Matemática Ciências e Aplicações V2-205-207

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c) Se atribuirmos um valor para z, obteremos um sistema do 1? tipo; portanto, 
determinado. Resolvendo-o, encontraremos uma solução do sistema.
Se atribuirmos outro valor para z,obteremos outro sistema, também determinado, 
que, resolvido, fornecerá outra solução do sistema. E assim por diante.
Como podemos atribuir qualquer valor real a z, concluímos que o sistema dado 
tem infinitas soluções.
Façamos, então, z = a (a é um número real qualquer) e em (*) teremos
íx - y = 5 - 3a (I)
1 y = 1 + a (II)
d) Substituímos (II) em (I):
x — (1 + a) = 5 - 3 a = > x - l - a = 5 - 3 a = s - x = -2a + 6
e) Por fim, as soluções do sistema podem ser representadas pelas triplas ordenadas 
do tipo (-2a + 6, 1 + a , a) , em que a £ IR.
Esse tipo de sistema apresenta sempre infinitas soluções,sendo,então,um sistema 
possível e indeterminado (SPI).
Observação
Atribuindo valores arbitrários para a , teremos algumas das soluções do sis­
tema; por exemplo:
a = 0 => (6, 1, 0) a = => (7, - y • " y )
a = 1 => (4, 2, 1) ot = ^3 => ( " 2 V3" + 6,1 + J ò .
Vamos resolver o sistema J x y + z + c ̂ .
1 2 z - t= 0
As variáveis livres do sistema são y e t. Transpondo-as para o 2? membro, vem:
x + z = 1 + y - t 
2z = t
Fazendo y = a e t = 3 ( a £ l R e | 3 E l R ) t temos um sistema do V? tipo:
Jx + z = 1 + a - 3 (I) 
l 2z= 3 (II)
De (II), vem: z = J L .
2
SISTEMAS IINEARES
Em (I), temos: x + -Ê- = 1 + a - p => x = 1 + ot----1-(3.
Assim:
S = if l +• a - p, a , - j- , p j, a G R e P e Ir |
a o o o o a o a o o
18 Verifique se cada um dos sistemas abaixo está escalonado.
a) íx + y = 3 
1 3y = 1
b) [ - 2x + y = 1 
1 x - 3y = 5
c) x + y - z = 0 
y + 2z= 1
- z = 3
19 Indique quais sistemas estão escalonados.
a) Jx - y + z + t = 0
1 t = -1
c) 2 x - y + z + t = 0 
y - z - t = 0 
z + 2t = 1
b) 4x + 5y - 3z = 9 
4y + 5z = 1 
- y + 7 = 0
d) f 4x + 5y + 3z = 1 
\-x - y + z = 5
20 Resolva e classifique os seguintes sistemas escalonados:
a) f2x - v = 5 
1 - y = 3
b) x - y + z = 2 
y + z = 0 
- z = -1
c) J2x - y + z = 3 
\ y - z = 0
21 Resolva e classifique os seguintes sistemas escalonados:
a) x + y + z + t = -1 
y - 2z - t = 0 
z + t = 3
1 = 2
b) |4x - 6y + z = 1 
| 2y - z = 1
22 Resolva os seguintes sistemas: 
a) |x + y - z = 0 b) J2x + y + z + t = 3 
z - t = 0
23 Uma das soluções de J X Y + z 2 é (2, 2, 2). Determine o conjunto
|mx + y - 3z = 0
solução desse sistema.
MAlKMÂriCA: CIFNClA L APUCAÇflES
O Sistemas equivalentes e escalonamento
Definição
Dois sistemas lineares, 5, e S2,são equivalentes quando toda solução de S, é solução de 
S_„ e vice-versa.
Os sistemas S, i * e , por exemplo, são equivalentes, pois[2x + 2y = 5 |5x - y = 14
ambos admitem apenas o par como solução.
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transformá-lo em outro equivalente, 
porém na forma escalonada. Procederemos dessa maneira, pois,como vimos,é fácil resolver 
um sistema na forma escalonada. Para isso, vamos utilizar dois teoremas (omitiremos as 
demonstrações) que nos permitirão construir sistemas equivalentes.
Quando multiplicamos por k, k e IR*, os membros de uma equação qualquer 
de um sistema linear 5, obtemos um novo sistema S1 equivalente a S.
Seja S < x y 4 , cuja solução é (3,-1).[2x + 3y = 3
Multiplicando-se a 1? equação de 5 por 5, por exemplo, obtemos:
c, [5x - 5y = 20 S ' ’ ,
[2x + 3y = 3
cuja solução também é (3, -1).
Quando substituímos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro 
a membro, dela com outra, obtemos um novo sistema S', equivalente a S.
SIS 11 MAS I INF ARES 207