REVER E APRENDER_MAT_9ANO_PROFESSOR_REV7

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MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
9° ANO
M
A
TETM
Á
TIC
A
9° A
N
O
PROFESSOR
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1
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2
–
–
0
–
Uma produção
MATEMÁTICA | 9º ANO - PROFESSOR
Direção Editorial
Tiago Braga
Organização
Antonio Nicolau Youssef
Colaboradores 
Angel Honorato
Conceição Longo
Revisão
Ana Cristina Mendes Perfetti
Giovanna Petrólio
Miriam de Carvalho Abões
Victor Pugliese
Ilustrações
Dawidson França
Projeto Gráfico
Amplitude.PP
Diagramação
Fórmula Produções
Imagens
Adobe Stock
Shutterstock
Produção Executiva
Antonio Braga Filho
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3
MA
CATI
MÁTE
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4
Sumário
Números ��������������������������������� 7
Potenciação e radiciação ����������������������������� 8
Potenciação ������������������������������������ 8
Radiciação ������������������������������������� 10
Videoaula ��������������������������������������� 10
Notação científica ������������������������������� 12
Videoaula ��������������������������������������� 12
Princípio multiplicativo da contagem ������������������ 13
Porcentagens ������������������������������������ 19
Geometria ������������������������������� 23
Mediatriz e bissetriz ����������������������������� 24
Videoaula ��������������������������������������� 24
Construindo a bissetriz com um compasso ���������������� 25
Transformações geométricas ������������������������ 27
Translações ����������������������������������� 27
Translações sucessivas ��������������������������� 28
Simetria �������������������������������������� 28
Congruência de triângulos ������������������������� 33
Videoaula ��������������������������������������� 33
Álgebra ��������������������������������� 39
Produtos notáveis ������������������������������� 40
Videoaula ��������������������������������������� 40
Fatoração de polinômio ����������������������������� 41
Diferença de quadrados �������������������������� 41
Trinômio quadrado perfeito ����������������������� 41
Fator comum ���������������������������������� 42
Agrupamento ��������������������������������� 43
Equação de 1º grau com duas incógnitas ���������������� 43
Sistemas de equações ���������������������������� 44
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5
Videoaula ��������������������������������������� 44
Método da substituição �������������������������� 45
Método da adição ������������������������������ 46
Equações de segundo grau ������������������������ 52
Videoaula ��������������������������������������� 52
Trinômio quadrado perfeito ����������������������� 53
Fórmula de Bhaskara ���������������������������� 54
Equações de 2º grau incompletas ������������������� 55
Resolvendo equações por fatoração ���������������� 56
Sequências recursivas e não recursivas ����������������� 57
Regra de três composta ��������������������������� 65
Videoaula ��������������������������������������� 65
Grandezas e medidas ����������������������� 69
Áreas de figuras planas e área do círculo ���������������� 70
Área do retângulo ������������������������������ 70
Área de um paralelogramo qualquer ���������������� 70
Área do losango �������������������������������� 71
Área do triângulo ������������������������������� 71
Área do trapézio ������������������������������� 71
Circunferência e círculo ��������������������������� 72
Videoaula ��������������������������������������� 72
Volume e capacidade ������������������������������ 73
Volume de um bloco retangular �������������������� 74
Medida de capacidade ��������������������������� 75
Probabilidade e estatística ������������������� 81
 Organização dos dados de 
uma variável contínua em classes ��������������������� 82
Distribuição de frequências ������������������������ 84
Videoaula ��������������������������������������� 84
Histogramas e polígonos de frequências ������������� 88
Probabilidade de eventos ��������������������������� 95
Cálculo de probabilidade ������������������������� 96
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6
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
Este é um material cuidadosamente desenvolvido para auxiliá-lo na recomposição de 
aprendizagem dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Reconhecemos o desafio 
constante de proporcionar um ambiente educacional motivador, estimulando e crian-
do oportunidade de aprendizagem eficaz numa sala de aula sempre muito heterogênea, 
principalmente quando nos reportamos ao ensino de conceitos e práticas matemáticas, 
e é com esse propósito que este material foi concebido. Por isso, estamos felizes em 
estar com você nessa jornada de redescoberta e fortalecimento do conhecimento ma-
temático dos seus alunos. Esperamos que o Rever e Aprender Matemática do 4º ano do 
Ensino Fundamental possa ser um aliado valioso para reforçar os alicerces da aprendi-
zagem, fornecendo ferramentas práticas e estratégias pedagógicas para resgatar o inte-
resse e a confiança dos alunos.
Sabemos que a Matemática, além de ser uma disciplina fundamental no currículo es-
colar, desempenha um papel essencial no desenvolvimento cognitivo e na formação 
integral das crianças. Ela não é apenas um conjunto de conceitos abstratos, mas uma 
linguagem que possibilita a compreensão e a relação diária com o mundo ao nosso redor. 
Ao dominar as habilidades matemáticas desde os primeiros anos escolares, os alunos 
não apenas adquirem competências técnicas, mas também desenvolvem o pensamento 
lógico, a resolução de problemas e a capacidade de raciocínio crítico.
O letramento matemático para alunos do 9º ano do Ensino Fundamental deve ser estru-
turado de acordo com as diretrizes estabelecidas pela Base Nacional Comum Curricular 
(BNCC). A BNCC propõe uma abordagem interdisciplinar, valorizando a contextualiza-
ção dos conteúdos e a aplicação prática dos conceitos. Nesse sentido, nosso material 
busca alinhar-se com tais princípios, apresentando atividades e recursos que promovem 
a aprendizagem significativa e conectada ao cotidiano dos estudantes.
Em matemática, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas, que orien-
tam a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamen-
tal. São elas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e 
Estatística.
Uma palavra inicial
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7
Números
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7º 
ano, vamos revisar nesta unidade temática: 
• Potenciação e radiciação 
• Notação científica 
• Princípio multiplicativo da contagem
• Porcentagens
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UNIDADE1
PROFESSOR
O propósito das atividades na unidade temática sobre números é promover o desenvolvimento de 
habilidades específicas para o ano em questão, focando na ampliação do senso quantitativo, o qual 
pode ser aplicado para simplificar cálculos envolvendo números de grande magnitude. Assim, a nota-
ção científica surge como uma ferramenta para auxiliar nesse processo, complementada pelo enten-
dimento e aplicação das regras de potenciação. Além disso, o princípio multiplicativo da contagem é 
integrado em problemas contextualizados, promovendo a interpretação e execução dos cálculos, e o 
uso de tecnologias é incorporado para resolver questões relacionadas a porcentagens. Esses elemen-
tos se entrelaçam nesta unidade temática, proporcionando um ambiente propício para o crescimento 
das habilidades matemáticas dos estudantes. A unidade temática será desenvolvida a partir de 4 te-
mas: 
1. Potenciação e radiciação
2. radiciação
3. Notação científica
4. Princípio multiplicativo da contagem
5. Porcentagens
Desenvolvimento 
em 5 temas
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Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 1
Tema 1: Potenciação e radiciação
Este tema aborda a potenciação como elemento que auxilia nos cálculos com números grandes. O 
uso de um Material Dourado como atividade complementar é útil para auxiliar o treino e a fixação 
do aprendizado. As potências de 1 a 3 podem ser trabalhadas com o Material Dourado para que 
os alunos tenham noção dessa repetição da base e se atentem ao expoente, diferenciando, dessa 
forma, esses dois elementos.
Para a potência de expoente 1 relaciona-se a comprimento, então teríamos: 
11 =
21 =
51 =
Para a potência de expoente 2 relacionam-se comprimento e largura, então teríamos:
22 =
42 =
Para a potência de expoente 3 relacionam-se comprimento, largura e altura, então teríamos:
23 =
A sugestão é que essa atividade seja feita em grupos de até 5 alunos e com números menores, para 
que o algoritmo da potenciação seja assimilado, podendo depois ser feito de forma análoga com 
outros números maiores.
1 10 100 1000
Tema 2: Radiciação
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Radiciação”. Após a videoaula, use o Material Dourado 
para representar e calcular a radiciação, operação inversa da potenciação.
Para representar uma raiz quadrada, busque o número que se repete no comprimento e largura, 
desta forma:
 = 2 por 2 = 2 
 = 4 por 4 = 4
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Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 1
Para raiz cúbica, busque o número que se repete no comprimento, largura e altura, desta forma:
 = 2 por 2 por 2 = 2
A sugestão é que essa atividade seja feita em grupos de até 5 alunos e com números menores, para 
que o algoritmo da potenciação seja assimilado, podendo depois ser feito de forma análoga com 
outros números maiores.
Tema 3: Notação científica
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Notação científica”. Solicite antecipadamente aos alunos 
uma pesquisa com números muito grandes e muito pequenos e a relação desses números com seu 
significado. Exemplo: distância da Terra a Mercúrio: 57 900 000 km.
Com esses números em mãos, os alunos classificarão entre muito grandes ou muito pequenos e 
depois colocarão esses números em notação científica. Outra atividade interessante para treinar a 
percepção e desenvolver as habilidades com a notação científica é construir, com cartões impressos 
e laminados, um jogo da memória com números muito grandes, números muito pequenos e suas 
representações em notação científica. O jogo da memória pode ser realizado com grupos de alunos 
ou com a turma, para todos participarem com a mediação do professor.
Tema 4: Princípio multiplicativo da contagem
Para trabalhar com este tema, elabore uma situação-problema e use uma árvore de possibilidades 
com desenhos ou somente escreva as possibilidades para ilustrar a multiplicação realizada.
Exemplo: 
Paulo e Marcelo participarão de um acampamento e estão organizando seus lanches. Eles têm pão 
de leite, pão francês e pão integral. Eles colocarão um dos acompanhamentos: queijo, peito de peru 
ou salsicha. A maionese estará em todos os sanduíches. E uma fruta acompanhará os lanches, sendo 
maçã e laranja. Quantas possibilidades de lanches eles podem fazer?
Pão de leite + maionese + peito de peru + maçã
Pão de leite + maionese + peito de peru + laranja
Pão de leite + maionese + queijo + maçã
Pão de leite + maionese + queijo + laranja
Pão de leite + maionese + salsicha + maçã
Pão de leite + maionese + salsicha + laranja
Pão francês + maionese + peito de peru + maçã
Pão francês + maionese + peito de peru + laranja
Pão francês + maionese + queijo + maçã
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Pão francês + maionese + queijo + laranja
Pão francês + maionese + salsicha + maçã
Pão francês + maionese + salsicha + laranja
Pão integral + maionese + peito de peru + maçã
Pão integral + maionese + peito de peru + laranja
Pão integral + maionese + queijo + maçã
Pão integral + maionese + queijo + laranja
Pão integral + maionese + salsicha + maçã
Pão integral + maionese + salsicha + laranja
Portanto serão 3 . 3 . 2 = 18 possibilidades.
Tema 5: Porcentagens
A porcentagem é um elemento matemático que aparece em diversas situações do cotidiano: em 
promoções, em cobranças de juros, em descontos, entre outras. O entendimento desse elemento 
auxilia as pessoas em seu cotidiano e, dessa forma, para visualização das quantidades na porcentagem, 
sugerimos duas atividades práticas:
Materiais necessários: papel quadriculado; lápis de cor; e cartões ou bolinhas para serem sorteadas.
Atividade 1
Separar 5 pedaços de papel quadriculado de 10 por 10. O professor sorteia um número e os alunos 
pintam os quadrados para relacionar com a porcentagem. O entendimento costuma ser muito 
rápido, uma vez que o papel 10x10 forma 100 quadrados (100%). Portanto, se o número sorteado 
for 55, serão 55 quadrados pintados e 55% de quadrados escolhidos.
Atividade 2
Em uma folha quadriculada desenhar um retângulo de 10 por 12. O professor sorteia o número que 
é relacionado à porcentagem e os alunos pintam a representação dessa porcentagem no retângulo.
Exemplos: 75% = 90 quadrados pintados ou 90 de 120.
40% = 48 quadrados pintados ou 48 de 120.
Pode-se mudar o tamanho do retângulo desenhado no papel quadriculado e comparar a quantidade 
de quadrados pintados em ambas as situações, usando as mesmas porcentagens.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF08MA01) (EF08MA02) (EF08MA03) (EF08MA04) (EF08MA05)
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8
Potenciação e radiciação 
Potenciação
Sendo a um número real e n um número natural:
an 5 a a ..., a,
n fatores
� �� ��? ? quando n . 1
Já vimos também que, nessas condições, estas propriedades são válidas para a potenciação: 
a1 5 a
a0 5 1, com a Þ 0
a2n 5 
1
an
, com a Þ 0
am ? an 5 am 1 n
am 4 an 5 am 2 n
(am)n 5 am ? n
(a ? b)n 5 an ? bn
Em qualquer potenciação em que a base é um número racional, com expoente zero ou 1, são válidas 
as definições a seguir:
Para todo número racional não nulo a, define-se a0 5 1 e, 
para todo número racional a, define-se a1 5 a.
Por exemplo:
• 
2
3
0



 5 1
• (–0,25)0 5 1
• 
23
11
 
23
11
1
2 5 2




• 4,41 5 4,4 
Para potências com bases racionais e expoentes inteiros e maiores que 1 vale a definição:
Para qualquer racional a e qualquer inteiro n .1, define-se an 5 a a a ... a
n fatores
� ��� ���? ? ?
Por exemplo:
• 
1
3
 
1
3
 
1
3
 
1
3
 
11 1
3 3 3
 
1
27
3
2 5 2 ? 2 ? 2 5 2
? ?
? ?
5 2
















• 
2
3
 
2
3
 
2
3
 
2
3
 
2
3
 
2 2 2 2
3 3 3 3
 
16
81
4
5 ? ? ? 5 1
? ? ?
? ? ?
5




















EF08MA02
Uma contextualização interessante 
para discutir o tema é a leitura da 
lenda do jogo de xadrez, que pode ser 
acessada em sites de busca na internet 
ou diretamente pelo site da Revista 
do Professor de Matemática no link 
https://linkja.net/RevistaProfMat
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9
No entanto, podemos ter, também, expoentes negativos para potências com bases racionais. Veja o 
que ocorre quando analisamos as potências de 2:
2–3 2–2 2–1 20 21 22 23
8
Expoentes diminuem Expoentes aumentam
O resultado vai sendo
multiplicado por 2
O resultado vai sendo
dividido por 2
4211
2
1
4
1
8
Quando os expoentes crescem de 1 em 1, os resultados são multiplicados por 2, pois a base é dois. 
Ao contrário, quando os expoentes decrescem de 1 em 1, os resultados vão sendo divididos por 2. 
Observe o que ocorre com as potências de expoentes negativos:
• 2 
1
2
 
1
2
1
1
5 52
• 2 
1
4
 
1
2
2
2
5 52
• 2 
1
8
 
1
2
3
3
5 5−
A potência de expoente negativo é igual ao inverso da mesma potência com o expoente positivo. 
Assim:
Para qualquer racional não nulo a e qualquer inteiro n, 
define-se a–n 5 
1
an
Observe outros exemplos:
• 3 2 4 5 1
3
 
1
3 3 3 3
 
1
814
5 2
? ? ?
5
• 
2
3
 
1
2
3
 
1
2
3
 
2
3
 
1
4
9
 
9
4
2
2
5 5
?
5 5
2


 



Essa potenciação poderia ter sido feita também invertendo-se a base e trocando o sinal do expoente:
2
3
 
3
2
 
9
4
2 2
5 5








−
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Radiciação
10
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11
Sabendo que o símbolo R
1
 representa o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, o zero mais 
os números reais positivos, vamos estabelecer as principais propriedades operatórias da radiciação.
a) Com a [ R
1
 e n [ N, com n . 1, tem-se:
 
an
n( ) 5 a, pois a a a an
n n
n 15 5 5( )
 Por exemplo: 
• 75
5( ) 5 7 • 2 2
2
5( )
b) Quando temos o produto de duas raízes de mesmo índice, mantemos o índice e fazemos a raiz do 
produto dos radicandos. Assim:
 Com a [ R
1
, b [ R
1
 e n [ N, com n . 1, tem-se:
 
a b abn n n? 5 , pois a b a b a b a bn n
1
n
1
n n
1
n
? 5 ? 5 ? 5 ?( )
 Por exemplo:
• 3 5 3 5 15? 5 ? 5 • 4 20 4 20 803 3 3 3? 5 ? 5
Da mesma forma que no produto, esta propriedade é válida para o quociente de duas raízes de 
mesmo índice. Sabendo que o subconjunto R*
1
 refere-se aos números reais positivos, com exclusão 
do zero, podemos escrever:
Se a [ R
1
, b [ R*
1
 e n [ N, com n . 1, tem-se:
a
b
 
a
b
n
n
n5
Observe os exemplos:
• 3
2
 
3
2
5 • 
3
4
 
3
4
5
5
55
a) A radiciação de uma raiz é outra radiciação cujo índice é o produto dos índices das duas raízes. 
Assim, quando a [ R
1
, m [ N, n [ N, com m . 1 e n . 1, tem-se:
 
a anm mn5 pois a a a a anm n
1
m
1
n
1
m
m n
1
n
 
1
m
5 5 5 5 ?
?( )( ) ( )
Por exemplo:
• 2 245 • 15 153 65 • 10 103 65
b) Como decorrência da definição de radiciação como uma potenciação de expoente racional, 
podemos verificar que o valor de uma radiciação como anm , com a [ R
1
 não se altera quando 
multiplicamos o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número.
Quando a [ R
1
, m [ N, n [ N* (n Þ 0) e p [ N*, com m . 1, tem-se
a anm npmp
5
Por exemplo:
• 5 523 2 23 25 ?? → 5 523 465 • 7 734 3 54 55 ?? → 7 534 15205
Radiciação
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Notação científica
12
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13
Ao analisarmos situações que envolvem grandes números ou números muito pequenos, para 
simplificar a notação numérica, utilizamos potências de 10, muito comum em textos científicos. 
Para melhor utilizar as potências de 10, vamos recordar algumas definições de potências com 
expoentes inteiros e bases reais.
Com a [ R e n [ Z, temos as seguintes definições:
• an 5 a ? a ? a ? a ? ... ? a, se n . 1
• a1 5 a
• a0 5 1, se a Þ 0
• a2n 5 
1
an
, se a Þ 0
Veja alguns exemplos de potências com expoentes inteiros:
• 1,43 5 1,4 ? 1,4 ? 1,4 5 2,744
• 322 5 
1
3
 
1
92
5
• 0,20 5 1
• 
1
2
 
1
1
2
 
1
1
16
4
4
5 5
2


 



 5 16
• 2
3
0



 5 1
A notação científica baseia-se na ideia de que um representar o número através do produto de um 
número entre 0 e 10 por uma potência de 10. Observe os exemplos:
• O número 450 000 pode ser escrito da seguinte forma:
450 000 5 4,5 ? 105, pois 4,5 ? 100 000 5 450 000
• Já o número 0,000 00013 fica:
0,000 00013 5 1,3 ? 10−7, pois 1,3 4 10 000 000 5 0,000 00013
Nos dois exemplos, note que a representação de um número racional na notação científica é sempre 
um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.
Princípio multiplicativo da 
contagem 
Na abordagem desse tema, pode ser interessante fazer algo prático, levando alguns itens com os 
quais os estudantes possam fazer diferentes combinações, como no exemplo das roupas a seguir.
Suponha que um rapaz em viagem possua em sua mala duas calças (uma lisa e uma estampada), duas 
camisas (uma de manga comprida e outra de manga curta) e dois pares de sapatos (um preto e um 
marrom). Observe, na figura a seguir, que este rapaz tem oito possibilidades diferentes de combinar 
as calças, camisas e os sapatos que possui.
Notação científica
Ressalte a importância da notação científica 
no contexto das ciências, como a Biologia, que 
pode lidar com números bastante pequenos, e 
a Astronomia, que lida com números bastante 
grandes. A notação científica se utiliza da potência 
de 10 a fim de facilitar a apresentação de números 
que designam esses tipos de grandezas.
EF08MA03
Na abordagem desse tema, pode ser interessante fazer algo prático, levando alguns itens com os quais os estudantes 
possam fazer diferentes combinações, como no exemplo das roupas a seguir.
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14
Sapatos marrons
Sapatos pretos
Manga comprida
Calça lisa
Calça
estampada
Manga curta
Sapatos marrons
Sapatos pretos
Sapatos marrons
Sapatos pretos
Manga comprida
Manga curta
Sapatos marrons
Sapatos pretos
Perceba que o cálculo das combinações possíveis entre 2 calças, 2 camisas e 2 pares de sapatos se 
faz por meio da multiplicação:
2 ? 2 ? 2 5 8
Considere agora que tenhamos uma moeda e um dado e que nos interessa determinar quantas 
combinações são possíveis ao lançarmos a moeda (que pode nos fornecer cara ou coroa) e, em 
seguida, o dado (que pode nos fornecer as faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6).
cara
1 2
3
4
56
(a)moeda e dado
coroa
coroa
ou
1 2
3
4
cara
coroa
cara
coroa
cara
1
2
3
(b) dado e moeda
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
4
5
6
Note que tanto a figura (a), que descreve o lançamento da moeda e depois do dado, quanto a figura 
(b), que descreve o lançamento do dado e depois da moeda, apresentam 12 combinações possíveis, 
uma vez que o número de combinações não depende da ordem de lançamentos que utilizamos. 
Essas duas possibilidades se obtêm escrevendo:
2 ? 6 5 6 ? 2 5 12
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15
1. Calcule:
a) 2,32 5 5,29 b) (21,1)2 5 1,21 c) 0,14 5 0,0001
2. Calcule as seguintes potências:
a) 33 5 27
b) 32 5 9
c) 31 5 3
d) 30 5 1
e) 321 5 
1
3
f) 322 5
1
9
3. Calcule e dê a resposta na forma decimal:
a) 1023 5 0,001
b) 1024 5 0,0001
c) 
3
7
2
2
2



 5 7
3
 
49
9
 5,444...
2
2 5 5
d) 3
2
3
2
2



 5 2
3
 
8
27
 0 ,296296….
3
2 5 2 5 2
4. Transforme em uma única raiz:
a) 303 a9
b) 1303 a16
c) 794 a8
d) 2035 a25
Atividades
Sempre que possível, separe algumas atividades para os estudantes 
resolverem em pequenos grupos focais, nos quais possam ajudar-se 
mutuamente nas resoluções, o que será útil para seu desenvolvimento no 
processo de ensino e aprendizagem.
EF08MA01, EF08MA02, EF08MA3 e EF08MA05
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16
5. Transforme em radicais de índices menores:
a) 346 5
b) 15912 23
c) 3048 253
d) 2536 33
e) 31015 10
f) 112835 45
6. Simplifique:
a) 254
3
b) 3215
7
c) 6256
3
d) 8112
11
e) 1 0006 5
f) 25620
2
7. Efetue:
a) 814 2 5
b) 3433 5 23
c) 2435 2 275
d) 121 75 34
e) 1253 1 500 6
f) 1 02410 864 30
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17
8. Efetue as seguintes potências:
a) 522
 
5 525 
1
5
 
1
25
2
2
b) 221
 
5 522 
1
2
 
1
2
1
1
c) 32
 32 5 3 ? 3 5 9
d) 103
 103 5 1 000
e) 523
 5 525 
1
5
 
1
125
3
3
f) 122
 122 5 1
g) (22)22
 
2 5
2
52( 2) 
1
( 2)
 
1
4
2
2
h) (210)3
 (210)3 5 (−10) ? (−10) ? (−10) 5 −1 000
i) 1024
 
5 5 5210 
1
10
 
1
10 000
 0,00014
4
j) (210)4
 (210)4 5 (210) ? (210) ? (210) ? (210) 5 10 000
k) 1023
 1023 5 0,001
l) (210)21
 (210)21 5 2 0,1
9. Efetue as operações:
a) 1,2 ? 103
 1,2 ? 103 5 1 200
b) 3,8 ? 107
 3,8 ? 107 5 38 000 000
c) 2 ? 105
 2 ? 105 5 200 000
d) 3,2 ? 1023
 3,2 ? 1023 5 0,0032
e) 2,71 ? 1024
 2,71 ? 1024 5 0,000271
f) 1,5 ? 1024
 1,5 ? 1024 5 0,00015
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18
10. Observe a seguir algumas distâncias muito grandes e outras muito pequenas:
Distância média de Júpiter ao Sol (km) 778 300 000  
Distância média da Terra ao Sol (km)
149 600 000
Diâmetro de um fio de cabelo (m) 0,000 1 
Tamanho da bactéria Escherichia Coli (m) 0,000 001
 Escreva em notação científica:
a) A distância de Júpiter ao Sol.
7,783 ? 108 km
b) A distância da Terra ao Sol.
1,496 ? 108 km 
c) O diâmetro de um fio de cabelo.
1 ? 1024 m
d) O tamanho da bactéria Escherichia Coli.
1026 m
11. Escreva os números a seguir em notação científica:
a) 6,7 bilhões. 
6,7 ? 109
b) 7,1 milhões. 
7,1 ? 106
c) 7,3 trilhões. 
7,3 ? 1012
12. Nossa estrela, o Sol, é o centro do Sistema Solar. Sua superfície possui cerca de 6 mil graus 
Celsius, enquanto seu centro chega a 10 milhões de graus Celsius. Escreva em notação 
científica as temperaturas do centro e da superfície solar.
1,0 ? 107 e 6,0 ? 103
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19
13. Um pequeno mercado de bairro possui cinco vagas de estacionamento. De quantas 
maneiras 2 carros podem ocupar essas vagas sucessivamente?
O primeiro carro que chegar tem 5 vagas para estacionar, o segundo carro terá 4 vagas disponíveis. Dessa forma, pelo
princípio multiplicativo eles podem ocupar essas vagas de 5 ? 4 5 20 maneiras.
14. Considerando três lançamentos sucessivos de um dado comum, registrando o resultado 
do 1° lançamento, em seguida o do 2° lançamento e por último o do 3° lançamento, qual o 
número de possibilidades?
Em cada lançamento há 6 resultados possíveis; então, pelo princípio multiplicativo, temos 6 ? 6 ? 6 5 216 possibilidades.
15. Dê a representação decimal de:
a) 
7
2
 5 3,5
b) 2
3
4
 5 20,75
c) 
21
5
 5 4,2
d) 5
8
 5 0,625
16. Represente os números a seguir na forma de fração, simplificando quando for possível.
a) 0,7 5 
7
10
b) 3,4 5 5
34
10
 
17
15
c) 0,07 5 7
100
d) 0,004 5 5
4
1000
 
1
250
Porcentagens 
O cálculo com porcentagens baseia-se na ideia de transformar os numeradores das frações em 100. 
Em outras palavras, as porcentagens são razões especiais, nas quais os denominadores são sempre 
iguais a 100.
Porcentagem é qualquer razão a
b
, na qual o denominador b é igual a 100.
Para simbolizar uma razão com denominador 100, utilizamos o símbolo %, que se lê por cento. O 
termo por cento significa em cada 100.
Ao retomar a ideia de porcentagem com os estudantes, 
ressalte a importância desse conteúdo no dia a dia, 
principalmente quando lidamos com compras e 
vendas, nas quais podemos encontrar vantagens e 
desvantagens nos descontos e nos juros, dependendo 
do tipo de pagamento (à vista ou parcelado).
EF08MA04
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20
Exemplos:
• 2% 5 
2
100
 (dois por cento)
• 43% 5 
43
100
 (quarenta e três por cento)
• 50% 5 
50
100
 (cinquenta por cento)
• 150% 5 
150
100
 (cento e cinquenta por cento)
Observe alguns exemplos:
Qual o valor de 45% de 5 600? 
Esse cálculo pode ser feito de três formas diferentes:
• Por meio de uma regra de três simples:
Chamamos 5 600 de 100% e calculamos o equivalente a 45%:
porcentagem valor
100
45
5 600
x
100
45
 
5600
x
x 
45 5600
100
x 25205 5
3
5→ →
• Podemos também multiplicar 45%, que é igual a 45
100
, por 5 600:
 45% de 5 600 5 
45
100
 de 5 600 5 
145
100
 Þ 5 600 5 2 520
• Como 45% 5 
45
100
 0,455 , podemos multiplicar a forma decimal por 5 600:
 45% de 5 600 5 0,45 ? 5 600 5 2 520
Atividades
17. Em uma pequena empresa, dois sócios têm 40% da renda líquida cada um, e o terceiro tem 
20%. Quanto receberá cada sócio se a empresa teve renda líquida de R$1 240,00? 
1o sócio → 40% de 1 240 5 0,4 ? 1 240 5 R$ 496,00
2o sócio → 40% de 1 240 5 0,4 ? 1 240 5 R$ 496,00
3o sócio → 20% de 1 240 5 0,2 ? 1 240 5 R$ 248,00
EF07MA02
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21
18. A maioria dos bares e restaurantes adiciona na conta uma quantia a título de serviço. 
Quando não o fazem, os garçons calculam rapidamente esse serviço, dividindo o valor da 
conta por 10. Explique por que os garçons fazem esse cálculo? 
Dividir por 10 é o mesmo que multiplicar por 0,1, que equivale a 10% (valor do serviço).
19. Usando a calculadora, observe que um aumento de R$ 11,00 sobre um preço de R$ 50,00 é 
um aumento de 22%. Agora, use a calculadora e descubra a quantos por cento corresponde:
a) um aumento de R$ 6,00 sobre o preço de R$ 30,00.
20%
b) um aumento de R$ 8,00 sobre o preço de R$ 16,00.
50%
c) um aumento de R$ 16,00 sobre o preço de R$ 32,00.
50%
20. Responda: 
a) 31% de um certo número é 2 015. Qual é o número?
Solução: 0,31x 2015 x 
2015
0,31
 65005 5 5→
b) Calculei 1% de um número e obtive 99.Qual é o número?
Solução: 0,01x 99 x 
99
0,01
 99005 5 5→
c) 18% de que número vai resultar em 270?
Solução: 0,18x 270 x 
270
0,18
 15005 5 5→
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22
21. Em cada caso, são dados dois números. O primeiro é uma certa porcentagem do segundo. 
Calcule essa porcentagem.
a) 4 200 e 7 000
 
4200
7000
 0,60 60%5 5
b) 340 e 1 000
 
340
1000
 0,34 34%5 5
c) 78 e 2 600
 
78
2600
 0,03 3%5 5
d) 3 240 e 4 500
 
3240
4500
 0,72 72%5 5
22. Em um jogo de vôlei, Jacqueline fez 84 bloqueios e acertou 62. Por sua vez, Karina subiu em 
62 bloqueios e acertou 29. Calcule a porcentagem de acertos de cada uma.
Jacqueline → 62
84
 0,738 73,8%5 5
Karina → 
29
62
 0,467 46,7%5 5
23. Um funcionário recebeu um reajuste salarial de 7%. Passado um ano, recebeu novamente 
7% de reajuste salarial sobre seu último salário. Calcule a porcentagem de aumento que o 
funcionário teve no segundo ano, em relação ao salário de dois anos atrás.
Chamando de S o salário inicial e de S
1
 e S
2
 os dois salários seguintes, temos:
1o ano → S
1
 5 S 1 0,07S → S
1
 5 1,07S
2o ano → S
2
 5 S
1
 1 0,07S
1
 → S
2
 5 1,07S1 → S
2
 5 1,07 ? 1,07S → S
2
 5 1,1449S
Como 1,1449 5 1 1 0,1449, o aumento acumulado no segundo ano é de 14,49%.
A
d
o
b
e 
St
o
ck
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23
Geometria
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Mediatriz e bissetriz 
• Transformações geométricas
• Congruência de triângulos
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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PROFESSOR
UNIDADE 2
Nesta unidade temática trabalharemos com as construções geométricas, possibilitando a manipu-
lação de materiais e instrumentos de desenho para a obtenção de mediatriz, bissetriz, ângulos notá-
veis como 30º, 45º, 60º e 90º, e polígonos regulares. As transformações geométricas também fazem 
parte desta unidade, sendo demonstradas translações únicas, translações sucessivas e simetrias. O 
estabelecimento dos conceitos de triângulos e quadriláteros foi realizado em anos anteriores, porém 
é importante retomar esses conceitos e avançar para a congruência dos triângulos e suas proprieda-
des, estudando de forma aprofundada e prática cada uma delas. A unidade desenvolve-se por meio 
do trabalho com 3 temas:
1. Mediatriz e bissetriz
2. Transformações geométricas
3. Congruência de triângulos
Desenvolvimento 
em 3 temas
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Tema 1: Mediatriz e bissetriz
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Mediatriz e bissetriz”. Após a videoaula, realize as duas 
atividades aqui propostas.
Atividade 1:
Materiais necessários: régua e esquadros.
Entregue aos alunos uma folha com 3 retas e 5 triângulos diferentes para que eles construam as 
mediatrizes de cada reta e dos lados dos triângulos. Ressalte que a mediatriz, conforme a imagem, é 
formada pela reta perpendicular que passa no ponto médio de cada lado do triângulo.
A
B
C
D
c
a
b
Atividade 2:
Materiais necessários: régua e compasso.
Entregue aos alunos uma folha com 5 triângulos diferentes para que eles construam a bissetriz de 
cada ângulo da figura. Ressaltar que a bissetriz é a reta que corta o ângulo ao meio, conforma a 
imagem.
A
ângulo 
interno
ângulo 
interno
ângulo 
interno
B C
x+9
12 15
2x
D
Tema 2: Transformações geométricas
Sugerimos duas atividades para trabalhar com este tema.
Atividade 1: Simetria 
Materiais necessários: papel quadriculado e lápis de cor.
Entregue a cada aluno uma folha quadriculada e oriente-os a traçar uma reta no meio da folha, 
em cima de uma das linhas, dividindo a folha em duas partes. Após o primeiro passo, o aluno fará 
um desenho em um tempo determinado pelo professor, mas somente em uma metade da folha, 
Bissetriz
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 2
REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 25REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 25 02/01/2024 22:4402/01/2024 22:44
conforme a imagem. Com o desenho pronto, as folhas serão trocadas e um colega precisa completar 
o desenho do outro de forma simétrica.
Atividade 2: Translação
Materiais necessários: papel quadriculado e lápis de cor.
Entregue a cada aluno uma folha quadriculada e oriente-os a traçar uma reta no meio da folha, em 
cima de uma das linhas, dividindo a folha em duas partes. Após o primeiro passo, o aluno fará um 
desenho em um tempo determinado pelo professor, conforme a imagem. As folhas serão trocadas e 
um colega precisa fazer a translação do desenho do outro em 90º.
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 2
REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 26REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 26 02/01/2024 22:4402/01/2024 22:44
Tema 3: Congruência de triângulos
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Congruência de triângulos”. Após a videoaula, sugerimos 
a atividade com Tangram:
Entregue aos alunos o Tangram e oriente-os a escolher dois triângulos que o compõem e, no caderno, 
fazer seus contornos em posições diferentes. Depois, marcar com lápis de cor os lados que são iguais 
e os ângulos.
A
D
F
E
B C
Atividade em folha:
Entregue a cada aluno uma folha com triângulos variados e a tarefa será descobrir os triângulos que 
são congruentes. Podem ser usados a régua e o transferidor como auxílio.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF08MA14) (EF08MA15) (EF08MA16) (EF08MA17)
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Mediatriz e bissetriz
24
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25
Denomina-se bissetriz de um ângulo à semirreta interna a este ângulo, com origem em seu vértice 
e que divide o ângulo em dois ângulos iguais.
Observe os exemplos a seguir e procure medir os dois ângulos formados pela bissetriz com seu 
transferidor, como mostra a ilustração a seguir. Ela representa a medida dos dois ângulos formados 
pela bissetriz do ângulo de 70°.
bissetriz
V
35°
35°
Em cada exemplo, posicione o transferidor em um dos lados do ângulo e o centro no vértice. Em 
seguida faça a leitura dos dois ângulos formados pela bissetriz.
a) 
V
b) 
V
Construindo a bissetriz com um compasso
Você vai aprender agora como é possível traçar a bissetriz de um ângulo 
utilizando um compasso e uma régua. Vamos exemplificar com o ângulo 
AÔB a seguir.
a) Posicione o compasso com centro em O e, com uma abertura qualquer, 
obtenha os pontos C e D, como na figura a seguir:
b) Com o compasso com centro em C e depois em D, trace dois arcos com a 
mesma abertura, obtendo o ponto E.
Mediatriz e bissetriz
B
AO
B
D
ACO
B
D
E
ACO
Nesta segunda parte da Unidade, 
retome os conceitos de mediatriz ebissetriz. Oriente os estudantes a 
levarem instrumentos como réguas, 
transferidores e compassos, a fim de 
que apliquem na prática os conceitos 
estudados, facilitando a visualização 
de cada conceito.
EF08MA15, 
EF08MA16 e 
EF08MA17
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26
c) A bissetriz será a semirreta OE
� ���
. Observe-a na figura a seguir e faça a medida 
das duas metades do ângulo com o transferidor.
Dado um triângulo, temos que se chama mediatriz relativa a um lado de um triângulo à reta 
perpendicular ao lado em seu ponto médio. Assim, cada triângulo tem três mediatrizes que se 
0ponto denominado circuncentro do triângulo. Observe na figura a seguir que O é o circuncentro e 
M, N e P são os pontos médios dos lados do triângulo.
M
B C
A
P
O
N
Chama-se bissetriz interna do triângulo cada um dos segmentos 
que une um vértice ao lado oposto e divide o ângulo deste 
vértice em duas partes iguais. Na figura, o segmento AD é a 
bissetriz interna relativa ao ângulo A.
Todo triângulo possui três bissetrizes internas, cada uma 
relativa a um ângulo ou ao lado oposto a este ângulo. As três 
bissetrizes encontram-se em um mesmo ponto, denominado 
incentro do triângulo.
O incentro (encontro das três bissetrizes internas do triângulo) é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo. Observe no triângulo a seguir que o raio da circunferência é perpendicular 
aos lados do triângulo nos pontos M, N e P e são os pontos de tangência da circunferência inscrita 
no triângulo.
A
I
B
C
P r r
r
N
M
A
CB D
C
I
B
A
a
f
e
b
c
d
B
D
E
ACO
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27
Transformações geométricas 
Se a cada ponto de um plano fizermos, através de 
qualquer processo, corresponder um outro, obte-
remos uma transformação desse ponto. Observe, 
como exemplo, o que ocorre com os pontos A, B e C, 
pertencentes às retas r, s e t, que se cruzam no ponto 
O. Se marcarmos em cada uma das retas os pontos 
que mantêm a mesma distância de O que os pontos 
A, B e C possuem, obteremos A’, B’ e C’, que são simé-
tricos a A, B e C, em relação a O. Neste caso, obtive-
mos transformações por simetria.
Observe agora os vários pontos que formam o triângulo ABC da figura F. Se deslocarmos o ponto C a 
uma distância d1 sobre a reta r, todos os demais pontos também se deslocarão e obteremos o triân-
gulo A’B’C’ da figura F’, que é uma transformação por translação da figura F. Se deslocarmos agora o 
ponto C’ a uma distância d2 sobre a reta r e fizermos uma rotação de 90° em torno de C’’, obteremos o 
triângulo A”B”C” da figura F”, que é uma transformação por translação e rotação de F’.
A’A
d1 d2
F’F
90°
r
C
A” F”
C’ C”
B B’
B”
É importante notar que os lados e os ângulos internos dos três triângulos obtidos são iguais nas 
transformações que ABC sofreu.
Translações
Observe o deslocamento do triângulo ABC, de tal forma que BB’, AA’ e CC’ sejam paralelos à reta r, 
na qual indicamos o sentido do movimento.
B’
A’
B
A
C’
C
B’
A’
O
B
C
A
r
s
t
C’
Questione os estudantes sobre 
as escritas ao contrário em carros 
oficiais, como ambulâncias e 
bombeiros. Se possível, peça que 
escrevam algumas palavras ao 
contrário, a fim de, com ajuda de um 
espelho, verificar o efeito obtido.
EF08MA18
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28
O triângulo ABC e o triângulo A’B’C’ são iguais, têm as mesmas medidas de lados e de ângulos 
internos. Nesse caso, dizemos que houve uma transformação por simples translação de ABC.
Translações sucessivas
Vamos aplicar agora duas translações seguidas ou sucessivas a uma figura A. Primeiramente, na 
translação 1, obtemos A’. Em seguida, a partir da transformação 2, obtemos A’’.
Translação 1 Translação 2
A’A A”
Nas translações sucessivas, podemos dizer que as figuras obtidas são todas iguais, em medidas e em 
forma, à figura original.
Simetria 
Podemos definir simetria como a correspondência entre pontos em relação a um ponto central fixo, 
a um eixo ou a um plano. Assim, a cada ponto de uma figura, corresponde outro, a igual distância no 
sentido contrário em relação a um ponto central, um eixo ou um plano.
Observe atentamente a figura a seguir.
r
s
O
1 2
3 4
As figuras 1 e 2 são simétricas em relação ao eixo r, e o mesmo acontece com as figuras 3 e 4. Já as 
figuras 1 e 3 são simétricas em relação ao eixo s, e o mesmo ocorre com 2 e 4. Se considerarmos 
as figuras 1 e 4, podemos dizer que elas são simétricas em relação ao ponto O, assim como as 
figuras 2 e 3.
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1. Quantos eixos de simetria possui um quadrado? Justifique sua resposta com um desenho.
O quadrado possui 4 eixos de simetria.
2. Um polígono regular de n lados pode sempre ser inscrito em uma circunferência de centro O. 
Indique quantos eixos de simetria possuem os seguintes polígonos regulares e indique-os nas 
figuras:
a) pentágono regular
5 eixos de simetria.
b) hexágono regular
6 eixos de simetria.
c) octógono regular
8 eixos de simetria.
3. Utilizando transferidor e régua, trace a bissetriz dos ângulos a seguir:
a) 
V
b) 
V
c) 
V
d) 
V
Atividades
Orientar os estudantes a utilizares transferidor e régua para traçar a bissetriz em cada caso.
EF08MA18
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30
4. Qual o valor dos ângulos formados pelas bissetrizes dos ângulos internos do polígono seguir?
a) ABC é um triângulo equilátero.
 
A
B C
ABC é equilátero. Logo cada ângulo interno mede 60º, e as bissetrizes formam ângulos de 30º em cada vértice.
b) ABC é um triângulo isósceles com ângulo do vértice de 40º. 
 
A
B C
40°
Cada ângulo da base mede 70º. Portanto as bissetrizes determinam ângulos de 20º no vértice e 35º na base.
c) ABCD é um quadrado. As bissetrizes dos ângulos internos determinam 8 ângulos. 
 
A B
CD
Cada ângulo será de 45º.
5. Sabendo-se que, na figura, 
� ���
OB é bissetriz do ângulo AÔ, determine o valor de x em graus.
O
A
B
C
x
2x – 40°
2x 2 40 5 x → x 5 40º
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31
6. Na figura a seguir, 
� ���
OB é bissetriz de AÔC, e 
� ���
OD é bissetriz do ângulo CÔE. Sabendo-se que o 
ângulo AÔC mede 60° e que CÔE mede 80°, determine a medida de AÔE.
A
B
CD
E
O
AÔE 5 60º 1 80º 5 140º
7. O triângulo da figura ao lado é equilátero. Utilizando régua 
e compasso, trace as bissetrizes dos três ângulos internos e 
responda às perguntas.
a) As três bissetrizes encontram-se no mesmo ponto?
Sim.
b) Em caso afirmativo da questão a, centre o compasso no ponto de encontro das bissetrizes e, com 
abertura em um dos vértices, trace uma circunferência completa. A circunferência passa pelos 
três vértices?
Resposta pessoal.
8. Determine x e y nas figuras, sabendo que o ponto I, em cada uma delas, é o incentro do 
triângulo.
A
BC
a) 
y
I
x
33° 33°
y
I
x
30°
a) b)
26°
29°
Se I é o incentro, os três ângulos dos vértices estão
divididos ao meio.
x 1 30º 1 29º 5 180º → x 5 121º → y 5 125º
b) 
y
I
x
33° 33°
y
I
x
30°
a) b)
26°
29°
Se I é o incentro, os três ângulos dos vértices estão
divididos ao meio.
9. Descreva a translação e a rotação que permitem a obtenção do triângulo A’B’C’ da figura 
abaixo, a partir do triângulo ABC.
 
A
B C
A’
C’
 
A
B C
A’
C’
Faz-se uma translação sobre o lado BC e umarotação sobre este mesmo lado.
x 1 33º 1 33º 5 180º → x 5 114º → y 5 24º
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32
10. Na malha quadriculada da figura, desenhe o simétrico do triângulo ABC, em relação à reta 
suporte do lado AC.
 
A
B C
 
A
B C B’
11. Sabendo-se que C e C’ são equidistantes da reta r, descreva as duas simetrias utilizadas para 
encontrarmos o triângulo A’B’C’.
A
B C
r
A’
B’C’
 
A
B C
r
A’
B’C’
12. Se os pontos C e C’ são simétricos em relação a r, descreva as transformações que dão 
origem à figura A’’B’’C’’.
 
C’
r
A
B
C
A” 
C’ A’
B’
r
A
B
C
A”
B”
Construímos o triângulo simétrico a ABC e, em seguida, fazemos a rotação de 90o do triângulo obtido em torno do ponto C’.
Resposta:
Construímos o triângulo simétrico a ABC em relação ao eixo r e, em seguida, o simétrico do triângulo obtido, em relação ao 
lado B’C’.
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33
Congruência de triângulos
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34
Dizemos que dois triângulos são congruentes quando tiverem lados e ângulos com as mesmas 
medidas.
Observe, por exemplo, os triângulos ABC e DEF.
B C
A
F E
D
Os triângulos ABC e DEF têm três ângulos e três lados respectivamente iguais. Por essa razão, 
dizemos que eles são congruentes e indicamos nABC ; nDEF, em que o símbolo ; significa 
congruente. Ainda que tenha o mesmo sentido de igual, para grandezas geométricas é mais correto 
utilizarmos o termo congruente. 
Quando, por exemplo, dois segmentos são congruentes, eles têm medidas iguais. Aí, sim, é mais 
correto utilizarmos o termo “iguais”, pois as medidas são grandezas numéricas.
Note que, para indicar dois lados congruentes, indicamos ambos com o mesmo sinal e que, para 
indicar que dois ângulos são congruentes, fazemos o mesmo.
Dizemos que dois lados de dois triângulos congruentes são correspondentes se eles tiverem a 
mesma medida. Também chamamos de ângulos correspondentes aqueles que têm a mesma medida. 
Nos dois triângulos da figura:
• AB e DE; BC e FE; AC e DF são pares de lados correspondentes.
• A e D; B e E; C e F� � ���� são pares de ângulos correspondentes.
Note também que nos dois triângulos os pares de lados congruentes são opostos aos pares de 
ângulos congruentes. Assim:
• AB é oposto a C e DE é oposto a F.
• BC é oposto a A e FE é oposto a D. 
• AC é oposto a B e DF é oposto a E.
Podemos, então, estabelecer uma condição geral para os lados e os ângulos de dois triângulos 
congruentes a partir dessas características.
Se dois triângulos são congruentes:
• Lados opostos a ângulos congruentes são congruentes;
• Ângulos opostos a lados congruentes são congruentes.
Para verificar a congruência entre dois triângulos, precisamos encontrar um conjunto de condições 
mínimas que nos permitem concluir que os três lados e os três ângulos internos são respectivamente 
iguais. Essas condições mínimas podem sempre ser estabelecidas a partir de um lado e outros dois 
elementos quaisquer do triângulo. 
Assim, teremos quatro casos possíveis para o estabelecimento da congruência de dois triângulos, 
que estudaremos a seguir.
Incentive os estudantes a recordarem o conceito de quadrilátero que já conhecem, bem como as definições de triângulos e suas 
congruências. Peça que repliquem algumas dessas figuras no caderno, observando cuidadosamente as características de cada uma.Congruência de triângulos
EF08MA14
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35
1° Caso: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos ABC e DEF têm os lados correspondentes congruentes, então eles são congruentes. 
Isso significa que os ângulos correspondentes nos dois triângulos também serão congruentes.
CB F
E
A
D
 
� � � � ����




→ →
AB DE
BC EF
AC DF
 ABC DEF A D; B E e C F
;
;
;
; ; ; ;
2° Caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos ABC e DEF têm dois lados correspondentes congruentes e os ângulos 
compreendidos por esses lados também são congruentes, então eles serão congruentes. 
CB
FE
A
D
 
� � � � ����




→ →
AB DF
A D
AC DE
 ABC DEF BC EF; B F e C E
;
;
;
; ; ; ;
3° Caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Se dois triângulos ABC e DEF têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes e os lados 
compreendidos por esses ângulos também são congruentes, então eles serão congruentes. 
CB
FE
A
D
 
�
� � ��
�� 



→ →
A D
AB DF
B F
 ABC DEF AC DE; C E e BC EF
;
;
;
; ; ; ;
4° Caso: LAAO (lado, ângulo adjacente, ângulo oposto)
Se dois triângulos ABC e DEF têm respectivamente um lado, um ângulo adjacente a este lado e o 
ângulo oposto a este lado congruentes, então eles serão congruentes. 
CB
FE
A
D
 
� �
�
� �
�
��




→ →
AB DF
 B F
 C E
 ABC DEF AC DE; A D e BC EF
;
;
;
; ; ; ;
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36
• Elementos de um quadrilátero
Já sabemos que um quadrilátero é um polígono convexo de quatro lados. Vamos considerar o 
quadrilátero ABCD da a seguir.
C
A B
D
C
A
ae
be
ce
ai
ci
de
di
bi
B
D
• AB, BD, CD e AC são os lados do quadrilátero;
• AD e BC são as diagonais;
• ai; bi; ci; di são os ângulos internos;
• ae; be; ce; de são os ângulos externos.
Note que cada par de ângulos internos e externos são suplementares, isto é, somam 180o. Em função 
disso, podemos escrever:
1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 5 ? 5a b c d a b c d a a b b c c d d 4 180° 720°
i i i i e e e e i e
180
i e
180
i e
180
i e��� ��� �� ���) )( (
° ° °
Se considerarmos agora a diagonal AD do quadrilátero, veremos que ela divide o quadrilátero em 
dois triângulos ACD e ABD:
C
D
BA
4
1
3
5
2
6
Cada um dos triângulos tem soma dos ângulos internos igual a 180o. Podemos, então, escrever:
1 1 1 1 1 5 ? 5(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 180° 360°
180 180
� ��� ��� � ��� ���
° °
Como a soma dos três ângulos internos do triângulo ACD com os três ângulos internos do triângulo 
ABD equivale à soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD, podemos concluir que essa soma 
é sempre 360°. Vimos também que a soma dos ângulos internos com os ângulos externos é 720°, o 
que nos permite concluir que a soma dos ângulos externos também é 360°. Em resumo:
Para qualquer quadrilátero ABCD:
A soma dos ângulos internos é 360°;
A soma dos ângulos externos é 360°.
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37
13. Sabendo-se que ABDE é um retângulo e que C é ponto médio de BD, prove que os 
triângulos ABC e ECD são congruentes e determine a medida em cm de BC. 
 B DC6x – 2 3x + 7
A E
14. Sabendo que ABCD é um losango, demonstre que os triângulos ADM e BMC são congruentes 
e que, como consequência, as diagonais do losango se cruzam em seus pontos médios.
 
BD
C
A
M
 




→ ∆ ∆
AD BC (ABCD losango)
A C (alternos internos)
M comum (opostos pelo vertice)
 ADM CMB pelo caso LAA
Logo AM MC e DM MB
O
;
; ;
; ;
15. Determine o caso de congruência para cada par de triângulos a seguir e calcule os valores 
de x e y.




→ ∆ ∆
→ →
AB ED (ABCD retângulo)
B C 90°BC CD (C ponto médio)
 ABC CDE pelo caso LAL
6x 2 3x 7 x 3 BC 16 cm
;
; ;
;
;
2 5 1 5 5
c) A
B C6 8
10
D
E
y
8 x
d) ABC é isósceles
 M
A
B C
x
y4
60°




→ ∆ ∆
AB CD
B D 90°
C E
 ABC CDE pelo caso LAA
Assim, y 8 e x 10
0
;
; ;
;
;
5 5




→ ∆ ∆
A comum (60°)
AM lado comum
M comum (90°)
 ABM AMC pelo caso ALA
Logo y 4 e x 30°
;
5 5
a) A
B E
C3
D
x
b) A B
C
60º
DE
y
x




→ ∆ ∆
A D
AC CD
C comum (opostos pelo vertice)
 ABC CDE pelo caso ALA
Logo x 3
;
; ;
5




→ ∆ ∆
→ →
→
→
AB CD
B D 90°
BC ED
 ABC CDE pelo caso LAL
Em ABC A 60° 90° 180° A 30°
x A x 30°
y C y 60°
;
; ;
;
;
1 1 5 5
5 5
5 5
Atividades EF08MA14
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38
16. Na figura, o triângulo DBC é isósceles de base BC. Determine os ângulos internos do 
quadrilátero EDAC.
B
D
C
y + 25°
65°
x
y x
A
E
No quadrilátero EABD → B 5 180° 2 65° → B 5 115°
No triângulo isósceles DBC → x 1 65° 1 65° 5 180° → x 5 50°
Logo, em EACD, y 1 y 1 25° 1 115° 1 50° 5 360° → y 5 85°
Os ângulos internos de EACD são 85°, 110°, 115° e 50°
17. No quadrilátero da figura, AB//DC, e os triângulos AMB e DMC são isósceles, com bases AB 
e DC, respectivamente. Determine os ângulos internos do quadrilátero ABCD. 
D C
A
M
B
40°
30°
No triângulo isósceles MDC → D 5 C 5 40° → M 5 100°
No triângulo isósceles AMB → A 5 B 5 40° → M 5 100°
No triângulo BMC → C 5 30o, M 5 80° e B 5 70°
No triângulo AMD → A 5 30o, M 5 80° e D 5 70°
Os ângulos internos de ABCD são, portanto, 110°, 110°, 70 ° e 70°
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39
Álgebra
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Valor numérico de expressões algébricas 
• Fatoração de polinômio
• Equação de 1º grau com duas incógnitas 
• Sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas 
• equação polinomial de 2º grau
• Sequências recursivas e não recursivas 
• Variação de grandezas 
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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PROFESSOR
UNIDADE 3
Nesta unidade temática, começaremos abordando o cálculo do valor numérico em expressões algé-
bricas, relembrando também as equações de primeiro e segundo graus, bem como os sistemas de 
equações. Estes últimos são fundamentais para trabalhar com variáveis em resoluções de problemas 
mais complexos, ampliando as possibilidades de interpretação matemática. Além disso, a regra de 
três é expandida para incluir a regra de três composta, além da já conhecida regra de três simples. 
Esse aprofundamento no tema fortalece a capacidade dos estudantes de aplicar conceitos matemá-
ticos em contextos variados e desafiadores, proporcionando uma compreensão mais sólida e abran-
gente da matéria. Destacam-se 3 temas no desenvolvimento da unidade.
1. Equação de 1º grau com duas incógnitas
2. Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas
3. Variação de grandezas
Desenvolvimento 
em 3 temas
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Tema 1: Equação de 1º grau com duas incógnitas
A sugestão é trabalhar com o Geogebra para melhor visualização das equações de primeiro grau 
e suas representações gráficas. Apresente a equação x - 4y = -15 para resolver no caderno e ao 
mesmo tempo usar o Geogebra (https://www.geogebra.org/) para verificar o gráfico da equação.
5
4
3
2
1
−1
−2
−1 1 2−2−3−4
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
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Tema 2: Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas
A sugestão é iniciar com a videoaula “Sistema de equações de 1º grau” e depois trabalhar com o 
Geogebra para melhor visualização delas e da sua representação gráfica. Apresente duas equações 
para que seja resolvido o sistema:
x + y = 8 
2x - 3y = 1
Utilize o Geogebra (https://www.geogebra.org/) para auxiliar na construção do gráfico.
10
(0; 8)
(8; 0)
(2; 1)
(8; 5)
x + y = 8
2x + 3y = 1
(5; 3)
5
5 10
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 3
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Tema 3: Variação de grandezas
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Regra de três composta”. Após a videoaula, prepare e 
entregue situações-problemas que permitam utilizar a regra de três composta.
Forme grupos de até 3 alunos para fazer um passo a passo de como resolver a situação-problema 
recebida. Oriente os alunos a fazer a resolução com ilustrações, para facilitar o entendimento, e 
depois apresentar aos outros grupos como foi feita a resolução.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF08MA06) (EF08MA07) (EF08MA08) (EF08MA09) (EF08MA10) (EF08MA11)
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Produtos notáveis
40
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41
Como você sabe, expressões algébricas representam operações matemáticas que envolvem 
números e letras, por meio das quais, se forem aplicadas as propriedades das operações, podemos 
descobrir o valor numérico das variáveis (letras). Para fazer isso, podemos nos utilizar de diversas 
ferramentas, como a fatoração do polinômio.
Fatoração de polinômio
Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de polinômios.
As técnicas de fatoração de polinômios são extremamente úteis nas simplificações de expressões 
algébricas, muito comuns no cálculo algébrico. As principais técnicas que iremos estudar são:
Diferença de quadrados
Trinômio quadrado perfeito
Fator comum
Agrupamento
Diferença de quadrados
Todo polinômio que pode ser expresso na forma a2 2 b2 pode ser fatorado a partir da igualdade 
(a 1 b) Þ (a 2 b) 5 a2 2 b2, que é um dos produtos notáveis estudados.
Portanto:
2 5 1 ? 2x y (x y) (x y)2 2
diferença de
quadrados
soma das
bases
diferença
das bases
��� �� ��� ���
• Acompanhe os exemplos:
• Para fatorar a2 2 25, observamos que 25 5 52. Logo a2 2 52 5 (a 1 5)(a 2 5). 
• Na fatoração de (64a4 2 1), observamos que 64a4 5 (8a2)2 e 1 5 12. Por conseguinte, a fatoração 
fica sendo 64a4 2 15 (8 a2 1 1)( 8 a2 2 1).
• Observe as bases na fatoração de a2 2 
1
4
:
a2 2 
1
4
 5 a2 2 
1
2
 a 
1
2
a 
1
2
2
5 1 2












Trinômio quadrado perfeito
Chamamos um polinômio de três termos de trinômio. O polinômio a2 1 2ab 1 b2 é um trinômio 
quadrado perfeito, pois tem três termos e é o produto notável (a 1 b)2.
Também é um trinômio quadrado perfeito o polinômio a2 2 2ab 1 b2, resultado de (a 2 b)2.
Produtos notáveis
Comente com os estudantes 
que, neste tópico, retomaremose aprofundaremos algumas 
importantes técnicas para 
resolução de expressões 
algébricas. Incentive-os a treinar 
com os exemplos de cada caso. 
EF08MA06
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42
A fatoração de um trinômio quadrado perfeito se dá fazendo a operação inversa dos produtos 
notáveis (a 1 b)2 ou (a 2 b)2. Assim:
a 2ab b (a b)2 2
trinômio quadrado
perfeito
2
quadrado
da soma
� ��� ��� ��� ��1 1 5 1 e a 2ab b (a b)2 2
trinômio quadrado
perfeito
2
quadrado
da diferença
� ��� ��� ��� ��2 1 5 2
A fatoração de um polinômio utilizando-se o quadrado da soma ou o quadrado da diferença só pode 
ser feita se identificarmos, através de seus coeficientes, que ele é um trinômio quadrado perfeito. 
Observe como isso é feito:
Para verificar se a2 1 10a 1 25 é um trinômio quadrado, observamos, inicialmente, se dois de seus 
termos são quadrados.
Nesse caso, a2 e 25 são quadrados, respectivamente de a e 5.
 a2 1 10a 1 25
 ↑ ↑
quadrado de a quadrado de 5
Em seguida, verificamos se o terceiro termo do polinômio é o duplo produto das bases que 
identificamos. De fato:
2 ? a ? 5 5 10a
Assim, podemos fatorar o polinômio a2 1 10a 1 25 como um trinômio quadrado perfeito:
a2 1 10a 1 25 5 (a 1 5)(a 1 5) 
Observe, agora, que 9a2 2 15a 1 25 tem dois termos quadrados:
9a2 5 (3a)2 e 25 5 52.
Porém, com as bases (3a) e 5, o duplo produto deveria ser 2 ? (3a) ? 5 5 30a, que é diferente do termo 
2 15 a. Assim, o polinômio 9a2 2 15a 1 25 não é um trinômio quadrado perfeito. 
Para fatorar a6 2 2a3b 1 b2, observamos que as bases dos quadrados são a3 e b e qua o terceiro 
termo é o duplo produto com sinal negativo. Logo:
a6 2 2a3b 1 b2 5 (a3 2 b)2
Fator comum
Em alguns polinômios, podemos encontrar fatores numéricos ou literais que aparecem em todos os 
termos. Veja os exemplos:
a) 4xy 1 8 5 4xy 1 4 ? 2 → o fator 4 é comum aos dois termos do binômio. Assim, podemos escrever 
4xy 1 8 5 4(xy 1 2).
b) 2ab 2 6a2 1 2a 5 2ab 2 2a ? 3a 1 2a → o fator 2a é comum a todos os termos do polinômio.
Quando todos os termos de um polinômio possuírem um fator comum, podemos colocá-lo em 
evidência e fatorar o polinômio, dividindo cada monômio pelo fator comum.
Fazendo isso, o polinômio fatorado será o produto do fator comum pela expressão obtida ao dividir 
o polinômio por esse fator comum.
Observe os seguintes exemplos:
No polinômio 12x3 1 8x2, o fator comum é 4x2. Logo:
12x3 1 8x2 5 4x2 (3x 1 2).
Na expressão ax 2 ay 1 a, o fator comum é a. Logo ax 2 ay 1 a 5 a (x 2 y 1 1).
Para fatorar 45a4 2 25a2b 1 15a3, colocamos em evidência o fator comum 5a2. Logo o polinômio 
fatorado é 45a4 2 25a2b 1 15a3 5 5a2 (9a2 2 5b 1 3a).
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43
Agrupamento
Nem sempre encontramos um fator comum a todos os termos de um polinômio. Pode ocorrer que 
parte dos termos tenha um fator comum e outra parte tenha outro fator comum. Se fizermos as 
fatorações das partes que têm fatores comuns, pode ocorrer que encontremos um novo fator comum, 
o que permitirá fazer a fatoração final. Esse processo, chamado de fatoração por agrupamento, fica 
mais fácil de ser entendido por meio de exemplos.
Vamos fazer a fatoração do polinômio ax 1 bx 1 7a 1 7b.
Observe que não há um fator comum a todos os termos do polinômio, mas os dois primeiros têm o 
fator comum x e os dois últimos têm o fator comum 7. Podemos então escrever:
1 1 1 5 1 1 1ax bx 7a 7b x(a b) 7(a b)
x 7
��� �� ��� ��
Note que “surgiu” um novo fator comum: (a 1 b). Colocando (a 1 b) em evidência, completamos a fatoração:
ax1 bx 1 7a 1 7b 5 (a 1 b)(x 1 7)
Veja, agora, como fazemos para fatorar 6y3 2 30y2 1 y 2 5:
2 1 2 5 2 1 2 5 2 16y 5y y 5 5y (y 5) 1(y 5) (y 5)(5y 1)3 2 2 2
� �� �� �
Equação de 1º grau 
com duas incógnitas 
Os gráficos cartesianos são utilizados quando dispomos de duas variáveis e desejamos representar 
uma delas em função da outra. É a forma mais elementar de representação gráfica em dois eixos 
coordenados e fundamental para a compreensão da grande maioria dos demais tipos de gráficos.
Utilizando uma equação de primeiro grau com duas incógnitas, podemos construir uma reta em 
um gráfico cartesiano com seus resultados numéricos. Para cada valor de x, teremos um valor 
correspondente de y; assim, dizemos que um par ordenado (x, y) de um ponto P é formado por um valor 
x, chamado abscissa de P, e um valor y, chamado ordenada de P. Por exemplo, considere a equação a 
seguir:
2x 2 y 5 1
Para alguns valores de x, temos:
• Se x 5 0, y 5 21; então temos o par ordenado (0, 21);
• Se x 5 1, y 5 1; então temos o par ordenado (1, 1);
• Se x 5 2, y 5 3; então temos o par ordenado (2, 3);
• Se x 5 21, y 5 23; então temos o par ordenado (21, 23);
• Se x 5 22, y 5 25; então temos o par ordenado (22, 25).
Assim, os pares ordenados (0, 21), (1, 1), (2, 3), (21, 23) e 
(22, 25) são algumas das soluções da equação 2x 2 y 5 1. 
Podemos representar graficamente esses pares ordenados em 
um sistema de eixos cartesianos, obtendo uma reta que os liga:
Todos os pontos correspondentes aos 
pares ordenados de números racionais que são soluções de uma equação de 1o grau 
com duas incógnitas estão contidos em uma mesma reta.
y
x
(2, 3)
2x – y = 1
(1, 1)
(0, –1)
(–1, –3)
(–2, –5)
Retome o tema pares ordenados, lembrando aos 
estudantes, por exemplo, que (2, 5) é diferente de 
(5, 2), pois a posição de cada algarismo nesse tipo 
de representação é importante. 
EF08MA07
Solicite aos estudantes que reproduzam 
o gráfico no caderno, de preferência em 
papel quadriculado, e que calculem outros 
pares ordenados para que vejam como a 
linha do gráfico se completa.
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Sistemas de equações
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Chamamos de sistema de equações a associação de duas ou mais equações, cada uma delas com 
mais de uma incógnita. Vamos estudar aqui os sistemas de duas equações com duas incógnitas, 
que montamos quando temos duas sentenças matemáticas com as mesmas incógnitas. Veja, por 
exemplo, o problema a seguir.
Determine dois números cuja soma seja 8 e que o triplo do primeiro subtraído do segundo resulte 4. 
Se chamarmos os dois números de incógnitas x e y e escrevermos as duas proposições do problema, 
teremos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x y 8
3x y 4
1 5
2 5



Um sistema é representado pelas equações e pela chave, que representa que os valores de x e y que 
encontrarmos como solução do sistema devem satisfazer as duas equações simultaneamente. 
Existem diversos processos de resolução de um sistema de equações, ou seja, podemos encontrar o 
par de valores (x, y) que satisfaça ambas as equações de vários modos. Vamos, inicialmente, estudar 
os processos que denominamos de métodos algébricos.
Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação para substituí-la 
na outra equação, de tal maneira que tenhamos apenas uma incógnita nessa última.
Acompanhe o método da substituição no exemplo a seguir:
x 2y 2 (1)
2x 3y 6 (2)
2 5
2 5



a) Isolar uma das incógnitas:
 Vamos isolar a incógnita x a partir da equação (1): 
 x 2 2y 5 2 → x 5 2 1 2y
 Em seguida, vamos trocar x por 2 1 2y na equação (2).
b) Substituir a incógnita isolada e resolver a equação obtida:Na equação (2) obtemos:
 2x − 3y 5 6 → 2(2 1 2y) − 3y 5 6 → 4 1 4y − 3y 5 6 → y 5 6 2 4 → y 5 2
c) A partir da incógnita encontrada, determinamos o valor da outra:
 Vimos que x 5 2 1 2y. Substituindo o valor de y em x 5 2 1 2y, temos:
 x 5 2 1 2 Þ (2) → x 5 2 1 4 → x 5 6
A solução do sistema em que x 5 6 e y 5 2 é representada pelo par (6, 2). Esse tipo de par é denominado 
par ordenado, pois, nele, a ordem em que os valores aparecem tem importância: o primeiro valor 
representa x e o segundo representa y. 
Assim, a solução do sistema é S 5 {(6, 2)}
Sistemas de equações
Enfatize a importância das técnicas 
de resolução dos sistemas de 
equações que verão a seguir e sugira 
que repliquem cada exemplo dado 
para buscarem familiaridade com as 
técnicas.
EF08MA08
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46
Método da adição
Outro método algébrico de grande utilidade na resolução de sistemas de equação é o método da 
adição. Da mesma forma que no método da substituição, o objetivo aqui é encontrar, a partir das 
duas equações, uma terceira com apenas uma incógnita. Para isso, utilizamos um procedimento que 
consiste em transformar uma ou ambas as equações, de tal forma que, ao adicioná-las, eliminamos 
uma das incógnitas. 
Veja, por exemplo, a resolução dos sistemas a seguir pelo método da adição:
a) 4x 3y 12 (1)
x 3y 3 (2)
2 5
1 5



Observe que a equação (1) possui o termo 23y e a equação (2) possui o termo oposto 3y. Nesse 
caso, podemos obter uma só equação sem a incógnita y, se somarmos as duas equações membro a 
membro.
Acompanhe:
 4x 2 3y 5 12
 x 1 3y 5 3 1
 5x 1 0 5 15 → 5x 5 15 → x 5 3
Observe que, ao fazermos 23y 1 3y 5 0, a incógnita y desapareceu. Agora, basta substituir o valor 
de x em uma das equações do sistema:
4x 2 3y 5 12 → 4 ? 3 2 3y 5 12 → 23y 5 12 − 12 → 23y 5 0 → y 5 0
A solução do sistema é S 5 {(3, 0)}.
Observe, agora, um exemplo de sistema em que precisamos transformar as duas equações para 
obtermos termos opostos e aplicarmos o método da adição:
b) 2x 5y 3 (1)
3x 2y 10 (2)
2 5
2 5



Nesse caso, fazemos o seguinte:
Multiplicamos a equação (1) por 3
Multiplicamos a equação (2) por 22
2 5
2 5
 2x 5y 3 (1)
 3x 2y 10 (2)




Fazendo isso, iremos obter:
3(2x 5y) 3 3 (1)
2(3x 2y) 2 10 (2)
2 5 ?
2 2 5 2 ?



6x 15y 9 (1)
6x 4y 20 (2)
2 5
2 1 5 2



Somando-se (1) e (2), membro a membro, eliminaremos a incógnita x:
 6x 2 15y 5 9
 26x 1 4y 5 220 1
 0 2 11y 5 211 → y 5 1
Substituindo y em uma das equações, encontraremos x:
2x − 5y 5 3 → 2x 2 5 ? 1 5 3 → x 5 4
A solução do sistema é S 5 {(4, 1)}.
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1. Verifique se a expressão é um trinômio quadrado perfeito e, em caso afirmativo, faça a 
fatoração:
a) a2 2 7a 1 12
a2 2 7a 1 12 → não é um trinômio quadrado perfeito, pois 12 não é quadrado perfeito e 27a não é um duplo produto.
b) a2 2 4a 2 1
a2 2 4a 2 1 → não é um trinômio quadrado perfeito, pois 21 não é um quadrado.
c) 3n3 2 7n2 1 5n 1 12
3n3 2 7n2 1 5n 1 12 → não é um trinômio quadrado perfeito, pois tem o termo 3n3.
d) a2 2 4a 1 4
Sim, pois a2 2 4a 1 4 5 (a − 2)2
e) a2 1 10a 1 25
Sim, pois a2 1 10a 1 25 5 (a 1 5)2
2. As expressões a seguir são trinômios quadrados perfeitos. Fatore cada uma delas.
a) x2 1 8x 1 16
b) x2 2 8x 1 16
c) 4x2 2 20x 1 25
d) 9a2 2 12a 1 4
e) a2 2 2a 1 1
x2 1 8x 1 16 5 (x 1 4)2
x2 2 8x 1 16 5 (x 2 4)2
4x2 2 20x 1 25 5 (2x 2 5)2
9a2 2 12a 1 4 5 (3a 2 2)2
a2 2 2a 1 1 5 (a 2 1)2
Atividades EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08
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48
3. Fatore:
a) 16b6 2 a4 b) 25m2 1 20m 1 4 c) 25a2 2 
10x
3
 
1
9
1
4. Fatore no maior número de fatores possíveis os polinômios a seguir.
a) a4 2 1
b) a20 2 81
c) 81a4 2 1
d) 625 2 a4
5. Considere que . é um monômio positivo, determine-o em cada caso, fazendo com que o 
polinômio seja um trinômio quadrado perfeito.
a) a2 1 . 1 100
b) a2 1 . 1 25
c) a4 1 . 1 25
d) a2 2 . 1 4
e) 16a61 . 1 49
f) a4 2 . 1 9b2
6. Fatore o dividendo e simplifique as frações:
a) para x Þ 7, x 14x 49
x 7
2 2 1
2
b) para x Þ 24, x 16
x 4
2 2
1
c) para x Þ 1
5
, 25x 10x 1
(5x 1)
2
2
1
2
−
d) para x Þ 2 3, x 6x 9
x 3
2 1 1
1
a4 2 1 5 (a2 1 1)(a2 2 1) 5 (a2 1 1)(a1 1)(a 2 1)
a20 2 81 5 (a10 1 9)(a10 2 9) 5 (a101 9)(a51 3)(a5 2 3)
81a4 2 1 5 (9a2 1 1)(9a2 2 1) 5 (9a2 1 1)(3a1 1)(3a 2 1)
625 2 a4 5 (25 1 a2)(25 2 a2) 5 (25 1 a2)(5 1 a)(5 2 a2)
a2 1 . 1 100 →5 20a
a2 1 . 1 25 → 5 10a
a4 1 . 1 25 → 5 10a2
a2 2 . 1 4 → 5 4a
16a61 . 1 49 → 5 56a3
a4 2 . 1 9b2 → 5 6a2b
2 1
2
5
2
2
5 2
x 14x 49
x 7
 
(x 7)
x 7
 x 7
2 2
2
1
5
1 2
5 2
+
x 16
x 4
 
(x 4)(x 4)
x 4
 x 4
2
2 1
2
5
2
2
5
25x 10x 1
(5x 1)
 
(5x 1)
(5x 1)
 1
2
2
2
2
1 1
1
5
1
1
5 1
x 6x 9
x 3
 
(x 3)
x 3
 x 3
2 2




25a 
10x
3
 
1
9
 5a 
1
3
2
2
2 1 5 225m2 1 20m 1 4 5 (5m 1 2)216b6 2 a4 5 (4b3 1 a2) (4b3 2 a2)
REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 48REVER E APRENDER_MAT_9ANO_ALUNO_006a104_REV9_NOVO.indd 48 02/01/2024 22:4402/01/2024 22:44
49
7. Fatore, colocando o fator comum em evidência:
a) mn5 1 2n3 1 n2 1 n
b) ab 1 a
3
3
c) a5 1 a3 1 3a
d) 
xyz
2
 
xz
4
 
x
2
 
xy
8
1 1 1
e) a5 1 4a3 1 
a
3
2
f) 80a5 1 64a3
8. Fatore cada expressão, colocando o fator comum em evidência:
mn5 1 2n3 1 n2 1 n 5 n(mn4 1 2n2 1 n 1 1)
1 5 1





ab 
a
3
 a b 
a
3
3 2
a5 1 a3 1 3a 5 a(a4 1 a2 1 3)
1 1 1 5 1 1 1






xyz
2
 
xz
4
 
x
2
 
xy
8
 
x
2
yz 
z
2
 1 
y
4
1 1 5 1 1





a 4a 
a
3
 a a 4a 
1
3
5 3
2
2 3
80a5 1 64a3 5 16a3(5a2 1 4)
a) a(a 1 2) 1 b(a 1 2)
a(a 1 2) 1 b(a 1 2) 5 (a 1 2)(a 1 b)
b) a(a 1 2b) 1 b(a 1 2b) 1 3(a 1 2b)
a(a 1 2b) 1 b(a 1 2b) 1 3(a 1 2b) 5 (a 1 2b)(a 1 b 1 3)
a) am 1 an 1 bm 1 bn
am 1 an 1 bm 1 bn 5 a(m 1 n) 1 b(m 1 n) 5 (a 1 b)(m 1 n)
b) b3 2 3b2 1 4b 2 12
b3 2 3b2 1 4b 2 12 5 b2(b 2 3) 1 4(b 2 3) 5 (b2 1 4)(b 2 3)
c) m2(m 1 b) 2 m(m 1 b) 1 b(m 1 b)
m2(m 1 b) 2 m(m 1 b) 1 b(m 1 b) 5 (m 1 b)(m2 2 m 1 b)
c) ax2 2 bx2 1 3a 2 3b
ax2 2 bx2 1 3a 2 3b 5 x2(a 2 b) 1 3(a 2 b) 5 (a 2 b)(x2 1 3)
9. Fatore, por agrupamento:
10. Sabendo que um abacaxi de x gramas tem o mesmo peso que 6 maçãs de y gramas e que 
o abacaxi mais 3 maçãs pesam, juntos, 630 gramas, calcule quanto pesa o abacaxi e cada 
maçã.
x 5 420 g e y 5 70 g
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50
11. Faça cada um dos procedimentos a seguir e resolva o sistema: 


x 3y
x y 8
55
11 55
a) Coloque o valor de x na 2ª equação.
x 1 y 5 8 → 3y 1 y 5 8
b) Resolvendo a equação obtida, encontre o valor de y.
3y 1 y 5 8 → 4y 5 8 → y 5 2
c) Sabendo o valor de y, calcule x.
x 5 3y → x 5 3 ? 2 → x 5 6
12. Resolva os seguintes sistemas, pelo método da substituição:
a) x 5y
x y 3
5
1 5



b) x 3y
2x 5y 11
5
1 5



c) x y 6
x y 56
5 1
1 5



d) x y 4
2x y 70
5 2
1 5



13. Escreva o sistema de equações e determine x e y nos problemas a seguir.
a) O número x é o dobro do número y. A soma dos dois é 6.
 
x 2y
x y 6
5
1 5



b) Um número x tem duas unidades a mais que um número y. A soma desses dois números é igual a 
22. Quais são eles?
 
x y 2
x y 2
5 1
1 5 2



1 5 1 5
5 5
5 5 ? 5 5
→
→
→ → →












x y 3 5y y 3
6y 3 y 
1
2
x 5y x 5 
1
2
 x 
5
2
 S 
1
2
, 
5
2
2x 1 5y5 11 → 2 ? 3y 1 5y 5 11
11y 5 11 → y 5 1
x 5 3y → x 5 3 ? 1 → x 5 3 → S 5 {(3, 1)}
x 1 y 5 56 → y 1 6 1 y 5 56 
2y 5 50 → y 5 25
x 5 y 1 6 → x 5 25 1 6 → x 5 31 → S 5 {(31, 25)}
2x 1 y 5 70 → 2(y 2 4) 1 y 5 70 → 2y 2 8 1 y 5 70
3y 5 78 → y 5 26
x 5 y 2 4 → x 5 26 2 4 → x 5 22 → S 5 {(22, 26)}
2y 1 y 5 6 → y 5 2
x 5 2y → x 5 4
y 1 2 1 y 5 22 → y 5 22
x 5 y 1 2 → x 5 22 1 2 → x 5 0
S 5 {(0, 22)}
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51
14. Um pai tem o triplo da idade de seu filho e a diferença entre a idade do pai e a do filho é de 
36 anos. Escreva o sistema que representa a situação e calcule a idade dos dois.
 
x 3y
x y 36
5
2 5



3y − y 5 36 → y 5 18 anos
x 5 3y → x 5 3 ? 18 → x 5 54 anos
15. Resolva o sistema a seguir:
 
4(x 1) 2y 5
x y 4
1 5 1
1 5



4(x 1 1) 5 2y 1 5 → 4x 1 4 5 2y 1 5 → 4x 2 2y 5 1
→
→ →
→ →
4x 2y 1
x y 4
x y 4 y 4 x
4x 2(4 x) 1 6x 9 x 
3
2
y 4 x y 4 
3
2
 y 
5
2
S 
3
2
, 
5
2
2 5
1 5
1 5 5 2
2 2 5 5 5
5 2 5 2 5
5
16. Resolva pelo método da adição:
 
x y 10
x y 4
1 5
2 5



 x 1 y 5 10
 x 2 y 5 4 1
 2x 1 0 5 14 → x 5 7
x 1 y 5 10 → 7 1 y 5 10 → y 5 3
S 5 {(7, 3)}.
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Equações de segundo grau
52
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53
Equação de 2° grau com incógnita x é toda equação do tipo ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e c são 
números reais, e a Þ 0.
No estudo de equações do tipo ax2 1 bx 1 c 5 0, as letras a Þ 0, b e c são denominadas de coeficientes 
da equação. Veja alguns exemplos:
• 3x2 2 11x 1 2 5 0 → a 5 3, b 5 211 e c 5 2.
• x2 2 2x 2 5 5 0 → a 5 1, b 5 22 e c 5 25
• 5x2 2 7x 5 0 → a 5 5, b 5 27 e c 5 0.
• x2 2 1 5 0 → a 5 1, b 5 0 e c 5 21.
Vamos iniciar a resolução de equações de 2º grau por um caso muito particular: a resolução de 
equações do tipo (mx 1 n)2 5 k. Note que o primeiro membro é o quadrado de uma expressão de 1o 
grau, e o segundo membro é um valor numérico. 
Para resolver a equação, devemos considerar a resposta à seguinte pergunta: qual o valor de x no 
monômio que permite que este resulte k quando elevado ao quadrado? 
Observe que, se o monômio foi elevado ao quadrado resultando k, seu valor poderá ser k ou k .2
Observe:
Vamos resolver a equação (x 2 3)2 5 9.
(x 2 3)2 5 9 → x 2 3 5 6 9
Logo:
x 2 3 5 6 3
Para x 2 3 5 3, temos x 5 6; 
Para x 2 3 5 23, temos x 5 0.
Portanto a equação tem duas raízes: x 5 6 e x 5 0 e dizemos que seu conjunto-solução é S 5 {0, 6}
Trinômio quadrado perfeito
Chamamos de trinômio quadrado perfeito ao quadrado de uma expressão do tipo (mx 1 n). Assim 
(mx 1 n)2 5 m2x2 1 2mnx 1 n2 é a expressão de um quadrado perfeito, em que m e n são números 
reais diferentes de zero.
Observe alguns exemplos:
a) 9x2 2 6x 1 1 5 (3x 2 1)2
b) x2 2 2 2x 1 2 5 (x 1 2)2
A resolução de equações de 2o grau que apresentam quadrados perfeitos é extremamente simples. 
Veja o exemplo:
x2 1 6x 1 9 5 16
(x 1 3)2 5 16 → x 1 3 5 166 → x 1 3 5 4±
Para x 1 3 5 4 → x 5 1
Para x 1 3 5 24 → x 5 27 
Logo S 5 {27, 1}
Equações de segundo grau
Ao retomar a equação de 2o grau, cerifique-se de que os 
estudantes lembram também da equação de 1o grau vista 
anteriormente, buscando compará-las. Explique que esse 
tipo de equação tem bastantes aplicações em diversas 
áreas, como na Física, nas engenharias, bem como na 
análise de alguns tipos de linhas de produção de fábricas.
EF08MA09
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54
Fórmula de Bhaskara
O desenvolvimento da fórmula de Bhaskara baseia-se em fazer com que uma equação de 2° grau, 
ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, seja reduzida a um trinômio quadrado perfeito. Isso pode ser feito 
através de transformações convenientes nos dois membros da equação. Vamos, então, deduzir a 
fórmula de Bhaskara:
ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0
Isolamos ax2 1 bx no primeiro membro e, em seguida, multiplicamos os dois membros da equação 
por 4a:
ax2 1 bx 1 c 5 0 → ax2 1 bx 5 2c
4a2x2 1 4abx 5 24ac
Em seguida, pesquisamos um termo que deve ser colocado no lugar de ̂ na expressão 4a2x2 1 4abx 1 
1 ^ para que ela seja um trinômio quadrado perfeito.
Esse termo é b2. Sendo assim, somamos b2 aos dois membros da equação:
4a2x2 1 4abx 5 24ac
4a2x2 1 4abx 1 b2 5 24ac 1 b2
4a x 4abx b2 2 2
trinômio quadrado perfeito
� ���� ����1 1 5 b22 4ac
(2ax 1 b)2 5 b 4ac2
� �� ��2
∆
Chamando b2 2 4ac de D (lê-se delta), teremos (2ax 1 b)2 5 D. 
Observe que:
a) Quando D , 0, a equação não tem raízes reais.
b) Quando D > 0, temos:
(2ax 1 b)2 5 D
2ax 1 b 5 6 ∆
Agora, resolvemos essas duas equações de 1o grau, isolando x:
2ax 1 b 5 ∆ → x 5 b 
2a
2 1 ∆
ou
2ax 1 b 5 2→ x 5 
b 
2a
2 2 ∆
Assim, na equação de 2o grau ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0 e D 5 b2 2 4ac, temos:
D , 0 → a equação não tem raízes reais. 
D > 0 → x 5 
b 
2a
2 ± ∆
 ou x 
b b 4ac
2a
2
5
2 2±
Observe os exemplos:
a) Note como resolvemos a equação 9x2 2 12x 1 4 5 0.
 a 5 9, b 5 212 e c 5 4
 D 5 b2 2 4ac 5 (212)2 2 4 ? 9 ? 4 5 144 2 144
 D 5 0
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55
 A equação tem as seguintes soluções:
 x 5 
b 
2a
2 ± ∆
 5
( 12) 0
2 9
 
12 0
18
12 0
18
 
12
18
 
2
3
ou
12 0
18
 
12
18
 
2
3
2
3
2
3
2 2
?
5
1
5 5
2
5 5
± ±
/ /
/ /
/ /
/ /
 Neste caso, dizemos que a equação tem duas raízes reais e iguais a 2
3
.
b) Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 5x2 1 4x 1 2 5 0.
 a 5 5, b 5 4 e c 5 2
 D 5 b2 2 4ac 5 422 4 ? 5 ? 2 5 16 2 40 
 D 5 224
 Como D , 0, a equação não tem soluções reais.
 Portanto S 5 [.
Equações de 2° grau incompletas
Uma equação de 2° grau é incompleta quando o coeficiente b 5 0 ou o coeficiente c 5 0 ou, ainda, 
quando ambos são nulos. Lembre-se de que o coeficiente a nunca é nulo, pois trata-se de uma 
equação de 2° grau.
Observe os exemplos:
a) 3x2 1 2x 5 0 → a 5 3, b 5 2 e c 5 0.
b) 2x2 2 8 5 0 → a 5 2, b 5 0 e c 5 28.
c) x2 5 0 → a 5 1, b 5 0 e c 5 0.
As equações incompletas podem ser resolvidas utilizando-se a fórmula de Bhaskara. No entanto 
existem processos mais simples para sua resolução. Vamos estudá-los nos casos em que b 5 0 e 
c 5 0, pois, quando ambos são nulos, a equação reduz-se a x2 5 0 e tem x 5 0 como solução.
a) b 5 0 → equações do tipo ax2 1 c 5 0
Essas equações podem ser resolvidas isolando-se x2 em um dos membros. Acompanhe os exemplos.
Vamos resolver a equação 5x2 2 80 5 0.
5x2 2 80 5 0 → 5x2 5 80 → x2 5 16 → x 5 6 16
Logo x 5 4 ou x 5 24, e S 5 {24, 4}
b) c 5 0 → equações do tipo ax2 1 bx 5 0
Neste caso, é mais simples resolvê-las colocando-se x ou seus múltiplos em evidência.
ax2 1 bx 5 0 → x(ax 1 b) 5 0
Como temos um produto igual a zero, um dos fatores (ou ambos) deve ser zero. Sendo assim, 
devemos supor os dois casos para encontrar as raízes:
ax2 1 bx 5 0 → x (ax b)
produto nulo
� �� ��1 5 0 
x 0
ou
ax b 0
5
1 5
Veja que, nesse caso, x 5 0, será sempre uma solução, pois colocamos o x em evidência. A outra 
solução virá da equação de 1° grau ax 1 b 5 0. Acompanhe os exemplos:
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Vamos resolver a equação 4x2 2 12x 5 0.
4x2 2 12x 5 0 → 4x(x 2 3) 5 0 
4x 0 x 0
ou
x 3 0 x 3
5 5
2 5 5
→
→
Portanto as raízes da equação são x 5 0 e x 5 3, e S 5 {0, 3}.
Resolvendo equações por fatoração
Quando estudamos produtos notáveis, aprendemos que podemos fatorar algumas expressões 
algébricas como, por exemplo, a diferença de quadrados ou o trinômio quadrado perfeito. Observe 
os dois casos a seguir:
a) x2 2 25 5 (x 1 5)(x 2 5)
b) x2 1 8x 1 165 (x 1 4)2
Vamos estudar agora a forma de se fatorar o trinômio de 2o grau:
ax2 1 bx 1 c, com a 5 1
Observe a multiplicação a seguir:
(x 2 5)(x 2 4) 5 x2 2 4x 2 5x 1 20 5 x2 2 9x 1 20
Note que no trinômio de 2° grau obtido, o coeficiente 29 é a soma (25) 1 (24), e o coeficiente 20 
(termo independente de x) é o produto (25) ? (24) 5 120.
Será que isto ocorre sempre? Vamos analisar de forma genérica, efetuando a multiplicação 
(x 1 a)(x 1 b):
(x1a)(x1b) 5 x2 1 bx 1 ax 1 ab 5 x2 1 (a1b)x 1 ab
De fato, em um trinômio de 2° grau, com coeficiente de x2 igual a 1, o coeficiente de x será a soma 
a 1 b, e o termo independente será o produto ab.
A partir disso, podemos executar a fatoração de um trinômio de 2° grau. Observe o exemplo a seguir.
Vamos fatorar o trinômio de 2° grau x2 1 4x 13. 
Precisamos de dois números tais que sua soma seja 4 e seu produto 3. Vamos representar esta 
situação da seguinte forma:
a b 4
a b 3
1 5
? 5




Fazendo algumas tentativas, podemos descobrir que, neste caso, a 5 3 e b 51.
Podemos então fatorar o trinômio fazendo:
x2 1 4x 13 5 (x 1 3)(x 11)
A partir de processos de fatoração, podemos resolver, quando possível, uma equação de 2° grau sem 
lançar mão da fórmula de Bhaskara. 
Observe a resolução da equação x2 2 x 2 20 5 0 por fatoração.
Para fatorar o trinômio x2 2 x 2 20, precisamos de dois números cuja soma seja 21 e cujo produto 
seja 20. Os números que satisfazem essas duas condições são 25 e 4, e o trinômio pode ser fatorado 
como (x 2 5)(x 1 4).
Agora, podemos resolver a equação x2 2 x 2 20 5 0, pois:
x2 2 x 2 20 5 0 → (x 2 5)(x 1 4) 5 0
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57
Temos novamente duas hipóteses: (x 2 5)(x 1 4) 5 0 
(x 5) 0 x 5
ou
(x 4) 0 x 4
2 5 5
1 5 5 2
⇒
⇒
Portanto as raízes dessa equação são x 5 5 e x 5 24, e S 5 {5, 24}.
É importante salientar que esse tipo de resolução, que se baseia nos coeficientes do trinômio de 2o 
grau, só é recomendável quando conseguimos encontrar os números que nos permitem fatorar por 
cálculo mental. Caso seja muito demorada essa pesquisa, devemos aplicar a fórmula de Bhaskara.
Sequências recursivas e 
não recursivas 
Conhecendo a regularidade da sequência é possível definir uma expressão matemática que permitirá 
obter todos os termos dela, uma de lei de formação da sequência.
Como exemplo, vamos obter a lei de formação da sequência dos números naturais pares:
• (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)
Note que, sendo n um número natural, a sequência pode ser dada por: 
2 ? n
Outro exemplo:
• (1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, ...)
Nesse caso, a regra geral para obter a sequência, sendo n um número natural, é:
n2 1 1
Atividades
17. Considere os números 1, 2, 3, 4 e 5. Dois deles são soluções da equação de 2° grau x2 2 7x 
1 10 5 0. Quais são esses números?
2 e 5
18. Considere a equação de 2° grau x2 1 x 2 12 5 0.
a) 3 é solução dessa equação? E 23?
3 é solução; 23 não é.
b) 4 é solução dessa equação? E 24?
4 não é solução; 24 é.
19. Considere os números 3, 2, 1 e 0,5. Dois deles são soluções de 2x2 2 5x 1 2 5 0. Quais?
2 e 0,5
Saliente aos estudantes que este tema já foi 
estudado nos primeiros anos e que eles podem 
usar as sequências que já conhecem para 
descrever, com suas próprias palavras, como 
elas se formam, como a sequência dos números 
naturais e dos números inteiros, por exemplo.
EF08MA10 e EF08MA11
EF08MA09, EF08MA10 e EF08MA11
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58
20. Em cada equação de 2° grau a seguir, diga quais são os valores de a, b e c:
a) 3x2 1 11x 1 6 5 0
b) x2 1 x 2 2 5 0
c) 2x22 50 5 0
d) x2 2 4,5x 1 4,5 5 0
21. Usando a calculadora, verifique se a equação x2 2 315x 2 12 250 5 0 tem 235 como raiz.
Sim, pois (235)2 2 515(235) 2 12 250 5 1 225 1 18 025 2 12 250 5 0
22. Resolva as seguintes equações:
a) (x 2 10)2 5 36 b) (x 1 5)2 5 4
x 2 10 5 6 6 → x 5 16 ou x 5 4 x 1 5 5 6 7 → x 5 27 ou x 5 23
23. Com x [ R, resolva a equação (5x 2 4)2 5 29.
Temos que, se x [ R, (5x 2 4) [ R. Logo (5x 2 4)2 não pode dar 29 porque não existe número real que elevado ao quadrado
dê negativo. Então, S 5 [;
24. Com x [ R, resolva as equações:
a) (x 2 3)2 5 16
b) (x 2 3)2 5 216
c) 
2x
3
 4
2
1




 5 21
d) (x 1 2)2 5 0
25. Com x [ R, resolva a equação x2 2 6x 1 9 5 16.
O trinômio x2 2 6x 1 9 pode ser fatorado como (x 2 3)2. Logo a equação fica (x 2 3)2 5 16
x 2 3 5 6 4 → x 5 21 ou x 5 1
a 5 3, b 5 11 e c 5 6
a 5 1, b 5 1 e c 5 22
a 5 2, b 5 0 e c 5 250
a 5 1, b 5 24,5 e c 5 4,5
x 2 3 5 66 → x 5 23 ou x 5 9
Não tem solução real.
Não tem solução real.
x 1 2 5 0 → x 5 22 (neste caso, dizemos que a equação 
tem duas raízes reais e iguais.)
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59
26. A seguir, cada trinômio é o quadrado de uma expressão, representada por ^. Qual é essa 
expressão?
a) x2 1 8x 1 16 5 (^)2
b) x2 2 10x 1 25 5 (^)2
c) 4x2 1 12x 1 9 5 (^)2
d) 16x2 2 8x 1 1 5 (^)2
27. A expressão dada é um trinômio quadrado perfeito. Qual é o monômio que está no lugar de 
^?
a) x2 1 ^ 1 36
b) 4x2 2 ^ 1 36
c) x2 2 ^ 1 49
d) 9x2 1 ^ 1 49
28. Qual é o monômio de 2° grau que deve ser colocado no lugar de ^, para que a expressão 
dada seja um trinômio quadrado perfeito?
a) ^ 2 16x 1 64
b) ^ 2 16x 1 4
c) ^ 1 44x 1 121
d) ^ 2 44x 1 4
29. Com x [ R, resolva as equações:
a) x2 2 6x 1 9 5 49
b) x2 1 2x 1 1 5 100
c) 4x2 2 36x 1 81 5 9
d) 9x2 1 30x 1 25 5 216
30. Resolva as seguintes equações, utilizando a fórmula de Bhaskara.
a) 2x2 1 7x 1 5 5 0
b) x2 1 5x 2 14 5 0
c) x2 2 6x 1 9 5 0
d) 2x2 1 8x 1 9 5 0
e) 2x2 1 3x 1 11 5 0
f) 25x2 2 10x 1 1 5 0
x 1 4
x 2 5
2x 1 3 
4x 2 1 
12x
12x
14x
42x
x2
4x2
x2
121x2
S 5 {0, 6}
S 5 {210, 8}
S 5 {3, 6}
Não tem solução real.
S 5 21; 2
5
2
S 5 {2, 27}
S 5 {3}
S 5 {9, 21}
S 5 [
S 
1
5
5
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60
31. Resolva a equação x2 2 9x 1 20 5 12.
x2 2 9x 1 20 5 12 → x2 2 9x 1 20 2 12 5 0 → x2 2 9x 1 8 5 0
a 5 1, b 5 29 e c 5 8
D 5 b2 2 4ac 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 8 5 81 2 32 5 49
± ± ±
x 
b 
2a
 
9 49
2
 
9 7
2
9 7
2
 8
ou
9 7
2
 1
5
2
5 5
1
5
2
5
32. Resolva as equações:
a) x2 2 7x 1 12 5 2
b) x2 1 x 2 12 5 215
c) x2 1 9x 1 8 5 8
d) x2 1 10x 1 24 5 21
33. Um canteiro retangular tem 4 m de comprimento e 3 m de largura. Ao seu redor, 
externamente, será feito um passeio de largura x. Há material para cimentar uma área de 30 
m2. Para se utilizar todo esse material, qual deve ser a largura x desse passeio?
 
3 m
4 m
x
x
A área do retângulo menor é 4 ? 3 5 12 m2.
A área do retângulo maior, em m2, é:
(4 1 2x)(3 1 2x).
A área do passeio é a diferença entre as áreas desses retângulos.
Área do passeio 5 (4 1 2x)(3 1 2x) 2 12
Como essa área deve ser de 30 m2, temos:
� ������ ������1 1 2 5(4 2x)(3 2x) 12 30
equação em x
12 1 8x 1 6x 1 4x2 2 12 5 30 → 4x2 1 14x 2 30 5 0 → 2x2 1 7x 2 15 5 0
Esta é uma equação de 2o grau, com a 5 2, b 5 7 e c 5 215.
Como se trata de uma medida, ficamos com a solução x 5 1,5 m e desprezamos a solução negativa.
S 5 {2, 5}
S 5[
S 5 {29, 0}
S 5 {26, 24}
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61
34. Resolva a equação de 2° grau incompleta 2x2 2 50 5 0.
a) sem usar a fórmula de Bhaskara. b) usando a fórmula de Bhaskara.
5 5 5 6
5 2
→x 
50
2
 25 x 5
S {5; 5}
2
35. Resolva a equação de 2° grau incompleta x2 2 6x 5 0.
a) sem usar a fórmula de Bhaskara. b) usando a fórmula de Bhaskara.
36. Resolva as equações a seguir, em que x é a variável real:
a) x2 5 25
b) x2 2 100 5 0
c) 5x2 2 45 5 0
d) x2 5 225
37. Encontre os valores reais de x, tais que:
a) x2 2 7x 5 0
b) 2x2 2 16x 5 0
c) 5x2 1 20x 5 0
d) 22x2 2 42x 5 0
38. Com x [ R, resolva as equações:
a) x2 2 9 5 0
b) x2 2 9x 5 0
c) x2 1 9 5 0
d) x2 1 9x 5 0
2 5 2 5
5
2 5 5
5
→ →
→
→





x 6x 0 x(x 6) 0 
 
x 0
ou
x 6 0 x 6
S {0, 6}
2
5
6 2 ? ?
?
5
6
1
5
2
5
x 
6 6 4 1 0
2 1
 
6 36
2
6 6
2
 6
ou
6 6
2
 0
2
S5 {5, 25}
S 5 {10, 210} 
S 5 {3, 23}
S 5 [
S 5 {0, 7}
S 5 {0, 8}
S 5 {0, 24}
S 5 {0, 221}
S 5 {3, 23}
S 5 {0, 9}
S 5 [
S 5 {0, 29}
5
6 2 ? ? 2
?
5
6
1
5
2
5 2
5 2
x 
0 0 4 2 ( 50)
2 2
 
0 400
4
0 20
4
 5
ou
0 20
4
 5
S {5, 5}
2
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62
39. Com x [ R, resolva:
a) x2 5 7
b) x25 27
c) 3x2 2 27 5 0
d) 2x2 2 7x 5 0
40. Resolva as seguintes equações sem utilizar a fórmula de Bhaskara:
a) x2 2 8x 1 15 5 0
b) x2 2 9x 1 14 5 0
c) x2 1 6x 1 8 5 0
d) x2 1 12x 1 11 5 0
e) x2 2 5x 1 6 5 0
f) x2 1 5x 2 6 5 0
g) x2 2 x 2 12 5 0
h) x2 2 14x 2 32 5 0
i) x2 2 12x 1 36 5 0
j) x2 1 4x 1 4 5 0
41. Resolva as equações tentando, inicialmente, não utilizar a fórmula de Bhaskara. 
a) x2 2 13x 1 12 5 0
b) x2 1 10x 1 21 5 0
c) 2x2 2 7x 1 6 5 0
d) x2 1 x 2 56 5 0
e) x2 2 5x 1 71 5 0
f) x2 2 14x 1 49 5 0
g) x2 2 12x 1 20 5 0
h) x2 2 8x 1 14 5 0
i) )(2 1 1 5x 3 2 x 3 2 02
5 2{ }S 7 ; 7
S 5 [
S 5 {3, 23}
5






S 0; 
7
2
S 5 {3, 5}
S 5 {2, 7}
S 5 {22, 24}
S 5 {21, 211}
S 5 {2, 3}
S 5 {1, 26}
S 5 {4, 23}
S 5 {16, 22}
S 5 {6}
S 5 {22}
S 5 {1, 12}
S 5 {23, 27}
5






S 2; 
3
2
S 5 {7, 28}
S 5 [
S 5 {7}
S 5 {2, 10}
5 2 1{ }S 4 2 , 4 2
5 { }S 3, 2
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63
42. Analise a sequência de figuras:
�g. 1 �g. 2 �g. 3
a) Desenhe a figura 5.
 
b) Qual a regra de formação dessa sequência de figuras?
Multiplicamos a posição da sequência por ela mesma, ou elevamos a posição da figura da sequência à segunda potência.
c) Quantos quadradinhos terá a figura 20?
400.
d) Escreva uma lei para representar a quantidade de quadradinhos usando n para representar o 
número da figura.
n ? n 5 n2
43. O primeiro termo de uma sequência é 37, e os termos seguintes podem ser obtidos 
subtraindo-se 7 unidades do termo imediatamente anterior. Escreva os termos dessa 
sequência até chegar a 16.
37, 30, 23, 16, 7...
44. Os dois primeiros termos de uma sequência são 3 e 5 e cada termo seguinte é obtido pelo 
produto dos dois anteriores. Escreva os 5 primeiros termos dessa sequencia.
3, 5, 15, 75, 1 125...
45. A lei de formação de uma sequência é 2(n 21)2, na qual n é um número natural maior que 1. 
Escreva os termos dessa sequência até chegar ao número que é o dobro de 16.
2, 8, 18, 32, 50...
46. A lei de formação de uma sequência é nn 2 1, na qual n é um número natural ímpar. Escreva 
os 5 primeiros termos dessa sequência.
0, 26, 3124, 823 542, 387 420 488...
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64
47. Observe a sequência a seguir:
T5 = 15
T4 = 10T3 = 6T2 = 3T1 = 1
T6 = 21
Mantendo sequência, a sétima figura (T
7
) será formada por quantos pontos?
Pelas figuras, aumenta-se sempre uma linha diagonal, sendo que essa linha terá 1 ponto a mais em relação a última figura.
Assim, na figura 7 a linha diagonal extra terá 7 pontos e a figura terá T7 5 21 1 7 5 28 pontos no total.
48. Observe a sequência de figuras a seguir.
 
Q1 5 1
Q2 5 4
Q3 5 9
Mantendo a sequência, quantos quadrados formarão a décima figura (Q
10
)?
Pode-se perceber que o número de quadrados sempre é dado por Q
n
 5 n2. Assim, temos: Q
10
 5 102 5 100.
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Regra de três composta
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Antes de iniciar a discussão sobre os temas 
da aula, pergunte aos estudantes se ainda 
se lembram dos conceitos aqui trabalhados, 
pedindo que deem exemplos de grandezas do 
dia a dia que possam ser direta ou inversamente 
proporcionais. Anote as respostas no quadro e 
verifique com toda a turma a validade de cada 
exemplo.
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66
Quando um problema de proporcionalidade envolve mais que duas grandezas, estamos lidando com 
o que chamamos de regra de três composta. Esse nome é dado pelo fato de que esses problemas 
devem ser resolvidos com a aplicação de mais de uma regra de três simples, compondo as 
proporcionalidades entre as grandezas.
Entenda o processo de resolução de problemas com regras de três compostas a partir dos exemplos 
a seguir. Observe a utilização das setas que indicam as proporcionalidades entre as grandezas.
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Quantos caminhões são necessários 
para descarregar 125 m3 em 5 horas.
Inicialmente, montamos uma tabela contendo as 
grandezas de mesma espécie em cada coluna e as 
correspondências entre as grandezas nas linhas. 
Em seguida, identificamos as relações existentes entre 
as grandezas, em relação àquela onde está o valor de x 
que queremos calcular. Para isso, colocamos uma seta 
para baixo, ou para cima, na coluna em que o x está.
Observe que:
a) Aumentando o número de horas de trabalho, 
podemos diminuir o número de caminhões. 
Portanto as grandezas horas e caminhões são 
inversamente proporcionais. Por isso colocamos uma 
seta invertida na primeira coluna.
b) Aumentando o volume de areia, devemos aumentar 
o número de caminhões. Portanto as grandezas 
volume e caminhões são diretamente proporcionais. 
Para representar essa relação, colocamos na coluna 
volume uma seta no mesmo sentido daquela que 
colocamos na coluna caminhões.
Para calcular x, igualamos a razão que contém o termo 
em x, com o produto das outras razões, colocando 
todas as setas no mesmo sentido. Nesse caso, trocamos 
o sentido dos valores das horas:
20
x
 
5
8
 
160
125
 x 
20 8 125
5 160
5 3 5
3 3
3
→
 
x 
125
5
 x 25 caminhões5 5→
 
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Regra de três composta
EF08MA12 e EF08MA13
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67
49. Em certo mês, uma pessoa tomou 2 banhos de chuveiro por dia, de 10 minutos cada, 
gastando 400 litros de água. No mês seguinte, resolveu tomar apenas 1 banho de 15 
minutos por dia, no mesmo chuveiro. Quantos litros de água gastou?
banhos minutos litros2 10 400
1 15 v
50. Dois carregadores levam caixas de um armazém para outro. Um deles leva 3 caixas por vez 
e demora 2 minutos em cada viagem. O outro leva 7 caixas por vez e demora 5 minutos por 
viagem. Enquanto este último leva 180 caixas, quantas leva o primeiro?
Caixas por viagem minutos Total de caixas
3 2 180
7 5 t
51. Em um parque de diversões, as pessoas formaram uma fila para embarcar na montanha-
russa. Em cada carrinho, iam 5 pessoas e saíam carrinhos de 40 em 40 segundos. A fila 
acabou em 12 minutos. Calcule em quanto tempo a fila acabaria se em cada carrinho 
fossem 6 pessoas e se as partidas ocorressem de 20 em 20 segundos.
Pessoas por carrinho e tempo de fila são inversamente proporcionais, enquanto intervalos de tempo de partida e tempo de fila
são diretamente proporcionais.
Assim, temos: 5 3 5
? ?
?
5 5→720
t
 
6
5
 
40
20
 t 
720 5 20
6 40
 300 segundos 5 minutos
O número de banhos e de litros de água gastos são diretamente proporcionais. Os minutos de duração e os litros de água 
gastos também são diretamente proporcionais
Logo:
5 3 5
? ?
?
5→400
v
 
10
15
 
2
1
 v 
400 15 1
10 2
 300 litros
O total de caixas e o número de caixas carregadas por viagem são diretamente proporcionais. O total de caixas e os minutos 
gastos são diretamente proporcionais.
Atividades
Logo:
5 3 5
? ?
?
5→180
t
 
3
7
 
2
5
 t 
180 7 5
3 2
 1050 caixas
EF08MA12 e EF08MA13
Sempre que possível, separe algumas atividades para os estudantes 
resolverem em pequenos grupos focais, nos quais possam ajudar-se 
mutuamente nas resoluções, o que será útil para seu desenvolvimento no 
processo de ensino e aprendizagem.
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68
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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69
Grandezas 
e medidas
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 9° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Áreas de figuras planas e área do círculo
• Volume e capacidade
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PROFESSOR
UNIDADE 4
A unidade temática de grandezas e medidas destaca os cálculos geométricos que continuam a enri-
quecer esse tópico, permitindo a manipulação de materiais e instrumentos de desenho para deter-
minar a área de diferentes formas, como retângulos, paralelogramos, losangos, triângulos, trapézios 
e círculos. Dessa forma, a identificação dos polígonos, juntamente com seus cálculos, revela a varie-
dade de figuras e suas composições. Além das figuras bidimensionais, o cálculo do volume de sólidos 
também é abordado, proporcionando uma compreensão das dimensões que constituem prismas e 
poliedros. Essa abordagem ampla e detalhada das grandezas e medidas oferece aos estudantes uma 
compreensão aprofundada e prática dos conceitos fundamentais da geometria, preparando-os para 
enfrentar desafios mais complexos no estudo da matemática. O desenvolvimento da unidade se dá 
com 2 temas:
1. Área de figuras planas e área do círculo
2. Volume a capacidade
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Tema 1: Área de figuras planas e área do círculo
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Circunferência e círculo”. Após a videoaula, realize a atividade 
com os blocos lógicos. Entregue blocos lógicos que contenham as faces retângulo, paralelogramo, losango, 
triângulo, trapézio e círculo. Oriente os alunos a contornar essas faces no caderno para medir as dimensões 
necessárias para o cálculo da área de cada figura. Com esta atividade os alunos conseguirão diferenciar e 
classificar as figuras. Outra atividade que pode ser trabalhada neste tema é a atividade com o simulador para 
formar quadrados e retângulos. Neste simulador há seis níveis de dificuldade.
Monte! área = 35Reiniciar
Conferir
Nível 1
1 de 6
Pontos: 0
3
3
2 2
E a última sugestão de atividade é a confecção de um grande jogo da memória para que a turma possa 
participar, combinando cartões de figuras com as medidas e cartões com as respostas do cálculo de área. A 
turma pode ser colocada em grupos de 5 alunos para fazer as resoluções a cada cartão virado.
Para facilitar o seu trabalho, aqui estão dois sites com calculadoras de áreas:
https://www.mathepower.com/pt/calculadordearea.php.
https://linkja.net/calculadora-de-area.
Tema 2: Volume e capacidade
Este tema deve ser trabalhado com materiais manipuláveis, para que os alunos possam visualizar e 
esclarecer possíveis dúvidas. Sugerimos a atividade com Material Dourado. Com os alunos divididos em 
grupos e com o Material Dourado, escreva no quadro as dimensões que eles precisam representar com 
as barras e bloquinhos. Cada bloquinho tem medidas 1 x 1 x 1, a barra tem medidas 10 x 1 x 1, a placa 
tem medidas 10 x 10 x 1 e o blocão tem medidas 10 x 10 x 10. As medidas serão sempre na ordem: 
comprimento, largura e altura.
Exemplos: para 12 x 2 serão utilizados duas barras e dois bloquinhos, totalizando 24 bloquinhos.
Para 10 x 10 x 3 serão utilizadas 3 placas, uma em cima da outra, totalizando então 30 bloquinhos.
A próxima sugestão é uma atividade de capacidade. Confeccione um cubo com 1dm de aresta e encha-o 
com água, depois passe essa água para uma garrafa de 1L. Assim estará demostrando que 1L é o mesmo 
que 1dm³, facilitando a visualização da conversão para os estudantes. Os alunos podem testar outras 
conversões a partir desta, complementando as atividades que constam no livro do aluno.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF08MA19) (EF08MA20) (EF08MA21) 
Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 4
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70
Áreas de figuras planas e 
área do círculo 
Área do retângulo
Chamando as dimensões de um retângulo de largura e comprimento ou, ainda, base e largura, sua 
área será dada pelo produto dessas dimensões.
altura
base
 
A
retângulo
 5 base ? altura
O quadrado é um tipo particular de retângulo, no qual base e altura têm a mesma medida e são 
chamadas de lado l do quadrado.
lado
lado
 
A
quadrado
 5 lado ? lado 5 l2
Área de um paralelogramo qualquer
Sabemos que um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Vimos 
também como se calcula a área de dois paralelogramos muito especiais: o retângulo e o quadrado. 
Suponha, agora, um paralelogramo qualquer ABCD, em que um dos lados mede b e a altura relativa 
a esse lado mede h.
b
A
C D
B
h
A área desse paralelogramo é calculada da mesma maneira que a área de um retângulo de lados b e h.
A
parelogramo
 5 b ? h
Este tema pode ser bastante próximo à realidade dos estudantes, 
pois o cálculo de área de figuras conhecidas é algo presente em 
profissões que, talvez, sejam praticadas por seus parentes ou 
conhecidos. Investigue se podem dar exemplos práticos dos 
cálculos que conhecem, como de construtores, pedreiros, pintores, 
montadores de móveis, azulejistas, marmoristas, dentre outros.
EF08MA19
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71
Áreado losango
O losango é um paralelogramo que tem quatro lados iguais, e sua área pode ser calculada como se 
faz com qualquer paralelogramo. No entanto, podemos calcular sua área também a partir de suas 
diagonais D e d.
d
Q
M
P
N D
 
A 
D d
2logango
5
?
Área do triângulo
Novamente, vamos partir de um paralelogramo ABCD. Já sabemos que sua área é dada pelo produto 
da base b pela altura h. Traçando-se a diagonal AC, dividimos o paralelogramo em dois triângulos 
com mesmas bases b e mesmas alturas h que o paralelogramo, cuja área será metade da área deste.
A B
D C
b
h h
A A B
D C C
b
h
Dessa maneira, se a área do paralelogramo é b ? h, a área do triângulo será:
A 
base altura
2
 
b h
2triângulo
5
?
5
?
Observe os exemplos:
Área do trapézio
O trapézio é um quadrilátero que possui dois 
lados paralelos chamados bases.
No trapézio MNQP da figura, MN é a base 
menor b, PQ a base maior B e h é a altura, que 
equivale à distância entre as duas bases. Uma 
forma de determinar a área deste trapézio de 
altura h é dividi-lo em dois triângulos:
Dizemos, então, que a área de um trapézio 
é dada pela metade da soma das bases, 
multiplicada por sua altura:
M N
P
B
b
Q
h
 
A 
(B b) h
2trapézio
5
1 ?
A 
(base maior base menor) altura
2trapézio
5
1 ?
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Circunferência e círculo
72
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73
Em um plano, toda circunferência determina duas regiões: a interna e a 
externa. A região interna mais os pontos pertencentes à circunferência é 
denominada de círculo. 
O círculo de centro O e raio r é formado pelos pontos da circunferência 
e os pontos da região interna. Da mesma forma que o comprimento da 
circunferência é diretamente proporcional ao raio, a área do círculo será 
tanto maior quanto maior for seu raio.
A área de um círculo é dada pela seguinte expressão:
A 5 p ? r2
Volume e capacidade 
Chamamos de volume de um sólido à medida do espaço ocupado por ele. Para medir esse volume 
(V), precisamos também de uma unidade de medida (u). Veja, por exemplo:
u1
Nesse caso, a unidade u1 cabe 27 vezes no cubo. Logo V
1
 5 27u
1
. 
A unidade definida para se medir volume é o metro cúbico (m3) 
e equivale ao volume de um cubo cujas arestas medem 1 metro.
Para medir o volume de sólidos muito grandes é conveniente utilizar como unidade um dos seguintes 
múltiplos do metro cúbico.
• o decâmetro cúbico (dam3);
• o hectômetro cúbico (hm3);
• o quilômetro cúbico (km3).
Por outro lado, para sólidos pequenos, devemos utilizar como unidades de medida de volume os 
submúltiplos do metro cúbico.
• o decímetro cúbico (dm3);
• o centímetro cúbico (cm3);
• o milímetro cúbico (mm3).
Circunferência e círculo
O
r
1 ml
1 ml
1 ml
EF08MA20 e EF08MA21
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74
Veja no quadro das unidades de volume que cada unidade equivale a 1 000 vezes a unidade à sua 
direita. Por isso, para transformar certa medida de uma unidade para a seguinte da tabela, devemos 
multiplicar por 1 000 o número que indica a medida e, para passar para uma unidade anterior, 
devemos dividir por 1 000.
1000
km3 hm3
1000
dam3
1000
m3
1000
dm3
1000
cm3
1000
mm3
Observe os exemplos:
2 km3 5 2 000 hm3
53 000 mm3 5 53 cm3 5 0,053 dm3
Volume de um bloco retangular
Chamamos de bloco retangular o sólido que tem seis faces 
retangulares. Veja, por exemplo, o bloco retangular de dimensões 
5 cm, 4 cm e 3 cm.
Para encontrar seu volume, vamos dividir cada uma de suas 
dimensões em partes iguais a 1 cm. Fazendo isso, obteremos 
cubos de 1 cm3, que usaremos como unidade de medida do volume 
do bloco. O volume deste bloco pode ser calculado imaginando-
se que ele é composto de quatro camadas de cubos:
3 cm
5 cm
Como cada camada tem 5 ? 3 5 15 cubos de 1 cm3 cada, o volume total será:
V 5 4 ? 5 ? 3 5 60 cm3
A partir desse exemplo, podemos estabelecer a fórmula de cálculo do volume de um bloco retangular. 
Chamando-se as três dimensões do paralelogramo de a, b e c:
a
a
ac
b
a
V 5 a ? b ? c
Se o bloco for um cubo, teremos a 5 b 5 c, e o volume será:
V
cubo
 5 a3
Acompanhe os exemplos:
O volume de um bloco retangular com dimensões 10 cm, 5 cm e 3 cm é: 
V 5 10 cm ? 5 cm ? 3 cm V 5 150 cm3
O volume de um cubo com 5 cm de aresta é: 
V 5 a3 V 5 (5 cm)3 V 5 125 cm3
3 cm
5 cm
4 cm
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75
Medida de capacidade
Os líquidos têm a propriedade de ocupar o volume dos recipientes onde se encontram. É assim em 
garrafas, tambores e caixas-d’água dos mais diferentes formatos. Independentemente do formato 
do recipiente, o que importa é sua capacidade, que corresponde ao volume que ele pode conter. 
Por essa razão, podemos usar as unidades de volume do sistema métrico para medir a capacidade. 
Existe, porém, uma unidade mais utilizada para se medir a capacidade: o litro (símbolo: L).
A capacidade de um litro (L) é igual ao volume de um cubo que tem 1 dm de aresta.
1 dm
1 dm
1 dm
1 L
Observe na tabela a seguir que os múltiplos e submúltiplos do litro também variam de 10 em 10. Ou 
seja, da esquerda para a direita, cada unidade é 10 vezes menor que a anterior.
10 10 10
UNIDADE
FUNDAMENTALMÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS
10 10 10
quilolitro
kL
1000 L
hectolitro
hL
100 L
decalitro
daL
10 L
litro
L
1000 L
decilitro
dL
0,1 L
centilitro
cL
0,01 L
mililitro
mL
0,001 L
Vimos que o litro é uma medida de capacidade que equivale ao volume de um cubo de aresta 1 dm. 
Isso significa que:
1 L 5 1 dm3
Convertendo-se 1 dm3 para m3, obteremos 1 dm3 5 0,001 m3. Logo:
1 L 5 0,001 m3
1 m3 5 1 000 L
É interessante notar que 1 m3, ou 1 000 L, é o volume, ou capacidade, de uma caixa-d’água residencial 
padrão.
Atividades
1. Calcule a área ocupada por uma quadra de forma quadrada de 8 m de lado.
A
quadrado
 5 l2 5 82 5 64 m2
EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21
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76
2. Calcule a área dos seguintes paralelogramos.
a) 
5 cm
3 cm
b) 
4 cm
2 cm
3. José fez uma pipa para seu filho com as seguintes medidas:
4 cm
6 cm
 Qual a área dessa pipa?
Note que as diagonais do losango cortam-se em seus pontos médios e são perpendiculares. A área do losango será:
5
?
5→A 
6 4
2
 A 12 cm2
4. Fazendo um recorte de uma folha para uma atividade de dobra, Laura cortou a seguinte 
forma:
6 cm
4 cm
 Qual a área desse recorte?
5
?
5Sua área será A 
6 4
2
 24 cm .2
A 5 5 ? 3 5 15 cm2
A 5 4 ? 2 5 8 cm2
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77
5. Observe a seguir o caso em que a altura relativa a uma base é externa ao triângulo. 
2 cm
3 
cm
 Nesse caso, qual será a área do triângulo?
O cálculo da área se dá pela fórmula 
?
5
?
5
b h
2
: A 
2 3
2
 3 cm2
6. Brincando com algumas peças na aula de Robótica, Sofia encontrou uma peça com a 
seguintes medidas?
1 
cm
2 cm
5 cm
3 
cm
 Qual a área total dessa peça?
 Temos um retângulo de base 5 cm e altura 1 cm e um quadro de lados 2 cm. Assim, a área total é:
A 5 5 ? 1 1 22 5 5 1 4 5 9 cm2
7. A mãe de Matheus comprou umterreno de esquina com o formato a seguir. Calcule a área 
desse terreno.
50 m
40 m
20
 m
Temos um retângulo de base 40 m e altura 20 m e um triângulo de base 20 m e altura 10 m, assim a área total é:
A 5 800 1 100 5 900 m2
8. No trapézio ABCD da figura, as bases são 3 m e 5 cm, e a altura é 2 cm. Qual é a área do 
trapézio?
3 cm
5 cm
2 cm
BA
D C
Veja como calculamos sua área: 5
1 ?
5A 
(5 3) 2
2
 8 cm
trapézio
2
5 ? 1
?
A 40 20 
20 10
2
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78
9. Determine a área indicada na figura, sabendo que AB 5 BC 5 CD 5 DE 5 2 cm e 
EF 5 FG 5 4 cm.
A B C D E F G
A área indicada será igual à diferença entre a área da semicircunferência de centro E e a área da semicircunferência de centro
F, uma vez que as áreas das semicircunferências de centros B e D se equivalem.
A 5 p ? 42 2 p ? 22 → A 5 12p cm2
10. Os pontos O e P são os centros de dois círculos de raios 8 cm e 4 cm, respectivamente. 
Determine a área em amarelo.
P
O
O diâmetro da circunferência envolvente é a soma dos diâmetros das circunferências de centros P e O. Assim, a envolvente
tem diâmetro igual a 24 cm e, portanto, raio de 12 cm. A área procurada será igual à diferença entre a área do círculo
envolvente e a soma das áreas dos dois círculos menores. A 5 p ? 122 2 (p ? 82 2 p?42) → A 5 76p cm2
11. Transforme as medidas de volume abaixo em m³ e coloque-as em ordem crescente. 
 0,023 hm3 2 67243101 cm3 2 53 dam3 2 34781,9 dm3
34,7819 m3 , 67,243101 m3 , 23 000 m3 , 53 000 m3
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79
12. Considere esta pilha de cubos geometricamente iguais.
a) Qual é a medida do volume da pilha, considerando a unidade de volume igual a 1 cubo?
56 unidades de volume
b) Sendo a unidade de volume representada por 5 cubos, qual é a medida do volume da pilha?
11,2 unidades de volume
13. Uma piscina tem a forma de um bloco retangular. Seu comprimento é 7 m, sua largura é 3 m 
e sua profundidade é 1 m. Qual é o volume (em m3) de água que ela comporta?
V 5 7 ? 3 ? 1 5 21 m3
14. Uma caixa-d’água tem a forma de um bloco retangular e dimensões de 1,1 m, 1,2 m e 1,4 m. 
Qual o seu volume em m3? (utilize a calculadora)
V 5 1,1 ? 1,2 ? 1,4 V 5 1,848 m3
15. Um bloco retangular tem 48 cm de largura. Essa largura é o triplo do comprimento e este é 
o dobro da altura. Qual é o volume do bloco em cm3?
Comprimento
Altura
Largura
V 5 48 ? 16 ? 8 V 5 6 144 cm3
16. Dois blocos retangulares têm mesmo comprimento e mesma largura, mas o primeiro tem o 
dobro da altura do segundo. Quantas vezes o volume do segundo cabe no primeiro?
V
1
 5 c ? l ? h e V
2
 5 c ? l ? 2h V
2
 5 2V
1
17. É possível que dois sólidos com formas diferentes possuam o mesmo volume? Justifique.
Sim, é possível. Exemplo: um cubo de dimensões 4 cm e um bloco de dimensões iguais a 1 cm, 1 cm e 64 cm.
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80
18. Um garrafão de água mineral com capacidade para 10 litros pode ser despejado totalmente 
dentro de um filtro com capacidade para 0,0000098 dam³, sem derramar água?
Não, porque 0,0000098 dam3 equivale a 9,8 litros.
19. Suponha que você possui uma jarra com 1,5 L de suco para servir em copos com capacidade 
de 180 mL. Quantos copos cheios podem ser servidos?
8 copos.
20. Sabendo-se que um banho que dura 15 minutos gasta, em média, 150 litros de água, 
responda:
a) Quantos litros de água uma pessoa gasta em uma semana (7 dias), demorando 20 minutos em 
média em cada banho?
b) Quantos litros seriam economizados se essa pessoa diminuísse seu banho para 10 minutos?
Com 150 L gastos em 15 minutos, temos 10 L por minuto. Assim:
a) 20 minutos → 200 L V
1
 5 7 ? 200
V
1
 5 1 400 L
b) 10 minutos → V
2
 5 700 L
21. Um aquário tem 50 cm de comprimento, 20 cm de largura e 30 cm de altura. Nele, colocou-
-se água até que seu nível ficasse 4 cm abaixo do nível máximo. Quantos litros de água 
foram colocados nesse aquário?
V 5 50 ? 20 ? (30 − 4)
V 5 26 000 cm3 V 5 26 L
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81
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão estudados e suplantar as 
dificuldades de aprendizagem no 6º ano, vamos revisar nesta unidade temática: 
• Organização dos dados de uma variável contínua em classes
• Probabilidade de eventos
Probabilidade 
e estatística
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
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PROFESSOR
UNIDADE 5
A ênfase nesta unidade temática de probabilidade e estatística está voltada à revisão da organização 
dos dados coletados em uma pesquisa para a sua distribuição em frequências, auxiliando em tomadas 
de decisões no momento da análise de dados. Essa organização pode ser feita em tabelas e trará aos 
alunos a ideia de que o ordenamento dos dados é primordial em pesquisas, e demonstra que a Mate-
mática, além de fazer parte da vida dos indivíduos, tem a sua própria organização para posterior uti-
lização com dados. Além disso, ao tratar de probabilidade de eventos, o método utilizado nesta uni-
dade temática é o princípio multiplicativo, avançando no sentido da consolidação desse aprendizado 
em probabilidades e na preparação para posterior aprofundamento nos próximos anos. A unidade se 
desenvolve, portanto, em 2 temas:
1. Organização dos dados de uma variável contínua em classes
2. Probabilidade de eventos
Desenvolvimento 
em 2 temas
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Tema 1: Organização dos dados de uma variável contínua em classes
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Distribuição de frequências”. Após a videoaula, realize 
uma pesquisa em sala de aula sobre o número de irmãos de cada aluno. Essa pesquisa será registrada 
no quadro e no caderno. Com os dados copiados, oriente os alunos a organizar essas informações 
em uma tabela para melhor visualização e, dessa forma, conseguir fazer a distribuição de frequência 
em classes, de acordo com as quantidades relatadas na pesquisa.
Essa organização pode ser feita no Excel ou diretamente no caderno.
O próximo passo é a construção de um histograma utilizando as informações organizadas. Essa 
sequência de trabalho vai auxiliar no desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos, pois faz parte 
de um algoritmo que pode ser assimilado e replicado.
Tema 2: Probabilidade de eventos
Para o trabalho deste tema é interessante o uso de materiais que os alunos possam manusear. 
Sugerimos para um jogo da probabilidade de eventos materiais como um jogo de bingo, moedas ou 
cartas de baralho. Estabeleça condições para o cálculo das probabilidades de cada material a ser 
utilizado. Exemplos: 
Com o jogo de bingo: números pares; números ímpares; números primos; múltiplos de 3, 5 e 8.
Com as moedas: cara; coroa. 
Com as cartas de baralho: rei; rainha; valete; combinações entre eles; especificamente de um ou 
mais naipes.
A cada jogo realizado os registros devem ser feitos no caderno dos alunos com a explicação do 
algoritmo realizado.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF08MA22) (EF08MA24) (EF08MA25).(EF08MA26)(EF08MA27)
Desenvolvimento em 2 temasUNIDADE 5
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82
Organização dos dados de uma 
variável contínua em classes 
Comente a relevância da organização de dados no conceito da Estatística, revisando e aprofundando 
os conceitos relacionados vistos anteriormente. Explore o exemplo das notas trabalhado 
inicialmente, pois é um bom caminho para mostrar a importância do tratamento de dados para 
melhor visualização da informação.
Quando deparamos com um conjunto de dados numéricos, a primeira providência é tentar organizá-
lo, considerando o número de vezes que cada um dos dados aparece nesse conjunto. 
Consideremos, por exemplo, uma lista de 100 notas obtidas em uma prova:
66 63 69 69 68 68 68 65 64 64 71 75 67 67 68 67
67 66 65 66 61 68 68 69 67 60 65 68 67 71 71 70
74 72 66 63 62 61 61 69 69 74 69 69 69 67 66 67
63 66 67 68 68 67 66 64 64 68 68 69 69 67 67 66
64 71 72 73 72 66 66 65 68 65 68 64 68 64 68 61
64 64 65 70 70 70 70 70 71 68 70 67 68 69 70 71
70 69 67 67
Essa tabela pode ficar mais compreensível se agruparmos as notas em ordem crescente. Observe:
60
61 61 61 61
62
63 63 63
64 64 64 64 64 64 64 64 64
65 65 65 65 65 65
66 66 66 66 66 66 66 66 66 66
67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67
68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68
69 69 69 69 69 69 69 69 69 69 69 69
70 70 70 70 70 70 70 70 70
71 71 71 71 71 71
72 72 72
73
74 74
75
EF08MA24
Comente a relevância da organização 
de dados no conceito da Estatística, 
revisando e aprofundando os 
conceitos relacionados vistos 
anteriormente. Explore o exemplo 
das notas trabalhado inicialmente, 
pois é um bom caminho para mostrar 
a importância do tratamento de 
dados para melhor visualização da 
informação.
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83
A simples observação dessa lista organizada permite algumas conclusões a respeito dos resultados 
obtidos no teste:
• a maior nota foi 75, e a menor, 60;
• a nota que mais aparece é 68;
• a nota 70 aparece 9 vezes etc.
Chamamos de frequência o número de vezes que um determinado dado aparece em uma lista 
qualquer. No caso que estamos considerando, a frequência da nota 70, por exemplo, é 9, pois ela 
aparece nove vezes, e a da nota 75 é 1.
Vamos agora organizar a tabela de frequências para as notas da prova, contando e indicando quantas 
vezes cada uma aparece.
Tabela de frequências da prova
Nota Frequência
60 1
61 4
62 1
63 3
64 9
65 6
66 10
67 15
68 17
69 12
70 9
71 6
72 3
73 1
74 2
75 1
Observe que, nesse caso, temos 16 notas diferentes, cada uma delas associada a uma frequência. A 
soma de todas as frequências fornece o total de notas da lista.
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VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS PELO 
PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
Distribuição de frequências
84
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85
Em geral, as medidas numéricas relativas a determinado fenômeno consistem em grandes coleções 
de dados. Nesses casos, torna-se necessário organizar a tabela de frequências utilizando os conceitos 
de intervalos de classe, frequências de classe e distribuição de frequências.
Vamos tomar como exemplo uma tabela de audiência, que mostra os números de aparelhos de TV 
sintonizados em certo canal, em um mesmo horário, por 100 dias consecutivos, em um bairro onde 
existem aproximadamente 5 000 televisores.
Quantidade de aparelhos sintonizados em 100 dias consecutivos
762 451 602 440 570 553 367 520 454 653
433 508 520 603 532 673 480 592 565 662
712 415 595 580 643 542 470 743 608 503
566 493 635 780 537 622 463 613 502 577
618 581 644 605 588 695 517 537 552 682
340 537 370 745 605 673 487 412 613 470
548 627 576 637 787 507 566 628 676 750
442 591 735 523 518 612 589 648 662 512
663 588 627 584 672 533 738 455 512 622
544 462 730 576 588 705 695 541 537 563
Em vez de contarmos quantas vezes cada medida aparece na tabela, vamos agrupá-las em k 
intervalos de classe convenientes e determinar quantos dados caem em cada um desses intervalos. 
Em geral, é conveniente que o número k de intervalos de classe situe-se entre 5 e 20, dependendo 
da quantidade de dados numéricos. Para 100 dados, um número conveniente de intervalos é 10.
Para os valores apresentados na tabela, vamos calcular a amplitude R do conjunto de dados. Essa 
amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da tabela. Assim, nesse caso, a amplitude R 
será:
R 5 787 2 340 → R 5 447
Vamos agora determinar a amplitude h de cada intervalo de classe. Isso é feito dividindo-se a 
amplitude R que calculamos pelo número de intervalos k que escolhemos. 
h 
R
k
<
Como, em nosso caso, escolhemos k 5 10, temos:
h 
447
10
 44,75<
Para facilitar a distribuição das frequências, vamos utilizar h 5 50. Assim, como o menor valor é 340, 
vamos estabelecer os intervalos a partir de 300, com amplitude 50, convencionando que eles são 
fechados à esquerda e abertos à direita.
Obtidos os intervalos de classe, podemos contar quantos dados caem em cada um deles e montar 
uma tabela de frequências de classe, que chamamos de distribuição de frequências.
Distribuição de frequências
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86
Distribuição de frequências
Intervalo de 
classe
Frequência 
de classe
300 £ 350 1
350 £ 400 2
400 £ 450 5
450 £ 500 10
500 £ 550 21
550 £ 600 20
600 £ 650 19
650 £ 700 11
700 £ 750 7
750 £ 800 4
Total 100
Em resumo, se chamarmos os intervalos de classe simplesmente de classes e as frequências de 
classe de fi, tweremos a seguinte distribuição de frequências para uma coleção de n dados:
k 
cl
as
se
s
Classe fi
k 
fr
eq
u
ên
ci
as
 d
e 
cl
as
se
s
a
1
 £ a
2
f
1
a
2
 £ a
3
f
2
a
3 
£ a
4
f
3
: :
a
i21
 £ a
i
f
i
Sfi n
Sf
i
 deve ser lido como “soma das frequências de classe” e é sempre Sfi 5 n.
Acompanhe alguns exemplos de distribuição de frequências.
a) Em um exame vestibular foram cronometrados os tempos, em minutos, gastos por 50 estudantes 
para entregar a prova. Obtiveram-se os valores indicados na tabela a seguir. 
61 65 43 53 55 51 58 55 59 56
52 53 62 49 68 51 50 67 62 64
53 56 48 50 61 44 64 53 54 55
48 54 57 41 54 71 57 53 46 48
55 46 57 54 48 63 49 55 52 51
 Vamos fazer a distribuição de frequências.
 Da tabela, temos:
 R 5 maior valor 2 menor valor
 R 5 71 2 41 → R 5 30
 Adotando k 5 7, calculamos:
 
h 
R
k
 h 
30
7
 4,28 b adotamos h 5.5< < <→ →
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87
 A distribuição de frequências é obtida contando-se na tabela original quantos dados caem em 
cada classe. Assim, temos:
Classe fi
40 £ 45 3
45 £ 50 8
50 £ 55 16
55 £ 60 12
60 £ 65 7
65 £ 70 3
70 £ 75 1
Sfi 50
 A tabela nos mostra, por exemplo, que existiram 16 estudantes que fizeram a prova entre 50 e 55 
minutos, e apenas 1 estudante gastou mais que 70 minutos para realizar a prova.
b) Vamos retomar a tabela de notas em uma prova e organizar a distribuição de frequências.
Tabela de frequências da prova
Nota Frequência
60 1
61 4
62 1
63 3
64 9
65 6
66 10
67 15
68 17
69 12
70 9
71 6
72 3
73 1
74 2
75 1
 Neste caso:
 R 5 75 2 60 → R 5 15
 Vamosadotar, aqui, k 5 8. Logo:
 
h 
R
k
 h 
15
8
 h 1,87 h 25< < <→ → →
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88
 Assim:
Classe fi
60 £ 62 5
62 £ 64 4
64 £ 66 15
66 £ 68 25
68 £ 70 29
70 £ 72 15
72 £ 74 4
74 £ 76 3
Histogramas e polígonos 
de frequências
Histograma é uma forma particular de gráfico de barras, 
utilizado para representar uma tabela de distribuição 
de frequências. 
Considere, por exemplo, a distribuição de frequências 
de audiência que corresponde ao número de aparelhos 
de TV sintonizados em determinado canal, em um 
mesmo horário:
Para construir o histograma relativo a essa distribuição, 
traçamos barras sem espaço entre elas, lado a lado, 
com alturas fi e bases de largura h, ou seja, igual aos 
intervalos de classe.
0
300| – 350 350| – 400 400| – 450 450| – 500 550| – 600500| – 550 600| – 650 650| – 700 700| – 750 750| – 800
5
10
15
20
25
Distribuição de frequências
Intervalo de classe Frequência de classe
300 £ 350 1
350 £ 400 2
400 £ 450 5
450 £ 500 10
500 £ 550 21
550 £ 600 20
600 £ 650 19
650 £ 700 11
700 £ 750 7
750 £ 800 4
Sfi 100
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89
A partir do histograma, podemos traçar o polígono de frequências. Basta ligar os pontos médios do 
topo das barras com segmentos de reta consecutivos:
0
300| – 350 350| – 400 400| – 450 450| – 500 550| – 600500| – 550 600| – 650 650| – 700 700| – 750 750| – 800
5
10
15
20
25
Acompanhe os exemplos a seguir.
a) Vamos fazer, em um mesmo gráfico, o histograma e o polígono de frequências relativos à 
distribuição a seguir:
 
0
40| – 45 45| – 50 50| – 55 55| – 60 65| – 7060| – 65 70| – 75
4
8
12
16
20
2
6
10
14
18
Classe fi
40 £ 45 3
45 £ 50 4
50 £ 55 10
55 £ 60 19
60 £ 65 16
65 £ 70 8
70 £ 75 4
b) A tabela a seguir, representa o número de ligações telefônicas atendidas por uma empresa em 80 
dias, incluindo os finais de semana. Observe a construção da tabela de distribuição, o histograma 
correspondente e o polígono de frequências.
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90
64 73 44 10 43 31 51 4 25 53
51 36 47 45 65 69 58 45 54 73
28 38 42 49 19 49 65 32 33 11
57 25 39 2 40 22 5 60 44 3
8 3 65 50 38 9 56 21 9 57
15 28 48 47 68 6 34 12 65 28
59 8 54 84 45 39 41 43 41 38
52 63 40 16 52 44 46 59 22 15
 Inicialmente, determinamos a amplitude da distribuição e a de cada classe.
 R 5 x
máx
 2 x
mín
 R 5 84 2 2 → R 5 82
 Considerando k 5 7, calculamos h:
 
h 
82
7
 h 11,7 h 125< <→ →
 Fazendo a contagem, organizamos a tabela de distribuição de frequências, a partir da qual temos 
o histograma e o polígono de frequências correspondentes.
0
40| – 45 45| – 50 50| – 55 55| – 60 65| – 7060| – 65 70| – 75
5
10
15
20
25
30
Número de ligações fi
2 £ 14 13
14 £ 26 9
26 £ 38 8
38 £ 50 24
50 £ 62 15
62 £ 74 10
74 £ 86 1
Sfi 80
Atividades
1. A tabela a seguir indica as medidas de altura de estudantes de uma classe de 9° ano.
Altura dos estudantes em cm
163 168 168 170 170 166
166 163 164 169 166 163
171 164 165 165 169 171
165 166 169 165 170 164
164 170 170 172 164 171
EF08MA23 e EF08MA24
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91
 Organize a tabela de frequências de alturas.
 
Altura (cm) Frequência
163 3
164 5
165 4
166 4
167 0
168 2
169 3
170 5
171 3
172 1
2. Considere a tabela de frequências a seguir, que representa “o peso” de atletas participantes 
de uma competição olímpica:
 
Peso (kg) Frequência
66 6
67 7
68 10
69 9
70 9
71 8
72 12
73 10
74 11
75 10
76 11
77 9
78 11
79 8
80 7
81 6
81 6
 A partir da tabela, determine:
a) quantos atletas participam da competição;
6 1 7 1 10 1 9 1 9 1 8 1 12 1 10 1 11 1 10 1 11 1 9 1 11 1 8 1 7 1 6 1 6 5 150 atletas
b) quantos têm menos de 70 kg;
6 1 7 1 10 1 9 5 32
c) a porcentagem de atletas que têm massa entre 70 kg e 75 kg, inclusive.
5 5
60
150
 0,4 40%
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92
3. Obtenha a distribuição de frequências para a tabela abaixo, que representa o número de 
acidentes sem vítimas registrados em 100 finais de semana, em uma rodovia para o litoral. 
Utilize k 5 10.
 
7 11 6 6 10 6 31 28 13 19
6 18 9 7 5 5 9 8 10 6
10 3 4 6 7 9 9 19 7 9
17 33 17 12 7 5 7 10 7 9
18 17 4 6 11 13 7 6 10 7
7 9 8 15 16 11 10 7 5 14
12 10 6 7 7 13 10 5 6 4
10 6 7 11 19 17 6 9 6 5
6 13 4 7 6 12 9 14 9 7
18 5 12 8 8 8 13 9 13 15
n 5 100, k 5 10
R 5 33 2 3 5 30
5 5 5h 
R
k
 
30
10
 3
classe f
1
3 £ 6 12
6 £ 9 36
9 £ 12 24
12 £ 15 12
15 £ 18 7
18 £ 21 6
21 £ 24 0
24 £ 27 0
27 £ 30 1
30 £ 33 2
Sf
1
 5 100
4. Construa a distribuição de frequências com 8 classes, para as 100 medidas a seguir, que 
representam os pesos em kg de estudantes de uma escola do Ensino Fundamental.
51 54 47 53 59 46 50 50 56 46
48 50 45 49 52 55 42 57 45 51
53 55 51 47 53 53 49 51 43 48
44 48 54 46 49 51 52 50 55 51
50 53 45 49 57 54 53 49 46 48
52 48 50 52 47 50 44 46 47 49
49 51 57 49 51 42 49 53 44 52
53 55 48 52 44 46 54 54 57 55
48 50 50 55 52 48 47 52 55 50
59 52 47 46 56 54 51 56 54 55
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93
classe f
1
42 £ 44,5 7
44,5 £ 47 10
47 £ 49,5 23
49,5 £ 52 19
52 £ 54,5 24
54,5 £ 57 11
57 £ 59,5 6
59,5 £ 62 0
Sf
1
 5 100
k 5 8
5
2
5 <h 
59 42
8
 
17
8
 2,125 2,5
5. Elabore a tabela de distribuição, o histograma e o polígono de frequências correspondente à 
tabela de notas de 50 estudantes.
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
0
30| – 40 40| – 50 50| – 60 60| – 70 70| – 80 80| – 90 90| – 100
2
4
6
8
10
12
14
C f
1
30 £ 40 4
40 £ 50 6
50 £ 60 8
60 £ 70 12
70 £ 80 9
80 £ 90 7
90 £ 100 4
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94
6. Examine o histograma que corresponde às notas finais em Matemática dos estudantes de 
uma escola e, depois, responda às perguntas:
 
0
0| – 10 10| – 20 20| – 30 30| – 40 40| – 50 50| – 60 60| – 70
5
10
15
20
25
a) Qual é o intervalo de classe que tem menor frequência?
60 £ 70
b) Qual é o número total de estudantes?
1 1 4 1 5 1 6 1 10 1 11 1 15 1 12 1 7 1 1 5 72
c) Quais os intervalos de classe que têm a maior frequência?
30 £ 40
7. A tabela a seguir foi elaborada com base na entrada de clientes em um shopping center 
durante um sábado na semana anterior ao Natal, quando o shopping fecha às 24h.
Horários de funcionamento Clientes
10h às 12h 700
12h às 14h 950
14h às 16h 1 350
16h às 18h 1 450
18h às 20h 1 250
20h às 22h 900
22h às 24h 450
Total 7 050
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95
 Analise a tabela e responda:
a) Qual o horário em que mais clientes entraram no shopping?
Entre 16 h e 18 h.
b) Sabendo que cada cliente gastou em média R$ 30,00, qual será o faturamento do shopping ao 
final do dia?
R$ 211 500,00
Probabilidade de eventos 
Leia o exemplo a seguir.
Laura precisa comprar um novo smartphone, por isso vai a uma loja especializada. Na loja, o vendedor 
mostra cinco diferentes aparelhos, com diferentesconfigurações, na faixa de preço que Laura quer, 
e informa que o pagamento poderá ser feito das seguintes formas: à vista (com 5% de desconto), em 
5 vezes (com 5% de juros) ou em até 10 vezes (com 15% de juros).
Nesse contexto, ela tem 5 tipos de smartphones para escolher, podendo pagar de três maneiras 
diferentes, sendo mais vantajoso comprar à vista por causa do desconto. Se multiplicarmos a 
quantidade de tipos de smartphones pela quantidade de formas de pagamento, isto é, 5 ? 3 5 15, 
teremos a quantidade de possibilidades de compra do smartphone no contexto apresentado 
2 esse cálculo representa o princípio fundamental da contagem ou, simplesmente, princípio 
multiplicativo:
Se um acontecimento A ocorre de n formas diferentes e, para cada uma delas, um acontecimento B 
ocorre de m maneiras diferentes, temos então que o número de maneiras diferentes que os eventos 
A e B podem ocorrer é dado por n ? m.
Para a situação de Laura, sendo n a quantidade de tipos de smartphones e m a quantidade de formas 
de pagamento, temos:
quantidade de tipos 
de smartphones
quantidade de formas 
de pagamento
5 ? 3 5 15
quantidade de 
possibilidades
Chamando de C1, C2, C3, C4, e C5 cada tipo de celular e 
de P1, P2 e P3 as formas de pagamento, as possibilidades 
de compra do smartphone podem ser representadas, 
esquematicamente, por meio de uma árvore de possibilidades 
ou diagrama de possibilidades:
P1
P2C1
P3
P1
P2C2
P3
P1
P2C3
P3
P1
P2C4
P3
P1
P2C5
P3
EF08MA22
A fim de desenvolver o tema probabilidade no contexto aqui apresentado, se 
possível, leve objetos que possam ser agrupados, de modo que os estudantes 
apliquem na prática o princípio multiplicativo, o que é um forte aliado na 
evolução do processo de aprendizagem do tema.
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96
Podemos também representar essa situação por meio de um quadro de possibilidades, observe:
Forma de pagamento
Smartphone P
1
P
2
P
3
C
1
C
1
P
1
C
1
P
2
C
1
P
3
C
2
C
2
P
1
C
2
P
2
C
2
P
3
C
3
C
3
P
1
C
3
P
2
C
3
P
3
C
4
C
4
P
1
C
4
P
2
C
4
P
3
C
5
C
5
P
1
C
5
P
2
C
5
P
3
Em eventos como esses, as duas etapas (escolha do smartphone e escolha da forma de pagamento) 
são independentes, sendo que cada uma tem um número de possibilidades e que, para cada escolha 
de uma etapa (tipo de smartphone), o número de escolhas da segunda etapa (forma de pagamento) 
é o mesmo. Por isso a quantidade de possibilidades total de compra do aparelho pode ser dada pelo 
princípio multiplicativo.
Cálculo de probabilidade
A probabilidade de um evento (E) qualquer acontecer (P(E)), considerando a quantidade de 
possibilidades favoráveis ao evento, é:
P(E) 
n(E)
n( )
5
V
Sendo (n(E)) o número de elementos do conjunto evento e (n(V) o número de elementos do espaço 
amostral. Por exemplo, ao jogar 3 moedas, temos a seguinte árvore de possibilidades, sendo cara (k) 
e coroa (c):
(kkk) (kkc) (kck) (kcc) (ckk) (ckc) (cck) (ccc)
Assim, podemos definir o evento A como “obter pelo menos uma cara”. Pela árvore de possibilidades, 
se obtém pelo menos uma cara (k) em 7 ocasiões; logo n(A) 5 7, e a probabilidade de esse evento 
ocorrer será:
P(A) 
n(A)
n( )
 
7
8
 0,875 ou 87,5%5
V
5 5
Outro exemplo, é “obter todas as faces cara ou todas as faces coroa”, que vamos chamar de evento B. 
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97
Pela árvore de possibilidades, isso pode ocorrer duas vezes, portanto n(B) 5 2. Assim, a probabilidade 
de o evento B ocorrer será:
P(E) 
n(E)
n( )
 
2
8
 
1
4
 0,25 ou 25%5
V
5 5 5
Ambos os eventos são eventos prováveis de acontecer. A probabilidade de um evento sempre 
varia de 0 até 1 (ou 0% a 100%), sendo que os extremos são casos especiais, e sendo que quanto 
mais próxima a quantidade de elementos do evento for do número de elementos mais alta será a 
probabilidade de ele acontecer. 
Dizemos que um evento com probabilidade igual a 0 (ou 0%) é um evento impossível, ou seja, ele 
nunca vai acontecer (exemplo: obter um face maior que 6 jogando um dado de 6 faces). Já um evento 
com probabilidade igual a 1 (ou 100%) é um evento certo, ou seja, caso em que o conjunto evento é 
igual ao espaço amostral (exemplo: cair cara ou coroa no jogo da moeda).
Para um dado espaço amostral, a soma das probabilidades de ocorrência de todos os resultados 
sempre é igual a 1 (ou 100%). Dessa forma, no experimento aleatório com um dado comum, por 
exemplo, a probabilidade de se obter cada uma das seis faces é 1
6
, visto que ele tem 6 faces. Somando 
as probabilidades de cada uma dessas seis faces, temos:
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
6
6
 1 ou 100%1 1 1 1 1 5 5
Atividades
8. Um grupo de estudantes do 8o ano entrevistou 378 colegas de sua escola sobre problemas 
de saúde e histórico familiar. Após o tratamento de dados, eles geraram o seguinte gráfico:
Problemas de saúde
78,6%
0,5%
*Risco por histórico
Desnutrição
Obesidade
Sedentarismo
Hipertensão
Diabetes
*pais, avós e bisavós com problemas crônicos
32,5%
18,3%
54,8%
25,4%
 Sobre essa pesquisa e seus resultados, quantos adolescentes têm riscos por problemas no 
histórico familiar?
Pelos dados, temos: 
?
5
378 78,6%
100%
 297
Portanto 297 adolescentes têm riscos por problemas no histórico familiar.
EF08MA22, EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27
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98
9. Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. A idade 
média das mulheres é 34, e a idade média dos homens é 32. Qual é, aproximadamente, a 
idade média da população?
M: número de mulheres
H: número de homens
Do enunciado:
5 5<M
H
 
11
10
 M 
11H
10
34: idade média das mulheres
32: idade média dos homens
Sendo pa idade média da população, temos:
5
? 1 ?
1
5p 
11H
10
 34 H 32
11H
10
 H
 
694H
21H
p < 33,05
10. Em uma classe de 40 estudantes, foi realizada uma pesquisa sobre o número de irmãos de 
cada um, conforme lista a seguir.
1 1 2 0 2 2 1 0 2 2
2 0 2 4 3 0 0 3 2 1
4 1 1 1 2 3 1 1 2 0
2 2 2 1 0 1 0 0 1 1
 Calcule o número médio de irmãos dos estudantes dessa classe.
x
i
0 1 2 3 4
f
i
9 13 13 3 2
5
S ?
5
1 1 1 1
5 5x 
x f
n
 
0 13 26 9 8
40
 
56
40
 1,4i i
11. Um professor compilou as notas de Matemática de alguns estudantes do 8° ano, colocando-
as em uma tabela:
Notas de Matemática de estudantes do 8° ano
Estudante
Nota
1° bimestre 2° bimestre 3° bimestre 4° bimestre
Amélia 8,5 8,9 9,2
Bruno 8,0 10,0 9,5
Henrique 5,8 7,9 7,2
Fabiano 7,7 8,4 8,5
Sofia 9,0 9,5 9,5
 Sabendo que, para ser aprovado na disciplina, a média de notas dos quatro bimestres deve ser 
igual ou superior a 7,0, algum dos estudantes da tabela já está aprovado mesmo que tire nota 
zero no 4o bimestre?
Considerando a nota zero no 4o bimestre, a média parcial de cada estudante é:
1 1 1
5 5Amélia: 
8,5 8,9 9,2 0
4
 
26,6
4
 6,65
 
1 1 1
5 5Fabiano: 
7,7 8,4 8,5 0
4
 
24,6
4
 6,15
1 1 1
5 5Bruno: 
8,0 10,0 9,5 0
4
 
27,5
4
 6,875
 
1 1 1
5 5Sofia: 
9,0 9,5 9,5 0
4
 
28,0
4
 7,0
1 1
5 5
+
Henrique: 
5,8 7,9 7,2 0
4
 
20,9
4
 5,225
Portanto apenas a Sofia tem média parcial suficiente (7,0) para aprovação no 3o bimestre.
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99
12. Marina e suas cinco amigas foram ao cinema na estreia de um novo filme e compraram 
poltronas consecutivas.
a) De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar nas poltronas?
6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720 maneiras
b) Dequantas maneiras diferentes elas podem se sentar se Marina ocupar a primeira poltrona?
1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 maneiras
13. Para o lançamento de dois dados, foi construída a seguinte árvore de possibilidades:
1° lançamento: 1 2 3 4 5 6
2° lançamento: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
a) Quantas possibilidades há?
Temos 6 1 6 1 6 1 6 1 6 5 36.
b) Em quantas combinações saem dois números iguais?
Temos 6 resultados favoráveis: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
14. José lançou uma moeda de 1 real. Nessa situação:
a) Qual a probabilidade de se obter cara? c) Qual a probabilidade de se obter cara ou coroa?
n(W) 5 2
n(A) 5 1
5
V
5 5P(A) 
n(A)
n( )
 
1
2
 0,5 ou 50%.
b) Qual a probabilidade de se obter coroa?
n(W) 5 2
n(B) 5 1
5
V
5 5P(B) 
n(A)
n( )
 
1
2
 0,5 ou 50%.
15. Classifique a seguir cada evento em provável, impossível ou certo. 
a) O aniversário de alguém ser em uma data menor que 32. 
Certo.
b) Obter um número maior que 5 em um dado comum. 
Provável.
c) Obter um número menor que 7 em um dado comum. 
Certo.
5 5 5
1
2
 
1
2
 
2
2
 1 ou 100%.
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100
d) Uma pirâmide quadrangular ter 8 vértices. 
Impossível.
e) Um número ímpar terminar em 0. 
Impossível.
f) Um número ímpar terminar em 5. 
Provável.
g) Sortear um múltiplo de 6 em uma urna com 100 números. 
Provável.
16. Sofia, fazendo arte com Geometria, desenhou um círculo na folha, o dividiu e o coloriu da 
seguinte forma:
 Ela então, amassou um pedacinho de papel e o lançou no círculo. Supondo que a bolinha amassada 
caia dentro do círculo, responda:
a) Qual a probabilidade de a bolinha cair na cor verde?
Há 8 partes, então n(W) 5 8. Temos 4 partes verdes, então n(A) 5 4. Assim: 5
V
5 5 5
( )
( )P(A) 
n A
n
 
4
8
 
1
2
 0,5 ou 50%
b) E na cor amarela?
Temos n(B) 5 1. Assim: 5
V
5 5
( )
( )P(B) 
n B
n
 
1
8
 0,125 ou 12,5%
c) E na cor vermelha?
Temos n(C) 5 3. Assim: 5
V
5 5
( )
( )P(C) 
n C
n
 
3
8
 0,375 ou 37,5%
d) Qual a soma das probabilidades obtidas nos itens anteriores? Justifique o valor encontrado.
A soma é 50% 1 12,5% 1 37,5% 5 100%. Isso acontece porque os itens anteriores abordaram todos os elementos do espaço
amostral (4 verdes, 3 vermelhos e 1 amarelo).
e) Se a figura fosse pintada com 4 partes verdes e 4 vermelhas, qual seria a probabilidade de o papel 
amassado cair em cada cor?
Seria 50%, pois cada cor representaria a metade do círculo.
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101
17. Uma farmácia disponibiliza aos seus clientes 
quatro vagas de estacionamento. Qual a 
probabilidade aproximada de dois ocuparem 
a configuração dada na figura a seguir, 
considerando que um chega depois do outro?
O primeiro carro tem 4 opções de vaga para estacionar, o segundo tem 3 opções. Então, pelo princípio multiplicativo, há
4 ? 3 5 12 possibilidades de configuração dos dois carros nas vagas (n(W) 5 12). A figura mostra uma dessas possibilidades
(evento E), com cada carro em uma extremidade. Assim, n(E) 5 1. Logo: 
( )
( )P(E) 
n E
n
 
1
12
 0,083 ou 8,3%>5
V
5
18. Josué, um empreendedor, conseguiu uma vaga na saída da escola para oferecer lanches 
saudáveis na saída dos estudantes e ofereceu os seguintes ingredientes para que 
escolhessem a montagem do sanduíche:
Pão Recheio Acompanhamento
Francês Frango Alface
Integral Queijo Tomate
Brioche Requeijão Cebola
Patê de atum Pepino
Azeitonas
Picles
 Considerando que deve ser escolhido apenas 1 item de cada categoria e que todas as categorias 
devem ser contempladas, responda:
a) Qual a probabilidade do sanduíche escolhido ter pão francês e queijo?
Há 3 opções de pão, 4 de recheio e 6 de acompanhamento; assim, o espaço amostral será dado pelo princípio amostral
n(W) 5 3 ? 4 ? 6 5 72. Considerando que há 6 possibilidades de acompanhamentos, então o evento A (ter pão francês e queijo)
terá 6 possibilidades, ou seja, n(A) 5 6. Portanto, temos: 5
V
5 >
( )
( )P(A) 
n A
n
 
6
72
 0,083 ou 8,3%.
b) Qual a probabilidade do sanduíche escolhido ter alface?
Considerando as 3 opções de pães e as 4 de recheios, o número de possibilidade do evento B (ter alface no sanduíche) será
dado pelo princípio multiplicativo: n(B) 5 3 ? 4 5 12. Assim: 5
V
5 >
( )
( )P(B) 
n B
n
 
12
72
 0,0167 ou 16,7%.
c) A probabilidade de escolha dos outros acompanhamentos (um a um) é a mesma do item anterior?
A probabilidade é a mesma, aproximadamente 16,7%, para cada um dos acompanhamentos.
d) Quanto dá a soma das probabilidades de cada acompanhamento?
Cada um tem probabilidade de aproximadamente 16,7%, e a soma das 6 probabilidades é aproximadamente 100%. Esse
resultado indica a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral.
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MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
9° ANO
M
A
TETM
Á
TIC
A
9° A
N
O
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 8CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 8 27/12/23 15:3327/12/23 15:33