Geometria Analítica: Vetores e Adição

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Notas de Aulas da Disciplina Geometria Analítica 
 Criado por Odacir Almeida Neves – DCME/CCEN/UFERSA – Mossoró/RN – Atualizado em 18/06/2020 
𝑢 -𝑢 
1.2 Vetores 
Def.: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se AB é um segmento 
orientado, o vetor correspondente (isto é, o vetor cujo representante é AB) será indicado por 
(ou ). 
 
 Indicam-se também por letras latinas minúsculas com uma seta ( , , , , etc), não se 
fazendo desse modo menção do representante. 
 
 É claro que para citar um vetor, basta citar (ou, representar) qualquer um de seus 
representantes. 
 Como todos os segmentos orientados nulos são equipolentes eles determinam uma única 
classe de equipolência que é o vetor nulo representado pela letra . 
 
 Dois vetores e são iguais se e somente se AB ~ CD. 
 Os vetores e , não nulos, são paralelos (indica-se // ) se um representante de 
for paralelo a um representante de (e portanto a todos). 
 
 Se // , e tem mesmo sentido (respectivamente, sentidos contrários) quando um 
representante de tiver o mesmo sentido que um representante de (respectivamente, sentido 
contrário). 
 
 Dado um vetor = , o vetor é chamado o oposto de e é indicado por - ou - . O 
oposto de é representado por qualquer segmento DC onde CD é um representante qualquer de 
 . 
 
 
 vetores opostos 
 
 
Obs.: não se usa o termo ´´vetores equipolentes`` já que a equipolência é uma relação entre 
segmentos orientados e não entre vetores. 
 
 Se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes então os vetores correspondentes serão 
iguais ( e . 
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 Chama-se norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento de qualquer um 
dos seus representantes. Indica-se a norma de por || ||. 
 
 Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido que . Um 
vetor é unitário se || || = 1. 
 
*Observação: * Exemplos 
 Se ≠ ⇒ || || > 0. 
 || || = 0 ⇔ = . 
 K = ⇒ K = 0 ou = , K um número real. (K ϵ R) 
 || + || ≤ || || + || ||. 
 ||- || = || ||. 
 
* Exemplos: 
 
 
 
 
 
 versor de 
 versor de 
 versor de 
 
** Observação 
 Dois vetores e são ditos colineares se tiverem a mesma direção, isto é, e tem 
representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑎 𝑏 
𝑢 𝑣 
𝑤 
𝑢 
𝑣 
𝑤 
π 
 
 
 
 Se os vetores , e (o n.º de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF 
pertencentes a um mesmo plano π, dizemos que eles são coplanares. 
 
 
 
vetores coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , e não são coplanares 
 
 Convenção: O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor; é coplanar a qualquer conjunto de 
vetores coplanares. 
1.3 Adição de vetores. 
 Definiremos uma operação de adição que a cada par de vetores e fará corresponder o vetor 
soma + . 
 Para isso, procedemos da seguinte maneira: consideramos um representante qualquer AB de 
e o representante do vetor que tem origem B. Seja C a extremidade deste último. Fica então 
determinado o segmento AC. Por definição, o vetor cujo representante é o segmento orientado 
AC é o vetor soma de e . 
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𝑣 
𝑢 A B 
C 
A 
B 
C 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
B C 𝑣 
 
 
 
 
Observação: 
1) A definição assegura que para determinarmos o vetor soma e basta ´´fechar o triangulo``, 
tomando o cuidado de escolher a origem do segundo representante coincidindo com a 
extremidade do primeiro. 
2) Pode-se também adotar a ´´regra do paralelogramo`` que consiste em tomar representantes 
de e com a mesma origem A e construir o paralelogramo ABCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O segmento orientado AC (diagonal que contém o ponto A) é um representante do vetor 
 + , já que ela fecha o triângulo ACD e = . 
 
3) A escolha do representante AB do vetor é arbitrária, mas isso não influi na determinação 
+ . 
 
Propriedades: 
 
A1) Comutativa 
 + = + 
 
 
 
 
 
A2) Associativa 
( + ) + = + ( + ) 
 
 
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A 
𝑢 𝑤 
D (𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 ) 
A 
A 
B 
B 
𝑢 
-𝑢 
-𝑣 
𝑣 
-u 
𝑢 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A3) Elemento neutro + 
 = 
 
Demonstração: 
 
 + = + = = 
 
A4) Elemento oposto 
 + (- ) = 
 + (- ) = ⇒ + = = 
 
 A propriedade A4 permite definir subtração de vetores. Assim, - é, por definição, 
 + (- ). 
 - = + (- ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Produto de um número real por um vetor 
 Definição: O produto de um número real a ≠ por um vetor ≠ é o vetor tal que 
i) || || = |a| || || 
ii) e tem a mesma direção ( e são paralelos, // , e coincidentes se a = 1). 
iii) e tem o mesmo sentido se a > 0 e sentidos opostos se a < 0. 
 
 
𝑢 + 𝑣 
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u 
 2𝑢 
 -2𝑢 
Q = P + 𝑢 
𝑢 
 
 
 
 ou ainda 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 1º) Se a = 0 ou = então = (por definição) 
2º) O produto de um número real a pelo vetor v é usual e indicado por = a . 
3º) Se ≠ é fácil ver que 
 
 
 . é o versor de . 
 
Propriedades: 
M1) a(b ) = (a b) 
M2) a( + ) = a + a 
M3) (a + b) = a + b 
M4) 1. = 
1.5 Soma de ponto com vetor 
 Definição: Seja P um ponto e um vetor qualquer. O ponto Q, tal que o segmento orientado PQ 
é representante de u , é chamado soma de P com e indicado por P + . 
 Em símbolos: P + = Q ⇔ = 
 Recorre da definição que, P + = Q, ou seja, a soma de um ponto com um vetor é um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 Intuitivamente, podemos entender P + como o resultado do deslocamento de um ponto 
material, inicialmente situado na origem da flecha, até a sua ponta. 
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A 
B 
0 θ 
A B 
𝑣 𝑢 
θ = π 
𝑢 𝑣 
A B 0 
A 
B 
C 
0 𝑢 
𝑣 
0 
 Usaremos a notação P - para indicar a soma do ponto P com o oposto de : 
 P - = P + (- ) 
 
Ângulo de dois vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo de dois vetores não nulos e é o ângulo θ formado pelos segmentos orientados de 
mesma origem, e , representantes dos vetores e respectivamente e tal que ≤ θ ≤ π. 
 
Obs.: 
1) Se θ = π os vetores e têm a mesma direção e sentidos opostos. 
 
 
 
2) Se θ = 0 rad , os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 
 
 
3) Se π ⁄ , e são ortogonais e indicamos . 
 
 
 
 O Δ OBC é retângulo. Pelo teorema de Pitágoras: 
 || + ||² = || ||² + || ||² 
 
 
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A 
B 
𝑢 
𝑣 
B
C A-𝑢 𝑢 
θ 
 
 
 
4) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
5) Se e são ortogonais e m, n ∈ R, então m e n também são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
6) O ângulo formado pelos vetores - e é o suplemento do ângulo formado pelos vetores e . 
 
 
 
 
 
 
1.6 Espaço Vetorial 
 
 Um conjunto V no qual estão definidas duas operações satisfazendo as propriedades A1, A2, A3, 
A4 e M1,..., M4 é dito um espaço vetorial. 
 
Exemplos: 
1) O conjunto dos vetores V = R³ = {(x1, x2, x3), xi ∈ R} é um espaço vetorial; 
2) O conjunto das matrizes é um espaço vetorial: 
 
1.7 Dependência Linear 
 
 Definição: Os vetores 1, 2,..., n são ditos linearmente dependentes se existem escalares 
(números reais) a1, a2, ..., an não todos nulos, tal que 
 a1 1 + a2 2 +...+ an n = 
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𝑢 
𝑢 
𝑢 u 
w 
 ∑ 
 
 
 
 
 Quando os vetores não são linearmente dependentes; eles são ditos linearmente 
independentes. 
 
Notação: 
 1, 2, ..., n linearmente dependentes ⇒ 1, 2, ..., n l.d. 
 1, 2, ..., n linearmente independentes ⇒ 1, 2, ..., n l.i. 
 
Obs.: Segue da definição anterior que para provar que 1, 2, ..., n são l.i. basta provar que 
a a . . . a ⇒ a a a . 
 
Definição: Dados n vetores 1, 2, ..., n e n escalares a1, a2, ..., an, chama-se combinação linear dos 
vetores 1, 2, ..., n com coeficientes a1, a2, ..., an ao vetor 
 a a . . . a ∑ 
 
 
 . 
Notação: c.l. 1, 2, ..., n 
 
Definição: 
a) Uma sequência ( ) é l.d. se = e l.i. se ≠ ; 
b) Um par ordenado ( , ) é linearmente dependente se e são paralelos, caso contrário 
( , ) é l.i. 
c) Uma tripla ordenada ( , , ) é l.d. se , e são paralelos a um mesmo plano. Caso 
contrário, ( , , ) é l.i. 
d) Se n ≥ 4 qualquer sequência de n vetores é l.d. 
Exemplos: 
 
 
 
 
( , ) l.d. ( , ) l.i. 
 ( , , ) l.d. ( , , ) l.i. 
𝑣 
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Teorema 1: Dados n vetores 1, 2, ..., n, se um deles é c.l. dos demais vetores, então eles são l.d. 
Exemplo: Considere os vetores = (2,3,-4),e 1 = (1,1,1), 2= (1,1,0) e 3 = (1,0,0). Então é uma 
combinação linear de 1, 2 e 3 pois a equação vetorial, ou sistema, 
 x y z . 
 
(
 
 
 4
) x (
 
 
 
) y (
 
 
 
) z (
 
 
 
) ⇒ {
x y z 
x y 
x 4
 ⇒ y e z 
 
 4 
 
Teorema 2: Dados n vetores 1, 2, ..., n se K desses vetores ( ≤ K ≤ n são l.d. os n vetores são l.d. 
Teorema 3: Se 1, 2, ..., n são l.i. então K desses vetores também são l.i. (K ≤ n 
Teorema 4: Um vetor é l.d. se e somente se é nulo. 
Teorema 5: Dois vetores e são l.d. se e somente se, são paralelos. 
Teorema 6: Se ≠ e é paralelo a , então existe um único número real t, tal que = t.