Esfera: Definição e Propriedades

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ESFERA
Definição
Dado o ponto a e um segmento R, chama-se esfera de centro a e raio R o conjunto de todos os pontos P do espaço, de modo que a medida
do segmento ap é menor ou igual a R.
Chamamos de superfície esférica o conjunto dos pontos
P do espaço, tais que OP = R.
Volume de uma esfera
a volume de uma esfera pode ser obtido a partir da expressão:
Área da superfide esférica
A área da superficie esférica pode ser obtida a partir da expressão:
S = 411" RZ
Secção de uma esfera
A intersecção de uma esfera e um plano é um círculo.
a ~ centro da esfera
R ~. raio da esfera
r ~ raio do círculo
d ~ distância do círculo ao centro da esfera
C ~ centro do círculo
A relação entre R, r e d é dada pelo torema de Pitágoras.
o
R
d
"
c
Quando o plano passa pelo centro da esfera, a secção é um círculo de raio igual ao raio da esfera. Dizemos então que asecção é um
círculo máximo da esfera.
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Exemplos:
1. Uma secção plana feita a 3 cm do centro de uma esfera tem área igual a 16'TTem'. Calcule o volume da esfera e a área da superfície
esférica.
S . = 'TTr2 ~ 16'TT= 'TTr2~ r2 = 16 ~ r = 4 émCirculo
d = 3 cm} R2= r2+ d2
r = 4 cm => R2= 42 + 32~ R = 5 cm
v = ~ 'TTR3 ~ V = ~. 'TT'53 ~ V = 500 'TTcm3
333
S = 4'TTR2~ S = 4 . 'TT. 52 ~ S = 100'TT crn'
2. Calcule o volume e a superfície de uma esfera cujo círculo máximo tem área igual a 100'TT crn-.
Seirculo = 'TTr2~ 100'TT = 'TTr2~ r2 = 100 ~ r = 10 cm
O raio do círculo máximo é igual ao raio da esfera (r = R).
V = ~ 'TTR3 ~ V = ~. 'TT.103 ~ V = 4000 'TTem'
333
S = 4'TTR2 ~ S = 4 . 'TT. 102 ~ S = 400'TT em'
EXERCíCIOS
40. Calcule o volume e a superfície de uma esfera de raio igual a
2cm.
41. A área de uma superfície esférica mede 144'IT em". Determine o
volume dessa esfera.
42. Determine a área da superfície de uma esfera cujo volume é igual
a 36'IT crn-.
43. A área do círculo máximo de uma esfera é igual a 25'IT em". Deter-
mine o volume dessa esfera.
44. Calcule a área de uma secção plana feita a 8 cm do centro de uma
esfera de raio 10 cm.
45. Sabendo-se que o raio de um círculo de uma secção plana feita a
2 cm do centro de uma esfera é igual a 4 cm, determine o diâme-
tro da esfera.
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46. A área de uma secção plana feita a 5 m do centro de uma esfera
é igual a 144'ITm2• Calcule a área da superfície dessa esfera.
47. Assinale a altemativa correta:
1) (UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos
catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura deste prisma é igual à
hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m3, é
igual a:
a)60
b)30
c) 24
d) 12
2) (FEI-SP) De uma viga de madeira de secção quadrada de lado
e = 10 cm, extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme a
figura. O volume da cunha é:
a) 250 em? c) 750 em- e) 1250 em"
b) 500 em- d) 1000 em-
254
3) (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altu-
ra mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua
base. O volume deste prisma, em em". é:
a) 27./3 c) 12 e) 17.J5
b)13.J2 d)54./3
4) (VUNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo
horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto quími-
co em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para
cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é:
a) 45 c) 55 e) 75
b)50 d)60
5) (FUVEST-SP) O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é de
240 em". As áreas de duas de suas faces são 30 em- e 48 crn-. A
área total do parelelepípedo, em crn-. é:
a) 96 c) 236 e) 472
~~ b)118 d)240
6) (UNIRIO-RJ)
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Na fabricação da peça acima, feita de um único material que cus-
ta R$ 5,00 o cm-, deve-se gastar a quantia de:
a) R$ 400,00 c) R$ 360,00 e) R$ 320,00
b) R$ 380,00 d) R$ 340,00
7) (PUC-MG) Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma
sala tem 8 mm de largura, 10 mm de comprimento e 8 mm de
altura. A capacidade, em litros, dessa sala é:
a) 640 c) 800 e) 80000
b) 6400 d) 8000
8) (FATEC-SP) A diagonal da base de um paralelepípedo reto-retân-
gulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o lado menor da
base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 crn-, então a sua
altura mede, em centímetros:
a) 5./3
b) 4./3
c) 3./3
d) 2./3
e) ./3
260
9) (VUNESP) A área da superfície daTerra é estimada em 510000000
km2 Por outro lado, estima-se que se todo vapor de água da at-
mosfera terrestre fosse condensado, o volume de líquido resul-
tante seriade 13000 krn''. Imaginando que toda essa água fosse
colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da
base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida que mais se
aproxima da altura que o níyel da água alcançaria é:
a) 2,54 mm c) 25,4 cm e) 0,254 km
b) 2,54 cm d) 2,54 m
10) (UFMG) A base de uma caixa retangular tem dimensões 2cm e 3
cm. Colocam-se 21,6 gramas de um certo líquido nessa caixa. Se
cada 0,9 grama desse líquido ocupa 1 em", o nível do líquido na
caixa é:
a) 3,5 cm
b)4cm
c) 4,5 cm
d) 5 em
11) (PUCCAMP-SP) Deseja-se construir um recipiente fechado com
volume de 0,5 rn", Seu formato deverá ser o de um paralelepípe-
do retângulo, com altura de y metros e base quadrada de aresta x
metros. O material para a confecção das faces laterais custa
R$ 1,50 o metro quadrado e o material para a tampa e a base
custa R$ 2,50 o metro quadrado. Se P é o custo de todo o mate-
rial usado, em reais, deve-se ter:
a) P = 3x2 + 5/x c) P = 5x2 + 3x e) P = 8x2
b) P = 5x2 + 3/x d) P = 3x2 + 5x
12) (PUCCAMP-SP) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um
paralelepípedo retângulo com dimensões de 15 cm de compri-
mento, 7,5 cm de largura e 4 cm de altura. Quantos gramas tem
esse bloco, se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3?
a) 35,1 c) 351 e) 3510
b)234 d)2340
13) (ITA-SP)As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo es-
tão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medi-
das é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a
694 crn-, então o volume deste paralelepípedo, em crn-, é igual a:
a) 1200 c) 1155 e) 834
b)936 d)728
14) (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de
sua diagonal, em centímetros, é:
a) 0,8./3
b)6
c) 60
d) 60./3.
e) 900./3
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