Matemática Interligada Geometria Espacial e Plana (59)

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115
r
r
r
hh C 2 r
r
π
2,5 cm
4 cm
r
2
r
1
De maneira geral, podemos calcular a área da coroa circular utilizando a fórmula A coroa 5 p ( r 
1
 
2
 2 r 
2
 
2
 ) , 
em que r 1 é o comprimento do raio do círculo maior e r 2 o comprimento do raio do círculo menor.
 R1. Utilizando um software de Geometria dinâmica, Pablo construiu a imagem apresentada 
ao lado. Calcule a área da região em destaque.
Resolução
A região em des taque corresponde a uma coroa circular, na qual r 1 5 
4 cm
 ― 
2
 5 2 cm e 
r 2 5 
2,5 cm
 ― 
2
 5 1,25 cm .
Para calcular a área dessa coroa, precisamos calcular a área do círculo maior e dela sub-
trair a área do círculo menor. Considerando p 5 3,14 , temos:
 A coroa 5 p r 
1
 2 2 p r 
2
 2 5 p ( r 
1
 2 2 r 
2
 2 ) 5 p ( 2 
2
 2 1, 25 
2
 ) 5
5 3,14 ?? 2,4375 . 7,65 é aproximadamente 7,65 cm 
2
 
 R2. Considerando um círculo de diâmetro 6 cm e p 5 3,14 , calcule:
a ) sua área.
b ) a área de um setor desse círculo determinado por um ângulo central de 508 .
Resolução
a ) Como o comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio, temos 
r 5 
d
 ― 
2
 5 
6 cm
 ― 
2
 5 3 cm . Assim:
 A 5 p r 
2
 5 3,14 ?? 3 
2
 5 28,26 é 28,26 
Portanto, a área desse círculo é, aproximadamente, 28,26 cm 
2
 .
b ) Como o ângulo central do setor é 508 , temos:
 A s 5 
α
 ― 
360
 ?? p r 
2
 5 
50
 ― 
360
 ?? 3,14 ?? 3 
2
 5 3,925 
Portanto, a área do setor circular é, aproximadamente, 3,925 cm 
2
 .
 Área da superfície do cilindro reto
Na imagem estão representados um cilindro reto 
e a planificação de sua superfície.
Como vimos, a superfície lateral de um cilindro reto é a reunião de todas as suas geratrizes. 
Planificada, essa superfície corresponde a um retângulo de dimensões 2p r , referente ao 
comprimento da circunferência da base, e h , que é a altura do cilindro. A área dessa superfície 
é chamada área lateral do cilindro ( A 
º
 ) .
 A 
º
 5 2p r ?? h 
A área da base de um cilindro é a área do círculo que 
é sua base ( A 
b
 ) .
 A 
b
 5 p r 
2
 
S
e
rg
io
 L
. F
il
h
o
Il
u
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s:
 S
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 L
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h
o
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116
A superfície total de um cilindro é a reunião da superfície lateral com as bases. 
A área dessa superfície é chamada área total do cilindro ( A 
t
 ) .
 A 
t
 5 A 
º
 1 2 ?? A 
b
 
Essa fórmula também pode ser escrita da seguin te maneira:
 A 
t
 5 A 
º
 
 
 
�
 
2pr ?? h
 1 2 ?? A 
b
 
 
 
�
 
p r 
2
 
 5 2pr ?? h 1 2 ?? p r 
2
 ä A 
t
 5 2pr ( h 1 r ) 
 1. Considere os círculos A, B e C cujos comprimentos 
dos raios são, respectivamente, 5 cm, 9,5 cm e 
0,7 cm. Para cada um desses círculos, calcule:
a ) a área total aproximada.
b ) a área de um setor circular de ângulo central 
igual a:
• 258
 • 708
 • 2308
 
 2. (UPM-SP) Na figura abaixo, ‾ AB é diâmetro da semi-
circunferência de centro O. Se ‾ AB mede 2, a área 
assinalada vale:
 3. Nos itens abaixo, cada figura é composta por cir-
cunferências concêntricas. Calcule a área indicada 
em azul em cada uma das figuras.
b ) d ) 
c ) 
a ) 
p
 
― 
2
 
b ) 
p
 
― 
4
 
c ) 
p
 
― 
6
 
d ) p 
e ) 
p
 
― 
8
 
 R3. Calcule a altura de um cilindro reto equilátero, sabendo que a área de sua superfície total 
é 37,5p cm 
2
 .
Resolução
Como o cilindro é equilátero, o comprimento do diâmetro da base é igual à sua altura. As-
sim, podemos escrever que h 5 2r ä r 5 
h
 ― 
2
 . 
 Com isso, temos:
 A 
t
 5 2p r ( h 1 r ) ä 37,5p 5 2p 
h
 ― 
2
 ( h 1 
h
 ― 
2
 ) ä 37,5 5 
3
 ― 
2
 h 
2
 ä
ä h 
2
 5 37,5 ?? 
2
 ― 
3
 ä h 
2
 5 25 ⟨ 
 h 1 5 5
 
 h 2 5 2 5 (não convém)
 
 Portanto, a altura desse cilindro é 5 cm.
Não escreva no livro.
Na resolução das tarefas desta seção, 
quando necessário, considere p 5 3,14 .
6 cm
2 cm
A O B
95
2 m
40 cm
o
3 cm 1,5 cm
0,8 cm 10 cm
1 
cm
1,
5 
cm
45
o
As imagens não estão representadas em proporção.
a ) 
Se necessário, diga aos alunos que 
semicircunferência é a metade de uma 
circunferência limitada por um diâmetro.
e
1. a) A: aproximadamente 78,5 cm 
2
 ; B: aproximadamente 
283,385 cm 
2
 ; C: aproximadamente 1,5386 cm 
2
 
aproximadamente 1,363 m 
2
 
aproximadamente 18,350 cm 
2
 
Veja a resposta na Resolução dos problemas e 
exercícios na Assessoria pedagógica.
aproximadamente 15, 7 cm 
2
 
aproximadamente 78,657 cm 
2
 
Na tarefa 2, por se tratar de uma questão de vestibular, embora estejamos usando “comprimento do segmento”, por 
exemplo, aparece a palavra “mede” para se referir ao comprimento do diâmetro da semicircunferência. 
Se achar necessário, oriente os alunos a utilizar uma calculadora durante a resolução das tarefas desta seção, a fim de auxiliá-los na execução 
dos cálculos.
Se
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 L
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