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Teoria dos Corpos
A Teoria dos Corpos é um ramo importante da álgebra abstrata que estuda
estruturas algébricas conhecidas como corpos. Um corpo é um conjunto
equipado com duas operações binárias, adição e multiplicação, que
satisfazem certas propriedades fundamentais.
Definição de Corpo:
Um corpo KKK é um conjunto não vazio equipado com duas operações
binárias, denotadas por +++ (adição) e ⋅\cdot⋅ (multiplicação), que satisfazem
as seguintes propriedades para todos os elementos a,b,c∈Ka, b, c \in
Ka,b,c∈K:
1. Aditividade: (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c)
para todos a,b,c∈Ka, b, c \in Ka,b,c∈K.
2. Comutatividade da Adição: a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a para todos
a,b∈Ka, b \in Ka,b∈K.
3. Elemento Neutro da Adição: Existe um elemento 0∈K0 \in K0∈K tal
que a+0=0+a=aa + 0 = 0 + a = aa+0=0+a=a para todo a∈Ka \in Ka∈K.
4. Inverso Aditivo: Para cada a∈Ka \in Ka∈K, existe um elemento
−a∈K-a \in K−a∈K tal que a+(−a)=(−a)+a=0a + (-a) = (-a) + a =
0a+(−a)=(−a)+a=0.
5. Associatividade da Multiplicação: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c
= a \cdot (b \cdot c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) para todos a,b,c∈Ka, b, c \in
Ka,b,c∈K.
6. Comutatividade da Multiplicação: a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot
aa⋅b=b⋅a para todos a,b∈Ka, b \in Ka,b∈K, exceto possivelmente
para o zero.
7. Elemento Neutro da Multiplicação: Existe um elemento 1∈K1 \in
K1∈K, diferente de zero, tal que a⋅1=1⋅a=aa \cdot 1 = 1 \cdot a =
aa⋅1=1⋅a=a para todo a∈Ka \in Ka∈K.
8. Inverso Multiplicativo: Para cada a∈Ka \in Ka∈K, diferente de zero,
existe um elemento a−1∈Ka^{-1} \in Ka−1∈K tal que a⋅a−1=a−1⋅a=1a
\cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1a⋅a−1=a−1⋅a=1.
Exemplos de Corpos:
● Corpo dos Números Racionais (Q\mathbb{Q}Q): Todos os números
que podem ser expressos como frações pq\frac{p}{q}qp , onde ppp e
qqq são números inteiros e q≠0q \neq 0q=0.
● Corpo dos Números Reais (R\mathbb{R}R): Todos os números reais
com as operações usuais de adição e multiplicação.
● Corpo dos Números Complexos (C\mathbb{C}C): Todos os números
complexos a+bia + bia+bi, onde aaa e bbb são números reais e iii é a
unidade imaginária i2=−1i^2 = -1i2=−1.
Subcorpos e Extensões de Corpos:
● Subcorpo: Um subconjunto F⊆KF \subseteq KF⊆K é um subcorpo se
FFF é fechado sob as operações de adição, multiplicação e inversão, e
forma um corpo com essas operações.
● Extensão de Corpos: Se KKK é um corpo e FFF é um subcorpo de
KKK, então KKK é uma extensão de FFF.
Homomorfismos de Corpos:
● Um homomorfismo de corpos φ:K→L\varphi: K \to Lφ:K→L entre dois
corpos KKK e LLL é uma função que preserva as operações de adição,
multiplicação e inversão, ou seja, φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) =
\varphi(a) + \varphi(b)φ(a+b)=φ(a)+φ(b), φ(a⋅b)=φ(a)⋅φ(b)\varphi(a
\cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)φ(a⋅b)=φ(a)⋅φ(b), e
φ(a−1)=(φ(a))−1\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1}φ(a−1)=(φ(a))−1 para
todo a,b∈Ka, b \in Ka,b∈K.
Teoremas Importantes:
● Teorema da Extensão de Corpos: Dada uma extensão finita
K/FK/FK/F, onde F⊆KF \subseteq KF⊆K, então KKK é um espaço
vetorial sobre FFF com dimensão finita.
● Teorema de Existência de Corpos Finitos: Para cada primo ppp e
inteiro positivo nnn, existe um corpo finito com pnp^npn elementos,
denotado por Fpn\mathbb{F}_{p^n}Fpn .
Aplicações da Teoria dos Corpos:
● Criptografia e Segurança: A teoria dos corpos é fundamental para
construção de algoritmos criptográficos, como o algoritmo de curva
elíptica usado em sistemas de segurança.
● Álgebra Computacional: Em ciência da computação, corpos são
essenciais para a teoria de códigos corretivos de erros e na aritmética
de polinômios.
● Física Matemática: Em física teórica, a teoria dos corpos é aplicada
em teorias de simetria, como na teoria de campos e em modelagem
matemática de sistemas físicos.
A Teoria dos Corpos oferece uma estrutura matemática profunda e abstrata
que é essencial para várias áreas da matemática aplicada e teórica,
fornecendo ferramentas poderosas para entender e descrever propriedades
de extensões de campos, estruturas algébricas e muito mais.