Notas de Estatística - MAT236

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
MAT236 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS 
2ª UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta apostila foi elaborada em 2004.1 pelas professoras
Giovana Silva, Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone
Revisada em 2010.2
Monitora: Tatiana Felix da Matta
Revisada em 2013.1 pelas professoras:
Gecynalda Gomes e Silvia Regina
Revisada em 2014.1 pela professora:
Silvia Regina
Revisada em 2017.2 pelas professoras:
Giovana Silva e Verônica Lima
Revisada em 2017.2 pelos monitores:
Ícaro Augusto e Matheus Borges
2
Sumário
5 Introdução 5
5.1 População e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 Tipos de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Apresentação dos dados 7
6.1 Tabela ou Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.1.1 Tabela de Múltipla Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2.1 Cuidados na representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Medidas de posição central 22
7.1 Média aritmética simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.4 Indicações para utilização das três principais medidas de posição central 30
8 Separatrizes 31
9 Medidas de Dispersão 33
9.1 Amplitude total (Medidas de dispersão absoluta) . . . . . . . . . . . . 34
9.2 Desvio-padrão amostral (Medidas de dispersão absoluta) . . . . . . . . 35
9.3 Variância (Medidas de dispersão absoluta) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.4 Coeficiente de variação de Pearson (Medidas de dispersão relativa) . . . 37
10 Box-plot 38
10.1 Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 1 ª LISTA DE EXERCÍCIOS 40
12 Noções de Inferência Estatística 52
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.2 Estatísticas, Parâmetros e Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
12.3 Introdução à Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.4 Erros amostrais e Não-amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
12.5 Distribuições Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12.5.1 Distribuição Amostral da Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12.5.2 Distribuição Amostral da Proporção . . . . . . . . . . . . . . . 58
12.5.3 Outra distribuição amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13 Estimação 61
13.1 Estimação Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.2 Estimação Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13.2.1 Intervalo de Confiança para a Média de uma População . . . . . 65
13.2.2 Intervalo de Confiança para uma Proporção Populacional . . . . 70
14 2 ª LISTA DE EXERCÍCIOS 71
15 Noções de Testes de Hipóteses 80
15.1 Hipótese nula e hipótese alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.2 Erro tipo I e Erro tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
15.3 Nível de significância e Poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
15.4 Estatística de teste e região crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15.5 Nível Descritivo ou p-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15.6 Testes de Hipóteses para Média Populacional . . . . . . . . . . . . . . 84
15.7 Teste para Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
16 3 ª LISTA DE EXERCÍCIOS 90
17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 97
4
5 Introdução
A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam
da coleta, análise e interpretação de informações numéricas, cujo objetivo principal é
auxiliar na tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir
de informações numéricas.
A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos:
• Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a
reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de
medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados.
• Estatística Indutiva ou Inferência Estatística- consiste em inferir (deduzir
ou tirar conclusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma
amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo,
está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada
mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.
5.1 População e amostra
População - Conjunto de indivíduos, objetos ou informações que apresentam pelo
menos uma característica comum, cujo comportamento interessa-nos analisar. Ou,
em outras palavras, conjunto de todas as medidas, observações relativas ao estudo de
determinado fenômeno.
5
(i) Deseja-se conhecer o consumo total de energia elétrica em MWH nas residências
da cidade de Salvador no ano de 1998.
População ou universo: todas as residências que estavam ligadas a rede elétrica
em Salvador, em 1998.
Característica: X = consumo anual de energia elétrica em MWH.
(ii) Deseja-se saber se nas indústrias situadas no Estado da Bahia, em 1997, existia
algum tipo de controle ambiental.
População ou universo: indústrias situadas no Estado da Bahia em 1997.
Característica: X = existência ou não de algum tipo de controle ambiental na
indústria.
(iii) Estudo sobre a precipitação pluviométrica na Região Nordeste no ano 1997.
População ou universo: área referente à Região Nordeste.
Característica: X = precipitação pluviométrica.
Populações finitas e infinitas: Quanto ao número de elementos, as populações
podem ser classificadas em finita ou infinita, dependendo do número de elementos que
a compõe.
Exemplos:
(i) População finita: empresas do Pólo Petroquímico de Camaçari
(ii) População infinita: as pressões atmosféricas ocorridas nos diversos pontos do
Continente em determinado momento.
Em geral, como os universos são grandes, investigar todos os elementos populacio-
nais para determinarmos a característica necessita muito tempo, e/ou o custo é elevado,
e/ou o processo de investigação leva a destruição do elemento observado, ou, como no
caso de populações infinitas, é impossível observar a totalidade da população. Assim,
estudar parte da população constitui-se um aspecto fundamental da Estatística.
Amostra: É qualquer subconjunto da população.
6
5.2 Tipos de variáveis
As características da população que nos interessa analisar recebem o nome de variá-
veis. As características ou variáveis podem ser divididas em dois tipos: qualitativas
e quantitativas.
Variáveis qualitativas - quando o resultado da observação é apresentado na forma
de qualidade ou atributo. Exemplos: sexo; estado civil; grau de escolaridade; etc.
Variáveis quantitativas - quando o resultado da observação é um número, de-
corrente de um processo de mensuração ou contagem. Exemplos: número de filhos;
salário mensal; altura; peso; idade; tamanho da família; etc.
As variáveis qualitativas são divididas em dois tipos: nominal, para a qual não
existe nenhuma ordenação nas possíveis respostas da referida variável, e ordinal, para
a qual existe uma ordenação. Por exemplo:
Qualitativa

Nominal (sexo, cor dos olhos, tipos de defeitos...)
Ordinal (classe social, grau de instrução, porte de empresa...)
As variáveis quantitativas são divididas em: discretas, que assumem valores em
um conjunto finito ou enumerável de números, contínuas, que assumem valores em
um intervalo números reais.
Quantitativa

Contínua (peso, altura, vida útil de bateria...)
Discreta (número de filhos, número de carros, número de defeitos...)
Para resumiras informações levantadas durante uma pesquisa usaremos a técnica
e a representação mais apropriada, a depender do tipo de variável que estamos anali-
sando.
6 Apresentação dos dados
Esta seção apresenta alguns procedimentos que podem ser utilizados para organizar
e descrever um conjunto de dados, tanto em uma população como em uma amostra.
O conjunto de informações disponíveis, após a tabulação do questionário ou pes-
quisa de campo, é denominado de tabela de dados brutos. Apesar de conter muita
informação, a tabela de dados brutos pode não ser prática para respondermos às ques-
7
tões de interesse.
Exemplo: Banco de dados (dados brutos)
Foi realizada uma pesquisa por amostragem junto às indústrias de matérias plásti-
cas nas principais regiões metropolitanas do Brasil e investigou-se as seguintes variá-
veis: constituição jurídica; porte; número total de empregados em 1999; faturamento
anual em 1998 e 1999; tempo de existência; região metropolitana; e setor de ativi-
dade. As observações referentes às 106 empresas amostradas encontram-se no arquivo
Empresa.xls.
Dado um conjunto de dados o modo de condensação ou apresentação das infor-
mações pode ser na forma de tabelas de frequências ou de gráficos que facilitam a
visualização do fenômeno, permitem a comparação com outros elementos ou, ainda,
fazer previsões.
6.1 Tabela ou Distribuição de Frequências
O fenômeno considerado é uma variável qualitativa ou quantitativa (discreta ou
contínua) e seus valores observados são descritos considerando o número de vezes que
ocorreram na tabela de dados brutos (frequência).
Algumas definições:
Frequência simples absoluta(fi): é o número de ocorrências ou repetições de
um valor individual ou um intervalo de valores.
Frequência simples relativa(fri): é a razão entre a frequência simples absoluta
e o número total de dados (soma de todas as frequências simples absolutas).
Agora vamos exemplificar distribuições de frequência para cada tipo de variável.
1. Variável qualitativa Nominal ou Ordinal
As variáveis qualitativas obtidas em uma pesquisa podem ser organizadas em
formas de tabelas para facilitar a visualização e análise dos dados.
Exemplo 6.1: Considere a planilha de dados empresa.xls. Para a variável
“porte de empresa” construa uma tabela
8
Tabela 6.1: Porte das indústrias de matérias plásticas nas principais regiões metropo-
litanas do Brasil – 1999.
Porte da Indústria Números de indústrias fri*100(%)
Grande 23 21,7
Média 70 66,0
Pequena 13 12,3
Total geral 106 100,0
Fonte: Dados fictícios
2. Variável Quantitativa Discreta
Exemplo 6.2: Foi observado o número de defeitos apresentados por uma má-
quina industrial durante o período de 30 dias. Os resultados foram os seguintes:
1 1 1 0 1 1 0 2 1 3 1 0
1 1 1 2 0 1 1 1 4 1 0 3
2 2 1 1 0 1
Tabela 6.2: Rendimento, em porcentagem, de uma reação para fabricação de uma
substância química.
Número de defeitos Quantidade (fi) fri*100(%)
0 6 20,0
1 17 56,7
2 4 13,3
3 2 6,67
4 1 3,33
Total 30 100,0
Fonte: Dados fictícios
3. Variável Quantitativa Contínua
Para certo conjunto de dados, vamos adotar a seguinte nomenclatura:
1. Máximo(max): maior valor do conjunto;
9
2. Mínimo (min): menor valor do conjunto;
3. Amplitude total (AT): é a diferença entre o valor máximo e mínimo;
AT = MAX – MIN
4. Classe: é cada um dos intervalos em que se subdivide a amplitude total;
Representação: k = número de classes
5. Limite superior (lsup): é a cota superior para os valores da classe;
6. Limite inferior (linf): é a cota inferior para os valores da classe;
7. Amplitude do intervalo de classe (hi): é o comprimento da classe, definida
como a diferença entre o limite superior e inferior;
8. Ponto médio (Xi): é a média entre os limites superior e inferior da classe i
Determinação do número de classes e amplitude do intervalo de classes:
Não existem regras gerais, universalmente aceitas, para a determinação do número
de classes. Existem, no entanto, algumas regras propostas por diferentes autores, que
dão ideia aproximada do número de classes em função do número de dados.
Um dos métodos utilizado é chamado de regra de Sturges ou regra do logaritmo.
Ele estabelece que:
k ∼= 1 + 3.3 log10 n
em que k é o número de classes e n é o número de dados. Outra maneira para obter o
número de classes é:
k ∼=
√
n
Mesmo conhecendo alguns métodos para a determinação do k, deve-se saber que a
escolha dependerá antes da natureza dos dados, da unidade de medida, da experiência
e do bom senso de quem fará a organização dos dados da pesquisa.
Uma vez encontrado o número de classes, determina-se a amplitude do intervalo de
classes através da fórmula:
h = AT
k
10
Exemplo 6.3: (Werkema, vol.2) Os dados abaixo representam o rendimento em
porcentagem de uma reação para fabricação de uma substância química, em 80 ba-
teladas produzidas por uma indústria. A empresa decidiu construir uma tabela de
frequência para obter um resumo do conjunto de dados.
70,7 71,8 73,9 74,4 75,9 76,0 76,6 76,7 77,4 78,0 78,1 78,1 78,2 78,4 78,4 78,4
78,5 78,5 78,5 78,9 79,0 79,1 79,3 79,3 79,5 79,5 79,7 79,8 79,9 79,9 80,1 80,2
80,4 80,4 80,5 80,7 80,7 80,7 80,9 81,3 81,4 81,6 81,8 81,9 82,0 82,0 82,1 82,3
82,5 82,7 82,9 83,0 83,0 83,2 83,4 83,5 83,6 83,6 83,7 83,8 84,3 84,5 84,5 84,5
84,6 85,2 85,5 85,5 85,7 86,4 86,5 86,8 86,8 86,8 87,1 87,1 87,1 87,3 88,5 90,0
Procedimento para construir uma tabela de distribuição de frequências com inter-
valos de classes.
Solução: Neste caso, n = 80 ⇒ k =
√
80 ∼= 9
A amplitude total será dada por AT = 90 – 70,7 = 19,3.
Assim, a amplitude de cada intervalo de classe será: h ∼= 2,2
Dessa forma, a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados em
classes fica da seguinte maneira:
Tabela 6.3: Rendimento, em porcentagem, de uma reação para fabricação de uma
substância química.
Rendimento Número de substância (fi) fri*100 (%)
70,5 ⊢ 72,7 2 2,50
72,7 ⊢ 74,9 2 2,50
74,9 ⊢ 77,1 4 5,00
77,1 ⊢ 79,3 14 17,50
79,3 ⊢ 81,5 19 23,75
81,5 ⊢ 83,7 17 21,25
83,7 ⊢ 85,9 11 13,75
85,9 ⊢ 88,1 9 11,25
88,1 ⊢ 90,3 2 2,50
Total 80 100,00
Fonte: Dados fictícios
11
6.1.1 Tabela de Múltipla Entrada
Em alguns casos é necessário apresentar mais de uma variável em uma única tabela.
Quando são utilizadas apenas duas variáveis tem-se uma tabela de dupla entrada.
Tabela 6.4: Porte das indústrias de matérias plásticas por região metropolitana do
Brasil – 1999.
Região Metropolitana
Porte da Empresa
Total
Grande Média Pequena
Belo Horizonte 2 9 3 14
Curitiba 1 4 0 5
Porto Alegre 0 7 1 8
Rio de Janeiro 3 13 2 18
Salvador 8 18 4 30
São Paulo 9 19 3 31
Total 23 70 13 106
Fonte: Dados fictícios
6.2 Representação Gráfica
Serão apresentados alguns tipos de gráfico: setor ou pizza, barra, colunas, Pareto e
histograma.
1.0 Gráfico em barras
Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas.
Exemplo 6.4:
Tabela 6.5: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no Brasil
– 2000
Tipo de fraude Quantidade
Cartão roubado 243
Cartão falsificado 85
Pedido por correio/telefone 52
Outros 46
Fonte: Triola, Mario F.
12
Figura 6.1: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no Brasil
– 2000
Fonte: Triola, Mario F.
2.0 Gráfico em colunas
Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas.
Exemplo 6.5:
Tabela 6.6: Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro de residência, que
participaram do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 1998.
Bairro Número de crianças
Paripe 11
Periperi 39
Plataforma 45
Praia Grande 25
Total 120
Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador
13
Figura 6.2: Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro de residência, que
participaram do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 2008.
Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador.
Exemplo 6.6:
Tabela 6.7: Estudantes da Universidade XYZ segundo área de estudo e ano de ingresso.
Área
Ano
Total
1998 1999 2000Exatas 120 156 68 344
Humanas 72 85 112 269
Biológicas 169 145 73 387
Fonte: Dados fictícios
Figura 6.3: Estudantes da Universidade XYZ segundo área de estudo e ano de ingresso.
Fonte: Dados Fictícios.
14
Exemplo 6.7: Gráfico para o Exemplo 6.2
Figura 6.4: Número de defeitos em uma máquina industrial durante o período de 30
dias
Fonte: Dados Fictícios.
3.0 Gráfico de Pareto
O gráfico de Pareto é composto por colunas e por uma curva representando a
percentagem acumulada. As barras estão disponíveis em ordem decrescente, tornando
evidente a priorização de temas. Este gráfico é muito utilizado na área de Controle de
Qualidade.
Exemplo 6.8: (Werkema, vol. 2): Uma indústria fabricante de lentes tem como
objetivo resolver o seguinte problema: aumento do número de lentes defeituosas produ-
zidas pela empresa a partir de fevereiro de 1995. A empresa classificou uma amostra de
lentes fabricadas durante uma semana de produção de acordo com os tipos de defeitos
detectados. O resultado está na Tabela 6.8 adiante.
Uma maneira de representarmos graficamente estes dados é através do gráfico de
Pareto, para que seja possível identificar com mais facilidade o defeito que apareceu
com maior frequência. Para construirmos o gráfico de Pareto é necessário obtermos a
planilha de dados mostrada na tabela a seguir.
15
Tabela 6.8: Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas durante uma
semana de produção de uma indústria em 1200 lentes inspecionada.
Tipo de Defeito Quantidade
Arranhão 12
Trinca 41
Revestimento Inadequado 55
Muito Fina ou Muito Grossa 11
Não Acabada 05
Outros 03
Total 127
Fonte: Dados fictícios
Tabela 6.9: Planilha de dados para construção de gráfico de Pareto.
Tipo de
defeito
Quantidade
de defeito
Total
acumulado
(%) Percentagem
total geral
(%) Percentagem
acumulada
Revestimento
Inadequado
55 55 43,3 43,3
Trinca 41 96 32,3 75,6
Arranhão 12 108 9,4 85,0
Fina ou
Grossa
11 119 8,7 93,7
Não Acabada 5 124 3,9 97,6
Outros 3 127 2,4 100,0
Total 127 - 100 -
Na Tabela 6.9 os tipos de defeitos foram listados em ordem decrescente de quanti-
dade na coluna 1, a quantidade de defeitos aparece na coluna 2 e o total acumulado
está na coluna 3. Nas colunas 4 e 5 estão as percentagens totais e as percentagens
acumuladas respectivamente. As barras do gráfico de Pareto foram construídas a par-
16
tir dos dados da coluna 2 e a curva acumulada conhecida como curva de Pareto, foi
traçada a partir dos números da coluna 5.
Figura 6.5: Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes encontrados em uma amostra
de lentes fabricadas durante uma semana de produção de uma indústria em 1200 lentes
inspecionada.
Fonte: Dados fictícios
Observando a Figura 6.5, foi imediato para indústria perceber que os dois tipos de
defeitos mais frequentes, “Revestimento inadequado” e “trinca”, representavam 75,6%
dos defeitos detectados nas lentes produzidas pela empresa. Portanto, “Revestimento
inadequado” e “trinca” foram considerados os defeitos mais importantes, que devem
ser eliminados em primeiro lugar esse tipo de defeito é chamado de poucos defeitos
vitais, enquanto que os outros representam apenas os muitos defeitos triviais, pois
representam a minoria das observações.
4.0 Gráfico em linhas ou curvas
Utilizado para descrever séries temporais que são dados observados em instantes
ordenados do tempo. Exemplo 6.9:
17
Tabela 6.10: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979.
Meses IPI
Janeiro 18.633
Fevereiro 17.497
Março 19.470
Abril 18.884
Maio 20.308
Junho 20.146
Julho 20.258
Agosto 21.614
Setembro 19.717
Outubro 22.133
Novembro 20.503
Dezembro 18.800
Fonte: FIBGE
Figura 6.6: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979
Fonte: FIBGE.
5.0 Gráfico em setores
Exemplo 6.10:
18
Tabela 6.11: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de pro-
cedência
Procedência Percentual
Interior 33,30
Capital 30,60
Outro 36,10
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
Figura 6.7: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de proce-
dência
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
6.0 Histograma
Quando os dados estão agrupados em intervalos de classes, o gráfico mais apropriado
é o histograma. No caso de classes de mesma amplitude, é construído um retângulo
para cada classe, com base igual à amplitude do intervalo classe e altura proporcional
a frequência da classe. Neste caso,
altura ∼ frequência (absoluta ou relativa)
Quando temos classes com amplitudes diferentes, devemos construir um retângulo para
cada classe, com base igual à amplitude do intervalo de classe e altura dada por:
19
d = frequência
amplitude da classe
Note que, neste caso, a área do retângulo é igual a frequência da classe. A altura d
definida acima é chamada de densidade de frequência.
Exemplo 6.11: Histograma para a distribuição de frequência do exemplo 6.3.
Figura 6.8: Rendimento, em porcentagem, de uma Reação para Produção de uma
Substância Química.
Fonte: Dados fictícios
Exercício: As especificações estabelecem um limite inferior para o rendimento igual
a 78%. A partir de um histograma, você acredita que o processo está satisfazendo a
especificação? Justifique.
6.2.1 Cuidados na representação gráfica
Há vários problemas com este gráfico. Ele impressiona mais pela tecnologia utilizada
do que pela informação que passa para o leitor. Os dados não são tridimensionais. As
grades do fundo mais o efeito tridimensional distraem a visão e dificultam comparações
entre trimestre e regiões. Uma forma de melhorar o gráfico é dar-lhe a dimensão correta.
As linhas de grade.
Não utilize faixas horizontais, verticais ou similares, que só atrapalham a visão do
leitor. Faça mais de um gráfico até encontrar um que seja informativo, claro, e que
não possua objetos desnecessários.
20
Figura 6.9: Distribuição das vendas do produto X por trimestre segundo as zonas
Figura 6.10: *
Fonte: Dados fictícios
Figura 6.11: Distribuição das vendas do produto X por trimestre segundo as zonas
Não apresente gráficos supérfluos. Se retirarmos a figura abaixo, toda a informação
poderá ser transmitida textualmente, com uma simples frase: “20% das respostas foram
positivas e 80% negativas”.
21
Observe que o efeito 3-D dificulta o julgamento das porcentagens relativas a cada
categoria da variável. A retirada do efeito 3-D ajudará o leitor a julgar melhor as
proporções relativas observadas em cada amostra.
7 Medidas de posição central
As distribuições de frequências e os gráficos fornecem mais informações sobre o com-
portamento de uma variável do que a própria série original de dados. Mas, queremos
resumir ainda mais esses dados. Com esse objetivo usaremos métodos da Estatística
Descritiva que ensinam a reduzir a informação contida em uma grande quantidade de
dados a um pequeno número de medidas, substitutas e representantes daquela massa
de dados. Vamos agora estudar as medidas da Estatística Descritiva, agrupadas em
medidas de posição (ou de locação ou de localização) central: média, mediana e moda.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Uma fábrica de azulejos nos últimos meses passou a receber reclamações de seus
clientes. A maioria das reclamações era relativa aos seguintes problemas:
• Os azulejos, ao serem manuseados, quebravam-se facilmente;
• O assentamento dos azulejos, quando era utilizada argamassa, não produzia um
resultado uniforme em relação ao nível da parede.
Em vista dessa situação, a indústria decidiu formar um grupo de trabalho para
resolver esses problemas. Na etapa de identificação do problema, o grupo de
trabalho concluiu que a produção de azulejos com espessura não adequada po-
deria estar provocando as reclamações dos clientes. Esta conclusão resultou do
conhecimento dos seguintes fatos:
22
• Azulejos com espessura muito fina quebram-se facilmente;
• A falta de uniformidade na espessura dos azulejos provoca dificuldades durante
o seu assentamento.
Para avaliar se estavam ocorrendo problemas com a espessura dos azulejospro-
duzidos, o grupo decidiu retirar uma amostra aleatória dos azulejos fabricados pela
empresa, medir a espessura destes azulejos e comparar os resultados obtidos com as
especificações. Como a empresa empregava duas turmas de trabalho (turmas A e B) e
poderia haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos por cada turma, foi uti-
lizada uma estratificação, sendo então retirada uma amostra de 80 azulejos produzidos
pela turma A e 80 fabricados pela turma B. Os dados coletados, já ordenados, estão
na Tabela 7.1.
Ao observarmos o conjunto de dados já fazemos alguma ideia sobre o comporta-
mento das duas turmas de trabalho, em termos da espessura dos azulejos que produzem.
Entretanto, claramente necessitamos calcular algumas medidas que resumam a infor-
mação contida nos dados. Vamos começar tentando responder: Qual o valor típico da
turma A? E da turma B? A primeira ideia para obter um valor típico é a de calcular
uma média.
Tabela 7.1: Medidas da Espessura (mm) de 160 Azulejos do Estoque (dados ordenados)
(Continuação).
TURMA A TURMA B
2,3 3,1 3,8 4,5 4,9 5,6 5,8 6,2
2,4 3,1 3,9 4,5 4,9 5,6 5,8 6,2
2,4 3,3 3,9 4,5 5,0 5,6 5,8 6,3
2,4 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 5,8 6,3
2,6 3,4 4,0 4,5 5,1 5,7 5,9 6,4
2,7 3,4 4,0 4,6 5,1 5,7 5,9 6,4
2,7 3,5 4,0 4,6 5,3 5,7 5,9 6,4
2,8 3,5 4,0 4,7 5,3 5,7 5,9 6,4
23
Tabela 7.2: Medidas da Espessura (mm) de 160 Azulejos do Estoque (dados ordena-
dos)(Conclusão).
TURMA A TURMA B
2,8 3,5 4,0 4,7 5,3 5,7 5,9 6,4
2,8 3,5 4,1 4,9 5,3 5,7 5,9 6,5
2,9 3,5 4,1 4,9 5,3 5,7 6,0 6,5
2,9 3,5 4,1 5,1 5,3 5,7 6,0 6,5
2,9 3,6 4,2 5,2 5,3 5,7 6,0 6,5
3,0 3,6 4,2 5,4 5,4 5,7 6,1 6,6
3,0 3,7 4,2 5,4 5,4 5,7 6,1 6,7
3,0 3,7 4,3 5,5 5,4 5,7 6,1 6,7
3,1 3,7 4,3 5,6 5,4 5,8 6,1 6,7
3,1 3,7 4,3 5,6 5,4 5,8 6,1 6,8
3,1 3,8 4,4 5,7 5,5 5,8 6,2 6,9
3,1 3,8 4,4 5,9 5,5 5,8 6,2 7,0
7.1 Média aritmética simples
A média aritmética simples de n números x1, x2, ..., xn é um valor x tal que:
x1 + x2 + ... + xn = x + x + ... + x = nx
logo temos que:
x = x1 + x2 + ... + xn
n
=
n∑
i=1
xi
n
Podemos pensar na média aritmética como o valor “típico” do conjunto de dados
e é considerada a principal medida de posição central. Algumas das razões que fazem
com que seja a medida de posição mais recomendada são:
• É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem ambiguidades;
• Leva em consideração todas as observações efetuadas;
• Calcula-se com facilidade.
24
Entretanto, esta medida apresenta alguns inconvenientes como o fato de ser muito
sensível a valores extremos, isto é, a valores excessivamente pequenos ou excessivamente
grandes, em relação às demais observações do conjunto de dados.
Exemplo 7.1: Estamos interessados em conhecer o salário médio mensal de certa
empresa com cinco funcionários. Temos o seguinte conjunto de salários mensais, em
reais: 123 - 145 - 210 - 225 - 2.500. Podemos observar que quatro dos cinco salários
apresentam valores entre 123 e 225 reais, porém a média salarial de 640,6 reais é
bastante distinta desse conjunto pela influência do salário de 2.500 que puxou o valor
médio para cima.
Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importân-
cia diferentes. Utiliza-se então uma média ponderada. Vamos ver a seguir a definição
da média aritmética ponderada.
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, ..., xn, n com pesos p1, p2, ..., pn
é definida por
x̄p =
n∑
i=1
xipi
n∑
i=1
pi
, ou simplesmente x̄p =
∑
xip∑
p
.
Obs.: Quando os dados estão agrupados por frequências (absolutas ou relativas) os
ponderadores serão as frequências.
Exemplo 7.2: Em um grupo de pessoas, 70% são adultos e 30% são crianças. O
peso médio dos adultos é 70 kg e o peso médio das crianças é 40 kg. Qual o peso médio
do grupo?
Solução: É a média aritmética ponderada dos dois subgrupos. A resposta é
x̄p = (70 × 0, 7) + (40 × 0, 3)
0, 7 + 0, 3 = 61kg.
25
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Para responder à questão do valor típico da espessura dos azulejos produzidos pelas
Turmas A e B calculamos então as médias aritméticas, pois o desejado é obter a
espessura média M tal que se a espessura de cada azulejo fosse sempre igual a M a
soma total seria a mesma.
Resumindo em uma tabela as médias aritméticas (em mm), temos:
Tabela 7.3: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de proce-
dência.
Turma Média aritmética
A 3,8575
B 5,8725
Observando as médias aritméticas das amostras observadas, parece existir diferença,
em termos médios, entre as espessuras dos azulejos que estão sendo continuamente
produzidos pelas turmas A e B.
7.2 Moda
A moda é outra medida de locação, mas diferentemente da média, não utiliza em
seu cálculo todos os valores do conjunto de dados analisado.
A moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados.
Notação: Mo = moda
Exemplo 7.3:
a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7} ⇒ Mo = 5
b) Y = {10, 12, 17, 21, 32} ⇒ Mo = não existe, a distribuição é amodal.
c) Z = {2, 2, 5, 5, 7, 7} ⇒ Mo = não existe
d) W = {10, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 18, 21} ⇒ A distribuição apresenta dois valores
modais: 12 e 18 (distribuição bimodal).
26
Obs: A moda é a única medida de posição central que pode ser usada em tabelas
com variáveis qualitativas.
Quando o conjunto de dados apresenta mais de uma moda damos o nome de dis-
tribuição plurimodal.
A moda é uma medida mais adequada ao caso de dados agrupados. Quando a
distribuição de frequências está organizada por classes de valores, devemos identificar
a classe modal (classe em que observamos a maior frequência). O ponto médio da classe
modal será o valor estimado para a moda que é denominada moda bruta.
Mo = linf + hi
2
em que:
linf = limite inferior da classe modal;
hi = amplitude da classe modal.
No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade com elemento
representativo ou sintetizador do conjunto. Consideremos por exemplo o seguinte con-
junto de dados:
Tabela 7.4: Quantidade de operários das empresas de telemarketing na cidade de Sal-
vador - 2010.
Quantidade de operários Quantidade de empresas
7 1
11 1
15 1
17 2
19 1
21 1
25 3
De acordo com a definição a moda é 25, entretanto este valor não é representativo
do conjunto de dados e, portanto a moda não é uma boa medida de locação neste caso.
27
Exemplo de aplicação: (Azulejos). Para obtermos a moda bruta é necessário
construir uma distribuição de frequência. Na Tabela 7.5 suponha que o número de
classes foi definido arbitrariamente.
Tabela 7.5: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma A.
Espessura Número de azulejos
2,25 ⊢ 2,75 7
2,75 ⊢ 3,25 15
3,25 ⊢ 3,75 16
3,75 ⊢ 4,25 17
4,25 ⊢ 4,75 14
4,75 ⊢ 5,25 4
5,25 ⊢ 5,75 6
5,75 ⊢ 6,25 1
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Tabela 7.6: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma B.
Espessura Número de azulejos
4,75 ⊢ 5,25 6
5,25 ⊢ 5,75 30
5,75 ⊢ 6,25 26
6,25 ⊢ 6,75 15
6,75 ⊢ 7,25 3
Fonte: Dados fictícios
Resumindo em uma tabela os valores modais (em mm), temos:
Tabela 7.7: Valor da moda por turma para dados da espessura dos azulejos.
Turma Moda
A 4,0
B 5,5
28
7.3 Mediana
Definição: Chamamos de mediana o elemento do conjunto que ocupa a posição
central na distribuição ordenada (crescente ou decrescente). Isto é, divide a distribui-
ção em duas partes iguais de modo que 50% dos valores observados são inferiores ao
valor mediano e 50% superiores a esse valor.
A notação da mediana usada será Md = mediana.
Notação:
X(i) = elemento que ocupa a i-ésima posição da série ordenada.
n = número de elementos da série.
1) Md =
X( n
2 )+X( n
2 +1)
2 , n é par.
2) Md = X( n+1
2 ), n é ímpar.
A mediana é uma medida de posição resistente, pois é pouco afetada por mudanças
de pequena porção dos dados, ao contrário da média aritmética que é sensível a valores
atípicos.
Exemplo 7.4: Comparação entre a média aritmética e a mediana para os conjuntos
de salários (em reais) dados.
X = {200, 250, 250, 300, 450, 460, 510} ⇒ X = 345,7; MdX = 300.
Y = {200,250, 250, 300, 450, 460, 2.300} ⇒ Y = 601,0; MdY = 300.
Podemos observar que no caso do conjunto Y a média não sintetiza adequadamente
o conjunto de dados, pois apenas um valor é superior a ela.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
As mesmas comparações feitas para a média podem ser feitas para a mediana para
o nosso conjunto de dados. Resumindo em uma mesma tabela as médias e as medianas
(em mm), temos:
29
Tabela 7.8: Medidas- resumo por turma para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média aritmética Mediana
A 3,857 3,8
B 5,865 5,8
Para ambas as turmas, a média aritmética e a mediana apresentam valores seme-
lhantes. A mediana indica que 50% dos azulejos produzidos pela turma A estão com
espessura inferior a 3,8mm e 50% dos produzidos pela turma B apresentam espessuras
superior a 5,8mm.
7.4 Indicações para utilização das três principais medidas de
posição central
Vimos que as três principais medidas de posição - a média aritmética, a mediana
e a moda - têm o mesmo objetivo: determinar um valor típico do conjunto de dados.
Surge, então, a seguinte questão: quando deveremos utilizar cada uma dessas medidas?
De maneira geral, a moda é a menos empregada e a mais difícil de calcular satisfa-
toriamente. No entanto, é adequada para caracterizar situações onde estejam em causa
os casos ou valores mais usuais. Por exemplo, em estudos de mercado, o empresário
pode estar interessado nas medidas que mais se vendem.
Correntemente, a escolha é feita entre a média e a mediana, dependendo da natureza
do problema a ser estudado e de outros fatores. Vejamos.
A mediana tem vantagem: é mais resistente do que a média, isto é, a alteração
drástica de um só valor do conjunto de dados reflete substancialmente no valor da
média e não irá refletir no valor da mediana.
A média tem vantagens: quando a curva de frequências tem forma de sino, mais ou
menos simétrica, com abas decaindo rapidamente (valores erráticos muito improváveis),
a média é mais eficiente do que a mediana; a média é uma função linear das observações,
propriedade que também pode pesar na sua adoção.
Por fim, uma vantagem da mediana e da moda em relação à média aritmética é que
30
esta última não pode ser calculada quando ocorrem classes de frequências com limites
indefinidos (classes abertas). Entretanto, nesta situação, a moda e a mediana podem
ser encontradas sem qualquer dificuldade.
8 Separatrizes
As separatrizes são medidas que permitem calcularmos valores da variável que di-
videm ou separam a distribuição em partes iguais. Temos três tipos de separatrizes,
também chamadas de quantis: os quartis; os decis; e os percentis.
As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis têm construção aná-
loga a da mediana. Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais,
a característica principal de cada uma dessas medidas é:
• Quartis: dividem a distribuição em quatro partes iguais;
• Decis: dividem em dez partes iguais;
• Percentis: dividem em cem partes iguais.
Notações: Qi = quartil de ordem i; Di = decil de ordem i e Pi = percentil de
ordem i.
Observações:
i) Temos a seguinte igualdade: C50 = D5 = Q2 = Md
ii) O cálculo para os decis e os percentis é análogo ao dos quartis.
iii) O intervalo interquartil ou interquartílico, definido por (Q1; Q3), contém 50%
do total de observações localizadas mais ao centro da distribuição.
As Figuras a seguir ilustram uma distribuição simétrica e distribuições assimétricas,
respectivamente.
31
Figura 8.1: Distribuição Simétrica.
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
Figura 8.2: Distribuições Assimétricas.
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
Cálculo dos percentis A posição do percentil de ordem i no conjunto de dados
ordenado será definida como:
Posi = i.
n
100 ,
em que Posi = posição do percentil de ordem i; e n = número de elementos da série
1) Se Posi = valor inteiro, então o percentil é definido como a média dos valores que
ocupam a posição Posi e Posi + 1.
2) SePosi = valor não inteiro, então o percentil é definido como o valor que ocupa a
posição u + 1 , em que u = inteiro mais próximo que seja menor que Posi.
Exemplo 8.1: Calcule Q1 para o seguinte conjunto de dados:
21 23 18 25 24 28
32
Resolução: Lembrar que Q1 corresponde ao percentil de ordem 25.
1) Ordenar os valores: 18 21 23 24 25 28.
2) Pos25= 25 6
100= 1,5 (valor não inteiro) ⇒ u = 1 e, portanto, o Q1 é o valor que
ocupa a 2ª posição na série ordenada. Portanto, Q1 = 21.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Verificar por meio dos quartis o tipo de assimetria para os dados de espessura de
azulejos.
Medida Turma A Turma B
Q1 3,10 5,55
Md 3,80 5,80
Q3 4,45 6,20
Md − Q1 0,70 0,25
Q3 − Md 0,65 0,40
Assimetria Negativa Positiva
9 Medidas de Dispersão
Exemplo 9.1: Duas máquinas foram reguladas para encher cada pacote de café
com 500g. Com o objetivo de verificar a regulagem dessas máquinas, um fiscal de área
anotou o peso dos 5 primeiros pacotes produzidos por cada máquina e calculou o peso
médio dos pacotes. Os resultados encontram-se abaixo:
Máquinas
Peso dos pacotes
Peso médio
1º 2º 3º 4º 5º
A 500 497 498 500 495 498
B 490 500 505 510 495 500
Fonte: Dados fictícios.
Observando apenas o peso médio dos pacotes, poderíamos concluir que a máquina B
apresentou melhor desempenho do que A. Porém, quando observamos cada informação
33
separadamente, verificamos que o peso dos pacotes vindos da máquina A variou entre
495 e 500g, enquanto que o da B variou entre 490 e 510g. Isto quer dizer que a máquina
A enche os pacotes mais uniformemente que a máquina B.
As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de variabilidade dos valores
de um conjunto de dados. Estas medidas permitem estabelecer comparações entre
fenômenos de mesma natureza ou de natureza distinta e, em geral, essa variabilidade
é observada em torno de uma medida de posição central. Essas medidas podem ser
absolutas ou relativas.
9.1 Amplitude total (Medidas de dispersão absoluta)
As separatrizes são medidas que permitem calcularmos valores da variável que di-
videm ou separam a distribuição em partes iguais. Temos três tipos de separatrizes,
também chamadas de quantis: os quartis; os decis; e os percentis.
Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre os
valores extremos do conjunto.
Notação: AT = Amplitude Total
Exemplo 9.2: Calcular as amplitudes totais do exemplo anterior e identificar qual
a máquina que apresentou a menor dispersão no peso dos pacotes de café.
Resolução:
A: AT = 500 - 495 = 5 gramas;
B: AT = 510 - 490 = 20 gramas;
A máquina A apresentou uma menor variabilidade nos pesos dos pacotes de café.
Observações:
1º) A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
2º) A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em conta apenas os valores
mínimo e máximo do conjunto. Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto
de dados, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa mudança.
3º) A amplitude total também sofre a influência de um valor "atípico"na distribuição
(um valor muito elevado ou muito baixo em relação ao conjunto).
34
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Vamos observar no nosso conjunto de dados as médias aritméticas e as amplitudes
totais (ranges) para termos uma primeira ideia sobre a variabilidade das espessuras dos
azulejos para as diferentes turmas.
Tabela 9.1: Medidas-resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média aritmética Amplitude total
A 3,8575 3,6
B 5,8725 2,1
Podemos observar que a amplitude total para a turma B é menor que a da turma
A.
9.2 Desvio-padrão amostral (Medidas de dispersão absoluta)
Vejamos a seguinte ilustração: Cinco pessoas são levadas a um laboratório para
medir suas respectivas taxas de colesterol. O laboratório sugere utilizar dois métodos
diferentes de medição para efeitos de controle. Os resultados são dados abaixo:
Pode-se observar que em média os métodos de medição do colesterol são iguais
porém, se analisarmos melhor os dados percebemosque no método A os valores estão
mais afastados da média do que no método B. Este fato, nos leva a pensar numa
medida que possa avaliar a dispersão dos dados em torno de sua média. Tal medida é
conhecida como desvio padrão e veremos sua definição a seguir.
Notação: s = desvio-padrão
Definição: Sejam x1, x2, . . . , xn , n valores que a variável X assume. O desvio
padrão amostral é definido como:
35
s =
√√√√√√
n∑
i=1
(xi − x̄)2
n − 1
Exercício: Calcule o desvio padrão para as taxas de colesterol: método A e método
B.
SA = 18, 43909 SB = 6, 041523
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Da mesma maneira que trabalhamos com a amplitude total, vamos observar no
nosso conjunto de dados as médias aritméticas e os desvios padrões (S) para termos
uma primeira idéia sobre a variabilidade nas espessuras dos azulejos produzidos pelas
turmas A e B.
Tabela 9.2: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média aritmética Desvio padrão
A 3,8575 0,8706
B 5,8725 0,48021
Podemos observar que a Turma B apresenta maior média que a da turma A e além
disso a sua variabilidade é menor. Parece que esta turma atinge mais os objetivos,
ou seja, uniformidade na espessura (menor dispersão) e azulejos com espessura mais
grossa.
9.3 Variância (Medidas de dispersão absoluta)
Definição: A variância é o quadrado do desvio padrão.
Notação: s2 Observações:
i) O desvio padrão tem a unidade de medida igual a unidade de medida original da
variável, enquanto que a variância apresentará a unidade de medida elevada ao
quadrado.
36
ii) Ao trabalharmos com os dados de toda a população calculamos a variância e o
desvio padrão populacional dividindo por N (tamanho da população) e não por
N − 1.
9.4 Coeficiente de variação de Pearson (Medidas de dispersão
relativa)
Quando se deseja comparar a variabilidade de duas ou mais distribuições, mesmo
quando essas se referem a diferentes fenômenos e sejam expressas em unidades de
medida distintas, podemos utilizar o coeficiente de variação de Pearson (medida de
dispersão relativa).
Notação: CV = coeficiente de variação de Pearson ou apenas coeficiente de vari-
ação.
Definição: O coeficiente de variação para um conjunto de n observações é definido
como o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética da distribuição.
CV = S
X̄
,
em que S = desvio padrão amostral. Observe que esta é uma medida adimensional.
Normalmente é expressa em porcentagem.
Exemplo de aplicação:(Azulejos)
Tabela 9.3: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média aritmética Desvio padrão Coeficiente de Variação (%)
A 3,8575 0,8706 22,57
B 5,8725 0,48021 08,28
Os azulejos produzidos pela turma B são mais homogêneos quanto a espessura.
37
10 Box-plot
10.1 Conceitos iniciais
O Box-plot é um método alternativo para representar os dados e está ilustrado na
Figura 10.1. O Box-plot fornece informações sobre as seguintes características de um
conjunto de dados: locação, dispersão, assimetria e outliers (observações discrepantes).
Figura 10.1: Box Plot.
O centro da distribuição é indicado pela linha da mediana. A dispersão é represen-
tada pela altura do retângulo (Q3 − Q1), o qual contém 50% dos valores do conjunto
de dados. A posição da linha mediana no retângulo informa sobre a assimetria da
distribuição. Uma distribuição simétrica teria mediana no centro do retângulo. Se a
mediana é próxima de Q1 então os dados são positivamente assimétricos. Se a mediana
é próxima de Q3 os dados são negativamente assimétricos.
Os valores fora de Q1 −1, 5(Q3 −Q1), denotado por limite inferior, e Q3 +1, 5(Q3 −
Q1), denotado por limite superior, geralmente são chamados de pontos exteriores e
devem ser investigados como possíveis outliers ou valores atípicos. Pontos exteriores
não são necessariamente outliers, mas um outlier usualmente aparece no gráfico como
um ponto exterior.
38
Exercício de aplicação: (Azulejos) Observemos os Box plots para as turmas A e
B. Temos que para turma A, o limite inferior é Q1 − 1, 5(Q3 − Q1) = 3, 1 − 1, 5(4, 45 −
3, 1) = 1, 075 e o limite superior é Q3 +1, 5(Q3 −Q1) = 4, 45+1, 5(4, 45−3, 1) = 6, 475.
E para a turma B, o limite inferior é 5,55-1,5(6,2-5,55)=4,575 e o superior é 6,2+1,5(6,2-
5,55)=7,175. Então, não há pontos exteriores. Os Box-plots correspondentes as turmas
A e B estão na Figura 6.2. Podemos perceber que a distribuição da espessura dos azu-
lejos fabricados pela turma A aparentemente apresenta assimetria negativa. Enquanto
que para a turma B observa-se assimetria positiva.
Figura 10.2: Box-plot para as espessuras (mm) dos azulejos por turma
Observações sobre a construção e interpretação de Box-plots:
1) Quando a distribuição dos dados é simétrica, a linha que representa a mediana
estará localizada mais ou menos no centro do retângulo e as duas linhas que partem
das extremidades do retângulo terão aproximadamente os mesmos comprimentos.
2) De modo geral, quando a distribuição dos dados é assimétrica à direita, a linha que
representa a mediana estará mais próxima de Q1 do que de Q3. Isto acontece porque
a metade inferior dos dados está dispersa em uma faixa de comprimento menor que
o comprimento da região ocupada pela metade superior do conjunto de dados.
39
3) Quando a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda, a linha que representa
a mediana estará mais próxima de Q3 do que de Q1. Isto acontece porque a me-
tade superior dos dados está dispersa em uma faixa de comprimento menor que o
comprimento da região ocupada pela metade inferior do conjunto de dados.
4) O Box-plot também pode ser desenhado na posição vertical.
5) Os Box-plots são muito úteis para a comparação de dois ou mais conjuntos de dados.
Exercício de aplicação: (Azulejos). Utilizando agora todos os novos conheci-
mentos que você adquiriu, responda:
a) Sabendo que os limites de especificação para a espessura dos azulejos são (5,0 ∓
1,5) mm, você considera que a espessura não adequada dos azulejos pode estar
provocando as reclamações dos clientes? Por que?
b) forma do histograma construído para todos os dados considerados em conjunto
está indicando que pode haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos em
diferentes níveis dos fatores de manufatura do processo de fabricação dos azulejos?
Por quê?
c) Você considera que as duas turmas trabalham do mesmo modo ou existe diferença
entre a qualidade dos azulejos produzidos pelas duas turmas? Justifique sua res-
posta.
d) O problema de quebra dos azulejos parece ser comum aos azulejos produzidos por
ambas as turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a uma turma
específica? Por que?
e) O problema de falta de uniformidade no assentamento dos azulejos parece ser comum
aos azulejos fabricados por ambas as turmas de trabalho da empresa ou parece estar
associado a uma turma específica? Por que?
11 1 ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Maurício Lordelo, Rosana
Castro.
40
Revisada: Giovana e Silvia.
1. Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa (nominal/ordinal) ou
quantitativa (discreta/contínua):
a) Ocorrência de hipertensão arterial em grávidas com mais de 35 anos (sim ou
não são possíveis respostas para esta variável).
b) Intenção de voto para presidente (possíveis respostas são os nomes dos candi-
datos, além de “indeciso”).
c) Perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre, em quilos.
d) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre
(leve, moderada, forte).
e) Grau de satisfação da população brasileira com relação ao trabalho de seu
presidente (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 total-
mente satisfeito). R.: a)Qualitativa Nominal, b) Qualitativa Nominal, c)Quantitativa Contínua,
d)Qualitativa Ordinal, e) Qualitativa Ordinal
2. Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de contabilidade de
uma empresa fornecendo os dados apresentados na tabela:
Funcionário Sexo
Curso
(completo)
IdadeSalário(R$)
Anos de
empresa
1 masculino superior 34 1100,00 5
2 feminino superior 43 1450,00 8
3 feminino médio 31 960,00 6
4 masculino médio 37 960,00 8
5 masculino médio 24 600,00 3
6 feminino médio 25 600,00 2
7 masculino médio 27 600,00 5
8 feminino médio 22 450,00 2
9 masculino fundamental 21 450,00 3
10 feminino fundamental 26 450,00 3
a) Classifique cada uma das variáveis;
b) Faça uma representação gráfica para a variável curso;
41
c) Faça uma tabela para a variável curso por sexo. R.:a)Sexo - qualitativa nominal, curso
- qualitativa ordinal, idade - quantitativa contínua, salário - quantitativa contínua, anos de empresa -
quantitativa contínua, b) Gráfico de colunas, barras, setor c)Tabela:Funcionários do setor de contabilidade
de uma empresa por sexo e grau de instrução.
Sexo
Grau de Instrução
Total
Fundamental Medio Superior
Feminino 1 3 1 5
Masculino 1 3 1 5
Total 2 6 2 10
Fonte: Exercício
3. Uma empresa do ramo automobilístico apresentou nos últimos anos os seguintes
dados:
Ano Veículos Vendidos Gastos com propaganda(R$) Renda per capita (US$)
1990 116002 1713 429
1991 154972 2835 455
1992 178179 3585 482
1993 233011 5566 514
1994 295725 7251 556
1995 343533 8146 596
1996 379370 9148 632
a) Represente graficamente cada série separadamente;
b) Analisando essa tabela e os gráficos construídos pode-se concluir que os gastos
com propaganda foram compensados com o aumento da quantidade de veícu-
los vendidos? Justifique. R.: a) Gráfico em colunas ou barras ou linhas. b) Sim. Quanto maior
o gasto com propaganda, maior o número de carros vendindos e teve aumento na renda.
4. Uma indústria automobilística verificou que, nos últimos meses, ocorreu um au-
mento no número de reclamações sobre a ocorrência de defeitos no suporte da
lanterna traseira de um modelo de automóvel por ela fabricado. A empresa dese-
java eliminar esta situação indesejável e para isto iniciou estudos para melhorar
42
resultados. Na etapa de identificação do problema, os técnicos da indústria clas-
sificaram o número total de peças defeituosas encontradas em uma amostra de
peças produzidas durante uma semana de trabalho, segundo os tipos de defeitos
que foram detectados. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo.
Defeitos encontrados em uma amostra de suportes da lanterna traseira de um
modelo de automóvel durante uma semana de produção de uma indústria.
Tipo de defeito Quantidade de defeitos
Moldagem solta 14
Solda quebrada 01
Centro da moldagem deslocado 04
Lateral da moldagem deslocada 24
Moldagem arranhada 01
Moldagem dentada 44
Plástico arranhado 07
Limpeza incompleta 79
Orifício deslocado 01
Pino deslocado 05
Total 180
a) Construa um gráfico adequado para esta série.
b) Identifique os tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam priorizar,
com o objetivo de melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela
indústria. Justifique sua resposta. R.:a)Gráfico em colunas ou barras ou pareto (preferência).
b)Limpeza incompleta, moldagem dentada. Prioridade para os que apresentam maior ocorrência.
5. De acordo com uma pesquisa, vê-se que dos 36 empregados da seção de orça-
mentos da Cia. Milsa, 12 têm o primeiro grau de educação, 18 o segundo e 6
possuem título universitário. Apresente esta distribuição em uma tabela (com as
proporções) e em um gráfico.
R.:Tabela: Grau de instrução empregados da seção de orçamentos da cia. Milsa. b) Gráfico barra ou coluna
43
Grau de instrução Frequência simples absoluta Frequência simples relativa
1º grau 12 0,33
2º grau 18 0,50
3º grau 6 0,17
Total 36 1
Fonte: Exercício
6. Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados,
tendo, para isso, realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses,
onde foi observado o número de operários acidentados para cada mês. Os dados
correspondentes são:
1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6
6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada;
b) Represente graficamente a distribuição do item a;
c) Em qual porcentagem de meses houve, exatamente, seis acidentes?
d) Em qual porcentagem de meses houve até quatro acidentes? R:Tabela: Nº de
acidentes ocorridos, por mês, com empregados da empresa no periodo de trinta e seis meses. b) colunas
c)1/6 d)1/3
R.:Tabela: Nº de acidentes ocorridos, por mês, com empregados da empresa no periodo de trinta e seis meses.
Nº de acidentes Números de meses (fi) fri
1 1 0,028
2 2 0,055
3 4 0,111
4 5 0,139
5 7 0,195
6 6 0,167
7 5 0,139
8 3 0,083
9 2 0,055
10 1 0,028
Total 36 1
Fonte: Exercício
44
7. Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal
durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
08 11 08 12 14 13 11 14 14 05 06 10
14 13 06 12 07 05 08 08 10 16 10 12
12 08 11 06 07 12 07 10 14 05 12 07
09 12 11 09 14 08 14 08 12 10 12 13
07 15
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada;
b) Represente a distribuição graficamente;
c) Calcule o número médio de erros de impressão por primeira página;
d) Calcule a mediana;
e) Determine a moda.
R.:a) Tabela: Número de erros de impressão da primeira página do jornal.
Nº de erros Números de páginas(fi) %(100·fri)
5 3 6
6 3 6
7 5 10
8 7 14
9 2 4
10 5 10
11 4 8
12 9 18
13 3 6
14 7 14
15 1 2
16 1 2
Total 50 100
Fonte: Exercício
R.: b) Gráfico barras ou colunas. c)10,24 d)10,5 e)12
45
8. A distribuição de freqüências do salário anual dos moradores do bairro A que têm
alguma forma de rendimento é apresentada na tabela abaixo:
Faixa Salarial (x10 S.M.) fi
0 ⊢ 2 10.000
2 ⊢ 4 3.900
4 ⊢ 6 2.000
6 ⊢ 8 1.100
8 ⊢ 10 800
10 ⊢ 12 700
12 ⊢ 14 2.000
Fonte: Dados fictícios
a) Construa um histograma da distribuição e identifique o tipo de assimetria;
b) A média é uma boa medida para representar estes dados. Justifique sua
resposta. R.:a) positiva ou à direita b) não. Devido a assimetria.
9. Os dados abaixo se referem ao diâmetro, em polegadas, de uma amostra de 40
rolamentos de esferas produzidas por uma companhia:
0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737
0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740
0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734
0,738 0,739 0,727 0,735
a) Construa uma tabela de distribuição de frequência por intervalos de classe;
b) Represente graficamente a distribuição do item a. R.:a) n= 40 k= 6,32 AT = 0,021
h=0,004 Tabela: Diâmetro (mm) de rolamentos de esferas produzidas por uma companhia. b) Histograma
- Tabela: Diâmetro (mm) de rolamentos de esferas produzidas por uma companhia..
46
Diâmetro dos rolamentos Números de rolamentos(fi) %(100·fi)
0,724 ⊢ 0,728 4 10
0,728 ⊢ 0,732 6 15
0,732 ⊢ 0,736 11 27,5
0,736 ⊢ 0,740 12 30
0,740 ⊢ 0,744 6 15
0,744 ⊢ 0,748 1 2,5
Total 40 100,0
Fonte: Exercício
10. Coloque V(verdadeiro) e F(falso) e justifique:
a) ( ) 50% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média;
b) ( ) Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio
padrão é zero;
c) ( ) Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior
número de erros, utilizamos a média;
d) ( ) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um
dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada
(ou subtraída) dessa constante.
e) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada
um dos elementos de um conjunto de dados, a média aritmética fica multipli-
cada (ou dividida) por essa constante.
f) ( ) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um
dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou
subtraído) dessa constante.
g) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada
um dos elementos de um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado
(ou dividido) por essa constante. R.: F,V,F,V,V,F,V
11. Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 750 percentilé 5.000.
Justifique:
a) Se você se apresentasse como candidato a essa firma e se o seu salário fosse
escolhido ao acaso entre todos os possíveis salários, o que seria mais provável:
47
ganhar mais ou menos que 5.000 unidades?
b) Suponha que na companhia B a média dos salários é 7.000 unidades e a vari-
ância é praticamente zero, e lá o seu salário também seria escolhido ao acaso.
Em qual companhia você se apresentaria para procurar emprego? R.: a)Ganhar
menos. b) B
12. Uma indústria de alimentos estava interessada em analisar seu processo de pro-
dução de determinado alimento. Existem nesta indústria duas máquinas respon-
sáveis pelo controle do processo de desidratação do alimento. Um importante
item de controle do processo é a umidade do produto final, que segundo as es-
pecificações, deve estar na faixa de 8,0% a 12%. Foi detectado incapacidade do
processo em atender às especificações. A equipe técnica suspeitava de que podia
haver diferenças na forma de funcionamento das duas máquinas de desidratação.
Com o objetivo de observar o funcionamento das máquinas foram feitas medidas
do teor de umidade do produto final, estratificadas por máquina de desidratação.
Os resultados estão apresentados a seguir:
Máquina 1
11,7 11,8 12,1 10,7 11,7 10,9 10,7 11,6 12,5 10,7 11,5 11,1
11,2 11,2 11,8 11,2 11,0 11,7 11,1 11,3 11,0 12,2 10,7 12,2
11,9 11,1 11,4 10,7 11,2 11,6 11,0 10,9 11,2 11,2 11,3 12,1
10,9 11,7 11,3 11,5
Máquina 2
11,4 11,5 11,5 10,4 11,0 9,9 10,5 10,8 11,4 11,5 10,9 10,2
11,1 11,0 10,2 11,2 11,9 10,8 11,2 11,0 10,2 11,5 10,9 10,1
11,2 10,7 11,8 11,1 10,4 11,8 11,9 10,7 10,8 10,8 10,4 10,8
11,2 10,8 10,6
Para cada máquina, calcule a média, a mediana, o desvio padrão, o coeficiente
de variação e o intervalo interquartil da variável teor de umidade e construa
48
o histograma e box-plot. A partir das medidas descritivas e dos histogramas e
box-plots, compare o desempenho das duas máquinas comentando os aspectos de
posição e variabilidade dos dados.
R:
Máquina 1 Máquina 2
Média = 11,365 Média = 10,95
Mediana = 11,25 Mediana = 10,9
Desvio Padrão = 0,4715 Desvio-Padrão = 0,5109
CV = 0,0415 CV = 0,0467
Quartil 1 = 11,0 Quartil 1 = 10,7
Quartil 3 = 11,7 Quartil 3 = 11,3
13. As instituições de poupança e investimento podem comercializar um tipo de se-
guro de vida conhecido como seguro de vida das instituições de poupança e inves-
timento(savings bank life insurance – SBLI ). O processo de aprovação consiste na
subscrição, que inclui a revisão da proposta; verificação das informações médicas
ou exames adicionais; e o estágio de compilação da apólice, durante o qual as
páginas da apólice são geradas e enviadas ao banco para que sejam então reme-
tidas. A capacidade de entregar as apólices aprovadas ao cliente em tempo hábil
é crítica para a instituição no que diz respeito à eficácia desse serviço. Durante
um período correspondente a um mês, foi selecionada uma amostra aleatória de
27 apólices aprovadas, e foram registrados os seguintes dados sobre o total de
tempo, em dias, para o processamento.
73 19 16 64 28 28 31 90 60 56
31 56 22 18 45 48 17 17 17 91
92 63 50 51 69 16 17
a) Calcule a mediana, o primeiro quartil e o terceiro quartil.
b) Construa o box-plot. Os dados são assimétricos? Em caso afirmativo, qual a
direção da assimetria?
c) O que você diria a um cliente que entrasse na instituição para adquirir esse
tipo de apólice de seguro e perguntasse quanto tempo leva o processo de
49
aprovação. R: a)Média=43,89, mediana=45, 1º quartil=18 e 3º quartil=63. b)A distribuição dos
dados é assimétrica à direita uma vez que existem algumas poucas apólices que demandam um período
de tempo excepcionalmente longo para ser aprovadas. d) A média aritmética do processo de aprovação é
43,89 dias, cinquenta por cento das apólices são aprovadas em menos de 45 dias e cinquenta por cento das
apólices são aprovadas entre 18 e 63 dias.
14. Uma agência bancária, localizada em uma área residencial, está preocupada com
o horário de pico durante o almoço, das 12h às 13h. O tempo de espera, em
minutos, coletados a partir de uma amostra aleatória de 15 clientes durante esse
horário, está apresentado a seguir:
9,66 5,90 8,02 5,79 8,73 3,82 8,01 8,35 10,49 6,68
5,64 4,08 6,17 9,91 5,47
Assim que um cliente entra na agência durante o horário de almoço, ele pergunta
ao gerente da agência quanto tempo deve esperar até ser atendido. O gerente
responde: “Quase certamente não mais de cinco minutos”. Avalie a exatidão
dessa afirmativa. R: A média aritmética e a mediana são, ambas, maiores do que cinco minutos. A
distribuição é assimétrica à direita, significando que existem alguns valores muito grandes. Além disso, 13 entre
os 15 clientes de bancos selecionados (ou 86,7%) tiveram tempos de espera superiores a 5 minutos. Portanto, o
cliente, está propenso a passar um tempo de espera superior a 5 minutos. O gerente superestimou os registros
dos serviços prestados pelo banco ao responder ao cliente.
15. Você está indeciso em comparar uma televisão e decide avaliar algumas informa-
ções estatísticas, fornecidas pelo fabricante, sobre a duração (em horas) do tubo
e imagem. Com que marca você ficaria?
Marca da TV GA FB HW
Média 8.000 8.200 8.000
Mediana 8.000 9.000 7.000
Desvio padrão 600 1.500 2.500
R:As médias são similares. A mediana da FB é mais alta, que é um fator positivo. Por outro lado, HW tem a
menor mediana e, portanto, essa marca deve ser desconsiderada. Notemos que o desvio padrão de FB é duas
50
vezes e meia maior do que o de GA. Como GA tem mediana não muito baixa e pouca variabilidade, parecer ser
a melhor opção. Portanto, é recomendado comparar a marca GA.
16. Um estudante está procurando um estágio para o próximo ano. As companhias
A e B têm programas de estágios e oferecem uma remuneração por 20 horas
semanais com as seguintes características (em salários mínimos). Qual companhia
é mais adequada?
Companhia A B
Média 2,5 2,0
Mediana 1,7 1,9
Moda 1,5 1,9
R: A companhia A tem 50% dos seus estagiários recebendo até 1,7 salários minimos e o valor com maior
frequência de ocorrência é 1,5. Como amédia é 2,5 deve haver alguns poucos estagiários com salário bem mais
alto, ou seja, valor alto com frequência pequena de ocorrência. A companhia B tem as três medidas bem
próximas indicando uma razoável simetria entre os salários altos e baixos. A opção do estudante dependerá de
sua qualificação. Se o estudante for bem qualificado, deve preferir a companhia A, pois terá mais chance de
obter um dos altos salários. Se tiver qualificação próxima ou abaixo dos outros estudantes, deve preferir a B
qua parece ter uma política mais homogênea de salários.
51
12 Noções de Inferência Estatística
12.1 Introdução
O objetivo principal da inferência estatística é fazer afirmações sobre características
de uma população, baseando-se em resultados de uma amostra.
Na inferência estatística a incerteza está sempre presente. No entanto, se o experi-
mento foi feito de acordo com certos princípios, essa incerteza pode ser medida.
Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para fazer inferências
e medir o grau de incerteza destas inferências. Esta incerteza é medida em termos de
probabilidades.
Suponha que em um celeiro existam 10 milhões de sementes de flores que podem
produzir flores brancas ou flores vermelhas. Deseja-se a seguinte informação: que
proporção, dessas 10 milhões de sementes, produzirá flores brancas?
Não é de interesse plantar todas as sementes para verificar a cor das flores pro-
duzidas. Vamos plantar algumas poucas e com base nas cores dessas poucas, fa-
zer alguma afirmação sobre a proporção (das 10 milhões) que produzirá flores bran-
cas. Não podemos fazer esta generalização com certeza, mas podemos fazer uma
afirmação probabilística, se selecionarmos as sementes que pertencerão à amostra
de forma adequada.
Suponha que foi retirada uma amostra aleatória (ao acaso) composta de 200 semen-tes da população acima. Observou-se que dessas sementes 120 eram de flores brancas e
80 de flores vermelhas. A proporção de flores brancas encontrada na amostra foi então
de 60
Como poderíamos utilizar o resultado de uma amostra para estimar a
verdadeira proporção de sementes de flores brancas?
52
Analisando o problema em questão com auxílio da teoria das probabilidades, pode-
se encontrar um intervalo em torno da proporção observada na amostra (60%) e afirmar
com bastante segurança que a proporção populacional de sementes de flores brancas
estará contida neste intervalo. Por exemplo, no problema acima, se admitíssemos uma
chance de erro de 5%, com o tamanho de amostra utilizado (n=200), a teoria estatística
permite afirmar que a proporção populacional de flores brancas está entre 53% e 67%.
Se os métodos estatísticos forem corretamente utilizados podemos garantir que é de
apenas 5% a probabilidade de estarmos fornecendo um intervalo que não contenha a
verdadeira proporção populacional. Mais tarde veremos como calcular este tipo de
intervalo.
12.2 Estatísticas, Parâmetros e Estimadores
Alguns conceitos básicos são necessários para o desenvolvimento da Inferência Es-
tatística:
• Parâmetro: qualquer valor calculado com base em todos os elementos da popu-
lação.
• Estatística: qualquer valor calculado com base (apenas) nos elementos da amos-
tra.
• Estimador: uma estatística destinada a estimar um parâmetro populacional.
• Estimativa: é o valor numérico do estimador com base nas observações amos-
trais.
Alguns exemplos de estatísticas que são também estimadores:
X̄ = X1 + X2 + · · · + Xn
n
(média amostral)
S2 =
n∑
i=1
(xi − x̄)2
n − 1 (variância amostral)
53
Símbolos mais comuns.
Estimador Parâmetro
Média X̄ µ
Variância S2 σ2
Proporção p̂ p ou π
12.3 Introdução à Amostragem
Usualmente é impraticável observar toda uma população, seja pelo alto custo, seja
por dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra da população. Se essa amos-
tra for bastante representativa, os resultados obtidos poderão ser generalizados para
toda a população.
Uma amostra muito grande pode implicar em custos desnecessários enquanto que
uma amostra pequena pode tornar a pesquisa inconclusiva. Assim, deve-se procurar
dentro das restrições impostas pelo orçamento, desenhar uma amostra que atinja os
objetivos, produzindo estimativas com menor imprecisão possível.
A experiência com amostragem é fato corrente no cotidiano. Basta lembrar como
um cozinheiro verifica o tempero de um prato que está preparando, como alguém testa a
temperatura de um prato de sopa, ou ainda como um médico detecta as condições de um
paciente através de exames de sangue. Porém, o uso inadequado de um procedimento
amostral pode levar a um viés de interpretação do resultado. Por exemplo, não mexer
bem a sopa antes de retirar uma colher para experimentar, pode levar a sub-avaliação da
temperatura do prato todo, com consequências desagradáveis para o experimentador.
O uso de amostras que produzam resultados confiáveis e livres de vieses é o ideal.
Assim, a maneira de se obter a amostra é tão importante que constitui uma especia-
lidade dentro da Estatística, conhecida como Amostragem. Os vários procedimentos
de se escolher uma amostra podem ser agrupados em dois grandes grupos: os chama-
dos planos probabilísticos e planos não-probabilísticos. O primeiro grupo reúne
todas as técnicas que usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amos-
tra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida a priori, de pertencer à
54
amostra. No segundo grupo estão os demais procedimentos, tais como: amostras in-
tencionais, onde os elementos são selecionados com auxílio de especialistas, e amostras
de voluntários, como ocorre em alguns testes sobre novos remédios.
Ambos os procedimentos têm suas vantagens e desvantagens. Os estatísticos prefe-
rem trabalhar com as amostras probabilísticas pois, têm toda teoria de probabilidade
e de inferência estatística para dar suporte às conclusões. Dessa forma, é possível
medir a precisão dos resultados, baseando-se na informação contida da própria amos-
tra. Planos de amostragem probabilísticos podem ser exemplificados pela amostragem
aleatória simples e pela amostragem estratificada.
Amostragem Aleatória Simples
Quando o sistema de referência (lista ou descrição das unidades da população) é
“perfeito”, isto é, quando ele lista uma a uma todas as unidades da população, é possí-
vel então usar um procedimento onde cada unidade é sorteada diretamente, com igual
probabilidade de pertencer a amostra. A melhor maneira para definir este plano é
descrevendo o processo de sorteio, que seria o seguinte: - “da relação de unidades do
sistema de referência sorteie, com igual probabilidade o primeiro elemento da amos-
tra, repita o processo para o segundo, e assim sucessivamente até sortear o último
elemento programado para a amostra”. As amostras assim obtidas definem o plano de
Amostragem Aleatória Simples que pode ser concebido com ou sem reposição.
Amostragem Estratificada
Informações adicionais podem aprimorar um desenho amostral. Por exemplo, em
uma pesquisa sobre renda familiar média, conhece-se de antemão as regiões da cidade
onde predominam moradias de diferentes classes de renda. Este conhecimento pode
ser usado para definir sub-populações homogêneas segundo a renda, e aí então sortear
amostras dentro de cada uma dessas regiões. Este procedimento é conhecido como a
divisão da população em estratos, e consequentemente, definem os planos de Amostra-
gem Estratificada.
55
12.4 Erros amostrais e Não-amostrais
O uso de um levantamento amostral introduz um tipo de erro, que pode ser resu-
mido na diferença entre o valor de certa característica na amostra e o parâmetro de
interesse na população. Esta diferença pode ocorrer apenas devido à particular amos-
tra selecionada, ou então devido a fatores externos ao plano amostral. Quando o erro
é devido à amostra selecionada é chamado de erro amostral e quando é devido à
fatores independentes do plano amostral (erros de medida, digitação, etc) é chamado
de erro não-amostral.
Considera-se um erro amostral aquele desvio que aparece porque o pesquisador
não levantou a população toda. Cada amostra possível de um plano acarreta em um
desvio. Vejamos o esquema que se segue que considera a média como a característica
de interesse. Vamos denotar por µ e X̄ a média populacional e a média amostral da
variável, respectivamente.
No caso da média, o estudo do erro amostral consiste basicamente em estudar o
comportamento da diferença (X̄ − µ) quando X̄ percorre todas as possíveis amostras
que poderiam ser formadas através do plano amostral escolhido. Conhecendo-se a
distribuição amostral de X̄ pode-se avaliar sua média e seu desvio padrão. Neste caso
particular o desvio padrão recebe o nome de erro padrão de X̄ .
56
12.5 Distribuições Amostrais
Diferentes amostras extraídas da população irão originar valores distintos para a
estatística considerada. Por este motivo, dizemos que as estatísticas são variáveis
aleatórias, já que seu valor não pode ser predito com certeza antes da amostra ter sido
extraída. Além disso, as estatísticas, como funções de variáveis aleatórias, são também
variáveis aleatórias, e, portanto, têm uma distribuição de probabilidade, esperança e
variância.
A distribuição de probabilidade de uma estatística quando consideramos todas as
amostras possíveis de tamanho n é denominada de distribuição amostral.
12.5.1 Distribuição Amostral da Média
A distribuição amostral da média X̄ de amostras aleatórias simples de tamanho
n, extraída de uma população que tem média µ e desvio padrão σ, tem as seguintes
características:
E(X̄) = µ.
V (X̄) = σ2
n
.
Caso a população tenha distribuição normal com média µ e variância σ2, a distri-
buição amostral da média X̄, é normal com média µ e desvio padrão σ√
n
.
A distribuição amostral da média X̄, de amostrasaleatórias simples de tamanho n
extraídas de uma população não-normal com média µ e variância σ2, é aproximada-
mente normal com média µ e desvio padrão σ√
n
, quando n é suficientemente grande.
Este resultado é uma aplicação de um importante teorema de probabilidade, chamado
Teorema Central do Limite. Para a utilização deste resultado, é usual considerar
que o tamanho n da amostra é suficientemente grande quando n é pelo menos 30.
Exercícios:
1) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição
normal, com média µ e desvio padrão de 10g.
57
a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes
tenham menos do que 500g. R.:512,8 g.
b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4
pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg? R.:0,0052.
2) No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de
controle. De hora em hora, será retirada uma amostra de 4 pacotes, e estes serão
pesados. Se a média da amostra for inferior a 495g ou superior a 520g para-se a
produção para reajustar a máquina, isto é reajustar o peso médio.
a) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária? R. 0,0749 .
b) Se o peso médio da máquina desregulou-se para 500g, qual a probabilidade de
continuar-se a produção fora dos padrões desejados? R.: 0,8413 .
c) Para uma população com desvio padrão igual a 10, qual deve se o tamanho da
amostra para que a diferença da média amostral para a média populacional, em
valor absoluto, seja menor que 1, com probabilidade igual a 0.99 ? R.: 666.
12.5.2 Distribuição Amostral da Proporção
Considere que a proporção de elementos numa população com determinada carac-
terística é p. Assim, para cada elemento da população podemos definir uma variável
X, tal que
X =
 1, se o elemento é portador da característica;
0, se o elemento não é portador da característica.
Isto é, X ∼ Bernoulli(p) = Binomial (1; p) , e portanto E(X) = p e V(X) = p(1−p).
Seja X1, X2, X3, . . . , Xn uma amostra aleatória simples retirada dessa população,
e seja Sn = ∑n
i=1 Xi o total de elementos portadores da característica na amostra.
Tem-se que Sn ∼ Binomial (n; p).
Defina como p̂ a proporção de elementos portadores da característica na amostra,
isto é,
p̂ = Sn
n
=
n∑
i=1
Xi
n
= X̄.
58
Utilizando o Teorema Central do Limite, tem-se que a distribuição amostral de p̂ é
aproximadamente N
(
p; p(1−p)
n
)
, quando n é suficientemente grande (np ≥ 5 e n(1 −
p) ≥ 5).
Exercícios
1) Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo
de 10% de itens defeituosos na produção. A cada 60 minutos sorteia-se uma amos-
tra de 50 peças, e, havendo mais de 15% de defeituosos, pára-se a produção para
verificações. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária? R.: Resp.: 0,119.
2) Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber quantos voluntários se deva
aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra
difira de menos de 2% da proporção verdadeira de imunizados na população, com
probabilidade de 90%. Qual tamanho da amostra a escolher? Resp: 1702.
12.5.3 Outra distribuição amostral
Em muitas situações, o conhecimento do valor de σ2 não é razoável frequente, uma
estimativa para σ é fornecida pela amostra. Suponha que X1, . . . , Xn seja uma amostra
aleatória de uma população normal, com média µ e variância σ2, e sejam X̄ e S2 a
média e a variância amostrais, respectivamente. Então T = (X̄ − µ)/(S/
√
n) segue
uma distribuição t ou t de Student, com ν = n − 1 graus de liberdade. A função de
densidade de T é dada por:
f(t) =

[
(ν+1)/2
]
[
ν/2
]
√
πν
(
1 + t2
ν
)−(ν+1)/2
, −∞ < t < ∞;
0, caso contrário.
A média e a variância da distribuição t são 0 e ν/(ν+2) para ν < 2, respectivamente.
A distribuição t de Student é contínua e simétrica com média igual a zero. Sua
aparência é bastante parecida com a normal padrão, veja Figuras 12.1.
Ambas as distribuições tem forma de sino, mas a distribuição t tem mais probabi-
lidade nos extremos. A qualificação “com n-1 graus de liberdade” é necessária, porque
59
Figura 12.1: Gráficos da função densidade da distribuição t de Student para alguns
valores de graus de liberdade.
para cada valor diferente do tamanho da amostra n existe uma distribuição t de Stu-
dent específica. O número de graus de liberdade (gl) é o parâmetro da distribuição
t de Student. Assim como a distribuição normal padrão a distribuição t de Student
também é tabelada. A tabela fornece valores de t(α) (para vários graus de liberdade)
sendo P (T ≥ tα;ν) .
A seguir, é mostrado como usar a tabela da distribuição t de Student: P (T ≥
t0,05;10) = P (T ≥ 1, 812) = 0, 05.
1. Para uma distribuição T, determine:
a) P (T < 2, 365) quando ν = 7 b) P(-1,356<T<2,179) quando ν = 12;
60
R.: 0,975 e 0,875.
2. Um engenheiro químico afirma que a média populacional do rendimento de certo
lote do processo é 500 gramas por mililitro de matéria-prima. Para verificar essa
afirmação, ele amostra 25 lotes a cada mês. Se o valor t calculado ficar entre
˘t0,05;24 e t0,05;24, ele fica satisfeito com sua afirmação. A que conclusão ele de-
veria chegar em relação a uma amostra que tem média gramas por mililitro e
desvio padrão 40 gramas? Assuma que a distribuição dos rendimentos é aproxi-
madamente normal. R.: O valor de t = ((518 − 500)/(40/5)) = 2, 25. Este valor está fora do intervalo
[−1, 711; 1, 711].
13 Estimação
Os parâmetros em geral são desconhecidos. A inferência estatística consiste em,
através de uma amostra, “estimar” os valores dos parâmetros, ou também testar
se algumas hipóteses são válidas sobre determinados parâmetros. Estes são os pro-
blemas da inferência paramétrica conhecidos como problemas de estimação e
testes de hipóteses, respectivamente.
Exemplos: Problemas de estimação
1) Estimar a proporção de peças defeituosas num lote.
2) Estimar o peso médio de um determinado produto de uma linha de produção.
Problemas de testes de hipóteses
1) Testar a afirmação de que o peso médio de um determinado produto de uma linha
de produção é 500 g.
2) Testar a afirmação de que a proporção de peças defeituosas é menor que 4% do lote.
Exemplo 12.1: Queremos investigar a duração de vida de um novo tipo de lâm-
pada, pois acreditamos que ela tenha duração maior do que as fabricadas atualmente.
Cem lâmpadas são deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada
lâmpada (T ) é registrada.
61
POPULAÇÃO: todas as lâmpadas fabricadas ou que venham a ser fabricadas por
esta fábrica.
AMOSTRA: cem lâmpadas selecionadas.
Em geral, neste tipo de problema é adotada a função de densidade exponencial para
duração T ∼ exp(α).
Objetivo: Fazer inferência sobre α Vale lembrar que E(T ) = 1
α
Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação pon-
tual e a estimação intervalar.
13.1 Estimação Pontual
Procura encontrar um valor numérico único que esteja bastante próximo do verda-
deiro valor do parâmetro. Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro
que podemos estar cometendo.
Estimadores pontuais razoáveis dos principais parâmetros populacionais.
Parâmetro Estimador
Média (µ) X̄ = 1
n
∑n
i=1 Xi
Variância (σ2) S2 = 1
n−1
n∑
i=1
(Xi − X̄)2
Desvio padrão S =
√√√√ 1
n−1
n∑
i=1
(Xi − X̄)2
Proporção (p) p̂ = X
n
,
em que n = tamanho da amostra e X = número de elementos da amostra
que possuem a característica
Podem existir outros estimadores pontuais para esses parâmetros. Assim, é ne-
cessário definir propriedades desejáveis para os estimadores de maneira que se possa
escolher qual estimador pontual de um determinado parâmetro é o melhor a ser usado.
Este assunto não será abordado nesta apostila.
Muito provavelmente uma estimativa pontual não coincide exatamente com o valor
verdadeiro do parâmetro populacional que está sendo estimado e, além disto, esta
62
estimativa não traz associadaa ela uma medida de sua precisão. A estimação intervalar
que será apresentada a seguir ajuda a resolver este tipo de dúvida.
13.2 Estimação Intervalar
Procura determinar um intervalo que abranja o valor do parâmetro, com certa
margem de segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que
podemos estar cometendo. Como mencionado anteriormente, os estimadores pontuais
especificam um único valor para o estimador e este procedimento não permite julgar
qual a possível magnitude do erro.
Daí surge à idéia de construirmos os intervalos de confiança. De um modo geral,
nos basearemos na amostra para construir um intervalo que com alto grau (ou nível)
de confiança contenha o verdadeiro valor do parâmetro. Grau de confiança é a proba-
bilidade do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro. É também
chamado de nível de confiança e geralmente expresso em porcentagem.
Formalizando um pouco, se denotarmos o parâmetro de interesse por θ, desejamos
obter um intervalo com limite inferior I e limite superior S tal que
P (I < θ < S) = 1 − α,
em que α é um valor pequeno, ou seja 1 − α é próximo de 1. Os limites deste intervalo
são variáveis aleatórias pois dependem da amostra selecionada. Um intervalo deste tipo
é denominado intervalo de 1 − α(×100)% confiança para o parâmetro θ. Valores
de α mais comumente usados são:
α = 0, 10 ⇒ 1 − α = 0, 90 ou 90%
α = 0, 05 ⇒ 1 − α = 0, 95 ou 95%
α = 0, 01 ⇒ 1 − α = 0, 99 ou 99%
A precisão com que se conhece θ depende da amplitude deste intervalo dada por
S˘I. Quanto menor esta amplitude melhor determinado estará o valor do parâmetro.
Para esclarecer o conceito de intervalo de confiança, suponha que retiremos um
grande número de amostras de tamanho n (fixo) da população em estudo e para cada
63
amostra, construamos um intervalo. Os limites dos intervalos resultantes variarão de
amostra para amostra. Por exemplo, ao desejar um intervalo de confiança de 90%
para estimar a média de uma população, uma pessoa pode retirar uma amostra que
dê um intervalo entre 48,5 e 51,5. Por outro lado, uma segunda pessoa, baseada em
outra amostra retirada da mesma população, calculou o intervalo entre 47,9 e 52,9,
aparentemente gerando uma dúvida sobre qual dos intervalos contém o verdadeiro
valor da média.
Ocorre que se 100 desses intervalos fossem calculados a partir de 100 amostras
diferentes, deve-se esperar que em torno de 90 desses intervalos contenham o valor da
verdadeira média, embora não se saiba quais são estes intervalos, uma vez que a média
é desconhecida. Na prática trabalhamos em geral com apenas uma amostra e obtemos
um único intervalo.
A figura a seguir ilustra bem o conceito de intervalo de confiança.
O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1−α(×100)% desses intervalos.
Observe que algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro
valor do parâmetro da população. Quando se retira uma amostra e se calcula um
intervalo de confiança, não se sabe na verdade, se o parâmetro da população se encontra
naquele intervalo calculado. O importante é saber que se está utilizando um método
com 1 − α(×100)% de probabilidade de sucesso.
64
Os intervalos de confiança são construídos a partir da distribuição amostral de uma
estatística. A seguir são descritos alguns intervalos.
13.2.1 Intervalo de Confiança para a Média de uma População
A média é uma importante característica da população. Vejamos como obter in-
tervalos de confiança para este parâmetro populacional. Temos que distinguir algumas
situações que podem surgir na prática:
1. Amostras pequenas (n < 30)
• População Normal
• População não Normal
2. Amostras grandes (n ≥ 30)
• População Normal
• População não Normal
Para pequenas amostras os procedimentos estatísticos de inferência paramétrica
exigem que se verifique a normalidade da população e outras distribuições de probabi-
lidade (por exemplo a distribuição t de Student) devem ser estudadas a fim de utilizar
os procedimentos adequados. Além disso, se a normalidade não for aceitável, no caso
de amostras pequenas, devemos utilizar procedimentos alternativos, por exemplo, in-
ferência não-paramétrica.
Para amostras suficientemente grandes os procedimentos simplificam bastante e
mesmo sem conhecermos a distribuição da população, as inferências podem ser feitas
com base na distribuição normal mesmo que a população não seja normal.
• Amostras pequenas
1) Distribuição normal, σ2 = σ2
0 (conhecido)
Esta situação é um tanto quanto rara na prática, pois embora a hipótese de nor-
malidade seja razoável em muitos casos, dificilmente se conhece a variância de uma
65
população quando sua média é desconhecida. Algumas vezes o conhecimento de σ2
pode provir de dados históricos sobre a população de interesse ou de resultados obtidos
em estudos similares ao que está sendo realizado.
Sabemos que Z =
X̄−µ
σ√
n
segue uma distribuição normal padrão. Assim,
P (−zα
2
< Z < zα
2
) = P (−zα
2
<
X̄ − µ
σ/
√
n
< zα
2
) = 1 − α.
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1 − α(×100)% para µ é dado por:[
X̄ − zα
2
σ0√
n
; X̄ + zα
2
σ0√
n
]
Ilustração do nível de confiança de 95%.
Exemplo 12.2: Um pesquisador está estudando a resistência média de um de-
terminado material. Ele sabe que esta variável é normalmente distribuída com desvio
padrão de 2 unidades. Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2
unidades obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança
para a resistência média com um nível de confiança de 95%.
Temos que X̄ = 6, 222 , n = 9, σ0 = 2 e para obtermos um intervalo de 95% de
confiança zα
2
= 1, 96. Substituindo estes valores na fórmula acima, obtemos
[
6, 222 − 1, 96 2√
9
; 6, 222 + 1, 96 2√
9
]
=
[
4, 915, 7, 529
]
66
Então podemos afirmar com 95% de confiança que a resistência média (µ) do ma-
terial está entre 4,915 e 7,529 unidades.
2) Distribuição normal, σ2 = σ2 (desconhecido)
Neste caso, utilizamos que a distribuição amostral da estatística T = (X̄−µ)/(s/
√
n)
) é a distribuição t com n−1 graus de liberdade. O intervalo de confiança para a média
µ é obtido de
P
(
− tα
2 ,n−1 < T < tα
2 ,n−1
)
= P
(
− tα
2 ,n−1 <
X̄ − µ
S/
√
n
< tα
2 ,n−1
)
= 1 − α.
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1 − α(×100)% para µ é dado por:
[
X̄ − tα
2 ,n−1
S√
n
; X̄ + tα
2 ,n−1
S√
n
]
Exemplo 12.3: O consumo diário de alimentos observado em certa amostra da
população é, em calorias (×100), igual a: 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 14;
14; 15; 15; 16; 16. Construir um intervalo de confiança para a média com um nível de
confiança de 90%.
[
X̄ − tα
2 ,n−1
S√
n
; X̄ + tα
2 ,n−1
S√
n
]
=
[
13, 3125 − 1, 7531, 7404
4 ; 13, 3125 + 1, 7531, 7404
4
]
=
[
12, 543; 14, 073
]
Com 90% podemos afirmar que o consumo médio de calorias, na população da qual
essa amostra foi retirada, está entre 12,543 e 14,073.
• Amostras Grandes - População normal ou não-normal
Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a dis-
tribuição da população, os limites do Intervalo de Confiança para a média (µ) poderão
ser calculados com base na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos
67
utilizar o desvio padrão amostral s no lugar de σ (desvio-padrão populacional). Neste
caso o Intervalo de Confiança para a média µ é dado por:
[
X̄ − zα
2 ,n−1
S√
n
; X̄ + zα
2 ,n−1
S√
n
]
Exemplo 12.4: Resistência à tração de 31 corpos de prova (ordenados).
131 132 134 135 136 135 138 139 140 142 143 144 144 145 146 146
147 147 148 149 150 150 151 151 152 152 153 153 154 160 160
Estabelecer um intervalo de confiança de 95% para a média populacional.
Solução:
Temos que, X̄ = 145, 39 e s = 7, 75.
Como o tamanho da amostra já pode ser considerado suficientemente grande para
uma aproximação normal, o intervalo de confiança para a média populacional é:
[
X̄ − zα
2 ,n−1
S√
n
; X̄ + zα
2 ,n−1
S√
n
]
=
[
145, 39 − 1, 967, 75√
n
, 145, 39 + 1, 967,75√
n
]
=
[
142, 66, 148, 12
]
Podemos então afirmar que com nível de confiança de aproximadamente de 95% a
resistência média do concreto está entre 142,66 e 148,12 kg/cm2.
Exemplo 12.5 (Werkema, 1996): Um dos principais produtos de uma empresa
siderúrgica é a folha-de-flandes com têmpera T4 RC, que é uma folha de aço de baixo
teor de carbono, revestida em ambas as faces com uma camada de estanho, empre-
gada principalmente na fabricação de recipientes utilizados para o acondicionamento
de alimentos.
Os limites de especificação para a dureza final das folhas-de-flandres são:
LIE = 58,0 HR e LSE = 64,0 HR,
68
em que LIE e LSE representam os limites inferior e superior de especificação, res-
pectivamente, e HR representa a unidade de dureza definida como índice de dureza
Rockwell. Nos últimos meses ocorreu um aumento da produção de folhas-de-flandres
com dureza final fora da faixa de especificação. A empresa concentrou sua atenção
no processo de RECOZIMENTO CONTÍNUO (RC), por ser este o principal processo
responsável pela dureza das folhas-de-flandres. Como foi verificado que o processo
estava sob controle estatístico, a indústria decidiu estimar a dureza média das folhas-
de-flandres (µ), a variabilidade das medidas de dureza (σ), a proporção de folhas-de-
flandres com dureza fora da faixa de especificação. Com este objetivo, foram coletados
50 observações da dureza das folhas-de-flandres produzidas pela empresa, que estão
listadas abaixo:
Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela indústria siderúrgica
61,0 61,0 60,3 60,2 58,7 60,0 60,0 60,9 61,2 59,1 60,0 59,3 59,8 60,1
58,6 59,6 60,5 60,5 60,2 60,5 60,5 60,1 60,7 60,3 60,8 59,9 60,1 60,2
60,6 61,0 60,0 61,1 59,8 60,1 60,8 60,7 60,0 59,8 59,0 60,0 60,2 60,8
61,6 59,8 60,4 60,2 59,7 60,3 60,4 60,2
▷ Dureza média das folhas-de-flandres: X̄ = 1
n
n∑
i=1
Xi = 60,212 HR.
• S = 1
n−1
n∑
i=1
(Xi − X̄)2 = 0, 6107HR
• Proporção amostral de folhas-de-flandres com dureza fora da faixa de especifica-
ção(58,0 – 64,0 HR):p̂ = 0, 00
A equipe de trabalho da empresa suspeita que a dureza média da folha-de-flandres
(µ), resultante do processo de recozimento contínuo, é diferente do valor nominal da
especificação (61,0 HR).
A equipe técnica da indústria passou a ter a seguinte dúvida: a obtenção do resul-
tado X̄ = 60, 2 < 61, 0 já era suficiente para que se pudesse concluir, com bastante
segurança, que o processo de recozimento contínuo estava centrado abaixo do valor
69
nominal da especificação? Essa dúvida pode ser solucionada por meio da construção
de um intervalo de confiança para a dureza média (µ) das folhas-de-flandres produzidas
pelo processo:
60, 21 ∓ 1, 96 × 0, 61√
50
=
[
60, 04; 30, 38
]
O intervalo de confiança não contém o valor nominal da especificação (61,0 HR).
Portanto, a equipe técnica da indústria pode concluir, com 95% de confiança, que o
processo estava centrado abaixo do valor nominal e então, deve-se passar a estudar o
processo de recozimento contínuo para descobrir as causas deste deslocamento.
13.2.2 Intervalo de Confiança para uma Proporção Populacional
Em muitas situações pode ser de interesse construir um intervalo de confiança para
a proporção de elementos da população que possuem alguma característica de interesse
(p).
Seja X o no de elementos de uma amostra de tamanho n que apresenta a caracte-
rística de interesse. Já vimos que um estimador de p é:
p̂ = X
n
Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, é possível construir um in-
tervalo de (1 − α) × 100% de confiança para p, baseado em Z = p̂ − p√
p(1 − p)
n
que segue
uma distribuição normal padrão. Portanto, temos que
P
(
− zα
2
< Z < zα
2
)
= P
(
− zα
2
<
√
n(p̂ − p)√
p(1 − p)
< zα
2
)
= 1 − α.
Como o valor de p não é conhecido, uma solução é substituir p(1 − p) por p̂(1 − p̂).
Assim, o intervalo de confiança de 1 − α(×100)% para a proporção populacional p é
dado por:
70
[
p̂ − zα
2
√
p̂(1 − p̂)
n
; p̂ + zα
2
√
p̂(1 − p̂)
n
]
Exemplo 12.6: Examinam-se 98 animais, encontrando-se 53 infectados com de-
terminado vírus. Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção p de
animai infectados.
Solução:
n = 98 (pode ser considerada grande)
p̂ = 53
98 = 0, 541 (1 − p̂) = 0, 459
α = 0, 05 e zα
2
= 1, 96
[
0, 541 − 1, 96
√
(0, 541)(0, 459)
98 ; 0, 541 + 1, 96
√
(0, 541)(0, 459)
98
]
Observação: No gerenciamento de processos são muito comuns as situações em que
desejamos comparar dois grupos de interesse, mantendo o controle dos riscos associados
ao estabelecimento de conclusões incorretas. Consideremos por exemplo uma indústria
que opera duas linhas de produção. Muito provavelmente os técnicos da empresa terão
interesse em comparar as duas linhas, com o objetivo de verificar se estão trabalhando
de forma similar. As comparações de dois grupos geralmente podem ser traduzidas,
na linguagem estatística, em comparações de duas médias, duas variâncias ou duas
proporções. Este assunto não será abordado nesta apostila.
14 2 ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Maurício Lordelo, Rosana
Castro.
Revisada: Giovana e Silvia.
1) De sua opinião sobre os tipos de problemas que surgirão no seguinte plano de amos-
tragem. Para investigar a proporção de estudantes da UFU, favoráveis à mudança
71
do início das atividades das 7:10 h para as 8:00 h, decidiu-se entrevistar os 30 pri-
meiros estudantes que chegassem no bloco 4K, na segunda – feira. R.: Não representa a
população. Somente um dia, em um prédio e único horário.
2) Com o objetivo de realizar uma pesquisa de mercado entre homens consumidores
de cigarros, residentes em Salvador, no mês de abril de 2010, foram consultados
200 homens casados, com 40 anos ou mais, consumidores de cigarros com filtro, em
Porto Alegre no mês de abril de 2010.
a) Identifique a população e a amostra considerada. R: População: Homens fumantes
residentes em Porto Alegre e amostra: 200 homens casados, com 40 anos ou mais, consumidores de cigarros
com filtro.
b) Comente sobre a representatividade da amostra considerada. R: Não representa a
população, pois foi pesquisados apenas homens casados com 40 anos ou mais.
3) Suponha que uma população apresenta grande variabilidade em relação a uma de-
terminada característica de interesse. Esta população é, então, dividida em 4 grupos
homogêneos para a característica de interesse, com tamanhos, respectivamente, N1
= 90, N2 =120; N3 = 60 e N4 = 480.
a) Determine qual a técnica de amostragem mais adequada a ser utilizada?
b) Pretende-se retirar uma amostra aleatória simples com reposição de 100 ele-
mentos da população. Quantas amostras devem ser retiradas de cada grupo,
supondo que será retirada uma amostra proporcional ao tamanho dos grupos?
a)R: Amostragem estratificada b) n1=12, n2=16, n3=8 e n4=64
4) Nos itens apresentados adiante, identifique qual o tipo de amostragem mais ade-
quado a ser utilizado em cada situação.
a) Ao escalar um júri um tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente 4
pessoas brancas, 3 morenas, e 4 negras.
b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões separa-
dos, mistura e extraí 10 nomes.
72
c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila
de espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10
pessoas da fila. R: a) : Estratificada ; b) : Aleatória simples sem reposição, c) Amostragem sistemática.
5) Analise as situações descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por amos-
tragem ou por censo, justificando sua resposta.
a) Numa linha de produção de empacotamento de café, observar o peso dos pacotes
produzidos.
b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos, analisar suas idades.
c) Observar se a água de uma lagoa está contaminada.
d) Verificar a carga horária diária de trabalho dos 20 funcionários da cozinha de
um restaurante
e) Pesquisa de opinião eleitoral para um candidato agovernador do estado da Bahia.
R.a)Amostragem, b)Censo, c)Amostragem, d)Censo, e)Amostragem
6) Para se ajustar uma máquina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento.
Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento destas correias pode ser
considerado como uma variável aleatória com distribuição normal, de média 60,7 e
desvio padrão 0,8 cm. Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle
de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita
o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina.
Calcule a probabilidade de aceitação do lote. R: 0,9594.
7) Um processo de encher garrafas de vinho fornece 10% de garrafas com volume abaixo
do especificado. Extraída uma amostra aleatória de 400 garrafas enchidas por esse
processo, qual a probabilidade de a proporção amostral de garrafas com volume
abaixo do especificado esteja entre 9% e 11%? R: 0,4971.
8) Dada uma amostra de tamanho 24 de uma distribuição normal, determine k de
modo que:
a) P(-2,069 < T < K)=0,965.
73
b) P(K < T < 2,807)=0,095.
c) P(-K < T < K)= 0,90. R: a) 2,5; b) 1,319; c) 1,7139.
9) Se recolhesse 200 amostras de dimensão 40 a partir da mesma população, de modo
que com elas construísse 200 intervalos de confiança a 99%, quantos destes interva-
los esperariam que contivessem o verdadeiro valor da proporção de estudantes em
análise? R:198.
10) Interprete e comente as afirmações abaixo:
a) “A média de salário inicial para recém–formados em Engenharia está entre 7 e
9 salários mínimos, com confiança de 95% ”
b) “Quanto maior for o tamanho da amostra, maior é a probabilidade de a média
amostral está próxima da verdadeira média populacional”. R: a)O intervalo, acompa-
nhado da confiança, é a forma correta de apresentar a informação. A verdadeira média está contida no intervalo
com 95% de confiança. Não confundir confiança com probabilidade. b) A afirmação está correta.
11) Num estudo de mercado foi encontrado o seguinte intervalo de confiança a 95% para
a proporção de pessoas receptivas a um novo tipo de espuma de banho a lançar em
breve no mercado: [52%; 61%] . Comente as seguintes afirmações, indicando se
estas lhe parecem corretas ou incorretas:
a) 95% das pessoas vão passar a usar a nova espuma de banho.
b) A probabilidade da nova espuma de banho alcançar uma quota de mercado de
50% é de 0.95.
c) A quota de mercado poderá ser, com 95% de confiança, de 56.5% (valor inter-
médio do intervalo);
d) O resultado obtido indica apenas que é oportuno proceder ao lançamento da
nova espuma de banho. R: a) incorreta; b) incorreta ; c) incorreta d) correta.
12) Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das co-
nexões de seus clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. Mais
74
especificamente, deseja estimar a proporção P de usuários que demoram 60 minutos
ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clientes que uti-
lizam esse provedor foi coletada e o tempo de utilização de cada um foi registrado,
fornecendo as seguintes medidas desse tempo (em minutos):
25 28 28 40 52 15 120 34 65 78 42 16 44
27 22 36 50 80 15 45 23 34 14 58 32 90
133 48 19 17 28 39 15 40 33 68 27 37 42
59 62 73 24 28 40 70 19 46 43 31 60
a) Dê uma estimativa pontual para proporção de usuários que demoram 60 minutos
ou mais para realizarem suas operações.
b) Construa uma estimativa intervalar com 95% de confiança para proporção de
usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações. R:
a) 0,22; b) [0,107; 0,334]
13) O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo
do tipo de veículo. Porém, precisamos de informações sobre o consumo médio.
Para tal coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos o seu
consumo.
a) Quem seria um estimador pontual do consumo médio para todos dos automóveis
desse modelo?
b) Se a amostra forneceu um consumo médio de 9,3 km/l e desvio padrão de 2
km/l. Construa um intervalo de confiança de 94% para a média de consumo
desses carros.
c) Se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra,
é de 1,5 km/l; qual teria sido o coeficiente de confiança. R: a) Média amostral; b)[8,71;
9,89], c)98,22%
75
14) Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de
qualidade de seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais
18 apresentaram níveis de desgaste acima do tolerado. Construa um intervalo de
confiança para a proporção de pastilhas com desgaste acima do tolerado, com um
grau de confiança de 95%. R: [0,01635%; 0,04365%]
15) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição apro-
ximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média
das lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas.
a) Construir um intervalo de confiança para µ ao nível de significância de 1%;
b) Qual o valor do erro de estimação cometida em a?
c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com
99% de probabilidade de acerto? R: a)[974,2 ; 1025,8 ] ; b) 25,8 hs; c) 10609.
16) No total de 40 estabelecimentos que se dedicam ao mesmo ramo de comércio, foram
obtidos os seguintes dados, relativos aos gastos mensais, em unidades de R$ 1.000,00.
29 6 34 12 15 31 34 20 8 30 8 15 24 22 35 31 25 26 20 10
30 4 16 21 14 21 16 18 20 12 31 20 12 18 12 25 26 13 10 5
a) Calcule os parâmetros média e desvio padrão. R:Média=19,475 e Desvio padrão=8,756.
b) Selecione desta população uma amostra simples ao acaso de 30 elementos e
calcule a média e o desvio padrão amostral. R:Para selecionar a amostra utilize algum
mecanismo aleatório (tabela de número aleatório, excel, etc.). Não conseguindo fazer peça ajuda do professor.
17) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retirou-se uma amostra aleatória
de 400 válvulas, obtém-se o tempo de vida útil das válvulas, em horas. Os resultados
estão adiante.
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
76
Tempo de vida útil das válvulas Número de válvulas
500 ⊢ 600 27
600 ⊢ 700 94
700 ⊢ 800 151
800 ⊢ 900 97
900 ⊢ 1000 31
Total 400
b) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa
752,75 ± 7,84? R: a) [739,5 ; 766,0] , b) 663.
18) Uma unidade fabricante da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo pe-
ríodo. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para teste.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada,
construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use um
nível de confiança de 95%.
b) Verifique se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de con-
fiança, com erro máximo de 0,5%, para proporção de chips adequados. Caso
contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? R: a) [92,9%; 97,1%] b)12.599.
19) Uma amostra de 28 peças forneceu os seguintes pesos:
250 265 267 269 271 275 277 281 283 284
287 289 291 293 293 298 301 303 306 307
307 309 311 315 319 322 324 328
Considere que a variável peso seja normalmente distribuída. Por meio da construção
do Intervalo de Confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela
qual o peso médio deve ser 300 Kg. Adote α = 5%. R: a)[285,98; 301,51]
20) Suponha uma amostra aleatória de 10 contas correntes em uma grande loja de uma
cadeia, com um saldo devedor médio de 27,60 dólares. Admita que o desvio padrão
de todos os saldos é de 12,00 dólares.
77
a) Calcule o intervalo de 95% de confiança para a média de todos os saldos. Suponha
normalidade.
b) Explicar ao vice-presidente da firma o significado de sua resposta (a), em termos
tão simples quanto possíveis. R: a)[20,16 ; 35,04].
21) Para avaliar a dureza de um material plástico recolheu-se uma amostra aleatória de
oito elementos. Os resultados obtidos foram:
8∑
i=1
xi = 39, 1 e
8∑
i=1
(xi − x̄)2 = 0, 23
Supondonormalidade para a variável de estudo, responda os itens adiante.
a) Determine uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão da
dureza do material plástico.
b) Encontre um intervalo a 95% de confiança para a média. R: a) = 4,89, s=0,181; b)[4,74;
5,04].
22) A cadeia de hotéis American Resort dá um teste de aptidão aos candidatos a em-
prego, e considera fácil uma questão do tipo múltipla escolha se ao menos 80%
das respostas são corretas. Uma amostra aleatória de 6503 respostas a determi-
nada questão apresenta 84% de respostas corretas. É admissível que a questão seja
realmente fácil? Justifique (Use α= 5%). R: [ 83,1% ; 84,9%]. Sim.
23) Os Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para deter-
minar a proporção p de estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas.
Como é impossível entrevistar todos os 2000 estudantes em um tempo razoável,
decide-se fazer uma amostragem aleatória simples dos estudantes:
a) Determinar o tamanho de amostra (número de estudantes a serem entrevistados)
necessário para estimar p com um erro máximo de 0,05 e nível de confiança de
95%. Assumir que não há nenhuma informação a priori disponível para estimar
p.
78
b) Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de p de estudantes
que sentem que a representação estudantil atende adequadamente as suas neces-
sidades. Com um erro máximo de 7% e nível de confiança de 95%, determinar
o tamanho de amostra para estimar p. Utilizar a informação de uma pesquisa
similar conduzida há alguns anos, quando 60% dos estudantes acreditavam que
estavam bem representados.
c) Qual o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pes-
quisa? R: a)385; b)189; c) Para atingir ambos os objetivos da pesquisa deverá considerar a maior amostra,
que é a de 385 estudantes.
24) Um gerente de uma filial de uma cadeia de livrarias deseja estudar as característi-
cas dos clientes de sua loja, que se localiza perto do campus de uma Universidade
Federal. Ele decidiu concentrar seu estudo em duas variáveis: o valor gasto pelos
clientes e se os clientes estão interessados em adquirir vídeos educativos relaciona-
dos às áreas de interesses (vídeos sobre economia, estatística, pesquisa operacional,
etc.). Foi selecionada uma amostra aleatória de 70 clientes e os resultados foram os
seguintes: o valor gasto, em média, por cliente foi de R$28,52 com desvio-padrão
de R$11,39 e 28 clientes declararam interesse em adquirir os vídeos.
a) Determine o intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro valor médio gasto
por cliente.
b) Determine o intervalo de confiança de 99% para a verdadeira proporção de cli-
entes que declararam interesse em adquirir os vídeos educativos.
c) Para o nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra necessário
para que o erro cometido na estimação da proporção de clientes que declararam
interesse em adquirir vídeos educativos seja de, no máximo, 5%.
d) Para um nível de confiança de 99%, qual deve ser o tamanho da amostra para
que o erro cometido na estimação do valor médio gasto por cliente seja de, no
máximo, R$4,00? R: a)[25,85; 31,19]; b)[0,249; 0,551]; c)369; d)54.
79
15 Noções de Testes de Hipóteses
Outro tipo de problema da Inferência Estatística é o de testar se uma conjectura
sobre determinada característica de uma ou mais populações é, ou não, apoiada pela
evidência obtida de dados amostrais.
Conjectura → hipótese estatística
Regra de decisão → teste de hipóteses
Alguns exemplos:
1) Testar se um novo tipo de fertilizante é melhor que o fertilizante padrão.
2) Testar se um novo método de fabricação de lâmpadas aumentará o tempo médio de
vida das lâmpadas.
3) Testar se um método de preservar alimentos é melhor que outro, no que diz respeito
à retenção de vitaminas.
4) Determinar qual de dois tratamentos é mais eficiente (problema de duas amostras)
Consideremos o exemplo das lâmpadas. Suponha que no processo padrão o tempo
de vida médio é conhecido de 1400 horas.
Objetivo: testar o novo processo de fabricação.
Modelo:
Duas populações de lâmpadas:
POP1 – lâmpadas fabricadas pelo processo padrão;
POP2 – lâmpadas fabricadas pelo novo processo.
Informação anterior: Tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo processo
padrão é de 1400 horas.
Pergunta: O tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo novo processo é
maior que 1400 horas? Procedimento:
1) Estabelecer duas hipóteses:
80
H0) o novo processo não é melhor que o padrão;
H1) o novo processo é melhor que o padrão.
2) Selecionar lâmpadas fabricadas pelo procedimento novo, medir seus tempos de vida
e calcular o tempo de vida médio, , observado na amostra.
3) Suponha que a média da amostra selecionada é horas. O resultado parece indicar
que o novo procedimento é melhor.
Calculando-se o intervalo de confiança de 95% para o tempo de vida médio do
processo novo obteve-se:
(1300; 1800)
Ou seja, não temos evidência de que o novo processo é melhor, uma vez que a média1
400 é um valor possível para a média do novo processo (está contido no intervalo). Logo,
tomaríamos a decisão de não rejeitar a hipótese H0. Vamos supor agora, que o intervalo
de confiança de 95% tivesse os seguintes limites: (1500; 1600). Neste caso, teríamos
forte evidência para rejeitar H0 e afirmar que o novo processo é superior.
Obs: Note que os testes de hipóteses são muito relacionados com o problema de
estimação por intervalo.
15.1 Hipótese nula e hipótese alternativa
Em geral devemos decidir entre duas hipóteses. Denominaremos essas hipóteses de
H0 → hipótese nula
H1 → hipótese alternativa
No exemplo das lâmpadas se µ é a média do tempo de vida das lâmpadas fabricadas
pelo novo processo, então:
H0 µ ≤ 1400
H0 µ > 1400
81
15.2 Erro tipo I e Erro tipo II
Qualquer que seja a decisão tomada em um teste de hipóteses, estamos sujeitos a
cometer erros, devido à presença da incerteza.
Conclusão do teste
Situação da população
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Correto Erro Tipo II
Rejeitar H0 Erro Tipo I Correto
É fundamental que, em cada caso, se saiba qual são os erros possíveis e que se decida
a priori qual é o mais sério. Não é possível controlar ambos os erros ao mesmo tempo.
Quando diminuímos muita a probabilidade de erro tipo I, aumentamos a probabilidade
do erro tipo II e vice-versa.
Assim, a decisão de rejeitar H0 é equivalente à opinião “H0 é falsa” e a decisão de
aceitar H0 não é equivalente à opinião “H0 é verdadeira”. Neste caso a opinião adequada
é a de que os dados não contêm evidência suficientemente forte contra H0.
Exemplo 13.1: No caso das lâmpadas, o erro tipo I seria aprovar o novo processo
de fabricação quando na realidade ele não é superior. O erro tipo II seria rejeitar o
novo processo de fabricação quando é, de fato, melhor.
15.3 Nível de significância e Poder
O valor de α é fixado pelo pesquisador. Esta probabilidade recebe o nome de nível
de significância do teste. Usualmente, esses valores são fixados em 5%, 1% ou 0,1%. O
valor 1−β é chamado poder do teste. O poder do teste é a capacidade deste de detectar
que H0 é falsa quando de fato esta hipótese é falsa. No caso das lâmpadas, o poder
do teste seria a probabilidade deste aceitar o novo processo de fabricação (rejeitar H0
quando este for realmente melhor.
Como a probabilidade do erro tipo I (α) é fixada em valores pequenos, este deveria
ser o tipo de erro mais grave.
82
15.4 Estatística de teste e região crítica
A decisão entre as hipóteses é tomada com base nos dados de uma amostra extraída
da população. No nosso exemplo, suspeitamos que o tempo de vida médio das lâmpadas
é maior que 1400. Colhe-se uma amostra aleatória de 100 lâmpadas e determina-se o
valor da média amostral para, através dela, comprovar ou refutar tal hipótese.
Suponha que o pesquisador decide adotar a seguinte regra de decisão:
Rejeitar H0 se X̄ for maior que 1800
15.5 Nível Descritivo ou p-valor
O procedimento descrito anteriormente é conhecidocomo procedimento clássico de
testes de hipóteses. Um outro procedimento que vem sendo muito adotado consiste
em apresentar o p-valor do teste. A diferença básica entre esses dois procedimentos é
que, trabalhando-se com o p-valor não é necessário construir a região crítica. Vejamos
o seguinte exemplo:
Suponha que no caso das lâmpadas foi obtido X̄ = 1550 para uma amostra de 100
lâmpadas. O pesquisador calcula a seguinte probabilidade:
P (X̄ ≥ 1550|µ = 1400).
O valor desta probabilidade é chamado de p-valor e neste exemplo, indica a proba-
bilidade de uma população com média 1400 gerar uma amostra de tamanho 100 que
tenha média igual ou maior que o resultado observado. Caso esta probabilidade seja
muito pequena devemos suspeitar da veracidade da hipótese e portanto “rejeitar” que
µ = 1400. Procedimento para a decisão com o p-valor
1) Escolher o máximo valor de tolerável para o erro do tipo I(α ).
2) 2. Se o p-valor for menor que o α adotado, então deve-se rejeitar a hipótese nula .
Regra de decisão
83
p-valor > α ⇒ não rejeitar H0
p-valor ≤ α ⇒ rejeitar H0.
A saída dos pacotes estatísticos apresenta o p-valor.
15.6 Testes de Hipóteses para Média Populacional
A média de uma população é uma de suas características mais importantes e fre-
quentemente temos que tomar decisões a seu respeito. Vamos denotar um valor fixo
qualquer por µ0.
Consideremos as diversas hipóteses que podem ocorrer num teste de hipóteses para
médias:
Hipóteses unilaterais
H0 : µ ≤ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ > µ0
H0 : µ ≥ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ < µ0
Hipótese Bilateral
H0: µ = µ0 versus H1: µ ̸= µ0
• Distribuição normal, σ2 desconhecido
Neste caso, como vimos em Intervalo de Confiança precisamos usar o desvio padrão
amostral s para estimar σ, e utilizaremos a distribuição t de Student para encontrar a
região crítica do teste ou calcular o p-valor. A estatística de teste é:
X̄ − µ0
s√
n
Vejamos as regras de decisão para cada tipo de hipótese considerada:
Hipóteses unilateral
1. H0 : µ ≤ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ > µ0
84
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
> tα,n−1
Hipóteses unilateral
2. H0 : µ ≥ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ < µ0
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
< −tα,n−1
Hipótese Bilateral
3. H0: µ = µ0 versus H1: µ ̸= µ0
Rejeitar H0 se
∣∣∣∣∣X̄ − µ0
s√
n
∣∣∣∣∣ > tα/2,n−1
Exemplo 13.2: O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido
100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo
período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de
cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos.
Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada? Apresente as
suposições teóricas usadas para resolver problema.
Solução: As hipóteses a serem testadas são
H0: µ ≥ 100 versus H1: µ < 100
Vejamos as estatísticas descritivas da amostra: média 85 e desvio padrão 12.
Temos que α = 0, 05 e n = 16. Portanto tα,n−1 = 1, 753. A região crítica é
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
< −tα,n−1
Vamos substituir os valores:
Rejeitar H0 se 85 − 100
12√
16
< −1, 753
85
Como o valor observado foi -5 e pertence à região crítica, a decisão deve ser de
rejeitar H0, e concluímos que existe evidência de que o tempo médio de execução é
menor que 100 minutos. Suposição: Variável tempo segue distribuição Normal.
• Tamanho da amostra é suficientemente grande
Assim como vimos no caso dos Intervalos de Confiança, podemos utilizar a distri-
buição normal para encontrar a região crítica do teste ou calcular o p-valor. Vejamos
as regras de decisão para cada tipo de hipótese considerada:
Hipóteses unilateral
1. H0 : µ ≤ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ > µ0
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
> zα
Hipóteses unilateral
2. H0 : µ ≥ µ0 (ou µ = µ0) versus H1 : µ < µ0
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
< −zα
Hipótese Bilateral
3. H0: µ = µ0 versus H1: µ ̸= µ0
Rejeitar H0 se
∣∣∣∣∣X̄ − µ0
s√
n
∣∣∣∣∣ > zα/2
Exemplo 13.3: Uma rede de pizzarias deseja testar com nível de 5% de signifi-
cância se o teor médio de gordura em peças de salame produzidas por determinada
indústria de alimentos é igual a 15%. De um grande lote retirou uma amostra de 50
peças de salame e os resultados estão a seguir:
As hipóteses a serem testadas são:
3. H0: µ = 15 versus H1: µ ̸= 15
86
19,8 23,4 13,6 6,6 13,7 5,2 14,3 13,3 12,2 14,3 8,5 15,8 16,0
18,3 28,7 11,6 16,4 14,4 26,2 17,0 6,5 10,0 24,5 34,9 19,1 6,9
19,5 11,0 8,9 10,6 9,5 14,0 6,0 18,0 10,8 16,7 18,4 10,1 12,3
6,5 25,4 15,3 12,1 13,1 7,7 17,4 10,7 24,1 14,0 21,4
Teor de Gordura
Média 14,894
Desvio padrão 6,3871
Vejamos as estatísticas descritivas da amostra:
Temos que α = 0, 05 e portanto zα/2 = 1, 96. A região crítica é
Rejeitar H0 se
∣∣∣∣∣X̄ − µ0
s√
n
∣∣∣∣∣ > zα/2
Vamos substituir os valores:
Rejeitar H0 se
∣∣∣∣∣14, 894 − 15
6, 3871√
50
∣∣∣∣∣ > zα/2
Assim, rejeitaremos H0 se
∣∣∣∣∣− 0, 1174
∣∣∣∣∣ > zα/2
Como o valor observado foi 0,1174, que não pertence à região crítica, a decisão deve
ser de não rejeitar H0, e concluímos que não existe evidência de que o teor de gordura
nas peças de salame produzidas pela indústria seja diferente de 15%.
Usando um pacote estatístico:
Variável n Média Erro Padrão t p-valor
Teor de gordura 50 14,894 0,903 -0,12 0,91
Exemplo 13.4: Iremos utilizar teste de hipótese para solucionar a dúvida da
equipe técnica da indústria siderúrgica: pode-se concluir, com bastante segurança,
que o processo de recozimento contínuo estava centrado abaixo do valor nominal da
87
especificação (61,0 HR)? Essa dúvida pode ser solucionada por meio da realização
de teste de hipótese para a dureza média (µ) das folhas-de-flandres produzidas pelo
processo:
As hipóteses a serem testadas são:
H0 : µ ≥ 61 versus H1 : µ < 61
Temos que α = 0, 05 e portanto zα = 1, 65. A região crítica é
Rejeitar H0 se X̄ − µ0
s√
n
< −zα
Vamos substituir os valores: 60, 212 − 61
0, 611√
50
< −zα
Assim, rejeitaremos H0 se −9, 12 < −zα
Como o valor observado foi -9,12, que pertence à região crítica, a decisão deve ser
de rejeitar H0, e concluímos que existe evidência de que a dureza média nas peças
produzidas pela indústria seja inferior a 61.
15.7 Teste para Proporções
Quando trabalhamos com grandes amostras vimos que a distribuição amostral das
proporções se aproxima da distribuição normal. Se p é a proporção populacional e p0
um valor fixo. A estatística de teste é :
p̂ − p0√
p0q0
n
Vamos considerar os seguintes testes:
Hipóteses unilateral
1. H0 : p ≤ p0 (ou p = p0) versus H1 : p > p0
Rejeitar H0 se p̂ − p0√
p0q0
n
> zα
88
Hipóteses unilateral
1. H0 : p ≥ p0 (ou p = p0) versus H1 : p < p0
Rejeitar H0 se p̂ − p0√
p0q0
n
< −zα
Hipótese Bilateral
3. H0: p = p0 versus H1: p ̸= p0
Rejeitar H0 se
∣∣∣∣∣ p̂ − p0√
p0q0
n
∣∣∣∣∣ > zα/2
Exemplo 13.5: A fábrica A de automóveis afirma que 60% dos consumidores
compram carros produzidos por ela. Uma fábrica concorrente deseja testar a veracidade
desta afirmação. Para isso decide realizar uma pesquisa por amostragem com 300
proprietários de veículos.
Solução: Hipóteses a serem testadas
1. H0 : p ≥ 0, 60 versus H1 : p < 0, 60
p = proporção de consumidores que compram carros produzidos pela fábrica A.
A hipótese alternativa foi definida desta forma, pois se espera uma proporção menor,
nunca maior. Observe que a hipótese alternativa não foi influenciada pelo resultado da
pesquisa.
Vamos fixar α = 5% e como a amostra é grande podemos utilizar aproximação
normal e o teste 2 dado acima.
Suponha agora que os resultados da pesquisa apontaram 165 proprietários de carros
da fábrica A, isto equivale a uma proporção amostral (p̂ ) de 55% pois
p̂ = 165
300 = 0, 55
Portanto devemos rejeitar H0 se p̂ − p0√
p0q0
n
< −za.
89
Como α = 5%, zα = 1, 645 e p̂ − p0√
p0q0
n
= 0, 55 − 0, 60√
0, 6 × 0, 40
300
≃ −1, 77 < −1, 65
logo rejeitamos H0 e concluímos que há evidências de que a proporção de consumi-
dores da fábrica A é inferior a 60% com 95% de confiança.
16 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Uma companhia de seguros decidiu avaliar qual era a proporção de formulários de
apólices de seguro preenchidos incorretamente (p) pelos operadores responsáveis
por esta tarefa. A empresa considerava um resultado indesejável descobrir que
p > 5%, o que implicaria na necessidade de ser iniciado um trabalho para melhorar
o nível de qualidade que vinha sendo alcançado. De uma amostra de 200 formulários
examinados, foram encontrados 9 que apresentavam erros no preenchimento. A
partir deste resultado, os técnicos da empresa desejam tomar uma decisão. Qual
a decisão da empresa? (α = 5%). R: Iniciar um trabalho para melhorar o nível de qualidade dos
formulários de apólices. Região crítica [1, 645; ∞.
2) Uma lei estadual exige um valor médio superior a cinco ppm de oxigênio dissolvido
na água, cujo conteúdo seja suficiente para manter a vida aquática. Oito amostras
aleatórias de água foram retiradas de um rio e revelaram os seguintes índices de
oxigênio dissolvidos:
5,1 4,9 5,0 5,0 4,7 5,8 5,2
a) Supondo que a população tenha distribuição normal, verifique se os níveis de
oxigênio dissolvidos na água são suficientes para manter a vida aquática. (Use
α=5%) R: a)Não. Região crítica [1, 895, ∞).
3) A associação dos proprietários de industrias metalúrgicas está muito preocupada
com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempo,
tem sido da ordem de 60 h/homem por ano e desvio padrão de 20 h/homem. Tentou-
se um programa de prevenção de acidentes e após o mesmo, tomou-se uma amostra
90
de 9 indústrias e mediu-se o número de horas/homens perdidas por acidentes que
foi 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria?(Suponha
população normal) R.: Não. Região crítica (−∞; −1, 645]
4) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90%.
Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germi-
nação seja inferior a este número. Foi realizado um experimento e de 400 sementes,
tomadas ao acaso, 350 germinaram. Qual a conclusão do teste ao nível de 1% de
significância? R.: A taxa de germinação não é inferior a 90%. Região crítica (−∞; −2, 33].
5) A força de compressão de concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele
testa 12 amostras e obtém os seguintes dados:
2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295
Suponha normalidade para a população de estudo, responda os itens a seguir:
a) Construir o intervalo de 95% para a força média;
b) Construir o intervalo de 99% para a força média;
c) Ao nível de 5% de significância, verificar se a verdadeira média da força de
compressão difere de 2280.
d) Repetir o item c, usando α = 1%
e) Repetir o item c, porém verificando se a verdadeira média da força de compressão
difere de 2300.
f) Compare as conclusões obtidas usando Intervalo de Confiança e teste de hipó-
teses. R.:a) [2237,32 ; 2282,56] b) [ 2228,02; 2291,81 ] c) Não. A verdadeira média da força de compressão
não difere de 2280, com 95% de confiança. d) Não. A verdadeira média da força de compressão não difere de
2280, com 99% de confiança e) com 95% de confiança difere de 2300.
6) Um jornal afirma que 40% dos seus leitores têm curso superior. Um jornal concor-
rente afirma que essa proporção é menor. Para verificar sua suspeita, o concorrente
sorteou 200 leitores daquele jornal e observou os seguintes resultados:
a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
91
Apresenta nível superior Número de leitores
Sim 70
Não 130
Total 200
b) Quais os tipos de erros que podem cometidos ao testar as hipóteses estabelecidas
no item a? Explique cada um deles.
c) Para um nível de significância de 20%, qual foi a conclusão do concorrente? R:
a) P=0,40 vs P<0,40; b) Erro tipo I- Dizer que a proporção de leitores é menor do que 40% quando na verdade
proporção é igual a 40%. Erro tipo II- Dizer que a proporção de leitores é igual a 40% quando na verdade a
proporção é menor. C)Rejeita a hipótese nula. Região crítica (−∞; −1, 28].
7) Um representante de um grupo comunitário informa a uma construtora de shoppings
que a renda familiar média nessa área é igual a R$ 4500,00. Com base em estudos
anteriores, a renda familiar, para o tipo de área envolvida, pode ser assumida como
tendo uma distribuição normal. A construtora considera um fator importante para
decidir a localização do shopping que a renda familiar média da população da área
não esteja abaixo do valor R$ 4500,00 informado pelo representante. Para verificar
a informação do representante, uma amostra de 26 residências selecionadas aleato-
riamente foi obtida e a renda familiar média encontrada foi igual a R$ 4150,00, com
desvio padrão igual a R$ 1200,00. Realize o teste e apresente qual a conclusão do
construtor de shopping, ao nível de significância de 10%. R: a)Não construir o shopping.
Região crítica [−∞; −1, 316).
8) Uma loja que comercializa componentes eletrônicos de determinada fábrica acusou
o fabricante, dizendo que mais de 20% das unidades fabricadas e repassadas para
a loja, apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra de
tamanho 50 das peças repassadas para sua loja e verificou que 27% das peças eram
defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação. Utilize um nível
de significância de 0,10. R: H0: A proporção de componentes eletrônicos que apresenta defeito é igual e
menor que 0,2 (H0 : p ≤ 0.2). H1: A proporção de componentes eletrônicos que apresenta defeito é maior que 0,2
92
(H1: p > 0.2). Z = 1.24. Não rejeita Ho, região crítica [1, 28; ∞). .
9) Uma companhia de serviços de ônibus intermunicipais planejou uma nova rota para
servir vários locais situados entre duas cidades importantes situadas no estado da
Bahia. Sabe-se que a duração das viagens pode ser considerada uma variável aleató-
ria normal, com média igual a 300 minutos e desvio padrão igual a 30 minutos. Um
estudo piloto realizado pela companhia considerou as dez primeiras viagens realiza-
das nessa nova rota e observou-se uma média igual a 314 minutos. Esse resultado
comprova ou não que o tempo médio mudou? Use α = 0, 03. R: H0: A média das viagens
da nova rota é igual a 300 minutos (H0 : µ = 300). H1: a média das viagens da nova rota é diferente de 300 minutos
(H1 : µ ̸= 300). Z=1,47573. Não rejeita H0, região crítica [1, 88, ∞).
10) Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregados de nível médio na
cidade de Salvador. Foram sorteados e entrevistados 200 trabalhadores. Admita
que o desvio padrão do salário recebido pelos trabalhadores nessa cidade é de 0,80
salários mínimos.
a) Você conhece a distribuição do estimador de X̄ ? Se não, é possível fazer alguma
suposição?
b) Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as
hipóteses adequadas.
c) Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mínimos, qual seria a conclusão (Use
α=10%)?
R: a)Não conhecemos e supomos n grande para aplicar o Teorema Central do Limite; b) H0: µ=3 vs H1: µ
<3. Rejeita H0, região crítica (−∞; −1, 28].
11) Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu
inspecionar 200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar convencido,
ao nível de 5% de significância, de que a proporção de peças defeituosas no lote é
superior a 4%. Na amostra selecionada observou-se 12 peças defeituosas.
A partir das informações do texto acima e da saída do programa computacional R
defina as hipóteses e tome a decisão (não rejeitar ou rejeitar o lote).
93
Variável p̂ z p-valor
Peças defeituosas 0,06 1,12 0,12
R: Não Rejeita H0. p-valor=0,12> α=0,05.
12) No ano de 2005, a secretaria de turismo de certa cidade turística localizada no
estado da Bahia realizou uma pesquisa de opinião e constatou-se que somente 40%
dos visitantes estavam satisfeitos com a infraestrutura oferecida pela cidade. Em
2010, com o intuito de verificar se essa proporção se alterou, a prefeituraselecionou
e entrevistou uma amostra de 58 turistas dos quais 32 disseram estar satisfeitos
com a infraestrutura da cidade. Qual é a conclusão, com base em um nível de
significância de 10%? 6. R: H0: A proporção de turistas satisfeitos com a infraestrutura da cidade é
igual a 0,4 (H0 : P = 0, 40). H1: A proporção de turistas satisfeitos com a infraestrutura da cidade é diferente de
0,4 (H1 : P ̸= 0, 40). Z=2.358. Não rejeita H0, região crítica (−∞; −1, 64] e [1, 64; ∞).
13) A média nacional dos preços de venda de casas novas destinadas a uma única família
é R$ 181.900,00. Uma amostra de 40 vendas realizadas no sul do país foi analisada
e encontrou-se os resultados abaixo.
Variável n Média Desvio-padrão z p-valor
Preço 40 166.400,00 33.500,00 -2,93 0,0017
Faça um teste de hipóteses para determinar se os dados amostrais sustentam a
conclusão de que a média populacional dos preços de venda de casas novas no sul do
país seja menor que a média nacional, ao nível de 1% de significância. Que conclusão
você chegou? Justifique sua resposta. H0: A média populacional dos preços de venda de casas
novas no sul do país é igual ou maior do que a média nacional (H0 : µ ≥ 181.900, 00) H1: A média populacional
dos preços de venda de casas novas no sul do país é menor do que a média nacional (H1 : µ < 181.900, 00). Rejeita
Ho, região crítica (−∞; −2, 33].
14) A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente san-
guínea, um químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que
94
acusava um tempo médio de 43 minutos. O pesquisador obteve 36 observações atra-
vés de um experimento com a nova fórmula. A partir da saída do programa, o que
analista pode concluir, ao nível de 5% de significância, sobre a eficiência do novo
componente? (Suponha que a população tenha distribuição Normal).
Variável Média Desvio-padrão z p-valor
Tempo 41,27 10,53 -0,99 0,16
R: Não Rejeita H0. p-valor=0,16> α=0,05.
15) Para verificar as hipóteses de seu trabalho, um pesquisador fez vários testes esta-
tísticos (um para cada hipótese de pesquisa), adotando para cada teste o nível de
significância de 5%. Responda os seguintes itens adiante:
a) Num dado teste, o p-valor=0,0001. Qual deve ser a conclusão (decide-se pela
hipótese nula ou pela hipótese alternativa)? Qual o risco de o pesquisador estar
tomando a decisão incorreta?
b) Em outro teste, o p-valor=0,25. Qual deve ser a conclusão? Nesse caso, você
consegue avaliar o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta?
c) Em outros dois testes, os p-valores foram de 0,0001 e 0,01, respectivamente.
Em qual dos testes o pesquisador deve estar mais convicto na decisão de qual
hipótese deve ser escolhida? Por quê? R.: a) Decide-se por H1, pois o p-valor é menor que o
nível de significância adotado. Dada a evidência da amostra, o risco dele estar tomando a decisão incorreta é de
0,0001; b) Decide-se por H0, pois p-valor é maior do que o nível de significância adotado. Dada a evidência da
amostra, quando se não rejeita H0 o p-valor não oferece qualquer informação sobre o risco de se estar tomando
a decisão incorreta; c) Quanto menor o p-valor existe maior evidência para a rejeição de H0.
16) Os seguintes dados vêm de um estudo que examina a eficácia da cotinina na saliva
como um indicador para a exposição à fumaça do tabaco. Em uma parte do estudo,
sete indivíduos – nenhum dos quais grandes fumantes e todos eles se abstiveram
de fumar pelo menos uma semana antes do estudo – foi solicitado fumar um único
95
cigarro. Foram tomadas amostras da saliva de todos os indivíduos 12 e 24 horas
depois de terem fumado o cigarro. Os níveis de cotinina obtidos são mostrados
adiante:
Indivíduo
Níveis de Cotinina (mmol/l)
Depois de 12 horas Depois de 24 horas
1 73 24
2 58 27
3 67 49
4 93 59
5 33 0
6 18 11
7 147 43
Fonte: DIGIUSTO; ECKHARD, 1989, p. 1245-1246)
A partir da saída de um programa computacional a seguir, teste a hipótese nula de
que as médias da população sejam idênticas ao nível de significância de 5%. O que
você conclui? Paired T-Test
17) Um assessor de um candidato a governador afirma que a proporção de votos favo-
ráveis no interior do Estado é maior que na capital. Com o objetivo de direcionar
melhor sua campanha pela televisão, o candidato encomendou uma pesquisa na
capital e outra no interior do Estado, obtendo os dados da tabela abaixo. Teste a
afirmação, com α=0,05.
96
Número de entrevistados Número de votos
Capital 100 40
Interior 200 90
17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de
Probabilidade e Estatística. 6. ed., rev São Paulo, SP: EDUSP, 2005 392 p.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Es-
tatística Aplicada à Engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 335 p.
MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística Básica. 5.
ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 526 p.
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Como Estabelecer Conclusões com Confi-
ança: entendendo inferência estatística. Belo Horizonte, MG: UFMG. Escola de
Engenharia, [1996]. 309 p. (Ferramentas da qualidade 4) .
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