Números Complexos e Operações

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
NÚMEROS COMPLEXOS 
Prof. Wellington Nishio 
O b 
P(a,b) a
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
i2 = - 1  i = 1− 
 
Um número complexo qualquer z pode ser escrito na 
forma a + bi, denominada forma algébrica, com a e b 
reais e i a unidade imaginária. 
Em z = a + bi, o número a é denominado parte real de 
z e o número b é a parte imaginária. 
Indica-se: Re(z) = a e Im(z) = b 
 
Se a parte imaginária do número complexo é nula, 
então o número é real. 
z = a + 0i  z = a (z é real) 
 
Se a parte real do número complexo é nula e a parte 
imaginária é diferente de zero, então o número é 
imaginário puro. 
z = 0 + bi  z = bi (z é imaginário puro, com b  0) 
 
Exemplos: 
Se z = 9 – i, então Re(z) = 9 e Im(z) = -1 
Se z = 
5
i2
, então Re(z) = 0 e Im(z) = 
5
2
. Logo, z é um 
imaginário puro. 
Se z = 0, então Re(z) = 0 e Im(z) = 0. Logo, z é um 
número real. 
 
Plano de Argand-Gauss 
Gauss observou que assim como cada ponto de uma 
reta corresponde a um número real, cada ponto do 
plano podia ser associado a um número complexo. 
Convencionou-se, então, associar o número complexo 
z = a + bi ao ponto P(a, b), estabelecendo uma 
correspondência um a um entre os números complexos 
e os pontos do plano xOy. 
Assim, no eixo das abscissas, representa-se a parte 
real de z e, no eixo das ordenadas, a parte imaginária 
de z. 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
Ox é o eixo real 
Oy é o eixo imaginário 
P é o afixo ou imagem geométrica de z 
O plano xOy é chamado plano de Argand-Gauss. 
 
Igualdade de números complexos 
Dois números complexos são iguais se, e somente se, 
suas partes reais e imaginárias forem respectivamente 
iguais. 
 
 
 
 
 
Em 
particular: 
Se a + bi = 0, então, a = 0 e b = 0. 
Conjugado de um número complexo 
Sendo z = a + bi  Z = a – bi 
Observe que dois números complexos têm, 
respectivamente, partes reais iguais e partes 
imaginárias simétricas: 
✓ z1 = 4 + 5i  1z = 4 – 5i 
✓ z2 = – 1 – 2i  2z = – 1 + 2i 
✓ z3 = 6i  3z = – 6i 
✓ z4 = – 3  4z = – 3 
 
Adição e subtração de números complexos 
 
A soma de dois números complexos z1 = a + bi e 
z2 = c + di é dada por: 
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
A diferença de dois números complexos z1 = a + bi e z2 
= c + di é dada por: 
z 1 – z2 = z1 + (- z2) = (a – b) + (c – d)i 
 
Multiplicação de números complexos 
O produto de dois números complexos z1 = a + bi e z2 
= c + di é dado por: 
z1 . z2 = (a + bi) + (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i 
A multiplicação de complexos segue a mesma regra de 
multiplicação de binômios, considerando i2 = - 1. 
 
Divisão de números complexos 
O quociente de dois números complexos z1 = a + bi e 
z2 = c + di é dado por: 
2
1
z
z
= 
22
2.1
z.z
zz
 
O produto z2 . 2z é um número real: 
z2 . 2z = (c + di) (c – di) = c2 – cdi + cdi – d2i2 = c2 + d2 
c2 + d2  número real 
 
Potências de i 
i0 = 1 i4 = 1 
i1 = i i5 = i 
i2 = - 1 i6 = - 1 
i3 = - i i7 = - i 
Os resultados repetem-se de 4 em 4. 
Portanto, i8 = 1, i9 = i, i10 = - 1, i11 = - i e assim por diante. 
Desse modo, para calcular potências de i, basta dividir 
o expoente n, n inteiro e positivo, por 4: 
✓ se o resto for 0, in = 1 
✓ se o resto for 1, in = i 
✓ se o resto for 2, in = - 1 
✓ se o resto for 3, in = - i 
 
Forma trigonométrica de um número complexo 
Um número complexo z = a + bi, além de ser 
caracterizado pela parte real a e pela parte imaginária 
b, também pode ficar determinado por uma distância e 
por um ângulo. 
 
Módulo e argumento de um número complexo 
Consideremos o número complexo, não-nulo, z = a + bi 
e o ponto P(a, b) que o representa. 
a + bi = c + di se, e somente se, 





=
=
db
e
ca
 
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Consideremos também o ângulo de medida  indicado 
na figura e seja  (rô) a distância de P à origem O do 
sistema cartesiano. 
Do triângulo retângulo, temos: 
 ² = a² + b²   = 22
ba + 
 
A distância  de P até a origem O é denominada 
módulo de z, e indicamos: 
| z | = | a + bi | =  = 22
ba + 
Observação: 
Propriedades do módulo 
Se z = x + yi é um número complexo qualquer, então: 
(I) 0z  
(II) 0z0z == 
(III) zz = 
(IV) 2121 z.zz.z = 
(V) 
2
1
2
1
z
z
z
z
= 
(VI) 
nn
zz = 
Denomina-se argumento do complexo z não-nulo, a 
medida do ângulo formado por OP com o semi-eixo 
real Ox, medido no sentido anti-horário, como indica a 
figura. 
É claro que todo número complexo não-nulo tem uma 
infinidade de argumentos, dois quaisquer deles 
diferindo entre si por um múltiplo de 2  . 
O argumento que pertence ao intervalo [0, 2  [ é 
denominado argumento principal e é representado por: 
 = arg(z) 
Observe que: 
cos  = 

a
 e sen  = 

b
 
Os números  e  são as coordenadas polares do 
ponto P(a, b) do plano e determinam a posição do ponto 
no plano. 
 
O argumento principal de um número complexo z, não 
nulo, também pode ser dado em graus e, dessa forma, 
temos 0°   < 360°. 
 
 
Em geral, quando pedimos o argumento de um número 
complexo estamos nos referindo ao argumento 
principal desse número. 
 
 
 
Forma trigonométrica 
Seja z = a + bi  0 a forma algébrica de um número 
complexo. O argumento  de z satisfaz: 






=

=
=

=
 cos a
a
 cos
 sen b
b
 sen
 
Substituindo tais valores na forma algébrica, vem: 
z = a + bi  z =  cos  +  sen  i 
 
Operações na forma trigonométrica 
Considerem z1 =  1(cos  1 + i sen  1) e z2 =  2(cos 
 2 + i sen  2). 
 
→ Multiplicação 
Para encontrar z1.z2 na forma trigonométrica: 
z1 . z2 =  1(cos  1 + i sen  1) .  2(cos  2 + i sen  2) 
 =  1 .  2 (cos  1 cos  2 + i cos  1 sen  2 + i 
sen  1 cos  2 + i2 sen  1 sen  2) = 
 =  1 .  2 [(cos  1 cos  2 - sen  1 sen  2) + 
i(sen  1 cos  2 + sen  2 cos  1)] 
Assim: 
z1 . z2 =  1 .  2 [cos (  1 +  2) + i sen (  1 +  2)] 
 
Notemos que o número complexo obtido é tal que: 
- seu módulo é igual ao produto dos módulos de z1 e z2; 
- seu argumento é igual à soma dos argumentos de z1 
e z2. 
Observação: 
z1 . z2 . ... . zn =  1 .  2 . ... .  n [cos (  1 +  2 + ... + 
 n) + i sen (  1 +  2 + ... +  n)] 
 
→ Divisão 
Para encontrar 
2
1
z
z
 na forma trigonométrica: 
2
1
z
z
= 
)sen i (cos
) sen i (cos
22
111
+
+
. 
)sen i (cos
)sen i (cos
22
22
−
−
 
 = 
2
1


. 
])sen i([cos
) sen seni cossen i
 sen cos icos(cos
2
22
2
21
2
21
2121
−
−
+−
 = 
 = 
2
1


. 
2
2
2
2
1221
2121
 sencos
) cos sen cos sen(i
)sen sen cos (cos
+
−
++
 
Assim: 
2
1
z
z
 = 
2
1


 . [cos (  1 -  2) + i sen (  1 -  2)] 
Notemos que o número complexo obtido é tal que: 
- seu módulo é igual ao quociente entre os módulos de 
z1 e z2; 
- seu argumento é igual à diferença entre o argumento 
de z1 e o de z2. 
 
 
 
 
 
 
z =  (cos  + i . sen  ) 
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→Potenciação 
Sendo z =  (cos  + i sen  ) e n um número inteiro 
maior que 1, temos: 
zn = z . z . z . ... . z  zn =  .  . ... .  [cos ( +  + 
... +  ) + i sen (  +  + ... +  )] 
 
 
 
Fórmula conhecida como 1ª fórmula de Moivre 
 
 
→Radiciação 
( )n nz z . cos i.sen=  +  
 
Fórmula conhecida como 2ª fórmula de Moivre 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2010) Multiplicando-se o número complexo 
2 – 3i pelo seu conjugado, obtém-se 
a) 0. 
b) –1. 
c) 11. 
d) 13. 
 
2. (EEAr – 2010) O valor de i11 – i21 – i38 é 
a) 1 – 2i. 
b) 2 – i. 
c) –2. 
d) 1. 
 
3. (EEAr – 2010) O inverso do número complexo 
z = -2i é z`= 
a) 
2
i
 
b) 
2
1
 
c) -2 
d) 2i 
 
4. (EEAr – 2010) Seja o número complexo z = 1 + i. Se 
z` é o conjugado de z, então o produto |z| . |z`| é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 325. (EEAr - 2011) O número complexo 
z = (a - 4) + (b - 5)i será um número imaginário puro se 
a) a = 4 e b = 5 
b) a = 4 e b ≠ 5 
c) a ≠ 4 e b = 5 
d) a ≠ 4 e b ≠ 5 
 
6. (EEAr - 2011) Seja z' o conjugado do número 
complexo z = 1 - 3i. O valor de 2z + z' é 
a) 3 - 3i b) 1-3i c) 3 + i d) 1 + i 
 
7. (EEAr - 2012) O módulo do número complexo 
z = -1 + 3i é 
a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 
 
8. (EEAr - 2013) Seja z' o conjugado de um número 
complexo z. Sabendo que z = a + bi e que 
2z + z' = 9 + 2i, o valor de a + b é 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
 
9. (EEAr - 2013) Sejam p1 e p2, respectivamente, os 
módulos dos números complexos z1 = 1 + 2i e 
z2 = 4 - 2i. Assim, p1 + p2 é igual a: 
a) 5 
b) 5 
c) 52 
d) 53 
 
10. (EEAr - 2013) Se z = 3 + 2i é um número complexo, 
então z2 é igual a 
a) 5 + 12i 
b) 9 + 12i 
c) 13 + 4i 
d) 9 + 4i 
 
11. (EEAr - 2014) Se i é a unidade imaginária, pode-se 
afirmar que i7 é igual a 
a) i 
b) i2 
c) i3 
d) i4 
 
12. (EEAr - 2015) Seja ( )z = 3 cos20º +i.sen20º um 
número complexo na forma trigonométrica. Assim, z2 é 
igual a 
a) ( )z = 3 cos20º +i.sen20º 
b) ( )z = 3 cos40º +i.sen40º 
c) ( )z = 2 3 cos20º +i.sen20º 
d) ( )z = 2 3 cos40º +i.sen40º 
 
13. (EEAr - 2016) Sejam Z1 e Z2 dois números 
complexos. Sabe-se que o produto de Z1 e Z2 é 
–10 + 10i. Se Z1 = 1 + 2i, então o valor de Z2 é igual a 
a) 5 + 6i 
b) 2 + 6i 
c) 2 + 15i 
d) –6+6i 
 
14. (EEAr - 2016) Sabe-se que os números complexos 
Z1 = [2m (3 + m)] + (3n + 5) i e 
Z2 = (2m2 + 12) + [4(n + 1)] i são iguais. Então, os 
valores de m e n são, respectivamente 
a) 3 e 1 
b) 2 e 1 
c) 2 e -1 
d) 3 e -1 
 
15. (EEAr - 2017) Se i é a unidade imaginária, então 
2i3 + 3i2 + 3i + 2 é um número complexo que pode ser 
representado no plano de Argand - Gauss no 
___________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
zn =  n (cos n  + i sen n  ) 
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16. (EEAr - 2017) Considere z1 = (2 + x) + (x2 – 1)i e 
z2 = (m – 1) + (m2 – 9)i. Se z1 é um número imaginário 
puro e z2 é um número real, é correto afirmar que x + m 
pode ser igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
17. (EEAr - 2018) Sejam os números complexos 
z1 = 1 – i, z2 = 3 + 5i e z3 = z1 + z2. O módulo de z3 é 
igual a 
a) 22 
b) 24 
c) 32 
d) 34 
 
18. (EEAr – 2018) Dado o número complexo z = a + bi, 
se 10zz =+ e i16zz −=− , então a + b é 
a) –6 
b) –3 
c) 2 
d) 8 
 
19. (EEAr - 2019) Se i é a unidade imaginária dos 
números complexos, o valor de i15 + i17 é 
a) –i b) –1 c) 0 d) 1 
 
20. (EEAr - 2019) Sejam Z1 = 3 + 3i, Q e R as 
respectivas representações, no plano de Argand-
Gauss, dos números complexos Z2 e Z3. Assim, é 
correto afirmar que Z1 = 
 
a) Z2 – Z3 
b) Z2 + Z3 
c) –Z2 + Z3 
d) –Z2 – Z3 
 
21. (EEAr – 2020) Sejam ρ1 e ρ2, respectivamente, os 
módulos dos números complexos Z1 = 2 - 5i e 
Z2 = 3 + 4i. Assim, é correto afirmar que 
a) ρ1 < ρ2 
b) ρ2 < ρ1 
c) ρ1 + ρ2 = 10 
d) ρ1 – ρ2 = 2 
 
22. (EEAr – 2020) Seja z = bi um número complexo, 
com b real, que satisfaz a condição 2z2 - 7iz - 3 = 0. 
Assim, a soma dos possíveis valores de b é 
a) 
7
2 b) 
5
2 c) 1 d) -1 
 
23. (EEAr – 2021) Considere o complexo 
1 i
z .
1 i
+
=
−
 
O valor de 1983z é: 
a) -1 
b) 0 
c) i 
d) -i 
 
24. (EEAr – 2021) Dado o complexo 
z = (cos 45º + isen 45°), determine 
10
1
z
: 
a) i b) -i c) 1 d) -1 
 
25. (EEAr – 2022) Um número complexo z tem 
argumento 
5
6

 = e módulo igual a 6. A forma algébrica 
de z é 
a) 3 3 3i− + 
b) 3 3 3i− + 
c) 3 3 3i− 
d) 3 3 3i− 
 
26. (EEAr – 2023) Sendo i a unidade imaginária, o valor 
de i(1 + i(1 + i(1 + i))) é ______. 
a) 0 
b) 1 
c) 3 + 4i 
d) 3 − 4i 
 
27. (EEAr – 2023) Seja z um número complexo tal que 
x 2xi
z .
1 i
+
=
−
O valor de x, para o qual z seja um número 
real, está contido no intervalo 
a) [−3, 0] 
b) [−2, 0[ 
c) ]−1, 0[ 
d) ]−2, −1] 
 
28. (EEAr – 2023) A forma trigonométrica de um 
número complexo z é z = ρ(m + in). Se o afixo de z, no 
plano de Argand-Gauss, está no 3º quadrante, então é 
correto afirmar que __________. 
a) ρ > 0, m > 0 e n > 0 
b) ρ > 0, m < 0 e n < 0 
c) ρ < 0, m < 0 e n < 0 
d) ρ < 0, m < 0 e n > 0 
 
29. (EsPCEx - 2011) Seja o número complexo 
i43
yix
z
+
+
= , com x e y reais e i2 = -1. Se x2 + y2 = 20, 
então o módulo de z é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 
5
52
 
d) 4 
e) 10 
 
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30. (EsPCEx - 2012) A figura geométrica formada pelos 
afixos das raízes complexas da equação x3 - 8 = 0 tem 
área igual a: 
a) 37 
b) 36 
c) 35 
d) 34 
e) 33 
 
31. (EsPCEx - 2012) Sendo Z conjugado do número 
complexo Z e i a unidade imaginária, o número 
complexo Z que satisfaz à condição i.Z2Z.2Z −=+ é 
a) Z = 0 + 1.i 
b) Z = 0 + 0.i 
c) Z = 1 + 0.i 
d) Z = 1 + i 
e) Z = 1 + i 
 
32. (EsPCEx - 2013) Sendo z o número complexo 
obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do 
número complexo 1 + i, determine z3: 
a) 1 - i 
b) -1 + i 
c) -2i 
d) -1 - 2i 
e) 2 + 2i 
 
33. (EsPCEx - 2013) De todos os números complexos 
z que satisfazem a condição | z - (2 - 2i) | = 1, existe um 
número complexo z1, que fica mais próximo da origem. 
A parte real desse número complexo z1 é igual a: 
a) 
2
24 −
 
b) 
2
24 +
 
c) 
4
24 −
 
d) 
4
24 +
 
e) 
2
2
 
 
34. (EsPCEx - 2014) A representação geométrica, no 
Plano de Argand - Gauss, do conjunto de pontos que 
satisfazem a condição | z + 2 - 3i| = | z - 1 + 4i |, com z 
= x + yi, sendo x e y números reais, é a reta de equação 
a) 2x - 3y + 7 = 0 
b) 3x - 7y - 2 = 0 
c) 2x - 3y + 3 = 0 
d) 4x - 3y + 3 = 0 
e) 2x - y = 0 
 
35. (EsPCEx - 2015) Se yix
12
isen
12
cos)i1( +=




 
+

+ , 
em que i é a unidade imaginária e x e y são números 
reais, o valor de yx.3 + é 
a) 6 b) 3 c) 
2
2
 d) 63 e) 
2
3
 
 
36. (EsPCEx - 2016) Sejam z e v números complexos 
onde |z| = 1 e v tem coordenadas no plano de Argand-
Gauss 








2
2
,
2
2
. Sobre o número complexo z · v 
(resultante da multiplicação dos complexos z e v), 
podemos afirmar que 
a) sempre é um número real. 
b) sempre tem módulo igual a 2. 
c) sempre é um número imaginário puro. 
d) pertence à circunferência x2 + y2 = 1 
e) sempre tem argumento igual a 
4

 
 
37. (EsPCEx – 2016) Seja a igualdade 
,
6
seni
6
cosi
5
b
3
a
4





 
+

=− onde i é a unidade imaginária. 
Se a e b são números reais,então o quociente 
b
a
 é igual 
a 
a) 
5
3
 
b) 
5
33
 
c) 
5
33
− 
d) 
5
3
− 
e) 
4
315
 
 
38. (EsPCEx – 2016) Na figura abaixo, está 
representado o plano de Argand-Gauss com os afixos 
de 12 números complexos, identificados de A a L. 
Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 
12 partes iguais e que A = (1, 0). 
 
O polígono regular cujos vértices são os afixos de 4 E 
é 
a) BEHK. 
b) CFIL. 
c) ADGJ. 
d) BDHJ. 
e) CEIK. 
 
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39. (EsPCEx – 2018) No plano complexo, temos uma 
circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo 
ABCD um quadrado inscrito à λ, de acordo com a figura 
abaixo, podemos afirmar que o número complexo que 
representa o vértice B é 
 
a) i
2
3
2
1
+− 
b) i3 −− 
c) i31+− 
d) i
2
3
2
1
−− 
e) i
2
1
2
3
+− 
 
40. (EsPCEx – 2020) Na figura abaixo está 
representado o plano de Argand-Gauss com os afixos 
de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos 
dividem a circunferência em 12 partes iguais e que 
Z0 = 1. Sobre o número complexo dado por 
( )
2
2 5
3
Z .Z
Z
 
é correto afirmar que éum número 
 
a) real e negativo. 
b) real e positivo. 
c) imaginário com parte real negativa e parte imaginária 
positiva. 
d) imaginário com parte real positiva e parte imaginária 
negativa. 
e) imaginário puro com parte imaginária negativa. 
41. (EsPCEx – 2021) Simplificando-se a expressão 
( )
10
2021
2 2i
,
i
−
 onde i é a unidade imaginária, obtém-se 
a) -215i. b) 215. c) -210. d) -215. e) 215i. 
 
42. (EsPCEx – 2021) Considere i a unidade imaginária. 
A soma infinita 
5 5i 5 5i 5 5i
5i ...,
2 4 8 16 32 64
− − + + − − + onde 
o n-ésimo termo é dado por 
n
n 1
5i
2 −
(n = 1, 2, 3, ...), resulta 
no número complexo cujas partes real e imaginária são, 
respectivamente, iguais a 
a) 2 e 4. 
b) 2 e -4. 
c) -4 e 2. 
d) 4 e -2. 
e) -2 e 4. 
 
43. (EsPCEx – 2021) Sejam x um ângulo qualquer, em 
radianos, e i a unidade imaginária. O determinante da 
matriz 
cos(2x) i sen(x)
i 1 isen(x)
sen(x) 0 1
− − 
 
 
 
 
 é igual a 
a) -i. b) i. c) -1. d) 1. e) 0. 
 
44. (EsPCEx – 2022) Considere a função de variável 
complexa f, definida por f(z) = z4 + 80z2 − 81. 
Sendo i a unidade imaginária, os números complexos 
que satisfazem à equação f(z) = 0 são 
a) 1 e −81. 
b) 9; −9; i e −1. 
c) 1 + 9i e 1 − 9i. 
d) 1; −1; 9i e −9i. 
e) 9 + i e 9 − i. 
 
45. (AFA - 2009) Considere todos os números 
complexos z = x + yi , onde x  R, y  R e 1i −= , tais 
que 
i1
2
1z
+
−− 
Sobre esses números complexos z, é correto afirmar 
que 
a) nenhum deles é imaginário puro. 
b) existe algum número real positivo. 
c) são todos imaginários. 
d) apenas um é número real. 
 
46. (AFA - 2010) Sejam z = x + yi (x  R*, y  R* e i a 
unidade imaginária), z o conjugado de z e  o lugar 
geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano para 
os quais 3x2z.z += Se A e B são os pontos de 
interseção de  com o eixo Oy

e se A' é o ponto de 
interseção de  como o eixo 

Ox que possui a menor 
abscissa, então a área do triângulo A'AB é, em 
unidades de área, igual a 
a) 32 b) 22 c) 3 d) 2 
 
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NÚMEROS COMPLEXOS 
Prof. Wellington Nishio 
47. (AFA - 2011) O número complexo z = a + bi é vértice 
de um triângulo equilátero, como mostra a figura 
abaixo. 
 
É correto afirmar que o conjugado de z2 tem afixo que 
pertence ao 
a) 1° quadrante. 
b) 2° quadrante. 
c) 3° quadrante. 
d) 4° quadrante. 
48. (AFA - 2012) O valor de n tal que ( )
=
+=+
n
1j
j
i31i1 , 
sendo i a unidade 
imaginária, é 
a) par menor que 10 
b) múltiplo de 9 
c) primo maior que 8 
d) ímpar menor que 7 
 
49. (AFA - 2013) Considerando os números complexos 
z1 e z2, tais que: 
z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante 
z2 é raiz de equação x4 + x2 -12 = 0 e Im(z2) > 0 
Pode-se afirmar que 21 zz + é igual a 
a) 33+ b) 32 c) 221+ d) 222 + 
 
50. (AFA - 2014) Considere no plano complexo, o 
conjunto dos números z = x + yi; {x, y}  R e i2 = -1 que 
satisfazem a condição | z |  |2z + 1|. É FALSO 
afirmar que 
a) este conjunto pode ser representado por um círculo 
de raio igual a 
3
1
 
b) z = -1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto. 
c) 
3
1
z −= é o elemento de maior argumento, neste 
conjunto. 
d) não existe z, neste conjunto, que seja imaginário 
puro. 
 
51. (AFA - 2015) Considere os números complexos
ixZ1 −= , i
2
1
Z2 = , i21Z3 +−= e yixZ4 += em que 
x  R, y  *R+ e i2 = -1 e as relações: 
I. ( ) ( )2121 ZZImZZRe ++ 
II. 5ZZ 43 = 
O menor argumento de todos os complexos que 
satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é 
a) 
6

 b) 0 c) 
2

 d) 
3

 
 
52. (AFA - 2016) Considere no Plano de Argand-Gauss 
os números complexos z = x + yi, onde 1i −= e cujos 
afixos são os pontos P(x, y)  R2. Dada a equação
( ) 1i1z
4
=+− , sobre os elementos que compõem seu 
conjunto solução, é INCORRETO afirmar que 
a) apenas um deles é imaginário puro. 
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 + 2i. 
d) nem todos são números imaginários. 
 
53. (AFA - 2017) Resolva a equação z3 – 1 = 0 no 
conjunto dos números complexos. Considerando as 
raízes encontradas, analise as proposições abaixo e 
classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero 
cuja área é 
2
33
 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
A sequência correta é: 
a) V – F – V – V 
b) V – V – F – V 
c) F – F – V – F 
d) V – F – V – F 
 
54. (AFA – 2019) Considere, no plano de Argand-
Gauss, os números complexos A e B, sendo �̅� = x − 2i, 
x ∈ IR e �̅� = 1 + i 
Se no produto A⋅B tem-se Re(A⋅B) ≥ Im(A⋅B), então, 
sobre todos os números complexos A, é correto afirmar 
que 
a) seus afixos formam uma reta. 
b) nenhum deles é imaginário puro. 
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior 
argumento principal. 
d) existe A tal que |A| = |B| 
 
55. (AFA – 2020) Considere no plano de Argand Gaus 
a região S formada pelos afixos P(x, y) dos números 
complexos z = x + yi , em que √−1 = i 
𝑆 = {
|𝑧 − 𝑖| ≥ 1
|𝑧| ≤ 2
𝑅𝑒(𝑧) ≤ 0
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) 
Verdadeira ou (F) Falsa. 
( ) A área de S é maior que 4,8 u.a. 
( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então 
ki ∈ S 
( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) todas são falsas. 
56. (AFA – 2021) Considere no plano de Argand Gauss 
os números complexos z = x + iy, em que x e y são 
números reais e √−1 = i, tais que 
( )
22 1093
z i 5
Im(z) z z Re(z). Re(z) 2. i .Im(z) 12
 + =


 + + − + =   
 
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NÚMEROS COMPLEXOS 
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É correto afirmar que os pontos P(x, y), afixos de z, 
podem formar um 
a) trapézio isósceles. 
b) trapézio retângulo. 
c) pentágono regular. 
d) quadrado. 
 
57. (AFA – 2021) Considere no plano de Argand Gauss 
os números complexos z = A(cos α + i sen α) e 
w = B(cos β + i sen β) conforme gráfico abaixo. 
 
Se w = z4, então B é igual a 
a) 12 
b) 12√3 
c) 144 
d) 144√3 
 
58. (AFA – 2022) Considere, no Plano de Argand-
Gauss, os números complexos z = x + yi, em que x e y 
são números reais e i a unidade imaginária. 
Sobre a igualdade 2z + 𝑧̅ = 9 + 3i, é correto afirmar que 
a) 
z
z
i
= 
b) |z| = 2√2 
c) o argumento de z é 
3
4

 = 
d) i.z tem afixo no 3º quadrante. 
 
59. (AFA – 2023) Considere z os números complexos 
da forma x + yi, com x, y ∈ IR e i a unidade imaginária, 
que possuem módulo igual a 2√5 e encontram-se sobre 
a reta de equação 2x − y = 0 
O quociente do número z de menor argumento principal 
pelo número z de maior argumento principal, nessa 
ordem, vale 
a) 
1
2
− b) −1 c) 
1
2
 d) 1 
 
60. (EFOMM – 2010) Considere o conjunto dos 
números complexos Z com a propriedade 
|Z + 169i|  65, admitindo que i é a unidade imaginária. 
O elemento desse conjunto que possui o maior 
argumento , 0    2π 
a) 60 – 144i 
b) 65 – 169i 
c) -104i 
d) 65 – 169i 
e) 65 – 156i 
 
61. (EFOMM – 2011) Sejam os números complexos z 
tais que 
1
z z 1.
3
= + O lugar geométrico das imagens 
desses números complexos é uma 
a) parábola 
b) reta 
c) circunferência de raio 3/8 
d) circunferência de raio 3/2 
e) hipérbole 
 
62. (EFOMM – 2012) A solução da equação 
|z| + z = 1 + 3i é um número complexo de módulo: 
a) 
5
4
 b) 5 c) 5 d) 
5
2
 e) 
5
2
 
 
63. (EFOMM – 2012) Considere a sequência cujo termo 
geral é dado por an = 43 - n + i.44 - n, n ∈ ℕ*. Se i é a 
unidade imaginária, o módulo da soma dos infinitos 
termos dessa sequência é 
a) 
2 17
3
 
b) 
( )22 17
3
 
c) 
( )32 17
3
 
d) 
( )42 17
3
 
e) 
( )62 17
3
 
 
64. (EFOMM – 2013) Seos números reais x e y são 
soluções da equação 
2
1 i 1
1 i,
1 i x iy
+ 
+ = + 
− + 
 então 
5x + 15y é igual a: 
a) 0 
b) -1 
c) 1 
d) 2 
e) 2− 
 
65. (EFOMM – 2015) Considere o número complexo 
z1 ≠ 1, tal que z1 seja solução da equação z6 = 1, com 
menor argumento positivo. A solução z2 da mesma 
equação, cujo argumento é o triplo do argumento de z1, 
é igual a 
a)
1 3
i .
2 2
+ 
b)
1 3
i .
2 2
− + 
c) -1. 
d)
1 3
i .
2 2
− − 
e)
1 3
i .
2 2
− 
 
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66. (EFOMM – 2016) O número complexo, 
z = |z|.(cos  + i.sen ), sendo i a unidade imaginária e 
0    2π, que satisfaz a inequação |z + 3i|  2 e que 
possui o menor argumento , é 
a) 
5 2 5
z i
3 3
= − − 
b) 
5 2 5
z i
3 3
= − + 
c) 
2 5 5
z i
3 3
= − − 
d) 
2 5 5
z i
3 3
= − + 
e) z 2 5 5i= + 
 
67. (EFOMM – 2016) Seja o número complexo 
z 1 3i,= − − onde i é a unidade imaginária. O valor de 
z8 é: 
a) 
4 4
z 256 cos isen
3 3
  
= + 
 
 
b) z 256 cos isen
3 3
  
= + 
 
 
c) 
5 5
z 256 cos isen
3 3
  
= + 
 
 
d) 
2 2
z 256 cos isen
3 3
  
= + 
 
 
e) ( )z 256 cos2 isen2=  +  
 
68. (EFOMM – 2018) Resolvendo o sistema 
z 2 z 4
,
z 3 z 3 10
 − = +

− + + =
 para z complexo, encontramos 
como solução 
a) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
− + − − 
b) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
+ − 
c) 
6 8 6 8
1 i; 1 i
5 5
− + − − 
d) 
6 8 6 8
1 i;1 i
5 5
+ − 
e) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
− − − 
 
69. (ITA – 2017) O lugar geométrico dos pontos 
(a, b)  R2 tais que a equação, em z  C, 
z2 + z + 2 – (a + ib) = 0 
possua uma raiz puramente imaginaria e 
a) uma circunferência. 
b) uma parábola. 
c) uma hipérbole. 
d) uma reta. 
e) duas retas paralelas. 
 
 
 
70. (EN – 2017) O conjunto S formado por todos os 
números complexos z que satisfazem a equação 
|z – 1| = 2.|z + 1| é representado geometricamente por 
uma 
a) reta vertical. 
b) circunferência de centro 
5
,0
3
 
 
 
 e raio
4
3
. 
c) parábola com vértice na origem e eixo de simetria 
Ox. 
d) elipse de centro (-3,0) e eixo maior horizontal. 
e) circunferência de centro 
5
,0
3
 
− 
 
 e raio
4
3
. 
 
71. (IME – 2017) Sejam Z1 e Z2 números complexos tais 
que Z2 é imaginário puro e |Z1 – Z2| = |Z2|. Para 
quaisquer valores Z1 e Z2 que atendam a essas 
condições tem-se que: 
a) Im(Z2) > 0 
b) Im(Z2) ≤ 0 
c) |Z1| ≤ 2|Z2| 
d) Re(Z1) ≥ 0 
e) Re(Z1) ≤ Im(Z2) 
 
72. (IME – 2015) O lugar geométrico no plano complexo 
de 
1
w z
z
= + , sendo z número complexo tal que 
|z| = k e k > 1, é um(a): 
a) segmento de reta 
b) circunferência 
c) hipérbole 
d) elipse 
e) parábola 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 2, 3, 6, 8, 10, 16, 20, 22, 25, 26, 27, 33, 35, 37, 38, 
40, 53, 55, 56, 58, 60, 56, 68 
B) 4, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 21, 24, 28, 34, 48, 49, 
59, 62, 64, 69 
C) 11, 19, 29, 39, 46, 47, 50, 54, 57, 65, 66, 71 
D) 1, 7, 9, 23, 31, 36, 41, 44, 45, 51, 67, 72 
E) 30, 32, 42, 43, 63, 70