Apostila raciocinio logico camara

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RACIOCÍNIO LÓGICO 
Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, 
Argumentativa e Quantitativa. Lógica matemática quali-
tativa, Sequências Lógicas envolvendo Números, Le-
tras e Figuras. 
Geometria básica. 
Álgebra básica e sistemas lineares. 
Calendários. 
Numeração. 
Razões Especiais. 
Análise Combinatória e Probabilidade. 
Progressões Aritmética e Geométrica. 
Conjuntos; as relações de pertinência, inclusão e igual-
dade; operações entre conjuntos, união, interseção e 
diferença. 
Comparações. 
 
Princípio da regressão 
 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados pro-
blemas de forma não algébrica, mas utilizando uma técnica 
baseada em raciocínio lógico, conhecida comoprincípio da 
regressão ou reversão. 
 
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido 
pelo problema a partir de um valor final dado. Utiliza-se para 
resolução dos problemas as operações matemáticas básicas 
com suas respectivas reversões. 
 
Fundamento da regressão 
 
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter 
uma construção quantitativa lógica fundamentada no princípio 
da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema 
proposto através da operação inversa. 
 
 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, 
ficando sem capital algum. Quanto ela possuía inicialmente? 
 
Solução: 
 
 
 
 
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 
10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo princípio da regres-
são, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que 
possamos chegar à situação inicial (+ R$ 10,00). Posterior-
mente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos 
a situação inicial devemos multiplicar por 2 o valor em dinhei-
ro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00.Aprimore 
 
Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que 
faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de 
determinada(s)premissa(s). 
 
A indução normalmente se contrasta à dedução. 
 
Essencialmente, os raciocínios dedutivos se caracterizam 
por apresentar conclusões que devem, necessariamente, ser 
verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras se o 
raciocínio respeitar uma forma lógica válida. 
 
Partindo de princípios reconhecidos como verdadeiros 
(premissa maior), o pesquisador estabelece relações com 
uma segunda proposição(premissa menor) para, a partir de 
raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe (con-
clusão). 
 
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Lógica Matemática 
Imagine que você foi convocado a participar de um júri em 
um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os 
seguintes argumentos: 
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. 
Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. 
Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José 
da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 
10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo 
estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não 
estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu 
cliente é inocente. 
Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como 
você deveria votar o destino do réu? 
E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o 
argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o 
palavrório que causa confusão e permite que nos concentre-
mos na argumentação subjacente. 
A lógica formal fornece as bases para o método de pensar 
organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade 
racional. 
"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra-
ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe-
rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." 
(dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a 
ciência do raciocínio. 
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE-
MÁTICA 
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 
Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên-
cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor-
rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. 
Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em proces-
sos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que 
suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer 
que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. 
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Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras 
tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e 
técnicas matemáticas. 
A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica 
Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo-
lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins-
tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun-
do operações e ralações de cálculo específico. 
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS 
PREDICADOS: 
A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo-
sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e 
pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as 
entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) 
como elementos geradores. No cálculo dos predicados os 
elementos de análise correspondem às chamadas funções 
proposicionais. 
No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o 
nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto 
no segundo caso. 
Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo 
proposicional. 
1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO 
É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem 
um pensamento de sentido completo para a qual se associa 
apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. 
São exemplos de proposições: 
��Quatro e maior que cinco. 
��Ana e inteligente. 
��São Paulo e uma cidade da região sudeste. 
��Existe vida humana em Marte. 
��A lua é um satélite da Terra 
��Recife é capital de Pernambuco 
 
Exemplos de não proposições: 
��Como vai você? 
��Como isso pode acontecer! 
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: 
A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido 
por três leis principais, consideradas princípios fundamentais: 
� Princípio da não-contradição: uma proposição não 
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
� Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é 
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes 
casos e nunca um terceiro. 
 
Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so-
mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não 
verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva-
lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem 
para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutua-
mente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a 
existência da segunda). 
Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer 
entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática 
apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres-
pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não 
admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a 
ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente. 
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTA-
ÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ-
MICO OU BIVALENTE: 
A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis-
tema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva-
lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de 
suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, 
sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir 
de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente esta-
belecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio 
que objetiva analisar a validade do processo informal a partir 
das denominadas primeiras verdades, “primícias”. 
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO 
CÁLCULO PROPOSICIONAL: 
Na linguagem faladaou escrita quatro são os tipos fun-
damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as 
exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou 
negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se 
apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de 
análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, 
de sentido completo e não elípticas (não ambíguas). 
Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen-
tido completo que expressão um determinado pensamento 
são denominado predicados ou enunciados, as quais de 
acordo com o universo relacional onde se encontram é sem-
pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”. 
São exemplos de proposições em lógica: 
“A filosofia é a lógica dos contrários” 
“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um 
logaritmo vermelho é um abacate feliz”. 
“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio-
nais são homens solitários”. 
No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a 
forma do enunciado e não o significado que esta alcança no 
mundo real. 
Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú-
mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten-
ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem 
às denominadas proposições simples ou proposições com-
postas. 
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES: 
Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro-
posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do 
cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que 
não existe nenhuma outra proposição como parte integrante 
de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras 
latinas minúsculas tais como: 
p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn... 
As quais são denominadas letras proposicionais ou variá-
veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra 
proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo 
da lógica”, adota-se a seguinte notação: 
p: A matemática é atributo da lógica. 
Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da 
lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois 
possui como parte integrante de si outra proposição. 
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE 
PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: 
Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional 
ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma 
sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti-
tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado 
ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu-
em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra 
proposição. 
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As proposições compostas serão designadas pelas letras 
latinas maiúsculas tais como: 
P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn... 
Considere as proposições simples: 
p: A filosofia é arte 
q: A dialética é ciência. 
Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte 
embora a dialética é a ciência”. 
Para se indicar que a dada sentença é designada pela le-
tra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes 
adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialé-
tica é a ciência. 
Observe que uma fórmula proposicional pode ser constitu-
ída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma 
letra proposicional pode designar uma única proposição, quer 
seja simples ou composta, contudo uma dada proposição 
pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais 
num dado universo. 
Sejam as proposições: 
p: A lógica condiciona a Matemática 
q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. 
P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti-
ca fundamenta o pensamento ambíguo. 
Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti-
ca fundamenta o pensamento ambíguo. 
Sejam ainda proposições compostas: 
S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia-
lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica 
condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pen-
samento ambíguo. 
De forma simbólica tem-se que; 
P (p, q): p mas q 
Q (p, q): p e/ou q 
S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q 
Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q). 
2.5 VERDADE E VALIDADE: 
(Valor lógico ou valor verdade das proposições) 
Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sis-
tema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em 
que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de 
gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde 
a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con-
tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade 
ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro” 
ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as deter-
minadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um 
dado universo relacional. 
Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade 
é a negação do fato estabelecido. 
 
Dada uma proposição simples qualquer, designar, por e-
xemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios 
fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a 
falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão 
pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, por-
tanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza-
ção: 
V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) 
= F . 
Considere uma proposição composta P, constituída das 
proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para 
indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula pro-
posicional adotar-se-á as notações: 
V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., 
pn)] = F 
É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe 
a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou 
falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das 
correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica 
tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de 
decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os 
valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n 
proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da anali-
ticidade de tais processos). A de se observar também, que 
validade em lógica matemática corresponde, tão somente a 
avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de ar-
gumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimida-
de a proposições ou enunciados. 
De forma resumida, a validade esta associada à coerên-
cia ou a consistência do raciocínio analítico. 
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE 
CONECTIVOS LÓGICOS: 
(ou conectivos proposicionais) 
Vejam os exemplos: 
“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a ma-
turidade da matemática” 
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma-
turidade da matemática” 
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma-
turidade da matemática e não ambos” 
“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica 
é a maturidade da matemática”. 
“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, 
a lógica é a maturidade da matemática”. 
“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica” 
Designamos as proposições simples: 
p: A matemática é a juventude da lógica 
q: A lógica é a maturidade da matemática 
Tem-se que: 
P (p, q): p e q. 
Q (p, q): p ou q. 
R (p, q): p ou q, e não ambos. 
S (p, q): Se p, então q. 
W (p, q): p se, e somente se q. 
P1 (p): não p 
Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições 
compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir 
de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto 
de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão 
entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são 
denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicio-
nais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais 
específicas. 
Prof.a Paula Francis Benevides 
 
Símbolos 
∼∼∼∼ não 
∧ e 
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6 
∨ ou→ se ... então 
↔↔↔↔ se e somente se 
| tal que 
���� implica 
⇔⇔⇔⇔ equivalente 
∃∃∃∃ existe 
∃ |∃ |∃ |∃ | existe um e somente 
um 
∀∀∀∀ qualquer que seja 
 
Valor lógi-
co Símbolo Expressão 
Negação , ¬ , ~ 
ou ' 
não, é falso, não é verdade que 
Conjunção e, mas , também, além disso 
Disjunção ou 
Condicional se...então, implica, logo, somente se 
Bi-
condicional 
...se, e somente se...; ...é condição 
necessária que ... 
 
ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA 
António Aníbal Padrão 
Introdução 
Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto 
de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina es-
tuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é 
que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade 
ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda 
inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, 
inferências e raciocínios são termos equivalentes. 
Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in-
teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que 
a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a 
liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus-
tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, 
também temos de aceitar discutir os nossos argumentos. 
Os argumentos constituem um dos três elementos cen-
trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori-
as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu-
rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em 
argumentos. 
Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é im-
portante, isto é, por que é que a lógica é importante. É impor-
tante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos 
dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns 
são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc-
tamente. E isto é fundamental para a filosofia. 
O que é um argumento? 
Um argumento é um conjunto de proposições que utiliza-
mos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A pro-
posição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as 
proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justifi-
cam têm o nome de premissas. 
Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da 
"mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a ra-
zões, não é? Dirás qualquer coisa como: 
Os preços no bar da escola subiram; 
como eu lancho no bar da escola, o lanche 
fica me mais caro. Portanto, preciso de um 
aumento da "mesada". 
Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de 
um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? 
Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de 
lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu ar-
gumento, são as razões que utilizas para defender a conclu-
são. 
Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos 
argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja 
um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de 
proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con-
junto de proposições não é um argumento: 
Eu lancho no bar da escola, mas o João não. 
A Joana come pipocas no cinema. 
O Rui foi ao museu. 
Neste caso, não temos um argumento, porque não há ne-
nhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas 
outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um con-
junto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas 
uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já 
vimos, um conjunto de proposições em que se pretende que 
uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o 
que não acontece no exemplo anterior. 
Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só 
pode ter uma conclusão. 
Exemplos de argumentos com uma só premissa: 
Exemplo 1 
Premissa: Todos os portugueses são europeus. 
Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses. 
Exemplo 2 
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. 
Exemplos de argumentos com duas premissas: 
Exemplo 1 
Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es-
tuda filosofia. 
Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João estuda filosofia. 
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7 
Exemplo 2 
Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, 
então a vida não faria sentido. 
Premissa 2: Mas a vida faz sentido. 
Conclusão: Logo, há vida para além da morte. 
Exemplo 3: 
Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. 
Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. 
Conclusão: Todos os minhotos são europeus. 
É claro que a maior parte das vezes os argumentos 
não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no 
argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida-
de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. 
(2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar: 
"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim 
em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de 
cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e 
não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado que 
cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir 
que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial." 
Neste argumento, a conclusão está claramente identifica-
da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto aconte-
ce. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce-
ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premis-
sas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado 
que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a 
saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa 
do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois 
dos mais utilizados são "logo" e "portanto". 
Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra 
ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma 
premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta 
alguns indicadores de premissa e de conclusão: 
Indicadores de premis-
sa 
Indicadores de conclu-
são 
pois 
porque 
dado que 
como foi dito 
visto que 
devido a 
a razão é que 
admitindo que 
sabendo-se que 
assumindo que 
por isso 
por conseguinte 
implica que 
logo 
portanto 
então 
daí que 
segue-se que 
pode-se inferir que 
consequentemente 
É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são 
precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento: 
O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 
euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ga-
nham mais de 100000 euros por mês. 
A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as 
premissas não têm nenhum indicador. 
Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres-
sões) podem aparecer em frases sem que essas frases se-
jam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, 
se eu disser: 
Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o 
mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. 
Admitindo que não morreu, onde estará? 
O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de ne-
nhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é 
premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por 
isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de 
indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não 
de forma automática. 
Proposições e frases 
Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as 
premissas quer a conclusão de um argumento são proposi-
ções. Mas o que é uma proposição? 
Uma proposição é o pensamento que uma frase 
declarativa exprime literalmente. 
Não deves confundir proposições com frases. Uma frase 
é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de 
sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" 
não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma 
cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido grama-
tical. 
Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im-
perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas ex-
primem proposições. Uma frase só exprime uma proposição 
quando o que ela afirma tem valor de verdade. 
Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi-ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver-
dadeiras nem falsas: 
1. Que horas são? 
2. Traz o livro. 
3. Prometo ir contigo ao cinema. 
4. Quem me dera gostar de Matemática. 
Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque 
têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda 
que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se 
são verdadeiras ou falsas: 
1. Braga é a capital de Portugal. 
2. Braga é uma cidade minhota. 
3. A neve é branca. 
4. Há seres extraterrestres inteligentes. 
A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, 
não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se 
é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadei-
ra ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição. 
Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa-
mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, 
um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes 
frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por 
diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu 
o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido 
pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases 
seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é 
branca" e "Snow is white". 
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8 
Ambiguidade e vagueza 
Para além de podermos ter a mesma proposição expres-
sa por diferentes frases, também pode acontecer que a 
mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste 
caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez 
minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é 
ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto 
pode querer dizer que existe um homem português (sempre o 
mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao 
colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um 
homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a 
sua). 
Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos 
com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma 
frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira 
indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é 
uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos 
cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Qui-
nhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o se-
guinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia". 
Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos 
evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac-
tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que 
os outros nos compreendam? 
Validade e verdade 
A verdade é uma propriedade das proposições. A valida-
de é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em 
proposições válidas. As proposições não são válidas nem 
inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal-
sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver-
dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda-
deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inváli-
dos. 
Quando é que um argumento é válido? Por agora, referirei 
apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedu-
tivo é válido quando é impossível que as suas premissas 
sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um 
argumento ser válido, não basta que as premissas e a con-
clusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que 
sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. 
Considera o seguinte argumento: 
Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais 
de 100000 euros por mês. 
Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. 
Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 
euros por mês. 
Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é 
treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha 
muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem 
premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, 
não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as 
premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos 
perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho 
ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo, o 
Mourinho como treinador de um clube do campeonato regio-
nal de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, 
a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem 
verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido. 
Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente 
apresentado: 
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. 
Este argumento é válido, pois é impossível que a pre-
missa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrário do 
argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos 
imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja 
verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em 
que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa 
que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa. 
Repara, agora, no seguinte argumento: 
Premissa 1: Todos os números primos são pares. 
Premissa 2: Nove é um número primo. 
Conclusão: Logo, nove é um número par. 
Este argumento é válido, apesar de quer as premissas 
quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a noção 
de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossí-
vel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. 
A validade de um argumento dedutivo depende da conexão 
lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não 
do valor de verdade das proposições que constituem o argu-
mento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da 
verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que 
constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a 
validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das 
proposições). 
Então, repara que podemos ter: 
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-
são verdadeira; 
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão fal-
sa; 
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão 
verdadeira; 
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-
clusão verdadeira; 
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-
clusão falsa; 
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão 
falsa; e 
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão 
verdadeira. 
Mas não podemos ter: 
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-
são falsa. 
Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá-
lido? Podes seguir esta regra: 
Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda-
deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar 
alguma circunstância em que, considerando as premissas 
verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento 
não é válido. Se não, então o argumento é válido. 
Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem 
verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa. 
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9 
Argumentos sólidos e argumentos bons 
Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, 
pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con-
clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). 
Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. 
Por isso, precisamos de argumentos sólidos. 
Um argumento sólido é um argumento válido 
com premissas verdadeiras. 
Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, 
por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a 
validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei-
ras e conclusão falsa. 
O seguinte argumento é válido, mas não é sólido: 
Todos os minhotos são alentejanos. 
Todos os bracarenses são minhotos. 
Logo, todos os bracarenses são alenteja-
nos. 
Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa 
é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem 
uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o 
argumento ser válido. 
O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas 
verdadeiras): 
Todos os minhotos são portugueses. 
Todos os bracarenses são minhotos. 
Logo, todos os bracarenses são portugue-
ses. 
Também podemoster argumentos sólidos deste tipo: 
Sócrates era grego. 
Logo, Sócrates era grego. 
(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego 
e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretário 
geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclu-
são são verdadeiras.) 
Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira 
e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu-
são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, por-
que a conclusão se limita a repetir a premissa. 
Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per-
suasivo (persuasivo, do ponto de vista racional). 
Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era 
grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um 
bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con-
clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o 
argumento não é persuasivo. 
Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumen-
tos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que 
imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a 
esta: 
— Pai, preciso de um aumento da "mesa-
da". 
— Porquê? 
— Porque sim. 
O que temos aqui? O seguinte argumento: 
Preciso de um aumento da "mesada". 
Logo, preciso de um aumento da "mesada". 
Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu-
são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para 
esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, 
"Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um 
aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento 
muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse-
gues persuadir ninguém. 
Mas não penses que só os argumentos em que a conclu-
são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau 
(ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que 
a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumento: 
Se a vida não faz sentido, então Deus não 
existe. 
Mas Deus existe. 
Logo, a vida faz sentido. 
Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, 
porque as premissas não são menos discutíveis do que a 
conclusão. 
Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas 
têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acon-
tece no seguinte exemplo: 
Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de 
trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti-
nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino 
secundário. 
Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e 
de trabalho dos alunos no ensino básico. 
Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando 
chegarem ao ensino secundário. 
Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), 
porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis 
do que a conclusão. 
As noções de lógica que acabei de apresentar são ele-
mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer 
um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porventura, 
noutras. 
Proposições simples e compostas 
As proposições simples ou atômicas são assim caracteri-
zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas 
pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t... 
As proposições compostas ou moleculares são assim ca-
racterizadas por apresentarem mais de uma proposição co-
nectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras 
maiúsculas: P, Q, R, S, T... 
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que 
a proposição composta Q é formada pelas proposições sim-
ples r, s e t. 
Exemplo: 
Proposições simples: 
p: O número 24 é múltiplo de 3. 
q: Brasília é a capital do Brasil. 
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10
r: 8 + 1 = 3 . 3 
s: O número 7 é ímpar 
t: O número 17 é primo 
Proposições compostas 
P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. 
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. 
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. 
 
Noções de Lógica 
Sérgio Biagi Gregório 
 
1. CONCEITO DE LÓGICA 
 
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte 
de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. 
 
Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um 
sistema de conhecimentos certos, baseados em princípios 
universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica 
se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu obje-
to não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, 
as normas do pensamento correto. 
 
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo 
que define os princípios universais do pensamento, estabele-
ce as regras práticas para o conhecimento da verdade (1). 
 
2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS 
 
Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve-
mos considerar a sua extensão e a sua compreensão. 
 
Vejamos, por exemplo, o conceito homem. 
 
A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de 
indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem. 
 
A compreensão do conceito homem refere-se ao conjun-
to de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser 
designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, 
bípede, racional. 
 
Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue 
o homem dentre os demais seres vivos (2). 
 
 3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO 
 
Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou nega-
ção entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por 
exemplo, que “este livro é de filosofia”, acabamos de for-
mular um juízo. 
 
O enunciado verbal de um juízo é denomina-
do proposição ou premissa. 
 
Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor-
denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um 
juízo novo, denominado conclusão ou inferência. 
 
Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 
1ª) premissa - o ser humano é racional; 
2ª) premissa - você é um ser humano; 
conclusão - logo, você é racional. 
 
O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala-
da ou escrita é chamado de argumento. Argumentar signifi-
ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2). 
 
4. SILOGISMO 
 
Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, 
dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, 
deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premissas. 
 
Todo silogismo regular contém, portanto, três proposi-
ções nas quais três termos são comparados, dois a dois. 
Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma 
virtude; logo, a caridade é louvável (1). 
 
5. SOFISMA 
 
Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com apa-
rência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio 
ilegítimo, portanto, de um sofisma. 
 
O erro pode derivar de duas espécies de causas: 
das palavras que o exprimem ou das idéias que o constitu-
em. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no 
segundo, os sofismas de idéias ou intelectuais. 
 
Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com 
duplo sentido; tomar a figura pela realidade. 
 
Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o 
que é apenas acidental; tomar por causa um simples ante-
cedente ou mera circunstância acidental (3). 
 
 
Lógica De Primeira Ordem 
 
A linguagem da lógica proposicional não é adequada para 
representar relações entre objetos. Por exemplo, se fôsse-
mos usar uma linguagem proposicional para representar 
"João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas 
letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhan-
tes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q 
para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos cap-
tando com esta representação o fato de que as duas frases 
falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e 
Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder 
de expressão da linguagem proposicional, é sua incapacida-
de de representar instâncias de um propriedade geral. Por 
exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposi-
cional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3", 
usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada 
uma das frases,sem captar que a segunda frase é uma ins-
tância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum 
processo de dedução chegássemos à conclusão que um 
indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa proprieda-
de, seria razoável querermos concluir que esta propriedade 
vale para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando 
uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo 
arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta 
propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usarí-
amos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos 
como concluir o segundo do primeiro. 
 
A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre 
indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de 
primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma 
propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, 
assim como derivar generalizações a partir de fatos que va-
lem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. 
Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira 
ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do 
que o da linguagem proposicional. 
 
Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo". 
 
Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si 
mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de 
discurso, sem identificar os objetos deste universo. 
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11
 
Considere agora a sentença "Existem números naturais 
que são pares". 
 
Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que 
vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do universo 
dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" 
ou "2" ou "4",etc em particular. 
 
Para expressar propriedades gerais (que valem para to-
dos os indivíduos) ou existenciais (que valem para alguns 
indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores 
∀ (universal) e ∃ (existencial), respectivamente. Estes quanti-
ficadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, 
captando, desta forma, a idéia de estarem simbolizando as 
palavras "para qualquer" e "para algum". 
 
Considere as sentenças: 
"Sócrates é homem" 
"Todo aluno do departamento de Ciência da Computação 
estuda lógica" 
 
A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de 
um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um domínio de dis-
curso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "depar-
tamento de Ciência da Computação" e "lógica". Tais objetos 
poderão ser representados usando os símbolos , soc para 
"Sócrates", cc para "departamento de Ciência da Computa-
ção", lg para "lógica".Tais símbolos são chamados de símbo-
los de constantes. 
 
As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam ob-
jetos do universo de discurso considerado, isto é, "ser aluno 
de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os 
seus departamentos, "estuda" relaciona os indivíduos de 
uma universidade com as matérias. Para representar tais 
relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). 
Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que 
são símbolos de relação binária. As relações unárias expres-
sam propriedades dos indivíduos do universo (por exemplo 
"ser par","ser homem"). A relação "ser igual a" é tratata de 
forma especial, sendo representada pelo símbolo de igualda-
de ≈. 
 
Desta forma podemos simbolizar as sentenças considera-
das nos exemplos da seguinte forma: 
- "Todo mundo é igual a si mesmo " por ∀x x≈x; 
- "Existem números naturais que são pares" por 
∃xPar(x); 
- "Sócrates é homem" por Homem(soc); 
- "Todo aluno do departamento de Ciência da Computa-
ção estuda lógica" por∀x(Aluno(x,cc) →Estuda (x,lg)). 
 
Já vimos como representar objetos do domínio através de 
constantes.Uma outra maneira de representá-los é atravez do 
uso de símbolos de função. 
 
Por exemplo podemos representar os números naturais 
"1", "2", "3", etc através do uso de símbolo de função, diga-
mos, suc, que vai gerar nomes para os números naturais "1", 
"2", "3", etc. a partir da constante 0, e. g., "1" vai ser denotado 
por suc(0), "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc. 
Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) 
são chamadas termos. 
 
Assim, a frase "Todo número natural diferente de zero é 
sucessor de um número natural" pode ser simbolizada por 
∀x(¬x≈0 →∃ysuc(y)≈x). Fonte: UFRJ 
 
Lógica De Vários Valores 
 
Sistemas que vão além dessas duas distinções 
(verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas não-
aristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas 
polivaluadas, ou ainda polivalentes). 
 
No início do século 20, Jan Łukasiewicz investigou a 
extensão dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir 
um terceiro valor, "possível". 
 
Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas 
com um número infinito de "graus de verdade", 
representados, por exemplo, por um número real entre 0 e 1. 
Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um 
sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade 
subjetivo. 
 
O principal objetivo será a investigação da validade de 
ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a 
CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos 
estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTI-
VOS. 
 
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premis-
sas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. 
Premissa : "Todo homem é mortal." 
Premissa : "João é homem." 
Conclusão : "João é mortal." 
 
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não 
basta para assegurar a verdade da conclusão. 
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." 
Premissa : "Está chovendo." 
Conclusão: "Ficará nublado." 
 
As premissas e a conclusão de um argumento, formula-
das em uma linguagem estruturada, permitem que o argu-
mento possa ter uma análise lógica apropriada para a verifi-
cação de sua validade. Tais técnicas de análise serão trata-
das no decorrer deste roteiro. 
 
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO-
POSICIONAL 
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minús-
culas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas 
atômicas) . 
 
Exemplos: A lua é quadrada: p 
 A neve é branca : q 
�
• CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas po-
dem ser combinadas entre si e, para representar tais 
combinações usaremos os conectivos lógicos: 
 ∧∧∧∧: e , ∨∨∨∨: ou , →→→→ : se...então , ↔↔↔↔ : se e somente se , ∼∼∼∼: não 
 
Exemplos: 
• A lua é quadrada e a neve é branca. : p ∧∧∧∧ q (p e q são cha-
mados conjuntos) 
• A lua é quadrada ou a neve é branca. : p ∨∨∨∨ q ( p e q são 
chamados disjuntos) 
• Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p →→→→ q (p é o 
antecedente e q o conseqüente) 
• A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔↔↔↔ q 
• A lua não é quadrada. : ∼∼∼∼p 
 
• SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ), parênteses que servem 
para denotar o "alcance" dos conectivos; 
 
Exemplos: 
• Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua 
não é quadrada.: ((p ∧∧∧∧ q) →→→→ ∼∼∼∼ p) 
• A lua não é quadrada se e somente se a neve é 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
12
branca.: ((∼∼∼∼ p) ↔↔↔↔q)) 
 
• DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 
2. Se A e B são fórmulas então (A ∨∨∨∨ B), (A ∧∧∧∧ B), (A →→→→ B), 
(A ↔↔↔↔ B) e (∼∼∼∼ A) também são fórmulas. 
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . 
 
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela 
direita. 
 
Exemplo: a fórmula p ∨∨∨∨ q ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r →→→→ p →→→→ ∼∼∼∼ q deve ser entendida 
como (((p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (∼∼∼∼ r)) →→→→ ( p →→→→ (∼∼∼∼ q))) 
 
 Paradoxo 
O frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si 
próprio neste diagrama, mas máquinas de moto contínuo não 
existem. 
 
Um paradoxo é uma declaração aparentemente 
verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma 
situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, 
um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a 
verdade". A identificação de um paradoxo baseado em 
conceitos aparentementesimples e racionais tem, por vezes, 
auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e 
matemática. 
 
A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a 
textos que remontam à aurora da Renascença, um período 
de acelerado pensamento científico na Europa e Ásia que 
começou por volta do ano de 1500. As primeiras formas da 
palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum, mas 
também são encontradas em textos em grego como 
paradoxon (entretanto, o Latim é fortemente derivado do 
alfabeto grego e, além do mais, o Português é também 
derivado do Latim romano, com a adição das letras "J" e "U"). 
A palavra é composta do prefixo para-, que quer dizer 
"contrário a", "alterado" ou "oposto de", conjungada com o 
sufixo nominal doxa, que quer dizer "opinião". Compare com 
ortodoxia e heterodoxo. 
 
Na filosofia moral, o paradoxo tem um papel central nos 
debates sobre ética. Por exemplo, a admoestação ética para 
"amar o seu próximo" não apenas contrasta, mas está em 
contradição com um "próximo" armado tentando ativamente 
matar você: se ele é bem sucedido, você não será capaz de 
amá-lo. Mas atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é 
usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode ser 
considerado um dilema ético. Outro exemplo é o conflito entre 
a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que 
depende do roubo para sobreviver. 
 
Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de 
uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou 
matemática) modela de forma acurada a realidade que 
descreve. Em física quântica, muitos comportamentos 
paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza 
de Heisenberg, por exemplo) e alguns já foram atribuídos 
ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos 
modelos científicos. Alfred Korzybski, que fundou o estudo da 
Semântica Geral, resume o conceito simplesmente 
declarando que, "O mapa não é o território". Um exemplo 
comum das limitações da linguagem são algumas formas do 
verbo "ser". "Ser" não é definido claramente (a área de 
estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um 
significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" 
com um elemento essencial, ela pode estar sujeita a 
paradoxos. 
 
Tipos de paradoxos 
Temas comuns em paradoxos incluem auto-referências 
diretas e indiretas, infinitudes, definições circulares e 
confusão nos níveis de raciocínio. 
 
W. V. Quine (1962) distingüe três classes de paradoxos: 
Os paradoxos verídicos produzem um resultado que 
parece absurdo embora seja demonstravelmente 
verdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversário de 
Frederic na opereta The Pirates of Penzance 
estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa 
pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo 
aniversário. Da mesma forma, o teorema da 
impossibilidade de Arrow envolve o comportamento de 
sistemas de votação que é surpreendente mas, ainda 
assim, verdadeiro. 
Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que 
não somente parece falso como também o é 
demonstravelmente – há uma falácia da demonstração 
pretendida. As várias provas inválidas (e.g., que 1 = 2) 
são exemplos clássicos, geralmente dependendo de 
uma divisão por zero despercebida. Outro exemplo é o 
paradoxo do cavalo. 
Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes 
acima pode ser uma antinomia, uma declaração que 
chega a um resultado auto-contraditório aplicando 
apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. Por 
exemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson aponta 
problemas genuínos na nossa compreensão das 
idéias de verdade e descrição. 
 
Proposição 
 
Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem 
toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição 
apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso 
(F)ou Verdadeiro (V). Exemplos: 
Frases que não são proposições 
Pare! 
Quer uma xícara de café? 
Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
Frases que são proposições 
A lua é o único satélite do planeta terra (V) 
A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas 
(F) 
O numero 712 é ímpar (F) 
Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
 
Composição de Proposições 
É possível construir proposições a partir de proposições já 
existentes. Este processo é conhecido por Composição de 
Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, 
A = "Maria tem 23 anos" 
B = "Maria é menor" 
 
Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é 
considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, 
o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da 
proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: 
"Maria não tem 23 anos" (nãoA) 
"Maria não é menor"(não(B)) 
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 
"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 
"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou 
B) 
"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou 
não(B)) 
"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) 
Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 
Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" 
(não(A) => B) 
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 
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"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" 
(C <=> não(B)) 
 
Note que, para compor proposições usou-se os símbolos 
não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implica-
ção) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados 
conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo 
para representar uma proposição: C representa a proposição 
Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é 
menor, uma vez que B representa Maria é menor. 
 
Algumas Leis Fundamentais 
Lei do Meio Excluido 
Um proposição é falsa (F) ou 
verdadeira (V): não há meio 
termo. 
Lei da Contradição Uma proposição não pode ser, 
simultaneamente, V e F. 
Lei da Funcionalidade 
O valor lógico (V ou F) de uma 
proposição composta é unica-
mente determinada pelos valo-
res lógicos de suas proposições 
constituintes. 
 
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 
Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos 
que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, 
afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito 
de determinados entes. 
 
Exemplo: 
a) a lua é um satélite da Terra; 
b) O sol é amarelo; 
c) Brasília é a capital do Brasil. 
 
Princípios Adotados como Regras Fundamentais do 
Pensamento, na Lógica Matemática 
• Princípio da não contradição - uma proposição não 
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
• Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um 
destes casos e nunca um terceiro. 
 
Valores Lógicos das Proposições 
Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a 
proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. 
Valor Lógico Símbolo de Designação 
Verdade V 
Falsidade F 
 
Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de 
acordo os dois princípios supracitados). 
 
Exemplo: 
a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da 
proposição: verdade (V) 
b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposi-
ção: falsidade (F) 
 
TIPOS DE PROPOSIÇÃO 
Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém 
nenhuma outra proposição como parte integrante de si mes-
ma. As proposições simples são geralmente designadas por 
letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicio-
nais. 
 
Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto 
minúsculo para representar uma proposição simples. 
 
Exemplo: 
p: Oscar é prudente; 
q: Mário é engenheiro; 
r: Maria é morena. 
 
Composta ou Molecular - é a proposição formada pela 
combinação de duas ou mais proposições. São habitualmen-
te designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também 
denominadas letras proposicionais. 
 
Exemplo: 
p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; 
q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; 
r : SE Flávioé estudioso ENTÃO será aprovado. 
Observação: As proposições compostas são também 
denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. 
Quando interessa destacar que uma proposição composta P 
é formada pela combinação de proposições simples, escreve-
se: P ( p, q, r ...); 
 
Conectivos - são palavras que se usam para formar no-
vas proposições a partir de outras. 
 
Exemplo: 
P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; 
Q: NÃO vai chover; 
R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; 
S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; 
T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é e-
quilátero. 
 
São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras 
que estão grifadas, isto é "e", "ou", "não", "se ... então", "... se 
e somente se ..." 
 
VERDADES E MENTIRAS 
Este item trata de questões em que algumas personagens 
mentem e outras falam a verdade. Trata-se de descobrir qual 
é o fato correto a partir das afirmações que forem feitas por 
eles, evidentemente, sem conhecer quem fala verdade ou 
quem fala mentira. 
Também não há uma teoria a respeito. A aprendizagem das 
soluções de questões desse tipo depende apenas de treina-
mento. 
 Um dos métodos para resolver questões desse tipo consiste 
em considerar uma das afirmações verdadeira e, em segui-
da, verificar se as demais são ou não consistentes com ela. 
Isto significa verificar se há ou não contradição nas demais 
afirmações. 
 
Exemplo 1 - (Fiscal Trabalho 98 ESAF) - Um crime foi 
cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de 
cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per-
guntados 
sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
Armando: "Sou inocente" 
Celso: "Edu é o culpado" 
Edu: "Tarso é o culpado" 
Juarez: "Armando disse a verdade" 
Tarso: "Celso mentiu" 
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que 
todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o 
culpado é: 
a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) 
Tarso 
 
Vamos considerar que Armando foi quem mentiu. 
Neste caso ele é o culpado. Isto contradiz às palavras de 
Celso, pois se Armando mente, Celso teria dito uma verdade. 
Teríamos então dois culpados: Armando e Tarso. Portanto, 
Armando não mente. 
Passemos agora a considerar Celso o mentiroso. 
Isto é consistente. Pois, como já foi dito, Armando diz a ver-
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dade . Edu é inocente (Celso mente). Edu diz a verdade. 
Juarez também disse uma verdade. Tarso também foi verda-
deiro. Portanto, o culpado é Tarso. Resposta: letra (e) 
 
 Exemplo 2 - (CVM 2000 ESAF) - Cinco colegas foram a um 
parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanha-
dos por um funcionário do parque, que queria saber qual 
deles entrou sem pagar, ao serem interpelados: 
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. 
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. 
– “Foi a Mara”, disse Manuel. 
– “O Mário está mentindo”, disse Mara. 
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. 
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, 
conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: 
a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 
 
Façamos como no item anterior. 
Hipótese 1: Marcos é o mentiroso. Se Marcos é o mentiro-
so, então um dos dois entrou sem pagar. Mas como Manuel 
deve dizer a verdade (só um mente), Mara entrou sem pagar. 
Assim, seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ou 
Mara e Manuel. Conclusão Marcos fala a verdade. 
Hipótese 2: Mário é o mentiroso. Nesse caso, nem Maria e 
nem Manuel teria entrado sem pagar. Pois quando se usa o 
ou, será verdade desde que um deles seja verdadeiro. Estão 
eliminados Marcos, Manuel e Maria, de acordo com a verda-
de de Marcos. Seria então Mara pois Manuel não seria menti-
roso. Mara teria dito a verdade pois, de acordo com a hipóte-
se somente Mário é o mentiroso. Como Maria também não 
seria a mentirosa, nem Mara nem Marcos teria entrado sem 
pagar. 
Portanto: Marcos, Manuel, Mario e Maria são os que pagaram 
a entrada e Mara a que não pagou. 
Mas e se houver outra possibilidade? Devemos então tentar 
outras hipóteses. 
Hipótese 3: Manuel é o mentiroso. Como Marcos fala a 
verdade, não foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Como Mário 
também fala a verdade, um dos dois Manuel ou Maria entrou 
sem pagar. Mas Marcos pagou. Então Maria entrou sem 
pagar. Maria também diz a verdade, Não teria pago a entra-
da, Marcos ou Mara. Mas, outra vez, Marcos pagou. Então 
Mara não pagou a entrada. 
Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e Mara. 
Isto é falso, pois somente uma pessoa não pagou a entrada. 
Hipótese 4: Mara é a mentirosa. Não foi Marcos e nem 
Manuel, segundo a afirmação de Marcos que é verdadeiro. 
Como não pode ter sido o Manuel, pela fala de Mário, teria 
sido Maria. Mas segundo Manuel, teria sido Mara. Novamen-
te dois mentirosos. Hipótese que não pode ser aceita pois 
teriam duas pessoas entrado sem pagar. 
Hipótese 5: Maria é a mentirosa. Se Maria é mentirosa, 
Mário não poderia estar mentido. Então Mara estaria falando 
mentira. Seriam então, pelo menos, duas mentirosas. Maria e 
Mara. 
A única hipótese que satisfaz as condições do problema é a 
de número dois, da qual se conclui que Mara é a pessoa que 
não pagou a entrada. Assim, a resposta é: letra (c). 
 
Exemplo 3 - (Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís, Mar-
cos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra 
(não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os 
nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes 
declarações: 
 Nestor: "Marcos é casado com Teresa" 
 Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é 
Regina" 
 Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é 
Sandra" 
 Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido 
de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de 
Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: 
a) Sandra, Teresa, Regina. 
b) Sandra, Regina, Teresa. 
c) Regina, Sandra, Teresa. 
d) Teresa, Regina, Sandra. 
e) Teresa, Sandra, Regina. 
Solução: 
Temos dois fatos a considerar: 
1 – O marido de Teresa disse a verdade. 
2 – O marido de Sandra mentiu. 
 
Todos os três fazem afirmações sobre a esposa de Marcos. 
Ora, somente um estará dizendo a verdade. 
Temos então: 
 
1ª hipótese: Nestor fala a verdade. A esposa de Marcos é 
Teresa. Mas como o único a falar a verdade é Nestor, sua 
esposa deveria ser Tereza. 
Portanto, Nestor não fala a verdade. 
2ª hipótese: Luís fala a verdade. A esposa dele seria a 
Teresa, pois o marido de Teresa fala a verdade. Marcos es-
tando mentindo, a esposa de Marcos, não é Sandra e nem 
Teresa. É Regina. O que confirma a veracidade da afirmação 
de Luís. A esposa de Nestor será então Sandra. A esposa de 
Luís é Teresa. A esposa de Marcos é Regina. A esposa de 
Nestor é Sandra. 
Isto permite afirmar que a opção (d) está correta. 
Mas, vejamos se existe outra possibilidade, tentando a tercei-
ra hipótese. 
3ª hipótese: Marcos fala a verdade. Isto é impossível, pois, 
se ele estivesse falando a verdade, sua esposa seria Teresa 
e não Sandra. 
A única hipótese possível é a segunda. O que confirma a 
resposta. Letra (d). 
 
Exemplo 4 - (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz an-
dróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a ver-
dade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um 
especialista em Inteligência Artificial, está examinando um 
grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, 
Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para deter-
minar quantos entre os cinco são do tipo V. 
Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas 
Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. 
Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declara-
ções: 
Beta: “Alfa respondeu que sim”. 
Gama: “Beta está mentindo”. 
Delta: “Gama está mentindo”. 
Épsilon: “Alfa é do tipo M”. 
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. 
Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de 
andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a 
a) 1. b) 2.c) 3. d) 4. 
 e) 5. 
 
Solução: 
Vejamos as informações: 
(1) Os andróides do tipo M sempre mentem. 
(2) Os andróides do tipo V sempre falam a verdade. 
Sendo feita a pergunta, “você mente”, a resposta só poderia 
ser uma: NÃO. Pois, o mentiroso iria negar dizendo NÃO e o 
verdadeiro também iria negar dizendo NÃO. 
Como a resposta tinha que ser NÃO e Beta disse que alfa 
respondeu SIM, Beta está mentindo. 
Como Gama disse Beta está mentindo, então Gama disse a 
verdade. 
Como Delta disse que Gama está mentindo, Delta é um 
mentiroso. 
Restam agora Alfa e Épsilon. 
Épsilon disse que Alfa é do tipo M. Isto é Alfa é mentiroso. 
Das duas uma: (1) se Épsilon fala a verdade, ele é do tipo V e 
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Alfa é do tipo M; (2) se Épsilon é do tipo M ele mente. Então 
Alfa é do tipo V. Assim, um dos dois é do tipo V. 
Portanto, além do andróide Gama tem mais um andróide do 
tipo V. São então, dois andróides do tipo V. Resposta: letra 
(b) Aula 8 - internet�
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
1. Introdução 
Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de 
Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um 
dos campos mais férteis do pensamento humano, particular-
mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas 
modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro 
seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom 
raciocínio. 
Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental 
quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode 
ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar 
o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o 
sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo 
levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na 
prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos-
sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial 
no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos 
psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico 
ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do 
raciocínio”. 
Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque-
la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ-
ências das emoções ou não, se está de acordo com uma 
doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa 
embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi-
derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as 
relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua 
obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi 
formulado etc. 
Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini-
ções e outras referências à lógica: 
“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos per-
mite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato 
da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). 
“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para 
distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). 
“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas 
como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). 
“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, 
sua história demonstra o poder que a mesma possui quando 
bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o 
fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico 
ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel-
ler). 
1.1. Lógica formal e Lógica material 
Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os es-
tudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a 
da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da 
lógica material, também conhecida como “lógica maior”. 
A lógica formal preocupa-se com a correção formal do 
pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con-
teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati-
va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é 
respeitada quando se preenchem as exigências de coerência 
interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do 
ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí-
nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos 
de realidade dos fatos. 
No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, 
na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que 
(1) todos os brasileiros são europeus 
e que 
(2) Pedro é brasileiro, 
formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que 
(3) Pedro é europeu. 
Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experi-
ência nos diz que a premissa é falsa. 
No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a 
conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se 
costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria 
dos casos, processaformalmente informações nele previa-
mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o 
valor empírico de tais informações. 
Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das o-
perações do pensamento à realidade, de acordo com a natu-
reza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa 
que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que 
também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdocor-
responda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, 
trata-se da correspondência entrepensamento e realidade. 
Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de 
dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade material. 
A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à 
forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a 
forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o 
conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri-
meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-
se a verdade. 
Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à 
produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à 
consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacio-
nando a lógica com a prática, pode-se dizer que é importante 
que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, tam-
bém, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, 
portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios 
formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser 
denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica 
aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 
1.2. Raciocínio e Argumentação 
Três são as principais operações do intelecto humano: a 
simples apreensão, os juízos e o raciocínio. 
A simples apreensão consiste na captação direta (através 
dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma 
realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., 
de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua 
vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p. 
ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). 
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16
O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas 
ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” 
(falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições 
orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a 
mesa da sala” 
O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos 
juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte-
údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas 
para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. 
Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos 
e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para 
tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da 
coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão 
sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” 
Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte 
e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou 
qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi-
dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar-
gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte 
de convencer mediante o discurso. 
Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo 
que querem, de acordo com as circunstânciasda vida e as 
decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá 
atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias 
propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer 
com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui-
tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu-
mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei-
tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas 
de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu-
mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem 
ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. 
Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa 
ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou 
ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou 
forte etc. 
De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria-
mente, manter-se num plano distante da existência humana, 
desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se 
argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo-
ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos 
estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En-
fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o 
interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten-
tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização 
do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 
1.3. Inferência Lógica 
Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra-
ciocínio válido, visando à verdade. 
Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade 
quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, 
emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos 
de frases: as assertivas e as não assertivas, que também 
podem ser chamadas de proposições ou juízos. 
Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: 
“a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas 
frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda-
deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso 
das interrogações ou das frases que expressam estados 
emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou 
ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem 
verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). 
As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina-
das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu-
indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: 
(1) Não há crime sem uma lei que o defina; 
(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; 
(3) logo, não é crime matar ET’s. 
Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu-
tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à 
conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes 
permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda 
sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase 
inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis-
sas) deve levar a conclusões óbvias. 
1.4. Termo e Conceito 
Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é 
fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala-
vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi-
ficações de significado. Observe-se o exemplo: 
Os jaguares são quadrúpedes; 
Meu carro é um Jaguar 
logo, meu carro é um quadrúpede. 
O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao 
longo do raciocínio, por isso, não tem validade. 
Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen-
tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, 
“lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de 
vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, 
que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, 
o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um 
conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. 
Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo 
“mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às 
quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma 
nota característica comum a todos os elementos do conjunto, 
de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. 
Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada 
como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino 
cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou 
aquela cuja trajetória existencial destaca-se pela bondade, 
virtude, afetividade e equilíbrio. 
Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre-
ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma 
manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos 
empregados no discurso. 
1.5. Princípios lógicos 
Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non 
para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocor-
rer. Podem ser entendidos como princípios que se referem 
tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao 
pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral 
devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento 
deve respeitá-los. São eles: 
a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali-
dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a 
identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez 
conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao 
longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um 
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homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a 
Antônio. 
b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, 
não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo 
tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, 
não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, 
embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; c) 
Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o 
verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verdadeiro. Ou 
está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: 
está meio chovendo ou coisa parecida. 
A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três 
princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais 
recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve-
ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, 
admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, 
como também ao indeterminado. 
2. Argumentação e Tipos de Raciocínio 
Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex-
posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de 
alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso 
de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados 
raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras 
ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos 
sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí-
nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o 
efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou 
persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor 
lógico do raciocínio empregado na argumentação. 
Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser 
dotado de duas características fundamentais: ter premissas 
aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria-
das. Dos raciocínios mais empregados na argumentação, 
merecem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos 
três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas-
tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado 
pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos 
discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em-
pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por 
fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio 
autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica 
formal. 
A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de 
raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo 
como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na 
abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. 
Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade-
quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o 
médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou 
como argumentocontra a existência da alma o fato de esta 
nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo 
humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou 
que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon-
trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti-
vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado 
para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de 
ordem metafísica, não física. 
2.1. Raciocínio analógico 
Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é 
partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a 
analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um 
dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra-
ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida 
com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, 
aplicando a elas as informações previamente obtidas quando 
da vivência direta ou indireta da situação-referência. 
Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de 
apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é 
um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é 
fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem 
servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das 
artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do 
empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou 
de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No 
entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come-
tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-
lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha 
grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi-
cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou 
não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun-
do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba-
bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). 
A força de uma analogia depende, basicamente, de três 
aspectos: 
a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e im-
portantes; 
b) o número de elementos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo; 
c) não devem existir divergências marcantes na compara-
ção. 
No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, ca-
sos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões ade-
quadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é 
um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, 
tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom 
senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente 
seu papel. 
Aplicação das regras acima a exemplos: 
a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes.tc 
"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes." 
Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao 
comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as 
roupas de sua filha. 
Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per-
fume francês e é um bom advogado; 
Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; lo-
go, deve ser um bom advogado. 
b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação 
e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos 
semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati-
vo." 
Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, 
com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, 
houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, 
logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo 
de vida. 
Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por 
noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas 
por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. 
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c) Não devem existir divergências marcantes na compara-
ção.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na com-
paração.." 
Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por 
ocasião de tormentas e tempestades; 
a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja 
muito. 
Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salá-
rio mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal 
como os operários suíços, também recebe um salário míni-
mo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive 
bem, como os suíços. 
Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi-
derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie 
o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi-
tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a 
conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, 
isto caso cumpram-se as exigências acima. 
Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do 
raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas 
que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces-
sariamente válida. 
O esquema básico do raciocínio analógico é: 
A é N, L, Y, X; 
B, tal como A, é N, L, Y, X; 
A é, também, Z 
logo, B, tal como A, é também Z. 
Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó-
gico é precário, ele é muito importante na formulação de 
hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con-
tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana-
lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro-
cedimentos indutivos ou dedutivos. 
Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e pro-
fessor de ciência da computação da Universidade de Michi-
gan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da 
computação, uma situação semelhante à que ocorre no da 
genética. Assim como na natureza espécies diferentes po-
dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené-
tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá-
tica, também o cruzamento de programas pode contribuir 
para montar um programa mais adequado para resolver um 
determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais 
bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma 
com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para 
resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro-
grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos 
com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá-
rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem 
mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera-
ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o 
descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, 
semelhante ao processo de seleção natural, em que só so-
brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., 
p. 12). 
Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi-
guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra-
ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 
2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral 
Ainda que alguns autores considerem a analogia como 
uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma 
base mais ampla de sustentação. A indução consiste em 
partir de uma série de casos particulares e chegar a uma 
conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili-
dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, 
na maioria dos casos, também da verificação experimental. 
Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, 
acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. 
Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen-
dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos 
observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu-
meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão 
entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que 
sejam indicadores da validade das generalizações contidas 
nas conclusões. 
O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: 
B é A e é X; 
C é A e também é X; 
D é A e também é X; 
E é A e também é X; 
logo, todos os A são X 
No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos par-
ticulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. 
Aplicando o modelo: 
A jararaca é uma cobra e não voa; 
A caninana é uma cobra e também não voa; 
Aurutu é uma cobra e também não voa; 
A cascavel é uma cobra e também não voa; 
logo, as cobras não voam. 
Contudo, 
Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, 
caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns 
minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo 
gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, 
ver um gato preto traz azar. 
Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor 
lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução 
forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um 
caso particular discorde da generalização obtida das premis-
sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida-
de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece 
haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera 
coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, 
há casos em que 
uma simples análise das premissas é suficiente para de-
tectar a sua fraqueza. 
Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser 
aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de 
um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta-
mento de alguns de seus componentes: 
1. Adriana é mulher e dirige mal; 
Ana Maria é mulher e dirige mal; 
Mônica é mulher e dirige mal; 
Carla é mulher e dirige mal; 
logo, todas as mulheres dirigem mal. 
2. Antônio Carlos é político e é corrupto; 
Fernando é político e é corrupto; 
Paulo é político e é corrupto; 
Estevão é político e é corrupto; 
logo, todos os políticos são corruptos. 
A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta-
refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe-
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cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. 
Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos 
para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um 
exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta 
da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita-
va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os 
até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro 
cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 
2.2.1. Procedimentos indutivos 
Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio 
indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas 
ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen-
tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de 
raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien-
te e o da indução por enumeração completa. 
a. Indução por enumeração incompleta suficiente 
Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos 
como suficientes para serem tiradas determinadas conclu-
sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de 
não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em 
particular, os que foram enumerados são representativos do 
todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) 
b. Indução por enumeração completa 
Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio 
baseado na enumeração completa. 
Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocor-
re quando: 
b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; 
b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. 
Exemplos correspondentes às duas formas de indução por 
enumeração completa: 
b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e 
em cada uma delas foi constatada uma característica própria 
desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-
se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de 
cabeça é um dos sintomas da dengue. 
b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de 
xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. 
Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, poden-
do-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo 
que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí-
fica. 
O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos 
moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela 
maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou orde-
nada. Observem-se os exemplos: 
- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a 
corrupção do cenário político brasileiro. 
Depois da série de protestos realizados pela população, 
depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa-
me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, 
depois do escárnio popular em festividades como o carnaval 
e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de 
moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, 
apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre 
novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a 
nação. 
- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, 
pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo 
respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto 
alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava seguro de sua 
inocência. 
Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen-
do empregando o método indutivo porque o argumento prin-
cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou 
fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu-
são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati-
vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con-
duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, 
enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com-
portamento do amigo infere-se sua inocência. 
Analogia, indução e probabilidade 
Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas 
chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso 
ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas 
não são sinônimas de certezas. 
Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a 
moral e a natural. 
a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin-
do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma 
de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de-
nominador representa os casos possíveis e o numerador o 
número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um 
sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 
50% e a de dar coroa também é de 50%. 
b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos 
destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade 
de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação 
alegre ou triste etc. 
Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é 
provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... 
Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o 
receba bem, mas... 
c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos natu-
rais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A 
previsão meteorológica é um exemplo particular de probali-
dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi-
sibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns 
eventos naturais. 
Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia 
são passíveis de conclusões inexatas. 
Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas 
conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade hu-
mana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, 
contudo, também revelam as limitações humanas no que diz 
respeito à construção do conhecimento. 
2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular 
O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es-
tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici-
ências da analogia e da indução. 
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No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se 
do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir 
do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para 
se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre-
missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí-
nio: 
Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. univer-
sal 
Premissa menor: Pedro é homem. 
Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular 
No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral 
podem-se tirarconclusões de cunho particular. 
Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, 
colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue neces-
sariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma 
vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro 
é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é um 
mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas 
premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclu-
são. 
2.3.1. Construção do Silogismo 
A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) 
consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de 
partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma 
conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras 
palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride 
através da premissa menor e infere, necessariamente, uma 
conclusão adequada. 
Eis um exemplo de silogismo: 
Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior 
A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor 
Logo, a concussão é punível Conclusão 
O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógi-
ca, as premissas são chamadas de proposições que, por sua 
vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou 
juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras 
que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são 
necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior 
é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado 
da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário 
ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na 
conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal-
mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível 
é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus-
são é o menor. 
2.3.1.1. As Regras do Silogismo 
Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio 
perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às 
relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela-
ções entre as premissas. São elas: 
2.3.1.1.1. Regras dos Termos 
 
1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, 
médio e menor. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. 
Termo Médio: Mimi é um gato. 
Termo Menor: Mimi é um mamífero. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. 
Termo Médio: Maria é uma gata(2). 
Termo Menor: Maria é quadrúpede. 
O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro 
termos ao invés de três. 
 
2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten-
sos que os termos das premissas. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todas as onças são ferozes. 
Termo Médio: Nikita é uma onça. 
Termo Menor: Nikita é feroz. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Antônio e José são poetas. 
Termo Médio: Antônio e José são surfistas. 
Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. 
“Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os 
surfistas”. 
 
3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclu-
são. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a 
lei. 
A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é ino-
portuna. 
 
4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em 
sua extensão universal. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida-
des. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Alguns homens são sábios. 
Termo Médio: Ora os ignorantes são homens 
Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios 
O predicado “homens” do termo médio não é universal, 
mas particular. 
 
2.3.1.1.2. Regras das Premissas 
5) De duas premissas negativas, nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero 
Premissa Menor: Lulu não é um gato. 
Conclusão: (?). 
6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu-
são negativa. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser deseja-
dos. 
Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. 
Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 
7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A 
premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais não voam. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais voam. 
8) De duas premissas particulares nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Mimi é um gato. 
Premissa Menor: Um gato foi covarde. 
Conclusão: (?) 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
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http://www.guiadoconcursopublico.com.br/apostilas/24_12
0.pdf 
 
QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
1) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De seu salário de 
R$ 408,00 você gastou 2/6 com alimentação, 1/6 com a far-
mácia e 1/6 com material escolar dos filhos. Nesse mês so-
braram __________ para as demais despesas. 
a) R$ 166,00 
b) R$ 146,00 
c) R$ 156,00 
d) R$ 136,00 
 
2) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta 
e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido 
por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido 
individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: 
A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; 
B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas 
não os dois; 
C) o mordomo não é inocente. 
Logo: 
a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados 
b) somente o cozinheiro é inocente 
c) somente a governanta é culpada 
d) somente o mordomo é culpado 
 
3) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Um professor de 
lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado 
pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é 
que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os 
mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-
se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los 
de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que 
um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual 
deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre 
eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: 
Alfa: "Beta é mentimano" 
Beta: "Gama é mentimano" 
Gama: "Delta é verdamano" 
Delta: "Épsilon é verdamano" 
Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue 
ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica con-
clui corretamente que o verdamano é: 
a) Delta 
b) Alfa 
c) Gama 
d) Beta 
 
4) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restau-
rante no período de segunda à sexta-feira e, em cada um 
destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Con-
sultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirma-
ções: 
- Antônio: "Não é verdade que vou às terças, quartas ou 
quintas-feiras." 
- Bento: "Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras." 
- Carlos: "Não é verdade que vou às segundas ou terças-
feiras." 
Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana 
em que os três costumam almoçar nesse restaurante é: 
a) sexta-feira. 
b) quinta-feira. 
c) quarta-feira. 
d) terça-feira. 
 
5) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Há cinco objetos 
alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um 
vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as seguintes 
informações quanto à ordem dos objetos: 
- O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. 
- O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último. 
- O vaso está separado do relógio por dois outros objetos. 
Qual é a posição do violino? 
a) Segunda posição. 
b) Terceira posição. 
c) Quarta posição. 
d) Quinta posição. 
 
6) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é 
alto,é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
 
7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Considere ver-
dadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”. Com 
base na declaração, é correto concluir que, se: 
a) x é ímpar, então y é par. 
b) x é ímpar, então y é ímpar. 
c) y é ímpar, então x é par. 
d) y é par, então x é ímpar. 
 
8) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmen-
tos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos 
segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pon-
tos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um 
círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a 
hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perí-
metro será igual a: 
a) 40 cm 
b) 35 cm 
c) 23 cm 
d) 42 cm 
 
9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pes-
soa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respei-
to, assinale a afirmativa FALSA. 
a) f[f(x)] = avô paterno de x 
b) g[g(x)] = avó materna de x 
c) f[g(x)] = avô materno de x 
d) f[g(x)] = g[f(x)] 
 
10) Numa avenida reta há cinco pontos comerciais, todos do 
mesmo lado da rua. A farmácia fica entre a padaria e o res-
taurante, a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o 
supermercado fica entre o restaurante e a farmácia. Nessas 
condições, qual das proposições abaixo é verdadeira? 
a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica. 
b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado. 
c) Para ir do supermercado à lotérica, passa-se em frente ao 
restaurante. 
d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria. 
 
11) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, 
então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis 
é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: 
a) Caio e Beto são inocentes 
b) André e Caio são inocentes 
c) André e Beto são inocentes 
d) Caio e Dênis são culpados 
 
12) Qual das alternativas a seguir melhor representa a afir-
mação: “Para todo fato é necessário um ato gerador”? 
a) É possível que algum fato não tenha ato gerador. 
b) Não é possível que algum fato não tenha ato gerador. 
c) É necessário que algum fato não tenha ato gerador. 
d) Não é necessário que todo fato tenha um ato gerador. 
 
13) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Marcos que 
pesar três maçãs numa balança de dois pratos, mas ele dis-
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22
pões apenas de um bloco de 200 gramas. Observando o 
equilíbrio na balança, ele percebe que a maçã maior tem o 
mesmo peso que as outras duas maçãs; o bloco e a maçã 
menor pesam tanto quanto as outras duas maçãs; a maçã 
maior junto com a menor pesam tanto quanto o bloco. Qual é 
o peso total das três maçãs? 
a) 300 gramas. 
b) 150 gramas. 
c) 100 gramas. 
d) 50 gramas. 
 
14) Se João toca piano, então Lucas acorda cedo e Cristina 
não consegue estudar. Mas Cristina consegue estudar. Se-
gue-se logicamente que: 
a) Lucas acorda cedo. 
b) Lucas não acorda cedo. 
c) João toca piano. 
d) João não toca piano. 
 
15) Alice entra em uma sala onde há apenas duas saídas, 
uma que fica a Leste e outra a Oeste. Uma das saídas leva 
ao Paraíso, a outra ao Inferno. Na sala, também há dois ho-
mens, um alto e outro baixo. Um dos homens apenas fala a 
verdade, o outro apenas diz o falso. Então, Alice mantém o 
seguinte diálogo com um deles: 
- O homem baixo diria que é a saída do Leste que leva ao 
Paraíso? - questiona Alice. 
- Sim, o homem baixo diria que é a saída do Leste que levaria 
ao Paraíso - diz o homem alto. 
Considerando essa situação, pode-se afirmar que: 
a) o homem alto necessariamente disse algo falso, mas a 
porta Leste leva ao Paraíso. 
b) o homem alto necessariamente disse a verdade e a porta 
Leste leva ao Inferno. 
c) a porta Leste necessariamente leva ao Paraíso, mas não 
se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. 
d) a porta Leste necessariamente leva ao Inferno, mas não se 
pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. 
 
16) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) As irmãs Ilda, 
Ilma, Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flá-
vio. O fotógrafo pediu para que elas se posicionassem lado a 
lado da seguinte maneira: 
- do ponto de vista do fotógrafo, Ilda deveria estar mais à 
direita do que Isabela; 
- Isadora não deveria ficar entre duas irmãs; 
- Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela, isto 
é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Ilda e Isabela; 
- Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora, 
isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Isabela e 
Isadora. 
As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio, 
a fotografia foi batida e revelada com sucesso. Assim, na 
foto, é possível ver que: 
a) Isabela está entre duas irmãs. 
b) Ilda não está entre duas irmãs. 
c) Ilma não está entre duas irmãs. 
d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda. 
 
17) Se 0,036³ , 0 m de óleo tem a massa de 28,8 Kg, pode-
mos concluir que 1 litro desse mesmo óleo tem a massa no 
valor de: 
a) 4,0 Kg 
b) 9,0 Kg 
c) 8,0 Kg 
d) 1,1 Kg 
 
18) A negação de "Se A é par e B é ímpar, então A + B é 
ímpar" é: 
a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par. 
b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par. 
c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é par. 
d) A é par, B é ímpar e A + B é par. 
 
19) Hoje, a diferença entre as idades de Roberto Carlos e 
Carlos Roberto é de 15 anos. Qual será a diferença entre as 
idades quando Roberto Carlos tiver o dobro da idade de Car-
los Roberto? 
a) 15 anos; 
b) 30 anos; 
c) 45 anos; 
d) 20 anos; 
 
20) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Cinco moças, 
Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo 
blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que 
vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que 
vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz 
veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa 
amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa 
amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem 
blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana 
veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de 
Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectiva-
mente: 
 
a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. 
b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. 
c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. 
d) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. 
 
21) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, 
do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
 
22) A negação lógica da proposição "O pai de Marcos é per-
nambucano, e a mãe de Marcos é gaúcha" é: 
a) "O pai de Marcos não é pernambucano, e a mãe de Mar-
cos não é gaúcha". 
b) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar-
cos não é gaúcha". 
c) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar-
cos é gaúcha". 
d) "O pai de Marcos é pernambucano, e a mãe de Marcos 
não é gaúcha". 
 
23) Em um orçamento foram acrescidos juros no valor de R$ 
73,80 a fim de que o mesmo pudesse ser financiado em 5 
prestações de R$ 278,50. O valor real (inicial) do serviço é 
de: 
a) R$ 1.318,70 
b) R$ 1.329,70 
c) R$ 976,70 
d) R$ 1.087,70 
 
24) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De uma chapa 
que mede 2 m por 1,5 m o serralheiro separou 2/6 dela para 
cortar quadrados que medem 0,25 m de lado. Com esse 
pedaço de chapa ele cortou exatamente: 
a) 12 quadrados 
b) 10 quadrados 
c) 20 quadrados 
d) 16 quadrados 
 
25) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Esta sequência 
de palavras segue uma lógica: 
- Pá 
- Xale 
- Japeri 
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequên-
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23
cia poderia ser: 
a) Casa. 
b) Anseio. 
c) Urubu. 
d) Café. 
 
26) Anegação da sentença “Todas as mulheres são elegan-
tes” está na alternativa: 
a) Nenhuma mulher é elegante. 
b) Todas as mulheres são deselegantes. 
c) Algumas mulheres são deselegantes. 
d) Nenhuma mulher é deselegante. 
 
27) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Pedro e Paulo 
estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma 
fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Pau-
lo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que 
fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: 
a) 80 
b) 72 
c) 90 
d) 18 
 
28) MMMNVVNM está para 936 assim como MMNNVMNV 
está para: 
a) 369 
b) 693 
c) 963 
d) 639 
 
29) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Uma colher de 
sopa corresponde a três colheres de chá. Uma pessoa que 
está doente tem que tomar três colheres de sopa de um re-
médio por dia. No final de uma semana, a quantidade de 
colheres de chá desse remédio que ela terá tomado é de: 
a) 63; 
b) 56; 
c) 28; 
d) 21; 
 
30) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pes-
soa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respei-
to, assinale a afirmativa FALSA. 
a) f[f(x)] = avô paterno de x 
b) g[g(x)] = avó materna de x 
c) f[g(x)] = avô materno de x 
d) f[g(x)] = g[f(x)] 
 
Gabarito 
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 
14.D 15.D 16.D 17.C 18.B 19.D 20.D 21.A 22.B 23.A 24.D 
25.B 26.C 27.B 28.D 29.A 30.D 
Postado por cleiton silva 
 
ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser com-
postas por proposições que provam, dão suporte, dão razão 
a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensa-
mento de sentindo completo. Essas proposições podem ter 
um sentindo positivo ou negativo. 
Exemplo 1: João anda de bicicleta. 
Exemplo 2: Maria não gosta de banana. 
Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirma-
ção/proposição. 
A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade 
ou mentira (verdadeiro/falso). 
Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar 
verdadeiro. 
Há alguns princípios básicos: 
Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e 
falsa ao mesmo tempo. 
Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas con-
traditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição 
ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico 
(“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). 
Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. 
Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil). 
Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se 
os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a 
veracidade das informações e unem as proposições uma a 
outra ou as transformam numa terceira proposição. 
Veja abaixo: 
(~) “não”: negação 
(�) “e”: conjunção 
(V) “ou”: disjunção 
(�) “se...então”: condicional 
(�) “se e somente se”: bicondicional 
Agora, vejamos na prática como funcionam estes conecti-
vos: 
Temos as seguintes proposições: 
O Pão é barato. O Queijo não é bom. 
A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a 
segunda. Assim, temos: 
P: O Pão é barato. 
Q: O Queijo não é bom. 
NEGAÇÃO (símbolo ~): 
Quando usamos a negação de uma proposição inverte-
mos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos: 
Ex1. : ~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógi-
ca de P) 
~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q) 
Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a nega-
ção vira falsa. 
Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vi-
ra verdadeira. 
Regrinha para o conectivo de negação (~): 
 
P ~P 
V F 
F V 
 CONJUNÇÃO (símbolo �): 
Este conectivo é utilizado para unir duas proposições for-
mando uma terceira. O resultado dessa união somente será 
verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadei-
ras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será 
FALSO. 
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24
Ex.2: P � Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) � = 
“e” 
Regrinha para o conectivo de conjunção (�): 
P Q P�Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
DISJUNÇÃO (símbolo V): 
Este conectivo também serve para unir duas proposições. 
O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposi-
ções for verdadeira. 
Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) 
V = “ou” 
Regrinha para o conectivo de disjunção (V): 
P Q PVQ 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
CONDICIONAL (símbolo �) 
Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra 
proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” 
é condição necessária para “P”. 
Ex4.: P � Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é 
bom.) � = “se...então” 
Regrinha para o conectivo condicional (�): 
P Q P�Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
BICONDICIONAL (símbolo �) 
O resultado dessas proposições será verdadeiro se e so-
mente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as 
duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para 
“Q” 
Ex5.: P � Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo 
não é bom.) � = “se e somente se” 
Regrinha para o conectivo bicondicional (�): 
P Q P�Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 Fonte: http://www.concursospublicosonline.com/ 
TABELA VERDADE 
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa 
é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para 
determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é 
correto. 
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, 
Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a 
forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e 
Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-
Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para 
classificar funções veritativas em uma série. A vasta 
influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de 
tabelas-verdade. 
Como construir uma Tabela Verdade 
Uma tabela de verdade consiste em: 
1º) Uma linha em que estão contidos todas as 
subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula 
¬((A�B)�C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas: 
{ ¬((A∋B) � ��C) , (A B)�C , A B , A , B , C} 
2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os 
termos podem receber e os valores cujas as fórmulas 
moleculares tem dados os valores destes termos. 
O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de 
valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo 
Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula 
contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número 
de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: 
um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois 
casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e 
um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula 
contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a 
permutações entre estes será 8: um caso de todos termos 
serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos 
serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de 
apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) 
e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). 
Tabelas das Principais Operações do Cálculo 
Proposicional Dei 
Negação 
 
 
 
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de 
maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-
versa. 
Conjunção (E) 
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos 
são verdadeiros 
A B A^B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
A ~A 
V F 
F V 
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25
Disjunção (OU) 
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos 
forem falsos 
 
A B AvB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Condicional (Se... Então) [Implicação] 
A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro 
operando é verdadeiro e o segundo operando é falso 
A B A�B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência] 
A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos 
operandos forem falsos ou ambos verdadeiros 
A B A�B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU... OU XOR) 
A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um 
dos operandosfor verdadeiro 
A B A((((B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Adaga de Quine (NOR) 
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos 
são falsos 
A B A((((B A�B 
V V V F 
V F V F 
F V V F 
F F F V 
Como usar tabelas para verificar a validade de 
argumentos 
Verifique se a conclusão nunca é falsa quando 
as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o 
argumento é válido. Em caso negativo, é inválido. 
Alguns argumentos válidos 
Modus ponens 
 
A B A�B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Modus tollens 
 
A B ¬A ¬B A�B 
V V F F V 
V F F V F 
F V V F V 
F F V V V 
 
Silogismo Hipotético 
 
A B C A�B B�C A�C 
V V V V V V 
V V F V F F 
V F V F V V 
V F F F V F 
F V V V V V 
F V F V F V 
F F V V V V 
F F F V V V 
Algumas falácias 
Afirmação do conseqüente 
Se A, então B. (A�B) 
B. 
Logo, A. 
A B A�B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Comutação dos Condicionais 
A implica B. (A�B) 
Logo, B implica A. (B�A) 
 
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A B A�B B�A 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
Fonte: Wikipédia 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
História 
 
Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápi-
da passada em sua origem. 
O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770, 
ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha, usou os 
diagramas ao explicar o significado das quatro proposições 
categóricas: 
Todo A é B. 
Algum A é B. 
Nenhum A é B. 
Algum A não é B. 
 
Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John 
Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, 
utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos 
como diagramas de Euler/Venn. 
 
Tipos 
 
Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois 
diferentes conjuntos: 
 
 
Indica que um con-
junto está ompleta-
mente contido no 
outro, mas o inverso 
não é verdadeiro. 
 
 
Indica que os dois 
conjuntos tem alguns 
elementos em co-
mum, mas não todos. 
 
 
Indica que não exis-
tem elementos co-
muns entre os con-
juntos. 
 
OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS 
NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS. 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, 
INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. 
 
1. Introdução 
Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de 
Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um 
dos campos mais férteis do pensamento humano, particular-
mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas 
modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro 
seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom 
raciocínio. 
Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental 
quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode 
ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar 
o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o 
sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo 
levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na 
prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos-
sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial 
no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos 
psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico 
ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do 
raciocínio”. 
Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque-
la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ-
ências das emoções ou não, se está de acordo com uma 
doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa 
embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi-
derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as 
relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua 
obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi 
formulado etc. 
Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini-
ções e outras referências à lógica: 
“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos 
permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio 
ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). 
“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados pa-
ra distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). 
“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas 
como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). 
“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, 
sua história demonstra o poder que a mesma possui quando 
bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o 
fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico 
ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel-
ler). 
1.1. Lógica formal e Lógica material 
Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os 
estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: 
a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a 
da lógica material, também conhecida como “lógica maior”. 
A lógica formal preocupa-se com a correção formal do 
pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con-
teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati-
va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é 
respeitada quando se preenchem as exigências de coerência 
interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do 
ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí-
nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos 
de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu 
aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo 
das premissas que 
(1) todos os brasileiros são europeus 
e que 
(2) Pedro é brasileiro, 
formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que 
(3) Pedro é europeu. 
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Materialmente, este é um raciocínio falso porque a expe-
riência nos diz que a premissa é falsa. 
No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a 
conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se 
costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria 
dos casos, processa formalmente informações nele previa-
mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o 
valor empírico de tais informações. 
Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das 
operações do pensamento à realidade, de acordo com a 
natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, inte-
ressa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas 
que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdo 
corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste 
caso, trata-se da correspondência entre pensamento e reali-
dade. 
Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar 
de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade mate-
rial. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à 
forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a 
forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o 
conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri-
meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-
se a verdade. 
Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas 
à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se 
à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Rela-
cionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é impor-
tante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, 
também, uma verdade que corresponda à experiência. Que 
seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os 
princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios 
pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma 
lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 
1.2. Raciocínio e Argumentação 
Três são as principais operações do intelecto humano: a 
simples apreensão, os juízos e o raciocínio. 
A simples apreensão consiste na captação direta (atra-
vés dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de 
uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito 
(p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, 
por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou ter-
mos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). 
O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas 
ou separadasdando origem à emissão de um “julgamento” 
(falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições 
orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a 
mesa da sala” 
O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos 
juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte-
údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas 
para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. 
Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos 
e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para 
tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da 
coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão 
sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” 
Quando os raciocínios são organizados com técnica e ar-
te e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou 
qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi-
dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar-
gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte 
de convencer mediante o discurso. 
Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aqui-
lo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as 
decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá 
atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias 
propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer 
com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui-
tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu-
mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei-
tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas 
de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu-
mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem 
ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. 
Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa 
ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou 
ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou 
forte etc. 
De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria-
mente, manter-se num plano distante da existência humana, 
desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se 
argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo-
ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos 
estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En-
fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o 
interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten-
tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização 
do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 
1.3. Inferência Lógica 
Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra-
ciocínio válido, visando à verdade. 
Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade 
quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, 
emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos 
de frases: as assertivas e as não assertivas, que também 
podem ser chamadas de proposições ou juízos. 
Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: 
“a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas 
frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda-
deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso 
das interrogações ou das frases que expressam estados 
emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou 
ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem 
verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). 
As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina-
das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu-
indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: 
(1) Não há crime sem uma lei que o defina; 
(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; 
(3) logo, não é crime matar ET’s. 
Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu-
tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à 
conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes 
permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda 
sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase 
inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis-
sas) deve levar a conclusões óbvias. 
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1.4. Termo e Conceito 
Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é 
fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala-
vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi-
ficações de significado. Observe-se o exemplo: 
Os jaguares são quadrúpedes; 
Meu carro é um Jaguar 
logo, meu carro é um quadrúpede. 
O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao 
longo do raciocínio, por isso, não tem validade. 
Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen-
tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, 
“lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de 
vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, 
que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, 
o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um 
conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. 
Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo 
“mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às 
quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma 
nota característica comum a todos os elementos do conjunto, 
de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. 
Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada 
como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino 
cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou 
aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, 
virtude, afetividade e equilíbrio. 
Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre-
ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma 
manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos 
empregados no discurso. 
1.5. Princípios lógicos 
Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua 
non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa 
ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se refe-
rem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto 
ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral 
devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento 
deve respeitá-los. São eles: 
a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali-
dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a 
identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez 
conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao 
longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um 
homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a 
Antônio. 
b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, 
não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo 
tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, 
não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, 
embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; 
c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o fal-
so e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verda-
deiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um 
terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. 
A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três 
princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais 
recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve-
ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, 
admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, 
como também ao indeterminado. 
2. Argumentação e Tipos de Raciocínio 
Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex-
posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de 
alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso 
de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados 
raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras 
ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos 
sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí-
nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o 
efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou 
persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor 
lógico do raciocínioempregado na argumentação. 
Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser 
dotado de duas características fundamentais: ter premissas 
aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria-
das. 
Dos raciocínios mais empregados na argumentação, me-
recem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos 
três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas-
tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado 
pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos 
discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em-
pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por 
fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio 
autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica 
formal. 
A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de 
raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo 
como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na 
abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. 
Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade-
quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o 
médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou 
como argumento contra a existência da alma o fato de esta 
nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo 
humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou 
que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon-
trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti-
vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado 
para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de 
ordem metafísica, não física. 
2.1. Raciocínio analógico 
Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é 
partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a 
analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um 
dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra-
ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida 
com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, 
aplicando a elas as informações previamente obtidas quando 
da vivência direta ou indireta da situação-referência. 
Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto 
de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia 
é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, 
é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também 
tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e 
das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do 
empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou 
de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No 
entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come-
tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-
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lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha 
grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi-
cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou 
não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun-
do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba-
bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). 
A força de uma analogia depende, basicamente, de três 
aspectos: 
a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e 
importantes; 
b) o número de elementos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo; 
c) não devem existir divergências marcantes na compara-
ção. 
No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, 
casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões 
adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor 
é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, 
tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom 
senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente 
seu papel. 
Aplicação das regras acima a exemplos: 
a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes.tc 
"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e 
relevantes, não imaginários ou insignificantes." 
Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao 
comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as 
roupas de sua filha. 
Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per-
fume francês e é um bom advogado; 
Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; 
logo, deve ser um bom advogado. 
b) O número de aspectos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos 
semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati-
vo." 
Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, 
com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, 
houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, 
logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo 
de vida. 
Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por 
noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas 
por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. 
c) Não devem existir divergências marcantes na compa-
ração.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na 
comparação.." 
Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por 
ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não 
está tendo sucesso porque troveja muito. 
Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o sa-
lário mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, 
tal como os operários suíços, também recebe um salário 
mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive 
bem, como os suíços. 
Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi-
derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie 
o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi-
tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a 
conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, 
isto caso cumpram-se as exigências acima. 
Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral 
do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas 
que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces-
sariamente válida. 
O esquema básico do raciocínio analógico é: 
A é N, L, Y, X; 
B, tal como A, é N, L, Y, X; 
A é, também, Z 
logo, B, tal como A, é também Z. 
Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó-
gico é precário, ele é muito importante na formulação de 
hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con-
tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana-
lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro-
cedimentos indutivos ou dedutivos. 
Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e 
professor de ciência da computação da Universidade de 
Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo 
da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da 
genética. Assim como na natureza espécies diferentes po-
dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené-
tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá-
tica, também o cruzamento de programas pode contribuir 
para montar um programa mais adequado para resolver um 
determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais 
bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma 
com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para 
resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro-
grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos 
com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá-
rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem 
mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera-
ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o 
descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, 
semelhante ao processo de seleção natural, em que só so-
brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., 
p. 12). 
Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi-
guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra-
ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 
2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral 
Ainda que alguns autores considerem a analogia como 
uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma 
base maisampla de sustentação. A indução consiste em 
partir de uma série de casos particulares e chegar a uma 
conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili-
dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, 
na maioria dos casos, também da verificação experimental. 
Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, 
acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. 
Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen-
dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos 
observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu-
meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão 
entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que 
sejam indicadores da validade das generalizações contidas 
nas conclusões. 
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O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: 
B é A e é X; 
C é A e também é X; 
D é A e também é X; 
E é A e também é X; 
logo, todos os A são X 
No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos 
particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. 
Aplicando o modelo: 
A jararaca é uma cobra e não voa; 
A caninana é uma cobra e também não voa; 
A urutu é uma cobra e também não voa; 
A cascavel é uma cobra e também não voa; 
logo, as cobras não voam. 
Contudo, 
Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, 
caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns 
minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo 
gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, 
ver um gato preto traz azar. 
Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do va-
lor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução 
forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um 
caso particular discorde da generalização obtida das premis-
sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida-
de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece 
haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera 
coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, 
há casos em que uma simples análise das premissas é sufi-
ciente para detectar a sua fraqueza. 
Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser 
aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de 
um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta-
mento de alguns de seus componentes: 
1. Adriana é mulher e dirige mal; 
Ana Maria é mulher e dirige mal; 
Mônica é mulher e dirige mal; 
Carla é mulher e dirige mal; 
logo, todas as mulheres dirigem mal. 
2. Antônio Carlos é político e é corrupto; 
Fernando é político e é corrupto; 
Paulo é político e é corrupto; 
Estevão é político e é corrupto; 
logo, todos os políticos são corruptos. 
A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta-
refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe-
cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. 
Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos 
para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um 
exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta 
da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita-
va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os 
até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro 
cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 
2.2.1. Procedimentos indutivos 
Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio 
indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas 
ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen-
tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de 
raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien-
te e o da indução por enumeração completa. 
a. Indução por enumeração incompleta suficiente 
Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos 
como suficientes para serem tiradas determinadas conclu-
sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de 
não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em 
particular, os que foram enumerados são representativos do 
todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) 
b. Indução por enumeração completa 
Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio 
baseado na enumeração completa. 
Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela o-
corre quando: 
b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; 
b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. 
Exemplos correspondentes às duas formas de indução 
por enumeração completa: 
b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e 
em cada uma delas foi constatada uma característica própria 
desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-
se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de 
cabeça é um dos sintomas da dengue. 
b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de 
xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. 
Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, po-
dendo-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo 
que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí-
fica. 
O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado 
nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso 
pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou 
ordenada. Observem-se os exemplos: 
- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a 
corrupção do cenário político brasileiro. 
Depois da série de protestos realizados pela população, 
depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa-
me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, 
depois do escárnio popular em festividades como o carnaval 
e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de 
moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, 
apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre 
novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a 
nação. 
- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, 
pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo 
respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto 
alguns insinuavam a sua culpa, eu continuava seguro de sua 
inocência. 
Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen-
do empregando o método indutivo porque o argumento prin-
cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou 
fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu-
são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati-
vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con-
duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, 
enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com-
portamento do amigo infere-se sua inocência. 
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31
Analogia, indução e probabilidade 
Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas 
chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso 
ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas 
não são sinônimas de certezas. 
Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a 
moral e a natural. 
a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin-
do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma 
de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de-
nominador representa os casos possíveis e o numerador o 
número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um 
sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 
50% e a de dar coroa também é de 50%. 
b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos 
destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade 
de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação 
alegre ou triste etc. 
Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é 
provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... 
Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o 
receba bem, mas... 
c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos na-
turais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. 
A previsão meteorológica é um exemplo particular de probali-
dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi-
sibilidade relativa e da descrição apenasparcial de alguns 
eventos naturais. 
Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia 
são passíveis de conclusões inexatas. 
Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as su-
as conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade 
humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, 
contudo, também revelam as limitações humanas no que diz 
respeito à construção do conhecimento. 
2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular 
O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es-
tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici-
ências da analogia e da indução. 
No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se 
do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir 
do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para 
se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre-
missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí-
nio: 
Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. uni-
versal 
Premissa menor: Pedro é homem. 
Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular 
No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral 
podem-se tirar conclusões de cunho particular. 
Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na 
qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue 
necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. 
Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que 
Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pe-
dro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está pre-
sente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir 
a conclusão. 
2.3.1. Construção do Silogismo 
A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) 
consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de 
partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma 
conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras 
palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride 
através da premissa menor e infere, necessariamente, uma 
conclusão adequada. 
Eis um exemplo de silogismo: 
Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Mai-
or A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor 
Logo, a concussão é punível Conclusão 
O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da ló-
gica, as premissas são chamadas de proposições que, por 
sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas 
ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras 
que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são 
necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior 
é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado 
da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário 
ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na 
conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal-
mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível 
é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus-
são é o menor. 
2.3.1.1. As Regras do Silogismo 
Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio 
perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às 
relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela-
ções entre as premissas. São elas: 
2.3.1.1.1. Regras dos Termos 
1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, 
médio e menor. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. 
Termo Médio: Mimi é um gato. 
Termo Menor: Mimi é um mamífero. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. 
Termo Médio: Maria é uma gata(2). 
Termo Menor: Maria é quadrúpede. 
O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro 
termos ao invés de três. 
 
2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten-
sos que os termos das premissas. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todas as onças são ferozes. 
Termo Médio: Nikita é uma onça. 
Termo Menor: Nikita é feroz. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Antônio e José são poetas. 
Termo Médio: Antônio e José são surfistas. 
Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. 
 “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos 
os surfistas”. 
 
3) O predicado do termo médio não pode entrar na con-
clusão. 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
32
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a 
lei. 
A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é i-
noportuna. 
4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em 
sua extensão universal. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida-
des. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Alguns homens são sábios. 
Termo Médio: Ora os ignorantes são homens 
Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios 
O predicado “homens” do termo médio não é universal, 
mas particular. 
 
2.3.1.1.2. Regras das Premissas 
5) De duas premissas negativas, nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero 
Premissa Menor: Lulu não é um gato. 
Conclusão: (?). 
6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu-
são negativa. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser dese-
jados. 
Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. 
Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 
7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A 
premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais não voam. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais voam. 
8) De duas premissas particulares nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Mimi é um gato. 
Premissa Menor: Um gato foi covarde. 
Conclusão: (?) 
 Fonte: estudaki.files.wordpress.com/2009/03/logica-
argumentacao.pdf 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
 
Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES 
 
Introdução 
 
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários 
problemas. 
 
Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na 
determinação da quantidade de elementos que apresentam 
uma determinada característica. 
 
 
Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 
que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-
se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: 
 
Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente 
carro ou ainda quantas dirigem somente motos. 
Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que 
representam os motoristas de motos e motoristas de carros. 
 
Começaremos marcando quantos elementos tem a intersec-
ção e depois completaremos os outros espaços. 
 
 
 
Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo 
esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. 
 
A partir dos valores reais, é que poderemos responder as 
perguntas feitas. 
 
 
 
 
a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. 
b) Dirigem somente carros 33 motoristas. 
c) Dirigem somente motos 8 motoristas. 
No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência 
quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a 
seguinte tabela: 
 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
33
 
 
Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente 
montar os diagramas que representam cada conjunto. 
 
A colocação dos valores começará pela intersecção dos três 
conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por 
último às regiões que representam cada conjunto individual-
mente. 
 
Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo 
que indicará o conjunto universo da pesquisa.Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são 
leitores de nenhum dos três jornais. 
Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. 
Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. 
Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. 
Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. 
Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. 
Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. 
Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes 
elementos: 
 
 
 
Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas 
lêem apenas o jornal A. 
Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES 
Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a 
soma 205 + 30 + 115 + 150. 
Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é 
a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 
150. 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
Diagramas Lógicos 
 
1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: 
I. 18 gostam de cinema 
II. 14 gostam de teatro 
III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro 
O número de agentes que gostam de cinema e de teatro 
corresponde a: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 
lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sa-
bendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos 
um dos jornais, o número N de auxiliares é: 
 
 
3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam 
francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas lín-
guas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não 
falam inglês é de: 
a) 3% 
b) 15% 
c) 27% 
d) 30% 
e) 33% 
 
4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas 
consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 
ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma 
das duas rádios. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
a) 520 
b) 560 
c) 640 
d) 680 
e) 700 
 
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34
5. Em uma pesquisa, foram entrevistados 100 telespectado-
res. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televi-
são de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 
delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao 
teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao 
teatro. Quantas 
dessas pessoas iam regularmente a ambos? 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
7. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao par-
que de diversões chamado Sonho. Desses alunos: 
� 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de 
montanha russa. 
� 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido 
ao parque Sonho. 
� Ao todo, 20 já andaram de montanha russa. 
� Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho. 
Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: 
a) 60 alunos 
b) 48 alunos 
c) 42 alunos 
d) 366alunos 
e) 32 alunos 
 
8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 20 alunos que 
praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que 
praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que 
praticam vôlei é 15. 
Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O nú-
mero de alunos da classe é: 
a) 30 
b) 35 
c) 37 
d) 42 
e) 44 
 
9. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam 
óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao 
mesmo tempo, óculos e relógio é: 
a) exatamente 6 
b) exatamente 2 
c) no mínimo 6 
d) no máximo 5 
e) no mínimo 4 
 
10. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias 
pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produ-
tos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 
� 210 pessoas compram o produto A. 
� 210 pessoas compram o produto N. 
� 250 pessoas compram o produto C. 
� 20 pessoas compram os três produtos. 
� 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 
� 60 pessoas compram o produto A e B. 
� 70 pessoas compram os produtos A eC. 
� 50 pessoas compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas: 
a) 670 
b) 970 
c) 870 
d) 610 
e) 510 
 
11. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram 
apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto 
C. 
a) 210;210;250 
b) 150;150;180 
c) 100;120;150 
d) 120;140;170 
e) n.d.a. 
 
12. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à 
prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, 
basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, � 20 alu-
nos praticam vôlei e basquete; 
� 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
� 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
� o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao 
número dos alunos que praticam só vôlei; 
� 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
� 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não 
praticam vôlei; 
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é 
igual a: 
a) 93 
b) 114 
c) 103 
d) 110 
e) 99 
 
13. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - 
sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes 
resultados: 
Do total de pessoas entrevistadas: 
� 500 assinam o jornal X 
� 350 têm curso superior 
� 250 assinam o jornal X e têm nível superior 
Do total de mulheres entrevistadas: 
� 200 assinam o jornal X 
� 150 têm curso superior 
� 50 assinam o jornal X e têm nível superior 
 
O número de homens entrevistados que não assinam o jornal 
X e não têm curso superior é, portanto, igual a: 
a) 100 
b) 200 
c) 0 
d) 50 
e) 25 
 
14. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( 
universo ). 
 
 
 
A região sombreada corresponde à seguinte operação: 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
35
a) A ∪ B ∪ C 
b) (A ∪ B) ∩ C 
c) A ∩ B∩ C 
d) (A ∩ B) ∪ C 
 
QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 
 
15. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de 
Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe 
média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplica-
ções de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte 
resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de 
renda fixa; 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam 
em nenhuma dasmodalidades. Deste modo, 10 pessoas 
aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa 
pode aplicar em mais de uma modalidade). 
 
16. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 
moradores de uma região com péssimas condições sanitárias 
foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C . O 
resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente 
em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; 
os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, 
em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o 
numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao 
dobro dos infectados apenas pelo vírus B. 
Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: 
I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simul-
taneamente representa 9% do total de 
pessoas examinadas. 
II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual 
a 230. 
III. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. 
IV. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos, dois 
vírus. 
V. O número de moradores que não foram contaminados 
pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pes-
soas examinadas. 
 
17. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, 
necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, 
utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma 
livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administra-
ção e economia, que vende livros nacionais e importados. 
Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de adminis-
tração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não 
há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas 
informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, 
tenha: 
I. Encontrado um livro de administração de capa dura. 
II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa 
flexível. 
III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de 
capa dura. 
IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. 
 
Respostas exercícios: 1-C 2-A 3-A 4-B 5-B 
 
RESPOSTAS1.B 
2.C 
3.D 
4.E 
5.B 
6.A 
7.B 
8.E 
9.E 
10.D 
11.C 
12.E 
13.A 
14.C 
15.C (certo) 
16.C,E,C,C,E 
17.E,C,E,C 
 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Por meio do princípio fundamental da contagem, podemos 
determinar quantas vezes, de modo diferente, um 
acontecimento pode ocorrer. 
 
Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e 
independentes, de maneira que o número de possibilidades: 
Na 1a etapa é k1, 
Na 2a etapa é k2, 
Na 33 etapa é k3, 
.......................... 
 
Na enésima etapa é kn, então o número total de 
possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k1, k2, 
k3 ... kn. 
 
O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre 
devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas 
que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computa-
dor, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de tecla-
dos, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o 
numero de diferentes possibilidades de computadores que 
podem ser montados com essas peças, somente multiplica-
mos as opções: 
3 x 4 x 2 x 3 = 72 
 
Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferen-
tes. 
 
Um problema que ocorre é quando aparece a palavra 
"ou", como na questão: 
Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um 
cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de 
feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrige-
rante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrige-
rante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de 
escolher uma opção de cada alimento? 
 
A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela co-
mida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes 
juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante 
pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas 
somar essas possibilidades: 
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 
 
Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de 
pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas 
disponíveis. 
 
Outro exemplo: 
No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é 
formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas 
onde o número formado pelos algarismos seja par, podem 
ser formadas? 
 
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, 
para que o numero formado seja par, teremos de limitar o 
ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 
26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 
10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que 
na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos 
um número par (0, 2 , 4 , 6 , 8). 
 
Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 = 
87.835.000 
 
Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas on-
de a parte dos algarismos formem um número par. 
 
 PRINCÍPIO DA ADIÇÃO 
Suponhamos um procedimento executado em k fases. A 
fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
36
maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser 
executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é 
possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em 
conjunto. Logo, todo o procedimento tem n1 + n2 + ... + nk 
maneiras de ser realizado. 
 
Exemplo 
Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a 
cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 
possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, 
existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis. 
 
 PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
Suponhamos um procedimento executado em k fases, 
concomitantes entre si. A fase 1 tem n1 maneiras de ser 
executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a 
fase k tem nk modos de ser executada. A fase 1 poderá ser 
seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são 
concomitantes. Logo, há n1 . n2 . ... . nk maneiras de 
executar o procedimento. 
 
Exemplo 
Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar 
até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade 
até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até 
a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 
3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes 
caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C. 
 
Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. 
Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco 
mais complexos de aplicação. 
 
Quantos números naturais pares de três algarismos 
distintos podemos formar? 
Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar 
o zero como primeiro algarismo do número. Como os 
números devem ser pares, existem apenas 5 formas de 
escrever o último algarismo (0, 2, 4, 6, 8). Contudo, se 
colocamos o zero como último algarismo do número, nossas 
escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, 
podemos pensar na construção desse número como um 
processo composto de 2 fases excludentes entre si. 
 
Fixando o zero como último algarismo do número, temos 
as seguintes possibilidades de escrever os demais 
algarismos: 
1º algarismo: 9 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
2º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), porém 
excluímos a escolha feita para o 1º algarismo; 
3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero). 
 
Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de 
três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. 
 
Sem fixar o zero, temos: 
3º algarismo: 4 possibilidades (2,4,6,8) 
1º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), 
excluindo a escolha feita para o último algarismo; 
2º algarismo: 8 possibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) , porém 
excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último 
algarismos. 
 
Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um 
número de três algarismos distintos sem zero no último 
algarismo. 
 
Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o 
número. 
 
Exercícios 
Princípio Fundamental da Contagem 
Professores: Jorge e Lauro 
1) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um quarto es-
curo há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 
camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que 
se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para 
que: 
a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas 
de cores diferentes. 
b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma 
cor. 
c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta 
de cada cor. 
2) (Enem/2004)No Nordeste brasileiro, é comum encontrar-
mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchi-
das com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um 
artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, 
verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando 
as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a 
figura. 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a 
casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas 
cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor 
nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contras-
te, então o número de variações que podem ser obtidas para 
a paisagem é 
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 
3) (UFES/2002) Num aparelho telefônico, as dez teclas nu-
meradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme 
indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de 
telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e termi-
nam pelo dígito zero, e, além disso, o 2o e o 3o dígitos são 
da primeira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da se-
gunda fileira, e o 6o e o 7o são da terceira fileira. 
 
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O valor de N é 
a) 27 b) 216 c) 512 d) 729 e) 1.331 
4) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros, positivos e 
ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos 
dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: 
a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384 
5)(UFAL/200) Quantos números pares de quatro algarismos 
distintos podem ser formados com os elementos do conjunto 
A={0,1,2,3,4}? 
a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 186)(UFPI/2000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos 
os números de cinco algarismos distintos formados pelos 
algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75389 é: 
a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56 
7)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos 
dos números formados NÃO são divisíveis por 5? 
a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840 
8)(ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos 
distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. 
Quantos destes números são ímpares e começam com um 
dígito par? 
a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 
9)(UNESP/2000) Um turista, em viagem de férias pela Euro-
pa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, 
havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até 
uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O 
número de percursos diferentes que o turista pode fazer para 
ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e 
trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: 
a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. 
10)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três 
algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 e 
7, se a repetição de algarismos é permitida? 
a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 
GABARITO: 
1) a)11 b)4 c)18 2)B 3)D 4)A 5)A 6)C 7)D 8)D 9)B 10)B 
 
TESTE DE HABILIDADE NUMÉRICA 
 
1. Escreva o número que falta. 
18 20 24 32 ? 
 
2. Escreva o número que falta. 
 
 
 
 
3. Escreva o número que falta. 
212 179 146 113 ? 
 
4. Escreva o número que falta. 
 
 
 
 
5. Escreva o número que falta. 
6 8 10 11 14 14
 ? 
 
6. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 
17 (112) 39 
28 ( . . . ) 49 
 
7 Escreva o número que falta. 
7 13 24 45 ? 
 
8. Escreva o número que falta. 
3 9 3 
5 7 1 
7 1 ? 
 
9. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 
234 (333) 567 
345 (. . .) 678 
 
10 Escreva o número que falta. 
 
 
 
11- Escreva o número que falta. 
4 5 7 11 19 ? 
 
12. Escreva o número que falta. 
6 7 9 13 21 ? 
 
13. Escreva o número que falta. 
4 8 6 
6 2 4 
8 6 ? 
 
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14. Escreva o número que falta. 
64 48 40 36 34 ? 
 
15 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 
718 (26) 582 
474 (. . .) 226 
 
16. Escreva o número que falta. 
 
 
 
17 Escreva o número que falta. 
15 13 12 11 9 9
 ? 
 
18. Escreva o número que falta. 
9 4 1 
6 6 2 
1 9 ? 
 
19 Escreva o número que falta. 
11 12 14 ? 26 42 
 
20. Escreva o número que falta. 
8 5 2 
4 2 0 
9 6 ? 
 
21 Escreva o número que falta. 
 
 
 
22 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 
341 (250) 466 
282 (. . .) 398 
 
23 Escreva o número que falta. 
 
 
 
 
24 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 
12 (336) 14 
15 (. . .) 16 
 
25 Escreva o número que falta. 
4 7 6 
8 4 8 
6 5 ? 
 
RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE 
NUMËRICA 
 
1 48. (Some 2, 4, 8 e, finalmente 16). 
 
2 24. (No sentido contrário aos ponteiros do relógio, os 
números aumentam em 2, 3, 4, 5 e 6). 
 
3 80. (Subtraia 33 de cada número). 
 
4 5. (Os braços para cima se somam e os para baixo se 
subtraem, para obter o número da cabeça). 
 
5 18. (Existem duas séries alternadas, uma que aumen-
ta de 4 em 4 e a outra de 3 em 3). 
 
6 154. (Some os números de fora do parêntese e multi-
plique por 2). 
 
7 86. (Multiplique o número por dois e subtraia 1, 2, 3 e 
4). 
 
8 3. (Subtraia os números das duas primeiras colunas e 
divida por 2). 
 
9 333. (Subtraia o número da esquerda do número da 
direita para obter o número inserto no parêntese). 
 
10 5. (O número da cabeça é igual a semi--soma dos 
números dos pés). 
 
11 35. (A série aumenta em 1, 2, 4, 8 e 16 unidades su-
cessivamente). 
 
12 37. (Multiplique cada termo por 2 e subtraia 5 para 
obter o seguinte). 
 
13 7. (Os números da terceira coluna são a semi-soma 
dos números das outras duas colunas). 
 
14 33. (A série diminui em 16, 8, 4, 2 e 1 sucessivamen-
te). 
 
15 14. (Some os números de fora do parêntese e divida 
por 50 para obter o número inserto no mesmo). 
 
16 3. (No sentido dos ponteiros do relógio, multiplique por 
3). 
 
17 6. (Existem duas séries alternadas: uma diminui de 3 
em 3; a outra de 2 em 2). 
 
18 4. (Cada fileira soma 14). 
19 18. (Dobre cada termo e subtraia 10 para obter o se-
guinte). 
 
20 3. (Os números diminuem em saltos iguais, 3 na pri-
meira fileira, 2 na segunda e 3 na terceira). 
 
21 18. (Os números são o dobro de seus opostos diame-
tralmente). 
 
22 232. (Subtraia a parte esquerda da parte direita e mul-
tiplique o resultado por dois). 
 
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23 21. (Os números aumentam em intervalos de 2, 4, 6 e 
8). 
 
24 480. (O número inserto no parêntese é o dobro do 
produto dos números de fora do mesmo). 
25. 2. (A terceira coluna é o dobro da diferença entre a pri-
meira e a segunda). 
 
 
TESTE DE HABILIDADE VÍSUO-ESPACIAL 
 
1 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
2 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
3 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
4 Escolha, dentre as numeradas, a figura que corres-
ponde à incógnita. 
 
 
 
 
 
5 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
6 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
7 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
 
 
8 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
9 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
* Não ter relação no sentido de não conservar as 
mesmas relações com as demais, por questão de detalhe, 
posição etc. 
 
10 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
11 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
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40
 
 
 
12 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
13 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
14 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
15 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
16 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
17 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
18 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
19. Assinale a figura que não tem relação com as demais. 
 
 
 
 
20 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
21 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
22 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
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41
 
23 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
24 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
25 Assinale afigura que não tem relação com es de-
mais. 
 
 
 
26 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
 
27 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
28 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
 
29 Assinale a figura que não tem relação com as de-
mais. 
 
 
30 Escolha, dentre as figuras numeradas, a que corres-
ponde à incógnita. 
 
 
 
RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE VÍSUO - ES-
PACIAL 
 
1 4. (Todas as outras figuras podem inverterem-se sem 
qualquer diferença). 
 
2 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
3 4 . (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
4 1. (A figura principal gira 180° e o círculo pequeno passa 
para o outro lado). 
 
5 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
6. 4. (A figura gira 90° cada vez, em sentido contrario aos 
ponteiros do relógio, exceto a 4 que gira no sentido dos 
mencionados ponteiros). 
 
7 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
8 4. (A figura gira 90° cada vez em sentido contrario aos 
ponteiros do relógio, exceto o 4 que gira no mesmo senti-
do dos mencionados ponteiros).ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
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9 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem no plano do papel). 
 
10 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
11 3. (As outras três figuras são esquemas de urna mão 
esquerda; a de n.° 3 é o esquema de urna mão direita). 
 
12 3. (A figura gira 45° cada vez em sentido contrario aos 
ponteiros do relógio, porém o sombreado preto avança 
urna posição a mais, exceto em 3, que é, portanto, a figu-
ra que não corresponde as demais). 
 
13 5. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
14 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
15 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
16 5. (O conjunto completo de 4 círculos gira num ângulo de 
90° cada vez. Em 5 os círculos com + e o com x trocaram 
suas posições. Em todas as demais figuras o + está na 
mesma fileira que o círculo preto). 
 
17 6. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
18 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
19 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
20 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
21 5. (1 e 3, e 2 e 4 são duplas que podem se sobreporem 
girando 45°. A figura 5 não pode sobrepor-se porque a 
cruz e o circulo interiores ficariam em posição dife-
rente). 
 
22 4. (Os setores preto, branco ou hachur giram em sentido 
contrario aos ponteiros do relógio; na figura 4 os setores 
branco e hachur estão em posição diferente). 
 
23 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
24 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
25 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
26 3. (1 e 4 formam urna dupla e o mesmo ocorre com 2 e 5. 
Em cada dupla os retângulos preto e hachur alternam 
sua posição; a figura 3 tem o sombreado em posição dife-
rente). 
 
27 5. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
28 6. (As outras figuras podem girar até se sobreporem). 
 
29 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-
rem). 
 
30. (A figura principal gira no sentido dos ponteiros do relógio; 
a seta, no sentido contrario). 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
Os testes acima foram extraídos da coleção “FAÇA SEU 
TESTE”, da EDITORA MESTRE JOU – SÃO PAULO – SP. 
 
GEOMETRIA 
Áreas 
Procedimentos para o cálculo das medidas de uma super-
fície plana. Método para calcular a área do quadrado, do 
losango, do paralelogramo, do triângulo, do retângulo, do 
polígono e do círculo geométrico. 
Geometria Plana (formulário) - Fórmula para o cálculo 
da área das figuras geométricas. Triângulo, trapézio, parale-
logramo, retângulo, losango, quadrado, círculo e polígono 
regular. 
Ângulos 
 
 
Lê-se: ângulo 
AOB e 
são lados 
do ângulo. O 
ponto O é o seu 
vértice. 
Bissetriz de um ângulo 
 
È a semi-reta de origem no 
vértice de um ângulo e que o 
divide em dois ângulos congru-
entes. 
Alguns ângulos notáveis 
 
 
 
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43
Ângulos de duas paralelas cortadas por uma trans-
versal 
 
Nomenclatura Propriedades 
Correspondentes | a e e; b e f; c e g; d e h| Congruentes 
Colaterais internos | e e f; d e e| Suplementares 
Colaterais externos | a e h; d e g| Suplementares 
Alternos externos | a e g; b e h| Congruentes 
Alternos internos | c e e; d e f| Congruentes 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Arco: qualquer uma das duas partes em que uma circun-
ferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos . 
Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer 
de uma circunferência. 
Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma 
circunferência. 
Ângulo central 
Um ângulo é central em relação a uma circunferên-
cia se o seu vértice coincide com o centro da mesma. 
- Quando um arco é interceptado por um ângulo central, 
ele é chamado de arco correspondente ao ângulo. 
 
Ângulo inscrito 
É inscrito numa circun-
ferência somente se o seu 
vértice é um ponto da cir-
cunferência e cada um de 
seus lados contém uma 
corda dessa circunferência. 
 
Obs: A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da 
medida do arco correspondente ele. 
ÁREAS DE QUADRILÁTEROS E TRIÂNGULOS 
Retângulo 
S = a . b 
 
Quadrado 
S = a² 
 
Paralelogramo 
S = a . h 
 
Losango 
 
 
Trapézio 
 
 
Triângulo 
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44
 
Se conhecermos as medidas a e b de dois lados de um 
triângulo e a sua medida �, podemos calcular sua área: 
 
 
Podemos também calcular a área de um triângulo utili-
zando o semi-perímetro: 
 
 
 
Classificação dos polígonos 
Vamos ressaltar a definição de polígono: 
Polígono é uma região plana de uma linha poligonal 
fechada com o conjunto de seus pontos interiores. 
Essas linhas são chamadas de lados e a união delas 
é chamada de vértice e a união dos vértices é chamada de 
diagonal. O único polígono que não possui diagonal é o triân-
gulo. 
Dependendo do número de lados de um polígono 
ele receberá uma nomenclatura diferente, ( o 
menor número de lados para que seja formado 
um polígono são três lados) veja abaixo: 
3 lados triangulo ou trilátero 
4 lados quadrângulo ou quadrilátero 
5 lados pentágono ou pentalátero 
6 lados hexagonal ou hexalátero 
7 lados heptágono ou heptalátero 
8 lados octógono ou octolátero 
9 lados eneágono ou enealátero 
10 lados decágono ou decalátero 
11 lados undecágono ou undecalátero 
12 lados dodecágono ou dodecalátero 
15 lados pentadecágono ou pentadecalátero 
20 lados icoságono ou icosalátero 
 
Além de classificar um polígono pelo seu número de la-
dos, podemos também classificá-lo conforme a congruência 
de seus lados e ângulos internos. 
Quando o polígono tem todos os lados e ângulos in-
ternos congruentes eles recebem o nome de polígonos regu-
lares. 
Quando o polígono não tem nem lados e nem ângulos 
congruentes recebe o nome de irregulares. 
Para que um polígono seja regular ele tem que assumir 
ser: eqüilátero, ter todos os lados congruentes e ser ao mes-
mo tempo eqüiângulo, ter os ângulos congruentes. 
Na construção de um polígono é preciso utilizar um trans-
feridor para medir os ângulos corretamente e uma régua para 
medir os lados corretamente. 
POLÍGONOS 
É convexo somente se, quaisquer que sejam os pontos x 
e y do seu interior, o segmento de reta xy está inteiramente 
contido em seu interior. 
Polígono convexo Polígono côncavo 
 
 
Soma dos ângulos internos de um polígono 
- A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados 
é: 
 
Um ponto I qualquer no inte-
rior do polígono unindo esse 
ponto a cada vértice, o polígono 
fica decomposto em n triângu-
los, 
 
Soma dos ângulos externos de um polígono 
Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas 
dos ângulos externos é constante e igual a 360º. 
 
i1, i2, i3, i4, ... in 
são as medidas 
dos ângulos internos de um 
polígono de n lados. 
 
 
Polígono regular 
Um polígono regular 
somente se, todos os seus 
lados são congruentes e se 
todos os seus ângulos 
internos são congruentes. 
 
QUADRILÁTEROS 
Teorema 
A soma das medidas dos quatro ângulos internos de um 
quadrilátero qualquer é igual a 360º. 
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45
Trapézio 
É todo quadrilá-
tero que possui somente 
um par, de lados opostos 
paralelos. 
CD e AB 
 
��
�
�
�
istransversa lados os são BD e AC
trapézio do bases as são CD e AB
 
Classificação dos Trapézios 
 
Trapézio escaleno 
Os lados transversos 
têm medidas diferentes 
BCAD ≠ 
 
 
Trapézio isósceles 
Os lados transversos 
têm medidas iguais. 
BCAD = 
 
 
Trapézio retângulo 
Um dos lados transver-
sos é perpendicular as 
bases. 
 
 
Paralelogramos 
É todo quadrilátero que possui os lados opostos respecti-
vamente paralelos. 
 
 
Paralelogramos Notáveis 
 
RETÂNGULO 
 
É todo paralelogramo 
que possui seuângulos 
retos. 
 
 
 
LOSANGO 
 
É todo paralelogramo 
que possui quatro lados 
congruentes. 
 
 
 
QUADRADO 
 
É todo paralelogramo que é 
retângulo e losango simultâ-
neamente, ou seja, seu ângulos 
são retos e seu lados são con-
gruentes. 
 
 
 
Congruência de triângulos 
Dois ou mais triângulos são congruentes somente se os 
seus lados e ângulos forem ordenados congruentes. 
 
O emprego da congruência de triângulos em demonstra-
ção 
Com o auxilio da congruência de triângulos é que se de-
monstra grande parte dos teoremas fundamentais da geome-
tria. 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes somente se, existe uma 
correspondência biunívoca que associa os três vértices de 
um dos triângulos aos três vértices do outro, de forma que: 
I) lados opostos a vértices correspondentes são propor-
cionais. 
II) Ângulos com vértices correspondentes são congruen-
tes. 
 
Casos de semelhança de triângulos 
Critérios utilizados para que haja semelhança de triângu-
los 
1) Caso AA (ângulo, ângulo)Dois triângulos são semelhantes 
somente se, têm dois ângulos respectivamente congruen-
tes. 
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2) Caso LAL (lado, ângulo, lado)Dois triângulos são seme-
lhantes somente se, têm dois lados, respectivamente, 
proporcionais; e são congruentes os ângulos formados 
por esses lados. 
 
3) Caso LLL (lado, lado, lado) Dois triângulos são 
semelhantes somente se, têm os três lados, 
respectivamente, proporcionais. 
 
 
 
Relações Métricas no triângulo Retângulo 
Caso ABC seja um triângulo retângulo em A, traçando-se 
a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguin-
tes elementos. 
Relações Métricas 
Triângulo Retângulo 
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicamos por: 
A a medida da hipotenusa BC 
B a medida do cateto AC 
C a medida do cateto AB 
H a medida de AH, altura relativa a BC 
M a medida de HC, projeção ortogonal de AC sobre BC 
N a medida de BH, projeção ortogonal de AB sobre BC. 
 
 
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa, ou seja, 
b² + c² = a² (teorema de Pitágoras). 
O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da 
medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogo-
nal desse cateto sobre a hipotenusa, ou seja, 
b² = a . m 
c² = a . n 
O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da 
hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa, ou seja, 
b . c = a . h . 
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto 
dos segmentos que ela determina na hipotenusa, ou se-
ja, 
h² = m . n 
Triângulo Equilátero 
Num triângulo eqüilátero ABC, cujo lado tem medida a: 
AH é altura, mediana e bissetriz relativa ao lado BC; 
sua medida h é dada por: 
 
 
O baricentro (ponto de intersecção das medianas), o orto-
centro (ponto de intersecção das retas suportes das alturas), 
o incentro (ponto de intersecção das bissetrizes internas) e o 
circuncentro(ponto de intersecção das mediatrizes dos lados) 
coincidem. 
O baricentro divide cada mediana em duas partes tais que 
a que contém o vértice é o dobro da outra. 
Quadrado 
Num quadrado, cujo lado tem medida a, a medida d de 
uma diagonal é dada por: 
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d = a �2 
 
Teorema de Tales 
Se um feixe de paralelas determina segmentos congru-
entes sobre uma transversal, então esse feixe determina 
segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. 
��
- Um feixe de paralelas separa, sobre duas transversais 
quaisquer, segmentos de uma proporcionais aos segmentos 
correspondentes na outra. 
�
�
�
��
�
 
Fonte: http://www.brasilescola.com 
 
ÁLGEBRA - EQUAÇÕES 
EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS 
 
IGUALDADES E PROPRIEDADES 
São expressões constituídas por números e letras, 
unidos por sinais de operações. 
 
Exemplo: 3a2; –2axy + 4x2; xyz; 
3
x + 2 , é o mesmo 
que 3.a2; –2.a.x.y + 4.x2; x.y.z; x : 3 + 2, as letras a, x, y 
e z representam um número qualquer. 
 
Chama-se valor numérico de uma expressão algé-
brica quando substituímos as letras pelos respectivos 
valores dados: 
 
Exemplo: 3x2 + 2y para x = –1 e y = 2, substituindo 
os respectivos valores temos, 3.(–1)2 + 2.2 → 3 . 1+ 4 
→ 3 + 4 = 7 é o valor numérico da expressão. 
 
Exercícios 
Calcular os valores numéricos das expressões: 
1) 3x – 3y para x = 1 e y =3 
2) x + 2a para x =–2 e a = 0 
3) 5x2 – 2y + a para x =1, y =2 e a =3 
Respostas: 1) –6 2) –2 3) 4 
 
Termo algébrico ou monômio: é qualquer número 
real, ou produto de números, ou ainda uma expressão 
na qual figuram multiplicações de fatores numéricos e 
literais. 
Exemplo: 5x4 , –2y, x3 , –4a , 3 , – x 
 
Partes do termo algébrico ou monômio. 
 
Exemplo: 
 sinal (–) 
–3x5ybz 3 coeficiente numérico ou parte numérica 
 x5ybz parte literal 
 
Obs.: 
1) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas co-
mo variáveis (valor variável) 
2) quando o termo algébrico não vier expresso o co-
eficiente ou parte numérica fica subentendido que 
este coeficiente é igual a 1. 
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48
 
Exemplo: 1) a3bx4 = 1.a3bx4 2) –abc = –1.a.b.c 
Termos semelhantes: Dois ou mais termos são se-
melhantes se possuem as mesmas letras elevadas aos 
mesmos expoentes e sujeitas às mesmas operações. 
 
Exemplos: 
1) a3bx, –4a3bx e 2a3bx são termos semelhantes. 
2) –x3 y, +3x3 y e 8x3 y são termos semelhantes. 
 
Grau de um monômio ou termo algébrico: E a so-
ma dos expoentes da parte literal. 
 
Exemplos: 
1) 2 x4 y3 z = 2.x4.y3.z1 (somando os expoentes da 
parte literal temos, 4 + 3 + 1 = 8) grau 8. 
 
Expressão polinômio: É toda expressão literal 
constituída por uma soma algébrica de termos ou mo-
nômios. 
 
Exemplos: 1)2a2b – 5x 2)3x2 + 2b+ 1 
 
Polinômios na variável x são expressões polinomiais 
com uma só variável x, sem termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
5x2 + 2x – 3 denominada polinômio na variável x cuja 
forma geral é a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n, onde a0, 
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes. 
 
Grau de um polinômio não nulo, é o grau do monô-
mio de maior grau. 
 
Exemplo: 5a2x – 3a4x2y + 2xy 
 
Grau 2+1 = 3, grau 4+2+1= 7, grau 1+1= 2, 7 é o 
maior grau, logo o grau do polinômio é 7. 
 
Exercícios 
1) Dar os graus e os coeficientes dos monômios: 
a)–3x y2 z grau coefciente__________ 
b)–a7 x2 z2 grau coeficiente__________ 
c) xyz grau coeficiente__________ 
 
2) Dar o grau dos polinômios: 
a) 2x4y – 3xy2+ 2x grau __________ 
b) –2+xyz+2x5 y2 grau __________ 
 
Respostas: 
1) a) grau 4, coeficiente –3 
 b) grau 11, coeficiente –1 
 c) grau 3, coeficiente 1 
2) a) grau 5 b) grau 7 
 
CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS 
 
Adição e Subtração de monômios e expressões poli-
nômios: eliminam-se os sinais de associações, e redu-
zem os termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
3x2 + (2x – 1) – (–3a) + (x2 – 2x + 2) – (4a) 
3x2 + 2x – 1 + 3a + x2 – 2x + 2 – 4a = 
3x2 + 1.x2 + 2x – 2x + 3a – 4a – 1 + 2 = 
(3+1)x2 + (2–2)x + (3–4)a – 1+2 = 
4x2 + 0x – 1.a + 1 = 
4x2 – a + 1 
 
Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as 
mesmas usadas para expressões numéricas no conjunto 
Z. 
Exercícios. Efetuar as operações: 
1) 4x + (5a) + (a –3x) + ( x –3a) 
2) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 + 1 
 
Respostas: 1) 2x +3a 2) 9x2 – 3x + 3 
 
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se os 
coeficientes e após o produto dos coeficientes escre-
vem-se as letras em ordem alfabética, dando a cada 
letra o novo expoente igual à soma de todos os expoen-
tes dessa letra e repetem-se em forma de produto as 
letras que não são comuns aos dois monômios. 
 
Exemplos: 
1) 2x4 y3 z . 3xy2 z3 ab = 2.3 .x 4+1 . y 3+2. z 1+3.a.b = 
6abx5y5z4 
2) –3a2bx . 5ab= –3.5. a2+1.b1 +1. x = –15a3b2 x 
 
Exercícios: Efetuar as multiplicações. 
1) 2x2 yz . 4x3 y3 z = 
2) –5abx3 . 2a2 b2 x2 = 
 
Respostas: 1) 8x5 y4 z22) –10a3 b3 x5 
 
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU 
 
Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica 
que exprime uma relação de igualdade. 
 
Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica 
somente para determinado valor numérico atribuído à 
variável. Logo, equação é uma igualdade condicional. 
 
Exemplo: 5 + x = 11 
 ↓ ↓ 
 1 0.membro 20.membro 
 
onde x é a incógnita, variável ou oculta. 
 
Resolução de equações 
 
Para resolver uma equação (achar a raiz) seguire-
mos os princípios gerais que podem ser aplicados numa 
igualdade. 
Ao transportar um termo de um membro de uma i-
gualdade para outro, sua operação deverá ser invertida. 
Exemplo: 2x + 3 = 8 + x 
fica assim: 2x – x = 8 – 3 = 5 � x = 5 
 
Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o 
2.º membro com as operações invertidas. 
Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação, di-
zemos ainda que é o conjunto verdade (V). 
 
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49
Exercícios 
Resolva as equações : 
1) 3x + 7 = 19 2) 4x +20=0 
3) 7x – 26 = 3x – 6 
 
Respostas: 1) x = 4 ou V = {4} 
2) x = –5 ou V = {–5} 3) x = 5 ou V = {5} 
 
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 
OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Resolução por adição. 
Exemplo 1:
�
�
�
=−
=+
II- 1 y x 
I - 7 y x 
 
 
Soma-se membro a membro. 
 2x +0 =8 
 2x = 8 
 
2
8
x = 
 x = 4 
 
Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este va-
lor em qualquer uma das equações ( I ou II ), 
Substitui em I fica: 
4 + y = 7 � y = 7 – 4 � y = 3 
 
Se quisermos verificar se está correto, devemos 
substituir os valores encontrados x e y nas equações 
 x + y = 7 x – y = 1 
 4 +3 = 7 4 – 3 = 1 
 
Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)} 
Exemplo 2 : 
�
�
�
=+
=+
II- 8 y x 
I - 11 y 2x 
 
 
Note que temos apenas a operação +, portanto de-
vemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por –1, esco-
lhendo a II, temos: 
�
�
�
−=−
=+
→
�
�
�
=+
=+
 8 y x -
11 y 2x 
 1)- ( . 8 y x 
11 y 2x 
 
 
soma-se membro a membro 
3x
30x
8- y - x - 
11 y 2x 
=
=+
+
�
�
�
=
=+
 
 
Agora, substituindo x = 3 na equação II: x + y = 8, fica 
3 + y = 8, portanto y = 5 
Exemplo 3: 
�
�
�
ΙΙ=
Ι=+
 - 2 y -3x 
 - 18 2y 5x 
 
 
neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por 
2 (para “desaparecer” a variável y). 
�
�
�
=−
=+
�
�
�
�
=
=+
426
1825
 .(2) 2 y -3x 
 18 2y 5x 
yx
yx
 
soma-se membro a membro: 
5x + 2y = 18 
6x – 2y = 4 
11x+ 0=22 � 11x = 22 � x = 
11
22
 � x = 2 
Substituindo x = 2 na equação I: 
 5x + 2y = 18 
 5 . 2 + 2y = 18 
 10 + 2y = 18 
 2y = 18 – 10 
 2y = 8 
 y = 
2
8
 
 y =4 
então V = {(2,4)} 
 
Exercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear: 
1) 
�
�
�
=+
=−
16yx5
20yx7
 2) 
�
�
�
=−
=+
2y3x8
7yx5
 3) 
�
�
�
=−
=−
10y2x2
28y4x8
 
 
Respostas: 1) V = {(3,1)} 2) V = {(1,2)} 3) V {(–3,2 )} 
 
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU 
 
Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, 
na equação temos sinal de igualdade (=) nas inequa-
ções são sinais de desigualdade. 
> maior que, ≥ maior ou igual, < menor que , 
≤ menor ou igual 
 
Exemplo 1: Determine os números naturais de modo 
que 4 + 2x > 12. 
4 + 2x > 12 
2x > 12 – 4 
 2x > 8 � x > 
2
8
 � x > 4 
 
Exemplo 2: Determine os números inteiros de modo 
que 4 + 2x ≤ 5x + 13 
4+2x ≤ 5x + 13 
2x – 5x ≤ 13 – 4 
 –3x ≤ 9 . (–1) � 3x ≥ – 9, quando multiplicamos por 
(-1), invertemos o sinal dê desigualdade ≤ para ≥, fica: 
3x ≥ – 9, onde x ≥ 
3
9−
ou x ≥ – 3 
 
Exercícios. Resolva: 
1) x – 3 ≥ 1 – x, 
2) 2x + 1 ≤ 6 x –2 
3) 3 – x ≤ –1 + x 
Respostas: 1) x ≥ 2 2) x ≥ 3/4 3) x ≥ 2 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
1.º Caso: Quadrado da Soma 
(a + b)2 = (a+b). (a+b)= a2 + ab + ab + b2 
 ↓ ↓ 
 1.º 2.º � a2 + 2ab +b2 
 
Resumindo: “O quadrado da soma é igual ao qua-
drado do primeiro mais duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o 
quadrado do 2.º. 
 
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Exercícios. Resolver os produtos notáveis 
1)(a+2)2 2) (3+2a)2 3) (x2+3a)2 
 
Respostas: 1.º caso 
1) a2 + 4a + 4 2) 9 + 12a + 4a2 
3) x4 + 6x2a + 9a2 
 
2.º Caso : Quadrado da diferença 
(a – b)2 = (a – b). (a – b) = a2 – ab – ab - b2 
 ↓ ↓ 
1.º 2.º � a2 – 2ab + b2 
 
Resumindo: “O quadrado da diferença é igual ao 
quadrado do 1.º menos duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o 
quadrado do 2.º. 
 
Exercícios. Resolver os produtos notáveis: 
1) (a – 2)2 2) (4 – 3a)2 3) (y2 – 2b)2 
 
Respostas: 2.º caso 
1) a2 – 4a +4 2) 16 – 24a + 9a2 
3) y4 – 4y2b + 4b2 
 
3.º Caso: Produto da soma pela diferença 
(a – b) (a + b) = a2 – ab + ab +b2 = a2 – b2 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
1.º 2.º 1.º 2.º 
 
Resumindo: “O produto da soma pela diferença é 
igual ao quadrado do 1.º menos o quadrado do 2.º. 
 
Exercícios. Efetuar os produtos da soma pela dife-
rença: 
1) (a – 2) (a + 2) 2) (2a – 3) (2a + 3) 
3) (a2 – 1) (a2 + 1) 
 
Respostas: 3.º caso 
1) a2 – 4 2) 4a2 – 9 
3) a4 – 1 
 
FATORAÇÃO ALGÉBRICA 
 
1.º Caso: Fator Comum 
 
Exemplo 1: 
2a + 2b: fator comum é o coeficiente 2, fica: 
2 .(a+b). Note que se fizermos a distributiva voltamos 
no início (Fator comum e distributiva são “operações 
inversas”) 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) 5 a + 5 b 2) ab + ax 3) 4ac + 4ab 
 
Respostas: 1.º caso 
1) 5 .(a +b ) 2) a. (b + x) 
3) 4a. (c + b) 
 
Exemplo 2: 
3a2 + 6a: Fator comum dos coeficientes (3, 6) é 3, 
porque MDC (3, 6) = 3. 
 
O m.d.c. entre: “a e a2 é “a” (menor expoente), então 
o fator comum da expressão 3a2 + 6a é 3a. Dividindo 
3a2: 3a = a e 6 a : 3 a = 2, fica: 3a. (a + 2). 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) 4a2 + 2a 2) 3ax + 6a2y 3) 4a3 + 2a2 
 
Respostas: 1.º caso 1) 2a .(2a + 1) 
2) 3a .(x + 2ay) 3) 2a2 (2a + 1) 
 
2.º Caso: Trinômio quadrado perfeito (É a “ope-
ração inversa” dos produtos notáveis caso 1) 
 
Exemplo 1 
a2 + 2ab + b2 � extrair as raízes quadradas do ex-
tremo 2a + 2ab + 2b � 2a = a e 2b = b e o 
termo do meio é 2.a.b, então a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
(quadrado da soma). 
 
Exemplo 2: 
4a2 + 4a + 1 � extrair as raízes dos extremos 
2a4 + 4a + 1 � 2a4 = 2a , 1 = 1 e o termo cen-
tral é 2.2a.1 = 4a, então 4a2 + 4a + 1 = (2a + 1)2 
 
Exercícios 
Fatorar os trinômios (soma) 
1) x2 + 2xy + y2 2) 9a2 + 6a + 1 
3) 16 + 8a + a2 
 
Respostas: 2.º caso 1) (x + y)2 
2) (3a + 1)2 3) (4 + a)2 
 
Fazendo com trinômio (quadrado da diferença) 
x2 – 2xy + y2, extrair as raízes dos extremos 
2x = x e 2y = y, o termo central é –2.x.y, então: 
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 
 
Exemplo 3: 
16 – 8a + a2, extrair as raízes dos extremos 
16 = 4 e 2a = a, termo central –2.4.a = –8a, 
 então: 16 – 8a + a2 = (4 – a)2 
 
Exercícios 
Fatorar: 
1) x2 – 2xy + y2 2) 4 – 4a + a2 3) 4a2 – 8a + 4 
 
Respostas: 2.º caso 1) (x – y)2 
2) (2 – a)2 3) (2a – 2)2 
 
3.º Caso: (Diferença de dois quadrados) (note que 
é um binômio) 
 
Exemplo 1 
a2 – b2, extrair as raízes dos extremos 2a = a e 
2b = b, então fica: a2 – b2 = (a + b) . (a – b) 
 
Exemplo 2: 
4 – a2 , extrair as raízes dos extremos 4 = 2, 2a 
= a, fica: (4 – a2) = (2 – a). (2+ a) 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) x2 – y2 2) 9 – b2 3) 16x2 – 1 
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51
 
Respostas: 3.º caso 1) (x + y) (x – y) 
2) (3 + b) (3 – b) 3) (4x + 1) (4x – 1) 
 
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 
 
São Equações cujas variáveis estão no denominador 
Ex: 
x
4
 = 2, 
x
1
 + 
x2
3
 = 8, note que nos dois exem-
plos x ≠ 0, pois o denominador deverá ser sempre dife-
rente de zero. 
 
Para resolver uma equação fracionária, devemos a-
char o m.m.c. dos denominadorese multiplicamos os 
dois membros por este m.m.c. e simplificamos, temos 
então uma equação do 1.º grau. 
Ex: 
x
1
 + 3 = 
2
7
, x ≠ 0, m.m.c. = 2x 
2x . 
x
1
+3 = 
2
7
 . 2x 
 
x
x2
+ 6x = 
2
x14
 , simplificando 
 
 2 + 6x = 7x � equação do 1.º grau. 
 
Resolvendo temos: 2 = 7x – 6x 
2 = x ou x = 2 ou V = { 2 } 
 
Exercícios 
Resolver as equações fracionárias: 
1) 0 x
x2
3
2
1
x
3
≠=+ 
2) 0 x
x2
5
1
x
1
≠=+ 
Respostas: Equações: 1) V = {–3} 2) V = {
2
3 } 
 
RADICAIS 
 
416,39,11,24 ==== , etc., são raízes exa-
tas são números inteiros, portanto são racionais: 2 = 
1,41421356..., 3 = 1,73205807..., 5 = 
2,2360679775..., etc. não são raízes exatas, não são 
números inteiros. São números irracionais. Do mesmo 
modo 3 1 = 1, 283 = , 3273 = , 4643 = ,etc., são 
racionais, já 3 9 = 2,080083823052.., 3 20 = 
2,714417616595... são irracionais. 
 
Nomes: ban = : n = índice; a = radicando = sinal 
da raiz e b = raiz. Dois radicais são semelhantes se o 
índice e o radicando forem iguais. 
 
Exemplos: 
1) 2- ,23 ,2 são semelhantes observe o n = 2 
“raiz quadrada” pode omitir o índice, ou seja, 552 = 
2) 333 72 ,7 ,75 são semelhantes 
 
Operações: Adição e Subtração 
Só podemos adicionar e subtrair radicais semelhan-
tes. 
 
Exemplos: 
1) ( ) 262523252223 =+−=+− 
2) ( ) 33333 696735676365 =+−=+− 
 
Multiplicação e Divisão de Radicais 
Só podemos multiplicar radicais com mesmo índice e 
usamos a propriedade: nnn abba =⋅ 
 
Exemplos 
1) 242 . 222 ===⋅ 
2) 124 . 343 ==⋅ 
3) 3279 . 393 3333 ===⋅ 
4) 3333 204 . 545 ==⋅ 
5) 906 . 5 . 3653 ==⋅⋅ 
 
Exercícios 
 
Efetuar as multiplicações 
1) 83 ⋅ 2) 55 ⋅ 3) 333 546 ⋅⋅ 
Respostas: 1) 24 2) 5 3) 3 120 
 
Para a divisão de radicais usamos a propriedade 
também com índices iguais b:ab:a
b
a
== 
 
Exemplos: 
 
1) 392:182:18
2
18
==== 
2) 210:2010:20
10
20
=== 
3) 3333
3
3
35:155:15
5
15
=== 
 
Exercícios. Efetuar as divisões 
1) 
3
6
 2) 
3
3
2
16
 3) 
6
24
 
Respostas: 1) 2 2) 2 3) 2 
 
Simplificação de Radicais 
 
Podemos simplificar radicais, extraindo parte de raí-
zes exatas usando a propriedade n na simplificar índice 
com expoente do radicando. 
Exemplos: 
1)Simplificar 12 
decompor 12 em fatores primos: 
12 2 
6 2 32323212 2 22 =⋅=⋅= 
3 3 
 1 
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52
2) Simplificar 32 , decompondo 32 fica: 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
2422222222232 2 22 222 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 
 
3) Simplificar 3 128 , decompondo fica: 
128 2 
64 2 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
1 
fica 
3333 33 33 333 24222222222128 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
 
Exercícios 
Simplificar os radicais: 
1) 20 2) 50 3) 3 40 
Respostas: 1) 52 2) 25 3) 2. 3 5 
 
Racionalização de Radiciação 
Em uma fração quando o denominador for um radical 
devemos racionalizá-lo. Exemplo:
3
2
 devemos multipli-
car o numerador e o denominador pelo mesmo radical 
do denominador. 
3
32
9
32
33
32
3
3
3
2
==
⋅
=⋅ 
3
2
 e 
3
32
são frações equivalentes. Dizemos que 
3 é o fator racionalizante. 
 
Exercícios 
Racionalizar: 
1) 
5
1
 2) 
2
2
 3) 
2
3
 
Respostas: 1) 
5
5
 2) 2 3) 
2
6
 
Outros exemplos: 
3 2
2
 devemos fazer: 
3
3
3 3
3
3 21
3 2
3 2
3 2
3 1
4
2
42
2
42
22
22
2
2
2
2
===
⋅
⋅
=⋅ 
 
Exercícios. 
Racionalizar: 
1) 
3 4
1
 2) 
3 22
3
 3) 
3
3
3
2
 
Respostas: 1) 
4
163
 2) 
2
233
 3) 
3
183
 
 
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU 
 
Definição: Denomina-se equação de 2.º grau com 
variável toda equação de forma: 
ax2 + bx + c = 0 
onde : x é variável e a,b, c ∈ R, com a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
3x2 - 6x + 8 = 0 
2x2 + 8x + 1 = 0 
x2 + 0x – 16 = 0 y2 - y + 9 = 0 
- 3y2 - 9y+0 = 0 5x2 + 7x - 9 = 0 
 
COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU 
Os números a, b, c são chamados de coeficientes da 
equação do 2.º grau, sendo que: 
• a representa sempre o coeficiente do termo x2. 
• b representa sempre o coeficiente do termo x. 
• c é chamado de termo independente ou termo 
constante. 
 
Exemplos: 
a)3x2 + 4x + 1= 0 b) y2 + 0y + 3 = 0 
a =3,b = 4,c = 1 a = 1,b = 0, c = 3 
c) – 2x2 –3x +1 = 0 d) 7y2 + 3y + 0 = 0 
a = –2, b = –3, c = 1 a = 7, b = 3, c = 0 
 
Exercícios 
Destaque os coeficientes: 
1)3y2 + 5y + 0 = 0 2)2x2 – 2x + 1 = 0 
3)5y2 –2y + 3 = 0 4) 6x2 + 0x +3 = 0 
 
Respostas: 
1) a =3, b = 5 e c = 0 
2)a = 2, b = –2 e c = 1 
3) a = 5, b = –2 e c =3 
4) a = 6, b = 0 e c =3 
 
EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS 
Temos uma equação completa quando os 
coeficientes a , b e c são diferentes de zero. 
Exemplos: 
 
3x2 – 2x – 1= 0 
y2 – 2y – 3 = 0 São equações completas. 
y2 + 2y + 5 = 0 
 
Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0, 
costuma-se escrever a equação sem termos de coefici-
ente nulo. 
 
Exemplos: 
x2 – 16 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x) 
x2 + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo inde-
pendente ou termo constante) 
x2 = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos 
o termo x e termo independente) 
 
FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU 
ax 2 + bx + c = 0 
 
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53
EXERCÍCIOS 
Escreva as equações na forma normal: 
1) 7x2 + 9x = 3x2 – 1 2) 5x2 – 2x = 2x2 + 2 
Respostas: 1) 4x2 + 9x + 1= 0 2) 3x2 – 2x –2 = 0 
 
Resolução de Equações Completas 
Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar a 
fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara. 
A expressão b2 - 4ac, chamado discriminante de 
equação, é representada pela letra grega ∆ (lê-se deita). 
 
∆ = b2 - 4ac logo se ∆ > 0 podemos escrever: 
 
a2
bx ∆±−= 
 
RESUMO 
NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU 
COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS: 
a2
c a 42bbx −±−= 
ou ∆ = b2 - 4ac 
 
a2
bx ∆±−= 
 
Exemplos: 
a) 2x2 + 7x + 3 = 0 a = 2, b =7, c = 3 
a2
c a 42bb
x
−±−
= � 
( ) ( )
2 2
3 2 4277
x
⋅
⋅⋅−±+−
= 
( )
4
24497
x
−±+−
= �
( )
4
257
x
±+−
= 
( )
4
57
x
±+−
= �
2
-1
 
4
-2
 
4
57
 ' x ==
+−
= 
3- 
4
-12
 
4
57
 " x ==
−−
= 
�
�
�
�
�
�−
= 3- ,
2
1
S 
 
ou 
b) 2x2 +7x + 3 = 0 a = 2, b = 7, c = 3 
∆ = b2 – 4.a. c 
∆ =72 – 4 . 2 . 3 
∆ = 49 – 24 
∆ = 25 
( )
4
257
x
±+−
= �
( )
4
57
x
±+−
= 
� ‘
2
-1
 
4
-2
 
4
57
 ' x ==
+−
= e 
 3- 
4
-12
 
4
57
 " x ==
−−
= 
�
�
�
�
�
�−
= 3- ,
2
1
S 
 
Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA 
DA FORMULA. 
 
EXERCÍCIOS 
Resolva as equações do 2.º grau completa: 
1) x2 – 9x +20 = 0 
2) 2x2 + x – 3 = 0 
3) 2x2 – 7x – 15 = 0 
4) x2 +3x + 2 = 0 
5) x2 – 4x +4 = 0 
Respostas 
1) V = { 4 , 5) 
2) V = { 1, 
2
3−
} 
3) V = { 5 , 
2
3−
} 
4) V = { –1 , –2 } 
5) V = {2} 
 
EQUAÇÃO DO 2.º GRAU INCOMPLETA 
Estudaremos a resolução das equações incompletas 
do 2.º grau no conjunto R. Equação da forma: ax2 + bx = 
0 onde c = 0 
 
Exemplo: 
2x2 – 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência 
(menor expoente) 
 
x . (2x – 7) = 0 x = 0 
 
ou 2x – 7 = 0 � x = 
2
7
 
Os números reais 0 e 
2
7
 são as raízes da equação 
S = { 0 ; 
2
7
 ) 
Equação da forma: ax2 + c = 0, onde b = 0 
 
Exemplos 
a) x2 – 81 = 0 
x2 = 81→transportando-se o termo independente 
para o 2.º termo. 
x = 81± →pela relação fundamental. 
x = ± 9 S = { 9; – 9 } 
 
b) x2 +25 = 0 
x2 = –25 
x = ± 25− , 25− não representa número real, 
isto é 25− ∉ R 
a equação dada não tem raízes em IR. 
 S = φ ou S = { } 
 
c) 9x2 – 81= 0 
 9x2 = 81 
 x2 = 
9
81
 
 x2 = 9 
 x = 9± 
 x = ± 3 
S = { ±3} 
 
Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0 
A equação incompleta ax = 0 admite uma única 
solução x = 0. Exemplo: 
 3x2 = 0 
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54
 x2 = 
3
0
 
 x2 = 0x2 = + 0 
S = { 0 } 
Exercícios Respostas: 
1) 4x2 – 16 = 0 1) V = { –2, + 2} 
2) 5x2 – 125 = 0 2) V = { –5, +5} 
3) 3x2 + 75x = 0 3) V = { 0, –25} 
 
Relações entre coeficiente e raízes 
 
Seja a equação ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), sejam x’ e x” 
as raízes dessa equação existem x’ e x” reais dos 
coeficientes a, b, c. 
a2
b
' x
∆+−
= e 
a2
b
" x
∆−−
= 
 
RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES 
a2
b
a2
b
" x ' x
∆−−
+
∆+−
=+ �
 
a2
bb
" x ' x
∆−−∆+−
=+ 
a
b
" x ' x
a2
b2
" x ' x −=+�
−
=+ 
 
Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x’+ x” = 
-b/a 
Relação da soma:
a
b
" x ' x −=+ 
 
RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES 
a2
b
 
a2
b
" x ' x
∆−−
⋅
∆+−
=⋅ � 
( ) ( )
2a4
b b
" x ' x
∆−−⋅∆+−
=⋅ 
( )
ca42b
2a4
2
 2b
" x ' x ⋅⋅−=∆�
∆−	
�
�
�−
=⋅ � 
�
	
�
�
� −−
=⋅ 
2a4
ac42b 2b
" x ' x 
�
+−
=⋅ 
2a4
ac4b 2b
" x ' x
2
 
a
c
 " x ' x 
2a4
ac4
" x ' x =⋅�=⋅ 
 
Daí o produto das raízes é igual a 
a
c
 ou seja: 
a
c
 " x ' x =⋅ ( Relação de produto) 
 
Sua Representação: 
• Representamos a Soma por S 
a
b
 " x ' x S −=+= 
• Representamos o Produto pôr P 
a
c
 " x ' x P =⋅= 
Exemplos: 
1) 9x2 – 72x +45 = 0 a = 9, b = –72, c = 45. 
( )
8
9
72
 
9
-72
- 
a
b
" x ' x S ===−=+= 
5
9
45
 
a
c
 " x ' x P ===⋅= 
 
2) 3x2 +21x – 24= 0 a = 3, b = 21,c = –24 
( )
7
3
21-
 
3
21
- 
a
b
" x ' x S −===−=+= 
( )
8
3
24
3
24-
 
a
c
 " x ' x P −=
−
=
+
==⋅= 
a = 4, 
 
3) 4x2 – 16 = 0 b = 0, (equação incompleta) 
 c = –16 
0
4
0
 
a
b
" ' ==−=+= xxS 
( )
4
4
16
4
16-
 
a
c
 " x ' x P −=
−
=
+
==⋅= 
a = a+1 
4) ( a+1) x2 – ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0 b = – (a+ 1) 
 c = 2a+2 
( )[ ]
1
1a
1a
1a
1a-
- 
a
b
" x ' x S =
+
+
=
+
+
=−=+= 
( )
2
1a
1a2
1a
2a2
 
a
c
 " x ' x P =
+
+
=
+
+
==⋅= 
 
Se a = 1 essas relações podem ser escritas: 
1
b
" x ' x −=+ b" x ' x −=+ 
1
c
 " x ' x =⋅ c " x ' x =⋅ 
 
Exemplo: 
x2 –7x+2 = 0 a = 1, b =–7, c = 2 
( )
7 
1
7-
- 
a
b
" x ' x S ==−=+= 
2
1
2
 
a
c
 " x ' x P ===⋅= 
EXERCÍCIOS 
Calcule a Soma e Produto 
1) 2x2 – 12x + 6 = 0 
2) x2 – (a + b)x + ab = 0 
3) ax2 + 3ax–- 1 = 0 
4) x2 + 3x – 2 = 0 
 
Respostas: 
1) S = 6 e P = 3 
2) S = (a + b) e P = ab 
3) S = –3 e P = 
a
1−
 
4) S = –3 e P = –2 
 
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55
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES 
Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é x2 
+ bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes 
temos: 
x’ + x”= –b b = – ( x’ + x”) 
x’ . x” = c c = x’ . x” 
 
Daí temos: x2 + bx + c = 0 
 
REPRESENTAÇÃO 
Representando a soma x’ + x” = S 
Representando o produto x’ . x” = P 
E TEMOS A EQUAÇÃO: x2 – Sx + P = 0 
 
Exemplos: 
a) raízes 3 e – 4 
S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = –1 
P = x’ .x” = 3 . (–4) = –12 
x – Sx + P = 0 
x2 + x – 12 = 0 
 
b) 0,2 e 0,3 
S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5 
P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06 
x2 – Sx + P = 0 
x2 – 0,5x + 0,06 = 0 
 
c) 
2
5
 e 
4
3
 
S = x’+ x” =
2
5
 + 
4
3
= 
4
13
4
310
=
+
 
P = x . x = 
2
5
 . 
4
3
= 
8
15
 
x2 – Sx + P = 0 
x2 – 
4
13
x + 
8
15
 = 0 
 
d) 4 e – 4 
S = x’ +x” = 4 + (–4) = 4 – 4 = 0 
P = x’ . x” = 4 . (–4) = –16 
x2 – Sx + P = 0 
x2 –16 = 0 
 
Exercícios 
Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são: 
1) 3 e 2 2) 6 e –5 3) 2 e 
5
4−
 
4) 3 + 5 e 3 – 5 5) 6 e 0 
 
Respostas: 
1) x2 – 5x+6= 0 2) x2 – x – 30 = 0 
3)x2 – 
5
6x−
 – 
5
8
 = 0 
4) x2 – 6x + 4 = 0 5) x2 – 6x = 0 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por meio 
de uma equação ou de um sistema de equações do 2.º 
grau. 
 
Para resolver um problema do segundo grau deve-se 
seguir três etapas: 
• Estabelecer a equação ou sistema de equações cor-
respondente ao problema (traduzir matemati-
camente), o enunciado do problema para linguagem 
simbólica. 
• Resolver a equação ou sistema 
• Interpretar as raízes ou solução encontradas 
 
Exemplo: 
Qual é o número cuja soma de seu quadrado com 
seu dobro é igual a 15? 
número procurado : x 
equação: x2 + 2x = 15 
 
Resolução: 
x2 + 2x –15 = 0 
∆ =b2 – 4ac ∆ = (2)2 – 4 .1.(–15) ∆ = 4 + 60 
∆ = 64 
 
1 2
642
x
⋅
±−
= 
 2
82
x
±−
= 
3
2
6
 2
82
' x ==
+−
= 
5
2
10
 2
82
" x −=
−
=
−−
= 
 
Os números são 3 e – 5. 
 
Verificação: 
x2 + 2x –15 = 0 x2 + 2x –15 = 0 
(3)2 + 2 (3) – 15 = 0 (–5)2 + 2 (–5) – 15 = 0 
9 + 6 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0 
0 = 0 0 = 0 
 ( V ) ( V ) 
S = { 3 , –5 } 
 
RESOLVA OS PROBLEMAS DO 2.º GRAU: 
 
1) O quadrado de um número adicionado com o quá-
druplo do mesmo número é igual a 32. 
2) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo 
número é igual a 10. Determine esse número. 
3) O triplo do quadrado de um número mais o próprio 
número é igual a 30. Determine esse numero. 
4) A soma do quadrado de um número com seu quín-
tuplo é igual a 8 vezes esse número, determine-o. 
 
Respostas: 
1) 4 e – 8 2) – 5 e 2 
3) 
3
10− e 3 4) 0 e 3 
 
 
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56
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
Como resolver 
Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é im-
portante dominar as técnicas de resolução de sistema 
de 1º grau: método da adição e método da substitui-
ção. 
 
Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem 
idades cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a 
idade de cada irmão? 
 
Equacionando: 
 
 
 
 
Pela primeira equação, que vamos chamar de I: 
 
 
 
 
Substituindo na segunda: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
Usando a fórmula: 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em I: 
 
 
 
 
 
 
 
As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 
e 8 anos. Testando: 
a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10. 
Outro exemplo 
Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma 
dos quadrados seja 13. 
 
 
 
 
Da primeira, que vamos chamar de II: 
 
 
 
 
Aplicando na segunda: 
 
 
 
 
 
 
 
De Produtos notáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por 2: 
 
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57
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
Substituindo em II: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em II: 
 
 
 
 
Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3. 
�
��
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 
2º grau, lembrando de que suas representações gráfi-
cas constituem uma reta e uma parábola, respectiva-
mente. Resolver um sistema envolvendo equações 
desse modelo requer conhecimentos do método da 
substituição de termos. Observe as resoluções comen-
tadas a seguir: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equaç-
ão por 2) 
 
y² – 6y + 8 = 0 
 
� = b² – 4ac 
� = (–6)² – 4 * 1 * 8 
� = 36 – 32 
� = 4 
 
a = 1, b = –6 e c = 8 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores 
de y obtidos: 
 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
 
Par ordenado (2; 4) 
 
 
Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
 
Par ordenado (4; 2) 
 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
 
 
Exemplo 2 
 
Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + 2y² = 18 
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58
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação 
por 3) 
 
y² – 2y – 3 = 0 
 
� = b² – 4ac 
� = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
� = 4 + 12 
� = 16 
 
a = 1, b = –2 e c = –3 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores 
de y obtidos: 
 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
 
Par ordenado (0; 3) 
 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
x = –1–3 
x = –4 
 
Par ordenado (–4; –1) 
 
 
S = {(0; 3) e (–4; –1)} 
 
CALENDÁRIO 
Calendário é um sistema para contagem e agrupamento 
de dias que visa atender, principalmente, às necessidades 
civis e religiosas de uma cultura. A palavra deriva do 
latim calendarium ou livro de registro, que por sua vez 
derivou de calendae, que indicava o primeiro dia de um mês 
romano. As unidades principais de agrupamento são o mês e 
o ano.1 
A palavra calendário é usada também para descrever o 
aparato físico (geralmente de papel) para o uso do sistema 
(por exemplo,calendário de mesa), e também um conjunto 
particular de eventos planejados. 
Conceitos 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que 
corresponde ao período de tempo entre dois eventos 
equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo 
entre duas ocorrências do nascer do Sol, que corresponde, 
em média (dia solar médio), a 24 horas. 
O mês lunar corresponde ao período de tempo entre 
duas lunações, cujo valor aproximado é de 29,5 dias. 
O ano solar é o período de tempo decorrido para 
completar um ciclo de estações 
(primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem 
a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos 
e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido 
como ano trópico. A cada quatro anos, as horas extra 
acumuladas são reunidas no dia 29 de Fevereiro, formando 
o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 dias. 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares 
(calendários lunares) ou no ano solar (calendário solar) para 
contagem do tempo. 
Etimologia 
Antes de Júlio César criar, com a ajuda do 
astrônomo Sosígenes, o calendário dito juliano, os romanos 
tinham meses lunares, que começavam em cada lua nova. 
No primeiro dia da lua nova, chamado dia das 
calendas (“calendae”), um dos pontífices convocava o povo 
no Capitólio para informar as celebrações religiosas daquele 
mês. O pontífice mencionava um por um os dias que 
transcorreriam até as nonas, repetindo em voz alta a palavra 
“calo”, eu chamo.2 
A partir do calendário juliano, que não era lunar, as nonas 
foram o quinto dia nos meses de trinta dias e o sétimo nos 
meses de trinta e um. De “calendae”, os romanos criaram o 
adjetivo “calendarius”, relativo às calendas, e o substantivo 
“calendarium”, com o qual designavam o livro de contas 
diárias e, mais tarde, o registro de todos os dias do ano. 
Em nossa língua portuguesa, até o século XIII, a palavra 
calendas era empregada, no entanto, para denominar o 
primeiro dia de cada mês e calendário a lista dos dias do ano 
com suas correspondentes festividades religiosas. O 
calendário dos gregos não tinha calendas, e assim os 
romanos conceberam a expressão “Ad calendas graecas”, 
para as calendas gregas, para referir-se a algo que não iria 
ocorrer nunca. 
Classificações 
Calendários em uso na Terra são frequentemente os 
lunares, solares, luni-solares ou arbitrários. Um calendário 
lunar é sincronizado com o movimento da Lua; um exemplo 
disso é o calendário islâmico. Um calendário solar é 
sincronizado com o movimento do Sol; um exemplo é 
o calendário persa. Um calendário luni-solar é sincronizado 
com ambos os movimentos do Sol e da Lua; um exemplo é 
ocalendário hebraico. Um calendário arbitrário não é 
sincronizado nem com o Sol nem com a Lua. Um exemplo 
disso é o calendário juliano usado por astrônomos. Há alguns 
calendários que parecem ser sincronizados com o movimento 
de Vênus, como o calendário egípcio; a sincronização com 
Vênus parece ocorrer principalmente em civilizações 
próximas ao equador. 
Praticamente todos os sistemas de calendário utilizam 
uma unidade coloquialmente chamada de ano, que se 
aproxima do ano tropicalda Terra, ou seja, o tempo que leva 
um completo ciclo de estações, visando facilitar o 
planejamento de atividades agrícolas. Muitos calendários 
também usam uma unidade de tempo chamada mês baseado 
nas fases da Lua no céu; um calendário lunar é aquele no 
qual os dias são numerados dentro de cada ciclo de fases da 
Lua. Como o comprimento do mês lunar não se encaixa em 
um divisor exato dentro do ano tropical, um calendário 
puramente lunar rapidamente se perde dentro das estações. 
Os calendários lunares compensam isso adicionando um mês 
extra quando necessário para realinhar os meses com as 
estações. 
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59
Atual 
No ocidente, o calendário juliano baseado em anos foi o 
adotado. Ele numera os dias dentro dos meses, que são mais 
longos que o ciclo lunar, por isso não é conveniente para 
seguir as fases da Lua, mas faz um trabalho melhor seguindo 
as estações. Infelizmente, o ano tropical da Terra não é um 
múltiplo exato dos dias (é de aproximadamente 365,2422 
dias), então lentamente cai fora de sincronia com as 
estações. Por essa razão, o calendário gregoriano foi 
adotado mais tarde na maior parte do ocidente. Por usar um 
recurso matemático de ano bissexto (os 
anos centenários são bissextos somente se puderem ser 
divididos por 400 e seu resultado for sem fração, logo, 
quando for, por exemplo, 2.100, 2.200, 2.300, 2.500 e 2.600, 
estes anos não serão bissextos), pode ser ajustado para 
fechar com as estações como desejado. 
Completude 
Calendários podem definir outras unidades de tempo, 
como a semana, para o propósito de planejar atividades 
regulares que não se encaixam facilmente com meses ou 
anos. Calendários podem ser completos ou incompletos. 
Calendários completos oferecem um modo de nomear cada 
dia consecutivo, enquanto calendários incompletos não. 
Finalidade 
Calendários podem ser pragmáticos, teóricos ou mistos. 
Um calendário pragmático é o que é baseado na observação; 
um exemplo é o calendário religioso islâmico. Um calendário 
teórico é aquele que é baseado em um conjunto estrito de 
regras; um exemplo é o calendário hebraico. Um calendário 
misto combina ambos. Calendários mistos normalmente 
começam como calendários teóricos, mas são ajustados 
pragmaticamente quando algum tipo de assincronia se torna 
aparente; a mudança do calendário juliano para o calendário 
gregoriano é um exemplo, e o próprio calendário gregoriano 
pode ter que receber algum ajuste próximo ao ano 4000 
(como foi proposto por G. Romme para o calendário 
revolucionário francês revisado). Houve algumas propostas 
para a reforma do calendário, como o calendário 
mundial ou calendário perpétuo. AsNações 
Unidas consideraram a adoção de um calendário reformado 
por um tempo nos anos 50, mas essas propostas perderam 
muito de sua popularidade. 
O calendário gregoriano, como um exemplo final, é 
completo, solar e misto. 
Calendários lunares 
Nem todos os calendários usam o ano solar como uma 
unidade. Um calendário lunar é aquele em que os dias são 
numerados dentro de cada ciclo das fases da lua. Como o 
comprimento do mês lunar não é nem mesmo uma fração do 
comprimento do ano trópico, um calendário puramente lunar 
rapidamente desalinha-se das estações do ano, que não 
variam muito perto da linha do Equador. Permanece 
constante, no entanto, em relação a outros fenômenos, 
especialmente as marés. Um exemplo é o calendário 
islâmico. Alexander Marshack, em uma obra 
controversa,3 acreditava que as marcas em um bastão de 
osso (cerca de 25.000 a.C.) representavam um calendário 
lunar. Outros ossos marcados também podem representar 
calendários lunares.4 Da mesma forma, Michael 
Rappenglueck acredita que as marcas de uma pintura 
rupestre de 15 mil anos de idade representam um calendário 
lunar.5 
Calendários fiscais 
Um calendário fiscal (como um calendário 4-4-5) fixa para 
cada mês um determinado número de semanas, para facilitar 
as comparações de mês para mês e de ano para ano. 
Janeiro sempre tem exatamente 4 semanas (de domingo a 
sábado), fevereiro tem quatro semanas, março tem cinco 
semanas etc. Note-se que este calendário vai precisar 
adicionar uma 53ª semana a cada 5 ou 6 anos, que pode ser 
adicionada a dezembro ou pode não ser, dependendo de 
como a organizaçãoutiliza essas datas. Existe um modo 
padrão internacional para fazer isso (a semana ISO). A 
semana ISO começa na segunda-feira e termina no domingo. 
A semana 1 é sempre a semana que contém 4 de janeiro 
no calendário gregoriano. 
Calendários fiscais também são usados pelas empresas. 
Neste caso o ano fiscal é apenas um conjunto qualquer de 12 
meses. Este conjunto de 12 meses pode começar e terminar 
em qualquer ponto do calendário gregoriano. É o uso mais 
comum dos calendários fiscais. 
Curiosidades 
Embora não houvesse comunicações e nem os povos 
antigos conhecessem outros modelos mais precisos para a 
contagem do tempo, foram os calendários mais simples como 
a lunação e os sete dias da semana que permitiram 
aos historiadores refazer em tempo real todos os eventos 
históricos. 
Referências 
Ir para cima	 UFMG. Calendários. Página visitada em 2 
de março de 2012. 
Ir para cima	 UOL Educação. Calendário juliano, 
calendário gregoriano e ano bissexto. Página visitada em 2 
de março de 2012. 
Ir para cima	 James Elkins, Our beautiful, dry, and distant 
texts (1998) 63ff. 
Ir para cima	 How Menstruation Created Mathematics by 
John Kellermeier 
Ir para cima	 Oldest lunar calendar identified 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que 
representa um número em um determinado instante da 
evolução do homem. Tem-se que, numa 
determinada escrita ou época, os numerais diferenciaram-se 
dos números do mesmo modo que as palavras se 
diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", 
"onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, 
representativos do mesmo número, apenas escrito em 
idiomas e épocas diferentes. Este artigo debruça-se sobre os 
vários aspectos dos sistemas de numerais. Ver 
também nomes dos números. 
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um 
sistema em que um conjunto de números são representados 
por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como 
o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como 
o numeral romano paradois, o numeral binário para três ou o 
numeral decimal para onze. 
Em condições ideais, um sistema de numeração deve: 
Representar uma grande quantidade de números úteis 
(ex.: todos os números inteiros, ou todos os números reais); 
Dar a cada número representado uma única 
descrição (ou pelo menos uma representação padrão); 
Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos 
números. 
Por exemplo, a representação comum decimal dos 
números inteiros fornece a cada número inteiro uma 
representação única como umasequência finita 
de algarismos, com as operações aritméticas (adição, 
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subtração, multiplicação e divisão) estando presentes como 
osalgoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a 
representação decimal é usada para os números racionais ou 
para os números reais, a representação deixa de ser 
padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de 
numerais, um padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro 
que repete-se periodicamente (como 2,30999999...). 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
1) Velocidade média 
velocidade média a razão entre a distância percorrida e o 
tempo gasto para percorrê-la. 
Velocidade média = distância percorrida / tempo gasto 
 
2) Consumo médio 
consumo médio a razão entre a distância percorrida e o con-
sumo de combustível gasto para percorrer essa distância. 
Consumo médio = distância percorrida / combustível gasto 
 
3) Densidade Demográfica 
densidade demográfica a razão entre o número de habitantes 
e a área que é ocupada por esses habitantes. 
Densidade Demográfica = número de habitantes / área total 
Bruna Paris 
 
4)Escala: 
É a razão entre um comprimento no desenho e o correspon-
dente comprimento real. 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
1. INTRODUÇÃO 
Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste 
de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia caro, normal, ou 
abaixo da expectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer 
caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignifi-
cante, se tratasse de um acréscimo no seu salário. 
 
Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 nada 
representam, se não forem comparados com um valor base e 
se não forem avaliados de acordo com a natureza da compa-
ração. Por exemplo, se a mensalidade escolar fosse de R$ 
90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor 
da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário, 
mesmo considerando o salário mínimo, R$ 80,00 seriam uma 
parte mínima. . 
 
A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos 
estabelecer regras para comparação entre grandezas. 
 
2. RAZÃO 
Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 20 
habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 10 alunos, 2 gostam 
de Matemática", "Um dia de sol, para cada dois de chuva". 
 
Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma 
comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, 
destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 
1 para cada 2. 
 
Todas as comparações serão matematicamente 
expressas por um quociente chamado razão. 
 
Teremos, pois: 
 
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. 
Razão = 
5
20
 
 
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. 
Razão = 
2
10
 
 
c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. 
Razão = 
1
2
 
 
Nessa expressão, a chama-se antecedente e b, 
consequente. Outros exemplos de razão: 
 
Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor. 
Razão = 
1
10
 
 
Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas. 
 
Razão = 
6
6
 
 
3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3 partes 
de zinco. 
Razão = 
2
5
 (ferro) Razão = 
3
5
 (zinco). 
 
3. PROPORÇÃO 
Há situações em que as grandezas que estão sendo 
comparadas podem ser expressas por razões de anteceden-
tes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quocien-
te. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar 
que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, 
poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da 
mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verda-
de, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o 
mesmo que 20 em 80. 
Escrevemos: 
10
40
 = 
20
80
 
 
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome 
de proporção. 
 
Na expressão acima, a e c são chamados de 
antecedentes e b e d de consequentes. . 
 
A proporção também pode ser representada como a : b = 
c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida assim: a está 
para b assim como c está para d. E importante notar que b e 
c são denominados meios e a e d, extremos. 
 
Exemplo: 
A proporção 
3
7
 = 
9
21
 , ou 3 : 7 : : 9 : 21, é 
lida da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9 está 
para 21. Temos ainda: 
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o 
quociente 
a
b
 , ou a : b. 
Dadas duas razões 
a
b
 e 
c
d
, com b e d ≠ 0, 
teremos uma proporção se 
a
b
 = 
c
d
. 
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3 e 9 como antecedentes, 
7 e 21 como consequentes, 
7 e 9 como meios e 
3 e 21 como extremos. 
 
3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Se 6
24
 = 
24
96
 , então 6 . 96 = 24 . 24 = 576. 
 
3.2 ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS ANTECEDENTES 
E CONSEQUENTES 
Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos anteceden-
tes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim 
como cada antecedente está para seu consequente. Ou seja: 
 
Essa propriedade é válida desde que nenhum 
denominador seja nulo. 
 
Exemplo: 
 
21 + 7
12 + 4
 = 
28
16
 = 
7
4
 
21
12
 = 
7
4
 
21 - 7
12 - 4
 = 
14
8
 = 
7
4
 
 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO 
PROPORCIONAL 
 
1. INTRODUÇÃO: 
No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem nú-
meros, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índi-
ce de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passare-
mos a nos referir a cadauma dessas situações mensuráveis 
como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não é 
independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, 
por exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há pesos 
que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos ana-
lisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas pro-
porcionais. 
 
2. PROPORÇÃO DIRETA 
Grandezas como trabalho produzido e remuneração obti-
da são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se 
você receber R$ 2,00 para cada folha que datilografar, sabe 
que deverá receber R$ 40,00 por 20 folhas datilografadas. 
 
Podemos destacar outros exemplos de grandezas 
diretamente proporcionais: 
 
Velocidade média e distância percorrida, pois, se você 
dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo 
tempo, dobrar a distância percorrida. 
 
Área e preço de terrenos. 
 
Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada 
por ele. 
 
Assim: 
 
 3. PROPORÇÃO INVERSA 
Grandezas como tempo de trabalho e número de operá-
rios para a mesma tarefa são, em geral, inversamente pro-
porcionais. Veja: Para uma tarefa que 10 operários executam 
em 20 dias, devemos esperar que 5 operários a realizem em 
40 dias. 
 
Podemos destacar outros exemplos de grandezas 
inversamente proporcionais: 
 
Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você do-
brar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a 
ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade. 
 
Número de torneiras de mesma vazão e tempo para en-
cher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem aber-
tas, menor o tempo para completar o tanque. 
 
Podemos concluir que : 
 
 
Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de 
reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. 
Considere a situação de um grupo de pessoas que, em 
férias, se instale num acampamento que cobra R$100,00 a 
diária individual. 
 
Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e 
a despesa diária: 
 
 
Número 
de 
pessoas 
 
1 
 
2 
 
4 
 
5 
 
10 
 
Despesa 
diária (R$ 
) 
 
100 
 
200 
 
400 
 
500 
 
1.000 
 
Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do 
número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. 
Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao 
mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção 
direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despe-
sa diária são diretamente proporcionais. 
 
Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quan-
tia a ser gasta pelo grupo seja sempre de R$2.000,00. Per-
ceba, então, que o tempo de permanência do grupo depende-
rá do número de pessoas. 
 
Analise agora a tabela abaixo : 
0 d b, ; bc = ad 
d
c
 = ≠⇔
b
a
 
Se 
a
b
 = , entao 
a + c
b + d
 = 
a
 = 
c
d
 
ou 
a - c
b - d
 = 
a
b
 = 
c
d
c
d b
,
 
Duas grandezas São diretamente proporcionais 
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas 
numa determinada razão, a outra diminui (ou 
aumenta) nessa mesma razão. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas 
numa determinada razão, a outra diminui (ou 
aumenta) na mesma razão. 
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62
Número de 
pessoas 
1 2 4 5 10 
Tempo de 
permanência 
(dias) 
 
20 
 
10 
 
5 
 
4 
 
2 
Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo 
de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma 
proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pes-
soas e número de dias são inversamente proporcionais. 
 
4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 
 
4. 1 Diretamente proporcional 
Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um 
mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B duran-
te 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os 
R$ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que 
cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao 
tempo gasto na confecção do objeto. 
No nosso problema, temos de dividir 660 em partes dire-
tamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B 
trabalharam. 
Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a 
receber, e de y o que B tem a receber. 
Teremos então: 
X + Y = 660 
 
 
X
6
 = 
Y
5
 
 
Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades 
de proporção. Assim: 
X + Y 
6 + 5
 = Substituindo X + Y por 660, 
vem
660
 = 
X
6 
 X = 
6 660 
11
 = 360
11
�
⋅
 
Como X + Y = 660, então Y = 300 
Concluindo, A deve receber R$ 360,00 enquanto B, R$ 
300,00. 
 
4.2 INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes 
diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por e-
xemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalharam 
durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 
160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 
dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O pro-
blema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente 
proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em considera-
ção que aquele que se atrasa mais deve receber menos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No nosso problema, temos de dividir 160 em partes inver-
samente proporcionais a 3 e a 5, que são os números de 
atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de x 
o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. 
 x + y = 160 
 
 Teremos: 
x
1
3
 = 
y
1
5
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
x + y
1
3
 + 
1
5
 = 
x
1
3
 
x + y
8
15
 = 
x
1
3
� 
Mas, como x + y = 160, então 
160
8
15 15
 = 
x
1
3
 x = 
160
8
 
1
3
 � ⋅ � 
 
 x = 160 
15
8
 
1
3
 x = 100� ⋅ ⋅ � 
 
Como x + y = 160, então y = 60. Concluindo, A deve 
receber R$ 100,00 e B, R$ 60,00. 
 
4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA 
Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi 
contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho 
em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A 
tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 
10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 
homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando 
que os homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A 
empreiteira tinha R$ 29.400,00 para dividir com justiça entre 
as duas turmas de trabalho. Como fazê-lo? 
 
Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. 
Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcio-
nais, já que os números obtidos deverão ser proporcionais a 
dois números e também a dois outros. 
 
Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, produ-
zindo o mesmo resultado de 50 homens, trabalhando por um 
dia. Do mesmo modo, na segunda turma, 12 homens traba-
lharam 4 dias, o que seria equivalente a 48 homens traba-
lhando um dia. 
 
Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, 
de divisão diretamente proporcional a 50 (que é 10 . 5), e 48 
(que é 12 . 4). 
 
Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes in-
versamente proporcionais a certos números é o mesmo que 
fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inver-
so dos números dados. 
 
Resolvendo nosso problema, temos: 
Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira 
turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma. 
Assim: 
Dividir um número em partes diretamente 
proporcionais a outros números dados é 
encontrar partes desse número que sejam 
diretamente proporcionais aos números dados e 
cuja soma reproduza o próprio número. 
Dividir um número em partes inversamente propor-
cionais a outros números dados é encontrar partes 
desse número que sejam diretamente proporcio-
nais aos inversos dos números dados e cuja soma 
reproduza o próprio número. 
Para dividir um número em partes de tal forma que 
uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p 
e q, basta divida esse número em partes 
proporcionais a m . n e p . q. 
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63
x
10 5
 = 
y
12 4
 ou
 x
50
 = 
y
48
 
 
x + y
50 + 48
 = 
x
50
⋅ ⋅
�
 
 
15.000 
98
50 29400
 = x50
x
 = 
98
29400
 então 29400, =y + x Como
�
⋅
�
 
 
Portanto y = 14 400. 
 
Concluindo, a primeira turma deve receber R$ 15.000,00 
da empreiteira, e a segunda, R$ 14.400,00. 
 
Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada 
trabalho usando como unidade o homem-hora. O nosso 
problema é um exemplo em que esse critério poderia ser 
usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria 
obtido o valor de R$ 300,00 que é o resultado de 15 000 : 50, 
ou de 14 400 : 48. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo 
com o uso da regra de três de maneira prática. 
 
Devemos dispor as grandezas, bem como os valores en-
volvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da 
proporção e escrevê-la. 
Assim: 
 
Grandeza 1: tempo 
(horas) 
Grandeza 2: distância 
percorrida 
(km) 
 
6 
 
8 
 
900 
 
x 
 
Observe que colocamos na mesma linha valores que se 
correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o valor 
desconhecido. 
 
Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para 
indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mes-
mo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se 
em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. 
 
Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o 
mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Consi-
derando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo, 
aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa 
questão é afirmativa, as grandezas são diretamente propor-
cionais. 
 
Já que a proporção é direta, podemos escrever: 
6
8
900
=
x
 
 
Então: 6 . x = 8 . 900 � x = 
7200
6
 = 1 200 
 
Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8 horas. 
 
Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de 
três. 
 
Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, 
percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo 
necessário para percorrer o mesmo espaço com uma 
velocidade de 60 km/h? 
 
������ �
-.
�����
/0����1
������ �
2.
����������
/3�401
 
8 
 
x 
 
90 
 
60 
 
A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço per-
corrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" 
é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são 
inversamente proporcionais. 
Como a proporção é inversa, será necessário invertermos 
a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a propor-
ção direta. Assim: 
 
 8 60 
 
x 90 
 
Escrevendo a proporção, temos: 
8 60
90
8
60x
x= � =
⋅ 90
= 12 
 
Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância 
em 12 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Vamos agora utilizar a regra de três para resolver proble-
mas em que estão envolvidas mais de duas grandezas pro-
porcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte pro-
blema. 
 
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produ-
zem 2 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para 
se produzir 1 680 peças em 6 dias? 
 
Como nos problemas anteriores, você deve verificar a na-
tureza da proporção entre as grandezas e escrever essa 
proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grande-
zas e os valores envolvidos. 
 
?��	
�,���.�
	J�����
���)#��	���
?��	
�,��A.�

����
?��	
�,��=.�
	J�����
��������
�
�O�
�
1�
�
AO�
�
P�
�
AOOO�
�
�P<O�
 
Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das 
setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la 
com as outras. 
 
Regra de três simples é um processo prático utilizado 
para resolver problemas que envolvam pares de 
grandezas direta ou inversamente proporcionais. 
Essas grandezas formam uma proporção em que se 
conhece três termos e o quarto termo é procurado. 
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64
Supondo fixo o número de dias, responda à questão: 
"Aumentando o número de máquinas, aumentará o número 
de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirmati-
va. Logo, as grandezas 1 e 3 são diretamente proporcionais. 
 
Agora, supondo fixo o número de peças, responda à 
questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o 
número de dias necessários para o trabalho?" Nesse caso, a 
resposta é negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são inversa-
mente proporcionais. 
 
Para se escrever corretamente a proporção, devemos fa-
zer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo 
os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso 
exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza 2. 
 
 10 6 2000 
 
 
 x 20 1680 
 
Agora, vamos escrever a proporção: 
10 6
20x
= ⋅ 
2000
1680
 
 
(Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas 
outras é proporcional ao produto delas.) 
10 12000
33600
10
28
x
x= � =
⋅
=
 33600
12000
 
 
Concluindo, serão necessárias 28 máquinas. 
 
 
 
 
PORCENTAGEM�
 
1. INTRODUÇÃO 
Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha 
vitrinas, frequentemente se vê às voltas com expressões do 
tipo: 
� "O índice de reajuste salarial de março é de 16,19%." 
� "O rendimento da caderneta de poupança em 
fevereiro foi de 18,55%." 
� "A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi de 
381,1351%. 
� "Os preços foram reduzidos em até 0,5%." 
 
Mesmo supondo que essas expressões não sejam com-
pletamente desconhecidas para uma pessoa, é importante 
fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem, 
uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável 
para a maioria dos problemas relativos à Matemática Comer-
cial. 
 
2. PORCENTAGEM 
O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar 
números usando a proporção direta. Só que uma das razões 
da proporção é um fração de denominador 100. Vamos dei-
xar isso mais claro: numa situação em que você tiver de cal-
cular 40% de R$ 300,00, o seu trabalho será determinar um 
valor que represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso 
pode ser resumido na proporção: 
40
100 300
=
x
 
 
Então, o valor de x será de R$ 120,00. 
Sabendo que em cálculos de porcentagem será 
necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro, 
então, que qualquer problema dessa natureza poderá ser 
resolvido com regra de três simples. 
 
3. TAXA PORCENTUAL 
O uso de regra de três simples no cálculo de porcenta-
gens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto, 
mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais 
prático. 
 
Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, 
inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a 
partir de um exemplo. 
 
Exemplo: 
Calcular 20% de 800. 
Calcular 20%, ou 
20
100
 de 800 é dividir 800 em 100 
partes e tomar 20 dessas partes. Como a centésima parte de 
800 é 8, então 20 dessas partes será 160. 
 
Chamamos: 20% de taxa porcentual; 800 de principal; 
160 de porcentagem. 
 
Temos, portanto: 
� Principal: número sobre o qual se vai calcular a 
porcentagem. 
� Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100 partes do 
principal. 
� Porcentagem: número que se obtém somando cada 
uma das 100 partes do principal até conseguir a taxa. 
 
A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcu-
larmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é 
necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta 
dividir o principal por 100 e tomarmos tantas destas partes 
quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo. 
 
Exemplo: 
Calcular 32% de 4.000. 
Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40, que é a 
centésima parte de 4 000. Agora, somando 32 partes iguais a 
40, obtemos 32 . 40 ou 1 280 que é a resposta para o pro-
blema. 
 
Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar o re-
sultado dessa divisão por 32 é o mesmo que multiplicar o 
principal por 
32
100
 ou 0,32. Vamos usar esse raciocínio de 
agora em diante: 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
Consideremos os seguintes fatos: 
• Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo 
de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 
000,00 de juros. 
• O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se 
eu compraressa mesma televisão em 10 prestações, 
vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar 
R$750,00 de juros. 
No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em dinhei-
ro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado 
tempo. 
 
No 2.° fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro 
que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. 
 
Porcentagem = taxa X principal 
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65
Assim: 
� Quando depositamos ou emprestamos certa quantia 
por determinado tempo, recebemos uma compensa-
ção em dinheiro. 
� Quando pedimos emprestada certa quantia por deter-
minado tempo, pagamos uma compensação em di-
nheiro. 
� Quando compramos uma mercadoria a prazo, paga-
mos uma compensação em dinheiro. 
 
Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer 
que : 
 
 
 
 
Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte 
nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-
se capital. 
 
O porcentual denomina-se taxa e representa o juro rece-
bido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano. 
 
O período de depósito ou de empréstimo denomina-se 
tempo. 
 
A compensação em dinheiro denomina-se juro. 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1.° exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital 
de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5 
anos. 
De acordo com os dados do problema, temos: 
25% em 1ano � 125% (25 . 5) em 5 anos 
125% = 
100
125
= 1,25 
 
Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble-
ma: 
Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai: 
x = 125% de 720 000 = 
1,25 . 720 000 = 900 000. 
900.000 – 720.000 = 180.000 
Resposta: Os juros produzidos são de R$ 180.000,00 
 
2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ 10.000,00 a uma 
taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse ca-
pital me renderá de juros? 
1,8% em 1 mês � 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses 10,8% 
= 
100
8,10
 = 0,108 
Dai: 
x = 0,108 . 10 000 = 1080 
Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00. 
 
3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 
meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3 
600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? 
De acordo com os dados do problema: 
1,2% em 1 mês � 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses 
7,2% = 
100
2,7
 = 0,072 
Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble-
ma: 
3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. 
 
Dai: 
3600 = 0,072 . x � 0,072x = 3 600 � 
x = 
072,0
3600
 
x = 50 000 
Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00. 
 
4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-
rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a 
taxa (em %) ao mês? 
De acordo com os dados do problema: 
x% em 1 mês � (6x)% em 6 meses 
Devemos, então, resolver o seguinte problema: 
4 800 representam quantos % de 80 000? 
Dai: 
4 800 = 6x . 80 000 � 480 000 x = 4 800 
x = 
000 480
800 4
 � x = 
800 4
48
� x = 0,01 
0,01 = 
100
1
 = 1 % 
Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. 
 
Resolva os problemas: 
- Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, 
durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? 
- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à ta-
xa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros. 
Qual foi a quantia aplicada? 
- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 
ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse 
tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acu-
mulado (capital aplicado + juros)? 
- Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como 
vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará 
juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por 
esse aparelho. 
- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 me-
ses, rendeu juros de R$ 33 000,00. Qual foi a taxa 
(%) mensal da aplicação 
- Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou compra-
la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara ju-
ros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa 
geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se 
todas elas são iguais. 
- Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O 
preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros 
simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual 
foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? 
 
Respostas 
R$ 4 400,00 
R$ 70 000,00 
R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 
R$ 5 220,00 
1,1% 
R$ 1 075,00 e R$ 215,00 
2,5% 
 
 
PROGRESSÕES 
 
Observe a seguinte sequência: (5; 9; 13; 17; 21; 25; 29) 
 
Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-
se 4 ao termo anterior, ou seja: 
an = an – 1 + 4 onde 7n2 ≤≤ 
 
Podemos notar que a diferença entre dois termos 
Juro é uma compensação em dinheiro que se 
recebe ou que se paga. 
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66
sucessivos não muda, sendo uma constante. 
a2 – a1 = 4 
a3 – a2 = 4 
. . . . . . . . . . 
a7 – a6 = 4 
 
Este tipo de sequência tem propriedades 
interessantes e são muito utilizadas, são chamadas de 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS. 
 
Definição: 
Progressão Aritmética ( P.A.) é toda sequência 
onde, a partir do segundo, a diferença entre um termo 
e seu antecessor é uma constante que recebe o nome 
de razão. 
AN – AN -1 = R ou AN = AN – 1 + R 
 
Exemplos: 
a) ( 2, 5, 8, 11, 14, . . . . ) a1 = 2 e r = 3 
b) ( . . . .,
4
1
 ,
16
3
 ,
8
1
 ,
16
1
) a1 = 
16
1
 e r = 
16
1
 
c) ( -3, -3, -3, -3, ......) a1 = –3 e r = 0 
d) ( 1, 3, 5, 7, 9, . . . . ) a1 = 1 e r = 2 
 
Classificação 
As Progressões Aritméticas podem ser classificadas 
em três categorias: 
1.º) CRESCENTES são as PA em que cada termo 
é maior que o anterior. É imediato que isto 
ocorre somente se r > 0. 
 (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ) 
 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ) 
2.º) DECRESCENTES são as PA em que cada 
termo é menor que o anterior. Isto ocorre se r < 
0. 
 ( 0, - 2, - 4, - 6, - 8, - 10, - 12) 
 ( 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1 ) 
3.º) CONSTATES são as PA em que cada termo é 
igual ao anterior. É fácil ver que isto só ocorre 
quando r = 0. 
 ( 4, 4 , 4, 4, 4, 4 ) 
 ( 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ) 
 
As PA também podem ser classificadas em: 
a) FINITAS: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11) 
b) INFINITAS: ( 6, 10 , 14 , 18 , ...) 
 
lV - TERMO GERAL 
Podemos obter uma relação entre o primeiro termo 
e um termo qualquer, assim: 
a2 = a1 + r 
a3 = a2 + r = ( a1 + r ) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = ( a1 + 2r ) + r = a1 + 3r 
a5 = a4 + r = ( a1 + 3r ) + r = a1 + 4r 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
a10 = a9 + r = ( a1 + 8r ) + r = a1 + 9r 
logo AN = A 1 + ( N – 1) . R 
 
que recebe o nome de fórmula do Termo Geral de 
uma Progressão Aritmética. 
 
V - TERMOS EQUIDISTANTES 
Em uma PA finita, dois termos são chamados 
equidistantes dos extremos, quando o número de 
termos que precede um deles é igual ao número de 
termos que sucede o outro. 
 
Por exemplo: Dada a PA 
( a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 ) 
 
a2 e a7 são equidistantes dos extremos 
a3 e a6 são equidistantes dos extremos 
 
E temos a seguinte propriedade para os termos 
equidistantes: A soma de dois termos equidistantes dos 
extremos é uma constante igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo: 
( –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ) 
– 3 e 29 são extremos e sua soma é 26 
1 e 25 são equidistantes e sua soma é 26 
5 e 21 são equidistantes e sua soma é 26 
Dessa propriedade podemos escrever também que: 
Se uma PA finita tem número ímpar de termos 
então o termo central é a média aritmética dos 
extremos. 
 
VI - INTERPOLACÃO ARITMÉTICA 
Dados dois termos A e B inserir ou interpolar k 
meios aritméticos entre A e B é obter uma PA cujo 
primeiro termo é A, o último termo é B e a razão é 
calculada através da relação: 
1K
AB
+
−
 
Exemplo: 
Interpolar (inserir) 3 meios aritméticos entre 2 e 10 
de modo a formar uma Progressão Aritmética. 
 
Solução: 
Aplicando a fórmula:
1K
AB
+
−
 
3 meios k
10 B termo último
2 A termo 1º 
=
=
=
 
 Substituindo na forma acima vem: 
2 
4
8
 
13
210
 
1K
AB==
+
−
�
+
−
 
portanto a razão da PA é 2 
 
A Progressão Aritmética procurada será: 2, 4, 6, 8, 
10. 
 
VII –SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA 
PA 
Podemos determinar a fórmula da soma dos n 
primeiros termos de uma PA Sn da seguinte forma: 
Sn = a1 + a2 + a3 +....+ an -2 + an -1 + an ( + ) 
Sn = an -2 + an -1 + an +....+ a1 + a2 + a3 
 
 2Sn = (a1+ an) + (a1+ an)+ (a1 + an)+....+ (a1+ an) 
 
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67
Observe que aqui usamos a propriedade dos termos 
equidistantes, assim: 2Sn = n (a1+ an) 
logo: 
2
N )AA(
S N1
N
⋅+
= 
 
EXERCICIOS 
Não esquecer as denominações: 
an → termo de ordem n 
a1 → 1º termo 
n → número de termos 
r → razão 
 
1) Determinar o 20º termo (a20) da PA (2, 5, 8, ...) 
Resolução: 
a1 = 2 an = a1 + (n – 1) . r 
r = 5 – 2 = 8 – 5 = 3 a20 = 2 + (20 – 1) . 3 
n = 20 a20 = 2 + 19 . 3 
a20 = ? a20 = 2 + 57 
 a20 = 59 
 
2) Escrever a PA tal que a1 = 2 e r = 5, com sete 
termos. 
Solução: a2 = a1 + r = 2 + 5 = 7 
 a3 = a2 + r = 7 + 5 = 12 
 a4 = a3 + r = 12 + 5 = 17 
 a5 = a4 + r = 17 + 5 = 22 
 a6 = a5 + r = 22 + 5 = 27 
 a7 = a6 + r = 27 + 5 = 32 
 
Logo, a PA solicitada no problema é: (2, 7, 12, 17, 
22, 27, 32). 
 
3) Obter a razão da PA em que o primeiro termo é 
– 8 e o vigésimo é 30. 
Solução: 
a20 = a1 + 19 r = � 30 = – 8 + 19r � 
 � 30 + 8 = 19r � 38 = 19r � r = 38 = 2 
 19 
 
4) Calcular r e a5 na PA (8, 13, 18, 23, ....) 
Solução: 
r = 23 – 18 = 13 – 8 = 5 
 
 a5 = a4 + r 
 a5 = 23 + 5 
 a5 = 28 
 
5) Achar o primeiro termo de uma PA tal que 
r = – 2 e a10 = 83. 
Solução: 
Aplicando a fórmula do termo geral, teremos que o 
décimo termo é: a10 = a1 + ( 10 – 1 ) r ou seja: 
83 = a1 + 9 . (–2) � – a1 = – 18 – 83 � 
� – a1 = – 101 � a1 = 101 
 
6) Determinar a razão (r) da PA, cujo 1º termo (a1) 
é – 5 e o 34º termo (a34) é 45. 
Solução: 
a1 = –5 a34 = – 5 + (34 – 1) .r 
a34 = 45 45 = – 5 + 33 . r 
n = 34 33 r = 50 
R = ? 
33
50
r = 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
1 - DEFINIÇÃO 
Vejamos a sequência 2, 6, 18, 54, 162 
 
Onde cada termo, a partir do 2.º, é obtido 
multiplicando-se o termo anterior por 3, ou seja: 
an = an – 1 . 3 n = 2, 3, . . . , 5 
 
Observe que o quociente entre dois termos 
sucessivos não muda, sendo uma constante. 
3 
2
6
 
a
a
1
2 == 
3 
6
18
 
a
a
2
3 == 
3 
18
54
 
a
a
3
4 == 
3 
54
162
 
a
a
4
5 == 
 
Sequências onde o quociente entre dois termos 
consecutivos é uma constante também possuem 
propriedades interessantes. São também úteis para a 
Matemática recebem um nome próprio: 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS é toda sequência 
em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao 
produto do seu termo precedente por uma constante. 
Esta constante é chamada razão da progressão 
geométrica. 
 
Em símbolos: 
AN = A N - 1 . Q N = 1, 2, 3, . . . 
ou seja: q. . .
a
a
a
a
a
a
3
4
2
3
1
2 ==== 
 
CLASSIFICAÇÃO E TERMO GERAL 
Quanto ao número de termos, podemos classificar a 
Progressão Geométrica em: 
- FINITA: quando o nº de termo for finito: 2, 4, 8, 
16, 32, 64 ( 6 termos) 
- INFINITA: quando o número de termos for 
infinito: 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . . 
 
Quanto à razão, podemos classificar a PG em: 
- CRESCENTE: quando cada termo é maior que o 
anterior: 2, 4, 8, 16, 32 
- DECRESCENTE: quando cada termo é menor 
que o anterior: 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, .., 
- CONSTANTE: quando cada termo é igual ao 
anterior: 3, 3, 3, 3, 3, . . . (q = 1) 
- OSCILANTE OU ALTERNANTE: quando cada 
termo, a partir do segundo tem sinal contrário ao 
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68
do termo anterior. 
 
Em alguns problemas, seria útil existir uma relação 
entre o primeiro termo e um termo qualquer. Vejamos 
como obtê-la. 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = ( a1 . q ) . q = a1 . q
2 
a4 = a3 . q = ( a1 . q
2 ) . q = a1 . q
3 
a5 = a4 . q = ( a1 . q
3 ) . q = a1 . q
4 
. . . . . . . . . . . . . 
an = an -1 . q = ( a1 . q
n -2 ) . q = a1 . q
n -1 
AN = A1 . Q N -1 
 
Esta última expressão é chamada termo geral de 
uma Progressão Geométrica. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar o 9.º termo (a9) da P.G. (1, 2, 4, 8;....). 
Solução: 
an → termo de ordem n 
a1 → 1º termo 
n → número de termos 
q → razão 
 
 FÓRMULA DO TERMO GERAL: an = a1 . qn –1 
a1 = 1 q = 4 = 2 = 2 n = 9 a9 = ? 
 2 1 
a9 = 1 . 29 –1 
� a9 = 1 . 28 � 
a9 = 1 . 256 ∴ a9 = 256 
 
2) Determinar a1 (1º termo) da PG cuja a8 (8º termo) 
é 729, sabendo-se que a razão é 3. 
Solução: 
a1 = ? q = 3 n = 8 a8 = 729 
 a8 = a1 . 38 –1 
 729 = a1 . 37 
 36 = a1 . 37 
 a1 = 36 : 37 
 a1 = 3 –1 
� 
3
1
a1 = 
 
3) Determinar a razão de uma PG com 4 termos 
cujos extremos são 1 e 64. 
Solução: a4 = a1 . q4 –1 
 64 = 1 . q4 –1 
 43 = 1 . q3 
 43 = q3 
 q = 4 
 
TERMOS EQUIDISTANTES 
Em toda PG finita, o produto de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos 
extremos. 
 
Exemplo: 
( 1, 3, 9, 27, 81, 243 ) 
1 e 243 extremos → produto = 243 
3 e 81 equidistantes → produto = 3 . 81 = 243 
9 e 27 equidistantes → produto = 9 . 27 = 243 
 
Desta propriedade temos que: 
Em toda Progressão Geométrica finita com número 
ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica 
dos extremos. 
 
Exemplo: ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192) 
242 = 3 . 192 
 
IV - PRODUTO DOS N PRIMEIROS TERMOS 
 DE UMA PG 
Sendo a1, a2, a3, ..., an uma PG de razão q, 
indicamos o produto dos seus n primeiros termos por: 
Pn = a1 . a2 . a3 . ... . an 
 
0bserve que: 
Pn = a1. ( a1 . q ) . (a1 . q
2) . (a1 . q3) ... (a1 . qn –1) 
Pn = ( a1. a1 . a1 . . . . a1 ) . ( q1 . q2 . q3. . . qn –1) 
1)- (n . . . 321n
1n q .a P ++++= 
 
Mas 1 + 2 + 3 + .... + (n –1) é uma PA de (n –1) 
termos e razão 1. Considerando a fórmula da soma dos 
termos de uma PA, temos: 
[ ]
2
)1n( n
S
2
1 - n 1)- n ( 1 
S
2
)aa(
S
n
n1 −
=�
⋅+
=�
+
= 
 
Assim, podemos afirmar que: 
2
1)- n ( n
Q N
1
 AN P •= 
 
V - INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA. 
Inserir ou interpolar k meios geométricos entre os 
números A e B, significa obter uma PG de k+2 termos, 
onde A é o primeiro termo e B é o último e a razão é 
dada por: 
A
B
Q 1K =+ 
 
VI - SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG 
Seja uma PG de n termos a1 , a2, a3, ...., an 
 
A soma dos n primeiros termos será indicada por: 
Sn = a1 + a2 + a3 + .... + an 
 
Observe que, se q = 1, temos S = n . a1. 
Suponhamos agora que, na progressão dada, 
tenhamos q ≠ 1. Multipliquemos ambos os membros 
por q. 
Sn . q = a1 . q + a2 . q + a3 . q +....+ an –1 . q + an . q 
Como a1 . q = a2 , a2 . q = a3 , ... an –1 . q = an 
temos: 
Sn . q = a2 + a3 + a4 +....+ an + an . q 
 
E sendo a2 + a3 + a4 +....+ an = Sn – a1 , vem: 
Sn . q = Sn – a1 + an . q 
Sn - Sn . q = a1 - an . q 
) 1 q ( 
q - 1
q . a - a
 S n1
n ≠= 
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69
 
q - 1
q q . a - a
 S
1- n
11
n
⋅
= 
 
q - 1
q . a - a
 S
n
11
n = 
1) q ( 
q - 1
nq - 1 1a nS ≠⋅=
 
 
VII - SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA 
COM - 1 < Q < 1 
Vejamos como calcular . . . 
16
1
 
8
1
 
4
1
 
2
1
 1S +++++= 
 
Neste caso, temos a soma dos termos de uma PG 
infinita com q = 
2
1
. 
 
Multiplicando por 2 ambos os membros, temos: 
 
2 S = 2 + S � S = 2 
Calculemos agora . . . 
27
1
 
9
1
 
3
1
 1S ++++= 
Multiplicando por 3 ambos os membros, temos: 
3S = 3 + S � 2S = 3 � 
2
3
S = 
 
Vamos obter uma fórmula para calculara soma dos 
termos de uma PG infinita com -1 < q < 1, Neste caso a 
soma converge para um valor que será indicado por S 
S = a1 + a2 + a3 +....+ an + . . . 
S = a1 + a1 . q + a1 . q2 +....+ a1 . qn –1+ . . . 
 
multiplicando por q ambos os membros, temos: 
Sq = a1q+ a1 q2 + a1 q3 +....+ a1 qn+ . . .� 
� Sq = S – a1 � S – Sq = a1 
� S(1 – q) = a1� 
q1
a
S 1
−
= 
Resumindo: 
se - 1 < q < 1, temos: 
 
q1
a
. . . a .... a a a S 1
n321 −
=+++++= 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar a soma dos termos da PG 
)
64
1
 , . . . . ,
4
1
 ,
2
1
 1, ( 
Solução: a1 = 1 
2
1
q = 
 
q - 1
q . a - a
 S n1
n = 
 
2
1
128
1
- 1
S 
2
1
 - 1
2
1
 . 
64
1
 - 1
 S nn =�= 
ou 
64
127
S 2 
128
127
2
1
128
127
S nn =�⋅== 
 984375,1 Sn = 
 
2) Determinar a soma dos oito primeiros termos da 
PG (2, 22, 23 , . . .). 
Solução: 
a1 = 2 q = 2 n = 8 
 
q - 1
)q - 1 ( a
 S
n
1
n
⋅
= 
 
1-
256) - 1 ( 2
 
2 - 1
)2 - 1 ( 2
 S
8
8 =
⋅
=
⋅
= 
510S 510 
1
255) - ( 2
8 =∴=
−
⋅
= 
 
3) Determinar a razão da PG ) . . . ; 
8
1
 ; 
4
1
 ;
2
1
 ; 1 ; 2 ( 
Solução: De a2 = a1. q tiramos que: 
 
2
1
 q 
2
1
a
a
q
1
2 =�== 
4) Achar o sétimo termo da PG ( 
2
1
; 1 ; 2 ; . . .) 
Solução: 
A PG é tal que 
2
1
a1 = e q = 2 
Aplicando então a fórmula do termo geral, 
teremos que o sétimo termo é: 
( ) 64 
2
1
 2 
2
1
 q aa 61 - 7
17 ⋅=⋅=⋅= 
portanto (∴ ) a7 = 32 
 
 
ANÁLISE COMBINATORIA 
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, es-
tá diretamente relacionada com atividades e técnicas para 
contagem do número de elementos de algum conjunto. As 
primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem 
sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumeran-
do seus elementos. 
As operações de adição e multiplicação são exemplos de 
.técnicas. matemáticas utilizadas também para a determina-
ção de uma quantidade. A primeira (adição) reúne ou junta 
duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multipli-
cação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de 
substituir adições de parcelas iguais. 
S
. . . 
16
1
 
8
1
 
4
1
 
2
1
 1 2 S 2 ++++++=
...
S
27
1
 
9
1
 
3
1
 13S 3 +++++=
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70
A multiplicação também é a base de um raciocínio muito 
importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. 
O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para 
resolver problemas de contagem sem que seja necessário 
enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). 
Os problemas de contagem fazem parte da chamada aná-
lise combinatória. 
EXEMPLO 1 
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a 
roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de 
quantas maneiras ela pode se arrumar. 
Solução: 
 
O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, 
também pode ser enunciado da seguinte forma: 
Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em 
seguida, outra decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o 
número total de maneiras de tornarmos as decisões d1 e d2 
será n · m. 
No exemplo anterior havia duas decisões a serem toma-
das: 
d1: escolher uma dentre as 3 blusas 
d2: escolher uma dentre as 2 saias 
Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as 
decisões d1 e d2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se 
vestir. 
EXEMPLO 2 
Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, 
peixe, carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 
sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). 
De quantas maneiras diferentes um freguês pode se ser-
vir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobre-
mesa? 
Solução: 
Esse e outros problemas da análise combinatória podem 
ser representados pela conhecida árvore de possibilidades ou 
grafo. Veja como representamos por uma “árvore” o problema 
do cardápio do restaurante. 
 
Observe que nesse problema temos três níveis de deci-
são: 
d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes. 
d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada. 
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. 
Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 
· 2 · 3 = 24 maneiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 
24 opções de cardápio. 
A representação gráfica em árvore de possibilidades é 
muito ilustrativa. Nela podemos ver claramente os três níveis 
de decisão d1, d2 e d3, consultando os vários tipos de cardá-
pios possíveis. Observe que, percorrendo as opções dadas 
pelos segmentos à esquerda da árvore, o cardápio ficaria 
frango/salada verde/sorvete enquanto que, escolhendo os 
segmentos à direita, teríamos salsichão/salada russa/ frutas. 
No entanto, nosso objetivo é saber as combinações possíveis 
e calcular o número total de possibilidades sem precisar e-
numerá-las, pois muitas vezes isso será impossível devido ao 
grande número de opções e/ou de decisões envolvidos num 
problema. 
As técnicas da análise combinatória, como o princípio 
multiplicativo, nos fornecem soluções gerais para atacar cer-
tos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem 
engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da 
situação descrita. Portanto, é preciso estudar bem o proble-
ma, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ou 
seja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que 
se busca. 
EXEMPLO 3 
Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois 
preços diferentes, sendo mais baratas as opções que in-
cluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quan-
tas maneiras você poderia se alimentar pagando menos? 
Solução: 
Note que agora temos uma condição sobre as decisões 
d1 e d2: 
d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsi-
chão). 
d2: escolher salada verde (apenas uma opção). 
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. 
Então, há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios eco-
nômicos. (Verifique os cardápios mais econômicos na árvore 
de possibilidades do exemplo anterior). 
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71
EXEMPLO 4 
Quantos números naturais de 3 algarismos distintos exis-
tem? 
Solução*: 
Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: 
Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, 
temos então três decisões: 
d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 
opções). 
d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi 
escolhido para ocupar a centena (9 opções). 
d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que já 
foram utilizados (8 opções). 
Portanto, o total de números formados será 
9 · 9 · 8 = 648 números. 
De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos con-
tar dentre os 648 números de 3 algarismos distintos apenas 
os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como deve-
ríamos proceder? 
Solução: 
 
O algarismo da unidade poderá ser escolhido de 5 modos 
(0, 2, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como último algarismo, o 
primeiro pode ser escolhido de 9 modos (não podemos usar o 
algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi 
usado como último algarismo, o primeiro só pode ser escolhi-
do de 8 modos (não podemos usar o zero, nem o algarismo 
já empregado na última casa). 
Para vencer este impasse, temos três alternativas: 
a) “Abrir” o problema em casos (que é alternativa 
mais natural). Contar separadamente os núme-
ros que têm zero como último algarismo (unidade 
= 0) 
e aqueles cujo último algarismo é diferente de zero (uni-
dade ≠ 0). 
Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último 
algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de 
escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1 · 9 
· 8 = 72 números. 
Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 
modos de escolher o último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos 
de escolher o primeiro algarismo (não podemos usar o zero,nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos de es-
colher o algarismo do meio (não podemos usar os dois alga-
rismos já empregados nas casas extremas). Logo, temos 4 · 
8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente 
de zero. A resposta é, portanto, 72 + 256 = 328 números. 
b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais 
sofisticada). 
Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, te-
ríamos 5 modos de escolher o último algarismo, 9 modos de 
escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num 
total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem 
números começados por zero, que devem ser descontados. 
Começando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro 
algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 
modos de escolher o do meio (não podemos usar os dois 
algarismos já empregados nas casas extremas), num total de 
1 · 4 · 8 = 32 números. 
A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números. 
c) É claro que também poderíamos ter resolvido o pro-
blema determinando todos os números de 3 algarismos dis-
tintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, 
e abatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 
na última casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 
· 8 · 8 = 320 números. 
Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números. 
Fonte: * Solução proposta pelo prof. Augusto César 
de Oliveira Morgado no livro "Análise Combina-
tória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991. 
EXEMPLO 6 
As placas de automóveis eram todas formadas por 2 le-
tras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje 
em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas 
e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quan-
tas placas de cada tipo podemos formar? 
Solução: 
No primeiro caso 
 
Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e 
cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: 
26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000 
No segundo caso 
 
26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = 
= 175 760 000 
A nova forma de identificação de automóveis possibilita 
uma variedade 26 vezes maior. A diferença é de 
169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas diferentes a 
mais do que anteriormente. 
 
AS PERMUTAÇÕES 
É um tipo muito comum de problemas de contagem, que 
está relacionado com as várias formas de organizar ou arru-
mar os elementos de um conjunto. 
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72
Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que 
inclui várias possibilidades, sendo que cada pessoa adota 
uma estratégia. No entanto, muitas vezes precisamos saber 
de quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de ele-
mentos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o núme-
ro total de possibilidades. 
Consultando um dicionário encontramos: 
PERMUTAR → dar mutuamente, trocar. 
PERMUTAÇÃO: → 
ato ou efeito de permutar, troca, substituição; 
transposição dos elementos de um todo para se obter uma 
nova combinação; 
seqüência ordenada dos elementos de um conjunto. 
EXEMPLO 1 
No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa 
como o da figura abaixo. Cada funcionário do setor gosta de 
arrumar estas caixas em uma ordem diferente (por exemplo: 
entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada etc.). 
De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas? 
 
Solução: 
Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entra-
da (E) – vamos escolher uma delas para ficar embaixo. Esco-
lhida a caixa inferior, sobram 2 escolhas para a caixa que 
ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras. 
Então, usando o princípio multiplicativo temos 
3 · 2 · 1 = 6 opções 
Assim, as soluções são: 
 
EXEMPLO 2 
De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila 
indiana? 
Solução: 
Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas são P1, P2, 
P3, P4, P5, P6 e que precisamos arrumá-las nesta fila: 
 
Deste modo, podemos ter soluções como: 
P1 P3 P5 P2 P4 
 
P5 P2 P1 P3 P4 
etc. 
Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição 
na fila temos cinco pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; 
para o 2º lugar , como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 
opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem esco-
lhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar na 
fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. 
Pelo princípio multiplicativo temos: 
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções 
Permutação 
Dado um conjunto formado por n elementos, chama-se 
permutação desses n elementos qualquer seqüência de n 
elementos na qual apareçam todos os elementos do conjun-
to. 
Os Exemplos 1 e 2 são demonstrações de permutações 
feitas com 3 caixas e 5 pessoas. No Exemplo 2, como na 
maioria dos casos, não descrevemos ou enumeramos todas 
as permutações que podemos encontrar, pois apenas calcu-
lamos o número de permutações que poderíamos fazer. 
Cálculo do número de permutações 
O número de modos de ordenar n objetos distintos é: 
n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 
EXEMPLO 3 
Quantos números diferentes de 4 algarismos podemos 
formar usando apenas os algarismos 1, 3, 5 e 7? 
Solução: 
Como são 4 algarismos diferentes, que serão permutados 
em 4 posições, a solução é: 
4 · 3 · 2 · 1 = 24 números diferentes 
Um novo símbolo 
Uma multiplicação do tipo n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 é cha-
mada fatorial do número n e representada por n! (lemos n 
fatorial). 
n! = n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 
Veja os exemplos: 
a) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 
b) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 
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73
c) 5! · 4! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) (4 · 3 · 2 · 1) = 
 120 · 24 = 2880 
d) 8! = 8 · 7! 
e) 
 
f) 
 
EXEMPLO 4 
Quantos são os anagramas da palavra MARTELO? 
Você sabe o que é um anagrama? 
Anagrama é uma palavra formada pela transposição (tro-
ca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas 
de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se 
outra frase. 
Solução: 
Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação 
das letras M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas 
é o número de permutações possíveis com essas letras, ou 
seja: 
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 
EXEMPLO 5 
Quantos anagramas que comecem e terminem por con-
soantes podemos formar a partir da palavra MARTELO? 
Solução: 
A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a 
consoante final de 3 maneiras. As 5 letras restantes serão 
permutadas entre as duas consoantes já escolhidas. Portan-
to, a resposta é 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas 
EXEMPLO 6 
Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas ape-
nas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dis-
por as 5 pessoas durante a viagem? 
Solução: 
O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 
pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser 
permutadas pelos 4 lugares restantes, logo: 
2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras 
Nos Exemplos 6 e 7 vemos que em alguns problemas 
(que envolvem permutações dos elementos de um conjunto) 
podem existir restrições que devem ser levadas em conta na 
resolução. 
Portanto, fique sempre muito atento ao enunciado da 
questão, procurando compreendê-lo completamente antes de 
buscar a solução. 
EXEMPLO 7 
Num encontro entre presidentes de países da América do 
Sul, apenas 7 confirmaram presença. 
Os organizadores dos eventos que ocorrerão durante a 
visita gostariam de permutar os presidentes possibilitando 
vários contatos diferentes. 
De quantas maneiras podemos permutar os presidentes 
em 7 cadeiras lado a lado? 
Se 2 dos presidentes devem se sentar lado a lado, quan-
tas são as possibilidades de organizá-los? 
Se tivéssemos 2 presidentes que não devem ficar juntos, 
quantas seriam as possibilidades de organizá-los? 
Solução: 
a) O total de permutações possíveis dos 7 presidentes por 
7 cadeiras é 7! = 5040. 
b) Observe que, agora, queremos contar apenas o núme-
ro de permutações nas quais os presidentes A e B aparecem 
juntos, como, por exemplo: 
A B C D E F G 
B A C G D F E 
GA B D C E F etc. 
Então, é preciso contar quantos são os casos em que A e 
B estariam juntos. 
Eles estariam juntos na 1ª e na 2ª cadeiras, na 2ª e na 3ª, 
3ª e 4ª, 4ª e 5ª, 5ª e 6ª ou 6ª e 7ª. Podemos verificar que são 
6 posições e que para cada uma delas poderíamos ter A e B 
ou B e A (2 possibilidades: 6 · 2 = 12). Além disso, devemos 
contar várias vezes no total de permutações cada uma des-
sas 12 possibilidades, como, por exemplo, EFGCDAB, 
FEGCDAB, DEFGAB etc. 
Para sabermos quantas vezes A e B aparecem nas posi-
ções 6 e 7, respectivamente, precisamos contar todas as 
permutações possíveis dos outros 5 presidentes nas 5 posi-
ções restantes. 
Considerando todos estes casos, o número total de posi-
ções em que A e B aparecem junto é 2 · 6 · 5! = 12 · 120 = 
1440 posições 
c) Neste caso, do total de permutações possíveis com os 
7 presidentes (5040) devemos retirar aquelas em que A e B 
aparecem juntos (1440). Portanto, a resposta seria: 
5040 - 1440 = 3600 possibilidades 
Continuando com permutações 
Vimos vários exemplos de permutações denominadas 
“permutações simples” e “permutações simples com restri-
ções”. 
Você deve ter notado que em todos aqueles exemplos 
permutamos objetos distintos: 3 caixas diferentes, pessoas 
diferentes, números formados por algarismos diferentes, 
anagramas da palavra MARTELO (que não têm letras repeti-
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
74
das) etc. Como deveríamos proceder se quiséssemos saber 
o número de anagramas possíveis com as letras da palavra 
MADEIRA ou da palavra PRÓPRIO? 
Você estudará permutações com objetos nem todos dis-
tintos. 
Outro caso que será estudado é o que chamamos de 
permutação circular. Só para você já ir pensando, no Exem-
plo dos 7 presidentes, eles sempre se sentavam lado a lado. 
O que aconteceria se fôssemos arrumá-los numa mesa re-
donda? Será que teríamos o mesmo número de permutações 
diferentes? 
Além de acompanhar cuidadosamente os exemplos, você 
precisa resolver os exercícios, discutir sua solução com ou-
tras pessoas e até inventar problemas. 
Matemática se aprende fazendo! 
Permutações com repetição 
EXEMPLO 1 
A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas 
letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. 
Quantos anagramas podemos formar com essa 
palavra? 
Solução: 
O número de permutações de uma palavra com sete le-
tras distintas (MARTELO) é igual a 7! = 5040. Neste exemplo 
formaremos uma quantidade menor de anagramas, pois são 
iguais aqueles em que uma letra A aparece na 2ª casa e a 
outra letra A na 5ª casa (e vice-versa). 
Para saber de quantas maneiras podemos arrumar as du-
as letras A, precisamos de 2 posições. Para a primeira letra A 
teremos 7 posições disponíveis e para a segunda letra A 
teremos 6 posições disponíveis (pois uma das 7 já foi ocupa-
da). 
Temos então, 21
2
6
7 =⋅ opções de escolha. 
A divisão por 2 é necessária para não contarmos duas 
vezes posições que formam o mesmo anagrama (como, por 
exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições e a 5ª e 2ª posições). 
Agora vamos imaginar que as letras A já foram arrumadas 
e ocupam a 1ª e 2ª posições: 
A A _ _ _ _ _ 
Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 
letras distintas, ou seja, temos 5! = 120 possibilidades. Como 
as 2 letras A podem variar de 21 maneiras suas posições, 
temos como resposta: 
=⋅
⋅
5!
2
67
 21 · 120 = 2520 anagramas da palavra MA-
DEIRA 
EXEMPLO 2 
Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas. Quan-
tas são as maneiras de se retirar da urna, uma a uma, as 10 
bolas? 
Solução: 
Vejamos primeiro algumas possibilidades de se retirar as 
bolas da urna, uma a uma, sendo 6 bolas pretas e 4 bolas 
brancas. 
Nesse exemplo temos uma permutação de 10 elementos. 
Caso fossem todos distintos, nossa resposta seria 10!. No 
entanto, o número de permutações com repetição de 6 bolas 
pretas e 4 bolas brancas será menor. 
Se as bolas brancas (que são iguais) fossem numeradas 
de 1 a 4, as posições seriam diferentes. 
Note que para cada arrumação das bolas brancas temos 
4! = 24 permutações que são consideradas repetições, ou 
seja, que não fazem a menor diferença no caso de as bolas 
serem todas iguais. 
Da mesma forma, para cada posição em que as 6 bolas 
pretas aparecerem não devemos contar as repetições ou as 
trocas entre as próprias bolas pretas. O número de repetições 
é 6! = 720. 
Concluímos, então, que as maneiras de se retirar uma a 
uma 6 bolas pretas e 4 bolas brancas, sem contar as repeti-
ções, é: 
210
24.720
3.628.800
4!6!
10!
== 
EXEMPLO 3 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra 
PRÓPRIO? 
Solução: 
Este exemplo é parecido com o das bolas pretas e bran-
cas. Mas observe que aqui temos 7 letras a serem permuta-
das, sendo que as letras P, R e O aparecem 2 vezes cada 
uma e a letra I, apenas uma vez. 
Como no caso anterior, teremos 2! repetições para cada 
arrumação possível da letra P (o mesmo ocorrendo com as 
letras R e O). O número de permutações sem repetição será, 
então: 
etc... 
2! 2! 2!
7!
 
→número total de permutações de 7 letras. 
→produto das repetições possíveis com as 
letras P, R e O 
630
2 · 2 · 2
5040
= 
Uma expressão geral para permutações com objetos 
nem todos distintos 
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75
Havendo n elementos para permutar e dentre eles um e-
lemento se repete p vezes e outro elemento se repete q ve-
zes, temos: 
q! p!
n!
 
No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 
elementos que se repetem. Neste caso, teremos no denomi-
nador da expressão o produto dos fatoriais de todos os ele-
mentos que se repetem. 
Simplificando fatoriais 
Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador 
pode ser facilmente simplificada. 
Observe os exemplos: 
a) 
7 · 8 · 9 · 10 
6!
6! · 7 · 8 · 9 · 10
 
6!
10!
== 
b) 
67
1
 
5!6 7
5!
 
7!
5!
⋅
=
⋅⋅
= 
c) 
n 
1)!-(n
1)!-n(n
 
1)!-(n
n!
== 
d) 
25
12
45
 
3!2!
3!45
 
3!2!
5!
⋅=
⋅
⋅
=
⋅⋅
= 
Permutações circulares 
Permutações circulares são os casos de permutações em 
que dispomos n elementos em n lugares em torno de um 
círculo. Veja um exemplo. 
De quantos modos podemos formar uma roda com 5 cri-
anças? 
Para formar uma roda com 5 crianças, não basta escolher 
uma ordem para elas. Vamos nomear as 5 crianças por A, B, 
C, D, E. Observe que as rodas por exemplo, são iguais. 
Em cada uma dessas rodas, se seus elementos fossem 
arrumados em fila, teríamos permutações diferentes; no en-
tanto, dispostos de forma circular, não dão origem a rodas 
diferentes; temos 5 rodas iguais, pois a posição de cada 
criança em relação às outras é a mesma e a roda foi apenas 
“virada”. 
Como não queremos contar rodas iguais, nosso resultado 
não é o número de permutações com 5 elementos em 5 posi-
ções, ou seja, 5! = 120. Já que cada roda pode ser “virada” 
de cinco maneiras, o número total de permutações, 120 ro-
das, contou cada roda diferente 5 vezes e a resposta do 
problema é: 
24
5
120
= 
Uma expressão geral para permutações circulares 
Nas permutações simples importam os lugares que 
os objetos ocupam e nas permutações circulares 
importa a posição relativa entre os objetos, ou 
seja, consideramos equivalentes as arrumações 
que possam coincidir por rotação. 
Se temos n objetos, cada disposição equivalente por rota-
ção pode ser obtida de n maneiras. Confirme isso com os 
exemplos a seguir: 
a) 3 elementos: A, B, C. Considere a roda ABC. As rodas 
BCA e CAB são rodas equivalentes. 
b) 8 elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Verifique que as 8 ro-
das abaixo são equivalentes: 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 
8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 
7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 
6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 
5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 
4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 
3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 
2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 
A expressão geral do número de permutações circu-
lares será o número total de permutações, n!, di-
vidido pelas n vezes que cada roda equivalente 
foi contada:10)!(n
n
1)!n(n
n
n!
−=
−
= 
EXEMPLO 4 
Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crian-
ças? 
Solução: 
Podemos formar 
50407!
8
8!
== rodas diferentes. 
EXEMPLO 5 
Se no encontro dos 7 presidentes as reuniões fossem o-
correr ao redor de uma mesa, de quantas maneiras podería-
mos organizá-los? 
Solução: 
7206!
7
7!
== posições circulares diferentes. 
EXEMPLO 6 
Neste mesmo exemplo, o que ocorreria se dois dos 7 pre-
sidentes não devessem sentar juntos? 
Solução: 
Neste caso, poderíamos contar as permutações circulares 
dos outros 5 presidentes e depois encaixar os 2 que devem 
ficar separados nos espaços entre os 5 já arrumados. 
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76
O número de permutações circulares com 5 elementos é 
4! = 24, e entre eles ficam formados 5 espaços. 
Se os presidentes F e G forem colocados em 2 destes 5 
espaços, eles não ficarão juntos. Temos então 5 opções para 
sentar o presidente F e 4 opções (uma foi ocupada por F) 
para sentar o presidente G. 
A resposta a este problema é 5 · 4 · 4! = 480 
AS COMBINAÇÕES 
Até agora você estudou problemas de análise combinató-
ria que envolviam o princípio multiplicativo e as permutações. 
Se observar os problemas de permutações verá que pos-
suem duas características em comum: 
todos os objetos são usados na hora de formar o agrupamen-
to; 
a ordem em que os objetos são arrumados no agrupamento 
faz diferença. 
Nos problemas que envolviam anagramas com as le-
tras de uma palavra, por exemplo, todas as letras 
da palavra original tinham de ser usadas, e a or-
dem em que arrumávamos as letras era impor-
tante, pois cada ordem diferente fornecia um no-
vo anagrama. 
Agora, você estudará um tipo diferente de problema em 
que: 
não utilizamos todos os objetos; 
a ordem em que os objetos são arrumados “não faz diferen-
ça”. 
Vamos começar compreendendo e resolvendo um pro-
blema. 
EXEMPLO 1 
Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco can-
didatos se apresentaram para preencher as vagas. De quan-
tas formas o encarregado da obra pode escolher os três de 
que ele precisa? 
Solução: 
Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 
escolherá apenas 3. 
Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz 
diferença (se escolher primeiro João, depois José e por últi-
mo Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último João, 
o grupo escolhido será o mesmo). 
Assim, você já deve ter notado que este não é um pro-
blema de permutações. 
Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, pode-
ríamos usar o princípio multiplicativo. Nesse caso, teríamos 5 
candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segun-
da e 3 candidatos para a última. A solução seria: 5 · 4 · 3 = 
60. Portanto, haveria 60 formas de escolher os três novos 
pedreiros. 
Usando o princípio multiplicativo, no entanto, contamos 
várias vezes o mesmo grupo de três candidatos: 
João José Pedro 
João Pedro José 
Pedro João José 
Pedro José João 
José Pedro João 
José João Pedro 
Estes seis grupos são iguais e foram contados como a-
grupamentos diferentes nas 60 formas de escolher que en-
contramos. Para “retirar” as repetições destes e de outros 
grupos, vamos dividir o resultado pelo número de vezes que 
eles se repetem na contagem. Que número é esse? 
Os grupos repetidos são as formas de .embaralhar. três 
candidatos escolhidos. 
Ora “embaralhar” três objetos é fazer permutações! O 
número de permutações de 3 objetos você já sabe que é 3! = 
6. Logo, basta dividir 60 por 6 para não contarmos as repeti-
ções dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 
maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 
candidatos. 
UMA FÓRMULA PARA O CÁLCULO DAS COMBINAÇÕES 
Esse tipo de agrupamento chama-se combinação. No 
caso do nosso exemplo, temos uma combinação de 5 objetos 
(os 5 candidatos) 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos). 
Vamos supor que temos n objetos disponíveis para esco-
lha e que, destes, vamos escolher p objetos (p < n). O núme-
ro de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combi-
nação e representa-se por 
p
nC . Portanto, o número de com-
binações de n elementos p a p é calculado por: 
)p!p!(n
n!p
nC
−
= 
Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3. Aplicando a fór-
mula, obtemos: 
2!3!
5!
)3!3!(5
5!
C3
5 =
−
= 
Vamos resolver mais alguns problemas nos próximos e-
xemplos. Leia com atenção o enunciado, interprete-o e tente 
resolver cada exemplo sozinho. Só depois disso leia a solu-
ção. 
Assim você poderá verificar se realmente compreende o 
problema e sua solução. 
EXEMPLO 2 
Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emer-
gência. Dez acidentados de um ônibus chegam e é preciso 
escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em ma-
cas, no corredor do hospital. De quantas formas poderíamos 
escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos? 
Solução: 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
77
Na realidade, os responsáveis pela emergência estudari-
am cada caso e escolheriam os mais graves, mas imagine 
que todos tenham a mesma gravidade. 
Nesse caso, há duas coisas a observar: de 10 pessoas, 5 
serão escolhidas e a ordem em que a escolha é feita não 
importa. Trata-se, então, de uma combinação onde: 
n = 10 (número de “objetos” disponíveis) 
p = 5 (número de .objetos. a serem escolhidos) 
Usando a fórmula, temos: 
5!5!
10!
)5!5!(10
10!
C5
10 =
−
= 
Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão 
ocupar os 5 leitos. 
EXEMPLO 3 
Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 
15 funcionários se inscreveram, dizendo que aceitam jogar 
em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher 
os 11 jogadores do time? 
Solução: 
De 15 operários, 11 serão escolhidos e a ordem de esco-
lha não importa, pois queremos escolher apenas os jogado-
res sem determinar as posições em campo. 
Temos, então, as características de uma combinação de 
15 pessoas (n = 15) para formar grupos de 11 (p = 11). 
Usando a fórmula: 
1365
)11!11!(15
15!
C11
15 =
−
= 
Assim, os jogadores podem ser escolhidos de 1 365 for-
mas diferentes. 
EXEMPLO 4 
Os 15 funcionários da empresa decidem escolher uma 
comissão de 3 membros para reivindicar apoio financeiro da 
diretoria ao novo time de futebol. Beto começou a pensar em 
todas as comissões possíveis em que ele pudesse ser um 
dos membros, e nas quais Edu não estivesse. Em quantas 
comissões Beto poderia pensar? 
Solução: 
Como Edu não pode participar de nenhuma das comis-
sões pensadas por Beto, podemos retirá-lo do problema. 
Temos, então, 14 funcionários para formar comissões de 3. 
Como um dos membros sempre é o Beto, precisamos 
descobrir os outros dois membros que devem ser escolhidos 
dentre 13 pessoas (Beto já foi “escolhido”). 
Assim, concluímos que o número máximo de comissões 
diferentes que Beto poderia pensar é: 
11!2!
13!
)2!2!(13
13!
C2
13 =
−
= 
EXEMPLO 5 
De quantos modos podemos formar 2 times de vôlei com 
12 moças? 
Solução: 
Como cada um dos times deve ter 6 jogadoras, o primeiro 
pode ser escolhido de 6
12C modos. Escolhido esse time, 
sobram exatamente 6 moças para formar o segundo. A res-
posta, então, parece ser 1C6
12 ⋅ . No entanto, contamos cada 
time duas vezes. Observe, por exemplo, que as formações 
abaixo são idênticas: 
a, b, c, d, e, f e g, h, i, j, l, m 
 ou 
g, h, i, j, l, m e a, b, c, d, e, f 
 
A resposta correta é: 
462
6!6!
12!
2
1
2
1C6
12 =⋅=
⋅
 
Assim, temos então 462 modos de formar os 2 ti-
mes.(Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br). 
PROBABILIDADES 
Introdução 
Quando usamos probabilidades? 
Ouvimos falar desse assunto em situações como: a pro-
babilidade de ser sorteado, de acertar numa aposta, de um 
candidato vencer uma eleição, de acertar o resultado de um 
jogo etc. Portanto, usamos probabilidades em situações em 
que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é 
possível saber, prever, qual deles realmente vai ocorrer em 
cada situação.Ao lançarmos para o alto uma moeda e quisermos saber 
se o resultado é cara ou coroa, não podemos prever o resul-
tado mas podemos calcular as chances de ocorrência de 
cada um. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um 
resultado. 
Por meio dos exemplos desta aula, você aprenderá o cál-
culo de probabilidades. 
EXEMPLO 1 
Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moe-
da? 
 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
78
 
coroa cara 
Solução: 
Raciocinando matematicamente, os resultados cara e co-
roa têm as mesmas chances de ocorrer. Como são duas 
possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que as chances 
de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que dizer que a 
probabilidade de o resultado ser cara é ou 0,5 ou 50%. 
Neste exemplo calculamos intuitivamente a probabilidade 
de o resultado ser cara e você deve ter percebido que a pro-
babilidade de dar coroa é a mesma, 50%. 
No entanto, quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 
50% isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser 
cara e o outro vai ser coroa. O fato de a probabilidade ser ½ 
ou 50% quer dizer apenas que as chances são iguais e que, 
se fizermos muitos lançamentos, é provável que aproxima-
damente metade deles dê cara como resultado. 
O conceito de probabilidade 
EXEMPLO 2 
O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 
ingresso da final de um campeonato para que fosse sorteado. 
Após escreverem seus nomes em papéis idênticos, coloca-
ram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que 
cada um tem de ser sorteado? 
Solução: 
Os 5 funcionários têm todos a mesma chance de serem 
sorteados. No caso de Paulo, por exemplo, as chances de 
ser sorteado são de 1 para 5, ou 1/5. Então, podemos dizer 
que a chance, ou a probabilidade, de cada um deles ser sor-
teado é de 1/5 , ou 0,2, ou ainda 20%. 
EXEMPLO 3 
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o re-
sultado ser um número par? 
Solução: 
Para que o resultado seja par devemos conseguir: 
 
Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um 
total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. 
Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer 
é 3/6 ou 1/2 . 
Generalizando essa solução: 
P (par) 
= 
nº de resultados favoráveis a 
E =
6
3
=
2
1
= 
50% 
nº total de resultados possí-
veis 
Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser 
par. 
Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais 
resultados possíveis, todos com a mesma chance de ocorrer. 
A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um con-
junto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigên-
cia E, é representado por p (E) e calculado por: 
p (E) = 
nº de resultados favoráveis a 
E 
nº total de resultados possí-
veis 
EXEMPLO 4 
No Exemplo 2 da Aula 48 vimos que, num restaurante que 
prepara 4 pratos quentes, 2 saladas e 3 sobremesas diferen-
tes, existem 24 maneiras diferentes de um freguês se servir 
de um prato quente, uma salada e uma sobremesa. 
No Exemplo 3 daquela aula descobrimos que havia, den-
tre os 24 cardápios possíveis, 6 cardápios econômicos. Qual 
a probabilidade de um freguês desavisado escolher uma das 
opções mais caras? 
Solução: 
Já sabemos que a probabilidade de escolher os mais ca-
ros será: 
p(mais caro) 
= 
nº de cardápios mais 
caros 
nº de cardápios possí-
veis 
Se temos 6 opções econômicas num total de 24, temos 
24 - 6 = 18 opções mais caras. Como o número de cardápios 
possíveis é 24, então: 
p(mais caro) =
54
18
=
4
3
= 0,75 = 75% 
As chances de esse freguês escolher um dos cardápios 
mais caros é de 75%. 
EXEMPLO 5 
Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de 
mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se 
uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela 
ser branca? 
Solução: 
p(branca) = 
nº de bolas bran-
cas =
10
2
=
5
1
= 20% 
nº total de bolas 
EXEMPLO 6 
De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas reti-
ramos uma das cartas ao acaso. Qual a probabilidade de: 
a) ser um ás? 
ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente!
79
b) ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 
como coringa? 
Solução: 
O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (ás, 
2 a 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, 
ouro, paus e espadas) e 2 coringas. 
a) p (ás) 
= 
nº de ases existen-
tes =
54
4
= 0,07 = 
7% nº total de cartas 
 
b) Como as 4 cartas com nº 2 também são consideradas 
coringas, a probabilidade de tirar um coringa será: 
p(coringa) = 
nº de coringas 
=
54
6
= 0,11 = 
11% 
nº total de cartas 
EXEMPLO 7 
Em análise combinatoria, vimos que, com 6 homens e 3 
mulheres, podemos formar 5
9C = 126 grupos de 5 pessoas e 
5
6C = 6 grupos de 5 pessoas nos quais só escolhemos ho-
mens. Supondo que as chances de cada um dos grupos é a 
mesma, qual a probabilidade de escolher: 
a) um grupo onde não há mulheres; 
b) um grupo onde haja pelo menos uma mulher. 
Solução: 
a) p (não mulher) =
126
6
= 0,05 = 5% 
b) p (pelo menos 1 mulher) =
126
120
= 0,95 = 95% 
Os valores possíveis para as probabilidades 
No Exemplo 7 os grupos contados em a) e em b) comple-
tam todos os grupos possíveis (6 + 120 = 126). Portanto as 
possibilidades somadas darão 
126
6
+
126
120
=
126
126
ou 100% 
(5% + 95%). 
Já sabemos que: 
p (E) = 
nº de resultados favoráveis a E 
nº total de resultados possíveis 
A quantidade m será escolhida dentre as n existentes, por 
isso m deverá ser menor ou igual a n (m ≤ n) e a fração 
n
m
será menor ou igual a 1: p (E) ≤1. 
Caso a condição E exigida não possa ser cumprida, ou 
seja, se não houver nenhum resultado favorável a E, o núme-
ro m será zero e p (E) = 
n
m
= 0 
Percebemos ainda que a fração 
n
m
será sempre positiva 
pois m e n são números naturais. 
Assim, podemos concluir que: 
0 ≤
n
m
≤ 1 ou 0 ≤ p (E) ≤ 1 
EXEMPLO 8 
Com os algarismos 1, 3 e 5 formamos todos os números 
de 3 algarismos possíveis. Dentre eles escolhemos um nú-
mero, ao acaso. 
a) Qual a probabilidade de escolher um número que seja 
múltiplo de 3? 
b) Qual a probabilidade de o número escolhido ser par? 
Solução: 
O total de números formados por 3 algarismos é igual ao 
número de permutações possíveis com os algarismos 1, 3 e 5 
em três posições, ou seja, 3! = 6. 
a) Como a soma dos algarismos 1 + 3 + 5 é igual a 9, que 
é um múltiplo de 3, qualquer um dos números formados será 
múltiplo de 3. Assim, a probabilidade de isso ocorrer será: 
P (múltiplo de 3) =
6
6
= 1 
b) Como qualquer dos algarismos 1, 3 e 5 colocados no 
final do número formado gera um número ímpar, não forma-
remos nenhum número par. 
Assim, como a quantidade de casos favoráveis é zero, 
temos: 
p (par) =
6
0
= 0 
Um pouco de história 
Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram 
motivados pela análise de jogos de azar. Sabe-se que um 
dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das 
probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época a 
expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabi-
lidade de um evento (número de casos favoráveis dividido 
pelo número de casos possíveis). 
Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria 
das probabilidades começou a evoluir e ganhar mais consis-
tência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida 
social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vaci-
na contra a varíola no século XVIII. 
Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada 
em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatís-
tica), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), 
da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Socio-
logia etc. 
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80
Exercícios 
Exercício 1 
De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao aca-
so. 
a) Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei? 
b) Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura 
(valete, dama ou rei)?Exercício 2 
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o 
número obtido ser menor ou igual a 4? 
Exercício 3 
No lançamento de dois dados, um verde e outro verme-
lho, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos 
seja: 
a) 7 
b) 1 
c) maior que 12 
d) um número par 
Exercício 4 
Na Aula 48 vimos que na SENA existem 11.441.304.000 
maneiras de escolher 6 números de 01 a 50. Se você apostar 
em 6 números, qual a probabilidade de sua aposta ser a 
sorteada? 
Exercício 5 
O que acontece se você apostar em 5 números de 01 a 
100? Qual a probabilidade de você acertar a quina de núme-
ros sorteada? 
Exercício 6 
Suponha que sejam iguais as chances de qualquer uma 
das placas novas para automóveis (3 letras e 4 números) ser 
escolhida para o seu automóvel. 
Qual a probabilidade de você receber uma placa com as 
iniciais de seu nome em qualquer ordem? 
Respostas: 
1. a) 
52
4
= 
13
1
= 7,69% 
b) 
52
12
= 
3
2
= 23% 
2. 
6
4
= 
13
1
= 67% 
3. a) 
36
6
= 
6
1
= 17% 
b) 0 
c) 0 
d) 
36
24
= 67% 
4. 
01144130400
1
= 0,000 000 000 087 = 
0,000 000 0087% 
5. 
9034502400
1
= 0,000 000 000 11 = 
0,000 000 011% 
6. 
431026
3!
=
175760000
6
= 0,000 000 034 = 
 0,000 003 4%�
Calculando probabilidades 
Você já aprendeu que a probabilidade de um evento E é: 
p (E) = 
nº de resultados favoráveis a 
E 
nº total de resultados possí-
veis 
 
Iremos calcular a probabilidade de ocorrência de um e-
vento e outro, bem como a ocorrência de um ou outro evento. 
Em muitas situações a ocorrência de um fato qualquer de-
pende da ocorrência de um outro fato; nesse caso dizemos 
que são ocorrências dependentes. Em situações onde não há 
essa dependência, precisamos calcular probabilidades de 
duas situações ocorrerem ao mesmo tempo. 
Para abordarmos situações como as que acabamos de 
descrever, utilizaremos vários exemplos durante esta aula. 
Leia-os com bastante atenção e procure refazer as soluções 
apresentadas. 
Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de 
outro 
EXEMPLO 1 
Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que 
um jovem, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é 
5
1
. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem 
saiba jogar futebol é 
6
5
. Qual a probabilidade de escolher-
mos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e 
saiba jogar futebol? 
Solução: 
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81
O fato de ter média maior que 7,0 não depende do 
fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando 
isso ocorre, dizemos que os eventos são inde-
pendentes. 
Considere então os eventos: 
A: ter média acima de 7,0. 
B: saber jogar futebol. 
A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol. 
Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de 
todos os jovens, 
5
1
têm média acima de 7,0 e 
6
5
 sabem jogar 
futebol. Ora, 
6
5
 de 
5
1
, ou seja, 
6
5
 x 
5
1
= 
6
1
, sabem jogar 
futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 
6
1
 . 
Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) 
· P (B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos 
independentes (não têm “nada a ver” um com o outro): 
P (A e B) = P (A) · P (B) 
EXEMPLO 2 
Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 
25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um 
desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja 
canhoto e vá de ônibus para o trabalho? 
Solução: 
Considere os eventos: 
A : ser canhoto 
B : ir de ônibus para o trabalho 
É claro que A e B são eventos independentes, portanto 
um não depende em nada do outro. A probabilidade de os 
dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada 
por P (A e B) = P (A) · P (B). 
Calculando: 
P (A) =
30
10
=
3
1
 
P (B) =
30
25
=
6
5
 
P (A e B) = P (A) · P (B) =
3
1
x
6
5
=
18
5
 
A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus 
para o trabalho é de
18
5
. 
EXEMPLO 3 
Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada 
por 3 etapas consecutivas: natação, corrida e ciclismo). A 
probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a 
primeira etapa (natação) é 
7
4
 . Para continuar na competição 
com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado 
a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a 
probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a 
segunda é 
4
3
. Qual a probabilidade de que um atleta que 
iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a primeira 
e a segunda etapas? 
Solução: 
A : terminar a 1ª etapa da prova (natação). 
B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida), tendo terminado 
a 1ª. 
Note que A e B não são eventos independentes pois, para 
começar a 2ª etapa é necessário, antes, terminar a 1ª. 
Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B de-
pende (está condicionada) à ocorrência do evento A. 
Utilizamos então a notação B/A, que significa a depen-
dência dos eventos, ou melhor, que o evento B/A denota a 
ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso 
deste exemplo, temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida), 
sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação). 
E agora? Como calcular P (A e B)? 
É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) 
= P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B 
depende da ocorrência de A. 
O enunciado deste problema nos diz que P(A) 
=
7
4
P(B/A)= 
4
3
; assim, 
P(A e B) = P(A) · P(B/A)= 
7
4
x
4
3
=
7
3
 
A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, 
termine a 1ª e a 2ª etapas é 
7
3
. 
Quando A e B não são eventos independentes a probabi-
lidade de ocorrência de A e B é calculada por: 
P (A e B) = P (A) · P (B/A) 
onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocor-
reu. 
EXEMPLO 4 
No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilida-
de de aprovação na prova escrita é 
10
9
 . Depois de ser apro-
vado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para 
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82
os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de 
passar nessa prova prática é 
3
2
. 
Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao 
acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e práti-
ca e tire a carteira de motorista? 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: aprovação na prova escrita. 
B: aprovação na prova prática de direção. 
Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso 
ter aprovação na prova escrita e para fazer a prova prática de 
direção. Como a ocorrência de B está condicionada à ocor-
rência de A, criamos o evento: 
B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendo 
que o candidato foi aprovado na prova escrita. 
Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A) 
Calculando: 
P(A) =
10
9
 
P(B/A) =
3
2
 
P(A e B) =
10
9
x
3
2
=
5
3
 
A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de 
direção é 
5
3
. 
Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento 
ou outro 
EXEMPLO 5 
Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colôm-
bia. No primeiro tempo, a seleção brasileira cometeu 10 fal-
tas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 
por André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram repri-
sados, dentre os quais uma falta cometida pelo Brasil, esco-
lhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta escolhida 
seja de Leonardo ou de André Cruz? 
Solução: 
Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. 
Portanto, os dois juntos cometeram 6 das 10 faltas do Brasil. 
Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhi-
da dentre as 10 é 
10
6
 = 
5
3
. 
Também podemos resolver este problema da se-
guinte maneira: 
probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 
10
3
 . 
probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = 
10
3
 . 
probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois 
jogadores= 
10
3
 + 
10
3
 = 
10
6
 = 
5
3
 
. 
Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá 
um resultado favorável. 
Se A e B são os eventos (escolheruma falta de Leonardo 
ou escolher uma falta de André Cruz), estamos interessados 
na probabilidade do evento A ou B. 
Temos então: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometi-
da pelos dois jogadores ao mesmo tempo, ou seja, o evento 
A e B é impossível. 
EXEMPLO 6 
Uma empresa que fabrica suco de laranja fez uma pes-
quisa para saber como está a preferência do consumidor em 
relação ao seu suco e ao fabricado por seu principal concor-
rente. Essa empresa é chamada SOSUMO, e seu concorren-
te SUMOBOM. A pesquisa concluiu que dos 500 entrevista-
dos, 300 preferiam o SUMOBOM, 100 consumiam os dois, 
250 preferiam SOSUMO e 50 
nenhum dos dois. Um dos entrevistados foi escolhido ao 
acaso. Qual a probabilidade de que ele seja: 
a) consumidor de SOSUMO e SUMOBOM; 
b) consumidor de SOSUMO ou SUMOBOM. 
Solução: 
a) De acordo com a pesquisa dos 500 entrevistados, 100 
consomem os dois sucos. Logo, a probabilidade de que um 
entrevistado, escolhido ao acaso, consuma os dois sucos é: 
500
100
 = 
5
1
. 
b) Usando o raciocínio do Exemplo 5, para saber a proba-
bilidade da ocorrência de um evento ou outro, somamos as 
probabilidades de os dois eventos ocorrerem separadamente. 
Mas, neste exemplo, devemos tomar cuidado com o seguinte: 
existem pessoas que consomem os dois sucos indiferente-
mente, compram o que estiver mais barato, por exemplo. 
Assim, não podemos contar essas pessoas (que consomem 
um e outro) duas vezes. 
Observe que a soma dos resultados é maior que o 
número de entrevistados (300 + 100 + 200 + 50 = 
650), ou seja, há pessoas que, apesar de preferi-
rem um dos sucos, consomem os dois. Para faci-
litar daremos nomes aos eventos: 
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83
A : preferir o SOSUMO 
B: preferir o SUMOBOM 
A e B: consumir SOSUMO e SUMOBOM 
A ou B: consumir SOSUMO ou SUMOBOM 
Repare que este ou quer dizer: apenas o SOSUMO ou 
apenas o SUMOBOM. 
Fazendo P(A ou B) = P(A) + P(B) estamos contando duas 
vezes as pessoas que apesar de preferirem um dos sucos, 
consomem os dois. Logo, devemos 
subtrair de P(A) + P(B) o resultado de P(A e B) para retirar 
a “contagem dobrada”. 
Temos então: 
P (A ou B) = P (A) + P (B) P (A e B) 
Calculando: 
P(A) =
500
250
=
2
1
 
P(B) =
500
300
=
5
3
 
P(A e B) =
500
100
 = 
5
1
 
P(A ou B) =
2
1
+
5
3
-
5
1
=
2
1
+
5
2
=
10
45 +
=
10
9
 
A probabilidade de que o escolhido consuma um suco ou 
outro é 
10
9
. 
Observação 
Em exemplos como o que acabamos de ver há outras so-
luções possíveis. 
Observe que o evento A ou B (consumir um suco ou ou-
tro) deve incluir como casos favoráveis todas as pessoas que 
não fazem parte do grupo dos que não consomem esses dois 
sucos. 
Sabíamos que dos 500 entrevistados, 50 pessoas consu-
miam nenhum dos dois e a probabilidade de escolhermos 
uma dessas pessoas ao acaso era 
500
50
, ou seja, 
10
1
 . As-
sim, podíamos concluir que a probabilidade de não fazer 
parte desse grupo era 1 - 
10
1
 = 
10
9
, raciocinando por exclu-
são. 
Exercícios propostos. 
Exercício 1 
Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de 
que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em 
casa é 
12
11
. Já a probabilidade de esse habitante ser um 
comerciante é 
11
1
. Escolhendo um habitante dessa cidade 
ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em 
casa e seja comerciante? 
Exercício 2 
Alguns professores estão prestando concurso para dar 
aulas em uma escola. 
Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de se-
rem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele 
que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo 
que a probabilidade de aprovação na prova escrita é 
4
1
e de 
aprovação na prova prática (depois de ser aprovado na escri-
ta) é 
3
2
, calcule a probabilidade de que um professor, esco-
lhido ao acaso, seja contratado. 
Exercício 3 
Em uma noite de sexta-feira, pesquisadores percorreram 
500 casas perguntando em que canal estava ligada a televi-
são. Desse modo, descobriram que em 300 casas assistiam 
ao canal VER-DE-PERTO, 100 viam o canal VERMELHOR e 
outras 100 casas não estavam com a TV ligada. Escolhida 
uma 
das 500 casas, ao acaso, qual a probabilidade de que a 
TV esteja sintonizada no canal VER-DE-PERTO ou no canal 
VER-MELHOR? 
Exercício 4 
Dos 140 funcionários de uma fábrica, 70 preferem a mar-
ca de cigarros FUMAÇA, 80 preferem TOBACO e 30 fumam 
ambas sem preferência. 
Sabendo que 20 funcionários não fumam, calcule a pro-
babilidade de que um funcionário, escolhido ao acaso: 
a) fume FUMAÇA e TOBACO 
b) fume FUMAÇA ou TOBACO 
Exercício 5 
Com as mesmas informações do exercício anterior, calcu-
le a probabilidade de que um funcionário, escolhido ao acaso: 
a) fume só FUMAÇA 
b) fume só TOBACO 
c) fume só FUMAÇA ou só TOBACO 
d) não fume nenhuma das duas marcas de cigarro 
e) não fume FUMAÇA 
f) não fume TOBACO 
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84
Respostas 
1. Eventos independentes: 
12
1
 
2. Eventos dependentes: 
6
1
 
3. 
500
300
+ 
500
100
=
500
400
=
5
4
 
4. a) P (A e B) = 
140
30
= 
14
3
 
 
b) P (A ou B) = 
140
503040 ++
=
140
120
=
7
6
 
5. a) 
140
40
=
7
2
 
b) 
140
50
=
14
5
 
c) 
140
5040 +
=
14
9
 
d) 
140
20
=
7
1
 
e) 
140
2050 +
=
140
70
=
2
1
 
f) 
140
2040 +
=
140
60
=
7
3
 
Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
CONCEITOS: 
Conjunto: representa uma coleção de objetos. 
O conjunto de todos os brasileiros. 
O conjunto de todos os números naturais. 
O conjunto de todos os números reais tal que x²-
4=0. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasi-
leiros. 
1 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
-2 é um elemento do conjunto dos números reais 
que satisfaz à equação x²-4 = 0. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado 
por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. 
Pertinência: é a característica associada a um ele-
mento que faz parte de um conjunto. 
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 
1 pertence ao conjunto dos números naturais. 
-2 pertence ao conjunto de números reais que satis-
faz à equação x²-4 = 0. 
Símbolo de pertinência: Se um elemento per-
tence a um conjunto utilizamos o símbolo 
que se lê: "pertence". 
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 
pertence ao conjunto dos números naturais, escreve-
mos: 
1 N 
 
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 
0 não pertence ao conjunto dos números naturais, es-
crevemos: 
0 N 
Um símbolo matemático muito usado para a nega-
ção é a barra / traçada sobre o símbolo normal. 
 
Algumas notações para conjuntos 
Muitas vezes, um conjunto é representado com os 
seus elementos dentro de duas chaves { e } através de 
duas formas básicas e de uma terceira forma geométri-
ca: 
Apresentação: Os elementos do conjunto estão den-
tro de duas chaves { e }. 
A={a,e,i,o,u} 
N={1,2,3,4,...} 
M={João,Maria,José} 
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais 
propriedades. 
A={x: x é uma vogal} 
N={x: x é um número natural} 
M={x: x é uma pessoa da família de Maria} 
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os 
conjuntos são mostrados graficamente. 
 
Subconjuntos 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido 
em B, denotado por A B, se todos os elementos de A 
também estão em B. Algumas vezes diremos que um 
conjunto A está propriamente contido em B, quando o 
conjunto B, além de conter os elementos de A, contém 
também outros elementos. O conjunto A é denominado 
subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que 
contém A. 
 
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui ele-
mentos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto 
vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto universo: É um conjuntoque contém todos 
os elementos do contexto no qual estamos trabalhando 
e também contém todos os conjuntos desse contexto. 
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85
O conjunto universo é representado por uma letra U. 
Na seqüência não mais usaremos o conjunto universo. 
 
Reunião de conjuntos 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos 
os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao con-
junto B. 
A B = { x: x A ou x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A 
 B={a,e,i,o,3,4}. 
 
Interseção de conjuntos 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao 
conjunto B. 
A B = { x: x A e x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A
B=Ø. 
 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o 
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são dis-
juntos. 
 
Propriedades dos conjuntos 
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interse-
ção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos 
no universo. 
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se 
que: 
A A = A e A A = A 
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, 
tem-se que: 
A A B, B A B, A B A, A B B 
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os con-
juntos A e B, tem-se que: 
A B equivale a A B = B 
A B equivale a A B = A 
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C) = (A B) C 
A (B C) = (A B) C 
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e 
B, tem-se que: 
A B = B A 
A B = B A 
Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø 
é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal 
que para todo conjunto A, se tem: 
A Ø = A 
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do 
conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, forne-
ce o próprio conjunto vazio. 
A Ø = Ø 
Elemento neutro para a interseção: O conjunto uni-
verso U é o elemento neutro para a interseção de con-
juntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A U = A 
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B 
e C, tem-se que: 
A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = 
(A B) (A C) 
Os gráficos abaixo mostram a distributividade. 
 
 
Diferença de conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não 
pertencem ao conjunto B. 
A-B = {x: x A e x B} 
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista 
como: 
 
 
Complemento de um conjunto 
O complemento do conjunto B contido no conjunto 
A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos 
A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto 
B. 
CAB = A - B = {x: x A e x B} 
Graficamente, o complemento do conjunto B no 
conjunto A, é dado por: 
 
Quando não há dúvida sobre o universo U em que 
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c 
posta como expoente no conjunto, para indicar o com-
plemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a pala-
vra complementar no lugar de complemento. 
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø. 
 
Leis de Augustus De Morgan 
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B 
é a interseção dos complementares desses conjuntos. 
(A B)c = Ac Bc 
O complementar da reunião de uma coleção finita 
de conjuntos é a interseção dos complementares des-
ses conjuntos. 
(A1 A2 ... An)c = A1
c A2
c ... An
c 
O complementar da interseção de dois conjuntos A 
e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. 
(A B)c = Ac Bc 
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O complementar da interseção de uma coleção fini-
ta de conjuntos é a reunião dos complementares des-
ses conjuntos. 
(A1 A2 ... An)c = A1
c A2
c ... An
c 
 
Diferença simétrica 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o 
conjunto de todos os elementos que pertencem à reu-
nião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção 
dos conjuntos A e B. 
A B = { x : x A B e x A B } 
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétri-
ca é: 
 
 
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se 
mostrar que: 
A=Ø se, e somente se, B=A B. 
O conjunto vazio é o elemento neutro para a opera-
ção de diferença simétrica. Usar o item anterior. 
A diferença simétrica é comutativa. 
A diferença simétrica é associativa. 
A A=Ø (conjunto vazio). 
A interseção entre A e B C é distributiva, isto é: 
A (B C) = (A B) (A C) 
A B está contida na reunião de A C e de B 
 C, mas esta inclusão é própria, isto é: 
A B (A C) (B C) 
 
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br 
Significado de comparação 
 
a comparação não é entre dois ou mais objetos, ou um 
processo que faz com que o ser humano a fim de identificar 
os diferentes aspectos que relacionam-se através de uma 
análise sensorial.Sua base principal é detalhando as 
semelhanças ou diferenças que apresentam elementos com 
um símile, uma vez que é ilógico fazer uma comparação 
entre duas coisas que não têm nada em comum.a 
comparação pode ser definida do ponto de vista técnico, no 
entanto, temos ideias claras do que é uma parte do termo 
diário do dia-a-dia. 
 
Uma comparação experimental é feita através do processo 
de observação das reações de cada um dos elementos 
envolvidos.Por exemplo na química deste meio de estudo 
como uma ferramenta é usado para observar a resposta dos 
elementos químicos para suas interações.Geralmente em 
laboratórios já testei a maioria das reações entre elementos, 
no entanto, a nível de estudo permanecem incógnitas de 
parâmetros e comparativo para poder prosseguir com uma 
prática mais do que o ensino teórico.a comparação em vários 
campos em que é aplicada visa a própria interação do 
homem com o meio ambiente.o conceito de símile que 
falamos que a resposta do ser humano na presença de dois 
ou mais elementos cujas características correspondem 
mesmo quando têm semelhança é automática, que nos dá a 
idéia de também aplicar a mesma referência quando falamos 
de uma comparação. 
 
a razão por que uma pessoa compara uma coisa a outra é 
diversificada e vai de acordo com a necessidade naquele 
momento.Se uma mulher é encontrado nos corredores de um 
supermercado, é comparar os preços do produto que você 
está procurando, automaticamente está fazendo uma relação 
entre o preço e a qualidade do produto, em seguida, a análise 
comparativa ultrapassa o que você tem inicialmente num 
ápice.Comparação em um certo ponto pode tornar-se 
retórica, esta figura que se relaciona com quem fala, mas 
tente não ser interpretado exatamente como suas palavras 
indicam, pretende fazer uma comparação subliminar, um 
pouco, tornando-se inexpressivo de verdade. 
Definição de comparação 
Comparação (do latim comparat
o) é a ação ou efeito de 
comparar.Esta palavra refere-se a chamar a atenção para 
duas ou mais coisas para reconhecer suas diferenças e 
semelhanças e descobrir as suas relações.Comparar, 
portanto, é verificada. 
 
Por exemplo: "a comparação entre o espaço de dois foguetes 
mostra que os EUA é muito mais avançada", "nenhum 
jogador de futebol consegue resistir a comparação com Diego 
Maradona", "a comparação dos dois casos que o analista 
encontrou-Me muito interessante". 
 
a comparação pode se concentrar em aspectos físicos ou 
questões simbólicas.Desta forma, duas pessoas podem ser 
comparadas diferente.Uma comparação física irá revelar que 
um é mais elevado, menos gordura e canosa mais do que a 
outra.Comparando as personalidades, sem dúvida uma das 
duas pessoas está mais sociável, muitas vezes expressas em 
voz alta nas reuniões e dedica-se mais facilmente links. 
Na gramática, a comparação indica três diferentes graus de 
adjetivos: positivo, comparativo e superlativo.o adjetivo limpo 
pode aparecer no grau positivo ("a água está limpa"), no grau 
comparativo ("água desta lagoa é mais limpa que a água da 
fonte") ou no grau superlativo ("água desta lagoa é terrível"). 
O recurso de comparação pode também criar umafigura 
retórica, conhecida como símile, que é definida com 
elementos de relacionamento como "é" ou "como": "as mãos 
como martelos destruíram as golpes de porta", "ladrão andou 
em torno dos telhados que gato à noite". Bibliografia - 
Wikipédia 
 
 
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