Física do Movimento - Elias Arcanjo - webaula 2 Módulo C 30-09

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Física do Movimento
D A T A 3 0 - 0 9 - 2 3 
E n g e n h a r i a C i c l o B á s i c o
W E B A U L A 1
D i s c i p l i n a :
Elias Arcanjo
P R O F E S S O R :
D A T A 1 8 - 0 3 - 2 0 2 3
Metrologia
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
“Metrologia é a ciência da medição e suas 
aplicações, e engloba todos os aspectos teóricos e 
práticos da medição, qualquer que seja a incerteza 
de medição” (INMETRO, 2012).
CAMPUS RECIFE 
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METROLOGIA
O objetivo das ciências experimentais é determinar o 
valor de quantidades físicas através de medições. Porém, 
toda medição envolve um certo grau de incerteza, por 
exemplo, a incerteza associada à escala de um 
instrumento de medição.
De modo genérico, o resultado de uma medida deve ser 
expresso da seguinte forma:
𝑀 = 𝑚 ± ∆𝑚 𝑢
Qual o valor que eu devo considerar e com que incerteza? 
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METROLOGIA
Qual o valor utilizar? 
Medidas do comprimento de um objeto 
Medida 1: 19,3 cm
Medida 2: 19,1 cm 
Medida 3: 19,5 cm
Precisamos de um único valor. Como determinar a 
melhor estimativa do comprimento do objeto?
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METROLOGIA
ҧ𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
=
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
• O valor mais provável de uma grandeza é a média 
aritmética ҧ𝑥 das diversas medidas da grandeza, 
conforme a Equação
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METROLOGIA
Como saber o quão boa é nossa média? 
1º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 19,0 cm 
Medida 2: 19,8 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
Os dois grupos de medidas são equivalentes?
Quanto menor for a dispersão das nossas medidas 
consideramos que nossa média é mais precisa. 
2º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 20,9 cm 
Medida 2: 17,9 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
Desvio e o desvio padrão
O desvio e o desvio padrão nos auxilia na estimativa da 
dispersão dos dados de uma medida.
𝛿 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
|𝑥𝑖 − 𝜇|
O desvio médio (δ) é definido pela média aritmética do valor 
absoluto dos desvios, onde μ é a média da população, 
conforme Equação
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METROLOGIA
𝜎 =
1
𝑛
෍
𝑖=2
𝑛
(𝑥𝑖 − 𝜇)²
O desvio-padrão (σ) é definido pela raiz da média dos 
quadrados dos desvios, conforme a Equação:
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- GRAÇAS
METROLOGIA
ҧ𝑑 =
1
𝑛
෍
𝑖=0
𝑛
|𝑥𝑖 − ҧ𝑥|
Na prática, efetuamos um número pequeno de réplicas de uma 
medição, por isso, não conhecemos o valor de μ, de modo que não 
podemos calcular o valor de δ e σ, por isso, o que fazemos 
é estimar seus valores.
A estimativa do desvio-padrão é definida pela Equação:
𝜎 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=0
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)²
A estimativa do desvio médio ҧ𝑑 é definida pela Equação:
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
Calculando o desvio médio e o desvio padrão 
1º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 19,0 cm 
Medida 2: 19,8 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
n xi 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
1
2
3
19,0
19,8
19,4
19,0 − 19,4 = 0,4
19,8 − 19,4 = 0,4
19,4 − 19,4 = 0,0
0,4² = 0,16
0,4² = 0,16
0² = 0
ҧ𝑑 =
1
𝑛
෍
𝑖=0
𝑛
|𝑥𝑖 − ҧ𝑥|
ത𝜎 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=0
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)²
σ𝑖=1
3 𝑥𝑖 − 𝑥 = 0,8 σ𝑖=1
3 𝑥𝑖 − 𝑥 ² = 0,32 
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
Calculando o desvio médio e o desvio padrão 
n xi 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
1
2
3
20,9
17,9
19,4
20,9 − 19,4 = 1,5
17,9 − 19,4 = 1,5
19,4 − 19,4 = 0,0
1,5² = 2,25
1,5² = 2,25
0² = 0
ҧ𝑑 =
1
𝑛
෍
𝑖=0
𝑛
|𝑥𝑖 − ҧ𝑥|
ത𝜎 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=0
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)²
σ𝑖=1
3 𝑥𝑖 − 𝑥 = 3,0 σ𝑖=1
3 𝑥𝑖 − 𝑥 ² = 4,5 
2º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 20,9 cm 
Medida 2: 17,9 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
Calculando o desvio médio e o desvio padrão 
2º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 20,9 cm 
Medida 2: 17,9 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
Desvio médio: 
Desvio padrão: 
1º Grupo de Medidas: 
Medida 1: 19,0 cm 
Medida 2: 19,8 cm 
Medida 3: 19,4 cm 
Média aritmética: 19,4 cm
Desvio médio: 
Desvio padrão: 
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
Exemplo resolvido1: Calcule desvio padrão dos dados 
abaixo
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
Solução do problema 1:
ҧ𝑥 =
0,34 + 0,28 + 0,33 + 0,36 + 0,30
5
ҧ𝑥 = 0,32
ҧ𝑥 = 0,322
N 𝑥𝑖 |𝑥𝑖 − ҧ𝑥| |𝑥𝑖 − ҧ𝑥|²
1 0,34 |0,34-0,32| = 0,02 0,02² = 0,0004
2 0,28 |0,28-0,32| = 0,04 0,04² = 0,0016
3 0,33 |0,33-0,32| = 0,01 0,01² = 0,0001
4 0,36 |0,36-0,32| = 0,04 0,04² = 0,0016
5 0,30 |0,30-0,32| = 0,02 0,02² = 0,0004
ҧ𝑥 = 0,32 Σ|𝑥𝑖 − ҧ𝑥| = 0,13 Σ|𝑥𝑖 − ҧ𝑥|² =0,0041
ത𝜎 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=0
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)²
ത𝜎 =
1
5 − 1
0,0041
ത𝜎 =
1
4
0,0041
ത𝜎 = 0,032
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- GRAÇAS
Exemplo Resolvido 2: Solução no AVA
Durante uma aula de Física Experimental, você ficou 
encarregado de cronometrar o tempo que uma esfera leva 
para percorrer uma rampa inclinada. Você realizou este 
procedimento quatro vezes e obteve os seguintes resultados: 
3,14 s; 3,15 s; 3,13 s e 3,14 s. Estime o desvio médio e o 
desvio-padrão.
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- GRAÇAS
METROLOGIA
Desvio e o desvio padrão da média
A precisão da média pode ser estimada com base no 
cálculo do seu desvio ou do seu desvio padrão. 
O desvio médio da média é dado pela Equação:
ҧ𝑑 ത𝑋 =
ҧ𝑑
𝑛
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- GRAÇAS
METROLOGIA
ത𝜎 ҧ𝑥
=
ത𝜎
𝑛
O desvio-padrão médio da média é dado pela Equação :
A média de n medidas é 𝑛 vezes mais precisa do que 
uma medida individual pertencente ao conjunto de dados 
experimentais. Isto é se você medir uma grandeza nove 
vezes, a média medida é três vezes mais precisa do que uma 
única medida
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- GRAÇAS
METROLOGIA
Resultado da medição
Adotaremos como grafia do resultado de uma medição a partir 
da análise estatística de uma série de medidas a seguinte 
representação
𝑀 = ҧ𝑥 ± ത𝜎 ҧ𝑥 𝑢
◼Regra 1:
◼A incerteza da medição é escrita com até dois algarismos significativos.
◼Regra 2: 
◼O resultado base é escrito com o mesmo número de casas decimais 
com que é escrita a incerteza da medição.
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- GRAÇAS
METROLOGIA
Exemplo 1:
M = (319,213 ± 11,4) mm
M = (319,213 ± 11) mm
REGRA 1
M = (319 ± 11) mm
REGRA 2
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
Exemplo 2: - com 1 algarismo significativo
RM = (18,5217423 ± 0,04280437) mm
RM = (18,5217423 ± 0,04) mm
REGRA 1
RM = (18,52 ± 0,04) mm
REGRA 2
CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
METROLOGIA
Exemplo 2: - com 2 algarismo significativo
RM = (18,5217423 ± 0,04280437) mm
RM = (18,5217423 ± 0,043) mm
REGRA 1
RM = (18,522 ± 0,043) mm
REGRA 2
Determinação do erro de escala
Para instrumentos analógicos, o erro de escala 𝐸𝑒𝑠𝑐 é definido como metade 
da menor divisão da escala (MDE), conforme a expressão abaixo:
𝑬𝒆𝒔𝒄 = ±
𝑴𝑫𝑬
𝟐
E o resulta é apresentado da seguinte forma:
Para os instrumentos não analógicos, o erro de escala é igual ao 
MDE, Eesc = MDE.
𝑴 = 𝒙 ±
𝑴𝑫𝑬
𝟐
 𝒖
E o resulta é apresentado da seguinte forma:
𝑴 = 𝒙 ± 𝑴𝑫𝑬 𝒖
Medições diretas
Avaliação Tipo B
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- GRAÇAS
Medições Indiretas: Propagação de erro
Como você já sabe, os valores de muitas grandezas físicas 
são obtidos através de medições indiretas. Contudo, ao 
relacionarmos os valores de duas ou mais medidas entre si, 
também estamos relacionando seus respectivos erros, isto é, 
os erros se propagam através das operações matemáticas 
efetuadas durante uma medição indireta. Assim, precisamos 
saber como calcular o erro do resultado de uma série de 
operações matemáticas.
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- GRAÇAS
Propagação de erro
A Tabela 3 
apresenta as 
equações para o 
cálculo de 
propagação de erros 
indeterminados:
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- GRAÇAS
Exemplo 1: Determine o valor do torque aplicado no 
parafuso da figura e sua incerteza:
F = (150,0 ± 2,4) N 
d = (125,0 ± 4,0) mm 
𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑
𝑀 = 150,0 ∙ 125,0 
𝑀 = 150,0 ∙ 125,0 
𝑀 = 18750 𝑁𝑚𝑚 
𝜎M
M
=
𝜎F
F
2
+
𝜎d
d
² 
𝜎M
18750
=
2,4
150
2
+
4,0
125
² 
𝜎M
18750
= 0,035777 
𝜎M = 0,035777 ∙ 18750
𝜎M = 670,82
𝐌 = (𝟏𝟖𝟕𝟓𝟎 ± 𝟔𝟕𝟎, 𝟖𝟐) 𝐍𝐦𝐦CAMPUS RECIFE 
- GRAÇAS
Exemplo 1: Determine o valor do torque aplicado no 
parafuso da figura e sua incerteza:
F = (150,0 ± 2,4) N 
d = (125,0 ± 4,0) mm 
𝑀 = (18750 ± 670,82) 𝑁𝑚 
𝑀 = (18750 ± 6,7 ∙ 10²) 𝑁𝑚 
𝑀 = (187,5 ± 6,7) ∙ 10²𝑁𝑚 
ATIVIDADE PRÁTICA
Olá estudante!
A atividade prática para essa disciplina funcionará de forma virtual, o professor irá 
apresentar alguns experimentos e de acordo com o manual, bem como o modelo de 
relatório de práticas já disponíveis, você deverá realizar no mínimo 3 dos experimentos 
apresentados e enviar o seu relatório como nota para AV1.
Lembrando que o prazo de envio dos experimentos será até o dia 10/10.
Caso tenha alguma dúvida, estou à disposição no fórum “Fale com o Tutor”.
Atenciosamente,
Tutoria Digital
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Aula Prática
ATIVIDADES PRÁTICAS
• Manual Atividades Práticas
• Template do Relatório de Atividades 
Práticas
Densidade
𝒅 =
𝒎
𝑽
𝒅 =
𝒎
𝒙𝒚𝒛
valor Incerteza 
𝑚(𝑔)
𝑥(𝑐𝑚)
𝑦(𝑐𝑚)
𝑧(𝑐𝑚)
∆𝒅
𝒅
=
∆𝒎
𝒎
𝟐
+
∆𝒙
𝒙
𝟐
+
∆𝒚
𝒚
𝟐
+
∆𝒛
𝒛
𝟐
Constante 
elástica da mola
x F(x) 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝐹 𝑥 = 𝑘𝑥
Estimativa da aceleração da gravidade
Período de oscilação do 
pêndulo:
𝑻 = 𝟐𝝅
𝒍
𝒈
 
𝒍 (𝒎) X = 𝒍 T (X)
0,15 0,39 
0,25 0,50
0,35 0,59
0,45 0,67
PARA REFLETIR
A forma mais efetiva e simples de se aprender os princípios da FÍSICA é resolver problemas. Para ser 
bem-sucedido nessa tarefa, é necessário apresentar o trabalho de uma maneira lógica e sistemática, 
como sugerido pela sequência de passos apresentados a seguir.
1. Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar a situação física real com a teoria que você 
estudou.
2. Desenhe quaisquer diagramas necessários e tabule os dados do problema.
3. Estabeleça um sistema de coordenadas e aplique os princípios relevantes, geralmente em forma 
matemática.
4. Resolva as equações necessárias algebricamente até onde for prático; em seguida utilize um sistema 
de unidades consistente e complete a solução numericamente.
5. Analise a resposta fazendo uso de julgamento técnico e bom-senso para avaliar se ela parece ou não 
razoável.
6. Uma vez que a solução tenha sido completada, reveja o problema. Tente pensar em outras maneiras 
de obter a mesma solução.
Ao plicar esse procedimento geral, faça o trabalho da maneira mais limpa possível. Um trabalho sem 
rasuras geralmente estimula um pensamento claro e sistemático. 
 Hibbeler
Obrigado!
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	Slide 24: Medições diretas
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	Slide 29: Atividade Prática
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	Slide 35: Para refletir
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