111_APOSTILA_MECÂNICA_GERAL_II (v11_22022021)-235

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Prof.: Carlos Arthur Cavalcante 235 
A.3.4.1. Exemplo Ilustrativo B-02 
Problema-Resolvido 12.8 (Beer, Johnston; 9ª Edição) 
 
Um satélite é lançado em uma direção paralela à superfície da 
Terra com uma velocidade de 36.900 𝑘𝑚/ℎ e a uma altitude de 
500 𝑘𝑚. Determinar: (a) a altitude máxima atingida pelo satélite, 
e, (b) o período do satélite. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Imediatamente após o lançamento o satélite inicia voo livre e está sujeito apenas à atração gravitacional da 
Terra, caracterizando o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central gravitacional. Adotamos 
o eixo polar tal que 𝑟 = 𝑟0 para 𝜃 = 0 e constatamos que a velocidade inicial é paralela à superfície da Terra 
(𝜙0 = 90° de modo que 𝑣0 é perpendicular ao eixo polar). A trajetória do satélite é uma trajetória elíptica – 
não há necessidade de comparar o valor de 𝑣0 com o valor de 𝑣escape. 
 
1
𝑟
=
𝐺𝑀
ℎ2
+ 𝐶 cos 𝜃 𝐶 =
1
𝑟0
−
𝐺𝑀
ℎ2
 ℎ = 𝑟0𝑣0 
 
Condições iniciais e constantes do problema, 
 
𝑟0 = 6371 𝑘𝑚 + 500 𝑘𝑚 𝑟0 = 6,8710 ×
106 𝑚 
 
𝑣0 = 36.900 𝑘𝑚/ℎ 𝑣0 = 10,250 × 103 𝑚/𝑠 
 
ℎ = 𝑟0𝑣0 = (6,8710 × 106)(10,250 × 103) ℎ = 7,0428 × 1010 𝑚2/𝑠 
 
𝐺𝑀 = 𝑔𝑅2 = (9,81)(6,3710 × 106)2 𝐺𝑀 = 𝑔𝑅2 = 3,9818 × 1014 𝑚3/𝑠2 
 
𝐺𝑀
ℎ2
=
3,9818×1014
(7,0428×1010)2
 
𝐺𝑀
ℎ2
= 8,0278 × 10−8 𝑚−1 
 
𝐶 =
1
6,8710×106
− 8,0278 × 10−8 𝐶 = 6,5261 × 10−8 𝑚−1 
 
 
A altitude máxima ocorre no Apogeu, idendificado na figura como o ponto 𝐴′, correspondente ao raio vetor 𝑟1 
quando 𝜃 = 𝜃1 = 180° = 𝜋. Assim, podemos escrever, 
 
1
𝑟1
= 8,0278 × 10−8 + 6,5261 × 10−8 cos 𝜃1 
1
𝑟1
= 8,0278 × 10−8 + 6,5261 × 10−8 cos 𝜋 
 
1
𝑟1
= 8,0278 × 10−8 − 6,5261 × 10−8 
1
𝑟1
= 1,5017 × 10−8 
 
𝑟1 =
1
1,5017×10−8
 𝑟1 = 6,6592 × 10
7 𝑚 
 
A altitude máxima é, 
 
𝐴𝑙𝑡𝑚á𝑥 = 𝑟1 − 𝑅 𝐴𝑙𝑡𝑚á𝑥 = 6,6592 × 107 − 6,3710 × 106 
 
𝐴𝑙𝑡𝑚á𝑥 = 6,0221 × 10
7 𝑚 
 
 
O período do satélite é dado por, 
 
𝜏 =
2𝜋𝑎𝑏
ℎ