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Investigar, ensinar e aprender1 
 
 
João Pedro Mendes da Ponte 
Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa 
 
 
Tradicionalmente, ensino e investigação são actividades distintas. O que o 
“investigador” descobre ou inventa, o professor, noutro tempo e noutro contexto, ensina 
aos seus alunos. Esta separação entre investigar e ensinar tem vindo a ser questionada, 
do mesmo modo que se tem vindo a pôr em causa a existência de uma separação 
incontornável entre investigar e aprender. Afinal, quem investiga está a procurar 
aprender e quem aprende pode ter muito interesse em investigar. Deste modo, parece 
pertinente revisitar os conceitos de investigar, ensinar e aprender e analisar o modo 
como se podem interligar no processo de ensino-aprendizagem da Matemática e na 
actividade profissional do professor desta disciplina. É o que procurarei fazer, tendo por 
base exemplos de actividades e projectos da educação matemática portuguesa. 
 
1. Investigar, ensinar e aprender 
 
Existem muitas perspectivas sobre o que é investigar. Tal como acontece com 
muitas outras palavras, “investigar” pode assumir múltiplos significados. Na sociedade 
moderna, constituíram-se poderosas comunidades académicas em muitas áreas do saber, 
que reivindicam para si um estatuto especial e de algum modo se apropriaram deste 
termo. Geraram-se então diversos mitos: 
 
 Investigar é uma actividade transcendente, que envolve o uso de 
metodologias sofisticadas, requerendo recursos especiais e uma longa 
preparação prévia. 
 Investigar é uma actividade reservada a um grupo especial de 
pessoas, os “investigadores profissionais”. 
 Ensinar e investigar são duas actividades contraditórias, que não se 
conseguem fazer em simultâneo sem comprometer a qualidade de 
uma ou outra. 
 
1 Actas do ProfMat 2003 (CD-ROM, pp. 25-39). Lisboa: APM. 
1 
Existe aquilo que podemos chamar a “grande investigação”, que se realiza nas 
universidades, empresas e laboratórios do Estado e que tem uma certa função social. No 
entanto, parece-me altamente redutor afirmar que, pelo simples facto dessa investigação 
existir, ser legítima e ser mais ou menos útil, mais nenhuma investigação pode existir. 
Na minha perspectiva, “investigar” não é mais do que procurar conhecer, procurar 
compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com nos deparamos. 
Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que 
deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos. 
Não vejo como necessariamente contraditórias as actividades de investigar e 
ensinar. Eu próprio tenho retirado muitos benefícios para a minha actividade de 
investigação do contacto com os meus alunos, pelo desafio que eles colocam à 
organização das ideias e pelas perguntas pertinentes que obrigam muitas vezes a 
repensar os problemas. De modo semelhante, penso que a minha actividade como 
docente tem beneficiado fortemente do que tenho aprendido como investigador. Aliás, 
existem exemplos clássicos na história da ciência de influências mútuas entre os papéis 
de professor e investigador. Um deles, por exemplo, diz respeito a Lobachevisky. Foi o 
seu trabalho como professor de Geometria que o levou a olhar de modo mais atento para 
o V Postulado de Euclides e a procurar formas sugestivas de o explicar aos seus alunos. 
Esse postulado desde há muito incomodava os matemáticos, por diversas razões, e 
muitos deles interrogavam-se se não seria possível deduzi-lo dos restantes. Foi também 
isso que tentou fazer Lobachevisky e, quando se convenceu da impossibilidade dessa 
dedução, resolveu experimentar as consequências de assumir um postulado alternativo, 
concluindo pela possibilidade da existência de Geometrias não euclideanas. Algo de 
semelhante aconteceu com o químico Mendeliev, que teve a ideia da construir uma 
tabela para melhor explicar as propriedades dos elementos então conhecidos aos seus 
alunos. A tabela periódica viria a ser um dos pilares fundamentais da Química moderna, 
levando à descoberta de novos elementos e novas propriedades e sugerindo muitas 
pistas para a compreensão da estrutura da matéria. 
Do mesmo modo, existem muitos significados para o termo “aprender” e muitas 
visões sobre como se aprende. Na visão dos saudosistas da escola do passado, aprender 
é sobretudo adquirir conhecimentos, quer factuais – sobre os rios, as linhas de caminho 
de ferro, os reis e as batalhas, as regras gramaticais, etc., – quer processuais – por 
exemplo, respeitantes ao cálculo numérico e algébrico. Para outros, a aprendizagem é 
um fenómeno natural, que acontece constantemente no nosso dia-a-dia, uma vez que 
2 
todos aprendemos a falar, todos aprendemos as regras básicas do comportamento social, 
etc. E por aí fora, não faltam as visões redutoras, que salientam um ou outro aspecto 
desse processo multifacetado e complexo que é aprender, apresentando uma perspectiva 
parcial e limitada. Para mim, o que está em causa na aprendizagem escolar da 
Matemática, é o desenvolvimento integrado e harmonioso de um conjunto de 
competências e capacidades, que envolvem conhecimento de factos específicos, 
domínio de processos, mas também capacidade de raciocínio e de usar esses 
conhecimentos e processos em situações concretas, resolvendo problemas, empregando 
ideias e conceitos matemáticos para lidar com situações das mais diversas, de modo 
crítico e reflexivo. 
E, finalmente, existem muitas acepções do que é ensinar e do que é ser 
professor. Para muitos, será sobretudo o “debitar” da matéria, em frente do quadro ou, 
de modo mais sofisticado, com retroprojector ou Powerpoint. Nesta perspectiva, ensinar 
e aprender são independentes – o professor pode ensinar sem que os alunos aprendam. 
Mas também se pode assumir a perspectiva oposta – se os alunos não aprenderam, é 
porque o professor não ensinou. Falou, gesticulou, escreveu no quadro, esforçou-se, 
mas falhou. Se partirmos do princípio que o professor existe para que os alunos 
aprendam e se estes não aprenderam, então ele não ensinou. Nesta perspectiva, ensinar é 
algo bastante mais complexo do que apenas transmitir conhecimentos e a função 
fundamental do professor, por onde é preciso avaliar os resultados do seu trabalho, é a 
promoção da aprendizagem dos seus alunos. 
 
2. Investigar – em Matemática 
 
Muitos trabalhos têm sido feitos em Portugal dando atenção ao processo de 
investigação em Matemática. Temos hoje já uma noção bastante clara do papel dos 
problemas, das diversas fases de um processo típico de investigação, da formulação de 
questões até à produção, teste e refinamento de conjecturas, e daí às tentativas de prova 
e ao processo de divulgação de resultados. Temos também uma boa noção do papel dos 
aspectos conscientes e inconscientes desse processo, da sensibilidade estética e da 
motivação a partir de analogias físicas. Sabemos, também que existem diferentes estilos 
cognitivos, ou seja diferentes modos de pensar e de criar em Matemática (Burton, 2001; 
Hadamard, 1945; Oliveira, 2002; Poincaré, 1996; Ponte, 2001). O que não tem sido tão 
discutido, a meu ver, é o papel que as actividades de investigação podem ter no 
3 
processo de ensino-aprendizagem da Matemática. É este ponto que iremos considerar de 
seguida. 
 
Diferentes tipos de tarefas 
 
O ensino-aprendizagem da Matemática assenta na actividade que os alunos 
levam a cabo na sala de aula e esta, por sua vez, depende muito das tarefas apresentadas 
pelo professor. Todas as matérias escolares têm as suas tarefas características. Por 
exemplo, na aprendizagem da escrita tínhamos antigamente a cópia, o ditado e a 
redacção. A Didáctica da Língua mostrou as insuficiências destes tipos de tarefa, e fez 
surgir outras como o texto orientado e o texto livre. 
A Matemática tem também as suas tarefas características. A mais conhecida de 
todas, é o exercício2.Mas há outros tipos de tarefa, como os problemas e as 
investigações (exemplos na Figura 1). Por vezes também se fala em tarefas de 
modelação e projectos. É de notar que as características de uma tarefa não são absolutas 
mas relativas à pessoa que a realiza. Uma mesma questão pode ser para uma pessoa um 
problema e para outra um exercício, etc.3 
 
Exercício Problema Tarefa de investigação 
Simplifica: 
a) 12
6 = 
b) 
217
)710(3
−
−× = 
c) 
3
2)1015(
918
20
×−
− = 
 
Qual o mais pequeno 
número inteiro que, 
dividido por 5, 6 e 7 dá 
sempre resto 3? 
 
1. Escreve a tabuada dos 9, 
desde 1 até 12. Observa os 
algarismos das diversas 
colunas. Encontras alguma 
regularidade. 
 
2. Vê se encontras 
regularidades nas tabuadas 
de outros números. 
 
Figura 1 - Exemplos de tarefas 
 
Na minha perspectiva, uma tarefa tem quatro dimensões básicas: O seu grau de 
dificuldade, a sua estrutura, o seu contexto referencial e o tempo requerido para a sua 
 
2 Note-se que não é só em Matemática que se fazem exercícios. Há exercícios um pouco por toda a parte, 
das línguas à Educação Física, passando pelas ciências como a Física e a Química, e até nas artes 
performativas como a Música, a Dança e o Teatro... 
3 Deve ter-se em atenção que o conceito associado a cada uma destas designações varia por vezes de país 
para país e até de autor para autor. Usarei aqui o sentido mais corrente no nosso país. 
4 
resolução. Conjugando as duas primeiras dimensões, obtemos quatro tipos básicos de 
tarefa, que podemos visualizar no esquema da Figura 2: 
 
Fácil 
 
 
 Exercício Exploração 
 
 Fechado Aberto 
 
Problema Investigação 
 
 
Difícil 
 
Figura 2 – Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura 
 
Deste modo: 
 
 Os exercícios são tarefas sem grande dificuldade e estrutura fechada 
(2º quadrante); 
 Os problemas são tarefas também fechada, mas com elevada 
dificuldade (3º quadrante); 
 As investigações têm um grau de dificuldade elevado, mas uma 
estrutura aberta (4º quadrante); 
 Finalmente, as tarefas de exploração são fáceis e com estrutura 
aberta (1º quadrante). 
 
Muitas vezes não se distingue entre tarefas de investigação e de exploração, 
chamando-se “investigações” a todas elas. Isso acontece, muito provavelmente, porque 
é complicado saber à partida qual o grau de dificuldade que uma tarefa aberta terá para 
um certo grupo de alunos. No entanto, uma vez que atribuímos importância ao grau de 
dificuldade das tarefas, é preferível termos uma designação para as tarefas abertas mais 
fáceis e outra designação para as mais difíceis. 
Um projecto, qualquer que seja a forma que assuma, no fundo não é senão uma 
tarefa de investigação com um carácter relativamente prolongado. De facto, uma 
investigação pode demorar mais ou menos tempo. Certas investigações demoram anos e 
até décadas a concluir (basta pensar em alguns doutoramentos...). Outras demoram um 
tempo relativamente curto, podendo realizar-se numa aula ou numa curta sequência de 
5 
aulas. Um projecto é algo que demora sempre o seu tempo. Ninguém faz um projecto 
em meia hora... Mas tanto o projecto como a investigação comportam um carácter 
aberto – uma vez definida a ideia central, a concretização do objectivo requer ainda 
muito trabalho – e têm um grau de dificuldade considerável na procura da metodologia 
de trabalho, na superação das dificuldades, na organização do material recolhido, em 
tirar conclusões, etc. O projecto, de resto, é um excelente exemplo de uma tarefa de 
longa duração enquanto que as actividades de natureza mais estruturada, por via de 
regra, são para resolver num prazo relativamente curto. Deste modo, a dimensão tempo 
ajuda essencialmente a distinguir entre os projectos e os outros tipos de tarefas. 
A outra dimensão a que fizemos referência diz respeito ao contexto referencial: a 
tarefa pode ser contextualizada numa situação real ou formulada em termos puramente 
matemáticos. Skovsmose (2000) indica ainda um terceiro tipo de situações, a que chama 
de “semi-reais”: situações que à primeira vista parecem reais, mas que na prática são 
abstractas, pois nelas não há que atender às propriedades dos objectos excepto aquelas 
que o contrato didáctico indica serem relevantes para a respectiva resolução. Existem 
vários tipos de tarefas formuladas em termos de situações reais ou semi-reais que 
aparecem com frequência no ensino da Matemática: exercícios e problemas de 
aplicação e tarefas de modelação. Trata-se de tipos particulares de exercícios, 
problemas e tarefas de exploração e investigação, dependendo do seu grau de 
dificuldade e da sua estrutura. 
As dimensões dificuldade, estrutura, tempo e contexto, são todas elas 
importantes, sugerindo dimensões em que devem variar as tarefas propostas pelo 
professor. Procurarei, aqui, fazer ressaltar a importância das explorações e 
investigações, incluindo, naturalmente, projectos, bem como questões formuladas em 
termos de situações reais e em termos puramente matemáticos. 
 
Exemplo 1 – Propriedades verdadeiras e falsas 
 
Esta tarefa (Figura 3) foi desenvolvida no Projecto Matemática para Todos 
(MPT)4 e o seu uso na sala de aula vem relatado em vários artigos. Reporto-me, aqui, à 
descrição realizada por Irene Segurado (2002). 
 
 
4 Este projecto decorreu de 1995 a 1999 e a sua actividade está documentada em publicações como 
Abrantes, Leal e Ponte (1996), Abrantes, Ponte, Fonseca e Brunheira (1999) e Ponte, Oliveira, Cunha e 
Segurado (1998). 
6 
 
1. Repara que 22 = 4 e que 2×2 = 4. 
 
• Será sempre verdade que an = a×n ? 
• Experimenta nos seguintes casos e noutros por ti escolhidos, usando, se 
necessário, a calculadora. 
 
02 = 0 ×2 = 102 = 10 × 2 = 
42 = 4 × 2 = =





3
2
1 =×




 3
2
1 
33 = 3 × 3 = =



4
3
5

 =×



4
4
5

 
2. Determina cada uma das seguintes potências 
 
103 14 0.452 
105 18 0.454 
106 118 0.457 
 
• Se calculasses 107, seria maior ou menor que 106? 
• E se calculasses 0.459 seria maior ou menor que 0.457? 
• O que se passa com as potências de base 1? 
• De todo o estudo que fizeste, podes tirar alguma conclusão? 
 
3. Repara que 42 = 16 e 24 = 16. Será sempre verdade que an = na? 
• Experimenta noutros casos! 
 
4. Sabendo que 36 = 729, és capaz de calcular imediatamente 37? e 38? e 312? 
 
 
Figura 3 - Propriedades verdadeiras e falsas 
 
De acordo com a nossa terminologia, podemos classificar esta tarefa como uma 
exploração. Um aspecto interessante é que ela está estruturada de modo variável. As 
duas primeiras questões são relativamente estruturadas e as duas últimas são bastante 
abertas. No entanto, mesmo as duas primeiras questões não se reduzem a uma usual 
listagem de exercícios, em que os itens são todos independentes, ou seja, em que uma 
vez feito um item passa-se ao item seguinte e não se pensa mais no assunto. Embora os 
itens pareçam fortemente repetitivos, há um raciocínio de segunda ordem que pode ser 
feito a partir de todos eles e que tem a ver com certas regularidades que será interessante 
analisar. Por outro lado, as questões mais estruturadas constituem um trabalho de 
preparação, permitindo aos alunos “ambientar-se” na tarefa e recordar a sua 
7 
compreensão dos conceitos fundamentais – neste caso o conceito de potência5 –, o que 
lhes facilita depois a realização de um trabalho produtivo nas questões mais abertas. 
Outro aspecto interessante é que as questões propostas têm o mais possível a ver 
com o programa oficial: potências e operações com potências, ouseja, cálculo 
aritmético puro e duro. Não estamos num mundo à parte, a usar o nosso preciso tempo 
com coisas marginais, mas estamos no próprio coração do currículo tradicional. Este 
exemplo mostra como em tópicos curriculares, onde aparentemente não se pode realizar 
senão exercícios repetitivos, é possível fazer muito trabalho exploratório e investigativo. 
Como Irene explica no seu relato, os alunos (6º ano) começaram a trabalhar em 
grupos sem dificuldade, e rapidamente se aperceberam que não se pode calcular o valor 
de uma potência multiplicando a base pelo expoente. A segunda questão também não se 
revelou difícil e a maior parte dos alunos limitou-se a responder ao que era pedido. 
Como seria de esperar, foi nas questões e 3 e 4 que eles se mostraram mais criativos e 
empreenderam a exploração de caminhos que iam para além do que era pedido no 
enunciado. 
Na realização destas tarefas na sala de aula, a discussão final é um dos 
momentos mais importantes para a institucionalização das aprendizagens e até, para a 
exploração de novos caminhos. Na discussão da questão 2, por exemplo, surgiu uma 
situação interessante. A professora lembrou-se de colocar um caso diferente dos casos já 
trabalhados pelos alunos (potências em que a base é um número com parte inteira e 
parte decimal). Um aluno respondeu rapidamente, com uma resposta errada, mas num 
tom muito assertivo, de quem está perfeitamente convencido do que está a dizer. A 
professora identificou esta resposta como uma conjectura, sujeita, naturalmente, a ser 
testada. Experimentados alguns exemplos, a turma concluiu que se tratava de uma 
conjectura falsa. Como diz Irene, os alunos perceberam “que, por vezes, o que parece 
evidente não se revela verdadeiro” (p. 65). 
Na questão 3, foram relatadas descobertas interessantes feitas por alguns grupos, 
como por exemplo: 
 
38 = 94 86 = 49 = 218 
 
Na questão 4, todos os grupos perceberam como funcionava a multiplicação das 
potências, mas não conseguiram formulá-lo num enunciado sintético. No diálogo com 
 
5 Para alguns alunos, pode ser mais que recordar – pode ser desenvolver, no diálogo com os seus colegas 
de grupo, a sua compreensão desse conceito. 
8 
os alunos, a professora não teve dificuldade em levá-los a concluir que o expoente da 
potência do produto é igual à soma dos expoentes das potências dos factores. 
Decisivo para o êxito deste tipo de trabalho, é o modo como o professor 
responde às dúvidas dos alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar 
directamente a resposta, e o modo como se formulam as questões, envolvendo toda a 
turma e pondo os alunos a argumentar uns com os outros. 
 
Exemplo 2 – Como é o aluno típico da turma? 
 
Esta tarefa, proposta por Olívia Sousa (2002) a uma turma do 6º ano, teve como 
ponto de partida o estudo das características do aluno típico da turma, supostamente 
para explicar a um extra-terrestre (Figura 4). 
 
 
Supõe que queres comunicar, a um aluno de um país distante, ou mesmo, quem sabe, a 
um extraterrestre, como são os alunos da tua turma. 
 
1ª etapa: Preparação das questões de investigação 
 
Discute, com os teus colegas, sobre: 
 
1. Que dados (físicos, sociais, culturais...) devem entrar na caracterização do aluno 
típico? 
2. Como pensas que vai ser o perfil do aluno típico da tua turma? 
3. Será necessário traçar um perfil para os rapazes e outro para as raparigas? 
Porquê? 
 
 
Figura 4 - Como são os alunos da minha turma? (1ª etapa) 
 
O trabalho desenvolveu-se em quatro grandes etapas, cada uma das quais 
orientada por um conjunto de indicações: (i) Preparação das questões de investigação; 
(ii) Recolha de dados; (iii) Tratamento dos dados; e (iv) Elaboração de relatórios sobre 
os resultados. 
Como nos relata a professora, dada a forma como o trabalho foi organizado, os 
alunos não sentiram dificuldade especial em realizar esta investigação. Pelo contrário, 
colaboraram activamente na formulação de questões. Depois, na recolha de dados, os 
alunos ultrapassaram todas as expectativas, revelando grande capacidade de 
organização: enquanto que uns mediam, outros perguntavam, outros observavam e 
outros registavam dados. O trabalho que realizaram a preparar e apresentar as suas 
9 
conclusões ajudou-os a desenvolver competências de comunicação e argumentação e 
promoveu o seu próprio desenvolvimento pessoal. 
No campo dos conhecimentos matemáticos diz Olívia Sousa: 
 
A realização desta tarefa, constituiu uma experiência de aprendizagem 
significativa, de carácter experimental, onde foram trabalhados de forma 
integrada conteúdos matemáticos de dois domínios: “Estatística” e 
“Números e Cálculo”. Os números decimais, obtidos através da medição 
de grandezas associadas ao seu corpo, deixaram de ser entidades 
abstractas e ganharam significado. A manipulação destes números em 
contexto significativo, envolvendo comparação, ordenação, agrupamento 
e operação, contribuiu para que os alunos melhorassem a sua 
compreensão global dos números. Quanto aos conteúdos estatísticos, o 
contacto com diferentes tipos de variáveis e com diversos modos de 
recolher, organizar e representar informação relevante e significativa, 
promoveu nos alunos um entendimento e compreensão da linguagem e 
dos conceitos e métodos estatísticos que ultrapassou a sua memorização. 
(2002, p. 94) 
 
Este exemplo mostra como uma investigação formulada em termos de questões 
da realidade dos alunos pode servir como ponto de partida, não só para o 
desenvolvimento de competências de investigação, mas também para a aprendizagem 
de novos conceitos matemáticos. 
 
Exemplo 3 – O projecto dos fractais 
 
O projecto dos fractais, descrito no artigo de Manuela Pires (2002), foi proposto 
por diversas professoras a alunos do 11º ano. A escolha do tema foi feita tendo em conta 
a sua novidade e actualidade e as ligações que poderia ter com o programa (sucessões). 
As professoras sentiram necessidade de motivar os alunos, para o que organizaram, elas 
próprias, uma conferência sobre o tema. Os alunos das diversas turmas organizaram-se 
em subgrupos que estudaram, cada um, um aspecto particular do tema durante cerca de 
dois meses. Tiraram fotocópias, fizeram consultas na Internet e pediram esclarecimentos 
sobre conceitos matemáticos ainda desconhecidos, como números complexos, 
logaritmos e sucessões. É claro que muitos deles andaram “perdidos” durante algum 
tempo, mas a pouco e pouco as coisas lá se foram encaminhando. 
Segundo a professora, muitos grupos optaram por apresentaram a evolução 
histórica do conceito ou fazer o estudo matemático de um objecto fractal. Isso ajudou-os 
a ficar com uma ideia geral sobre o tema e as suas conexões com assuntos que foram 
10 
posteriormente tratados na aula. Alguns alunos fizeram trabalhos pouco criativos, 
envolvendo sobretudo a apresentação de material encontrado em diversas fontes. 
Outros, fizeram investigações aprofundadas e exploraram conceitos como a dimensão 
fractal ou temas específicos como a música, a presença na natureza e em construções 
geométricas a três dimensões. Manuela Pires (2002) faz o seguinte balanço da qualidade 
geral dos trabalhos: 
 
Apesar da qualidade do produto final apresentar diferenças significativas 
no conteúdo e na forma, esta tarefa não contribuiu para o aprofundar das 
diferenças existentes à partida – bem pelo contrário, todos os alunos, sem 
excepção, realizaram o projecto com uma qualidade aceitável (p. 148) 
 
E acrescenta, no que se refere às aprendizagens dos alunos: 
 
Ao olhar para o conjunto dos produtos finais em termos de trabalho 
escrito e de materiais, para a dinâmica produzida nas aulas pelas 
apresentações orais, bem como para os temas tratados, muitas vezes de 
uma forma bastante aprofundada e integrada, pode afirmar-se que o 
contributo para o desenvolvimento das capacidades, atitudes e 
conhecimentos foi marcante (...)Os alunos desenvolveram tanto a 
capacidade de pesquisar, seleccionar e organizar, como a criatividade, o 
espírito crítico e a comunicação. Desenvolveram ainda a iniciativa, a 
responsabilidade e a persistência. (p. 151) 
 
Na sua perspectiva, o projecto desempenha um papel único no currículo, pelo 
“grau de liberdade e autonomia que naturalmente se associam ao seu carácter 
prolongado e faseado” (p. 151). 
 
O papel das tarefas de exploração e investigação 
 
Uma preocupação fundamental que se destaca nos exemplos anteriores é a de 
dar ao aluno a responsabilidade de descobrir e de justificar as suas descobertas. Como 
diz Leone Burton (1984) ao sintetizar as orientações de um projecto que dirigiu, 
centrado na resolução de problemas e na realização de investigações matemáticas: 
 
Foi pedido [aos professores] que mudassem o seu papel de responsáveis 
pelo que os alunos fazem e aprendem para o papel de recurso dos alunos. 
Os professores foram encorajados a não fornecer as respostas ou os 
métodos mas sim a provocar os seus alunos a procurá-las por si próprios. 
A noção de responsabilidade era uma noção-chave – os alunos tomando 
responsabilidade pela sua escolha dos problemas, dos seus colegas de 
11 
trabalho e o seu método de ataque, pelo seu pensamento e pelos seus 
resultados. (p. 1) 
 
Se se pretende que os alunos desenvolvam plenamente as suas competências 
matemáticas e assumam uma visão alargada da natureza desta ciência , então as tarefas 
de exploração e investigação têm de ter um papel importante na sala de aula. O interesse 
destas tarefas é por vezes desvalorizado com diversos argumentos: (i) a maior parte dos 
alunos não tem qualquer interesse por realizar explorações ou investigações 
matemáticas; (ii) os alunos têm dificuldade em perceber como investigar; (iii) antes de 
poderem investigar os alunos têm de aprender muitos conceitos e procedimentos 
básicos; e (iv) a actividade do aluno e a do matemático são necessariamente muito 
diferentes, porque não se pode comparar um profissional especializado, que trabalha em 
coisas que lhe interessam, com uma criança ou um jovem, que tem uma dúzia de 
disciplinas para estudar, e que o faz coagido pelo sistema de ensino. Não é difícil 
responder a estes argumentos: 
(i) É verdade que muitos alunos, infelizmente, não têm qualquer interesse pelas 
investigações matemáticas, ou porque não têm interesse pela escola, ou porque têm esse 
interesse canalizado para outros objectivos – por exemplo, fazer exercícios em série 
como preparação para o exame. No entanto, por mais modesto que seja, há sempre algo 
que o professor pode fazer para captar a sua atenção: uma pergunta, uma observação, 
um desafio. Não o assumir, é dizer que há alunos que são incapazes de aprender, é negar 
a função do professor. 
(ii) Os alunos à partida não sabem o que é uma investigação. Mas, como é 
evidente, podem aprender. Na verdade, os alunos podem precisar de várias experiências 
em trabalho investigativo para perceberem, de modo apropriado, o que é este trabalho. 
A função do professor é ensinar, não é reclamar que os alunos não sabem. 
(iii) Saber conceitos e procedimentos básicos é claro que ajuda na realização de 
investigações, como em todo o trabalho intelectual. Mas muitas coisas aprendem-se 
melhor em actividades significativas, lutando com dificuldades concretas, do que de 
uma forma dedutiva e linear. Muitos conceitos e procedimentos podem ser aprendidos 
através de actividades exploratórias e investigativas. Por isso, não tem de ser “primeiro 
coisa e depois a outra”. Pode ser, “umas vezes primeiro uma coisa, outras vezes 
primeiro a outra”, ou ainda, por vezes, “as duas ao mesmo tempo”. 
12 
(iv) Que o matemático e o aluno são personagens diferentes, não há grande 
dúvida. Mas a sua actividade pode ter muitos pontos de contacto. São vários os 
matemáticos que o dizem, como o francês Jacques Hadamard (1945): 
 
Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de geometria 
ou de álgebra e o trabalho de criação, pode dizer-se que existe apenas 
uma diferença de grau, uma diferença de nível, tendo ambos os trabalhos 
uma natureza semelhante. (p. 104) 
 
3. Investigar – na prática profissional do professor 
 
Mostrei alguns acontecimentos que ocorreram na sala de aula durante a 
realização de diversas tarefas. Estes exemplos foram retirados do livro Reflectir e 
investigar sobre a prática profissional (GTI, 2002), cuja ideia central é que os 
professores – como de resto os profissionais de outros domínios – podem ter interesse 
em investigar os problemas que se colocam na sua própria prática. 
 
Aprendizagens profissionais nas diversas experiências 
 
Irene Segurado (2002) realizou a sua investigação na sala de aula, assumindo os 
papéis de professora e investigadora. Ao mesmo tempo que assegurava a condução das 
aulas ia recolhendo dados. Não esteve, porém, sozinha nesta actividade, contando na 
rectaguarda com o suporte de um dos grupos de trabalho do Projecto MPT. 
Como relata no seu artigo, realizou várias aprendizagens ao longo deste 
processo. No que respeita à capacidade de investigar dos seus alunos, notou uma 
evolução significativa no seu desempenho. Enquanto que, no início, os alunos 
mostravam uma grande dependência da professora, no final, mostravam-se já bastante 
independentes. Os alunos evoluíram também no modo de trabalhar nas tarefas. A 
princípio, limitavam-se a responder às perguntas formuladas, mas, progressivamente, 
começaram a manifestar o seu poder criativo, formulando novas questões e 
evidenciando o seu entusiasmo. Na perspectiva da professora, com o decorrer do 
trabalho, os alunos desenvolveram a sua capacidade de realizar investigações 
matemáticas, bem como a sua capacidade comunicar e argumentar matematicamente. 
No que respeita aos conhecimentos e competências matemáticas, notou que os alunos se 
revelaram capazes de usar conceitos como potências, fracções, dízimas, números 
13 
primos, divisores e múltiplos. Estes conceitos tomaram para eles um novo valor quando 
se tornaram úteis na realização desta investigação. 
Irene destaca particularmente a nova visão que desenvolveu acerca de alguns dos 
alunos: 
 
Há ainda a referir o empenho com que alguns alunos tidos por mais 
fracos se envolveram neste tipo de tarefas. O facto de lhes ter sido 
permitido observar e descobrir relações entre os números, sem que para 
isso necessitassem de uma grande “bagagem matemática”, deu-lhes 
alguma segurança. Tanto eu como eles próprios ficámos agradavelmente 
surpreendidos com o seu desempenho neste tipo de tarefa. (p. 72) 
 
Outro dos trabalhos a que fiz referência, foi realizado por Olívia Sousa (2002). 
No ano em que fez esta experiência, esta professora não tinha alunos a seu cargo e 
trabalhou em par pedagógico com Irene. A responsabilidade pelas aulas e pela recolha 
de dados foi partilhada pelas duas. 
No seu balanço desta investigação, Olívia aponta vantagens para o 
funcionamento em par pedagógico tanto para os alunos como para as professoras. Na 
sua perspectiva, os alunos tiveram mais e melhor apoio, sendo menor o tempo que 
tiveram de esperar para verem as suas dúvidas esclarecidas, com consequências 
positivas na qualidade e no ritmo do seu trabalho. Além disso, beneficiaram com o facto 
das professoras poderem passar mais tempo com cada grupo, questionando os alunos e 
orientando-os na procura de soluções. 
No que respeita às professoras, para Olívia, 
 
Este modo de funcionar permitiu tirar partido das potencialidades do 
trabalho colaborativo, tanto na preparação como na concretização desta 
experiência. Em termos de preparação, permitiu antever uma maior 
quantidade e diversidade de ocorrências e reflectir sobre modos de as 
resolver, minimizando assim o número de situações imprevistas e a 
tomada de decisões em cima do acontecimento. A reflexão conjunta, no 
final de cada aula, sobre os seus aspectos positivos enegativos, 
proporcionou uma melhor compreensão do modo como os alunos 
viveram a experiência e permitiu o ajustamento e adaptação dos planos 
da aula seguinte sempre que foi necessário. (pp. 93-94) 
 
Olívia Sousa aponta ainda que o trabalho em colaboração com Irene foi também 
vantajoso para a investigação, por minimizar a interferência provocada pela presença de 
14 
um elemento estranho na sala de aula, por proporcionar uma recolha de dados mais 
completa e consistente e por possibilitar um contacto mais estreito com os alunos. 
Esta professora estabelece mesmo um paralelismo entre a sua experiência e a 
dos alunos: 
 
Enquanto redigia as minhas notas de campo, fui surpreendida por uma 
ideia que me ocorreu: a existência de uma forte analogia entre o modo 
como os alunos tinham desenvolvido a sua investigação e o modo como 
eu estava a desenvolver a minha própria investigação. Tal como os 
alunos, também eu senti imensa dificuldade em formular as minhas 
questões de investigação, necessitando de pedir ajuda para o fazer, do 
mesmo modo que eles solicitaram a minha (...) Outro aspecto onde senti 
o paralelismo entre as duas situações, foi na dificuldade de comunicar 
por escrito as minhas ideias e conclusões. Também os alunos sentiram 
dificuldade na escrita das suas questões de investigação, bem como na 
elaboração do relatório final e da carta para o ET. Para além dos 
processos, esta analogia estende-se também aos resultados. Penso que 
posso inferir que, tal como eu, também os alunos sofreram um processo 
evolutivo enquanto investigaram. Não pretendo dizer que se tornaram 
investigadores, tal como eu não me tornei, mas penso que este tipo de 
experiências pode contribuir para que os alunos se tornem mais 
reflexivos e mais competentes na procura de soluções para os seus 
problemas, quer enquanto estudantes quer, mais tarde, como cidadãos. 
(p. 96). 
 
Finalmente, outro estudo a que fiz referência foi realizado por Manuela Pires 
(2002). Neste caso, o trabalho foi feito por uma equipa colaborativa de cinco 
professoras – ela própria e quatro professoras da escola que naquele ano lectivo 
leccionavam turmas do 11º ano. Funcionaram, portanto, como subgrupo disciplinar 
sectorial. A concepção geral do trabalho foi feita essencialmente por Manuela e o 
desenvolvimento concreto das actividades com os alunos e a reflexão sobre o que se ia 
passando foi assegurada pelo grupo de professoras numa reunião semanal. Os dados 
foram recolhidos por todas as professoras do grupo, tendo a respectiva análise sido feita 
essencialmente por Manuela. Embora com níveis de responsabilidade diferentes, todas 
as participantes assumiram os papéis de professoras e investigadoras. 
As professoras, apesar de se conhecerem há bastante tempo e de terem feito 
alguns projectos em conjunto, nunca tinham realizado um trabalho tão prolongado nem 
tão aprofundado. Constataram que o seu conhecimento e a sua visão dos diferentes tipos 
de tarefa era bastante diferente, tendo aprendido muito umas com as outras. 
Verificaram, por exemplo, que nem sempre são muito nítidas as fronteiras entre os 
15 
vários tipos de tarefa e que o modo como estas são exploradas na sala de aula é 
extremamente importante. Apontam ainda que 
 
De um modo geral, ficou a ideia que, para a aprendizagem ser profunda, 
é necessário propor aos alunos de forma equilibrada tarefas cujas 
características se complementem. Isso possibilitará a mobilização das 
suas capacidades de ordem superior e uma aprendizagem mais rica e 
estimulante. Se não o fizermos não serão desenvolvidas competências 
importantes. (p. 153) 
 
No seu artigo, Manuela Pires sublinha que os conceitos e ferramentas já 
trabalhados pelos alunos têm de ser novamente experimentados, de preferência em 
novos contextos. Aponta que isso é importante para que eles adquiram uma melhor 
compreensão desses conceitos e da forma como podem ser usados. Conclui com uma 
ideia-chave: “Para todos é necessário propor tarefas desafiantes, ao mesmo tempo que 
se dá tempo para consolidar conhecimentos” (p. 153). 
Os artigos a que tenho vindo a fazer referência foram desenvolvidos no quadro 
do grupo de estudos do GTI “O professor como investigador”. Este grupo, em Outubro 
de 2001, decidiu empreender a elaboração de um livro, com artigos originais, uns de 
natureza teórica, outros relatando estudos centrados na prática profissional dos 
respectivos autores. O próprio grupo de estudos é um bom exemplo do que pode fazer 
um grupo de trabalho colaborativo. Nas reuniões foram discutidas as propostas de artigo 
e as suas diversas versões, sendo dadas sugestões para o seu aperfeiçoamento. 
Combinando a interacção presencial com a interacção a distância, via e-mail, e 
articulando as reuniões com outras formas de trabalho, os artigos foram sendo 
sucessivamente aperfeiçoados até assumirem a forma definitiva. 
 
As experiências como projectos de investigação sobre a sua própria prática 
 
Por esse mundo fora, são cada vez mais os professores que investigam. Alguns 
fazem-no inseridos em programas de mestrado e doutoramento, outros fazem-no no 
quadro de projectos inseridos nas suas escolas. No entanto, a investigação sobre a sua 
própria prática não diz apenas respeito a professores. Trata-se de uma actividade que 
interessa igualmente a técnicos de orientação escolar, psicólogos, técnicos da 
administração educativa, formadores de professores e professores do ensino superior. 
Assistimos hoje em muitos países ao desenvolvimento de um movimento cada vez mais 
16 
alargado de profissionais da educação e de outras áreas como a saúde e o serviço social 
que procuram investigar problemas relacionados com a sua própria prática. 
Isso acontece porque estes profissionais defrontam-se na sua actividade com 
muitos problemas de grande complexidade. Em vez de esperar por soluções vindas do 
exterior, eles têm vindo cada vez mais a investigar directamente esses problemas. Tal 
investigação, para além de poder ajudar ao esclarecimento e resolução desses 
problemas, contribui igualmente para o desenvolvimento profissional dos participantes 
e para o aperfeiçoamento das respectivas organizações. Esta investigação pode, além do 
mais, contribuir para o desenvolvimento do conhecimento e da cultura profissional 
nesse campo de prática. Em certos casos, tal investigação pode mesmo trazer novos 
elementos para o conhecimento e a cultura geral da sociedade. 
Os professores envolvidos nas investigações acima indicadas desenvolveram-se 
profissionalmente. Para isso, foram importantes não só as investigações em si como o 
trabalho de divulgação das suas experiências, através da elaboração dos artigos, o que 
permitiu um olhar mais aprofundado sobre as mesmas. Foi ainda importante, em alguns 
casos, a apresentação oral das experiências em conferências e comunicações em 
encontros e congressos. 
Já acima referi alguns dos aspectos que constituem contributos destas 
experiências em termos de conhecimento. A novidade será maior nuns casos do que 
noutros, mas tomado no seu conjunto, o trabalho realizado (sistematizado no livro) 
constitui, sem dúvida, uma importante mais valia para a educação matemática 
portuguesa, mostrando caminhos que pode seguir a mudança curricular e a renovação 
das práticas profissionais. 
 
O papel da colaboração 
 
No trabalho do GTI, a noção de colaboração6, assume um papel fundamental. 
Diversas investigações envolvem formas diversificadas de colaboração, como indiquei a 
propósito dos artigos de Irene, Olívia e Manuela. A colaboração foi também uma ideia 
fundamental no trabalho realizado por todo o grupo e que levou à escrita e 
aperfeiçoamento dos artigos. 
Na verdade, a colaboração, permitindo conjugar os esforços de diversas pessoas, 
constitui uma estratégia de grande valor para enfrentar os problemas da prática 
 
6 De resto discutida com alguma profundidade no própriolivro – ver o artigo de Boavida e Ponte (2002). 
17 
profissional. Várias pessoas a trabalhar em conjunto têm mais ideias, mais energia e 
mais força para derrubar obstáculos do que uma pessoa trabalhando sozinha e, além 
disso, podem capitalizar nas competências individuais. Para isso, têm, é claro, que se 
adaptar uns aos outros, criando um sistema eficiente de trabalho conjunto. 
A colaboração pode ocorrer entre professores, ajudando a caracterizar os 
problemas com que eles se defrontam, definir estratégias de actuação, avaliar resultados 
da acção, criando um ambiente de trabalho conjunto positivo e estimulante. Quando um 
dos membros do grupo está num momento menos bom, recebe o apoio dos outros 
membros. Quando um membro está mais inspirado, contagia todo o grupo. 
A colaboração pode também envolver actores educativos diversos, como 
educadores matemáticos, matemáticos, psicólogos, sociólogos, animadores culturais, 
encarregados de educação, etc. No caso do grupo de estudos do GTI, trabalharam em 
conjunto professores de diferentes níveis de ensino – do 1º, 2º e 3º ciclos do ensino 
básico, do ensino secundário, de escolas superiores de educação e de universidades. Um 
grupo mais diversificado tem maior dificuldade em funcionar, pois os participantes têm 
muitas vazes estatutos, valores e linguagens diferentes e estes nem sempre se 
conseguem harmonizar facilmente. No entanto, a diversidade pode ser profundamente 
enriquecedora. Um grupo heterogéneo é um grupo com uma capacidade de acção 
acrescida, dada a variedade de competências dos seus membros. Na verdade, um 
trabalho como o do grupo de estudos do GTI, integrando ensaios teóricos e experiências 
concretas de investigação sobre a prática profissional, dificilmente poderia ter sido feito 
sem esta diversidade de participantes. 
 
4. A investigação como um elemento da cultura profissional 
 
A valorização de uma cultura de investigação entre os professores não depende 
apenas de uma actuação mais ou menos voluntarista no plano individual. Pressupõe, 
pelo contrário, um papel fundamental das instâncias colectivas onde os professores 
exercem a sua actividade profissional, com destaque para as escolas, os movimentos 
pedagógicos e as estruturas associativas. 
Um dos maiores obstáculos à afirmação de uma cultura de investigação nos 
professores é a velha oposição entre teoria e prática. Nesta oposição, a teoria é algo 
fantasioso, inadequado para a interpretação da realidade, inútil ou até pernicioso. A 
prática é o reino da normalidade e do inevitável, onde todos os problemas encontram 
18 
sempre justificação externa (sejam os alunos, os encarregados de educação, os 
explicadores, a falta de condições de trabalho ou a política do Ministério). Trata-se de 
uma concepção bizarra de teoria e prática. Na verdade, teoria e prática são duas faces de 
uma mesma moeda. Coexistem sempre. Onde há uma teoria há uma prática e onde há 
uma prática há uma teoria. O que é preciso é questionar se a teoria serve ou não serve e 
se a prática é recomendável ou problemática. Há muitas teorias que não prestam, mas há 
outras boas. Também há muitas práticas inadequadas, ao lado de outras exemplares. Pôr 
em diálogo, em cada situação, a teoria e a prática, é uma condição fundamental para a 
compreensão dos problemas e um passo essencial para a sua resolução. Isso 
consegue-se muito melhor no plano colectivo do que no plano individual, e aí está mais 
uma razão para chamar a atenção para o nível colectivo de actuação profissional do 
professor. 
Na minha perspectiva, a afirmação da investigação e da reflexão sobre a prática 
como um elemento fundamental da cultura profissional dos professores de Matemática 
depende de duas instâncias fundamentais: 
 
(i) Uma instância de apoio à realização de projectos, que se devem 
realizar tanto quanto possível próximos da prática profissional, ou 
seja nas escolas, em grupos de escolas ou em grupos com interesses 
comuns, e que, em muitos casos, podem revestir o carácter de 
projectos colaborativos, envolvendo professores experientes, 
professores principiantes, formadores e investigadores e outros 
membros da comunidade, como agentes sociais e culturais e até 
encarregados de educação; 
(ii) Uma instância de apoio à divulgação dos resultados e das 
perspectivas dos projectos e ao seu debate, que são, de modo 
privilegiado, os encontros profissionais e as publicações periódicas e 
não periódicas. 
 
Não teremos em Portugal as condições mais desejáveis em relação à primeira 
instância, mas devemos reconhecer que começam a haver espaços de trabalho nas 
escolas, horários que permitem trabalhar, recursos e condições mínimas propiciadoras 
de colaboração. As condições não são um dado absoluto – são algo que se transforma, 
com paciência, persistência e criatividade. 
Por outro lado, temos condições excepcionais no que se refere à segunda 
instância – com os encontros nacionais, regionais e sectoriais da APM, os seus grupos 
de trabalho e núcleos regionais e as revistas Educação e Matemática e Quadrante, uma 
19 
mais virada para a divulgação e troca de experiências, outra para a apresentação de 
perspectivas teóricas e trabalhos empíricos. No entanto, penso que ainda há muito a 
fazer para se potenciar estas condições como elemento gerador de uma nova cultura 
profissional marcada pela discussão, pela crítica, pelo debate aprofundados, e onde se 
privilegie o essencial sobre o acessório. 
Na verdade, muitos passos têm ainda de ser dados para que se afirme uma 
verdadeira cultura de investigação. Esta cultura, na minha perspectiva, não deve 
encarar-se como uma mera transposição do que se passa noutras comunidades 
académicas (como os matemáticos ou os educadores matemáticos ) ou profissionais 
(como os médicos ou os engenheiros). Tem de equacionar-se no quadro da afirmação de 
uma nova profissionalidade docente. 
Debate-se hoje muito se o professor é um autêntico profissional ou é antes um 
semi-profissional. É claro que o professor que cumpre o seu horário, dá as suas aulas, 
assiste a contrariado às reuniões de grupo e conselhos de turma e foge da escola assim 
que possível, está mais perto da imagem do funcionário público do que da imagem do 
profissional. Além disso, a docência está muito longe de poder constituir uma profissão 
liberal, no sentido clássico do termo. Ao contrário do profissional liberal, que trabalha 
por conta própria, o vínculo contratual do professor é com o Estado ou com outra 
entidade patronal. O seu “cliente” é difícil de caracterizar. À primeira vista seria o 
aluno, mas o professor não trabalha só para o aluno – trabalha também para a família e 
para a comunidade, a quem tem de prestar contas7. 
Deste modo, o que se requer não é a implementação do modelo das profissões 
liberais, mas a afirmação de uma nova profissionalidade. A profissão docente, apesar de 
bastante antiga, continua em construção (Perrenoud, 1993). É preciso voltar a perguntar, 
portanto, o que é o professor? A este respeito, partilho a perspectiva que o professor é 
tanto o representante da sociedade junto da criança e do jovem como um co-construtor 
dessa sociedade com as crianças, os jovens, os seus pares e toda a comunidade. O 
professor é um homem ou mulher de acção e também um homem ou mulher de cultura e 
o seu trabalho envolve uma faceta de executor e outra de pensador (Alarcão, 1997). Esta 
nova profissionalidade, a meu ver, terá de passar por dois elementos essenciais, de resto 
sublinhados por Isabel Alarcão (1997): (i) a consciencialização, pelos professores, da 
especificidade do seu conhecimento profissional; (ii) a afirmação de uma ética 
 
7 Note-se, ainda, que, ao contrário do que acontece com as profissões liberais clássicas, os “clientes” do 
da escola pública (aluno, família e comunidade) não têm qualquer margem para escolher o seu professor. 
20 
renovada,em que o professor deixa de se assumir como um agente cultural e político do 
Estado para ser um agente cultural e político da sociedade. 
 
5. A concluir 
 
Procurando defender a ideia que pode haver uma ligação estreita entre ensinar, 
aprender e investigar, apresentei diversas situações em que os alunos fizeram 
explorações e investigações matemáticas na sala de aula. Referi, também, diversas 
experiências em que os professores investigaram a sua própria prática e sublinhei a 
importância da dimensão colaborativa. Indiquei, finalmente, o papel da dimensão 
institucional e associativa para o desenvolvimento de uma nova cultura profissional, 
onde a investigação tenha um papel relevante. Baseei a minha argumentação numa 
perspectiva dessacralizada da investigação, como uma actividade natural à espécie 
humana, em contraponto com uma perspectiva elitista e restritiva, que reserva esta 
actividade para os “investigadores profissionais”. 
No entanto, antes de concluir, parece-me ser necessário sublinhar que, apesar de 
defender uma perspectiva alargada da investigação, isso não significa que subscreva a 
banalização deste conceito. A investigação requer uma racionalidade muito diferente da 
simples opinião. Pressupõe, da parte de quem a realiza, um esforço de clareza nos 
conceitos, nos raciocínios e nos procedimentos. Pressupõe reflexão, debate e crítica 
aprofundada pela comunidade dos pares. Isso requer, naturalmente, que as ideias sejam 
apresentadas de forma suficientemente detalhada e rigorosa para poderem ser 
compreendidas e debatidas. Exige uma racionalidade argumentativa mais sólida do que 
a simples justificação ad hoc e exige que se saiba qual o paradigma ou enquadramento 
teórico geral por onde essa racionalidade pode ser aferida. 
Investigar não resulta de se conhecer a aplicar umas tantas técnicas de recolha de 
dados, sejam questionários ou entrevistas, e de fazer uma análise estatística ou de 
conteúdo. Pelo contrário, investigar pressupõe sobretudo uma atitude, uma vontade de 
perceber, uma capacidade para interrogar, uma disponibilidade para ver as coisas de 
outro modo e para pôr em causa aquilo que parecia certo. Investigar envolve sobretudo 
três actividades: estudar, conversar e escrever. Estudar – autores clássicos e autores 
modernos, autores da nossa área e autores que nos são exteriores, é fundamental para 
nos abrirmos para o mundo, para acompanharmos o movimento intelectual 
contemporâneo, ao mesmo tempo que preservamos a essencial da nossa herança 
21 
cultural. Conversar – com colegas, com outros actores educativos, com os nossos 
alunos, trocando impressões, colaborando, procurando compreender os seus pontos de 
vista e formulando a nossa perspectiva cada vez com mais clareza. Escrever – pondo 
preto no branco as nossas ideias, as nossas experiências, as nossas práticas, os nossos 
desejos e frustrações, permitindo que elas sejam conhecidas e discutidas dentro e fora da 
comunidade profissional. Só desse modo podemos chegar ao fundo das coisas, só desse 
modo podemos construir uma cultura marcada pelo profissionalismo e pelo rigor. 
Algo de muito semelhante parece-me ser o que defende António Nóvoa: 
 
É preciso ir além dos “discursos de superfície” e procurar uma 
compreensão mais profunda dos fenómenos educativos. Estudar. 
Conhecer. Investigar. Avaliar. Caso contrário, continuaremos reféns da 
demagogia e da ignorância. As mudanças nas escolas estão, por vezes, 
tão próximas que provocam um efeito de cegueira. Só conseguiremos sair 
da penumbra através de uma reflexão colectiva, informada e crítica. 
(Nóvoa, 2002, p. 29) 
 
A investigação não é certamente a solução geral que vai resolver de uma vez por 
todas todos os problemas da educação. Se alguma coisa sabemos com alguma margem 
de certeza é que tal solução não existe. A investigação tem as suas potencialidade mas 
também tem os seus limites. Mesmo no ensino, é útil para atingir certos objectivos, mas 
não o será para outros. Nem tudo se pode aprender através da investigação. No entanto, 
isso não invalida a ideia que se trata de uma poderosa forma de construção do 
conhecimento tanto para o aluno como para o professor, que importa, por isso, 
promover no nosso ensino e na nossa cultura profissional. 
 
6. Referências 
 
Abrantes, P., Leal, L. C., & Ponte, J. P. (Eds.). (1996). Investigar para aprender 
matemática. Lisboa: APM e Projecto MPT. 
Abrantes, P., Ponte, J. P., Fonseca, H., & Brunheira, L. (Eds.). (1999). Investigações 
matemáticas na aula e no currículo. Lisboa: APM e Projecto MPT. 
Alarcão, I. (1997). Profissionalização docente em construção. In S. Pimenta (Ed.), 
Didáctica e formação de professores: Percursos e perspectivas no Brasil e em 
Portugal. São Paulo: Cortez. 
Boavida, A. M., & Ponte, J. P. (2002). Investigação colaborativa: Potencialidades e 
problemas. In GTI (Ed.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp. 
43-55). Lisboa: APM. 
22 
Burton, L. (1984). Thinking things through: Problem solving in mathematics. London: 
Simon & Schuster. 
Burton, L. (2001). Research mathematicians as learners – and what mathematics 
education can learn from them. British Educational Research Journal, 27(5), 
589-599. 
GTI (Ed.). (2002). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM. 
Hadamard, J. (1945). Psychology of invention in the mathematical field. Princeton: 
Princeton University Press. 
Oliveira, P. (2002). A investigação do professor, do matemático e do aluno: Uma 
discussão epistemológica (tese de mestrado, Universidade de Lisboa). 
Nóvoa, A. (2002). Os professores e o “novo” espaço público da educação. In A. Nóvoa 
(Ed.), Formação de professores e trabalho pedagógico (pp. 9-29). Lisboa: 
Educa. 
Perrenoud, P. (1993). Práticas pedagógicas, profissão docente e formação: 
Perspectivas sociológicas. Lisboa: D. Quixote. 
Pires, M. (2002). A diversificação de tarefas em Matemática no ensino secundário: Um 
projecto de investigação-acção. In GTI (Ed.), Reflectir e investigar sobre a 
prática profissional (pp. 125-154). Lisboa: APM. 
Poincaré, H. (1996). A invenção matemática. In P. Abrantes, L. C. Leal, & J. P. Ponte 
(Eds.), Investigar para aprender Matemática (pp. 7-14). Lisboa: Projecto MPT e 
APM. 
Ponte, J. P. (2001). A comunidade matemática e as suas práticas de investigação. 
Documento do círculo de estudos “Aprender Matemática Investigando”, 
Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/mem/bibliografia.htm. 
Ponte, J. P., Oliveira, H., Cunha, H., & Segurado, I. (1998). Histórias de investigações 
matemáticas. Lisboa: IIE. 
Segurado, I. (2002). O que acontece quando os alunos realizam investigações 
matemáticas? In GTI (Ed.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional 
(pp. 57-73). Lisboa: APM. 
Skovsmose, O. (2000). Cenários para investigação. Bolema, 14, 66-91. 
Sousa, O. (2002). Investigações estatísticas no 6º ano. In GTI (Ed.), Reflectir e 
investigar sobre a prática profissional (pp. 75-97). Lisboa: APM. 
 
23