STD_Aula_13_14_Teoria_transmissão

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Teoria da transmissão de energia elétrica
Sistemas de Transmissão e Distribuição
Material: Adaptado do Prof. John Jefferson Antunes Saldanha
john.saldanha@ifsc.edu.br
Prof. Humberto Cunha
Humberto.cunha@ifsc.edu.br
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Roteiro
Energização de uma linha;
Relações de energia;
Ondas viajantes;
Análise matemática.
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Energização de uma linha
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Teoria da Transmissão de Energia Elétrica
O transporte de energia é realizado através de ondas eletromagnéticas e qualquer estudo visando a análise da distribuição das tensões e correntes ao longo das linhas só deve ser feito através dessa ótica.
Será considerado nessa disciplina apenas as linhas de transmissão clássicas, considerando somente aquelas constituídas por ligações físicas entre uma fonte de energia e um elemento consumidor dessa energia. Os termos fonte e consumidor devem ser entendidos aqui como transmissor e receptor de energia. 
Essa ligação física é feita através de condutores, pelos quais circulam correntes elétricas e que são mantidos sob diferenças de potencial.
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Parâmetros Elétricos de uma Linha de Transmissão
As linhas de transmissão podem ser representadas por seu circuito equivalente que consiste de uma indutância L [Henry/km], uma capacitância C [Farad/km], e dos elementos representativos das perdas nos condutores representado pela resistência R [Ohm/km] e perdas nos dielétricos representada pela condutibilidade G [Siemens/km]. O circuito equivalente é constituído por parâmetros distribuídos e é mostrado abaixo:
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Parâmetros Elétricos de uma Linha de Transmissão
A teoria das linhas de transmissão torna-se necessária quando os parâmetros distribuídos ao longo do comprimento da linha afetam as relações de tensão, corrente e potência desta linha. Os parâmetros distribuídos são utilizados porque cada centímetro da linha contém resistência, indutância, capacitância e correntes de fuga.
Devido aos parâmetros distribuídos a corrente que entra na linha é diferente da corrente que é fornecida á carga junto ao receptor, sem mencionar o fato que a tensão varia de ponto para ponto ao longo da linha. Pode acontecer até que a tensão no receptor seja maior do que a tensão no transmissor.
Em circuitos elétricos os elementos básicos como resistores, indutores e capacitores são tratados como dispositivos distintos, a dois terminais, que podem ser manuseados e comprados em uma loja de materiais elétricos. Eles são conhecidos como elementos a parâmetros concentrados. Entretanto um condutor de uma linha de transmissão possui resistência ao longo de cada centímetro de seu comprimento e não podemos defini-lo como um resistor a parâmetro concentrado.
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Energização de uma linha
Considere a seguinte linha:
Suposições:
Linha de transmissão ideal (resistência dos condutores é nula);
Dois condutores metálicos, retilíneos e completamente isolados, suficientemente distantes do solo, ou de estruturas, ou de outras linhas, para que não seja influenciada pela sua presença, e de comprimento qualquer;
Dielétrico entre os condutores é perfeito (não há perdas de energia);
Os condutores terão capacitância C (F/km) e indutância L (H/m);
Junto ao receptor tem dissipador de energia ().
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Energização de uma linha
Circuito equivalente:
Para : terminais da fonte estão sob uma diferença de potencial U (V);
Para : entre 1 e 1’ aparecerá a mesma diferença de potencial U (V).
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Energização de uma linha
Considerando um elemento de comprimento infinitesimal da linha
.
Contém uma indutância e uma capacitância .
A tensão U só aparecerá nos terminais da capacitância após a decorrência de um tempo , pois a corrente através de não pode atingir instantaneamente o seu valor .
Levará um outro intervalo de tempo para que o capacitor do trecho seguinte atinja o valor U, e assim sucessivamente.
Ou seja, a tensão “vai aparecendo” ao longo da linha:
Ilustração a seguir.
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Energização de uma linha
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Um tempo finito decorre entre o instante que se aplica uma tensão ao transmissor até que essa tensão possa ser medida no receptor.
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Energização de uma linha
 é a corrente de carga da linha e ela se mantém constante.
Na energização da linha, campos magnéticos e campos elétricos se propagam do transmissor ao receptor.
Isto, pois as cargas elétricas em movimento dão origem a campos magnéticos e a simples presença de cargas geram os campos elétricos.
Assim, tem-se uma velocidade de propagação (ou celeridade):
: tempo necessário para que a tensão no receptor atinja o valor U (V).
: comprimento da linha.
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Energização de uma linha
Supondo uma linha de comprimento unitário (), o tempo necessário para energizar esta linha é:
A carga elétrica acumulada nesse trecho será: (C = Q/U)
A corrente através de uma seção do condutor será:
A intensidade de independe do comprimento da linha, se esta for de comprimento infinito. Ela será suprida pela fonte enquanto o valor da tensão se manter inalterado.
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Energização de uma linha
Logo, pode-se definir uma impedância de entrada da linha:
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U
I0
z0
∆x
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Energização de uma linha
Realizando a dedução para a força eletromotriz induzida.
Como 
Essa FEM deve ser igual na fonte para que flua:
Logo,
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Variação de 
Variação de tempo
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Energização de uma linha
Com
Expressão da velocidade com a qual os campos elétricos e magnéticos se propagam ao longo de uma linha.
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(1)
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Energização de uma linha
As expressões para o cálculo de L e C, no ar ou vácuo, são (iremos deduzir elas em outra aula):
D é a distância entre os condutores;
r é o raio dos condutores.
Substituindo em (1):
Está é a velocidade de propagação da luz no vácuo.
No meio material e em cabos reais, esta velocidade é menor (devido ao fluxo interno e perdas).
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Energização de uma linha
Com :
Utilizando as definições de L e C:
Observe que não depende do comprimento da linha, mas somente do meio em que se encontra e de suas dimensões física (D e r).
Assim, esta é uma constante para cada linha e é uma grandeza característica chamada de impedância natural da linha (ou impedância de surtos da linha).
Exemplos: cabo coaxial e fita paralela 
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Energização de uma linha
Para cada linha
Logo, a corrente de carga de uma linha, excitada por uma fonte de tensão constante, também independe do seu comprimento.
Isso é curioso, mas imagine que desconhece o comprimento da linha quando começa a fluir. Além disso, também não conhece a terminação da linha.
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Exemplo
Supondo um cabo com L = 0,62 mH/km e C = 0,216 F/km, qual a velocidade de propagação e qual a impedância de entrada?
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Relações de energia
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Relações de energia
A cada necessário para energizar um trecho da LT, a fonte fornece a mesma energia ().
Em uma LT ideal, essa energia não é dissipada na linha.
Para onde essa energia vai?
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Relações de energia
A cada necessário para energizar um trecho da LT, a fonte fornece a mesma energia ().
Em uma LT ideal, essa energia não é dissipada na linha.
Para onde essa energia vai?
São armazenadas nos campos elétricos e magnéticos.
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Relações de energia
No campo magnético:
No campo elétrico:
Logo, como esse armazenamento é simultâneo:
Vemos que a energia fornecida pela fonte é armazenada nos dois campos.
Qual proporção de energia é armazenada em cada campo?
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Relações de energia
Com:
Logo,
Ou seja,
Se a linha tiver comprimento infinito, esse processo durará indefinidamente.
Como as LTs práticas possuem comprimento finito, outros fenômenos devem ser analisados e eles dependem de como a linha é terminada (ou seja, sua carga).
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Caso 1: (casamento de impedância)
Como no receptor (terminação da linha) não há campos magnéticos ou elétricos armazenando energia, toda energia fornecida pela fonte será dissipada em :
 continuará com a mesma intensidade inicial, como se a linha fosse de comprimento infinito,independente de .
Essa linha terminada dessa forma é denominada de comprimento infinito.
Se , o equilíbrio de será alternado e os próximos dois casos surgem.
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Caso 2: 
A corrente será menor que a corrente e a energia dissipada será menor também.
Como ,
Logo,
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Caso 2: 
Como , uma menor energia é dissipada em .
Junto ao terminal da linha haverá um excesso de energia (reflexão).
Um novo estado de equilíbrio deverá ocorrer, pois esse excesso de energia não poderá ser destruído.
Como a corrente na linha reduziu, a energia armazenada no campo magnético também reduz.
Agora:
Logo,
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Caso 2: 
A energia no campo magnético reduz e essa energia que foi reduzida só pode ir para algum lugar:
Campo elétrico.
Assim, a partir do momento que começa a fluir por , o campo elétrico recebe a energia excedente.
Isso se manifesta em uma elevação de e que irá se propagar ao longo da linha, acompanhada da redução de , com a mesma velocidade .
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Caso 2: (caso extremo: )
Circuito aberto no receptor: a corrente se reduz a zero do receptor ao transmissor progressivamente.
O campo elétrico tende a armazenar toda a energia.
Logo,
Em uma linha ideal aberta, a tensão no receptor cresce o dobro do valor da tensão aplicada.
Essa tensão se propaga do receptor ao transmissor.
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Energia armazenada em um de linha
Duas parcelas de energia de 50%
Fonte, em , envia mais duas parcelas de 50%
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Caso 3: 
A corrente será maior que e a energia dissipada em será maior que o caso 1.
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Caso 3: 
Maior energia dissipada em .
Ocorre um déficit de energia que não é fornecido inicialmente pela fonte.
Esse déficit é suprido pelo campo elétrico.
Ou seja, o campo elétrico fornece energia para o campo magnético e será reduzido no receptor e caminha progressivamente em direção à fonte.
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Caso 3: (caso extremo: 
Tensão junto ao receptor é nula, propagando-se para o transmissor.
Aumento no valor da corrente no receptor que se propaga para o transmissor.
Em curto-circuito, a corrente crescerá, no receptor, ao dobro do seu valor.
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Energia no campo magnético
50% x2 para cada campo
Mais 50% x2 fornecidas pela fonte.
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Ondas viajantes
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Ondas viajantes
Teoria que define que as tensões e correntes se estabelecem ao longo das linhas sob a forma de ondas que se deslocam com celeridade c ().
Ondas de tensão são sempre acompanhadas das ondas de corrente.
Descontinuidades: pontos das linhas onde ocorrem mudanças em sua impedância natural.
Por exemplo, quando .
Os valores de tensão e corrente são alterados nas ondas propagadas a partir de uma descontinuidade.
Nesses pontos surgem novas ondas, tanto de tensão como de corrente com as mesmas características.
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Ondas viajantes
Ondas (V ou I) que viajam nas LTs para os pontos de descontinuidade:
Ondas diretas ou ondas incidentes.
Ondas que são refletidas ao atingirem uma descontinuidade:
Ondas refletidas
Possuem módulo e polaridade definidos.
Os valores de tensões e correntes no ponto de descontinuidade são obtidos através da soma algébrica das ondas anteriores:
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(2)
(3)
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Ondas viajantes
Ao energizar a LT:
Surgem duas ondas (V e I) que viajam em direção ao receptor, chegando como ondas diretas.
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Ondas viajantes
Dependendo do valor da impedância terminal da linha, haverá ou não reflexão:
Não há descontinuidade e não há reflexão.
Logo, e (LT de comprimento infinito)
Tensão aumenta, como vimos, e a corrente diminui.
As ondas se refletem:
 (tensão reflete com a mesma polaridade de , pois ela aumenta).
 (corrente reflete com polaridade oposta de ).
A propagação das ondas refletidas é na mesma velocidade das ondas que chegaram.
As equações (2) e (3) valem progressivamente em cada ponto da linha.
Logo, as ondas incidentes e refletidas sem movimentam nas linhas em sentidos opostos.
Oposto ao caso anterior.
Tensão diminui e a corrente aumenta.
 
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Ondas viajantes
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Dependendo do valor da impedância terminal da linha, haverá ou não reflexão:
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Ondas viajantes
As ondas refletidas se relacionam com as ondas incidentes através dos coeficientes:
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Exemplo
Mostre a variação no tempo da tensão e da corrente junto ao receptor de uma linha ideal, alimentada por uma fonte ideal, terminada em 
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Exemplo
Mostre a variação no tempo da tensão e da corrente junto ao receptor de uma linha ideal, alimentada por uma fonte ideal, terminada em 
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Exemplo
Uma LT bifilar e área é suprida por uma fonte com tensão constante de 800 V. A indutância dos condutores é 0,001358 H/km e a capacitância é 0,008488 F/km. Sendo uma LT sem perdas e comprimento de 100 km, deseja-se saber:
Impedância natural da linha.
Energia armazenada por quilômetro de linha nos campos elétrico e magnético.
Sua velocidade de propagação.
Qual o valor da tensão no receptor decorrido do instante que a linha foi energizada para a seguinte condição no receptor: .
Repita a letra d) admitindo que a fonte possui uma impedância interna igual a . Nesse caso, considerar a tensão de 800 V como sendo a tensão em vazio da fonte.
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Análise matemática
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Análise matemática
As equações diferenciais gerais das LTs (equações das ondas) são:
Obteremos a solução das equações no domínio da frequência, considerando a linha em CA e em regime permanente.
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Análise matemática
Seja a LT excitada por CA:
Em fasores:
As equações gerais das linhas podem ser descritas como:
Substituindo :
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Análise matemática
Após manipulações:
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Análise matemática
Essas equações admitem uma solução do tipo:
A partir das seguintes condições de contorno
É possível encontrar o valor das constantes:
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Análise matemática
Assim:
Alternativamente:
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Ondas diretas
Ondas refletidas
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Análise matemática
Com essas equações é possível calcular a tensão e corrente em qualquer ponto da linha em função das condições no receptor ( e ).
 é a constante de propagação
 é a impedância característica
, mas para e pequenos, 
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Constante de fase (rad/km). Provoca alteração de fase.
Constante de atenuação (néper/km). Provoca amortecimento.
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Exemplo
Calcular a tensão e a corrente no transmissor de uma LT alimentando uma carga de 450 MVA, FP 0,95 indutivo, com tensão de 380 kV.
Dados da LT:
Comprimento de 600 km
 por fase
 por fase
g por fase
 por fase (susceptância)
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Fórmula para calcular raiz de um número complexo:
Segunda fórmula de Moivre:
: número complexo
: módulo de 
: ângulo de 
Fazer para 
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Referências
FUCHS, Rubens Dario. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. 3 ed. Uberlândia: EDUFU, 2015. 2 v.
ROBBA, Ernesto João et al. Análise de sistemas de transmissão de energia elétrica. São Paulo: Blucher, 2020.
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