Análise Combinatória: Teoria e Prática

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Colección Temas Selectos 
 
Análisis 
combinatorio 
Teoría y práctica 
 
 
NAME E IS
twitter.com/calapenshko
 
 
. Asociación Fondo de Investigadores y Editores A 
 
 
Análisis 
combinatorio 
twitter.com/calapenshko 
Alex Malpica Manzanilla Lumbreras 
Editones 
 
twitter.com/calapenshko 
Análisis combinatorio 
Autores: Alex Malpica Manzanilla 
GO Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
G Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av, Alfonso Ugarte N.* 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: enero de 2012 
Primera reimpresión: junio de 2015 
Segunda reimpresión: agosto de 2016 
Tercera reimpresión: agosto de 2017 
Cuarta reimpresión: diciembre de 2018 
Tiraje: 800 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-087-8 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800693 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.” 2018-09902 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.” 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
ventas Y elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores an el mes de diciembre de 2018. 
Calle Las Herramientas N.? 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5889
OA 
 
 
 
 
 
 
 
 
"E PRESENTACIÓN o 7 
A a 9 
e ANÁLISIS COMBINATORIO 
Principios fundamentales de conteo.................acs. ans a 11 
Principio de adición..... z a 11 
Principio de multiplicación 13 
Ta e dc 15 
Md ts 16 
AMM A 16 
Permutación circular 17 
Permutación lineal con elementos repetidos 19 
Combinaciones... Ea 21 
Combinación simple 21 
Combinaciones con repetición mes 24 
o PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
Nivel básico 27 
Nivel Intermedio... cds TT á5 
Nivel avanzado ._— | 
"a PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
 
 
val o ic caco qui ds 101 
Nivel intermedio .............................. === ===== == . 105 
Nivel avanzado A e . 112 
A . 116 
"WE BIBLIOGRAFÍA....... SKY 117 - 
 
EF PRESENTACIÓN 
OPS arerartaperss Ml 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Análisis 
combinatorio, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se 
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alum- 
nos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus co- 
nocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias na- 
turales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre 
una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico y 
cuidadoso en la relación teoria-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- 
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles, 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi- 
ficado. esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales 
de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo 
de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso, desea- 
mos reconocer la labor del profesor Alex Malpica Manzanilla, de la plana de 
Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elabo- 
ración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza 
preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
 
¿INTRODUCCIÓN 
En nuestra vida diaria nos encontramos con diversas situaciones en las que 
quisiéramos saber de cuántas formas puede ocurrir un evento (o aconteci- 
miento), es decir, contar las diversas formas en la que puede ocurrir dicho 
evento. Debido a que muchas veces no siempre es fácil poder determinarlo, 
el estudio del análisis combinatorio nos ayudará a resolver estos problemas. 
Históricamente el análisis combinatorio surge en el siglo xvi, pues la so- 
ciedad de esa época ocupaba parte de su tiempo en juegos de azar en los 
cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Generalmente se jugaba a los 
dados o a las cartas apostando brillantes, prendas valiosas, caballos de raza, 
etcétera. Es por ello que en sus inicios los problemas combinatorios trataban 
sobre juegos de azar, con el fin de calcular de manera simple la totalidad de 
las posibles combinaciones que pueden ocurrir en una jugada o en varias 
jugadas, o los sucesos de un determinado juego sin necesidad de que en 
cada ocasión se deba enumerar, graficar o tabular todas las combinaciones 
resultantes, tarea que puede ser tediosa y difícil cuando el número de com- 
binaciones que se produce es grande. Su estudio teórico fue iniciado con los 
matemáticos franceses Blas Pascal y Pierre Fermat cuando experimentaban 
en las mesas de juego resolviendo de esta manera diversos problemas su- 
geridos por estos juegos; posteriormente, otros matemáticos como Leibniz, 
Bernoulli y Euler continuaron el desarrollo de esta teoría que luego servirá 
como base para el estudio de la teoría de las probabilidades. 
El análisis combinatorio debe entenderse como la técnica, habilidad o 
arte de contar sin enumerar. Es decir, obtendremos aptitudes que nos per- 
mitirán conocer el número de resultados que puede arrojar una experiencia 
aplicando los principios fundamentales del conteo y las técnicas para poder 
agrupar u ordenar elementos u objetos de un conjunto dado. 
Actualmente, el análisis combinatorio nos ayuda a resolver problemas 
de transporte, problemas de elaboración de horarios, planes de producción, 
para confeccionar y descifrar claves así como también para desarrollar la teo- 
ría de la información y resolver ciertos tipos de problemas en los que se exige 
ingeniosidad y una comprensión adecuada del problema.
 
g
r
 
"
 
E
R
 
A
E
 
A
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A
 
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S
a
 
++ ANÁLISIS COMBINATORIO 
twitter.com/calapenshko 
Es la parte de las matemáticas que estudia las formas de contar los diferentes ordenamientos y 
agrupamientos que se pueden realizar con los elementos de un conjunto, los cuales nos permiten 
resolver problemas prácticos. 
En nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuales nos preguntamos de cuántas 
maneras se puede realizar... Como ejemplo, a continuación se muestra un modelo de riego para un 
cultivo de maracuyá. 
 
 
 
 
¿De cuántas maneras se podrá realizar el riego 
del cultivo usando la acequia directamente 
(compuerta 8) o llenando primero el tanque 
usando ta compuerta A y después abrir la 
compuerta C para el riego? 
 
Para desarrollar estas preguntas, haremos uso de los principios fundamentales de conteo y de las 
técnicas de conteo que a continuación presentamos. 
El PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO 
 
Nos permiten, de forma práctica, determinar el número de casos posibles en los que se puede rea- 
lizar un evento. : 
PRINCIPIO DE ADICIÓN 
 
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras dife- 
rentes, y no es posible realizar aribos eventos de forma simultánea o uno seguido del otro 
(eventos mutuamente excluyentes), entonces el evento (4 o B) se podrá realizar de m+n 
maneras diferentes. 
 
11 
 
LUMBRERAS EDITORES 
. tg 
Ejemplos 
1. Si Paola desea viajar de Lima a Piura y tienea su disposición 4 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, 
¿de cuántas maneras diferentes puede realizar su viaje? 
Resolución 
LIMA A 4 líneas 
 
Para que Paola viaje, lo puede hacer por vía: 
Aérea o Terrestre 
4 + 5 = 9 
opciones opciones opciones 
Por lo tanto, Paola tiene 9 maneras diferentes de poder realizar su viaje. 
2, Mariela desea adquirir el libro Análisis combinatorio que es vendido en 3 lugares: en 8 librerías 
diferentes de la Feria Amazonas, en 7 librerías de la UNMSM y en las 6 librerías de Lumbreras 
Editores. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho libro? 
Resolución 
Para adquirir el libro, Mariela puede ir a 
Feria Amazonas o UNMSM o Lumbreras Editores 
8 - 7 + 6 = 21 
librerias librerías librerias librerias 
Por lo tanto, Mariela puede adquirir el libro de 21 maneras diferentes. 
12
_P
 
 
y : ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Nota 
De forma práctica el conectivo “o” nos indica aplicar el principio de adición (+). 
 
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 
 
Si un evento Á ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n ma- 
neras diferentes (pudiendo realizar los eventos de forma simultánea o consecu- 
tiva), entonces los eventos A y B se podrán realizar de mxn maneras diferentes. 
 
Ejemplos 
1. Sise lanza un dado y una moneda simultáneamente, ¿cuántos resultados diferentes se obtienen? 
Resolución 
Se debe lanzar simultáneamente: 
dado moneda 
Ho 
AP y 
1 
2 c 
3 
á 
5 5 
6 _ 
6 - Xx ¿ = 12 
Los resultados que se obtienen son: 
(1; C), (2; C), (3; 0), (4; C), (5; C), (6; C) 
(1,5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (5; 5), (6; 5). 
12 resultados diferentes 
 
Por lo tanto, se obtienen 12 resultados diferentes. 
13
LUMBRERAS EDITORES a 
 
2. Vanesa tiene 3 blusas de diferente color, 3 pantalones diferentes y 2 pares de zapatos diferentes. 
¿De cuántas maneras distintas puede vestirse con estas prendas? 
Resolución 
Para vestirse, Vanesa necesita una blusa, un pantalón y un par de zapatos. Entonces: 
An A 
a 
AN 
3 Xx 3 Xx 2 18 3 
Por lo tanto, Vanesa se puede vestir de 18 maneras diferentes. 
 
Nota 
De forma práctica el conectivo “y” nos indica aplicar el principio de multiplicación (x). 
 
APLICACIÓN 1 
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia B sin retroceder? 
A 
 
 
 
 
B 
Resolución 
Consideremos un ejemplo previo. 
Para ir de M a Ñ se puede realizar de la siguiente forma 
m__—>1 A 
| ( Se llega de 4 
+* maneras 
1 2 4 
14 
l
a
 
c
l
 
e
 
de
 
£
l
 
-'
Ú 
a
l
ANÁLISIS COMBINATORIO 
Ue 
En el ejercicio 
 
 
 
 
A 1. 1 1 1 
1 b kk 
12 17 
1 12 24 B 
41 
Por lo tanto, hay 41 maneras diferentes para ir de A hacia B. 
APLICACIÓN 2 
En una carrera de caballos participan 6 caballos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los 
3 primeros lugares? 
Resolución 
Puede ser ocupado Puede ser ocupado 
Puede ser ocupado por cualquiera de por cualquiera de 
por cualquiera de — los5 caballos los 4 caballos 
los ..a dr isa ca 
1.* lugar | 2.* lugar | 3." lugar 
A 
Total de _ y do 6 xx 5 x 4 <= 120 
 
 
Por lo tanto, hay 120 maneras diferentes de ocupar los tres primeros lugares. 
(ks] TÉCNICAS DE CONTEO 
 
Las técnicas de conteo son procedimientos que se realizan bajo ciertas condiciones para contar de 
forma directa los casos en que puede realizarse un evento. Entre ellas tenemos: 
Permutación lineal 
Permutaciones Permutación circular 
TÉCNICAS Permutación con elementos repetidos 
CONTEO Combinación simple 
Combinaciones 
a con elementos repetidos 
15
LUMBRERAS EDITORES 
a roer 
PERMUTACIONES 
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con parte o todos los elementos de un 
conjunto. 
4 
Permutación lineal 
Son los ordenamientos que se pueden realizar con elementos diferentes en una fila o línea recta. 
Si n objetos diferentes se deben ordenar en fila tomados en grupos de r objetos (r < n), se denotará 
y calculará así: 
 
Ejemplos 
1, 
16 
Indique de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas en una fila con: 
i. 6asientos 
ii. d asientos 
Resolución 
¡. Sean las personas A, B, C, D, E y F que se van a ubicar en los asientos. Empleando el principio 
de la multiplicación, se tendría que: 
 
Le e 1" qe gr E* 
aslento | asiento | asiento | asiento | asiento | asiento 
A y pg Vga 
=6x5x48x3x2x 1=720 
 
Total de 
maneras 
Se ha realizado una permutación de 6 elementos, es decir 
Pe=P.=6x5x4 x3x2x1=6|=720 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 720 maneras diferentes. 
li. Ahora la cantidad de asientos solamente son cuatro. $e permutaran 6 personas tomadas en 
grupos de 4, 
 
 
T T T I 
Totalde_ 56 x 5x4 x 3 = 360 
maneras 
Se ha realizado una permutación de 6 elementos tomados en grupos de 4, es decir: 
5 61__72_ 360 
(6-4) 2 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 360 maneras diferentes. 
 
A ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
2. ¿Cuántas palabras se pueden formar ordenando las letras de la palabra ALIENTO, sin importar 
que tengan sentido o no? 
Resolución 
Para formar palabras (con sentido o no), las 7 letras de la palabra ALIENTO deben permutar. 
[afiu[i efe [r[o] 
Va 
Total de 
formas 
 
o 
= P,= 71 = 5040 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 5040 maneras diferentes. 
APLICACIÓN 3 
Luis ha adquirido 4 libros de fisica diferentes y 3 libros de química también diferentes. Si debe ubi- 
carlos en un estante con espacio para 7 libros, ¿de cuántas maneras diferentes podrá ubicarlos si los 
libros de química deben ir juntos? 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: 
 
 
5e toma como un solo elemento =] 
Como los de quimica forman * =" . 
un solo elemento, entonces (N.* de maneras) = 51 Xx 31 = 720 
habrian 5 elementos (4Fy10) _______ 1 | 
que permutan. Permutan los libros de A 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 720 maneras diferentes. 
Permutación circular 
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con objetos distintas alrededor de 
un círculo. 
Si n objetos diferentes se deben ordenar circularmente, se denotará y calculará así: 
17
LUMBRERAS EDITORES 
a 
Ejemplos 
1, ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa circular con 
espacio para 4 personas? 
Resolución 
Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa. 
 
 
En una permutación circular se toma 
persona fija un elemento fijo [cualquiera de los 
J 4 A elementos) y los demás permutan. 
¿O O O [A] —Fijo 
permutan B, Cy D 
A A A » [6] 05] 
Ss O (Ojo O) 
)- P.(4) = 31 =6 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 6 maneras diferentes, 
2. Maria, Edith y cuatro amigas se sientan alrededor de un círculo para jugar. ¿De cuántas maneras 
pueden ordenarse? 
Resolución 
Ahora son 6 personas que van a permutar circularmente, entonces el número de formas de per- 
mutar sería: 
(N.? de formas)=P, (6)=5!=120 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 120 maneras diferentes. 
APLICACIÓN 4 
Si Cristian, Vicky y sus 4 hijos se sientan alrededor de una mesa circular, ¿de cuántas maneras dife- 
rentes se podrán ubicar si los esposos deben sentarse juntos? 
18
w" A A teca 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: 
Se toma como un solo elemento 
permutan 
Pe E pr Vv 
 
[N.* de formas) = 41 x 21 = 48 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 48 maneras diferentes. 
Permutación lineal con elementos repetidos 
Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no son todos distintos entre sí, es decir, hay elementos 
que se repiten. 
Si se tienen n objetos y se ordenan todos a la vez en donde hay un primer grupo de n, Objetos iguales 
entre sí de un primer tipo, n, objetos iguales entre sí de un segundo tipo, y así sucesivamente hasta UN 
objetos iguales de un k-ésimo tipo; entonces el número de permutaciones se denotará y calculará así: 
 
! A 
Mr tn Xp! 
 
donde A +0 +n,=0 
Ejemplos 
1. De cuántas formas se pueden ordenar en una fila las siguientes figuras: 
000D00uDoo o 
3 veces d veces 2 veces19
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se puede observar que hay figuras que son idénticas y deben ser ordenadas en forma lineal; 
entonces, el número de formas en que se puedan ordenar será: 
91. 4lx5x6x7x8x9 
31x41x21 6x41x2 
 
9 == 
Paaia = 
= 5x7xBx9 =1260 
Por lo tanto, las figuras se pueden ordenar de 1260 maneras diferentes. 
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra PATATA? 
Resolución 
Se observa que en la palabra PATATA hay letras que se repiten, es decir: 
A AATITRPC 
a dl 
veces ¿veces 1wez 
6l _31x4x5x6 
A 
321 3x2 D11.— 31x2X1 
4x5x6 
2 
Por lo tanto, las letras se pueden ordenar de 60 maneras diferentes. 
= 60 
 
APLICACIÓN 5 
¿Cuántas ordenaciones se pueden realizar con las letras de la palabra ARITMÉTICA si en los extremos 
deben ir dos consonantes iguales? 
Resolución 
Si dos consonantes iguales deben ir a los extremos, esa consonante debe ser la “T”. Entonces gráfi- 
camente se tendría: 
E alililmlelc a 
 
 
 
 
20
ae ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
 
El número de maneras se obtendrá realizando una permutación lineal con elementos repetidos. 
a <=. 
ABR paa ol! 
8l 
2121 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 10 080 maneras diferentes. 
=10080 
COMBINACIONES 
Son los diferentes grupos que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto sin 
considerar el orden en que son agrupados. 
Combinación simple 
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto 
(tomando parte o todo a la vez), considerando que en los grupos los elementos son diferentes. 
Si se dispone de n elementos diferentes y se les quiere combinar (agrupar) de r en r, el número de 
combinaciones se denota y se calcula así: : 
o M_ dondeO0<rsn 
(n—r)jixrl 
Ejemplos 
1.. Una señora tiene 5 frutas: papaya, piña, fresa, manzana y plátano. ¿Cuántos sabores diferentes 
de jugo podrá preparar con 2 frutas? 
Resolución 
Se dispone de 5 frutas diferentes y se debe escoger 2 (no importa el orden) de ellas para preparar 
064844 
== liar” 
Amr 
 
 
 
Por lo tanto, se puede preparar 10 sabores diferentes de jugo. 
21 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Tenga en cuenta 
(PERMUTACIÓN) + (COM BINACIÓN) 
+ Enlas permutaciones interesa el orden, se busca los ordenamientos. 
* Enlas combinaciones no interesa el orden, se busca los agrupamientos. 
 
2, De un grupo de 10 personas se desea conformar una comisión de 3 integrantes. ¿De cuántas 
maneras diferentes se puede formar dicha comisión? 
Resolución 
Son 10 personas y se deben formar grupos de 3 (sin Inge el orden en que son seleccionados). 
Entonces: 
10 
 
twitter.com/calapenshko 
XL 
 
Se forman ]= =cu- _TIxBx9x10 
rupos de 3) "? Pa 71x31 
_8x9x10 o 720 
6 6 
= 120 
Por lo tanto, se pueden formar 120 grupos diferentes para conformar dicha comisión. 
Propledades 
A continuación se muestran algunas propiedades que se cumplen con el número com- 
binatorio. 
a. Cp71 
b. cp=1 
c. Ci=n 
d. ar 
e Cocca. +c5=2" 
 
22 |
e ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
3. ¿Cuántos subconjuntos con más de un elemento se pueden obtener con los elementos del con- 
junto A=(1; 2; 3; 4; 5; 6)? 
Resolución 
Tenemos el conjunto A con 6 elementos y debemos formar grupos de 2, de 3, de 4, de 5 y de 6 
elementos. Entonces la cantidad de formas será: 
6,6, r6,r6,/p6 (N.2 de formas)=C HOGHCL+C + Céó 
 
6 6 5, pb _p6_p6 
=C/+ c+ C,+ Ch+ Cg+ có+ a Co C; 
a 6 ¿e 8 
= 2 Co C; 
=2%*-1-6=57 
Por lo tanto, se pueden formar 57 grupos diferentes con más de un elemento. 
APLICACIÓN 6 
En una reunión se encuentran 6 varones y 4 mujeres. Si se debe formar un grupo mixto conformado 
por 3 personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá formar dicho grupo? 
Resolución 
Se tiene: 
6 varones 4 mujeres 
 
El grupo mixto debe ser integrado por 3 personas. Puede ser integrada por: 
(2Vy1M) O (1Wy2M) 
o AE | 
(N.? de maneras)= C5 Xx a + c x PON 
 
6! 4! 6! 4l 
= x + x 
4121 311 Six 21x21 
= 15 x 4 +46 x6 = 96 
Por lo tanto, se puede formar el grupo de 96 maneras diferentes. 
23
LUMBRERAS EDITORES 
. "% 
APLICACIÓN 7 
Si un conjunto tiene 56 subconjuntos ternarios, calcule cuántos subconjuntos cuaternarios tiene. 
Resolución 
Sea n el número de elementos del conjunto y se tiene 56 subconjuntos (grupos) de 3 elementos. 
Entonces: 
C3 =56 
n! 
———— = 56 
(N—3)b<31 
(n—3)x(n—2)x(n-1)xn = 
(n—3)1x<31 
56 
(n-2)x(n—1)xn _ 
31 _ 
56 
(n—2)x(n-1) xn=6x56 
(n—2)x(n—1)xn=6x7x8 
n=B 
Nos piden el número de subconjuntos cuaternarios, es decir, debemos formar grupos de 4 elementos. 
(3 _8l__4Ix5x6x7x8 
27 alxal 41x41 
 
_5x6x7xB 1680 
=>—=30 
41 24 
Por lo tanto, se tiene 70 subconjuntos cuaternarios. 
Combinaciones con repetición 
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con una parte o todos los elementos 
de un conjunto, pero considerando que hay elementos que son iguales. 
Si tenemos r elementos diferentes y queremos formar grupos de n elementos, se denotará y calculará así: 
 
4 (r+n-1)! cr =c03 ICAO 
(r-1Jixn! 
 
24
ANÁLISIS COMBINATORIO 
a" 
- Ejemplos 
1. ¿De cuántas formas diferentes se puede comprar 7 pliegos de papel lustre, si los hay de 3 colores 
distintos? 
Resolución 
Se tienen 3 colores diferentes, pero se deben formar grupos de 7. 
3 elementos 
diferentes 
/ 
po 2x7 
se requieren 
grupos de 7 
 
=-. 23 su E 
Por lo tanto, son 36 las formas diferentes en que se puede realizar la compra. 
2. ¿De cuántas formas podemos repartir 8 caramelos iguales entre 3 niñas? 
Resolución 
Cuando se quiera distribuir objetos iguales en grupos distintos también se utilizará una combina- 
ción con repetición. 
En este caso tenemos 8 objetos iguales (caramelos) y hay que repartirlos (distribuirlos) a niñas 
diferentes, entonces, el número de formas de hacerlo será: 
dz 101 
cai - AA 
$9 8 lei 
_8lx9x10 _9x10 
2x8! -2 
=45 
 
Por lo tanto, la distribución se puede hacer de 45 maneras diferentes. 
25
- BIZU: DAS BOLINHAS E TRAÇOS;
- OUTRA FORMA: SOLUÇÕES POSITIVAS DE UMA EQ 
 x + y + z = 7
Highlight
LUMBRERAS EDITORES a] 
 
Otra forma: 
—— —— — 
2caramelos | 3 caramelos 3 caramelos 
separadores 
 
Se puede ver que cada barra vertical separa la cantidad de caramelos que le corresponderá a 
cada niña (pudiendo alguna de ellas no recibir ningún caramelo). Entonces tendríamos un total 
de 10 elementos: 8 caramelos iguales y 2 barras iguales, los cuales van a permutar para determi- - 
nar la cantidad de formas de distribuir los caramelos. Es decir: 
 
na Á “101 , as 
aa” 
a CR 
 
Nota 
Si queremos distribuir n objetos iguales en r espacios diferentes, entonces el nú- 
mero de formas se calculará así: 
= 0 -L. (r+n-1)! 
fas 1)bxn! 
También se puede trabajar como en la segunda forma (separadores), como una 
permutación con elementos repetidos. 
CR; = 
 ., 
APLICACIÓN 8 
¿De cuántas formas puede comprar Gerardo 15 galletas en una tienda que vende galletas de 4 sa- 
bores diferentes? 
Resolución 
Se tienen 4 sabores diferentes de galleta, pero se debe formar grupos de 15. Entonces, 
181 cré se +15- La 
13: 08 153x151 
Por lo tanto, puede comprar las galletas de 816 maneras diferentes. 
26
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? | 
En las elecciones estudiantiles de un colegio se 
desea elegir un presidente por aula. Si el 5, de 
secundaria lo conforman 13 varones y 16 mu- 
jeres, ¿de cuántas maneras puede elegirse al 
presidente? 
A) 3 
B) 13 
C) 16 
D) 29 
E) 208 
Resolución 
Según el enunciado se desea elegir a un presi- 
dente y puede ser 
varón O muler 
13 + 16 =.29 
opciones opciones opciones 
Por lo tanto, el presidente puede ser cualquiera 
de las 29 personas. 
CLAVE áD 
PROBLEMA N.” 2 
En una reunión conformada por 4 economistas, 8 
contadores y 6 abogados se recibió una invitación 
para una capacitación. ¿De cuántas maneras se 
puede enviar un representantea dicho evento? 
A) 32 B) 18 C) 48 
D) 192 E) 96 
Resolución 
Se desea enviar a un representante a la capaci- 
tación y puede ser 
economista o contador o abogado 
4 + 8 + 6 = 18 
Por lo tanto, el representante puede ser cual- 
quiera de las 18 personas. 
_Cuave $) 
PROBLEMA N.” 3 
Moisés debe realizar un viaje de Lima a Cusco 
para visitar a su madre por su cumpleaños y tie- 
ne a su disposición 3 líneas aéreas y 4 líneas te- 
rrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede 
realizar su viaje? 
A] 7 
D) 16 
B) 64 Cc) 8 
E) 20 
27
LUMBRERAS EDITORES ha] 
 
Resolución 
Moisés desea viajar a Cusco y lo puede hacer 
por vía: 
aérea o terrestre 
34 4 = 7 
líneas lÍneas lineas 
Por lo tanto, Moisés tiene 7 líneas diferentes 
para viajar. 
_<uve Y 
PROBLEMA N.? 4 
¿Cuántos resultados diferentes se obtendrán en 
el lanzamiento de dos dados y una moneda? 
A) 18 B) 24 C) 36 
D) 38 E) 72 
Resolución 
Se lanzan simultáneamente 2 dados y una mo- 
neda. 
dado1 dado? moneda 
LO, 
o
 
m
u
 
e 
uu 
hn 
| 
m
u
n
 
e 
Lo
 
hu
 A
 
u
n
 
ido. X 
Por lo tanto, se obtienen 72 resultados diferentes. 
CLAVE e 
28 
A) 380 
PROBLEMA N.? 5 
En la siguiente figura, si cada línea es un cami- 
no. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir 
de A hacia B? 
 
A) 32 B) 18 C) 48 
D) 192 E) 96 
Resolución 
Para ir de A hacia B se puede hacer de 2 maneras 
sin pasar por P 
premier? LES, 
ASOSO 4. 
=> 
dd x 3 + 6 = 18 
Por lo tanto, se puede ir de 18 maneras diferentes. 
_cuve 
PROBLEMA N.? 6 
Para ¡ir de Ma N se tiene 5 caminos diferentes 
y para ir de Na P se tiene 4 caminos diferentes. 
Si se quiere ir de M a P y luego regresar a M 
siempre pasando por N, ¿de cuántas maneras 
diferentes se puede realizar, si de regreso no se 
puede ir por un tramo ya recorrido? 
B) 120 Cc) 240 
D) 400 E) 360
E ] ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se quiere ir de M a P y regresar a M sin recorrer 
un mismo camino. » 
ida vuelta 
5 x 4 Xx 3 x . = 240 
Solo quedan Solo quedan 
3 caminos, pues 4 caminos, pues 
un camino se un camino se 
utilizó de ida. utilizó de ida. 
Por lo tanto, existen 240 maneras diferentes, 
CLAVE 3 B 
PROBLEMA N.* 7 
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de 
A hacia B sin retroceder? 
 
A) 115 B) 1230 Cc) 2040 
D) 3034 E) 2214 
Resolución 
17 
 
 
fe
b 
a
j
 
e
 
de
 
qa 18 
3750 
uu 
B 
3034 
74 
Ta 
Por lo tanto, se puede llegar de 3034 maneras 
diferentes. 
Otra forma 
1.9 Determinamos el número de formas de ir de 
A hacia M, 
O 
 
2.2 Determinamos el número de formas de ir de 
M hacia B. 
 
 
 
 
M» 1 1 l 
al 4 5 
5 l6 13 15 
1 Es so pp] 
il 
 
Luego, 
(Y) 74 formas me formas 
(Total): 74x41=3034 
: CLAVE 5 
PROBLEMA N.* 8 
Cristina debe asistir a una reunión de trabajo y 
para vestirse dispone de 4 blusas, 4 pantalones, 
5 vestidos y 3 pares de zapatos, ¿De cuántas 
maneras diferentes puede vestirse para asistir 
a la reunión? 
A) 240 
D) 63 
B) 60 C) 16 
E) 108 
29
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se dispone de: 
Blusas (8) : 4 prendas 
Pantalones (P) : 4 prendas 
Vestidos (V) :5 prendas 
Zapatos (2) :3 pares 
Cristina podría vestirse usando: 
ByPyZ o VyZ 
4x4x3 + 5x3 =63 
Por lo tanto, Cristina se puede vestir de 63 ma- 
neras diferentes. 
cuave 
PROBLEMA N.? 9 
¿Cuántas parejas se pueden formar con 6 hom- 
bres y 9 mujeres, si cierta mujer no se lleva bien 
con 3 varones y no desea formar pareja con ellos? 
A) 54 B) 51 C) 48 
D) 15 E) 40 
Resolución 
5e desea escoger una pareja. 
1% caso 
M : 2? caso 
1 q ——, 
M,) v v; Y 
M5 va mv Y 
Y Y Y 
Va Va x 
M> Vs Vs K 
Ma Vs Vé K 
B x 6 1x3 
30 - 
a es 
= 48 +3 
=51 
Por lo tanto, se pueden formar 51 parejas dife- 
rentes. 
_ CLAVE S 
PROBLEMA N.? 10 
En la etapa final del campeonato de fútbol pe- 
ruano, 5 equipos disputan los tres primeros lu- 
gares (campeón, subcampeón y un cupo a un 
torneo internacional). ¿De cuántas maneras 
diferentes pueden ubicarse en los 3 primeros 
lugares? 
A) 48 Bj) 24 C) 36 
D) 120 E) 60 
Resolución 
Se busca el número de formas en que se pue- 
den ocupar los 3 primeros lugares. 
 
 
| ye lugar 2.2 lugar | 3. lugar] 
5 x 4 x 3 => 60 
) 4 | 
Puede ser Quedan 4 Quedan 3 
ocupado por equipos para — equipos para 
cualquiera de ocupar el ocupar el 
los 5 equipos 2" lugar 3.* lugar 
Por lo tanto, se pueden dar de 60 maneras di- 
ferentes. 
_ciave Y)
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 a" 
PROBLEMA N.* 11 
Tres jóvenes buscan trabajar como ayudantes 
en una panadería que tiene 6 locales. ¿De 
cuántas maneras distintas pueden trabajar en 
la panadería, si se sabe que cada uno de ellos 
debe estar en un local diferente? 
A) 100 B) 120 C) 80 
D) 160 E) 180 
UNMSM 2008-11 
Resolución 
Cada uno de los 3 jóvenes debe escoger 1 local 
diferente de los 6 que hay 
111 
termas) $ % 5x4 = 120 
Srs 
Puede escoger is Le bli La guedan 
de los 6locales S5opciones —4opciones 
Por lo tanto, pueden trabajar de 120 maneras 
diferentes en locales distintos. 
CLAVE d 
PROBLEMA N.* 12 
El testigo de un asalto a un banco declaró ante 
la policía que el auto en que fugaron los ladro- 
nes tenía una placa conformada por 2 vocales 
seguidas por 3 dígitos diferentes. ¿Cuántos au- 
tos deberá investigar la policia? 
A) 4500 
D) 18.000 
B) 3000 C) 12 000 
E) 36 000 
Resolución 
Se desea averiguar cuántas placas diferentes se 
pueden obtener con 2 vocales y 3 digitos diferentes. 
 
 
Vocales Digitos diferentes 
PARA PA 2 2 A 
T T 1 7 T 
5x5 x 10x9x 8 = 18000 
Por lo tanto, la policia deberá investigar 18 000 
autos. 
_cuave $) 
PROBLEMA N.* 13 
Javier, Rogelio y Peter ingresan a una cabina de 
Internet y encuentran 8 máquinas disponibles 
de las 14 que hay. ¿De cuántas formas diferen- 
tes podrán ubicarse en una máquina disponible 
cada uno de ellos? 
A) 336 B) 112 C) 240 
D) 192 Ej) 22 
Resolución 
Quedan 8 lugares disponibles que deben ser 
ubicados por tres personas, 
Javier Rogelio Peter 
114 
mm. x des x E = 336 
asponbls olas deroribles 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 336 formas 
diferentes. 
_cuve Y 
31
LUMBRERAS EDITORES 
 e 
PROBLEMA N.* 14 Resolución 
Un barco envía señales a un muelle mediante Sedeben distribuir dos objetos A y B en tres cajas. 
banderas izadas en un asta en un determinado Caja 1 Caja 2 Caja 3 
orden. 5i se dispone de 6 banderas de colores 
diferentes. ¿Cuántas señales pueden emitirse 
izando cuatro banderas? 
Aj 360 B) 180 C) 720 
D) 420 E) 270 
Resolución 
Se dispone de 6 banderas de colores diferentes 
para emitir señales con 4 de ellas. 
Por el principio de la multiplicación se tiene 
que: 
Total de )> 6x5x4x3=360 
señales 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 15 
" Setienen 3 cajas. ¿De cuántas maneras diferen- 
tes se pueden distribuir dos objetos A y B en di- 
chas cajas, pudiendo ser que ambos queden en 
una misma caja? 
A] 3 
D) 9 
Cc) 1 
Ej 2 
UNI 1997 -1 
B) 6 
32 
“=== Y 
q. 3 <= 9 oopdones 
opciones opciones 
Por lo tanto, se pueden distribuir de 9 formas 
distintas. 
_Cuve ) 
PROBLEMA N.? 16 
Un grupo de 5 amigos llegan de viaje a un pueblo 
y encuentran 3 hoteles disponibles para poder 
alojarse. ¿De cuántas maneras diferentes podrán 
distribuirse en los hoteles para descansar? 
A) 15 B) 125 C) 620 
D) 243 E) 234 
Resolución 
Los 5 amigos deben distribuirse en los tres hote- 
les a disposición. 
Cada uno tiene 3 opciones de elegir un hotel 
ADS E 
3x3x3x3 x3= 243 
Por lo tanto, se pueden distribuirse de 243 formas. 
_cuve Y)
twitter.com/calapenshko 
"" ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 17 
En una junta vecinal se desea formar un comité 
compuesto de un presidente, un vicepresidente, 
un secretario y un tesorero, ¿De cuántas mane- 
ras diferentes se podrá formar el comité sl para 
los cargos de presidente y vicepresidente se pre- 
sentaron 6 candidatos, y para los cargos de se- 
cretario ytesorero se presentaron 9 candidatos? 
A) 1440 B) 1680 C) 2304 
D) 2160 E) 720 
Resolución 
Se desea elegir un presidente (P), un vicepresi- 
dente (V), un secretario (5) y un tesorero (7). 
Hay 6 candidatos Hay 9 candidatos 
 
 
Pp — a, A, 
PIIV 5 |].F 
á | Í V 
6x5 x 9x 8 = 2160 
Por lo tanto, el comité se puede formar de 2160 
maneras diferentes. 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 18 
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas 
y diferentes existen en el sistema decimal? 
A) 6561 8) 9000 C) 4536 
D) 3024 E) 6048 
Resolución 
Se dispone de las cifras. 
(1; 2; 3; 4; 5; 6;7;8; 9) 
Entonces 
aob.cd 
11/44 
9xBx7x6= 3024 
Por lo tanto, existen 3024 números de 4 cifras 
significativas y diferentes. 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 19 
Cuántos numerales existen de la forma: 
Lo Toe 
ela) 
A) 300; 48 
D) 300; 96 
B) 350; 96 C) 350; 48 
E) 280; 96 
Resolución 
l. (a 1) (2b) (a + 1) (b+ 1)c 
a 
 
| 
0
0
d
 
0 
UN
 
Le 
us 
tr
 
—Á 
w
n
 
O
 
A
 5
E
|
w
-
a
w
n
n
o
—
 
il 8 
*]
 
x X Lo
 1 A 
_Cuve Y) 
33
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 20 
¿Cuántos números de cuatro cifras del sistema 
heptanario no poseen al 2 ni al 6 en su escritura? 
A) 520 B) 500 C) 440 
D) 360. E) 512 
Resolución 
o be di 
A 
10.00 Los números 
315111 no deben tener 
4 3. 3 3 lasofras2nió 
5444 en su escritura. 
55.5 
4x5x5x5=500 
Por lo tanto, son 500 números que no tienen al 
2 ni al 6 en su escritura. 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.? 21 
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar 
con las letras de la palabra MONICA, sin impor- 
tar si tienen sentido o no? 
A) 144 B) 230 C) 720 
D) 360 E) 480 
Resolución 
Como todas las letras de la palabra MONICA son 
diferentes, entonces el número de permutacio- 
nes será 
MONICA 
a 
PÉ=P¿=6|=720 
_cuave 
34 
ho 
PROBLEMA N.* 22 
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicar- 
se 7 amigos en una fila, si María y Norma van a 
los extremos? 
A) 180 B) 72 C) 360 
D) 450 Ej) 240 
Resolución 
Se busca todos los ordenamientos que se pue- 
den dar como María y Norma a los extremos y 5 
amigos A; B; C; D y E entre ellas. 
ellas 
Apenas utan 
Mas [clol< 
permutan 
MyN 
pa 
)- 51 x 2l =240 
A 
permutan 
A,B,C,DyE 
 
 
Total de 
formas 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.” 23 
Manuel, Diana y 5 amigos van al cine y encuen- 
tran 7 asientos libres en una misma fila. Si Ma- 
nuel y Diana desean sentarse juntos, determine 
de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar. 
A) 600 
D) 2460 
B) 720 C) 1440 
E) 5040
sw" ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se deben ubicar con Manuel y Diana juntos 
CL 1solo 
(m Da, (4,14, |A.| As 
L 
 
 
permutan 
¿7 Permutan My D Total de 
=P¿X 21 
formas 
=6lx2 
=720x2 
= 1440 
CLAVE 8 
PROBLEMA N.” 24 
Un palco de 4 asientos es vendido a 2 parejas. 
¿De cuántas maneras diferentes podemos aco- 
modarlos si cada pareja quiere estar junta? 
A) 2 B) 16 Cc) 12 
D) 8 El 4 
UNI 1996 -1 
Resolución 
Son dos parejas (Vi Mi; V, Y M,) que se deben 
ubicar en un palco de 4 asientos. 
Se toma 5e toma 
ei ca AG Vi 
V¡ |[Mij [Vo M»| 
¡€ — 
2 elementos 
 
 
Permuta la pareja 2 
Total de 1 
das J=aixpuxzt= 
Permuta la pareja 1 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.” 25 
Un estudiante universitario de Matemática Pura 
ha adquirido 3 libros de análisis matemático, 2 
libros de matemática básica y 3 libros de cálcu- 
lo diferencial. Si desea ordenarlos en un estan- 
te con 8 espacios, ¿de cuántas maneras podrá 
hacerlo, si los libros de un mismo curso deben 
estar juntos? 
A) 216 B) 432 C) 864 
D) 360 E) 720 
Resolución 
Se tiene 3 libros de análisis matemático (AM), 2 
- de matemática básica (MB) y 3 de cálculo dife- 
rencial (CD). Se ordena de tal manera que los de 
un mismo curso vayan juntos, 
 
 
 
 
1 solo 1 solo 1 solo 
de 1 ! 
demana 
ade ]=31x 31 x 21 x 31=432 
formas lea 
AM MB CD 
_Cuve Y) 
35
LUMBRERAS EDITORES a 
PROBLEMA N.* 26 
Panchito y cinco de sus amigos forman una fila 
en una ventanilla para comprar boletos para los 
juegos mecánicos. De cuántas maneras pueden 
ubicarse en fila si: 
Il. Panchito debe estar en uno de los extremos. 
1. Panchito no debe ir al último. 
Dé como respuesta la suma de los resultados. 
A) 660 B) 840 C) 480 
D) 160 E) 540 
Resolución 
l, o 
51=120 51=120 
(total)=120+120=240 
ia 
S opciones 
para Panchito 
 
“«————— No puede ir Panchito 
(total)=5 x 51=600 
opciones de los 5 restantes 
Panchito permutan 
Piden la suma de resultados 
Suma de |_240+6 
des]? 90 
= 840 
_cuve Y) 
36 
PROBLEMA N.* 27 
Cuatro varones y tres mujeres asisten al teatro 
y encuentran una fila con 7 asientos vacíos. ¿De 
cuántas formas diferentes se podrán ubicar si dos 
personas del mismo sexo no pueden estar juntas? 
A) 184 B) 480 C) 144 
D) 288 E) 72 
Resolución 
Para que dos personas del mismo sexo no estén 
juntas, se deben de ubicar de forma intercalada. 
Es decir 
Entre ellas permutan 
AAA 
V, ¡My | V¿ | M2 | Va [M3 | Va 
Í Í Í 
Entre ellos permutan 
 
 
(Total)=41x3! 
= 24x6 = 144 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 28 
Hilda invita a cenar a 5 de sus amigas. ¿De cuán- 
tas formas podrán ubicarse Hilda y sus amigas 
alrededor de la mesa, si Hilda debe sentarse al 
lado de Nataly? 
A) 24 
B) 48 
C) 720 
D) 360 
E) 72
' 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se deben ubicar en total 6 personas y 2 de ellas 
juntas (Hilda y Nataly). 
5e toma como 1 solo 
B 
PO y N 
(Total)= P (5)x2! 
=41|x 21=48 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 29 
Cuatro parejas de esposos ingresan a un restau- 
rante y se sientan alrededor de una mesa cir- 
cular, ¿De cuántas maneras diferentes podrán 
ubicarse si Julián desea sentarse lo más alejado 
posible de su esposa? 
A) 720 B) 360 C) 1440 
D) 480 E) 560 
Resolución 
Se sientan alrededor de una mesa 4 parejas de 
O ao 
El E 
O o A 
[CT] Esposa de Julián 
Para que Julián esté lo más lejos de su esposa, 
ella debe estar frente a él, y solo permutan las 
otras 6 personas. 
(total)=6!=720 
_ciave QU) 
PROBLEMA N.” 30 
¿Cuántos collares distintos se pueden confec- 
cionar con siete zafiros diferentes? 
A) 480 B) 210 Cc) 720 
D) 360 E) 420 
Resolución 
Se tienen 7 zafiros diferentes. 
 
Observación: 
a 
A 
Son iguales 
(se obtienen al voltearlas) 
 
(total) A == =360 
Se repiten los casos] : 
al voltear el collar. 
_cuave Y) 
37
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.”* 31 
Pepito tiene 10 carritos: 2 de color blanco, 3 de 
color azul y 5 de color rojo. ¿De cuántas formas 
se pueden ordenar en fila según el color de tal 
manera que los carritos blancos estén en los ex- 
tremos? 
A) 56 B) 72 C) 84 
D) 48 E) 96 
Resolución 
Se desean ordenar los 10 carritos según el color, 
silos de color blanco van a los extremos. 
CaaarREarRara 
8 8l 
3531 51 
 
 
 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 56 maneras 
diferentes según el color. 
_cuave Y 
PROBLEMA N.” 32 
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden - 
formar con las letras de la palabra MANZANILLA? 
A) 45 000 8) 48 600 C) 75600 
D) 151 200 E) 302 400 
Resolución 
Debemos ordenar las letras, pero algunas son 
iguales. Se trata de una permutación con ele- 
mentos repetidos. 
38 
Se tiene: 
MANZANILLA 
HU 
A —3 veces 
N — 2 veces 
L — 2 veces 
M — 1 vez 
d — 1ve: 
| — 1vez 
Persia de J= plo, ¿O 
palabras! 32281::1" 212121111111 
10! 
= ———— = 151200 
31 21x21 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 33. 
¿Cuántos números de 6 cifras existen tal que el 
producto de sus cifras sea 157? 
A) 24 B) 120 C) 30 
D) 12 Ej 360 
Resolución 
Para que el producto sea 15, las cifras deben ser 
3,5;1;1;1y1. 
Entonces, 
3511331 — 700-135 
—— 
6l 
A A 
4 al 
Por lo tanto, existen 30 números de 6 cifras cuyo 
producto es 15. 
_cuave
$ === ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 34 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 
los elementos del conjunto A=(a; b; e; d; e; f; g) 
en la siguientefigura? 
dE 
A) 840 B) 420 C) 5040 
D) 2520 E) 720 
Resolución 
O O ps una 
O permutan alrededor 0 3 O 
Los demás per- 
matan dlredador 
und = 7 xP16) 
formas Se ubica una : 
letra al centro. 
== 7 x 5] 
= B40 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 35 
¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obte- 
ner ordenando en fila 3 puntos, 4 lineas vertica- 
les y 3 asteriscos? 
A) 2100 
D) 7200 
B) 4200 Cc) 5600 
E) 10400 
Resolución 
Piden los diferentes tipos de mensajes que se 
pueden obtener, y estos se obtendrán permu- 
tando los simbolos. 
li o.. 
pu 
10 101 
4: Pp. == 4200 
34:37 31 41x31 
Por lo tanto, se obtienen 4200 mensajes dife- 
rentes, 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 36 
¿De cuántas maneras diferentes se pueden or- 
denar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 2 peones 
(todas blancas) en la primera fila del tablero de 
ajedrez? 
A) 2400 B) 1260 C) 4230 
D) 2520 E) 5040 
Resolución 
Se debe ordenar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres 
y 2 peones en la primera fila de un tablero de 
ajedrez. 
 
 
 
 
 
 
ps _ 3 
242 21 212121 
=2520 
_Cuave Y) 
39
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
perlita 
PROBLEMA N.* 37 Resolución 
La liga peruana de fútbol consta de 16 equipos. Un apretón de manos se da entre 2 personas. 
¿Cuántos partidos deben jugarse para comple- Entonteas: 
tar la primera rueda? 
Saludos entre Saludos entre 
A) 60 B) 120 C) 80 varones mujeres 
Número de DN a D) 96 E) 112 | apretones |=CP ¿4 cl 
de mano s z 
Resolución 121 141 
Para jugar un partido debemos seleccionar a 2 “01x21 + 12121 
equipos de los 16 que hay. 
e de), 06 _ JO x11x12 " 121 x13x14 
partidos] “2? 101 x2 qa4x2 
Y _ 1x2 | 13x14 
141x21 2 2 
_ MÍx15X16 = 66 +91 
141x2 
= 157 
_15x16 
2 twitter.com/calapenshko _cuave Y) 
=120 
Por lo tanto, se jugarán 120 partidos. 
_ciave Y) 
PROBLEMA N.* 38 
En un reencuentro de amigos asisten 12 varo- 
nes y 14 mujeres. ¿Cuántos apretones de mano 
habrá entre personas del mismo sexo? 
A) 145 
D) 175 
B) 120 C) 157 
E] 122 
40 
PROBLEMA N.* 39 
De un grupo de 6 mujeres y 5 varones se desea 
formar una comisión de 4 personas. ¿Cuántas 
comisiones distintas se pueden formar, si debe 
haber al menos un varón y una mujer? 
A) 310 
B) 280 
C) 440 
D) 260 
E) 360
e . 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se debe seleccionar a 4 personas donde se en- 
cuentre al menos 1 varón y 1 mujer. Se tendría 
los siguientes casos: 
(1Vy3M) o (2Vy2M) o (3Vy 1M) 
5 Sd 4 ds qá 
5x20 + 10x15 + 10x6 
100 + 150 + 60=310 
Por lo tanto, se puede formar la comisión de 
310 formas. 
_Cuve 
PROBLEMA N.* 40 
Si con n elementos se pueden formar 84 sub- 
conjuntos ternarios, calcule n. 
A) 7 B) 8 Cc) 9 
D) 10 E) 11 
Resolución 
Con n elementos se forman 84 grupos (subcon- 
juntos) de 3 elementos, entonces 
C3=84 
_ nm =YBA 
(n—3)1x31 
(03% x(n-2)x(n-1)x<n il 
0-3 x31 
ln E =P 84 
(n—2)(n-1)n=84x6 
AS xBx9 
n=59 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 41 
En un baile escolar la profesora forma parejas 
extrayendo de una bolsa el nombre de un niño 
y de otra bolsa el nombre de una niña. Si en el 
aula hay 9 niños y 7 niñas, ¿cuántas posibles pa- 
rejas distintas se podrían formar? 
A) 63 B) 5040 C) 45360 
D) 181 440 E) 196 
UNI 1998 -11 
Resolución 
Para formar parejas se debe elegir el nombre de 
un niño y de una niña. 
Entonces: 
Total de po tn 
posibles parejas) ? * ? =83 
Por lo tanto, se pueden formar 63 parejas dis- 
tintas. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 42 
Una prueba consta de 8 enunciados, en los cua- 
les se debe indicar si son verdaderos o falsos. 
¿De cuántas maneras diferentes se podrá con- 
testar dicha prueba? 
A) 16 
B) 64 
C) 128 
D) 256 
E) 512 
41
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Resolución 
Cada pregunta tiene 2 opciones. Entonces, 
 
 
PIP [Pz [Ps Pa 
VoWV VW V V 
FORCE F F 
A | 
Total de lL2x2x2x2x..x2 
anera 
= 2? 
= 256 
Por lo tanto, se puede contestar de 256 mane- 
ras diferentes. 
_Cave Y) 
PROBLEMA N.* 43 
El abuelo César tiene 2 chocolates iguales y 3 
caramelos iguales. ¿De cuántas maneras dife- 
- rentes podrá distribuir las 5 golosinas a sus 5 
nietos si cada nieto recibe una golosina? 
A) 6 B) 10 C) 12 
D) 16 E) 20 
Resolución 
Se debe distribuir 2 chocolates y 3 caramelos a 
5 nietos. 
nieto 1 nmetod meto3 nieto4 mietos5 
 
Y 
Permutaremos las cinco golosinas 
42 
 
Total de pios 51 
formas | "327 3121 
_ 120 
6x2 
=10 
Por lo tanto, se puede distribuir de 10 formas 
diferentes. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 44 
¿Cuántos números de 5 cifras significativas del 
sistema nonario existen de tal manera que el 
producto de sus cifras sea un número impar? 
A) 64 B) 128 C) 256 
D) 512 E) 1024 
Resolución 
Para que el producto de cifras sea impar, nece- 
sariamente todas las cifras tienen que ser impa- 
res. Entonces, 
- 
Q
u
 
0
 
=d
 
LA
 
a 
A 
—Á 
=)
 
LA
 
a 
is
 
—
 
sd
 
AN
 
p
k
 
EY
 
=d
 
UN
 
ul 
mn 
—
 En 
frase de JA xá 
umerale 
= 1024 
Por lo tanto, hay 1024 números que cumplen la 
condición. 
_cuave Y)
e" 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 45 
¿De cuántas formas diferentes se podrá premiar 
a los 3 primeros puestos en la etapa final de un 
concurso de matemáticas con medallas de oro, 
plata y bronce si en esta última etapa clasifica- 
ron 20 estudiantes? 
A) 6840 
B) 3420 
C) 1140 
D) 4520 
E) 2680 
Resolución 
Para premiar a los estudiantes, se tiene que 
puede recibirla puede recibirla puede recibirla 
cualquiera de —Cualquierade cualquiera de los 
los 20 estu- los 19 estudian- 18 os 
Muria salis ais restantes 
medalla medalla 
de oro de plata Dar broeá 
pa )* 200 x 19 x 18 
formas 
Por lo tanto, se puede realizar la premiación de 
6840 maneras diferentes. 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 46 
Un club deportivo tiene 15 miembros y se pre- 
sentan candidaturas de 3 integrantes para elegir 
un presidente, un vicepresidente y un secreta- 
rio. ¿Cuántas candidaturas diferentes pueden 
formarse si cualquier miembro del club puede 
 
ocupar cualquier cargo? 
A) 1260 B) 640 C) 2370 
Dj 2730 E) 2980 
Resolución 
Para formar una candidatura se tiene que: 
puede ocuparla 
cualquiera de los quedan 14 quedan 13 
15 miembros opciones opdlones 
| | | 
Presidente | Vicepresidente | Secretario 
 
 Totalde Y 15 x 14 x 13 
candidatos) 
= 2730 
Por lo tanto, se pueden formar 2730 candidatu- 
ras diferentes. 
_cuave Y 
PROBLEMA N.* 47 
Una familia compuesta por papá, mamá, hijo, 
hija y abuelita posan para una foto en 5 sillas 
alineadas. Si la abuelita ocupa la silla central, 
¿de cuántas formas pueden distribuirse las per- 
sonas para la foto? 
A) 25 B) 4 c) 20 
D) 120 E) 24 
UNMSM 2004-11 
43
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
 
Resolución 
Gráficamente se tendría: 
serárocupados por el papá, 
la mamá, el hijo y la hija, 
además permutan entre ellos 
| | ] 1 
fijo 
Total de L 
formas 4l 
=4x3x2x1 
=24 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 24 formas di- 
ferentes. 
_cuave ) 
PROBLEMA N.” 48 
María tiene 3 DVD de películas de terror, 2 de co- 
media y 4 de acción. Si los quiere ordenar en un es- 
tante de tal manera que los de un mismo género va- 
yan juntos, ¿de cuántas formas los podrá ordenar? 
A) 864 B) 1728 C) 720 
D)| 1820 E) 1278 
Resolución 
Gráficamente se tiene que: 
terror comedia acción 
A pu np e, 
TIRITNIC 6 1A, 142 | As | Ay 
| 
i solo i solo 1 solo 
Permutan 
Cc Permutan 
TF 
pitón 5 A yO A 
AV rormas 939% x 2lx 41 
Do Permutan T; Cy A 
Permutan 
= bx6x2x24 
= 1728 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 1728 formas 
diferentes. 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 49 
¿Cuántos partidos deben programarse en un 
campeonato de fútbol de dos ruedas en el que 
intervienen 12 equipos? 
A) 142 B) 124 Cc) 120 
D) 108 E) 132 
UNMSM 2004 - 11 
Resolución 
Para programar un partido se debe seleccionar 
a 2 equipos de los 12 que hay. Entonces: 
Primera rueda — Segunda ruedaTotal de|_ .12 12 
Hino 1 + a 
= zo 
121 
5 XxX 
2 101x M 
AL 1112 
101 
= 132 
Por lo tanto, se deben programar 132 partidos. 
_Cuave E) 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 e 
PROBLEMA N.? 51 
NIVEL INTERMEDIO 
En el Congreso de la República se desea formar 
PROBLEMA N.* 50 la comisión de ética para la investigación de cier- 
En un sistema de ejes coordenados, una hormi- 
ga se encuentra en el punto (-4; —-5) y desea 
desplazarse hasta el punto (2; 3). ¿De cuántas 
formas diferentes podrá llegar a su destino sin 
retroceder ni pasar por el origen del sistema de 
coordenadas? 
A) 1477 B) 1743 C) 1760 
D) 1250 E) 1648 
Resolución 
Gráficamente 
h punto 
1 09 45 d6s |369 783 (e; 3) 
 
1743 
1 8 36 [120 |204 |414 [960 
 
1 7 28 |34 Jas [210 |546 
 
1 6 21 ¡56 126 [336 
 
 
1 a 10 20 35 56 84 
 
 
 
 
Por lo tanto, puede ir de 1743 maneras. 
_cuve Q) 
tos congresistas, para ello se reúnen 10 congre- 
sistas del partido A, 8 congresistas del partido 
B y 6 congresistas del partido C. ¿De cuántas 
maneras diferentes se puede formar dicha co- 
misión si debe estar compuesta por 7 congre- 
sistas donde debe haber al menos dos de cada 
partido? 
A) 56 700 
B) 52600 
C) 423000 
D) 120 600 
E) 113 400 
Resolución 
Hay 
10 congresistas del partido A 
8 congresistas del partido B 
6 congresistas del partido € 
Se debe seleccionar a 7 de ellos, donde debe 
haber al menos 2 de cada partido. 
(3A y 2B y 2C) 0 (2A y 3B y 2C) o (2A y 2B y 3C) 
10 10 
e do + O7xc3x CS + CAGA 
120x28x15 + 45x56x15 + 452820 
 
50 400 + 37800 + 25200 
113 400 
_ CLAVE S 
45 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 52 
Para ir de Lima a Trujillo hay 8: líneas de trans- 
porte diferentes y para ir de Trujillo a Huancha- 
co hay 5 líneas de combis diferentes. ¿De cuán- 
tas maneras diferentes puede ir María de Lima a 
Huanchaco y regresar pero en líneas diferentes? 
A) 560 B) 800 C) 1600 
D) 1120 E) 1240 
Resolución 
5e tiene que 
8 lineas 5 líneas 
O) — A — Ga 
Total de . y unta > 
formas 1 x dx 
= 40 x 28 
= 1120 
_cuve (Y) 
PROBLEMA N.”* 53 
Al cumpleaños de Germán asisten 7 amigos y 5 
amigas. 5 al ritmo de la orquesta Germán deci- 
de cantar una canción y sus amigos en la pista 
deciden bailar, ¿de cuántas maneras pueden in- 
tegrarse en parejas para bailar? 
A) 120 
D) 2520 
B) 1260 C) 1890 
E) 5040 
46 
a 
Resolución 
En la pista de baile hay 7 varones y 5 mujeres 
que deben formar parejas de baile. 
Consideremos que las mujeres escojan a su pa- 
reja de baile 
 
 
M, | M, | My | Ma | Ms 
E y 1 
=7x6x5x4x3 
 
Total de 
opciones 
= 2520 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 54 
De un grupo de 10 mujeres y 14 varones, ¿de 
cuántas maneras se puede escoger de entre 
ellos 2 parejas para un baile? 
A) 4095 B) 8240 Cc) 8190 
D)] 7840 E) 7920 
Resolución 
Hay 10 mujeres y 14 varones, de los cuales se de- 
ben seleccionar 2 mujeres y 2 varones para que 
bailen. 
 
 
Sean VW, VW, MI, y MA, 
los seleccionados al bailar 
V, y M, o V, y M, 
VW YM, ) (W,yM, 
 total d ms y Evan 
e 
| cz xr x2 
=45 x91 x2 
= 8190 
_cuve Y)
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
 Y 
PROBLEMA N.? 55 Resolución 
Jesús debe pintar una bandera que tiene 5 fran- — Dígitos: (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) 
jas horizontales y para ello dispone de cuatro 
¡A o cero 
colores diferentes de pintura: rojo, verde, ama- 
rillo y blanco. Si dos franjas contiguas no pue- 
den pintarse de un mismo color, ¿de cuántas 
maneras distintas se podría pintar la bandera? 
A] 648 B) 1024 C) 256 
Dj) 423 E) 324 
Resolución 
Se tiene 4 colores R, V, A y B. 
—= dl COÑOMES para escoger 
.otn | Solo quedan 3 
— | colores para escoger 
 
Foral de > 4x3x3x3X3=324 
maneras 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 56 
En un asalto al banco, un ladrón quiere abrir la 
bóveda cuya clave consta de 5 dígitos. Solamen- 
te sabe que los dígitos posibles a utilizar son los 
mismos que sé utilizan en el sistema octanario y 
"que el primer y último dígito deben ser impares 
o cero. ¿Cuántos intentos como máximo deberá 
realizar el ladrón para poder abrir la bóveda? 
A) 12800 
D) 6540 
B) 5488 C) 6400 
E) 16807 
 
 
bol 
5x 8x8x8X5= 1280 
CLAVE [ 
 
PROBLEMA N.* 57 
Sean los conjuntos 
V=([A; E; 1; O; U) 
B=(1; 2; 3; 4; 5; 6) 
Se desea elaborar placas (para autos) de la for- 
ma v,v,b,b,b,b, donde v, € V; b,€ B de mane- 
ra que no existan dimbalos repetidos. Entonces 
el número total de placas diferentes será 
A) 7200 B) 1321 C) 480 
D) 32 250 E) 32 400 
UNI 2005 - 11 
Resolución 
Se tienen los conjuntos 
V=(A,E,1,0,U) B=([1; 2; 3; 4; 5; 6) 
Entonces 
E V eEB 
La 4 E . 
 
Vi |V b; ba bz Da 
Í 1 / ¡ Í | 
5x4x6x5x4x3 = 7200 
 
CLAVE 
47
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.? 58 
Leonardo desea llamar por teléfono a su ena- 
morada Lucero pero solo recuerda los 4 prime- 
ros dígitos y que los 3 últimos digitos son iguales 
pero diferentes de cero. Si cada llamada cuesta 
5/.0,40, ¿cuánto debe invertir como máximo, 
para poder llamar a Lucero? 
Aclaración: el número telefónico consta de 9 
dígitos. 
A) 5/.420 B) S/400 C) S/.360 
D) S/.285 E) 5/,340 
Resolución 
Se conocen los 4 primeros dígitos, solo falta 
averiguar los últimos 5 digitos. : 
son iguales 
LAA AÁAAÁáA, 
 
XK XxX |A 
o 
10x10 x 39 
 total de 
(T números 
= 900 
 
Luego, A Ó 
llamada 
Total de > 900 x(S/.0.40) 
invertir 
= 5/.360 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 59 
Una familia compuesta por un padre, una ma- 
dre y 3 hijos (1 varón y 2 mujeres) salen de pa- 
seo al campo. ¿De cuántas formas se pueden 
acomodar en un auto de 5 asientos, si solo los 
varones saben manejar?; además, al lado del pi- 
loto debe ir una mujer. 
A) 32 
D) 36 
B) 18 C) 24 
E) 48 
48 
Ga a 
Resolución 
En el auto abordarán 2 varones y 3 mujeres, 
2 opciones 
 
los 3 que van atrás 
pueden permutar 
Total de 
más J=2xaxa! 
=2x3x6 
= 36 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 60 
¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se 
pueden formar con las cifras 1,3, 4,5,7,8 y 9 si 
estos deben ser mayores que 60007? 
A) 360 B) 420 C) 240 
D) 180 E) 280 
Resolución 
$e tienen 3 casos: 
A 
6x5x4 + 
 
6x5x4 
120 + 120 + 120 
6Bx5x4 + 
> (Total de números)=360 
_cuve Y)
 
 
 
 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO II A A A .. 
PROBLEMA N.* 61 Resolución 
En un matrimonio civil comunitario 5 parejas de Gráficamente se tendría: 
esposos posan en fila para una fotografía, ¿De: 1 solo 
cuántas maneras pueden ubicarse si los miem- Alblicio 
bros de cada pareja deben aparecer juntos? 
i +Permutan J y E 
A) 960 8) 1920 C) 3840 (Total de formas)=61x2! 
D) 5040 E) 7220 
=720x2 
. =1440 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: _cuave (Y) 
isolo 1solo isolo 1solo 1solo 
Va [Mi] Va [M,] V3 [Ma] Va [Má] Vs [M5 
: PROBLEMA N.* 63 xi xd x2 x2 xa 
(Total de maneras) = 51x2x2x2x2x2 
= 3840 
_ciave 
PROBLEMA N.?” 62 
Johnny, Eliana y 4 amigos más van al teatro y 
encuentran disponibles 8 asientos vacios en 
una misma fila. ¿De cuántas formas diferentes 
se podrán ubicar si entre Johnny y Eliana debe 
haber un asiento vacio? 
A) 680 
B) 1440 
C) 720 
D) 240 
E) 1260 
Una familia compuesta por papá, mamá y sus 4 
hijos asiste al cine y encuentran una fila con 9 
asientos vacios. ¿De cuántas maneras diferen- 
tes se podrán ubicar, si los padres deben sen- 
tarse juntos? 
A) 4500 
B) 6220 
C) 6720 
D) 13440 
E) 8420 
Resolución 
Sean las personas: P; M; A; Hu H, Y Ha 
Entonces, graficando se tendría 
 
 
 
Astentos vacios 
amenos ns) 
zea 1.4.1 
p m]a H¿|H3|Ha 
LA 1.1117 
B elementos 
49
LUMBRERAS EDITORES 
 
Se tendría una permutación con elementos re- 
petidos. 
Permutan Py M 
Total de Bl 
formas lara 
S _—__——— Ey 
11 111111131 
40320 
6 
=6720x2 
=13 440 
x2 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 64 
Ocho amigos (3 mujeres y 5 varones) sesientan 
en una fila con 8 asientos. ¿De cuántas maneras 
pueden ubicarse si las mujeres deben estar jun- 
tas y Jaime se sienta al lado de Erick? 
A) 1240 B) 1440 c) 1120 
D) 1280 E) 1410 
Resolución 
Gráficamente se tendría 
AA A 
M,|M¿| M3 |V1 | Va | Vall J | E 
 
 
 
ti NADIA ID 
1 solo 1 solo 
Permutan las mujeres 
id Permutan y E 
Total del 21,1%21 
formas 
=120xb6x2 
=1440 
_cuave Y) 
50 
e e ll 
PROBLEMA N.* 65 
Seis amigos (3 varones y 3 mujeres) van de cam- 
pamento y por la noche hacen una fogata. Indi- 
que de cuántas formas se podrán sentar alrede- 
dor de la fogata en los siguientes casos: 
* > Silas mujeres desean sentarse juntas. 
+ Si Ana y Betty desean sentarse lo más lejos 
posible. 
l 
A) 36; 48 B) 36; 24 C) 72,24 
D) 48; 48 E) 36; 18 
Resolución 
1 solo 
V/ PS 
Va 
Y 
ur las 
Total de mas 
formas Je apa! 
=3 1x3! 
=36 
CH) — fio 
E 67 
E] 17 
(Hey) 
Fijamos a una persona (Ana) y como Betty 
está frente a ella, también se fija a ella. 
Todos permutan, menos 
(Ana y Betty 
Total de 
formas 
=24 
_Cuave
e A ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 66 
Seis hermanas ingresan al cine acompañadas de 
sus enamorados y de sus 3 hermanos menores. 
Si encuentran 15 asientos vacios en una fila, ¿de 
cuántas maneras podrán sentarse de tal manera 
que los hermanos no separen a ninguna pareja? 
A) 121x2? B) 91x2? C) 81x2* 
D) 101x2 E) 121x2* 
Resolución 
Para que los hermanos menores no separen a 
sus hermanas de sus enamorados, necesaria- 
mente las parejas deben estar juntas. 
 
1 solo. 15olo 15olo slo e 1 solo 
Total de |-o x2x2x2x2x2x2 
formas 
=91x 28 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.”" 67 
Un grupo de 4 varones y 3 mujeres se deben 
ubicar en una fila. ¿De cuántas maneras dife- 
rentes se pueden ubicar si las mujeres no deben 
estar juntas por ningún motivo? 
A) 1440 
B) 720 
C) 1280 
D) 672 
E) 848 
Resolución 
Primero fijemos a los varones y después ubica- 
mos a las mujeres de tal manera que no hayan 
2 mujeres juntas. 
5 lugares para ser ocupados por M,; M, y M, 
Y lv Ya 1 Va 
permutan 
tds ce J=alx5xax3 
=1440 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 68 
Lucero, Francesca, Mariela, Karen, John, Leo- 
nardo, Kike y Omar ingresan a la piscina y se 
colocan alrededor de un flotador. ¿De cuántas 
maneras diferentes se podrán ubicar si los varo- 
nes no pueden estar juntos? 
A) 120 B) 72 C) 360 
D) 144 E) 36 
Resolución 
Deben ubicarse de forma intercalada. 
John Leonardo 
Permutan las a 
Permutan varones 
[ta de a " 
al x41 
=6x24 
=144 
_cuave 
51
 
PROBLEMA N.* 69 
_¿De cuántas maneras 3 argentinos, 4 peruanos, 
4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, orde- 
nadamente, en una mesa redonda de modo que 
los de la misma nacionalidad se sienten juntos? 
A) 3456 B) 6912 C) 20736 
D) 41472 E) 165 888 
UNI 2002 - 11 
Resolución 
Los de una misma nacionalidad deben estar juntos. 
 
Total de 
formas 
) =p (A)x3Ix41xaDx2! 
=31x31x41x41x21 
=6x6x24x242 
=41 472 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 70 
Un grupo de seis amigos deciden ir de campa- 
mento y en la noche realizan una fogata, ¿De 
cuántas formas se podrán sentar alrededor de la 
fogata si dos de ellos no pueden sentarse juntos? 
A) 36 
D) 96 
B) 72 C) 78 
E) 112 
52 
recon Y 
Resolución 
Sean A, B, C, D, E y Flos amigos. Consideremos 
que E y F no deben estar juntos. 
1. Ubicamos a los amigos A, B, C y D. 
2. Luego ubicamos a E y F de tal manera que 
no estén juntos. 
a 
S 
Quedan 
á espacios 
para EyF 
[07 
A 
AB,CyDE E 
A, pa pl, 
=P (4)x4x3 
= 3 x4x3 
=)?2 
Total de 
formas 
 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.* 71 
El chef Juan invita a cenar a 5 de sus amigos y 
deben de escoger entre dos platos distintos que 
ha preparado. ¿De cuántas maneras diferentes 
se podrán ubicar alrededor de una mesa circu- 
lar con 6 asientos de colores diferentes numera- 
dos del 1 al 6 y escoger un platillo, si importa el 
color de la silla en que se ubican? 
A) 32560 
B) 29210 
C) 58420 
D) 23040 
E) 46.080
"O 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Como los asientos son de colores diferentes y 
nos importa el color de la silla en que se ubican, 
entonces: 
permutan 6 personas en hay 2 opciones para 
6 asientos de colores escoger un platillo 
diferentes [importa el color) 
Total de 
formas 
 
Lota Ia 2 x2x2 
=7 2064 
=46 080 
_CLave d 
PROBLEMA N.* 72 
Seis amigos van a una pastelería en la que se 
sientan alrededor de una mesa circular y cada 
uno de ellos elige un tipo de pastel de los 6 tipos 
diferentes que hay. ¿De cuántas maneras pue- 
den ubicarse y hacer su pedido si a 3 de ellos solo 
les gusta 3 de los 6 pasteles que hay?; además, 
Emanuel se sienta al lado de su novia Eliana. 
A) 559872 
B) 279936 
C) 139968 
D) 69 984 
E) 23328 
Resolución 
1. Se ubican en la mesa (2 de ellos juntos). 
2.” Escogen su pastel (3 de ellos tienen 6 opcio- 
nes, y los otros 3 tienen 3 opciones). 
 
 
Seubican y escogen pastel 
o ne Ps (5)x21 x 6x6x6x3x3x3 
=41 x2lx 6xbxbx3x3x3 
=48 x 5832 
279936 
| _cuve 
PROBLEMA N.* 73 
Se lanza una moneda 10 veces, ¿de cuántas mane- 
ras diferentes se pueden obtener 5 caras y 5 sellos? 
 
A) 245 B) 252 C) 248 
D) 225 E) 235 
Resolución 
Se tiene que 
rrrrserrro 
TT ECO 
ccc c c 55555 
El número de formas que pueden salir 5 caras y 5 sellos 
será permutando estos elementos 
Número de =p10 
maneras | 55 
101 101 = 252 
Sh<5! 
_cuave GD) 
53
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 74 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubi- 
car 3 parejas de esposos en una fila con 8 asien- 
tos, si cada pareja desea estar siempre junta? 
A) 480 B) 240 C) 360 
D) 600 E) 960 
Resolución 
Sean las parejas V My; v,-M, y v," M,. 
Al ubicarlos en una fila con 8 asientos se tendría. 
 
 V, [Mi | V¿|M,| V3 [M3 
4 1 solo 1 solo isolo 2 asientos vacios 
(se considera como 
elementos iguales) 
Total de 5 3 
formas Jan. 1,1; q 
= A 
11x11x11x21 
= 3 
2l 
= 480 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 75 
Con todas las letras de la palabra ALIBABA, 
¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, 
si las vocales deben ir a los extremos? 
A) 180 
D) 60 
B) 150 Cc) 120 
E) 80 
54 
Resolución 
Se tendrian 2 casos: 
Os 
 
 
 
 
 
A|LIBAB|A o AIBABA|/ 
AAA o 
q 5 
Poa1,2 E Pr 292! 
51 51 
c+ 
1x11x11x21 11x21x 21 A 
51. 5 
— + — 
2l 2 
50 +60 
120 
_cuave ) 
PROBLEMA N.* 76 
¿Cuántos números de 8 cifras del sistema octa- 
nario cumplen que el producto de sus cifras es 8? 
A) 56 B) 112 Cc) 120 
D) 48 E) 28 
Resolución 
Se tendría 2 casos 
Permutan las cifraz 
ES 
(/1f111/1f1/2/4/0 (1/1f13f1/1[2/2/2] 
Pe, 151 * es 3 
_2 . BL 
6lx11x 1! 531 
56 + 56 
112 
_ciave $)
e a 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.? 77 
¿Cuántos numerales de 7 cifras del sistema sena- 
rio existen tal que la suma de sus cifras sea 33? 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 25 E) 28 
Resolución 
Se tendrían 2 casos 
Permutan las cifrás 
LAS 
[sIs[sisi5Is[3]0 [sIsi5[5|5[a]a) 
 
 
7 7 
Po.1 + Ps. 
7 71 
—— + 
6lx 1! 5ix 21 
7 + 21 = 28 
_Cuave Y) 
PROBLEMA MN.” 78 
Si (m, n, p, q) < Z¿, determine el número de 
soluciones que tiene la ecuación: 
m+n+p+q=10 
A) 268 B) 286 Cc) 432 
D) 143 E) 232 
Resolución 
Podemos — utilizar separadores como 
m+n+p+g=10, entonces 
TE A A ||| 
A 
10 unidades 3 signos (+) 
Permutando las + y los | se encuentran las 
soluciones. Por ejemplo, una solución sería: 
sae kasado mía 6d 
A» y 
3 + + 2 + 3 = 10 
13 
- (NS de soluciones) =P23., =—— 
10:37 101x31 
_ MÍ 11 12x13 
10Í x6 
 11x12x13 
6 
=286 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.” 79 
Rosita tiene 12 amigas y el fin de semana or- 
ganizará una cena, ¿de cuántas maneras puede 
invitar a 6 de ellas si Karina debe asistir de todas 
maneras? 
A) 720 B) 792 C) 116 
D) 232 E) 462 
Resolución 
Como Karina asiste a la cena, entonces solo falta 
invitar a 5 amigas de las 11 restantes. 
 (N.2 de maneras) =cY = 
6!x51 
_ BÍx7xBx9x10x11 
_ BÍxs! 
_7x8x9x10x11 
- 120 
= 462 
_ciave 
55
LUMBRERAS EDITORES * 
PROBLEMA N.* 80 
En una circunferencia se ubican 9 puntos, 
¿cuántos cuadriláteros convexos con vértices 
en esos puntos se pueden construir? 
A) 3024 
B) 63 
C) 126 
D) 144 
E) 252 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
Para construir un cuadrilátero se necesita unir 
4 puntos. 
- Escogemos 4 puntos de un total de 9. 
Número de g ql 
cuadriláteros) —* 5x4! 
 
_BÍX6X7X8X9 
Six 4! 
_6x7x8x9 
24 
=126 
_cuve Y 
56 
PROBLEMA N.' 81 
Un equipo de fulbito consta de 10 jugadores, si 
solo deben salir 6 a la cancha, ¿de cuántas ma- 
neras se puede seleccionar al equipo si Samuel 
no puede jugar al lado de Cristian?; además, el 
equipo cuenta con 2 arqueros. 
A) 72 B) 28 C) 96 
D) 78 E) 84 
Resolución 
Resolvemos el problema de forma indirecta, 
Para seleccionar a los jugadores que saldrán a la 
cancha debemos escoger 1 arquero y 5 jugadores. 
Casos ( cuando Samuel y 
 
 
totales Cristian juegan juntos 
(1Ara.) y (Siue) (1 Ara) y (2 uel 
xn - 2x € 
8! 6! 
” 2 x 
31x5! 31x31 
112 - 40 
72 
_cuave 
PROBLEMA N.* 82 
Un equipo de béisbol consta de 6 jardineros, 7 
jugadores de cuadra, 5 lanzadores y 2 receptores 
(entre titulares y suplentes). ¿De cuántas formas 
diferentes se puede elegir un equipo de 9 juga- 
dores, sabiendo que deben haber 3 jardineros, 4 
jugadores de cuadra, un lanzador y un receptor? 
A) 7 8) 70 C) 700 
D) 7000 E) 70.000 
UNI 1999 -1
Os 2 já estão, e por isso escolho apenas 6 dos 8, e 3 dos 5 .
Highlight
al z 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se tiene: 
Jardineros —6 
J, de cuadra => 7 
Lanzadores 5 
Receptores — 2 
Se necesita 
(3 jard.) y (4 cdra.) y (1 lanzador) y (1 receptor) 
-7 -5 CS xo Cc Xx G x d 
20 xx 3-5 x 5 xXx 2 
_cuave 
 
7000 formas diferentes 
PROBLEMA N.* 83 
En un plano existen n puntos, en el que no hay 
más de dos que sean colineales y con los cuales 
se forman segmentos tal que el número de es- 
tos es igual a 5n. Halle el valor de n. 
A) 8 B) 9 Cc) 10 
D) 11 E) 15 
UNMSM Z010-1 
Resolución 
5e tiene un plano P con n puntos 
Para formar un segmento se debe unir 2 puntos 
cualesquiera. 
Nos piden n y como dato tenemos que 
Número de LS 
segmentos | 521 
 
C) =5n 
ni 
—— == 59 
(n-2)1x21 
 
PROBLEMA N.” 84 
Rodrigo tiene 10 amigos, pero 2 de ellos no 
pueden asistir juntos a la misma reunión. ¿De 
cuántas maneras diferentes podrá invitar a 6 de 
sus amigos? 
A) 128 
B) 132 
C) 124 
D) 140 
E) 160 
57
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Resolveremos el problema de forma indirecta, 
es decir, calculamos los casos sin restricciones 
y restamos los casos cuando los 2 amigos van 
juntos. 
E 
 
totales [| vanjuntos 
E .= Como 2 asisten solo 
CH —- CPi— faltainvitara 4 
a de los 8 restantes 
101 _ al 
4álx6! 441 
BÍXTX8Bx9Xx10 _ AÍX5x6x7x8 
ax pÍ Mxa! 
/x8x9x10 5x6x7x8 
24 24 
 
 
210-70=140 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 85 
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales 
Manuel debe contestar 8. Si de las 5 primeras 
debe contestar al menos 4, ¿cuántas posibilida- 
des tendrá Manuel para elegir las 8 preguntas? 
A) 200 
8) 210 
Cc) 180 
D) 160 
E) 172 
58 
Resolución 
Se debe contestar 8 preguntas de un total de 
12. Entonces: 
 
 
Ron ORGIAS UNE Td 
A a E 
Preguntas | 1al5 [Gal 12| o | 1al5 ¡Gal 12 
| | | | Total de 
formas |= Ch x q r Ex G 
=5x35 3+ 1 x35 
= 175 + 35 
= 210 
_Cuave ) 
PROBLEMA N.* 86 
En una juguería se dispone de 7 frutas diferentes. 
¿Cuántos jugos surtidos se pueden preparar? 
A) 120 B) 60 Cc) 112 
D) 128 E) 127 
Resolución 
Se tiene un conjunto F de 7 frutas 
F=[a, b, c, d, e, f, g) 
Para preparar jugos surtidos necesitamos al me- 
nos 2 frutas [por ejemplo; ab, abc, edcb, ...) 
 
Entonces: 
mas] 7 7 7 7 7 O 
Ni A E gt E, + EA Eg Cgr gt Eg? E7C, 
2? -1-7 
= 128-—8 
= 120 
_cuave
e 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 87 : 
De una baraja de 52 cartas se extraen 6 cartas. 
Indique de cuántas formas diferentes se puede 
obtener: 
* Cuatro diamantes y dos tréboles. 
* Cuatro cartas de un mismo valor y las otras 
de cualquier valor. 
Dé como respuesta la suma de resultados. 
A) 62 420 B) 70.434 C) 45 460 
D) 54 600 E) 72 430 
Resolución 
Se extraen 6 cartas de una baraja de 52 cartas. 
 
13 cartas 
* Se quiere 
Cie) y Ce) 
 
 
 
 
ox cr 
131 G 131 
91x41 11x2I 
715x78 
=55 770 
* Se quiere 
4 cartas de un 2 cartas 
mismo valor | Y | cualesquiera 
AB 
13 Xx c 2 
13 x 481 
46x2! 
13 x 1123 = 14 664 
Piden 
55 770+14 664=70 434 
_cuave 
PROBLEMA N.” 88 
Erika debe repartir 10 regalos entre sus tres so- 
brinos. ¿De cuántas maneras diferentes puede 
repartir los regalos si el mayor debe recibir 4 re- 
galos y los menores 3 regalos cada uno? 
A) 4200 
B) 2100 
C) 3450 
D) 5400 
E) 4800 
Resolución 
Se debe repartir 10 regalos entre 3 sobrinos. 
Escogemos 4 Escogemos 3 Escogemos 3 
regalos de los regalos de los regalos de los 
10 que hay 6 que restan 3 que restan 
$ 1 | 
mayor (4) intermedio (3) menor (3) 
ox ox e 
 
101, 6l 
blx 4! 31x 31 
210 x 20 x 1 
4200 
59
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
PROBLEMA N.* 89 
¿Cuántos paralelogramos se forman al cortarse 
un sistema de 7 rectas paralelas con otro siste- 
ma de 9 rectas paralelas? 
B) 912 A) 756 C) 726 
D) 786 E) 448 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
 
Para formar un paralelogramo se deben inter- 
sectar 2 rectas de un sistema (=) con 2 rectas 
del otro sistema |//). 
(2 rectas =) y (2 rectas //) 
 
 
Total de _ 9 7 
paralelogramos | E a E 
_ A x 71 
7x2! 51x21 
= 36 x 21 
= 756 
A) 2240 
PROBLEMA N.* 90 
Los lados de un cuadrado se han dividido en 4 
partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir 
cuyos vértices sean los puntos de división? 
A) 126 B) 212 C) 216 
D) 248 E) 252 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
 
; 
 
Para construir un triángulo se deben unir 3 pun- 
tos no colineales. 
Escogemos 3 puntos 
de un total da 12 Casos donde 
hay 3 puntos 
Total de l Fr colineales 
: Jae db triángulos 3 
y 
91x 3| 
=220 - 4 
= 216 
_Cuave 
PROBLEMA N.* 91 
Entre 7 diccionarios diferentes y 4 obras literarias 
diferentes se seleccionan 3 diccionarios y 2 obras, 
y se colocan en una estantería de forma que las 
obras vayan a los extremos, Halle el número de 
formas en que esto se puede llevar a cabo. 
B) 2520 C) 2340 
D) 2250 E) 2460
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 ds” 
Resolución 
Se tienen 7 diccionarios y 4 obras. 
Ordenamos 2 de 4 
| Ordenamos 3 de 7 | 
A AA 
[ obra | Dicc. | Dicc. | Dicc. | obra | 
T T pa] 
 
4x7x6x5x_3=-2520 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 92 
Un grupo de 8 amigos (5 varones y 3 mujeres) 
desean tomarse una foto, pero debido al espa- 
cio solo pueden ubicarse 5 de ellos. ¿Cuántas 
fotos diferentes se podrán tomar si en la foto 
debe haber al menos una mujer y un varón? 
A) 6600 B) 6200 C) 6060 
DJ) 6560 E) 6006 
Resolución 
Debemos escoger a las 5 personas y luego las 
ordenamos. " 
(ordenamos) 
(escogemas a 5 personas) 
2. IVY BM a rl ir 
pe =(cxci+cixci+cixci)xsi 
H (10x1 + 10x3 + 5x3) x 5! 
= 55 x 120 
_ CLAVE > 
6600 
PROBLEMA N.* 93 
En un club deportivo, con 20 miembros, hay 
que formar un equipo de 4 personas para par- 
ticipar en una carrera de relevos de 500 metros 
(50-100-150-200). ¿De cuántas maneras se 
podrá formar el equipo? 
A) 58140 B) 116280 C) 232560 
D) 77520 E) 112 860 
Resolución 
Seleccionamos a los 4 que participarán en la ca- 
rrera y luego los ordenamos. 
Seleccionamos 
 
 
a 4 de ellos Ordenamos 
Número dej _ 20 
maneras “ € Xx 41 
_ 2a 
161x 41 
= 4845 x 24 
= 116 280 
_cuve 
PROBLEMA N.* 94 
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas 
y diferentes existen que tengan al menos una 
cifra impar en su escritura? 
A) 3024 
B) 3000 
C) 3200 
D) 3420 
E) 2820 
61
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Resolveremosel problema de forma indirecta. 
1.2 Calculamos todos los números de 4 cifras 
significativas y diferentes. 
ob cd 
dd) 
9x8x7x6=3024 
2.2 Calculamos todos los números de 4 cifras 
significativas y diferentes que no contengan 
una cifra impar en su escritura. Es decir, solo 
disponemos de las cifras 2; 4; 6 y 8. 
ob cd 
E 
áx3x2x1=24 
Luego; 
dE |- 3024-24=3000 
úmeros 
_cuave 
PROBLEMA N.” 95 
Miguel ha adquirido 5 libros de análisis mate- 
mático diferentes y 4 libros de física diferentes. 
¿De cuántas maneras puede acomodar 2 libros 
de análisis y 3 de física en un estante con espa- 
cio para cinco libros? 
A) 3600 B) 4800 Cc) 720 
D) 1440 E) 72 
Resolución 
Se tiene 5 libros de análisis matemático (AM) y 
4 de fisica (F). 
62 
Seleccionamos a 2 de AM con 3 de F y luego los 
ordenamos. 
AE EE É cerrara a ii 
 
Total de 5 Y, 
=C 4 formas 2 + G x 5) 
5! dj! 
= — x 
31x21 11x 31 
= 10 x dá x 120 
Ea 4800 
_cuave 
PROBLEMA N.* 96 
En una urna se tienen 20 esferas numeradas del 
1 al 20. Si se eligen 3 esferas al azar, ¿de cuántas 
formas se puede obtener al menos un número 
divisible por 4? 
A) 685 
8) 586 
C) 856 
D) 432 
E) 243 
Resolución 
Del 1 al 20 se tiene 
o 
5 números que son 4 
o 
15 números que no son 4 
Escogemos al azar 3 números tal que al menos 
uno de ellos sea 4,
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolviendo de forma indirecta. 
 
 
 
Escogemos a Escogemos 3 
p números in] pines y que ] 
restricciones ninguno sea 4 
Total de NN _ (5 il 
formas] 73 3 
201 151 
217x317 121x3l 
= 1140 - 455 
= 685 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 97 
Se tienen cinco números positivos y seis núme- 
ros negativos (todos diferentes). ¿Cuántas ter- 
nas de números se pueden formar de tal mane- 
ra que el producto de ellos sea positivo? 
A) 75 B) 96 o 72 
D) 85 E) 100 
Resolución 
Se debe escoger 3 números tal que su producto 
sea positivo, si se tiene 5 números positivos y 6 
negativos. 
 
 
 
(3 positivos) O (2 negativos y 1 positivo) 
go +. 4 xd 
51 61, 5 
21x 3! álx2l 4lx1! 
10 + 15 x 5 
85 
Por lo tanto, son 85 ternas de números que su 
producto es positivo. 
_Ccuve 
VERE RRA A FG 1 AB A 
- PROBLEMA N.* 98 
Con los dígitos O, 1, 2, 3, 4,..., 8 y 9, ¿cuántos nú- 
meros de tres cifras podamos formar si 'a suma 
de sus cifras debe ser par? 
A) 455 B) 475 C) 450 
D) 472 E) 520 
Resolución 
Tenemos los siguientes casos: 
PPP JO[P|1 E pp I1jP 
 
 
200 211 110 
4 22 433 z > > 3372 
644 655 545 554 
866 8 77 767 776 
8383 99 989 998 
4x5x5 dx5x5 5x5x5 5x5x5 
Total de 
dormia Juax5x5Hx5x5+5x5X5+5X5X5 
= 100 + 100 + 125+ 125 
= 450 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.” 99 
Javier dispone de nueve fichas numeradas del 
1 al 9. ¿De cuántas maneras diferentes se po- 
drá tomar cuatro de ellas y lograr que su suma 
sea par? 
A) 72 B) 48 C) 56 
D) 66 E) 76 
63
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se tiene 
eJejelelelolololo 
9 fichas (4 pares y 5 impares) 
 
Escogemos 4 fichas al azar tal que la suma de 
ellas sean par. 
Se tienen los siguientes casos: 
(1 29.) ( .. ( fichas spa] 
pares impares y 2 impares 
A A 
Total d (fermas)o + + a 
=1 +5 + 6x10 
= 1 + 5 + 60 
= 66 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 100 
Se tienen 4 perritos de peluche de color blanco 
y 3 de color negro (todos de diferente tamaño). 
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubi- 
car en una repisa donde solo entran 5 de ellos y 
además deben estar alternados según el color? 
A) 72 B) 144 C) 216 
D) 220 E) 238 
Resolución 
Se pueden ordenar de 2 maneras 
[¡BIN|B¡N/B o|N[B[N[B|N 
(Total de)= 4x3x3x2x2 + 3x4x2x3x1 
formas 
 
144 + 72 
= 216 
_cuve Y 
64 
Aran ean pu . hy 
PROBLEMA N.?* 101 
Una ficha de dominó consiste en dos mitades, 
cada una de ellas conteniendo una cierta canti- 
dad de puntos, entre O y 6. ¿Cuántas fichas dis- 
tintas pueden confeccionarse? 
 
 
 
 
 
 
A) 28 B) 14 C) 56 
D) 42 E) 45 
Resolución 
Las fichas son de la forma 
e 
> $ 
o 
Li 
Los valores van del 0 al 6 
Calculemos el total de fichas. 
dee as TEE 
0 o 
1 
2 
3 $ 7cas0s 
4 
5 
6 a 
1 1 
2 
3 
4 Pp bcasos 
5 
6 ? 
2 2 7 
3 
: ' 5 casos 
PT 6 a 
5 5 
6 Y 2 casos , 1 caso 
Total de 
=74+64+54+4+34+2+1=28 
formas | 
_cuve Q)
ANÁUSsIS COMBINATORIO 
 
coc 
PROBLEMA N.* 102 
De un grupo de 5 varones y 6 mujeres se desea 
escoger 3 personas (2 varones y 1 mujer) o 4 re- 
presentantes (1 varón y 3 mujeres). ¿De cuán- 
tas maneras se puede elegir si una pareja en 
particular siempre debe conformar dicho grupo? 
A) 12 8) 15 C) 14 
D) 8 E) 20 
Resolución 
Los grupos deben ser conformados de la si- 
guiente manera 
Falta un Falta 2 mujeres 
varón de los 4 a o ee 
que resta» 
E m 
Cs 
Total de 5 
formas | a * 
= +10 
= 14 
CLAVE 8 
 
PROBLEMA N.* 103 
Valeria tiene 12 galletas de distintos sabores y 
debe de repartirlas entre sus 3 sobrinas. ¿De 
cuántas maneras las podrá distribuir, si las canti- 
dades deben estar en PLA. y todas deben recibir 
al menos una, pero no la misma cantidad? 
A) 22770 
D) 45 540 
B) 34 155 C) 54 540 
E) 45 400 
Resolución 
El reparto podría realizarse de la siguiente manera. 
Formas - 3 4 5 
[se distri Dar] E a 6 
las galletas 1 4 7 
Se tiene 3 casos. Entonces: 
Total de 5,12. -10 12.11.77 e JC ci cc 
=220x126x1+66x 210x1+12x330x1 
= 27720+ 13860 + 3960 
= 45 540 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 104 
Anthony, Belén, Carlos y Daniel se sientan en 
una fila de 10 asientos. ¿De cuántas maneras 
pueden ubicarse si no puede haber alumnos 
sentados contiguamente? 
A) 180 
B) 630 
C) 840 
D) 450 
E) 960 
65
LUMBRERAS EDITORES a [* 
Resolución 
Gráficamente tendriamos 
Asientos vacios 
Í Í j | i j 
ALAS 
7 lugares disponibles para ubicar A; B; C; D 
 
 
 
Luego, 
Á BOC D 
1 | | 4 Total de A 
formas 
= 840 
CLAVE $ 
PROBLEMA N.” 105 
¿De cuántas formas diferentes se pueden colo- 
car 8 torres iguales en un tablero de ajedrez de 
modo tal que no puedan comerse una a la otra? 
A) 40320 B) 20160 Cc) 5040 
D) 10080 Ej 25640 
Resolución 
Gráficamente tenemos 
19 qu 3o de go ge 70 go 
X 
X 
B8Bx7x6x5*x4x3x2x*1= 8l 
 
66 
Para que las torres no puedan comerse, neces- 
rlamente debe haber una torre en cada columna. 
Empezaremos a ubicar las torres una a una por 
columnas. 
Total de 
= l= 
voneed di 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.* 106 
Un grupo de 5 varones y 6 mujeres se ordenan 
en una misma fila de tal manera que las per- 
sonas de un mismo género estén juntas. ¿De 
cuántas maneras diferentes se podrán ordenar, 
si Alan y Mario no deben estar juntos, así como 
tampoco Betty y Teresa? 
A) 69120 B) 45630 C) 138 240 
D) 34 560 E) 125 600 
Resolución 
Resolwveremos el problema de forma indirecta, 
Picaedl 00 
Li Miracó 
io a[1)) 
| T 
 
 
 
(5/-41x2) x (6l-5!1x2) x2l 
— — j 
Casos Casos Permutan 
cuando 4 y M cuando ByT varones y 
estan juntos estan juntas — mujeres 
a (51-41x2)x(61-51x2)x21 
= 7 x 480 x2 
= 69 120 
_cuve Y
N" ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 107 
Joao, Bryan, Hugo y Miguel se ubican en una fila 
con 7 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes 
pueden quedar distribuidos los asientos vacios? 
A) 24 B) 63 C) 35 
D) 45 E) 72 
Resolución 
Nos interesa como quedan distribuidos los asien- 
tos vacios, si permutan las personas no interesa. 
Aslentos vacios 
las personas (se consideran 
no interesa Iguales) 
Í 4 ] 1 4 1 1 
J¡B|H|M 
NANO 
Se tomará como 
elementos iguales 
51 permutan 
 
 
 
Se presenta un caso de permutación lineal con 
elementos repetidos. 
7 
Ax 31 
_AÍx5x8Bx7 
ES 
=5x7 
=35 
 
7 
Pa;3= 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 108 
En una escuela de fútbol donde asisten 12 de- 
portistas, el profesor los divide en dos grupos 
de 6 para disputar un partido de práctica de fut 
bito. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo si 2 de 
los deportistas son arqueros? 
A) 257 B) 504 C) 426 
D) 245 E) 550 
ResoluciónSerá suficiente con seleccionar solo 1 arquero y 
5 jugadores (un solo equipo), pues los restantes 
formaran necesariamente el segundo equipo. 
(1 arquero) y (5 jugadores) 
— 
Total de E a di 10 
aneras 5 
me 2 x 252 
= 504 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N* 109 
En los primeros 50 números naturales, calcule 
de cuántas formas se puede elegir a dos ellos 
cuya suma sea par. 
A) 600 B) 450 Cc) 300 
D) 480 E) 720 
Resolución 
(2; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...; 50) 
 
25 números pares y 25 impares 
Debemos escoger 2 números tal que la suma 
sea par. 
Escogemos Escogemos 
2 pares |¿ |2 impares 
Número 5 5 
de Pro] = + Cs 
= 300 eE 300 
_cuve Y) 
67
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N* 110 
Un coleccionista de monedas tiene 5 monedas 
diferentes, ¿de cuántas formas podrá guardar- 
las en los 2 bolsillos de su pantalón? 
A) 21 B) 32 Cc) 45 
D) 25 E) 36 
Resolución 
Cada moneda tiene 2 posibilidades para guar- 
darlo en un bolsillo, 
OJOJCIOJO, 
laz riada 
_cuve 
Total de 
formas 
PROBLEMA N.? 111 
En un circo se presentan 10 números diferentes, 
¿de cuántas maneras diferentes podrán presen- 
tar la secuencia de los números, si hay 4 que ne- 
cesariamente deben de ser presentados al inicio? 
A) 16430 - B) 14560 C) 12400 
D) 17280 E) 16420 
Resolución 
Hay 4 números que deben ser presentados al 
inicio. 
Entonces, 
6* 7* B* 9* 10* 1" 3" E qe 5: 
 
AP 4x3x2x1| 6x5x4x3x2Xx1 
formas 
=24x 720 
= 17 280 
_cuave Y) 
A a] 
PROBLEMA N.* 112 
Un examen consta de 5 preguntas y cada una 
de estas tiene 4 alternativas. ¿De cuántas for- 
mas puede responder un estudiante 3 de las 
preguntas? 
A) 460 B) 640 C) 480 
D) 1280 E) 320 
Resolución 
Primero seleccionamos las 3 preguntas y luego, 
¡ec it: Parma q 
a 
 
3 preguntas | Y | alternativas 
Ue del y aña 
formas 3 
= 10 x 4x4x4 
= 640 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.? 113 
Pepe y 6 de sus amigos deben cruzar un puen- 
te angosto en fila india. ¿De cuántas maneras 
podrán cruzarlo, si Luis debe cruzar inmediata- 
mente después que Mario, además este último 
no cruza primero? 
 
 
A) 720 B) 480 C) 260 
D) 560 E) 600 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
US pun 
dl 1 solo : 
posibilidades
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
50. de o] Six 
=120x5 
= 600 
CLAVE BD 
PROBLEMA N.* 114 
De un grupo de 20 personas (8 varones y 12 
mujeres) se quiere elegir 5 representantes. ¿De 
cuántas formas puede hacerlo, si Luis y Julia 
siempre van en el grupo? 
A) 846 
B) 816 
C) 735 
D) 675 
E) 824 
Resolución 
Como Luis y Julia siempre van en el grupo, solo 
falta elegir a 3 de los 18 que quedan. 
Total e) 18 
formas |” “3 
181 
151x3! 
 
_ 15/x16x17x18 
15Íx6 
16x17x18 
6 
816 
PROBLEMA N.* 115 
Un grupo de 8 paracaidistas se arroja de un 
avión y en el aire forman dos circulos en grupos 
de 4, ¿De cuántas maneras diferentes se puede 
dar esto? 
A) 1250 B) 2250 C) 2520 
D) 2050 E) 2450 
Resolución 
Primero formamos los grupos y luego los orde- 
namos. 
lO) lO) Cc D G H 
—— 
Solamente escogemos 
a dí de ellos, los 
restantes forman 
el otro grupo 
permuta el — permuta el 
primer grupo ia grupo 
mee). Áx3lx3l 
=70x6x6 
=2520 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 116 
¿Cuántos números de cuatro cifras múltiplos de 
4 pueden formarse con 1; 2; 3; 4 y 5 si una cifra 
se puede repetir varias veces? 
A) 56 B) 215 
D) 60 
C) 125 
E) 112 
69
Resolución 
a b 
bo] 
555 
5x5 
o 
c d =4 
 
5 formas 
Total de ]=5x5x5=125 
maneras 
_ciave Y) 
PROBLEMA N.* 117 
Enrique tiene que enviar 10 invitaciones para 
su boda. ¿De cuántas maneras distintas puede 
efectuarse esto, si para enviar las invitaciones 
se dispone de 3 mensajeros y cada invitación se 
puede entregar a cualquiera de ellos? 
A) 19683 B) 59 049 C) 6561 
D) 2187 E) 1000 
Resolución 
Cada invitación se le puede entregar a cualquie- 
ra de los 3 mensajeros. 
3x3... 3 
 er: 
| 
=3 x 3 x 
 
N£ de 
formas 
 
= 3% - 59 049 
_Cuave Y 
70 
e 
PROBLEMA N.” 118 
Dos alumnas asisten a un curso de capacitación en 
la UNI, Si dicha capacitación se dicta en 3 faculta- 
des de 6 aulas cada una y cada aula con 8 carpetas 
de 2 asientos, ¿de cuántas formas se pueden ubi- 
car si deben sentarse en la misma carpeta? 
A) 112 B) 145 C) 124 
D) 144 E) 288 
Resolución 
- Sedebe escoger una facultad, 1 aula y 1 carpeta. 
facultad aula carpeta 
| ! / | -= Permutan 
x B x 21 Pier 
_cuave Q) 
=3 x 6 
formas 
= 288 
PROBLEMA N.* 119 
¿Cuántas ordenaciones se pueden dar con las 
letras de la palabra MARACUYA, si las vocales 
deben ir juntas? 
A) 600 
D) 700 
B) 720 C) 240 
E) 480 
Resolución 
MARACUYA 
8 letras 
Ordenándolas 
 
AJA[AJU|M|RÍ|C|Y 
i solo 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 ae Ses: 
Total de r Permutan las Resolución 
formas |- 51x4 Se tiene que 
=120x4 Escogen s oy 
= 480 película y en fila 
25 K—————_—— A 
Número 
cuave GH) de formas| = 3xX3x3 x 31 
DS = 27 x 6 
= 162 
PROBLEMA N.” 120 
Un grupo de 10 profesores deben dictar un se- 
minario de aritmética en 3 locales diferentes 
(A, B y €). Sia dichos locales A, B y C deben de 
asistir 2, 3 y 5 profesores, respectivamente, ¿de 
cuántas formas se podrá realizar este reparto? 
A) 2520 B) 2220 C) 2420 
D) 2330 E) 2140 
Resolución 
Debemos distribuir a los 10 profesores en los 3 
locales. 
na A y B y£ 
otal de 0 
laca x Co 
= 4A5x 56 x1 
= 2520 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.? 12] 
Tres amigos asisten al cine y observan que hay 
3 películas de estreno, ¿de cuántas formas po- 
drán escoger una película y hacer una fila para 
comprar las entradas en la boletería? 
A) 81 
D) 124 
B) 162 “C) 192 
E) 248 
_ciave 
PROBLEMA N.* 122 
En un estante se quiere ordenar 7 libros diferen- 
tes, de tal manera que 4 de ellos no estén jun- 
tos. ¿De cuántas formas se puede realizar dicho 
ordenamiento? 
A) 3498 
B) 4342 
C) 4564 
D) 4464 
E) 3980 
Resolución 
Resolveremos el problema de forma indirecta. 
 
ordenamos | _ [ordenamos cuand 
Be Vean) ( 4 van juntos ) 
pi TT 
= 5040 - 576 
m 4464 
_cuve Q) 
71 
 
LUMBAERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.” 123 
De los primeros 15 números primos, se escoge 
al azar 3 de ellos, ¿de cuántas formas el produc- 
to de ellos resultará un número par? 
A) 91 B) 78 Cc) 60 
D) 72 E) 110 
Resolución 
12; 3; 5;7; 11; ...) 
PEAK _ _— 
14 primos (impares) 
Para que el producto de 3 de ellos sea par, ne- 
cesariamente uno de los primos es el 2. Faltaría 
escoger a 2 números más de los 14 que restan. 
Total de 
= 14_ 
formas | Cc 91 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.? 124 
¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 perso- 
nas (3 varones y 4 mujeres) alrededor de una 
mesa circular, si 2 varones y una mujer en par- 
ticular desean sentarse juntos? 
A) 36 B) 144 C) 48 
D) 72 E) 112 
Resolución 
Gráficamente 
72 
Jo Pe (5) x 31 
formas | * 
41 x31 
= 24 x6 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 125 
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales 
el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 pri- 
meras preguntas debe contestar por lo menos 
5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas 
tiene el estudiante? 
A) 15 B) 36 Cc) 51 
D) 21 E) 27 
UNI 2000-11 
Resolución 
De las 12 preguntas se debe seleccionar 10 de 
ellas. Se tendrían 2 casos: 
5 preg. 5preg. 6preg. 4preg. 
(1a16|7a112Jo(1a16[72112] 
 
Cd505 
ns] 
6! 6! 6! 
= x +1x 
1x5! 11x51 21x 41 
6x6 +1x15 
36 + 15 
51 
_cuave ) 
 
E LS ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
 
PROBLEMA N.* 126 
A una conferencia internacional asisten 5 diplo- 
máticos peruanos y 9 colombianos. ¿De cuántas 
maneras se puede formar una comisión de tra- 
bajo de 6 miembros en la que estén presentes 
por lo menos 3 diplomáticos peruanos y por lo 
menos un colombiano? 
A) 840 
B) 1029 
C) 1020 
D) 849 
E) 720 
UNI 1998 - 11 
Resolución 
5e tiene a 5 peruanos y 9 colombianos. 5e debe 
formar comisiones de 6 miembros donde por lo 
menos hayan 3 peruanos y 1 colombiano. Luego 
se tendrían los siguientes casos3 per. [3 col. lo[ 4 per. [ 2 col. o 5 per. | 1col. 
O O 
 
 
3x0 + C0ÍxC+ dG 
51 3l : 
x e re 1x9 
21x31 6lx3l 11:41 7Ix2! 
10 x B4 + 5 x 36 + 9 
9 = 1029 840 + 180 + 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 127 
¿Cuántas palabras de seis letras que contengan 
dos vocales diferentes y cuatro consonantes 
distintas se pueden formar con cuatro vocales 
incluyendo la “e” y seis consonantes incluyendo 
la *s”, de manera que empiecen con “e” y con- 
tengan “s”? 
A) 216 000 B) 3600 C) 7200 
D) 10800 E) 9600 
UNI 2000-11 
Resolución 
Se dispone de 
4 vocales (incluyendo la “e”) 
6 consonantes (incluyendo la “s”) 
Las palabras deben tener 
2 vocales y 4 consonantes 
 
 
Entonces 
fi T ja 
uE 
Falta escoger 1 vo- 
cal y 3 consonantes 
Se escoge Se escoge 3 
1 vocal (7 “ensonantes 
Total del La esco 
leotatras]= Cy 3x5!) 
E. Permutan las letras 
| 
= 3x 3 ax 5] 
21x31 
=3x10 x 120 
= 3600 
_cuave ) 
73
LUMBRERAS EDITORES A E a 
PROBLEMA N.? 128 
En un juego infantil se van diciendo números 
consecutivos del 1 al 100 y se aplaude cada vez 
que se dice un múltiplo de 3 o un número que 
termina en 3. El juego termina cuando se llega 
al número 100. ¿Cuántas veces se aplaudió du- 
rante el juego? 
A) 10 B) 33 C) 39 
D) 43 E) 47 
ONEM 2008 (fase 1 - nivel 1) 
Resolución 
Debemos contar cuantos números del 1 al 100 
son múltiplos de 3 o terminan en 3. 
Entonces 
Números que aa. 
* (temnanens)" 2:13:29) 
10 numeros 
9 
: a 2) 6; 9; 12;...; 99) 
A y A AÁAÁKÁÉÁ2 
33 números 
total de números : 100 
 
 
ES múltiplos de 3 y que 
terminan en 3 
Total de | _ ( Hecas )=29+4+ 
=39 
74 
PROBLEMA N.* 129 
¿Cuántos números de 3 cifras tienen al menos 
una cifra 5 en su escritura? - 
A) 546 B) 434 C) 252 
D) 354 Ej 654 
Resolución 
Resolveremos el problema de forma indirecta. 
1. Buscamos la cantidad de números de 3 cej- 
fras 
 
ob ce 
+ dd 
9 x10x 10=900 números 
2.* Buscamos la cantidad de números que no 
tienen cifra 5. 
 
wo 
0
 
a 
e 
tl
 
A 
O 
f—Ák
 
w
a
s
)
 —
 A
 
P
o
s
 
s
m
 
e 
e 
O
 
— 
p
p
 
648 números ba
 
x LD
 
X pi
] "! 
Luego, 
Total de N.* Total de N.* que 
(a s a =| que no tienen |+| tienen al menos 
2 ENTAE la cifra $ una cifra 5 
900 ED 
Por lo tanto, hay 252 números que tienen al me- 
_Cuve E) 
 
nos un 5.en su estructura.
al" 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 130 
¿Cuántos números de la forma a(a+b]b existen? 
A) 55 
D) 28 
Resolución 
Fijando valores a la primera cifra, se tendría los 
siguientes casos: 
a (a+b) b 
Total de 
números 
= 45 
B) 45 
ha
 
A 
a
 
A
 
| 
.=
< 
W
o
 
oO
 
o
 
Cc) 40 
E) 20 
3 números 
7 números 
) 2 números 
) 1 número 
)=9+8+7+..+241 
cuve Y 
 
PROBLEMA N.* 131 
Pedro tiene 5 libros de matemáticas (todos di- 
ferentes) y 3 libros de fisica (todos diferentes). 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán or- 
denar 3 libros de matemáticas y 2 de física en 
un estante con 5 espacios? 
A) 1800 
B) 2700 
C) 3480 
D) 3600 
E) 3820 
Resolución 
Se tienen 5 libros de matemática y 3 de física. 
Se debe escoger 3 de matemática y 2 de física y 
luego ordenarlos. Entonces: 
se escogen 3 
EE. 
ae de 
maneras 
 
se escogen 2 
ea 
 
 
E 5 x 
51 3l 
en xXx 
21x31 11x2! 
=10x3x120 
 
 
= 
= 3600 
yn 
3 x (51 
los libros
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 132 
Un pintor dispone de 5 témperas de colores di- 
ferentes. ¿Cuántos tonos diferentes adicionales 
a los que tiene podrá obtener mezclando en 
cantidades iguales las témperas? 
A) 10 B) 18 Cc) 26 
D) 31 E) 32 
Resolución 
Se dispone de 5 colores y para obtener tonos de 
color distintos a los que ya tiene deberá mezclar 
de 2 en 2, de 3en 3, de 4en4ode5enS5. 
A A. A 
NS de tonos 5 5 5 2 ÉdiCaste 
de color | a : . , 
_ Si 5| 5| 
31x21. 2x3! 1x4 
=10+10+5+1 
= 26 
_cuave Y 
PROBLEMA N.* 133 
Se lanzan n dados y m monedas. ¿Cuántos re- 
sultados diferentes se pueden obtener? 
A) mixn! 
B) 6x2” 
gi" 
D) (mxn)*? 
E) 2x3" 
76 
 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
n dados m monedas 
3530909 
dy | | | | Total de py t 6 6: 6x2 242 
- 6" Xx 3” 
= 6 x 27 
Por lo tanto, se obtienen 6"x2” resultados di- 
ferentes. 
_cuve G) 
PROBLEMA N.* 134 
¿Cuántas expresiones existen de la siguiente 
 
y 
forma ne > ), 
A) 1440 B) 1280 Cc) 740 
D) 760 Ej 640 
Resolución 
Se tienen las expresiones 
a (b - 2)b m (2m) y (2) 
1 pa Ia 
14 1 0 
2 3 2 2 
34 3 4 
.. + 6 
' 8 
9, xx 3-20 
9x8 =72
Luego, 
ems” ma. 
Total de ni ¡ po 
=72 x 2 
expresiones 
CLAVE 
e 
PROBLEMA N.* 135 
Francisco debe comprar 10 chompas y existen 4 
modelos diferentes. Si debe llevar al menos 1 de 
cada tipo, ¿cuántas opciones de compra tiene 
Francisco? 
A) 84 
B) 72 
C) 88 
D) 96 
E) 64 
Resolución 
Se debe comprar 10 chompas entre 4 modelos 
diferentes, pero como se debe comprar al me- 
nos 1 de cada modelo, entonces solo será ne- 
cesario adquirir 6 chompas entre los 4 modelos 
que hay. 
 
modelo 1 modelo modelo 3 modelo 4 
+ A + di =6 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
Debemos buscar el número de soluciones de la 
ecuación 
o+b+c+d=6 
 
 
Pa 
os Sl ¿9 
formas ) *P * 51x31 
blx7xBx9 
bl x3! 
7x8x9 
6 
=84 
PROBLEMA N.* 136 
2 n n 2n 
5i + + =12, halle el valor de , 
1 2 3 6 
A) 56 
B) 28 
Cc) 24 
D) 210 
E) 14 
LINMSM 2009 -1 
”n
LUMBRERAS EDITORES 
 
5e tiene 
2 n ñ E 
(lo) 
C+0+C3=12 
93 7 2” =12 
" An—2)Ix 21 (n-3)1x31 
nz z mara =10 
3-n:(n—1)+n:(n—1)(n-—2) 210 
6 
n(n—1)(n+1) =60 
a 3 5 
 
n=4 
Luego, nos piden 
Ns 
_cuve G) 
PROBLEMA N.? 137 
Se tiene una urna con 6 bolas blancas, 3 negras 
y 3 rojas. Determine de cuántas maneras se 
pueden extraer 4 bolas, de tal manera que: 
Il. Sean de cualquier color. 
ll, Sean 2 blancas, 1 negra y 1 roja. 
78 
A) 430;135 B) 45p,140 C) 495;140 
D) 135; 140 E) 495; 135 
Resolución 
Se tienen 6 bolas blancas, 3 bolas negras y 3 
bolas rojas. $e deben extraer 4 bolas al azar tal 
que 
l.. Sea de cualquier color: 
Total de (2 
formas | * 
121 
8!x41 
 =495 
ll. Sea 2 blancas, 1 negra y 1 roja 
28 1N 3R 
Total del 6. 3.3 
oa Jah 
=15x3x3 
=135 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 138 
Dado los siguientes puntos donde solo 6 puntos 
son colineales, 
¿cuántos triángulos se pueden formar tomando 
como vértices los puntos mostrados? 
A) 180 
D) 120 
B) 200 C) 220 
E) 145
a" 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se tienen los puntos 
 
 
 
 
para formar un 
triángulo se 
necesitan tres 
puntos no 
colineales 
haci 
(2 puntos) y (1 punto) —C5xC5=90 
se tienen 
3 casos | (1 PUNto) y (2 puntos)—-C5xC5=90 
(3 puntos) —C5=20 
(roms ) =s0+00+20=20 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 139 
Paola se va a preparar un jugo mezclando 5 fru- 
tas diferentes, para ello cuenta con las siguien- 
tes frutas: papaya, piña, plátano, manzana, na- 
ranja, mango, mandarina, maracuyá y melón. 
¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar si no 
puede mezclar mandarina ni naranja a la wez? 
A) 91 
8) 104 
Cc) 68 
D) 58 
E) 72 
Resolución 
Se dispone de 9 frutas diferentes y debemos 
mezclar 5 de ellas sin que la naranja y la manda- 
rina estén juntas. 
De forma indirecta se tendría 
Total de jugos 
- (Total de jugos 
Ca _| con naranja y G a su la 
4 | mandarina BA Y 
jugos juntas mandarina 
estén juntas 
_—_—_ A o 
Go= Goes 0 
Si la naranja y mandarina 
están juntas, solo faltaría se- 
leccionar 3 frutas más de las 
7 que quedan. 
C=c+x 
9l 7 
+ x 
á1x51 41x3l 
 
126=35+x 
=%1 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 140 
En un programa de televisión se sortearán 10 
refrigeradoras para 3 distritos diferentes; 4 para 
Chosica, 3 para San Juan de Lurigancho y 3 para 
Los Olivos. ¿De cuántas maneras diferentes 
puede realizarse el sorteo si las refrigeradoras 
son de modelos diferentes? 
A) 1650 B) 1800 Cc) 2100 
D) 4200 E) 2400 
79
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se tienen 10 refrigeradoras, primero escoge- 
mos4 para sortear en Chosica, luego se escoge 
3 para SJL y las 3 restantes para Los Olivos. 
(hosica) (Si) (Los Olivos) 
Total de]_ 10 6 
mas | 4 46 
10! 61 
= x xk 
61x4!| 31x31 
=210 x 20 x1 
= 4200 
 
car) 
PROBLEMA N.* 141 
Seis niños van al parque y juegan a la ronda 
alrededor de un árbol. Si dicho parque cuenta 
con 5 árboles (uno en cada esquina y uno en el 
centro), ¿de cuántas maneras diferentes podrán 
realizar dicho juego? 
A) 520 B) 480 C) 600 
Dj 620 E) 700 
Resolución 
5e tiene 
 
5e escoge 
un árbol Al jugar a la ronda 
permutan los 6 niños 
Número de L/ 
maneras ] = 5xP2(6) 
=5x5! 
=5x120 
= 600 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 142 
¿De cuántas formas se pueden escoger 3 pun- 
tos colineales en la siguiente figura? 
A) 12 B) 16 Cc) 20 
D) 24 E) 32 
Resolución 
Del gráfico, 
5e tienen 5 segmentos con 4 puntos colineales 
cada uno. 
escogemos 3 de los 
Total de 
casos )- ci x 5 
=4x5 
=20 
_cuave Y)
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.”? 143 
Se quiere formar una asamblea constituyen- 
te de 5 miembros y se tienen 12 congresistas. 
Halle cuántas formas hay de formar el comité si 
dos de ellos no pueden ir al mismo tiempo. 
A) 495 B) 672 Cc) 240 
D) 210 E) 200 
Resolución 
Se debe seleccionar a 5 congresistas de un total 
de 12, pero hay 2 que no pueden ir juntos. 
Resolviendo de forma indirecta, supongamos 
que A y B no deben ir juntos. Entonces: 
Casos 
Pa :) | cuando l 
casos A yB están 
a juntos 
id 
cs = a + Xx 
| N 
Escogemos a 5 E 
sin restricciones que faltan de los 
10 restantes 
AyBno 
Casos cuando 
están juntos 
CR, y 
121 10! 
= + K 
Fix5l 71x3l 
 
792=120+x 
x=672 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.* 144 
Una persona jugó a la ruleta 8 veces, si ganó 3 
veces perdió las restantes. ¿De cuántas mane- 
ras pudo haber ocurrido esto, si en el primer 
juego no perdió? 
A) 56 B) 42 C) 24 
D) 28 E) 21 
Resolución 
Se jugó 8 veces, ganó 3 y perdió 5 entonces 
12 2232 14.5 42.72 y? 
00/00/0005 
fijo permutan 
 
Total de =p? 
maneras |" 25 
- 71 
21x 51 
 
 
PROBLEMA N.? 145 
Edith debe matricularse en 5 cursos en la universi- 
dad. Si cada uno de ellos tiene 3 horarios diferen- 
tes para la teoría y 2 horarios diferentes para las 
prácticas y además se sabe que no hay cruce en 
ninguno de los horarios, ¿de cuántas formas dife- 
rentes puede elaborar su horario si debe escoger 
uno solo para la teoría y otro para la práctica? 
A) 7776 
D) 4560 
8) 15625 C) 3125 
E) 7860 
81
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Para escoger el horario de un curso debe esco- 
ger uno de teoría (3 opciones) y uno de práctica 
(2 opciones) 
(teoria) y (práctica) 
3 Xx 2 =6 
Entonces, puede escoger el horario de un curso 
de 6 formas diferentes. 
Para elaborar un horario de 5 cursos, se tendría: 
Total de | _ curso1 curso2 cursod curso4d cursoS 
opciones|” 6 X 6 X 6 X 6 X 6 
=77176 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.* 146 
De un grupo de n varones y 8 mujeres, se desea 
formar una comisión de 3 varones y 3 mujeres. 
Halle n si se tiene en total 1120 formas diferen- 
tes de poder formar dicha comisión. 
A] 5 B6. 7 
D) 8 E) 9 
Resolución 
Hay n varones y 8 mujeres, y existen 1120 for- 
mas de seleccionar a 3 varones y 3 mujeres. Es 
decir 
3 varones 3 mujeres 
Cc x (EG =1120 
82 
 
9 
_ nn A =1120 
(n—3)1x3! 51x31 
¿A 7x8 =1120 
(n—-3)1x6 ' 
M-=120 
[n—3)! 
(n—2)ín-1) n =120 
a 
4 5 6 
n=6 
_Cuave QU) 
PROBLEMA N.* 147 
En una liga distrital de fútbol participan 20 
equipos y se juegan 2 rondas (ida y vuelta) to- 
dos contra todos. Si para definir al campeón se 
juega adicionalmente una liguilla todos contra 
todos con los 8 mejores equipos de las ruedas 
ya jugadas, ¿cuántos partidos se juegan en total 
para determinar al campeón? 
A) 380 B) 408 C) 436 
D) 418 E) 396 
Resolución 
Se tienen a 20 equipos y para programar 1 parti- 
do se debe escoger a 2 equipos, entonces 
segunda 
primera etapa etapa 
Total de] _ 20 20 3 
(Pardos) = A 
ida vuelta 
201 201 8! 
181x21 ' 181x21 ' 61x21 
190 + 190 + 28 
= 408 
_cuave 
 
Ls ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.” 148 
En una reunión hay 4 niños, 4 niñas y 2 adul- 
tos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden 
sentar en una banca con capacidad para 10 per- 
sonas si los niños deben estar juntos y las niñas 
también? : 
A) 2x(31)* 
B) 2x(41)? 
Cc) (31 
D) (41) 
E) (a1P 
Resolución 
Gráficamente se tendría 
4 elementos 
l | Lo4 
PIP IP ASIS ISS A [a 
| 
1 solo (4 niñas) 
 
 
 
1 solo (4 niños) 
T permutan las niñas 
lcd (4041 41 
numerales! *-- 
| L permutan los niños 
permutan las 
elementos 
=(41)" 
_CLAVE 
PROBLEMA N.”* 149 
En una carrera donde participan 12 caballos 
existen 2 tipos de apuesta: en la primera se debe 
acertar cuáles van a ser los 3 primeros, pero 
no el orden de llegada; en la segunda hay que 
acertar cuál quedará primero y cuál segundo. Si 
Pedro desea realizar una apuesta, ¿de cuántas 
formas diferentes podrá realizarla? 
A) 320 B) 352 C) 240 
D) 262 E) 210 
Resolución 
Solo debemos escoger a 3 de un total de 12. 
Total de = (2 
formas | 3 
_ al 
91x3! 
_ A x10Xx11X12 
alx6 
=220 
 
Otra forma 
Debemos acertar el 1.* y 2.* lugar 
 
1.“ lugar | 2.* lugar 
| | 
=12 x 11 
 
Be 5 -132 
formas 
Luego, 
Total de formas 
de apostar 
] =220+132 
=352 
_ciave 
83
PROBLEMA N.* 150 
Pepito ha recibido una flauta con 7 orificios por 
su cumpleaños. ¿Cuántos sonidos distintos pue- 
de producir? 
A) 128 B) 49 C) 127 
D) 42 E) 256 
Resolución 
Se tiene 
Se puede emitir diferentes sonidos cubriendo 
los orificios o sin cubrir los orificios. 
se cubre se cubren 
no se cubren un orificio — dos orificios 
los orificios 
Total del_-7,r7,07,p7 $ a 
(Sonidos )-3+ +2 +3 +..+3+0) 
=CG+C4CI+ CI +... +04 C; 
 
es 2? 
= 128 
twitter.com/calapenshko 
_cuve Y) 
NIVEL AVANZADO 
PROBLEMA N.* 151 
En un pueblo suelen dar varios nombres a sus 
hijos. ¿De cuántas formas se puede dar un nom- 
bre al niño si el total de nombres existentes es n 
y le dan no más de tres nombres? 
A) n?-2n*+3n 
B) n*-2n7+2n 
C) n+2n4+2n 
D) n-3n%+2n 
E) n7+3n7+3n 
Resolución 
Las personas pueden tener uno, dos o tres nom- 
bres. Entonces, 
Eta 2 nombres 
as] = p +n:(n-1)+nin-1)(n-2) 
1 nombre 3 nombres 
= 54 M5-Á + P-3+2n 
= r4n-3n?+2n 
3 2 
= n—-2in"+2n 
_cuave ) 
PROBLEMA N.* 152 
Al lanzar un dado 12 veces, se tuvo que: 
+ Ellyels salieron tres veces cada uno 
. El4 salió cuatro veces 
. El6 salió 2 veces 
¿De cuántas maneras pudo haber ocurrido esto, 
si el 1 y el 5 no salieron ni en el primer ni en el 
último lanzamiento? 
A) 43.300 
D) 23100 
B) 36800 C) 42 600 
E) 63000
su" 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se presentan 3 casos 
aaa cae] El] 
 
10! V caso ld pa 
22233" 2213131 
= 25200 ] 
ajajajaja ajajejojefo) 
plo - 101 
62" 413131 
= 4200 
 
> caso 2 
 
x2 
0 CIRIA E) 
2x101 
31:31x31x11 
= 33 600 
 
 
.. -_ » caso 3 
2XP3331= 
Ls de 
form 
95 )= 25200 + 4200 + 33 600 
= 63 000 
- aw) 
PROBLEMA N.? 153 
Si en una circunferencia se ubican 12 puntos, 
¿cuántos poligonos convexos con vértices en 
esos puntos se pueden construir? 
A) 4017 
D) 4196 
B) 2048 C) 1224 
E) 4230 
Resolución 
Para construir polígonos, debemos unir al me- 
nos 3 puntos. 
Podemos construir triángulos, cuadriláteros, 
pentágonos, ... y dodecágonos. 
Número de] _ -12, -12, p12 ,r12 12 polígonos |=c +C4 +0: + +1) 
a AE A da 12 12 1212 
Co HC, H) +0, +0; Pty Co Es C5 
le 
q —1-12-66 
qa - 79 
= 4017 
_ciave Y) 
PROBLEMA N.? 154 
En un pueblo no había dos habitantes con igual 
cantidad de dientes. ¿Cuál puede ser la pobla- 
ción máxima en este pueblo? 
Nota: el mayor número de dientes es 32. 
22 
E) 29760 
A) 32 B) 32% 
D) 992 
85
LUMBRERAS EDITORES 
a A 
Resolución 
Habrá personas que tienen 
N.2 dientes: O 1 2 3 .. 3132 
1 AE 113 
MTM Tus” 32 
 
2 habitantes como máximo 
_CuaveY) 
. PROBLEMA N.* 155 
¿Cuántas palabras se pueden formar con las le- 
tras de la palabra ARITMÉTICA, con la condición 
de que las letras iguales deben estar siempre 
equidistantes a los extremos? 
A) 1220 B) 1440 C) 1430 
D) 1340 Ej 1404 
Resolución 
Primero ubicamos a las letras iguales de modo 
que se encuentren equidistantes a los extremos 
(suficiente con ponerlas en los 5 primeros luga- 
res) y luego permutan las letras restantes. 
5e tiene: (A, A,1,1,1,T,M,E,R, C) 
 
a[¡|timjelr[cit|1ja] 
ublcamos a Ros permutan 
 
 
AylyT 
5x4dx3 
Total de )= 5x4x 3x4! 
maneras 
Es 60 x24 ' 
= 1440 
86 
 
PROBLEMA N.* 156 
Beatriz ha preparado 3 litros de chicha morada 
y 2 litros de refresco de maracuyá, y dispone de 
12 botellas de colores distintos de 1 litro de ca- 
pacidad cada una de ellas. ¿De cuántas maneras 
diferentes puede escoger 5 botellas y llenarlas 
con los refrescos preparados? 
A) 7220 B) 7090 C) 7290 
D) 7920 E) 7960 
Resolución 
Debemos escoger $ botellas y luego llenar con 
los refrescos. 
Se escoge Escogernos 3 botellas 
5 botellas para llenar con chicha 
| 
Total del _ -12 5 2 
formas )=c2 »x € x q 
Se llena con 
maracuyá 
=792 x10 x1 
=7920 
_cuave $) 
PROBLEMA N.” 157 
Un alumno del CEPRE-UNI participa en un con- 
curso que consiste en elegir al azar uno de los nú- 
meros 1, 2, 3; luego debe lanzar un dado tantas 
veces como indique el número escogido y gana si 
la suma de puntos, en los lanzamientos del dado, 
es el triple del número escogido. ¿De cuántas 
maneras puede ganar, si eligió el número 3? 
A) 15 
D) 25. 
B) 20 Cc) 21 
E) 27
y 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Como se elige el número 3, entonces, para ga- 
nar se debe lanzar el dado 3 veces y la suma de 
resultados debe ser 9. 
: ja in ds los ap ay ap a 
6 —+ (N.* de casos) =6 
5 —=+ (N.* de casos)=6 
4 — (N.* de casos)=6 
5 —» (NN.* de casos) =3 
3 —> (N.* de casos) =1 
1 — (N.* de casos) =3 fe
 
Uy
 P
J 
A 
a 
ps
 
E 
us
 r
a 
w
m
 —
Í
 
rate | 6+6+6+3+1+3 
Ca4505 
=25 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 158 
En un grupo de n personas, la cantidad de mane- 
ras de ubicarlos en una fila de tal forma que 3 de 
ellas en particular estén siempre juntos excede en 
20 160 a la cantidad de maneras en la que las n 
personas se pueden ubicar alrededor de una mesa 
circular si 2 de ellos siempre van juntos. Halle n. 
A) 8 B) 9 Cc) 10 
D) 11 E) 12 
Resolución 
* Ubicamos a las n personas en fila con 3 de 
ellos en particular que van juntos. 
 
 
1 solo 
de) =(n-2)1x31 
= (n-2)1x6 
+ Ubicamos a las n personas alrededor de una 
mesa con 2 de ellos que siempre están juntos. 
 
Total de 
formas 
 
=P. (n-1)x21 
= (n-2)1x2 
Por dato, tenemos que 
(n—2)1x6-(n-2)!x2=20 160 
4x(n-2)!=20 160 
(n—2)1=5040 
(n-2)1=7! 
n-2=7 
n=9 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.? 159 
Un grupo de 10 amigos se disponen a pasear en 
bote y los 10 suben a un bote con 10 asientos; 
si 3 de ellos van al lado derecho necesariamen- 
te, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden 
ordenar si en cada lado se ubican 5 personas? 
A) 132 300 
D) 200 400 
B) 342000 C) 302 400 
E) 230 300 
87
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Gráficamente 
lado izquierdo lado derecho 
Á 
B 
c 
Escogemos a 
¿de los ? 
que restan 
Se escoge 2 para — Permutan 
completar el lado derecho en cada lado 
Total de ,, o Total de) x 5l x 51 
=21 x 120x120 
=302 400 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 160 
En un corral hay 5 patos, 3 gallinas y 2 conejos. 
- ¿De cuántas maneras diferentes se puede se- 
leccionar 4 animales donde hay al menos dos 
patos? 
 
 
A) 180 8) 155 Cc) 100 
D) 95 E) 72 
Resolución 
(2 patos) y anales) o (3 paros) y [2 animal) o a patos) 
A == A A y A > ¿A 
GXG + GxG + 
10x10 + 10x5 +. 5 
155 formas 
_cuve Y) 
88 
PROBLEMA N.* 161 
¿De cuántas maneras diferentes se pueden or- 
denar las letras de la palabra EUSTAQUIO con 
la condición de que las vocales cerradas vayan 
a los extremos, que una consonante esté nece- 
sariamente en el centro y que dos letras iguales 
no puedan ir juntas? 
A] 4560 B) 6760 C) 5670 
D) 7650 E) 5760 
Resolución 
5e tienen dos casos 
EUSTAQUIO 
 
E 
 
 ¿A 
y Permutan “Ue *P j , Ea 
Qu) 3305122 = 3600 
 
 
 
 
opciones permutan Las 
para la U otras 5 letras 
] CS TTM 
5 
7 
a 
= “| 
(690): 2 01.9. >.2100 
los tias 
[Toral de] 3600+2160 
formas 
=5760
Mares ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 162 
Luis, Miguel y José se van de campamento con 
sus enamoradas, Si por la noche todos se sien- 
tan alrededor de una fogata, ¿de cuántas mane- 
ras diferentes podrán hacerlo si José y su ena- 
morada siempre se sientan juntos, pero Luis y 
Miguel no pueden sentarse juntos? 
A) 12 B) 18 C) 24 
D) 28 E) 32 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
<< 1 solo 
El 
A 3 lugares para 
Em ubicar Ly M 
Siempre José y su enamorada (E) van juntos, 
Buscamos los casos cuando Luis y Miguel no 
van juntos. 
bicamos al bicamos 
Permutan ) y E, | 3de ellos ) | aLyM 
21x e x 3x2 
2x 2 x 3x2=24 
_Cuave QY) 
PROBLEMA N.* 163 
Se lanzan tres dados de colores diferentes. ¿De 
cuántas formas diferentes se obtendrá un resulta- 
do cuya suma de los resultados sea menor que 16? 
A) 206 
D) 198 
B) 210 C) 205 
E) 190 
Resolución 
Resolveremos el ejercicio de forma indirecta. 
1.? Buscamos el total de casos, es decir, todos 
los posibles resultados. 
ap da ap 
ba Es 216 
29 Biscimós los casos cuando la suma es ma- 
yor o igual a 16. 
aj ej! 
| / | 
6 +6 + 4d= 16—casos: 3 + 
6 + 5 + 5= 16—+> casos: 3 
6 + 6 + 5= 17— casos: 3 
6 + 6 + 6= 18—> casos: 1 
tal d 
o] 10 
Luego, 
( total ) Ñ 
de casos 
— 
216 
 
PROBLEMA N.* 164 
Los padres de 5 niños han decidido hacer un cam- 
pamento para sus hijos y por la noche realizar uma 
fogata. Si el campamento se realizara en el jardín de 
una de las casas, ¿de cuántas formas se podría esco- 
ger una casa para hacer lo deseado, si al encender la 
fogata cada niño se sienta entre su padre y madre? 
A) 3840 
D) 3256 
B) 3480 C) 3400 
E) 3040 
89
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
Er 
“Y EE 2 
mo Pr 
$e Escoge se ordenan 
a, una casa 
Total de =P (5) x25x5 
formas 
=41x32x5 
=24x32x5 
= 3840 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 165 
En el jardín de una casa se encuentran 4 gatos, 
5 perros y 6 caballitos. ¿Cuántos grupos de ani- 
males se podrán formar de tal manera que en 
cada grupo se encuentre por lo menos un ani- 
mal de cada especie? 
A) 29295 
B) 28.655 
C) 22995 
D) 25 335 
E) 28.895 
Resolución 
Los grupos deben tener al menos 3 animales y 
como máximo 15 animales, tal que haya un ani- 
mal de cada especie. 
90 
a 
Entonces, 
(an (poema) y | Escogemos al ) 
menos 1 gato menos 1 menos 1 caballo 
 
(ChicO. + Cód CEC +... +CÉ) 
un Al 
(2-1) x (2-1) x (2%-1) 
158 * x 31 x 63 
A 
ad 
29295 grupos 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.? 166 
Un restaurante para el menú del día ofrece 4 en- 
tradas, 3 platos de fondo y 2 tipos de refresco. 
Si cuatro hermanos Jimmy, Rodrigo, Leslie y Jo- 
selyn ingresan acompañados de sus padres y se 
sienten alrededor de la mesa, ¿de cuántas mane- 
ras diferentes podrán ubicarse y seleccionar un 
menú diferente cada uno si los padres por algún 
motivo desean sentarse lo más lejos posible? 
24 A) SIxPi 
B) 24xpe* 
24 C) SixP; 
D) 2x4!xp¿* 
24 E) 41xP% 
Resolución 
1.* Calculamos total de tipos de menú 
Plato de 
(entrada) y | fondo | y (refresco) 
Total de tipos = 4 xx 3 x 2 
a | 
= 24
Y ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
2.” Los ubicamos en la mesa y escogemos un 
menú para cada uno de ellos, 
(ate) — mio 
Ed] Lo) 
Solo permutan 
los 4 hijos 
CJ [A 
(ete) 
 
permutan Cada uno escoge un menú 
los hijos diferente 
| ="8l x24x23x22X21Xx20X19 
formas 
a 24 
=4l x Pe 
=24 xp 
_cuave 
PROBLEMA N.* 167 
Un coro está formado por 8 participantes. ¿De 
cuántas formas sepueden escoger 6 participan- 
tes durante 3 días, de manera que cada día el 
coro tenga distinta composición? 
A) 21952 B) 19656 C) 20452 
D) 18 542 E) 18 660 
Resolución 
Primero calculamos de cuántas formas se pue- 
den escoger a 6 personas. 
 
Luego, buscamos el total de formas que se pue- 
den presentar 3 días. 
(1. día) (2.2 dia] (3.% día) 
Total de 
formas] 28 x 27 x 26 
=19 656 
_ciave Y) 
PROBLEMA N.” 168 
Cuatro parejas de enamorados acuden a los 
juegos mecánicos. Si deciden subirse a la rueda, 
como se muestra en el siguiente gráfico, ¿de 
cuántas formas diferentes podrán formarse 
para subir a la rueda y escoger su ubicación? 
 
 
A) (81)? B) 71x81 o (m1 
D) 56x8! E) 56x7! 
Resolución 
Primero los ordenamos en fila y luego se ubican 
en la rueda. 
Se forman Formas de ubicarios 
en cid ” la rueda 
Total e) =Bl x 8l 
formas » 
= (81) 
Nota 
Cuando se ordenan en una rueda, ya 
no se toma un elemento fijo. 
_cuave $) 
91 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 169 
De una baraja de 52 cartas se han extraído 3 de 
ellas. ¿En cuántos casos habrá por lo menos un as? 
A) 2456 B) 3640 C) 4408 
D) 4804 E) 5320 
Resolución 
Se extrae 3 cartas de una baraja de 52 cartas. Busca- 
mos los casos donde se encuentre al menos un as. 
[As] > [| > Jo[as][as ? Jofas]as].as 
cx cR + cixcr + Ci 
4x1128 + 6x48 + 4 
4512 + 288 + 4 
4804 casos 
 
 
 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 170 
En un tablero de ajedrez de 8x8 casillas, un rey se 
encuentra en la casilla R. El rey se mueve una casilla 
a la vez, horizontalmente, verticalmente o en dia- 
gonal. ¿De cuántas formas puede un rey ir de la ca- 
silla R a la casilla $ en exactamente 8 movimientos? 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 R 
A) 48 B) 56 Cc) 24 
D) 28 E) 32 
ONEM 2005 (fase 3 -nivel 2) 
92 
 
 
 
 
 
 
 
 
ho 
Resolución 
Gráficamente 
5 
añ > 
| 
q 
5 
3 ar 
2 
1 
R 
Para llegar de R a S, necesariamente se debe 
avanzar 6 casilleros en diagonal (D), 1 en vertical 
(V) y 1 en horizontal (H). 
Es decir. 
HDVVVVVYV 
permutando 
(N.9 de casos)=P!, 156 
8! 
111161 
_8l 
el 
=56 
 
_cuave B) 
PROBLEMA N.” 171 
Cuántas ternas (a, b, c) se pueden formar con 
las soluciones de la ecuación o+b+c=30, si 
a22i:b22yc22. 
A) 340 
D) 315 
B) 325 C) 305 
E) 322
ANÁUSIS COMBINATORIO 
 ur 
Resolución 
Se tiene que 
o22 
o+b+cxs= 30 an[$32) 
haciendo cl 
e redalda / | N x=0 
+2) +42) +(2+21=3000[ 30] 
xXx + y + 2=024 e 
Utilizando separadores 
co... e. | 
pc gd 
 
24 unidades — 2 signos (+) 
Bl de = p?6 
uciones 24; 2 
_ 261 
24121 
=325 
_cuve ) 
PROBLEMA N.* 172 
Rubén tiene 6 amigos y durante 18 días invita a 
su casa a 3 de ellos, de modo que el grupo no 
se repita ni una sola vez. ¿De cuántas maneras 
puede hacerlo? 
B) 10x191 A) 2x181 C) 4x191 
D) 181 ge 
2 
Resolución 
Primero calculamos de cuántas formas puede 
seleccionar a 3 amigos. 
6! 
Luego, calculamos de cuántas formas puede in- 
vitarlos por 18 días. 
(dla 1) (día 2) (día 3) (día 18) 
Total 
1 20 010 BA 3 
formas 
_20X19x18x...x3x2x1 
2x1 
 
201 
2l 
20x 191 
2 
=10x19! 
 
_CLaAve 2 
PROBLEMA N.* 173 
En una reunión deben intervenir 5 personas: A, 
B, €, D y E. ¿De cuántas formas podrán interve- 
nir con la condición de que D no debe intervenir 
antes que 8? 
A) 25 B) 60 C) 45 
D) 90 E) 68 
Resolución 
Si no hubiera restricciones, el total de casos se- 
ría: 51 = 120. 
Luego, 
; Casos do ”B”* Ps 
120 inánrvianie antes que 20) =60 
Ca505 Casos cuando *D” )= 60. 
interviene antes que "B"/— 
_cuve Y) 
93
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 174 
¿De cuántas formas diferentes se puede comprar 
10 caramelos, si los hay de 4 sabores diferentes? 
A) 268 B) 242 C) 286 
D) 265 E)- 282 
Resolución 
Se tienen 4 sabores diferentes, pero formare- 
mos grupos de 10. Entonces 
 
131 cré = 13 _ 
10 20" 31%:101 
=286 
_Cuave ) 
PROBLEMA N.* 175 
Un grupo de 12 personas quiere dividirse en 3 
equipos de cuatro personas cada uno. Todos los 
equipos tendrán que realizar la misma tarea. 
¿De cuántas formas es posible hacer la distri- 
bución? 
A) 5775 B) 34 650 C) 17325 
D) 11550 E) 6930 
Resolución 
Tenemos que: 
Ca) Cer) (e) 
otal de)- Xx cg x_C5 
formas an 
“TÉ Como seva a realizar 
la misma tarea, no 
importa el orden 
Ñ 495x70x1 
6 
94 650 
6 
=5775 
 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 176 
Para elaborar un examen de 6 preguntas se 
dispone de un banco de 5 preguntas fáciles, 4 
intermedias y 3 preguntas difíciles, De cuántas 
formas puede elaborarse dicho examen si el 
| número de preguntas fáciles debe ser estricta- 
mente mayor que las intermedias y el número 
de estas a su vez mayor o igual que las difíciles. 
A) 30 B) 60 Cc) 120 
D) 180 E) 274 
UNI 2005 -1 
Resolución 
Se tiene 
5 preguntas fáciles (F) 
4 preguntas intermediarias (1) 
3 preguntas dificiles (D) 
Debemos escoger 6 preguntas tal que 
F>12D 
0 -=Cóxcixci=4 
0 -C¿xcixCj=30 
1-CixCixCj=60 
1-CjxCjxCj=180 Ww
w 
E
 
un 
A
 
A 
Total de ' 
í )=4+30+60+ 180=274 
as 
_Cuave B)
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 177 
¿Cuántas funciones estrictamente crecientes 
f: A > B pueden definirse si A=(1;2;3,4;5) y 
B=(4;6;9;10;...;20)? 
A) 120 B) 63 C) 126 
D) 112 E) 96 
Resolución 
Se tiene los conjuntos 
A=(1; 2; 3; 4; 5) 
B=(4; 6; 8; 10; ...; 20) 
9 elementos 
Se quiere definir f: A — B que sea estrictamente 
crecientes. 
Es decir: 
f 
A B 
Ñ Debernos escoger 
ES 5 elementos del 
1 conjunto 8 tal que 
osbxccdee 
Total de 
ee 00126 
funciones 5 
 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 178 
Julio es un vendedor de chocolates y debe obse- 
quiar 25 muestras de su producto a 7 personas, 
con la condición de que todas reciban al menos 
2 muestras. ¿De cuántas formas puede hacerlo? 
A) 12376 
D) 760 
8) 6188 C) 48070 
E) 12 456 
Resolución 
Como todos deben recibir al menos dos mues- 
tras, entonces, si se entrega 2 muestras a cada 
persona se estaría distribuyendo 14 muestras. 
Faltan distribulr 11 muestras a 7 personas. 
 
Total de 7 17 
=CR..=C€ 
formas 11 4 
an 
111x6! 
=12 376 
_cuave Q) 
PROBLEMA N.* 179 
Un grupo de 6 varones y 6 mujeres se van a ubi- 
car formando dos anillos concéntricos, ambos 
mirando al centro de tal manera que una mujer 
se encuentre detrás de un varón. ¿De cuántas 
maneras lo pueden hacer, si dos mujeres en 
particular deben ir juntas? 
A) 24 680 B) 5760 C) 28 800 
D) 42 200 E) 22470 
Resolución 
Gráficamente 
 
Permutan los 
varones 
Total de| ) GC 
formas =5l x 51 x 2 
X_Permutan M, y M, 
=120x 120 x 2 
= 28 800 
_cuave 
95
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 180 
En un corral hay 3 gallinas, 4 gansos y 5 pavos. 
¿Cuántos grupos se pueden formar con las aves 
de tal forma que el número de gallinas, gansos y 
pavos sean iguales? 
A) 240 B) 235 Cc) 120 
D) 280 E) 190 
Resolución 
Se deben formar grupos con igual cantidad de 
animales de una misma especie. 
o ames 
as ln aisma 
e)" bh = xC]+CxCGxC7+C3xC3xC3 
= 3x4x5 + 3x6x10 + 1x4x10 
= 60 + 180 + 40 
= 280 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.? 181 . 
En un aula de la academia Aduni deben elegir a 
un delegado. Si hay 3 candidatos y 30 alumnos 
votantes, ¿de cuántas maneras diferentes pue- 
den distribuirse los votos? 
- A) 496 B) 248 Cc) 124 
D) 356 E) 512 
Resolución 
Sean A, B y Clos candidatos 
mus) + | = 30 PES votos 
de A |+ de B de € 
96 
Utilizaremos separadores 
$6 6 5600040 0... +04 |] 
A KÁXA AA al 
30 unidades ¿signos (+) 
Total de 
formas | 30;2 
321 
> 301x 21 
_ 30Íx31x32 
0x2 
_31x32 
2 
=496 
 
 
_cuave 
PROBLEMA N.” 182 
Un niño sube una escalera de 9 escalones, su- 
biendo uno o dos peldaños por vez. ¿De cuántas 
maneras puede hacerlo? 
A) 48 B) 50 Cc) 42 
D) 60 E) 55 
Resolución 
Se puede subir avanzando 1 o 2 peldaños. 
formas de subir — Permutando el orden al subir 
los 9 peldaños Papelesdede de? 
EA <á A Aá A á á á2XA, 
111111111 1 
21111111 — 8 
¿211111 — 21 
222111 — 20 
22221 — 5 
otal de 
a + 
_cuave BY
y" 
PROBLEMA N.? 183 
¿De cuántas formas se pueden distribuir 5 bolas 
blancas y 2 bolas azules en 7 hoyos? 
A) 441 B) 12 936 C) 12 465 
D) 13 296 E) 14356 
Resolución 
Se tiene 7 hoyos en los cuales se deben distri- 
buir 5 bolas blancas y 2 bolas azules. 
DOOOO oo. 
A AAA dd 
Distribuimos 5 objetos — Distribuimos 2 objeto: 
iguales en 7 hoyos iguales en 7 hoyos 
| | 
ps ce] = CR xo CR 
formas 
_ 11 - E x S 
= 462 Xx 28 
= 12936 
PROBLEMA N.* 184 
En un juego de póker, ¿de cuántas formas difé- 
rentes se puede obtener tercia (que no sea full 
ni póker) exactamente? 
A) 50820 
B) 52910 
C) 54 912 
D) 54 129 
E) 54100 
Resolución 
Se quiere obtener tercia, es decir, 3 cartas igua- 
les y 2 cartas distintas. 
 
cartas iguales cartas diferentes 
HR E 
jeta] = (x13 x 48x44 
 
Dividimos entre 21 —"2]' 
pues no importa el orden ”-* 
= 4x13 Xx 48x22 
= 54 912 
_cuave ) 
PROBLEMA N.* 185 
En un juego de póker, ¿de cuántas formas dife- 
rentes se puede obtener un full?; es decir, obte- 
ner un par y una tercia. 
A) 3655 B) 3744 C) 3472 
D) 3567 E) 3248 
Resolución 
Necesitamos un par y una tercia 
 
 
4x1 6 x13 x 
3744 
_cuave B) 
97
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 186 
En un concurso, una dama debe adivinar el pre- 
cio de un cierto producto. El animador le dice 
que el precio tiene 3 digitos enteros y 2 decima- 
les, los dígitos enteros pueden ser 1; 2; 3; 7; 8 y 
los dígitos decimales 6; 9; además, el precio es 
mayor que 300. ¿De cuántas maneras se puede 
dar el precio si se permite la repetición solo de 
los dígitos 1 y 2? 
A) 24 
B) 48 
C) 56 
D) 84 
E) 33 
UNI 2002 +1 
Resolución 
Se tienen las cifras 
parte entera: (1; 2; 3; 7; 8) 
parte decimal: (6; 9) 
Primer caso 
Cuando las cifras no se repiten 
300 < WN 1J],CU)] 
-—Q00x Ox 
722 939 
BXX 2x1 
TT 
B8 
3x4x3 
Total de | _ 
Casos Joaxaxax2x1 
=72 
98 
Segundo caso 
Cuando se repite el 1 y el 2 
320 < D,0N 
311 63 
711 96 
811 al 
321 2 Ca505 
7122 
822 
—— 
6 casos 
Total de | _ E 
Casos )=6x2=2 
luego, 
Total de | _ = 
(Fotalde )=72+12=84 
_Cuave Q) 
PROBLEMA N.* 187 
¿Cuántos números pares y capicúas de 7 cifras 
existen en el sistema heptanario? 
A) 1432 B) 1176 C) 985 
D) 1234 E) 1045 
Resolución 
Sea el número capicúa 
abcdcba,,, 3 par 
para que sea par, la suma de cifras debe ser par 
(pues la base es impar) 
—= 20+2b+2c+ d =(par) 
par par par par 
de donde d tiene que ser par
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
luego, Resolución 
Debemos dividir a las 9 personas en 2 grupos 
e ? í a cba (17) (uno de 4 y el otro de 5) y luego permutarlos en 
1000 las bancas. 
2112 
3224 
4336 
544 
655 
Totaldey _£€_ 
os! = 6x7x7x4 =1176 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 188 
Un grupo de 9 amigas pasan por un parque y en- 
cuentran 2 bancas (como en la figura) donde de- 
ciden sentarse. ¿De cuántas maneras podrán ha- 
cerlo si cada banca tiene espacio para 5 personas? 
A) 252x(51)? 
B) 126x(41)? 
C) 126x51x41 
D) 126x(51)? 
E) 120x(41)? 
A) 4430 
E y 
permutan en permutan en 
el lado derecho el lado izquierdo 
(a Es C9 E 
maneras] 3 nt 
se escoge a 5 de 
ellos para ubicarlos 
aun lado 
intercambian el lado 
derecho con el 
laquierdo 
=C2x51x51x2 
=126x(51)%x2 
=252x(51)? 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 189 
Con n frutas diferentes se pueden preparar 219 
jugos surtidos diferentes de al menos 3 frutas. 
¿De cuántas formas diferentes se podrán orde- 
nar las n frutas en la mesa, si deben ir juntos la 
papaya, la piña y el plátano? 
8) 3240 C) 2340 
D) 4320 E) 3230
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se pueden preparar 219 jugos surtidos de al 
menos 3 frutas, con n frutas disponibles. 
Entonces 
CI+C7+C0+...+Cj=219 
Co +++ OA CA +... +Ch —C5-C-C5 =219 
 
2" -1-n-Cj =219 
2” =220+n+ C5 
Con n=8 
2%=220+8+ CÍ 
n=8 
Luego, se deben ordenar las 8 frutas de tal ma- 
nera que la papaya, la piña y el plátano estén 
juntos. 
1 cdo 
 
 
 4 4 
al 
1 
 
Pa|Pi |Pl 
 
RAEE 
6 elementos 
(e sa AG ra 
formas a la piña y el plátano 
=720x6 
= 4320 
_cuve Y) 
100 
PROBLEMA N.? 190 
Ocho amigos van a jugar tenis donde todos los 
juegos serán de dobles. ¿Cuántas partidos dife- 
rentes se pueden realizar? 
A) 210 
B) 300 
C) 360 
D) 400 
E) 420 
Resolución 
Primero escogemos a 4 jugadores para formar 
los partidos, y luego formamos los equipos 
escogemos a — formamos 
á jugadores los 2 equipos 
da 4 que se 
 
Total dey_ e ¡ ' seleccionaron, se 
[bartidos)” 4 e bas un 
, equipo y los restantes 
conforman otro equipo 
8! al 
= x — 
4x8! 2x2 
=70x6 . 
=420 
CLAVE E
+ PROBLEMAS PROPUESTOS 
air 
NIVEL BÁSICO 
. En una sesión del Congreso de la República 
han asistido 10 congresistas del partido A, 5 
del partido B, 7 del partido C y 2 del partido 
D. Si se ha recibido una invitación para asistir 
a una reunión con el Presidente de la Repú- 
blica. ¿De cuántas maneras puede el Congre- 
so enviar un representante a dicho evento? 
A) 21 B) 24 C) 700 
D) 70 E) 42 
- Al ingresar a un coloquio 3 amigos deben 
optar entre asistir a 6 ponencias distintas. 
¿De cuántas maneras pueden repartirse si 
Paul y Manuel desean elegir la misma po- 
nencia y José no quiere estar junto a ellos? 
A) 30 B) 24 C) 56 
D) 40 E) 35 
. ¿De cuántas maneras diferentes pueden 
caer al lanzar 2 trompos (uno de 8 caras y 
otro de 10 caras) y 2 monedas? 
A) 300 B) 240 C) 230 
D) 400 E) 320 
4, Un turista debe trasladarse de Cusco a Are- 
quipa, para hacerlo puede optar por viajar 
en avión, ómnibus o tren, y para ellos dispo- 
ne de 3 líneas para cada uno de estos me- 
dios y puede elegir viajar en primera clase o 
segunda clase. ¿De cuántas maneras distin- 
tas puede realizar el viaje? 
A) 12 B) 20 Cc) 27 
D) 18 E) 24 
Una persona desea visitar 4 de las 7 maravi- 
llas del mundo. ¿De cuántas maneras puede 
planear su viaje si el orden de las visitas tie- 
ne importancia y no puede visitar el mismo 
sitio dos veces? 
A) 420 B) 840 Cc) 72 
D) 360 E) 480 
. Un ratón debe ir del punto M al punto N sin 
retroceder y sin caer en alguna trampa. 
 
N 
¿De cuántas maneras puede lograr su objetivo? 
A) 2404 — B) 2171 C) 2167 
D) 3467 E) 2672 
101
LUMBRERAS EDITORES 
7. Indique de cuántas maneras diferentes se 
puede ir de Ma ÑN sin retroceder 
 
 
A) 13 
D) 32 
B) 24 C) 26 
E) 48 
Juan decide asistir a una fiesta de disfraces que 
ha organizado su amigo Walter; si dispone de 5 
mascaras, 7 pelucas, 4 trajes enterizos y 3 pa- 
res de zapatos, ¿de cuántas maneras diferen- 
tes podrá disfrazarse para asistir a dicha fiesta, 
si debe utilizar una prenda de cada tipo? 
C) 210 
E) 412 
A) 240 
D) 420 
B) 360 
Dos hermanos gemelos deben asistir a una 
conferencia y disponen de 5 ternos dife- 
rentes y 4 pares de zapatos diferentes. ¿De 
cuántas maneras diferentes podrán vestirse 
para asistir a la conferencia? 
A) 400 
D) 40 
B) 240 C) 360 
E) 39 
El abuelo Johnny desea tomarse una foto 
con sus 6 nietos alineados en una fila con 7 
sillas. Si el abuelo Johnny ocupa la silla cen- 
tral, ¿de cuántas formas pueden distribuirse 
los nietos para la foto? 
A) 720 
D) 480 
B) 1440 C) 360 
E) 5040 
102 
Y 
Un taxista se percata que en el recorrido de 
Lima a Chosica hay n semáforos. ¿Cuántas 
señales diferentes se pueden dar si cada se- 
máforo tiene 3 estados: rojo, ámbar y verde? 
A) 3n 
D) 3” 
Cc) MP 
E) 3"xn 
B) n+3 
12, Cuatro señoritas buscan trabajar como se- 
13. 
cretarias en una empresa que tiene 7 loca- 
les. ¿De cuántas maneras diferentes pue- 
den trabajar en la empresa, si se sabe que 
cada una de ellas debe de trabajar en un 
local diferente? 
A) 420 
D) 720 
B) 840 C) 680 
E) 240 
¿Cuántos números de 5 cifras del sistema 
octanario no poseen cifras pares en su es- 
critura? 
A) 256 
D)780 
B) 1024 Cc) 512 
E) 480 
14, ¿Cuántos números capicúas pares de 5 ci- 
fras existen en el sistema nonario? 
A) 360 
D) 280 
B) 240 C) 480 
E) 125 
15, ¿Cuántos resultados diferentes se obtiene 
en el lanzamiento de 4 monedas y un dado? 
A] 56 
D) 96 
B) 34 C) 32 
E) 48
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
a 
16. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden 
formar con las letras de la palabra ALEXANDRA 
si las vocales deben ir a los extremos? 
A) 10080 B) 5040 C) 7560 
D) 8760 E) 5620 
17. En un centro de investigación con animales, 
unos científicos descubren que los chimpan- 
cés se envían mensajes diferentes ordenan- 
do en una fila 6 cubos y 4 esferas. ¿Cuántos 
mensajes diferentes pueden enviar estós 
chimpancés? 
A) 210 
D) 105 
B) 5040 C) 480 
E) 175 
18. El mago Ivens va a presentar 7 nuevos actos 
de magia. ¿De cuántas maneras diferentes 
podrá elegir la secuencia de sus actos, si el 
acto de “Desaparecer y aparecer” lo hace al 
inicio? 
A) 720 
D) 1440 
C) 5040 
E) 10080 
B) 1040 
19, En un hotel de 5 pisos, 6 personas abordan 
un ascensor que parte del primer piso y He- 
gará hasta el quinto piso. ¿De cuántas ma- 
neras pueden bajar las personas en un piso 
determinado, si el 4.2 piso esta clausurado 
por reparaciones? 
A) 729 
D) 4096 
B) 216 c) 120 
E) 2024 
20. Cuatro parejas de esposos van a disputar un 
juego de cartas. ¿De cuántas maneras diferen- 
tes se podrán ubicar alrededor de una mesa 
circular, si cada pareja debe ir siempre junta? 
A) 48 
D) 56 
B) 96 C) 72 
E) 42 
21. ¿De cuántas maneras cinco estudiantes se 
pueden inscribir en un curso en la universi- 
dad, pudiéndolo hacer en cualquiera de los 
tres turnos: mañana, tarde o noche? 
A) 240 
D) 352 
B) 180 C) 560 
E) 243 
22. Seis estudiantes se matriculan en el ciclo re- 
paso de la academia César Vallejo, pudién- 
dolo hacer en cualquiera de los tres turnos, 
mañana, tarde o noche, ¿De cuántas formas 
pueden distribuirse? 
A) 216 
D) 180 
B) 420 Cc) 120 
E) 729 
23, Si un conjunto de n elementos posee 210 sub- 
conjuntos cuaternarios. Halle el valor de n. 
A) 7 
D) 10 
B) 8 c) 9 
E) 11 
24. De un grupo de 5 varones y 4 mujeres, 
¿Cuántos grupos mixtos de 4 personas se 
pueden formar. 
A) 121 
D) 115 
B) 120 C) 118 
E) 110 
103
LUMBRERAS EDITORES 
27. 
28. 
Una familia conformada por el padre, la ma- 
dre y sus 4 hijos se sientan en una fila con 6 
asientos, ¿de cuántas maneras diferentes se 
pueden ubicar si los padres deben ir al centro? 
A) 32 B) 24 C) 48 
D) 96 E) 84 
Un test psicológico consta de 6 preguntas 
con 3 alternativas cada una. ¿De cuántas 
maneras diferentes podrá resolver el test 
psicológico? 
A) 18 B) 216 C) 438 
DJ 729 E) 812 
¿De cuántas maneras diferentes se puede 
irde Pa Osin retroceder? 
Pp 
 
A) 3648 B) 2940 C) 2452 
D) 3640 E) 3821 
En un campeonato de ajedrez se inscribie- 
ron 30 participantes, ¿de cuántas maneras 
diferentes se podrá premiar a los 3 primeros 
lugares con medallas de oro, plata y bronce? 
A) 22280 B) 18180 C) 25360 
D) 12 180 E) 24 360 
104 
29. De una baraja de 52 cartas se extraen 2 car- 
tas al azar, ¿de cuántas maneras diferentes 
las cartas pueden resultar de un mismo 
palo? 
A) 886 
D) 312 
B) 404 C) 566 
E) 340 
30. Un grupo de 4 niños y 4 niñas se sientan al- 
- rededor de una mesa circular, ¿de cuántas 
maneras se podrán ubicar de tal manera 
que las niñas estén siempre juntos y los ni- 
ños también? 
A) 288 B) 576 C) 720 
D) 486 E) 680 
31. En un examen que consta de 12 preguntas, 
un alumno debe contestar 8. ¿De cuántas 
formas podrá elegir las preguntas, si las dos 
primeras y las dos últimas son obligatorias? 
A) 64 
D) 70 
B) 48 C) 60 
E) 72 
32. En un aula de 15 varones y 12 mujeres se 
desea formar una comisión compuesta por 
un presidente y un vicepresidente, con la 
condición de que sean de sexos diferentes. 
¿Cuál es el número de formas diferentes 
que se puede elegir dicha comisión? 
A) 180 
D) 320 
B) 210 C) 280 
E) 360
NIVEL INTERMEDIO 
33. Una persona puede viajar de una ciudad A a 
otra ciudad B por 4 caminos y de B a C por 
6 caminos. ¿Por cuántos caminos diferentes 
puede ir dicha persona de A hacia C y regre- 
sar a Á si no puede volver por un tramo ya 
recorrido? 
A) 360 
D) 180 
8) 220 C) 210 
E) 320 
34. Zinda se dispone a ir a la fiesta de gradua- 
ción de su hija Katty. ¿De cuántas maneras 
diferentes podrá vestirse para asistir a la 
" fiesta, si dispone de 5 vestidos (2 iguales), 5 
blusas, 4 faldas (2 iguales) y 5 pares de zapa- 
tos (2 iguales). 
A) 82 
D) 66 
B) 84 C) 76 
E) 62 
35. Peter ha adquirido 3 libros de física, 3 de 
matemática básica y 3 de economía (todos 
distintos). ¿De cuántas maneras diferentes 
podrá ordenarlos en un estante con 9 espa- 
cios si los libros de un mismo curso deben 
irjuntos? 
A) 430 
B) 1560 
C) 1296 
D) 1820 
E) 1120 
36, 
37. 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
En un aula se desea formar un comité com- 
puesto por un presidente, un vicepresidente 
y un vocal. ¿De cuántas maneras se puede 
formar dicho comité si para ocupar dichos 
cargos hay 9 candidatos? 
A) 430 B) 1560 C) 504 
D) 1820 E) 1120 
Josué tiene 6 banderas de colores diferen- 
tes. ¿Cuántas señales diferentes podrá emi- 
tir izando solo tres banderas? 
A) 120 
D) 240 
B) 80 C) 216 
E) 112 
¿Cuántos códigos diferentes se pueden for- 
mar utilizando 3 vocales y seguido de 4 dígi- 
«tos diferentes? 
A) 125 000 
B) 45000 
C) 630 000 
D) 480 000. 
E) 720000 
. José debe resolver un examen de 5 pregun- 
tas. Si cada pregunta tiene 3 alternativas y 
solo una es la correcta, ¿de cuántas mane- 
ras puede contestar José el examen? 
A) 81 
D) 432 
B) 243 C) 729 
E) 512 
105
LÚMBRERAS EDITORES 
40. Para elaborar un examen de matemática, se 
41. 
42. 
43. 
dispone de 3 problemas de aritmética, 3 de 
álgebra, 2 de geometria y 2 de trigonome- 
tría. ¿De cuántas maneras pueden ordenar- 
se los problemas si los que corresponden a 
un mismo tema deben aparecer en forma 
consecutiva? 
A) 3240 
D) 3654 
B) 4320 C) 3456 
E) 3678 
Una familia conformada por el padre, la 
madre y 6 hijos (3 varones y 3 mujeres) se 
ubican alrededor de una mesa circular. ¿De 
cuántas formas se podrán ubicar si los pa- 
dres no quieren sentarse juntos? 
A) 3450 
D) 3600 
B) 3210 C) 2860 
E) 3550 
¿Cuántas palabras con sentido o no se pue- 
de formar ordenando las letras de la palabra 
FOTOGRAFIA, si las consonantes iguales de- 
ben ir a los extremos? 
A) 5040: 
D) 7600 
B) 5400 C) 6400 
E) 10080 
La señora Melisa tiene 12 amigas de con- 
fianza. ¿De cuántas formas podrá invitar a 
tomar el té a 6 de ellas, si a Carolina y a Julia 
siempre las invita? 
A) 24 
D) 180 
B) 48 C) 56 
E) 210 
106 
a 
44. Una familia conformada por 10 integrantes 
llega a un restaurante y encuentra 2 mesas 
disponibles con 5 asientos cada una. ¿De 
cuántas formas diferentes podrán ubicarse 
en las mesas? 
A) 72576 
B) 145152 
C) 123 560 
D) 85 460 
E) 72670 
. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden 
sentar 5 personas en una fila con 8 asientos 
numerados del 1 al 87? 
A) 720 
B) 56 
C) 5950 
D) 6720 
E) 120 
A6. ¿Cuántos números de 7 cifras existe tal que 
el producto de sus cifras sea 207 
A) 142 
D) 172 
B) 165 C) 147 
E) 184 
47. Se lanzan 4 dados de colores diferentes, ¿de 
cuántas formas se puede obtener un resul- 
tado no menor a 23? 
A) 36 
D) 5 
B) 20 c) 12 
E) 8
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 ar... Pe 
48. Seis amigos van al teatro y encuentran una 
fila con 7 asientos vacios. ¿De cuántas ma- 
neras diferentes se pueden ubicar si Pipo y 
Jaimito deben sentarse juntos? 
A) 720 
D) 1260 
B) 1440 C) 560 
E) 1240 
49. En el-comedor universitario de la UNMSM 
se encuentran 3 estudiantes de Ingeniería 
de Sistemas, 2 de Ingeniería Civil y 4 de In- 
geniería Electrónica. ¿De cuántas formas se 
podrán ubicar alrededor de una mesa circu-lar si los de una misma especialidad deben 
estar juntos? 
A) 488 
D) 288 
B) 460 C) 268 
E) 576 
50. De una baraja de 52 cartas, se extraen 6 car- 
tas al azar. ¿De cuántas formas se pueden, 
obtener 3 diamantes y 3 tréboles? 
A) 64842 B) 78456 C) 81796 
D) 42 568 E) 87345 
51. Un examen consta de 12 preguntas de las 
cuales Wilmer debe contestar 7. Si las 3 
últimas deben ser contestadas obligatoria- 
mente, ¿de cuántas formas podrá resolver 
el examen? ” 
A) 126 
D) 124 
B) 216 Cc) 210 
E) 112 
52. Con las cifras significativas que se utilizan en 
el sisterna heptanario, ¿cuántos números de 3 
cifras distintas del sistema decimal podemos 
formar tal que la suma de sus cifras sea par? 
A) 56 
D) 60 
B) 72 C) 84 
E) 92 
53. En una academia de vóley asisten 12 juga- 
doras. ¿De cuántas maneras diferentes po- 
demos dividirlos en 2 grupos de 6 para un 
partido de práctica? 
A] 486 
D) 834 
B) 924 C) 756 
E) 674 
54. Al lanzar una moneda 5 veces se obtuvo 2 
caras y 3 sellos. ¿De cuántas formas pudo 
haber ocurrido esto? 
A) 21 
D) 42 
B) 10 Cc) 15 
E)" 28 
55. ¿Cuántos números de 3 cifras significativas 
tienen al menos un 5 en su escritura? 
A) 217 
D) 210 
B) 324 C) 432 
E) 430 
56. Un grupo de 6 niños y 6 niñas hacen una 
ronda de tal manera que lo niños y las niñas 
queden intercalados. ¿De cuántas maneras 
diferentes se puede hacer la ronda? 
A) 22500 B) 21650 C) 43200 
D) 86.400 E) 24600 
107
LUMBRERAS EDITORES 
57. 
59. 
50. 
61. 
108 
¿De cuántas formas se pueden ordenar las 
letras de palabra LUMBRERAS si las letras 
iguales se ubican siempre equidistantes a 
los extremos? 
A) 20450 B) 15900 C) 25600 
D) 20160 E) 15 640 
En una urna se tiene 30 tarjetas numeradas 
del 1 al 30. ¿De cuántas maneras se puede 
elegir al azar 3 de ellas y obtener al menos 
un número divisible entre 6? 
A) 1760 B) 1460 C) 1840 
D) 980 E) 1240 
¿De cuántas formas se pueden ubicar 5 va- 
rones y 3 mujeres en una fila, de tal manera 
que las mujeres no deben estar juntas por 
ningún motivo? 
A) 9600 B) 8500 C) 7200 
D) 14 400 E) 7000 
¿De cuántas maneras diferentes podrá ubicar 
Tatiana a sus 8 hijos alrededor de una mesa si 
4 de ellos se quieren sentar siempre juntos? 
A) 568 B) 342 C) 645 
D) 576 E) 226 
Se dispone de una cantidad ilimitada de mo- 
nedas de 5/,1, 5/.2 y S/.5. ¿De cuántas ma- 
neras se pueden escoger 30 monedas? 
A) 496 
D) 486 
B) 456 C) 561 
E) 469 
62. Cuatro personas suben a un colectivo en el 
cual hay seis asientos libres. ¿De cuántas 
maneras pueden ocuparlos? 
A) 180 
D) 460 
B) 360 C) 120 
E) 720 
Pepito tiene 3 bolas negras, 4 azules y 5 
blancas, todas de diferentes tamaños. ¿De 
cuántas maneras se podrán ordenar en fila, 
según el color? 
A) 25670 B) 24770 C) 27720 
D) 25660 E) 18 450 
64. Se ubican 12 puntos en una circunferencia, 
¿Cuántos pentágonos se pueden construir? 
A) 824 B) 792 C) 456 
D) 543 E) 894 
¿Cuántos números de seis dígitos podemos 
formar reordenanido las cifras del número 
486 2927 
A) 320 
D) 540 
B) 480 Cc) 460 
E) 360 
86. En un concurso de matemáticas se presen- 
tan 10 problemas los cuales deben elegirse 
al menos 6 para su resolución. ¿De cuántas 
formas podrá elegir los problemas? 
A) 654 
D) 234 
B) 432 C) 386 
E) 368
sr 
67, 
62. 
10. 
71. 
¿De cuántas maneras pueden distribuirse 
cuatro ejemplares de un mismo libro en los 
tres estantes de una biblioteca? 
A) 27 B) 81 C) 729 
D) 243 E) 64 
¿Cuántas pulseras distintas se podrían con- 
feccionar con 7 perlas de colores diferentes? 
A) 340 B) 300 Cc) 280 
D) 360 E) 420 
Un grupo de 4 varones y 4 mujeres se or- 
denan en una fila. ¿De cuántas maneras se 
podrán ubicar si Luis y José quieren sentarse 
juntos, al igual que Linda y Britany? 
A) 1440 B) 2880 C) 760 
D) 3460 E) 980 - 
En una reunión hay 10 varones y 7 mujeres 
y se formarán grupos de 6 personas. 
¿Cuántos grupos mixtos se pueden formar 
si la cantidad de varones debe ser mayor a 
la cantidad de mujeres? 
A) 9564 8) 5846 C) 2564 
D) 6784 E) 6174 
Indique la cantidad de soluciones que pre- 
senta la ecuación o+b+c+d=12, si a,b,c y d 
son enteros no negativos. 
A) 480 B) 450 C) 540 
D) 455 E) 520 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
72. Un jefe debe repartir 9 regalos diferentes a 
3 de sus trabajadores. ¿De cuántas formas 
podrá distribuirlos si todos reciben la misma 
cantidad? 
A) 2460 B) 1680 C) 2230 
D) 3520 E) 4700 
73. ¿Cuántos números de 10 cifras del sistema cua- 
ternario tienen como producto de cifras a 16? 
A) 160 B) 96 Cc) 210 
D) 180 E) 230 
74, Se tiene un sistema de 7 rectas paralelas 
que se cortan perpendicularmente con otro 
sistema de 8 rectas paralelas. ¿Cuántos rec- 
tángulos se forman? 
A) 456 B) 298 C) 588 
D) 345 E) 657 
15. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 8 
personas alrededor de una mesa cirtelar 
con capacidad para 5 personas (los demás - 
quedan de pie)? 
A) 1224 B) 1344 C) 1425 
D) 1256 E) 1245 
16. En los lados de un hexágono regular se ubi- 
can 4 puntos (sin considerar los vértices). 
¿Cuántos triángulos se podrán formar cuyos 
vértices sean los puntos dados? 
A) 1980 B) 1760 C) 1856 
D) 1965 E) 2000 
109
LUMBRERAS EDITORES 
 
17. 
78. 
"D) 145 
 
Un restaurante ofrece 5 tipos de menú, ¿de 
cuántas maneras diferentes podrán elegir 
Julio y sus 3 hermanos un tipo de menú y 
sentarse alrededor de una mesa circular 
con capacidad para 4 personas? 
A) 7630 B) 4350 C) 2560 
D) 3750 E) 4250 
De los primeros 20 números primos se esco- 
gen al azar a 4 de ellos, ¿en cuántos de los 
casos el producto de los números resultará 
un número múltiplo de 6? 
A) 254 B) 153 C) 345 
E) 172 
739. Carlos tiene 4 carritos de color blanco, 2 de 
color rojo y 3 de color negro, ¿de cuántas 
formas diferentes se podrán ubicar en una 
fila según el color, si además los carros de 
color rojo van a los extremos? 
A) 21 B) 35 C) 42 
D) 40 E) 56 
En un club deportivo con 15 miembros hay 
que seleccionar 3 personas para participar 
en una competencia de atletismo, natación 
y karate. ¿De cuántas formas se podrá for- 
mar el equipo si cualquier integrante puede 
participar en cualquier disciplina? 
A) 2730 
D) 2670 
8) 2620 C) 2450 
E) 2564 
110 
D) 45 
81. Martín tiene 9 amigos, si desea invitar a 5 
de ellos a una cena, ¿de cuántas formas po- 
drá realizar la invitación, si hay una pareja 
de enamorados que no va el uno sin el otro? 
A) 56 
D) 36 
B) 24 Cc) 28 
E) 42 
82. ¿De cuántas formas se pueden ubicar 8 per- 
sonas en una fila de tal manera que dos de 
ellos en particular se ubiquen equidistantes 
a los extremos? 
€) 2340 
E) 5660 
A) 4560 B) 5760 
D) 3560 
B3. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema 
octanario tienen al menos una cifra 3 en su 
escritura? 
A) 186 
D) 165 
B) 212 C) 154 . 
E) 180 
84. Kevin debe resolver un boletín con 120 pro- 
blemas numerados del 1 al 120. Si ya resol- 
vió las preguntas que no terminan en 6 y las 
que no son múltiplos de 6, ¿cuántas pregun- 
tas le falta resolver? 
A) 20 B) 28 Cc) 32 
E) 48 
85. ¿Cuántos números de la forma mním+n), 
existen? 
A) 28 B) 36 Cc) 40 
D) 18 E) 16
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 a" 
De la palabra PROBLEMAS se escogen 2 vo- 
cales y 3 consonantes. ¿Cuántas palabras de 
5 letras con sentido o sin sentido se pueden 
formar, si las vocales van a los extremos? 
A) 560 B) 720 Cc) 840 
D) 360 Ej) 480 
87. ¿Cuántas expresiones existen de la siguiente 
a Y 
forma az), 
A) 1600 B) 1800 C) 1850 
D) 1900 E) 2100 
88. Con los dígitos 2; 3; 4; 5; 6 y 7, ¿cuántos nú- 
meros pares de tres cifras se pueden formar 
de tal manera que sean mayores que 300? 
A) 45 B) 90 Cc) 120 
D) 210 E) 108 
¿De cuántas maneras diferentes se pueden 
ordenar las letras de la palabra COMBINA- 
TORIA de tal manera que las vocales estén 
juntas y las consonantes también, además 
letras iguales deben estar juntas? 
A) 5760 
D) 5670 
B) 8640 C) 6840 
E) 15210 
90.Josefina ha olvidado su número de DNI, solo 
recuerda que empieza en 42 y termina en 
1, además los digitos que faltan son todos 
diferentes entre sí e impares. ¿Cuántos 
números diferentes puede tomar su DNI? 
A) 72 
D) 144 
B) 120 C) 48 
E) 200 
92. 
En un estante hay 4 libros de aritmética 
iguales, 2 libros de álgebra iguales y 5 de 
geometría diferentes. ¿De cuántas maneras 
diferentes se podrán ordenar dichos libros, 
silos libros de álgebra van a los extremos? 
A) 11520 
B) 12560 
C) 7560 
D) 15120 
E) 10240 
Ocho amigos van de paseo a un parque de 
diversiones donde hay 2 juegos mecánicos 
de forma circular con capacidad para 5 
personas cada uno. ¿De cuántas maneras 
diferentes podrán ubicarse en los juegos si 
en cada juego debe haber igual cantidad de 
personas? 
A) 12450 B) 23400 C) 43200 
D) 20160 E) 40320 
Javier debe comprar 12 pantalones y exis- 
ten 3 modelos diferentes. Si debe comprar 
al menos 3 de cada tipo, ¿cuántas opciones 
de compra tiene Javier? 
A) 8 
D) 18 
B) 10 Cc) 6 
Ej) 24 
94. En una fila de 7 asientos, se quieren sentar 
4 mujeres y un varón de tal manera que el 
varón se encuentre entre los asientos vacios. 
¿De cuántas maneras se podrán ubicar? 
A) 48 
D) 24 
B) 72 Cc) 120 
E) 144 
111
 
LUMBRERAS EDITORES dl | 
NIVEL AVANZADO 99. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecua- 
ción? 
95. Se tienen 10 focos de los cuales hay 3 que a+bichi=H0 
están fallados. Si se prueba uno a uno ob- sjiaz1;b21;c21;d21 
teniendo en la sexta prueba el tercer foco 
fallado, ¿de cuántas maneras se pudieron A) 4567 
haber realizado las pruebas? B) 9139 
A) 8 B) 10 Cc). 12 9 On 
D) 2345 
D) 16 E) 24 
E) 34567 
96. Cuatro parejas de enamorados se sientan en 
una fila con 10 asientos. ¿De cuántas formas 100. ¿De cuántas formas se puede ordenar las 
se podrán ubicar si las parejas deben estar letras de la palabra INTERNET de tal forma 
siempre juntas? que letras iguales estén juntas, pero no 
puede ir juntas la | y la R? 
A) 2880 — B) 5760 C) 2460 
D) 5670 E) 4560 A) 72 B) 36 C) 48 
D) 56 E) 12 
97. De cuántas formas se pueden ubicar 5 libros 
de física y 6 libros de química en un estante— 101.Se tiene un grupo de n personas. La canti- 
con 5 espacios si los de química van a los dad de formas de ubicarlos en una fila de 
extremos y los de física al centro. modo tal que 2 de ellos en particular estén 
siempre juntos excede en 8640 a la canti- 
dad de formas en la que las n personas se 
A) 1600 B) 1800 C) 1400 É 
pueden ubicar en fila de modo tal que 2 de 
D) 1250 E) 1780 ellos vayan a los extremos. Halle n. 
98. Si en una reunión hubo 105 apretones de A) 7 B) 8 Cc) 9 
mano, ¿de cuántas maneras podemos esco- D) 10 E) 11 
ger a 6 de las personas y ubicarlas alrededor 
de una mesa? 
102.¿De cuántas formas se pueden ubicar 5 
personas alrededor de una mesa circular 
A) 540 540 : . con espacio para 6 personas, si entre Victor 
B) 600600 y Andrés debe estar el asiento vacio? 
C) 234 234 
D) 650 650 A) 12 B) 14 Cc) 22 
E) 320320 -D) 24 E) 28 
112
re ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
103. En un grupo de 5 mujeres y 8 varones, 
¿de cuántas formas se pueden elegir a 4 
personas si debe de haber al menos dos 
mujeres? 
A) 265 B) 365 C) 845 
D) 285 E) 435 
104. Un grupo de 10 miembros de seguridad 
deben distribuirse para el cuidado de 3 
bancos A, B y C. Sia dichos bancos A, B y C 
deben ir 4, 4 y 2 miembros de seguridad, 
respectivamente, ¿de cuántas formas se 
podrá realizar el reparto? 
A) 2450 
D) 4560 
C) 2115 
E) 26780 
8) 3150 
105, Cuatro madres van con sus respectivas dos 
hijas a una heladería y se ubican alrededor 
de una mesa, ¿de cuántas formas se po- 
drán ubicar si cada madre debe sentarse 
entre sus hijas? 
A) 132 B) 120 C) 118 
D) 112 E) 96 
106. En un zoológico hay 4 leones, 3 tigres y 
6 pumas. ¿Cuántos grupos de animales 
se podrán formar de tal manera que en 
cada grupo se encuentre por lo menos un 
animal de cada especie? 
A) 5665 
D) 4356 
B) 4567 C) 6615 
E) 6787 
107. De una baraja se han extraido 4 cartas, ¿en 
cuántos de los casos se habrá obtenido al 
menos dos reyes? 
A) 6961 B) 7243 C) 9865 
D) 3567 Ej 8567 
108. Se lanzan dos dados de colores diferentes, 
¿de cuántas formas se obtendrá una suma 
menor a 107 
A] 28 B) 29 C) 30 
D) 31 E) 32 
109. Un grupo de 8 amigos se disponen a pa- 
sear en bote y se suben a uno con $ asien- 
tos. 51 uno de ellos no puede ir al lado iz- 
quierdo, ¿de cuántas maneras diferentes 
se pueden ordenar si a cada lado del bote 
deben ir 4 personas? 
A) 20160 B) 10080 C) 15660 
D) 12 450 E) 23456 
110, ¿De cuántas formas diferentes se puede 
escoger 7 pasteles si los hay en 3 sabores 
diferentes? 
A) 16 B) 18 Cc) 24 
DJ) 36 E) 48 
111. En un plano se ubican 8 puntos donde a 
los más 2 de ellos son colineales. ¿Cuántos 
polígonos convexos se pueden construir? 
Aj 210 
D) 242 
B) 219 C) 220 
E) 205 
113
LUMBRERAS EDITORES 
e 
112. John tiene 138 galletas iguales y debe repar- 
tirlas entre sus 3 sobrinos, con la condición 
de que todos reciban al menos 4 galletas. 
¿De cuántas maneras puede hacerlo? 
A) 28 
D) 65 
B) 32 C) 42 
E) 72 
113. En cierto país la liga de fútbol está com- 
puesta por n equipos, si al culminar la pri- 
mera rueda se han jugado 153 partidos. 
Halle n. 
A) 16 B) 17 C) 18 
D) 19 E) 20 
114. Cuántas funciones estrictamente decre- 
cientes g: A > B pueden definirse si 
A=[5;10;15;20) y B=(3;6;9;12;...;:36) 
A) 565 
D) 676 
B) 495 C) 654 
E) 728 
115. Un grupo de 15 personas se dividen en 3 
equipos de 5 personas cada uno. ¿De cuán- 
tas maneras se podrán formar los equipos, 
si todos realizarán la misma labor? 
A) 42.042 
B) 126126 
C) 252 252 
D) 245 600 
E) 243 500 
114 
116. En un sindicato se debe elegir al secretario 
general. Si hay 4 candidatos y 25 votantes, 
¿de cuántas maneras diferentes pueden 
distribuirse los votos? 
A) 2564 
D) 4567 
B) 3276 C) 3542 
E) 2542 
117. Se tienen 6 caramelos iguales de sabor a 
limón y 2 caramelos iguales de sabor a fre- 
sa. ¿De cuántas formas pueden distribuir- 
se los caramelos en 8 bolsas? 
A) 45630 
B) 61776 
C) 66770 
D) 23567 
E) 24670 
118, En un juego de póker, ¿de cuántas formas 
diferentes se puede obtener 2 pares (dis- 
tintos) exactamente? 
A) 124 234 
B) 123552 
C) 122525 
D) 125 654 
E) 123255 
119. ¿De cuántas formas se puede distribuir 5 
bolas azules y 3 bolas rojas en 6 hoyos? 
A) 10543 B) 10432 C) 12432 
D) 14112 E) 14 222
vr
 
X' ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
120. De una baraja de 52 cartas se extraen 5 
cartas al azar. ¿Cuántos resultados diferen- 
tes se puede obtener de tal manera que 
haya al menos una carta de cada palo? 
A) 4x13% B) 12x13% Cc) 24x13? 
D) 24x13* E) 6x13* 
121. Rodolfo ha olvidado su contraseña para 
acceder a su cuenta de correo electrónico, 
solo recuerda que está formado por 3 vo- 
cales, 2 consonantes y 3 dígitos, todos di- 
ferentes. ¿Cuántas contraseñas diferentes 
se puede formar, si los digitos van al final y 
además solo dispone de 10 consonantes? 
A) 5x(61)? 
B) 75x(51P 
Cc) 15x(61) 
D) 25x(51)* 
E) 75x(61)? 
122. ¿Cuántas palabras se pueden formar con 
las letras de la palabra REGISTRO, si letras 
iguales deben ocupar lugares equidistan- 
tes a los extremos? 
A) 2880 B) 1440 C) 720 
D) 2160 E) 3600 
123. Milena tiene 5 amigos y durante una se- 
mana sale al cine con 2 de ellos de modo 
que el grupo no se repita ni una sola vez. 
¿De cuántas maneras puede hacerlo? 
A) 15x8l B) 5x8l C) 12x8l 
D) 15x91 E) 5x7! 
124, Óscar debe elaborar un examen de 8 pre- 
guntas. Si dispone de 5 preguntas fáciles, 
5 intermedias y 5 difíciles, ¿de cuántas 
maneras podrá elaborar dicho examen si 
la cantidad de preguntas fáciles debe ser 
mayor a las preguntas intermedias y esta 
mayor a las difíciles? 
A) 280 B) 295 C) 300 
D) 310 E) 320 
125. Una familia numerosa compuesta por 21 
integrantes decide ir a la playa,y para ello 
aborda un microbús de 22 asientos cuya 
distribución es de la siguiente manera 
asientos 
reservados 
 
 
 
 
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubi- 
carse, si los abuelitos Johnny y César deben 
ubicarse en el asiento reservado y al fondo 
solo deben ubicarse las primas Ana, Carmen 
y Erika para poder conversar? 
A) 8x16! 
B) 48x16! 
C) 48x18! 
D) 4x18! 
E) 24x16! 
115
 
 
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+ BIBLIOGRAFÍA 
a 
+ BECKER, María Elena; PIETROCOLA, Norma y Carlos SÁNCHEZ. Notas de 
combinatoria. Buenos Aires: Edipubli, 1996. 
* INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Aritmética, análisis del núme- 
ro y sus aplicaciones. Lima: Lumbreras editores. 2006. 
+ PÉREZ SEGUI, María Luisa. Combinatoria. Cuadernos de Olimpiadas de 
Matemáticas. México: Universidad Nacional Autónoma de México. 2004. 
+ TIPE VILLANUEVA, Jorge. /! Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. 
Lima: Lumbreras editores. 2007. 
» VILENKIN. N. ¿De cuántas formas? Moscú: Editorial MIR. 1972. 
Páginas web consultadas 
+ UNIVERSIDAD DE CÁDIZ. Apuntes de matemática discreta. 
<http://www.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Lec- 
cion3.pdf > (Consulta: 18/11/2011). 
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 ano a "ARITMÉTICA 
 
Modo 
ENTRENAMIENTO MON CAMPEONATO IO 
Y 
 
 
| Colección 
Colección Esencial Ciencias y Humanidades 
 
 
 
 
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