Caderno de exercícios OBMEP - Razões e Proporções

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Razões e Proporções
Números Diretamente e Inversamente Proporcionais
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Numa festa há 518 pessoas. Sabe-se que para
cada 6 homens há 8 mulheres.
a) Quantas mulheres há na festa?
b) Quantos homens há na festa?
Exerćıcio 2. Uma máquina X pode terminar um trabalho
em 30 horas. O mesmo seria feito pela máquina Y em 35 ho-
ras. Se X trabalha apenas 18 horas e depois quebra, devendo
o restante do trabalho ser feito por Y, quantas horas ficará Y
trabalhando para cumprir o feito?
Exerćıcio 3. Uma torneira pode encher um tanque em 9
horas e outra pode fazer o mesmo serviço em 12 horas. Po-
demos juntar a essas duas torneiras uma terceira, todas tra-
balhando ao mesmo tempo, e o tanque ficará cheio em 4.
Qual o tempo que a terceira levaria trabalhando sozinho para
encher todo o tanque?
Exerćıcio 4. Cinco torneiras idênticas enchem um tanque
em 144 minutos.
a) Quantas dessas torneiras são necessárias para encher o
tanque em uma hora e meia?
b) Houve problemas com n torneiras, elas não poderão mais
ser usadas, e assim o tempo para se encher o tanque com
todas as demais em pleno funcionamento mudou para
360 minutos. Qual o valor de m?
Exerćıcio 5. Rodrigo e Júnior trabalham carregando ca-
minhões. Para carregar um caminhão, Rodrigo leva 20 minu-
tos. Juntos, conseguem fazê-lo em 15 minutos. Em quanto
tempo Júnior, sozinho, é capaz de carregar um caminhão?
Exerćıcio 6. Arnaldo, Bráulio e Carlos participarão de uma
corrida de rua. Depois de algumas semanas, eles estavam
discutindo suas estratégias. Arnaldo corre a primeira metade
da distância total da corrida a 9km/h e a segunda metade a
11km/h. Já Bráulio corre um terço da distância a 9km/h, o
segundo terço a 10km/h e, por fim, o último terço a 11km/h.
Carlos usa uma estratégia diferente dos dois primeiros, ele
corre metade do seu tempo total de corrida a 9km/h e a
metade final do tempo a 11km/h. Determine a ordem entre
os tempos totais de Arnaldo, Bráulio e Carlos de chegada ao
final da corrida.
Exerćıcio 7. Uma empresa de impressões digitais tem uma
copiadora A que imprime 500 páginas em oito minutos. O
dono da empresa decide comprar outra máquina copiadora B
mais moderna e observa que as duas máquinas trabalhando
juntas imprimem 500 páginas em dois minutos. Em quanto
tempo a máquina B imprime 500 páginas?
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 8. Sabe-se que a distância real, em linha reta, de
Recife para Vitória de Santo Antão é igual a 45 quilômetros.
Um estudante do IFPE, ao analisar um mapa, constatou com
sua régua que a distância entre essas duas cidades era de 5
centı́metros. De acordo com o texto, qual a escala do mapa
observado pelo estudante?
Exerćıcio 9. Numa fazenda há 5 cavalos que consomem 300
kg de ração em 6 dias. Suponha que todos eles consomem
por dia a mesma quantidade de ração. Com apenas 240 kg de
ração, 12 cavalos iguais aos dessa fazenda seriam alimentados
durante quantos dias?
Exerćıcio 10. Duas velas homogêneas e de comprimen-
tos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem
um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas.
Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo tempo.
Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da
outra. Por quanto tempo ficaram acesas ?
Exerćıcio 11. Uma biblioteca precisa encadernar alguns li-
vros. Uma oficina pode encadernar estes livros em 30 dias,
outra em 45 dias. Em quantos dias estas oficinas podem
cumprir a tarefa se trabalharam ao mesmo tempo?
Exerćıcio 12. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes,
deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de
água potável permite a cada pessoa dispor de 3, 5 litros de
água por dia (e é o que os tripulantes fazem). Após 12 dias
de viagem, o barco encontra 3 náufragos numa jangada e os
acolhe. Pergunta-se:
a) Quantos litros de água por dia caberão agora a cada pes-
soa se a viagem prosseguir como antes?
b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3, 5
litros de água cada um, em quantos dias, no máximo, será
necessário encontrar uma ilha onde haja água?
Exerćıcio 13. Um dos grandes problemas enfrentados nas
rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos
caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites
legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso
excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga
interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da
suspensão do veı́culo, causas frequentes de acidentes. Ciente
dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida
com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão
pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Consi-
derando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos
tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo
a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?
Exerćıcio 14. Um automóvel pode andar, sem se abastecer
e consumo constante, durante 360 minutos. Tendo saı́do com
um furo no tanque de combustı́vel, que escoa uma quanti-
dade de combustı́vel numa vazão constante, ele andou apenas
144 minutos. Qual a fração da quantidade de combustı́vel
que escoaria caso ficasse 15 minutos parado?
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3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 15. Em uma padaria, 10 litros de uma mistura de
café com leite, em quantidades iguais, é vendida no café da
manhã. Para obter um teor de
4
5
de café e
1
5
de leite, quantos
litros de qual lı́quido deve-se acrescentar aos 10 litros da
mistura?
Exerćıcio 16. Um grupo de pessoas foi dividido em duas
metades. Na primeira metade, a razão do número de homens
para o mulheres é de 1 para 2, na segunda metade, a razão
do número de mulheres para o de homens é de 2 para 3. No
grupo todo, qual a razão do número de mulheres para o de
homens?
Exerćıcio 17. Três carros partem de uma cidade A ao
mesmo tempo e percorrem um caminho fechado composto
por três segmentos de reta AB, BC e CA. As velocidades
do primeiro carro sobre esses segmentos são 12, 10 e 15
quilômetros por hora, respectivamente. As velocidades do
segundo carro são 15, 15 e 10 quilômetros por hora, respec-
tivamente. Finalmente, as velocidades do terceiro carro são
10, 20 e 12 quilômetros por hora, respectivamente. Encontre
o valor do ângulo ∠ABC, sabendo que todos os três carros
terminam na cidade A ao mesmo tempo.
Exerćıcio 18. Dois recipientes, R1 e R2, contêm a mesma
quantidade de misturas de álcool e água, nas respectivas
proporções: 3 : 5, em R1 e 2 : 3 em R2. Juntando-se em um
terceiro recipiente os conteúdos de R1 e R2, qual a proporção
de álcool e água nesta mistura?
Exerćıcio 19. Usando uma balança de dois pratos, verifica-
mos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 bananas e que
3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se colocarmos 9
laranjas num prato da balança, quantos abacates deveremos
colocar no outro prato, para equilibrar a balança?
Exerćıcio 20. Rosa resolveu distribuir R$250, 00 para seus
sobrinhos, dando a mesma quantia inteira (sem centavos)
para cada um e percebeu que sobrariam R$10, 00. Então,
ela pensou em diminuir em R$1, 00 a quantia de cada um
e descobriu que sobrariam R$22, 00. Por fim, ela resolveu
distribuir apenas R$240, 00. Quanto ganhou cada sobrinho?
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Razões e Proporções
Propriedades de Proporções
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. A primeira fase da Olimpı́ada de Ma-
temática contou com a participação de 520 mil alunos.
Os organizadores determinaram que a proporção entre
aprovados e reprovados fosse de 3 para 7. Quantos
estudantes passarão para a próxima fase da Olimpı́ada?
Exerćıcio 2. Uma receita para fazer um bolo grande
leva 8 ovos e 6 xı́caras de açúcar. Sem essas quantidades
o bolo não fica pronto no tamanho adequado.
a) Se quisermos mudar a quantidade de bolos desse
tipo feitos, as quantidades de ovos e xı́caras serãoalteradas de modo proporcional? Caso sim, defina o
tipo (direto ou inverso) de proporção.
b) Se quisermos fazer quatro bolos grandes, quantos
ovos e quantas xı́caras de açúcar serão necessários?
c) Se quisermos fazer a mesma receita reduzindo o
tamanho do bolo e usando apenas 3 ovos, qual a
quantidade correta de açúcar?
Exerćıcio 3. Uma indústria de bebidas criou um
brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa
de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a
20% das originais.
a) Que tipo de proporcionalidade direta existe nesse
problema: linear, superficial ou volumétrica?
b) Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida,
qual a capacidade da garrafa original?
Exerćıcio 4. A soma das notas obtidas por Fausto nas
provas A, B e C de anatomia é igual a 170 pontos, sendo
a diferença entre a maior e a menor nota igual a 50
pontos. Sabe-se que as notas são distintas, expressas em
múltiplos de 10, e que nenhuma delas foi zero. Para a
obtenção da média final, a menor nota pode ser elimi-
nada e a nota final é o resultado da divisão do dobro da
maior nota somado com a outra nota e divido por três.
Nessas condições, qual a média final de Fausto nessa
disciplina?
Exerćıcio 5. Semanalmente, o apresentador de um
programa televisivo reparte uma mesma quantia em
dinheiro igualmente entre os vencedores de um con-
curso. Na semana passada, cada um dos 15 vencedores
recebeu R$ 720, 00. Nesta semana, houve 24 vencedores;
portanto, qual a quantia, em reais, recebida por cada
um deles?
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 6. Em uma corrida de táxi, é cobrado um
valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma
quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se
por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28, 50 e por uma
corrida de 5 km paga-se R$ 19, 50, então:
a) quais as grandesas diretamente proporcionais nessa
situação problema?
b) qual o valor da bandeirada?
Exerćıcio 7. A proporção entre as medalhas de ouro,
prata e bronze de um atleta é 3 : 4 : 7, respectivamente.
Quantas medalhas de ouro, prata e bronze espera-se
que esse atleta obtenha em 70 jogos, se essa proporção se
mantiver e ele conquistar medalhas em todos os jogos?
Exerćıcio 8. A fábrica do Sr. Eusébio possui 12
máquinas, de mesmo tipo e capacidade, que usualmente
executam determinada tarefa em 16 dias, funcionando
6 horas por dia. Como quatro dessas máquinas ficaram
inutilizadas, as restantes passaram a ser colocadas em
funcionamento 8 horas por dia. Nessas condições:
a) o tempo (em dias) é direta ou inversamente proporci-
onal à quantidade de máquinas para se realizar um
determinado trabalho?
b) o tempo (em horas) é direta ou inversamente pro-
porcional à quantidade de máquinas para se realizar
um determinado trabalho?
c) em quanto tempo a mesma tarefa será executada?
Exerćıcio 9. A razão entre a idade de Pedro e a de seu
pai é igual a
2
9
. Se a soma das duas idades é igual a 55
anos, então qual a idade de Pedro?
Exerćıcio 10. A maquete de um barco foi feita na es-
cala linear para comprimentos de 1:50. A maquete foi
feita com o mesmo material com que será construı́do o
barco. Se a massa da maquete é de 800 gramas, então
qual a massa do barco, em toneladas?
Exerćıcio 11. A Dra. Judith sempre atende, no seu
consultório, o mesmo número de pacientes a cada turno
de quatro horas de trabalho. Ela percebeu que, gastando
em média vinte e cinco minutos para atender cada paci-
ente, sempre trabalhava 1 hora além do seu expediente.
Para que ela atenda o mesmo número de pacientes e
cumpra exatamente o horário previsto para cada turno,
o atendimento por cada paciente deve durar, em média,
quantos minutos?
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3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 12. Considere 3 trabalhadores. O segundo
e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em
12 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazer o
mesmo trabalho em 10 dias, enquanto que o primeiro e o
segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos
dias, os três juntos podem fazer o mesmo trabalho?
Exerćıcio 13. Em determinada fase do desenvolvi-
mento de uma criança existe, entre ela e seu pai, uma
semelhança matemática, entre várias grandezas como
altura, comprimento das pernas e massa corpórea (que
corresponde matematicamente ao volume de um corpo).
Sabendo que as alturas do pai e da criança são, res-
pectivamente, 1, 80 m e 1, 38 m e que o pai tem 75 kg
de massa corpórea, qual o valor que pode-se concluir
aproximadamente para a massa corpórea dessa criança,
em kg?
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Razões e Proporções
Proporção e Conceitos Relacionados
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Dados os números reais a, b, c e d. Dizemos
que eles são diretamente proporcionais se
a
b
=
c
d
, com b e d não nulos
e lê-se a está para b assim como c está para d. Verifique se os
números abaixo, na ordem dada, são diretamente proporcio-
nais.
a) (2, 4, 3, 6).
b) (2, 15, 3, 60).
c) (4, 20, 15, 75).
Exerćıcio 2. Dados os números reais a, b, c e d. Dizemos
que eles são inversamente proporcionais se
a
1
b
=
c
1
d
, ou seja, se ab = cd, com b e d não nulos.
Verifique se os números abaixo, na ordem dada, são inversa-
mente proporcionais.
a) (8, 5, 1, 40).
b) (15, 2, 3, 10).
c) (1, 20, 2, 40).
Exerćıcio 3. Prove que se
a
b
=
c
d
e b + d 6= 0, então
a
b
=
c
d
=
a + c
b + d
.
Exerćıcio 4. Dividir um valor n em partes a e b diretamente
proporcionais a x e y é o mesmo que resolver o sistemaa + b = n
a
x
=
b
y
=
a + b
x + y
=
n
x + y
a) Divida o número 400 em partes diretamente proporcionais
aos números 3, 7.
b) Divida o número 180 em partes diretamente proporcionais
aos números 2, 3 e 4.
Exerćıcio 5. Dividir um valor n em partes a e b inversa-
mente proporcionais a x e y é mesmo que resolver o sistema
a + b = n
a
1
x
=
b
1
y
=
a + b
1
x + 1
y
=
n
x+y
xy
a) Divida o número 120 em partes inversamente proporcio-
nais a 2 e 4.
b) Divida o número 72 em parcelas inversamente proporcio-
nais a 3, 4 e 6.
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 6. Em uma padaria, 10 litros de uma mistura de
café com leite, em quantidades iguais, é vendida no café da
manhã. Para obter um teor de
4
5
de café e
1
5
de leite, quantos
litros de cada um desses dois lı́quidos deve-se acrescentar
aos 10 litros da mistura?
Exerćıcio 7. Duas velas homogêneas e de comprimentos
iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um
tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas.
Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo tempo.
Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da
outra. Por quanto tempo ficaram acesas ?
Exerćıcio 8. Uma empresa de impressões digitais tem uma
copiadora A que imprime 500 páginas em oito minutos. O
dono da empresa decide comprar outra máquina copiadora B
mais moderna e observa que as duas máquinas trabalhando
juntas imprimem 500 páginas em dois minutos. Em quanto
tempo a máquina B imprime 500 páginas?
Exerćıcio 9. Se um pacote de biscoito contém 10 biscoitos e
pesa 95 gramas, e se 15 gramas de biscoito correspondem a
90 calorias, quantas calorias tem cada biscoito?
Exerćıcio 10. A distância entre as cidades mineiras de Belo
Horizonte e Montes Claros, em um mapa representado em
escala 1 : 7000000, é de 6, 5 cm. Qual a distância real entre
essas duas cidades?
Exerćıcio 11. Uma composição ferroviária usada para o
transporte de mercadorias faz o percurso entre duas cidades,
distantes 72 km uma da outra, em um intervalo de tempo de
2 h. A locomotiva, que mede 20 m de comprimento, puxa
um comboio formado por N vagões de 15 m de comprimento
cada um. Sabe-se que no meio do caminho entre as duas
cidades existe uma ponte de 490 m de comprimento e que
a composição leva 1 min para atravessá-la completamente.
Nesse sentido, qual o número N de vagões que formam a
composição?
Exerćıcio 12. Um automóvelpode andar, sem abasteci-
mento e mantendo consumo constante, durante 360 minutos.
Tendo saı́do com um furo no tanque de combustı́vel, que
escoa combustı́vel numa vazão constante, ele andou apenas
144 minutos. Qual a fração da quantidade de combustı́vel
que escoaria caso ficasse 15 minutos parado?
Exerćıcio 13. Uma pessoa com 80 kg de massa corporal
iniciou um tratamento médico para redução dessa massa e,
no 15◦ dia do tratamento, já havia reduzido 3 kg. Supondo
que a redução diária de massa seja sempre a mesma, qual o
número de dias necessários, a partir do inı́cio do tratamento,
para que essa pessoa atinja 65 kg?
Exerćıcio 14. Gabriela e Jonas moram na mesma casa e
estudam na mesma escola. Jonas vai de casa à escola em
30 minutos e Gabriela em 40 minutos. Se Gabriela saiu de
casa 5 minutos mais cedo, quantos minutos Jonas levará para
alcançá-la, considerando que as velocidades de ambos são
constantes?
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3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 15. Dois recipientes, R1 e R2, contêm a mesma
quantidade de misturas de álcool e água, nas respectivas
proporções: 3 : 5, em R1 e 2 : 3 em R2. Juntando-se em um
terceiro recipiente os conteúdos de R1 e R2, qual a proporção
de álcool e água nesta mistura?
Exerćıcio 16. Sueli colocou 40 mL de café em uma xı́cara
vazia de 80 mL, e 40 mL de leite em outra xı́cara vazia
de mesmo tamanho. Em seguida, Sueli transferiu metade
do conteúdo da primeira xı́cara para a segunda e, depois
de misturar bem, transferiu metade do novo conteúdo da
segunda xı́cara de volta para a primeira. Do conteúdo final
da primeira xı́cara, a fração correspondente ao leite é
Exerćıcio 17. Na cidade, um automóvel consome 1 litro de
gasolina a cada 10 km percorridos. Já na estrada, o mesmo
veı́culo consome 1 litro de gasolina a cada 18 km percorridos.
Uma pessoa pretende utilizar esse carro para fazer uma
viagem em que 25% do percurso será na cidade e o restante
será na estrada. Nessa viagem, qual será a distância média
percorrida com um 1 litro de gasolina?
Exerćıcio 18. O reservatório de água de uma certa cidade
está com o nı́vel abaixo do recomendado, tendo disponı́vel
apenas 125000 L. Dessa forma, a água que ainda resta deve
passar por um tratamento quı́mico mais intensivo para que
possa ser consumida. Para isso, deve ser misturado cloro
numa razão de 3 g para 12 litros de água. Qual a quanti-
dade de cloro necessária para tratar toda água disponı́vel no
reservatório?
Exerćıcio 19. Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor
inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia pro-
porcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida
de 8 km paga-se R$ 28, 50 e por uma corrida de 5 km paga-se
R$ 19, 50, então qual o valor da bandeirada?
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Razões e Proporções
Regra de 3 Simples e Composta
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Um atleta dá 6 volta numa pista, mantendo
velocidade constante, em 24 minutos. Quantas voltas ele dará
em duas horas?
Exerćıcio 2. O Parque Eólico de Osório é uma usina de
produção de energia eólica na cidade de Osório, no Rio
Grande do Sul, com 150 aerogeradores de 2 Megawatts (MW)
cada. Se forem instalados mais 40 aerogeradores de mesma
potência, qual será o novo total de Megawatts do Parque?
Exerćıcio 3. Dez pessoas realizam um trabalho em 15 dias.
Qual o número de dias em que seis pessoas, com igual força
de trabalho, fariam o mesmo trabalho?
Exerćıcio 4. Duas torneiras jogam água em um reservatório,
uma na razão de 1 m3 por hora e a outra na razão de 1 m3 a
cada 6 horas. Se o reservatório tem 14 m3, em quantas horas
ele estará cheio?
Exerćıcio 5. Na travessia Rio-Niterói há barcas com viagens
que duram 20 minutos e aerobarcos com travessias de 15
minutos. Qual o horário do encontro entre a barca que sai às
10 h e o aerobarco das 10 : 04h, ambos partindo do Rio?
Exerćıcio 6. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros
de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo
uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste com-
bustı́vel para percorrer 259 km. Suponha que um litro de
gasolina custe R$ 2, 20. Qual deve ser o preço do litro do
álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse au-
tomóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como
combustı́vel, seja o mesmo?
Exerćıcio 7. José e Pedro decidiram fazer uma viagem de
férias para o litoral brasileiro. José, que já havia feito este
percurso, afirmou que rodando uma média de 8 horas por
dia a uma velocidade média de 60 km/h, tinha levado 6 dias
para completá-lo. Pedro comprometeu-se a dirigir 9 horas
por dia à velocidade média de 80 km/h. Considerando que
Pedro vá dirigindo, qual a quantidade de dias, que levarão
para completar o percurso da viagem?
Exerćıcio 8. Empregando 3 equipes, consegue-se construir
5 km de estrada em 7 dias, trabalhando 8 horas por dia.
Usando 4 equipes, durante 10 dias, mas trabalhando apenas
6 horas por dia, quantos km de estrada serão construı́dos?
Exerćıcio 9. Dois tanques, em forma de blocos retangulares,
têm o mesmo volume. O primeiro tem 1, 2 m de profundi-
dade e sua tampa mede 18 metros quadrados. O segundo
tem 2 metros de profundidade. Qual deve ser a medida da
tampa para cobri-lo?
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 10. Um muro de 12 metros foi construı́do utili-
zando 2160 tijolos. Caso queira construir um muro de 30
metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos
serão necessários?
Exerćıcio 11. Após o término do vestibular, uma equipe
de 10 professores gastou 24 dias para corrigir as provas.
Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30
professores para corrigir as provas?
Exerćıcio 12. Um acidente num navio deixou cinco
náufragos à deriva, com comida suficiente para alimentá-
los por 18 dias. Dois deles resolveram saltar e tentar chegar
em terra nadando. Com dois náufragos a menos, qual será a
duração dos alimentos?
Exerćıcio 13. Uma empresa tem 750 funcionários e com-
prou marmitas individuais congeladas suficientes para o
almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais
500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas
seria suficiente para quantos dias?
Exerćıcio 14. Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pin-
tar 60 m2. Quantos litros de tinta serão necessários para
pintar 450 m2, da mesma forma como foram pintados os 60
m2?
Exerćıcio 15. Um galpão pode ser construı́do em 48 dias
por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele
deve ser construı́do em 2 semanas, no mesmo ritmo de traba-
lho, quantos pedreiros serão necessários?
Exerćıcio 16. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, ope-
rando durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pe-
dras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos
cada?
Exerćıcio 17. Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias,
trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens,
em quantos dias o circo será armando, trabalhando-se 10
horas por dia?
Exerćıcio 18. Uma montadora recebeu a encomenda de 40
carros. A montadora trabalhou durante 5 dias, utilizando
6 robôs, de mesmo rendimento, que trabalham 8 horas por
dia para atender esta encomenda. Uma outra encomenda foi
feita, para montar 60 carros, mas um dos robôs apresentou
defeito e não pôde começar esse trabalho. Para atender o
segundo pedido, foi preciso trabalhar 12 horas por dia. Qual
o número de dias de trabalho na fábrica foram necessários
para cumprir os dois pedidos?
Exerćıcio 19. Uma mãe recorreu à bula para verificar a do-
sagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula,
recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2
kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou
corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas,
então qual a massa corporal dele?
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3 Exerćıcios de Aprofundamentoe de
Exames
Exerćıcio 20. Se x homens fazem x embrulhos em x segun-
dos. Em quantos segundos y homens farão y embrulhos?
Exerćıcio 21. Quando você entra em um restaurante para
comer pizza espera pagar uma quantia proporcional a quan-
tidade de pizza consumida. Se uma pizza com 20 cm de
diâmetro custa R$ 3, 60, quanto você espera pagar por outra
do mesmo sabor e com 30 cm de diâmetro?
Exerćıcio 22. Um fazendeiro possui ração suficiente para
alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele
vendeu 4 vacas. Passando mais 15 dias ele comprou 9 vacas.
Depois desta última compra, por quantos dias a reserva de
ração foi suficiente para alimentar as vacas?
Exerćıcio 23. Em Tumbólia, um quilograma de moedas de
50 centavos equivale em dinheiro a dois quilogramas de
moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma
moeda de 20 centavos, quanto pesará uma moeda de 50
centavos?
Exerćıcio 24. Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de
100 g de açúcar, 50 g de manteiga, meio litro de leite e 400
g de farinha. Qual é a maior quantidade de bolinhos que
serei capaz de fazer com 500 gramas de açúcar, 300 gramas
de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilos de farinha?
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Razões e Proporções
Regra de 3 Simples e Composta
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Tanto no basquete masculino como no femi-
nino a altura dos aros das cestas é 3, 05 m. Por sua vez, a
altura da rede do voleibol masculino é 2, 43 m e do feminino
2, 24 m. Se as regras do basquete respeitassem as diferenças
de gênero da mesma forma que as regras do voleibol res-
peitam e a altura da cesta do masculino fosse mantida, qual
seria a altura da cesto do basquete feminino?
Exerćıcio 2. Um cano de escoamento, cuja secção transver-
sal tem 5 cm2 de área, esvazia um reservatório de água em
4 horas. Em quanto tempo se esvaziaria esse mesmo reser-
vatório se o cano de escoamento tivesse 12 cm2 de área?
Exerćıcio 3. Para fazer a digitalização de 30 páginas, um
estagiário leva 28 minutos. Se o estagiário trabalhar durante
suas 4 horas e 40 minutos de expediente com o dobro dessa
velocidade de digitalização, nesse expediente de trabalho,
quantas páginas ele será capaz de digitalizar?
Exerćıcio 4. Um livro tem 150 páginas, cada página tem 36
linhas, e cada linha 50 letras. Se quisermos escrever o mesmo
texto em 250 páginas, quantas letras haverá em cada linha
para que cada página tenha 30 linhas?
Exerćıcio 5. Um trator, ao ser puxado por cinco homens
durante 30 minutos, percorre uma distância de 125 metros.
Em quanto tempo o mesmo trator percorrerá a distância de
150 metros ao ser puxado por quatro homens?
Exerćıcio 6. Em uma fábrica 12 máquinas produziram 120
peças em 4 dias. Qual o tempo necessário para que 8
máquinas iguais às primeiras produzam 300 peças?
Exerćıcio 7. Numa editora, 10 digitadores trabalhando 8
horas por dia, digitaram
2
5
de um determinado livro em
10 dias. Então 2 digitadores foram deslocados para outro
serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas 6 horas
por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma
produtividade para completar a digitação do referido livro,
após o deslocamento dos 2 digitadores, quantos dias a equipe
remanescente terá de trabalhar?
Exerćıcio 8. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes,
deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de água
potável permite a cada pessoa dispor de 3, 5 litros de água
por dia (e é isso o que os tripulantes fazem). Após 12 dias
de viagem, o barco encontra 3 náufragos numa jangada e os
acolhe. Pergunta-se:
a) Quantos litros de água por dia caberão agora a cada pes-
soa se a viagem prosseguir como antes?
b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3, 5
litros de água cada um, em quantos dias, no máximo, será
necessário encontrar uma ilha onde haja água?
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 9. Numa fazenda há 5 cavalos que consomem 300
kg de ração em 6 dias. Suponha que todos eles consomem
por dia a mesma quantidade de ração. Com apenas 240 kg de
ração, por quantos dias, 12 cavalos iguais aos dessa fazenda
seriam alimentados?
Exerćıcio 10. A fábrica do Sr. Eusébio possui 12 máquinas,
de mesmo tipo e capacidade, que usualmente executam de-
terminada tarefa em 16 dias, funcionando 6 horas por dia.
Como quatro dessas máquinas ficaram inutilizadas, as res-
tantes passaram a ser colocadas em funcionamento 8 horas
por dia. Nessas condições, em quanto tempo a mesma tarefa
será realizada?
Exerćıcio 11. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sa-
cos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão
32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?
Exerćıcio 12. Para abrir uma valeta de 300 m de compri-
mento por 2 m de profundidade e 80 cm de largura, 25
operários do Serviço de Águas e Esgotos levaram 40 dias. Se
o número de operários é diminuı́do em 20%, a profundidade
da valeta aumentada em 50% e a largura diminuı́da em 25%,
quantos dias são necessários para abrir 160 m de valeta?
Exerćıcio 13. Um fazendeiro, na safra passada, usou 12
camponeses para cortar sua plantação de cana de 120 hectares.
Os trabalhadores concluı́ram o serviço em 7 dias, trabalhando
6 horas por dia. Este ano, o fazendeiro plantou 180 hectares
e precisa fazer o corte de plantação em 5 dias. Com este
objetivo, já fez um acordo com os trabalhadores para que
eles trabalhem 8 horas por dia, mas viu que a equipe de
12 homens usada no anterior não era é suficiente. Quantas
pessoas a mais devem ser contratadas?
Exerćıcio 14. Certo trabalho é feito por 16 tratores iguais
em 10 dias, cada um deles trabalhando 10 horas por dia.
Após dois dias de trabalho , 6 tratores apresentaram defeitos,
não podendo mais serem utilizados. Determinar o numero
de horas por dia que deverão trabalhar os demais tratores,
prevendo que ocorrera um atraso de 8 dias para o término
do trabalho.
Exerćıcio 15. Para executar certa obra em 19 dias, uma
firma de construção contrata 15 operários. Transcorrido 13
dias, 5 deles abandonaram o serviço, e não foram substituı́dos
durante 3 dias. Com quantos operários deverá a firma atacar
a obra a partir do décimo sétimo dia para concluı́-la no prazo
pré-fixado?
Exerćıcio 16. José é 50% mais eficiente do que João. Se
João executa uma tarefa em 12 horas, em quanto tempo esta
mesma tarefa deverá ser executada por José?
Exerćıcio 17. Um grupo de 15 bombeiros parte em uma
expedição, com mantimentos para 20 dias. Passados 5 dias,
um novo grupo de 10 bombeiros, sem mantimentos, se junta
ao anterior. Quantos dias durarão os mantimentos, contados
a partir da chegada do novo grupo?
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3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 18. Um comerciante compra conjuntos de 4 cane-
tas, a 5 reais cada conjunto, e vende essas canetas em pacotes
de três, cobrando 5 reais por pacote. Quantos pacotes ele
deve vender, no mı́nimo, para ter um lucro de 100 reais?
Exerćıcio 19. Os alunos de uma turma vão alugar um
ônibus para um passeio. O valor do aluguel do ônibus é
fixo, isto é, não depende do número de passageiros que serão
transportados. O custo do ônibus é de R$ 30, 00 por pessoa
considerando toda a turma, mas 8 alunos desistiram do pas-
seio e o custo por pessoa passou para R$ 37, 50. Quantos são
os alunos da turma?
Exerćıcio 20. Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30
dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas
por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10
barracões em 20 dias.
Exerćıcio 21. Uma distribuidora de água possui dois tan-
ques com capacidade de 60000 litros cada, um deles comple-
tamente vazio e o outro completamente cheio. No mesmo
instante, o primeiro começa a ser enchido a uma taxa cons-
tante, de forma a estar completamente cheio em seis horas,
e o segundo começa a ser esvaziado, também a uma taxa
constante, deforma a estar completamente vazio em três
horas. Em quanto tempo, após o começo do processo, os
tanques possuirão exatamente a mesma quantidade de água?
Exerćıcio 22. Anita imaginou que levaria 12 minutos para
terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade cons-
tante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa,
levou 15 minutos. Com qual velocidade constante essa pre-
visão teria se realizado?
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Razões e Proporções
A Noção de Razão e Exercı́cios
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Uma escala E pode ser definida pela
fórmula: E =
d
D
, na qual d é o comprimento de algum
elemento ou a distância entre objetos no mapa e D o tama-
nho real em centı́metros, acompanhada do e (erro gráfico,
cujo cálculo é feito como e = 0, 02 · D milı́metros).
a) As dimensões de um avião em um mapa são 24 cm de
comprimento e 19 cm de largura. As dimensões reais
são 36 metros de comprimento e 28, 5 de largura. Qual
a escala e o erro gráfico desse mapa?
b) Uma estrada de 120 km foi representada num mapa
por um segmento de reta de 6 cm. Qual o comprimento
na mapa de outra estrada, paralela à inicial, de 85 km?
c) Uma casa com área total de 240 m2 foi representada
numa maquete numa escala de 1 : 400. A sala de jantar
na maquete da casa tem dimensões 0, 75 cm e 1, 25 cm.
Qual a razão entre a área total da casa e a área da sala
jantar?
Exerćıcio 2. Denomina-se velocidade média Vm como a
razão entre a distância d percorrida e o tempo t gasto para
percorrê-la, ou seja, Vm =
d
t
.
a) João percorreu 450 km em 5 horas. Qual foi a sua
velocidade média?
b) O maratonista Dennis Kimetto correu por aproxima-
damente 42 km em quase duas horas. Qual foi sua
velocidade média?
Exerćıcio 3. O consumo médio Cm é a razão entre a
distância d percorrida e o consumo de combustı́vel g
gasto para percorrer essa distância, ou seja, Cm =
d
g
.
a) Maria foi de Salvador até Maceió (582 km) no seu carro.
Foram gastos nesse percurso 48, 5 litros de combustı́vel.
Qual foi o consumo médio do carro de Beatriz?
b) José foi de Salvador até Feira de Santana no seu carro
em 4 horas com um consumo médio de 56 km/`. Fo-
ram gastos nesse percurso 2 litros de combustı́vel. Qual
foi a velocidade média entre Salvador e Feira de San-
tana?
Exerćıcio 4. Densidade demográfica D é a razão entre
o número de habitantes n e a área A que é ocupada por
eles, ou seja, D =
n
A
. A Região A tem área de 10000 km2
e população de 98000 habitantes e a Região B possui área
de 8000 km2 e população de 82000 habitantes. Nestas
condições, calcule a densidade demográfica de cada uma
das regiões e conclua qual é a mais densamente povoada.
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 5. Sabe-se que a distância real, em linha reta,
de Recife para Vitória de Santo Antão é igual a 45
quilômetros. Um estudante do IFPE, ao analisar um mapa,
constatou com sua régua que a distância entre essas duas
cidades era de 5 centı́metros. De acordo com o texto, o
mapa observado pelo estudante está em qual escala?
Exerćıcio 6. Uma biblioteca precisa encadernar alguns
livros. Uma oficina pode encadernar estes livros em 30
dias, outra em 45 dias. Em quantos dias estas oficinas
podem cumprir a tarefa se trabalharam ao mesmo tempo?
Exerćıcio 7. Um grupo de pessoas foi dividido em duas
metades. Na primeira metade, a razão do número de
homens para o mulheres é de 1 para 2, na segunda metade,
a razão do número de mulheres para o de homens é de
2 para 3. No grupo todo, qual a razão do número de
mulheres para o de homens?
Exerćıcio 8. O ourives é um profissional que trabalha
com objetos de ouro e prata. Ele sabe que o quilate é
uma escala para medir a proporção de ouro em uma joia
e decidiu derreter dois anéis de ouro para construir uma
aliança. O primeiro anel era de ouro 18 quilates e pesava
2 gramas. Já o segundo era de ouro 10 quilates e pesava
6 gramas. Feito isto, o ourives obteve uma aliança de 8
gramas com quantos quilates?
Exerćıcio 9. Os números a, b, c são inteiros positivos tais
que a ≤ b ≤ c. Se b é a média aritmética simples entre a e
c, então qual o valor da razão
b− a
c− b
?
Exerćıcio 10. Um dos grandes problemas enfrentados
nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro
dos limites legais de carga, o piso das estradas se dete-
riora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso,
o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem
e no funcionamento da suspensão do veı́culo, causas fre-
quentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e
com base na experiência adquirida com pesagens, um
caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no
máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse
caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no
máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não
ultrapassar a carga máxima do caminhão?
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3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 11. O condomı́nio de um edifı́cio permite que
cada proprietário de apartamento construa um armário
em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala
1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as
especificações das dimensões do armário, que deveria
ter o formato de um paralelepı́pedo retângulo reto, com
dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm. Qual o
volume real do armário, em centı́metros cúbicos?
Exerćıcio 12. Ana e Bia percorrem uma pista circular
com velocidades constantes, partindo de um mesmo
ponto, no mesmo instante, mas em sentidos contrários. O
primeiro encontro entre elas se dá a 48 metros à esquerda
da largada e o segundo encontro a 20 metros à direita da
largada. Qual o comprimento total da pista?
Exerćıcio 13. Helena e Gabriel pulam simultaneamente
de uma jangada em um rio e nadam em direções opos-
tas. Gabriel nada rio abaixo seguindo a corrente a de-
terminada velocidade e Helena nada rio acima contra a
corrente, possivelmente com uma velocidade diferente.
Depois de 5 minutos, eles viram e voltam para a jangada,
cada um mantendo uma velocidade constante durante
todo o tempo. Quem chega primeiro?
Exerćıcio 14. Em seu treino diário de natação, Esmeral-
dinho percorre várias vezes, com um ritmo constante de
braçadas, o trajeto entre dois pontos A e B situados na
mesma margem de um rio. O nado de A para B é a favor
da corrente e o nado em sentido contrário é contra a cor-
rente. Um tronco arrastado pela corrente passa por A no
exato instante em que Esmeraldinho sai de A. Esmeraldi-
nho chega a B e imediatamente regressa a A. No trajeto
de regresso, cruza com o tronco 6 minutos depois de sair
de A. A seguir, Esmeraldinho chega a A e imediatamente
sai em direção a B, alcançando o tronco 5 minutos depois
da primeira vez que cruzou com ele ao ir de B para A.
Quantos minutos o tronco leva para ir de A até B?
Exerćıcio 15. Em sua velocidade usual, um homem
desce um rio de 15 quilômetros de comprimento em 5
horas a menos que o tempo que ele gasta nadando no
mesmo rio percorrendo o caminho contrário. Se ele dobrar
a sua velocidade usual, ele passa a descer o rio gastando
apenas 1 hora a menos que o tempo gasto na volta. Consi-
derando que a velocidade da correnteza do rio se mantém
constante durante os trajetos, qual o seu valor km/h?
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