Resolução Exercicios Mdc, Mmc e Números Primos

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1 Desmarcar para revisão
O Máximo Divisor Comum �MDC� éum conceito essencial em teoria dos números e
tem diversas aplicaçốes em matemática e em problemas do mundo real.
Considere os dois inteiros a = − 12 e b = − 20. Determinando o mdc entre esses
dois números, obtemos
�4
4
12
�12
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Vamos determinar o conjunto dos divisores positivos de e .
mdc(−12, −20) = mdc(12, 20)
a = 12 b = 20
Questão 1
de
10
Corretas �8�
Incorretas �2�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio Mdc, Mmc e Números Primos Sair
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A
B
C
D
E
Conjunto dos divisores positivos O maior divisor comum
será: 
D(20) = {1,2,4, 5, 10, 20}
D(12) = {1,2, 3,4, 6, 12}
D(12, 20) = {1, 2, 4}
mdc(20, 12) = 4
2 Desmarcar para revisão
Usando 0 algoritmo de Euclides para determinar , obtemos a
tabela abaixo.
A partir do mdc e do produto dos números, determine o .
mdc(272, 1479)
mmc(272, 1479)
272
1479
23664
402228
119
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
mdc(272, 1479) = 17
a ⋅ b = 402228
402228 = 17 ⋅ mmc(a, b)
mmc(a, b) = 23664
3 Desmarcar para revisão
A decomposiçẫo canônica serve para representar os números inteiros por meio do
produto das potencias dos números primos que o compồm. Com o auxílio da
decomposiçăo canônica dos inteiros 200 e 120 , determine o
200
120
600
300
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Sabemos que o mmé é igual ao produto dos fatores comuns e nãõ comuns
com seus maiores expoentes.
Decompondo: e 200 = 23 ⋅ 52 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5
mmc(200, 120) = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 = 600
4 Desmarcar para revisão
O Teorema Fundamental da Aritmética descreve a unicidade da decomposição de
números. Determinando a decomposição canônica do inteiro 2500, obtemos:
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A
B
C
D
E
A
B
C
Resposta correta
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Gabarito Comentado
2500 = 22 ⋅ 54
5 Desmarcar para revisão
Algoritmo de Euclides opera em uma sequência sistemática de divisôes, criando
um ritmo de cálculo onde o resto de uma etapa se torna central para a próxima.
Utilizando o Algoritmo de Euclides, determinando os inteiros que verificam a
igualdade , obtemosmdc(24, 138) = 24x + 138y
 е x = 24 y = 138
 е x = −6 y = 1
 е x = 6 y = 1
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D
E
A
B
C
 e x = −6 y = −1
 e x = 6 y = −1
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Escreveremos agora o mdc como combinação linear de 24 e
138 . Basta substituirmos pelos valores dos restos das equaçốes anteriores.
Assim, ficamos 
mdc(24, 138) = 24x + 138y
(24, 138) = 6
6 = 24 − 18 ⋅ 1 = 24 − (138 − 24 ⋅ 5) ⋅ 1 = 24 − 138 + 24 ⋅ 5 = −138 + 24 ⋅ 6
6 = 138 ⋅ (−1) + 24 ⋅ (6)
mdd(24, 138) = 6 = 24x + 138y
comx = 6ey = −1
6 Desmarcar para revisão
O MDC fornece uma janela para entender a estrutura compartilhada e as
propriedades intrínsecas de dois números à luz da divisibilidade. Considere o
conjunto . Enumerando os elementos do conjunto
, obtemos:
A = {1, 2, 3, 4}
X = {x ∈ A ∣ mdc(x, 4) = 1}
1
1 e 3
1 e 4
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D
E
A
B
C
D
E
4
1 e 2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Se e 4 săo primos entre si. Decompondo o 4 temos . Os
elementos de Aque, na decomposiçăo não apresentam o fator 2 săo: 1 e 3 .
mdc(x, 4) = 1,x = 22
7 Desmarcar para revisão
Números primos e o Teorema Fundamental da Aritmética são pilares centrais da
teoria dos números. Considerando os números inteiros 89 e 53 é somente correto
afirmar:
ambos são números compostos
ambos são números primos
89 é composto e 53 é primo
89 é primo e 53 é composto
89 e 53 não são compostos nem primos
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
Os primos que nẵo excedem a săo e 7 .
os primos que nẵo excedem a săo e 7 .
Podemos conferir e 89 e 53 năo săo divisiveis por nenhum desses números
primos. Assim, temos que 89 e 53 săo ambos primos.
√89 ≅9, 4 2, 3, 5
√53 ≅7, 3 2, 3, 5
8 Desmarcar para revisão
Existem diversos algoritmos e métodos para fatoraçăo de números, cada um com
seus próprios pontos fortes e limitaçốes. Das sequências abaixo, analise as
afirmativas, no que diz respeito às sequencias de 30 inteiros positivos
consecutivos e compostos as sequências:
I. .
II. .
III. .
É correto apenas o que se afirma em:
31! + 2; 31! + 3; 31! + 4 … ; 31! + 31; 31! + 32
31! + 2; 31! + 3; 31! + 4 … ; 31! + 32; 31! + 33
31! + 2; 31! + 3; 31! + 4 … ; 31! + 30; 31! + 31
I
II
I e III
III
I e II
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Na sequência a seguir, seus termos săo inteiros positivos consecutivos e
compostos:
Fazendo , temos
n
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ⋯ , (n + 1)! + (n + 1)
n = 30
31! + 2; 31! + 3; 31! + 4 … ; 31! + 31. 
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A
B
C
D
E
Note que, independentemente de serem ou năo números consecutivos e
compostos, as duas outras sequencias I e II possuem 31 e 32 termos.
9 Desmarcar para revisão
O Crivo de Eratóstenes é uma técnica antiga e eficaz para encontrar todos os
números primos até um número n especificado. Com o auxílio do Crivo de
Eratóstenes, obtemos os números primos menores que 30, a saber:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
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Gabarito Comentado
10 Desmarcar para revisão
Imagine escalar a montanha da divisibilidade, buscando o ponto mais alto onde
dois números se encontram. Esse pico, onde ambos os números se alinham da
forma mais íntima, é o MDC. Encontre o menor inteiro positivo , da forma
, onde e săo dois inteiros.
c
c = 11x + 55y x y
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A
B
C
D
E
1
22
11
55
77
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Observe que é o menor inteiro que pode ser escrito sob a
forma de combinação linear de e .
No problema, precisamos encontrar o menor inteiro positivo , ou seja,
.
mdc(a, b) = d
ax + by a b
c
md c(11, 55) = c
mdc(11, 55) = 11