Sequências Matemáticas

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PA&PG
MATEMÁTICA COM
ADILSON
Com Prof. Adilson Longen 
aula 1 
SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar sequências;
• Interpretar lei de formação de uma sequência;
• Resolver problemas relacionados às sequências.
O tempo, da forma como computamos, representa uma das primeiras aplicações de sequências. Tanto o 
calendário quanto o relógio são instrumentos de contagem do tempo: 
• Sequências dos anos;
• Sequência dos dias da semana;
• Sequências dos dias do mês;
• Sequências das horas de um dia;
• etc
Ideias iniciais 
Temos as sequências finitas e as sequências infinitas. Uma forma de representar uma sequência numérica, 
por exemplo, é com a utilização de parênteses. Nessa representação os elementos são separados um a um por vírgula 
ou por ponto e vírgula, de modo que, da esquerda para direita tenhamos: 
(primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, quarto termo, ...) 
Exemplos: 
• Sequência infinita dos números naturais:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) 
• Sequência finita dos dias do mês de janeiro:
(1, 2, 3, 4, 5, ..., 28, 29, 30, 31) 
Observações: 
1. Cada elemento de uma sequência também é identificado como termo da sequência;
2. O termo da sequência que ocupa a posição de numero n é representado por na . 
3. A sequência ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... pode ser representada por ( )
 *n n
a
Lei de formação de uma sequência 
• Lei de formação por recorrência:
Uma sequência pode ser determinada se conhecemos um de seus termos e uma sentença que expresse cada
termo em função do seu antecessor (ou de seu sucessor)
Exemplo: 
A sequência definida por: 
+
=

= 
1
n 1 n
a 5
a 2 a
• Termo geral:
Uma sequência pode ser determinada se cada termo na é expresso em função de sua posição n. 
Exemplo: 
A sequência em que o termo geral é ( )= −
2
n
a 2n 1
• Lei de formação dada por meio de uma propriedade comum de seus termos.
Uma sequência pode ser formada a partir de uma propriedade de seus termos.
Aplicações de apoio teórico 
01. Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por:
+
=

= 
1
n 1 n
a 5
a 2 a
02. Dada a sequência definida por ( )= −
2
n
a 2n 1 , calcule + +5 6 7a a a . 
03. Prove que, se Sa e Ta são termos equidistantes dos extremos de uma sequência finita ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a então vale a 
igualdade: + = +S T n 1 
04. Determinar o 19º termo da sequência definida por ( )=  +
2
n
a 3 n 1
05. A soma dos n primeiros termos de uma sequência é dada por = − 2
nS 3n n , sendo n um número natural diferente
de zero. Determine: 
a) a soma dos 5 primeiros termos dessa sequência;
b) o segundo termo dessa sequência.
06. O produto dos n primeiros termos de uma sequência é dado por =  2
nP 2 n , sendo n um número natural diferente 
de zero. Determine: 
a) o produto dos cinco primeiros termos dessa sequência
b) o segundo termo dessa sequência.
aula 2 
SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar sequências;
• Interpretar lei de formação de uma sequência;
• Resolver problemas relacionados às sequências.
01. (CESGRANRIO RJ) A soma dos n primeiros termos de uma sucessão é dada por ( )=  +nS n n 1 . Então o vigésimo 
termo da sucessão é: 
a) 420
b) 380
c) 60
d) 40
e) 20
02. (PUC SP) Na sequência cujos termos obedecem a fórmula de recorrência =1a 3 e ( )+
= −  
2 *
n 1 na a 2 , n , o sexto 
termo é: 
a) 1
b) -1
c) 3
d) 6
e) 9
03. (FGV SP) A sequência ( )
 *n n
y é tal que −
− =n n 1y y 2n , para todo n,  *n e n 2 . Sabendo-se que = −1y 1, o 
termo 4y é igual a: 
a) 21
b) 17
c) 27
d) 31
e) 51
04. (CESGRANRIO RJ) A sequência de Fibonacci é bastante utilizada para exemplificar sequências definidas por
recorrência, ou seja, sequências em que se pode determinar um termo a partir do conhecimento de termos anteriores.
No caso da sequência de Fibonacci, escreve-se que 
+ +
= +n 2 n 1 nT T T e, desse modo, pode-se obter um termo qualquer 
conhecendo-se os dois termos anteriores. Considerando o exposto acima, determine o termo 2021T da sequência de 
Fibonacci, sabendo que =2018T m e =2020T p . 
a) +
m
p
2
b) −
m
p
2
c) +p 2m
d) −2p m
e) −2m 2p
05. (PUC RS) Na sequência 
 
 
 
1 5 3 7
, , , ,x,y,z,...
2 8 4 8
, os valores de x, y e z são, respectivamente: 
a) 
9 5
1, ,
8 4
b) 
1 3 5
, ,
4 8 4
c) 
5 9 7
, ,
4 8 4
d) 
9 13 11
, ,
4 8 4
e) 
11 9 13
, ,
4 8 4
06. (PUC SP) Na sequência ( )1 2 3a ,a ,a ,... tem-se: =1a 1 e 
( )
+
+
=

2
n
n 1
n
2 a
a
2 a
. Qual dos números abaixo está mais próximo 
de 3a ? 
a) 1
b) 2
c) 2
d) 3
e) 5
07. (UFBA) Sejam as sequências
+
=


= +

1
n 1
n
a 4
2
a 1
a
 e 
+
=


= +
1
n 1
n
b 5
1
b
1 b
Se = 4 4P a b , tem-se: 
a) P 0
b)  0 P 1 
c)  1 P 2
d)  2 P 3
e) P 3
08. (UFSE) O 30º termo da sequência
 
− − 
 
1 1 1
1, , , ,...
3 5 7
é 
a) −
1
61
b) −
1
59
c) 
1
30
d) 
1
59
e) 
1
61
aula 3 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA: TERMO GERAL 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar progressão aritmética;
• Obter a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética;
• Classificar progressão aritmética quanto ao crescimento;
• Resolver problemas relacionados ao termo geral de uma progressão aritmética.
 Observe a sequência formada pelas três primeiras figuras formadas a partir de palitos de fósforos. 
Podemos destacar duas sequências de números a partir das figuras acima: 
• Quantidade de palitos para formar as figuras:
(4, 12, 20, ...) 
• Quantidade de quadrados que formam as figuras:
(1, 3, 5, ...) 
Essas duas sequências numéricas são exemplos de progressão aritmética: 
Definição: 
Progressão aritmética é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo 
anterior com uma constante r. A constante r é denominada de razão da progressão aritmética (P.A.). 
Exemplos: 
(4, 8, 12, 16, ...) é uma P.A. de razão r = 4 
(10, 5, 0, -5, ...) é uma P.A. de razão r = -5 
(7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0. 
Quanto ao crescimento de uma progressão aritmética temos três situações possíveis: 
• P.A. crescente - quando a razão é positiva;
• P.A. decrescente - quando a razão é negativa;
• P.A. constante - quando a razão é nula.
Fórmula do termo geral: 
Numa progressão aritmética ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... de razão igual a r, tem-se que:
( )= + − n 1a a n 1 r
Essa relação é denominada de termo geral da progressão aritmética. 
Observações: 
1. A fórmula do termo geral permite obter qualquer termo da progressão aritmética, conhecendo-se o primeiro termo,
a razão da sequência e a ordem do termo que se deseja determinar.
2. A demonstração dessa fórmula será feita a seguir.
(...) 
Aplicações de apoio teórico 
01. A partir da definição de progressão aritmética obtenha a fórmula do termo geral.
02. Determine a fórmula do termo geral da progressão aritmética (5,9,13,17, ...)
03. Qual é o número de termos da progressão aritmética finita (4, 7, 10, ..., 139).
04. Quantos múltiplos de 7 existem entre 1 e 1000?
05. Numa progressão aritmética sabe-se que: + =1 4a a 12 e + =3 5a a 18 . Determine o 20º termo dessa sequência. 
06. Retomando a sequência de figuras formadas pelos palitos, conforme abaixo, determine
a) O termo geral nQ correspondente à quantidade de quadrados existentes na figura de ordem n; 
b) O termo geral nP correspondente à quantidade de palitos existentes na figura de ordem n. 
(...) 
aula 4 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: TERMO GERAL 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar progressão aritmética;
• Obter a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética;
• Classificar progressão aritmética quanto ao crescimento;
• Resolver problemas relacionados ao termo geral de uma progressão aritmética.
01. (UFPA) Sabendo que a sequência ( )− − +1 3x,x 2, 2x 1 é uma P.A., determinar o valor de x
a) -2
b) 0
c) 2
d) 4
e) 6
02. (PUC RS) As medidas dos ângulos internos de um triânguloestão em progressão aritmética de razão 20º. O menor
ângulo desse triângulo mede:
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 80º
03. (UECE) Seja ( )1 2 3 k 50a ,a ,a ,...,a ,...,a uma progressão aritmética. Se =2a 14 , − =5 3a a 18 e =ka 239 , então k é igual 
a: 
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
04. (EAR SP) Pedro é um tenista profissional que vem treinando 120 saques por dia. Porém, a partir de amanhã, a
cada dia de treino ele fará 5 saques a mais que no treino anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar o dia em que
treinará 180 saques, ele conseguirá isso no ___ dia de treino, considerando hoje o primeiro dia.
a) 10º
b) 12º
c) 13º
d) 15º
05. (UFRGS) Considere o padrão de construção que fez uso de discos, conforme as figuras representadas nas etapas
1, 2 e 3, abaixo.
Na etapa 200, serão usados n discos. Seguindo esse padrão de construção, n é igual a 
a) 783
b) 792
c) 801
d) 810
e) 819
06. (FGV SP) Um retângulo é o primeiro polígono de uma sequência. A partir desse termo, cada novo termo da
sequência é formado pela adição de um retângulo semelhante ao retângulo adicionado no termo anterior, com lados
indicando o dobro do tamanho, conforme a figura.
O número de lados do polígono formado no 100º termo dessa sequência é igual a 
a) 200
b) 202
c) 300
d) 302
e) 304
07. (FAMEMA SP) A tabela apresenta o padrão de uma sequência numérica da linha 1 até a linha x. Admita que o
padrão de formação da tabela não se modifique.
Sabendo que 63,0 é o primeiro número da linha x e que 66,5 é o último, x é igual a 
a) 36
b) 34
c) 35
d) 37
e) 33
08. (UPF RS) A quantidade de múltiplos de 7 que existem entre 20 e 1200 é:
a) 171
b) 170
c) 169
d) 85
e) 70
09. (ENEM) Uma confeitaria pretende divulgar em um sítio da internet os doces que produz, mas só fará isso se
acreditar que o número de acessos por semana compensará seu gasto com a divulgação. Por isso, pediu que lhe
enviassem dados sobre o número de acessos ao sítio nas últimas 5 semanas e recebeu o gráfico a seguir.
A confeiteira acredita que, se o número de acessos mantiver o mesmo crescimento semanal para as próximas 5 
semanas, ao final desse período valerá a pena investir na divulgação. O número de acessos que a confeiteira acredita 
ser suficiente para que a divulgação no sítio valha a pena é 
a) 162
b) 170
c) 172
d) 312
e) 320
10. (UFRGS) Considere o padrão de construção de triângulos com palitos, representado nas figuras abaixo.
Na etapa n, serão utilizados 245 palitos. Nessas condições, n é igual a 
a) 120
b) 121
c) 122
d) 123
e) 129
aula 5 
PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Obter as propriedades de uma progressão aritmética;
• Efetuar interpolação aritmética;
• Utilizar o artifício de uma progressão aritmética na resolução de problemas;
• Resolver problemas relacionados às propriedades de uma progressão aritmética.
Existem resultados associados à progressão aritmética que são decorrentes da sua própria definição como 
sequência, tais resultados são conhecidos como propriedades. São 3 as possíveis propriedades de uma progressão 
aritmética: 
1ª propriedade: 
Numa progressão aritmética a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos termos extremos. 
Exemplo: 
Na P.A. (1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100) temos; 
2 + 99 = 1 + 100 
3 + 98 = 1 + 100 
4 + 97 = 1 + 100 
 (...) 
2ª propriedade: 
Para três termos consecutivos quaisquer numa mesma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética 
dos outros dois termos. 
Exemplo: 
Na P.A. (9, 19, 29, 39, 49) temos: 
+
=
9 29
19
2
+
=
19 39
29
2
+
=
29 49
39
2
3ª propriedade: 
Numa progressão aritmética com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os termos 
extremos. 
Essas propriedades podem ser úteis quando da resolução de problemas relacionados à termos em progressão 
aritmética. Além dessas propriedades, existe um artifício muito útil quando, diante de uma situação, existem três termos 
desconhecidos em progressão aritmética: 
Artifício de P.A. 
(x – r, x, x + r) 
Esse artifício pode ser ampliado para 5 termos, 7 termos, 9 termos e assim por diante. 
Observação: 
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números reais a e b, nessa ordem, significa determinar a progressão 
aritmética de k + 2 termos, em que a representa o primeiro termo e b representa o último termo. 
(a, ____, ____, ____, ..., ____, ____, ____, b) 
Interpolar k meios aritméticos 
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere que a sequência (a, b, c) seja uma progressão aritmética. Mostre, a partir da definição de progressão
aritmética, que o termo médio é a média aritmética dos termos extremos dessa sequência.
02. Um triângulo retângulo tem as três medidas dos lados em progressão aritmética. Mostre que nesse triângulo as
medidas dos lados são proporcionais às medidas dos lados de um triângulo pitagórico.
03. Se as medidas dos ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética, então um desses ângulos
necessariamente terá medida 60º. Prove!
04. Mostre que numa progressão aritmética se os termos
pa e 
qa são termos equidistantes dos extremos 1a e na , 
respectivamente, então é válida a relação + = +p q 1 na a a a . 
05. Numa progressão aritmética de 51 termos sabe-se que + =1 51a a 280 . Determine: 
a) o valor de +4 48a a 
b) o valor de 26a
06. (CESGRANRIO RJ) A razão de P.A. que se obtém inserindo nove meios aritméticos entre
1 1
e
4 2
, nessa ordem, 
é: 
a) 
1
20
b) 
1
40
c) 
1
60
d) 
1
80
e) 
1
100
aula 6 
PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Obter as propriedades de uma progressão aritmética;
• Efetuar interpolação aritmética;
• Utilizar o artifício de uma progressão aritmética na resolução de problemas;
• Resolver problemas relacionados às propriedades de uma progressão aritmética.
01. (FESP SP) Se 17 – 5x, 6 + 2x e 1 + 6x são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então o valor de x
é:
a) 0
b) -1
c) 1
d) 3
e) 2
02. (UFPA) Três números estão em P.A. A soma destes números é 15 e o seu produto 105. Qual a diferença entre o
maior e o menor?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
03. (PUC MG) Os diâmetros das polias assentadas em um eixo comum formam uma progressão aritmética de cinco
termos, sendo os termos extremos iguais a 120 mm e 216 mm. O diâmetro, em mm, da segunda polia, na ordem
crescente, é:
a) 134
b) 144
c) 154
d) 158
e) 182
04. (UFRGS) A sequência ( )1 2 3 4 5 12a ,a ,a ,a ,a ,...,a é uma progressão aritmética. Sabendo-se que + =3 10a a 32 , o valor 
da expressão ( )+
3
2 1 12
log a a é 
a) 10
b) 15
c) 21
d) 26
e) 32
05. (ESPM SP) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA. Se x é a medida do menor ângulo
interno desse triângulo, o valor de tgx é:
a) 0,6
b) 0,5
c) 0,8
d) 0,45
e) 0,75
06. (IFAL) Considere que o número de países que passaram a participar dos Jogos Olímpicos em um dado período de
tempo obedeça à seguinte sequência (11, a, 29, b, 47), que é uma progressão aritmética, então a soma a + b é igual
a
a) 49
b) 58
c) 67
d) 76
e) 85
07. (ENEM) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos
em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro 3 
cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a 
área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por nA . Para 
n 2 , o valor da diferença −
−n n 1A A , em centímetro quadrado, é igual a
a) −2n 1
b) +2n 1
c) − +2n 1
d) ( )−
2
n 1
e) −2n 1 
08. (UFOP MG) Interpolando-se p termos, p e p 1, entre os números 1 e 2p , obtém-se uma PA de razão: 
a) 
−
+
2p 1
p 2
b) 
+
−
2p 1
p 1
c) +p 1 
d) +p 2
e) −p 1
09. (UFTMMG) Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12
termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e a da 12ª é R$ 2 150,00, pode-se concluir que o valor da
10ª prestação será igual a
a) R$ 1 750,00
b) R$ 1 800,00
c) R$ 1 850,00
d) R$ 1 900,00
e) R$ 1 950,00
aula 7 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender a relação matemática para a soma dos termos de uma progressão aritmética;
• Resolver problemas relacionados à soma dos termos de uma progressão aritmética.
Uma das curiosidades mais interessantes relativas à sequência está relacionada com progressão aritmética. 
Na História da Matemática há um destaque para a precocidade de Carl Friedrich Gauss, que com 10 anos de 
idade teria mostrado um conhecimento acima da média quando resolveu um problema proposto para sua turma de 
uma maneira inesperada, utilizando um raciocínio muito diferente. O problema era adicionar a soma dos 100 primeiros 
números naturais de 1 a 100. A façanha do menino foi utilizar uma multiplicação quando se esperada uma adição: 
Para Gauss, bastava efetuar: 
 =50 101 5050
O raciocínio utilizado pelo gênio pode ser utilizado para qualquer sequência que é denominada progressão 
aritmética. É a ideia da soma dos termos de uma progressão aritmética. 
Soma dos termos de uma progressão aritmética 
A soma nS dos n primeiros termos da progressão aritmética ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a é dada por: 
 
+ 
=  
 
1 n
n
a a
S n
2
Aplicações de apoio teórico 
01. Utilizando as propriedades de progressão aritmética, prove que a soma dos seus n primeiros termos pode ser obtida
pela relação:
 
+ 
=  
 
1 n
n
a a
S n
2
 
02. Calcule a soma dos termos da progressão aritmética finita (5, 8, 11, ..., 122)
03. A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por = +2
nS 2n 6n . Determine a razão dessa 
sequência. 
04. Obtenha a expressão matemática que representa a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
( )n5,10,15,20,...,a
05. Mostre que a soma nos n primeiros números naturais ímpares e consecutivos é um quadrado perfeito.
06. Calculo o valor de = + + + +3 3 3 3y 1 2 3 ... 30 utilizando a soma dos termos de uma progressão aritmética 
07. (FGV SP) Um atleta corre sempre 500 m a mais que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de quinze dias ele
correu um total de 67 500 m, o número de metros percorridos no terceiro dia foi:
a) 1 000
b) 1 500
c) 2 000
d) 2 500
e) 2 600
aula 8 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender a relação matemática para a soma dos termos de uma progressão aritmética;
• Resolver problemas relacionados à soma dos termos de uma progressão aritmética.
01. (FUVEST SP) Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reuso. O custo para construir o primeiro
metro foi de R$ 1 000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo
total de construção foi de R$ 48 600,00, a profundidade do poço é:
a) 15 m
b) 18 m
c) 21 m
d) 24 m
e) 27 m
02. (FCMSC SP) Duas progressões aritméticas, de n termos cada, possuem soma dos termos dadas por 1 + 3 + 5 + 7
+ ... + x e 2 + 4 + 6 + ... + (x + 1), sendo x um número natural ímpar. Sabendo-se que
+ + + + +
=
+ + + + +
1 3 5 7 ... x 115
2 4 6 ... (x 1) 116
, 
o valor de x que resolve tal equação é
a) 113
b) 115
c) 59
d) 229
e) 197
03. (UECE) Se = − + − + − + − + + − +S 1 2 3 4 5 6 7 ... 98 99 100 , então, o valor de S é igual a
a) 55
b) 60
c) 50
d) 45
04. (UPF RS) Um supermercado pretende fazer a promoção de um determinado produto colocando uma pilha de latas
desse produto de modo que cada linha tenha menos uma lata do que a anterior. No local onde será colocada a pilha
de latas há disponibilidade de 2 m para a altura dessa pilha. A pilha termina com apenas uma lata, como mostra a
figura, e cada lata tem 10 cm de altura. O número de latas que serão utilizadas para construir essa pilha é:
a) 420
b) 200
c) 110
d) 20
e) 210
05. (UECE) A listagem infinita de números naturais apresentada abaixo está organizada e ordenada segundo uma
lógica estrutural própria:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, ... 
O resultado da soma dos primeiros 2020 números da listagem apresentada é 
a) 7007
b) 7700
c) 7070
d) 7770
06. (FUVEST SP) O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de
0,01 cm e dá 100 voltas completas.
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total 
da fita é de, aproximadamente, 
Adote   3,14
a) 9,4 m
b) 11,0 m
c) 18,8 m
d) 22,0 m
e) 25,1 m
07. (IFPE) Paulo Roberto deseja comprar para sua filha uma boneca que custa R$ 500,00. Então, decidiu juntar seu
dinheiro, durante 30 dias, num cofre de barro, da seguinte forma: no primeiro dia, colocou R$ 1,00; no segundo dia,
colocou R$ 2,00; no terceiro dia, colocou R$ 3,00 e, assim, sucessivamente, aumentando apenas R$ 1,00 de um dia
para o outro. Ao final dos 30 dias, Paulo Roberto terá, em seu cofre,
a) R$ 50,00 a menos, com relação ao valor da boneca.
b) um valor igual ao valor da boneca.
c) R$ 35,00 a mais, com relação ao valor da boneca.
d) R$ 35,00 a menos, com relação ao valor da boneca.
e) R$ 50,00 a mais, com relação ao valor da boneca.
08. (UEG GO) Uma concessionária vende um carro financiado em dois anos, e as parcelas mensais serão da seguinte
maneira: a primeira parcela será de R$ 1 000,00, e as demais decrescerão R$ 20,00 ao mês. Ao final do financiamento
esse carro terá custado ao comprador
a) R$ 18 480,00
b) R$ 18 240,00
c) R$ 18 000,00
d) R$ 17 760,00
e) R$ 17 520,00
09. (IFPE) No país Diasmelhores, um candidato à Presidência da República foi convidado pela rádio SOMALTO para,
durante 20 semanas antes das eleições, divulgar, semanalmente, suas propostas de governo. Ficou estabelecido pela
rádio que, na primeira semana, o candidato teria 120 minutos disponíveis para fazer sua propaganda eleitoral e que, a
cada semana seguinte, teria 5 minutos a menos que na semana anterior. No final das 20 semanas, o candidato terá
utilizado um total de
a) 2 900 minutos
b) 1 450 minutos
c) 3 350 minutos
d) 6 700 minutos
e) 2 400 minutos
aula 09 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: TERMO GERAL 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar progressão geométrica;
• Obter a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica;
• Classificar progressão geométrica quanto ao crescimento;
• Resolver problemas relacionados ao termo geral de uma progressão geométrica.
Observe a sequência formada pelas quatro primeiras figuras em que, de um mesmo quadrado está se 
considerando apenas a parte mais escura. 
Se a área do quadrado é 2L , então a sequência das áreas das partes mais escuras das figuras acima é: 
 
 
 
2 2 2 2L L L L
, , , ,...
2 4 8 16
Essa sequência é um exemplo de progressão geométrica. 
Definição: 
Progressão geométrica é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do 
termo anterior por uma constate q. A constante a é denominada de razão da progressão geométrica (P.G.). 
Exemplos: 
(4, 8, 16, ...) é uma P.G. de razão q = 2 
(20, 10, 5, ...) é uma P.G. de razão q = 0,5 
(7, 7, 7, ...) é uma P.G. de razão q = 1 
(- 4, 8, -16, ...) é uma P.G. de razão q = -2 
Quanto ao crescimento de uma progressão geométrica temos quatro situações possíveis, conforme os 
exemplos acima: 
• P.G. crescente
• P.G. decrescente
• P.G. constante
• P.G. oscilante.
Fórmula do termo geral: 
Numa progressão geométrica ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... de razão igual a q, tem-se que: 
−=  n 1
n 1a a q
Essa relação é denominada de termo geral da progressão geométrica. 
Observações: 
1. A fórmula do termo geral permite obter qualquer termo da progressão geométrica, conhecendo-seo primeiro termo,
a razão da sequência e a ordem do termo que se deseja determinar.
2. A demonstração dessa fórmula será feita a seguir.
(...) 
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 
Aplicações de apoio teórico 
01. Demonstre, a partir da definição de progressão geométrica, a fórmula do termo geral.
02. Determine a fórmula do termo geral da progressão geométrica (1, 2, 4, 8, 16, ...)
03. Qual é o número de termos da progressão geométrica finita ( )318,32,128,...,2 ? 
04. Quais são as possíveis razões das progressões geométricas em que o sétimo termo é igual a 320 e o terceiro termo
é igual a 20?
05. Suponha que, a cada ano que passa, o valor V de um carro diminuiu 20% em relação ao valor do ano anterior.
Considerando V o valor do carro no 1º ano, qual será o valor desse mesmo carro no 10º ano?
06. Considere que o quadrado ABCD tenha como medida do lado 1 cm. A partir dele, outros quadrados menores são
obtidos ligando-se os pontos médios desses lados, como sugere a figura.
Determine a sequência formada, a partir do quadrado ABCD, pelas 
a) medidas das superfícies (áreas);
b) medidas dos lados
c) medidas dos perímetros.
aula 10 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: TERMO GERAL 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar progressão geométrica;
• Obter a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica;
• Classificar progressão geométrica quanto ao crescimento;
• Resolver problemas relacionados ao termo geral de uma progressão geométrica.
01. (UEG GO) Um vírus possui taxa de contaminação igual a 1,2 a cada dia. Então, 100 pessoas contaminam outras
120 pessoas em 24 horas. Quantas pessoas essas 100 contaminarão em 5 dias, aproximadamente?
a) 1200
b) 600
c) 360
d) 500
e) 250
02. (EAR SP) Se
1
x
é o 8º termo da P.G. (9, 3, 1, ...), então o valor de x é 
a) 27
b) 81
c) 243
d) 729
03. (FAMEMA SP) A progressão geométrica ( )1 2 3a ,a ,a ,... tem primeiro termo =1
3
a
8
e razão 5. A progressão geométrica 
( )1 2 3b ,b ,b ,... tem razão 
5
2
. Se =5 4a b , então 1b é igual a 
a) 
25
4
b) 5
c) 
3
20
d) 15
e) 
9
2
04. (UECE) Existem n número da forma u3 onde u é um número inteiro positivo, entre 10 e 730. A soma destes números 
é igual a
a) 1080
b) 729
c) 738
d) 1100
05. (UNIOESTE PR) Sejam →f : e →g : definidas, respectivamente, por =f(x) 3x e = xg(x) 3 . Então é 
correto afirmar que a sequência ( ) ( ) ( ) ( )( )g f(1) ,g f(2) ,g f(3) ,...,g f(n) ,...
a) é uma progressão geométrica de razão 27
b) é uma progressão aritmética de razão 6
c) é uma progressão geométrica de razão 9
d) é a sequência constante (1, 1, 1, ..., 1, ...)
e) não é uma progressão geométrica e também não é uma progressão aritmética.
06. (IFSUL) Um estudante do curso de Comunicação Visual do IFSul deseja realizar um trabalho de colagem, a fim de
embelezar as margens da capa de sua agenda e, para isso, colocará uma fita ao longo das bordas, conforme é
apresentado na figura abaixo.
Os tamanhos dos papéis Série P, estipuladas pelo curso, seguem as seguintes medidas 
apresentadas na tabela abaixo. Ao chegar na loja que vende os pacotes da Série P o estudante 
percebe que esqueceu de medida a capa de sua agenda. A única informação que ele lembra é 
que a capa possui o mesmo tamanho de uma folha P4. 
Seguindo o padrão estabelecido na tabela anterior, a alternativa que apresenta a melhor aproximação para o número 
de centímetros de fita que o estudante deverá utilizar para enfeitar a sua agenda é 
a) 19,2 cm
b) 19,3 cm
c) 19,4 cm
d) 19,5 cm
07. (UEG GO) Em um experimento com uma colônia de bactérias, verificou-se que uma bactéria se divide em duas a
cada hora. Nessas condições, o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia, depois de 12 horas,
será
a) 4096
b) 8192
c) 1048
d) 3096
e) 2048
08. (FMP SP) Uma progressão geométrica tem o seu primeiro termo e sua razão iguais a
1
2
. O quinto termo dessa 
progressão é uma fração que, se escrita em forma percentual, é dada por 
a) 6,25%
b) 31,25%
c) 3,125%
d) 32%
e) 2,5%
09. (UNICAMP SP) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c,
e d.
Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q 1, então tan é igual a 
a) 
1
q
b) q
c) 
2q
d) q
aula 11 
PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Obter as propriedades de uma progressão geométrica;
• Efetuar interpolação geométrica;
• Utilizar o artifício de uma progressão geométrica na resolução de problemas;
• Resolver problemas relacionados às propriedades de uma progressão geométrica.
Existem resultados associados à progressão geométrica que são decorrentes da sua própria definição como 
sequência, tais resultados são conhecidos como propriedades. São 3 as possíveis propriedades de uma progressão 
geométrica: 
1ª propriedade: 
Numa progressão geométrica o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos 
extremos. 
Exemplo: 
Na P.G. (1, 2, 4, 8, ..., 128, 256, 512, 1024) temos: 
 = 
 = 
 = 
2 512 1 1024
4 256 1 1024
8 128 1 1024
(...)
2ª propriedade: 
Para três termos consecutivos quaisquer numa mesma progressão geométrica, o termo do meio é em módulo a média 
geométrica dos outros dois termos. 
Exemplo: 
Na P.G. (1, -3, 9, -27, 81, -243) temos: 
− = 3 1 9
= −  −9 ( 3) ( 27)
− = 27 9 81
= −  −81 ( 27) ( 243)
3ª propriedade: 
Numa progressão geométrica com número ímpar de termos, o termo médio é em módulo à média geométrica entre os 
termos extremos. 
Essas propriedades podem ser úteis quando da resolução de problemas relacionados à termos em progressão 
geométrica. Além dessas propriedades, existe um artifício muito útil quando, diante de uma situação, existem três 
termos desconhecidos em progressão geométrica: 
Produto dos termos de uma progressão geométrica 
( )=  
n
n 1 nP a a
O produto será negativo quando a quantidade de termos negativos for ímpar. 
Observação: 
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre dois números reais a e b, nessa ordem, significa determinar a 
progressão geométrica de k + 2 termos, em que a representa o primeiro termo e b representa o último termo. 
(a, ____, ____, ____, ..., ____, ____, ____, b) 
Interpolar k meios geométricos 
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere que a sequência (a, b, c) seja uma progressão geométrica. Mostre, a partir da definição de progressão
geométrica, que o termo médio é em módulo a média geométrica dos termos extremos dessa sequência.
02. Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 32 e 2048 para que se obtenha uma progressão geométrica
de razão 2?
03. Quando interpolamos quatro meios geométricos entre 1 e 243, qual é a razão q da progressão geométrica assim
obtida?
04. (UFV MG) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão
geométrica. A diagonal desse quadrado mede:
a) 16 2
b) 10 2
c) 12 2
d) 14 2
e) 18 2
05. (ESPM SP) Para que a sequência (-9, -5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada
um dos seus termos um certo número. Esse número é:
a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) maior que 15
e) não inteiro
06. (PUC MG) Os números reais a e b são tais que a sequência (a, b, 2a + b) é uma progressão aritmética e a sequência
( )a b3 ,27,3 é uma progressão geométrica. Então o valor de a é: 
a) 1,5
b) 2,5
c) 3,5
d) 4,5
aula 12 
PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Obter as propriedades de uma progressão geométrica;
• Efetuar interpolação geométrica;
• Obter a fórmula do produto dos termos de uma progressão geométrica;
• Utilizar o artifício de uma progressão geométrica na resolução de problemas;
• Resolver problemas relacionados às propriedades de uma progressão geométrica.
01. (ITA SP) Suponha que os números 2, x, y e 1458 estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Desse modo o
valor de x + y é
a) 90
b) 100
c) 180d) 360
e) 1460
02. (FUVEST SP) O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de razão positiva valem respectivamente 10 e 16. O sexto
termo dessa P.G. é:
a) 13
b) 10 6
c) 4
d) 4 10
e) 10
03. (FGV SP) A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512, nessa ordem, é:
a) 48
b) 84
c) 128
d) 64
e) 96
04. (UFRN) As áreas dos quadrados a seguir estão em progressão geométrica de razão 2.
Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em 
a) progressão aritmética de razão 2.
b) progressão geométrica de razão 2.
c) progressão aritmética de razão 2 . 
d) progressão geométrica de razão 2 . 
05. (FUVEST SP) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4,
sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da
progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das
progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
06. (MACK SP) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em
progressão geométrica. A área total desse cubo é
a) 20
b) 48
c) 24
d) 18
e) 12
07. (UFRGS) Se =loga 1,7 , =logb 2,2 e =logc 2,7 , então a, b, c, nesta ordem, formam uma
a) progressão geométrica de razão 10.
b) progressão geométrica de razão 10
c) progressão geométrica de razão 0,5
d) progressão aritmética de razão 0,5
e) progressão aritmética de razão 10
08. (PUC RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete
anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades
delas?
09. (PUC PR) A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica. O produto xy vale:
a) 8
b) 10
c) 12
c) 14
e) 16
aula 13 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Obter a relação matemática para a soma dos termos de uma progressão geométrica finita;
• Obter a fórmula do produto dos termos de uma progressão geométrica;
• Resolver problemas relacionados à soma dos termos de uma progressão geométrica.
Assim como você estudou em progressão aritmética, existem também em progressão geométrica situações 
que exigem o cálculo da soma dos n primeiros termos. 
Existem duas relações matemática para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica. Uma 
delas em função do primeiro termo, do último termo e da razão da sequência, isto é: 
Soma dos termos de uma progressão geométrica 
A soma nS dos n primeiros termos da progressão geométrica ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a é dada por: 
 
 −
=
−
n 1
n
a q a
S
q 1
A outra relação pode ser obtida dessa fórmula substituindo na por − n 1
1a q como veremos na segunda aplicação 
a seguir. Além disso, existe ainda uma fórmula para o cálculo dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, 
em função ao primeiro termo, do último termo e do número de termos: 
Produto dos n termos de uma progressão geométrica 
O produto nP dos n primeiros termos da progressão geométrica ( )1 2 3 na ,a ,a ,...,a é dada por: 
 ( )=  
n
n 1 nP a a
Aplicações de apoio teórico 
01. A partir das propriedades de progressão geométrica justifique a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros
termos de uma progressão geométrica, isto é,
 −
=
−
n 1
n
a q a
S
q 1
02. Escreva uma fórmula para a soma dos termos da progressão geométrica em função do primeiro termo, da razão e
do número de termos.
03. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica (3, 6, 12, ...)
04. Obtenha a fórmula para o cálculo do produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, isto é:
( )=  
n
n 1 nP a a
05. Calcule o produto dos 10 primeiros termos da progressão geométrica
 
 
 
32 16 8
, , ,...
243 81 27
06. Determine o valor de n que representa a solução da equação:
=
=
n
k
k 1
(2 ) 4094
aula 14 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Obter a relação matemática para a soma dos termos de uma progressão geométrica finita;
• Obter a fórmula do produto dos termos de uma progressão geométrica;
• Resolver problemas relacionados à soma dos termos de uma progressão geométrica.
01. (FATEC SP) Se ( ) ( ) ( ) ( )= − + − + − + + −1 2 3 nS 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 , então: 
a) += + −n 1S 2 n 2
b) += − +n 1S 2 n 2
c) += + +n 1S 2 n 2
d) += − −n 1S 2 n 2 e) += −n 1S 2 n
02. (FGV SP) Considere a seguinte progressão geométrica ( )−2 3 n 11; 3; 3 ; 3 ;...; 3 . A soma de seus termos, expressa em 
função de n, vale:
a) +n 13
b) 
− −n 13 1
2
c) 
−n3 1
2
d) 
+ −n 13 1
2
03. (FAMERP SP) O domínio da função f, dada pela lei =  xf(x) 6 3 , é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que =63 729
, a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a 
a) 1092
b) 729
c) 970
d) 1086
e) 1458
04. (UECE) Para cada número inteiro positivo n, as linhas do quadro abaixo são definidas segundo a estrutura lógica
que segue:
Assim, é correto dizer que o resultado da soma dos números que estão na linha 20L é 
a) 1 048 755
b) 1 048 575
c) 524 827
d) 524 287
05. (UFRGS) Considere a função real f definida por 
−= xf(x) 2 . O valor da expressão = + + + +S f(0) f(1) f(2) ... f(100) é 
a) −= − 101S 2 2
b) −= +50 50S 2 2
c) −= + 101S 2 2
d) −= + 100S 2 2
e) −= − 100S 2 2
06. (IFAL) Sabendo que o primeiro termo de uma Progressão Geométrica é =1a 2 e a razão q = 3, determine a soma 
dos 5 primeiros termos dessa progressão: 
a) 80
b) 141
c) 160
d) 242
e) 322
07. (MACK SP) Se 1 2 3 10a ,a ,a ,...,a é uma sequência de números inteiros tal que =1a 1, para n>1, +
− = n
n 1 na a 3 o valor 
de 10a é igual a
a) 29 524
b) 88 572
c) 265 719
d) 9 840
e) 3 279
08. (FAMERP SP) José deseja fazer uma poupança mensal durante 10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em
relação ao valor poupado no mês anterior. Adotando =1201,005 1,819 em seu cálculo final, se José começar sua 
poupança depositando R$ 100,00 no primeiro mês, ao final do último mês de depósito ele terá depositado um total de 
a) R$ 69 600,00
b) R$ 6 645,00
c) R$ 32 760,00
d) R$ 16 380,00
e) R$ 6 500,00
aula 15 
LIMITE DA SOMA: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Obter a relação do limite da soma dos termos de uma progressão geométrica;
• Resolver problemas relacionados ao limite da soma dos termos de uma progressão geométrica.
A partir de um quadrado, formamos um novo quadrado ligando os pontos médios de seus lados por 
meio de segmentos. Ligando os pontos médios dos lados do segundo quadrado formamos um terceiro lado. 
Esse procedimento continua indefinidamente. A sequência formada pelas áreas desses quadrados é uma 
progressão geométrica de razão 0,5: 
Se esse procedimento for feito para um triângulo equilátero, as áreas também formarão uma 
progressão geométrica, porém de razão igual a 0,25: 
Nos dois exemplos geométricos envolvendo áreas, é possível o cálculo do limite da soma das infinitas áreas 
das figuras obtidas ligando-se os pontos médios. 
Limite da soma dos termos de uma PG 
O limite da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica ( )1 2 3a ,a ,a ,... de razão q, sendo −  1 q 1, é dado 
por 
 =
−
1a
S
1 q
Aplicações de apoio teórico 
01. Explique, a partir da fórmula que representa a soma dos n termos de uma progressão geométrica, como obter o
limite da soma dos termos de uma PG quando o número de termos tende ao infinito e o último termo tende a ser igual
a zero.
Sendo A a área do quadrado inicial, temos: 
de razão igual a 0,5 
Sendo A a área do triângulo inicial, temos: 
de razão igual a 0,25 
02. Utilizando a fórmula do cálculo do limite da soma dos termos de uma progressão geométrica obtenha a fração
geratriz da dízima periódica =x 0,444... 
03. Mostre que o limite da soma das infinitas áreas dos quadrados construídosa partir de um quadrado de área A
ligando-se seus pontos médios (ver figura a seguir) é 2A.
04. (PUC RS) O valor de x na equação + + + =
x x
x ... 10
2 4
é 
a) 5
b) 10
c) 20
d) 
1
2
e) 
1
4
05. Iniciando pelo círculo de raio 16 cm são construídos infinitos círculos, como sugere a figura a seguir, sendo que a
medida do raio de cada um deles é a metade da medida do raio imediatamente anterior (da esquerda para direita).
a) Qual é o limite da soma dos perímetros das infinitas circunferências que limitam esses círculos?
b) Qual é o limite da soma das áreas dos infinitos círculos construídos?
06. (UNICAMP SP) Construir fractais no computador corresponde a um procedimento como o descrito a seguir. A partir
de um triângulo equilátero, de área A, acrescentamos, no meio de cada lado, um outro triângulo equilátero, de lado
igual a um terço do anterior; nos lados livres desses triângulos, acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço
dos anteriores e assim sucessivamente. Desse modo, construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja
o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo.
(...) 
aula 16 
LIMITE DA SOMA: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Obter a relação do limite da soma dos termos de uma progressão geométrica;
• Resolver problemas relacionados ao limite da soma dos termos de uma progressão geométrica.
01. (UECE) Se = + + + + +S 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 ... , então o valor do logaritmo de S na base 2 é igual a
a) 2
b) 0
c) 1
d) 4
02. (UFRGS) A figura a seguir é formada por quadrados de lados 1 2 2 3 3 4PP ,P P ,P P , e assim sucessivamente. A construção 
é tal que os pontos 1 2 3P ,P ,P ,...,B são colineares, e as bases dos quadrados têm medidas =1 2PP 1 , = =2 3 3 4
1 1
P P , P P
2 4
e assim por diante. O ponto A é vértice do quadrado de lado 1 2PP , como representado na figura abaixo. 
A medida do segmento AB é 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 5
03. (IFSUL RS) Dada a equação + + + =
x x
x ... 16
4 16
, o valor de x que a satisfaz é 
a) 12
b) 16
c) 24
d) 36
04. (UFPR) Considere a seguinte sequência de funções polinomiais do segundo grau:
= + −2
1
x
p (x) 2x 3
3
, 
= + −2
2
x
p (x) 2x 9
9
, 
= + −2
3
x
p (x) 2x 27
27
, 
(...) 
= + −2 n
n n
x
p (x) 2x 3
3
, 
(...) 
Denotando por 1s a soma das raízes de 1p (x) , 2s a soma das raízes de 2p (x) e assim por diante, pode-se concluir que 
a soma infinita = + + +1 2 3s s s s ... é igual a: 
a) −
1
2
b) −
1
4
c) −
1
8
d) 
1
4
e) 
1
2
05. (ESPM SP) A figura abaixo representa parte do gráfico da função =
x
16
f(x)
2
, fora de escala. 
A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a: 
a) 16
b) 8
c) 24
d) 32
e) 12
06. (UFRGRS) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo.
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo 
da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim sucessivamente. Assim, 
a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
07. (IFAL) Num triângulo equilátero de lado L, constrói-se outro triângulo equilátero nos pontos médios de seus lados.
Esse processo é feito indefinidamente, gerando infinitos outros triângulos equiláteros. Então, podemos dizer que o
limite da soma dos perímetros desses triângulos vale
a) 2L
b) 4L
c) 6L
d) 8L
e) 10L
08. (UPF RS) O limite da expressão
3 3 3 3n n n n... , onde n é positivo, quando o número de radicais aumenta 
indefinidamente é igual a: 
a) 
1
n
b) n
c) 
2
n
d) n
e) 3n
09. (UEFS BA) Se infinitos quadrados, cujas áreas formam uma progressão geométrica decrescente de razão q,
pudessem ser empilhados, como na figura, e o quadrado da base tivesse uma área de 1 m2, a altura da pilha, em m,
seria
a) 
−
1
1 q
b) 
−
−
1 q
1 q
c) 
−
−
1 q
1 q
d) 
+
−
1 q
1 q
e) infinita
10. (UFRGS) Considere o padrão de construção representado pelo desenho abaixo.
O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao disco A no ponto P e passa pelo centro do disco A. O disco C 
é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco B. O disco D é tangente ao disco C no ponto P e passa 
pelo centro do disco C. O processo de construção dos discos é repetido infinitamente. Considerando a sucessão infinita 
de discos, a soma das áreas dos discos é 
a) 

4
 
b) 

3
c) 
2
3
 
d)  
e) 
4
3