Matemática Interligada Matrizes e Geometria Analítica (66)

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0
P(x, y)
d(C, P) = r
C(a, b)
x
y
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão 
a uma mesma distância não nula de um ponto fixo, denominado centro. 
Cada segmento de reta que une o centro da circunferência a um de seus 
pontos é chamado raio .
Na circunferência, temos os seguintes elementos:
No plano cartesiano ao lado estão representa-
dos uma circunferência, de centro C ( a, b ) e raio r , 
e um ponto P ( x, y ) qual quer dessa circunferência.
A distância do ponto P ao centro C dessa circun-
ferência é dada por:
 d ( C, P ) 5 √ 
―
 ( x 2 a ) 
2
 1 ( y 2 b ) 
2
 5 r 
equação da 
circunferência de 
centro C ( a, b ) e raio r 
Equação da circunferência
 Além do pivô central, você conhece outro sistema de irrigação? Qual(is)?
 Que figura geométrica podemos associar ao traçado do pivô central?
 Em sua opinião, por que o traçado feito pelo pivô central tem formato arredon-
dado?
 O que você já conhece acerca de circunferência?
 Assim como a reta, de que maneira podemos escrever uma equação associada a 
uma circunferência?
Antes de estudarmos a equação da circunferência, vamos lembrar a defi-
nição de circunferência.
O: centro da circunferência
 ‾ MN : corda da circunferência
 ‾ AO : raio da circunferência
 ‾ CD : diâmetro da circunferência que é 
uma corda que passa pelo centro
Para simplificar a escrita, 
neste capítulo: 
• não faremos distinção 
entre grandezas e suas 
respectivas medidas. 
Então, em situações do 
tipo “a distância entre um 
ponto e a reta”, estamos 
fazendo referência à 
“medida da distância entre 
um ponto e a reta”, entre 
outras.
• vamos dizer, em algumas 
situações, “segmento a” 
em referência ao segmento 
cuja medida do compri-
mento é a. Então, em vez 
de dizer “raio cujo 
comprimento é 5 cm” 
diremos simplesmente 
“raio de 5 cm", entre 
outras. 
O comprimento do diâmetro é igual ao dobro do comprimento do raio.
A imagem apresentada 
sugere uma ilusão de 
óptica. Apesar de não 
parecer, a figura destacada 
em vermelho é uma 
circunferência.
Elevando ambos os membros ao quadrado:
 ( √ 
―
 ( x 2 a ) 
2
 1 ( y 2 b ) 
2
 ) 
2
 5 r 2 ä ( x 2 a ) 
2
 1 ( y 2 b ) 
2
 5 r 2 ← 
Essa equação também é chamada equação reduzida da circunferência.
Outra maneira de escrevê-la é:
 ( x 2 a ) 
2
 1 ( y 2 b ) 
2
 5 r 2 ä x 2 2 2ax 1 a 2 1 y 2 2 2by 1 b 
2
 5 r 2 ä
ä x 2 1 y 2 2 2ax 2 2by 1 a 2 1 b 
2
 2 r 2 5 0 
Essa equação é chamada equação normal ou equação geral da circunferência.
N
D
O
A
C
M
Resposta pessoal. Possíveis respostas: irrigação por superfícies, por deslocamento linear, por gotejamento, por sulcos, por aspersão, 
Resposta pessoal.
circunferência
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos respondam que, em torno do centro do pivô, uma estrutura metálica realiza 
um movimento de rotação, fazendo com que o traçado do equipamento no terreno tenha formato arredondado.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos respondam que é possível escrever uma equação 
associada a uma circunferência determinando, com base no plano cartesiano, o lugar geométrico 
dos pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado centro.
por inundação, por faixas, entre outros.
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u
st
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1 2 40
2
3
6
C
B
A
r
x
y
0 2
4
2
x
y
A
B
60 2
2
y
x
C
P
130
 R1. Considere λ uma circunferência de centro C ( 2, 2 3 ) e raio 5.
a ) Determine a equação reduzida de λ .
b ) Em que ponto λ cruza o eixo x?
c ) Sabendo que o ponto P ( 2, b ) pertence a λ e está no 4o quadrante, determine o valor de b.
Resolução
a ) ( x 2 2 ) 
2
 1 [y 2 ( 2 3 ) ] 
2
 5 5 
2
 ä ( x 2 2 ) 
2
 1 ( y 1 3 ) 
2
 5 25 
b ) λ cruza o eixo x nos pontos de ordenada y 5 0 . Assim, segue que:
 ( x 2 2 ) 
2
 1 ( 0 1 3 ) 
2
 5 25 ä x 2 2 4x 1 4 1 9 5 25 ä x 2 2 4x 2 12 5 0 ⟨ 
 x 
1
 5 6
 
 x 
2
 5 2 2
 
Portanto, a circunferência cruza o eixo x nos pontos ( 6, 0 ) e ( 2 2, 0 ) .
c ) Como P ( 2, b ) pertence a λ , segue que:
 ( 2 2 2 ) 
2
 1 ( b 1 3 ) 
2
 5 25 ä 0 1 b 
2
 1 6b 1 9 5 25 ä b 
2
 1 6b 2 16 5 0 ⟨ 
 b 
1
 5 2
 
 b 
2
 5 2 8
 
Como P está no 4o quadrante, b 5 2 8 .
1. A circunferência de centro C ( 1, 2 ) e raio 5 
tem equação ( x 2 1 ) 
2
 1 ( y 2 2 ) 
2
 5 25 .
Nesse caso, o ponto A ( 4, 6 ) , por exem plo, 
pertence à circunferência, pois:
 ( 4 2 1 ) 
2
 1 ( 6 2 2 ) 
2
 5 25 
 ordenada 
de A 
 abscissa 
de A 
Já o ponto B ( 2, 3 ) , por exemplo, não perten-
ce à circunferência, pois:
 ( 2 2 1 ) 
2
 1 ( 3 2 2 ) 
2
 Þ 25 
2. A circunferência de centro O ( 0, 0 ) e raio 4 
tem equação x 
2
 1 y 2 5 16. 
Note que o ponto A ( 0, 4 ) pertence à 
 circunferência e o ponto B ( 2, 2 ) não.
Note que a distância entre o ponto A e 
o centro da circunferência é igual ao 
comprimento do raio.
Quando o centro 
da circunferência 
coincide com a 
origem do plano 
cartesiano, temos 
a 5 b 5 0 , e a 
equação reduzida 
é dada por 
 x 
2
 1 y 
2
 5 r 
2
 e a 
equação geral, por 
x 
2
 1 y 
2
 2 r 
2
 5 0 .
Peça aos alunos que escolham um dos exemplos e determinem dois pontos, sendo um pertencente à 
circunferência e outro não. 
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