Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-100

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e t(t) 	 0, então a área da superfície resultante é dada por
As fórmulas simbólicas gerais S � h2py ds e S � h2px ds (Fórmulas 8.2.7 e 8.2.8, no Volu-
me I), ainda são válidas, mas para as curvas parametrizadas usamos 
Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4pr2.
SOLUÇÃO A esfera é obtida pela rotação do semicírculo 
x � r cos tMMMy � r sen t MMM0 
 t 
 p
sobre o eixo x. Portanto, da Fórmula 6, temos
� 2pr 2
y
p
0
sen t dt � 2�r 2��cos t�]0
�
� 4�r 2
� 2p y
p
0
r sen t � r dt� 2p y
p
0
r sen t sr 2�sen2t � cos2t� dt
S � y
p
0
2pr sen t s��r sen t�2 � �r cos t�2 dt
ds � ��dx
dt �2
� �dy
dt �2
dt
S � y
�
2�y��dx
dt �2
� �dy
dt �2
dt6
EXEMPLO 6
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 589
10.2 Exercícios
;
;
;
;
;
1–2 Encontre dy/dx.
1. x � t sen t,My � t2 � t 2. x � 1/t , M
3–6 Encontre uma equação da tangente à curva no ponto corres-
pondente ao valor do parâmetro dado.
3. x � t4 � 1,My � t3 � t; Mt � � 1
4. x � t � t�1,My � 1 � t2; Mt � 1
5. x � t cos t,My � t sen t;Mt � p
6. x � cos u� sen 2u,My � sen u� cos 2u; Mu � 0
7–8 Encontre uma equação da tangente da curva num dado ponto
por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o
parâmetro primeiro.
7. x � 1 � ln t,My � t2 � 2;M(1, 3)
8. x � 1 � √
–
t,My � er
2
;M(2, e) 
9–10 Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto
dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s).
9. x � 6 sen t,My � t2 � t;M(0, 0)
10. x � cos t � cos 2t,My � sen t � sen 2t;M(�1, 1)
11–16 Encontre dy/dx e d2y/dx2. Para quais valores de t a curva é
côncava para cima?
11. x � t2 � 1,My � t2 � t 12. x � t3 � 12t,My � t2 � 1 
13. x � et,My � te�t 14. x � t2 � l,My � et � l
15. x � 2 sen t,My � 3 cos t,M0 � t � 2p
16. x � cos 2t,My � cos t,M0 � t � p
17–20 Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou
vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.
17. x � t3 � 3t,My � t2 � 3
18. x � t3 � 3t,My � t3 � 3t2
19. x � cos u,My � cos 3u
20. x � esen u,My � ecos u
21. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais à es-
querda na curva x � t � t 6, y � e t. Então, use o cálculo para
calcular as coordenadas exatas.
22. Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo
e do ponto mais à esquerda na curva x � t 4 � 2t, y � t � t 4.
A seguir, encontre as coordenadas exatas.
23–24 Trace a curva em uma janela retangular que mostre todos os
aspectos importantes da curva.
23. x � t4 � 2t3 � 2t2,My � t3 � t 
24. x � t4 � 4t3 � 8t2,My � 2t2 � t 
25. Mostre que a curva x � cos t, y � sen t cos t tem duas tangen-
tes em (0, 0) e encontre suas equações. Esboce a curva.
26. Trace a curva x � cos t � 2 cos 2t, y � sen t � 2 sen 2t para des-
cobrir onde ela intercepta a si mesma. A seguir, encontre equa-
ções para ambas as tangentes nesse ponto.
27. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide 
x � ru � d sen u, y � r � d cos u em termos de u. (Veja o
Exercício 40, na Seção 10.1.)
y � st e�t
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
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