Aula 05 - Equação do 2 grau - ESTRATÉGIA

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Aula 05
Raciocínio Lógico - Matemático p/ PRF
(Policial) Com Videoaulas - 2020
Autor:
Guilherme Neves
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22 de Janeiro de 2020
 
 
 
 
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1.	 Trinômio Quadrado Perfeito ............................................................................................................................ 2	
1.1	 Como fabricar um trinômio quadrado perfeito ............................................................................................... 4	
2.	 Raiz quadrada e equação do segundo grau ...................................................................................................... 6	
3.	 Equação do 2º grau .......................................................................................................................................... 7	
4.	 Solução geral de uma equação do segundo grau ............................................................................................ 11	
5.	 Relações de Girard ......................................................................................................................................... 14	
6.	 Forma fatorada .............................................................................................................................................. 18	
7.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 21	
8.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 35	
9.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 37	
10.	 Considerações Finais .................................................................................................................................... 100	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Equação do 2º Grau? 
1. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
 
Denomina-se trinômio quadrado perfeito todo trinômio do segundo grau que pode ser fatorado na 
forma (𝑚𝑥 + 𝑛)'. 
 
Vamos desenvolver a expressão acima. 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = (𝑚𝑥 + 𝑛)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 + 𝒏𝒎𝒙 + 𝑛' 
 
Observe que 𝑚𝑛𝑥 = 𝑛𝑚𝑥, pois a multiplicação é uma operação comutativa. 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 +𝒎𝒏𝒙 + 𝑛' 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛' 
 
Desta maneira, como identificar se um trinômio do segundo grau é um trinômio quadrado 
perfeito? 
 
 
1) Calcule a raiz quadrada do termo em x2 e do termo independente (o termo que não 
tem x). Desta forma, você obtém m e n. 
 
2) Multiplique os resultados obtidos e depois multiplique por 2. Assim, você obtém 
2mn. 
 
3) Se o resultado for igual ao termo em x, o trinômio é quadrado perfeito. 
Exemplo: 64𝑥' + 80𝑥 + 25 
 
A raiz quadrada do primeiro termo é 8x. A raiz quadrada do termo independente é 5. Vamos 
multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. 
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𝟖𝒙 ∙ 𝟓 ∙ 2 = 80𝑥 
 
O resultado coincidiu com o termo do meio. 
 
Assim, o trinômio 64𝑥' + 80𝑥 + 25 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é 
(𝟖𝒙 + 𝟓)'. 
 
Exemplo: Fatore o trinômio 16𝑥' + 24𝑥 + 9. 
 
Resolução 
 
Vamos verificar se o trinômio acima é um quadrado perfeito. 
 
A raiz quadrada do primeiro termo é 4x. A raiz quadrada do termo independente é 3. Vamos 
multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. 
 
𝟒𝒙 ∙ 𝟑 ∙ 2 = 24𝑥 
 
O resultado coincidiu com o termo do meio. 
 
Assim, o trinômio 16𝑥' + 24𝑥 + 9 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é 
(𝟒𝒙 + 𝟑)'. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1 COMO FABRICAR UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
 
Em geral, caso um trinômio do segundo grau não seja quadrado perfeito, podemos utilizar alguns 
artifícios algébricos para forçar a criação de um quadrado perfeito. Isso nos ajudará na resolução 
de equações do segundo grau. 
 
Observe a forma do trinômio perfeito: 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛'. 
 
Imagine que não temos o termo independente 𝑛'. Como a partir dos outros coeficientes 2mn e m2 
podemos calcular n2? 
 
i) Eleve 2mn ao quadrado e obtenha 4m2n2. 
 
ii) Divida o resultado anterior por 4m2 e obtenha 4m2n2/4m2 = n2. 
 
Assim, 
Se você elevar ao quadrado o coeficiente de x e dividir por 4 vezes o coeficiente de x2, 
você obterá o termo independente n2. 
 
Vamos agora reescrever este procedimento com um binômio geral 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥. No caso anterior, 
𝑎 = 𝑚'	𝑒	𝑏 = 2𝑚𝑛. No procedimento anterior, substitua 2mn por b e m2 por a. 
 
i) Eleve b ao quadrado e obtenha b2. 
 
ii) Divida o resultado anterior por 4a e obtenha b2/4a. 
 
Em suma, 
Se temos apenas um trinômio da forma ax2 + bx e queremos completá-lo para formar 
um trinômio quadrado perfeito, basta somar b2/4a. 
 
 
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Vejamos o trinômio do segundo grau 16𝑥' + 80𝑥 + 30. 
 
Este não é um trinômio quadrado perfeito. Observe que a raiz quadrada do termo dominante 
é 4x, a raiz quadrada do termo independente é√30. Ao multiplicar estes valores e multiplicar 
o resultado por 2, encontramos 8𝑥√30, que não coincide com o termo do meio. 
 
Esqueça por um momento o termo independente. Ficamos com 16𝑥' + 80𝑥. 
 
Neste caso, a = 16 e b = 80. Para obtermos um quadrado perfeito, devemos adicionar b2/4a. 
 
𝑏'
4𝑎 =
80'
4 ∙ 16 =
6.400
64 = 100 
 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 100		 ⟶ 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜	𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 
 
Entretanto, já tínhamos 30 como termo independente. Que vamos fazer então? Vamos tomar 
o trinômio original e então adicionamos 100 e subtraímos 100 para que o trinômio não seja 
alterado. 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 16𝑥' + 80𝑥 + 30 + 100 − 100KLLMLLN
O
= 16𝑥' + 80𝑥 + 100 + 30 − 100 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 − 70 = (𝟒𝒙 + 𝟏𝟎)𝟐 − 70 
 
 
Esta não é a fatoração do trinômio dado, mas, como dito anteriormente, será bastante 
útil para resolver equações do segundo grau. 
 
 
 
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2. RAIZ QUADRADA E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
É importante notar a diferença entre, por exemplo, calcular a raiz quadrada de 9 e resolver a 
equação x2 = 9. 
 
A raiz quadrada de 9 é um resultado único: 3. 
 
√9 = 3 
 
Isto porque estamos trabalhando no universo dos números reais e a raiz quadrada possui um valor 
único e positivo. É errado, portanto, no universo dos números reais, escrever que √9 = ±3. 
 
Resolver a equação x2 = 9 significa encontrar valores de x que tornam esta sentença aberta uma 
sentença verdadeira. Há dois valores que satisfazem esta equação, a saber: 3 ou -3. 
 
3' = 9 
 
(−3)' = 9 
 
Assim, o conjunto soluçãoda equação x2 = 9 é S = {-3,3}. 
 
Rigorosamente, o passo a passo para resolver tal equação é o seguinte. 
 
𝑥' = 9 
 
V𝑥' = √9 
 
Vimos que √9 = 3. Entretanto, √𝑥' não é x. Existe uma propriedade dos módulos (ou valores 
absolutos) dos números reais que diz que √𝑥' = |𝑥|. 
 
 
 
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|𝑥| = 3 
 
Existem dois números reais com módulo igual a 3, a saber: 3 ou -3. 
 
Portanto, x = 3 ou x = -3. 
 
Entretanto, não é necessário escrever este passo a passo toda vez que for resolver uma equação 
do segundo grau. Fazemos simplesmente assim: 
 
𝑥' = 9 
 
𝑥 = ±√9 
 
𝑥 = ±3 
 
Novamente: o símbolo ± não foi originado da raiz de 9. Ele foi originado de √𝑥' = |𝑥|. 
 
3. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Denomina-se equação do 2º grau toda equação que pode ser escrita na forma 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde a, b e c são números reais e a ¹ 0. 
 
 
Alguns casos particulares têm solução imediata. 
 
 
 
 
 
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i) b = c = 0 
 
Neste caso, a equação reduz-se a ax2 = 0. 
 
𝑎𝑥' = 0 
𝑥' = 0 
𝑥 = 0 
 
Assim, o conjunto verdade é V = {0}. 
 
ii) b = 0 
 
Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + c = 0. Nem sempre é possível resolver esta 
equação no conjunto dos números reais. 
 
 Observe os seguintes exemplos. 
 
Exemplo 1: 
9𝑥' − 4 = 0 
 
9𝑥' = 4 
 
𝑥' =
4
9 
 
𝑥 = ±Y
4
9 
 
 
 
 
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𝑥 = ±
2
3 
 
Assim, o conjunto solução é S = {-2/3, 2/3}. 
 
Exemplo 2: 
 
9𝑥' + 4 = 0 
 
9𝑥' = −4 
 
𝑥' = −
4
9 
 
𝑥 = ±Y−
4
9 
 
 
 
 
 
Entretanto, não é possível calcular raiz quadrada de números negativos no universo dos 
números reais. Assim, não há valor real de x que satisfaça a equação 9𝑥' + 4 = 0 e o 
conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. 
 
 
 
 
 
 
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iii) c = 0 
 
Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + bx = 0. Podemos resolver esta equação fatorando 
a expressão. 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = 0 
 
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
 
Assim, o produto de dois números (x e ax+b) é igual a zero. Para que o produto entre dois números 
seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑎𝑥 = −𝑏 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑥 = −
𝑏
𝑎 
 
E o conjunto solução é S = {0, -b/a}. 
 
Exemplo 1: 
 
2𝑥' + 6𝑥 = 0 
 
𝑥(2𝑥 + 6) = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	2𝑥 + 6 = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑥 = −3 
 
 
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𝑆 = {0, −3} 
 
 
Exemplo 2: 
 
−3𝑥' + 12𝑥 = 0 
 
𝑥(−3𝑥 + 12) = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	 − 3𝑥 + 12 = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑥 = 4 
 
𝑆 = {0,4} 
 
4. SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
Vimos como resolver alguns casos particulares de equações do segundo grau. Vamos desenvolver 
uma fórmula para resolver qualquer equação do segundo grau. 
 
A equação do segundo grau tem a seguinte forma: 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Podemos reescrever: 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = −𝑐 
 
 
 
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Temos um binômio do segundo grau no primeiro membro da equação. Para obter um trinômio 
quadrado perfeito, como vimos, devemos adicionar 𝑏'/4𝑎	. Para não alterar a equação, vamos 
adicionar este número em ambos os membros. 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 +
𝑏'
4𝑎 =
𝑏'
4𝑎 − 𝑐 
 
O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado. Vamos dividir o 
todos os termos da equação por a para facilitar os cálculos. 
 
𝑥' +
𝑏
𝑎 𝑥 +
𝑏'
4𝑎' =
𝑏'
4𝑎' −
𝑐
𝑎 
 
Vamos agora fatorar o trinômio quadrado perfeito do primeiro membro. A raiz quadrada do 
primeiro termo é x e a raiz quadrada do último termo é b/2a. 
 
No segundo membro, vamos subtrair as frações. 
 
`𝑥 +
𝑏
2𝑎a
'
=
𝑏' − 4𝑎𝑐
4𝑎' 
 
𝑥 +
𝑏
2𝑎 = ±Y
𝑏' − 4𝑎𝑐
4𝑎' 
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎 ±
√𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂 
 
 
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Esta é a tão conhecida fórmula utilizada para resolver equações do segundo grau. Você não precisa 
se estressar em entender a dedução dela. Vamos aprender a aplicá-la. 
 
Denominamos discriminante o número real 𝚫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄. Podemos reescrever a fórmula 
resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
Esta fórmula, exclusivamente no Brasil, erradamente, é chamada de Fórmula de Bhaskara. 
 
Não sei o exato motivo de esse nome ser utilizado no Brasil. Bhaskara foi um famoso matemático 
indiano e que desenvolveu alguns métodos para resolver problemas que envolviam equações do 
segundo grau. 
 
Algum escritor ou professor brasileiro, algumas décadas atrás, interpretou que Bhaskara “criou” 
esta fórmula e o nome entrou na moda. 
 
Assim, o correto seria chamar a fórmula acima de “fórmula resolutiva da equação do segundo 
grau” ou algo do gênero. 
 
Vejamos como aplicar esta fórmula em três exemplos. 
 
 
 
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Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto 
solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não 
podem ser calculadas no universo dos números reais. 
 
Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. RELAÇÕES DE GIRARD 
 
Vamos resolver a equação 12𝑥' − 10𝑥 + 2 = 0. 
 
Considerando a notação usual 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, temos que 𝑎 = 12, 𝑏 = −10	𝑒	𝑐 = 2. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−(−10) ± V(−10)' − 4 ∙ 12 ∙ 2
2 ∙ 12 
 
𝑥 =
10 ± 2
24 
 
 
 
0 Duas raízes reais e distintas
0 Duas raízes reais e iguais 
0 Não há raízes reais
D > Û
D = Û
D < Û
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Assim: 
 
𝑥g =
10 + 2
24 =
12
24 =
1
2 					𝑜𝑢	𝑥' =
10 − 2
24 =
8
24 =
1
3 
 
Vamos calcular a soma das raízes: 
 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' =
1
2 +
1
3 =
3 + 2
6 =
5
6 
 
Vamos calcular o produto das raízes: 
 
𝑃 = 𝑥g ∙ 𝑥' =
1
2 ∙
1
3 =
1
6 
 
Pronto! Todo este trabalho para calculara soma e o produto das raízes da equação do segundo 
grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim, existe! É sobre este assunto que falaremos 
agora: As Relações de Girard. 
 
São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. 
 
Vejamos: Chamaremos de 𝑥g	𝑒	𝑥' as raízes da equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Desta maneira: 
 
𝑥g =
−𝑏 + √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 	𝑒	𝑥' =
−𝑏 − √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
Vamos multiplicar e somar estes dois números: 
 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' =
−𝑏 + √Δ
2𝑎 +
−𝑏 − √Δ
2𝑎 
 
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𝑆 =
−𝑏 + √Δ − 𝑏 − √Δ
2𝑎 =
−2𝑏
2𝑎 = −
𝑏
𝑎 
 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = −
𝑏
𝑎 
 
 
𝑃 = 𝑥g𝑥' = i
−𝑏 + √Δ
2𝑎
ji
−𝑏 − √Δ
2𝑎
j 
 
𝑃 =
𝑏' + 𝑏√Δ − 𝑏√Δ − k√Δl
'
4𝑎' 
 
𝑃 =
𝑏' − Δ
4𝑎' =
𝑏' − (𝑏' − 4𝑎𝑐)
4𝑎' =
4𝑎𝑐
4𝑎 ∙ 𝑎 
 
𝑃 = 𝑥g𝑥' =
𝑐
𝑎 
 
 
 
 
Relações de Girard 
 
 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = − m
n
 -----------------à Soma das raízes 
 
𝑃 = 𝑥g𝑥' =
o
n
 -----------------à Produto das raízes 
 
 
 
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Vamos voltar ao nosso exemplo: 
 
12𝑥' − 10𝑥 + 2 = 0. 
 
𝑎 = 12, 𝑏 = −10	𝑒	𝑐 = 2 
 
Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: 
 
𝑆 =
−𝑏
𝑎 =
−(−10)
12 =
10
12 =
5
6 
 
 
O produto das raízes é dado por: 
 
𝑃 =
𝑐
𝑎 =
2
12 =
1
6 
 
Ainda com as relações de Girard, podemos resolver outros problemas como, por exemplo, 
calcular a soma dos inversos das raízes ou a soma dos quadrados das raízes. Observe: 
 
a) Soma dos inversos das raízes. 
 
1
𝑥g
+
1
𝑥'
=
𝑥g+𝑥'
𝑥g𝑥'
=
5/6
1/6 =
5
6 ∙
6
1 = 5 
 
De fato, as raízes são 1/2 e 1/3. Assim, a soma dos seus inversos é 2 + 3 = 5. 
 
b) Soma dos quadrados das raízes 
 
Agora estamos interessados em calcular 𝑥g' + 𝑥''. 
 
Para calcular o desejado, vamos partir de (𝑥g + 𝑥')'. 
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(𝑥g + 𝑥')' = 𝑥g' + 2𝑥g𝑥' + 𝑥'' 
 
`
5
6a
'
= 𝑥g' + 2 ∙
1
6 + 𝑥'
' 
 
25
36 = 𝑥g' +
1
3 + 𝑥'
' 
 
𝑥g' + 𝑥'' =
25
36 −
1
3 =
25 − 12
36 =
13
36 
 
6. FORMA FATORADA 
 
Voltemos à equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
 
Podemos reescrever da seguinte forma: 
 
𝑎 `𝑥' +
𝑏
𝑎 𝑥 +
𝑐
𝑎a = 0 
 
𝑎 p𝑥' − `−
𝑏
𝑎a 𝑥 +
𝑐
𝑎q = 0 
 
Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes, temos: 
 
𝒂[𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷] = 𝟎 
 
Com a expressão acima, podemos “fabricar” equações do segundo grau, se são dadas as 
raízes. 
 
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Por exemplo, vamos fabricar uma equação do segundo grau de raízes -3 e 5. 
 
Neste exemplo, a soma das raízes é S = -3 + 5 = 2 e o produto das raízes é P = - 3 x 5 = -15. 
 
Substituindo na expressão acima, temos: 
 
𝑎[𝑥' − 2𝑥 − 15] = 0 
 
Agora basta escolher qualquer valor diferente de zero para a. 
 
Para a = 1, temos 𝑥' − 2𝑥 − 15 = 0. 
 
Para a = -3, temos −3𝑥' + 6𝑥 + 45 = 0. 
 
Voltemos à equação 𝑎[𝑥' − 𝑆𝑥 + 𝑃] = 0 
 
Se x1 e x2 são as raízes da equação, das relações de Girard, temos: 
 
𝑎[𝑥' − (𝑥g + 𝑥')𝑥 + 𝑥g𝑥'] = 0 
 
𝑎[𝑥' − 𝑥g𝑥 − 𝑥'𝑥 + 𝑥g𝑥'] = 0 
 
𝑎[𝑥(𝒙 − 𝒙𝟏) − 𝑥'(𝒙 − 𝒙𝟏)] = 0 
 
Observe que (𝑥 − 𝑥g) é um fator comum. Portanto, 
 
𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) = 𝟎 
 
Esta é a forma fatorada da equação do segundo grau. 
 
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De fato, para fatorar qualquer trinômio do segundo grau, ou seja, para fatorar ax2 +bx +c, bastar 
achar as raízes da equação ax2 +bx +c=0 e substituir na expressão 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥'). 
 
Em suma, temos: 
 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
 
em que x1 e x2 são as raízes da equação 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. 
 
Você também pode usar a forma fatorada para “fabricar” equações do segundo grau. 
 
Exemplo: Fatorar o polinômio 3x2 – 15x – 72. 
 
O primeiro passo é resolver a equação 3x2 – 15x – 72 = 0. 
 
Dividindo todos os membros por 3, temos: 
 
𝑥' − 5𝑥 − 24 = 0 
 
O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24) = 121 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
5 ± 11
2 
 
Assim, x = 8 ou x = -3. 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') 
 
3𝑥' − 15𝑥 − 72 = 3(𝑥 − 8)(𝑥 + 3) 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
01. (VUNESP 2019/UNICAMP) 
A equação 𝑥' + 10𝑥 + 16 = 0 tem duas raízes. Subtraindo-se a menor da maior, obtém-se o valor 
a) 6. 
b) 4. 
c) 2. 
d) – 4. 
e) – 6. 
02. (VUNESP 2018/Prefeitura de Ribeirão Preto) 
A equação 𝑥' + 5𝑥 − 14 = 0 tem duas raízes reais. Subtraindo-se a menor da maior obtém-se 
a) – 9. 
b) – 5. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
03. (VUNESP 2019/Câmara Municipal de Serrana) 
Especialistas em segurança no trânsito apontam que a distância mínima D, em metros, necessária 
para que dois motoristas de habilidade média, conduzindo veículos que percorram, em sentidos 
opostos, uma mesma faixa de tráfego, possam evitar o choque frontal, recorrendo aos freios, pode 
ser obtida, de modo simplificado, pelo seguinte cálculo: 
𝐷 = 2 ∙ (0,5 ∙ 𝑉 + 0,01 ∙ 𝑉') 
Na expressão indicada, V corresponde à velocidade máxima permitida, em km/h, que cada um dos 
veículos pode manter, no referido trecho, com V positivo. 
 
A distância mínima de 300 m, necessária para evitar o choque frontal, está associada a uma 
velocidade V igual a 
a) 60 km/h. 
b) 80 km/h. 
c) 100 km/h. 
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d) 120 km/h. 
e) 150 km/h. 
04. (VUNESP 2019/UFABC) 
Considere a equação do segundo grau 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞, na qual 𝑞 representa um número inteiro. 
Sabendo-se que −3 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa 
equação é igual a 
a) – 6. 
b) –13. 
c) 0. 
d) 7. 
e) 12. 
05. (VUNESP 2019/Prefeitura de Itapevi) 
Uma professora pediu a seus alunos que resolvessem a equação 𝑥' − 𝑥 − 12 = 0. Joana anotou 
uma equação do segundo grau errada em seu caderno, mas fez a resolução correta e cada raiz 
determinada por ela é 3 a menos do que as raízes da equação proposta pela professora. A equação 
resolvida por Joana, que começa por 𝑥', é 
a) 𝑥' − 3𝑥 − 15 = 0. 
b) 𝑥' + 2𝑥 − 9 = 0. 
c) 𝑥' + 𝑥 + 12 = 0. 
d) 𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0. 
e) 𝑥' − 12𝑥 − 1 = 0. 
06. (VUNESP 2018/Câmara Municipal de 2 Córregos) 
Para a realização de um plenário, foram disponibilizadas para a plateia 96 cadeiras dispostas em 
fileiras, de modo que o número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de fileiras. 
O número de cadeirasde uma fileira é 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
07. (VUNESP 2018/Prefeitura de Barretos) 
Em uma planilha há 192 espaços a serem preenchidos, distribuídos em linhas e colunas. A figura 
mostra um pedaço dessa planilha. 
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Sabendo-se que o número de linhas é o triplo do número de colunas, então, o número de linhas de 
uma coluna é 
a) 15. 
b) 18. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 27. 
08. (VUNESP 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em um escritório, havia 432 pastas que foram colocadas em caixas, de modo que cada caixa 
continha o mesmo número de pastas. Sabendo que o número de pastas por caixa é três vezes o 
número de caixas, então o número de pastas de uma caixa é 
a) 40. 
b) 36. 
c) 32. 
d) 28. 
e) 24. 
09. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
Em um depósito, há 108 latas de tinta empilhadas, e cada pilha tem o mesmo número de latas. 
Sabendo-se que o número de pilhas é o triplo do número de latas de uma pilha, então o número 
de pilhas é 
a) 18. 
b) 15. 
c) 12. 
d) 9. 
e) 6. 
10. (VUNESP 2019/UNIFAI) 
Em uma turma com 31 crianças, cada menino deu para cada menina 1 bombom, de maneira que 
foram dados 228 bombons. Se nessa sala há mais meninas do que meninos, a soma dos algarismos 
do número de meninas nessa turma é igual a 
a) 10. 
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b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
11. (VUNESP 2018/Câmara Municipal de Jales) 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André, e Carlos tem 17 carrinhos a menos do que 
André. Se o produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de Carlos é 
igual a 208, esses três meninos têm, juntos, um total de carrinhos igual a 
a) 55. 
b) 56. 
c) 57. 
d) 58. 
e) 59. 
12. (VUNESP 2018/Prefeitura de Buritizal) 
Em uma loja onde todos são vendedores, trabalham 7 mulheres a mais do que homens. Em certo 
dia, todos esses vendedores venderam, cada um, 12 camisas. O número de camisas vendidas por 
todos esses vendedores é igual ao produto do número de homens pelo número de mulheres que 
trabalham na loja. O total de vendedores dessa loja é 
a) 28. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 49. 
e) 56. 
13. (VUNESP 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em uma sala de aula havia 3 meninos a mais do que meninas. Cada menina escreveu um bilhete 
para cada menino e cada menino escreveu um bilhete para cada menina, num total de 176 
bilhetes. O número de meninas nessa sala é um divisor de 
a) 24. 
b) 30. 
c) 36. 
d) 42. 
e) 50. 
14. (VUNESP 2018/PAULIPREV) 
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Em uma empresa, no Dia da Secretária, cada secretária comprou uma flor para cada outra 
secretária, sendo que nenhuma delas comprou flor para si mesma. Três diretoras compraram, cada 
uma, duas flores para cada secretária. A presidente da empresa comprou onze flores para apenas 
uma secretária. Se no total foram compradas 137 flores, o número de secretárias dessa empresa é 
divisor de 
a) 123. 
b) 256. 
c) 384. 
d) 459. 
e) 660. 
15. (VUNESP 2018/Prefeitura de São José dos Campos) 
Alguns aniversariantes comemoraram juntos seus aniversários e convidaram 15 amigos para uma 
festa. Cada convidado trouxe um presente para cada aniversariante. Cada aniversariante também 
trouxe um presente para cada outro aniversariante, mas não para si próprio. Se, no total, foram 
oferecidos 351 presentes, o número de aniversariantes era um número divisor de 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
 
 
16. (CESPE 2008/PRF) 
 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter 
cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas 
foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 
40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um total de R$ 
6.720,00. 
 
Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
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17. (CESPE 2007/SEBRAE-AC) 
 
Julgue o item seguinte. 
 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. 
 
 
18. (CESPE 2008/SEAD-SE) 
 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. 
 
 
19. (CESPE 2007/SGA-AC) 
 
Se 𝑥g e 𝑥' são as raízes da equação 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥g/𝑥' > 0. 
 
 
20. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
 
 Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. 
 
 
 
Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
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21. (CETRO 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) 
 
Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 
 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
c) (7,1) 
d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
 
 
22. (CETRO 2004/Assistente Administrativo IMBEL) 
 
Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
 
 
23. (ESAF/TTN) 
 
A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
 
 
 
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24. (ESAF 2005/AFC-STN) 
 
 
A soma dos valores reais de 𝑥 
 
𝑥' + 𝑥 + 1 =
156
𝑥' + 𝑥 
 
é igual a: 
 
 
 
a) −6 
b) −2 
c) −1 
d) 6 
e) 13 
 
25. (ESAF 2006/TFC) 
 
 
Determinar 𝑎 de modo que a equação 4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 tenha duas raízes iguais: 
 
a) 𝑎 = 0 
b) 𝑎 = −8	𝑜𝑢	𝑎 = 0 
c) 𝑎 = 8 
d) −8 < 𝑎 < 0 
e) 𝑎 < 0	𝑜𝑢	𝑎 > 8 
 
26. (FCC 2002/SEA-AP) 
 
 
Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que 
subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
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d) 50 
e) 52 
 
 
27. (FCC 2004/TRT 2ª Região) 
 
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem 
arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço 
e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O 
número de processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25e) 27 
 
28. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
 
O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 
7 é: 
a) - 7 
b) - 2 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
 
29. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das 
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: 
a) -2 
b) -1 
c) 5 
d) 7 
e) 2 
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30. (FEPESE 2005/Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região) 
 
As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma 
dessas raízes é: 
a) 2,4 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
 
31. (CEPERJ 2010/SEE) 
 
A equação 𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 possui raízes 3 e 5. Então, 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
 
a) 7 
b) 10 
c) 15 
d) 19 
e) 23 
 
32. (FUNCAB 2015/CRF-FO) 
 
Considere m e n as raízes da equação x2 – 18x +10 = 0, o valor de m2 + n2 é: 
 
a) 304 
b) 324 
c) 296 
d) 390 
e) 398 
 
 
 
 
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33. (FUNCAB 2015/CRF-FO) 
 
Para que a parábola de equação 𝑦 = 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p 
são, respectivamente: 
a) 6 e 1 
b) -1 e -6 
c) 1 e -6 
d) 1 e 6 
e) 6 e -1. 
 
 
34. (VUNESP 2016/CM de Guaratinguetá) 
 
Uma empresa possui uma frota de 48 veículos, que ficam estacionados no pátio, em fileiras, todas 
com o mesmo número de veículos. Sabendo-se que o número de veículos por fileira é o triplo do 
número de fileiras, então o número de veículos de uma fileira é 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
35. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis) 
 
Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2–7x–2c é –3. 
Assinale a alternativa correspondente. 
a) 12. 
b) 7. 
c) 15. 
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100 
d) 29. 
 
 
36. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) 
 
A equação x2 + bx +c =0 tem 3 e 9 como raízes. Assim, a soma dos coeficientes “b” e “c” dessa 
equação é igual a 
 
a) 15 
b) 17 
c) 19 
d) 21 
 
37. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) 
 
Marcelo leu x páginas por dia de um livro de 392 páginas. Se ele tivesse lido seis páginas a mais por 
dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Assim, o valor de x é 
 
A) 4. 
B) 6. 
C) 8. 
D)14. 
 
38. (FCC 2016/Pref. de Campinas) 
 
Uma campanha de arrecadação de donativos conseguiu R$ 12.000,00, que seriam destinados a 
atender certo número de entidades sociais, cada uma recebendo a mesma quantia. Na hora de 
repartir os donativos por entidade, verificou-se que três delas não atendiam às normas exigidas. A 
eliminação dessas três entidades implicou em acréscimo no valor de R$ 900,00 para cada entidade 
que efetivamente recebeu a doação. De acordo com os dados, a soma dos algarismos do número 
que representa, em reais, o valor que cada entidade efetivamente recebeu de doação é igual a 
 
(A) 4. 
(B) 6. 
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(C) 8. 
(D) 10. 
(E) 12. 
 
 
39. (VUNESP 2016/Pref. de Sertãozinho) 
 
Na equação 3x2 + 8x + a = 0, a incógnita é x, e a é um número inteiro. Sabendo-se que o número (– 
3) é raiz da equação, a outra raiz dessa equação é 
a) -7 
b) -2/5 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 2 
 
40. (FCC 2017/SABESP) 
 
Um grupo de amigos gastou R$ 396,00 em um restaurante. Ao dividirem a conta, decidiram que 
um deles que fazia aniversário naquele dia não deveria pagar a parte que lhe cabia. Assim, cada 
um dos outros teve que pagar R$ 3,00 a mais. Se a conta tivesse sido dividida entre todos do 
grupo, cada um teria pago 
 
(A) R$ 32,00. 
(B) R$ 34,00. 
(C) R$ 35,00. 
(D) R$ 33,00. 
(E) R$ 30,00. 
 
41. (FCC 2017/SABESP) 
O valor de k para que a equação }~
�
�
− 5� 𝑥' + (𝑘 − 10)𝑥 + 1 = 0 tenha duas raízes iguais é 
a) 7 
b) 6 
c) 8 
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100 
d) -6 
e) -8 
42. (VUNESP 2016/CM de Registro) 
 
 Em um grupo de n irmãos, 4 são homens. Cada um desses n irmãos comprou para as irmãs um 
presente de R$ 30,00 e para os irmãos homens, um presente de R$ 25,00. Ninguém comprou 
presente para si próprio, e o gasto total com esses presentes foi R$ 3.100,00. O número de irmãs 
desse grupo é um divisor de 
 
(A) 12. 
(B) 15. 
(C) 18. 
(D) 21. 
(E) 24. 
 
 
43. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) 
 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2+6.400 = 0, então a 
diferença X2 – X1 é igual a 
a) 2 
b) 1 
c) 36 
d) 18 
e) 4 
 
44. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é: 
a) x2 + 4x + 5 = 0 
b) x2 + 4x2 - 5 = 0 
c) 2x2 – 2x + 10 = 0 
d) 2x2 + 2x – 10 = 0 
e) x2 – 4x – 5 = 0 
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8. GABARITOS 
 
 
01. A 
02. E 
03. C 
04. B 
05. D 
06. D 
07. D 
08. B 
09. A 
10. A 
11. E 
12. D 
13. A 
14. D 
15. D 
16. B 
17. ERRADO 
18. CERTO 
19. ERRADO 
20. A 
21. C 
22. B 
23. A 
24. C 
25. B 
26. B 
27. E 
28. C 
29. D 
30. D 
31. A 
32. A 
33. C 
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34. C 
35. C 
36. A 
37. C 
38. B 
39. C 
40. D 
41. B 
42. D 
43. A 
44. E 
 
 
 
 
 
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9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
01. (VUNESP 2019/UNICAMP) 
A equação 𝑥' + 10𝑥 + 16 = 0 tem duas raízes. Subtraindo-se a menor da maior, obtém-se o valor 
a) 6. 
b) 4. 
c) 2. 
d) – 4. 
e) – 6. 
Resolução 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 10 e 𝑐 = 16. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (10)' − 4 ∙ 1 ∙ 16 = 36 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
−10 ± √36
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−10 ± 6
2 
 
𝑥 =
−4
2 = −2			𝑜𝑢				𝑥 =
−16
2 = −8 
 
Subtraindo-se a menor (-8) da maior (-2), obtém-se o valor (−2) − (−8) = −2 + 8 = 6. 
Gabarito: A 
02. (VUNESP 2018/Prefeitura de Ribeirão Preto) 
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A equação 𝑥' + 5𝑥 − 14 = 0 tem duas raízes reais. Subtraindo-se a menor da maior obtém-se 
a) – 9. 
b) – 5. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
Resolução 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5 e 𝑐 = −14. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−14) = 81 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
−5 ± √81
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−5 ± 9
2 
 
𝑥 =
4
2 = 2			𝑜𝑢				𝑥 =
−14
2 = −7 
 
Subtraindo-se a menor (-7) da maior (2), obtém-se o valor 2 − (−7) = 2 + 7 = 9. 
Gabarito: E 
 
03. (VUNESP 2019/Câmara Municipal de Serrana) 
Especialistas em segurança no trânsito apontam que a distância mínima D, em metros, necessária 
para que dois motoristas de habilidade média, conduzindo veículos que percorram, em sentidos 
opostos, uma mesma faixa de tráfego, possam evitar o choque frontal, recorrendo aos freios, pode 
ser obtida, de modo simplificado, pelo seguinte cálculo: 
𝐷 = 2 ∙ (0,5 ∙ 𝑉 + 0,01 ∙ 𝑉') 
Na expressão indicada, V corresponde à velocidade máxima permitida, em km/h, que cada um dos 
veículos pode manter, no referido trecho, com V positivo. 
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A distância mínima de 300 m, necessária para evitar o choque frontal, está associada a uma 
velocidade V igual a 
a) 60 km/h. 
b) 80 km/h. 
c) 100 km/h. 
d) 120 km/h. 
e) 150 km/h. 
Resolução 
A distância D vale 300 metros e queremos calcular o valor correspondente V. Vamos substituir D 
por 300 na equação dada. 
300 = 2 ∙ (0,5 ∙ 𝑉 + 0,01 ∙ 𝑉2) 
 
300 = 𝑉 + 0,02𝑉' 
 
0,02𝑉' + 𝑉 − 300 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em V em que 𝑎 = 0,02, 𝑏 = 1 e 𝑐 = −300. Vamos 
calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = 1' − 4 ∙ 0,02 ∙ (−300) = 25 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑉 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑉 =
−1 ± √25
2 ∙ 0,02 
 
𝑉 =
−1 ± 5
0,04 
Como a velocidade é positiva, vamos utilizar apenas a adição. 
𝑉 =
−1 + 5
0,04 =
4
0,04 = 100	𝑘𝑚/ℎ 
Gabarito: C 
 
04. (VUNESP 2019/UFABC) 
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Considere a equação do segundo grau 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞, na qual 𝑞 representa um número inteiro. 
Sabendo-se que −3 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa 
equação é igual a 
a) – 6. 
b) –13. 
c) 0. 
d) 7. 
e) 12. 
Resolução 
O enunciado da questão está errado. 
Poderíamos corrigir o enunciado de duas formas para chegar ao gabarito da banca. 
i) O polinômio do segundo grau 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞,… 
ii) A equação do segundo 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞 = 0, ... 
 
Se é equação, tem que haver o sinal de igualdade. Para falar sobre a raiz sem o sentido de 
igualdade, devemos nos referir à raiz do polinômio. 
Enfim, vamos resolver a questão com a devida correção. 
Se −3 é raiz da equação 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞 = 0, então podemos substituir 𝑥 por −3. 
3 ∙ (−3)' − 4 ∙ (−3) + 𝑞 = 0 
 
27 + 12 + 𝑞 = 0 
𝑞 = −39 
 
Assim, a equação do segundo grau é 3𝑥' − 4𝑥 − 39 = 0. 
Essa é uma equação do segundo grau com 𝑎 = 3, 𝑏 = −4 e 𝑐 = −39. O produto das raízes é dado 
por: 
𝑃 =
𝑐
𝑎 = −
39
3 = −13 
A resposta está na letra B. 
Uma maneira bem mais lenta de resolver, seria resolver a equação para encontrar a outra raiz. 
3𝑥' − 4𝑥 − 39 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 3, 𝑏 = −4 e 𝑐 = −39. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−4)' − 4 ∙ 3 ∙ (−39) = 484 
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Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
4 ± √484
2 ∙ 3 
 
𝑥 =
4 ± 22
6 
 
𝑥 =
26
6 			𝑜𝑢	𝑥 = −3 
O produto das raízes é 
𝑃 =
26
6 × (−3) = −
78
6 = −13 
 
Gabarito: B 
05. (VUNESP 2019/Prefeitura de Itapevi) 
Uma professora pediu a seus alunos que resolvessem a equação 𝑥' − 𝑥 − 12 = 0. Joana anotou 
uma equação do segundo grau errada em seu caderno, mas fez a resolução correta e cada raiz 
determinada por ela é 3 a menos do que as raízes da equação proposta pela professora. A equação 
resolvida por Joana, que começa por 𝑥', é 
a) 𝑥' − 3𝑥 − 15 = 0. 
b) 𝑥' + 2𝑥 − 9 = 0. 
c) 𝑥' + 𝑥 + 12 = 0. 
d) 𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0. 
e) 𝑥' − 12𝑥 − 1 = 0. 
Resolução 
Primeiro, vamos resolver a equação dada pela professora. A equação dada pela professora tem 
𝑎 = 1, 𝑏 = −1	𝑒	𝑐 = −12. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−1)' − 4 ∙ 1 ∙ (−12) = 49 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
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𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
1 ± √49
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
1 ± 7
2 
 
𝑥 =
8
2 = 4				𝑜𝑢				𝑥 = −
6
2 = −3 
As raízes encontradas por Joana foram 3 a menos do que as raízes acima encontradas. 
Logo, as raízes encontradas por Joana foram 
𝑥g = 4 − 3 = 1 
𝑥' = −3 − 3 = −6 
 
Assim, precisamos encontrar uma equação do segundo grau cujas raízes são iguais a 1 e −6. 
Existem infinitas equações do segundo grau com essas raízes. A questão pede aquela que começa 
por 𝑥', ou seja, a equação do segundo grau com 𝑎 = 1. 
A pior maneira de resolver esta questão é resolver cada uma das equações das alternativas até 
encontrar a resposta. 
Existem duas maneiras de “fabricar” uma equação do segundo grau quando conhecemos as raízes. 
Uma delas é com a seguinte fórmula: 
𝑎[𝑥' − 𝑆𝑥 + 𝑃] = 0 
Na fórmula acima, 𝑆 é a soma das raízes e 𝑃 é o produto das raízes. No nosso caso, temos: 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = 1 + (−6) = −5 
𝑃 = 𝑥g ∙ 𝑥' = 1 ∙ (−6) = −6	 
Assim, a equação pedida é 
1 ∙ [𝑥' + 5𝑥 − 6] = 0 
 
𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0 
Eu disse que existem infinitas equações do segundo grau com raízes 1 e −6 porque o valor de 𝑎 
pode ser qualquer um. A questão pediu especificamente para utilizar 𝑎 = 1. 
 
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A outra maneira de fabricar essa equação de raízes 𝑥g = 1 e 𝑥' = −6 é com a forma fatorada da 
equação do segundo grau. 
𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') = 0 
1 ∙ (𝑥 − 1)(𝑥 + 6) = 0 
Desenvolvendo, temos: 
𝑥' + 6𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 
𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0 
Gabarito: D 
 
06. (VUNESP 2018/Câmara Municipal de 2 Córregos) 
Para a realização de um plenário, foram disponibilizadas para a plateia 96 cadeiras dispostas em 
fileiras, de modo que o número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de fileiras. 
O número de cadeiras de uma fileira é 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
Resolução 
Vamos supor que são 𝑓 fileiras e 𝑥 cadeiras por fileira. 
O total de cadeiras é 𝑓 ∙ 𝑥. Logo, 
𝑓 ∙ 𝑥 = 96 
O número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de fileiras. 
𝑥 =
2
3 	𝑑𝑒	𝑓 
 
𝑥 =
2𝑓
3 
Vamos substituir 𝑥 por '�
�
 na primeira equação. 
𝑓 ∙
2𝑓
3 = 96 
 
2𝑓' = 96 × 3 
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𝑓' =
96 × 3
2 
 
𝑓' = 144 
 
𝑓 = 12 
Logo, 
𝑥 =
2𝑓
3 
𝑥 =
2 × 12
3 = 8 
Gabarito: D 
 
07. (VUNESP 2018/Prefeitura de Barretos) 
Em uma planilha há 192 espaços a serem preenchidos, distribuídos em linhas e colunas. A figura 
mostra um pedaço dessa planilha. 
 
Sabendo-se que o número de linhas é o triplo do número de colunas, então, o número de linhas de 
uma coluna é 
a) 15. 
b) 18. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 27. 
Resolução 
Vamos considerar que são 𝑥 colunas. Como o número linhas é o triplo, então são 3𝑥 linhas. 
O total de células é 192. Logo, 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 × 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 = 192 
 
3𝑥 ∙ 𝑥 = 192 
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3𝑥' = 192 
 
𝑥' = 64 
 
𝑥 = 8 
O número de linhas é 3 × 8 = 24. 
Gabarito: D 
 
08. (VUNESP 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em um escritório, havia 432 pastas que foram colocadas em caixas, de modo que cada caixa 
continha o mesmo número de pastas. Sabendo que o número de pastas por caixa é três vezes o 
número de caixas, então o número de pastas de uma caixa é 
a) 40. 
b) 36. 
c) 32. 
d) 28. 
e) 24. 
Resolução 
Vamos considerar que são 𝑥 caixas. Como o número de pastas por caixa é três vezes o número de 
caixas, então cada caixa contém 3𝑥 pastas. 
Ora, são 𝑥 caixas e cada caixa contém 3𝑥 pastas. Logo, o total de pastas é 𝑥 ∙ 3𝑥. 
Como são 432 pastas, então: 
𝑥 ∙ 3𝑥 = 432 
 
3𝑥' = 432 
 
𝑥' = 144 
 
𝑥 = 12 
O número de pastas em cada caixa é 3𝑥 = 3 × 12 = 36. 
Gabarito: B 
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09. (VUNESP 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
Em um depósito, há 108 latas de tinta empilhadas, e cada pilha tem o mesmo número de latas. 
Sabendo-se que o número de pilhas é o triplo do número de latas de uma pilha, então o número 
de pilhas é 
a) 18. 
b) 15. 
c) 12. 
d) 9. 
e) 6. 
Resolução 
Vamos considerar que são 𝑥 latas em uma pilha. O número de pilhas é o triplo, ou seja, 3𝑥. 
Assim, são 3𝑥 pilhas e cada pilha tem 𝑥 latas. O total de latas é 3𝑥 ∙ 𝑥. O total de latas é 108. Logo, 
3𝑥 ∙ 𝑥 = 108 
 
3𝑥' = 108 
 
𝑥' = 36 
 
𝑥 = 6 
O número de pilhas é 3𝑥 = 3 × 6 = 18. 
Gabarito: A 
 
10. (VUNESP 2019/UNIFAI) 
Em uma turma com 31 crianças, cada menino deu para cada menina 1 bombom, de maneira que 
foram dados 228 bombons. Se nessa sala há mais meninas do que meninos, a soma dos algarismos 
do número de meninas nessa turma é igual a 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
Resolução 
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Vamos considerar que são ℎ meninos e 𝑚 meninas. O total de crianças é 31. Logo, 
ℎ + 𝑚 = 31 
Como queremos calcular o número de meninas, vamos isolar ℎ. 
ℎ = 31 − 𝑚 
Cada menino deu 1 bombom para cada menina. Assim, cada uma das 𝑚 meninas recebeu ℎ 
bombons (1 de cada um dos ℎ meninos). Logo, o total de bombons dados foi 𝑚 ∙ ℎ. 
𝑚 ∙ ℎ = 228 
Vamos substituir ℎ por 31 − 𝑚. 
𝑚 ∙ (31 − 𝑚) = 228 
 
31𝑚 −𝑚' = 228 
 
−𝑚' + 31𝑚 − 228 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = −1, 𝑏 = 31 e 𝑐 = −228. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (31)' − 4 ∙ (−1) ∙ (−228) = 49 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑚 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑚 =
−31 ± √49
2 ∙ (−1) 
 
𝑚 =
−31 ± 7
−2 
 
𝑚 =
−38
−2 = 19	𝑜𝑢	𝑚 = −
24
−2 = 12 
 
Sabemos que ℎ + 𝑚 = 31. 
 
• Se 𝑚 = 19, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜	ℎ = 12. 
• Se 𝑚 = 12, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜	ℎ = 19. 
 
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Como o número de meninas é maior do que o número de meninos, então 𝑚 = 19. A soma desses 
algarismos é 1 + 9 = 10. 
Gabarito: A 
 
11. (VUNESP 2018/Câmara Municipal de Jales) 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André, e Carlos tem 17 carrinhos a menos do que 
André. Se o produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de Carlos é 
igual a 208, esses três meninos têm, juntos, um total de carrinhos igual a 
a) 55. 
b) 56. 
c) 57. 
d) 58. 
e) 59. 
Resolução 
Vamos considerar que André, Bernardo e Carlos possuem 𝑥, 𝑦	e 𝑧 carrinhos, respectivamente. Não 
vou utilizar 𝑎, 𝑏, 𝑐 para não confundir com os coeficientes da equação do segundo grau. 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André. Logo, 
𝑦 = 𝑥 − 14 
Carlos tem 17 carrinhos a menos do que André. 
𝑧 = 𝑥 − 17 
O produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de Carlos é igual a 
208. 
𝑦 ∙ 𝑧 = 208 
Substituindo as expressões obtidas, temos: 
(𝑥 − 14)(𝑥 − 17) = 208 
 
𝑥' − 17𝑥 − 14𝑥 + 238 = 208 
 
𝑥' − 31𝑥 + 30 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −31	𝑒	𝑐 = 30. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−31)' − 4 ∙ 1 ∙ 30 = 841 
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Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
31 ± √841
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
31 ± 29
2 
 
Logo, 
𝑥 = 30	𝑜𝑢	𝑥 = 1 
Perceba que 𝑥 não pode ser 1, pois assim 𝑦 e 𝑧 seriam negativos. 
Logo, 𝑥 = 30.	Consequentemente, 
𝑦 = 𝑥 − 14 = 30 − 14 = 16 
𝑧 = 𝑥 − 17 = 30 − 17 = 13 
A soma é 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30 + 16 + 13 = 59 
Gabarito: E 
 
12. (VUNESP 2018/Prefeitura de Buritizal) 
Em uma loja onde todos são vendedores, trabalham 7 mulheres a mais do que homens. Em certo 
dia, todos esses vendedores venderam, cada um, 12 camisas. O número de camisas vendidas por 
todos esses vendedores é igual ao produto do número de homens pelo número de mulheres que 
trabalham na loja. O total de vendedores dessa loja é 
a) 28. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 49. 
e) 56. 
Resolução 
Sejam ℎ e 𝑚 as quantidades de homens e mulheres. São 7 mulheres a mais do que homens. Logo, 
𝑚 = ℎ + 7 
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Cada vendedor vendeu 12 camisas. Assim, o total de camisas vendidas é 12 ∙ (ℎ + 𝑚). A questão 
diz que essa quantidade é igual a ℎ𝑚. 
12 ∙ (ℎ + 𝑚) = ℎ𝑚 
Vamos substituir 𝑚 por ℎ + 7. 
12 ∙ (ℎ + ℎ + 7) = ℎ ∙ (ℎ + 7) 
 
12 ∙ (2ℎ + 7) = ℎ' + 7ℎ 
 
ℎ' + 7ℎ = 24ℎ + 84 
 
ℎ' − 17ℎ − 84 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −17	𝑒	𝑐 = −84. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−17)' − 4 ∙ 1 ∙ (−84) = 625 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
ℎ =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
ℎ =
17 ± √625
2 ∙ 1 
 
ℎ =
17 ± 25
2 
Como ℎ é positivo, então vamos utilizar a adição. 
ℎ =
17 + 25
2 =
42
2 = 21 
O número de mulheres é 𝑚 = ℎ + 7 = 21 + 7 = 28. 
O total de vendedores é 
21 + 28 = 49 
Gabarito: D 
 
 
 
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13. (VUNESP 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em uma sala de aula havia 3 meninos a mais do que meninas. Cada menina escreveu um bilhete 
para cada menino e cada menino escreveu um bilhete para cada menina, num total de 176 
bilhetes. O número de meninas nessa sala é um divisor de 
a) 24. 
b) 30. 
c) 36. 
d) 42. 
e) 50. 
Resolução 
Sejam ℎ e 𝑚 as quantidades de homens e mulheres. Como são 3 homens a mais do que mulheres, 
então 
ℎ = 𝑚 + 3 
Cada menino escreve 𝑚 bilhetes (um para cada menina). Assim, os ℎ meninos escrevem ao todo 
ℎ ∙ 𝑚 bilhetes. 
 
Cada menina escreve ℎ bilhetes (um para cada menino). Assim, as 𝑚 meninas escrevem ao todo 
𝑚 ∙ ℎ bilhetes. O total de bilhetes escritos é 176. 
ℎ𝑚 +𝑚ℎ = 176 
 
2𝑚ℎ = 176 
 
𝑚ℎ = 88 
Vamos substituir ℎ por 𝑚 + 3. 
 
𝑚(𝑚 + 3) = 88 
 
𝑚' + 3𝑚 − 88 = 0 
 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 3	𝑒	𝑐 = −88. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (3)' − 4 ∙ 1 ∙ (−88) = 361 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
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𝑚 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑚 =
−3 ± √361
2 ∙ 1 
 
𝑚 =
−3 ± 19
2 
Como o número de mulheres é positivo, devemos usar a adição. 
𝑚 =
−3 + 19
2 = 8 
São 8 mulheres. A resposta é a alternativa A porque 8 é divisor de 24. 
Gabarito: A 
 
14. (VUNESP 2018/PAULIPREV) 
Em uma empresa, no Dia da Secretária, cada secretária comprou uma flor para cada outra 
secretária, sendo que nenhuma delas comprou flor para si mesma. Três diretoras compraram, cada 
uma, duas flores para cada secretária. A presidente da empresa comprou onze flores para apenas 
uma secretária. Se no total foram compradas 137 flores, o número de secretárias dessa empresa é 
divisor de 
a) 123. 
b) 256. 
c) 384. 
d) 459. 
e) 660. 
Resolução 
Seja 𝑥 a quantidade de secretárias. 
Cada secretária comprou uma flor para cada outra secretária, sendo que nenhuma delas comprou 
flor para si mesma. 
Assim, cada uma das 𝑥 secretárias comprou 𝑥 − 1 flores. O total de flores compradas por elas foi 
𝑥 ∙ (𝑥 − 1). 
Cada diretora comprou duas flores para cada secretária. Como são 𝑥 secretárias, então cada 
diretora comprou 2𝑥 flores. Como são 3 diretoras, então, juntas, elas compraram 3 ∙ 2𝑥 = 6𝑥 
flores. 
A presidente comprou 11 flores. 
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Dessa forma, o total de flores compradas é igual a 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + 6𝑥 + 11. 
O enunciado diz que esse número é igual a 137. Logo, 
𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + 6𝑥 + 11 = 137 
 
𝑥' − 𝑥 + 6𝑥 − 126 = 0 
 
𝑥' + 5𝑥 − 126 = 0 
 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5	𝑒	𝑐 = −126. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−126) = 529 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
−5 ± √529
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−5 ± 23
2 
Como a quantidade de secretárias é um número positivo, então vamos usar a adição. 
𝑥 =
−5 + 23
2 =
18
2 = 9 
A questão pede para assinalarmos um número múltiplo de 9. A maneira lenta de marcar a resposta 
é dividir cada alternativa por 9. 
Podemos pensar no critério de divisibilidade por 9. Um número é múltiplo de 9 quando a soma dos 
seus algarismos também é múltipla de 9. 
a) 1+2+3 = 6. 
b) 2 + 5 + 6 = 13 
c) 3 + 8 + 4 = 15 
d) 4 + 5 + 9 = 18 
e) 6 + 6 + 0 = 12 
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Logo, o número 459 é o único múltiplo de 9. 
Gabarito: D 
15. (VUNESP 2018/Prefeitura de São José dos Campos) 
Alguns aniversariantes comemoraram juntos seus aniversários e convidaram 15 amigos para uma 
festa. Cada convidado trouxe um presente para cada aniversariante. Cada aniversariante também 
trouxe um presente para cada outro aniversariante, mas não para si próprio. Se, no total, foram 
oferecidos 351 presentes, o número de aniversariantes era um número divisor de 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
Resolução 
Vamos considerar que são 𝑥 aniversariantes. 
Cada um dos 15 convidados trouxe 𝑥 presentes (um para cada aniversariante). Assim, os 
convidados trouxeram 15𝑥 presentes. 
Cada um dos 𝑥 aniversariantes trouxe 𝑥 − 1 presentes. Assim, os aniversariantes trouxeram um 
total de 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) presentes. 
O total de presentes é igual a 351. Logo, 
15𝑥 + 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) = 351 
 
15𝑥 + 𝑥' − 𝑥 − 351 = 0 
 
𝑥' + 14𝑥 − 351 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 14	𝑒	𝑐 = −351. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (14)' − 4 ∙ 1 ∙ (−351) = 1.600 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
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𝑥 =
−14 ± √1.600
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−14 ± 40
2 
 
Como 𝑥 é positivo, vamos usar a adição. 
𝑥 =
−14 + 40
2 = 13 
A resposta é a alternativa D porque 13 é divisor de 26. 
Gabarito: D 
 
16. (CESPE 2008/PRF) 
 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter 
cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas 
foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 
40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um total de R$ 
6.720,00. 
 
Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
 
Resolução 
 
Digamos que o valor de cada multa em 2006 tenha sido de 𝑥 reais e que ele tenha recebido 𝑛 
multas. Como o valor total das multas foi de 4 mil reais, então podemos escrever: 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000 
 
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Observe que devemos multiplicar o número de multas pelo valor de cada multa para calcular o 
total. 
 
Em 2007, ele recebeu 3 multas a mais. Portanto, ele recebeu 𝑛 + 3 multas. 
 
O valor de cada multa aumentou R$ 40,00. Portanto, o valor de cada multa passou a ser de 𝑥 + 40. 
 
Devemos multiplicar o número de multas pelo valor de cada multa para calcular o total. 
 
(𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 
 
Temos um sistema de equações. 
 
� 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000																							
(𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 
 
A primeira equação pode ser reescrita como 𝑛 = �.OOO
�
. Vamos agora desenvolver a segunda 
equação. 
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 40𝑛 + 3𝑥 + 120 = 6.720 
 
Da primeira equação, sabemos que 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000. Vamos também substituir 𝑛 por 4.000/𝑥. 
 
𝑛 ∙ 𝑥�
�.OOO
+ 40 𝑛⏟
�.OOO
�
+ 3𝑥 + 120 = 6.720 
 
4.000 + 40 ∙
4.000
𝑥 + 3𝑥 + 120 − 6.720 = 0 
 
160.000
𝑥 + 3𝑥 − 2.600 = 0 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 𝑥 para eliminar o denominador. 
 
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160.000
𝑥 ∙ 𝑥 + 3𝑥 ∙ 𝑥 − 2.600 ∙ 𝑥 = 0 
 
160.000 + 3𝑥' − 2.600𝑥 = 0 
 
Vamos agora organizar os termos para deixar na ordem padrão. 
 
3𝑥' − 2.600𝑥 + 160.000 = 0 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 3, 𝑏 = −2.600 e 𝑐 = 160.000. Vamos calcular 
logo o discriminante e a sua raiz. 
 
Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 
 
Δ = (−2.600)' − 4 ∙ 3 ∙ 160.000 = 4.840.000 
 
Δ = 484 × 10.000 
 
√Δ = √484 × 10.000 = 22 × 100 = 2.200 
 
Vamos agora calcular as raízes. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
2.600 ± 2.200
2 ∙ 3 
 
𝑥 =
2.600 ± 2.200
6 
 
𝑥 =
2.600 + 2.200
6 = 800		𝑜𝑢	𝑥 =
2.600 − 2.200
6 ≅ 66,66 
 
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Como as multas são superiores a 200 reais, então 𝑥 = 800 
 
O valor de cada multa foi de R$ 800,00. 
 
Gabarito: B 
 
17. (CESPE 2007/SEBRAE-AC) 
 
Julgue o item seguinte. 
 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. 
 
Resolução 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4	𝑒	𝑐 = 2. 
 
Vamos calcular o discriminante. 
 
 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 8 
 
Assim, as raízes são dadas por: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
 
𝑥 =
4 ± √8
2 
 
Ora, sabemos que 2² = 4 e que 3² = 9. Assim, a raiz quadrada de 8 é um número IRRACIONAL. O 
item está errado. 
 
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Gabarito: ERRADO 
 
 
18. (CESPE 2008/SEAD-SE) 
 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. 
 
Resolução 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4	𝑒	𝑐 = 1. 
 
Vamos calcular o discriminante. 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 12 
 
Assim, as raízes são dadas por: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
 
𝑥 =
4 ± √12
2 
 
Ora, sabemos que 3² = 9 e que 4² = 16. Assim, a raiz quadrada de 12 é um número IRRACIONAL. O 
item está certo. 
 
Gabarito: CERTO 
 
19. (CESPE 2007/SGA-AC) 
 
Se 𝑥g e 𝑥' são as raízes da equação 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥g/𝑥' > 0. 
 
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Resolução 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 1	𝑒	𝑐 = −6. 
 
Vamos calcular o discriminante. 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 1' − 4 ∙ 1 ∙ (−6) = 25 
 
Assim, as raízes são dadas por: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
 
𝑥 =
−1 ± √25
2 =
−1 ± 5
2 
 
Assim, concluímos que 𝑥g = 2 e 𝑥' = −3. A divisão de um número positivo por um número 
negativo dá um número negativo. O item está errado. 
 
 
Gabarito: ERRADO 
 
 
20. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
 
 Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. 
 
 
 
Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é 
(A) 4 
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(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
Resolução 
 
Vamos resolver a equação 𝐸g. Na equação 𝑥² + 2𝑥 − 15 = 0, consideramos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 
𝑐 = −15. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑥 =
−2 ± V2² − 4 ∙ 1 ∙ (−15)
2 ∙ 1 
 
 
 
𝑥 =
−2 ± √64
2 =
−2 ± 8
2 
 
𝑥 = 3	𝑜𝑢	𝑥 = −5 
 
O enunciado diz que a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2. Portanto, a menor raiz de E2 é 
igual a 3. 
 
Vejamos a equação E2: 𝑥² − 𝑏𝑥 + 12 = 0 
 
Sabemos que 3 é uma de suas raízes, portanto: 
 
3² − 𝑏 ∙ 3 + 12 = 0 
 
9 − 3𝑏 + 12 = 0 
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−3𝑏 = −21 
 
𝑏 = 7 
 
A equação E2 tomará a seguinte forma: 
 
𝑥² − 7𝑥 + 12 = 0 
 
Neste caso, temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −7, 𝑐 = 12. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑥 =
7 ± V(−7)' − 4 ∙ 1 ∙ 12
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
7 ± 1
2 
 
𝑥 = 4		𝑜𝑢	𝑥 = 3 
 
Já sabíamos que 3 era uma das raízes de E2. A maior raiz de E2 é igual a 4. 
 
Gabarito: A 
 
21. (CETRO 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) 
 
Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 
 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
c) (7,1) 
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d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
 
Resolução 
 
Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. As raízes podem ser calculadas 
com o auxílio da seguinte fórmula 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, 
 
𝑥 =
−(−8) ± V(−8)' − 4 ∙ 1 ∙ 7
2 ∙ 1 
 
 
𝑥 =
8 ± √64 − 28
2 
 
𝑥 =
8 ± 6
2 
 
Assim, x = 7 ou x = 1. 
 
Gabarito: C 
 
22. (CETRO 2004/Assistente Administrativo IMBEL) 
 
Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
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c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
 
Resolução 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de 
variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 
 
𝑦' + 13𝑦 + 36 = 0 
 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo 
grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte 
fórmula: 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
 
 
 
 
𝑦 =
−13 ± √13' − 4 ∙ 1 ∙ 36
2 ∙ 1 
 
𝑦 =
−13 ± √169 − 144
2 
 
𝑦 =
−13 ± 5
2 
 
Assim, 
 
𝑦 =
−13 + 5
2 = −4 
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ou 
 
𝑦 =
−13 − 5
2 = −9 
 
Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao 
quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 
(x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto 
vazio. 
 
 
 
Gabarito: B 
 
 
23. (ESAF/TTN) 
 
A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
 
Resolução 
 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de 
variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, 
 
x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 
 
𝑦' − 25𝑦 + 144 = 0 
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Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolveruma equação do segundo 
grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, 
b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑦 =
−(−25) ± V(−25)' − 4 ∙ 1 ∙ 144
2 ∙ 1 
 
𝑦 =
25 ± √625 − 576
2 
 
 
 
𝑦 =
25 ± 7
2 
 
Assim, 
 
𝑦 =
25 + 7
2 = 16 
 
ou 
 
𝑦 =
25 − 7
2 = 9 
 
Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9. 
 
𝑥' = 16					𝑜𝑢						𝑥' = 9 
 
𝑥 = 4	𝑜𝑢	𝑥 = −4			𝑜𝑢	𝑥 = 3		𝑜𝑢	𝑥 = −3 
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A soma de todas as raízes da equação é 4 + (−4) + 3 + (−3) = 0. 
 
Gabarito: A 
 
24. (ESAF 2005/AFC-STN) 
 
 
A soma dos valores reais de 𝑥 
 
𝑥' + 𝑥 + 1 =
156
𝑥' + 𝑥 
 
é igual a: 
 
 
 
a) −6 
b) −2 
c) −1 
d) 6 
e) 13 
 
Resolução 
 
Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo 𝑥' + 𝑥 = 𝑦, a equação ficará: 
 
𝑦 + 1 =
156
𝑦 
 
𝑦 ∙ (𝑦 + 1) = 156 
 
𝑦' + 𝑦 = 156 
 
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𝑦' + 𝑦 − 156 = 0 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−1 ± V1' − 4 ∙ 1 ∙ (−156)
2 ∙ 1 =
−1 ± √625
2 =
−1 ± 25
2 
 
𝑦 =
−1 − 25
2 = −13			ou		𝑦 =
−1 + 25
2 = 12 
 
i) 𝑦 = −13 
 
𝑥' + 𝑥 = −13 
 
𝑥' + 𝑥 + 13 = 0 
 
 
𝑥 =
−1 ± √1' − 4 ∙ 1 ∙ 13
2 ∙ 1 =
−1 ± √−51
2 
 
Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a 
raiz quadrada de −51 não é um número real. 
 
ii) 𝑦 = 12 
 
𝑥' + 𝑥 = 12 
 
𝑥' + 𝑥 − 12 = 0 
 
𝑥 =
−1 ± V1' − 4 ∙ 1 ∙ (−12)
2 ∙ 1 =
−1 ± 7
2 
 
𝑥 =
−1 − 7
2 = −4			𝑜𝑢	𝑥 =
−1 + 7
2 = 3 
 
A soma dos valores reais de x é igual a	−4 + 3 = −1. 
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Gabarito: C 
 
25. (ESAF 2006/TFC) 
 
 
Determinar 𝑎 de modo que a equação 4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 tenha duas raízes iguais: 
 
a) 𝑎 = 0 
b) 𝑎 = −8	𝑜𝑢	𝑎 = 0 
c) 𝑎 = 8 
d) −8 < 𝑎 < 0 
e) 𝑎 < 0	𝑜𝑢	𝑎 > 8 
 
 
 
Resolução 
 
Uma equação do tipo 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ =
𝑏' − 4𝑎𝑐 for igual a 0. 
 
4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 
 
(𝑎 − 4)' − 4 ∙ 4 ∙ (1 − 𝑎) = 0 
 
𝑎' − 8𝑎 + 16 − 16 + 16𝑎 = 0 
 
𝑎' + 8𝑎 = 0 
 
Vamos colocar 𝑎 em evidência. 
 
 
𝑎 ∙ (𝑎 + 8) = 0 
 
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Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? 
Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. 
 
 
Portanto, 𝑎 = 0		𝑜𝑢	𝑎 + 8 = 0 
 
Ou seja, 𝑎 = 0		𝑜𝑢	𝑎 = −8. 
 
Gabarito: B 
 
 
 
 
26. (FCC 2002/SEA-AP) 
 
 
Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que 
subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
 
f) 42 
g) 45 
h) 48 
i) 50 
j) 52 
 
 
Resolução 
 
De acordo com o enunciado, 𝑥' − 4𝑥 = 1.845. 
 
𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 
 
Vamos calcular o discriminante: 
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Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ (−1.845) = 7.396 
 
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396. 
 
Observe o seguinte fato: 
 
50' = 2.500 
60' = 3.600 
70' = 4.900 
80' = 6.400 
90' = 8.100 
 
 
Como 6.400 < 7.396 < 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 
90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode 
ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). 
 
84' = 7.056 
 
Deu errado... Só pode ser 86! 
 
86' = 7.396 
 
Voltando à equação: 
 
𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 
 
𝑥 =
−(−4) ± 86
2 ∙ 1 =
4 ± 86
2 
 
Como x representa o número de soldados, obviamente 𝑥 > 0, portanto, devemos utilizar apenas o 
+ na fórmula. 
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x =
4 + 86
2 = 45	soldados 
 
Gabarito: B 
 
27. (FCC 2004/TRT 2ª Região) 
 
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem 
arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço 
e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O 
número de processos que cada técnico arquivou foi: 
 
 
 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
 
Resolução 
 
Digamos que há 𝑛 funcionários e que cada um arquivará 𝑝 processos. 
 
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos 
que cada um arquivará. Desta forma: 
 
𝑛 ∙ 𝑝 = 108 
 
𝑝 =
108
𝑛 
 
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No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada 
um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. 
 
Ou seja, cada um dos (𝑛 − 2) funcionários arquivará (𝑝 + 9) processos. 
 
(𝑛 − 2) ∙ (𝑝 + 9) = 108 
 
𝑛 ∙ 𝑝 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 
 
Sabemos que 𝑛 ∙ 𝑝 = 108, logo: 
 
108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 
 
108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 − 108 = 0 
 
9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 0 
 
Vamos substituir o valor de 𝑝 por gO�
�
. 
 
9𝑛 − 2 ∙
108
𝑛 − 18 = 0 
 
9𝑛 −
216
𝑛 − 18 = 0 
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 𝑛. 
 
9𝑛 ∙ 𝑛 −
216
𝑛 ∙ 𝑛 − 18 ∙ 𝑛 = 0 ∙ 𝑛 
 
9𝑛' − 18𝑛 − 216 = 0 
 
Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9. 
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𝑛' − 2𝑛 − 24 = 0 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−(−2) ± V(−2)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24)
2 ∙ 1 =
2 ± 10
2 
 
Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +. 
 
𝑛 =
2 + 10
2 =
12
2 = 6	funcionários. 
 
𝑝 =
108
𝑛 =
108
6 = 18	𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑎𝑑𝑎	𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 
 
 
 
Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, 
portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, 
portanto, cada um deles arquivou 27 processos. 
 
Gabarito: E 
 
 
28. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
 
O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 
7 é: 
 
a) - 7 
b) - 2 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
 
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Resolução 
 
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
A soma das raízes dessa equação é dada por 
 
𝑆 =
−𝑏
𝑎 
 
e o produto das raízes é dado por 
 
 
𝑃 =
𝑐
𝑎 
 
Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. 
 
A soma das raízes é igual a 7, logo 
 
−𝑏
𝑎 = 7 
 
7
𝑚 = 7 
 
7𝑚 = 7 
 
𝑚 = 1 
 
Gabarito: C 
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29. (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
 
 Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das 
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: 
a) -2 
b) -1 
c) 5 
d) 7 
e) 2 
 
Resolução 
 
Na questão anterior vimos que na equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a soma das raízes é dada por 
 
 
𝑆 =
−𝑏
𝑎 
 
e o produto das raízes é dado por 
 
𝑃 =
𝑐
𝑎 
 
 
Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4. 
 
Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes, 
 
𝑆 = 𝑃 
 
−𝑏
𝑎 =
𝑐
𝑎 
 
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−𝑏 = 𝑐 
 
−(−10) = 2𝑚 − 4 
 
2𝑚 − 4 = 10 
 
2𝑚 = 14 
 
𝑚 = 7 
 
Gabarito: D 
 
 
 
30. (FEPESE 2005/Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região) 
 
As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma 
dessas raízes é: 
a) 2,4 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
 
Resolução 
 
Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. 
 
O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2. 
 
Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes. 
 
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𝑥g ∙ 𝑥' =
𝑐
𝑎 
 
 Como x1 = 2x2, 
 
2 ∙ 𝑥' ∙ 𝑥' =
1
2 
 
𝑥'' =
1
4 
 
Como as raízes são positivas, então 
 
𝑥' =
1
2 
 
Consequentemente 
 
𝑥g = 2 ∙ 𝑥' = 2 ∙
1
2 = 1 
 
Assim, a soma das raízes será igual a 
 
𝑥g + 𝑥' = 1 +
1
2 =
2 + 1
2 =
3
2 = 1,5 
 
Gabarito: D 
 
 
31. (CEPERJ 2010/SEE) 
 
A equação 𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 possui raízes 3 e 5. Então, 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
 
a) 7 
b) 10 
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c) 15 
d) 19 
e) 23 
 
Resolução 
 
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. 
 
A soma das raízes dessa equação é dada por 
 
𝑆 =
−𝑏
𝑎 
 
 
 
e o produto das raízes é dado por 
 
𝑃 =
𝑐
𝑎 
 
Sabemos que 𝑎 = 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 𝑆 = 3 + 5 = 8 e o 
produto das raízes é 𝑃 = 3 × 5 = 15. 
 
𝑆 =
−𝑏
𝑎 ⇔
−𝑏
1 = 8 
 
𝑏 = −8 
 
𝑃 =
𝑐
𝑎 ⇔
𝑐
1 = 15 
 
𝑐 = 15 
 
𝑏 + 𝑐 = −8 + 15 = 7 
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Gabarito: A 
 
32. (FUNCAB 2015/CRF-FO) 
 
Considere m e n as raízes da equação x2 – 18x +10 = 0, o valor de m2 + n2 é: 
 
a) 304 
b) 324 
c) 296 
d) 390 
e) 398 
 
 
Resolução 
 
Vamos calcular a soma e o produto das raízes. Na equação dada, temos que a = 1, b = -18, e c = 10. 
 
𝑚 + 𝑛 = −
𝑏
𝑎 =
18
1 = 18 
 
𝑚𝑛 =
𝑐
𝑎 =
10
1 = 10 
 
Da mesma forma como fizemos na teoria, vamos utilizar o desenvolvimento de (m+n)2 para 
calcular m2 + n2. 
 
(𝑚 + 𝑛)' = 𝑚' + 2𝑚𝑛 + 𝑛' 
 
(18)' = 𝑚' + 2 ∙ 10 + 𝑛' 
 
324 = 𝑚' + 20 + 𝑛' 
 
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𝑚' + 𝑛' = 304 
 
Gabarito: A 
 
33. (FUNCAB 2015/CRF-FO) 
 
Para que a parábola de equação 𝑦 = 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p 
são, respectivamente: 
a) 6 e 1 
b) -1 e -6 
c) 1 e -6 
d) 1 e 6 
e) 6 e -1. 
Resolução 
 
Existe um erro de linguagem nesta questão, pois parábola não tem raiz. 
 
O que a questão gostaria de falar no fundo é que 2 e 4 são as raízes da equação 𝑘𝑥' + 𝑝𝑥 + 8 = 0. 
 
É fácil notar que a soma das raízes é 2 + 4 = 6 e o produto das raízes é igual a 2 x 4 = 8. 
 
Na equação do segundo grau acima, temos que 𝑎 = 𝑘, 𝑏 = 𝑝	𝑒	𝑐 = 8. Como já temos o valor de c, 
vamos utilizar o produto das raízes. 
 
𝑐
𝑎 = 8 
 
8
𝑘 = 8 
 
𝑘 = 1 
 
Agora vamos utilizar a soma das raízes. 
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−
𝑏
𝑎 = 6 
 
−
𝑝
1 = 6 
 
𝑝 = −6 
 
 
Gabarito: C 
 
 
 
 
34. (VUNESP 2016/CM de Guaratinguetá) 
 
Uma empresa possui uma frota de 48 veículos, que ficam estacionados no pátio, em fileiras, todas 
com o mesmo número de veículos. Sabendo-se que o número de veículos por fileira é o triplo do 
número de fileiras, então o número de veículos de uma fileira é 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
Resolução 
O enunciado afirma que o número de veículos por fileira é o triplo do número de fileiras. Ora, 
podemos concluir que o número de veículos em cada fileira é um múltiplo de 3. Dentre as 
alternativas, o único múltiplo de 3 é 12, que é a resposta da questão. Vamos agora resolver de fato 
a questão. 
 
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100 
Se são x fileiras, então há 3x carros em cada fileira. O total de carros é igual a 48. 
 
(𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑓𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠) ∙ (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑟	𝑓𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎) = 48 
 
(𝑥) ∙ (3𝑥) = 48 
 
3𝑥' = 48 
 
𝑥' = 16 
 
Assim, x = 4 ou x = -4. Como x é o número de fileiras, então x > 0. Portanto, x = 4. 
Desta forma, o número de carros por fileira é 3𝑥 = 3 ∙ 4 = 12. 
 
Gabarito: C 
 
35. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis) 
 
Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2–7x–2c é –3. 
Assinale a alternativa correspondente. 
a) 12. 
b) 7. 
c) 15. 
d) 29. 
 
Resolução 
 
Antes de resolver a questão, vale a pena notar que esta questão deveria ser anulada porque não 
há equação alguma no enunciado. Temos ali um polinômio do segundo grau. Para que fosse uma 
equação, deveria haver uma igualdade: x2–7x–2c = 0. 
 
Já que -3 é raiz da equação, vamos substituir x por -3. 
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(−3)' − 7 ∙ (−3) − 2𝑐 = 0 
 
9 + 21 − 2𝑐 = 0 
 
30 − 2𝑐 = 0 
 
30 = 2𝑐 
 
𝑐 = 15 
 
Gabarito: C 
 
 
 
36. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) 
 
A equação x2 + bx +c =0 tem 3 e 9 como raízes. Assim, a soma dos coeficientes “b” e “c” dessa 
equação é igual a 
 
a) 15 
b) 17 
c) 19 
d) 21 
 
Resolução 
 
A soma das raízes é 3 + 9 = 12. Portanto, temos: 
 
−
𝑏
𝑎 = 12 
 
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100 
−
𝑏
1 = 12 
 
𝑏 = −12 
 
O produto das raízes é igual a 3 x 9 = 27. 
 
𝑐
𝑎 = 27 
 
𝑐
1 = 27 
 
𝑐 = 27 
 
A soma dos coeficientes é b + c = - 12 + 27 = 15. 
 
Poderíamos também ter utilizado a forma fatorada da equação do segundo grau. 
 
𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') = 0 
 
Temos que a = 1, x1 = 3 e x2 = 9. 
 
1(𝑥 − 3)(𝑥 − 9) = 0 
 
(𝑥 − 3)(𝑥 − 9) = 0 
 
𝑥' − 9𝑥 − 3𝑥 + 27 = 0 
 
𝑥' − 12𝑥 + 27 = 0 
 
 
Assim, b = -12 e c = 27. Portanto, b + c = -12 + 27 = 15. 
 
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Gabarito: A 
 
37. (CONSULPLAN 2015/CM de Caratinga) 
 
Marcelo leu x páginas por dia de um livro de 392 páginas. Se ele tivesse lido seis páginas a mais por 
dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Assim, o valor de x é 
 
A) 4. 
B) 6. 
C) 8. 
D)14. 
 
 
 
 
Resolução 
 
O candidato leu x páginas por dia. Se a quantidade de dias for igual a d, então: 
 
𝑥𝑑 = 392 
 
Se ele tivesse lido seis páginas a mais por dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o 
livro. Em outras palavras, Marcelo consegue ler as 392 páginas sendo x + 6 páginas por dia em d – 
21 dias. 
 
(𝑥 + 6)(𝑑 − 21) = 392 
 
𝑥𝑑 − 21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 392 
 
Lembre que 𝑥𝑑 = 392, portanto: 
 
392 − 21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 392 
 
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−21𝑥 + 6𝑑 − 126 = 0 
 
Da primeira equação, temos que d = 392/x. Assim, 
 
−21𝑥 + 6 ∙
392
𝑥 − 126 = 0 
 
Vamos multiplicar todos os termos da equação por x para eliminar o denominador. 
 
−21𝑥' + 6 ∙ 392 − 126𝑥 = 0 
 
−21𝑥' + 2352 − 126𝑥 = 0 
 
Para simplificar um pouco, vamos dividir todos os termos por (-3). 
 
7𝑥' − 784 + 42𝑥 = 0 
 
7𝑥' + 42𝑥 − 784 = 0 
 
Temos uma equação do segundo grau em que a = 7, b = 42, c = - 784. 
 
O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (42)' − 4 ∙ 7 ∙ (−784) = 23.716 
 
Precisamos calcular a raiz quadrada de 23.716. Você pode fatorar este número ou pensar o 
seguinte: 
 
102 = 100 
 
1002 = 10.000 
 
2002 = 40.000 
 
Assim, a raiz quadrada é um número entre 100 e 200. 
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1502 = 22.500 
 
Estamos bem próximos. A raiz quadrada é bem próxima de 150. Como o último algarismo de 
23.716 é 6, vamos tentar 154 e 156. 
 
1542 = 23.716. 
 
Já conseguimos, não precisamos tentar 1562. 
 
Assim, 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
−42 ± 154
14 
 
Como x > 0, temos: 
 
𝑥 =
−42 + 154
14 = 8 
 
 
Gabarito: C 
 
 
38. (FCC 2016/Pref. de Campinas) 
 
Uma campanha de arrecadação de donativos conseguiu R$ 12.000,00, que seriam destinados a 
atender certo número de entidades sociais, cada uma recebendo a mesma quantia. Na hora de 
repartir os donativos por entidade, verificou-se que três delas não atendiam às normas exigidas. A 
eliminação dessas três entidades implicou em acréscimo no valor de R$ 900,00 para cada entidade 
que efetivamente recebeu a doação. De acordo com os dados, a soma dos algarismos do número 
que representa, em reais, o valor que cada entidade efetivamente recebeu de doação é igual a 
 
(A) 4. 
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(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
(E) 12. 
 
Resolução 
 
Digamos que n é o número inicial de entidades que receberiam a quantia de 12.000 reais. 
 
Assim, a quantidade recebida por cada entidade é 12.000/n. Digamos que a quantia recebida por 
cada entidade seja de q reais. Assim, 
 
𝑞 =
12.000
𝑛 
 
𝑞𝑛 = 12.000 
 
Entretanto, 3 das n entidades não participaram do rateio e, assim, cada uma das restantes recebeu 
900 reais a mais. Desta forma, vamos dividir 12.000 por n – 3 e o resultado será q+900. 
 
𝑞 + 900 =
12.000
𝑛 − 3 
 
(𝑞 + 900)(𝑛 − 3) = 12.000 
 
𝑞𝑛 − 3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 12.000 
 
12.000 − 3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 12.000 
 
−3𝑞 + 900𝑛 − 2.700 = 0 
 
Vamos dividir os dois membros da equação por 3. 
 
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−𝑞 + 300𝑛 − 900 = 0 
 
−
12.000
𝑛 + 300𝑛 − 900 = 0 
 
Vamos agora multiplicar os dois membros da equação por n. 
 
−12.000 + 300𝑛' − 900𝑛 = 0 
 
Vamos dividir todos os termos por 300. 
 
−40 + 𝑛' − 3𝑛 = 0 
 
𝑛' − 3𝑛 − 40 = 0 
 
 
O valor do discriminante é Δ = (−3)' − 4 ∙ 1 ∙ (−40) = 169 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
3 ± √169
2 =
3 ± 13
2 
 
Como n > 0, temos: 
 
𝑛 =
3 + 13
2 = 8 
 
Portanto, 
 
𝑞 =
12.000
𝑛 =
12.000
8 = 1.500 
 
Esta é o valor que seria recebido por cada uma das 8 entidades, Entretanto, 3 entidades foram 
desqualificadas e cada uma das 5 entidades restantes recebeu 1.500 + 900 = 2.400 reais. 
 
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A soma dos algarismos de 2.400 é 2 + 4 + 0 + 0 = 6. 
 
Gabarito: B 
 
39. (VUNESP 2016/Pref. de Sertãozinho) 
 
Na equação 3x2 + 8x + a = 0, a incógnita é x, e a é um número inteiro. Sabendo-se que o número (– 
3) é raiz da equação, a outra raiz dessa equação é 
a) -7 
b) -2/5 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 2 
 
Resolução 
 
Calcular o valor de “a” é irrelevante nesta questão. Vamos calcular a soma das raízes. 
 
𝑆 = 𝑥g + 𝑥' = −
8
3 
 
Uma das raízes é -3. 
 
−3 + 𝑥' = −
8
3 
 
𝑥' = −
8
3 + 3 =
−8 + 9
3 =
1
3 
 
A outra raiz é 1/3. 
 
Se o problema perguntasse o valor de “a”, deveríamos proceder assim: 
 
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Já que (-3) é raiz da equação, então (-3) satisfaz a equação. Como o enunciado afirmou que x é a 
incógnita, vamos substituir x por -3. Assim, 
 
 
3 ∙ (−3)' + 8 ∙ (−3) + 𝑎 = 0 
 
27 − 24 + 𝑎 = 0 
 
𝑎 = −3 
 
 
Gabarito: C 
 
 
40. (FCC 2017/SABESP) 
 
Um grupo de amigos gastou R$ 396,00 em um restaurante. Ao dividirem a conta, decidiram que 
um deles que fazia aniversárionaquele dia não deveria pagar a parte que lhe cabia. Assim, cada 
um dos outros teve que pagar R$ 3,00 a mais. Se a conta tivesse sido dividida entre todos do 
grupo, cada um teria pago 
 
(A) R$ 32,00. 
(B) R$ 34,00. 
(C) R$ 35,00. 
(D) R$ 33,00. 
(E) R$ 30,00. 
 
Resolução 
 
Vamos dividir 396 entre n amigos e cada um pagará x reais. 
 
396
𝑛 = 𝑥 
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𝑛𝑥 = 396 
 
Vamos agora dividir 396 por n – 1 amigos e cada um pagará x+3. 
 
396
𝑛 − 1 = 𝑥 + 3 
 
(𝑛 − 1)(𝑥 + 3) = 396 
 
𝑛𝑥 + 3𝑛 − 𝑥 − 3 = 𝑛𝑥 
 
3𝑛 − 𝑥 − 3 = 0 
 
 
Vamos substituir x por 396/n. 
 
3𝑛 −
396
𝑛 − 3 = 0 
 
Vamos agora multiplicar todos os termos por n. 
 
3𝑛' − 396 − 3𝑛 = 0 
 
Vamos dividir todos os termos por 3. 
 
𝑛' − 𝑛 − 132 = 0 
 
O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−1)' − 4 ∙ 1 ∙ (−132) = 529 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
1 ± √529
2 =
1 ± 23
2 
 
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Como n > 0, temos: 
 
𝑛 =
1 + 23
2 = 12 
 
Se a conta tivesse sido dividida entre todos do grupo, cada um teria pago 396/12 = 33 reais. 
 
 
 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
41. (FCC 2017/SABESP) 
O valor de k para que a equação }~
�
�
− 5� 𝑥' + (𝑘 − 10)𝑥 + 1 = 0 tenha duas raízes iguais é 
a) 7 
b) 6 
c) 8 
d) -6 
e) -8 
Resolução 
Nesta equação, temos: 
 
𝑎 =
𝑘'
4 − 5 
 
𝑏 = 𝑘 − 10 
 
𝑐 = 1 
 
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Para que a equação tenha duas raízes iguais, o discriminante tem que ser igual a zero. 
 
𝑏' − 4𝑎𝑐 = 0 
 
(𝑘 − 10)' − 4 ∙ i
𝑘'
4 − 5j ∙ 1 = 0 
 
𝑘' − 20𝑘 + 100 − 𝑘' + 20 = 0 
 
−20𝑘 = −120 
 
𝑘 = 6 
 
Gabarito: B 
 
42. (VUNESP 2016/CM de Registro) 
 
 Em um grupo de n irmãos, 4 são homens. Cada um desses n irmãos comprou para as irmãs um 
presente de R$ 30,00 e para os irmãos homens, um presente de R$ 25,00. Ninguém comprou 
presente para si próprio, e o gasto total com esses presentes foi R$ 3.100,00. O número de irmãs 
desse grupo é um divisor de 
 
(A) 12. 
(B) 15. 
(C) 18. 
(D) 21. 
(E) 24. 
 
Resolução 
Se das n pessoas temos 4 homens, então n – 4 são mulheres. 
 
São n pessoas e ninguém comprou presente para si próprio. Portanto, cada pessoa recebeu n – 1 
presentes. 
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Cada um dos 4 homens recebeu n – 1 presentes de 25 reais. O gasto com isso foi de 4 ∙ (𝑛 − 1) ∙
25 reais. 
 
Cada uma das n – 4 mulheres recebeu n – 1 presentes de 30 reais. O gasto com isso foi de (𝑛 −
4)(𝑛 − 1) ∙ 30. 
 
A quantia total gasta é igual a 3.100 reais. 
 
4 ∙ (𝑛 − 1) ∙ 25 + (𝑛 − 4)(𝑛 − 1) ∙ 30 = 3.100 
 
100𝑛 − 100 + 30 ∙ (𝑛' − 𝑛 − 4𝑛 + 4) = 3.100 
 
100𝑛 − 100 + 30 ∙ (𝑛' − 5𝑛 + 4) = 3.100 
 
 
100𝑛 − 100 + 30𝑛' − 150𝑛 + 120 = 3.100 
 
30𝑛' − 50𝑛 − 3.080 = 0 
 
Vamos dividir todos os termos por 10. 
 
3𝑛' − 5𝑛 − 308 = 0 
 
Vamos calcular o discriminante: Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−5)' − 4 ∙ 3 ∙ (−308) = 3.721. Observe que: 
 
502 = 2.500 
602 = 3.600 
702 = 4.900 
 
Assim, a raiz de 3.721 é um número entre 60 e 70. Como o último algarismo é 1, então √3.721 é 
igual a 61 ou 69. 
 
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Como 612 = 3.721, temos: 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
5 ± √3.721
6 =
5 ± 61
6 
 
Como n > 0, temos: 
 
𝑛 =
5 + 61
6 = 11 
 
Como são 11 pessoas das quais 4 são homens, há 7 mulheres. 
 
7 é divisor de 21. 
 
Gabarito: D 
 
43. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) 
 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2+6.400 = 0, então a 
diferença X2 – X1 é igual a 
a) 2 
b) 1 
c) 36 
d) 18 
e) 4 
 
Resolução 
 
Equações do tipo ax4 + bx2 +c = 0 são chamadas de equações biquadradas. Para resolvê-la, basta 
fazer x2 = y. Desta forma, temos que x4 = y2. 
 
A equação fica: 
 
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𝑦' − 164𝑦 + 6.400 = 0 
 
Vamos calcular o discriminante. 
 
Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−164)' − 4 ∙ 1 ∙ 6.400 = 1.296 
 
Observe que: 
 
202 = 400 
302 = 900 
402 = 1.600 
 
Assim, a raiz quadrada de 1.296 é um número entre 30 e 40. Como o último algarismo é 6, então 
ficamos com 34 ou 36. 
 
342 = 1.156 
 
362 = 1.296 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
164 ± √1.296
2 =
164 ± 36
2 
 
𝑦 = 100	𝑜𝑢	𝑦 = 64 
 
Como x2 = y, temos: 
 
𝑥' = 100	𝑜𝑢	𝑥' = 64 
 
𝑥 = 10	𝑜𝑢	𝑥 = 	−10	𝑜𝑢	𝑥 = 8	𝑜𝑢	𝑥 = −8 
 
Queremos apenas as raízes positivas. Portanto, X2 = 10 e X1 = 8. A diferença é igual a 2. 
 
Gabarito: A 
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44. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
 
A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é: 
a) x2 + 4x + 5 = 0 
b) x2 + 4x2 - 5 = 0 
c) 2x2 – 2x + 10 = 0 
d) 2x2 + 2x – 10 = 0 
e) x2 – 4x – 5 = 0 
 
 
Resolução 
 
A forma fatorada da equação do segundo grau é 𝑎(𝑥 − 𝑥g)(𝑥 − 𝑥') = 0. As raízes são 5 e (-1). 
Portanto, 
 
𝑎(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0 
 
𝑎(𝑥' + 𝑥 − 5𝑥 − 5) = 0 
 
𝑎(𝑥' − 4𝑥 − 5) = 0 
 
Existem infinitas equações do segundo grau com raízes 5 e -1. Basta que você substitua a por 
qualquer número diferente de zero na equação acima. Se substituirmos a por 1, temos: 
 
𝑥' − 4𝑥 − 5 = 0 
 
Gabarito: E 
 
 
 
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10. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
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Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico - Matemático p/ PRF (Policial) Com Videoaulas - 2020
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