Aps1 - matematica financeira

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CIÊNCIAS 
CONTÁBEIS
Disciplina: AP1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA - EAD 
17007
Grau
Professor: Cesar von Dollinger A
P
1
Data:
Polo:
Aluno: Matrícula:
INSTRUÇÕES: Poderão ser utilizadas calculadoras como ferramenta auxiliar na solução das questões. Todas
as questões deverão conter a sua solução passo a passo. Respostas baseadas na solução em calculadoras financeiras
não serão aceitas. Não podem ser utilizadas calculadoras nos aparelhos de celular, mesmo em modo avião. Celular é
um telefone, não uma calculadora. Não serão disponibilizadas fórmulas para esta avaliação.
Questão 1: Uma grande varejista propõe a um credor o pagamento antecipado de um determinado
título em uma operação junto à uma instituição financeira, propondo desconto comercial composto
à uma taxa de 2,0% a.m. para um título no valor de $450.000,00 e prazo de 180 dias. Qual o valor
receberá o credor?
 Desc. Comercial ou por fora: i = 2% a.m n = 180 d = 6 m N = 450.000 Vc =?
Vc = N.(1 - i)n
Vc = 450.000 .(1 – 0,02)6 = = 398.629,07
Questão 2: Uma instituição financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 2,6% ao mês em suas
operações de desconto composto “por fora”. Determinar a taxa de desconto que deve ser
considerada para um prazo de antecipação de 6 meses.
n = 6 m i – 2,6% a.m
Vc = N.(1 – i)n
Vc = N.(1 – 0,026)6 → Vc = N . 0,583795263
Taxa de desconto = 1 – 0,853795263 = 0,14620473
Questão 3: Uma pessoa tem uma dívida representada por duas notas promissórias: uma de $
10.000,00 e outra de $18.000,00, vencíveis daqui a 3 e 6 meses, respectivamente. O cliente propõe
um novo prazo de 12 meses. Sabendo se que o banco adota juros compostos de 2,5 % ao mês, qual
o valor da nova nota promissória?
NP1 = 10.000 n = 3 m, NP2 = 18.000 n = 6 m i – 2,5% a.m Prazo nova NP: 12 m
 3 6 12 m
 10.000 18,000
 
NP12 = [ 10.000.( 1,025)9 ] + [ 18.000.(1,025)6 ] = 12.488,63 + 20.874,48 = 33.363,11
Questão 4: Uma pessoa faz um investimento de $ 50.000,00 em um título público pré-fixado em
11,5% a.a. para resgatar daqui a 25 anos. Qual será o valor resgatado no prazo estabelecido?
n = 25 anos i = 11,5% a,a PV = 50.000,00
FV = 50.000.( 1,115)25 = 760.049,17 
Questão 5: Uma empresa vende um produto em 4 parcelas mensais de $ 500,00, vencendo a
primeira em 30 dias. Um cliente propõe pagar pelo produto em único pagamento para 90 dias. Qual
o valor do pagamento se a loja considerar uma taxa de juros de 1,5% a.m.?
 data focal 
 1 2 3 4 m
 500 500 500 500
Proposta: 500.(1,015)2 + 500.(1,015) + 500 + 
500
1,015
 = 515,11 + 507,50 + 500 + 492,61 = 2.215,22
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
PRIMEIRA AVALIAÇÃO PRESENCIAL APX1 2022-1
Disciplina: Matemática Financeira 
Coordenador: Prof. Dr. Cesar F. dos S. von 
Dollinger
Nome:
Matrícula: Polo:
INSTRUÇÕES: São 5 Questões Dissertativas.
Questão 1: Quatro títulos com o mesmo valor nominal de $10.000,00 têm
vencimentos para 30, 60, 90 e 120 dias e são descontados de acordo com o
conceito de desconto comercial ou bancário, no regime de juros simples.
Determinar a taxa anual de desconto comercial que deve ser aplicada nesses títulos
para que o valor presente dessa operação seja igual a $ 38.750,00, assumindo-se
ano com 360 dias.
Vc1 + Vc2 + Vc3 + Vc4 n1 = 1/12, n2 = 2/12, n3 = 3/12, n4 = 4/12 PV = 38.750,00
[ 10.000 – (10.000 . i . 1/12))] + [10.000 – (10.000 . i . 2/12)] + [10.000 – (10.000. i . 3/12)] 
+ [10.000 – (10.000 . i . 4/12)] = 38.750,00
40.000 – (10.000 . i/12) – (20.000 . i/ 12) – (30.000 . i/12) – (40.000 .i/12) = 38.750,00
−10.000 . i
12
−20.0000 .i
12
−30.000. i
12
−40.000. i
12
=−1.250
- 100.000.i = -15.000.
i = 0,15 = 15%a.a
 
Questão 02: Um investidor aplicou 60% de seu capital a 12% ao ano e o restante, a
15% ao ano. No final de dois anos, a diferença entre os montantes acumulados
nas duas aplicações totalizou $11.182,00. Determinar o capital total investido, no
regime de juros compostos.
FV = 0,6.PV (1,12)² → FV = 0,4.PV(1,15)²
FV’ = 0,75264.PV E FV’’ = 0,529.PV
0,75264PV – 0,529PV = 11.182,00
0,22364.PV = 11.182,00
PV = 50.000,00
Questão 3: Uma pessoa aluga um imóvel pagando R$ 3.000,00 de aluguel mensal.
Ao pagar o segundo aluguel, propõe ao proprietário a compra do imóvel por R$
300.000,00 a ser pago 30 dias após a negociação e descontando o aluguel já pago.
Porém pede que os valores pagos a título de aluguel sejam corrigidos em 1,0 % a.m.
quando efetuar o pagamento. Determinar o valor a ser pago ao proprietário.
Operação:
OP = 300.000 - [ 3.000.(1,01)²] – [3.000.(1,01)]
OP = 300.000 – 3.060,30 – 3.030,00
OP = 293.909,70
Questão 4: Uma pessoa deseja contrair um empréstimo e consulta duas instituições
financeiras que oferecem as seguintes condições: instituição “A” cobra taxa de
juros de 55,0% a.a., já a instituição “B” cobra taxa de juros nominal de 48,0% a.a.
Considerando que as parcelas são mensais, qual instituição é mais vantajosa para
o cliente?
Instituição A
Tenho Quero
(1 + ia) = (1 + im)12
1 + 0,55 = (1 + im)12
1,55 = (1 + im)12
12√1 ,55= 1 + im
1,03719 - 1 = im
im = 0,03719
im = 3,719 % ao mês.
Instituição B →Taxa Nominal 48% a.a = 48/12 = 4%a.m
Questão 5: Uma empresa precisa negociar 3 duplicatas com determinado
fornecedor, uma de R$ 20.000,00, que vence em 30 dias, outra de R$ 40.000,00, com
vencimento para 60 dias e a última de R$ 80.000,00, vencível em 120 dias, por duas
outras duplicatas de iguais valores nominais, vencíveis em 150 e 180 dias,
respectivamente. Qual o valor nominal comum das novas duplicatas sabendo que a
taxa de desconto comercial simples da transação é de 7,5% ao mês.
 0 1 2 3 4 meses 
 20.000 40.000 80.000
[ 20.000 – (20.000 x 0,075 x 1)] + [ 40.000 (40.000 x 0,0075 x 2)] + [ 80.000 x 0,075 x 4)]
= 18.500,00 + 34.000,00 + 56.000,00 = 108.500,00
 Prazo da nova proposta:
N.(N – 0,075 x 5) + N.(N x 0,0075 x 6) = 108.500
N.(1 – 0,375) + N.(1 – 0,45) = 108.500
0,625.N + 0,55.N = 108.500
1,175.N = 108.500
N = 92.340,43
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de
Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Semestre Letivo: 2021/01
PRIMEIRA AVALIAÇÃO PRESENCIAL AP1
Disciplina: Matemática Financeira 
Coordenador: Prof. Dr. Cesar F. dos S. von 
Dollinger
Nome:
Matrícula: Polo:
INSTRUÇÕES: São 5 Questões Dissertativas.
Questão 1: Uma pessoa adquire um título da dívida pública vencível daqui a 3 anos
com valor de face de R$ 10.000,00 por R$ 8.348,84. Passado 1 ano da aquisição, o
investidor necessita resgatar seus valores antecipadamente e vende seu título no
mercado, que o aceita com uma taxa de deságio de 7,0% a.a. Considerando os
elementos expostos, qual o valor da taxa anual embutida na operação inicial, bem
como o valor que o investidor receberá?
8.348,84 → → → 10.000 Acordo original
 
 0 1 2 ← ← 3 anosNovo acordo
 X ← ← ← ← ← ← ←
A = 8.348,84 N= 10.000 n = 3 anos i = ?
A= N
(1+i)n
 
8.348 ,84=10.000
(1+i )3
 
8.348 ,84 . (1+i )3=10.000
(1+ i)3= 10.000
(8.348 ,84)
(1+ i)3=(1 ,19777 )
1+i=3√1,19777
1 + i = 1,062
i = 1,062 – 1
i = 0,062
i = 6,2% = taxa da operação anterior
Valor a receber no novo acordo
N = 10.000 n = 2 anos i = 7% a.a = 0,07 A= ?
A= N
(1+i)n
 
A=10.000
(1,07 )2
A=8.734 ,38
Valor que o investidor receberá = R$ 8.734,38
Questão 02: Uma pessoa deseja contrair um empréstimo e consulta duas
instituições financeiras que oferecem as seguintes condições: instituição “A”
cobra taxa de juros de 55,0% a.a., já a instituição “B” cobra taxa de juros nominal
de 48,0% a.a. Considerando que as parcelas são mensais, qual instituição é mais
vantajosa para o cliente?
Instituição A
Tenho Quero
(1 + ia) = (1 + im)12
1 + 0,55 = (1 + im)12
1,55 = (1 + im)12
12√1 ,55= 1 + im
1,03719 - 1 = im
im = 0,03719
im = 3,7 % ao mês.
Instituição B →Taxa Nominal 48% a.a = 48/12 = 4%a.m
Instituição A é mais vantajosa.
Questão 3: Uma pessoa pretende comprar um carro daqui a 1 ano que tem valor
estimado de R$ 40.000,00. Para conseguir este feito, a pessoa vende seu carro
hoje por R$ 25.000,00, daqui a 2 meses venderá seu computador por R$ 4.000,00 e
daqui a 6 meses venderá sua moto por R$ 9.000,00. Considerando este
cronograma e que o banco onde o dinheiro ficará aplicado paga taxa de 4,5% a.a.,
nossa personagem terá saldo suficiente para comprar o carro? Se sim, quanto
sobrará no banco após a compra? Se não, quanto faltará para completar o valor do
carro?
 40.000
 meses
 0 2 6 12
 25.000 4.000 9.000 N
i = 4,5% a.a 
(1+ia)=(1+im)12
(1 ,045)=(1+i m)12
12√1 ,045=1+i m
 1,003675 = 1 + im
im = 0,003675
OBS: quando chegar o período de 2 meses, ficará restando 10 meses, da mesma
forma será no período de 6 meses, ficará restando 6 meses para completar os 12.
N = 25.000(1,045) + 4.000(1,003675)10 + 9.000(1,003675)6
N = 26.125 + 4.149,45 + 10.222,53
N = 40.496,98
Saldo: 40.496,98 – 40.000,00 = 496,98
R: Vai dar para comprar o carro e sobrará R$ 496,98
Questão 4: Uma empresa precisa negociar 3 duplicatas com determinado
fornecedor, uma de R$ 20.000,00, que vence em 30 dias, outra de R$ 80.000,00,
com vencimento para 60 dias e a última de R$ 120.000,00, vencível em 120 dias,
por duas outras duplicatas de iguais valores nominais, vencíveis em 150 e 180
dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum das novas duplicatas sabendo
que a taxa de desconto comercial simples da transação é de 7,5% ao mês.
 20.000 80.000 120.000
 5 6
 0 ← 1 ← 2 ← 4 X X
 A = N(1 – i . n) i = 0,075
A=20.000 (1−0 ,075 .1)+80.000 (1−0 ,075 .2)+120.000 (1−0 ,075 .4)
A = 18.500 + 68.000 + 84.000 
A = 170.500
Novo valor
170.500 = X(1 – 0,075 . 5) + X(1 – 0,075 . 6)
170.500= 0,625X + 0,55X
170.500 = 1,175.X
X=170.500
1 ,175
X = 145.106,38
Resposta: Duas prestações de R$ 145.106,38
Questão 5: Outra empresa necessita antecipar o recebimento de um título com
um valor de resgate de $18.000,00, o banco cobra uma taxa de desconto de 36%
ao ano, a juros simples, pelo prazo de 6 meses. Determinar os valores atuais
dessa operação, nas seguintes hipóteses:
(I) utilizando-se desconto racional ou ”por dentro”.
(II) utilizando-se desconto comercial ou por fora”.
(I) Desconto racional
N = 18.000 i = 36% a.a = 3% a.m = 0,03 n = 6 meses 
A= N
(1+i .n)
A= 18.000
(1+0 ,03 .6)
A=18.000
1 ,18
A = 15.254,24
(II) Desconto Comercial
A= N . (1 – i . n) 
A = 18.000(1 – 0,03 . 6)
A = 18.000 . 0,82
A = 14.760,00
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Semestre Letivo: 2021/02
PRIMEIRA AVALIAÇÃO PRESENCIAL APX1 2021-2
Disciplina: Matemática Financeira 
Coordenador: Prof. Dr. Cesar F. dos S. von 
Dollinger
Nome:
Matrícula: Polo:
INSTRUÇÕES: São 5 Questões Dissertativas.
Questão 1: Um produto pode ser comprado à vista com 12% de desconto ou em duas vezes
iguais, “sem juros”, sendo a primeira prestação 30 dias após a compra e a segunda 60 dias
depois. Qual a taxa de juros mensais embutida na operação(utilize a data focal zero)?
Preço à vista / 2 = 50%
À vista com desconto de 12% = 88%
88= 50
(1+i)
+ 50
(1+i)2
 mmc = (1 + i)2 
88( 1 + i)2 = 50(1 + i) + 50
88(1 + 2i + i2) = 50 + 50i + 50
88i2 + 176i + 88 = 50i + 100
88i2 + 126i -12 = 0
X=
−126±√(126)2−[4(88−12)]
176
x=−126+√20.100
176
 x’ = 0,089627
i = 0,089627
i = 8,9627% a.m
Questão 02: Uma loja tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando aos seus
clientes a possibilidade de pagar em três meses sem acréscimo. Neste caso, o preço à vista é
dividido por três e a primeira parcela é paga no ato da compra. Qual é o desconto sobre o preço
à vista que a loja pode conceder, se sua taxa for de 6,0 % a.m.?
n = 3 -1 = 2 meses i = 6% a.m = 0,06 Vr = X
 Vr = X+ X
(1 ,06)1
+ X
(1 ,06)2
Vr = 1X + 0,9434X + 0,8899X
Vr = 2,8333X → Preço à vista é dividido por = 3x 
Vr = 2,8333 X / 3X
Vr = 0,9444
Desconto: 1 – 0,9444 = 0,0556 x 100 = 5,56%
Questão 3: Na venda de um carro, uma concessionária oferece duas opções de pagamentos: 1ª)
$ 50.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $ 40.000,00 e a
segunda de $ 30.000,00. 2ª) sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas
trimestrais: $ 40.000,00 nas duas primeiras, e $ 30.000,00 nas duas últimas. Qual a melhor
alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de juros de 3,0 % a.m.?
I = 0,03
PV 1=50.000+ 40.000
(1,03)6
+ 30.000
(1,03)12
PV1 = 50.000 + 33.499,37 + 21.041,40 = 104.540,77
PV 2= 40.000
(1,03)3
+ 40.000
(1,03)6
+ 30.000
(1,03)9
+ 30.000
(1,03)12
PV2 = 36.605,67 + 33.499,37 + 22.992,50 + 21.041,40 + = 114.138,94
R: A primeira opção é mais vantajosa para o comprador.
Questão 4: Uma empresa possui uma nota promissória com vencimento para 90 dias e valor
nominal igual a $36.000,00. Se a empresa descontasse por dentro esse título a uma taxa de juros
compostos igual a 4,0% a.m., qual seria o valor líquido recebido?
PV = 36.000 i = 0,04 n = 3 m
PV= N
(1+i)n
PV=36.000
(1 ,04)3
N = 32.003,87
Questão 5: Um título, ao ser descontado racionalmente dois meses antes do vencimento, à taxa
simples de 6,0 % a.m., teve valor atual igual a $ 9.000,00. Qual o valor nominal desse título,?
PV = 9.000 I = 0,06 n = 2 m N = ?
PV=N (1+i .n)
N = 9.000(1 + 0,06 . 2)
N = 9.000 . 1,12
N = 10.080,00
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
 Revisão APX1 2021-1
Questão 1: Uma pessoa investe, a juros simples, R$ 3.000,00. Deixa este valor aplicado
durante 6 anos e 8 meses, sob taxa de 0,2 % ao mês. Qual o montante final?
C = 3.000 i = 0,2%a.m = 0,002 n = 80 m
M = C.(1 + i . n)
M = 3.000*(1 + 0,002 .80)
M = 3.000*(1,16)
M = 3.480,00
Questão 02: Umtítulo de valor nominal de R$ 10.000,00 foi descontado à taxa de 5 % ao
mês, 20 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou uma
comissão de 3% sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido recebido?
N = 10.000 i = 5%a.m = 0,05 n = 20 d = 2/3 mês comissão = 300,00 Vc = ?
Obs: pode-se fazer pela fórmula geral do desconto comercial ou pela fórmula do
desconto comercial normal, depois subtrair o valor do desconto e o valor da
comissão, pois o desconto comercial tem como base o valor nominal.
Faremos pela fórmula geral do desconto comercial para achar o valor atual.
N = Vc / 1 – i . n
10.000 = Vc / 1 - 0,05* 2/3)
10.000 = Vc / 0,96666666
Vc = 9.666,67 
menos a comissão então, Valor líquido recebido: 9.666,67 - 300 = 9.366,67
Questão 3: Uma empresa destinou R$ 25.000,00 do seu caixa para ser aplicado e,
após 2 (dois) anos, recebeu R$ 6.743,36 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal
paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado?
M = C + J = 25.000,00 + 6.743,36 = 31.743,36 C = 25.000 n = 2a = 24 meses i = ?
M = C.(1 + i)n
31.743,36 = 25.000 *(1 + i)24
31.743,36/25.000 = (1 + i)24
1,2697344 = (1 + i)24
 24√(1+i )24=24√1 ,2697344 
1 + i = 1,009999
i = 1,009999 – 1
i = 0,009999 x 100
i = 1%
Questão 4: Uma pessoa aluga um imóvel por R$ 1.800,00/mês. Ao pagar o 5º aluguel,
propõe ao proprietário a compra do imóvel por R$ 240.000,00 a ser pago 30 dias após a
negociação e descontando o aluguel já pago. Porém pede que os valores pagos a título de
aluguel sejam corrigidos em 1% a.m. quando efetuar o pagamento. Determinar o valor a
ser pago ao proprietário. Os aluguéis são pagos ao final de cada mês.
Aluguel = 1.800 
Capital= 240.000,00 para pgto 30 dias após a negociação já descontado os alugueis.
I = 1% a.m = 0,01
OBS: Quando não se fala o tipo de capitalização, usa-se a composta.
 
 
0 1 2 3 4 5 
 240.000 
Vlr = 240.000 - [1.800(1,01)4 + 1.800(1,01)3 + 1.800(1,01)2 + 1.800(1,01)1]
Vlr = 240.000 - [ 1.873,08 + 1.854,54 + 1.836,18 + 1.818,00 ]
Vlr = 240.000,00 – 7.381,80
Vlr = 232.618,20
OBS; Os cálculos acima são diferentes de 1.800(1,01)4, visto o valor ser corrigido é a cada mês.
Questão 5: Um título com um valor de resgate de $12.000,00, é descontado com uma taxa
de desconto de 30% ao ano, a juros simples, pelo prazo de três meses. Determinar os
valores atuais dessa operação, nas seguintes hipóteses:
(I) utilizando-se desconto racional ou ”por dentro”.
(II) utilizando-se desconto comercial ou por fora”.
N = 12.000 
I = 30% a.a = 30%/12 = 2,5%a.m = 0,025
n = 3 meses 
Vr = ? 
R : ( I ) - Desconto racional : Aplicação direta de fórmula tendo como base o valor nominal
Vr= N
(1+i .n) 
Vr= 12.000
(1+0 ,025 .3) 
Vr=12.000
1,075
 Vr = 11.162,79
R: ( II ) - Desconto Comercial: Como temos o valor nominal, pode-se fazer por qualquer uma
das duas fórmulas.
Dc = N . i . n
Dc = 12.000 * 0,025 * 3
Dc = 900
Como Vc = N - Dc então,
Vc = 12.000 – 900
Vc = 11.100,00
Fórmula Geral do desconto comercial
N= Vc
(1−i .n)
12 ,000= Vc
(1−0 ,025 .3)
12.000= Vc
0 ,925
Vc = 11.100,00
Questão 6: Um cidadão consultou um analista de investimentos que propôs uma carteira
de investimentos com a seguinte composição: 20% do seu capital em renda variável, 25 %
em Renda Fixa, 10% em tesouro SELIC e o restante em um fundo de investimentos. Após
1 ano ele obteve os seguintes resultados: ações valorizaram 3%, Renda Fixa rendeu 2,5%,
tesouro SELIC rendeu 2,25% e o fundo de investimentos rendeu 4,5%. Qual o resultado
obtido por sua carteira de investimento?
Renda variável ações 20% → 20% + 3% = 20,600%
Renda fixa 25% → 25% + 2,5% = 25,625%
Tesouro Selic 10% → 10% + 2.25% = 10,225%
O restante 45% → 45% + 4,5% = 47,025%
 Total = 103,475%
Conclusão: Este cidadão obteve um lucro de 3,475% em sua carteira de investimento.
Ou
(0,2 x 0,03) + (0,25 x 0,025) + (0,1 x 0,0225) + (0,45 x 0,045) =
0,006 + 0,00625 + 0,00225 + 0,02025 =
0,03475 x 100 = 3,475%
Questão 7) Um empréstimo de R$ 12.000,00 foi realizado com uma taxa de juros simples
de 36% a.a, capitalizada semestralmente, e deverá ser liquidada através do pagamento de
duas prestações semestrais iguais e consecutivas. Qual o valor que mais se aproxima do
valor unitário de cada prestação.
Vr = 12.000 i = 36%/2 = 18% a.s = 0,18 n = 2 sem
12.000
 semestres
 X X
Vr= X
(1+i .n)
12.000= X
(1+0 ,18x 1)
+ X
(1+0 ,18 x2)
12.000= X
(1,18)
+ X
(1 ,36)
12.000 = 1,582751745.X
X= 12.000
1 ,582751745
X = 7.581,73