Circuitos Lógicos e Portas Lógicas

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UPEM
Núcleo de Pesquisa em Mecatrônica 
CEFET/RJ campus Nova Iguaçu
Sistemas Digitais
(GELE1631-GELE1622)
Caṕıtulo 3
Descrevendo Circuitos Lógicos
Rene Cruz Freire
rene.freire@cefet-rj.br
Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Campus Nova Iguaçu
8/2023
Sumário
Constantes e variáveis booleanas
Tabelas-verdade
Operação OR (OU) com porta OR
Operação AND (E) com porta AND
Operação NOT (NÃO) ou inversão
Descrevendo circuitos lógicos algebricamente
Avaliando as sáıdas dos circuitos lógicos
Implementando circuitos a partir de expressões booleanas
Portas NOR e portas NAND
Teoremas booleanos
Teoremas de DeMorgan
Universalidade das portas NAND e NOR
Simbologia alternativa para portas lógicas
Que simbologia de portas lógicas usar
Atraso de propagação
Lógica booleana
▶ Em 1854, George Boole escreve “Uma Investigação das Leis
do Pensamento”
▶ Descrição do modo como decisões lógicas são tomadas com
base em circunstâncias verdadeiras ou falsas
▶ O método utilizado por Boole é conhecido hoje como
álgebra booleana
▶ Constantes e variáveis podem ter apenas dois valores
posśıveis, 0 ou 1
▶ O ńıvel de tensão de uma variável é denominado ńıvel lógico
Lógica booleana
▶ A letra A pode ser utilizada para representar uma entrada
ou uma sáıda de um determinado circuito digital
▶ Assim, A = 0 ou A = 1 (e apenas estes dois valores)
▶ Na lógica booleana, não existem: frações, decimais,
números negativos, ráızes quadradas, ráızes cúbicas,
logaritmos, números imaginários, e assim por diante
▶ A lógica booleana tem apenas três operações básicas: OR
(OU), AND (E) e NOT (NÃO)
Portas lógicas
▶ As operações que citamos são as chamadas operações
lógicas
▶ Os circuitos digitais que implementam tais operações
lógicas são denominados portas lógicas
▶ Constrúıdas a partir de diodos, transistores e resistores
interconectados de modo que a sáıda do circuito seja o
resultado de uma operação lógica básica (OR, AND ou
NOT)
Definição de tabela-verdade
▶ Descrição (completa) de como as sáıdas de um circuito
lógico dependem dos ńıveis lógicos de entrada
▶ Número de linhas igual a 2N , para N entradas
▶ É utilizada a sequencia binária para evitar esquecer alguma
combinação
Porta lógica OR
▶ A sáıda só é nula quando ambas as entradas forem nulas
x = A+ B
▶ O sinal + não representa adição convencional, mas sim a
operação OR
▶ Funciona parecido com o + convencional, exceto para
A = B = 1, em que 1 + 1 = 1 ̸= 2
▶ Algo similar ocorre quando temos mais de duas entradas,
por exemplo: 1 + 1 + 1 = 1
▶ Lembre-se de que só existem os valores 0 e 1!
Porta lógica OR
▶ Exemplo: lâmpada dentro de um forno
▶ Acende quando:
▶ Interruptor é acionado ou (OR) a porta do forno é aberta
▶ A porta OR tem duas ou mais entradas
Resumo da operação lógica OR
▶ A operação OR gera um resultado (sáıda) 1 sempre que
quaisquer das entradas for 1. Caso contrário, a sáıda é 0
▶ Uma porta OR é um circuito lógico que realiza uma
operação OR sobre as entradas do circuito
▶ A expressão x = A+ B é lida ‘x é igual a A ou B ’
Exemplo
▶ Em um processo qúımico, pode ser necessário que um
alarme seja ativado sempre que a temperatura do processo
exceder um valor máximo OU sempre que a pressão
ultrapassar certo limite
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A e B dadas na figura
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A e B dadas na figura
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A, B e C na figura
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A, B e C na figura
Exemplo
▶ No exemplo anterior, houve um pequeno intervalo de
tempo onde a sáıda fica indefinida (não conseguimos prever
qual o valor exato), evidenciado pela presença de um spike
ou glitch
Porta lógica AND
▶ A sáıda só é 1 quando todas as entradas forem 1
x = A · B
▶ O sinal · não representa multiplicação convencional, mas
sim a operação AND, porém funciona da mesma forma
Porta lógica AND
▶ Exemplo: máquina de lavar roupas
▶ Só funciona quando:
▶ Temporizador acima de zero (E) a porta da máquina está
fechada
▶ A porta AND tem duas ou mais entradas
Resumo da operação lógica AND
▶ A operação AND gera um resultado (sáıda) 1 somente
quando todas as entradas for 1. Caso contrário, a sáıda é 0
▶ Uma porta AND é um circuito lógico que realiza uma
operação AND sobre as entradas do circuito
▶ A expressão x = A · B = AB é lida ‘x é igual a A e B ’
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A e B dadas na figura
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A e B dadas na figura
Exemplo
▶ Determinar a sáıda para as entradas A e B dadas na figura
▶ Circuito inibidor: B funciona como uma entrada de
controle. Quando B = 1, temos a habilitação da entrada A
Porta lógica NOT ou INVERSOR
▶ Só pode ser realizada sobre uma única variável (entrada
única)
▶ A sáıda é o “complementar” da entrada
x = A
▶ ‘x é igual a A negado’, ou ‘x é igual ao inverso de A’, ou ‘x
é igual ao complemento de A’
Porta lógica NOT
▶ Temos
0 = 1
1 = 0
▶ Algumas vezes, denotamos A = A′
Exemplo
▶ Indicar se um botão não está pressionado
Resumo das operações lógicas AND, OR e NOT
▶ OR
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
▶ AND
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
▶ NOT
0 = 1
1 = 0
Universalidade das portas OR, AND e INVERSOR
▶ As portas lógicas OR, AND e INVERSOR são os blocos
básicos para a implementação de circuitos digitais
▶ Assim, as operações booleanas OR, AND e INVERSÃO
permitem descrever qualquer circuito digital
Universalidade das portas OR, AND e INVERSOR
▶ As portas lógicas OR, AND e INVERSOR são os blocos
básicos para a implementação de circuitos digitais
▶ Assim, as operações booleanas OR, AND e INVERSÃO
permitem descrever qualquer circuito digital
Precedência das operações e circuitos com inversores
▶ Primeiro AND e depois OR, a menos que parênteses sejam
utilizados para modificar esta ordem
▶ Observe a notação com barras abaixo
Precedência das operações e circuitos com inversores
▶ Primeiro AND e depois OR, a menos que parênteses sejam
utilizados para modificar esta ordem
▶ Observe a notação com barras abaixo
Circuitos com inversores
Circuitos com inversores
Determinação de sáıdas
▶ Considere o caso em que A = 0,B = 1,C = 1 e D = 1 na
seguinte expressão:
▶ ABC (A+D)
x = ABC (A+D)
= 0 · 1 · 1 · (0 + 1)
= 1 · 1 · 1 · (1)
= 1 · 1 · 1 · 0
= 0
Determinação de sáıdas
▶ Considere o caso em que A = 0,B = 1,C = 1 e D = 1 na
seguinte expressão:
▶ ABC (A+D)
x = ABC (A+D)
= 0 · 1 · 1 · (0 + 1)
= 1 · 1 · 1 · (1)
= 1 · 1 · 1 · 0
= 0
Determinação de sáıdas
▶ Considere o caso em que A = 0,B = 0,C = 1,D = 1 e
E = 1 na seguinte expressão:
▶ [D + (A+ B)C ] · E
x = [D + (A+ B)C ] · E
= [1 + (0 + 0) · 1] · 1
= [1 + 0 · 1] · 1
= [1 + 0] · 1
= [1 + 1] · 1
= 1 · 1
= 1
Determinação de sáıdas
▶ Considere o caso em que A = 0,B = 0,C = 1,D = 1 e
E = 1 na seguinte expressão:
▶ [D + (A+ B)C ] · E
x = [D + (A+ B)C ] · E
= [1 + (0 + 0) · 1] · 1
= [1 + 0 · 1] · 1
= [1 + 0] · 1
= [1 + 1] · 1
= 1 · 1
= 1
Procedimento para determinação de sáıdas
▶ Primeiro, realize as inversões de termos simples, ou seja
0 = 1 ou 1 = 0
▶ Em seguida, realize as operações dentro de parênteses
▶ Realize as operações AND antes das operações OR, a
menos que os parênteses indiquem o contrário
▶ Se uma expressão tiver uma barra sobre, realize a operação
indicada pela expressão e, em seguida, inverta o resultado
Análise utilizando tabela-verdade
Análise utilizando tabela-verdade
Implementação
▶ Suponha que desejamos construir um circuito cuja sáıda
seja
y = AC + BC +ABC
Implementação
▶ Suponha que desejamos construir um circuito cuja sáıda
seja
y = AC + BC +ABC
Implementação
▶ Suponha que desejamosconstruir um circuito cuja sáıda
seja
y = AC + BC +ABC
Exerćıcio
1. Desenhe o diagrama de circuito que implemente
x = (A+ B)(B + C )
2. Desenhe o diagrama de circuito que implemente
x = ABC (A+D)
3. Desenhe o diagrama de circuito que implemente
x = [D + (A+ B)C ] · E
Porta NOR (Não-OU)
▶ Operação NOR: x = A+ B
Exemplo
▶ Desenhar a forma de onda de sáıda
Exemplo
▶ Desenhar a forma de onda de sáıda
Exemplo
▶ Determinar a expressão booleana para uma porta NOR de
três entradas seguida de um INVERSOR
Exemplo
▶ Determinar a expressão booleana para uma porta NOR de
três entradas seguida de um INVERSOR
Porta NAND (Não-AND)
▶ Operação NAND: x = A · B
Exemplo
▶ Desenhar a forma de onda de sáıda
Exemplo
▶ Desenhar a forma de onda de sáıda
Exemplo
▶ Implementar um circuito lógico que tem como expressão
x = AB · (C +D) usando apenas portas NOR e NAND
Exemplo
▶ Implementar um circuito lógico que tem como expressão
x = AB · (C +D) usando apenas portas NOR e NAND
Exerćıcio
1. Qual é o único conjunto de condições de entrada que
produz uma sáıda ńıvel ALTO em uma porta NOR de três
entradas?
2. Troque a porta NOR da figura anterior por uma porta
NAND e vice-versa. Qual é a nova expressão para x?
Teoremas para uma única variável
Teoremas para uma única variável
▶ Nos teoremas anteriores, x pode ser uma expressão
▶ Exemplo de aplicação do teorema (4) em uma expressão:
▶ AB(AB) = xx = 0, onde x = AB
Teoremas para mais de uma variável
(9) x + y = y + x
(10) x · y = y · x
(11) x + (y + z ) = (x + y) + z = x + y + z
(12) x · (y · z ) = (x · y) · z = x · y · z
(13a) x (y + z ) = xy + xz
(13b) (w + x )(y + z ) = wy + xy + wz + xz
(14) x + xy = x
(15a) x + xy = x + y
(15b) x + xy = x + y
Exemplos
▶ Simplifique a expressão y = ABD +AB D
▶ Simplifique a expressão z = (A+ B)(A+ B)
▶ Simplifique a expressão x = ACD +ABCD
▶ Simplifique a expressão s = XYZW +XYZ W
▶ Simplifique a expressão s = (A+AC )B +AB
Exerćıcios
▶ Simplifique a expressão y = AC +ABC
▶ Simplifique a expressão y = ABCD +AB C D
▶ Simplifique a expressão x = AD +ABD
Teoremas para mais de uma variável (continuação)
(16) (x + y) = x · y
(17) (x · y) = x + y
Observe que o teorema DeMorgan permite a troca de portas NOR por portas
AND (com as entradas negadas). Assim como portas NAND por portas OR com
as entradas negadas!
Teoremas para mais de uma variável (continuação)
▶ Para três entradas, por exemplo, teŕıamos
x + y + z = x · y · z
x · y · z = x + y + z
▶ Também aplicáveis em expressões, e.g.
(AB + C ) = (AB) · C
= (A+ B) · C
= (A+ B) · C
= AC + BC
Implicações dos teoremas de DeMorgan
Exemplos
▶ Simplifique a expressão z = (A+ C ) · (B +D) para que
tenha apenas operações AND, OR e NOT
▶ Simplifique a expressão z = A+ B · C para que tenha
apenas operações AND, OR e NOT
▶ Simplifique a expressão z = (A+ BC ) · (D + EF ) para que
tenha apenas operações AND, OR e NOT
▶ Simplifique a expressão z = (X Y +XZ ) (X +Y Z ) para
que tenha apenas operações AND, OR e NOT
Exerćıcios
1. Simplifique a expressão z = (A+ B) · (C ) para que tenha
apenas operações AND, OR e NOT
2. Simplifique a expressão z = RST +Q para que tenha
apenas operações AND, OR e NOT
3. Simplifique a expressão z = A+ B + CD para que tenha
apenas operações AND, OR e NOT
4. Implemente um circuito que tem como expressão de sáıda
z = ABC usando apenas uma porta NOR e um
INVERSOR
Exerćıcio
1. Determine a expressão de sáıda do circuito abaixo e
simplifique-a usando os teoremas de DeMorgan
Exerćıcio
1. Determine a expressão de sáıda do circuito abaixo e
simplifique-a usando os teoremas de DeMorgan
Portas NAND para implementar qualquer operação
booleana básica
Portas NOR para implementar qualquer operação
booleana básica
Exemplo
Em um processo de fabricação, uma esteira de transporte deve
ser desligada sempre que determinadas condições ocorrerem.
Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados
por quatro sinais lógicos:
▶ o A será ALTO sempre que a velocidade da esteira de
transporte for muito alta;
▶ o B será ALTO sempre que o recepiente localizado no final
da esteira estiver cheio;
▶ o C será ALTO sempre que a tensão na esteira for muito
alta;
▶ o D será ALTO sempre que o comando manual estiver
desabilitado.
Um circuito lógico é necessário para gera um sinal x que será
ALTO sempre que as condições A e B ou C e D ocorrerem, ou
seja, x = AB + CD . Deseja-se implementar o circuito com um
número mı́nimo de CIs.
Exemplo (continuação)
Exemplo (continuação)
Exemplo (continuação)
Exerćıcios
1. Quantas formas diferentes temos agora para implementar a
operação de inversão em um circuito lógico?
2. Implemente a expressão x = (A+ B)(C +D) usando
portas OR e AND. Em seguida, implemente usando apenas
portas NOR. Qual dos circuitos é mais eficiente?
Śımbolos-padrão e śımbolos alternativos
Śımbolos-padrão e śımbolos alternativos
▶ As equivalências podem ser estendidas para portas com
qualquer número de entradas
▶ Nenhum dos śımbolos-padrão tem pequenos ćırculos em
suas entradas, mas todos os alternativos os têm
▶ Os śımbolos-padrão e os śımbolos alternativos para cada
porta representam o mesmo circuito f́ısico
Interpretação de śımbolos lógicos
▶ Linha de entrada/sáıda de um circuito lógico sem um
pequeno ćırculo
▶ Ativa em ńıvel lógico alto, ou simplesmente, ativa-em-alto
▶ Linha de entrada/sáıda de um circuito lógico com um
pequeno ćırculo
▶ Ativa em ńıvel lógico baixo, ou simplesmente,
ativa-em-baixo
Interpretação de śımbolos lógicos
▶ Para interpretar a operação de uma porta lógica
▶ Observe qual estado lógico (0 ou 1) é o ativo para as
entradas e para as sáıdas
▶ Identifique qual estado de sáıda é gerado quando todas as
entradas estão em seu estado ativo (AND)
▶ Identifique qual estado de sáıda é gerado quando quaisquer
as entradas estão em seu estado ativo (OR)
Exemplo
Descreva a interpretação dos dois śımbolos para a porta OR
Qual diagrama de circuito deve ser usado?
▶ A sáıda será utilizada para ativar algo quando for 1?
▶ Usar ativa-em-alto
▶ Sempre que posśıvel escolha os śımbolos de portas para que
os pequenos ćırculos nas sáıdas sejam conectados a
pequenos ćırculos nas entradas
▶ Sempre que posśıvel escolha os śımbolos de portas para que
as sáıdas sem ćırculos sejam conectadas a entradas sem
ćırculos
Exemplo
O circuito lógico da figura está sendo utilizado para ativar um
alarme quando a sáıda Z for para ńıvel ALTO
Exemplo
O circuito lógico da figura está sendo utilizado para ativar um
outro circuito lógico quando a sáıda Z for para ńıvel BAIXO.
Modifique o diagrama de circuito para representar mais
efetivamente sua operação
Exerćıcio
O circuito lógico da figura gera uma sáıda MEM usada para
ativar CIs de memória em um determinado microcomputador.
Determine as condições necessárias para ativar MEM
Nomenclatura
▶ Acionado = ativo
▶ Não acionado = inativo
▶ Sinais ativos em ńıvel BAIXO geralmente são denotados
com uma barra sobre o nome
▶ RD ,ROM−A,ROM−B ,RAM ,MEM
▶ Pode ser que sinais de sáıda tenham duas importantes
funções, tanto no estado ALTO como BAIXO
▶ É comum nomear os dois estados
▶ read/write, RD/WR
Atraso
▶ O atraso de propagação é o tempo necessário para um
sistema produzir uma sáıda válida após receber uma
entrada válida
▶ Transições entre ńıveis não são verticais (instantâneas)
▶ Podemos, por convenção, medir o atraso entre os valores de
50% de entrada e 50% de sáıda
▶ O tempo necessário para ir de ALTO para BAIXO, tPHL,
não precisa ser igual ao tempo de propagação de BAIXO
para ALTO, tPLH
▶ A velocidade de um circuito lógico está relacionada com o
atraso de propagação
▶ Informações sobre os atrasos de propagação podem ser
encontradasnos datasheets dos dispositivos utilizados
Atraso
Exemplo
As seguintes expressões descrevem o modo como um circuito
lógico precisa operar a fim de acionar um indicador de alerta de
cinto de segurança em um carro:
“Se o motorista estiver presente E NÃO estiver
usando cinto E a ignição estiver acionada, ENTÃO
acenda a luz de advertência”
Descreva o circuito usando lógica booleana, diagramas de
śımbolos lógicos, tabelas-verdade e diagramas de tempo
Exemplo (continuação)
Exemplo (continuação)
Exerćıcios - Caṕıtulo 3
▶ Operações OR com porta OR - 3.2, 3.4;
▶ Operações AND com porta AND - 3.6;
▶ Operação NOT, Descrevendo Circuitos Lógicos
Algebricamente e Avaliando as Sáıdas dos Circuitos
Lógicos - 3.12 (b);
▶ Implementando Circuitos a Partir de Expressôes Booleanas
- 3.16;
▶ Portas NOR e NAND - 3.19;
▶ Teoremas de DeMorgan e Universalidade das portas NAND
e NOR - 3.25, 3.28, 3.29, 3.31, 3.32;
▶ Simbologia Alternativa para Portas Lógicas e Que
Simbologia de Porta Lógica Utilizar - 3.35.
	Sumário
	Constantes e variáveis booleanas
	Tabelas-verdade
	Operação OR (OU) com porta OR
	Operação AND (E) com porta AND
	Operação NOT (NÃO) ou inversão
	Descrevendo circuitos lógicos algebricamente
	Avaliando as saídas dos circuitos lógicos
	Implementando circuitos a partir de expressões booleanas
	Portas NOR e portas NAND
	Teoremas booleanos
	Teoremas de DeMorgan
	Universalidade das portas NAND e NOR
	Simbologia alternativa para portas lógicas
	Que simbologia de portas lógicas usar
	Atraso de propagação