MATEMÁTICA-CONTEÚDOS-E-MÉTODOS-MODO-EDIÇÃO

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MATEMÁTICA: CONTEÚDOS E MÉTODOS 
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Sumário 
 ................................................................................................................. 0 
NOSSA HISTÓRIA .................................................................................. 2 
PARTE 1 - A MATEMATICA: UMA CONSTRUÇÃO DA HUMANIDADE . 3 
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE 
APRENDIZAGEM ........................................................................................... 4 
A MATEMÁTICA DO CONTEXTO E O CONTEXTO NA MATEMÁTICA 7 
FIGURA 1 – Diagonal do quadrado de lado 1 ...................................... 9 
O MUNDO INFANTIL: JOGOS, BRINQUEDOS E LITERATURA 
INFANTIL ...................................................................................................... 10 
PARTE 2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ........................................ 12 
A PRÓPRIA MATEMÁTICA COMO CONTEXTO .............................. 15 
O CONHECIMENTO PRÉVIO NA APRENDIZAGEM DA 
MATEMÁTICA .............................................................................................. 17 
FIGURA 4 – Propaganda de Lojas de Televisão ................................. 20 
ADEQUAÇÃO E REALISMO DO CONTEXTO .................................. 22 
FIGURA 6 – Segmentos não paralelos que não se encontram ............ 26 
PARTE 3 FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E 
MUDANÇAS CURRICULARES NA ESCOLA .................................................. 29 
FORMAÇÃO DE PROFESSORES .................................................... 29 
MUDANÇAS CURRICULARES ......................................................... 31 
NOVOS CONTEÚDOS CURRICULARES ......................................... 32 
NOVAS ABORDAGENS CURRICULARES ....................................... 36 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................... 42 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia-se com a ideia visionária e da realização do sonho 
de um grupo de empresários na busca de atender à crescente demanda de 
cursos de Graduação e Pós-Graduação. E assim foi criado o Instituto, como 
uma entidade capaz de oferecer serviços educacionais em nível superior. 
O Instituto tem como objetivo formar cidadão nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em diversos setores profissionais e para a 
participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e assim, colaborar na 
sua formação continuada. Também promover a divulgação de conhecimentos 
científicos, técnicos e culturais, que constituem patrimônio da humanidade, 
transmitindo e propagando os saberes através do ensino, utilizando-se de 
publicações e/ou outras normas de comunicação. 
Tem como missão oferecer qualidade de ensino, conhecimento e 
cultura, de forma confiável e eficiente, para que o aluno tenha oportunidade de 
construir uma base profissional e ética, primando sempre pela inovação 
tecnológica, excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. E dessa 
forma, conquistar o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta 
de cursos de qualidade. 
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PARTE 1 - A MATEMATICA: UMA CONSTRUÇÃO 
DA HUMANIDADE 
 
A Matemática e o dia-a-dia 
As condições de vida da humanidade se modificaram ao longo do 
tempo, com o desenvolvimento da agricultura, do comércio, da indústria, do 
conhecimento e da tecnologia. E através das consequências do avanço em 
todas essas áreas. 
Apesar de o homem não ter registrado o que fazia e pensava no início 
de sua história, ele precisava resolver problemas de seu dia-a-dia, ligados à 
sua subsistência. 
Ao buscar soluções para eles, o conhecimento matemático começou a 
ser construído. 
Os homens das cavernas não dispunham ainda dos registros e técnicas 
operatórias atuais para resolver a questão. 
O pescador poderia pensar assim: quero aves, mas só tenho peixes. 
Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo ponho 2 pedrinhas ao 
lado para representar as aves, até completar 22 pedrinhas. Então, conto 
quantos peixes preciso. São 33 peixes! 
O caçador poderia pensar de um modo semelhante, para resolver o 
problema, agrupando suas 22 aves em grupos de 2; agora, as pedrinhas 
seriam peixes: 3 para cada grupo de aves. Contanto as pedrinhas, ele 
descobre que são 33 peixes! 
Assim como esse, outros problemas que o homem tem resolvido em seu 
cotidiano deram grande impulso ao conhecimento da humanidade e, em 
particular, ao conhecimento matemático. 
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A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE 
APRENDIZAGEM 
. O estudo da história da matemática permite-nos compreender a origem 
das ideias que deram forma à nossa cultura e, também, observar os aspectos 
humanos do seu desenvolvimento. Através da compreensão sobre o referido 
contexto evolutivo da matemática, podemos entender os pensadores e suas 
teorias, bem como estudar as causas e o contexto histórico-social em que elas 
foram desenvolvidas. Assim, a história é um ótimo instrumento para o 
ensino/aprendizado da própria matemática, na medida em que contempla a 
interdisciplinaridade e estabelece conexões com várias outras manifestações 
da história da cultura. 
Tendo como ponto de partida a história da matemática, caminha-se para 
a contextualização da matemática que tem como benefício uma aproximação 
ao mundo matemático e ao universo do aluno e da realidade que o cerca. A 
aprendizagem contextualizada atende a principal característica do nosso 
tempo: o conhecimento científico de qualidade, abordando novas tecnologias 
na busca de um conhecimento mais dinâmico e duradouro. 
O ensino baseado na contextualização parte de problemas específicos 
para problemas gerais e, por isso, é considerado como sendo responsável por 
uma aprendizagem concreta. Os alunos passam a adquirir, dessa forma, 
conhecimentos que possam ser aplicados ou associados a situações 
quotidianas. 
A história da matemática como uma das estratégias da 
aprendizagem contextualizada 
A utilização do recurso à história da matemática vem ganhando adeptos 
com maior expressão a partir da década de 90 no Brasil, assumindo um papel 
decisivo na organização do conteúdo que se quer ensinar, esclarecendo-o e 
definindo o modo de raciocinar próprio do conhecimento que se quer construir. 
Os conhecimentos sobre história da matemática permitem compreender melhor 
a evolução dos conceitos chegando ao contexto contemporâneo, 
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demonstrando sua importância no cotidiano do aluno quando explica o porquê 
de se ensinar este ou aquele conteúdo. 
Segundo Farago (2003), conhecer a história da matemática permite 
colocar em prática situações didáticas pertinentes para efetivar a aprendizagem 
do aluno na busca do conhecimento que se pode ter sobre a origem da noção 
de ensinar. Além disso, tal fato explicita o tipo de problema a ser resolvido, as 
dificuldades que surgiram a partir daí e o modo como foram superados os 
desafios. 
A matemática moderna, essencialmente teórica, criou algumas 
tendências que deixam de lado o verdadeiro papel prático da disciplina: a 
grande maioria dos conceitos matemáticos foi criada para resolver problemas 
do cotidiano do homem, atendendo às suas necessidades no decorrer da 
evolução. Ao perder de vista esses problemas, a matemática perdeu, 
igualmente, o seu sentido. 
Para a formação do professor contemporâneo, bem como a do 
educando, é interessante desmistificar o processo matemático, mostrando que 
ele está inserido nessa tradição por se tratar de uma obra do espírito humana. 
É preciso que se desperte o interesse pela história da matemática nacontemporaneidade, ao proporcionar através dessa abordagem um 
envolvimento gradativo por parte dos alunos e dos professores. Com isso, 
resgata-se, igualmente, a importância do ensino da matemática no contexto 
atual. 
No Brasil, o nosso grande desafio está justamente na falta de formação 
dos professores de matemática, pois a maior parte das tentativas de integração 
da história da matemática no ensino universitário teve vida curta. Nas 
tendências atuais, essa abordagem do ensino revela-se cada vez mais 
necessária para o campo da didática, da análise dos obstáculos didáticos ou do 
trabalho com erros dos nossos alunos. Para isso, faz-se necessário que se 
trate da análise e atualização das nossas próprias práticas pedagógicas. 
A utilização da história da matemática em sala de aula busca resgatar 
essa aprendizagem contextualizada. Atualmente, observa-se um crescimento 
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do número de professores que percebe que a maior parte do interesse e do 
êxito dos alunos no estudo matemático, assim como em outras ciências do 
conhecimento, melhora consideravelmente quando os ajudamos a fazer as 
conexões entre a informação nova (conhecimento) e as suas experiências ou 
conhecimentos anteriores. 
O despertar do interesse e a participação dos alunos ao desenvolverem 
suas atividades no espaço escolar aumentam gradativamente quando lhes 
ensinamos por que estão aprendendo esses conceitos e como podem usá-los 
fora da sala de aula, buscando uma educação por competências, sendo uma 
das recomendações dos (PCNs). 
Farago (2003) apresenta estratégias dessa aprendizagem contextual 
que é conhecida como REACT (Relação, Experimentação, Aplicação, 
Cooperação e Transferência). Tal relação consiste em aprender no contexto 
das experiências de vida ou conhecimento prévio. Esse é o tipo de 
aprendizagem contextual que ocorre com as crianças. A experimentação, por 
sua vez, consiste em aprender no contexto da exploração, descobrimento e 
invenção, e constitui-se no coração da aprendizagem contextual. 
Já a aplicação traduz-se na aprendizagem de como se pode utilizar o 
conhecimento/informação em contexto real que, com freqüência, projeta os 
alunos para um futuro imaginário (possível profissão) ou para um lugar que não 
é conhecido (um ambiente de trabalho). A cooperação é a aprendizagem com 
sentido de partilha, para responder e comunicar-se com os outros estudantes. 
Trata-se de uma estratégia educativa fundamental do ensino contextual. 
A transferência consiste numa aprendizagem no contexto de como usar 
o conhecimento em situação nova (não estudados na sala de aula). Tal 
enfoque é semelhante ao de relacionar, uma vez que se fundamenta no que já 
é familiar para nós. 
Com as estratégias REACT, o aprendizado contextual proporciona uma 
abordagem mais eficiente para o ensino da maioria dos estudantes, porque o 
ensino contextualizado é direcionado para a forma como os alunos aprendem. 
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É preciso salientar que uma das grandes dificuldades do ensino da 
matemática contextualizada é precisamente o que seja ensinado esteja 
carregado de significado e tenha sentido para o aluno, talvez esse seja um dos 
grandes desafios do professor contextual. 
A estratégia REACT apresentada por Farago (2003) é fundamentada em 
filósofos e pensadores sobre a educação, dentre os quais Rousseau, Dewey, 
Piaget, Vygotsky, Paulo Freire e Howard Gardner. 
 
A MATEMÁTICA DO CONTEXTO E O CONTEXTO 
NA MATEMÁTICA 
A história da Matemática é rica em exemplos que nos mostram como 
muitos conceitos matemáticos são transmitidos em determinado contexto. 
Assim, há quase dois mil anos, “professores” hindus já apresentavam 
problemas com enunciados do tipo: “em uma árvore há 23 macacos, mas eu só 
consigo ver 15 deles. Quantos estão escondidos?” 
A necessidade do ser humano de compreender os fenômenos que o 
cercam e ampliar, aprofundar e organizar, progressivamente, seu 
conhecimento e sua capacidade de intervenção sobre esses fenômenos 
sempre impulsionou – e impulsiona – a construção do conhecimento 
matemático. Ou seja, os conceitos e procedimentos matemáticos são 
construídos na evolução da sociedade, a partir de necessidades do cotidiano, 
de demandas de outras áreas do conhecimento e também da própria 
Matemática. 
A criação dos números naturais, racionais e irracionais é exemplo da 
construção das ideias matemáticas em contextos diferenciados. O surgimento 
dos números naturais é atribuído à necessidade social e histórica de contar. Da 
mesma forma, a vida em sociedade fez com que os homens precisassem 
realizar medições – o que deu origem ao número racional. 
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Desde as civilizações mais antigas, as taxações das propriedades eram 
feitas com base em medições da terra. Heródoto, historiador grego, que viveu 
no século V a.C., refere-se às origens da geometria, ao escrever a história dos 
egípcios: 
Disseram-me que este rei (Sesóstris) tinha repartido todo o Egipto entre 
os egípcios, e que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de 
terra, com a obrigação de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de 
algum fosse diminuída pelo rio (Nilo), ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o 
que tinha acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei enviava 
medidores ao local e fazia medir a terra, afim de saber de quanto ela estava 
diminuída e de só fazer pagar o tributo conforme o que tivesse ficado de terra 
(Livro II – Euterpe, apud Caraça, 1952, p. 32). 
O relato do historiador revela que os egípcios tinham a necessidade de 
comparar comprimentos e estabelecer quantas vezes certo comprimento cabia 
em outro. Assim, eles precisaram definir uma unidade que servisse como 
padrão de comparação, da mesma forma que hoje temos o metro e a milha, 
entre outros. Ao responder a pergunta “Quantas vezes a unidade cabe no 
comprimento a ser comparado” surgem os números, sejam os naturais sejam 
as frações. Estas deram, então, origem aos números racionais. 
O número irracional, por sua vez, surgiu em um contexto puramente 
matemático. Até uma certa fase, questionava-se se os números racionais 
davam conta de expressar as medidas de qualquer comprimento. Uma das 
versões históricas da criação dos irracionais é a solução do seguinte problema: 
Pode-se expressar a medida da diagonal, d, de um quadrado de lado 1 
por um número racional? 
Usando o teorema de Pitágoras teremos: 
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FIGURA 1 – Diagonal do quadrado de lado 1 
 
Assim, resolver esse problema é o mesmo que buscar um número 
(racional) cujo quadrado seja igual a dois. Na Matemática, demonstra-se que 
isto é impossível. 
O problema da medida da diagonal só faz sentido no contexto da 
Matemática. Na prática, o ato de medir um comprimento em um objeto ou em 
um desenho, é sempre possível, e nos fornece, como resultado, uma medida 
racional. 
Como é possível notar, professor, as ideias matemáticas podem ser 
criadas em diferentes contextos e estes assumem diversos papéis no Ensino 
Fundamental. 
As práticas sociais e econômicas 
As contextualizações mais frequentes são as que exploram as relações 
da Matemática com as práticas sociais e econômicas. Juntamente com os 
contextos do mundo infantil, como jogos e brincadeiras, são os mais 
focalizados nas coleções de livros didáticos para os anos iniciais da 
escolaridade. São exemplos as feiras ou mercados de brincadeira, em que os 
alunos “compram” e “vendem”, com cédulas recortadas dos livros. Quando bem 
explorada, esta estratégia permite que a criança se familiarize com os vários 
usos (significados) das operações elementares. A compreensão do que é 
informado nas contas de gás, luz e telefone, alémde socialmente importante, 
também contribui para a familiaridade com essas operações. Já um 
contracheque, ou um extrato de conta bancária, permite a contextualização dos 
números negativos (os débitos ou descontos). 
O conhecimento matemático também é trabalhado, com frequência, em 
contextos socialmente relevantes, como a reciclagem do lixo, o desperdício de 
d 2 = 1 2 + 1 2 = 2 
d 1 
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água, o valor do salário mínimo, o pagamento em parcelas e os descontos. O 
seu uso evidencia como a Matemática pode auxiliar a formação do aluno 
enquanto cidadão, consciente de suas responsabilidades e atento aos 
problemas sociais do nosso país. 
As abordagens das estruturas multiplicativas, do cálculo de volume, e do 
cálculo com valor monetário são feitas, frequentemente, para conscientizar o 
aluno sobre diversas situações, entre elas a necessidade de não desperdiçar 
água, evitando deixar a torneira aberta ao escovar os dentes, fechando-a bem 
para que ela não fi que pingando, evitando lavar calçadas com mangueiras. É 
muito importante explorar esses temas, que são essenciais à formação do 
cidadão, levando o aluno a perceber que o conhecimento matemático contribui 
para que ele se conscientize da situação. 
Por exemplo, no caso do desperdício de água causado por uma torneira 
que pinga constantemente, o professor pode solicitar que o aluno meça quanto 
tempo ela levará para encher um copo de água de 250 ml. Partindo da situação 
de proporcionalidade, como um dos significados da multiplicação, o passo 
seguinte é pedir que o aluno calcule quanto tempo a torneira defeituosa 
precisará para desperdiçar um litro de água (equivalente a 4 copos). Ainda 
usando a proporcionalidade, ele poderá ser levado a entender qual será o 
desperdício em um dia e calcular o desperdício em um mês. O valor monetário 
desse desperdício também pode ser calculado a partir de uma conta de água 
ou da exploração do valor cobrado por metro cúbico de água em sua região. É 
possível, ainda, comparar o volume desperdiçado, obtido nos exemplos 
anteriores, com o consumo médio de água de uma pessoa em diversas regiões 
do Brasil. Articulam-se, nesse contexto, as estruturas multiplicativas, as 
grandezas tempo, volume e valor monetário. 
O MUNDO INFANTIL: JOGOS, BRINQUEDOS E 
LITERATURA INFANTIL 
A criança tem um mundo imaginário extremamente rico em contextos. 
Situações que podem parecer bobas ou sem sentido para o adulto despertam o 
interesse, a curiosidade e a imaginação da criança. Por isso mesmo, os jogos, 
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os brinquedos, e a literatura infantil são extremamente importantes na 
contextualização dos conhecimentos matemáticos. Eles exploram o lúdico, a 
imaginação, o “faz de conta”. Por exemplo, é possível propor jogos de trilha 
relacionados com a adição e a multiplicação. Jogos tipo “banco imobiliário” 
podem desempenhar a mesma função, além de envolverem uso do dinheiro, o 
que é socialmente importante. Muitas coleções sugerem a confecção de 
materiais para jogos. Mobilizar os alunos na preparação do próprio jogo é uma 
prática bastante positiva, pois a atividade favorece o trabalho em grupo e 
possibilita o enfoque de vários conceitos matemáticos. 
Os livros paradidáticos, por sua vez, oferecem vasto campo para a 
introdução de conceitos matemáticos em situações imaginárias, ricas em cores 
e conteúdo. Além de terem função no ensino da Matemática, esses livros 
reforçam a prática da leitura pelas crianças, algo que todo professor deve 
procurar fazer ao trabalhar os diferentes componentes curriculares. Nas 
escolas que dispõem de cozinha, livros de receitas para crianças são ótimos 
para: a prática de medidas de massa, de volume e de capacidade; o uso das 
frações mais comuns no dia a dia, como um meio, um terço, um quarto, entre 
outras. Ao mesmo tempo, propiciam o trabalho cooperativo e a aprendizagem 
de noções de higiene e de segurança. Livros sobre origami, desde que 
adequados à idade das crianças, contribuem para o seu desenvolvimento 
psicomotor e permitem o manuseio de formas geométricas em um contexto 
bem lúdico. 
Outras áreas do conhecimento 
A formação do aluno envolve o estudo de várias áreas do conhecimento. 
A importância da articulação entre essas áreas também tem sido apontada nas 
pesquisas sobre o ensino e aprendizagem da Matemática. 
A Geografia humana, ou física, oferece muitas possibilidades de 
contextualização. Em particular, permite trabalhar com “números grandes”, o 
que ajuda a criança a desenvolver o sentido numérico, extremamente 
importante. Um mapa do Brasil, com as distâncias entre as capitais, por 
exemplo, é um excelente contexto para se abordar os números de ordens mais 
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elevadas, por envolverem distâncias de centenas ou de milhares de 
quilômetros. Dados de produção agrícola, ou industrial, também possibilitam o 
trabalho com várias unidades de medida, e com o sistema monetário. E mais, 
familiarizam a criança com a representação decimal de grandezas, por 
exemplo, ao apresentar a informação de que 1,3 t significa 1300 kg. Em 
estágios um pouco mais avançados da escolaridade, pode-se trabalhar com 
produção por hectare, densidade demográfica, regimes pluviométricos, renda 
per capita, entre outros assuntos. São muitas as possibilidades, como as que 
envolvem porcentagens, gráficos de colunas, barras ou setores, pictogramas, 
etc. A leitura do capítulo sobre o tratamento da informação neste livro contém 
muitas ideias a este respeito. 
As diferentes escalas de temperatura, os graus Celsius (º C, ou 
centígrados) e os graus Fahrenheit (º F), por exemplo, pautam-se nas 
convenções para definir as temperaturas da água gelada e da água fervente. A 
escala de temperatura Celsius foi criada com o ponto de congelamento da 
água correspondendo ao valor zero, e o ponto de ebulição correspondendo ao 
valor 100, observados a uma pressão atmosférica padrão. Já a necessidade de 
se medirem as baixas temperaturas, verificadas nos países do norte da 
Europa, levou o físico e pesquisador alemão Gabriel Fahrenheit (1686–1736) a 
desenvolver outra escala, a escala Fahrenheit, que toma a temperatura de 
congelamento da água a 32º F, o que permite que, em países de clima frio, as 
temperaturas assumam, quase sempre, valores positivos. 
PARTE 2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
Antes de mais nada, não podemos nos esquecer de que a noção de 
tempo histórico se desenvolve muito lentamente nas crianças. Assim, o 
emprego da história da Matemática nos primeiros anos da escolaridade deve 
se resumir a noções bem simples, sem tentar localizar os acontecimentos em 
uma linha do tempo. Se as crianças pequenas têm dificuldades para construir 
linhas do tempo da vida de seus familiares, como pretender que elas percebam 
que certos episódios da história da Matemática se deram há dois mil, mil ou 
quinhentos anos atrás? 
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Os livros didáticos costumam recorrer à história da Matemática, para: 
• exemplificar a evolução dessa ciência, ou como ela é construída 
historicamente; 
• mostrar que diferentes grupos sociais desenvolveram conceitos e 
procedimentos matemáticos a fim de prover a suas 
necessidades; 
• contextualizar os conceitos, ou procedimentos, inserindo-os 
nas circunstâncias que acompanharam sua criação e desenvolvimento; 
• destacar a significação histórica e cultural da Matemática e suas 
relações com outras áreas de atividade e do conhecimento. 
Os tópicos tratados nas coleções que incluem esse conteúdo são 
apresentados, em geral, em pequenos quadros, vinhetas ou seções e o 
assunto mais abordado é, sem dúvida, a história dos números. Incluem-se aí, 
os antigos sistemas de numeração,egípcio, mesopotâmico, chinês, maia, 
romano e indo-arábico. São também abordadas as origens de várias unidades 
de medida de comprimento, muitas delas relacionadas a comprimentos de 
partes do corpo humano, como cúbito, pé, polegada. Alguns bons exemplos de 
uso podem ser destacados, como a história de nosso sistema monetário e do 
sistema métrico decimal, este último tendo evoluído para o denominado 
Sistema Internacional de Unidades (SI), entre outras. A criação dos aparelhos 
para medir o tempo também é, por vezes, abordada, e permite a inclusão de 
ilustrações interessantes e pertinentes nos livros. 
Observa-se, no entanto, que na tentativa de criar situações bem 
contextualizadas para as crianças, algumas obras incluem informações sobre 
as quais não há evidências de que teriam acontecido. É o caso da história de 
que os pastores de antigamente faziam marcas, em grupos de dez, para contar 
seus carneiros. De fato, em um osso, com idade entre vinte mil e dez mil anos 
atrás, foram encontrados registros de traços grupados de sete em sete, 
possivelmente correspondentes a um quarto do ciclo lunar. Isso mostra que os 
primórdios da numeração antecedem de muito a atividade pastoril. Além disso, 
sabemos que diferentes povos adotaram grupamentos distintos, mas 
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pouquíssimos dentre eles chegaram a sistemas de numeração posicionais: os 
mesopotâmios, os chineses, os maias, os hindus e os árabes, em épocas 
diferentes, conforme os registros históricos. 
Os egípcios, por sua vez, faziam grupamentos de 10 em 10, enquanto 
os romanos de 5 em 5, e assim por diante. Percebe-se que a singularidade do 
sistema de numeração decimal não está no fato de que ele grupa unidades de 
10 em 10. O que o distingue é que, nele, a posição de um algarismo no número 
determina quanto vale o algarismo. 
Quando o sistema de numeração indo-arábico é abordado, umas poucas 
coleções de livros didáticos mostram a evolução dos algarismos ao longo do 
tempo, até chegarem à forma que usamos hoje, sem citar datas. Algumas 
coleções pedem que os alunos registrem números nos sistemas egípcio, 
romano, maia e chinês. Essa atividade pode ser interessante quando seu 
objetivo é que o aluno, por meio da comparação com o nosso sistema, entenda 
as características do sistema de numeração indo-arábico. No entanto, só faz 
sentido levar o aluno, em nossas escolas, a aprender a escrever números nos 
sistemas antigos que ainda são utilizados socialmente, como o sistema 
romano. 
Além da história dos sistemas de numeração, algumas coleções também 
abordam a evolução das medidas de grandezas, em particular, as medidas de 
tempo, feitas com clepsidras, ampulhetas, velas e vários tipos de relógio, assim 
como de instrumentos de cálculo, como ábaco e calculadoras mecânicas. 
Trazem, ainda, a história do tangram. 
O número zero é mais um dos tópicos contextualizados nas obras. Em 
algumas delas, afirma-se que a origem deste número remonta aos 
mesopotâmios, ou aos fictícios pastores que já teriam criado grupamentos de 
dez em dez para contar suas ovelhas. Na verdade, não existe comprovação 
histórica de que o zero fosse conhecido antes de 600 d.C., aproximadamente. 
Sabe-se mesmo, pelos registros deixados, que os mesopotâmios não 
conheciam o zero. É certo que, mais de mil anos antes desta data, os 
mesopotâmios já usavam um símbolo arredondado para denotar uma casa 
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vazia, na representação de seus números. Mas este símbolo não era um 
número, não se operava com ele. Tudo indica que foram os hindus, em torno 
de 600 d.C., que criaram o zero como um número, com qual podemos operar 
livremente, como fazemos com os outros. O surgimento desse número é 
considerado por alguns estudiosos como uma das maiores criações da 
humanidade. 
A PRÓPRIA MATEMÁTICA COMO CONTEXTO 
Um vasto campo para a contextualização dos conceitos e procedimentos 
matemáticos são os próprios campos da matemática escolar: números e 
operações; geometria; grandezas e medidas; e tratamento da informação. As 
diferentes grandezas e suas características, por exemplo, oferecem excelentes 
contextos para a introdução e A contabilidade bancária, no período do 
Renascimento (entre os séculos XIV e XVI), foi um dos primeiros contextos de 
uso dos números negativos, pois naquela época, as medidas de grandezas 
com valores negativos eram desconhecidas. Estas só se generalizaram a partir 
do século XIX, com a Revolução Industrial, e a necessidade de se usarem 
medidas mais precisas de muitas grandezas, especialmente as temperaturas. 
Até então, as temperaturas eram aproximadas ou dadas por comparação, 
como: “faz tanto frio que a água do lago congelou”; “está tão quente que a 
manteiga derreteu”. Isso porque, os processos industriais não necessitavam de 
temperaturas muito baixas, que hoje diríamos estarem abaixo de 0o C. 
Contextualizações que articulam dois campos da Matemática já são 
bastante utilizadas nos livros, como a formação retangular para discutir a 
multiplicação e também a propriedade comutativa dessa operação. 
Além disso, diversas sequências numéricas são utilizadas na marcação 
de medidas de tempo, e mesmo em instrumentos de medida de tempo, como o 
relógio, que traz uma marca dos minutos de 5 em 5. Esta sequência pode 
também ser articulada com a divisão do ângulo de 
360º, em 12 horas, tempo medido por uma volta 
completa do ponteiro das horas do relógio 
analógico. Tal divisão nos diz que extensão dos 
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campos numéricos. O trabalho com a grandeza temperatura, por sua vez, é 
bem interessante para que a criança amplie os significados assumidos pelos 
números e entenda o zero como número corresponde à origem em um eixo e 
não somente como inexistência e “guardador de lugar”. Conhecimento que 
auxiliará, em anos posteriores, a introdução dos números negativos. 
O ponteiro das horas “anda” 30º a cada hora. Por seu turno, o ponteiro 
dos minutos leva 60 minutos para uma volta completa (360º), e por isso “anda” 
6º a cada minuto. O ponteiro dos minutos percorre, então, em 5 minutos, o 
mesmo ângulo de 30º que o ponteiro das horas percorre em uma hora. Assim, 
temos uma articulação importante entre o estudo da grandeza tempo, das 
estruturas multiplicativas, e do ângulo e sua medida. 
Os materiais concretos como fonte de contexto 
O emprego de materiais concretos no desenvolvimento de conteúdos já 
é uma forma de contextualização. Assim, por exemplo, o material dourado 
pode ser interpretado como uma contextualização para a estrutura de nosso 
sistema decimal de numeração. Essa discussão é aprofundada e pode ser 
mais bem entendida na leitura do capítulo A metodologia de ensino e 
aprendizagem nos livros didáticos de Matemática, deste livro, quando se trata 
dos materiais concretos como recurso metodológico. 
O contexto como fonte de significados 
O recurso às contextualizações pode dar oportunidade à criança para 
identificar, mais facilmente, diferentes significados dos conceitos matemáticos 
em diversas situações, como: o uso das temperaturas em que o zero assume o 
significado de uma convenção e que pode motivar a necessidade dos números 
negativos; o emprego da balança de pratos, que auxilia o início do estudo de 
equações do primeiro grau, no qual a igualdade assume o significado de 
equilíbrio. 
No estudo das estruturas aditivas e multiplicativas, por exemplo, 
utilizam-se contextos diversos para os diferentes significados da adição, da 
subtração, da multiplicação e da divisão. Nesse sentido, importante não são os 
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contextos em si mesmos, mas o significado que o conceito matemático assume 
em cada um deles. As situações da combinatória,um dos campos da 
Matemática, são fonte importante para relacionar um dos significados da 
multiplicação, com problemas de contagem de possibilidades. A disposição 
retangular dos objetos, tópico da geometria, também pode ser tratada como um 
dos contextos essenciais na atribuição de significados da multiplicação. As 
comparações entre grandezas de mesma espécie, tanto as comparações 
aditivas quanto as multiplicativas, também definem significados fundamentais, 
da adição e da multiplicação. 
O CONHECIMENTO PRÉVIO NA APRENDIZAGEM DA 
MATEMÁTICA 
O conhecimento que a criança já possui, a partir das experiências de 
seu meio social, e do que aprende em outras áreas, ou na própria Matemática, 
tem servido como âncora para que ela construa o conhecimento matemático. 
Possibilitar que os alunos expressem os conhecimentos sobre as 
estratégias de cálculo que fazem mentalmente pode auxiliá-los a perceber os 
diferentes algoritmos, assim como as propriedades das operações que utilizam 
em tais procedimentos. 
Em várias profissões, os conhecimentos matemáticos são utilizados em 
muitas situações, mesmo se seus usuários não tenham consciência da 
dimensão matemática de sua atividade. O aluno, muitas vezes, já tem contato 
social com essas ações. Por exemplo: 
Um pedreiro, em seu cotidiano de trabalho, precisa alinhar as vigas de 
uma laje para que todas fiquem dispostas paralelamente. Mas como ele faz 
isso? 
FIGURA 3 – Alinhamento de vigas 
 18 
 
 
 
A imagem da Figura 3 mostra que, no caso, o pedreiro utilizou 
comprimento do bloco para garantir que, no início, meio e fim das vigas, fosse 
mantida a mesma distância entre elas, para que ficassem paralelas. A 
recuperação e a valorização desse conhecimento social podem auxiliar o aluno 
a entender o paralelismo como algo que conserva a distância entre as duas 
linhas. 
As ruas paralelas e transversais também têm sido uma fonte muito 
utilizada para se apresentar ao aluno a noção de retas paralelas ou 
transversais. No item que trata das Adequações e naturalidade do contexto, 
desenvolvido mais adiante, são discutidos alguns cuidados a serem tomados 
com tal contextualização. 
O uso de contextos variados faz com que possamos a aproximar 
significado de um procedimento matemático normalmente já realizado pelo 
aluno. Desta forma, a contextualização serve de paralelo para que o aluno 
compreenda a Matemática. A articulação entre os campos da Matemática tem 
sido muito utilizada com este fim. 
O conhecimento que o aluno possui de brincadeiras, como a gangorra, 
pode auxiliá-lo a entender a comparação entre massas. O jogo da amarelinha 
contribui para que ele compreenda a ordenação numérica, crescente e 
decrescente. A brincadeira de par ou ímpar, tão comum no cotidiano da 
criança, pode ser uma fonte para a discussão do zero, como é comentado no 
capítulo de Números e operações, deste livro, e pode ajudar na classificação 
do número em par ou ímpar. 
A observação das janelas de prédios, da disposição retangular dos 
canteiros em uma plantação, ou das cadeiras em uma sala ou auditório, auxilia 
 19 
 
 
o aluno a entender a multiplicação. Do mesmo modo, pode ser utilizada para 
que seja discutida a propriedade comutativa da multiplicação – linha por coluna 
ou coluna por linha. E não é só! Os diferentes contextos podem ajudá-lo, 
professor, a discutir as diversas soluções possíveis de um mesmo problema 
matemático. Por exemplo: 
Indique qual é o próximo número da sequência: 
6 , 12 , 18 , 24 , ... 
Se o aluno pensar no intervalo das horas para tomar um antibiótico, o 
próximo número será 6, pois como o dia tem 24 horas, a sequência recomeça. 
Se pensar nos múltiplos de 6, o próximo será 30. Assim, a variação do contexto 
facilita entender por que uma questão desta natureza não pode ter resposta 
única. 
Ao procurarmos trazer o conhecimento prévio do aluno para auxiliar a 
introdução de um novo conteúdo matemático, é imprescindível que o contexto 
seja do conhecimento deste aluno, ou ao menos, que você, professor, o tenha 
estimulado a investigá-lo anteriormente. Portanto, nessa função, procure 
adaptar os contextos à realidade e conhecimento dos seus alunos. Para 
recorrer à disposição retangular, não adianta referir-se às janelas de um prédio 
para o aluno da zona rural, que praticamente não convive com este tipo de 
construção. Sabemos, também, que ele tem outros contextos mais apropriados 
para tal disposição retangular. 
A Matemática auxiliando a entender conceitos do contexto 
Assim como o entendimento de diversos conceitos de outros contextos é 
importante para a compreensão da Matemática, no sentido oposto, os 
conceitos matemáticos auxiliam o aluno a também compreender melhor, 
conceitos, procedimentos e instrumentos em outras áreas da atividade 
humana. 
O conceito matemático de razão, por exemplo, é essencial no 
entendimento da ideia de escala utilizada em mapas geográficos, e na 
produção dessas representações. Na construção de um mapa, ou de uma 
 20 
 
 
planta-baixa (da arquitetura ou engenharia), define-se uma razão entre os 
comprimentos no desenho e os comprimentos reais – a esta razão dá-se o 
nome de escala. Neste caso, a noção de semelhança entre figuras, tão 
importante na geometria, ajuda a entender por que as plantas e os mapas 
guardam a mesma forma daquilo que eles representam. A explicação vem do 
fato de mantermos constante a escala (razão entre os comprimentos no 
desenho e os comprimentos reais). A noção de razão também é muito 
importante na definição de diversas taxas da Física, como velocidade, 
densidade, e da Geografia, como a densidade demográfica, entre outras. 
As noções de porcentagens da Matemática e de juros da Matemática 
financeira são muito úteis para a vida cidadã, principalmente na tomada de 
decisões e conscientização a respeito das compras a vista e a prazo. Como na 
situação em que é preciso decidir em qual loja é mais vantajoso comprar a 
mesma televisão, a partir das propagandas da figura abaixo. 
 
FIGURA 4 – Propaganda de Lojas de Televisão 
E mais, o conhecimento matemático e sua contextualização contribuem 
bastante para que o aluno amplie o leque de seus conhecimentos. Nessa 
mesma direção, é importante utilizar o conhecimento matemático para auxiliar 
a criança a entender como funcionam certos artefatos, ou diminuir a distância 
entre os usuários e aqueles que pensam e elaboram os instrumentos. 
 21 
 
 
Atualmente, essa distância é cada dia maior. Muitos vendedores, em 
uma loja, utilizam programas fechados com planilhas e apenas podem incluir 
os dados e não têm a menor ideia de como tais programas funcionam. 
Aproximar o jovem da tecnologia e do conhecimento necessário para explicar 
alguns elementos elaborados deve ser uma das funções da contextualização. 
Estreitar essa distância é essencial para a formação dos cidadãos que, muitas 
vezes, se enganam comprando diferentes produtos que têm a mesma 
aplicação. 
Cidadania, ética e observância dos preceitos legais 
Na abordagem dos conteúdos, as obras de Matemática, como as dos 
outros componentes curriculares, devem preocupar-se com a cidadania, não 
apresentar preconceitos de qualquer natureza, respeitar os preceitos 
decorrentes da Constituição e de vários outros estatutos legais. As 
contextualizações empregadas, sobretudo as que envolvem as práticas sociais, 
podem propiciar boas ocasiões para ressaltar a ética e o respeito às 
diferenças. 
A Matemática é uma atividade humana e, como tal, profundamente 
inserida no contexto social em que é produzida. A par disso, as formações 
matemáticas dos alunos e dos próprios professores ocorremem instituições 
mergulhadas no contexto sociocultural e histórico de uma região e de um país. 
E mais, o livro didático, que é portador das concepções de seu autor, também 
sofre as influências de todo o contexto antes referido. Por tudo isso, não 
podemos esperar que no ensino escolar de Matemática, inclusive nas obras 
didáticas, não se façam presentes as marcas ideológicas, políticas, sociais e 
culturais de nosso contexto. E, muitas vezes, tais marcas traduzem-se em 
estereótipos ou preconceitos que devemos procurar desvendar e evitar, o que 
é uma tarefa difícil e complexa. 
Em Matemática, ao longo dos últimos anos, aos poucos, as coleções 
didáticas se preocuparam mais e mais com a diversidade dos tipos étnicos 
brasileiros e deixaram de considerar somente a família tradicional, em que o 
pai é o provedor dos recursos, a mãe se ocupa da casa e da educação dos 
 22 
 
 
filhos e os avós figuram como personagens benévolas, sempre a brincar com 
as crianças. Faz-se igualmente mais e mais presente a consideração das 
contribuições das etnias indígenas e dos descendentes de africanos para a 
formação da sociedade brasileira. O mesmo pode ser dito em relação à 
valorização do papel da mulher em nossa sociedade. 
Nas coleções que se pretendem “neutras”, que não abordam ativamente 
estas temáticas, caberá ao professor intervir, e suscitar discussões e 
posicionamentos sobre as mesmas. Não faltam oportunidades para isso, 
principalmente nas atividades que contextualizam os conteúdos matemáticos 
no mundo social, físico ou econômico. As possibilidades são inúmeras. A única 
dificuldade para o professor será selecioná-las, visto serem realmente muito 
numerosas. Por exemplo, dados sobre o número de pessoas com problemas 
de saúde devidos ao álcool ou ao fumo podem propiciar um bom trabalho sobre 
a necessidade de se evitar o fumo e o álcool, e dar origem a várias atividades 
com gráficos e porcentagens. Algo semelhante pode ser feito em relação aos 
cuidados que se deve ter com o uso do automóvel, trazendo para discussão os 
números de mortos e acidentados no trânsito em ruas e estradas. Já 
relacionado com o emprego maciço de carros e caminhões no Brasil, podem-se 
discutir problemas do meio ambiente, do que pode acontecer quando o 
petróleo não estiver mais disponível, entre outros. 
Lembramos que cidadania, civilidade, respeito ao outro, cuidado com os 
bens públicos, consciência de que a sociedade é formada por pessoas de 
variadas etnias, religiões, convicções políticas e ideológicas se aprende na 
prática e que o exemplo do professor é fundamental. Vale ressaltar a 
importância do trabalho em grupo para o desenvolvimento da cidadania. A sala 
de aula não é só um local para a aprendizagem da Matemática, e na interação 
entre os alunos, propiciada e mediada pelo professor, podem consolidar-se 
práticas sociais extremamente importantes para o exercício da cidadania. 
ADEQUAÇÃO E REALISMO DO CONTEXTO 
A importância da contextualização para o ensino e aprendizagem da 
Matemática está mais do que evidente. No entanto, contextualizar o 
 23 
 
 
conhecimento, nem sempre é tarefa fácil. A própria didatização do contexto o 
transforma, naturalmente, em um contexto artificial. 
O problema dos macacos na árvore, com o qual iniciamos este capítulo, 
por exemplo, claramente, não é um problema prático, pois se trata de uma 
situação didatizada e que não se vivencia. O que se visa com ele é mostrar que 
a adição pode ser aplicada a problemas de estrutura idêntica e a mobilizar a 
habilidade de cálculo do aluno. 
Este problema é semelhante ao seguinte, que poderíamos encontrar, 
hoje, nos livros didáticos de Matemática para os dois primeiros anos do Ensino 
Fundamental: 
Eu tenho 24 bolas de gude, vejo 15 delas no chão e o 
restante está no meu bolso. Quantas estão no meu bolso? 
Além disso, por vezes, nas obras analisadas, as contextualizações 
limitam-se apenas a dar informações que podem ser curiosas, mas não são 
significativas para a aprendizagem, ou servem apenas de pretexto para a 
obtenção de números que serão usados nas operações matemáticas. Observe 
um exemplo disso, na seguinte atividade: 
Para saber quantos anos Pedrinho tem, some os números pares de sua 
bermuda com os ímpares de sua capa e divida o resultado pelo menor dos 
ímpares da bermuda. 
 24 
 
 
 
FIGURA 5 – Problema de contexto artificial 
Os problemas anteriormente citados, sobre o número de macacos ou de 
bolas de gude são simples, e a criança pode resolvê-los usando somente 
representações pictóricas para os macacos ou as bolas de gude. O último, 
referente aos números que decoram a roupa de Pedrinho, é de outro nível, pois 
o fato de pendurar números nas roupas não lhes confere um significado. Nem 
tampouco atribui significado aos pares e ímpares. Aqui, estamos lidando, 
claramente, com outro grau de artificialidade. 
Uma dificuldade na contextualização surge quando a utilizamos com o 
objetivo de usar o conhecimento prévio para ajudar o aluno a entender melhor 
a Matemática. Nesses casos, o contexto não pode ser desconhecido da 
criança. Para contextualizar um dos significados da multiplicação, há várias 
possibilidades interessantes, como: 
O exame de uma planta de um teatro que mostre a localização de suas 
poltronas, a contagem das janelas de um prédio alto, dispostas regularmente 
andar por andar, ou ainda a observação dos canteiros de hortaliças 
desenhados organizadamente em uma plantação, ou mesmo de um pelotão de 
soldados desfilando. Entre estes exemplos, o do prédio alto será mais artificial, 
fará muito menos sentido, para uma criança da zona rural do que o exemplo 
dos canteiros de hortaliça. E este terá menos sentido para uma criança da 
 25 
 
 
grande capital do que aquele que apresenta as janelas do prédio. No entanto, 
se a função do contexto for expandir e aprofundar o conhecimento das crianças 
sobre o contexto, tudo se inverte. Para a criança da zona rural, o prédio será 
importante e, para a do grande centro urbano, as plantações é que o serão. 
Mais um cuidado ao trabalharmos com contextualizações é o de 
procurar sempre trazer situações em que os valores numéricos envolvidos 
tenham a ver com a realidade. Muitas vezes, quando a criança utiliza o senso 
crítico ela é considerada indisciplinada. Como ocorreu no exemplo mostrado 
abaixo, em que uma criança foi chamada a responder a seguinte questão: 
Tia Maria tinha 25 melancias, comeu 18. Com quantas melancias tia 
Maria ficou? 
A criança respondeu: 
“Não importa! Acudam tia Maria! Ela morreu ou está passando mal.” 
Muitas vezes, o descuido em fazer corresponder os valores reais do 
contexto e os valores tomados no problema leva o aluno a não buscar utilizar o 
senso crítico da realidade para dar sentido à resposta de problemas da 
matemática escolar. Principalmente, em situações em que a resposta e a 
realidade são incompatíveis, como por exemplo: 
A idade do pai somada com o dobro da idade do filho é 160 anos e as 
duas somadas é 140 anos. Quais as idades do pai e do filho? 
Observa-se que a solução do problema anterior implicaria um homem de 
120 anos ser pai de um filho de 20 anos. Isto torna a situação bem longe da 
realidade. Se o aluno chegar a uma resposta matematicamente correta, e 
buscar validá-la com a realidade, desconfiará que seu cálculo está errado. 
É preciso cautela, ainda, para que não sejam criadas dificuldades para a 
aprendizagem. Todo contexto que oferece um modelo para um conceito, 
procedimento ou algoritmo matemático tem seus limites de validade. Um 
exemplo recorrente em algumas coleções é o de se introduzir o conceito de 
retas paralelas,um dos mais básicos da geometria, com base na ideia de “ruas 
paralelas” em uma cidade. É necessário que se discutam os limites dessa 
 26 
 
 
correspondência e a diferença entre o significado matemático do termo 
“paralela” e o seu significado no contexto do cotidiano. Essa dificuldade é 
agravada, também, quando se opta por introduzir, primeiramente, o conceito de 
segmentos paralelos – novamente com base nas “ruas paralelas” – para, em 
seguida, definir retas paralelas. Nesse caso, o correto é adotar-se a ordem 
inversa: primeiro, conceito de retas paralelas e, depois, o de segmentos 
paralelos. Caso se defina, como se lê em alguns livros, que segmentos 
paralelos são aqueles que não se encontram, comete-se um erro. Por exemplo, 
os segmentos AB e CD, da Figura 6, não se encontram, mas eles não são 
paralelos. 
A B 
 
D 
C 
FIGURA 6 – Segmentos não paralelos que não se encontram 
 
É melhor, então, definir primeiro o que são retas paralelas, como retas 
coplanares que não se encontram e, em seguida, dizer que segmentos 
paralelos são aqueles que determinam retas para-lelas. Isso porque, em 
geometria, procura-se passar, aos poucos, de conhecimentos intuitivos, de 
“lições de coisas”, como se dizia antigamente, para um conhecimento 
estruturado. E este último, se organiza exatamente em torno das noções de 
ponto, reta e plano. Assim, devemos, bem cedo, acostumar o aluno com estes 
conceitos básicos. Lembramos também que as ruas que, comumente, deno-
minamos de paralelas, nem sempre podem ser representadas por segmentos 
paralelos, pois, se estes fossem prolongados eles se en-contrariam. Também 
acontece, em muitas cidades, duas ruas serem denominadas de paralelas na 
linguagem da população local e não serem representações de segmentos de 
reta, por conterem trechos curvos. Por exemplo, é o que acontece, no Recife, 
 27 
 
 
com a Rua Monse-nhor Fabrício, que é conhecida, popularmente, como 
paralela à Av. Caxangá. Mas, se observarmos o croquis abaixo (Fonte: 
http://maps. google.com.br; escala não especificada) vemos que a Rua 
Monsenhor Fabrício possui trechos não retilíneos: 
 FIGURA 7 – Mapa de ruas 
conhecidas como paralelas 
Em suma, uma contextualização produz um modelo para o conceito 
matemático que tem suas limitações. Assim, é preciso muita atenção às 
situações em que o contexto se afasta das noções e procedimentos 
matemáticos. 
Outro exemplo típico disso ocorre quando se utilizam objetos que são 
modelizados pelas noções dos sólidos e das figuras geométricas planas como 
contextos para essas noções. Por vezes, são cometidas impropriedades ao se 
tentar contextualizar o conceito de sólido geométrico utilizando-se objetos do 
dia a dia, como caixas, bolas, latas de óleo de cozinha. Em particular, a 
introdução da nomenclatura “sólidos que rolam” – aqueles que possuem 
superfícies curvas – e “sólidos que não rolam” – os que só possuem superfícies 
planas – acarreta problemas, pois tal nomenclatura é artificial e, principalmente, 
pode levar a noções errôneas. É comum dizer que um dado rola, por exemplo. 
Além disso, vários objetos, inclusive do mundo infantil, com superfícies curvas 
não rolam, como mostra a figura abaixo: 
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A categoria dos “corpos redondos” é tradicional. Já é encontrada em um 
dos grandes clássicos do ensino da geometria, o tratado Elementos de 
Geometria, de Legendre, escrito nos últimos anos do século XVIII. Ele engloba 
na categoria dos “corpos redondos”, a esfera, o cilindro e o cone, no que foi 
seguido por autores posteriores. “Corpos redondos” é, simplesmente, uma 
categoria para englobar sólidos importantes, que devem ser estudados, mas 
que não são poliedros. Sem tentar introduzir classificações artificiais, é 
possível, simplesmente estudar os três “corpos redondos” e salientar que eles 
não são poliedros, pois não estão limitados exclusivamente por polígonos 
planos. 
 
FIGURA 8 – Bloco com superfície curva que não rola 
 29 
 
 
PARTE 3 FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE 
MATEMÁTICA E MUDANÇAS CURRICULARES NA 
ESCOLA 
Este artigo trata das diretrizes atuais para a formação do professor de 
Matemática, destacando o papel deste profissional na análise e mudança dos 
currículos escolares, em tempos de crise na educação. O objetivo é relacionar 
a figura do professor pesquisador e reflexivo com atividades de formação, 
desenvolvidas em nível de pós-graduação. 
 
FORMAÇÃO DE PROFESSORES 
A teoria dos professores reflexivos propõe uma concepção de docência 
como prática que, aliada à reflexão constante, conduz à criação de um 
conhecimento específico, ligado à ação. 
A reflexão do professor sobre sua própria prática, seguida pela 
problematização e não aceitação da realidade cotidiana da escola, é 
considerada o início do processo de compreensão e de melhoria do seu 
ensino. O professor reflexivo é um profissional inovador e criativo, que 
descobre problemas e saídas, inventa e experimenta novas soluções, 
liberando-se de formas convencionais, e em constante (re)construção. 
 Entende-se “professor pesquisador” como aquele que explicita as 
inquietudes que emergem da sua prática e toma-as como problema de 
pesquisa, procurando soluções bem fundamentadas, com o objetivo de propor 
e implementar mudanças concretas na sala de aula e/ou na sua instituição. 
Com base nesses conceitos (SCHÖN, 1995; DEWEY, 1933; NÓVOA, 
2001), entendemos que existe hoje um novo papel destinado ao professor: 
profissional com competência para analisar sua própria prática e o currículo 
escolar, para propor mudanças. 
O professor pesquisador e reflexivo tem potencial transformador: é 
aquele com conhecimento para refletir sobre e analisar o que está fazendo, em 
 30 
 
 
relação a seus efeitos nas crianças, nas escolas e na própria sociedade. É um 
professor que reflete em ação e sobre sua ação, preocupado em examinar o 
que faz, por que o faz e como pode mudar o que faz. 
As Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da 
Educação Básica em nível superior (BRASIL, 2002) incluem especial 
valorização para a prática, definida como lugar, foco e fonte de pesquisa. O 
documento enfatiza a necessidade de se associar o preparo do professor ao 
aprimoramento das práticas investigativas, considerando que o conhecimento 
de processos de investigação vai possibilitar o aperfeiçoamento das práticas 
pedagógicas, que devem ser desenvolvidas com ênfase nos procedimentos de 
observação e reflexão, visando à atuação em situações contextualizadas. 
O documento indica características consideradas inerentes à atividade 
docente, entre as quais: desenvolver práticas investigativas; elaborar e 
executar projetos para desenvolver conteúdos curriculares; utilizar novas 
metodologias, estratégias e materiais de apoio. 
Também na direção da formação de professores, foi criada, em 2004, a 
área de Ensino de Ciências e Matemática da CAPES, que tem incentivado a 
organização de Mestrados Profissionalizantes, dirigidos para professores em 
exercício. 
A formação do professor pesquisador e reflexivo permeia o projeto 
pedagógico do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática 
da UFRGS, criado em 2005. Dentre os objetivos específicos do Curso, 
destacam-se os que enfatizam competências para desenvolver pesquisa na 
sala de aula e para assumir o papel de agente de transformação dentro de sua 
escola, questionando os programas e métodos e multiplicando a formação 
recebida. Nessa perspectiva, o Curso exige de seus alunos elaboraçãode 
dissertações que constituam uma pesquisa profissional, aplicada, com 
desenvolvimento de processos ou produtos de natureza educacional, visando à 
melhoria do ensino na área específica. 
Autores da área da Educação Matemática manifestam-se nesta direção. 
Segundo Perez (2005, p. 252), “a chave da competência profissional é a 
 31 
 
 
capacidade de equacionar e resolver problemas da prática [...] É preciso 
estudo, trabalho, pesquisa para renovar e, sobretudo, reflexão para não ensinar 
apenas ‘o que’ e ‘como’ lhe foi ensinado”. Neste espírito, entende-se professor 
reflexivo e pesquisador como aquele que explicita as inquietudes que emergem 
da sua prática, e toma-as como problema de pesquisa, procurando propostas 
de solução bem fundamentadas, com o objetivo de propor e implementar 
mudanças concretas na sala de aula e/ou na instituição. 
Fiorentini, Souza e Melo (1998) salientam as demandas colocadas hoje 
ao professor. Por um lado, “espera-se dele uma atitude investigadora e crítica 
em relação à prática pedagógica e aos saberes historicamente produzidos; por 
outro lado, passa a ser responsável pela produção de seus saberes e pelo 
desenvolvimento curricular da escola” (p.332). 
O presente livro foi planejado para disponibilizar produtos da pesquisa 
dos professores/mestrandos da UFRGS que trazem propostas para mudanças 
curriculares. Este artigo analisa com mais cuidado o significado dessas 
mudanças. 
 
MUDANÇAS CURRICULARES 
Currículo escolar não é apenas uma lista de conteúdos, um programa a 
cumprir. Tem hoje uma acepção muito mais ampla, incluindo propósitos, 
conteúdos, métodos e procedimentos de avaliação. É o conjunto de todas as 
vivências e conhecimentos disponibilizados pela escola, na escola. Uma 
mudança curricular, portanto, não consiste apenas em retirar ou inserir 
conteúdos, mas pode constituir-se numa proposta de nova metodologia, de 
nova abordagem ou de novo sistema de avaliação. 
É consenso que a educação, no Brasil, está em crise. Em especial, a 
escola pública parece não estar cumprindo sua função de formar cidadãos 
autônomos, com condições de inserção no mercado de trabalho, aptos para 
uma vida digna, socialmente integrados. 
 32 
 
 
 Muitos motivos justificam mudanças no currículo escolar. Podemos 
lembrar a qualidade da educação; as demandas econômicas e sociais; a 
universalização do ensino e a necessidade de uma educação para todos; as 
transformações tecnológicas que modificam o mundo do trabalho e a vida 
cotidiana; a globalização; a necessidade de inserir o país no comércio mundial 
em condições competitivas; a prática usual de um ensino “tradicional” 
identificado com concepções de ensino e aprendizagem obsoletas e seculares. 
Um primeiro passo, na direção de responder a estas demandas, foi dado 
com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), publicados pelo MEC, a 
partir de 1997. 
Mais recentemente, o Conselho Nacional de Educação (BRASIL. CNE, 
2009) lançou um plano de mudança para o ensino Médio, propondo a 
articulação das dimensões trabalho, ciência, tecnologia e cultura. 
[...] o Ensino Médio deve ser estruturado em consonância com o avanço 
do conhecimento científico e tecnológico, fazendo da cultura um componente 
da formação geral, articulada com o trabalho produtivo. Isso pressupõe a 
vinculação dos conceitos científicos com a prática relacionada com a 
contextualização dos fenômenos físicos, químicos e biológicos, bem como a 
superação das dicotomias entre humanismo e tecnologia e entre formação 
teórica geral e técnica-instrumental. 
O documento sugere a ideia de diferentes formas de organização 
curricular e de princípios orientadores para a garantia de uma formação eficaz 
dos jovens brasileiros. 
 
NOVOS CONTEÚDOS CURRICULARES 
Como já foi dito, um currículo inclui propósitos, conteúdos, métodos e 
procedimentos de avaliação. Cabe, então, no contexto das mudanças 
curriculares, questionar conteúdos e propor sua inserção na escola, 
oferecendo, simultaneamente, novas abordagens. 
 33 
 
 
 Ao ensinar um certo conteúdo de matemática, em geral, perguntamos: o 
quê? Como? O que devo ensinar? Como ensiná-lo? Mas a pergunta, hoje, 
deveria ser: por quê? Quais as razões de ensiná-lo? Por que está presente no 
currículo escolar? Por que ele foi escolhido e não outro? 
Considerando as mudanças sociais aceleradas e o novo contexto em 
que vivemos – um mundo globalizado, na era da informação e da tecnologia – 
e considerando objetivos para melhoria da qualidade da educação e do 
compromisso social para com aluno, poderíamos questionar e mesmo afastar 
alguns conteúdos do currículo e incluir outros. Nesta apostila, disponibilizamos 
quatro propostas de conteúdos ausentes do currículo usual, podendo ser 
trabalhados tanto no nível fundamental, como no médio: 
• Grafos; 
• Transformações geométricas; 
• Vetores; 
• Matemática Financeira. 
Grafos 
Os Grafos constituem teoria recente na Matemática e, talvez por isso, 
ainda não estão presentes nos currículos escolares. 
Um grafo é um diagrama composto por vértices interligados por arestas, 
que traduz informações sobre alguma situação real. Por exemplo, um mapa é 
um grafo que traz informações sobre cidades (representadas por vértices), 
sobre as estradas que as ligam (as arestas) e que pode informar sobre as 
distâncias entre elas, custo de transporte rodoviário, nível de periculosidade do 
caminho, etc. Um fluxograma que representa um programa para um 
computador é um grafo; o mapa das tubulações de petróleo, que cruzam a 
Ásia, é um grafo; uma planta elétrica de um imóvel é um grafo; as redes de 
computadores são grafos, sendo cada terminal representado por um vértice e 
os cabos de rede pelas arestas. 
Estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte 
e muitos problemas de interesse prático podem ser formulados como questões 
 34 
 
 
sobre certos grafos. Além disso, este conceito se oferece como um mundo 
novo para as aplicações de conteúdos da matemática escolar tradicional, tais 
como Matrizes, Combinatória e Geometria, criando pontes num currículo que 
se caracteriza como fragmentado. 
Transformações Geométricas 
As transformações geométricas não fazem parte do currículo mais 
tradicional da escola, mas já estão presentes em livros didáticos mais recentes, 
como a coleção de Pires e Pietropaolo (2002), que destacam movimentos das 
figuras e os definem, no ensino fundamental. Também os Parâmetros 
Curriculares Nacionais (BRASIL,1997) salientam a importância das atividades 
de transformação das figuras geométricas (rotação, translação, ampliação e 
redução), para adquirir percepção espacial. 
Na Geometria Euclidiana, as isometrias formam um grupo de 
transformações congruentes que se caracterizam por manter inalteradas as 
propriedades das configurações de pontos do plano. São também chamadas 
de movimentos rígidos, pois preservam linhas retas, retas paralelas, ângulos 
entre retas e congruências entre segmentos. Ou seja, um quadrado sujeito a 
uma isometria continua quadrado, com as mesmas medidas, embora ocupe 
outra posição no plano. Isometrias são as rotações, as reflexões e as 
translações de objetos do plano. As homotetias preservam a semelhança entre 
as figuras, mas não a congruência, por isso não são consideradas isometrias. 
Um quadrado sujeito a uma homotetia pode tornar-se maior ou menor, mas 
ainda é um quadrado. 
As transformações geométricas euclidianas têm o mérito de vincular a 
matemática com o mundo em que vivemos, um mundo em constante 
movimento. São também muito visíveis, quando ensinadas com o auxílio dos 
softwares educativos e da Geometria Dinâmica,que favorecem sua 
visualização. Além disso, tecem pontes no interior do currículo escolar, unindo 
geometria, funções e matrizes: uma transformação geométrica nada mais é do 
que uma função cujo domínio e contradomínio são o plano ou o espaço. 
Vetores 
 35 
 
 
O ensino dos vetores, em geral, é desenvolvido nas aulas de Física, 
especificamente para se tratar de conceitos físicos. Velocidade e aceleração de 
um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. No 
entanto, vetor é um ente matemático, cuja definição envolve conceitos da 
matemática: vetor é um representante de uma classe de equivalência de 
segmentos orientados que têm mesmo comprimento, direção e sentido. Esses 
segmentos podem ser representados por setas, para indicar que são 
orientados, mas é preciso ter cuidado para não definir vetor como uma seta. 
Em particular, a ideia de vetor é fundamental no ensino dos números 
complexos, pois cada número da forma a + bi pode ser representado por um 
par ordenado (a, b) que está associado a um ponto do plano cartesiano e, ao 
mesmo tempo, a um vetor em duas dimensões, com origem na origem do 
plano e extremidade em (a, b). Associar números complexos e vetores permite 
dar significado e abrir o mundo das aplicações dos complexos: módulo e 
argumento referem-se ao comprimento e ao sentido do vetor; operações com 
números complexos podem ser associadas a operações com objetos da Física. 
Além disso, o trabalho com vetores auxilia a estabelecer relações 
internas entre conteúdos de Matemática, quando associamos as operações 
com números complexos/vetores com transformações geométricas, utilizando, 
hoje, o recurso dos softwares de Geometria Dinâmica, que facilitam 
imensamente a visualização da dinâmica das transformações. 
Matemática Financeira 
Matemática Financeira é um conteúdo matemático essencialmente 
aplicado, e um dos mais antigos na história da matemática. É um conjunto de 
ferramentas que auxiliam na compreensão do mundo, de extrema relevância, 
mas que apenas recentemente vem sendo incluído nos currículos escolares e 
nos livros didáticos. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Ensino Médio (BRASIL, 1999) 
enfatizam a necessidade da compreensão da Matemática e de seus temas, 
para a formação de um cidadão capaz de tomar decisões em sua vida 
profissional e pessoal, especialmente nas relações de consumo. Nesta ótica, a 
 36 
 
 
Matemática no Ensino Médio deve ir além de seu valor formativo – que inclui o 
desenvolvimento do pensamento e do raciocínio dedutivo – para mostrar-se, 
também, com valor instrumental – uma ferramenta que serve para a vida 
cotidiana. 
O documento PCN+ (BRASIL, 2002) sugere competências e habilidades 
que ensino de Matemática deve proporcionar ao aluno e que exigem 
conhecimento de Matemática Financeira: reconhecer e utilizar símbolos, 
códigos e nomenclaturas da linguagem matemática – por exemplo, ao ler 
textos de jornais ou outras comunicações, compreender o significado de dados 
apresentados por meio de porcentagens –; ler e interpretar diferentes tipos de 
textos com informações apresentadas em linguagem matemática, desde livros 
didáticos até artigos de conteúdo econômico, social ou cultural; compreender a 
responsabilidade social associada à aquisição e uso do conhecimento 
matemático, utilizando-o na defesa de seus direitos como consumidor; 
conhecer recursos, instrumentos e procedimentos econômicos e sociais para 
posicionar-se, argumentar e julgar sobre questões de interesse da comunidade. 
Além da sua natureza aplicada, o trabalho com Matemática Financeira 
também auxilia a estabelecer relações internas entre conteúdos de 
Matemática. A resolução de problemas na área, e mesmo a dedução do 
formulário básico formam um interessante campo de contextualização para os 
conceitos mais simples de progressão aritmética e geométrica. 
 
NOVAS ABORDAGENS CURRICULARES 
Com a sociedade da informação, o desempenho profissional vai exigir 
conhecimentos de matemática, de ciência e de tecnologia, em amplo leque de 
situações. É consenso entre diferentes autores e educadores que, na 
alfabetização matemática para a sociedade da informação, três aspectos 
devem ser colocados em evidência: habilidades, atitudes e contextos. 
Nas habilidades, destaca-se a habilidade intelectual para lidar com 
situações complexas, que exijam múltiplas estratégias, múltiplas soluções, 
avaliação e interpretação; o saber ler e escrever em linguagem matemática; a 
 37 
 
 
aptidão para resolução de problemas novos e não rotineiros que dependam de 
raciocínios e conhecimentos matemáticos. 
Quanto às atitudes, referem: a valorização da matemática como 
ferramenta para resolução de problemas; a confiança em dispor de tal 
conhecimento quando necessário; práticas cooperativas de enriquecimento 
intelectual, advindo da confrontação de diferentes perspectivas. 
No que tange ao contexto, o mesmo diz respeito aos recursos 
tecnológicos que concorrem para a abordagem e tratamento de problemas 
matemáticos; diz respeito à constante exigência de adaptação a novas 
situações-problema. 
 Nesta perspectiva, oferecemos, neste livro, quatro maneiras de 
desenvolver novas abordagens para o ensino da matemática: 
1) a metodologia da resolução de problemas; 
2) a metodologia da modelagem matemática; 
3) o uso das tecnologias da informação e computação; 
4) a transposição didática. 
A metodologia da resolução de problemas 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (BRASIL, 1997, p. 
43) sugerem que “no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e 
métodos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, 
de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia 
para resolvê-las”. 
Diferentes autores da área de Educação de Matemática sugerem a 
resolução de problemas como metodologia de ensino (ONUCHIC, 1999; 
DANTE, 1991; CARRAHER, 1991), porém, adotar este caminho implica em 
mudanças nas concepções do professor. 
Os problemas deveriam ser propostos, na escola, para contribuir para a 
construção de novos conceitos e novos conteúdos, antes mesmo de sua 
 38 
 
 
apresentação em linguagem matemática formal. Entretanto, alguns professores 
têm visão restrita dos problemas, pois o hábito tradicional de desenvolver um 
conceito consiste em exposição oral, apresentação de exemplos e resolução 
de exercícios ou problemas. Mas é preciso diferenciar problema de exercício: 
exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade ou 
conhecimento matemático já conhecido, como a aplicação de algum algoritmo 
ou fórmula já conhecida, e envolve mera aplicação de resultados teóricos; 
problema, necessariamente, envolve invenção e/ou criação significativa. 
A metodologia da modelagem matemática 
Tendências atuais da Educação Matemática no Brasil apontam para a 
importância de se estabelecer relações entre a Matemática, outras disciplinas e 
outros contextos e a modelagem aparece como um caminho de integração e 
contextualização do ensino da Matemática (BARBOSA, 1999, 2001a, 2001b, 
2002; BASSANEZI, 2004; BIEMBENGUTT; HEIN, 2003; PONTE, 1992). 
A modelagem matemática, como metodologia de ensino, consiste na 
transformação de problemas da realidade em problemas matemáticos. Sua 
resolução, em linguagem matemática, é, por sua vez, transformada, para ser 
apresentada na linguagem adequada ao contexto. 
 Uma modelagem exige um aluno ativo para analisar, explicar um 
problema e tomar decisões sobre o mesmo; coletar informações, formular 
hipóteses e testá-las, obter modelos e validá-los (ou não) para determinada 
situação. A matemáticaescolar torna-se mais interessante e desencadeia 
processos de reflexão-na-ação. Esta reflexão possibilita que o aluno 
compreenda a sua ação, reorganize ou aprofunde o seu conhecimento acerca 
do problema em estudo e, interagindo com os conhecimentos construídos, 
desenvolva sua competência profissional futura (FIDELIS; ALMEIDA, 2004). É 
uma metodologia interdisciplinar, pois pode ligar a matemática com o mundo 
dos problemas da Física, Química, Biologia, ou mesmo do cotidiano. 
Alguns autores utilizam o termo modelação (modelagem em educação) 
quando se referem à modelagem matemática como estratégia de ensino e 
aprendizagem. Neste caso, o fenômeno modelado serve mais de pano de 
 39 
 
 
fundo ou como motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da 
própria Matemática, valorizando-se mais o processo utilizado do que a 
validação do modelo. Percebem a modelagem como um ambiente de 
aprendizagem que valoriza o processo de construção do conhecimento do 
aluno e as interações no meio em que vive. 
O uso das tecnologias da informação e computação (TICs) 
Muitos autores da área de Educação Matemática sugerem o uso das 
tecnologias da informação e computação na sala de aula (PENTEADO; 
BORBA, 2003; ARAÚJO, 2002; PENTEADO, 1999; MALTEMPI, 2004). 
Com o advento da sociedade da informação, o sistema educativo 
brasileiro deve se integrar num novo contexto e, sendo a escola um 
micromundo que tem, dentre suas finalidades, a preparação dos indivíduos 
para a vida adulta de amanhã, deve ela constituir-se com as mesmas 
características. 
A presença, cada vez maior, das Tecnologias da Informação e 
Comunicação em todos os setores, torna-se uma ameaça de exclusão social 
para os indivíduos que participam de um processo educativo que se mantém à 
margem da formação de competências necessárias para inserção nesta 
sociedade. 
Em escolas já equipadas com laboratórios para uso de mídias digitais e 
com acesso à web, frequentemente observa-se uma subutilização destes 
recursos. Em geral, nesses espaços, o trabalho com os alunos restringe-se à 
formação generalista – noções gerais de informática, familiarização com 
editores de texto e desenho, familiarização com a navegação na web. Nas 
aulas de matemática, pouco se utilizam as mídias digitais e, quando isso é 
feito, frequentemente as práticas didáticas seguem os moldes tradicionais das 
aulas de giz e quadro-negro. Mudam os recursos para a educação, mas as 
concepções dos professores sobre o processo de ensino e aprendizagem não 
se modificam. 
 40 
 
 
É preciso destacar, junto ao professor, que a apropriação das 
tecnologias de informação e comunicação (TICs) no ensino da matemática 
contribui para facilitar o processo de ensino-aprendizagem, para a inserção do 
jovem na sociedade tecnológica e, também, oferece ferramentas 
interdisciplinares entre as diferentes áreas de conhecimento. 
 Como sugere o MEC (BRASL,1998), a utilização das TICs traz 
contribuições ao processo de ensino-aprendizagem de Matemática à medida 
em que: a) relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples 
manipulação simbólica, uma vez que, por meio de instrumentos, esses cálculos 
podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; b) evidencia para os 
alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de 
representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados 
problemas; c) possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente 
interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração 
como parte fundamental de sua aprendizagem; d) permite que os alunos 
construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade 
matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. 
Em particular, nas aulas de Matemática, o uso das TICs pode ter 
diferentes finalidades: a) como fonte de informação, poderosa para alimentar o 
processo de ensino-aprendizagem; b) como auxiliar no processo de construção 
de conhecimento; c) como meio para desenvolver autonomia pelo uso de 
softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; d) como ferramenta 
para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, 
processadores de texto, banco de dados etc. 
Aplicação da transposição didática 
Transposição Didática refere-se ao processo de adaptação pelo qual 
passa o saber científico, quando transformado no conjunto dos conteúdos que 
constituem os programas escolares e que pode ser chamado de “saber 
escolar” (PAIS, 2002). É trabalho de construção de uma passagem entre o 
conhecimento científico e aquele que o aluno é capaz de aprender. 
 41 
 
 
Perrenoud (1993) define como transposição didática a essência do 
ensinar, ou seja, a ação de “fabricar artesanalmente os saberes, tornando-os 
ensináveis, exercitáveis, e passíveis de avaliação no quadro de uma turma, de 
um ano, de um horário, de um sistema de comunicação e trabalho” (p. 25). 
Para ele, essa é uma “tradução pragmática dos saberes para atividades e 
situações didáticas” (p. 26), que surge como uma resposta ou reação às 
situações reais de sala de aula. 
 Alguns professores baseiam suas aulas em livros didáticos, confiando 
na transposição didática desenvolvida pelo autor. Outros assumem sua 
responsabilidade sobre o currículo, refletindo sobre e analisando os conteúdos 
programáticos, as metodologias e as relações professor-aluno. Essa atividade 
está sempre ao alcance do professor, sendo mobilizada quando um projeto ou 
plano pedagógico é construído. Depende da articulação de diferentes 
categorias de conhecimento: conhecimento do conteúdo específico que ele 
ensina; conhecimento pedagógico geral (dos princípios e estratégias de gestão 
e organização da classe); conhecimento do currículo, dos materiais e dos 
programas; conhecimento dos alunos e das suas características; conhecimento 
do contexto educativo (conhecimento do grupo, comunidade, cultura etc.); 
conhecimento dos fins, propósitos e valores educativos. Além disso, nesta 
tarefa, o professor vai produzir um conhecimento que é só seu e que não pode 
ser ensinado nas instituições de formação de professores: o “conhecimento 
pedagógico do conteúdo específico”, uma maneira sua de transformar o 
conteúdo acadêmico em conteúdo ensinável, inteligível aos alunos 
(SCHULMAN, 1986) 
 
 42 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Discussões dos Alunos. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto 
de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 
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PENTEADO, Miriam Godoy; BORBA, Marcelo de Carvalho. Informática e 
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