Matemática Interligada Afim, Quadrática, Exponencial e Logaritmica (65)

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 Função exponencial e juro composto
Em compras a prazo, aplicações financeiras e diversas outras situações envolvendo 
matemática financeira está envolvido o juro composto, que é calculado com base na 
expressão:
M 5 C ?? ( 1 1 i )
n
em que:
• capital (C) é o valor inicial investido ou emprestado.
• tempo (n) é o período em que o capital é investido ou emprestado.
• taxa de juro (i) é a porcentagem que se aplica sobre o capital em um investimento ou 
empréstimo.
• montante (M) é o valor final do capital investido ou emprestado. Também corresponde 
ao valor do capital mais o juro ( j), ou seja, M 5 C 1 j .
• juro ( j) é o valor recebido pelo investimento ou pago pelo empréstimo.
A variação do valor do montante em função do tempo é dada por uma função do tipo 
exponencial, pois o período é dado pela variável n que é um expoente.
Não escreva no livro.
Considere uma aplicação com capital inicial de R$ 1 000,00 e taxa de juro composto de 
4% ao mês. Os montantes nos 3 primeiros meses são dados por:
Mês Mês Mês
M
1
5 1 000 ?? ( 1 1 0,04 ) 
1
5
5 1 000 ?? ( 1,04 ) 
1
5 1 040 
R$ 1 040,00
M
2
5 1 000 ?? ( 1,04 ) 
2
5
5 1 081,6 
R$ 1 081,60
M
3
5 1 000 ?? ( 1,04 ) 
3
≃
≃ 1 124,86 
R$ 1 124,86
 46. Seja a PA ( 7, 4, 1, −2, −5, … ) e a função exponencial 
definida por f ( x ) 5 2
x
 , determine a razão da 
PG ( f ( 7 ), f ( 4 ), f ( 1 ), f ( −2 ), f ( −5 ), … ) .
 47. Calcule o capital necessário para que se obtenha 
um montante de R$ 2 500,00 em um investimento 
com taxa de juro composto de 2% ao mês durante 
12 meses. (Considere 1,02
12
5 1,268 ).
 45. Demonstre que se f : R→ R é uma função 
exponencial definida por f ( x ) 5 ax
 e 
( x
1
, x
2
, x
3
, …, x
i
, … ) é uma PA de razão r, en-
tão ( f ( x
1 ), f ( x
2 ), f ( x
3 ), …, f ( x
i ),… ) é uma PG 
de razão ar
 .
 48. Considere o exemplo apresentado nesta página.
a ) O que acontece com o valor do montante duran-
te o primeiro ano? E durante os primeiros 5 anos?
b ) Em sua opinião, o que aconteceria com o valor 
do montante ao longo de 20 anos?
 Considere uma dívida com taxa de juro 
composto de 6% ao mês. O que acontece 
com o valor da dívida se ela for prolongada 
por vários anos? Justifique sua resposta.
49. Elabore um problema que envolva juro com-
posto. Depois, troque o problema que você 
elaborou com um colega e verifiquem se as 
respostas estão corretas.
Diga aos alunos que a porcentagem 4% 
no exemplo corresponde a 
4
―
100
 ou 0,04.
Se achar conveniente, peça aos alunos que utilizem uma 
calculadora para resolver essa tarefa.
R$ 1 971,61
1
―
8
48. a) Espera-se que 
os alunos respondam 
que durante o 
primeiro ano o valor 
do montante tem 
pouca diferença 
entre dois meses 
consecutivos, e 
que essa diferença 
aumenta com o 
passar do tempo, com 
as maiores variações 
ao final dos primeiros 
5 anos.
48. b) Espera-se que os 
alunos respondam que 
o valor do montante 
aumentaria muito, e 
que o aumento a cada 
mês seria muito maior 
no final do período de 
20 anos.
48. c) Espera-se que os 
alunos respondam que 
o valor da dívida vai 
aumentar muito com 
o passar do tempo, 
pois o valor da dívida 
dobra a cada período 
de, aproximadamente, 
12 meses.
Resposta pessoal. Possível resposta: Qual é o montante 
ao se aplicar um capital de R$ 800 por 6 meses a uma 
taxa de juro composto de 3% ao mês?
Veja a resposta na Resolução dos problemas 
e exercícios na Assessoria pedagógica.
Veja mais 
informações sobre 
esse exemplo 
na Assessoria 
pedagógica. 
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Note que o logaritmo corresponde ao expoente da potência.
Aplique a definição de logaritmos 
nesses exemplos e verifique a 
impossibili dade do cálculo.
1. log 
1
 12 
2. log −9
 27 
3. log 
6
 0 
4. log 
12
 − 12 
5. log −5
 − √ 
―
 5 
6. log 
0
 35 
3. log 
 √ 
―
 7 
 √ 
―
 7 5 1 ⇔ ( √ 
―
 7 ) 
1
 5 √ 
―
 7 
2. log 
4
 
1
 ― 
16
 5 − 2 ⇔ 4 
−2
 5 
1
 ― 
16
 
1. log 
2
 8 5 3 ⇔ 2 
3
 5 8 
Logaritmo
Nas páginas anteriores, resolvemos equações exponenciais transformando cada lado da 
igualdade em potências da mesma base, com o objetivo de igualar os expoentes. No entan-
to, nem sempre é possível escrever os dois membros da igualdade na mesma base. Em casos 
como esses, utilizamos os logaritmos. Cálculos com logaritmos estão presentes em diversas 
situações, como na escala logarítmica de decibéis que classifica a intensidade das ondas 
sonoras, na escala Richter que quantifica a magnitude de abalos sísmicos e na escala loga-
rítmica que define o pH de substâncias, coeficiente que caracteriza a condição mais ácida ou 
mais básica de soluções químicas.
Para definir o que é logaritmo, vamos tomar como exemplo a resolução das equações 
exponenciais a seguir.
• 5 
x
 5 25 ä 5 
x
 5 5 
2
 ä x 5 2 
Nesse caso, dizemos que 2 é o logaritmo 
de 25 na base 5 e indicamos por 
 log 
5
 25 5 2. 
• ( 
1
 ― 
7
 ) 
x
 5 7 ä ( 
1
 ― 
7
 ) 
x
 5 ( 
1
 ― 
7
 ) 
−1
 ä x 5 − 1 
Nesse caso, dizemos que –1 é o logaritmo 
de 7 na base 
1
 ― 
7
 e indicamos por 
 log 
 
1
 ― 
7
 
 7 5 − 1. 
Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1 , chama-se 
logaritmo de b na base a o expoente c, tal que a 
c
 5 b , ou seja:
logaritmando
base logaritmo
 log 
a
 b 5 c ⇔ a 
c
 5 b 
No logaritmo, a base pode ser qualquer número real positivo diferente 
de 1. No logaritmo cuja base é 10, chamado logaritmo decimal, a base 10 
costuma não ser indicada: log 
10
 b 5 log b .
Além dos logaritmos decimais, temos outro logaritmo importante, 
cuja base é o número irracional e 5 2,718281828... , obtido pelo matemático 
Leonhard Eu ler.
O logaritmo de base e é chamado logaritmo neperiano ou natural e é 
representado por log 
e
 b ou ln b .
Alguns exemplos de logaritmo são:
De acordo com a definição de logaritmo, a base e o logaritmando devem ser números 
reais positivos, sendo a base diferente de 1. Assim, não podemos definir, por exemplo, os 
seguintes logaritmos:
De grande importância na história 
da Matemática, o suíço Leonhard 
Euler (1707-1783) publicou durante 
sua vida, entre livros e artigos, 
530 trabalhos. A Matemática 
Aplicada foi o principal campo de 
suas publicações. Além disso, seus 
conhecimentos estendiam-se à 
astronomia, medicina, botânica, 
química, teologia e às línguas 
orientais.
Fonte de pesquisa: BOYER, Carl Benjamin. História 
da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São 
Paulo: Editora Blucher, 1974.
Leonhard Euler.
Se achar necessário, diga aos alunos 
que o número e corresponde ao limite 
de ( 1 1 
1
 ― 
x
 ) 
x
 quando x cresce infinitamente, 
isto é, à medida que aumentamos os valores de x , o valor da expressão se 
aproxima do número e .
Re
p
ro
d
u
çã
o
/ 
W
el
lc
o
m
e 
C
o
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ct
io
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A
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4
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