Aulas 35 e 36 Regra de LHopital

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CÁLCULO I 
LIMITES – AULAS 01_02_03_04 
5.13 – REGRA DE L’HÔSPITAL (Página 226) 
 
5.14 – EXERCÍCIOS RECOMENDADOS (Página 232) 
 
CÁLCULO I 
LIMITES – AULAS 01_02_03_04 
 A regra de L’Hospital é uma regra que pode ser usada para o cálculo de 
limites que apresentam indeterminações do tipo 
0
0
 e 
∞
∞
. 
REGRA DE L’HOSPITAL 
Johann Bernoulli 
(1667 – 1748) 
Guillaume de L’Hospital 
(1661 – 1704)) 
A regra de L’Hospital foi publicada pela 
primeira vez em 1696 no livro Analyse des 
Infiniment Petits, do marquês de L’Hospital, 
mas na verdade foi descoberta em 1694 pelo 
matemático suíço Johann Bernoulli. Esses dois 
matemáticos fizeram um curioso acordo, que 
dava ao marquês de L’Hospital os direitos das 
descobertas de Bernoulli. 
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TEOREMA: 
Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam deriváveis e 𝑔′(𝑥) ≠ 0 em um intervalo aberto I que 
contém 𝑎 (exceto possivelmente em 𝑎). Suponha que: 
lim 
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim 
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0 ou que lim 
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞ e lim 
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ±∞. 
Então: 
lim 
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim 
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
se o limite da direita existe (ou for +∞ ou −∞). O mesmo resultado vale para: 
𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎−, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞. 
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EXEMPLO 1: Calcular lim 
𝑥→2
𝑥2−𝑥−2
3𝑥2−5𝑥−2
. 
Um cálculo direto nos dá a forma indeterminada 
0
0
. Aplicando L’Hospital, temos: 
 lim 
𝑥→2
𝑥2 − 𝑥 − 2
3𝑥2 − 5𝑥 − 2
 =
3
7
 = lim 
𝑥→2
2𝑥 − 1
6𝑥 − 5
 =
2 ∙ 2 − 1
6 ∙ 2 − 5
 
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EXEMPLO 2: Calcular lim 
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥−1
. 
Um cálculo direto nos dá a forma indeterminada 
0
0
. Aplicando L’Hospital, temos: 
 lim 
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥 − 1
 = lim 
𝑥→1
1
𝑥
1
 = lim 
𝑥→1
1
𝑥
 =
1
1
= 1 
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EXEMPLO 3: Calcular lim 
𝑥→0
𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥3 . 
Um cálculo direto nos dá a forma indeterminada 
0
0
. Aplicando L’Hospital, temos: 
 lim 
𝑥→0
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥3
 = lim 
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3𝑥2
 =
0
0
 =
1 − 𝑐𝑜𝑠 0
3 ∙ 02
 
Aplicando L’Hospital novamente, temos: 
 lim 
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3𝑥2
 = lim 
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
6𝑥
 =
1
6
∙ lim 
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 =
1
6
∙ 1 =
1
6
 
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EXEMPLO 4: Calcular lim 
𝑥→+∞
𝑒𝑥
3𝑥2+4
. 
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 
∞
∞
. Aplicando a regra de 
L’Hospital sucessivas vezes, temos: 
 lim 
𝑥→+∞
𝑒𝑥
3𝑥2 + 4
 = lim 
𝑥→+∞
𝑒𝑥
6𝑥
 = lim 
𝑥→+∞
𝑒𝑥
6
 =
+∞
6
= +∞ 
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EXEMPLO 5: Calcular lim 
𝑥→0+
𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 . 
Temos lim 
𝑥→0+
𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 = 0 ∙ (−∞), que é uma indeterminação. Não é possível 
aplicar L’Hospital diretamente. Em vez disso, vamos inverter um dos fatores e 
dividir pelo inverso. Lembre que multiplicar por 𝑥 equivale a dividir por 
1
𝑥
. Assim: 
 lim 
𝑥→0+
𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 = lim 
𝑥→0+
ln (𝑥)
1
𝑥
 = lim 
𝑥→0+
1
𝑥
−
1
𝑥2
 = lim 
𝑥→0+
−𝑥2
𝑥
 = lim 
𝑥→0+
−𝑥 = 0 
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EXEMPLO 6: Calcular lim 
𝑥→0+
𝑥𝑥 . 
O limite lim 
𝑥→0+
𝑥𝑥 é uma indeterminação do tipo 00, já que a função da base e 
da potência vão para zero. Para analisar indeterminações com potências, 
recorremos à igualdade 𝑦 = 𝑒ln (𝑦), válida para todo 𝑦 > 0. Escrevemos: 
 lim 
𝑥→0+
𝑥𝑥 = lim 
𝑥→0+
𝑒𝑙𝑛 (𝑥
𝑥) = lim 
𝑥→0+
𝑒𝑥∙𝑙𝑛(𝑥) = 𝑒
lim 
𝑥→0+
𝑥∙𝑙𝑛(𝑥)
 = 𝑒0 = 1, 
em que usamos o resultado do último exemplo e a continuidade da função 
exponencial. 
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EXEMPLO 7: Calcular lim 
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
1
𝑥 . 
Aqui temos uma indeterminação 1∞. Fazemos: 
 lim 
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
1
𝑥 = lim 
𝑥→0
𝑒𝑙𝑛(1+𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
1
𝑥 = lim 
𝑥→0
𝑒
𝑙𝑛(1+𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
𝑥 
 = 𝑒
lim 
𝑥→0
𝑙𝑛(1+𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
𝑥 
 
 = 𝑒 
2
1 = 𝑒
lim 
𝑥→0
 
𝑙𝑛(1+𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
𝑥 
 = 𝑒
lim 
𝑥→0
 
2𝑐𝑜𝑠 2𝑥
1+𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 𝑒2 
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EXEMPLO 8: Calcular lim 
𝑥→+∞
(3𝑥 + 9)
1
𝑥 . 
Neste caso, temos uma indeterminação ∞0 . Vamos transformá-la numa 
indeterminação do tipo 
∞
∞
 com o auxílio de logaritmos. 
 Seja 𝐿 = lim 
𝑥→+∞
(3𝑥 + 9)
1
𝑥. Então: 
 𝑙𝑛 𝐿 = 𝑙𝑛 lim 
𝑥→+∞
(3𝑥 + 9)
1
𝑥 = lim 
𝑥→+∞
𝑙𝑛(3𝑥 + 9)
1
𝑥 = lim 
𝑥→+∞
ln (3𝑥 + 9)
𝑥
 
 = lim 
𝑥→+∞
3
3𝑥 + 9
= 0 
 Como 𝑙𝑛 𝐿 = 0, temos que 𝐿 = lim 
𝑥→+∞
(3𝑥 + 9)
1
𝑥 = 1 
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EXEMPLO 9: Calcular lim 
𝑥→0+
 
1
𝑥2 −
1
sen 𝑥
 . 
Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞. Reescrevendo o limite dado, 
temos: 
 lim 
𝑥→0+
 
1
𝑥2 −
1
sen 𝑥
 = lim 
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑥2
𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥
 = lim 
𝑥→0+
cos 𝑥 −2𝑥
𝑥2 cos 𝑥+2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥
 = 
1
0+
 = +∞ 
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EXERCÍCIOS: Usando a Regra de L’Hospital, calcule os limites. 
1. lim 
𝑥→0
𝑒5𝑥−1
3𝑥
 
2. lim 
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥
 
3. lim 
𝑥→0+
 
1
𝑥
−
1
𝑒𝑥−1
 
4. lim 
𝑥→0+
(1 + 𝑥)
1
𝑥 
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5.14 – EXERCÍCIOS RECOMENDADOS (Página 232) 
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