a ler e 
interpretar diferentes textos que 
visam ampliar e enriquecer os 
conteúdos estudados no capítulo.
Tecnologias 3D
A internet e os computadores modernos mudaram, mudam e vão continuar mu-
dando a sociedade. O embrião da internet como nós a conhecemos hoje chamava-se 
Arpanet e surgiu na década de 1960, no contexto da Guerra Fria. Os microcomputa-
dores se popularizaram na década de 1980, com o barateamento dos computadores 
de médio porte. Em 1994, foi lançado o primeiro smartphone. No Brasil, em 2006, 
havia 49 milhões de usuários com acesso à internet (39% da população). Depois de 
tudo isso, pode-se dizer que passamos a viver em uma era digital.
A era digital mudou a maneira como nos transporta-
mos, nos entretemos, nos alimentamos e trabalhamos. 
Como são muitos os aspectos que podemos explorar, 
vamos nos ater a uma das áreas digitais: a tecnologia 3D.
Essa tecnologia abrange as técnicas que utilizam mode-
lagem 3D, que é, de modo simplificado, o processo de criar 
digitalmente objetos, personagens, cenários e fenômenos 
em três dimensões por meio de cenas estáticas ou animadas.
Além de possibilitar a criação de réplicas digitais de 
objetos reais, a tecnologia 3D permite criar objetos reais a 
partir de modelos digitais.
Com a disseminação dessa tecnologia, houve redução 
de custos e aumento de acessibilidade. A impressão 3D já é utilizada até mesmo para 
fins domésticos, como elaboração de brinquedos e outros objetos. O nível de resolu-
ção e o tipo de material empregado variam muito, como também varia o preço dos 
equipamentos e dos materiais.
Tecnologia 3D no entretenimento
Valendo-se da tecnologia 3D, a indústria de filmes de animação 
e de jogos consegue produzir cenas que às vezes se confundem 
com cenas reais. O uso de aparelhos de realidade virtual, assim 
como fotos ou filmagens em 360¡, permite um profundo nível de 
imersão, possibilitando experimentar situações impossíveis ou ina-
cessíveis sem essa tecnologia – seja por questão de tempo e de 
distância, seja por outros motivos.
Tecnologia 3D na indústria
Além da criação de experiências ou recursos no mundo digital, 
a modelagem 3D permite a otimização de processos industriais em 
larga escala. Se antes era necessário construir ou adquirir uma peça 
para poder testá-la, hoje é possível, por meio de simulações digitais, testar peças an-
tes mesmo de obtê-las fisicamente.
Simulações digitais têm sido empregadas para realizar previsões como a propaga-
ção de trincas, o comportamento em colisões e o modo como objetos reagem a mu-
danças de temperatura – objetos que, por exemplo, podem compor desde pequenos 
Usando impressoras 3D 
é possível construir um 
objeto real a partir de 
um modelo digital.
Aparelhos de realidade 
virtual podem ser 
usados, por exemplo, 
por museus e por 
empresas de jogos 
eletrônicos e do setor 
cinematográfico. 
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Não escreva no livro.
Conex›es
95
Temas relevantes e atuais que relacionam 
diferentes áreas do conhecimento são 
explorados na seção Conexões. 
As atividades apresentam oportunidades 
de interpretação, aplicação, pesquisa, 
ampliação e debate do tema da seção.
P3_001a007_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6P3_001a007_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6 07/09/2020 12:1007/09/2020 12:10