física moderna exercícios

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Para resolver este problema, utilizaremos a teoria da relatividade restrita de Einstein, em particular a transformação de Lorentz. Vamos considerar os seguintes dados:
- As duas novas estão a uma distância de \(2,5 \times 10^3\) anos-luz da Terra.
- O avião viaja a \(1.000\) km/h.
Primeiro, converteremos a velocidade do avião para uma unidade compatível com a distância (anos-luz/ano).
### Conversão da velocidade do avião:
1. \(1.000\) km/h é igual a \(1.000 \times \frac{1}{3.6}\) m/s.
2. \(1.000\) km/h = \(277,78\) m/s.
3. Em anos-luz/ano:
\[ 1 \text{ ano-luz} \approx 9,461 \times 10^{15} \text{ m} \]
\[ 1 \text{ ano} \approx 3,154 \times 10^7 \text{ s} \]
\[ \frac{277,78 \text{ m/s}}{9,461 \times 10^{15} \text{ m}} \times 3,154 \times 10^7 \text{ s/ano} \approx 9,27 \times 10^{-12} \text{ anos-luz/ano} \]
### (a) Intervalo de tempo entre o aparecimento das duas novas para os ocupantes do avião
Vamos usar a transformação de Lorentz para calcular o intervalo de tempo entre os eventos na perspectiva dos ocupantes do avião.
A diferença de tempo observada (\(\Delta t’\)) está relacionada com a diferença de tempo no referencial da Terra (\(\Delta t\)) e a diferença de posição (\(\Delta x\)) pela fórmula:
\[ \Delta t’ = \gamma (\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}) \]
Onde:
- \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
- \(\Delta t\) é o intervalo de tempo entre os eventos no referencial da Terra. Como as novas aparecem simultaneamente, \(\Delta t = 0\).
- \(\Delta x = 2 \times 2,5 \times 10^3 \text{ anos-luz} = 5 \times 10^3 \text{ anos-luz}\) (a distância entre as duas novas).
Substituindo os valores:
\[ v \approx 9,27 \times 10^{-12} \text{ anos-luz/ano} \]
\[ c = 1 \text{ ano-luz/ano} \]
\[ \gamma \approx 1 \]
Então, temos:
\[ \Delta t’ = \gamma \left( 0 - \frac{9,27 \times 10^{-12} \times 5 \times 10^3}{1} \right) \]
\[ \Delta t’ \approx -4,635 \times 10^{-8} \text{ anos} \]
Convertendo para segundos:
\[ \Delta t’ \approx -4,635 \times 10^{-8} \times 3,154 \times 10^7 \text{ segundos} \]
\[ \Delta t’ \approx -1,46 \text{ segundos} \]
Portanto, o intervalo de tempo entre o aparecimento das duas novas para os ocupantes do avião é de aproximadamente 1,46 segundos.
### (b) Qual das novas aparece primeiro?
Como o tempo para os ocupantes do avião é negativo (\(\Delta t’ < 0\)), significa que, no referencial do avião, a nova de Orion aparece primeiro, seguida pela nova da Lira.